MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
CORONAVIRUS DISEASE 2019 (COVID-19) DENGAN
VAKSINASI, ISOLASI MANDIRI, DAN KARANTINA DI
RUMAH SAKIT
SKRIPSI
Maghvirotul Azizah
11170940000022
Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
2021 M / 1442 H
i
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
CORONAVIRUS DISEASE 2019 (COVID-19) DENGAN
VAKSINASI, ISOLASI MANDIRI, DAN KARANTINA DI
RUMAH SAKIT
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidaytaullah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh
Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh:
Maghvirotul Azizah
(11170940000022)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2021 M/ 1442 H
ii
PERNYATAAN
iii
LEMBAR PENGESAHAN
iv
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
v
PERSEMBAHAN
“ untuk diriku sendiri yang sudah berjuang sampai tahap ini dan orang –
orang yang selalu selalu setia mendukungku ”
MOTTO
“ sainganku bukanlah kamu, dia atau siapapun. Saingan yang harus kuperjuangkan dan harus kukalahkan adalah umur ibuku. Aku telah kalah pada umur ayah dan untuk ibu, aku tidak boleh
gagal ”
vi
KATA PENGANTAR
Assalamua’alaikum Wr.Wb
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “Model Matematika Penyebaran Penyakit Coronavirus Disease 2019
(Covid-19) dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina Di Rumah
Sakit”.
Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Matematika (S.Mat) di Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penyusunan skripsi ini dapat
terselesaikan atas kerjasama dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis
ingin menyampaikan terimakasih kepada:
1. Bapak Nasrul Hakiem, S.Si., M.T., Ph., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi. Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika dan Ibu
Irma Fauziah, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Matematika.
3. Bapak Muhammad Manaqib, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Irma
Fauziah, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing II yang selalu memberikan waktu,
saran, bimbingan dan masukan dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Ibu Yanne Irene, M.Si selaku penguji I dan Bapak Muhaza Liebenlito, M.Si
selaku penguji II yang senantiasa memberikan kritik dan saran dalam
penyelesaian skripsi ini.
5. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan ilmu-ilmu yang bermanfaat.
6. Kedua orang tua penulis, Alm. Bapak Zainuri dan Ibu Khomsatun, serta kakak
penulis Vivin Nur Zainab dan kedua adik penulis Rikha Puspita dan Khoirul
Rizal serta keluarga besar yang tidak pernah bosan memberikan doa, kasih
sayang, semangat dan dukungan baik moril maupun materil.
vii
7. Teman diskusi Ka Maisy, Ka Eti, Ka Nadhila, dan Ka Wulan yang selalu
membantu dalam pengerjaan penelitian ini.
8. Eny, Nadya, Fany, Tazki, Maya, Mesi, Adel, Rani, Aenun, Andi, Bita, Fira,
Anggre, Pija, Dina, Maysun, Naya, Pitri, Rista, Siti Ae, Uti, dan Yulis teman
sekelas yang selalu memberikan semangat kepada penulis hingga skripsi ini
dapat diselesaikan
9. Teman-teman Matematika Angkatan 2017 yang telah menemani perjalanan
kuliah dari awal hingga akhir.
10. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu tanpa mengurangi
rasa hormat, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini
terselesaikan.
Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini jauh dari kata sempurna. Oleh
karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun
agar skripsi ini menjadi lebih baik. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Wassalamualaikum Wr.Wb.
Jakarta, 31 Maret 2021
Penulis
viii
ABSTRAK
Maghvirotul Azizah, Model Matematika Penyebaran Penyakit Coronavirus
Disease 2019 (Covid-19) dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina Di
Rumah Sakit. Dibawah Bimbingan Muhammad Manaqib, M.Sc dan Irma
Fauziah, M.Sc
Penelitian ini mengembangkan model SVEIQR untuk memodelkan
penyebaran penyakit Covid-19 dengan menambahkan faktor penggunaan
vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit. Populasi dibagi menjadi
tujuh subpopulasi yaitu subpopulasi rentan, subpopulasi yang telah melakukan
vaksinasi dua tahap, subpopulasi laten, subpopulasi terinfeksi, subpopulasi
karantina yaitu isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit, dan subpopulasi
sembuh. Dari model matematika yang dibentuk diperoleh dua titik ekuilibrium
yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik dan bilangan
reproduksi dasar (𝑅0). Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal
ketika (𝑅0 < 1). Simulasi numerik titik ekuilibrium bebas penyakit dilakukan
untuk memberikan gambaran geometris terkait hasil yang telah dianalisis dengan
nilai parameter yang diambil dari beberapa sumber. Hasil simulasi numerik sejalan
dengan analisis yang dilakukan bahwa penyakit akan menghilang jika 𝑅0 < 1 dan
menetap dalam populasi jika 𝑅0 > 1. Dari analisis model diperoleh bahwa upaya
yang dapat dilakukan agar penyakit tidak mewabah yaitu mengurangi kontak
langsung dengan individu terinfeksi, selalu menjaga kebersihan, melakukan isolasi
mandiri atau karantina di rumah sakit dan selalu menjaga jarak.
Kata Kunci: Covid-19, Vaksinasi, Model SVEIQR, Titik Ekuilibrium dan
Bilangan Reproduksi Dasar.
ix
ABSTRACT
Maghvirotul Azizah, Mathematical Model for the Transmission of Coronavirus
Disease 2019 (Covid-19) with Vaccinate, Self Isolation, and Quarantined in
Hospital. Under guidance of Muhammad Manaqib, M.Sc and Irma Fauziah,
M.Sc
This research was developed SVEIQR model for transmission of the Covid-
19 disease model by adding factors there are vaccinations, self-isolation, and
hospital quarantine. Population was divided into seven part of subpopulations, there
are suspect subpopulation, the subpopulation that had two stages of vaccination, the
latent subpopulation, the infected subpopulation, the quarantine subpopulation
which is self-isolation and quarantined in hospital, and recovered subpopulation.
From the mathematical model formed, it is obtained two equilibrium points, namely
the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point and the basic
reproduction number (𝑅0). The disease-free equilibrium point is locally
asymptotically stable when (𝑅0 < 1). Numerical simulations of disease-free of
equilibrium points are performed to provide a geometric picture of the analyzed
results with parameter values taken from several sources. The numerical simulation
results are in line with the analysis conducted that the disease will disappear if 𝑅0 <
1 and remain in the population if 𝑅0 > 1. From the model analysis, it is found that
the efforts that can be made so that the disease does not endemic are reducing direct
contact with infected individuals, always maintaining cleanliness, conducting
independent isolation or quarantine in the hospital and always maintaining distance.
Keywords: Covid-19, Vaccinate, SVEIQR model, Equilibrium Point and Basic
Reproduction Number
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...............................................................................................i
PERNYATAAN ..................................................................................................... ii
LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. iii
LEMBAR PERNYATAAN ..................................................................................iv
PERSEMBAHAN .................................................................................................. v
KATA PENGANTAR ...........................................................................................vi
ABSTRAK .......................................................................................................... viii
ABSTRACT ...........................................................................................................ix
DAFTAR ISI ........................................................................................................... x
DAFTAR LAMBANG ........................................................................................ xii
DAFTAR TABEL ...............................................................................................xiv
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv
BAB I ....................................................................................................................... 1
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang .......................................................................................... 1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................... 6
1.3 Batasan Masalah ........................................................................................ 6
1.4 Tujuan Penelitian ....................................................................................... 6
1.5 Manfaat Penelitian ..................................................................................... 7
BAB II ..................................................................................................................... 8
DASAR TEORI ...................................................................................................... 8
2.1 Coronavirus Disease 2019 (Covid – 19) ................................................... 8
2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................................... 9
2.3 Persamaan Diferensial ............................................................................. 10
2.4 Sistem Persamaan Diferensial ................................................................. 12
2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear .................................................. 13
2.4.2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinear ........................................... 15
2.5 Titik Ekuilibrium ..................................................................................... 15
2.6 Kestabilan Titik Ekuilibrium ................................................................... 17
2.6.1 Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear ................................ 17
2.6.2 Kestabilan Sistem Persamaan Differensial NonLinear........................ 18
xi
2.7 Kriteria Routh – Hurwitz ......................................................................... 23
2.8 Matriks Generasi Selanjutnya ................................................................. 24
2.9 Bilangan Reproduksi Dasar ..................................................................... 25
BAB III .................................................................................................................. 28
Model Matematika Penyebaran Penyakit CoronavirusDisease 2019 (Covid-
19) Dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit ....... 28
3.1 Alur Penelitian ......................................................................................... 28
3.2 Asumsi Model ......................................................................................... 31
3.3 Variabel dan Parameter ........................................................................... 32
3.4 Penyebaran Penyakit Covid-19 ............................................................... 36
3.5 Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar ................................. 44
3.5.1 Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ....................................................... 44
3.5.2 Bilangan Reproduksi Dasar ................................................................. 45
3.5.3 Titik Ekuilibrium Endemik .................................................................. 50
3.6 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ........................... 55
BAB IV .................................................................................................................. 67
SIMULASI MODEL ............................................................................................ 67
4.1 Nilai – nilai Parameter ............................................................................. 67
4.2 Perhitungan Numerik dan Simulasi ......................................................... 71
4.3 Analisis Sensitivitas ................................................................................ 84
BAB V ................................................................................................................... 88
KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................ 88
5.1 Kesimpulan .............................................................................................. 88
5.2 Saran ........................................................................................................ 89
REFERENSI ......................................................................................................... 90
LAMPIRAN I ....................................................................................................... 95
LAMPIRAN II ..................................................................................................... 97
xii
DAFTAR LAMBANG
𝑁(𝑡) : Jumlah Populasi individu pada waktu ke-t.
𝑆(𝑡) : Jumlah Individu rentan terinfeksi pada waktu ke-t.
𝑉(𝑡) : Jumlah Individu yang telah melakukan vaksinasi sebanyak dua kali pada
waktu ke-t.
𝐸(𝑡) : Jumlah individu laten pada waktu ke-t.
𝐼(𝑡) : Jumlah individu terinfeksi pada waktu ke-t.
𝑄1(𝑡) : Jumlah individu yang melakukan karantina di rumah atau isolasi mandiri
pada waktu ke-t.
𝑄2(𝑡) : Jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit pada waktu ke-t.
𝑅(𝑡) : Jumlah individu sembuh pada waktu ke-t.
𝜇 : Laju kelahiran dan kematian alami.
𝜌 : Laju Perpindahan dari individu rentan menjadi individu yang telah
melakukan vaksinasi.
𝑘 : Proporsi dari individu rentan menjadi individu yang telah melakukan
vaksinasi.
𝜔 : Laju Perpindahan dari individu yang telah melakukan vaksinasi menjadi
individu laten.
𝛽 : Laju Perpindahan dari individu rentan menjadi individu laten setelah
terinfeksi dengan individu terinfeksi.
𝛼 : Laju Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang
melakukan karantina di rumah sakit.
xiii
𝑚 : Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan
karantina di rumah sakit.
𝜃 : Laju Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang
melakukan isolasi mandiri.
𝑛 : Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan isolasi
mandiri.
𝜎 : Laju Perpindahan dari individu laten menjadi individu terinfeksi.
𝛿1 : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu yang
melakukan isolasi mandiri.
𝛿2 : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu yang
melakukan karantina di rumah sakit.
𝛿3 : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu terinfeksi.
𝛾1 : Laju Kesembuhan dari individu yang melakukan isolasi mandiri.
𝛾2 : Laju Kesembuhan dari individu yang melakukan karantina di rumah sakit.
𝛾3 : Laju Kesembuhan dari individu terinfeksi.
𝜖 : Laju kesembuhan individu yang telah melakukan vaksinasi dan tidak
terinfeksi.
∎ : Akhir suatu bukti
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 3. 1 Daftar variabel model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi,
isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit ................................. 32
Tabel 3. 2 Daftar parameter model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi,
isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit ................................. 33
Tabel 4. 1 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium bebas penyakit sistem (3.12)
............................................................................................................... 70
Tabel 4. 2 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium endemik sistem (3.12).... 75
Tabel 4. 3 efektivitas penggunaan vaksin .......................................................... 82
Tabel 4. 4 Indeks Sensitivitas Parameter ........................................................... 85
xv
DAFTAR GAMBAR
3. 1 Diagram Alur Penelitian .............................................................................. 30
3. 2 Diagram Transfer Model Penyebaran Covid-19 Dengan Vaksinasi, Isolasi
Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit ................................................... 36
4. 1 Simulasi sistem (3.12) menuju titik ekuilibrium bebas penyakit ......................... 72
4. 2 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik
i, (e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium
bebas penyakit .............................................................................................. 73
4. 3 simulasi sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik ....................................... 78
4. 4 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik
i, (e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium
endemik ......................................................................................................... 79
4. 5 (a) simulasi titik i ketika u=0, (b) simulasi titik i ketika u=0.2, (c) simulasi
titik i ketika u=0.4, (d) simulasi titik i ketika u=0.6, (e) simulasi titik i
ketika u=0.8, dan (f) simulasi titik i ketika u=1 ......................................... 83
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penyakit menular adalah masalah yang dihadapi hampir disemua negara tanpa
memandang status. Penyakit menular diantaranya adalah campak, gondok, rubella,
HIV, SARS, flu burung dan lainnya yang merupakan penyakit infeksi yang sangat
berbahaya. Penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui
kontak langsung maupun tidak langsung dengan penderita seperti melalui udara, batuk,
atau bersin, dan kotoran manusia [1]. Salah satu virus yang menyebabkan penyakit
menular adalah virus corona [2]. Akhir tahun 2019 dunia sedang diguncangkan oleh
ancaman pandemik virus corona yang berawal dari daerah Wuhan propinsi Hubei,
Cina. Saat ini kasus Covid – 19 (per 26 Februari 2020) telah menginfeksi lebih dari
70.000 kasus dan paling sedikitnya 2.000 orang yang telah meninggal dunia. Virus ini
juga telah menyebar ke-3 negara dan World Health Organization (WHO) sudah
mengumumkan kasus penularan antara manusia (human to human transmission) di
beberapa negara [3] . Virus corona jenis baru yaitu SARS-CoV-2 pada akhir tahun
2019 di temukan pertama kali di Wuhan. SARS-CoV-2 ini menyebabkan penyakit
yang disebut Covid-19 (Corona Virus Disease-2019) yang menyerang jaringan
pernapasan, sehingga pada fase awal penderita dapat mengalami flu dan batuk hingga
mengakibatkan sesak nafas pada fase kronis [2].
Virus corona sudah pernah menyebabkan epidemik sebelumnya dengan
morbiditas dan mortalitas cukup tinggi yaitu Severe Acute Respiratory Syndrome
(SARS-CoV) dan Middle East Respiratory Syndrome (MERS-Cov) pada beberapa
tahun yang lalu. Total akumulatif kasus MERS-CoV dan SARS sekitar 10.000 yang
terdiri dari 1000-an kasus MERS dan 8000-an kasus SARS. Rerata mortalitas akibat
SARS sekitar 10% sedangkan MERS lebih tinggi yaitu sekitar 40%[3]. Kasus Covid –
19 di Indonesia pertama kali terkonfirmasi pada 2 Maret 2020, Pemerintah Indonesia
2
segera menindak lanjuti SOP pandemik tersebut dengan membatasi pergerakan ke
dalam dan luar negeri hingga pergerakan antar pulau dan menerapkan pola bekerja dari
rumah (work from home) [4].
Penyebaran penyakit Covid-19 yang semakin meningkat dilihat dari [5], pada
31 Oktober 2020 pemerintah mengumumkan jumlah yang positif sebanyak 410.008
jiwa, yang sudah sembuh sebanyak 337.801 jiwa, dan yang meninggal akibat Covid-
19 sebanyak 13.689 jiwa. Jumlahnya yang semakin hari semakin meningkat setiap
harinya dan terjadi peningkatan tinggi ketika liburan akhir tahun menjelang tahun baru
pada bulan januari 2021 jumlah yang positif perharinya bisa mencapai 12.001 jiwa
yang positif covid-19. Pada 31 Januari 2021 di umumkan kasus positif sudah mencapai
1.078.314 jiwa, yang sudah sembuh mencapai 873.221 jiwa, dan meninggal akibat
Covid-19 mencapai 29.998 jiwa.
Melihat jumlah kasus penyebaran yang semakin bertambah banyak setiap
harinya maka dilakukan pencegahan untuk mengurangi penyebaran wabah penyakit
yaitu dengan tetap berada di rumah jika memang mengharuskan keluar rumah maka
tetap menjaga kebersihan dan tetap mengikuti protokol kesehatan yaitu menggunakan
masker saat berpergian dan sering mencuci tangan, karena virus corona ini dapat
menyebar karena berkontak dengan individu yang terinfeksi. Rasulullah Shallallahu
‘alaihi wasallam bersabda:
بن عامر بن ربيعة أنه عمر خ ا جاء سرغ عن عبد الله لغه ب رج إلى الشهام فلمه
ح أنه الوباء قد وقع بالشهام فأخبره عبد الره صلهى الله عليه من بن عوف أنه رسول الله
فل تخرجوا ليه وإذا وقع بأرض وأنتم بهاال إذا سمعتم به بأرض فل تقدموا ع وسلهم ق
فرارا منه فرجع عمر بن الخطهاب من سرغ
“Dari Abdullah bin Amir bin Rabi‘ah, Umar bin Khattab RA menempuh
perjalanan menuju Syam. Ketika sampai di Sargh, Umar mendapat kabar bahwa wabah
sedang menimpa wilayah Syam. Abdurrahman bin Auf mengatakan kepada Umar
3
bahwa Rasulullah SAW pernah bersabda, jika kalian mendengar ada wabah disuatu
daerah maka jangan memasuki daerah tersebut. Dan jika wabah terjadi disuatu daerah
sedangkan kalian sedang berada di dalamnya, janganlah keluar dari daerah
tersebut.”(HR. Bukhari dan Muslim).
Berdasarkan hadist diatas kita dilarang untuk memasuki daerah yang sedang
terjangkit wabah penyakit, seperti saat ini sedang mewabah penyakit covid – 19 maka
seharusnya kita menghindari wabah tersebut dengan tetap di rumah jika tidak ada
keperluan yang mendesak, tidak berkontak dengan orang yang sedang di karantina dan
selalu menjaga kebersihan. Selain menjaga kebersihan, kesehatan, kita juga harus
senantiasa berikhtiar kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala karena hanya kepada – Nya
lah kita dapat memohon perlindungan dan kesehatan, serta memohon kesembuhan
kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala karena hanya Allah Subhanahu Wa Ta’ala yang
dapat menyembuhkan segala penyakit. Seperti Firman Allah Subhanahu Wa Ta’ala di
dalam surat Al – Anbiya ayat 83 – 84 yang berbunyi:
Artinya : “dan (ingatlah kisah) Ayyub, ketika dia berdoa kepada Tuhannya, (Ya
Tuhanku), sungguh, aku telah ditimpa penyakit, padahal Engkau Tuhan Yang Maha
Penyayang dari semua yang penyayang Maka Kami kabulkan (doa)nya lalu Kami
lenyapkan penyakit yang ada padanya dan Kami kembalikan keluarganya kepadanya,
dan (Kami lipat gandakan jumlah mereka) sebagai suatu rahmat dari Kami, dan untuk
menjadi peringatan bagi semua yang menyembah Kami."(QS. Al-Anbiya 21: Ayat 83
– 84).
