Metoda Maxwella – MohraUkłady statycznie niewyznaczalneMetoda siłZasada minimum energii
Metody energetyczne
212 2
N dxdV NduEA
= =
212 2
Ss
S
M dxdV M dGI
ϕ= =
212 2
gg
M dxdV M d
EIϑ= =
212 2T
T dxdV TdvGA
β= =
Energia sprężysta
układu prętowego
( )( )
212Sila wewnętrznadV
dx Sztywnosc=
212
dV Ndx EA
=Rozciąganie:
212
gMdVdx EI
=Zginanie:
212
s
s
MdVdx GI
=Skręcanie:
212
dV Tdx GA
β=Ścinanie:
( )( )
2
0 2
l Sila wewnętrzna dxV
Sztywnosc= ∫
2
0 2
l N dxVEA
= ∫Rozciąganie:
2
0 2
lgM dx
VEI
= ∫Zginanie:
2
0 2
ls
s
M dxVGI
= ∫Skręcanie:
2
0 2
l T dxVGA
β= ∫Ścinanie:
2
2N lVEA
=Rozciąganie:
Jeśli N oraz EA nie zależą od x
2
2s
s
M lVGI
=Skręcanie:
Jeśli Ms oraz GIs nie zależą od x
2
2gM l
VEI
=Zginanie:
Jeśli Mg oraz EI nie zależą od x
2
2T lVGA
β=Ścinanie:
Jeśli T oraz GA nie zależą od x
( )( )
2
2Sila wewnętrzna dlugosc
VSztywnosc
=
Jeśli siła wewnętrzna oraz sztywność nie zależą od x
W przypadku ogólnym energia sprężysta odkształcenia odcinka pręta o długości dx będzie równa sumie prac składowych sił wewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tzna odpowiadających im przemieszczeniach du, dϕ, dθy, dθ z, dυT, dwT.
Jeśli odcinek pręta o długości dx uznać za odrębny układ, to N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz należy traktować jako siły zewnętrzne
( )12 s gy y gz z y T z TdV Ndu M d M d M d T d T dwϕ ϑ ϑ υ= + + + + +
Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są następującymi funkcjami składowych sił wewnętrznych
NdxduEA
= s
s
M dxdGI
ϕ = gyy
y
M dxd
EIϑ =
gzz
z
M dxd
EIϑ = y y
T
T dxd
GAβ
υ = z zT
T dxdwGA
β=
Otrzymamy zależność2 2 22 2 21
2gy gz y ys z z
s y z
M M TN M TdV dxEA GI EI EI GA GA
β β⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Energia sprężysta w pręcie prostym w przypadku ogólnym
2 2 22 2 2
0
12
lgy gz y ys z z
s y z
M M TN M TV dxEA GI EI EI GA GA
β β⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
Metody energetyczne wyznaczania przemieszczeń
• Castigliana
• Maxwella-Mohra
Metoda Maxwella-Mohra
W celu określenia dowolnego uogólnionego przemieszczenia u w prętowym układzie liniowosprężystym metodą Maxwell-Mohrawykonamy następujące operacje:
• Wyznaczymy siły N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz w prętach układu, wywołane obciążeniem rzeczywistym
• Obciążamy układ siłą jednostkową odpowiadającą poszukiwanemu przemieszczeniu u i wyznaczamy N’, Ms’, M’gy, M’gz, T’y, T’z , które wywołuje ona w prętach
1
W miejsce jednostkowej siły wprowadźmy siłę uogólnioną o wartości P (P=0), która wywoła dodatkowo siły wewnętrzne:
' 2' 2 ' 2
' 2 ' 2 ' 20
( )( ) ( )12 ( ) ( ) ( )
gy gys sl
s y
gz gz y y y z z y
z
M PMN PN M PMEA GI EI
V dxM PM T PT T PT
EI GA GAβ β
⎛ ⎞++ ++ + +⎜ ⎟
⎜ ⎟= ⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
' ' ' ' '', , , , ,s gy gz y zPN PM PM PM PT PT
0P
VuP =
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
1
1
Metoda Maxwella-Mohra
' ' '' ' '
0
lgy gy gz gz y y ys s z z z
s y z
M M M M T TNN M M T Tu dxEA GI EI EI GA GA
β β⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
W celu określenia przemieszczenia u metodą Maxwella-Mohra dla dowolnego liniowosprężystego układu prętowego należy dokonać sumowania całek, obliczonych dla poszczególnych przedziałów (prętów).
Statycznie niewyznaczalne układy prętowe
Układ prętowy jest statycznie niewyznaczalny, jeśli nie można określić reakcji w podporach czy sił wewnętrznych w przekrojach prętów, posługując się wyłącznie równaniami równowagi.
