MODELOS DE OPTIMIZACIN DE REDES
AGENDA
Introduccin
Terminologa
Problema de la ruta ms corta
rbol de expansin mnima
Problema de flujo mximo
Problema de flujo de costo mnimo
Mtodo CPM de truques entre tiempo y costo.
DE DNDE SURGEN?
Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones como:
Las redes de transporte
Las redes elctricas
Las redes de comunicaciones que predominan en la vida diaria.
APLICACIONES:
Distribucin
Planeacin de proyectos
Localizacin de instalaciones
Administracin de recursos
Planeacin financiera
Red:
Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen ciertos pares de puntos.
Los puntos se llaman nodos (o vrtices).
Las lneas se llaman arcos.
TERMINOLOGA:
TERMINOLOGA:
Los arcos se etiquetan al dar el nombre de los nodos en sus puntos terminales.
Los arcos de una red pueden tener un flujo de algn tipo que pase por ellos
Arco dirigido: Si el flujo a travs de un arco se permite slo en una direccin.
siempre se pone primero el nodo de donde viene y despus el nodo hacia donde va.
TERMINOLOGA:
Otra manera de etiquetarlo es A B.
Arco no dirigido o ligadura:
Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones.
TERMINOLOGA:
Red dirigida:
Una red que tiene slo arcos dirigidos.
Red no dirigida:
si todos sus arcos son no dirigidos.
Ejemplo:
Nodos Arcos Flujo
Cruceros Caminos Vehculos
Aeropuertos Lneas areas Aviones
Puntos de conmutacin Cables, canales Mensajes
Estaciones de bombeo Tuberas Fluidos
Centros de trabajo Rutas de manejo de materiales Trabajos
TERMINOLOGA:
Trayectoria:
Es una sucesin de arcos distintos que conectan nodos.
OBBDDT (O B D T )
Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j a
travs de esta trayectoria es factible.
Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tiene) puede ser hacia o desde el nodo j.
TERMINOLOGA:
Ciclo:
Es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.
Red conexa:
Es una red en la que cada par de nodos est conectado.
rbol de expansin:
Es una red conexa de n nodos, que tiene exactamente n 1 arcos.
CONSTRUCCIN
E A
C
BD
CONSTRUCCIN
El primer arco puede ir en cualquier lugar de modo que conecte algn par de nodos.
E A
C
BD
CONSTRUCCIN
Cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo que ya haya sido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado.
E A
C
BD
CONSTRUCCIN
E A
C
BD
CONSTRUCCIN
E A
C
BD
TERMINOLOGA:
Capacidad del arco:
La cantidad mxima de flujo que puede circular en un arco dirigido.
Nodo fuente:
Tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo supera al que entra a l.
Nodo demanda:
Donde el flujo que llega excede al que sale de l.
Nodo de trasbordo:
Satisface la conservacin del flujo, es decir el flujo que entra es igual al que sale.
PROBLEMA DE LA RUTA MS CORTA:
Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino.
A cada ligadura se asocia una distancia no negativa.
El objetivo es encontrar la ruta ms corta (la trayectoria con la mnima distancia total) del origen al destino.
ALGORITMO DE LA RUTA MS CORTA:
Objetivo de la n-sima iteracin: encontrar el n-simo nodo ms cercano al origen. (Este paso se repetir para n = 1, 2, . . . hasta
que el n-simo nodo ms cercano sea el nodo destino.)
Datos de la n-sima iteracin: n 1 nodos ms cercanos al origen (que se encontr en las iteraciones previas), incluida su ruta
ms corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos; el
resto son nodos no resueltos.)
ALGORITMO DE LA RUTA MS CORTA:
Candidatos para n-simo nodo ms cercano: cada nodo resuelto que tiene conexin directa por una ligadura con uno o ms nodos no resueltos
proporciona un candidato, esto es, el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta. (Los
empates proporcionan candidatos adicionales.)
Clculo del n-simo nodo ms cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la
ruta ms corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total ms
pequea es el n-simo nodo ms cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales),
y su ruta ms corta es la que genera esta distancia.