Melihat penyebaran Covid-19 yang semakin mewabah dan sangat fatal, bahkan
di Indonesia jumlah kematian sudah mencapai 29.998 jiwa yang melebihi jumlah
kematian di kota Wuhan, China yang merupakan tempat asal virus tersebut muncul.
4
Jumlah terinfeksi dan jumlah kematian akibat Covid-19 di Indonesia yang tinggi akibat
dari banyaknya penduduk Indonesia yang tidak patuh terhadap perintah pemerintah.
Memperhatikan penyebaran virus yang menular secara meluas pemerintah Indonesia
membuat peraturan yaitu dengan melakukan pelaksanaan karantina di rumah atau
isolasi mandiri, karantina wilayah, karantina di rumah sakit, menjaga kesehatan serta
penggunaan vaksin [6]. Vaksin yang digunakan untuk covid-19 saat ini bukanlah obat.
Vaksin mendorong pembentukan kekebalan spesifik pada penyakit Covid-19 agar
terhindar dari tertular ataupun kemungkinan sakit berat atau mengurangi gejala berat
yang muncul. Selama vaksin yang aman untuk mencegah dan efektif belum ditemukan,
upaya perlindungan yang bisa kita lakukan adalah disiplin 3M: Memakai masker
dengan benar, Menjaga jarak dan jauhi kerumunan, serta Mencuci tangan pakai air
yang mengalir dan sabun [7].
Covid-19 merupakan penyakit yang muncul di akhir tahun 2019 yang
menggemparkan dunia karena penyebarannya yang begitu cepat. Sudah banyak yang
penelitian terkait model penyebaran penyakit Covid-19, seperti yang dilakukan Bitla
Hari Prasad dkk[8] yang melakukan penelitian model matematika Covid-19 dengan
model sederhana SIR (Substible Infected Recovered). Lalu ada penelitian [9] yang
mengembangkan model SEQIR yaitu manusia rentan 𝑆(𝑡), populasi yang sedang
melakukan imigran 𝐸(𝑡), manusia terinfeksi disertasi gejala klinis 𝐼(𝑡), manusia yang
dikarantina 𝑄(𝑡), dan manusia yang pulih 𝑅(𝑡) dengan membagi kompartemen
quarantine menjadi dua kompartemen yaitu karantina di rumah atau isolasi mandiri
dan karantina di rumah sakit dan terdapat parameter kematian akibat penyakit.
Selanjutnya penelitian yang dilakukan [10] pada penelitian ini mengembangkan model
SEIR dengan menambahkan kompartemen 𝐼𝑐 , 𝐼𝑎, 𝐼ℎ dan 𝑄 dimana kompartemen 𝐼ℎ
merupakan individu yang sudah terinfeksi yang dirawat di rumah sakit, 𝐼𝑎adalah
individu yang terinfeksi secara asimtotik, 𝐼𝑐 adalah individu terinfeksi yang sudah
sangat kritis dan kompartemen 𝑄 adalah karantina. Kemudian ada penelitian [11] yang
membahas penyakit sejenis dengan covid – 19 yaitu MERS – CoV yang
5
mengembangkan model SEIR dengan penggunaan masker kesehatan dan vaksinasi
dimana kompartmen 𝑆 dan 𝐼 dibagi menjadi dua kompartmen yaitu pengguna masker
kesehatan dan tidak menggunakan masker kesehatan. Selanjutnya penelitian [12]
pemodelan penyakit covid – 19 yang menggunakan model SEIR dengan menambahkan
kompartemen V (vaksinasi), Q (karantina), dan D (kematian akibat penyakit),
penelitian tersebut mengasumsikan individu yang sudah sembuh dari penyakit dapat
kembali menjadi individu rentan dan mendapatkan vaksinasi.
Salah satu pendekatan untuk menjelaskan solusi dari permasalahan yang terjadi
dalam dunia nyata adalah memodelkan atau merumuskan permasalahan nyata dalam
bahasa matematika. Setelah model matematika diperoleh maka dapat diselesaikan
secara sistematis, dan dapat diaplikasikan kembali dalam masalah nyata. Dalam
penelitian ini, akan dibentuk model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan
pemberian vaksin, isolasi mandiri dan melakukan karantina di rumah sakit. Model ini
mengasumsikan individu yang diberikan vaksin sampai 2 kali tahap, individu yang
telah melakukan vaksinasi sebanyak 2 kali masih dapat tertular Covid-19 namun
gejalanya tidak seberat individu yang belum melakukan vaksinasi sehingga pasien
tidak akan mengalami kesakitan yang parah dan meminimalisir risiko kematian [13]
individu yang telah melakukan vaksinasi akan kebal terhadap penyakit dengan syarat
tetap menjaga kebersihan dan mematuhi protokol kesehatan. Dari model tersebut akan
dicari titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik untuk masing-
masing kompartemen serta bilangan reproduksi dasar untuk melihat apakah terjadi
endemik atau tidak, dan melihat parameter mana saja yang paling berpengaruh secara
signifikan terhadap nilai reproduksi dasar. Kemudian akan dilakukan simulasi model
untuk melihat visualisasi model dan untuk mendukung teorema sebelumnya dan
melihat efektivitas penggunaan vaksin terhadap model, dengan nilai-nilai parameter
yang digunakan diambil dari jurnal – jurnal sebelumnya. Kemudian dilakukan analisis
sensitivitas untuk melihat parameter mana saja yang berpengaruh secara signifikan
terhadap nilai reproduksi dasar.
6
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, maka permasalahan
pada penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan
vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit?
2. Bagaimana titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta kestabilan titik
ekuilibrium bebas penyakit?
3. Bagaimana bilangan reproduksi dasar pada model matematika penyebaran
penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah
sakit?
4. Bagaimana simulasi numerik model matematika penyebaran peyakit Covid-19
dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit?
5. Bagaimana hasil simulasi numerik efektivitas pada penggunaan vaksin dan
hasil analisis sensitivitas?
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, agar pembahasan lebih terarah maka penulis membatasi
objek kajian pada:
1. Model yang digunakan adalah model SVEIQR dengan membagi kompartemen
Quarantine menjadi 2 kompartemen yaitu isolasi mandiri dan karantina di
rumah sakit.
2. Penyakit yang di bahas hanya penyakit Covid-19, tidak membahas penyakit
lain meskipun memiliki ciri yang sama dengan penyakit Covid-19.
3. Individu yang melakukan isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit tidak
dapat menularkan penyakit.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, antara lain:
7
1. Mengetahui model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan
vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.
2. Mengetahui titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta kestabilan titik
ekuilibrium bebas penyakit.
3. Mengetahui bilangan reproduksi dasar pada model matematika penyebaran
penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah
sakit.
4. Mengetahui simulasi numerik model matematika penyebaran peyakit Covid-19
dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.
5. mengetahui simulasi numerik efektivitas pada penggunaan vaksin dan hasil
analisis senstivitas.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini diharapkan dapat membantu pemerintah maupun
pihak-pihak terkait untuk mencegah penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi,
isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit. Model matematika yang dihasilkan dapat
menjadi pilihan yang tepat untuk memahami dinamika penyakit. Dan penulis berharap
penelitian ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan baru mengenai model
matematika penyebaran penyakit, serta dapat membawa masalah-masalah baru dalam
bidang pemodelan, sehingga akan muncul penelitian-penelitian yang lain.
8
BAB II
DASAR TEORI
2.1 Coronavirus Disease 2019 (Covid – 19)
Coronavirus Disease 2019 atau Covid-19 adalah penyakit menular yang
disebabkan oleh salah satu jenis corona virus SARS-CoV-2. Infeksi virus Corona
disebut Covid-19 (Corona Virus Disease 2019) dan pertama kali ditemukan di kota
Wuhan, China pada akhir Desember 2019. Virus ini menular dengan sangat cepat dan
telah menyebar ke hampir semua negara, termasuk Indonesia. Hal tersebut membuat
beberapa negara menerapkan kebijakan untuk memberlakukan lockdown dalam rangka
mencegah penyebaran virus Corona. Di Indonesia sendiri, diberlakukan kebijakan
Pembatasan Sosial Berskala Besar (PSBB) untuk menekan penyebaran virus tersebut
[14].
Covid-19 di Indonesia, telah menyebar ke seluruh provinsi. Menurut data yang
disampaikan oleh Gugus Tugas Percepatan Penanganan Covid-19 pada tanggal 10 Juni
2020 tercatat kasus positif terkonfirmasi sebanyak 1.241 orang, sehingga total jumlah
kumulatif kasus terkonfirmasi positif sebanyak 34.316 kasus di Indonesia.
Pertambahan kasus tertinggi selama data terkonfirmasi sejak Maret 2020. Pemerintah
juga mencatat ada penambahan 715 pasien yang telah dinyatakan sembuh, dengan
demikian total pasien sembuh 12.129 orang. Sedangkan penambahan pasien meninggal
berjumlah 36 orang atau totalnya menjadi 1.959 orang [14].
Infeksi Covid-19 dapat menimbulkan gejala ringan, sedang atau berat. Gejala
klinis utama yang muncul [15] yaitu :
1. Demam (Suhu > 38℃)
2. Batuk
9
3. Kesulitan Bernapas
4. Nyeri Tenggorokan
5. Sesak Memberat
6. Fatigue (Kelelahan)
7. Myalgia (Nyeri Otot)
Pada kasus berat perburukan secara cepat dan progresif, seperti ARDS, syok
septik, asidosis metabolik yang sulit dikoreksi dan perdarahan atau disfungsi sistem
koagulasi dalam beberapa hari. Pada beberapa pasien, gejala yang muncul ringan,
bahkan tidak disertai dengan demam. Kebanyakan pasien memiliki prognosis baik,
dengan sebagian kecil dalam kondisi kritis bahkan meninggal. Berikut sindrom klinis
yang dapat muncul jika terinfeksi. (PDPI, 2020). Berikut sindrom klinis yang dapat
muncul jika terinfeksi [15].
Salah satu kewaspadaan yang penting dalam hal penanganan pasien dalam
pengawasan atau terkonfirmasi virus corona ini adalah pencegahan kontak yaitu [3] :
1. Membatasi kunjungan keluarga dengan pasien
2. Menghindari menyentuh mata, hidung dan mulut dengan tangan yang
berpotensi terkontaminasi
3. Membatasi gerak pasien, hindari perpindahan pasien keluar ruangan,
apabila sangat dibutuhkan maka pasien menggunakan masker dan gunakan
transport yang sudah ditentukan untuk menghindari paparan pasien dengan
orang lain
4. Membersihkan dan desinfeksi semua permukaan yang terpapar dengan
pasien secara rutin
5. Mencatat semua orang yang keluar dan masuk dalam ruangan dan
berkontak dengan pasien
2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.2.1
10
Jika A adalah sebuah Matriks n x n, maka sebuah vektor tak nol x pada ℝ𝑛 disebut
vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x, maka
persamaannya dapat ditulis ,
𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 (2.1)
Untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen (eigen value) dari A, dan x
disebut sebgai vektor eigen dari A yang terkait dengan 𝜆.
Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks A, maka persamaan (2.1) dapat
kita tuliskan kembali 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 sebagai
(𝜆𝐼 − 𝐴)𝑥 = 0 (2.2)
Dimana I adalah matriks identitas, supaya mendapatkan nilai eigen dari 𝜆, maka
haruslah terdapat satu solusi tak nol dari persamaan (2.2) jika dan hanya jika
𝑑𝑒𝑡( 𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 (2.3)
Sehingga persamaan (2.3) ini disebut persamaan karakteristik (characteritic
equation) matriks A [16].
2.3 Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan dari satu
atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas sebuah fungsi [17].
Persamaan Diferensial diklasifikasikan bergantung jumlah variabel bebasnya, yaitu:
1. Persamaan Diferensial Biasa, merupakan persamaan yang memuat turunan dari
satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 2.3.1
𝑥2𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 5𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
11
2. Persamaan Diferensial Parsial, merupakan persamaan yang memuat turunan
dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.3.2
𝜕𝑢
𝜕𝑡− 6𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕3𝑢
𝜕𝑥3= 0
Berdasarkan [18] menjelaskan Orde adalah turunan tertinggi pada suatu
persamaan. Hal terpenting dalam suatu persamaan diferensial yaitu klasifikasi
persamaan diferensial berdasarkan kelinearannya, yaitu:
1. Persamaan Diferensial Linear.
𝐹(𝑡, 𝑦, 𝑦′, … 𝑦𝑛) = 0
Persamaan Diferensial merupakan linear jika F adalah fungsi linear dari
variabel 𝑦, 𝑦′, … 𝑦𝑛 [18]. Definisi persamaan differensial biasa linear adalah
persamaan diferensial biasa orde 𝑛 dengan variabel bebas 𝑥 dan variabel tak
bebas 𝑦 yang dapat dinyatakan dalam bentuk [17] :
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) (2.4)
Suatu Persamaan Diferensial dikatakan linear jika variabel – variabel tak bebas
dan semua turunan dari persamaan diferensial tersebut muncul dalam bentuk
linear dalam arti ciri – cirinya :
(a) Variabel – variabel tak bebas dan semua turunannya hanya muncul
berderajat satu
(b) Tidak terdapat perkalian antara variabel – variabel tak bebas dan
turunannya.
(c) Tidak terdapat fungsi transenden dari variabel – variabel tak bebas dan
turunannya.
12
Contoh 2.3.3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ 6
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 10𝑦 = 0
3𝑑𝑦
𝑑𝑡= 4𝑥 − 8
2. Persamaan Diferensial NonLinear.
Merupakan persamaan diferensial yang tak linear. Suatu persamaan diferensial
dikatakan nonlinear jika minimal salah satu dari ke tiga ciri – ciri dari
persamaan diferensial linear.
Contoh 2.3.4
𝑥2𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 10𝑦 = sin 𝑦
𝑥𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 10𝑦 = 0
2.4 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan
diferensial [18]. Secara matematis dari sistem persamaan diferensial dapat ditulis
dalam bentuk
��(𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡) (2.5)
dengan
��(𝑡) =𝑑𝑥
𝑑𝑡=
(
𝑑𝑥1
𝑑𝑡𝑑𝑥2
𝑑𝑡⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡 )
, 𝑓(𝑡, 𝑥) = (
𝑓1(𝑡, 𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)𝑓2(𝑡, 𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)
⋮𝑓𝑛(𝑡, 𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)
) (2.6)
dengan 𝑥1,𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛 adalah variabel tak bebas dan 𝑡 adalah variabel bebas. Jika pada
𝑓(𝑡, 𝑥) variabel 𝑡 tidak dinyatakan secara eksplisit, maka persamaan (2.5) disebut
sistem otonomus dapat ditulis secara matematis
13
��(𝑡) = 𝑓(𝑥) (2.7)
dengan
��(𝑡) =𝑑𝑥
𝑑𝑡=
(
𝑑𝑥1
𝑑𝑡𝑑𝑥2
𝑑𝑡⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡 )
, 𝑓(𝑥) = (
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)𝑓2(𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)
⋮𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)
) (2.8)
Berdasarkan kelinearanya, sistem persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua
yaitu sistem diferensial linear dan sistem diferensial nonlinear.
2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear
Berdasarkan [18] menyatakan secara umum bentuk persamaan diferensial
biasa sebagai berikut:
𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑥′, … 𝑥𝑛) = 0 (2.9)
Persamaan (2.9) dikatakan linear jika F adalah fungsi linear terhadap 𝑥, 𝑥′, … 𝑥𝑛
dengan bentuk umumnya yaitu:
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑥2′ + ⋯+ 𝑎1(𝑛−1)𝑥
𝑛−1 + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑓1(𝑡)
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑥2′ + ⋯+ 𝑎2(𝑛−1)𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑓2(𝑡) (2.10)
⋮
𝑎𝑛1𝑥 + 𝑎𝑛2𝑥2′ + ⋯+ 𝑎𝑛(𝑛−1)𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑓𝑛(𝑡)
Maka sistem persamaan diferensial linear dengan variabel tak bebas 𝑥(𝑡) dan variabel
bebas 𝑡 dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:
��1(𝑡) = 𝑥1′ (𝑡) = 𝑎11(𝑡)𝑥1(𝑡) + 𝑎12(𝑡)𝑥2(𝑡) + ⋯+ 𝑎1𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑓1(𝑡)
��2(𝑡) = 𝑥2′ (𝑡) = 𝑎21(𝑡)𝑥1(𝑡) + 𝑎22(𝑡)𝑥2(𝑡) + ⋯+ 𝑎2𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑓2(𝑡) (2.11)
14
⋮
��𝑛(𝑡) = 𝑥𝑛′ (𝑡) = 𝑎𝑛1(𝑡)𝑥1(𝑡) + 𝑎𝑛2(𝑡)𝑥2(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑓𝑛(𝑡)
Sehingga dapat dituliskan dalam bentuk matriks seperti berikut:
��(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝑓(𝑡) (2.12)
Dengan
(
��1(𝑡)��2(𝑡)
⋮��𝑛(𝑡)
) = (
𝑎11(𝑡) 𝑎12(𝑡) … 𝑎1𝑛(𝑡)𝑎21(𝑡) 𝑎22(𝑡) … 𝑎2𝑛(𝑡)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1(𝑡) 𝑎𝑛2(𝑡) … 𝑎𝑛𝑛(𝑡)
)(
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)
⋮𝑥𝑛(𝑡)
) + (
𝑓1(𝑡)𝑓2(𝑡)
⋮𝑓𝑛(𝑡)
) (2.13)
Jika 𝑓𝑘(𝑡) dengan 𝑘 = 1, 2, …𝑛 sama dengan nol, maka sistem persamaan (2.12)
merupakan sistem persamaan diferensial linear homogen yang dapat ditulis dalam
bentuk matematis
��(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) (2.14)
Maka dalam bentuk matriks
(
��1(𝑡)��2(𝑡)
⋮��𝑛(𝑡)
) = (
𝑎11(𝑡) 𝑎12(𝑡) … 𝑎1𝑛(𝑡)𝑎21(𝑡) 𝑎22(𝑡) … 𝑎2𝑛(𝑡)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1(𝑡) 𝑎𝑛2(𝑡) … 𝑎𝑛𝑛(𝑡)
)(
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)
⋮𝑥𝑛(𝑡)
) (2.15)
Contoh 2.4.1 (Persamaan Diferensial Linear Homogen)
𝑑𝑥1
𝑑𝑡= 2𝑥1 + 10𝑥2
𝑑𝑥2
𝑑𝑡= 𝑥2 − 3𝑥2 + 9
Contoh 2.4.2 (Persamaan Diferensial Linear Non Homogen)
𝑑𝑥1
𝑑𝑡= 2𝑥1 + 10𝑥2 − 3𝑡 + 7
15
𝑑𝑥2
𝑑𝑡= 𝑥1 + 3𝑥2 − 7𝑡 + 5
Pada contoh 2.4.2 dikatakan sistem persamaan diferensial non homogen karena ada
nilai −3𝑡 dan −7𝑡 yang menyatakan bahwa fungsi 𝑓(𝑡) bernilai tak nol.
2.4.2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinear
Pada persamaan (2.13) jika fungsi F terdapat 𝑥, 𝑥′, … 𝑥𝑛 yang bukan merupakan
fungsi linear maka sistem persamaan diferensial tersebut menjadi non linear [17]. Maka
Sistem otonomus yang berisikan persamaan differensial nonlinear orde satu dapat
ditulis dalam bentuk
𝑑𝑥1
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
𝑑𝑥2
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
(2.16)
Contoh 2.4.3 (Sistem Persamaan Diferensian NonLinear)
��1 = 𝑥12 − 𝑥1𝑥2 − 3𝑥1
��2 = −5𝑥2 + 𝑥2𝑥1
Contoh 2.4.3 merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear karena:
1. Terdapat variabel tak bebas 𝑥1 berderajat dua.
2. Terdapat perkalian variabel tak bebas 𝑥1 dengan 𝑥2.
2.5 Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium merupakan titik yang pada saat 𝑡 = 1,2, …𝑛 stabil atau tetap
disebut juga dengan titik kesetimbangan. Artinya titik ekuilibrium tidak berpengaruh
terhadap waktu.
