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Modèle de diffusion des taux sans risque à long terme dans une optique assurance et ALM
Petit déjeuner thématique
Chaire DAMI
21 Mars 2019
François BONNIN
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Sommaire
1 Contexte et objectifs
2 Présentation du modèle de taux
3 Inversion de la transformée de Laplace
4 Processus stochastique de diffusion
5 Calibrage du modèle
6 Mise en œuvre des simulations et premiers résultats
7 Application au calcul du BEL S2 d’un contrat d’épargne €
8 Conclusion
3
Contexte et objectifs
4
Contexte et objectif
Quelques éléments de contexte
A tout instant t, le facteur d’actualisation entre t et T (>t), s’écrit:
𝑃 𝑡, 𝑇 = exp(− 𝑡
𝑇
𝑟 𝑠 𝑑𝑠 )
Par conséquent, le prix en 0 d’une obligation ZC de maturité T, sous le probabilité risque-neutre Q, s’écrit:
𝐵 𝑇 = 𝐸Q[exp − 0
𝑇
𝑟 𝑠 𝑑𝑠 ]
L’expression précédente possède deux inconvénients:
І difficulté de calibrage
І homogénéité de la nappe de volatilité
Mais, en contrepartie, elle:
І permet de bénéficier de formules fermées pour évaluer le prix des options.
І est largement adoptée par le monde des dérivés (banque)
5
Contexte et objectifs
Objectifs
En assurance, certaines problématiques propres aux produits d’assurance-vie, tels que…
І durée des contrats
І méthodologie d’évaluation des options et garanties et des indicateurs de solvabilité sous S2
… rendent le recours à la modélisation décrite précédemment inadapté et moins intuitif.
L’objectif de notre étude est de rechercher une représentation des actifs de taux adaptée aux besoins
de l’assurance-vie, en:
І identifiant des variables homogènes dans le temps permettant d’avoir une estimation des volatilités beaucoup
plus robuste dans une optique de long terme
І privilégiant un modèle dans lequel les corrélations avec d’autres facteurs de risque sont stables dans le temps (et
par conséquent, plus faciles à estimer) et interprétables
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Contexte et objectifs
Déroulement des travaux
A RT
03
04
05
01
Etude mathématique du modèleactif de taux de profil de risque stable
diffusion des prix des rentes
inversion des la transformée de Laplace
02Préparation de l’historiqueCalcul de l’historique des rentes géométriques à partir d’un
historique de taux de marché
CalibrageCalibrage des paramètres de volatilité et des
processus stochastiques
Diffusion des paramètres du modèleDiffusion du prix des rentes perpétuelles à
amortissement géométrique
Génération des scénarios de tauxExtraction des prix des ZC à l’aide d’une
méthode d’inversion pseudo-numérique
7
Présentationdu modèle de taux
8
Présentation du modèle de taux
Détermination des actifs de taux diffusés dans le modèle
En pratique, si un actif de taux qui verse le flux 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 dans l’intervalle de temps 𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡 , la propriété
énoncée plus haut s’écrit, en notant 𝑢:= 𝑇 − 𝑡 :
𝑓(𝑡 + 𝑢)
𝑡+∞𝑓 𝑠 𝑑𝑠
= 𝐾 𝑢 ; 𝐾 𝑢 > 0
On montre que la solution de l’équation précédente s’écrit:
𝒇 𝒕 = 𝒇 𝟎 𝒆𝒙𝒑(−𝑲 𝟎 𝒕 ) où K(0): coefficient d’amortissement
Un actif de taux présente un profil de risque stable si et seulement si son cash-flow à la date T, en
proportion des cash-flows restant à verser au-delà d’une date t, ne dépend que la durée entre t et T
Il s’agit d’actifs de taux ayant une vie moyenne constante (des actifs dont le profil de risque
intrinsèque est stable dans le temps, comme les actions)
Le choix de modélisation d’actifs de taux ayant une vie moyenne constante fait sortir du cadre
dans lequel le processus de taux court « r » peut s’exprimer à l’aide d’une EDS (plus ou moins)
simple
Les actifs de taux ayant un profil de risque homogène sont les rentes perpétuelles continues,
à amortissement géométrique.
