REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Prsent lUniversit 20 A
Dpartement des Sciences de la M
En vue dobtenir le diplme de magister
Mmoire de magister
MERABET AYECHE Chahra
Modlisation et simulation des phnomnes thermo
coulements se produisant
rayonnement thermique.
Soutenue devant le jury
Mr : E. MEZAACHE Pr. Universit
Mr : A. OMARA Pr.
Mr : S. LAOUAR M. C. Universit
Mr : D. OMEIRI Pr.
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Prsent lUniversit 20 Aot-1955 Skikda
Facult des Sciences
Dpartement des Sciences de la Matire
En vue dobtenir le diplme de magisterEn physique
Option: Energtique
Mmoire de magister
Par :
MERABET AYECHE Chahra
Modlisation et simulation des phnomnes thermo-convectifs des
produisant dans des cavits : Influence du
rayonnement thermique.
:
Pr. Universit du 20 Aot 1955 Skikda
Pr. Universit de Constantine 1
M. C. Universit du 20 Aot 1955 Skikda
Pr. Universit du 20 Aot 1955 Skikda
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR
convectifs des
: Influence du
Prsident
Examinateur
Examinateur
Rapporteur
Ddicace
A tous ceux qui maiment
Remerciements
Avant tout, je remercie ALLAH qui ma donn le courage de continuer mes tudes et de
terminer ce travail.
Je remercie vivement et chaleureusement mon encadreur Monsieur D. OMEIRI,
professeur lUniversit 20 aot 1955, Skikda. Je le remercie pour son aide et ses conseils
qui ont contribu la ralisation de ce travail.
Jexprime ma gratitude Monsieur E. MEZAACHE, professeur lUniversit 20 aot
1955, Skikda, pour avoir accept de prsider le jury.
Je veux exprimer mes remerciements aux membres de jury, A. OMARA, professeur
lUniversit de Constantine 1 et S. LAOUAR, Matre de Confrences lUniversit 20 aot
1955, Skikda pour mavoir fait lhonneur de juger et mettre en valeur ce modeste travail.
A tous, je tiens exprimer mes sincres remerciements.
Rsum
:
.
.
. Fluent
Rayleigh-Bnard
. Rayleigh
:
. )(
. Rayleigh
)Rosseland P1 DTRM DO(
.5105 Rayleigh
Rayleigh-bnard
.
Rsum
Titre
Modlisation et simulation des phnomnes thermo-convectifs des
coulements se produisant dans des cavits : Influence
du rayonnement thermique.
Rsum
Ltude numrique bidimensionnelle du transfert de chaleur par convection thermique
dans un milieu fluide a t considre.
Une simulation du problme, bidimensionnel, a t mene en utilisant le logiciel
Fluent bas sur la mthode des volumes finis.
Lensemble des rsultats numriques obtenus pour le cas de la convection de
Rayleigh-Bnard entre deux plaques parallles horizontales infinis traitent linfluence du
nombre de Rayleigh sur le champ dynamique et le champ thermique.
Dans le cas de la convection thermique dans une cavit carre, nous nous sommes
intresss deux cas physiques : cas de la convection naturelle pure (sans rayonnement) et le
cas du couplage entre la convection et le rayonnement thermique.
Dans le premier cas, nous avons tudi leffet de laugmentation du nombre de Rayleigh sur
la convection. Pour le deuxime cas, linfluence du coefficient dabsorption pour diffrents
modles de rayonnement (DO, DTRM, P1 et Rosseland) a t tudie pour un seul nombre de
Rayleigh gal 5x105.
Mots cls
Plaques planes parallles, cavit carre, convection naturelle, convection de Rayleigh-
bnard, rayonnement thermique, modles de rayonnement.
Rsum
Title
Modeling and simulation of thermo-convectif phenomenas of the flows
occurring in cavities: Influence of thermal radiation.
Abstract
The two-dimensional numerical study of convective heat transfer in a fluid medium
was considered.
A simulation of problem, in two-dimensional, was carried out by using the Fluent
software, which it based on the finite volumes method.
The whole of the numerical results obtained in the case of the convection of Rayleigh-
Bnard between two horizontal parallel infinite plates treat the influence of Rayleigh number
on the dynamics and thermals fields.
In the case of the thermal convection in a square cavity, we have considered two
physical cases: case of pure natural convection (without radiation), and the case of coupling
convection and thermal radiation.
In the first case, we have studied the effect of the Rayleigh number on the natural convection.
For the second case, the influence of the absorption coefficient for different radiation models
(DO, DTRM, P1 and Rosseland), was studied for Rayleigh number equal to 5x105.
Key words
Parallel plane plates, square cavity, thermal convection, Rayleigh-Bnard convection,
thermal radiation, radiation models.
Sommaire
Sommaire
Rsum
Sommaire
Liste des figures
Liste des tableaux
Nomenclature
Introduction gnrale 1
Chapitre I : Etude bibliographique
I.1 Gnralits sur la convection 3
I.1.1 Introduction 3
I.1.2 Convection naturelle dans une cavit diffrentiellement chauffe 3
I.1.2.1 Convection de Rayleigh-Bnard 4
I.1.2.2 Couplage entre la convection et le rayonnement 5
I.2 Revue bibliographique 5
Chapitre II: Equations de conservations-modlisation
II.1 Introduction 25
II.2 Gomtries du problme 25
II.3 Hypothses 27
II.4 Equations gnrales de conservation 27
II.5 Equations simplifis 29
II.6 Equations adimensionnelles 30
II.7 Conditions aux limites 32
II.8 Couplage convection rayonnement 33
II.8.1 Equation du transfert radiatif ETR 33
II.8.2 Choix d'un modle de rayonnement 34
II.8.3 Equations des diffrents modles de rayonnement 35
II.8.3.1 Modle discret de transfert radiatif DTRM 35
II.8.3.2 Modle de transfert radiatif des ordonnes discrtes DO 36II.8.3.3 Modle de transfert radiatif P1 37
II.8.3.4 Modle de transfert radiatif de Rosseland 38
Chapitre III : Mthode numrique
III.1 Introduction 39
III.2 Maillage 39
III.3 Equation gnrale de transport 41
Sommaire
III.4 Discrtisation des quations de conservation 42
III.4.1 Application dun schma numrique quelconque 44
III.4.2 Fonction )( PA pour diffrents schmas numriques 45
III.5 Discrtisation de lquation de quantit de mouvement suivant X 45
III.6 Discrtisation de lquation de quantit de mouvement suivant Y 46
III.7 Discrtisation de lquation dnergie 48
III.8 Algorithme SIMPLE 49
III.9 Dtails du calcul 51
III.9.1 Sous relaxation 51
III.9.2 Critres de convergence 52
Chapitre IV : Rsultats et discussions
IV.1 Convection entre deux plaques parallles horizontales (convection de Rayleigh
Bnard)
53
IV.1.1 Influence du nombre de Rayleigh 53
IV.1.1.1 Sur le champ de lcoulement 54
IV.1.1.2 Sur le champ thermique 55
IV.1.1.3 Sur le nombre de Nusselt 55
IV.2 Convection dans une cavit carre 59
IV.2.1 Convection naturelle pure (sans rayonnement) 59
IV.2.1.1 Influence du nombre de Rayleigh 59
IV.2.1.1.1 Sur le champ de lcoulement 59
IV.2.1.1.2 Sur le champ thermique 60
IV.2.1.1.3 Sur les vitesses de lcoulement 60
IV.2.1.1.4 Sur le nombre de Nusselt 60
IV.2.2 Couplage convection - rayonnement thermique pour diffrents modles de
rayonnement
66
IV.2.2.1 Influence du coefficient dabsorption 66
IV.2.2.1.1 Sur le champ de lcoulement 66
IV.2.2.1.2 Sur le champ thermique 67
IV.2.2.1.3 Sur les vitesses de lcoulement 67
IV.2.2.1.4 Sur la temprature 68
IV.2.3 Comparaison entre les diffrents modles de rayonnement ainsi le modle sans
rayonnement
81
IV.2.3.1 Profils des vitesses 81
IV.2.3.2 Profils de temprature 81
Conclusion gnrale 87
Rfrences bibliographiques 88
Liste des figures
Liste des figures
Figure I.1 : Les types de convection naturelle dans les enceintes : (a) Enceinte
chauffe diffrentiellement; (b) Enceinte chauffe en bas (instabilit de
Rayleigh Bnard)
4
Figure I.2 : Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [9] 8
Figure I.3 : Gomtrie et conditions aux limites du problme de la rfrence [10] 9
Figure I.4 : Schma du problme tudi dans la rfrence [13] 10
Figure I.5 : Prsentation du problme considr dans la rfrence [14] 11
Figure I.6 : Gomtrie du problme considr dans la rfrence [15] 11
Figure I.7 : Gomtrie et conditions de la cavit tudie dans la rfrence [16] 12
Figure I.8 : Diagramme schmatique du modle physique et du systme des
coordonns utiliss dans la rfrence [20]
14
Figure I.9 : Prsentation du problme tudi dans la rfrence [22] 15
Figure I.10 : Gomtrie de la pyramide [23] 16
Figure I.11 : Configuration des ailettes de radiateur [25] 17
Figure I.12 : Configuration du problme dun canal vertical [26] 17
Figure I.13 : Schma considr dans la rfrence [28] 19
Figure I.14 : Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [29] 19
Figure I.15 : Configuration de la cavit incline avec partitions [34] 22
Figure I.16 : Schmatisation du domaine considr dans la rfrence [35] 23
Figure I.17 : Configuration de la serre chaude horticole [36] 23
Figure I.18 : Gomtrie du modle physique considr dans la rfrence [37] 24
Figure II.1 : Gomtrie et conditions aux limites du cas des deux plaques planes
horizontales
26
Figure II.2 : Gomtrie et conditions aux limites du cas de la cavit carre 26
Figure III.1 : Volume de contrle bidimensionnel 40
Figure III.2 : Volume de contrle dcal vers la droite 40
Figure III.3 : Volume de contrle dcal vers le haut 41
Figure III.4 : Volume de contrle typique 43
Figure IV.1 : Fonction de courant pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 56
Figure IV.2 : Isothermes pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 57
Figure IV.3 : Nombre de Nusselt local pour les parois actives (verticales)pour
diffrents nombres de Rayleigh
58
Figure IV.4 : Fonction de courant pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 62
Figure IV.5 Isothermes pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh 63
Figure IV.6 : Variation des composantes de la vitesse (u,v) pour diffrents nombres
