Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aulas 3 e 4
Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.3
Equações de Poisson e Laplace
• Vimos na aula passada o método de separação de variáveis aplicado ao caso da equação da onda na corda, que é um problema essencialmente bidimensional.
• Veremos, agora, como surgem EDP em problemas tridimensionais.
• Vamos iniciar essa discussão estudando o caso do potencial eletrostático.
• Vamos recordar uma das equações de Maxwell (Lei de Faraday, unidades SI)
Portanto, no caso estático, o termo do campo magnético H se anula, implicando em:
onde E nesta equação corresponde ao campo eletrostático, ou seja, o campo elétrico independente do tempo.
Todo campo de rotacional nulo pode ser escritocomo o gradiente de uma função escalar.
No caso do campo eletrostático essa função escalar é chamada de potencial eletrostático φ e relação entre eles é definida como
(o sinal é convencional)Vamos, agora, lembrar de outra equação de Maxwell (Lei de Gauss), para o vácuo:
• Substituindo a expressão do potencial φem termos do campo eletrostático E na Lei de Gauss, encontramos
• Em coordenadas Cartesianas, temos:
onde é o operador Laplaciano.
Portanto, o Laplaciano em coordenadas Cartesianas é
Para uma revisão dos operadores grad, div, rot
e , veja a seção 1.8 (cap. 1) do Butkov. A equação obtida para o potencial eletrostático
é conhecida como equação de Poisson.
Em geral, a equação de Poisson é do tipo
onde r = (x, y, z) é o vetor posição.O caso particular em que , ou seja,
é a chamada equação de Laplace.Essa é a equação para o potencial eletrostáti-co na ausência de cargas, ou seja, ρ = 0 .
• As equações de Poisson e Laplace são muito importantes na eletrostática, pois permitem calcular o potencial φ, a partir do qual pode-se calcular o campo elétrico E.
• Exemplo: Equação de Laplace num problema com simetria cilíndrica.
Considere um cilindro metálico muito longo e oco, de raio a, cortado ao meio ao longo de seu eixo, formando duas calhas.
2a
As duas calhas são isoladas uma da outra, mantendo a forma cilíndrica do conjunto. As calhas são submetidas aos potenciais +V e –V. Determine o potencial e o campo elétricos dentro do cilindro.
• Solução
O problema envolve a equação de Laplace,
já que não há cargas dentro do cilindro.
Devido à simetria cilíndrica do problema, não é conveniente usar as coordenadas Cartesianas, mas sim as coordenadas cilíndricas (r, θ, z)
Seria fácil resolver a equação de Laplace em coordenadas Cartesianas, porém seria difícil ajustar essa solução às condições de contorno do problema, que acompanham sua simetria.
Inicialmente vamos notar que, como o cilindro é muito longo, a solução deve ser independente da
coordenada z, ou seja
Isto é, estamos desprezando os efeitos de borda.
Aplicando o divergente sobre o gradiente, ambos em coordenadas cilíndricas, obtém-se o operador Laplaciano nessas coordenadas
Para uma revisão desses operadores veja, p. ex., o cap. 1 do Griffiths (eletro).
Para uma abordagem de sistemas de coorde-nadas curvilíneas gerais, veja a seção 1.9 do Butkov.
Assim, a equação de Laplace a ser resolvida é
Como o potencial φ não depende de z , o último termo da equação acima é identicamente nulo, ou seja:
Para resolver esta equação, vamos usar o método de separação de variáveis, aplicado anteriormente ao problema da corda vibrante.
• Neste caso, vamos supor que
Desta forma, a EDP para r e θ reduz-se a duas equações diferenciais ordinárias:
e
onde λ é a constante de separação de variáveis
a ser determinada.
• Temos, agora, que resolver cada uma dessas EDOs.
Vamos começar pela equação para , que é a mais simples. De fato, essa equação é idêntica a que resolve-mos para a corda vibrante, tanto para x, como para t. Lá, as soluções poderiam ser exponenciais reais, senos e cossenos, ou uma função linear, dependendo se λ > , < ou = 0.
O que determina a forma da solução (e o sinal de λ ) são as condições de contorno.
Quais são as condições de contorno para ?
A condição sobre é que ela deve ser periódica, isto é
já que, após uma volta completa em θ , o poten-cial φ e a função devem coincidir com seus valores iniciais.
Θ(θ+2π) = Θ(θ)
Logo, as soluções para são
• Assim, a única solução admissível para é uma combinação linear de senos e cossenos, e portanto λ deve ser negativo, ou seja, podemos escrever , onde m é um número real a ser determinado.
Porém, a condição de periodicidade, Θ(θ+2π)
= Θ(θ) , restringe os valores possíveis de mpara m = 0, 1, 2, 3, ... (zero inclusive).
OBS.: Note que a solução acima com m = 0
corresponde à
que é uma constante e, naturalmente, obedece à condição de periodicidade.
A função periódica mais simples é uma função constante!
Vamos, agora, estudar a solução da equação radial, usando os valores de , encontrados na solução da equação angular:
Essa equação é conhecida como a equação diferencial de Euler.
Ela pode ser resolvida por vários métodos, como, por exemplo, o método de Frobenius.
Usando este método, para m ≠ 0, encontram-se as soluções
e
cuja validade podemos verificar facilmente por substituição direta na equação diferencial.
Para m = 0, as duas soluções acima reduzem-se a uma constante. Para encontrar a segunda solução, neste caso, pode-se usar o método de Frobenius generalizado. Assim, encontram-se as soluções
C = constante e
Antes de considerar a solução completa para
vamos verificar se as soluções obtidas para R(r)
são fisicamente aceitáveis ou não. A região no centro do cilindro dada por r = 0
não contém cargas, portanto o potencial φdeve ser bem comportado lá. Porém, as soluções e são singulares em r = 0 e portanto não são fisicamente aceitáveis.
Dessa forma, as soluções aceitáveis para R(r)
são
e C = constante
regulares em r = 0. Combinando as soluções em r e θ , e usando o princípio da superposição
encontramos,
Resta, agora, impor as condições de contorno sobre essa solução.
A condição de contorno que a solução encontrada deve satisfazer é
Fazendo r = a na solução encontrada, então, impomos que
Logo, este é um problema típico de séries de Fourier, onde queremos encontrar os coefici-entes = e = dessa série.
Voltando ao nosso problema, note que a função f(θ), correspondente à condição de contorno,
é uma função ímpar em θ . Logo, os coeficientes A serão identicamente nulos:
Por outro lado, os coeficientes são dados por
Calculando esta integral, encontramos
_ ______ |
Portanto, os termos com m = par são nulos, enquanto os m = ímpares dão
(m = 1, 2, 3, ...)___
[ ]
Top Related