Le cas limite où le coefficient d’amortissement est nul correspond aux rentes perpétuelles
continues à versements constants.
La vie moyenne d’une rente géométrique de coefficient d’amortissement x est égale à « 1/x ».
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Présentation du modèle de taux
Propriétés des actifs de diffusion
Soit 𝑈 𝑥, 𝑡 la valeur actuelle, à l’instant t, de la rente d’amortissement x. On peut l’écrire:
𝑈 𝑥, 𝑡 = 𝑡
+∞
𝑓 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑓 0 𝑡
+∞
exp −𝑥𝑢 𝑃 𝑡, 𝑢 𝑑𝑢
En opérant un changement de variables 𝑢 ≔ 𝑣 − 𝑡 , on peut écrire:
𝑈 𝑥, 𝑡 = 𝑓 0 exp(−𝑥𝑡) 0
+∞
exp −𝑥 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢
Pour alléger les notations, on considère un continuum d’actifs de taux indicés par x constitué par la
détention de exp(𝑥𝑡)
𝑓(0)de l’actif 𝑈 𝑥, 𝑡 à la date t. Soit 𝑆 𝑥, 𝑡 le prix d’un tel actif à l’instant t.
D’après l’équation précédente:
𝑆 𝑥, 𝑡 = 0+∞exp −𝑥 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢
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Présentation du modèle de taux
Passage au prix des ZC
Rappel mathématique
Comparons l’expression du prix des rentes 𝑆 𝑥, 𝑡 à la définition précédente:
𝑆 𝑥, 𝑡 = 0+∞exp −𝑥 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢
І A tout instant t, 𝑆 𝑥, 𝑡 le prix des rentes géométriques d’amortissement x est la transformée de
Laplace de la fonction du prix du ZC forward 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 .
Pour être capable de déduire de l’ensemble des rentes géométriques, l’ensemble des prix des zéro-
coupons, il faut résoudre l’équation fonctionnelle suivante:
Pou𝑟 𝑡 𝑓𝑖𝑥é, 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 = 𝐿−1 𝑆 𝑥, 𝑡 𝑢 , 𝑢 > 0
Soit f une fonction à valeurs dans ℝ. On appelle transformée de Laplace de la fonction f, on la
note F, la fonction de ℂ ⟶ ℝ telle que:
𝐿 𝑓 = 𝐹 𝑧 = 0
+∞
𝑒−𝑧𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Problématique de l’inversion de la transformée de Laplace.
11
Inversion de la transformée de Laplace
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Inversion de la transformée de Laplace
Présentation de la problématique Il n’existe pas de méthode générale pour inverser la transformée de Laplace d’une fonction
quelconque.
Sous certaines conditions de forme de la fonction à inverser, un recours aux fonctions usuelles
permet d’inverser la transformée de Laplace
La forme de la fonction des prix des rentes 𝑆 𝑥, 𝑡 n’est a priori pas une fonction usuelle et n’est
donc pas facilement inversible au sens de Laplace
Méthodes
approchées
d’inversion
Méthode pseudo-
numériqueMéthode numérique
Approximation
polynomiale
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Inversion de la transformée de Laplace
Inversion en série polynômiale En partant de l’équation:
𝑆 𝑥, 𝑡 = 0+∞exp −𝑥 𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢
L’idée est d’écrire le fonction des ZC comme une série polynômiale
𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 =
𝑖=0
𝑛
𝑎𝑡,𝑖 𝑢𝑖 ⇒ 𝑆 𝑥, 𝑡 =
𝑖=0
𝑛
𝑎𝑡,𝑖𝑖!