de Rayleigh
64
Figure IV.7 : Variation du nombre de Nusselt local pour diffrents nombres de
Rayleigh
65
Figure IV.8 : Fonction de courant du modle (DO) pour diffrentes valeurs du
coefficient dabsorption
69
Figure IV.9 : Fonction de courant du modle (DTRM) pour diffrentes valeurs du 70
Liste des figures
coefficient dabsorption
Figure IV.10 : Fonction de courant du modle (P1) pour diffrentes valeurs du
coefficient dabsorption
71
Figure IV.11 : Fonction de courant du modle (Rosseland) pour diffrentes valeurs du
coefficient dabsorption
72
Figure IV.12 : Isothermes du modle (DO) pour diffrentes valeurs du coefficient
dabsorption
73
Figure IV.13 : Isothermes du modle (DTRM) pour diffrentes valeurs du coefficient
dabsorption
74
Figure IV.14 : Isothermes du modle (P1) pour diffrentes valeurs du coefficient
dabsorption
75
Figure IV.15 : Isothermes du modle (Rosseland) pour diffrentes valeurs du
coefficient dabsorption
76
Figure IV.16 : Variation de la vitesse au point = /2 en fonction de pour
diffrents valeures de coefficient dabsorption
77
Figure IV.17 : Variation de la vitesse transversale au point = /2 en fonction de
pour diffrents valeures de coefficient dabsorption
78
Figure IV.18 Variation de la temprature en fonction de au point = /2 pour
diffrents valeurs de coefficient dabsorption
89
Figure IV.19 : Variation de la temprature en fonction de au point = /2 pour
diffrents valeurs du coefficient dabsorption
80
Figure IV.20 : Variation de la vitesse au point = /2 en fonction de pour
diffrents modles de rayonnement et le modle sans rayonnement
83
Figure IV.21 : Variation de la vitesse transversale au point = /2 en fonction de
pour diffrents modles de rayonnement et le modle sans
rayonnement
84
Figure IV.22 : Variation de la temprature au point = /2 en fonction de pour
diffrents modles de rayonnement et le modle sans rayonnement
85
Figure IV.23 : Variation de la temprature au point = /2 en fonction de pour
diffrents modles de rayonnement et le modle sans rayonnement
86
Liste des tableaux
Liste des tableaux
Tableau II.1 : Conditions aux limites pour un coulement entre deux plaques
parallles
32
Tableau II.2 : Conditions aux limites pour un coulement dans une cavit carre 32
Tableau III.1 : Variables et coefficients des quations de transport
adimensionnelles
42
Tableau III.2 : Fonction )( PA pour diffrents schmas numriques 45
Nomenclature
Nomenclature
Lettres latines
Symbole Dfinition Unit
A Rapport daspect Sans dimension
Coefficient dabsorption [m]
pA , EA , WA , NA
SA
Coefficients de lquation algbrique de transport
discrtise
Sans dimension
|| Fonction dun schma numrique en fonction du
nombre de Peclet
Sans dimension
Terme source dans le systme dquations
algbriques discrtises
Sans dimension
Coefficient de fonction de phase linaire-anisotrope Sans dimension
Chaleur massique pression constante [J. kg. K]
De, Dw, Dn, Ds Flux diffusifs aux interfaces e, w, n, s de lquation
de transport discrtises
Sans dimension
, , , Distance entre le nud considr P et les nuds E,
W, N, S
Sans dimension
Fe, Fw, Fn, Fs Flux convectifs aux interfaces e, w, n et s de
lquation de transport discrtis
Sans dimension
Force suivant la direction i par unit de volume [N. m-3]
Rayonnement incident [W. m]
g Acclration de la pesanteur [m. s]
H Hauteur entre les deux plaques [m]
h Hauteur de la cavit [m]
Intensit du rayonnement, dpend des vecteurs
et
[W. m]
Intensit radiative au dbut du chemin accrot. [W. m]
L Longueur de la plaque [m]
Indice de rfraction Sans dimension
p Pression [N. m]
P Pression adimensionnelle Sans dimension
Flux de chaleur radiatif [W. m]
Vecteur de position Sans dimension
Longueur du chemin [m]
Vecteur de direction Sans dimension
Vecteur de direction de dispersion Sans dimension
Terme source Sans dimension
Terme source de rayonnement Sans dimension
T Temprature [K]
Nomenclature
Lettres grecques
Diffusivit thermique du fluide [m. s]
Conductivit thermique du fluide [W. m. K]
Coefficient de La dilatation thermique pression
constante
[K]
Viscosit dynamique du fluide [kg. m. s]
Viscosit cinmatique du fluide [m. s]
Masse volumique du fluide [kg. m]
Temprature adimensionnelle Sans dimension
Coefficient de diffusion de lquation gnrale du
transport
Sans dimension
Constante de Stefan-Boltzmann [W. m-2. K-4]
Coefficient de dispersion [m]
Epaisseur optique Sans dimension
Fonction de phase Sans dimension
' Angle solide [sr]
, Dimensions du volume de contrle considr [m]
Nombres adimensionnels
Nombre de Prandtl =
avec =
Nombre de Rayleigh =
Pl Nombre de Planck = 4 /
t Temps []
Temprature initiale [K]
Ecart de temprature = [K]
Composante de la vitesse suivant la direction [m. s]
Composante adimensionnelle de la vitesse suivant Sans dimension
Volume [m]
Composante de la vitesse suivant la direction [m. s]
Composante adimensionnelle de la vitesse suivant Sans dimension
, Coordonnes cartsiennes adimensionnelle Sans dimension
, Coordonnes cartsiennes [m]
Nomenclature
Indices et exposants
c Chaude
Nud du cot Est du nud P
Face Est du volume de contrle
f Froide
Nud du cot Nord du nud P
Face Nord du volume de contrle
Nud du maillage
Nud du cot Sud du nud P
Face Sud du volume de contrle
rad Radiatif
Nud du cot Ouest du nud P
Abrviations
DNS Direct Numerical SimulationDO Discrete OrdinatesDTRM Discrete Transfer Radiation ModelRTE Radiative Transfer EquationPIV Particale Image VelocimetrySIMPLE Semi Implicit Method for Pressure Linked EquationSIMPLER Simple RevisedSR Sans RayonnementSOR Successive Over RelaxationS2S Surface to Surface
Introduction gnrale
1
Introduction gnrale
Le phnomne du transfert de chaleur et de masse par convection naturelle, dans des
espaces confins ou semi-confins, est gnralement d la prsence de gradients de
temprature et de concentration. Ces gradients causent une distribution non uniforme de la
densit du fluide qui gnre son tour un mouvement convectif sous leffet de la gravit. Par
ailleurs, le phnomne de la convection naturelle dans une cavit bidimensionnelle est
largement rencontr en ingnierie tels que les collecteurs dnergie solaire, la conservation de
la chaleur des circuits thermiques, le refroidissement des composants lectroniquesetc.
Toutefois, le rayonnement apporte une contribution significative au transfert thermique dans
de tels systmes.
Lobjectif du prsent travail est de simuler numriquement le transfert de chaleur dans
les milieux confins ou semi-confins par convection naturelle pure ou par le couplage entre
la convection naturelle et le rayonnement thermique. Leffet de laugmentation : du nombre
de Rayleigh (pour la convection naturelle pure), du coefficient dabsorption sur tous les
modles de rayonnement (pour le cas du couplage convection naturelle-rayonnement) sont
analyss dans le but dessayer dobtenir une amlioration du transfert de chaleur.
Le prsent mmoire comporte quatre chapitres, quils sont organiss comme suit :
Le premier chapitre est consacr une tude gnrale sur la convection naturelle et le
couplage convection naturelle-rayonnement ainsi quune revue des diffrents travaux
antrieurs dans ces domaines.
Dans le deuxime chapitre, ltude est consacre la prsentation du modle
mathmatique tudi, au cours duquel on donne une forme adimensionnelle des quations
rgissant le phnomne et des paramtres caractristiques, ainsi quune prsentation des
diffrents modles du rayonnement et les quations qui correspondent ces derniers.
La rsolution numrique des quations de conservation est aborde au troisime
chapitre. La mthode des volumes finis avec lalgorithme Simple pour le couplage pression-
vitesse sont utiliss pour la discrtisation des quations de conservations.
Le dernier chapitre est consacr la prsentation des rsultats. L'influence du nombre
de Rayleigh dans les cas de la convection naturelle pure entre deux plaques et dans une cavit
Introduction gnrale
2
carre, sera analyse. Ensuite nous allons prsenter les rsultats des calculs effectus pour le
couplage entre la convection naturelle et le rayonnement thermique dans une cavit carre,
concernant linfluence de laugmentation du coefficient dabsorption sur la structure
dcoulement et le transfert de chaleur, et tous a relevant les quatre modles du rayonnement
DO, DTRM, P1 et Rosseland. Une comparaison des diffrents modles de rayonnement dans
une cavit carre pour diffrentes valeurs du coefficient dabsorption seront tudis.
Finalement, nous concluons ce travail par un rcapitulatif sur les principales
remarques et conclusions que nous pouvons tirer travers cette tude.
Chapitre I Etude bibliographique
3
CHAPITRE I
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
I.1 Gnralits sur la convection
I.1.1 Introduction
La convection est un mode de transport dnergie par laction combine de la
conduction, de laccumulation de lnergie et du mouvement du milieu. La convection est
le mcanisme le plus important du transfert dnergie entre une surface solide et un liquide
ou un gaz. Le transfert dnergie par convection dune surface dont la temprature est
suprieure celle du fluide qui lentoure seffectue en plusieurs tapes. Dabord la chaleur
scoule par conduction de la surface aux particules fluide adjacentes. Lnergie ainsi transmise
sert augmenter la temprature et lnergie interne de ces particules. Ensuite ces dernires
vont se mlanger avec dautres particules situes dans une rgion basse temprature et
transfrer une partie de leur nergie, celle-ci est prsent emmagasine dans les particules
fluides et elle est transporte sous leffet de leur mouvement.
