SVEUČILIŠTE U ZAGREBU __________________________________________________________
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Slobodan Janković
Prof. u mirovini
MEHANIKA LETA
ZRAKOPLOVA
Zagreb 2001
__________________________________________________________
UDŽBENIK SVEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS
Recenzenti:
Akademik dr. sc. Stjepan Jecić Prof. dr. sc. Petar Kesić, FSB Zagreb Dr. sc. Todor Kostić, Brodarski Institut, Zagreb
Lektor: Smiljka Janaček-Kučinić Izdavač: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Ivana Lučića 5, Zagreb Glavni urednik: Prof. de. sc. Tomislav Filetin
Odobrenje Senata Sveučilišta u Zagrebu br. 02-1241/3-2001 od 11 rujna 2001
Udžbenik
Elektronsko izdanje: ver.2 22.01.2004.
CIP - Katologizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica, Zagreb UDK 533.6:623.7 JANKOVIĆ, Slobodan Mehanika leta zrakoplova / Slobodan Janković -Zagreb : Faklutet strojarstva i brodogradnje, 2001. -410 str.: ilustr.: 24 cm. - (Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu = Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis) Bibliografija i kazalo na kraju knjige. ISBN 953-6313-37-5 ..........................
I
SADRŽAJ PREDGOVOR.........................................................................................XI
UVOD....................................................................................................XIII
1 Kinematika leta ................................................................................ 1-1
1.1 Matrični zapis vektora......................................................................................1-1
1.1.1 Baza koordinatnog sustava................................................................................. 1-1
1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora...................................................................1-2
1.1.3 Derivacija vektora ..............................................................................................1-4
1.2 Matrice transformacija......................................................................................1-6
1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacija........................................................1-6
1.2.2 Derivacija matrice transformacija.......................................................................1-9
1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova........................................1-10
1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra ..................................1-13
1.2.5 Veze između parametara i kutova.....................................................................1-17
1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara................................................................1-19
1.3 Koordinatni sustavi ........................................................................................1-23
1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L) .........................................................................1-24
1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O) ..........................................................................1-26
1.3.3 Koordinanti sustav letjelice (F) ........................................................................1-27
1.4 Brzine letjelice ...............................................................................................1-30
1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V) ....................................................1-30
1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinatni sustav (A) .......................1-33
1.4.3 Primjer ..............................................................................................................1-39
2 Aerodinamika
2.1 Aerodinamički koeficijenti zrakoplova..............................................................2-1
2.1.1 Definicije.............................................................................................................2-1
II
2.1.2 Aerodinamički moedel zrakoplova.....................................................................2-6
2.1.3 Veze između aerodinamičkih koeficijenata........................................................2-9
2.2 Noseća površina ...........................................................................................2-11
2.2.1 Geometrijske karakteristike ..............................................................................2-11
2.2.2 Veza između uzgona i normalne sile ................................................................2-11
2.2.3 Gradijent normalne sile ....................................................................................2-11
2.2.4 Položaj hvatišta normalne sile ..........................................................................2-14
2.2.5 Hvatište normlane sile polovice noseće površine .............................................2-16
2.2.6 Maksimalni uzgon ............................................................................................2-17
2.2.7 Gradijent normlane sile po otklonu upravljačke površine ................................2-19
2.3 Normalna sila kombinacije tijelo - noseća površina ......................................2-21
2.4 Usporenje i savijanje struje ..........................................................................2-23
3 Otpor, normalna sila i moment propinjanja
3.1 Otpor................................................................................................................3-1
3.1.1 Otpor trenja..........................................................................................................3-1
3.1.2 Otpor dna ............................................................................................................3-1
3.1.3 Valni otpor ..........................................................................................................3-5
3.1.4 Otpor u transonici ...............................................................................................3-8
3.1.5 Dodatni otpor ....................................................................................................3-11
3.1.6 Nulti otpor ........................................................................................................3-13
3.1.7 Inducirani otpor ................................................................................................3-14
3.1.8 Primjer ..............................................................................................................3-19
3.2 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................3-20
3.2.1 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije BW.....................................3-21
3.2.2 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije hB ......................................3-25
3.2.3 Moment propinjanja tijela ................................................................................3-28
3.2.4 Nulti članovi i stacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ....3-29
III
3.2.5 Gradijent zbog promenljivog napadnog kuta ...................................................3-30
3.2.6 Gradijent zbog kutne brzine propinajnja ..........................................................3-31
4 Bočna sila, moment skretanja i valjanja
4.1 Bočna sila i moment skretanja ........................................................................4-1
4.1.1 Gradijent bočne sile i momenta skretanja po kutu klizanja ................................4-1
4.1.2 Gradijent bočne sile i momenta skretanja od otklona kormila pravca ...............4-4
4.1.3 Gradijent momenta skretanja zbog otklona krilaca ............................................4-5
4.1.4 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine valjanja ..............................4-6
4.1.5 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine skretanja .............................4-9
4.2 Moment valjanja ............................................................................................4-10
4.2.1 Gradijent po kutu klizanja ................................................................................4-10
4.2.2 Gradijent po otklonu kormila pravca ................................................................4-15
4.2.3 Gradijent po otklonu krilaca .............................................................................4-17
4.2.4 Gradijent po kutnoj brzini valjanja ...................................................................4-18
4.2.5 Gradijent po kutnoj brzini skretanja .................................................................4-21
5 Primjer
5.1 Podaci i geometrija .......................................................................…...............5-1
5.1.1 Krilo (dva polukrila) ..........................................................................….............5-1
5.1.2 Tijelo .......................................……...................................................................5-4
5.1.3 Horizontalni rep ...............................……...........................................................5-4
5.1.4 Vertikalni rep ............................................……..................................................5-5
5.1.5 Zrakoplov ...........................................................…............................................5-6
5.2 Otpor ...............................................................................................................5-7
5.2.1 Krilo ....................................................................................................................5-7
5.2.2 Tijelo ..............................................................................................……............5-7
5.2.3 Horizontalni rep .......................................................................................……...5-9
5.2.4 Vertikalni rep ........……......................................................................................5-9
IV
5.2.5 Otpor podvozja ..............……...........................................................................5-10
5.2.6 Otpor zrakoplova ....................……..................................................................5-10
5.3 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................5-10
5.3.1 Krilo ..................................................................................................................5-10
5.3.2 Tijelo ................................................................................................................5-12
5.3.3 Savijanje struje .................................................................................................5-12
5.3.4 Horizontalni rep ................................................................................................5-13
5.3.5 Stacionarni koeficijenti normlane sile zrakoplova............................................5-15
5.3.6 Stacionarni koeficijenti mojmenta propinjanja zrakoplova ..............................5-16
5.3.7 Nestacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ........................5-16
5.4 Bočna sila i moment skretanja ......................................................................5-17
5.4.1 Vertikalni rep ....................................................................................................5-17
5.4.2 Skretanje struje .................................................................................................5-18
5.4.3 Bočna sila zrakoplova ......................................................................................5-18
5.4.4 Moment skretanja zrakoplova ..........................................................................5-18
5.5 Moment valjanja ............................................................................................5-20
6 Dinamika letjelica
6.1 Relativno gibanje ............................................................................................6-1
6.1.1 Kinematika relativnog gibanja ...........................................................................6-1
6.1.2 Inercijekse sile ....................................................................................................6-4
6.1.3 Akcelerometri .....................................................................................................6-5
6.2 Temeljni zakoni gibanja letjelica konstantne mase..........................................6-6
6.2.1 Gibanje središta mase..........................................................................................6-6
6.2.2 Gibanje oko središta mase...................................................................................6-9
6.2.3 Tenzor tromosti ................................................................................................6-11
6.2.4 Transformacija tenzora tromosti.......................................................................6-13
6.2.5 Primjer ..............................................................................................................6-16
V
6.3 Zakoni gibanja letjelice promjenljive mase ...................................................6-18
6.3.1 Sustav pšromenljive mase ................................................................................6-18
6.3.2 Prividni sustav ∗Σ ............................................................................................6-19
6.3.3 Očvrsnuti sustav S ............................................................................................6-20
6.3.4 Veze između sustava ∗Σ i S .............................................................................6-21
6.3.5 Načelo očvršćivanja .........................................................................................6-22
6.4 Pogonska sila i moment mlaznog motora .....................................................6-25
6.4.1 Napadni kut i kut klizanja motora.....................................................................6-25
6.4.2 Komponente pogonske sile . ........................................................................... 6-27
6.4.3 komponente pogonskog momenta ....................................................................6-30
6.4.4 Raspoloživa sila mlaznog motora .....................................................................6-32
6.5 Pogonska sila i moment elisnog motora .......................................................6-34
6.5.1 Komponenta pgonske sile u ravni diska elise ..................................................6-34
6.5.2 Komponente momenta pogonske sile elise ......................................................6-35
6.5.3 Primjer ..............................................................................................................6-37
7 Ravnotežni let, stabilnost i upravljivost
7.1 Ravnotežni let .................................................................................................7-1
7.1.1 Definicija ravnotežnog leta .................................... ...........................................7-1
7.1.2 Zbroj pogonske i aerodinamičke sile i momenta ................................................7-2
7.1.3 Uzgon u ravnotežnom letu .................................................................................7-5
7.1.4 Normlano opterećenje ........................................................................................7-7
7.1.5 Primjer ................................................................................................................7-8
7.2 Stabilnost ravnotežnog leta ............................................................................7-8
7.2.1 Uvjeti uzdužne stabilnosti ravnotežnog leta .......................................................7-9
7.2.2 Uzdužna statička stabilnost ..............................................................................7-11