𝑥𝑖+1
En posant 𝑎𝑡,𝑖 𝑖! = 𝛼𝑡,𝑖, 𝑆 𝑥, 𝑡 s’écrit comme un polynôme de 1
𝑥dont les coefficients sont les 𝛼𝑡,𝑖.
Nous avons transformé le problème d’inversion de transformée de Laplace en un problème de
recherche de coefficients d’un polynôme.
Méthode intuitive
Simple à mettre en place
Degré du polynôme
Recherche des paramètres est réalisée
par minimisation des écarts temps de
calcul
Convergence lente
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Inversion de la transformée de Laplace
Présentation des méthodes numériques Inverser les transformées de Laplace par formule fermée est un problème mathématique à part
entière. Le champ d’application de cette problématique est assez vaste (physique, électronique…)
Plusieurs méthodes d’inversion numérique de la transformée de Laplace sont utilisées pour approcher
la fonction inversée.
Ex: Post-Widder, Fourier, Stehfest…
Une méthode numérique, contrairement à une méthode analytique, cherche à approcher la fonction
initiale comme la limite d’une suite de fonction qui dépend de la transformée elle-même, et qui vérifie
certaines conditions (de convergence).
Dans la suite, nous présentons les deux méthodes numériques les plus utilisées.
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Inversion de la transformée de Laplace
Méthode de Fourier
І L’expression de la transformée de Laplace d’une fonction f est :
𝐹 𝑠 = 0
+∞
𝑒−𝑠𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
І La méthode de Fourier consiste à approcher la fonction f par l’expression complexe suivante:
𝑓 𝑡
=𝑒𝑐𝑡
𝑡𝑚𝑎𝑥(𝐹 𝑐
2+
𝑘=1
𝑛
cos 𝜔𝑘𝑡 𝑅𝑒(𝐹 𝑐 + 𝑖𝜔𝑘 − sin 𝜔𝑘𝑡 𝐼𝑚 𝐹 𝑐 + 𝑖𝜔𝑘
Où 𝜔𝑘 =𝑘𝜋
𝑡𝑚𝑎𝑥et 𝑠 = 𝑐 + 𝑖𝑢
І La condition de convergence de cette méthode est𝑒−2𝑐𝑡𝑚𝑎𝑥 𝐹 2𝑡𝑚𝑎𝑥 ≈ 0
І Exemple d’inversion avec la méthode de Fourier
І Considérons 𝐹 𝑧 =𝑧
𝑧2+4. La transformée inverse de cette
fonction peut être obtenue analytiquement ou grâce aux tables des fonctions usuelles. Elle est égale à 𝑓(𝑡) = cos(2𝑡).
І Ci-contre les résultats d’inversion numérique obtenus avec la méthode de Fourier pour 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 100 et 𝑐 = 0,12.
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Inversion de la transformée de Laplace
Méthode de Stehfest
І L’expression de la transformée de Laplace d’une fonction f est :
𝐹 𝑠 = 0
+∞
𝑒−𝑠𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
І La méthode de Stehfest consiste à approcher la fonction f par l’expression complexe suivante:
𝑓𝑛 𝑥 =ln(2)
𝑥
𝑘=1
2𝑛
𝑎𝑘 𝑛 𝐹 𝑘ln 2
𝑥, 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑡 𝑥 > 0
Où
𝑎𝑘 𝑛 =(−1)𝑛+𝑘
𝑛!
𝑗= (𝑘+1)2
min(𝑘,𝑛)
𝑗𝑛+1𝑛
𝑗
2𝑗
𝑗
𝑗
𝑘 − 𝑗, 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑡 𝑘 ∈ 1; 2𝑛
І Les coefficients 𝑎𝑘 𝑛 s’obtiennent facilement de proche en proche.
І Exemple d’inversion avec la méthode de Fourier
І Considérons 𝐹 𝑧 =1
𝑧+1. La transformée inverse de cette fonction
peut être obtenue analytiquement ou grâce aux tables des fonctions usuelles. Elle est égale à 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡.