I.1.2 Convection naturelle dans une cavit diffrentiellement chauffe
En convection naturelle, les mouvements du fluide sont provoqus par des
gradients de densit dues la non uniformit de la temprature. Les couches chaudes, donc
de poids spcifique plus faible, sont soumises des forces diriges vers le haut, suivant un
mcanisme analogue celui de la pousse dArchimde. Dans les rgions temprature
leve, le fluide prend donc un mouvement ascendant. Le phnomne inverse de
courants descendants se produits pour les
infrieure celle du fluide chaud. Les courants
diffrences de poids spcifique et par consqu
lexistence du champ de pesanteur terrestre. S
imposes sur les parois, on peut distinguer deux
parties du fluide dont la temprature est
de convection naturelle sont alors dus des
ent le phnomne se produit en raison de
elon les conditions aux limites thermiques
types lmentaires de la convection naturelle
Chapitre I Etude bibliographique
4
induit par la pousse dArchimde : Le premier est appel coulement par pousse thermique.
Dans ce cas, le gradient de temprature est orthogonal la pousse dArchimde (exemple,
les enceintes chauffes diffrentiellement). Le deuxime type est caractris par
lchauffement de la paroi infrieure, ici le gradient de temprature est parallle la pousse
dArchimde, dont le clbre exemple est le problme dinstabilit de Rayleigh Bnard.
Les figures I.1 a, I.1 b, reprsentent les deux types de convection:
Figure I.1 : Les types de la convection naturelle dans les enceintes : (a) Enceinte chauffe
diffrentiellement; (b) Enceinte chauffe en bas (instabilit de Rayleigh Bnard).
I.1.2.1 la convection de Rayleigh-Bnard
La convection de Rayleigh-Bnard est un cas particulier de la convection naturelle qui
correspond la situation o un volume de fluide, enferm dans une enceinte, est
simultanment chauff par le bas et refroidi par le haut. Dans le champ de pesanteur, cette
configuration est instable en raison du gradient de densit engendr par la dfrence de
temprature entre le haut et le bas de lenceinte : le fluide du bas se dilate, devient plus lger
que le fluide du haut et tend slever sous leffet de la pousse dArchimde. En raison de sa
simplicit et du faible nombre de paramtres de contrle, la convection de Rayleigh-Bnard a
fait lobjet de nombreux travaux tant dun point de vue exprimental que sur un plan
thorique. La plupart des tudes portent sur la comprhension de lchange de chaleur entre la
source chaude et la source froide. Une question centrale est notamment de savoir comment
volue lefficacit du transfert thermique avec laugmentation du nombre de Rayleigh. Le
(a)
0.05870.05620.05470.05190.04450.03710.03340.02970.02960.02600.02370.02220.01850.01110.00740.0001
4.02273.62373.10602.58832.07071.55301.03530.73420.51760.12130.1056
-0.0000-0.3946-0.4778-0.5177-1.0354-1.5530-2.0707-2.5884-3.1060-3.6237-4.0321
(b)
Chapitre I Etude bibliographique
5
nombre de Rayleigh (Ra) est un paramtre de contrle du systme. Il peut tre vu comme la
diffrence de temprature sans dimension, cest--dire que plus il est lev, plus lchange de
chaleur est important.
I.1.2.2 Couplage entre la convection et le rayonnement
Ltude de la convection naturelle en milieux confins fait, de nos jours encore, lobjet
de nombreuses recherches, tant sur le plan fondamental que sur le plan industriel. Dans ce
type de problme, les diffrents modes de transfert thermique (convection, conduction,
rayonnement) peuvent intervenir de faon couple. Toutefois, quand le transfert radiatif est
considr, un problme particulier se pose lorsque le fluide lui-mme se comporte comme un
milieu semi-transparent, c'est--dire quil absorbe et met le rayonnement infrarouge. Il faut
alors tenir compte dune source de chaleur interne au milieu, rsultant de la diffrence entre
lnergie radiative absorbe et celle qui a t mise par chaque lment de volume.
I.2 Revue bibliographique
Aprs cette prface, nous exposons chronologiquement quelques travaux disponibles
dans la littrature qui traitent lcoulement avec transfert de chaleur par convection thermique
dans les enceintes dune part et le couplage convection rayonnement thermique dautre part.
Inaba (1984) [1] a tudi exprimentalement le mouvement de convection naturelle et le
transfert thermique dans une couche d'air rectangulaire et incline, avec deux frontires
rigides, opposes, isothermes des tempratures diffrentes, pour des angles d'inclinaison
entre 0 et 180, plusieurs rapports de forme H/W (hauteur sur largeur de la cavit) entre 5 et
83 et des nombres de Rayleigh Raw = 1,2 x 103-2 x 106. Des configurations d'coulements dans
deux plans (plans XY et YZ) qui se rencontrent angle droit, sont visualises pour diffrents
facteurs mentionns ci-dessus. Des formules adimensionnelles donnant le flux thermique
transfr travers la couche d'air sont proposes pour exprimer le nombre de Nusselt Nuw et le
nombre de Rayleigh modifi pour, 0 60ou pour 60
<
120. Ces relations s'accordent bien avec les rsultats des mesures thermiques d'autres auteurs.
Lin et Nansteel(1987) [2] ont tudi numriquement la structure de l'coulement permanent,
la temprature et le transfert thermique dans une cavit carre chauffe et refroidie sur les
parois verticales opposes et qui contienne de l'eau froide proche de son maximum de
densit. Linterprtation des rsultats se base sur un paramtre adimensionnel de
Chapitre I Etude bibliographique
6
distribution de densit qui fixe l'orientation des tempratures des parois chaude et froide
par rapport l'extremum de temprature et qui sert aussi caractriser la distribution de
la force de flottement dans la cavit. Les structures multicellulaires sont observes pour
certains domaines du paramtre de distribution de densit indpendamment de la valeur du
nombre de Rayleigh (103 Ra 106). L'effet du paramtre de distribution de densit sur
le transfert travers la cavit est trs sensible et ils le discutent relativement aux
changements de structure de l'coulement.
November et Nansteel(1987) [ 3 ] ont tudi analytiquement et numriquement la
convection naturelle permanente dans une enceinte carre, remplie d'eau chauffe par le bas et
refroidie sur un ct vertical. Des dveloppements pour un petit nombre de Rayleigh sont
obtenus l'ordre Ra2. Ils ont trouv que la premire contribution la convection thermique se
produit l'ordre Ra2. Des expressions asymptotiques sont trouves pour la temprature et le
transfert thermique prs de la singularit de flux au plancher de la cavit. Des simulations
numriques par diffrences finies montrent que la condition tudie (chauffage par le bas) est
tout fait distincte du cas du refroidissement par le bas et chauffage sur un ct vertical. Le
transfert thermique convectif est plus significatif quand un peu moins de la moiti de la
surface infrieure est chauff.
Yang et al (1987) [4] ont faits des calculs numriques aux diffrences finies pour dterminer
la transition laminaire et les caractristiques de transfert thermique dans des enceintes
rectangulaires tridimensionnelles inclines. L'angle d'inclinaison pour lequel le transfert de
chaleur atteint un minimum local correspond la transition de structure depuis l'coulement
multicellulaire vers celui unicellulaire. Des rsultats numriques s'accordent trs bien avec les
donnes exprimentales et les observations existantes. Des calculs en simulation
ont t faits pour dterminer l'effet des parois latrales et ils ont trouv que la proximit
immdiate des parois restreint le dveloppement de l'coulement dans cette direction, rduisant
ainsi le transfert thermique global travers l'enceinte.
Nishimura et al (1988) [5] ont tudi exprimentalement et numriquement la convection
naturelle laminaire dans des cavits rectangulaires divises par des partitions verticales
multiples. Dans le rgime de couche limite, la temprature de partition augmente peu prs
linairement dans la direction verticale. La solution de couche limite qui prdit le flux
thermique transfr est drive partir des rsultats numriques. Ils ont montr que le nombre
Chapitre I Etude bibliographique
7
de Nusselt est inversement proportionnel (1+N), si N est le nombre de partitions. Cela est
confirm par les expriences.
Han et Kuehn (1991) [6] ont tudi numriquement l'coulement de convection naturelle
de double diffusion dans une cavit rectangulaire verticale, de rapport de forme 4, quand les
gradients de temprature et de concentration sont imposs dans la direction horizontale. Un
algorithme aux diffrences finies est adopt pour rsoudre les quations non linaires de
quantit de mouvement couples avec celles de l'nergie et de la concentration. Les structures
multicellulaires de l'coulement observes exprimentalement par les auteurs sont simules
avec succs. Diffrents rgimes de structure d'coulement sont obtenus en fonction du rapport
des nombres de Grashof pour des conditions de flottement aides ou opposes.
Le transfert thermique convectif est tudi numriquement par Karayiannis et al (1992) [7]
pour des cavits rectangulaires sans partition ou divises en deux zones par une cloison
verticale et ayant des parois opposes isothermes diffrentes tempratures. Le rapport de
forme varie de 0,1 16 et le nombre de Rayleigh de 3,5 x 103 3,5 x 107 (sans partition) et
de 1,0 x 105 1,6 x 108 (avec partition). Ils ont vari l'paisseur et la conductivit de la
cloison. Les conditions aux limites thermiques aux parois horizontales sont adiabatiques ou ils
possdent un profil de temprature linaire. Les quations de continuit, de quantit de
mouvement et de l'nergie pour un coulement 2D laminaire permanent sont rsolues dans
l'approximation de Boussinesq en utilisant une mthode de diffrences finies et un algorithme
de couplage pression-vitesse. Des rsultats indpendants du maillage indiquent que la
rduction du nombre de Nusselt cause par une cloison centrale mince peut tre prdite un
faible pourcentage (dans le domaine tudi) en supposant la partition isotherme, c'est--dire
infiniment conductrice. La conductivit finie de la cloison cause une distribution
longitudinale de temprature avec un accroissement de Nu qui dpend du nombre de
Rayleigh, du rapport de forme et des conditions aux limites thermiques sur les parois
horizontales.
Kazmierczak et Chinoda (1992) [ 8 ] ont tudi numriquement le problme de
l'coulement laminaire de convection naturelle dans une cavit carre ayant une paroi
verticale chaude temprature uniforme mais priodiquement variable dans le temps.