Liczba sił statycznie niewyznaczalnych, czyli hiperstatycznych, równa różnicy między liczbą wszystkich sił niewiadomych, a liczbą równań równowagi, określa stopień statycznej niewyznaczalności układu prętowego.
Statycznie niewyznaczalne układy prętowe
Rozwiązanie każdego zadania statycznie niewyznaczalnego oprócz wykorzystania warunków równowagi wymaga uwzględnienia geometrycznych i fizycznych aspektów odkształcalności ciała.
Formułuje się w tym celu trzy grupy zależności:
A. Równania równowagi,
B. Warunki geometryczne
C. Związki fizyczne
Wyróżnić można dwie podstawowe metody rozwiązywania zadań statycznie niewyznaczalnych:
- metodę sił - metodę przemieszczeń
Równania równowagi
2
01 02
A B
A A
ql R R
M R l ql
− − =
− + − =
Równania: 2
Niewiadome: 3
Zadanie jednokrotnie (3-2) statycznie niewyznaczalne
Warunki geometryczne
0Bυ =
Reakcja RB (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest spowodowana
podparciem belki w punkcie B, co odpowiada następującemu warunkowi geometrycznemu
Związki fizyczne
Związek fizyczny powinien uzależniać υB od sił działających na belkę oraz jej własności
sprężystych.
Okazuje się, że warunek geometryczny υB=0 jest po prostu dodatkowym warunkiem
brzegowym.
Metoda sił
1. Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować równania równowagi
Algorytm postępowania
Metoda sił
- Punkt C – podpora przegubowa stała – dwie reakcje (pozioma i pionowa)
- Punkt A – utwierdzenie – trzy reakcje (pozioma, pionowa i moment)
równania równowagi
2
00
1 02
A C
A C
C C A
H H qlV V
V l H l ql M
+ + =+ =
− − + =
Metoda sił
2. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności i utworzyć podstawowy układ prętowy
Algorytm postępowania
Metoda sił
- Liczba niewiadomych 5 (reakcje)
- Liczba równań 35 – 3 = 2 - rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
Wielkości hiperstatyczne:
X1=Hc X2=Vc
Metoda sił
3. Określić warunki geometryczne oraz związki fizyczne i sformułować na ich podstawie równania kanoniczne metody sił
Algorytm postępowania
Metoda sił
u1 = 0, u2 = 0
Związki fizyczne
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
P
P
u f X f Xu f X f X
= + + Δ= + + Δ
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
00
P
P
f X f Xf X f X
+ + Δ =+ + Δ =
1 2,P PΔ Δ - część przemieszczeńu1 i u2 spowodowana działaniem obciążenia q.
Metoda sił
4. Obliczyć współczynniki równań kanonicznych metody sił
Algorytm postępowania
Metoda sił
Algorytm postępowania12 12 11 22 21 21
0 0
1 12
l l
g g g gf M M dx M M dx fEI EI
= + =∫ ∫ 2 211 11 21
0 0
1 12
l l
g gf M dx M dxEI EI
= +∫ ∫
1 1 11 2 210 0
1 12
l l
P g P g g P gM M dx M M dxEI EI
Δ = +∫ ∫
2 222 12 22
0 0
1 12
l l
g gf M dx M dxEI EI
= +∫ ∫
2 1 12 2 220 0
1 12
l l
P g P g g P gM M dx M M dxEI EI
Δ = +∫ ∫
Mg11, Mg21 Mg12, Mg22 Mg1P, Mg2P
1
2
11
XX
==
Metoda sił
5. Wyznaczyć z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatyczne
Algorytm postępowania
1 2X X
Metoda sił
6. Wykorzystując równania równowagi, znaleźć pozostałe niewiadome
Algorytm postępowania
Metoda sił
7. Sformułować równania i narysować wykresy sił wewnętrznych
Algorytm postępowania
Metoda sił
8. Wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia
Algorytm postępowania
Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana
Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości hiperstatyczne X1, ..., Xn oraz niehiperstatyczne.
Jeżeli wykorzystując równania równowagi, uzależni się niewiadomeniehiperstayczne od wielkości hiperstatycznych oraz obciążeń, energia V stanie się funkcją X1, ..., Xn, jako zmiennych niezależnych.
Warunki geometryczne, jakie muszą spełniać przemieszczenia u1, ..., un, odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X1, ...,Xn, można zapisać nastepująco
u1 = 0, ..., un = 0
Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana
Stosując metodę Castigliana, można określić przemieszczenia z wykorzystaniem do tego celu energii sprężystej V(X1, ..., Xn)
11
, ... , nn
V Vu uX X
∂ ∂= =
∂ ∂związki fizyczne
Po podstawieniu do związków geometrycznych:
1
0, ... , 0n
V VX X
∂ ∂= =
∂ ∂
Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana
Spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X1, ..., Xn zbiorem rzeczywistych
wielkości hiperstatycznych jest ten, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość minimalną.
Top Related