І Ci-contre les résultats d’inversion numérique obtenus avec la méthode de Stehfest pour 𝑛 = 4 et 𝑛 = 15
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Inversion de la transformée de Laplace
Inversion numériqueMÉTHODE DE FOURIER
méthode la plus utilisée pour l’inversion de la
transformée de Laplace
fournit de meilleurs résultats pour les fonctions
périodiques
converge assez rapidement avec un choix
adéquat des paramètres d’inversion
propose d’approcher la fonction inversée par
une série de fonctions trigonométriques dans
le plan complexe
nécessite de fixer deux paramètres pour
garantir sa convergence
difficile à mettre en place dans les outils de
calcul
MÉTHODE DE STEHFEST
fournit de meilleurs résultats pour les fonctions
exponentielles
facile à mettre en place dans un outil de calcul
de type R ou même excel
propose d’approcher la fonction inversée par
une série de fonctions réelles
Ne nécessite pas de conditions particulières
pour garantir sa convergence
Des problèmes de convergence sont connus à
partir d’un certain degré de précision
Dans la suite de cette étude, la méthode d’inversion numérique à utiliser est celle de Stehfest.
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Inversion de la transformée de Laplace
Méthode pseudo-numérique (1/2)
L’inversion de la transformée de Laplace, à l’aide d’une série polynômiale ou à travers une méthode
numérique, possède un inconvénient majeur. Il s’agit de la précision de convergence des deux
méthodes.
Afin de palier ce problème, et compte-tenu de la forme, particulière d’une fonction d’actualisation, il
serait judicieux d’utiliser une méthode pseudo-numérique (combinaison d’une méthode analytique et
d’une méthode numérique).
Cette méthode a pour avantage de:
І permettre le choix de la forme de la fonction analytique, qui peut être facilement inversible par formule fermée
І réduire l’impact de l’erreur de convergence de la méthode numérique en le limitant à un résidu
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Inversion de la transformée de Laplace
Méthode pseudo-numérique (2/2)
Dans cette étude, nous considérons la forme suivante pour le prix du ZC:
𝑃(𝑡, 𝑡 + 𝑢) = 𝐵𝑡 𝑢 = 𝑒−𝑦𝑡𝑢 + 𝜀(𝑢)
Où 𝑦𝑡 est une constante positive, et 𝑢 → 𝜀(𝑢) une fonction de résidus.
Une telle forme de la fonction d’actualisation permet d’écrire le prix des rentes:
𝑆 𝑥, 𝑡 = 0
+∞
exp −𝑥𝑢 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 𝑑𝑢 =1
𝑥 + 𝑦𝑡+ 𝐿(𝜀)(𝑥)
Avec 𝐿 . opérateur de transformée de Laplace.
L’écriture précédente permet de ramener le problème d’inversion de Laplace du prix de rente 𝑆 𝑥, 𝑡 à
l’inversion de la transformée du résidu, qui peut être réalisée à l’aide d’une méthode numérique de
type Stehfest.
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Processusstochastiquede diffusion
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Processus stochastique de diffusion
Distribution des prix des rentes (1/3)
Volatilité du modèle
On suppose, qu’à tout instant t, la volatilité de l’actif 𝐴𝑥 est de la forme:
𝜎 𝑥, 𝑡 = 𝜎 𝑥 exp(−𝑎(𝑥) 𝑡)
Cette forme bien que particulière, est assez riche car elle :
І autorise une convergence en loi pour la courbe des taux asymptotique (variance bornée)
І permet de calibrer des volatilités instantanées et des vitesses de retour à la moyenne différentes pour toutes les
rentes géométriques de vies moyennes différentes
La volatilité cumulée asymptotique à l’infini est donnée par :
𝜎∞ 𝑥 = 0+∞𝜎2 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡 =
𝜎(𝑥)
2 𝑎(𝑥)
La volatilité cumulée asymptotique s’interprète comme une volatilité inconditionnelle.