Cette temprature varie sinusodalement autour d'une temprature fixe. La paroi oppose
froide est maintenue temprature constante. Des solutions sont obtenues pour diffrents
cas qui illustrent les effets des oscillations de temprature de la surface sur l'coulement et
Chapitre I Etude bibliographique
le transfert thermique travers
temps. Ces lignes de courant montrent qu'un
intermittente dans le coin su
oppos celui de l'coulement principal. Le flux thermique instantan trave
fluctue fortement et pendant une certaine dure, la chaleur enleve concerne un large
segment de la surface chaude. L'effet du changement priodique de temprature paritale
est partiellement sensible dans la cavit et globalement le transfer
travers la cavit, est pratiquement
Sarris et al (2002) [9] ont tudi numriquement la convection naturelle da
bidimensionnelle rectangulaire avec un profil de temp
suprieure et des conditions adiabatiques sur la paroi du bas et les parois latrales
La temprature sinusodale applique est symtrique en ce qui concerne le demi
cavit. Les calculs numriques son
gamme 102 108. Les rsulta
isothermes et de distribution de Nusselt local. Les zones de recirculation sont montres par
laugmentation de lintensit et leurs centres
avec laugmentation de Rayleigh. En consquence, la couche limite thermique est confine
prs des rgions de la paroi suprieure.
Laugmentation des valeurs du nombre local de Nu
suprieure sont observes avec laugmentation du nombre de Rayleigh.
En conclusion, laugmentation du rapport daspect de la cavit produit une augmentation
analogue de lintensit de circulation du fluide.
Figure I.2 : Gomtrie du problme
Chapitre I Etude bibliographique
8
le transfert thermique travers la cavit. Les solutions obtenues sont priodiques dans le
mps. Ces lignes de courant montrent qu'un petit coulement secondaire apparat de faon
intermittente dans le coin suprieur prs de la paroi chaude et qu'il tourne dans le sens
oppos celui de l'coulement principal. Le flux thermique instantan trave
fluctue fortement et pendant une certaine dure, la chaleur enleve concerne un large
de la surface chaude. L'effet du changement priodique de temprature paritale
dans la cavit et globalement le transfert moyen
travers la cavit, est pratiquement insensible la condition thermique priodique.
tudi numriquement la convection naturelle da
rectangulaire avec un profil de temprature sinusodal sur la paroi
suprieure et des conditions adiabatiques sur la paroi du bas et les parois latrales
La temprature sinusodale applique est symtrique en ce qui concerne le demi
cavit. Les calculs numriques sont effectus pour des valeurs du nombre de Rayleigh dans la
. Les rsultats sont prsents sous forme des lignes de courant, des
isothermes et de distribution de Nusselt local. Les zones de recirculation sont montres par
intensit et leurs centres se dplacent vers les coins de la paroi suprieure
avec laugmentation de Rayleigh. En consquence, la couche limite thermique est confine
prs des rgions de la paroi suprieure.
Laugmentation des valeurs du nombre local de Nusselt maximum et minimum la paroi
avec laugmentation du nombre de Rayleigh.
En conclusion, laugmentation du rapport daspect de la cavit produit une augmentation
analogue de lintensit de circulation du fluide.
: Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [
Chapitre I Etude bibliographique
la cavit. Les solutions obtenues sont priodiques dans le
petit coulement secondaire apparat de faon
et qu'il tourne dans le sens
oppos celui de l'coulement principal. Le flux thermique instantan travers la surface
fluctue fortement et pendant une certaine dure, la chaleur enleve concerne un large
de la surface chaude. L'effet du changement priodique de temprature paritale
moyen dans le temps,
insensible la condition thermique priodique.
tudi numriquement la convection naturelle dans une cavit
rature sinusodal sur la paroi
suprieure et des conditions adiabatiques sur la paroi du bas et les parois latrales (figure I.2).
La temprature sinusodale applique est symtrique en ce qui concerne le demi-plan de la
pour des valeurs du nombre de Rayleigh dans la
lignes de courant, des
isothermes et de distribution de Nusselt local. Les zones de recirculation sont montres par
vers les coins de la paroi suprieure
avec laugmentation de Rayleigh. En consquence, la couche limite thermique est confine
sselt maximum et minimum la paroi
En conclusion, laugmentation du rapport daspect de la cavit produit une augmentation
tudi dans la rfrence [9].
Chapitre I Etude bibliographique
9
Rahman et al (2003) [10] ont fait des investigations numriques sur l'coulement de la
convection naturelle avec ou sans source de chaleur interne (figure I.3). Deux principaux
paramtres pour ce problme : le nombre de Rayleigh externe, RaE, qui reprsente l'effet d
au gradient temprature des parois latrales, et le nombre de Rayleigh interne, RaI, qui
reprsente la force de gnration de la source. Des rsultats sont obtenus pour diffrent
allongement et divers angles dinclinaison de lenceinte rectangulaire.
Figure I.3 : Gomtrie et conditions aux limites du problme de la rfrence [10].
Ezzouhri et al (2005) [11] ont dvelopp des outils numriques de type Simulation des
Grandes chelles pour ltude des coulements de convection naturelle turbulente dans
des cavits de type habitat. Les hauteurs ont compar ici les rsultats du modle
dynamique de Germano (1991) [12] et dune approche dynamique applique au modle
local de diffusivit de sous-maille dans le cas dune cavit 2D diffrentiellement chauffe.
Les rsultats sont compars avec ceux dune simulation numrique directe (DNS). Au vu
des rsultats obtenus, ils ont conclu que le modle local de diffusivit de sous-maille est
globalement le plus apte reproduire les rsultats de la DNS. Lapproche dynamique
applique ce modle permet damliorer la reprsentation du champ thermique en partie
centrale de la cavit par rapport au cas dune constante fixe priori, mais saccompagne
dune moins bonne reprsentation de la dynamique de lcoulement dans les zones de
recirculation en partie amont des couches limites chaude et froide.
Kalabin et al (2005) [13] ont prsent numriquement la convection naturelle oscillatoire
dans une enceinte carre incline. Lune des parois verticales est maintenue une temprature
constante et la temprature de lautre paroi varie sinusodalement avec le temps. Les deux
autres parois sont adiabatiques. Le dispositif considr est reprsent sur la figure (I.4). Les
quations qui rgissent le problme ont t rsolues numriquement par la mthode des
Chapitre I Etude bibliographique
10
volumes finis pour un nombre de Rayleigh gal 5 510 et un nombre de Prandtl Pr=1 sur
une large gamme des frquences doscillations. La dpendance du transfert de chaleur avec
les frquences doscillations a t applique pour diffrents angles dinclinaisons. Il apparat
dans certains paramtres du problme, quil est possible de transfrer la chaleur de la paroi
froide vers la paroi chaude.
Figure I.4 : Schma du problme tudi dans la rfrence [13].
Rebhi et al (2005) [14] sont intresss ltude numrique de la convection naturelle
laminaire dans une enceinte bidimensionnelle fond non uniforme (sinusodal) chauff par
une temprature constante et uniforme Tp, les parois verticales sont adiabatiques et la paroi
suprieure est maintenue une temprature constante Ta (figure I.5). Les paramtres dont
dpend la structure de la convection naturelle sont : le nombre de Rayleigh, le facteur de
forme A et le nombre de Prandtl.
Dans ce travail ils ont tudi linfluence de topographies non planes du fond de la cavit sur
les transferts, par convection naturelle, au voisinage de la paroi chaude. Les rsultats obtenus
montrent que :
La structure de lcoulement est notamment affecte par le facteur de forme de la cavit
en mme temps que les transferts au voisinage de la paroi.
Lcoulement dans la cavit est caractris par des zones de recirculation dans les
creux et au-dessus des sommets, o les nombres de Nusselt locaux sont plus levs.
Dune faon gnrale les transferts dvelopps au sein dune cavit fond de
topographie non plane sont infrieurs ceux obtenus dans une cavit fond horizontal
et uniforme de mme longueur.
Chapitre I Etude bibliographique
11
Figure I.5 : Prsentation du problme considr dans la rfrence [14].
Retiel et al (2005) [15] ont prsent numriquement leffet de linclinaison sur la convection
naturelle dans une cavit demi-cylindrique ferme de rayon intrieur qui contient un fluide
incompressible. La paroi suprieure plafond et la paroi infrieure le plancher engendrent
un gradient vertical de temprature (parois actives) (figure I.6). Le modle numrique utilis
pour rsoudre le systme d'quations est fond sur la mthode des volumes finis.
Dans cette tude, ils ont pu montrer le comportement des structures dcoulement et du champ
de temprature dans la cavit lorsquelle est incline en prsence dun gradient de temprature
vertical. Ils ont observ que linclinaison de la cavit mme de faible valeur dstabilise
facilement et compltement la structure de lcoulement et le champ de temprature. La
structure multicellulaire disparat lorsque la cavit est parfaitement horizontale (2 cellules)
pour laisser la place une structure unicellulaire antisymtrique par rapport au centre de la
cavit.
Figure I.6 : Gomtrie du problme considr dans la rfrence [15].
Chapitre I Etude bibliographique
12
Sarris et al (2005) [ 16 ] ont tudi numriquement la convection naturelle
bidimensionnelle dans une cavit carre latralement chauffe remplie dun fluide
conducteur dlectricit, en prsence d'un champ magntique et une source de chaleur
(figure I.7). Ils ont trouv quavec laugmentation du rapport S = RaI/RaE, lcoulement
devient oscillatoire. Les champs d'coulement multicellulaires oscillants sont obtenus pour
des valeurs de S variant jusqu' 100 et une gamme de RaE varie de 105 106.
Laugmentation du rapport S habituellement donne une transition de ltat stable un
tat instable mais ils ont trouv que l'coulement instable devient stable pour quelques
cas.
Figure I.7 : Gomtrie et conditions de la cavit tudie dans la rfrence [16].