16
Definisi 2.5.1
Diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde satu �� = 𝑓(𝑥), yang mempunyai
solusi, dengan kondisi awal x(0) = 𝑥0. Suatu vektor �� yang memenuhi 𝑓(x) = 0
disebut titik ekuilibrium [19].
Yang berarti nilai titik ekuilibrium dapat diperoleh dengan melakukan subtitusi ke titik
– titik lainnya.
Contoh 2.5.2
Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial nonlinear berikut
�� = −𝑥
�� = 1 − (𝑥2 + 𝑦2) (2.17)
Berdasarkan Definisi 2.5.1 maka �� = �� = 0
−𝑥 = 0
1 − (𝑥2 + 𝑦2) = 0
Sehingga diperoleh
−𝑥 = 0
𝑥 = 0
Subtitusi 𝑥 = 0 ke persamaan �� = 0, maka
1 − (𝑥2 + 𝑦2) = 0
1 − (0 + 𝑦2) = 0
𝑦 = ± 1
Maka diperoleh titik ekuilibrium (0,1)dan (0, −1).
17
2.6 Kestabilan Titik Ekuilibrium
Penyelesaian sistem persamaan diferensial dapat diketahui dengan cara
menganalisis kestabilan titik ekuilibrium. Kestabilan pada suatu sistem berarti
perubahan kecil pada sistem hanya sedikit mengubah penyelesaian untuk waktu yang
akan datang. Akan tetapi, apabila perubahan kecil pada sistem mengakibatkan
perubahan besar pada perilaku penyelesaian untuk waktu yang akan datang, maka
sistem dikatakan tidak stabil. Penyelesaian kestabilan titik ekuilibrium dapat
diselesaikan secara analitik maupun numerik.
Definisi 2.6.1 [19]
Diberikan suatu persamaan diferensial order satu x = 𝑓(x) yang memiliki solusi
x(𝑡, x0) dengan kondisi awal x(0) = x0. Titik ekuilibrium �� dikatakan
1. Stabil, jika ∀∈> 0, ∃𝛿 > 0 sedemikian sehingga, jika ‖x0 − x‖ < 𝛿, maka
‖x(𝑡, 𝑥0) − x‖ <∈ ∀𝑡 ≥ 0.
2. Stabil asimtotik, jika stabil dan terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga jika
‖x0 − x‖ < 𝛿1, maka 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞‖x(𝑡, 𝑥0) − x‖ = 0
3. Tidak stabil jika definisi 1 tidak terpenuhi
2.6.1 Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear
Definisi 2.6.2 [19]
Misalkan A adalah matriks berukuran n x n, nilai eigen dari matriks A adalah akar-
akar karkteristik dari polinomial 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, maka dapat ditulis dalam bentuk
𝑎𝑛𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0 (2.18)
dengan 𝑎0 = 1
Selanjutnya akan ditunjukkan teorema yang menyatakan hubungan nilai eigen
dengan kestabilan titik ekuilibrium dari definisi 2.6.2 seperti berikut:
Teorema 2.6.3 [19]
18
Diberikan sistem persamaan differensial x = Ax, dengan A suatu matriks n x n dengan
nilai eigen 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑗 dimana 𝑗 ≤ 𝑛
1. Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan stabil asimtotik jika 𝜆𝑖 < 0 ∀𝑖 = 1,2, … 𝑛.
2. Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan stabil jika 𝜆𝑖 < 0 dan terdapat 𝜆𝑖=0 dengan
𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dan
3. Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan tidak stabil jika ∃ 𝜆𝑖 > 0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Contoh 2.6.1. Diberikan sistem persamaan diferensial linear otonomus
�� = 4𝑥 + 2𝑦
�� = −3𝑥 − 𝑦 (2.19)
Untuk mencari kestabilan titik ekuilibrium dari sistem persamaan differensial linear
sistem (2.19) dapat dibentuk menjadi matriks
(4 2
−3 −1) (
𝑥𝑦) = (
����)
Berdasarkan Definisi 2.6.2 maka diperoleh nilai eigen dari sistem (2.19)
𝑑𝑒𝑡 |4 − 𝜆 2−3 −1 − 𝜆
| = 0
𝜆2 − 3𝜆 + 2 = 0
(𝜆 − 2)(𝜆 − 1) (2.20)
Maka diperoleh nilai 𝜆1 = 2 dan 𝜆2 = 1. berdasarkan Teorema 2.6.3 maka titik
ekuilibrium dari sistem (2.19) dikatakan tidak stabil karena nilai 𝜆1,2 > 0.
2.6.2 Kestabilan Sistem Persamaan Differensial NonLinear
Pada persamaan (2.16). Jika 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2
∗, … , 𝑥𝑛∗) adalah titik ekuilibrium dari
persamaan tersebut, maka
19
𝑓1(𝑥∗) = 𝑓2(𝑥
∗) = ⋯ = 𝑓𝑛(𝑥∗) = 0
Merupakan penyelesaian persamaan nonlinear pada (2.16) kestabilan persamaan
nonlinear dapat dibentuk melalui linearisasi untuk mengetahui perilaku sistem disekitar
titik ekuilibrium. Linearisasi pada sistem nonlinear dimaksud untuk memperoleh
aproksimasi yang baik. Pada proses linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan
ekspansi Deret Taylor disekitar titik ekuilibrium 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2
∗, … , 𝑥𝑛∗), yaitu
𝑑𝑥1
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥
∗) +𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1
∗) + ⋯+𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗) +1
2![𝜕2𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥12 (𝑥1 − 𝑥1
∗)2 +
⋯+𝜕2𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛2 (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗)2] + ⋯ +1
𝑘![𝜕𝑘𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥1𝑘 (𝑥1 − 𝑥1
∗)k + ⋯+𝜕𝑘𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛𝑘 (𝑥𝑛 −
𝑥𝑛∗)𝑘] + ⋯
𝑑𝑥2
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥
∗) +𝜕𝑓2(𝑥∗)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1
∗) + ⋯+𝜕𝑓2(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗) +1
2![𝜕2𝑓2(𝑥∗)
𝜕𝑥12 (𝑥1 − 𝑥1
∗)2 +
⋯+𝜕2𝑓2(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛2 (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗)2] + ⋯ +1
𝑘![𝜕𝑘𝑓2(𝑥∗)
𝜕𝑥1𝑘 (𝑥1 − 𝑥1
∗)k + ⋯+𝜕𝑘𝑓2(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛𝑘 (𝑥𝑛 −
𝑥𝑛∗)𝑘] + ⋯
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥∗) +
𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1
∗) + ⋯+𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗) +1
2![𝜕2𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥12 (𝑥1 − 𝑥1
∗)2 +
⋯+𝜕2𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛2 (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗)2] + ⋯+1
𝑘![𝜕𝑘𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥1𝑘 (𝑥1 − 𝑥1
∗)k + ⋯+𝜕𝑘𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛𝑘 (𝑥𝑛 −
𝑥𝑛∗)𝑘] + ⋯
Linearisasi sistem (2.16) di sekitar titik ekuilibrium 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2
∗, … , 𝑥𝑛∗), dilakukan
dengan cara mengabaikan suku-suku yang pangkatnya lebih dari satu pada hasil
ekspansi dari Deret Taylor di sekitar suku tersebut. Suku-suku yang mempunyai
pangkat lebih dari satu pada sistem diabaikan, maka diperoleh
20
𝑑𝑥1
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥
∗) +𝜕𝑓1(𝑥
∗)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1
∗) + ⋯+𝜕𝑓1(𝑥
∗)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗)
𝑑𝑥2
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥
∗) +𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1
∗) + ⋯+𝜕𝑓2(𝑥
∗)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗)
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥∗) +
𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1
∗) + ⋯+𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗)
(2.21)
Persamaan (2.21) dapat ditulis dalam bentuk
(
𝑑𝑥1
𝑑𝑡𝑑𝑥2
𝑑𝑡⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡 )
=
(
𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝑑𝑥1
𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝑑𝑥2⋯
𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝑑𝑥𝑛
𝜕𝑓2(𝑥∗)
𝑑𝑥1
𝜕𝑓2(𝑥∗)
𝑑𝑥2⋯
𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝑑𝑥𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝑑𝑥1
𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝑑𝑥2⋯
𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝑑𝑥𝑛 )
(
(𝑥1 − 𝑥1∗)
(𝑥2 − 𝑥2∗)
⋮(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛
∗)
) (2.22)
Misalkan
𝑤1 = 𝑥1 − 𝑥1∗, 𝑤2 = 𝑥2 − 𝑥2
∗, …𝑤𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛∗ (2.23)
Sehingga diperoleh
𝑑𝑤1
𝑑𝑡=
𝑑𝑥1
𝑑𝑡,𝑑𝑤2
𝑑𝑡=
𝑑𝑥2
𝑑𝑡, … ,
𝑑𝑤𝑛
𝑑𝑡=
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡 (2.24)
Substitusi persamaan (2.23) dan (2.24) ke persamaan (2.21), sehingga persamaan
(2.21) dapat ditulis
𝑑𝑤1
𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥
∗) +𝜕𝑓1(𝑥
∗)
𝜕𝑥1𝑤1 + ⋯+
𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛𝑤𝑛
𝑑𝑤2
𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥
∗) +𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥1𝑤1 + ⋯+
𝜕𝑓2(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛𝑤𝑛
⋮
(2.25)
21
𝑑𝑤𝑛
𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥∗) +
𝜕𝑓1(𝑥∗)
𝜕𝑥1𝑤1 + ⋯+
𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)
𝜕𝑥𝑛𝑤𝑛
atau
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝐽(𝑥1
∗ ,𝑥2∗ ,… 𝑥𝑛
∗ )𝑤 (2.26)
Dengan 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2
∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) merupakan matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium 𝑥∗ =
(𝑥1∗, 𝑥2
∗, … , 𝑥𝑛∗). Sehingga persamaan (2.25) merupakan hasil linearisasi dari persamaan
diferensial nonlinear. Selanjutnya akan dibahas teorema kriteria kestabilan titik
ekuilibrium pada persamaan diferensial nonlinear.
Teorema 2.6.4 [20]
Diberikan matriks Jacobian 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2
∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) dari persamaan (2.25)
1. Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2
∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) bernilai negatif,
maka titik ekuilibrium dari 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2
∗, … 𝑥𝑛∗) dari sistem nonlinear (2.16)
stabil asimtotik lokal.
2. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dari matriks 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2
∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) bernilai
positif maka titik ekuilibrium 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2
∗, … 𝑥𝑛∗) dari sistem nonlinear (2.16)
tidak stabil.
Contoh 2.6.2
Berikut akan dicari kestabilan titik ekuilibrium persamaan (2.17) , berdasarkan Contoh
2.5.2 diperoleh titik ekuilibrium yaitu (0,1) dan (0, −1). Selanjutkan akan dilakukan
linearisasi di sekitar titik ekuilibrium untuk melihat kelinearannya dengan Matriks
Jacobian.
𝐽(𝑥∗,𝑦∗) = (
𝜕
𝜕𝑥
𝑑��
𝑑𝑡
𝜕
𝜕𝑦
𝑑��
𝑑𝑡
𝜕
𝜕𝑥
𝑑��
𝑑𝑡
𝜕
𝜕𝑦
𝑑��
𝑑𝑡
)
22
= (
𝜕
𝜕𝑥(−𝑥)
𝜕
𝜕𝑦(−𝑥)
𝜕
𝜕𝑥(1 − (𝑥2 + 𝑦2))
𝜕
𝜕𝑦(1 − (𝑥2 + 𝑦2))
)
= (−1 0−2𝑥 −2𝑦
)
1. Linearisasi untuk titik ekuilibrium(0, −1)
(
𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 𝐽(0,−1) (����)
Dengan 𝐽(0,−1)matriks jacobian di sekitar titik ekuilibrium (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,1) yaitu
(−1 0
−2(0) −2(1)) = (
1 00 −2
)
Persamaan karakteristik 𝐽(0,1)
|𝐽(0,0) − 𝜆𝐼| = 0
|−1 − 𝜆 0
0 2 − 𝜆| = 0
Maka diperoleh nilai 𝜆1 = 2 dan 𝜆2 = −1, karena salah satu 𝜆 > 0. Berdasarkan
Teorema 2.6.4 maka titik ekuilibrium (0,1) tidak stabil.
2. Linearisasi untuk titik ekuilibrium (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,−1)
(
𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑑𝑦
𝑑𝑡
) = 𝐽(0,−1) (𝑥𝑦)
Dengan 𝐽(3,0) matriks jacobian di sekitar titik ekuilibrium (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,−1) yaitu
23
(−1 0
−2(0) −2(−1)) = (
1 00 2
)
Persamaan karakteristik 𝐽(0,−1)
|𝜆𝐼 − 𝐽(0,−1)| = 0
|−1 − 𝜆 0
0 2 − 𝜆| = 0
Diperoleh nilai 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −2, karena 𝜆1 > 0 dan 𝜆2 < 0. Berdasarkan
Teorema 2.6.4 maka titik ekuilibrium (3,0) tidak stabil.
2.7 Kriteria Routh – Hurwitz
Perhitungan nilai eigen dapat dihitung dengan menentukan akar persamaan
karakteristik det(𝜆𝐼 − 𝐴). Namun sering kali nilai akar – akar persamaan karakteristik
sulit untuk didapatkan. Sehingga perlu suatu aturan yang menjamin nilai akar – kar
persamaan karakteristik bernilai negatif atau ada persamaan karakterisik yang bernilai
positif. Dengan metode Routh-Hurwitz ini dapat digunakan jika nilai eigen pada
matriks A adalah akar-akar persamaan karakteristik polinomial [19].
𝑑𝑒𝑡( 𝜆𝐼 − 𝐴) = 𝑎𝑛𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝜆
1 + 𝑎0
dengan 𝑎0 = 1.
Definisi 2.7.1 [22]
Diberikan suatu sistem persamaan karakteristik dalam bentuk polinomial sebagai
berikut:
𝑃(𝜆) = 𝜆𝑗 + 𝑎1𝜆𝑗−1 + ⋯+ 𝑎𝑗−1𝜆 + 𝑎𝑗 = 0 (2.27)
Dimana 𝑎0 = 1 dan 𝑎𝑗 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 adalah bilangan real. Maka
didefinisikan matriks j sebagai berikut
24
𝐻1 = [𝑎1], 𝐻2 = [𝑎1 𝑎0
𝑎3 𝑎2] , 𝐻3 = [
𝑎1 𝑎0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1
𝑎5 𝑎4 𝑎3
]….
𝐻𝑗 =
[
𝑎1 𝑎0 0 0 ⋯ 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 ⋯ 0𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2 ⋯ 0𝑎7 𝑎6 𝑎5 𝑎4 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎2𝑗−1 𝑎2𝑗−2 𝑎2𝑗−3 𝑎2𝑗−4 ⋯ 𝑎𝑗 ]
(2.28)
Determinan matriks Routh – Hurwitz tingkat ke – j dinotasikan dengan ∆𝑗, dengan 𝑗 =
1, 2, … , 𝑛 yang diperoleh dari persamaan (2.28). jika setiap ∆𝑗 bernilai positif maka
semua akar – akar persamaan karakteristik persamaan (2.27) mempunyai nilai real
negatif.
2.8 Matriks Generasi Selanjutnya
Pendekatan generasi selanjutnya bergantung pada pengamatan karakteristik
bilangan reproduksi dasar yang dilakukan dengan menganggap transmisi penyakit
terjadi dalam keturunan, yaitu melahirkan individu baru yang juga terinfeksi. Yang
berarti proses infeksi berkaitan dengan proses demograsi dalam generasi yang
terinfeksi secara berurutan. Jika jumlah generasi selanjutnya bertambah pesat, maka
dapat terjadi epidemi.
Untuk Model kompartemen persamaan diferensial biasa, dimana sifat – sifatnya
diperhitungkan pada kategori terpisah, seseorang dapat menentukan matriks yang
berhubungan jumlah individu yang baru terinfeksi dalam kategori generasi yang
berurutan. Maka matriks tersebut disebut matriks generasi selanjutnya [22]. Bilangan
reproduksi dasar kemudian ditetapkan sebagai radius spektral dari matriks generasi
selanjutnya. Misalkan 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)𝑇 menjadi vektor dari variabel tak bebas dalam
kompartemen yang terinfeksi, dan misalkan y menjadi vektor dari variabel di
kompartemen yang tidak terinfeksi. Maka 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 dan 𝑦 ∈ 𝑅𝑚.
25
1. Persamaan dibuat sedemikian sehingga 𝑛 kompartemen pertama dari sistem
persamaan diferensial biasa sesuai dengan kompartemen terinfeksi. Sistem
persamaan dferensial biasa dapat ditulis seperti berikut:
𝑥𝑘′ = 𝑓𝑘(𝑥, 𝑦)
𝑦𝑗′ = 𝑔𝑗(𝑥, 𝑦) (2.29)
2. Persamaan pada ruas kanan dapat dipisah menjadi
𝑥𝑘′ = 𝐹𝑘(𝑥, 𝑦) − 𝑉𝑘(𝑥, 𝑦), 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛
𝑦𝑗′ = 𝑔𝑗(𝑥, 𝑦), 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (2.30)
Dengan 𝐹𝑘(𝑥, 𝑦) merupakan tingkat kemunculan infeksi pada kompartemen 𝑘 dan
𝑉𝑘(𝑥, 𝑦) merupakan transisi lainnya yaitu kelahiran, perkembangan, kematian,
penyakit, dan kesembuhan.
Asumsikan 𝑦′ = 𝑔(0, 𝑦) mempunyai titik ekulibrium 휀0,𝑗 = (0, 𝑦0) sehingga semua
keadaan dengan kondisi awal dalam bentuk (0, 𝑦) mendekati (0, 𝑦0) maka didapatkan
𝐹 =𝜕𝐹𝑘(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥𝑗 dan 𝑉 =
𝜕𝑉𝑘(𝑥,𝑦)𝜕𝑥𝑗
Dimana 𝐹𝑘(𝑥, 𝑦) dan 𝑉𝑘(𝑥, 𝑦) merupakan linearisasi dari bentuk persamaan (2.30) di
sekitar titik ekulibrium, sehingga matriks 𝑘 didefinisikan sebagai [22].
𝑘 = 𝐹𝑉−1 (2.31)
2.9 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan Reproduksi dasar merupakan suatu ambang batas terjadinya
penularan atau wabah penyakit yang disebabkan oleh individu terinfeksi, bilangan
reproduksi dasar disebut juga dengan rasio atau angka reproduksi dasar. Namun pada
dasarnya reproduksi dasar merupakan ukuran infeksi sekunder yang terjadi karena
suatu infeksi primer pada populasi yang seluruhnya rentan. Bilangan reproduksi dasar
26
biasanya dinotasikan dengan 𝑅0. Jika 𝑅0 < 1, maka rata-rata individu terinfeksi akan
kurang dari satu individu terinfeksi baru di area tersebut pada periode infeksi, maka
infeksinya tidak akan tumbuh. Sebaliknya jika 𝑅0 > 1, maka setiap individu terinfeksi
akan menimbulkan lebih dari satu infeksi baru, dan penyakit akan mewabah atau
menular pada area tersebut. Penentuan bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan
mencari nilai eigen terbesar dari matriks generasi selanjutnya [23]. Kondisi yang akan
timbul adalah sebagai berikut [25]
1. Jika 𝑅0 < 1 maka penyakit akan menghilang
2. Jika 𝑅0 > 1 maka penyakit akan meningkat dan menjadi wabah
3. Jika 𝑅0 = 1 maka penyakit akan menetap
Bilangan reproduksi dasar adalah radius spektral dari matriks generasi selanjutnya,
yang dijelaskan dalam definisi berikut.