7.2.3 Neutralno točka ................................................................................................7-11
7.2.4 Primjer...............................................................................................................7-13
VI
7.2.5 Bočna statička stabilnost...................................................................................7-14
7.3 Upravljivost u ravnotežnom letu ....................................................................7-16
7.3.1 Upravljivost u uzdužnom gibanju ....................................................................7-16
7.3.2 Primjer ..............................................................................................................7-19
7.3.3 Upravljivost bočnog gibanja ...........................................................................7-21
7.3.4 Primjer...............................................................................................................7-23
7.4 Jednadžbe gibanja ravnotežnog leta ............................................................7-24
7.4.1 Komponente ubrzanja .......................................................................................7-25
7.4.2 Komponente sile ...............................................................................................7-25
7.4.3 Veza između kutova valjanja............................................................................7-28
7.4.4 Model gibanja središta mase ............................................................................7-29
7.4.5 Program gibanja zrakoplova kao materijalne točke .........................................7-30
8 Performanse zrakoplova
8.1 Horizontalni let ................................................................................................8-1
8.1.1 Režim leta ...........................................................................................................8-1
8.1.2 Potrebna sila ili snaga .........................................................................................8-2
8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga ...................................................................................8-5
8.1.4 Ovojnice .............................................................................................................8-6
8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba) .........................................................8-8
8.1.6 Maksimalno trajanje leta (endurance) ..............................................................8-11
8.1.7 Primjeri .............................................................................................................8-13
8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova ...............................................8-15
8.2.1 Najveći kut penjanja .........................................................................................8-16
8.2.2 Najveća brzina penjanja ...................................................................................8-19
8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju ...............................................8-21
8.3 Horizontalni zaokret ......................................................................................8-22
8.3.1 Jednadžbe zaokreta ...........................................................................................8-23
VII
8.3.2 Ograničenje kutne brzine ..................................................................................8-24
8.3.3 Koordinirani zaokret .........................................................................................8-25
8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu.........................................8-26
8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu .............................................8-27
8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta .............................................................................8-28
8.3.7 Primjer ..............................................................................................................8-29
8.4 Vertikalni zaokret ..........................................................................................8-30
8.4.1 Jednadžbe .........................................................................................................8-30
8.4.2 Najveća kutna brzina ........................................................................................8-31
8.4.3 Analiza vertikalne petlje ...................................................................................8-32
9 Polijetanje i slijetanje
9.1 Polijetanje (take off) ........................................................................................9-1
9.1.1 Tehnika polijetanja .............................................................................................9-1
9.1.2 Duljina zalijetanja - prva faza polijetanja...........................................................9-4
9.1.3 Propinjanje zrakoplova - druga faza polijetanja ...............................................9-10
9.1.4 Treća faza polijetanja .......................................................................................9-12
9.1.5 Sigurnost polijetanja .........................................................................................9-15
9.1.6 Primjeri .............................................................................................................9-17
9.2 Slijetanje .......................................................................................................9-22
9.2.1 Opis slijetanja ...................................................................................................9-22
9.2.2 Prva faza - spuštanje .........................................................................................9-23
9.2.3 Druga faza - zaokret do dodira piste ................................................................9-23
9.2.4 Usporavanje - treća faza ...................................................................................9-23
9.2.5 Primjer...............................................................................................................9-25
10 Ukupna energija
10.1 Energetska jednadžba ................................................................................10-1
10.2 Specifični višak snage zrakoplova ..............................................................10-2
VIII
10.2.1 Jednadžba specifičnog viška snage ................................................................10-2
10.2.2 Primjer ............................................................................................................10-3
10.3 Usporedba performansi zrakoplova ............................................................10-4
10.3.1 Specifična snaga u funkciji kutne brzine ........................................................10-4
10.3.2 Krivulje normalnog opterećenja .....................................................................10-5
10.4 Područje horizontalnog leta i optimalno penjanje .......................................10-6
10.4.1 Krivulje ( ) consthMaPS =, za određeno opterećenje ....................................10-6
10.4.2 Područje uporabe zrakoplova .........................................................................10-7
10.4.3 Minimalno vrijeme penjanja ..........................................................................10-9
10.4.4 Penjanje s najmanjom potrošnjom goriva ....................................................10-11
11 Model leta sa 6 stupnjeva slobode gibanja
11.1 Opće odrednice ..........................................................................................11-1
11.1.1 Derivacija vektora položaja ............................................................................11-2
11.1.2 Derivacija brzine leta ......................................................................................11-3
11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta ......................................................................11-4
11.1.4 Derivacija kutova ili parametara ....................................................................11-6
11.2 Model 6DOF u simulatorima leta ................................................................11-7
11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima ...........................................11-12
12 Linearizacija modela 6DOF
12.1 Princip linearizacije .....................................................................................12-1
12.1.1 Jendadžbe stvarnog gibanja ...........................................................................12-1
12.1.2 Referentno gibanje .........................................................................................12-3
12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja .............................................12-4
12.2 Linearizacija modela 6DOF ........................................................................12-6
12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi .............................................................12-6
12.2.2 Linearizacija sila .............................................................................................12-7
IX
12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase ...............................................12-9
12.2.4 Linearizacija kutnih brzina ...........................................................................12-11
12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta ................................12-11
12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase ....................12-13
12.2.7 Linearni model zrakoplova ...........................................................................12-14
13 Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja
13.1 Modovi uzdužnog gibanja .........................................................................13-15
13.2 Odgovor letjelice u vremenskom području ................................................13-17
13.2.1 Homogeno rješenje .........................................................................................13-2
13.2.2 Partikularni integral ........................................................................................13-6
13.2.3 Opće rješenje ..................................................................................................13-7
13.2.4 Primjer ............................................................................................................13-8
13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function) ......................................13-10
13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance) .................................13-11
13.4.1 Primjer ..........................................................................................................13-12
13.5 Odgovor na jedinični odskok (impulsive admittance) ................................13-15
13.5.1 Primjer ..........................................................................................................13-16
13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu ..............................................................13-18
13.6.1 Primjer .........................................................................................................13-20
13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem ................13-21
13.7.1 Primjer ..........................................................................................................13-23
14 Dinamička stabilnost bočnog gibanja
14.1 Modovi bočnog gibanja ...............................................................................14-1
14.1.1 Primjer ............................................................................................................14-4
14.2 Prenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilca.................................14-5
14.2.1 Primjer ............................................................................................................14-8
X
14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilca..................................................14-7
14.3.1 Primjer ............................................................................................................14-8
14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca .............................................14-12
14.4.1 Primjer ..........................................................................................................14-13
14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormila pravca ili krilca.............................14-18
14.5.1 Primjer ..........................................................................................................14-19
14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljanja bočnog gibanja .............................14-22
14.6.1 Primjer ..........................................................................................................14-24
Prilozi:
A Maksimalni uzgon krila
B Atmosfera
B.1 Opće o atmosferi ..................................................................................................B-1
B.2 Ubrzanje Zemljine teže ........................................................................................B-2
B.3 Značajke vlažnog zraka ........................................................................................B-3
B.4 Vertikalna ravnoteža ............................................................................................B-6
B.5 Standardna atmosfera ...........................................................................................B-7
B.6 Tablica standardne atmosfere ISO 2533 ............................................................B-11
C Performanse klipnog motora
C.1 Snaga klipnog motora...........................................................................................C-1
C.2 Grafička metoda određivanja snge .......................................................................C-3
D. Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovstvu
Literatura
XI
PREDGOVOR
Osnutkom studija zrakoplovstva na Fakultetu strojarstva i brodogradnje u Zagrebu, pojavila
se potreba za udžbenikom iz mehanike leta kako bi studenti mogli na najbrži način u skladu
sa svojim temeljnim znanjem stečenim na ovom fakultetu, ovladati mehanikom leta
zrakoplova, kao jednom od bitnih komponenata znanja zrakoplovne struke. Točno je da
postoji na engleskom jeziku nekoliko vrlo dobrih knjiga iz mehanike leta, ali studentima nije
lako, niti imaju dovoljno vremena učiti iz više knjiga. Osim toga, ti udžbenici obuhvaćaju
sadržaje koje su studenti tijekom studija na našem fakultetu već usvojili kroz druge kolegije,
ili zahtijevaju znanja koja ne odgovaraju programu temeljnog obrazovanja studenata na našem
fakultetu. Zato je ovaj udžbenik prije svega kompilacija najboljih knjiga po autorovu izboru,
ali prilagođena nastavnom planu fakulteta. Manjim dijelom u knjizi je i osobni autorov pristup
nekim problemima kojima se on bavio u svojoj praksi, kao što su aerodinamika letjelica i
metoda 6DOF.
S obzirom na ovako postavljenu namjenu knjige, u njoj su odabrani sadržaji prema
nastavnom planu i programu studija zrakoplovstva na našem fakultetu. Oni zadovoljavaju tri
zahtjeva: prvo, studentima daju potrebna znanja iz mehanike leta zrakoplova koja su nužna
zrakoplovnom inženjeru, drugo, temelje se na kolegijima koje su studenti slušali u prethodnim
semestrima i, treće, čine temelj za predmete koji slijede, kao upravljanje zrakoplovom,
konstrukcija zrakoplova i dr. Ako ovim uvjetima dodamo i broj sati koji je predviđen
nastavnim planom, onda je sadržaj knjige, koji ispunjava te zahtjeve, u potpunosti određen.