Aydin et Unal (2006) [17] ont tudi numriquement lcoulement bidimensionnel dans une
cavit incline refroidie et chauff sur les parois adjacentes. Les quations gouvernant le
problme sont rsolues numriquement par la mthode des diffrences finies. Les calculs sont
effectus pour les valeurs du nombre de Rayleigh situs dans la gamme du 10 5 10. ils
ont observ avec laugmentation du Rayleigh, quatre rgimes distincts d'coulement ont t
identifis, bas sur les variations avec le temps de la fonction de courant du point mdian et
du nombre de Nusselt moyen la paroi chaude aussi bien que ceux des champs d'coulement
et de temprature : flux stationnaire avec les deux cellules symtriques aux bas Ra, flux
stationnaire avec les deux cellules asymtriques aux Ra modr infrieur, coulement
oscillant avec la nature priodique aux Ra modr suprieur ; et coulement oscillant en
nature chaotique une chane plus leve de Ra.
Benkhelifa et Penot (2006) [18] sont intresss la caractrisation dynamique par PIV de la
convection de Rayleigh-Bnard turbulente dans une cavit paralllpipdique, remplie dair et
de rapport de forme (H/L) gal 4. Lanalyse des rsultats obtenus, pour des valeurs du
Chapitre I Etude bibliographique
13
nombre de Rayleigh RaH (bas sur la hauteur H de la cavit) variant entre 108 et 4,23108,
montre surtout que les fluctuations de vitesse sont importantes et au moins du mme ordre de
grandeur que les vitesses moyennes. Par ailleurs, mme des valeurs trs loignes de la
valeur critique du nombre de Rayleigh (facteur 103), une structuration trs cohrente et
organise autour de trois rouleaux contrarotatifs est particulirement bien visible sur les
valeurs moyennes. Dautre part, une investigation dans la troisime direction a permis de
quantifier lnergie cintique turbulente 3D et des effets tridimensionnels secondaires qui
navaient pas t quantifis auparavant. Enfin, leffet dune infime perturbation sur le sens de
rotation des rouleaux de Rayleigh-Bnard a t galement examin.
Amaresh et al (2006) [19] quant eux, ont fait une tude de la convection naturelle dans une
cavit rectangulaire. La paroi inferieur est chauffe et les trois autres parois sont maintenues
une plus basse temprature. Le systme d'quations est rsolu numriquement par la mthode
des volumes finis, les rsultats sont prsents sous forme de distribution locale et moyenne
du nombre de Nusselt pour une gamme du nombre de Rayleigh (100 -106) et des rapport
daspect (0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, et 2). Les lignes des courants et les isothermes sont
prsentes pour diffrentes valeurs du nombre de Rayleigh et nombre de Prandtl de 0.71.
Ils ont constat que pour tous les rapports daspect avec un nombre de Rayleigh entre (100
et 103), le transfert thermique seffectue par conduction, aprs llvation du nombre de
Rayleigh jusqu Ra 104 ont observ la dominance de la convection. La distribution de
flux et de transfert thermique est symtrique par rapport au demi-plan vertical.
Naw af et al (2006) [ 20 ] ont tudi la convection laminaire dans une cavit carre
bidimensionnelle remplie d'air. Ils ont suppos que la paroi verticale est chauffe des
variations sinusodales spatiales de la temprature par rapport une valeur moyenne
constante, qui est plus haute que la temprature froide de la paroi latrale, alors que les parois
horizontales sont adiabatiques (figure I.8). Ils ont trouv que le nombre de Nusselt moyen
bas sur la temprature de la paroi chaude augmente avec laugmentation de l'amplitude
pour une gamme du nombre de Rayleigh variant de 103 106.
Chapitre I Etude bibliographique
Figure I.8 : Diagramme schmatique du modle physique et du systme des
Abidi et al (2007) [21] ont considr
naturelle double diffusion dans une enceinte cubique remplisse dune solution aqueuse et
soumise des gradients de temprature et de
des concentrations constantes et uniformes sont imposes sur les parois verticales, gauche
droite, de l'enceinte, les deux autres parois verticales sont impermables et adiabatiques tandis
que les parois horizontales sont diffusives en chaleur et en masse. Ils ont mis en vidence
linfluence de ces parois diffusives en chaleur et en masse su
lcoulement, les profiles de tempratures, de concentration et les caractristiques de transfert
global de chaleur et de masse pour diffrents paramtres gouvernant lcoulement. Les effets
des conditions prcdents ont t t
des coefficients de transfert de chaleur et de masse R
Rd (rapport des coefficients massique). Cette tude a montr que lajout des parois diffusives
en chaleur et en masse induit une diminution de lintensit globale de lcoulement et les
transferts de chaleur et de masse dune part et favorise lcoulement transversal dautre part.
Mergui et Gobin (2007) [22
de dveloppement dune instabilit
rectangulaire chauffe par le bas et refroidie par le haut
est de regarder linfluence des parois latrales sur le comportement de
faisant varier le rapport de forme transverse (largeur/hauteur) du canal ainsi que la
de ces parois (rugueuses, lisses...). Linstabilit
Chapitre I Etude bibliographique
14
Diagramme schmatique du modle physique et du systme des
utiliss dans la rfrence [20].
ont considr une tude numrique tridimensionnelle de la convection
diffusion dans une enceinte cubique remplisse dune solution aqueuse et
gradients de temprature et de concentrations horizontales. Des tempratures et
des concentrations constantes et uniformes sont imposes sur les parois verticales, gauche
droite, de l'enceinte, les deux autres parois verticales sont impermables et adiabatiques tandis
que les parois horizontales sont diffusives en chaleur et en masse. Ils ont mis en vidence
linfluence de ces parois diffusives en chaleur et en masse sur laspect tridimensionnel de
lcoulement, les profiles de tempratures, de concentration et les caractristiques de transfert
global de chaleur et de masse pour diffrents paramtres gouvernant lcoulement. Les effets
des conditions prcdents ont t traits pour Ra=105, Pr=10 et Le=10 pour diffrentes valeurs
des coefficients de transfert de chaleur et de masse Rc (rapport de conductivit thermique) et
(rapport des coefficients massique). Cette tude a montr que lajout des parois diffusives
chaleur et en masse induit une diminution de lintensit globale de lcoulement et les
transferts de chaleur et de masse dune part et favorise lcoulement transversal dautre part.
22] ont ralis une tude exprimentale portant s
de dveloppement dune instabilit rencontre dans un coulement dair
rectangulaire chauffe par le bas et refroidie par le haut (figure I.9). Le but de cette tude
est de regarder linfluence des parois latrales sur le comportement de
faisant varier le rapport de forme transverse (largeur/hauteur) du canal ainsi que la
de ces parois (rugueuses, lisses...). Linstabilit apparat sous la forme de rouleaux orients
Chapitre I Etude bibliographique
Diagramme schmatique du modle physique et du systme des coordonns
tridimensionnelle de la convection
diffusion dans une enceinte cubique remplisse dune solution aqueuse et
concentrations horizontales. Des tempratures et
des concentrations constantes et uniformes sont imposes sur les parois verticales, gauche et
droite, de l'enceinte, les deux autres parois verticales sont impermables et adiabatiques tandis
que les parois horizontales sont diffusives en chaleur et en masse. Ils ont mis en vidence
r laspect tridimensionnel de
lcoulement, les profiles de tempratures, de concentration et les caractristiques de transfert
global de chaleur et de masse pour diffrents paramtres gouvernant lcoulement. Les effets
, Pr=10 et Le=10 pour diffrentes valeurs
(rapport de conductivit thermique) et
(rapport des coefficients massique). Cette tude a montr que lajout des parois diffusives
chaleur et en masse induit une diminution de lintensit globale de lcoulement et les
transferts de chaleur et de masse dune part et favorise lcoulement transversal dautre part.
une tude exprimentale portant sur les conditions
rencontre dans un coulement dair dans une conduite
. Le but de cette tude
est de regarder linfluence des parois latrales sur le comportement de linstabilit en
faisant varier le rapport de forme transverse (largeur/hauteur) du canal ainsi que la nature
apparat sous la forme de rouleaux orients
Chapitre I Etude bibliographique
15
dans le sens de lcoulement qui prennent naissance au voisinage des parois latrales. Les
hauteurs ont montr que le nombre de rouleaux est pair quelque soit le jeu de paramtres
caractristiques considr mais que leur comportement dpend des conditions qui rgnent sur
les parois latrales (conditions thermiques, tat de surface).
Figure I.9 : Prsentation du problme tudi dans la rfrence [22].
Ould said et retiel (2007) [23] ont tudi la convection naturelle laminaire dun fluide
visqueux incompressible dans une cavit confine en forme de pyramide horizontale chauffe
par le bas et refroidie par les parois inclines suprieures (figure I.10). Les conditions aux
frontires sont de type Dirichlet (tempratures imposes). Le problme a t abord selon une
approche numrique, base sur la mthode des volumes finis en utilisant le logiciel
commercial Fluent.
Dans une premire tape, ils ont analys le comportement des structures dcoulements et du
champ de temprature, en rgime laminaire, et ils ont remarqu que les tailles des cellules
restent constantes pour un nombre de Rayleigh 10 Ra10, puis elles augmentent au-del
de10. Ils ont observ des coulements plus acclrs prs des couches limite. Les gradients
de temprature sont essentiellement verticaux lorsque le fluide est immobile et conductif, et
courb lorsque des cellules convectives occupent la cavit.
Par ailleurs, la convection naturelle est videmment trs sensible la variation du rapport de
forme. En effet, daprs les rsultats obtenus, plus le rapport de forme augmente plus le
nombre de Nusselt moyen le long de la paroi chaude diminue dans le cas de la cavit chauffe
par le bas.
Chapitre I Etude bibliographique
16
Figure I.10 : Gomtrie de la pyramide [23].
Djatout et al (2010) [24] ont prsent une tude de la circulation dair par convection
naturelle en rgime laminaire dans une cavit carre incline avec des parois horizontales
adiabatiques et des parois verticales soumises des tempratures constantes respectivement
( et ). Le systme dquations qui rgit le phnomne de la convection naturelle est rsolu
numriquement grce un code de calcul bas sur la mthode des volumes finis en langage
Fortran et le code de calcul Fluent. Ils ont tudi galement linfluence de certains paramtres
comme le nombre de Rayleigh, le nombre de Nusselt et linclinaison de la cavit sur les
profils de vitesse et de temprature.
