Modelarea câmpului magnetic 2D în fereastra transformatorului electric

Scopul lucrării

În această lucrare se propune calculul câmpului magnetic bidimensional (2D) în fereastra unui transformator electric la funcţionarea în gol şi în scurtcircuit, prin modelarea numerică cu ajutorului programului profesional COMSOL Multiphysics. COMSOL permite soluţionarea ecuaţiilor cu derivate parţiale (PDE - partial differential ecquations) specifice formulării ecuaţiilor regimurilor electrice şi magnetice cu ajutorul potenţialelor scalare sau vectoare, folosind Metoda Elementelor Finite (MEF).

Prin calcularea câmpului magnetic în fereastra transformatorului se pot determina: distribuţia câmpului magnetic (a intensităţii câmpului magnetic şi a inducţiei magnetice), solicitările magnetice (pierderile în fier), reactanţa de magnetizare şi reactanţa de scăpări corespunzător regimului de mers în gol şi respectiv în scurtcircuit, forţele ce se exercită asupra înfăşărilor în regim de scurtcircuit.

Formularea problemei

Fig.1 Modelul de calcul

Modelul de calcul este cel prezentat in fig. 1 şi reprezintă, ţinând cont de simetriile geometrice, un sfert din fereastra transformatorului electric studiat. Formularea câmpului magnetic staţionar este bidimensională (2D), axisimetrică (în coordonate rOz,φ) şi utilizează potenţialul magnetic vector A:

(1)

în care reprezintă permeabilitatea magnetică, A este componenta după direcţia normală pe planul zOr a potenţialului magnetic, iar Je este densitatea de curent pe fiecare element finit “e” în regiunea ocupate de conductoarele parcurse de curent electric.Problema de câmp magnetic staţionar este unic definită dacă:

a. se cunosc sursele câmpului (în acest caz densitatea de curent din ecuaţia (1))

b. este cunoscută geometria domeniului în care este calculat câmpul

c. proprietăţile de material ale fiecărui sub-domeniu al geometriei studiate

d. condiţiile pe frontiera domeniului

Modelarea cu COMSOLMODEL NAVIGATOR

Fig.2 Selectarea tipului de problemă în Model Naviogator

1. Începeţi o sesiune nouă în COMSOL Multiphysics prin deschiderea Model Navigator.2. In secţiunea New page selectaţi Axial symmetry 2D din opţiunea Space dimension.3. Din lista Aplication Modes (care listează variantele predefinite ale câmpurilor ce pot fi modelate cu ajutorul COMSOL Multiphysics) se selectează AC / DC Module, apoi Statics, Magnetostatics / Azimuthal Induction Currents, Magnetic Potential.4. Click OK ca să inchideţi Model Naviogator şi să intraţi în fereastra principală a programului.

SETĂRI INŢIALE (OPTIONS AND SETTINGS)

Începeţi sesiunea de modelare prin ajustarea suprafeţei de desen în funcţie de geometria pe care doriţi să o introduceţi.

1. Slectaţi Axes/Grid Settings din meniul Options pentru a deschide meniul Axces/Grid Settings.

2. În pagina Grid deselectaţi modul Auto şi alegeţi-vă intervalul pe direcţia r şi z spacing corespunzătoare (va apărea o reţea de puncte la intervalele selectate pe direcţiile r şi z).

Fig. 3 Dimensiunile geometrice ale modelului studiat

MODELAREA GEOMETRIEI

1. Alegeţi meniul Draw>Specify Objects> Rectangle şi desenaţi patru dreptunghiuri cu următoarele proprietăţi:

În care s-au folosit următoarele notaţii:Dcol – diametrul coloanei transformatoruluiDjug – diametrul juguluiH – înălţimea ferestrei transformatoruluiF – lăţimea ferestrei transformatoruluia11 – lăţimea canalului dintre coloana transformatorului şi prima înfăşurareaj1 – lăţimea primei înfăşurări (joasa tensiune JT)a12 – lărgimea canalului de dispersie (lăţimea canalului dintre cele două înfăşurări JT şi ÎT)aj2 – lăţimea celei de-a doua înfăşurări (înalta tensiune ÎT)

Aceste mărimi se iau egale cu valorile calculate în proiectul de transformator.