To je razlog što se u knjizi nalaze i neki sadržaji iz drugih oblasti, jer nisu obuhvaćeni
odgovarajućim kolegijima u zajedničkom temeljnom dijelu studija. a prijeko su potrebni za
suvremeni pristup mehanici leta. Takav je slučaj s matricama transformacija iz linearne
algebre i s mehanikom tijela promjenljive mase. Osim toga, u prilogu knjige dana su i neka
posebna znanja koja su potrebna za mehaniku leta a nisu obuhvaćena ni jednim kolegijem
postojećeg nastavnog plana, kao npr. temeljna znanja o atmosferi. U prilogu je i postupak
određivanja maksimalne sile uzgona krila jer taj sadržaj nije studijskog već empirijskog
karaktera, ali je nužan za rješavanje problema u procesu projektiranja zrakoplova.
Knjiga je pisana kao udžbenik a ne kao monografija sa znanstvenim pretenzijama. To
ne znači da su objašnjenja površna i modeli nepotpuni. Uvijek je specificirano je li neka
pojava u potpunosti objašnjena, odnosno modelirana, ili su objašnjeni samo najvažniji učinci i
samo oni modelirani. Tako se u poglavljima, u kojima se razmatra aerodinamika zrakoplova,
XII
upotrebljavan riječ "procjena" za aerodinamičke koeficijente, čime se iskazuje da to nisu
egzaktne veličine već približne aproksimativne vrijednosti. Isto tako dinamika zrakoplova u
ovoj knjizi temelji se na gibanju krutog tijela, što znači da nisu uzeta u obzir elastična
svojstva krila koja ponekad utječu na dinamičku stabilnost zrakoplova. Ti se sadržaji prema
koncepciji našeg fakulteta izučavaju na poslijediplomskom studiju.
Mehanika leta je vrlo široka oblast tehnike, u kojoj razvoj tehnologije otvara stalno
nove i nove mogućnosti. Koliko god našim radom širili naše spoznaje, napredak tehnologije
još brže širi polje mogućnosti. Ta utrka je vrlo teška, a posljedica je to da sve što se danas
uradi ma koliko dobro bilo, sutra se može bolje i više.
Sve metode i svi proračuni u ovoj oblasti u potpunosti se oslanjaju na suvremene
mogućnosti računala tijekom pisanja knjige. U objašnjenjima, a posebno u primjerima,
korišten je MATLAB software koji se sve više upotrebljava u mehanici leta. Čitatelj student
može se koristiti i nekim drugim jezikom za programiranje. Uz objašnjenja ima dovoljno
primjera. Što više, na jednom istom, malom lakom putničkom zrakoplovu, procijenjeni su svi
aerodinamički koeficijenti, izvršen je proračun performansi, urađen proračun uzdužne i bočne
stabilnosti i konačno dana ocjenjena kvalitete tog zrakoplova. Da bi se olakšalo slijediti tekst,
svi su programi dani na disketi u prilogu knjige.
U otklanjanju propusta i u kompletiranju primjera veliku pomoć pružio je autoru
njegov neposredni suradnik Milan Vrdoljak, za što mu autor toplo zahvaljuje. Katedra motora
pomogla je autoru uskladiti sadržaj knjige s predmetima pogona zrakoplova. Svojim stručnim
savjetima autoru su pomogli i kolege sa Zrakoplovnog usmjerenja na Fakultetu prometnih
znanosti. Iskustvo i praktično znanje mehanike leta njihovih instruktora bilo je od velike
pomoći autoru. Posebno je bila dragocjena pomoć koju je autoru pružilo zapovjedništvo
Hrvatskog ratnog zrakoplovstva. Svojim primjedbama pomogli su i studenti koji su čitali
prve verzije teksta u obliku skripata i ukazali autoru na neke nedostatke. Autor svima njima
posebno zahvaljuje.
Osim ove neposredne stručne pomoći, podršku autoru pružili su odgovorni ljudi na
Fakultetu: prof. Žanić, akademik Jecić i prof. Filetin, a posebno ohrabrenije pružio je autoru i
savjetnik predsjednika Republike general Agotić. Svima njima autor srdačno zahvaljuje.
Konačno, svi oni koji su stvarali ovakva djela znaju od kolike je pomoći obitelj i domaća
atmosfera. Te uvjete rada autor duguje svojoj supruzi.
U Zagrebu, svibanja 2001 g. Autor
XIII
UVOD
Sadržaj ove knjiga obuhvaća mehaniku leta zrakoplova kao krutog tijela. U tako definiranom
sadržaju razlikujemo pet cjelina: kinematiku leta, aerodinamiku zrakoplova, performanse
zrakoplova, simulatore leta i dinamičku stabilnost.
Prvu cjelinu čini prvo poglavlje koje se zato naziva kinematika leta. U tom poglavlju
objašnjena su ukratko načela linearne algebre na kojima se temelji suvremena mehanika leta
svih letjelica, a zatim su obrađene matrice transformacija koje se koriste u mehanici leta. Za
razliku od matrica transformacija u klasičnoj mehanici na temelju Eulerovih kutova, u
mehanici leta koriste se matrice transformacije na temelju De Sparreovih kutova. Ta dva
sustava kutova nisu kompatibilni, te ih treba razlikovati. Zato se u okviru kinematike leta
posebna pažnja poklanja matricama transformacijama na temelju De Sparreovih kutova. Ti
kutovi kompatibilni su (mogu biti zamijenjeni) s Hamilton Rodriguezovim parametrima koji
se nazivaju i Eulerovi parametri, a ponekad, zato što su četiri, kvaternion transformacije.
Poslije ovih temeljnih odrednica u prvom poglavlju, počinje kinematika leta zrakoplova u
pravom smislu riječi. Definirani su svi koordinatni sustavi koji se primjenjuju u ovoj knjizi,
dane su definicije svih kutova i veze između njih, zatim su definirane kutne brzine i drugi
kinematički pojmovi kao primjerice stav zrakoplova, veze između kutne brzine zrakoplova i
derivacije stava.
Aerodinamika zrakoplova predstavlja drugu cjelinu. Čine je drugo, treće, četvrto i peto
poglavlje. To je nastavak teorijske aerodinamike koja je primijenjena na složenu zrakoplovnu
konfiguraciju. Uglavnom je razmatrana normalna konfiguracija zrakoplova, manjim dijelom i
"canard" konfiguracija, a "bezrepac" nije obrađivan. U toj cjelini promatra se aerodinamička
uloga pojedinih dijelova zrakoplova: krila, horizontalnog repa, vertikalnog repa, krilaca,
kormila visine i kormila pravca. Razumijevanje uloge pojedinih dijelova zrakoplova
omogućuje procjenu derivativa koja se temelji na načelu aerodinamičke superpozicije. Taj
pristup predstavlja uvod u aerodinamičko projektiranje zrakoplova sa svjetskim bazama
podataka kao što su DATCOM, ESDU i dr.
U drugom poglavlju na početku ove cjeline definiraju se aerodinamički koeficijenti
zrakoplova, zatim opće zakonitosti ovisnosti aerodinamičkih koeficijenata o parametrima
gibanja s obzirom na geometrijsku konfiguraciju zrakoplova i način upravljanja. Na temelju
tih zakonitosti uvodi se pojam aerodinamičkog modela zrakoplova, a zatim linearni model
aerodinamike zrakoplova.
XIV
Otpor, normalna sila i moment propinjanja čine drugo poglavlje jer pripadaju
uzdužnom gibanju (u ravnini simetrije zrakoplova), a bočna sila i moment skretanja čine treće
poglavlje. Moment valjanja obrađen je u četvrtom poglavlju. Tako se aerodinamičke sile i
momenti bočnoga gibanja nalaze u trećem i četvrtom poglavlju. U opisu aerodinamičkih sila i
momenata objašnjena je uloga svakog dijela zrakoplova. Na temelju tih objašnjenja izvode se
jednadžbe za procjenu derivativa pojedinih dijelova zrakoplova, te konačno primjenom načela
superpozicije i zrakoplova u cjelini.
Treća cjelina mehanike leta izučava performanse zrakoplova. Tu cjelinu čini pet
poglavlja: šesto, sedmo, osmo, deveto i deseto. Performanse leta određuju se na temelju
gibanja središta mase zrakoplova. Gibanje zrakoplova predstavlja gibanje tijela promjenljive
mase. Takvo gibanje je vrlo složeno i ono se može izučavati samo uz pomoć računala.
Modeliranje tog gibanja u računalu izvodi se pomoću matričnog računa na temelju primjene
linearne algebre u mehanici.
Da bi se studentima olakšao taj pristup, u šestom poglavlju izloženi su poznati
temeljni zakoni dinamike krutog tijela, ali na temelju linearne algebre, s posebnim osvrtom na
određivanje glavnih osi tenzora tromosti i na zakone relativnog gibanja koji su potrebni u
dinamici leta. Budući da se suvremena mehanika leta zrakoplova temelji na teoriji o gibanju
tijela promjenljive mase, u nastavku ovog poglavlja cjelovito je objašnjena Gantmaherova
teorija o gibanju tijela promjenljive mase. Na temelju te teorije, korištenjem kontrolne
površine i načela očvrsnuća, izvedene su jednadžbe gibanja zrakoplova kao i komponente
pogonske sile i pogonskog momenta mlaznog motora. Time su u šestom poglavlju postavljeni
temelji za izučavanje performansa zrakoplova.