Definisi 2.9.1 [22] Radius spektral dari matriks A ditentukan sebagai maksimum dari
nilai mutlak dari nilai eigen matriks A:
𝜌(𝐴) = 𝑠𝑢𝑝|𝜆| ∶ 𝜆 ∈ 𝜎(𝐴) (2.32)
dimana σ(A) adalah himpunan nilai eigen dari A.
Sehingga bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai eigen positif terbesar
dari matriks generasi selanjutnya, yang dapat ditulis
𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1) (2.33)
Teorema selanjutnya akan membahas kondisi yang diperoleh dari penentuan bilangan
reproduksi dasar.
Teorema 2.9.2 [22] Jika R0 < 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit adalah satu-
satunya titik ekuilibrium, dan bersifat stabil asimtotik lokal. Dan jika R0 > 1 maka ada
dua titik ekuilibrium: titik ekuilibrium bebas penyakit, dan titik ekuilibrium endemik,
dimana titik ekuilibrium endemik bersifat stabil asimtotik lokal.
Analisis untuk menentukan parameter apa saja yang berpengaruh terhadap bilangan
reprodusi dasar supaya tidak terjadi endemik. Maka langkah – langkahnya menurut
[26] yaitu:
27
1. Mengambil nilai – nilai persamaan yang menggambarkan kasus infeksi baru
dan perubahan dalam kompartemen infeksi dari sistem. Maka sistem ini dapat
disebut subsistem.
2. Lakukan linearisasi pada subsistem terinfeksi di sekitar titik ekuilibrium bebas
penyakit. Sistem linear ini direpresentasikan dengan matriks Jacobian (J).
3. Dekomposisi matriks Jacobi (J) menjadi matriks Transmisi (F) dan matriks
Transisi (V). Matriks Transisi adalah matriks dengan entri-entri yang
menggambarkan munculnya infeksi baru, sedangkan matriks Transisi adalah
matriks dengan entri-entri yang menggambarkan perubahan populasi
terinfeksi.
4. Hitung 𝑅0 dengan 𝑅𝑜 = 𝜌(FV-1). 𝑅𝑜 adalah radius spektral atau nilai eigen
berbesar dari matriks (FV-1)
28
BAB III
Model Matematika Penyebaran Penyakit CoronavirusDisease 2019
(Covid-19) Dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina di
Rumah Sakit
3.1 Alur Penelitian
Berikut akan dijelaskan langkah – langkah alur penelitian :
1. Studi Literature
Pada tahap ini peneliti akan melakukan kajian atau mengumpulkan informasi dari
beberapa sumber referensi mengenai penelitian yang serupa yang pernah
dilakukan sebelumnya seperti dari buku-buku dan jurnal yang berkaitan dengan
penyakit Covid-19. Selain itu peneliti akan mengumpulkan informasi dari
kementerian kesehatan RI berkaitan dengan penyebaran penyakit Covid-19.
2. Membuat Diagram Kompartemen dan Model
Di tahap ini, peneliti membuat diagram kompartemen model matematika
penyebaran penyakit Covid – 19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina
di rumah sakit, kemudian membentuk persamaan diferensial dari model tersebut
3. Mencari Bilangan Reproduksi Dasar dan Titik Ekuilibrium
Kemudian pada tahap ini peneliti akan mencari bilangan reproduksi dasar dan
titik ekuilibrium dari sistem.
4. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Pada tahap ini, peneliti akan memeriksa kestabilan titik ekuilibrium bebas
penyakit yang telah didapat dari langkah sebelumnya.
29
5. Memasukkan Nilai Parameter
Untuk melakukan simulasi numerik dimana kurva kestabilan titik ekuilibrium
dapat ditinjau, nilai – nilai parameter yang digunakan didapatkan dari berbagai
sumber referensi, namun ada beberapa nilai parameter yang besarnya
diasumsikan oleh peneliti.
6. Simulasi Numerik, efektivitas penggunaan vaksin, dan analisis sensitivitas
Simulasi numerik dilakukan untuk membuktikan teorema eksitensi titik
ekuilibrium dan kestabilannya. Nilai – nilai parameter yang sudah didapatkan
disubtitusi ke dalam simulasi untuk memeriksa kestabilan titik ekuilibrium dan
efektivitas penggunaan vaksin. Analisis sensitivitas digunakan untuk melihat
nilai parameter mana saja yang berpengaruh secara signifikan terhadap bilangan
reproduksi dasar.
7. Kesimpulan
Selanjutnya akan didapatkan kesimpulan dari penelitian ini berdasarkan nilai
reproduksi dasar yang telah didapatkan.
30
3. 1 Diagram Alur Penelitian
Start
Membangun Asumsi dan
Membuat Model
Input Nilai
Parameter
Mencari Bilangan Reproduksi
Dasar dan Titik Ekuilibrium
Endemik
Mencari Titik Ekuilibrium
Bebas Penyakit
Analisis Kestabilan Titik
Ekuilibrium Bebas Penyakit
Simulasi Numerik, efektivitas penggunaan
vaksin, dan analisis sensitivitas
Kesimpulan
End
31
3.2 Asumsi Model
Model yang digunakan dalam penyebaran penyakit Covid-19 adalah model
SVEIQR (Susceptible Vaccine Exposed Infected Quarantine Recovered) yang
dikembangkan dengan membagi populasi individu kedalam tujuh kompartemen:
Susceptible (S) yaitu individu yang rentan terkena penyakit, Vaccine (V) yaitu individu
yang sudah melakukan vaksinasi Covid-19 sebanyak dua kali. Exposed (E) yaitu
individu yang tertular penyakit tetapi belum menunjukan tanda-tanda mengidap
penyakit dan belum dapat menularkan penyakit (individu laten), Infected (I) yaitu
individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit, Quarantine (𝑄) yaitu
individu yang melakukan karantina, dimana di kompartemen ini dibagi menjadi dua
subpopulasi yaitu individu yang melakukan karantina di rumah atau Isolasi mandiri
(𝑄1) dan individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑄2), dan Removed (R)
yaitu individu yang telah sembuh dari penyakit, individu yang kebal setelah
divaksinasi, dan individu yang sembuh setelah diisolasi. Asumsi pembentukan model
matematika dari penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan
karantina di rumah sakit dapat disusun sebagai berikut:
1. Penyakit dapat menyebabkan kematian.
2. Populasi diasumsikan Homogen, artinya setiap individu mempunyai peluang
yang sama untuk melakukan kontak dengan individu lainnya.
3. Populasi diasumsikan tertutup, artinya tidak ada individu yang masuk ke dalam
populasi atau keluar dari populasi (tidak ada migrasi) total populasi
diasumsikan konstan.
4. Vaksinasi dilakukan sebanyak dua kali.
5. Individu yang telah melakukan vaksinasi sebanyak dua kali dapat terinfeksi
Covid-19 karena berinteraksi dengan individu terinfeksi, namun gejalanya
tidak seberat individu yang tidak melakukan vaksinasi, akibatnya ada
perpindahan dari kompartemen V ke kompartemen E.
32
6. Individu yang telah melakukan vaksinasi dan tidak terinteraksi dengan individu
terinfeksi dapat kebal terhadap penyakit, akibatnya ada perpindahan dari
kompartemen V ke kompartemen R.
7. Laju kelahiran dan kematian alami setiap satuan waktu diasumsikan sama.
8. Infeksi virus terjadi ketika individu rentan berinteraksi dengan individu yang
terinfeksi baik secara langsung maupun tidak langsung.
9. Individu yang terinfeksi akan melakukan isolasi mandiri atau karantina di
rumah sakit.
10. Individu yang terinfeksi, individu yang melakukan isolasi mandiri dan individu
yang melakukan karantina di rumah sakit dapat meninggal akibat penyakit.
11. Individu yang terinfeksi, individu yang melakukan isolasi mandiri atau individu
yang melakukan karantina di rumah sakit dapat sembuh dari penyakit.
12. Individu yang telah sembuh mempunyai kekebalan terhadap penyakit atau tidak
kembali menjadi individu laten dengan syarat mematuhi protokol kesehatan.
3.3 Variabel dan Parameter
Variabel dan parameter yang digunakan dalam model penyebaran penyakit
Covid-19 dengan dengan vaksinasi dan karantina disajikan dalam tabel 3.1.
Tabel 3. 1 Daftar variabel model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi
mandiri, dan karantina di rumah sakit
No. Variabel Definisi Syarat Satuan
1. 𝑁(𝑡) Jumlah Populasi individu
pada waktu ke-t. 𝑁(𝑡) ≥ 0 Individu
2. 𝑆(𝑡) Jumlah Individu rentan
terinfeksi pada waktu ke-t. 𝑆(𝑡) ≥ 0 Individu
3. 𝑉(𝑡) Jumlah Individu yang telah
melakukan vaksinasi 𝑉(𝑡) ≥ 0 Individu
33
sebanyak dua kali pada
waktu ke-t.
4. 𝐸(𝑡) Jumlah individu laten pada
waktu ke-t. 𝐸(𝑡) ≥ 0 Individu
5. 𝐼(𝑡) Jumlah individu terinfeksi
pada waktu ke-t. 𝐼(𝑡) ≥ 0 Individu
6. 𝑄1(𝑡)
Jumlah individu yang
melakukan karantina di
rumah atau isolasi mandiri
pada waktu ke-t.
𝑄1(𝑡) ≥ 0 Individu
7. 𝑄2(𝑡)
Jumlah individu yang
melakukan karantina di
rumah sakit pada waktu ke-
t.
𝑄2(𝑡) ≥ 0 Individu
8. 𝑅(𝑡)
Jumlah individu yang
removed (sembuh/kebal
setelah di
vaksinasi/diisolasi sampai
sembuh) pada waktu ke-t.
𝑅(𝑡) ≥ 0 Individu
Tabel 3. 2 Daftar parameter model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi,
isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit
No. Parameter Definisi Syarat Satuan
1. 𝜇 Laju kelahiran dan kematian
alami. 0 ≤ 𝜇 ≤ 1
1
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
2. 𝜌 Laju Perpindahan dari
individu rentan menjadi 0 ≤ 𝜌 ≤ 1
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
34
individu yang telah
melakukan vaksinasi.
3. 𝑘
Proporsi dari individu rentan
menjadi individu yang telah
melakukan vaksinasi.
0 ≤ 𝑘 ≤ 1
4. 𝜔
Laju Perpindahan dari
individu yang telah
melakukan vaksinasi
menjadi individu laten.
0 ≤ 𝜔 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
5. 𝛽
Laju Perpindahan dari
individu rentan menjadi
individu laten setelah
terinfeksi dengan individu
terinfeksi.
0 ≤ 𝛽 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
6. 𝛼
Laju Perpindahan dari
individu terinfeksi menjadi
individu yang melakukan
karantina di rumah sakit.
0 ≤ 𝛼 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
7. 𝑚
Proporsi dari individu
terinfeksi menjadi individu
yang melakukan karantina di
rumah sakit.
0 ≤ 𝑚 ≤ 1
8. 𝜃
Laju Perpindahan dari
individu terinfeksi menjadi
individu yang melakukan
isolasi mandiri.
0 ≤ 𝜃 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
9. 𝑛 Proporsi dari individu
terinfeksi menjadi individu 0 ≤ 𝑛 ≤ 1
35
yang melakukan isolasi
mandiri.
10. 𝜎
Laju Perpindahan dari
individu laten menjadi
individu terinfeksi.
0 ≤ 𝜎 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
11. 𝛿1
Laju Kematian yang
diakibatkan oleh penyakit
dari individu yang
melakukan isolasi mandiri.
0 ≤ 𝛿1 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
12. 𝛿2
Laju Kematian yang
diakibatkan oleh penyakit
dari individu yang
melakukan karantina di
rumah sakit.
0 ≤ 𝛿2 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
13. 𝛿3
Laju Kematian yang
diakibatkan oleh penyakit
dari individu terinfeksi.
0 ≤ 𝛿3 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
14. 𝛾1
Laju perpindahan dari
individu yang melakukan
isolasi mandiri ke individu
Removed.
0 ≤ 𝛾1 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
15. 𝛾2
Laju perpindahan dari
individu yang melakukan
karantina di rumah sakit ke
individu Removed.
0 ≤ 𝛾2 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
16. 𝛾3
Laju perpindahan dari
individu terinfeksi ke
individu Removed.
0 ≤ 𝛾3 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
36
17. 𝜖
Laju perpindahan individu
yang telah melakukan
vaksinasi dan tidak
terinfeksi ke individu
Removed.
0 ≤ 𝜖 ≤ 1 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
3.4 Penyebaran Penyakit Covid-19
Secara skematis proses penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi,
isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit dalam suatu populasi dapat disajikan
dalam diagram transfer pada gambar 3.2
3. 2 Diagram Transfer Model Penyebaran Covid-19 dengan Vaksinasi, Isolasi
Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit
Berdasarkan diagram transfer Gambar 3.1. populasi individu dibagi menjadi
delapan kompartemen, yaitu: kompartemen individu rentan (𝑆), kompartemen individu
37
yang telah di vaksinasi (𝑉), kompartemen individu laten (𝐸), kompartemen individu
terinfeksi (𝐼), kompartemen individu yang melakukan karantina di rumah atau isolasi
mandiri (𝑄1), kompartemen individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑄2),
dan kompartemen individu Removed (𝑅). Setiap individu yang lahir (𝜇) akan masuk
ke dalam kompartemen (𝑆), Individu rentan yang akan melakukan vaksinasi (𝑉)
dengan laju 𝜌 dan proporsi sebesar 𝑘. Individu yang telah di vaksinasi akan terinfeksi
dan menjadi individu laten (𝐸) dengan laju 𝜔. individu rentan berpeluang terinfeksi
oleh virus jika berinteraksi dengan individu terinfeksi dan akan menjadi individu laten
dengan laju 𝛽 dengan proporsi sebesar 1 − 𝑘. Individu laten akan menjadi individu
terinfeksi (𝐼) dengan laju σ. Individu terinfeksi yang akan melakukan isolasi mandiri
(𝑄1) dengan laju 𝜃 dan proporsi sebesar 𝑛, serta yang akan melakukan karantina di
rumah sakit (𝑄2) dengan laju 𝛼 dan proporsi sebesar 𝑚. Individu terinfeksi akan
sembuh dengan laju 𝛾3 dan proporsi kesembuhan individu terinfeksi sebesar 1 − 𝑚 −
𝑛. Individu yang melakukan isolasi mandiri akan sembuh dengan laju 𝛾1. Individu
yang melakukan karantina di rumah sakit akan sembuh dengan laju 𝛾2. Individu
terinfeksi yang tidak sembuh akan meninggal karena penyakit dengan laju 𝛿3. Individu
yang melakukan isolasi mandiri yang tidak sembuh akan meninggal karena penyakit
dengan laju 𝛿1. Individu yang melakukan karantina di rumah yang tidak sembuh akan
meninggal karena penyakit dengan laju 𝛿2. Individu rentan yang divaksinasi tidak
terkena virus akan langsung masuk ke kompartemen (𝑅) dengan laju 𝜖. Di setiap
kompartemen akan ada kematian alami yang lajunya disamakan dengan kelahiran
alami dengan laju 𝜇.
Perubahan jumlah individu di dalam populasi di setiap kompartemen
dipengaruhi oleh faktor-faktor sebagai berikut:
1. Perubahan jumlah individu rentan (𝑆).
1) Penambahan jumlah individu rentan dipengaruhi oleh Laju kelahiran alami
manusia sebesar 𝜇.
2) Pengurangan jumlah individu rentan dipengaruhi oleh
38
Laju kematian manusia alami sebesar 𝜇.
Dilakukan vaksinasi sebesar 𝜌 dengan proporsi sebesar 𝑘.
Rata – rata Kontak dengan individu terinfeksi yang menjadi individu
laten dengan laju 𝛽 dan proporsi sebesar 1 − 𝑘.
Dengan demikian diperoleh laju individu rentan terhadap waktu yaitu:
𝑑𝑆
𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (𝜇 + 𝑘𝜌 +
(1−𝑘)𝛽𝐼
𝑁) 𝑆 (3.1)
2. Perubahan jumlah individu yang melakukan vaksinasi (𝑉).
1) Penambahan jumlah individu yang melakukan vaksinasi dipengaruhi oleh
tingkat yang individu rentan dengan laju sebesar 𝜌 dan proporsi sebesar 𝑘.
2) Pengurangan jumlah individu yang telah melakukan vaksinasi dipengaruhi
oleh
Laju kematian manusia alami sebesar 𝜇.
Rata – rata Kontak dengan individu terinfeksi yang menjadi individu
laten dengan laju 𝜔.
Individu yang telah melakukan vaksinasi dan tidak terinfeksi masuk ke
individu Removed dengan laju 𝜖.
Dengan demikian diperoleh laju individu laten terhadap waktu yaitu:
𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑆 − (𝜇 +
𝜔𝐼
𝑁+ 𝜖)𝑉 (3.2)
3. Perubahan jumlah individu laten (𝐸).
1) Penambahan jumlah individu laten dipengaruhi oleh
Rata – rata Kontak individu rentan dengan individu terinfeksi yang
menjadi individu laten dengan laju perpindahan sebesar 𝛽 dan proporsi
sebesar 1 − 𝑘.
Rata – rata Kontak dengan individu terinfeksi yang menjadi individu
laten dengan laju 𝜔.
39
2) Pengurangan jumlah individu laten dipengaruhi oleh
Laju kematian manusia alami sebesar 𝜇.
Individu laten yang menjadi individu terinfeksi dengan laju
perpindahan sebesar 𝜎.
Dengan demikian diperoleh laju individu laten terhadap waktu yaitu:
𝑑𝐸
𝑑𝑡 =
(1−𝑘)𝛽𝑆𝐼
𝑁+
𝜔𝐼𝑉
𝑁− (𝜇 + 𝜎)𝐸 (3.3)
4. Perubahan jumlah individu terinfeksi (𝐼).
1) Penambahan jumlah individu terinfeksi dipengaruhi oleh kontak individu laten
dengan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝜎.
2) Pengurangan jumlah individu terinfeksi dipengaruhi oleh
Laju kematian manusia alami sebesar 𝜇.
Individu terinfeksi yang melakukan isolasi mandiri dengan laju
perpindahan 𝜃 dan proporsi sebesar 𝑛.
Individu terinfeksi yang melakukan karantina di rumah sakit dengan
laju perpindahan 𝛼 dan proporsi sebesar 𝑚.
Laju kematian karena penyakit individu terinfeksi sebesar 𝛿3.
Individu terinfeksi yang menjadi individu Removed dengan laju sebesar
𝛾3 dengan proporsi sebesar 1 − 𝑚 − 𝑛.
Dengan demikian diperoleh laju individu terinfeksi terhadap waktu yaitu:
𝑑𝐼
𝑑𝑡 = σ𝐸 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + 𝛿3 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝐼 (3.4)
5. Perubahan jumlah individu yang melakukan isolasi mandiri (𝑄1).
1) Penambahan jumlah individu yang melakukan isolasi mandiri dipengaruhi oleh
perpindahan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝜃 dan proporsi sebesar 𝑛.