Nume Widthlăţime

Heightînălţime

Baze r z

R1 F+3Dcol

/2H/2+Djug Corner 0 0

R2 F H/2 Corner Dcol/2R3 aj1 Hj1 Corner Dcol/

2+a11

0

R4 aj2 Hj2 Corner Dcol/2+a11+aj1+a12

0

DEFINIREA PROPRIETATILOR FIZICE (PHYSICS SETTINGS)

Setările proprietăţlor de material, surse, etc. (Subdomain Settings)

1. Selectaţi opţiunea Subdomain Settings din meniul Physics.2. Selectaţi subdomeniul 1 (zona coloanelor şi jugurilor feromagnetice). Pentru acest subdomeniu se alege permeabilitaeta magnetică relativă r = 1000.

Exerciţiu suplimentar: Definiţi materialul feromagnetic ca material neliniar cu funcţia de neliniaritate H = f(B), cu H intensitatea câmpului magnetic şi B inducţia magnetică.

3. Pentru subdomeniul 2 setările pot rămâne cele implicite (material aer, fără surse de curent şi permeabilitate magnetică relativă egală cu 1) – fig. 4.

Fig. 4 Selectarea domeniului ocupat de aer.

4. Subdomeniile 3 şi 4 reprezintă zonele ocupate de cele două înfăşurări. Pentru aceste două domenii trebuie să specificaţi densităţile de curent după cum urmează:

Fig. 5 Selectarea domeniilor ocupate de cele două înfăşurări.

a. regimul de scurtcircuit:În această situaţie, solenaţia pentru înfăşurarea primară este egală şi de semn contrar cu solenaţia din înfăşurarea secundară:

w1 I1n = ku1 A1 J1=A1J1e = - w2 I2n = - ku2 A2 J2 = - A2J2e, (2)

cu J1,2 densităţile de curent din cele două înfăşurări, ku1,2 factorul de umplere pentru cele două înfăşurări care ţine cont de eventualele canale de răcire, şi de izolaţia

conductoarelor, iar I1n,2n valorile nominale ale curentului din primar şi respectiv, din secundar. A1,2 sunt ariile ocupate de cele două înfăşurări (ale celor două subdomenii).Observaţie: în COMSOL se introduc valorile echivalente ale densităţilor de curent J1,2 e calculate cu relaţiile de mai sus.

b. regimul de mers în gol:În această situaţie, solenaţia înfăşurării primare este

w1 I10n = ku1 A1 J10 = A1 J10e

în care I10 este curentul de mers în gol calculat în proiect. În acest caz se introduce valoarea densităţii echivalente de curent pentru mersul în gol J10e.

Condiţiile pe fronteire (Boundary Settings)

Fig.6 Selectarea frontierelor pentru impunerea condiţiilor pe frontieră

Pentru unicitatea problemei de câmp este necesară impunerea condiţiilor pe frontieră.

1. Selectaţi opţiunea Bounday Settings din meniul Physics

2. În stânga ferestrei deschise selectaţi frontierele dorite dând „click” pe numărul frontierei corespunzătoare (fig. 6). O altă metodă pentru selectarea frontierei este selectarea frontierei direct în modul grafic, selectând cu mouse-ul frontiera dorită. În cazul selectării a mai multor frontiere se ţine tasta <ctrl> apăsată în timp ce se selectează frontierele dorite.

Condiţiile pe frontieră pentru problema transformatorului modelat sunt de trei tipuri:1. Condiţia pe axa de simetrie axială A=0 (la r=0).2. Condiţia Dirichlet: prin care se impune o valoare constantă a potenţialului

magnetic vector A pe frontieră. În cazul acestei probleme, pe frontierele exterioare se impune A = 0 ceea ce înseamnă că nu există câmp magnetic în afara domeniul (suprafeţele exterioare sunt magnetic izolate). Această aproximaţie este foarte bună deoarece câmpul de scăpări din exteriorul transformatorului este neglijabil.

