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Cálculo de fuerzas de conformado mediante el
método del límite inferior
Un método de límite inferior predecirá fuerzas menores que lasnecesarias para producir deformación plástica.
Esto es interesante para diseños estructurales.
Estos análisis se basan en satisfacer un criterio de fluencia plástica,
equilibrios de fuerzas, pero no hacen consideraciones acerca del flujodel material en el posible proceso de deformación.
El método de energía uniforme es de límite inferior, la fuerza real debe
calcularse con un factor de eficiencia .
El método de !achs "tajadas# también es de límite inferior, porque sibien inclu$e el roce no inclu$e el gasto de energía por deformación
redundante $ por cizalles internos del material impuestos por el
proceso de deformación.
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Cálculo de fuerzas de conformado mediante el
método del límite superior
∫ ∫ ∫ ++ Sr r r ir D
SD i
V dS vdS vk dV eqeq **·)·()·( )(τ ε σ
)(eqε
Un método de límite superior iguala la energía que se disipa internamente
por el proceso de deformación con la energía gastada por las fuerzas
e%ternas, suponiendo un determinado flujo de material en el proceso de
deformación plástica.
!e ha demostrado que la potencia real "d&'dt#real necesaria para producir
un determinado flujo plástico es menor que(
"d&'dt#real )
d*eq'dt " # + elocidad de deformación equialente en un campo de
elocidades admisible
-eq + tensión equialente deducida a partir del campo de elocidades
admisible.
+ olumen de cuerpo
/ 0ensión de fluencia en cizalle
"los otros términos se definen en la siguiente transparencia#
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Principios del método del límite superior
i1 + elocidad de discontinuidad en superficies de cizalle
!2 + superficie de discontinuidad
!r + superficie de roce
τr = tensión de corte en roce (mk)
vi*(r)= velocidad relativa entre superficies de roce.
Si la deformación del material se modela mediante desplazamientos relativosde bloques rígidos (lo veremos luego) :
0·)·( =∫ V
dV eq ε σ
!i no ha$ roce entre matriz $ material el tercer término, relatio al roce, es
cero.
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Cálculo mediante límite superior, modelando la deformación
plástica como desplazamiento de bloques rígidos
!e puede demostrar que el cálculo de fuerzas con este procedimiento es superior
a la fuerza necesaria para producir deformación plástica.
El método para calcular fuerzas consistirá en(
3.4 !uponer un flujo de material que sea consistente con el cambio de forma
deseado ( 56ampo cinemáticamente admisible7.
8.4 9a potencia interna gastada por cizalles se calcula con elocidades de
discontinuidad $ con la resistencia del material al cizalle "/#.:.4 9as fuerzas que debe aplicar la máquina se calculan igualando la potencia
e%terna aplicada con la potencia interna gastada en cizalles.
;.4 !upondremos que la deformación se logra mediante desplazamientos de
bloques rígidos seg<n algunos planos, los que no sufren deformación en su
olumen.
=.4 !e supondrá material isotrópico $ homogéneo. >o se considera endurecimiento
por deformación ni por elocidad de deformación.
?.4 !e analizarán dos casos( sin roce entre matriz $ material $ con roce. En este
caso el roce se representará por m/.
@.4 !e analizarán casos en deformación plana "flujo de material bidimensional#
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Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado
a extrusión con deformación plana, sin roce.
El flujo de material se modela
mediante desplazamientos de bloques
rígidos a lo largo de las superficies de
discontinuidad AB $ B6 "Cig D.8.a#. !e
considera sólo la mitad del campo de
deformación, porque es simétrico
respecto del eje central.
El diagrama de elocidades,denominado hodógrafa, se muestra en
la Cig. D.8.b. debe ofrecer un flujo
admisible del material, consistente con
el cambio de forma producido.
El triángulo AB6 tiene su punto Bsobre el eje central, elegido a oluntad
del modelador.
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Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado
a extrusión con deformación plana, sin roce.
ara el cálculo de la presión de e%trusión "e%tr # se procede así(
d&'dt + e%tr F"3FhG#F G + /F3F" AB1FAB HB61FB6#
!e considera profundidad unitaria. 1 indica discontinuidad de elocidad.
9a potencia e%terna aplicada por la máquina se disipa en los planos de
discontinuidades de elocidades.9uego( e%tr F'8/ + FI3'"8FhGFG#J F" AB1FAB HB61FB6#
Aplicando trigonometría, si K + LGM $
N+ :GM e%tr F'8/ + G,D?==
9a Cig D.: muestra los alores que toma
e%tr F'8/ para diersos alores de K.
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Límite superior,
con
desplazamiento
de bloquesrígidos aplicado
a extrusión con
deformación
plana, con roce.
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Límite superior, campo más complejo de desplazamiento de bloques
rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce.
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Límite superior, campo más complejo de desplazamiento de bloques
rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce.