Sedmo poglavlje obrađuje ravnotežni let, koji se razlikuje od klasičnog pristupa
mehanike leta zrakoplova po kome su zrakoplovi morali biti statički stabilni da bi letjeli.
Suvremena mehanika leta omogućuje let zrakoplova koji su statički nestabilni, jer imaju bolje
manevarske sposobnosti. Zato je posebna pozornost poklonjena ovoj problematici. U ovom
poglavlju u vezi s problemom statičke stabilnosti objašnjen je i pojam neutralne točke, a zatim
je u ravnotežnom letu definiran pojam vektora opterećenja kao i upravljivost letjelice. Taj isti
pristup primijenjen je na uzdužno i na bočno gibanje. Pri izučavanju bočnoga gibanja
objašnjen je i utjecaj bočnog vjetra kao i potreban otklon kormila pravca za njegovu
kompenzaciju. Posebna pažnja posvećena je sigurnosti leta u slučaju otkaza bočnog motora.
Kako je zbroj momenata za središte mase u ravnotežnom letu jednak nuli, gibanje zrakoplova
u ravnotežnom letu zamjenjuje se gibanjem upravljive materijalne točke. S tim modelom
izučavaju se performanse zrakoplova.
XV
U osmom poglavlju najprije se objašnjava veza između performansa pogona i
aerodinamike letjelice i s tim u vezi ovojnica leta u horizontalnom letu. Zatim su objašnjeni
optimalni režimi horizontalnog leta, penjanja i spuštanja. Posebno detaljno razmatran je
koordinirani horizontalni zaokret za zrakoplove s elisom i s mlaznim motorom.
U devetom poglavlju objašnjeni su principi polijetanja i slijetanja zrakoplova, a
posebna je pažnja usmjerena na problem sigurnosti.
U desetom poglavlju proučava se totalna energija. Osim uobičajenih teorema o
specifičnom višku snage, obrađeni su i problemi usporedbe dvaju zrakoplova lovaca s gledišta
performansi. Konačno objašnjeni su načini određivanja optimalnog penjanja za najmanje
vrijeme i za najmanju potrošnju goriva.
Četvrta cjelina u jedanaestom poglavlju izučava gibanja zrakoplova kao krutog tijela
promjenljive mase (6DOF, six degrees of freedom). Postavljena su dva modela 6DOFa. Za
simulatore leta koji služe za izučavanje mnogih pojava u letu koristi se prvi model u kome
vjetar može biti promjenljiv u vremenu i prostoru. Drugi model pretpostavlja konstantan
vjetar. Taj model se prije koristio u mnogim trenažerima leta, pa je zato ovdje izložen. U oba
modela izvedene su po dvije varijante, pomoću De Sparreovih kutova ili pomoću Hamilton-
Rodriguezovih parametara.
Udžbenik Mehanike leta završava petom cjelinom koju čine dvanaesto, trinaesto i
četrnaesto poglavlje. U dvanaestom poglavlju objašnjeno je načelo linearizacije, a zatim su
pomoću njega linearizirane jednadžbe 6DOF modela. Tako su dobiveni linearni modeli
uzdužnog i bočnog gibanja. U trinaestom poglavlju analizirana je dinamička stabilnost
uzdužnog gibanja. Prvo su određeni mogući oblici poremećaja (modovi) uzdužnog gibanja, a
zatim su primjenom teorije linearnih sustava dobivene prijenosne funkcije zrakoplova i
poremećaji zbog impulsa i odskoka otklona kormila visine. Izvršena je harmonijska analiza i
objašnjena pojava rezonance. Na kraju tog poglavlja dani su kriteriji ocjene upravljivosti
zrakoplova bez povratne veze u uzdužnom gibanju. Isto tako, u četrnaestom poglavlju prvo su
određeni mogući oblici gibanja po pravcu i valjanju. Zatim se primjenom teorije linearnih
sustava istodobno dobivene prijenosne funkcije i poremećaji skretanja i valjanja zbog impulsa
i odskoka otklona kormila pravca ili krilca. Izvršena je harmonijska analiza i bočnog gibanja,
a na kraju tog poglavlja dani su kriteriji za klasifikaciju zrakoplova s obzirom na njegovu
namjenu ako se bočnim gibanje upravlja bez povratne veze.
XVI
Kinematika leta 1-1
1 KINEMATIKA LETA
1.1 Matrični zapis vektora
1.1.1 Baza koordinatnog sustava
Svaki Deckartov koordinatni sustav određen je s tri jedinična vektora njegovih koordinatnih
osi:
zyx bbbrrr
1.1
koje zovemo baza koordinatnog sustava. U slučaju desnog koordinatnog sustava (uvijek
ćemo se služiti desnim koordinatnim sustavom), prva dva vektora pomnožena vektorski daju
treći (drugi pomnožen s trećim daje prvi, a treći s prvim daje drugi). Bilo koji vektor r
V bit će
u tom koordinatnom sustavu određen jednadžbom:
zzyyxx bVbVbVVrrrr
++= 1.2
u kojoj su V V Vx y z projekcije vektora r
V na osi koordinatnog sustava A. Uvodimo
oznaku za matricu od jednog stupca koju čine tri komponente jednog vektora:
[ ]V Ax
y
z
x y z
TVVV
V V V=
= 1.3
i matricu od jednog stupca koju čine tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava
[ ]Tzyx
z
y
x
bbbbbb
rrr
r
r
r
r=
=b 1.4
Tu matricu od tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava zovemo baza toga
koordinatnog sustava. Matrice označavamo masnim slovima. Indeks gore označava u kojemu
su koordinatnom sustavu zadane komponente vektora i izostavljamo ga ako se
podrazumijeva u kojem su koordinatnom sustavu dane komponente. S ovim oznakama bit će:
( ) ( ) bVVbrrr TAAT
V == 1.5
ili
Kinematika leta 1-2
VArr
bV = 1.6
1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora
Poznate su nam komponente C i D dvaju vektora u koordinatnom sustavu čija je baza rb
r r
r rC
D
T=
=
b Cb DT
Želimo matrično izračunati komponente u istom koordinatnom sustavu od skalarnog i
vektorskog produkta:
S C DA C D
= ⋅
= ×
r r
r r r
Skalarni produkt lako nalazimo prema definiciji:
S T T T= ⋅ =C b b D C Dr r
,
jer je r rbbT jedinična matrica.
Da bi smo odredili komponente vektorskog produkta, pomnožimo skalarno jednadžbu
vektorskog produkta
( )r r rb A b DT TC= ×
s bazom rb . Dobivamo:
( )[ ]
A b b D
b D
= ⋅ ×
= ⋅ × × ×
r r r
r r r r r r rC
C b C b C b
T
x y z
Kako je:
( )( )( )
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
b C b C b C b C b C b
b C b C b C b C b C b
b C b C b C b C b C b
x x y y z z x y z z y
x x y y z z y x z z x
x x y y z z z x y y x
+ + × = − +
+ + × = −
+ + × = − +
bit će:
( ) [ ]r r r
r
r
r
r r r r r rb b⋅ × =
⋅ − + − − +Cbbb
C b C b C b C b C b C bTx
y
z
y z z y x z z x x y y x 1.7
ili
Kinematika leta 1-3
( )r r rb b⋅ × =
−−
−
CC C
C CC C
Tz y
z x
y x
00
0 1.8
Ovu antisimetričnu matricu koja ima nule na glavnoj dijagonali, sastavljenu od komponenti
vektora nazivamo kososimetrična matrica. Obično je obilježavamo sa ~C . Tako konačno
dobivamo matricu A od komponenti vektorskog produkta:
A CD=−
−−
=0
00
C CC CC C
DDD
z y
z x
y x
x
y
z
~ 1.9
Zapamtit ćemo da vektorski produkt dvaju vektora, čije su komponente poznate, ima
komponente koje se dobivaju matričnim množenjem kososimetrične matrice prvoga vektora s
matricom od jednog stupca drugog vektora.
1.1.3 Derivacija vektora
U dinamici leta vrlo se često susrećemo s problemom koji možemo formulirati ovako: u
nekom koordinatnom sustavu B, koji rotira poznatom kutnom brzinom rΩ (poznate
komponente p, q i r duž osi toga koordinatnog sustava), poznate su nam komponente duž osi
toga koordinatnog sustava od vektora r
V
[ ]V = u v wT
1.10
koje su funkcije vremena, a nama su potrebne komponente (duž osi toga istog koordinatnog
sustava B) derivacije po vremenu vektora r
V . Obilježimo tu derivaciju sa ra .
Ako je rb baza promatranog koordinatnog sustava, onda je
r r
V T= b V .
Po definiciji, tražena derivacija je
( )r rr
ra b V
bV b
V= = +
ddt
ddt
ddt
TT
T .
Komponente bilo kojeg vektora, tj. matricu komponenata, dobivamo kad dani vektor
pomnožimo skalarno ispred s bazom koordinatnog sustava:
a bb V V= +r r& &T 1.11
Kinematika leta 1-4
Napomenimo najprije da izvod po vremenu komponenata koje obilježavamo sa
[ ]& & & &V = u v w T nije isto što i komponente izvoda koje obilježavamo sa a. Kao što vidimo,
razlika je član r rbb V& T . Razvijmo produkt
r rbb& T .