3. Condiţia Neuman (n x H = 0) se impune în cazul simetriei transversale a câmpului. Această condiţie se impune pe latura de jos a domeniului (deoarece s-a considerat numai jumătatea superioară a fereastrei transformatorului)

GENERAREA REŢELEI DE DISCRETIZARE (MESH GENERATION)

Pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor cu derivate parţiale (PDE _ partial differential ecquations) COMSOL foloseşte Metoda Elementelor Finite (MEF). Prin această metodă se discretizează domeniul de studiat într-o mulţime de elemente finite, de obicei triunghiuri (în cazul problemelor bidimensionale). Cu cât discretizarea este mai fină

(conţine mai multe elemente finite), cu atât soluţia este mai precisă. Programul calculează mărimea de câmp (potenţilalul magnetic vector în cazul acestei aplicaţii) în fiecare nod al triunghiurilor de discretizare. Numărul de noduri reprezintă numărul de grade de libertate (de necunoscute).

1. Selectaţi opţiunea Mesh din meniul principal. Selectaţi opţiunea Initialize Mesh.

2. Pentru a îndesi reţeaua aplicaţi Refine Mesh (fig. 7).

Fig.7 Reţeaua de discretizare a domeniului

REZOLVAREA PROBLEMEI (SOLVE)

1. Selectaţi Solve Problem din meniul Solve. În funcţie de numărul de necunoscute (numărul de elemente finite) programul va rezolva problema, după care va intra automat în modul postprocesare2. Din opţiunea Solver Parameters se poate alege metoda de rezolvare. În general, solverul ales implicit de program este corect. În cazul problemelor cu multe necunoscute, în general probelmele 3D, necesită alegerea atentă a algoritmului de rezolvare (solver) şi unde este cazul, al parametrilor acestuia (precizia de calcul, număr de iteraţii în cazul metodelor iterative, etc.)

VALORIFICAREA REZULTATELOR

Postprocesarea şi vizualizarea câpului şi mărimilor aferente

COMSOL Multiphysics are posibilităţi multiple de vizualizare şi de calcul al diferitelor mărimi ce se pot obţine din soluţia de câmp. Posibilităţi adiţionale sunt oferite de COMSOL prin interfaţarea cu MATLAB, prin limbajul specific de programare.

Câteva aspecte generale legate de postprocesare:

Liniile de echipotenţiale ale potenţialului magnetic vector Az (Az= ct.) sunt liniile inducţiei magnetice B. Trasarea acestora arată distribuţia câmpului magnetic în echipamentul studiat.

COMSOL permite vizualizarea hărţilor de culori (color map) pentru diferite valori. Interesant de vizualizat ar fi inducţia magnetică B, deoarece în funcţie de aceasta rezultă solicitările electromagnetice în transformator. Alte mărimi cum ar fi intensitatea câmpului magnetic H, permeabilitatea magnetică μ în special în domeniile neliniare, pentru a se putea observa fenomenul de saturaţie magnetic), sau densitatea de energie magnetic w pot fi si ele vizualizate.

Figura 8. Liniile de câmp, distribuţia inducţiei magnetice B şi sensul tensorului Maxwellian pe conturul primei înfăşurări.

Exerciţiu: Să se calculeze forţelor exercitate asupra înfăşurărilor transformatorului studiat în cazul regimului de scurtcirtcuit cu ajutorul Tenzoruliu Maxwellian şi cuajutorul forţei Lorentz. Să se compare valorile şi să se verifice principiul acţiunii / recţiunii.

Calculul forţelor se poate face în COMSOL în cel puţin două moduri: a) cu ajutorul tensorului Maxwellian şi b) cu ajutorul calculului forţei Lorentz.

Metoda tensorului maxwellian.În această metodă forţa rezultantă se calculează ca sumă a tensiunilor care

acţionează asupra unităţii de suprafaţa de versor :

Ţinându-se cont de expresia densităţii de volum a forţei în câmp magnetic staţionar în care s-a neglijat componenta de magnetostricţiune (care apare la variaţia

permeabilităţii cu densitatea de masă):

(2)

(1)

rezultă expresia tensorului maxwellian:

Din relaţia (3) rezultă expresia tensorului după direcţia normală la suprafaţa

:În cazul unei maşini electrice de lungime ideală L, ţinând cont de (4), rezultă

expresia forţei exercitate între armături, calculată corespunzător unei curbe închise Γ trasată prin întrefier:

cu componentele tangenţială şi normală:unde indicii şi semnifică direcţia tangenţială şi respectiv normală la curba .