40
2) Pengurangan jumlah individu yang melakukan isolasi mandiri dipengaruhi oleh
Laju tingkat kematian alami sebesar 𝜇.
Laju kematian karena penyakit individu yang melakukan isolasi mandiri
sebesar 𝛿1.
Individu yang melakukan isolasi mandiri menjadi individu Removed
dengan laju sebesar 𝛾1.
Dengan demikian diperoleh laju individu yang melakukan isolasi mandiri terhadap
waktu yaitu:
𝑑𝑄1
𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝐼 − (𝜇 + 𝛿1 + 𝛾1)𝑄1 (3.5)
6. Perubahan jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑄2).
1) Penambahan jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit
dipengaruhi oleh perpindahan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝛼 dan
proporsi sebesar 𝑚.
2) Pengurangan jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit
dipengaruhi oleh
Laju kematian manusia alami sebesar 𝜇.
Laju kematian karena penyakit individu yang melakukan karantina di
rumah sakit sebesar 𝛿2.
Individu yang melakukan karantina di rumah sakit yang menjadi
individu Removed dengan laju sebesar 𝛾2.
Dengan demikian diperoleh laju individu yang melakukan karantina di rumah sakit
terhadap waktu yaitu:
𝑑𝑄2
𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿2 + 𝛾2)𝑄2 (3.6)
7. Perubahan jumlah individu sembuh (𝑅).
1) Penambahan jumlah individu sembuh dipengaruhi oleh
41
Perpindahan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝛾3 dengan proporsi
sebesar 1 − 𝑚 − 𝑛.
Individu yang melakukan isolasi mandiri dengan laju sebesar 𝛾1.
Individu yang melakukan karantina di rumah sakit dengan laju sebesar
𝛾2.
Individu rentan yang telah melakukan vaksinasi yang tidak tertular
individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝜖.
2) Pengurangan jumlah individu Removed dipengaruhi oleh tingkat kematian
manusia alami sebesar 𝜇.
Dengan demikian diperoleh laju individu sembuh terhadap waktu yaitu:
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛾1𝑄1 + 𝛾2𝑄2 + 𝛾3𝐼 + 𝜖𝑉 − 𝜇𝑅 (3.7)
Berdasarkan (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), dan (3.7) diperoleh model
penyebaran penyakit Covid-19 dengan melakukan vaksinasi, isolasi mandiri dan
karantina di rumah sakit adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆
𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (𝜇 + 𝑘𝜌 +
(1−𝑘)𝛽𝐼
𝑁) 𝑆
𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑆 − (𝜇 +
𝜔𝐼
𝑁+ 𝜖)𝑉
𝑑𝐸
𝑑𝑡 =
(1−𝑘)𝛽𝑆𝐼
𝑁+
𝜔𝑉𝐼
𝑁− (𝜇 + 𝜎)𝐸
𝑑𝐼
𝑑𝑡 = σ𝐸 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + 𝛿3 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝐼 (3.8)
𝑑𝑄1
𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝐼 − (𝜇 + 𝛿1 + 𝛾1)𝑄1
𝑑𝑄2
𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿2 + 𝛾2)𝑄2
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛾1𝑄1 + 𝛾2𝑄2 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3𝐼 + 𝜖𝑉 − 𝜇𝑅
42
Untuk menganalisis nilai titik ekuilibrium dan nilai reproduksi dasar laju kematian
akibat penyakit diabaikan dengan mengasumsikan laju kematian akibat penyakit 𝛿1 =
𝛿2 = 𝛿3 = 0 maka diperoleh persamaan berikut
𝑑𝑆
𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (𝜇 + 𝑘𝜌 +
(1−𝑘)𝛽𝐼
𝑁) 𝑆
𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑆 − (𝜇 +
𝜔𝐼
𝑁+ 𝜖)𝑉
𝑑𝐸
𝑑𝑡 =
(1−𝑘)𝛽𝑆𝐼
𝑁+
𝜔𝑉𝐼
𝑁− (𝜇 + 𝜎)𝐸
𝑑𝐼
𝑑𝑡 = σ𝐸 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝐼 (3.9)
𝑑𝑄1
𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝐼 − (𝜇 + 𝛾1)𝑄1
𝑑𝑄2
𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛾2)𝑄2
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛾1𝑄1 + 𝛾2𝑄2 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3𝐼 + 𝜖𝑉 − 𝜇𝑅
Maka diperoleh nilai 𝑁 = 𝑆 + 𝑉 + 𝐸 + 𝐼 + 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑅 maka 𝑑𝑁
𝑑𝑡 = 0,
sehingga 𝑁(𝑡) = 𝑎 untuk a bilangan bulat positif, karena 𝑁(𝑡) konstan. Sistem (3.9)
dapat dibentuk dalam model non-dimensional, untuk menyederhanakan sistem (3.9)
proporsi banyaknya individu masing-masing kompartemen dapat dinyatakan sebagai
berikut:
𝑠 =𝑑𝑆
𝑑𝑡,𝑣 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡, 𝑒 =
𝑑𝐸
𝑑𝑡, 𝑖 =
𝑑𝐼
𝑑𝑡,𝑞1 =
𝑑𝑄1
𝑑𝑡,𝑞2 =
𝑑𝑄2
𝑑𝑡, 𝑟 =
𝑑𝑅
𝑑𝑡 (3.10)
Dari persamaan (3.10) diperoleh:
𝑠 + 𝑣 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑟 =𝑑𝑆
𝑑𝑡+
𝑑𝑉
𝑑𝑡+
𝑑𝐸
𝑑𝑡+
𝑑𝐼
𝑑𝑡+
𝑑𝑄1
𝑑𝑡+
𝑑𝑄2
𝑑𝑡+
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 1
Dari persamaan (3.10) maka sistem persamaan (3.9) dapat dibentuk dalam model non-
dimensional menjadi:
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠
43
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣
𝑑𝑒
𝑑𝑡 = ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒
𝑑𝑖
𝑑𝑡 = σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖 (3.11)
𝑑𝑞1
𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1
𝑑𝑞2
𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2
𝑑𝑟
𝑑𝑡 = 𝛾1𝑞1 + 𝛾2𝑞2 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3𝑖 + 𝜖𝑣 − 𝜇𝑟
Selanjutnya, pada sistem persamaan (3.11) karena variabel 𝑟 tidak muncul pada
persamaan lain. hal ini menunjukan bahwa jumlah individu pada kompartemen 𝑟 tidak
mempengaruhi laju perubahan jumlah individu pada kompartemen yang lain, maka
persamaan 𝑟 untuk sementara dapat diabaikan dari sistem. Sehingga sistem (3.11) dapat
ditulis:
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣
𝑑𝑒
𝑑𝑡 = ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 (3.12)
𝑑𝑖
𝑑𝑡 = σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖
𝑑𝑞1
𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1
𝑑𝑞2
𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2
Sistem (3.12) merupakan sistem persamaan differensial nonlinear yang lebih
sederhana dari sistem (3.9) yang mempresentasikan model penyebaran penyakit Covid-
19 dengan melakukan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit.
44
3.5 Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar
Model penyebaran penyakit Covid-19 dengan melakukan vaksinasi, isolasi
mandiri, dan karantina di rumah sakit berupa Sistem (3.12). Sistem (3.12) tersebut
memiliki persamaan dua titik ekuilibrium yaitu, titik ekuilibrium bebas penyakit dan
titik ekuilibrium endemik. Berdasarkan Definisi 2.5.1 tentang titik ekuilibrium , maka
titik ekuilibrium untuk model penyebaran penyakit Covid-19 dengan melakukan
vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit pada Sistem (3.12) diperoleh
jika:
𝑠 = 𝑒 = 𝑣 = 𝑖 = 𝑞1 = 𝑞2 = 0
𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠 = 0 (3.13)
𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣 = 0 (3.14)
((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0 (3.15)
σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖 = 0 (3.16)
𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1 = 0 (3.17)
𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0 (3.18)
3.5.1 Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Titik ekuilibrium bebas penyakit didapat ketika tidak ada penyakit dalam
populasi. Agar memenuhi titik ekuilibrium bebas penyakit, maka tidak ada satupun
individu yang terinfeksi sehingga 𝑖 = 0. Subtitusikan 𝑖 = 0 ke persamaan (3.13).
⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠 = 0
⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽(0))𝑠 = 0
⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌)𝑠 = 0
⇔ 𝑠 = 𝜇
𝜇+𝑘𝜌 (3.19)
45
Selanjutnya subtitusi persamaan (3.19) ke persamaan (3.14), diperoleh
⇔ 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣 = 0
⇔ 𝑘𝜌 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) − (𝜇 + 𝜔(0) + 𝜖)𝑣 = 0
⇔ 𝑣 =𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖) (3.20)
Selanjutnya subtitusi 𝑖 = 0 dan persamaan (3.20) ke persamaan (3.15), diperoleh
⇔ ((1 − 𝑘)𝛽 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0
⇔ ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)(0) − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0
⇔ 𝑒 = 0 (3.21)
Selanjutnya subtitusi 𝑖 = 0 ke persamaan (3.17), diperoleh
⇔ 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1 = 0
⇔ 𝑛𝜃(0) − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1 = 0
⇔ 𝑞1 = 0 (3.22)
Selanjutnya subtitusi 𝑖 = 0 ke persamaan (3.18), diperoleh
⇔ 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0
⇔ 𝑚𝛼(0) − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0
⇔ 𝑞2 = 0 (3.23)
Jadi diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit sistem (3.12) yaitu:
𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇
𝜇+𝑘𝜌,
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0) (3.24)
3.5.2 Bilangan Reproduksi Dasar (𝑹𝟎)
46
Selanjutnya, menentukan bilangan reproduksi dasar (𝑅0) dari sistem (3.12)
dengan mencari nilai eigen maksimum yang diperoleh dari Matriks Generasi
Selanjutnya. Matriks Generasi Selanjutnya dapat diperoleh dari model persamaan
subsistem terinfeksi. Langkah-langkah penentuan bilangan reproduksi dasar sistem
(3.12), yaitu:
1. Mengambil persamaan-persamaan yang menggambarkan kasus terinfeksi baru
dan perubahan dalam kompartemen infeksi dari sistem. Selanjutnya sistem ini
disebut subsistem terinfeksi. Pada sistem (3.12), subsistem yang terinfeksi
adalah 𝑒, 𝑖, 𝑞1, dan 𝑞2.
2. Melakukan pelinearan terhadap subsistem terinfeksi pada titik ekuilibrium
bebas penyakit. Sistem linear ini direpresentasikan dengan Matriks Jacobi (J)
sebagai berikut:
𝐽(𝐸) =
[
𝑑𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝑖
𝑑𝑒
𝑑𝑞1
𝑑𝑒
𝑑𝑞2
𝑑𝑖
𝑑𝑒
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑞1
𝑑𝑖
𝑑𝑞2
𝑑𝑞1
𝑑𝑒
𝑑𝑞1
𝑑𝑖
𝑑𝑞1
𝑑𝑞1
𝑑𝑞1
𝑑𝑞2
𝑑𝑞2
𝑑𝑒
𝑑𝑞2
𝑑𝑖
𝑑𝑞2
𝑑𝑞1
𝑑𝑞2
𝑑𝑞2]
=
[ −(𝜇 + 𝜎) (1 − 𝑘)𝛽 + 𝜔𝑣 0 0
𝜎 −(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0
0 𝑛𝜃 −(𝜇 + 𝛾1) 0
0 𝑚𝛼 0 −(𝜇 + 𝛾2)]
𝐽(𝑠,𝑒,𝑖,𝑞1,𝑞2) =
[ −(𝜇 + 𝜎) (1 − 𝑘)𝛽 (
𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) 0 0
𝜎 −(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0
0 𝑛𝜃 −(𝜇 + 𝛾1) 0
0 𝑚𝛼 0 −(𝜇 + 𝛾2)]
47
[ −(𝜇 + 𝜎)
(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)0 0
𝜎 −(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0
0 𝑛𝜃 −(𝜇 + 𝛾1) 0
0 𝑚𝛼 0 −(𝜇 + 𝛾2)]
(3.26)
3. Dekomposisi matriks Jacobi (J) menjadi 𝐽 = 𝐹 − 𝑉, dengan 𝐹 adalah matriks
Transmisi dan 𝑉 adalah matriks Transisi.
𝐹 =
[ 0
(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]
(3.27)
𝑉 =
[ (𝜇 + 𝜎) 0 0 0
−𝜎 (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0
0 −𝑛𝜃 (𝜇 + 𝛾1) 0
0 −𝑚𝛼 0 (𝜇 + 𝛾2)]
𝑉 = [
𝑢 0 0 0−𝜎 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ
] (3.28)
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑡 = (𝜇 + 𝛾1) dan
ℎ = (𝜇 + 𝛾2)
Hitung 𝑉−1
= [
𝑢 0 0 0−𝜎 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ
|
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
]
=
[ 1 0 0 0−𝜎 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ
||
1
𝑢0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 1]
𝑅2 + 𝜎𝑅1
𝑅1
1
𝑢
48
=
[ 1 0 0 00 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ
||
1
𝑢0 0 0
𝜎
𝑢1 0 0
0 0 1 00 0 0 1]
=
[ 1 0 0 00 1 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ
||
1
𝑢0 0 0
𝜎
𝑢𝑔
1
𝑔0 0
0 0 1 00 0 0 1]
=
[ 1 0 0 00 1 0 00 0 𝑡 00 0 0 ℎ|
|
1
𝑢0 0 0
𝜎
𝑢𝑔
1
𝑔0 0
𝑛𝜃𝜎
𝑚𝑔
𝑛𝜃
𝑔1 0
𝑚𝛼𝜎
𝑢𝑔
𝑚𝛼
𝑔0 1]
=
[ 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1|
|
1
𝑢0 0 0
𝜎
𝑢𝑔
1
𝑔0 0
𝑛𝜃𝜎
𝑢𝑔𝑡
𝑛𝜃
𝑔𝑡
1
𝑡0
𝑚𝛼𝜎
𝑢𝑔ℎ
𝑚𝛼
𝑔ℎ0
1
ℎ]
𝑉−1 =
[
1
𝑢0 0 0
𝜎
𝑢𝑔
1
𝑔0 0
𝑛𝜃𝜎
𝑢𝑔𝑡
𝑛𝜃
𝑔𝑡
1
𝑡0
𝑚𝛼𝜎
𝑢𝑔ℎ
𝑚𝛼
𝑔ℎ0
1
ℎ]
(3.29)
4. Hitung 𝑅0 dengan 𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1)
𝐹𝑉−1 =
[ 0
(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]
[
1
𝑢0 0 0
𝜎
𝑢𝑔
1
𝑔0 0
𝑛𝜃𝜎
𝑢𝑔𝑡
𝑛𝜃
𝑔𝑡
1
𝑡0
𝑚𝛼𝜎
𝑢𝑔ℎ
𝑚𝛼
𝑔ℎ0
1
ℎ]
𝑅3
1
𝑡
𝑅4
1
ℎ
𝑅4 + 𝑚𝛼𝑅1
𝑅3 + 𝑛𝜃𝑅1
𝑅2
1
𝑔
49
=
[ (1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)𝑢𝑔
(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)𝑔0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]
=
[ (1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑢𝑔
(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑔0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]
(3.30)
Dengan 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑢 = (𝜇 + 𝜎), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌),
𝑦 = (𝜇 + 𝜖)
Nilai eigen matriks (𝐹𝑉−1) diperoleh dari persamaan berikut
det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑉−1) = 0
⇔ ||[
𝜆 0 0 00 𝜆 0 00 0 𝜆 00 0 0 𝜆
] −
[ (1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑢𝑔
(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑔0 0
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]
||
⇔ ||
𝜆 −(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑢𝑔
(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑔0 0
0 𝜆 0 00 0 𝜆 00 0 0 𝜆
|| = 0
⇔ (𝜆 −(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑢𝑔) 𝜆3 = 0 (3.31)
Sehingga diperoleh 𝜆1,2,3 = 0 dan 𝜆4 =(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑢𝑔
Karena bilangan reproduksi dasar diperoleh dari radius spektral atau nilai terbesar dari
nilai eigen, maka didapatkan:
𝑅0 =(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
𝑥𝑦𝑢𝑔
50
𝑅0 =(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)
𝑅0 = 𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3) (3.32)
3.5.3 Titik Ekuilibrium Endemik
Titik ekuilibrium endemik adalah titik ekuilibrium saat kelas terinfeksi tidak
nol atau saat penyakit menyebar atau mewabah dalam populasi. Titik ekuilibrium
Endemik artinya di dalam populasi selalu terdapat individu yang terserang penyakit,
sehingga diperoleh 𝐼 pada titik ekuilibrium endemik penyakit 𝐼∗ > 0.
Dari persamaan (3.13) diperoleh
⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠 = 0
⇔ 𝜇 = (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠
⇔ 𝑠 =𝜇
𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖 (3.33)
Dari persamaan (3.14) diperoleh
⇔ 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣 = 0
⇔ 𝑘𝜌 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖) = (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣
⇔ 𝑣 =𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖) (3.34)
Dari persamaan (3.15) diperoleh
⇔ ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0
51
⇔ ((1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖))) 𝑖 = (𝜇 + 𝜎)𝑒
⇔ 𝑒 = ((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)
(3.35)
Dari persamaan (3.17) diperoleh
⇔ 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞10
⇔ 𝑛𝜃𝑖 = (𝜇 + 𝛾1)𝑞1
⇔ 𝑞1 =𝑛𝜃𝑖
(𝜇+𝛾1) (3.36)
Dari persamaan (3.18) diperoleh
⇔ 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0
⇔ 𝑚𝛼𝑖 = (𝜇 + 𝛾2)𝑞2
⇔ 𝑞2 =𝑚𝛼𝑖
(𝜇+𝛾2) (3.37)
Selanjutnya subtitusi (3.35) ke persamaan (3.16) sehingga diperoleh
⇔ σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖 = 0
⇔ σ (((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)) = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖
⇔ 𝜎𝑖((1 − 𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇) = (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)(𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)(𝜇 +
𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖
⇔ [(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔]𝑖3 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 +
𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +
(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎]𝑖2 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +
𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 − 𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎]𝑖 = 0
52
⇔ 𝑖{[(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔]𝑖2 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 +
𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +
(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎]𝑖 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +
𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 − 𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜔 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎]} = 0
(3.38)
Dari bentuk polynomial persamaan (3.38) berderajat dua diatas maka didapatkan
persamaan seperti berikut:
𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔
𝑏 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +
𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎
𝑐 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 −
𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎 (3.39)
Dari persamaan (3.39) maka didapatkan 𝑖 dengan:
𝑖1 = 0
𝑖2,3 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Dengan memisalkan 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑢 = (𝜇 + 𝜎), 𝑦 =
(𝜇 + 𝜖), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌) maka diperoleh bentuk polynomial seperti berikut:
𝑎 = 𝑢𝑔(1 − 𝑘)𝛽𝜔
𝑏 = 𝑥𝑢𝑔𝜔 + 𝑦𝑢𝑔(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎
𝑐 = 𝑥𝑦𝑢𝑔 − [(1 − 𝑘)𝛽𝜇𝑦 + 𝜔𝑘𝜌𝜇]𝜎
Sehingga diperoleh nilai i :
𝑖2,3 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
53
Teorema 3.5.3 diasumsikan 𝐸2 = (𝑠∗, 𝑣∗, 𝑒∗, 𝑖∗, 𝑞1∗, 𝑞2
∗) adalah titik ekuilibrium
endemik dari sistem (3.12). Jika 𝑅0 > 1, maka titik ekuilibrium 𝐸2 ada, dengan
𝑠∗ =𝜇
𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗
𝑣∗ =𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)
𝑒∗ =((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)
𝑖∗ =−𝑏+√𝑏
2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑞1∗ =
𝑛𝜃𝑖∗
(𝜇+𝛾1)
𝑞2∗ =
𝑚𝛼𝑖∗
(𝜇+𝛾2)
dengan
𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔
𝑏 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +
𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎
𝑐 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 −
𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎
Bukti. Titik ekuilibrium Endemik artinya di dalam populasi selalu terdapat individu
yang terserang penyakit, sehingga 𝐼 pada titik ekuilibrium endemik penyakit 𝐼∗ > 0.