Kako je derivacija po vremenu bilo kojeg jediničnog vektora jednaka vektorskom
produktu kutne brzine toga jediničnog vektora te samog jediničnog vektora, a sva tri
jedinična vektora imaju istu kutnu brzinu koja je jednaka kutnoj brzini koordinatnog sustava
B, bit će:
r r r r rbb b b& T T= ×Ω , 1.12
a prema definiciji kososimetrične matrice, na desnoj strani je upravo kososimetrična matrica
kutne brzine koordinatnog sustava B, tj.
r rbb& ~= Ω . 1.13
Kako vidimo, dobiveni rezultat je koso simetrična matrica komponenti trenutne kutne brzine
[ ]Ω = p q r T koordinatinog sustava B, te je
a V V= +~ &Ω . 1.14
Prema tomu, zapamtimo, ako vektor rV ima komponente u v w poznate u koordinatnom
sustavu B čija je kutna brzina [ ]Ω = p q r T , onda derivacija po vremenu vektora rV ima
komponente (u koordinatnom sustavu B)
aaa
r qr pq p
uvw
uvw
x
y
z
=−
−−
+
00
0
&
&
&
1.15
Moguće je [ ]& & & &V = u v w T nazvati relativna derivacija vektora rV , jer ona ne uzima u obzir
rotaciju koordinatnih osi, dok apsolutna derivacija jest zbroj relativne derivacije i člana zbog
rotacije koordinatnih osi. U jednadžbi apsolutna derivacija nalazi se na lijevoj strani, a na
desnoj strani prvi član je posljedica rotacije koordinatnog sustava B, a drugi član predstavlja
relativnu derivaciju.
Kinematika leta 1-5
1.2 Matrice transformacija
Kad izračunavamo složene probleme mehanike leta kao što je let zrakoplova, tada
primjenjujemo znanja iz više oblasti. Na primjer, aerodinamičke sile određujemo prema
teoriji i praksi aerodinamike, pogonske sile prema konstrukciji motora, a sila Zemljine teže
određena je u geofizici. Tako se susrećemo s problemom da je jedna sila poznata u jednom
koordinatnom sustavu, druga u drugomu, treća u trećemu, a mi želimo kretanje tijela u
četvrtome koordinatnom sustavu. Ovaj problem nameće potrebu za nekim jednostavnim
načinom prijelaza iz jednoga koordinativnog sustava u drugi, što znači ne zadržavati se na
problemu određivanja komponenti vektora u nekom koordinatnom sustavu ako su one
poznate u drugome. Za rješenje tog problema služit ćemo se matricama transformacija, jer je
matrični račun pogodan za rad na računalu.
1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacije
Ako imamo neki drugi desni koordinatni sustav čija je matrica jediničnih vektora rb (baza
koordinatnog sustava B), onda je taj isti vektor r
V u tom drugom koordinatnom sustavu:
( )r rV
T B= b V
te mora biti:
( ) ( )r ra V b VT A T B=
Množenjem ove matrice ispred s matricom rb dobivamo:
V b a VB T A=r r
Produkt matrica r rba T nazivamo matricom transformacije u koordinatni sustav B iz
koordinatnog sustava A, te je označavamo sa L BA , tj. bit će:
[ ]L b aBAT
x
y
z
x y z
x x x y x z
y x y y yz z
z x z y z z
bbb
a a ab a b a b ab a b a b ab a b a b a
= =
=
r r
r
r
rr r r
r r r r r rr r r r r rr r r r r r
1.16
ili
[ ]L BA xb
yb
zba a a= . 1.17
Korisno je znati zapis ove matrice u računalu npr. u FORTRANU ona ima oblik
Kinematika leta 1-6
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
=
3,33,23,12,32,22,11,31,21,1
LLLLLLLLL
BAL 1.18
Matrica transformacije ima dimenzije 3x3 (kvadratna trećega reda). Njen član lij predstavlja
kosinus kuta između osi “i koordinatnog sustava B” i osi “j koordinatnog sustava A”.
Prvo svojstvo matrice transformacije dobivamo polazeći od jednakosti:
V L VBBA
A=
Množenjem inverznom matricom ispred dobivamo:
L V VBAB A− =1
te je prvo svojstvo matrice transformacije
L LA B BA= −1 . 1.19
Drugo svojstvo matrice transformacije dobivamo iz jednakosti intenziteta vektora
( ) ( )V V V VB T B A T A=
iz koje slijedi:
( ) ( )V L V V VB T
BAA A T A=
( ) ( )V L VB T
BAA T
=
L V VBAT B A=
L LBAT
AB= . 1.20
To je vrlo važno svojstvo matrice transformacije jer je mnogo lakše transponirati matricu
negoli odrediti njenu inverznu matricu. Iz ove jednadžbe slijedi i zaključak da je determinanta
matrice transformacije jednaka jedinici:
L BA = 1. 1.21
Zbroj kvadrata članova jednog stupca ili jednog retka bit će zbroj kvadrata kosinusa kutova
koje čini jedna od osi s osima drugoga koordinatnog sustava, te taj zbroj mora biti jednak
jedinici.
Ako kososimetričnu matricu treba množiti s matricom transformacije ispred LP E ,
onda će se ona transformirati, tj. sve će komponente iz jednog koordinatnog sustava prijeći u
Kinematika leta 1-7
komponente drugoga sustava, a matrica transformacije bit će iza novo oblikovane
kososimetrične matrice
L C C LP EE P
P E~ ~
= . 1.22
Da bismo dokazali ovo svojstvo, pretpostavimo dva različita koordinatna sustava “E” i “P”.
Vektorsko množenje možemo obaviti u oba koordinatna sustava: EEE CBA =~ PPP CBA =~ .
Kako je
L C CPEE P= ,
mora biti
L A B A BPEE E P P~ ~
=
odakle dobivamo:
L A A LPEE P
PE~ ~
= . 1.23
Ova jednadžba pokazuje kako množenjem ispred, kososimetrične matrice sastavljene od
komponenata vektora u koordinatni sustav “E” s matricom transformacije, dobivamo
kososimetričnu matricu istog vektora, ali sastavljenu od komponenata u koordinatnom
sustavu “P” pomnoženu iza s istom matricom transformacije, što ima za posljedicu
transformaciju vektorskog produkta u matričnom obliku:
( )L A B L A B A L B A BPEE E
PEE E P
PEE P P~ ~ ~ ~
= = = . 1.24
1.2.2 Derivacija matrice transformacije
Neka je vektor rr konstantan u prostoru u kojemu se nalazi koordinatni sustav A koji miruje.
Matrica r A (koju čine komponente toga vektora u koordinativnom sustavu A) bit će
konstantna matrica. Koordinatni sustav B ima kutnu brzinu rΩB A/ (u odnosu na koordinatni
sustav A), te zato su komponente konstantnog vektora u koordinatnom sustavu B
promjenljive veličine, a to znači da su članovi matrice r B funkcije vremena. U svakom
trenutku postoji matrica transformacija LBA koja je također funkcija vremena, takva da je
r L rBBA
A= 1.25
te je
Kinematika leta 1-8
& &r L rBBA
A= , 1.26
jer su članovi matrice r A konstante. Sa &r B označili smo matricu koju čine derivacije
komponenti vektora rr u koordinatnom sustavu B. Komponente derivacije bilo kojeg vektora
u koordinatnom sustavu B koji rotira kutnom brzinom rΩB A/ bit će u koordinatnom sustavu B
~&Ω r rB B+ .
Međutim, kako je vektor rr konstantan, njegova derivacija je nulti vektor, te je
&~r rB B= −Ω .
Zamijenimo li u ovoj jednadžbi &r B sa &L rBAA i r B sa L rBA
A , dobivamo traženi izvod
matrice transformacije
BAABBA LL /~Ω−=& . 1.27
1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova
Vrijednosti članova matrice transformacija LBA ovise o položaju koordinatnog sustava B u
odnosu na koordinatni sustav 1. U mehanici postoje tri načina za određivanje položaja jednog
koordinatnog sustava u odnosu na drugi koordinatni sustav. To su: Eulerovi kutovi, de
Sparreovi kutovi i Hamilton - Rodriguezovi parametri.
Eulerovi kutovi ne primjenjuju se u mehanici leta, već tzv. de Sparreovi kutovi, te
ćemo se i mi koristiti njima. Zadani koordinatni sustav B zaokrenut je u odnosu na
koordinatni sustav A: za kut ψ oko z osi , za kut ϑ oko novog položaja y osi i konačno za kut
φ oko najnovijeg položaja x osi. Te kutove φ ϑ ψ nazivamo de Sparreovi kutovi (sl.1-1).
Slika 1-1 De Sparreovi kutovi
Kinematika leta 1-9
Matricu transformacije odredit ćemo postupno od ta tri kuta. Promatrat ćemo transformaciju
LBA (u B iz A) kao rezultat triju sukcesivnih transformacija:
1) za kut ψ oko treće osi Lz(ψ),
2) za kut ϑ oko druge osi L(ϑ),
3) za kut φ oko treće osi L(φ).