Le calibrage portera sur la volatilité instantanée 𝜎(𝑥) et sur la volatilité asymptotique 𝜎∞ 𝑥
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Processus stochastique de diffusion
Distribution des prix des rentes (2/3)
Processus de diffusion des 𝑺(𝒙, 𝒕)
On suppose que le prix 𝑆(𝑥, 𝑡) suit un processus de diffusion log-normal et 𝜆 ∝ 𝜎2, on obtient :
𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝐸ℱ𝑡 𝑆 𝑥, 𝑡 exp (𝜆 −1
2) 0
𝑡
𝜎 𝑥, 𝑠 2 𝑑𝑠 + 0
𝑡
𝜎 𝑥, 𝑠 𝑑𝑊𝑥 𝑠
Avec 𝑊𝑥 étant le brownien propre à l’actif 𝐴𝑥 ; et 𝐹𝑡 la probabilité forwad-neutre pour l’horizon t :
Remarque: la diffusion en univers risque-neutre correspond à 𝜆 = 0
L’expression précédente possède un inconvénient du fait de l’utilisation de l’espérance en univers
forward-neutre. En simplifiant l’expression 𝐸ℱ𝑡 𝑆 𝑥, 𝑡 , on obtient:
𝑆 𝑥, 𝑡 = 0
+∞
exp −𝑥 𝑢𝐵(𝑡 + 𝑢)
𝐵(𝑡)𝑑𝑢 ∗ exp( (𝜆 −
1
2) 0
𝑡
𝜎 𝑥, 𝑠 2 𝑑𝑠 + 0
𝑡
𝜎 𝑥, 𝑠 𝑑𝑊𝑥 𝑠 )
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Processus stochastique de diffusion
Distribution des prix des rentes (3/3)
Distribution asymptotique et taux actuariel
Distribution asymptotique des prix des rentes
Elle est fonction du taux long l, et s’écrit:
𝑆 𝑥,∞ =exp[ 𝜆 −
12𝜎∞2 𝑥 + 𝜎∞ 𝑍𝑥 ]
𝑥 + 𝑙, 𝑍𝑥 ∽ Ν(0,1)
І en faisant l’hypothèse que les prix des rentes historiquement observés sur une période longue constituent un
échantillon inconditionnel, l’expression précédente permet de calibrer directement 𝜎∞ en passant par ln(𝑆 𝑥,∞ )
Taux actuariel de la rente
𝑦 𝑥,∞ = −𝑥 + 𝑥 + 𝑙 exp[1
2− 𝜆 𝜎∞
2 𝑥 + 𝜎∞ 𝑍𝑥]
І le taux actuariel de la rente géométrique suit une loi log-normale décalée d’un taux égal à son amortissement
(parallèle avec le LMM shifté)
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Calibrage du modèle
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Calibrage du modèle
Choix des données et de méthodologie de calibrage
Méthodologie de calibrage
Le calibrage du modèle peut être effectué sur la base de l’historique des prix de rentes géométriques
Or, les rentes géométriques ne sont pas des actifs échangés sur le marché.
Création d’une base des prix à partir de l’historique des taux de swap.