Daprs l'ensemble des rsultats numriques ils ont conclu que : le nombre de Rayleigh a une
grande influence sur le mode de transfert de chaleur dominant dans la cavit surtout pour le
nombre Ra =104 o commence le mouvement convectif et pour Ra =106 o la convection est
dominante. Donc lchange de chaleur dans la cavit augmente avec laugmentation de Ra.
Des travaux, principalement numriques, ont t consacrs au couplage du
rayonnement des parois (rayonnement surfacique) et/ou du milieu (rayonnement
volumique) avec la convection naturelle pour le cas des cavits fermes:
Gugl ie lmini et al (1987) [ 25] ont tudi le transfert thermique par convection et
rayonnement entre une surface isotherme verticale ayant un arrangement de plaques
verticales discrtes d'paisseur finie et l'environnement (figure I.11). La contribution de la
convection naturelle a t mesure pour diffrentes configurations gomtriques avec des
surfaces faible mittance, ils ont analys l'influence des paramtres les plus actifs. Les rsultats
thoriques ont t exprimentalement vrifis en mesurant le flux de chaleur travers des
Chapitre I Etude bibliographique
surfaces d'missivit connue. Pour la gomtrie particulire considre, le couplage de
convection et de rayonnement donne un transfert thermique plus efficace que pour des ailettes
canaux verticaux en forme de U et de mme volume.
Figure I.
Yamada (1988) [ 26 ] a p
combin la convection the
missif (figure I.12). Un ca
rend important la fois le r
tabli en utilisant le modle
de paroi arbitraires. Des r
missivits de paroi ont un
gaz gris est en dfaut pour
d'une paroi isole.
Figure I.12 :
Tan et Howell (1991)
naturelle coupl dans une
isotropiquement. La formul
17
11 : Configuration des ailettes de radiateur [25].
rsent des tudes analytique et exprimentale du rayonnement
rmique naturelle dans un canal vertical, avec un milieu absorbant et
nal entre plaques parallles est chauff dissymtriquement, ce qui
ayonnement du gaz et celui des parois. Un systme d'quations est
bande exponentielle et le modle de gaz gris, avec des missivits
sultats numriques sont compars ceux de l'exprience. Les
effet important sur le transfert de chaleur combin. Le modle de
prdire l'absorption nette ngative dans une couche de gaz proche
Configuration du problme dun canal vertical [26].
[27] ont tudi numriquement le rayonnement et la convection
cavit carre contenant un milieu qui met, absorbe et diffuse
ation intgrale exacte pour les quations du transfert radiatif et des
Chapitre I Etude bibliographique
18
bilans de quantit de mouvement et d'nergie est discrtise par une mthode produit-intgrale
et aussi une mthode aux diffrences finies. Les quations algbriques rsultantes sont rsolues
par une technique SOR non linaire, avec des valeurs de nombre de Rayleigh suivants : 103, 104
et 105 et le paramtre rayonnement-conduction allant de zro l'infini. Ils ont discut les influences
de ces paramtres et d'autres sur les distributions de vitesse et de temprature ainsi que le
transfert thermique. Les rsultats obtenus montrent que la prsence du rayonnement augmente
la temprature du fluide, et peut avoir une influence significative sur le flux de fluide et la
distribution de temprature avec diffrents nombres de Rayleigh. Les auteurs ont remarqu
dune part que pour simuler exactement les variations de la temprature prs des parois
isolants, il est ncessaire d'utilis un modle bidimensionnel de rayonnement, et dautre
part, malgr la mthode numrique employe, ici, est efficace et les rsultats sont tout fait
prcis compars aux solutions de repre dans des cas limits, mais Pour obtenir des rsultats
plus prcis, ils devraient tre appliqus un schma de diffrences finis d'ordre plus suprieur
ou utilis plus des points du maillage.
Chrif et Sifaoui (2004) [28], dans leur travail, des solutions numriques sont prsentes
pour ltude de leffet du rayonnement sur le transfert thermique. La prsence simultane de
conduction, convection et rayonnement dans un milieu poreux semi-transparent cylindrique a
t tudie (figure I.13). Lensemble des quations diffrentielles sont rsolues par la mthode
des diffrences finies du quatrime ordre, et ils utilisent lapproximation de Rosseland pour le
terme driv du flux de chaleur rayonnant apparaissant dans lquation dnergie. De divers
rsultats sont obtenus pour les profils de temprature adimensionnelle (dans les phases solide
et fluide), du flux radiatif et du flux thermique total. Leffet des nombres de Reynolds et de
Planck et le rapport de conductivit sur les profils de temprature, sur le flux de chaleur total
et sur les distributions de flux de chaleur radiatif ont t examins.
Ils ont montr que le taux de transfert radiatif et linteraction de diffrents modes de transfert
dpendent du paramtre de conduction-rayonnement, du nombre de Reynolds et du rapport de
conductivit thermique. La conclusion qui peut tre tire de cette tude est que le
rayonnement joue un rle important dans le taux de transfert thermique.
Chapitre I Etude bibliographique
19
Figure I.13: Schma considr dans la rfrence [28].
A laide de la mthode des Ordonnes Discrtes (DO), Timoumi et al (2005) [29] ont
tudi le transfert de chaleur convectif, radiatif et conductif entre deux cylindres coaxiaux
spars par un milieu poreux semi-transparent (figure I.14). Leffet de l'paisseur optique,
l'albdo de dispersion, l'missivit des parois et le nombre de Planck sur les profils de
temprature et sur la distribution de flux de chaleur radiatif ont t examines.
Ils ont montr que le taux de transfert radiatif et l'interaction de diffrents modes de transfert
dpendent de : paramtre de conduction-rayonnement, paisseur optique, missivit des
parois et albdo de dispersion. Ils ont galement dmontr que le rayonnement joue un
rle important dans le taux de transfert thermique. Bas sur la mthode (DO), ils ont
conclu que la mthode utilise ici donne des rsultats fortement prcis mme lorsqu'elle est
sujette un milieu poreux cylindrique participant semi-transparent.
Figure I.14: Gomtrie du problme tudi dans la rfrence [29].
Wang et al (2006) [30] ont dvelopp un code numrique pour le couplage de la convection naturelle
en cavit avec le rayonnement de surfaces. Des tudes ont t menes pour une cavit carre remplie
dair dont les quatre parois ont la mme missivit. Les rsultats montrent que, par rapport au cas
Chapitre I Etude bibliographique
20
sans rayonnement, la paroi suprieure est refroidie, la paroi inferieure est rchauffe, lcoulement
horizontal est renforc et la stratification diminue. Lanalyse montre que la densit de flux radiatif
net est linaire en (si ) , ce qui est le cas faible nombre de Rayleigh, et que le nombre
de Nusselt radiatif est linaire dans la hauteur de la cavit. Le rayonnement de surfaces fait baisser le
nombre de Rayleigh critique caractrisant lapparition de linstationnarit : pour = 0.2 et une cavit
de 0.335 m de haut il est de 9.3 106 et la bifurcation correspondante est supercritique. De plus des
solutions priodiques multiples sont observes entre Ra = 1.2 107 et 1.3 107.
Jaballah et al (2007) [31] ont essay de localiser des valeurs prcises pour le seuil de la
convection oscillante dans une cavit carre remplie d'air, avec des parois verticales
diffrentiellement chauffs et des parois horizontales adiabatiques et grises, par ltude
numrique de linteraction de la convection naturelle avec le rayonnement. Une gamme des
valeurs de l'missivit varie de 0 1, a t tudi avec des valeurs du nombre de Rayleigh
de 1.2x106 5x107. Les rsultats prouvent que la prsence du rayonnement extrieur peut
changer les champs de la vitesse et de la temprature. La valeur du nombre de Nusselt radiatif
augmente rapidement avec l'augmentation de l'missivit. La stabilit de l'coulement est
influence par le rayonnement selon son tat dynamique. En effet, le rayonnement apparat
comme facteur de catalyse sur le comportement de l'coulement. Pour Ra = 2.1 x 106, le
champ d'coulement approche asymptotiquement de l'tat d'quilibre avec la prsence du
rayonnement pour toutes les valeurs de l'missivit. En labsence de rayonnement, l'tat
d'quilibre est approch pour Ra=107. Pour Ra=5x107, les oscillations augmentent d'amplitude
et de frquence avec la valeur de l'missivit. En conclusion, les auteurs ont trouv que le
rayonnement des parois a plus d'effet sur la stabilit d'coulement que le milieu radiatif
participant.
Jami et al (2007) [32] ont tudi numriquement le phnomne de la convection naturelle
couple au rayonnement dans une cavit carre contenant un cylindre. Seul le rayonnement
surfacique est pris en compte et les surfaces radiatives sont supposes grises et isotropes en
mission et rflexion. Un schma hybride, bas sur la mthode de Boltzmann sur rseau combine
la mthode des diffrences finies, est utilis pour lanalyse du comportement thermique et
dynamique de lair. Les effets du nombre de Rayleigh et de la dimension du cylindre sur le
transfert de la chaleur et lcoulement de lair, ont t analyss et discuts. Les principales
conclusions de cette tude peuvent tre rsumes comme suit :
Le transfert thermique augmente en fonction du rayon du cylindre.
Chapitre I Etude bibliographique
21
En absence du rayonnement, leffet du rayon du cylindre sur le transfert thermique
est dautant plus faible que Ra est lev.
Linfluence du rayon du cylindre, sur les champs dynamique et thermique, est
plus considrable en prsence du rayonnement.
Une quasi symtrie, des champs thermique et dynamique, est observe pour un
faible rayon du cylindre.
Le rayonnement homognise les tempratures des surfaces en regard et augmente le
transfert de chaleur lintrieur de la cavit.
Meftah et al (2007) [33] ont tudi la convection naturelle de double diffusion dans une cavit
carre remplie dun mlange air-CO2 et dont les parois verticales sont maintenues des
tempratures et concentrations diffrentes. Le modle numrique est bidimensionnel,
laminaire et utilise une mthode de diffrences finies pour valuer les vitesses, les
tempratures et les concentrations. La participation radiative de CO2 est calcule par la
mthode des Ordonnes Discrtes (DO) avec un modle spectral de type somme pondre
de gaz gris (mthode SLW de Denison et Webb). Les rsultats sont donns pour un nombre
de Rayleigh de lordre de 107 et deux niveaux de concentration en CO2. Ils ont trouv que La
participation radiative du fluide, induite par la prsence de CO2 dans le mlange, modifie la
structure de lcoulement et perturbe le champ thermique, notamment en crant une
stratification oblique.