Titik ekuilibrium endemik Jika dan hanya jika 𝑅0 > 1
⇔ 𝑅0 > 1
⇔ 𝜇𝜎[(1−𝑘)𝑦𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑥𝑦𝑢𝑔> 1
54
⇔ 𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)> 1
⇔ 𝜇𝜎[(1 − 𝑘)(𝜇 + 𝜖)𝛽 + 𝑘𝜌𝜔] > (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +
(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)
⇔ (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − 𝜇𝜎[(1 −
𝑘)(𝜇 + 𝜖)𝛽 + 𝑘𝜌𝜔] < 0 (3.40)
Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1 maka 𝑅0 > 1 jika dan hanya jika nilai 𝑐 < 0.
Berdasarkan [27], jika 𝑅0 > 1 maka 𝑐 < 0 dengan 𝑎 > 0. Berdasarkan persamaan
(3.39) jelas terlihat bahwa 𝑎 > 0 dan pada persamaan (3.40) jelas 𝑐 < 0, maka 𝑖
positif ketika
𝑖 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 (3.41)
Dengan
𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔
𝑏 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +
𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎
𝑐 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 −
𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎
Berdasarkan persamaan (3.33), (3.34), (3.35), (3.41), dan (3.36), (3.37), berturut-turut
Sehingga diperoleh nilai 𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2 Misalkan 𝐸2 = (𝑠∗, 𝑣∗, 𝑒∗, 𝑖∗, 𝑞1∗, 𝑞2
∗) adalah
titik ekuilibrium endemik dari sistem (3.12). Jika 𝑅0 > 1, maka titik ekuilibrium 𝐸2
ada.
𝑠∗ =𝜇
𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗
𝑣∗ =𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)
55
𝑒∗ =((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)
𝑖∗ =−𝑏+√𝑏
2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑞1∗ =
𝑛𝜃𝑖∗
(𝜇+𝛾1)
𝑞2∗ =
𝑚𝛼𝑖∗
(𝜇+𝛾2)
dengan
𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔
𝑏 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +
𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎
𝑐 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 −
𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎
Sehingga terbukti Teorema 3.5.3 benar. ∎
3.6 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Sistem (3.12) merupakan sistem nonlinear. Analisis kestabilan ditentukan
berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian yang diperoleh melalui metode linearisasi
sistem di sekitar titik-titik ekuilibrium dari sistem (3.12). Matriks Jacobian sistem
(3.12) hasil linearitas dari model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan
vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit di sekitar titik ekuilibrium 𝐸1 =
(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇
𝜇+𝑘𝜌,
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0) adalah
56
𝐽(𝐸) =
[ 𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑒
𝑑𝑠
𝑑𝑖
𝑑𝑠
𝑑𝑞1
𝑑𝑠
𝑑𝑞2
𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑒
𝑑𝑣
𝑑𝑖
𝑑𝑣
𝑑𝑞1
𝑑𝑣
𝑑𝑞2
𝑑𝑒
𝑑𝑠
𝑑𝑒
𝑑𝑣
𝑑𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝑖
𝑑𝑒
𝑑𝑞1
𝑑𝑒
𝑑𝑞2
𝑑𝑖
𝑑𝑠
𝑑𝑖
𝑑𝑣
𝑑𝑖
𝑑𝑒
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑞1
𝑑𝑖
𝑑𝑞2
𝑑𝑞1
𝑑𝑠
𝑑𝑞1
𝑑𝑣
𝑑𝑞1
𝑑𝑒
𝑑𝑞1
𝑑𝑖
𝑑𝑞1
𝑑𝑞1
𝑑𝑞1
𝑑𝑞2
𝑑𝑞2
𝑑𝑠
𝑑𝑞2
𝑑𝑣
𝑑𝑞2
𝑑𝑒
𝑑𝑞2
𝑑𝑖
𝑑𝑞2
𝑑𝑞1
𝑑𝑞2
𝑑𝑞2]
(3.42)
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑡 = (𝜇 + 𝛾1), ℎ =
(𝜇 + 𝛾2), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌).
𝐽(𝐸) =
[ −(𝑥 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖) 0 0 −(1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0
𝑘𝜌 −(𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖) 0 𝜔𝑣 0 0
𝛽𝑖 𝜔𝑖 −𝑢 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣 0 0
0 0 𝜎 −𝑔 0 0
0 0 0 𝑛𝜃 −𝑡 0
0 0 0 𝑚𝛼 0 −ℎ]
(3.43)
Selanjutnya akan dicari kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit sistem
(3.12). subtitusi titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇
𝜇+𝑘𝜌,
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0, 0) ke persamaan (3.43) sehingga diperoleh matriks Jacobi
sebagai berikut:
𝐽(𝐸1) =
[ −𝑥 0 0 −(1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0
𝑘𝜌 −𝑦 0 𝜔𝑣 0 0
0 0 −𝑢 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣 0 0
0 0 𝜎 −𝑔 0 0
0 0 0 𝑛𝜃 −𝑡 0
0 0 0 𝑚𝛼 0 −ℎ]
(3.44)
57
Nilai eigen matriks 𝐽(𝐸1) diperoleh dari persamaan berikut
det(𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸1)) = 0
⇔ |
|
[ 𝜆 0 0 0 0 00 𝜆 0 0 0 00 0 𝜆 0 0 00 0 0 𝜆 0 00 0 0 0 𝜆 00 0 0 0 0 𝜆]
−
[
[ −𝑥 0 0 −(1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0
𝑘𝜌 −𝑦 0 𝜔𝑣 0 0
0 0 −𝑢 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣 0 0
0 0 𝜎 −𝑔 0 0
0 0 0 𝑛𝜃 −𝑡 0
0 0 0 𝑚𝛼 0 −ℎ]
]
|
|= 0
⇔ |
|
𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0
−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣 0 0
0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] 0 0
0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔 0 0
0 0 0 −𝑛𝜃 𝜆 + 𝑡 0
0 0 0 −𝑚𝛼 0 𝜆 + ℎ
|
|= 0
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑡 = (𝜇 + 𝛾1), ℎ =
(𝜇 + 𝛾2), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌).
⇔ |
|
𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0
−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣 0 0
0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] 0 0
0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔 0 0
0 0 0 −𝑛𝜃 𝜆 + 𝑡 0
0 0 0 −𝑚𝛼 0 𝜆 + ℎ
|
|= 0
⇔ (𝜆 + ℎ) ||
𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 0
−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣 0
0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] 0
0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔 0
0 0 0 −𝑛𝜃 𝜆 + 𝑡
|| = 0
⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡) |
𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠
−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣
0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]
0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔
| = 0
58
⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡) [(𝜆 + 𝑥) |𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣
0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]
0 −𝜎 𝜆 + 𝑔
| +
𝑘𝜌 |
0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠
0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]
0 −𝜎 𝜆 + 𝑔
|] = 0
⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡) [(𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦) |𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]
−𝜎 𝜆 + 𝑔| + 0] = 0
penjabaran
⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡)[(𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦){(𝜆 + 𝑢)(𝜆 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]}] = 0
Misalkan 𝑃 = (𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦){(𝜆 + 𝑢)(𝜆 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]} sehingga
diperoleh persamaan karakteristik untuk 𝐽(𝐸1) adalah
⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡)𝑃 = 0
⇔ (𝜆 + 𝜇 + 𝛾2)(𝜆 + 𝜇 + 𝛾1)𝑃 = 0 (3.45)
Diperoleh 𝜆1 = −(𝜇 + 𝛾1) dan 𝜆2 = −(𝜇 + 𝛾1), karena 𝜇, 𝛾1, dan 𝛾2 bernilai positif
maka bagian real dari kedua nilai eigen tersebut adalah negatif. Dari persamaan (3.45)
dapat dilihat bahwa persamaan karakteristik untuk keempat nilai eigen yang lainnya
sebagai berikut:
𝑃 = (𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦){(𝜆 + 𝑢)(𝜆 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]}
⇔ 𝜆4 + (𝑥 + 𝑦 + 𝑚 + 𝑔)𝜆3 + (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 +
𝜔𝑣])𝜆2 + ((𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] + (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦)𝜆 + 𝑢𝑔𝑥𝑦 −
𝑥𝑦𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] = 0 (3.46)
Diperoleh
𝑎0 = 1
59
𝑎1 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑚 + 𝑔
𝑎2 = 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]
𝑎3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] + (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦
𝑎4 = 𝑢𝑔𝑥𝑦 − 𝑥𝑦𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣].
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 =
(𝜇 + 𝑘𝜌).
Untuk mengetahui tanda bagian real nilai eigen yang lainnya akan digunakan kriteria
Routh-Hurwitz, sehingga diperoleh:
𝑎1
𝑎0= 𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔 (3.47)
𝑎2
𝑎0= 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] (3.48)
𝑎3
𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]) (3.49)
𝑎4
𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]) (3.50)
Syarat pertama kriteria Routh-Hurwitz adalah 𝑎1
𝑎0> 0 ,
𝑎2
𝑎0> 0,
𝑎3
𝑎0> 0, dan
𝑎4
𝑎0> 0.
Akan ditunjukan 𝑎1
𝑎0> 0, perhatikan :
𝑎1
𝑎0 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔
⇔ (𝜇 + 𝑘𝜌) + (𝜇 + 𝜖) + (𝜇 + 𝜎) + (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)
⇔ 𝑎1
𝑎0= 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3 + 4𝜇 + 𝜎 + 𝜖 + 𝑘𝜌 (3.51)
Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1 maka jelas 𝑎1
𝑎0> 0.
Selanjutnya akan ditunjukan 𝑎2
𝑎0> 0, perhatikan:
60
𝑎2
𝑎0 = 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]
𝑎2
𝑎0 = 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (
𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]
⇔ 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]
⇔ 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)
⇔ 𝑢𝑔
𝑢𝑔[𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)]
⇔ 𝑢𝑔 [𝑥𝑦+𝑢𝑔+(𝑥+𝑦)(𝑚+𝑔)
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)]
⇔ 𝑢𝑔 [𝑥𝑦+𝑢𝑔+(𝑥+𝑦)(𝑚+𝑔)
𝑢𝑔− 𝑅0]
⇔ 𝑢𝑔 [𝑥𝑦+𝑢𝑔+(𝑥+𝑦)(𝑚+𝑔)
𝑢𝑔+ (1 − 𝑅0)] (3.52)
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 =
(𝜇 + 𝑘𝜌).
Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1, berdasarkan persamaan (3.52) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1
maka jelas 𝑎2
𝑎0> 0.
Selanjutnya akan ditunjukan 𝑎3
𝑎0> 0.
𝑎3
𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])
𝑎3
𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (
𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])
⇔ (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])
⇔ (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))
61
⇔ 𝑢𝑔
𝑢𝑔[(𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) ]
⇔ 𝑢𝑔 [(𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦) (
𝑢𝑔
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]
⇔ 𝑢𝑔 [(𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑅0)] (3.53)
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 =
(𝜇 + 𝑘𝜌).
Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1 berdasarkan persamaan (3.53) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1
maka jelas 𝑎3
𝑎0> 0.
Selanjutnya akan ditunjukan 𝑎4
𝑎0> 0.
𝑎4
𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])
𝑎4
𝑎0= 𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (
𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])
⇔ 𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])
⇔ 𝑢𝑔
𝑢𝑔[𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]
⇔ 𝑢𝑔 [𝑥𝑦 (𝑢𝑔
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]
⇔ 𝑢𝑔[𝑥𝑦(1 − 𝑅0)] (3.54)
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 =
(𝜇 + 𝑘𝜌).
Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1, berdasarkan persamaan (3.54) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1
maka jelas 𝑎4
𝑎0> 0.
62
𝑎4
𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]) > 0
Menurut kriteria Routh-Hurwitz semua nilai eigen (3.46) akan bernilai negatif jika
∆1> 0, ∆2> 0, ∆3> 0 dan ∆4> 0, didefinisikan matriks Routh-Hurwitz sebagai
berikut:
𝐻 = [
𝑎1 𝑎0 0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0
𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2
𝑎6 𝑎6 𝑎5 𝑎4
]
𝐻4 = [
𝑎1 1 0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 10 𝑎4 𝑎3 𝑎2
0 0 0 𝑎4
]
Dengan:
𝑎1
𝑎0= 𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔
𝑎2
𝑎0= 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]
𝑎3
𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])
𝑎4
𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])
Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 =
(𝜇 + 𝑘𝜌).
Berdasarkan matriks H diperoleh determinan matriks Routh-Hurwitz sebagai berikut:
∆1= |𝑎1| = (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) = (𝜇 + 𝑘𝜌) + (𝜇 + 𝜖) + (𝜇 + 𝜎) + (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +
(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) = 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3 + 4𝜇 + 𝜎 + 𝜖 + 𝑘𝜌 (3.55)
Berdasarkan persamaan (3.51) jelas diperoleh bahwa 𝑎1 > 0 sehingga ∆1> 0,
selanjutnya akan dibuktikan ∆2> 0
63
∆2= |𝑎1 𝑎0
𝑎3 𝑎2| = 𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)] − ((𝑢 +
𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])) (3.56)
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) +
𝜔 (𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]) − ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (
𝜇
𝜇+𝑘𝜌) +
𝜔 (𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]))
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) − ((𝑢 +
𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))
=𝑢𝑔
𝑢𝑔[(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) −
((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))]
= 𝑢𝑔 [(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦+𝑢𝑔+(𝑥+𝑦)(𝑢+𝑔)
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) − (
(𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+
(𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))]
= 𝑢𝑔 [(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦+(𝑥+𝑦)(𝑢+𝑔)
𝑢𝑔+ (1 − 𝑅0)) − (
(𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 −
𝑅0)]
= 𝑢𝑔 [(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦+(𝑥+𝑦)(𝑢+𝑔)
𝑢𝑔+ (1 − 𝑅0)) − (
(𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 −
𝑅0)]
64
= 𝑢𝑔 [1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] (3.57)
Berdasarkan persamaan (3.57) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1 maka jelas diperoleh 𝑎1𝑎2 −
𝑎3𝑎0 > 0 sehingga ∆2= |𝑎1 𝑎0
𝑎3 𝑎2| = 𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0 > 0. Selanjutnya akan dibuktikan
∆3> 0
∆3= |𝑎1 𝑎0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1
0 𝑎4 𝑎3
| = 𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00) = 𝑎3(∆2) − 𝑎12𝑎4
= ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]))𝑢𝑔 [1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 +
𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2(𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 +
𝜔𝑣])) (3.58)
= ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) +
𝜔 (𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])) 𝑢𝑔 [
1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 −
𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]))
= ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))) 𝑢𝑔 [
1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 +
𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))
65
=𝑢𝑔
𝑢𝑔[((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))) 𝑢𝑔 [
1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 +
𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))]
= 𝑢𝑔 ((𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦) (
𝑢𝑔
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))𝑢𝑔 [
1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 +
𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − 𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))
= 𝑢𝑔 ((𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑅0))𝑢𝑔 [
1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) +
(𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − 𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2(𝑥𝑦(1 − 𝑅0))
= 𝑢𝑔2 ((𝑢+𝑔)𝑥𝑦
𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑅0)) (
1
𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 +
𝑔)(1 − 𝑅0)) − 𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2(𝑥𝑦(1 − 𝑅0)) (3.59)
Persamaan (3.55) dan (3.57) telah terpenuhi dengan detail perhitungan yang telah
dijabarkan. Dengan demikian analisis kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1
stabil asimtotil lokal jika memenuhi kriteria persamaan (3.57) yang ditunjukkan secara
numerik dengan menggunakan maple 2020.
Selanjutnya akan dibuktikan ∆4> 0
∆4= |
𝑎1 𝑎0 0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 10 𝑎4 𝑎3 𝑎2
0 0 0 𝑎4
| = 𝑎4[𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00)] = 𝑎4(∆3)
66
= (𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]))(∆3) (3.60)
= 𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇
𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]) (∆3)
=𝑢𝑔
𝑢𝑔[𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))] (∆3)
= 𝑢𝑔 [𝑥𝑦 (𝑢𝑔
𝑢𝑔−
𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))] (∆3)
= 𝑢𝑔[𝑥𝑦(1 − 𝑅0)](∆3) (3.61)
Berdasarkan persamaan (3.61) yang bergantungan dengan persamaan (3.59) maka
persamaan ∆4= 𝑎4[𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00)] = 𝑎4(∆3) > 0 jika dan
hanya jika 𝑅0 < 1 dan persamaan (3.59) yang ditunjukkan secara numerik dengan
menggunakan maple 2020.
Determinan matriks Routh-Hurwitz ∆1, ∆2, ∆3dan ∆4 bernilai positif jika ∆3
terpenuhi dan 𝑅0 < 1. Dengan demikian persamaan (3.46) mempunyai akar-akar yang
bagian realnya negatif. Sehingga berdasarkan Teorema 2.6.4 dapat disimpulkan bahwa
titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1 merupakan stabil asimtotik lokal.
67
BAB IV
SIMULASI MODEL
Bab ini berisi simulasi numerik dari model matematika penyebaran penyakit
coronavirus disease 2019 (covid-19) dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina
di rumah sakit. Simulasi dilakukan untuk membuktikan Teorema 3.6.1 dan Teorema
3.5.3, serta untuk melihat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik
ekuilibrium endemik. Simulasi menggunakan bantuan Maple 2020 dengan parameter
– parameter yang digunakan diperoleh dari penelitian – penelitian sebelumnya serta
asumsi terkait penyakit Covid – 19.
4.1 Nilai – nilai Parameter
Adapun nilai – nilai parameter yang digunakan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut:
1. Diasumsikan total populasi adalah 270.200.000 individu [32].
2. Laju kelahiran dan kematian alami yang diasumsikan sama,dengan tingkat
kelahiran dan kematian alami sebesar [32].