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Cálculo de deformación redundante con campo de deformaciones
supuesto.
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Cálculo de deformación redundante con campo de deformaciones
supuesto.
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étodo del límite superior aplicado a indentación con
deformación plana sin roce
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étodo del límite superior aplicado a indentación con
deformación plana sin roce
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étodo del límite superior aplicado a indentación con
deformación plana sin roce
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Compresión con deformación plana
El campo de flujo se define tal que se producen cizalles a lo largo de las líneas
6A $ 2BO los triángulos rígidos "de profundidad unitaria# AP2 $ BP6 se
desplazan debido al aance de las dos placas de forja con elocidad G.
9a potencia e%terna es( 89F3FG se gasta en potencia de cizalle + ;/FAPF3F1 AP
or geometría( AP +QF"h8 H 98#Q $ 1 AP + "G'h#F"h8 H 98#Q
9uego( '8/ + Q"h'9 H 9'h#
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Compresión con deformación plana
hw
hLw
h L
Lh
k P
22223
2
2
−++=
ara ma$ores alores de la relación 9'h, se
obtienen mejores resultados con el método del
límite superior si se utiliza un ma$or n<mero de
triángulos. En contacto con los punzones debe
haber un n<mero impar de triángulos. !i se usan :
triángulos se tiene(
donde R es la base del triángulo central
El menor alor de '8/ ocurre para R+9'8,
entonces
h
L
L
h
k
P
8
3
2
3
2
+= 9a hodógrafa $ los cálculos se hacen
con la mitad superior del material $matriz.
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Compresión con deformación plana
Un campo de = triángulos $
su hodógrafa se muestran
en las Cigs a# $ b#.
!e supone AB + B6 $ el
mejor límite superior ocurre
para R+9':, así(
h
L
L
h
k
P
32
5
2+=
Sodógrafa $ cálculos efectuados con la
parte superior del material $ matriz.
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Compresión con deformación plana
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Límite superior considerando deformación del material
9os ejemplos de límite superior dados anteriormente consideraban
deslizamientos de bloques rígidos de material. !i embargo se puede aplicar la
ecuación general de límite superior para analizar otros casos, especialmente con
a%isimetría.
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Límite superior considerando deformación del material
9os ejemplos istos hasta ahora, por considerar bloques rígidos
descartan el primer término(
dV dt d eq
V
eq )·/·( ε σ ∫ En el ejemplo siguiente de forja a%isimétrica "Ej( cilindro circular# se
incluirá el primer término del teorema del límite superior, no se
considerarán discontinuidades internas, por tanto no se inclu$e el
segundo término $ se puede incluir o no incluir el tercer término,
dependiendo la magnitud del roce e%istente.
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!orja de disco circular
h
v
z
u z z
−=∂
∂=
ε r
uu
u
r r r
=+∂
∂= )(
1
θ ε
θ
θ r
ur
r ∂
∂=
ε
Tétodo del límite superior con deformación del material en
olumen aplicado a la forja de un disco circular de radio $
altura h.
!e define un campo admisible de elocidades, e%presadoen coordenadas cilíndricas.
9a elocidad de desplazamiento del material seg<n z es(
duz'dt + 4"'h#Fz
6omo no ha$ elocidad de giro del material( duK'dt +G
9a elocidad de desplazamiento seg<n r es dur 'dt $ se
determina por constancia de olumen.
9as elocidades de deformación e%presadas en el sistema
de coordenadas cilíndricas son(
Aplicando conseración de olumen( 0=++ r z ε ε ε
θ
!e puede calcular(
h
v
r
r u
r r
u
r
u r r r
=∂
∂
=+∂
∂ )(1
"1#
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!orja de disco circular
)(2
· 2 z Br h
vr ur +=
0=r u
Vntegrando "1# queda(
para r+G, B"z#+G $ r h
vu
r
2=
9uego(
h
v
h
v
h
v
r z
2
;
2
; ==−= ε ε ε θ
h
v
h
v
h
v
h
vr z =
++=++
=
5,0
2225,0222})
2()
2()·{(
3
2)]·(
3
2ε ε ε ε
θ
Aplicando el principio del límite superior, considerando roce pero nosuperficies de discontinuidad, se tiene(
Y m
Y r 3
; == τ σ
r r
Sr V
dS umY
dV h
vY W ··
3· ∫ ∫ +=
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!orja de disco circular
dr r r h
vmY h R
h
YvW
R
··2··2·
32···
0
2π π
∫ +=
)·33
21(···2·
2·
33
2· 232
h
Rm RYv R
h
vmY RYvW +=+= π π π
El 8 fuera de la integral iene porque ha$ roce en la placa superior $ en la inferior.
9a potencia de forja es(
9a fuerza de forja es( )·33
21(·· 2
h
Rm RY F += π
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