Le calibrage peut également être effectué à partir de simulations construites à partir d’un GSE risqueneutre sur la base de volatilités implicites de marché (l’opération consiste à changer de modèle dediffusion sans changer les paramètres de prix implicites des options cotées utilisées pour le calibrage)
Données de calibrage
Courbes des taux swap euribor:
І entre 04/09/2004 au 31/12/2016 3255 courbes de taux
І interpolation par spline cubique pour obtenir toutes la maturités entre 1 et 50 ans
І extraction des courbes de taux ZC par bootstrapping
Historique des prix des rentes
І On considère une fonction d’actualisation de la forme 𝐵 𝑢 = 𝑖=0𝑛 𝑒−𝑡𝑖∗𝑢 ∗ 1 𝑢𝑖−1,𝑢𝑖 (𝑢)
І On utilise l’expression des prix des rentes en 0, 𝑆(𝑥, 0) = 𝑆(𝑥) = 0
∞𝑒−𝑥𝑢 𝐵 𝑢 𝑑𝑢
І Nous disposons d’un historique de 162750 prix de rente pour différentes valeurs d’amortissement
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Calibrage du modèle
Calibrage des volatilités et des processus stochastiques
Volatilités
les volatilités inconditionnelles et instantanées ainsi que le
retour à la moyenne sont obtenues comme suit:
І 𝜎∞ 𝑥 = 𝕍 l𝑛(𝑆(𝑥)
І 𝜎0 𝑥 = 𝕍 l𝑛(𝑆(𝑥,𝑡+1)
𝑆(𝑥,𝑡)× 𝑛𝑏 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑎𝑛𝑛é𝑒
І 𝑎 𝑥 =𝜎(𝑥)
2 𝜎∞2 𝑥
Processus stochastiques
Les prix des rentes de différentes maturités sont corrélées
car les taux d’intérêt le sont.
І Nécessité de restreindre l’information sur la corrélation à une
dimension finie ACP des prix et des performances de prix
des rentes
І Nous constatons que plus de 99,5% de la variance des deux
paramètres est expliquée par les 2 premiers vecteurs propres
de l’ACP, en l’occurrence le taux long et le taux court.
І𝑍𝑥(𝑡)
𝑡= 𝑖=1
2 𝛼𝑖(𝑥) 𝑉𝑖
ACP des prix
ACP des perf
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Mise en oeuvredes simulations et analyse des résultats
28
Mise en œuvre des simulations
Diffusion des prix de rentes
Rente initiale
La rente initiale, qui sera diffusée à l’aide des paramètres
calibrés précédemment, est obtenue en utilisant la même
formule que celle du calcul de l’historique des prix des
rentes.
Les facteurs d’actualisation B(u), pour chaque intervalle
temporel sont déduits de la courbe des taux EIOPA au
31/12/2016 ajustés de la « volatility adjustment (VA) »
Diffusion de la rente
La formule de diffusion s’écrit:
𝑆 𝑥, 𝑡 + 1 = 𝑆 𝑥, 𝑡 × 𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡 𝑥, 𝑡 × exp (𝜆 −1
2) 𝑡
𝑡+1
𝜎 𝑥, 𝑠 2𝑑𝑠 + 𝑡
𝑡+1
𝜎 𝑥, 𝑠 𝑑𝑊𝑥 𝑠
La diffusion est réalisée selon les paramètres suivants:
І 1000 scénarios
І maturités de 1 à 50 ans par pas annuel
І horizon de projection annuel de 1 à 50 ans
І aléa d’échantillonnage : Sobol
Courbe de taux EIOPA au
31/12/2016 avec VA
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Analyse des résultats
Sorties du modèle
Sorties du modèle
Le modèle permet de fournir des sorties auformat DEvent.
Les variables disponibles sont:
І 𝐷𝑖 0, 𝑝 est le déflateur ZC de maturité pcalculé en 0 pour le scénario i
І 𝐵𝑖 p, 𝑗 est le prix du ZC de maturité j calculéà la date p pour le scenario i. Autrement dit:
𝐵𝑖 p, 𝑗 = 𝑃(𝑝, 𝑝 + 𝑗)
Test de martingalité
Afin de vérifier le caractère martingal des sorties, nous analysons l’égalité suivante:
∀ 𝑝, 𝑗 ∈ 1,50 ; 𝐸 𝐷𝑖 0, 𝑝 × 𝐵𝑖 𝑝, 𝑗 ≜ 𝐷𝑚𝑎𝑟𝑐ℎé(0, 𝑝 + 𝑗)
Exemple de sortie du modèle
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Analyse des résultats
Test de martingalité (1/3)Inversion polynomiale
Hypothèses et méthodologie
І 𝑃 𝑡, 𝑡 + 𝑢 = 𝑖=0𝑛 𝑎𝑡,𝑖 𝑢
𝑖 ⇒ 𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝑖=0𝑛 𝑎𝑡,𝑖
𝑖!