Mezrhab et al (2007) [34] ont tudi numriquement linfluence des partitions sur le transfert
de chaleur par convection naturelle et par rayonnement thermique dans une cavit incline dun
angle = 45 par rapport au plan horizontal (figure I.15). Les quations de conservation
sont rsolues par la mthode des volumes finis. La cavit contient un nombre N de partitions
variant de 0 3. Ils ont conclu que:
le rayonnement thermique augmente le transfert de chaleur au sein de la cavit,
Plus le nombre de partition est grand, plus le transfert de chaleur est rduit.
Chapitre I Etude bibliographique
22
Figure I.15: Configuration de la cavit incline avec partitions [34].
Les travaux de Jbara et al (2009) [35] ont permit de mettre au point des outils pour des tudes
thoriques (modles et logiciels) de lcoulement et du transfert de chaleur par convection
naturelle instationnaire en prsence du transfert radiatif dans un milieu poreux suppos isotrope et
satur par une seule phase fluide contenu dans un canal vertical ouvert ses deux extrmits et
dont les parois sont maintenues une temprature uniforme (figure I.16). Ltude de sensibilit
des rsultats aux diffrentes proprits radiatives, en loccurrence, lmissivit des particules
solides, le coefficient dabsorption, le coefficient de diffusion et lalbdo de diffusion du
rayonnement a t galement prsente et discute. Les principales conclusions obtenues sont:
Les champs de temprature et de vitesse augmentent lorsque lmissivit des particules et
le coefficient dabsorption augmentent ou lorsque le coefficient de diffusion et
lalbdo de diffusion diminuent.
Laugmentation de lmissivit des particules entraine une lvation de la pression dans
la moiti infrieure du canal et une diminution de la pression dans la moiti suprieure du
canal.
Les valeurs du dbit volumique adimensionnel quittant la face suprieure du canal et du flux
de chaleur convectif adimensionnel chang au niveau de cette mme face augmente
lorsquon augmente lmissivit des particules et le coefficient dabsorption ou lorsquon
diminue le coefficient de diffusion et lalbdo de diffusion.
Chapitre I Etude bibliographique
23
Figure I.16: Schmatisation du domaine considr dans la rfrence [35].
Mezrhab et al (2010) [36] ont analys les effets de l'change de rayonnement l'intrieur
d'une serre chaude (figure I.17), dans des conditions climatiques d'hiver, selon le nombre de
tubes de chauffage carrs utiliss, dont ces derniers sont chauds et isothermes et sont
quidistants l'intrieur de la serre. Les quations rgissant le phnomne sont discrtises
en utilisant la mthode des volumes finis et le problme de couplage pression-vitesse est
effectu par l'algorithme SIMPLER. Des rsultats sont rapports en termes d'isothermes,
des lignes de courants et du nombre de Nusselt moyen pour nombre de Rayleigh variant
de 103 106. Les lignes de courants prouvent que les effets radiatifs sont notables prs des
parois de la serre, et deviennent de plus en plus importants quand le nombre de Rayleigh
augmente. En consquence, llvation du nombre de Rayleigh entraine une augmentation
du transfert thermique global dans la serre.
Figure I.17: Configuration de la serre chaude horticole [36].
Chapitre I Etude bibliographique
24
Dans le travail de Sun et al (2011) [37], le modle physique considr est une cavit carr
remplie par lair refroidie de bas en haut, avec un corps carr chaud situ au centre de la
cavit (figure I.18). Le but de ce travail est d'tablir les effets des changes radiatifs entre
les surfaces sur la transition dun coulement stable et symtrique un coulement
priodique complexe. En raison des faibles diffrences de temprature (1 K <
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
25
CHAPITRE II
EQUATIONS DE CONSERVATIONS-MODELISATION
II.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous allons prsenter les gomtries des deux configurations
considres, ainsi que les quations de conservation rgissant le problme trait dans ce
mmoire. Elles sont fondes sur les principes: de conservation de la masse (continuit), de la
quantit de mouvement (Navier-Stokes), de l'nergie, et les conditions aux limites de chaque
cas ainsi que les quations des modles du rayonnement thermique.
II.2 Gomtries du problme
Le premier problme concerne la convection de Rayleigh Bnard. La gomtrie
considre est illustre sur la figure (II.1). Il sagit de deux plaques planes parallles
horizontales infinies ayant une hauteur H et longueur L dont le rapport daspect est
A=L/H=10. Les parois horizontales sont chauffes diffrentiellement, par contre les frontires
dlimites verticales sont priodiques.
Dans le deuxime problme, on sinteresse la convection thermique dans une cavit
carre de hauteur h, avec des parois horizontales adiabatiques et des parois verticales
soumises des tempratures constantes respectivement ( et ). Deux cas physiques sont
considrs : cas dun coulement de convection naturelle pure (sans rayonnement), et le cas
du couplage entre la convection naturelle et le rayonnement thermique.
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
26
= = 0 = 0
= = 0 = 0
= = 0
=
= = 0
= x
y
Figure (II.1) : Gomtrie et conditions aux limites du cas des deux plaques planes
horizontales.
Figure (II.2) : Gomtrie et conditions aux limites du cas de la cavit carre.
= 10
=
=
g
x
y
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
27
II.3 Hypothses
A fin de simplifier la formulation mathmatique de notre problme, nous adapterons les
hypothses simplificatrices suivantes:
Hypothses gnrales
Ecoulement laminaire et bidimensionnel.
Fluide newtonien et incompressible.
Les proprits physiques du fluide (, , Cp et k) sont supposes constantes.
Le transfert de chaleur par rayonnement est ngligeable.
Il ny a pas de sources internes de chaleur ou de masse dans le problme tudi et il
ny a aucune raction chimique.
La dissipation visqueuse est ngligeable )0( et pas de source de chaleur )0(
q .
Lapproximation de Boussinesq est valide, celle-ci consiste considrer les variations
de masse volumique sont ngligeables au niveau de tous les termes des quations de
quantit de mouvement ( = 0), sauf au niveau du terme de gravit. La variation de la
masse volumique en fonction de la temprature est donne par:
00 1 TT (II.1)
0 : La masse volumique du fluide la temprature de rfrence T0.
: Le coefficient de dilatation pression constante.
Hypothses concernent le cas du couplage convection-rayonnement
Le transfert de chaleur par rayonnement nest pan ngligeable.
Le milieu fluide est absorbant.
Toutes les parois de la cavit carre sont grises et diffuses.
II.4 Equations gnrales de conservation
Les quations qui rgissent le phnomne de convection naturelle dans lenceinte
Sont :
Equation de continuit
Elle est dduite du principe de conservation de masse et sexprime sous forme tensorielle
comme suit :
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
28
0
j
j
uxt
(II.2)
(j=1, 2, 3 : indice de sommation
Pour un fluide Newtonien incompressible, lquation (II.2) se rduit :
0
j
j
x
u(II.3)
Equations de quantit de mouvement
Daprs la deuxime loi fondamentale de la dynamique, la variation pendant
lunit de temps de la quantit de mouvement dune particule fluide est gale la somme
des forces extrieures exerces sur cette particule. Lquation de la dynamique sous forme
tensorielle scrit alors comme suit
i
j
j
i
ji
ii
j
jix
u
x
u
xx
pFu
xuu
t (II.4)
(j = 1~2, indice libre)
O :
)( iut
: Reprsente le taux de variation de la quantit de mouvement pendant lunit de
temps.
)( ijj
uux
: Reprsente le taux net de transport de quantit de mouvement suivant la
direction i, par le mouvement du fluide.
iF : Reprsente les forces du volume suivant la direction i.
ix
p
: Reprsente les forces de pression.
i
j
j
i
j x
u
u
u
x : Reprsente les forces de viscosit.
Lquation (II.4) reprsente la conservation de quantit de mouvement (quation de Navier
Stokes) dun fluide visqueux incompressible en rgime transitoire.
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
29
Equation de lnergie
Elle est obtenue par lapplication du premier principe de la thermodynamique et du
principe de conservation de lnergie. Cette quation pour un fluide Newtonien
incompressible, scrit sous la forme suivante :
2
2
j
j
j x
TTu
xt
T
(II.5)
O :pC
K
: La diffusivit thermique.
K : La conductivit thermique.
PC : La chaleur spcifique pression constante.
II.5 Equations simplifies
Equation de continuit :
0
y
v
x
u(II.6)
Equation de quantit de mouvement suivant la direction X :
)()()()(0y
u
yx
u
xx
pvu
yuu
x
(II.7)
Equation de quantit de mouvement suivant la direction Y :
)()()()()( 000 TTgy
v
yx
v
xy
pvv
yuv
x
(II.8)
Equation de lnergie :
)()()()(0y
TK
yx
TK
xvT
yuT
xC p
(II.9)
Equation de lnergie dans le cas du couplage convection-rayonnement :
r
p
p qCy
TK
yx
TK
xvT
yuT
xC
1)()()()(0 (II.10)
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
30
O :
vu , Reprsentent respectivement les composantes de la vitesse horizontale et verticale selon
les directions ( yx, ).
II.6 Equations adimensionnelles
Lemploi de la variable adimensionnelle permet dexprimer la ralit des phnomnes
physiques indpendamment des systmes de mesure pour permettre davoir des informations
gnralises une varit de problmes ayant les mmes grandeurs de cfficient de
similitudes dun cot et dun autre, rduire le nombre de paramtre du problme . En effet,
pour faire apparatre les paramtres de contrle du problme tudi, il est ncessaire
dintroduire les grandeurs de rfrence.
Variables adimensionnelles
L
xX
L
yY 4frr TqQ
L
uU
L
vV
CH
C
TT
TT
2
0
L
pP
Les quations adimensionnelles deviennent alors :
Equation de continuit :
0
Y
V
X
U(II.11)
Equation de quantit de mouvement suivant la direction X :
Y
U
YX
U
XX
P
Y
UV
X
UU Pr (II.12)
Equation de quantit de mouvement suivant la direction Y :
ARaY
V
YX
V
XY
P
Y
VV
X
VU ..Pr.Pr
(II.13)
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
31
Equation de lnergie :
YYXXYV
XU
(II.14)
Equation de lnergie dans le cas du couplage convection-rayonnement :
rQPlYYXXY
VX
U
*1
(II.15)
Avec :
= / : Rapport daspect de la cavit.