Svakoj od tih transformacija odgovara po jedna matrica transformacije. Rezultat svake
sljedeće transformacije jest produkt matrice transformacije ispred vektora. Tako će poslije
prve transformacije (rotacija za kut ψ oko treće osi) komponente vektora r
V biti
( )L VzAψ , 1.28
poslije druge transformacije (rotacija za kut ϑ oko druge osi) bit će
( ) ( )L L Vy zAϑ ψ 1.29
i poslije treće transformacije (rotacija za kut φ oko prve osi), bit će
( ) ( ) ( )L L L Vx y zAφ ϑ ψ . 1.30
Prema tome vidimo da je matrica transformacija u koordinatni sustav B iz koordnatnog
sustava A
( ) ( ) ( )L L L LBA x y z= φ ϑ ψ . 1.31
Koristeći se definicijom matrice transformacija, dobivamo:
( )L x φ φ φφ φ
=−
1 0 000
cos sinsin cos
1.32
( )L y ϑϑ ϑ
ϑ ϑ=
−
cos sin
sin cos
00 1 0
0 1.33
( )Lz ψψ ψψ ψ= −
cos sinsin cos
00
0 0 1 1.34
Produkt svih triju matrica transformacije daje:
+−+++−
−=
ϑφψϑφψφψϑφψφϑφψϑφψφψϑφψφϑψϑψϑ
ccssccscscsscsssscccssscssccc
BAL 1.35
Kinematika leta 1-10
Radi kraćeg pisanja označili smo sa “s” sinusnu, a sa “c” kosinusnu funkciju. Općenito,
možemo reći kako je matrica transformacija jedna matrična funkciju od tri parametra te je
( ) ( ) ( ) ( )ψϑφψϑϕ ,,LLLLL =⋅⋅= ZYXBA . 1.36
U korisničkoj biblioteci možemo napraviti potprogram u kojeme su ulazni parametri ta tri
kuta (u radijanima) ϕ, ϑ i ψ, a izlaz je matrica transformacije BAL , dimenzija 3x3.
1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra
Proračun trigonometrijskih funkcija pomoću računala razmjerno je dugotrajan u usporedbi s
proračunom osnovnih računskih operacija. To je razlog zašto se nastoji izbjeći proračun
matrica transformacija na osnovi kutova ϕ, ϑ i ψ.
Slika 1-2. Hamilton-Rodriguezovi (Eulerovi) parametri
Prijelaz iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B može se ostvariti zaokretom za
jedan kut χ oko neke osi čiji je jedinični vektor ru . Matrica od jednog stupca sastavljena od
komponenti toga jediničnog vektora u koordinatnom sustavu A poznata je i označit ćemo je
sa “u”. Cijeli koordinatni sustav okrene se oko ru za kut χ kao kruto tijelo te prijeđe iz
Kinematika leta 1-11
položaja A u položaj B (slika 1-2). Pri tomu, svaka os koordinatnog sustava napravi isti kut
rotacije χ oko ru . Hamilton - Rodriguezovi parametri (u literaturi iz SADa nazivaju se
Eulerovi parametri) po definiciji su:
[ ] .
2
2cos
321
0
χ
χ
sineee
e
T ue ==
= 1.37
To znači da imamo četiri parametra od kojih prvi 0e jest kosinus polukuta rotacije, a preostala
tri su komponente vektora duž osi rotacije čiji je intenzitet sinus polukuta rotacije. Iz toga
slijedi prvo svojstvo parametara:
e e e e02
12
22
32 1+ + + = . 1.38
Uvedemo li oznaku za matricu od jednog stupca
[ ]p = e e e e T0 1 2 3 , 1.39
prvo je svojstvo parametara
p pT = 1, 1.40
a deriviranjem te jednadžbe bit će i
p pT & = 0 . 1.41
Za daljnje izvođenje nužne su neke jednadžbe veza između tih parametara, koje lako
dobivamo na osnovi gornjih definicija:
( )~~
~& ~ & &
~~& & &
e e I ee
e e ee Ie e ee I
= − +
= +
= +
e
e e
e e
T
T
T
02
0 0
0 0
1
1.42
Promatrajmo jednu os određenu jediničnim vektorom ra kada je koordinatni sustav u položaju
A. Trebamo odrediti jedinični vektor te iste osi poslije rotacije χ oko ru . Obilježimo sa rb taj
novi položaj jediničnog vektora osi poslije rotacije kad je koordinatni sustav došao u položaj
A. Znači jedinični vektor ra poslije rotacije χ oko osi ru postaje jedinični vektor rb (slika 1-2).
Vrh jediničnog vektora ra opisao je jedan dio kružnice KH sa središtem u C na osi rotacije ru .
U ravnini kružnice iz točke H spustimo okomicu na polumjer kružnice CK. Nazovimo tu
okomicu vektor rn , a neka je vektor rr udaljenost od središta kružnice do okomice. Intenzitet
tog vektora ra je HC sin χ , a smjer i pravac podudaraju se s vektorskim produktom r ru a× . S
Kinematika leta 1-12
obzirom na intenzitet toga vektorskog produkta, koji je jednak polumjeru CK ili CH, bit će u
matričnom obliku:
( )[ ] .cos
~
χ
χ
uauaraun
T
sin−=
=
Sad smo u mogućnosti izraziti u matričnom obliku i jedinični vektor b:
( )( ) ( )[ ]
( )( ) .~1
~
χχχ
χχ
sincoscossincos
T
TT
T
auauuaauuauauau
nruaub
+−+=
+−+=
++=
S obzirom na vrijednosti Hamilton-Rodriguezovih parametara zamijenit ćemo
trigonometrijske funkcije njihovim vrijednostima ovisno o polukutu χ 2 .
.2
cos2
sin2sin
2sin2cos1
12
cos2cos
2
2
χχχ
χχ
χχ
=
=−
−=
Poslije tih zamjena dobivamo:
( )( ) ( ) .~2212
2cos
22~
2sin21
22
020
22
aeaeea
auauuab
ee
sincos
T
T
++−=
++
−=
χχχχ
Razvijanjem matrica možemo pokazati da je
( ) ( )e e a ee aT T= ,
te pomoću ove relacije imamo konačni izraz za zarotirani jedinični vektor osi-z:
( )[ ]b ee e a= − + +2 1 202
0e eT ~ 1.43
b je matrica komponenti (u koordinatnom sustavu A) jediničnog vektora osi koja je zarotirana
u novi položaj B, a a je matrica komponenti te osi (u istom koordinatnom sustavu A) prije
rotacije.
Prema definiciji matricu transformacije čine tri jedinična vektora osi koordinatnoga
sustava iz kojega se polazi u odnosu na sustav u koji se dolazi, a to znači da je:
[ ] ( ) ( )[ ][ ]zyxTA
ZAZ
AXAB ee aaaeeebbbL ~212 0
20 ++−==
( ) ( ),~212 020 eeeIL ee T
AB ++−= 1.44
ili
Kinematika leta 1-13
−++−
−−++
+−−+
=
21
21
21
2
20
2310322013
103220
223021
2013302120
21
eeeeeeeeee
eeeeeeeeee
eeeeeeeeee
ABL . 1.45
S obzirom na to što je eeT simetrična matrica, a ~e kososimetrična, bit će
( ) ( )L I ee eBATe e= − + −2 1 20
20~ , 1.46
ili
L BA
e e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e
=
+ − + −
− + − +
+ − + −
2
12
12
12
12
02
1 2 0 3 3 1 0 2
1 2 0 3 22
02
2 3 0 1
3 1 0 2 2 3 0 1 32
02
. 1.47
Time smo odredili matricu transformacije ovisno o Hamilton - Rodriguezovim parametrima i,
kao što vidimo, članovi matrice nisu trigonometrijske funkcije parametara, već polinomi
drugoga reda koji se vrlo brzo računaju u procesoru računala.
1.2.5 Veze između parametara i kutova
Možemo lako naći vezu između Hamilton - Rodriguezovih parametara i de Sparreovih
kutova. Razmotrimo prvo slučaj kad poznamo de Sparreove kutove, a želimo naći Hamilton -
Rodriguezove parametre. Pomoću de Sparreovih kutova možemo izračunati matricu
transformacije ABL . Kad su nam poznati članovi ijl te matrice transformacije
=
333231
232221
131211
lll
lll
lll
ABL . 1.48
Usporedbom dobivamo zbroj članova jednak dijagonali:
142332 2
020
23
22
21 −=
−+++= eeeeetr ABL 1.49
te je:
( )4
120
+= ABtre L . 1.50
Kinematika leta 1-14
Predznak parametra 0e time je neodređen. Pretpostavimo li da je predznak +, tada je 0e
određeno. Uspoređivanjem razlika članova simetričnih u odnosu na glavnu dijagonalu
dobivamo
0
23321 4e
e ll −= ,
0
31132 4e
e ll −= ,
0
12213 4e
e ll −= . 1.51
Ako smo odabrali pogrešan predznak za 0e vektor e promijenit će smjer te je transformacija
ista jer koordinatni sustav transformiramo iz položaja A u položaj B na isti način (suprotna
rotacija na obratnom smjeru osi rotacije isto je što i zadana rotacija oko zadanog smjera osi
rotacije).