𝑥𝑖+1 nous fixons n=9
І recherche des 𝑎𝑡,𝑖 par minimisation des carrés
І reconstruction des déflateurs et des prix de ZC
Remarques
І les résultats montrent jusqu’à 12% d’écart de convergence pour le test martingale des maturités élevées
І la qualité de convergence est liée au degré du polynôme et aux facteurs 𝑎𝑡,𝑖
Inversion polynomiale: écarts de convergence absolu (g) et relatif (d)
31
Analyse des résultats
Test de martingalité (2/3)Méthode de Stehfest
Hypothèses et méthodologie
І P(t, t + u) =ln(2)
𝑢 𝑘=12𝑛 𝑎𝑘 𝑛 𝑆 𝑘
ln 2
𝑢, 𝑡 , 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑡 𝑢 > 0
І interpolation des 𝑆(𝑥, 𝑡) pour obtenir 𝑆 𝑘ln 2
𝑢, 𝑡
І calcul des coefficients 𝑎𝑘 𝑛 pour 𝑛 = 3
І reconstruction des déflateurs et des prix de ZC
Remarques
І les écarts de convergence obtenus avec Stehfest sont plus stables (5,6% au maximum)
І la qualité de la convergence de cette méthode dépend peu de la valeur du paramètre de précision
І cette méthode offre une première alternative à l’inversion polynômiale. On observe tout de même un phénomène
d’oscillation connue de la méthode de Stehfest et les écarts restent importants
Méthode de Stehfest: écarts de convergence absolu (g) et relatif (d)
32
Analyse des résultats
Test de martingalité (3/3)Méthode de psuedo-numérique
Hypothèses et méthodologie
І 𝑆 𝑥, 𝑡 =1
𝑥+𝑦𝑡+ 𝐿(𝜀)(𝑥) recherche des 𝑦𝑡 par minimisation des carrées des écarts
І interpolation des 𝑆(𝑥, 𝑡) pour obtenir 𝑆 𝑘ln 2
𝑢, 𝑡
І calcul des coefficients 𝑎𝑘 𝑛 pour 𝑛 = 3 inversion de la transformée de 𝜀 par la méthode de stehfest
І reconstruction des déflateurs et des prix de ZC comme P t, t + u = 𝑒−𝑦𝑡 𝑢 + 𝜀(𝑢)
Remarques
І les écarts de convergence obtenus avec la méthode pseudo-numérique sont 2x inférieurs à ceux de Stehfest
І la qualité de la convergence de cette méthode dépend peu de la valeur du paramètre de précision à cause de la
composante Stehfest
І meilleure méthode d’inversion les phénomènes d’oscillation et les écarts résiduels peuvent être corrigés a
posteriori
Méthode pseudo-numérique: écarts de convergence absolu (g) et relatif (d)
33
Analyse des résultats
Propriétés de la distributionDistribution des taux
Les taux long-terme sont moins dispersés que les taux
court terme,
La moyenne des taux est légèrement croissante avec
leur maturité sans que les taux longs divergent. La
volatilité est au contraire décroissante.