𝜇 = 1.25% = 0.0125
3. Laju penularan Covid-19 adalah 0.2 [8]
𝛽 = 0.2 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
4. Masa inkubasi penyakit Covid-19 adalah 2 – 14 hari [28]. Misalkan masa
inkubasi penyakit Covid-19 diasumsikan 14 hari, maka laju individu laten
menjadi individu terinfeksi sebesar
𝜎 =1
14
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
= 0.071428557143
68
5. Laju perpindahan individu rentan yang divaksinasi, Indonesia memprediksi
akan memvaksin sebanyak 181.554.465 jiwa dari total penduduk yang ada
dan diperkirakan selesai dalam waktu 15 bulan [33]. sehingga Laju
perpindahan individu rentan yang divaksinasi sebesar
𝜌 =1
15
1
𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
=1
455
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
= 0.002197802198
6. Proporsi individu rentan yang divaksinasi, penerima tahap kedua vaksi di
Indonesia sudah sebanyak 20.810 jiwa dengan total penduduk 270.200.000
[31] maka proporsi individu rentan yang divaksinasi sebesar
𝑘 =20.810
270.200.000 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
= 0.00007701702443
≈ 0.000077
7. Laju individu yang telah melakukan vaksinasi tetap dapat tertular Covid –
19 karena berinteraksi dengan individu terinfeksi, tubuh manusia yang
sudah divaksinasi sampai tahap kedua mempunyai kekebalan terhadap virus
corona selama 3 bulan [34]. maka lajunya sebesar
𝜔 =1
3
1
𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
=1
90
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
≈ 0.0111111
8. Laju individu yang telah melakukan vaksinasi dan kebal terhadap penyakit,
rata – rata manusia membutuhkan waktu 10 – 14 hari untuk membangun
sejumlah antibodi pelindung [35]. maka lajunya individu yang telah
melakukan vaksinasi dan kebal terhadap penyakit sebesar
𝜖 =1
14
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
69
= 0.071428557143
9. Laju perpindahan individu terinfeksi Covid-19 untuk melakukan isolasi
mandiri adalah 4.6 hari [11], maka laju perpindahannya sebesar
𝜃 =1
4.6
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
= 0.2173913043
10. Laju perpindahan individu terinfeksi Covid-19 untuk melakukan karantina
di rumah sakit adalah 1.06 hari [29], maka laju perpindahannya sebesar
𝛼 =1
1.063
1
ℎ𝑎𝑟𝑖
≈ 0.94
11. Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan
karantina di rumah sakit diasumsikan lajunya lebih kecil dibandingkan
proporsi individu yang melakukan isolasi mandiri maka besar proporsi
individu yang melakukan karantina di rumah sakit dan individu yang
melakukan isolasi mandiri sebesar
𝑚 = 25% = 0.25
𝑛 = 45% = 0.45
12. Individu terinfeksi Covid-19 menjadi individu Removed dengan laju
sebesar [29]
𝛾3 = 0.27 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
13. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang melakukan isolasi mandiri
menjadi individu Removed dengan laju sebesar [30]
𝛾1 = 0.6 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
14. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang karantina di rumah sakit menjadi
individu Removed dengan laju sebesar [30]
𝛾2 = 0.8 1
ℎ𝑎𝑟𝑖
70
15. Individu terinfeksi Covid-19 dapat meninggal akibat penyakit yang
diasumsikan sebesar 𝛿3 = 01
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8].
16. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang melakukan isolasi mandiri dapat
meninggal akibat penyakit yang diasumsikan sebesar 𝛿1 = 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8].
17. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang karantina di rumah sakit dapat
meninggal akibat penyakit yang diasumsikan sebesar 𝛿2 = 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8].
Dengan demikian diperoleh nilai – nilai parameter seperti berikut
Tabel 4. 1 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium bebas penyakit sistem (3.12)
Parameter Nilai Satuan Referensi
𝜇 0.0125 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [32]
𝛽 0.2 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝜎 0.071428571 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [28]
𝜌 0.002197802198 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [33]
𝑘 0.000077 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [31]
𝜔 0.0111111 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [34]
𝜖 0.071428557143 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [35]
𝜃 0.2173913043 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [11]
𝛼 0.94 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [29]
𝑚 0.2 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖
𝑛 0.45 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖
71
𝛾1 08 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [30]
𝛾2 0.6 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [30]
𝛾3 0.27 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [29]
𝛿1 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝛿2 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝛿3 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝑁 270.200.000 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 [32]
4.2 Perhitungan Numerik dan Simulasi
Berdasarkan nilai – nilai parameter diatas maka diperoleh bilangan reproduksi
dasar dari sistem (3.12) adalah 𝑅0 = 0.3992187663 < 1. Karena 𝑅0 < 1 maka
penyakit tidak akan menyebar, dengan kata lain untuk menjaga waktu tertentu populasi
akan bebas penyakit. Titik ekuilibrium bebas penyakit adalah 𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) =
(0.9999864618, 0.000002016339313, 0, 0, 0,0). Serta diperoleh hasil simulasi dari
∆3= 𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00) = 𝑎3(∆2) − 𝑎12𝑎4 = 0.00009842838438
sehingga kriteria Routh – Hurwitz terpenuhi. Maka titik ekuilibrium bebas penyakit
akan stabil asimtotik lokal.
Hasil simulasi di titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1 menggunakan program
Maple 2020 berdasarkan parameter pada tabel 4.1 dan dengan sebarang nilai awal
𝑠(0) = 0.58, 𝑣(0) = 0.06 𝑒(0) = 0.17, 𝑖(0) = 0.15, 𝑞1(0) = 0.01, 𝑞2(0) = 0.02
yang ditampilkan dalam gambar berikut:
72
4. 1 Simulasi sistem (3.12) menuju titik ekuilibrium bebas penyakit
(a) simulasi titik s (b) simulasi titik v
73
(c) simulasi titik e (d) simulasi titik i
(e) simulasi titik 𝒒𝟏 (f) simulasi titik 𝒒𝟐
4. 2 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik i,
(e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium bebas
penyakit
Berdasarkan gambar 4.2 (a) populasi individu rentan naik, hingga hari ke-500
populasi individu rentan mencapai titik 0.9999864618 dan stabil pada titik tersebut.
Pada gambar 4.2 (b) individu yang telah divaksinasi menurun, hingga hari ke-130
74
populasi individu yang telah divaksinasi mencapai titik 0.000002016339313 dan
stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.2 (c) individu laten menurun, hingga hari ke-
100 menuju 0 dan stabil pada titik tersebut. . Pada gambar 4.2 (d) individu terinfeksi
menurun, hingga hari ke-100 menuju 0 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.2
(e) individu yang melakukan isolasi mandiri menurun, hingga hari ke-80 menuju 0 dan
stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.2 (f) individu yang melakukan karantina di
rumah sakit awalnya menurun, hingga pada hari ke-80 menuju 0 dan stabil pada titik
tersebut.
Jumlah populasi untuk menyebaran penyakit Covid-19 dari masing – masing
kompartemen akan stabil pada saat yang bersamaan di titik ekuilibrium bebas penyakit
setelah hari ke-500 dengan:
1. Jumlah populasi rentan
𝑆 = 𝑠 . 𝑁
= (0.9999864618)(270.200.000)
= 270.196.342 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
2. Jumlah populasi yang telah divaksinasi
𝑉 = 𝑣 . 𝑁
= (0.000002016339313)(270.200.000)
= 544.8148824 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
≈ 545 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
Sedangkan untuk proporsi populasi individu sembuh dapat dihitung dengan :
1 = 𝑠 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑑 + 𝑟
𝑟 = 1 − (𝑠 + 𝑣 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞1 + 𝑞2)
𝑟 = 1 − (0.9999864618 + 0.000002016339313 + 0 + 0 + 0 + 0)
𝑟 = 1 − 0.999988478
𝑟 = 0.00001152186069
75
Sehingga jumlah populasi yang sembuh adalah
𝑅 = 𝑟 . 𝑁
= (0.00001152186069 )(270.200.000)
= 3.113,206758 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
≈ 3.113 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
Selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk 𝑅0 > 1. Jika nilai
parameter 𝛽 diperbesar dari nilai sebelumnya menjadi 𝛽 = 0.85 dan nilai parameter 𝜎
diperbesar dari nilai sebelumnya menjadi 𝜎 = 0.5, Dengan demikian diperoleh nilai –
nilai parameter seperti berikut
Tabel 4. 2 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium endemik sistem (3.12)
Parameter Nilai Satuan Referensi
𝜇 0.0125 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [32]
𝛽 0.85 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝜎 0.2 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [28]
𝜌 0.002197802198 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [33]
K 0.000077 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [31]
𝜔 0.0111111 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [34]
𝜖 0.071428557143 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [35]
𝜃 0.2173913043 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [11]
𝛼 0.94 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [29]
𝑚 0.2 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖
76
𝑛 0.45 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖
𝛾1 08 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [30]
𝛾2 0.6 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [30]
𝛾3 0.27 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [29]
𝛿1 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝛿2 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝛿3 0 1
ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]
𝑁 270.200.000 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 [32]
Berdasarkan nilai – nilai parameter diatas maka diperoleh bilangan reproduksi
dasar dari sistem (3.12) adalah 𝑅0 = 1.944974188 > 1. Karena 𝑅0 > 1 maka
berdasarkan Teorema 3.5.3 penyakit akan menyebar atau dengan kata lain akan terjadi
endemik. Perhitungan titik ekuilibriumnya didapatkan sebagai berikut:
1. Titik ekuilibrium individu terinfeksi (𝑖∗)
𝑖∗ =−𝑏+√𝑏
2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑖∗ =−0.01030412713 + 0.01039051688
0.004126755584
𝑖∗ = 0.02093406024
2. Titik ekuilibrium individu rentan (𝑠∗)
𝑠∗ =𝜇
𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗
𝑠∗ = 0.4126399840
77
3. Titik ekuilibrium individu terinfeksi (𝑣∗)
𝑣∗ =𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)
𝑣∗ = 0.0000008297339516
4. Titik ekuilibrium individu laten (𝑒∗)
𝑒∗ =((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖
(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)
𝑒∗ = 0.01432571817
5. Titik ekuilibrium individu yang melakukan isolasi mandiri (𝑞1∗)
𝑞1∗ =
𝑛𝜃𝑖∗
(𝜇+𝛾1)
𝑞1∗ = 0.003343505628
6. Titik ekuilibrium individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑞2∗)
𝑞2∗ =
𝑚𝛼𝑖∗
(𝜇+𝛾2)
𝑞2∗ = 0.006054774346
Maka diperoleh nilai titik ekuilibrium endemik sistem persamaan (3.12) yaitu
𝐸2 = (𝑠∗, 𝑣∗, 𝑖∗, 𝑒∗, 𝑞1∗, 𝑞2
∗) = (0.4126399840, 0.0000008297339516 ,
0.01432571817, 0.02093406024, 0.003343505628, 0.006054774346)
Dengan tabel 4.2 nilai – nilai parameter dan nilai awal 𝑠(0) = 0.4, 𝑣(0) =
0 𝑒(0) = 0.15, 𝑖(0) = 0.2, 𝑞1(0) = 0.09, 𝑞2(0) = 0.13 maka diperoleh hasil
simulasi seperti berikut:
78
4. 3 simulasi sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik
(a) simulasi titik s (b) simulasi titik v
79
(c) simulasi titik e (d) simulasi titik i
(e) simulasi titik 𝒒𝟏 (f) simulasi titik 𝒒𝟐
4. 4 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik i,
(e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik
Berdasarkan gambar 4.4 (a) populasi individu rentan naik dan menurun, hingga
hari ke-700 populasi individu rentan mencapai titik 0.4126399840 dan stabil pada
titik tersebut. Pada gambar 4.4 (b) individu yang telah divaksinasi naik dan menurun,
hingga hari ke-800 populasi individu yang telah divaksinasi mencapai titik
0.0000008297339516 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.4 (c) individu
laten menurun dan naik kembali, hingga hari ke-600 populasi individu laten mencapai
80
titik 0.01432571817 dan stabil pada titik tersebut. . Pada gambar 4.4 (d) individu
terinfeksi menurun dan naik kembali, hingga hari ke-600 populasi individu terinfeksi
mencapai titik 0.02093406024 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.4 (e)
individu yang melakukan isolasi mandiri menurun dan naik kembali, hingga hari ke-
550 populasi individu yang sedang melakukan isolasi mandiri mencapai titik
0.003343505628 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.4 (f) individu yang
melakukan karantina di rumah sakit awalnya menurun dan naik kembali, hingga pada
hari ke-550 populasi individu yang sedang melakukan karantina di rumah sakit
mencapai titik 0.006054774346 dan stabil pada titik tersebut.
Berdasarkan kesimpulan diatas, maka jumlah populasi untuk penyebaran
penyakit Covid-19 dari masing – masing kompartemen akan stabil pada saat yang
bersamaan di titik ekuilibrium endemik setelah hari ke-800 dengan:
1. Jumlah populasi individu rentan
𝑆 = 𝑠∗. 𝑁
= (0.4126399840 )(270.200.000)
≈ 111.495.324 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
2. Jumlah populasi individu laten
𝑉 = 𝑣∗. 𝑁
= (0.0000008297339516)(270.200.000)
≈ 224 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
3. Jumlah populasi individu laten
𝐸 = 𝑒∗. 𝑁
= (0.01432571817)(270.200.000)
≈ 3,870,809 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
4. Jumlah populasi individu terinfeksi
𝐼 = 𝑖∗. 𝑁
= ( 0.02093406024)(270.200.000)
81
≈ 5,656.383 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
5. Jumlah populasi individu yang melakukan isolasi mandiri
𝑄1 = 𝑞1∗. 𝑁
= (0.003343505628)(270.200.000)
≈ 903.415 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
6. Jumlah populasi individu yang melakukan karantina di rumah sakit
𝑄2 = 𝑞2∗. 𝑁
= (0.006054774346)(270.200.000)
≈ 1.117.381 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
Sedangkan untuk proporsi populasi individu sembuh dapat dihitung dengan :
1 = 𝑠∗ + 𝑒∗ + 𝑖∗ + 𝑞1∗ + 𝑞2
∗ + 𝑑∗ + 𝑟∗
𝑟∗ = 1 − (𝑠∗ + 𝑒∗ + 𝑖∗ + 𝑞1∗ + 𝑞2
∗ + 𝑑∗)
𝑟∗ = 1 − (0.4126399840 + 0.0000008297339516 +
0.01432571817 + 0.02093406024 + 0.003343505628 +
0.006054774346)
𝑟∗ = 1 − (0.457298872)
𝑟∗ = 0.542701127
Sehingga jumlah populasi yang sembuh adalah
𝑅 = 𝑟∗ . 𝑁
= (0.542701127)(270.200.000)
= 146.637.845 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
Selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk melihat efektivitas pada
penggunaan vaksin dengan mengubah nilai parameter proporsi vaksin (𝑘) disajikan
dalam tabel berikut:
82
Tabel 4. 3 efektivitas penggunaan vaksin
𝒌 𝑹𝟎 Penyakit menghilang
hari ke -
0 0.3992548689 85
0.2 0.3086658783 80
0.4 0.2240293471 75
0.6 0.1447772474 70
0.8 0.07041159698 65
1 0.0004939853880 62
Berikut adalah grafik untuk simulasi efektivitas penggunaan vaksin:
(a) simulasi titik i ketika k=0 (b) simulasi titik i ketika k=0.2
83
(c) simulasi titik i ketika k=0.4 (d) simulasi titik i ketika k=0.6
(e) simulasi titik i ketika k=0.8 (f) simulasi titik i ketika k=1
4. 5 (a) simulasi titik i ketika u=0, (b) simulasi titik i ketika u=0.2, (c) simulasi
titik i ketika u=0.4, (d) simulasi titik i ketika u=0.6, (e) simulasi titik i ketika
u=0.8, dan (f) simulasi titik i ketika u=1
Berdasarkan gambar 4.5 (a) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 = 0
diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 = 0.3992548689 < 1 yang artinya
bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun hingga hari ke-85 menuju ke titik 0
84
dan stabil pada titik tersebut. Berdasarkan gambar 4.5 (b) ketika nilai parameter
proporsi vaksin 𝑘 = 0.2 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 =
0.3086658783 < 1 yang artinya bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun
hingga hari ke-80 menuju ke titik 0 dan stabil pada titik tersebut. Berdasarkan gambar
4.5 (c) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 = 0.4 diperoleh nilai bilangan
reproduksi dasar 𝑅0 = 0.2240293471 < 1 yang artinya bebas penyakit, dan individu
terinfeksi menurun hingga hari ke-70 menuju ke titik 0 dan stabil pada titik tersebut.
Berdasarkan gambar 4.5 (d) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 = 0.6 diperoleh
nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 = 0.1447772474 < 1 yang artinya bebas penyakit,
dan individu terinfeksi menurun hingga hari ke-70 menuju ke titik 0 dan stabil pada
titik tersebut. Berdasarkan gambar 4.5 (e) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 =
0.8 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 = 0.07041159698 < 1 yang artinya
bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun hingga hari ke-65 menuju ke titik 0
dan stabil pada titik tersebut. Berdasarkan gambar 4.5 (f) ketika nilai parameter
proporsi vaksin 𝑘 = 1 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 =
0.0004939853880 < 1 yang artinya bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun
hingga hari ke-62 menuju ke titik 0 dan stabil pada titik tersebut.
4.3 Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas digunakan untuk mengidentifikasi parameter mana yang
memiliki pengaruh paling signifikan pada nilai 𝑅0 yang kemudian dijadikan intervensi.
Parameter yang berdampak paling tinggi pada 𝑅0 menunjukkan bahwa parameter
tersebut memiliki pengaruh yang paling dominan terhadap epidemi atau dalam
penyebaran penyakit covid – 19. Analisis sensitivitas dihitung dengan menurunkan
persamaan 𝑅0 terhadap parameter 𝑝 [24].
𝐶𝑝𝑅0 =
𝜕𝑅0
𝜕𝑝 𝑥
𝑝
𝑅0 (4.1)
Dengan menggunakan rumus pada persamaan (4.1) dan nilai parameter pada
tabel (4.1) dihasilkan indeks sensitivitas setiap parameter dalam bilangan reproduksi
85
dasar 𝑅0 yang ditampilkan pada tabel (4.3) berikut sebagai contoh mencari nilai indeks
sensitivitas 𝑅0 terhaap parameter 𝛽 sebagai berikut.
𝐶𝛽𝑅0 =
𝜕𝑅0
𝜕𝛽 𝑥
𝛽
𝑅0
=𝜇𝜎(1−𝑘)(𝜇+𝜖)
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3) 𝑥 𝛽
𝑅0
= 𝛽𝜇𝜎(1−𝑘)(𝜇+𝜖)
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)𝑅0
= 0.9999998981
Tabel 4. 4 Indeks Sensitivitas Parameter
Parameter Indeks Sensitivitas
𝛽 + 0.9999998981
𝛼 − 0.5512212536
𝑚 − 0.3928917446
𝜃 − 0.2294630566
𝛾3 − 0.1899954108
𝜇 −0.1782441574
𝜎 + 0.1489361705
𝑛 + 0.05553005977
𝑘 − 0.00008221059025
𝜌 −0.00001220569702
𝜔 + 1.018438163 𝑥 10−7
𝜖 − 8.802834744 𝑥 10−8
Indeks sensitivitas pada tabel 4.3 secara berurutan menunjukkan parameter dari
yang tertinggi sensitivitas ke terendah sensitivitas. Parameter – parameter diatas
mempunyai pengaruh terhadap nilai bilangan reproduksi dasar, contohnya 𝛽 (Laju
Perpindahan dari individu rentan menjadi individu laten setelah terinfeksi dengan
86
individu terinfeksi) dan 𝜎 (Laju Perpindahan dari individu laten menjadi individu
terinfeksi) memiliki nilai indeks sensitivitas positif tertinggi yang artinya dengan
meningkatkan nilai parameter tersebut dan nilai parameter yang lain tetap sama akan
berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan meningkat dan
sebaliknya ketika nilai tersebut menurun dan nilai parameter yang lain tetap sama akan
berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan menurun, dan begitu
pula sebaliknya untuk indeks sensitifitas bernilai negatif contohnya 𝛼 (Laju
Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan karantina di
rumah sakit) dan 𝑚 (Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan
karantina di rumah sakit) memiliki nilai indeks sensitivitas negatif tertinggi yang
artinya dengan meningkatkan nilai parameter tersebut dan nilai parameter yang lain
tetap sama akan berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan
menurun dan sebaliknya ketika nilai tersebut menurun dan nilai parameter yang lain
tetap sama akan berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan
meningkat.