ALGORITMO DE LA RUTA MS CORTA:
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
EJEMPLO:
O
100
A
B T
C
30
20
10
15
60
50
EJEMPLO:
O
100
A
B T
C
30
20
10
15
60
50
EJEMPLO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O B 30 B 30 OB
EJEMPLO:
O
100
A
B T
C
30
20
10
15
60
50
EJEMPLO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O B 30 B 30 OB
2 B C 30+10=40 C 40 BC
EJEMPLO:
O
100
A
B T
C
30
20
10
15
60
50
EJEMPLO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O B 30 B 30 OB
2 B C 30+10=40 C 40 BC
3C
O
A
A
40+15=55
100
A 55 CA
EJEMPLO:
O
100
A
B T
C
30
20
10
15
60
50
EJEMPLO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O B 30 B 30 OB
2 B C 30+10=40 C 40 BC
3C
O
A
A
40+15=55
100
A 55 CA
4C
B
T
T
40+50=90
30+60=90
T
T
90
90
CT
BT
EJEMPLO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O B 30 B 30 OB
2 B C 30+10=40 C 40 BC
3C
O
A
A
40+15=55
100
A 55 CA
4C
B
T
T
40+50=90
30+60=90
T
T
90
90
CT
BT
EJEMPLO:
O
100
A
B T
C
30
20
10
15
60
50
OBBCCT (O B C T ) con 90OBBT (O B T ) con 90
EJERCICIO:
Usted debe hacer un viaje en auto a otra cuidad que nunca ha visitado. Estudia un plano para determinar la ruta mas corta a su destino. Segn la
ruta que elija hay otras 5 ciudades (llamadas A,B,C,D,E) por las que puede
pasar en el camino. El plano muestra los km de cada carretera que es una
conexin directa entre dos ciudades sin que otra intervenga. Estas cifras se
resumen en la siguiente tabla donde un guion indica que no hay conexin
directa sin pasas por otras ciudades.
EJERCICIO:
Ciudad Punto A Punto B Punto C Punto D Punto E Destino
Origen 40 60 50 - - -
Punto A - 10 - 70 - -
Punto B - - 20 55 40 -
Punto C 10
Punto D - - - - - 60
Punto E - - - - - 80
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O A 40 A 40 OA
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O A 40 A 40 OA
2A
O
B
B
40+10=50
60B 50 AB
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O A 40 A 40 OA
2A
O
B
B
40+10=50
60
B 50 AB
3B
O
C
C
50+20=70
50 C 50 OC
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O A 40 A 40 OA
2A
O
B
B
40+10=50
60
B 50 AB
3B
O
C
C
50+20=70
50 C 50 OC
4B
C
E
E
50+40=90
50+10=60 E 60 CE
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O A 40 A 40 OA
2A
O
B
B
40+10=50
60
B 50 AB
3B
O
C
C
50+20=70
50 C 50 OC
4B
C
E
E
50+40=90
50+10=60 E 60 CE
5A
B
D
D
40+70=110
50+55=105 D 105 BD
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O A 40 A 40 OA
2A
O
B
B
40+10=50
60
B 50 AB
3B
O
C
C
50+20=70
50 C 50 OC
4B
C
E
E
50+40=90
50+10=60 E 60 CE
5A
B
D
D
40+70=110
50+55=105 D 105 BD
6D
E
T
T
105+60=165
60+80=140 T 140 ET
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
EJERCICIO
N
Nodos resueltos
conectados
directamente a
nodos no resueltos
Nodo
no resuelto
ms cercano
conectado
Distancia total
involucrada
n-simo nodo
ms cercano
Distancia
mnima
ltima
conexin
1 O A 40 A 40 OA
2A
O
B
B
40+10=50
60
B 50 AB
3B
O
C
C
50+20=70
50 C 50 OC
4B
C
E
E
50+40=90
50+10=60 E 60 CE
5A
B
D
D
40+70=110
50+55=105 D 105 BD
6D
E
T
T
105+60=165
60+80=140 T 140 ET
EJERCICIO:
O
A
B
D
C
10
E
T
50
60
40
20
70
55
40
10
60
80
OCCEET (O C E T ) con 140km
GRACIAS POR SU ATENCIN
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