Drugi slučaj, kada znamo Hamilton-Rodriguezove parametre, a trebamo de Sparreove
kutove, lakši je jer jednostavnom usporedbom matrica ABL , napisane pomoću de Sparreovih
kutova i pomoću Hamilton-Rodriguezovih parametara, dobivamo:
( )
21
2sin21
23
20
1032
2031
21
20
2130
−++
=
−−=−+
+=
eeeeee
tg
eeeeee
eeeetg
φ
ϑ
ψ
1.52
1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara
Poseban problem jest taj kako za vrijeme gibanja nekog objekta u svakom trenutku odrediti
Hamilton-Rodriguez-ove parametre p. Budući da dinamičke jednadžbe određuju kutnu brzinu
objekta u ovisno o vremenu, problem se svodi na kinematičku zadaću iznalaženja veze
između te kutne brzine i derivacija po vremenu Hamilton-Rodriguez-ovih parametara. Da bi
lakše riješili taj problem uvodimo dvije nove pomoćne matrice:
[ ]E e J e= − +e0~ 1.53
[ ]G e J e= − −e0~ . 1.54
Te matrice imaju neka svojstva na kojima ćemo temeljiti nalaženje derivacija Hamilton-
Rodriguezovih parametara.
Prva Lema
TAB EGL = 1.55
Kinematika leta 1-15
Dokaz
[ ] eeeJeeeJ
eeJeEG ~~~2~~
000
0 +++=
+−
+−= eee
e TT
T
Pomoću jednadžbe za matricu ABL bit će
( ) ( ) ABTT ee LeeeJEG =++−= ~212 0
20
Druga lema
& &EG EGT T= 1.56
Dokaz
eeeeJeeeJ
eeJeGE ~~~~
~]~[ 00000
0&&&&&&&&& ++++=
+−
⋅+−= eeeee
e TT
T
eeeeJeeeJ
eeJeGE &&&&&
&&
&& ~~~~~]~[ 0000
00 ++++=
+−
⋅+−= eeeee
e TT
T
a s obzirom na svojstva Hamilton-Rodriguezovih parametara dokazana je druga lema.
Treća lema
E E J ppT T= − 1.57
Dokaz
[ ]
−−−−
=+−
−−
=eeJe
eeeeeeJe
eJe
EE ~~~
~~ 2
00
00
0 eee
ee
TTTTT
Kako je
( )− = =e e eeT T~ ~ 0
i prema polaznoj jednadžbi, dobivamo konačno
E Ee
e J eeJ ppT
T
TTe e
e=
− −− −
= −
1 02
0
0
.
Isto tako možemo dokazati i drugi oblik treće leme
G G J ppT T= − . 1.58
Četvrta lema
Gp Ep= = 0 1.59
Kinematika leta 1-16
Dokaz:
[ ]Gp e J ee
e e ee 0= − −
= − + − =e
ee e0
00 0
~ ~
Analogno tomu je i Ep = 0.
Peta lema
GG& T jednako je koso simetričnoj matrici od Gp& 1.60
Dokaz
[ ] TTT
TT ee
ee eeeeee
eJe
eJeGG &&&&&&
&& −−+=
+−
−−= ~~~
~000 .
Uz pomoć treće leme biti će
( ) TTTTT eeeeeeee eeeeeeJeeeeJeeGG &&&&&&&&&&& −−+=+−−++= ~~~~00000000 .
Odredimo vektor
[ ] eeeee
eJepG &&&&
&& ~~
000
0 −+−=
−−= ee
ee .
Kako je
~&& &
& &
& &
ee =− +
−− +
e e e ee e e ee e e e
3 2 2 3
3 1 1 3
2 1 1 2
,
bit će koso simetrična matrica od ovog vektora
00
0
1 2 1 2 1 3 1 3
2 1 2 1 2 3 2 3
3 1 3 1 3 2 3 2
& & & &
& & & &
& & & &
& &
e e e e e e e ee e e e e e e ee e e e e e e e
T T
− −− −− −
= −ee ee .
Na temelju ovog rezultata koso simetrična matrica Gp& bit će
− + − +& ~ ~& & &e e T T0 0e e ee ee ,
što je trebalo dokazati.
Derivacije Hamilton-Rodriguezovih parametara nalazimo na slijedeći način. Polazimo
od jednadžbe:
& ~L LBA B AB
BA= −Ω ,
ili poslije transformiranja
ABTAB
BAB LL &=Ω~ .
Kinematika leta 1-17
Prema značajkama pomoćnih matrica iz prve i druge leme: T
AB EGL = TTT
AB GEGEGEL &&&& 2=+=
bit će
( ) ( ) TTTTTTTTTTBAB GGppGGGppJGGEGEGEEG &&&&& 22222~ −=−===Ω
te s obzirom na četvrtu lemu po kojoj je Gp = 0, bit će:
TAAB GG &2~ =Ω ,
a s obzirom na petu lemu
pG &2~ =BABΩ .
Pomnožimo ispred ovu jednadžbu s GT .
pGGG &TBAB
T 2~ =Ω .
S obzirom na dodatnu treće lemu, dobivamo:
( ) ( )pppppppJG &&& TTBAB
T −=−= 22Ω .
Kako je p pT & = 0 bit će konačno:
BAB
T
21
ΩGp =& . 1.61
U ovoj jednadžbi komponente rotacije definirane su u koordinatnom sustavu B. Ova matrična
jednadžba trebati će nam u raspisanom obliku.
&
&
&
&
~
eeee
e
pqr
T0
1
2
3
0
12
=−
+
eJ e
&
&
&
&
eeee
e e ee e ee e ee e e
pqr
0
1
2
3
1 2 3
0 3 2
3 0 1
2 1 0
12
=
− − −−
−−
1.62
Kinematika leta 1-18
1.3 Koordinatni sustavi
U mehanici leta zrakoplova koristimo nekoliko koordinatnih sustava. Svaki problem zahtijeva
neki primjeren kooordinatni sustav. Tako određivanje aerodinamičkih sila i njihovih
momenata vezujemo za ravninu simetrije letjelica ili za pravac aerodinamičke brzine, dok
performanse zrakoplova izučavamo u odnosu na Zemlju, pa u tom slučaju postavljamo
koordinatni sustav vezan za Zemlju. Kada se bavimo interkontinentalnim letovima, koristimo
koordinatni sustav postavljen u središtu zemlje, a kad promatramo lokalne letove, služimo se
nekim lokalnim kooridnatnim sustavom, itd. Gibanje središta Zemlje oko Sunca u
vremenskom intervalu u kojemu izučavamo letjelicu je praktično pravocrtno s konstantnom
brzinom. Zato je koordinatni sustav s ishodištem u središtu Zemlje, a koji se ne okreće sa
Zemljom, inercijski koordinatni sustav (I). Svi ostali koordinatni sustavi jesu relativni, u
kojima djeluju i inercijske sile, jer svi imaju neku kutnu brzinu. Kao što je spomenuto na
početku, svaki se problem može najprikladnije riješiti u nekom od koordinatnih sustava. S
obzirom na probleme koje ćemo razmatrati u ovoj knjizi, trebamo pet koordinatnih sustava:
• lokalni koordinatni sustav (L),
• nošeni koordinatni sustav (O),
• koordinatni sustav letjelice (F),
• aerodinamički koordinatni sustav (A) i
• brzinski koordinatni sustav (V).
Napomenimo da su svi koordinatni sustavi desni, što znači da je dovoljno definirati dvije osi,
a treća čini desni trijedar. Uvijek si možemo pomoći desnom šakom, ako palac, kažiprst i
srednjak namjestimo okomito jedan na drugi. Palac tada označuje os-x, kažiprst os-y, a
srednjak os-z. Za svaki koordinatni sustav trebamo znati, osim definicije pravca dviju osi,
njegovu kutnu brzinu i kutove u odnosu na neki prethodno definirani koordinatni sustav.
Kutna brzina nužna je da bismo odredili inercijsku silu, a kutovi da bismo odredili matricu
transformacije u taj koordinatni sustav iz nekog drugog koordinatnog sustava.
Kutna brzina i njene komponente imat će indeks dolje kako bi se označilo na koji se
koordinatni sustav odnosi ta kutna brzina, a indeks gore označavat će koordinatni sustav na
čijim osima su komponente. Primjerice komponente kutne brzine označavamo uvijek sa
[ ]rqp . Ako su to komponente kutne brzine brzinskog koordinatnog sustava na osi
aerodinamičkog koordinatnog sustava ona ih označavamo sa [ ] AV
AV
AV
AV rqp Ω= .
Kinematika leta 1-19
1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L)
Ishodište je ovog koordinatnog sustava na mjestu polijetanja letjelice. Os Lx je horizontalna u
pravcu zadanog azimuta A 0 . Kut azimuta se mjeri u pozitivnom trigonometrijskom smjeru
kada se gleda odozdo, a kad kut azimuta gledamo odozgo onda je on pozitivan u smjeru
kazaljke na satu. Os Ly je vertikalna prema gore. Geocentrične koordinate ishodišta su
λ ϕ0 0 0, , h (indeks nula podsjeća da se radi o ishodištu, kada je vrijeme obično jednako nuli).
(slika 1-3). S obzirom na to što je lokalni koordinatni sustav vezan za Zemlju, on ima istu
kutnu brzinu kao i zemlja Ω E s= − −7 27 10 5 1. .