Forţa Lorentz

În cazul transformatorului electric, forţele care se exercită asupra înfăşurărilor sunt forţe

magnetice Lorentz şi se calculează cu relaţia:În domeniile de câmp bidimensionale relaţia (7) se reduce la:- în coordonate carteziene xOy:- în coordonate axisimetrice rOz:unde reprezintă aria elementului finit e, inducţia magnetică, densitatea

de curent, L adâncimea pe care se închide câmpul şi raza centrului de greutate

a elementului e. Vectorul densităţii forţei este în acest caz perpendicular pe direcţia inducţiei

inductivităţii şi respectiv a reactanţei de scăpări, considerându-se aproximaţia Xσ1 = Xσ2’

Din relaţia de calcul al energiei magnetice:

(3)

se poate determina valoarea inductivităţii L.Calculul energiei magnetice cu ajutorul COMSOL se realizează urmărind paşii de mai jos:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)(9)

1. Selectaţi Postprocessing şi apoi Subdomain integration. Aceasta opţiune vă deschide o fereastră care vă permite calcularea integralelor de suprafaţă în subdomeniile modelului.2. Selectaţi în Predifined quantities (mărimi predefinite), mărimea Magnetic energy density (densitatea energiei magnetice).3. Selectaţi Compute volume intergral (for axisymmetric modes) care va face calculul integralei de volum a densităţii energiei magnetice, ceea ce înseamnă chiar energia magnetică înmagazinată în domeniul de calcul.

Observaţii:Calcul se realizează pentru regimul de scurtcircuit (când solenaţiile de pe JT şi ÎT sunt egale şi de sens contrar).Energia calculată ca mai sus reprezintă numai jumătate din valoarea totală, datorită faptului că modelul reprezintă numai jumătate din fereastra transformatorului.Din relaţia (3) se calculează inductivitatea şi respectiv reactanţa de scăpări:

(4)

Exerciţiul 2: să se calculeze pierderile în fier.

Pierderile în fier depind de valoarea inducţiei magnetice calculate în fiecare punct al subdomeniului magnetic (fier – coloanele şi jugurile transformatorului). Dependenţa pierderilor în fier specifice se introduce în COMSOL după cum urmează:

1. Selectaţi Functions din meniul Options.2. Daţi click pe New şi introduceţi ca nume P_fier în câmpul Function name,

alegeţi Interpolation şi în Use data from selectaţi Table. Aceasta vă va permite să introduceţi o funcţie prin perechi de valori (tabel) care va fi interpolată (valoarea funcţiei calculată) între punctele în care funcţia este definită.

3. După ce daţi OK în fereastra ce apare introduceţi pe rând perechile de valori, în stânga valoarea inducţiei magnetice B (câmpul x) şi în dreapta valoarea pierderilor specifice în fier P_fier [W/kg] (câmpul f(x).

4. Daţi OK pentru a ieşi şi memora funcţia introdusă.

Pierderile în fier se calculează după procesarea soluţiei (după introducerea funcţiei pierderilor specifice P_fier trebuie să mai rulăm odată soluţia problemei prin selectarea Solve din meniul Solve Problem) după cum urmează:

1. Selectaţi Subdomain integration din meniul Postprocessing.2. Selectaţi domeniul fier (1) şi intreoduceţi în dreptul câmpului Expression

valoarea P_fier(normB_emqa).3. Bifaţi opţiunea Compute volume intergral (for axisymmetric modes).4. Selectaţi OK pentru a obţine rezultatul.

Observaţii:Rezultatul astfel calculat trebuie înmulţit cu densitatea materialului [kg/m3] pentru a obţine pierderi în W.Pierderile obţinute mai sus trebuie înmulţite cu 2 deoarece s-au calculat numai pentru jumătatea de sus a transformatului.Datorită modelului 2D cu simetrie axială, coloana exterioară apare în formă de manta cilindrică, ceea ce nu corespunde cu modelul real. Desigur o modelare tridimensională (3D) cu considerarea geometriei reale a transformatorului va conduce la obţinerea unor soluţii mai exacte.