ceci est conforme à l’intuition et aux données
historiques
Taux négatifs
Les taux négatifs restent floorés, et leur fréquence est d’autant plus faible que les taux sont longs – elle
tend vers zéro pour les taux asymptotiques long-terme; comme cela est prévu par le modèle théorique
Histogramme des taux 1an, 10 ans et 30 ans à horizon 50 ans
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-4% / -2% -2% / 0% 0% / 1% 1% / 2% 2% / 3% 3% / 4% 4% / 5% 5% / 6% 6% / 7% 7% / 8%
Taux 1 an Taux 10 ans Taux 30 ans
Taux 1 anTaux 10 ansTaux 30 ans
Entre -4% et -2% 1,8% 0,0% 0,0%
Entre -2% et 0% 11,7% 1,6% 0,1%
Total 13,5% 1,6% 0,1%
Taux 1 an Taux 10 ans Taux 30 ans
Ecart-type 1,99% 1,10% 0,91%
Moyenne 2,25% 2,29% 2,36%
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Application au calcul du BEL
sous S2 d’un portefeuille
épargne €
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Application au calcul du BEL sous S2 d’un portefeuille épargne €
HypothèsesPortefeuille de l’étude
Portefeuille (en « run-off ») d’épargnants ayant souscrit un contrat d’épargne individuel mono-support
en euros.
І au 31/12/2016, l’encours du portefeuille est de 3 Md€
І 200 models points (MP) créés par agrégation selon la clé « sexe x âge »
І les MP sont constitués de 55% d’hommes et l’âge moyen d’un MP = 60 ans
Hypothèses techniques et économiques
Hypothèses techniques
Type de contrat contrat épargne monosupport en euros
Durée du contrat viager
Durée de
projection40 ans
Table de mortalité TH00-02 et TF00-02
Rachats
rachats totaux uniquement
rachats dynamiques selon cas moyen
du QIS5
Chargements 0,08% (sur encours)
Frais
(sur encours)
frais de sinistres (décès, rachat) : 0,8%
frais d’administration : 0,07%
frais sur placements financiers : 0,08%
Taux minimum
garanti0%
Participation au
bénéfices85% des produits financiers
Hypothèses économiques
Obligations maturité = 7 ans
Actions et
immobilier Indices générés selon B&S
Cash rémunération au taux sans risque
Allocation
Obligations = 80%
Actions = 10%
Immobilier = 5%
Cash = 5%
Courbe de
taux centrale
Courbe EIOPA au 31/12/2016 avec
ajustement de volatilité (VA)
Inflation 0%
36
Application au calcul du BEL sous S2 d’un portefeuille épargne €
Résultats Le BEL sous S2 du portefeuille étudié est égal à: 3,076
Md€
La fuite économique constatée en évaluation
stochastique est de 11m€ ce qui correspond à 0,34% de
de la valeur de marché initiale.
La fuite économique est la combinaison des facteurs
suivants:
І l’asset mix initial et la stratégie d’allocation tout au
long de la durée de projection
І nombre de simulations
Economic Balance Sheet - Deterministic Projection
Liability
Present Value of Net Profit 91 185 052
Present Value of Tax on Profit 49 609 899
Best Estimate Liability 3 067 657 169
Asset
Initial Market Value of Asset 3 208 452 120
Leakage (€) 0
Leakage (%) 0,000000%
Economic Balance Sheet - Stochastic Projection
Liability
Present Value of Net Profit 92 481 474
Present Value of Tax on Profit 50 654 590
Best Estimate Liability 3 076 312 736
Asset
Initial Market Value of Asset 3 208 452 120
Leakage (€) 10 996 679
Leakage (%) 0,342741%
37
Conclusion
38
Conclusion
Le modèle de taux proposé offre une alternative simple et robuste aux modèles actuellement utilisés par
les assureurs.
Les problématiques liées à l’assurance-vie sont prises en compte dans la construction même du
modèle.
Or,
Le problème majeur du modèle soulevé par cette étude est sa dépendance à la problématique de
l’inversion numérique de la transformée de Laplace.
La qualité de convergence des méthodes d’inversion numérique impacte négativement la qualité des
scénarios issus du modèle.
Mais,
Une piste d’amélioration envisagée est de coupler cette approche avec une modélisation paramétrique
de la courbe et de tabuler l’inversion de la transformée de Laplace ou d’inverser une fonction de
plusieurs variables de manière classique (gradient si possible ou algorithme génétique).
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