Indeks sensitivitas menunjukan bahwa 𝛽 (Laju Perpindahan dari individu
rentan menjadi individu laten setelah terinfeksi dengan individu terinfeksi) adalah
parameter yang paling berpengaruh (positif) secara signifikan terhadap penularan
Covid – 19, ketika nilai indeks sensitivitas dari laju 𝛽 sebesar 0.9999 ketika parameter
𝛽 diperbesar (atau diperkecil) sebesar 10% maka nilai 𝑅0 akan meningkat (atau
menurun) sebesar 9.99%. Indeks sensitivitas 𝛼 (Laju Perpindahan dari individu
terinfeksi menjadi individu yang melakukan karantina di rumah sakit) adalah parameter
yang paling berpengaruh (negatif) secara signifikan terhadap penularan Covid – 19,
ketika nilai indeks sensitivitas dari laju 𝛼 sebesar 0.5512 ketika parameter 𝛼 diperbesar
(atau diperkecil) sebesar 10% maka nilai 𝑅0 akan menurun (atau meningkat) sebesar
5.512%.
87
Berdasarkan nilai parameter yang digunakan untuk simulasi numerik
didapatkan nilai 𝑅0 < 1 sehingga penyakit dapat menghilang. Namun penyakit ini akan
menjadi mewabah apabila 𝑅0 > 1.
𝑅0 =𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)
Dengan nilai parameter 𝜇 merupakan laju kelahiran dan kematian alami setiap
individu yang diasumsikan sama. Berasarkan hasil analisis sensitivitas tindakan
selanjutnya untuk mencegah terjadinya wabah dapat dilakukan dengan cara membuat
nilai 𝑅0 < 1 yaitu dengan cara sebagai berikut:
1. Mengurangi kontak individu rentan dengan individu terinfeksi (𝛽). Misalkan
ketika sedang flu dan demam usahakan tidak keluar rumah dan tidak
berinteraksi dengan orang lain, hindari penggunaan barang bersamaan dengan
penderita penyakit Covid-19, dan jagalah kebersihan diri dengan rajin mencuci
tangan atau menggunakan handsanitizer.
2. Meningkatkan laju individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝛼) dan
isolasi mandiri (𝜃). Misalkan ketika tubuh sudah merasa kurang sehat dan
menampakkan gejala – gejala terinfeksi Covid – 19 segera isolasi mandiri di
rumah dan tidak berinteraksi dengan orang lain atau jika gejala yang muncul
sudah parah segera periksa ke rumah sakit.
3. Meningkatkan proporsi individu yang divaksinasi (𝑘) dan laju individu yang
melakukan vaksinasi (𝜌) di suatu wilayah yang terjadi wabah covid – 19,
dengan mempercepat proses vaksinasi supaya semakin banyak jumlah individu
yang tervaksinasi.
88
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan asumsi – asumsi dan pembahasan pada bab – bab sebelumnya,
dapat diperoleh kesimpulan model matematika penyeberan penyakit coronavirus
disease 2019 (covid – 19) dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah
sakit yaitu:
1. Berdasarkan diagram transfer penyebaran penyakit Covid – 19 yang telah
disusun pada penelitian ini, diperoleh model SVEIQR dimana kompartemen Q
terbagi menjadi karantina di rumah atau isolasi mandiri dan karantina di rumah
sakit. Model yang diperoleh berupa sistem persamaan diferensial biasa.
2. Memiliki dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit
𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇
𝜇+𝑘𝜌,
𝑘𝜌𝜇
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0) yang memiliki
kestabilan titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal saat 𝑅0 < 1 dan titik
ekuilibrium endemik 𝐸2(𝑠∗, 𝑣∗, 𝑒∗, 𝑖∗, 𝑞1
∗, 𝑞2∗) yang eksistensinya bergantung
pada 𝑅0 yaitu ad ajika 𝑅0 > 1.
3. Diperoleh bilangan reproduksi dasar dari model yaitu
𝑅0 = 𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]
(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)
4. Berdasarkan hasil simulasi efektivitas pada penggunaan vaksin, penyakit akan
semakin cepat menghilang ketika proporsi penggunaan vaksin di perbesar, yang
artinya penggunaan vaksin cukup efektiv.
5. Berdasarkan hasil analisis kestabilan titik ekuilibrium dan simulasi numerik
disimpulkan penyakit akan hilang jika 𝑅0 < 1 dan akan menetap pada populasi
atau mewabah jika 𝑅0 > 1. Berdasarkan hal tersebut langkah yang dapat
89
dilakukan supaya penyakit tidak menjadi wabah adalah dengan mengurangi
kontak antara individu terinfeksi dengan individu rentan (𝛽), Meningkatkan
laju individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝛼) dan isolasi mandiri
(𝜃), Meningkatkan proporsi individu yang divaksinasi (𝑘) dan laju individu
yang melakukan vaksinasi (𝜌) di wilayah yang sedang terjangkit Covid – 19.
5.2 Saran
Pada penelititian ini telah membahas model matematika penyebaran penyakit
coronavirus disease 2019 (covid – 19) dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina
di rumah sakit, untuk penelitian selanjutnya disarankan untuk:
1. Menambahkan asumsi individu yang sudah sembuh dari penyakit dapat
kembali menjadi individu rentan.
2. Dalam penelitian ini peneliti mengasumsikan laju kematian akibat penyakit
sama dengan nol, maka disarankan untuk tidak mengasumsikan laju
kematian sama dengan nol.
90
REFERENSI
[1] N. Anggriani, A. K. Supriatna, B. Subartini, and R. Wulantini, “Kontrol
Optimum pada Model Epidemik SIR dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor
Imigrasi,” J. Mat. Integr., 2016, doi: 10.24198/jmi.v11.n2.9422.111-118.
[2] Phan L.T., Nguyen T.V. et al. (2020). Importation and Human-to-Human
Transmission of a Novel Coronavirus in Vietnam, the New England Journal of
Medicine, 382(1), 1-3.
[3] F. Isbaniah and A. D. Susanto, “Pneumonia Corona Virus Infection Disease -19
( COVID-19 ),” J Indon Med Assoc, vol. 70, no. 4, pp. 87–94, 2020.
[4] Y. Yulida and M. A. Karim, “Pemodelan Matematika Penyebaran COVID-19
di Provinsi Kalimantan Selatan,” J. Binawakya, vol. 14, no. 10, pp. 3257–3264,
2020, [Online]. Available:
http://ejurnal.binawakya.or.id/index.php/MBI/article/view/572.
[5] "Gugus Tugas Percepatan Penanganan COVID-19," 07 02 2021. [Online].
Available: http: //covid19.go.id/. [Accessed 07 02 2021].
[6] D. Telaumbanua, “Urgensi Pembentukan Aturan Terkait Pencegahan Covid-19
di Indonesia,” QALAMUNA J. Pendidikan, Sos. dan Agama, vol. 12, no. 01, pp.
59–70, 2020, doi: 10.37680/qalamuna.v12i01.290.
[7] "VAKSIN COVID-19," 07 02 2021. [Online]. Available: http:
//covid19.go.id/. [Accessed 07 02 2021].
[8] B. H. Prasad, “MATHEMATICAL STUDY ON COVID - 19 WITH SIR
EPIDEMIC,” vol. IX, no. V, pp. 177–184.
91
[9] B. K. Mishra et al., “COVID-19 created chaos across the globe: Three novel
quarantine epidemic models,” Chaos, Solitons and Fractals, 2020, doi:
10.1016/j.chaos.2020.109928.
[10] A. Ali, F. S. Alshammari, S. Islam, M. A. Khan, and S. Ullah, “Modeling and
analysis of the dynamics of novel coronavirus (COVID-19) with Caputo
fractional derivative,” Results Phys., vol. 20, no. September 2020, p. 103669,
2021, doi: 10.1016/j.rinp.2020.103669.
[11] M. Manaqib, I. Fauziah, and M. Mujiyanti, “Mathematical Model for MERS-
COV Disease Transmission with Medical Mask Usage and Vaccination,” Inpr.
Indones. J. Pure Appl. Math., vol. 1, no. 2, pp. 97–109, 2019, doi:
10.15408/inprime.v1i2.13553.
[11] B. H. Foy, B. Wahl, K. Mehta, A. Shet, G. I. Menon, and C. Britto, “International
Journal of Infectious Diseases Comparing COVID-19 vaccine allocation
strategies in India : A mathematical modelling study,” Int. J. Infect. Dis., vol.
103, pp. 431–438, 2021, doi: 10.1016/j.ijid.2020.12.075.
[13] Ellyvon Pranita. 2021. “Jika Sudah Vaksinasi, Masih Bisakah Terinfeksi Covid
– 19? Ini kata ahli” 27 02 2021. [Online]. https://www.kompas.com/ [Accessed
27 02 2021]
[14] S. Sifriyani and U. Mulawarman, “Pemodelan Susceptible Infected Recovered
( Sir ) Untuk Estimasi Angka Reproduksi Covid-19 Di Kalimantan Timur Dan
Samarinda,” no. July, pp. 1–13, 2020.
[15] M. M. C. Otálora, “Yuliana,” Corona viru disease (Covid – 19): sebuah
tinjauan literature, vol. 2, no. February, pp. 124–137, 2020, doi:
10.2307/j.ctvzxxb18.12.
[16] H. Anton and C. Rorres, Aljabar Linear Elementer, Erlangga, 2004.
92
[17] S. L. Ross, Introduction to Ordinary Differential Equations, 3th ed. New Jersey:
Wiley, 1989.
[18] W. E. Boyce, R. C. DiPrima, dan D.B. Meade, Elementary Differential
Equations and Boundary Value Problems, 11th ed. New Jersey: Wiley, 2017.
[19] G. J. Olsder dan J. W. van der Woude, Mathematical Systems Theory, 2nd ed.
Netherlands: Delft University of Technology, 2003.
[20] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems 3rd Edition Vol. 7,
New York: Springer, 2000.
[21] O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, and M. G. Roberts, “The construction of
next-generation matrices for compartmental epidemic models,” J. R. Soc.
Interface, vol. 7, no. 47, pp. 873–885, 2010, doi: 10.1098/rsif.2009.0386.
[22] M. Martcheva, An Introduction to Mathematical Epidemology, New York:
2015.
[23] P. van den Driessche dan J. Watmough, ”Reproduction numbers and sub-
threshold endemic equilibria for compartmental models of disease
transmission”, Mathematical Biosciences vol. 180, pp. 29-48, 2002.
[24] R. Resmawan and L. Yahya, “Sensitifity Analysis of Mathematical Model of
Coronavirus Disease (COVID-19) Transmission,” Cauchy, vol. 6, no. 2, p. 91,
2020, doi: 10.18860/ca.v6i2.9165.
[25] K. B. Blyuss and Y. N. Kyrychko, "On a basic model of a two-disease
epidemic," ELSEVIER, pp. 177-187, 2005.
[26] O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, and M. G. Roberts, “compartmental
epidemic models The contruction of next-generation matrices for Subject
collections The contruction of next-generation matrices for compartmental
93
epidemic models,” J, R. Soc. Interface, vol. 7, no. November 2009, pp. 873 –
885, 2010.
[27] H. Lv, L. Fei, Z. Yuan, and F. Zhang, “Global Dynamic Analysis of a Vector-
Borne Plant Disease Model with Discontinuous Treatment,” Appl. Math., vol.
09, no. 05, pp. 496–511, 2018, doi: 10.4236/am.2018.95036.
[28] A. B. Gumel, E. A. Iboi, C. N. Ngonghala, and E. H. Elbasha, “A primer on
using mathematics to understand COVID-19 dynamics : Modeling , analysis
and simulations,” Infect. Dis. Model., vol. 6, no. August 2020, pp. 148–168,
2021, doi: 10.1016/j.idm.2020.11.005.
[29] F. Ndaïrou, I. Area, J. J. Nieto, and D. F. M. Torres, “Mathematical modeling
of COVID-19 transmission dynamics with a case study of Wuhan,” Chaos,
Solitons and Fractals, vol. 135, 2020, doi: 10.1016/j.chaos.2020.109846.
[30] C. C. Zhu and J. Zhu, “Dynamic analysis of a delayed COVID-19 epidemic
with home quarantine in temporal-spatial heterogeneous via global exponential
attractor method,” Chaos, Solitons and Fractals, vol. 143, 2021, doi:
10.1016/j.chaos.2020.110546.
[31] Emin Yanwardhana. 2021. “Orang RI yang Sudah Divaksin Covid Belum
Sampai Setengah Juta” 15 02 2021. [Online].
https://www.cnbcindonesia.com/news/ [Accessed 15 02 2021].
[32] “DATA SENSUS PENDUDUK 2020” 07 02 2021. [Online].
https://www.bps.go.id/ [Accessed 07 02 2021].
[33] Uyung Pramudiarja. 2021. “VAKSINASI COVID-19 RI Selesai 15 Bulan,
Target 181,5 Juta Orang” 25 02 2021. [Online]. https://health.detik.com/
[Accessed 25 02 2021].
94
[34] “Berapa lama tubuh akan kebal dari virus corona setelah suntik vaksin?” 25 02
2021. [Online]. https://www.google.com/amp/amp.kontan.co.id/ [Accessed 25
02 2021].
[35] Ayunda Septiani. “Tak Langsung Kebal, Butuh Waktu Bangun Antibodi
Setelah Suntik Vaksin COVID-19” 25 02 2021. [Online].
https://health.detik.com/ [Accessed 25 02 2021].
95
LAMPIRAN I
PROGRAM MAPLE GAMBAR 4.1
> restart;
> with(LinearAlgebra); with(DEtools); with(plots); with(linalg);
> ds := mu - (mu + k*rho + (1 - k)*beta*i)*s;
> dv := k*rho*s - (i*omega + epsilon + mu)*v;
> de := ((1 - k)*beta*s + omega*v)*i - (mu + sigma)*e;
> di := sigma*e - (m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu)*i;
> dq[1] := n*theta*i - (gamma[1] + mu)*q[1];
> dq[2] := m*alpha*i - (gamma[2] + mu)*q[2];
> dr := epsilon*v + gamma[1]*q[1] + gamma[2]*q[2] + (1 - m - n)*gamma[3]*i - mu*r;
> beta := 0.2; mu := evalf(0.0125); rho := evalf(1/455); k := 0.00007; omega :=
evalf(1/90); epsilon := evalf(1/14); sigma := evalf(1/14); alpha := 0.94; theta :=
evalf(1/4.6); gamma[1] := 0.6; gamma[2] := 0.8; gamma[3] := 0.27; m := 0.25; n :=
0.45;
> R0:=mu*sigma*[k*rho*omega+(1-k)*(mu + epsilon)*beta]/((mu + epsilon)*(k*rho
+ mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu))
> s = mu/(k*rho + mu)
> v = k*rho*mu/((k*rho + mu)*(mu + epsilon))
> de1 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(ds));
> de2 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dv));
96
> de3 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(de));
> de4 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(di));
> de5 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dq[1]));
> de6 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dq[2]));
> sa := {e(0) = 0.17, i(0) = 0.15, s(0) = 0.58, v(0) = 0.06, q[1](0) = 0.01, q[2](0) =
0.02};
> sistem := {diff(e(t), t) = de3, diff(i(t), t) = de4, diff(s(t), t) = de1, diff(v(t), t) = de2,
diff(q[1](t), t) = de5, diff(q[2](t), t) = de6};
> b := dsolve(sistem union sa, {e(t), i(t), s(t), v(t), q[1](t), q[2](t)}, numeric, output =
listprocedure, range = 0 .. 100);
> plot([subs(b, s(t)), subs(b, v(t)), subs(b, e(t)), subs(b, i(t)), subs(b, q[1](t)), subs(b,
q[2](t))], 0 .. 200, linestyle = [solid, dot, dash, longdash, spacedash], legend = ["s",
"v", "e", "i", "q[1]", "q[2]"], legendstyle = [font = ["roman", 12], location = bottom],
labels = ["t(hari)", "kompartemen"], labelfont = ["roman", 10]);
97
LAMPIRAN II
PROGRAM MAPLE GAMBAR 4.3
> restart;
> with(LinearAlgebra); with(DEtools); with(plots); with(linalg);
> ds := mu - (mu + k*rho + (1 - k)*beta*i)*s;
> dv := k*rho*s - (i*omega + epsilon + mu)*v;
> de := ((1 - k)*beta*s + omega*v)*i - (mu + sigma)*e;
> di := sigma*e - (m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu)*i;
> dq[1] := n*theta*i - (gamma[1] + mu)*q[1];
> dq[2] := m*alpha*i - (gamma[2] + mu)*q[2];
> dr := epsilon*v + gamma[1]*q[1] + gamma[2]*q[2] + (1 - m - n)*gamma[3]*i - mu*r;
> beta := 0.85; mu := evalf(0.0125); rho := evalf(1/455); k := 0.00007; omega :=
evalf(1/90); epsilon := evalf(1/14); sigma := evalf(1/2); alpha := 0.94; theta :=
evalf(1/4.6); gamma[1] := 0.6; gamma[2] := 0.8; gamma[3] := 0.27; m := 0.25; n :=
0.45;
> R0:=mu*sigma*[k*rho*omega+(1-k)*(mu + epsilon)*beta]/((mu + epsilon)*(k*rho
+ mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu))
> a = (mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu)*(1 -
k)*beta*omega;
> b = (k*rho + mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] +
mu)*omega + (epsilon + mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m -
n)*gamma[3] + mu)*(1 - k)*beta - (1 - k)*beta*mu*sigma;
98
> c = (epsilon + mu)*(k*rho + mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m -
n)*gamma[3] + mu) - [(1 - k)*beta*(epsilon + mu) + omega*k*rho]*mu*sigma;
> i := (- b + (b^2 – 4ac)1/2)/2a
> s = mu/(mu + k*rho + i*(1 - k)*beta);
> v = k*rho*mu/((mu + k*rho + i*(1 - k)*beta)*(mu + i*omega + epsilon));
> e =((1 – k )*beta*mu* (mu+i*omega+epsilon)+ omega*k*rho*mu)*i/((mu + k*rho
+ i*(1 - k)*beta)*(mu + i*omega + epsilon)*(mu + sigma));
> q[1] = i*n*theta/(gamma[1] + mu);
> q[2] = i*m*alpha/(gamma[2] + mu);
> de1 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(ds));
> de2 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dv));
> de3 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(de));
> de4 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(di));
> de5 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dq[1]));
> de6 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dq[2]));
> sa := {e(0) = 0.15, i(0) = 0.2, s(0) = 0.4, v(0) = 0, q[1](0) = 0.09, q[2](0) = 0.13};
> sistem := {diff(e(t), t) = de3, diff(i(t), t) = de4, diff(s(t), t) = de1, diff(v(t), t) = de2,
diff(q[1](t), t) = de5, diff(q[2](t), t) = de6};
> b := dsolve(sistem union sa, {e(t), i(t), s(t), v(t), q[1](t), q[2](t)}, numeric, output =
listprocedure, range = 0 .. 100);
> plot([subs(b, s(t)), subs(b, v(t)), subs(b, e(t)), subs(b, i(t)), subs(b, q[1](t)), subs(b,
q[2](t))], 0 .. 500, linestyle = [solid, dot, dash, longdash, spacedash], legend = ["s",
99
"v", "e", "i", "q[1]", "q[2]"], legendstyle = [font = ["roman", 12], location = bottom],
labels = ["t(hari)", "kompartemen"], labelfont = ["roman", 10]);
Top Related