= / : Nombre de Prandtl.
= / : Nombre de Rayleigh.
= 4 / : Nombre de Planck.
Nombre de Prandtl:
Le nombre de Prandtl est donc le rapport de deux grandeurs ayant les mmes
dimensions, soient m2/s. La viscosit cinmatique reprsente la diffusion de la vitesse (qui
dpend des forces visqueuses) alors que la diffusivit thermique est la capacit du fluide de
conduire de la chaleur. Aussi, Pr nous donnera une indication sur le rapport des effets
thermiques et visqueux.
Pr = / = viscosit cinmatique/diffusivit thermique
Avec un Pr donn, il est possible de savoir quel type de fluides nous avons.
Nombre de Rayleigh:
Gradient de temprature dans le champ de gravite (direction y)
Le nombre de Rayleigh est directement li la convection.
La convection a lieu lorsque la pousse dArchimde (due laugmentation de
temprature) provoque le mouvement du fluide.
Cependant, il faut que cette force dArchimde soit assez grande pour contrer les forces
visqueuses et de gravit qui sopposent au mouvement de la particule.
De plus, si lquilibre thermique est atteint, il ny a plus de force dArchimde. La
capacit dune particule dentrer en quilibre avec son environnement plus ou moins
rapidement dpend de sa diffusivit thermique .
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
32
Ra nous donne le rapport entre le temps pour que la chaleur diffuse et celui pour que
la particule entre en mouvement.
Gradient de temprature dans une direction diffrente de la gravite
Dans ce cas, il y a convection naturelle quelque soit la valeur de Ra parce que les
particules de fluide nont pas lutter contre la force de gravit pour se dplacer.
Ra= gTH4/L
II.7 Condition aux limites
Les conditions aux limites relatives ce problme sont rsumes sur les tableaux (II.1)
et (II.2)
Limites gomtriques Conditions dynamiques Conditions thermiques
= 0 0 = 0 = 0 = 0
= 0 = 0 = 0 = 0
= 0 0 = 0 = 0 = = +
= 0 = 0 = 0 =
Tableau II.1 : Conditions aux limites pour un coulement entre deux plaques parallles.
Limites gomtriques Conditions dynamiques Conditions thermiques
= 0 = = 0 = 0 =
= = = 0 = 0 = = +
= 0 = = 0 = 0 = 0
= = = 0 = 0 = 0
Tableau II.2 : Conditions aux limites pour un coulement dans une cavit carre.
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
33
II.8 Couplage convection rayonnement [38]
Pour ltude numrique du couplage convection naturelle rayonnement thermique,
nous allons nous limiter aux modles implments dans le code de calcul Fluent. Ces modles
sont :
Modle Discret du Transfert Radiatif DTRM.
Modle du transfert radiatif des Ordonnes Discrtes DO.
Modle du transfert radiatif de P1.
Modle du transfert radiatif de Rosseland.
Modle du transfert radiatif de Surface--Surface S2S.
Ils permettent d'inclure le rayonnement, avec ou sans milieu participant, dans les
simulations de transfert thermique.
II.8.1 Equation du transfert radiatif (RTE) [38]
L'quation du transfert radiatif dun milieu absorbant, missif et dispersif en une
position et dans la direction est donne par:
(,)
+ (+ ,)( ( =
+
,) ('
(, ' )' (II.16)
Avec :
: Vecteur de position.
: Vecteur de direction.
: Vecteur de la direction de dispersion.
: Longueur du chemin.
: Coefficient dabsorption.
: Indice de rfraction.
: Coefficient de dispersion.
: Constante de stefan-Boltzmann (5.672 x 10-8 W /m2. K4).
: Intensit du rayonnement, dpend des vecteurs et .
: Temprature locale.
: Fonction de phase.
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
34
' : Angle solide.
On peut inclure le transfert de chaleur par rayonnement dans la simulation lorsque le
flux radiatif = )
) est grand compar au taux du transfert thermique d
la convection ou la conduction.
II.8.2 Choix d'un modle de rayonnement [38]
Pour certains problmes, un modle de rayonnement peut tre plus appropri que les
autres. Pour dcider quel modle de rayonnement choisir, nous allons prendre en
considration les points suivants :
Epaisseur optique : L'paisseur optique = est un bon indicateur pour le choix du
modle de rayonnement dans un problme. Ici, est une chelle approprie de
longueur du domaine considr. Pour l'coulement dans une chambre de combustion,
par exemple, est le diamtre de la chambre de combustion. Si 1, les meilleures
modles de rechange sont les modles P1 et de Rosseland. Le modle P1 devrait
typiquement tre employ pour des paisseurs optiques
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
35
Parois Partiellement-spculaires : Seul le modle DO permet la rflexion spculaire
(par exemple, miroir poussireux).
Rayonnement non-gris : le modle DO permet de calculer le rayonnement non-gris
en utilisant un modle de bande grise.
Sources de chaleur localises : Dans les problmes avec sources de chaleur localises,
le modle P1 surestime les flux radiatifs. Le modle DO est probablement le plus
adapt pour le calcul de rayonnement dans ce cas, bien que le modle DTRM, avec un
nombre suffisamment grand de rayons, soit galement acceptable.
Transfert radiatif dans une cavit avec des milieux non participant : Le modle
surface--surface (S2S) convient ce type de problme. Les modles de transfert
radiatif utiliss avec des milieux participants peuvent, en principe, tre employs pour
calculer le rayonnement de surface--surface, mais ils ne sont pas toujours efficaces.
Rayonnement Externe
Si on doit inclure le transfert de chaleur radiatif partir de l'extrieur du domaine
considr, on peut inclure une condition aux limites externe de rayonnement dans le modle.
Si le rayonnement nest pas pris en compte dans le domaine, cette condition la limite peut
tre employe sans activer un des modles de rayonnement.
II.8.3 Equations rgissant les diffrents modles de rayonnement [38]
Dans cette tude, on sintresse quatre modles de rayonnement qui sont : le modle
DTRM, le modle DO, le modle P1et le modle de Rosseland.
II.8.3.1 Modle discret de transfert radiatif DTRM
Lhypothse principale du modle DTRM est que le rayonnement quitte l'lment de
surface dans un certain intervalle dangle solide peut tre rapproch par un rayon simple.
Equations rgissant le modle DTRM
L'quation de variation de l'intensit radiative , le long du chemin peut scrire
sous la forme :
+ =
(II.17)
O
: Coefficient dabsorption du gaz.
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
36
: Intensit.
: Temprature locale du gaz.
: Constant de Stefan-Boltzmann (5.672 x10-8 W/m2.K4).
Ici, l'indice de rfraction est suppos gal lunit. Le modle DTRM consiste
intgr l'quation (II.17) le long d'une srie de rayons provenant des faces aux frontires. Si
est constant le long du rayon, alors peut() tre estim par la relation :
() =
(1 ) +
(II.18)
O : est l'intensit radiative au dbut du chemin dincrmentation.
II.8.3.2 Modle de transfert radiatif des Ordonnes Discrtes DO
Le modle de transfert radiatif des Ordonnes Discrtes DO rsout l'quation du
transfert radiatif RTE pour un nombre fini d'angles solides discrets, chacun associ un
vecteur de direction fixe dans le systme cartsien global (x, y, z).
La prcision de la discrtisation angulaire est commande par lutilisateur. Elle est au
choix du nombre de rayons du modle DTRM. Contrairement au modle DO n'excute pas le
traceur de rayon. Au lieu de cela, le modle DO transforme l'quation (II.16) en quation de
transport pour l'intensit du rayonnement dans les coordonnes spatiales (x, y, z).
Equations du modle DO
Le modle DO considre l'quation de transfert radiatif RTE dans la direction
comme quation de champ. Ainsi, l'quation (II.14) scrit :
. ,)) (( + (+ ,)( ( =
+
,) ('
(. '(' (II.19)
Fluent permet galement de modliser le rayonnement non-gris en utilisant un modle
de bande grise. Lquation RTE pour l'intensit spectrale ,) ( scrit :
. ,)) (( + ( + ,)( ( =
+
,) ('
(. (' (II.20)
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
37
O :
La longueur d'onde, le coefficient d'absorption spectral, et est l'intensit du corps noir
donne par la fonction de Planck. Le coefficient de dispersion, la fonction de phase de
dispersion, et l'indice de rfraction sont indpendant de la longueur d'onde.
II.8.3.3 Modle de transfert radiatif P1
Le modle de transfert radiatif P1 est le cas le plus simple du modle gnral P-N, qui
est bas sur le dveloppement de l'intensit de rayonnement en une srie orthogonale
dharmoniques sphriques.
Equations du modle P1
Comme mentionn ci-dessus, le modle du rayonnement P1 est le cas le plus simple
du modle de P-N. Si seulement quatre termes de la srie sont gards, l'quation suivante est
alors obtenue pour le flux radiatif :
=
() (II.21)
O :
: Rayonnement incident.
: Coefficient linaire-anisotrope de la fonction de phase.
En introduisant le paramtre :
=
(())(II.22)
L'quation (II.19) se rduit :
= (II.23)
L'quation de transport pour est donne par :
. () + 4 = (II.24)
O : est une source de rayonnement dfinie par lutilisateur.
La combinaison des quations (II.23) et (II.24), conduit l'quation suivante :
. = 4 (II.25)
Chapitre II Equations de conservations-modlisation
38
L'expression . peut tre directement substitue dans l'quation d'nergie pour tenir
compte des sources de chaleur dus au rayonnement.
II.8.3.4 Modle de transfert radiatif de Rosseland
L'approximation de Rosseland ou de diffusion pour le transfert radiatif est valable
quand le milieu est optiquement pais ((+ ( 1). Ce modle est recommand pour tre
utilis dans les problmes o l'paisseur optique est plus grande que 3. Il peut tre obtenu
partir des quations du modle P1, moyennant quelques approximations.
Equations du modle de Rosseland
Comme avec le modle P1, le flux de chaleur radiatif dans un milieu gri
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