Slika 1-3. Lokalni koordinatni sustav
Budući da se taj koordinatni sustav okreće sa Zemljom konstantnom kutnom brzinom, gibanje
je u tom kordinatnom sustavu relativno gibanje. To znači da postoje dvije inercijalne sile:
centrifugalna i Coriolisova. Inercijalna centrifugalna sila koja se pojavljuje zbog ove kutne
brzine zbraja se s privlačnom silom Zemlje i zajedno čine silu Zemljine teže. Drugim
riječima, težina svake mase je zbroj dviju sila: privlačne sile Zemlje i centrifugalne sile zbog
rotacije te mase zajedno sa Zemljom. Drugu inercijalnu silu uslijed Coriolisova ubrzanja
KE Vrr
×Ω2 zanemarujemo jer je ona zbog male kutne brzine vrlo mala u odnosu na težinu.
Primjerice je za brzinu leta 240 m/s u smjeru istoka ili zapada Coriolisova ubrzanja najveće i
iznosi 2035.0 sm , što zanemarujemo u odnosu na ubrzanje težine 281.9 sm , a u slučaju leta
s juga na sjever i obrnuto Coriolisovo ubrzanje je nula.
Kinematika leta 1-20
1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O)
Nošeni koordinatni sustav ima ishodište u središtu mase letjelice. Os Ox je u horizontalnoj
ravnini, a Oz je vertikalna u smjeru prema dolje (slika 1-4). Zanemarujemo li
• zakrivljenost Zemljine površine, onda su kutovi λ λ= 0 i ϕ ϕ= 0 konstantni i
• kutnu brzinu Zemlje 0=EΩ ,
onda nošeni koordinatni sustav nema kutnu brzinu 0=OOΩ , tj. nošeni koordinatni sustav ne
rotira tijekom leta, već ostaje paralelan samom sebi. U svim problemima koje razmatramo u
ovoj knjizi opravdane su ove dvije pretpostavke o zanemarivanju zakrivljenosti Zemljinine
površine i o zanemarivanju kutne brzine..
Slika 1-4. Translacija nošenog koordinatnog sustava kada je & &λ ϕ= = 0
Radi pojednostavljenja, postavljamo nošeni koordinatni sustav paralelno s lokalnim, pa zato
on ostaje u tijeku leta paralelan s lokalnim koordinatnim sustavom, ali putuje sa središtem
mase letjelice (zato smo mu dali ime "nošeni", slika 1-5). U odnosu na nošeni koordinatni
sustav definiramo “stav” letjelice i izučavamo njeno gibanje oko središta mase.
1.3.3 Koordinatni sustav letjelice (F)
Ovaj koordinatni sustav Oxyz kruto je vezan za letjelicu. Najprikladnije je usvojiti glavne
ose tromosti kao koordinatni sustav letjelice, a da je njegovo ishodište u središtu mase (ako se
drukčije ne odredi). Os x i os z nalaze se u ravnini simetrije letjelice i to os x duž tijela u
Kinematika leta 1-21
smjeru leta, a os z je nadolje, dok je os y okomita na ravninu simetrije. Zato što je taj
koordinatni sustav kruto vezan za letjelicu, njegova je kutna brzina ujedno i kutna brzina
letjelice. Slovo F sa kojim označavamo taj koordinatni sustav dolazi od engleske riječi
"frame", ali kako je to najviše upotrebljavan koordinatni sustav, sve veličine definirane u tom
koordinatnom sustavu nemaju nikakvih oznaka. Usmjerenost tog koordinatnog sustava
određena je u odnosu na nošeni pomoću tri kuta (slika 1-5)
ψ u horizontalnoj ravnini oko osi z O , nazivamo ga kut zanosa,
θ u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi ~y , nazivamo ga kut propinjanja,
φ oko osi x, nazivamo ga kut valjanja letjelice.
Matrica transformacije za ove tri rotacije ψ θ φ, , je
( ) ( ) ( )L L L LF O X Y Z= φ θ ψ , 1.63
Slika 1-5. Koordinatni sustav letjelice
što pišemo kraće ( )ψϑφ ,,OFL . Kutna brzina letjelice koja je i kutna brzina njenog
koordinatnog sustava
φθψr&
r&
r&
r++=Ω 1.64
ima projekcije na osi tog koordinatnog sustava
Kinematika leta 1-22
( )
+
+
=
00
0
000 φ
θφψ
&
&
&XOF LLΩ .
Poslije množenja matrica i zamjene dobivamo
−++−
=
=
φθθφψφθθφψ
φθψ
sincoscoscoscossin
sin
&&
&&
&&
rqp
Ω . 1.65
Kao što je već spomenuto, nije potrebno posebno označavati da su to projekcije na osi
letjelice, jer kada nije tako onda to i posebno označimo. Matricu na desnoj strani gornje
jednadžbe možemo rastaviti u produkt dviju matrica
−
−=
−++−
ψθφ
θφφθφφ
θ
φθθφψφθθφψ
φθψ
&
&
&
&&
&&
&&
coscossin0cossincos0
sin01
sincoscoscoscossin
sin
Matricu 3 3× na desnoj strani označavamo sa R. Ona je funkcija dvaju kutova ϑφ i , nije
matrica transformacije i na nju se ne odnose pravila o matrici transformacija. Sa s
označavamo novi pojam stav. To je matrica koju čine tri kuta
[ ]s = φ θ ψT
. 1.66
S ovim oznakama je
( ) sR &⋅= ϑφ ,Ω
( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ ,& , 1.67
ili
−=
rqptgtg
θφθφφφθφθφ
ψθφ
coscoscossin0sincos0
cossin1
&
&
&
. 1.68
1.4 Brzine letjelice
Razlikujemo dvije brzine letjelice. Prva je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Nazivamo je
brzina leta i označavamo je sa r
VK . Druga je brzina letjelice u odnosu na zrak r
V i nju
nazivamo aerodinamička brzina (bez indeksa). Između te dvije brzine imamo vezu
r r r
V V VK W= + , 1.69
Kinematika leta 1-23
gdje je WVr
brzina zraka (u odnosu na Zemlju) ili, kratko, vjetar.
Ponekad nam je potrebna brzina zraka u odnosu na letjelicu, ali ne u neposrednoj
blizini letjelice, gdje je zračna struja poremećena prisutnošću letjelice. Tu brzinu nazivamo
"brzina opstrujavanja", a označavamo je sa ∞Vr
. Ona je jednaka po intenzitetu i pravcu
aerodinamičkoj brzini, ali suprotnog je smjera. Drugim riječima, brzina opstrujavanja je
VVrr
−=∞ .
1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V)
Kao što je rečeno brzina leta je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Ona je određena svojim
intenzitetom VK i pomoću dva kuta (slika 1-6).
• χ je kut u horizontalnoj ravnini oko osi Oz od osi Ox do horizontalne projekcije
brzine (pozitivan oko osi z prema dolje), nazivamo ga kut skretanja,
• γ je u vertikalnoj ravnini od horizontalne projekcije do brzine leta (pozitivan
prema gore), nazivamo ga kut prenjanja.
Slika 1-6. Brzinski koordinatni sustav
Projekcije brzine leta na osi letjelice obilježavamo uvijek sa
[ ]VK K K K
Tu v w= . 1.70
Za rješenje nekih problema kao što su to izračunavanja performansa zrakoplova,
dovoljno je promatrati samo gibanje središta mase. Tada je pogodno primjenjivati brzinski
koordinatni sustav. Brzinski koordinatni sustav ima os Vx u pravcu i smjeru brzine leta, os
Kinematika leta 1-24
Vz mu je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu leta prema dolje, a os Vy koja čini desni
koordinatni sustav je horizontalna. Prema slici 1-6 iz nošenog koordinatnog sustava “O” u
brzinski prelazi se s dvije rotacije: prvo oko osi 0z za kut χ , a zatim oko osi Vy za kut γ :
( ) ( )χγ ZYVO LLL = . 1.71
Taj koordinatni sustav ima dvije kutne brzine:
• χ& kutnu brzinu oko vertikalne osi 0z i
• γ& oko horizontalne osi Vy
γχr&
r&
r+=VΩ , 1.72
ili
−=
+
=
γχγ
γχγ
χΩ
cos
sin
VOVV
&
&
&
&
& 0
000
L . 1.73
γ&KV
γχ cos&KV
KV&
Slika 1-7. Ubrzanja uzduž osi brzinskoga koordinatnog sustava
Komponente brzine leta u brzinskom koordinatnom sustavu su [ ]TK
VK 00V=V , pa su
komponente ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu
Kinematika leta 1-25
T
K
K
KKVK
VV
VK
V
VV
VV
00V
−=
−−
−+
=+=γ
γχγχγ
γχγχγγχ
&
&
&
&&
&&
&&&
& cos00
0sinsin0cos
cos0~ VVa Ω . 1.74
Do tih komponenata ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu mogli smo doći ako tražimo
komponente brzine hodografa. Iz mehanike znamo da je hodograf putanja točke čiji je vektor
položaja brzina. Znamo da je brzina derivacija vektora položaja. Ako je vektor položaja
jednak brzini leta, onda je derivacija tog vektora položaja tj. brzina hodografa jednaka
ubrzanju.
1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinanti sustav (A)
Položaj aerodinamičke brzine određujemo prvenstveno u odnosu na letjelicu, jer o njenom
intenzitetu i položaju u odnosu na letjelicu ovise aerodinamičke sile i momenti. Primjenjuju
se dva načina za određivanje položaja aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu.
Slika 1-8. Napadni kut i kut klizanja
Prvi način su kutovi α βi . Napadni kut α nalazi su u ravnini simetrije (vanjske
površine letjelice), od projekcije aerodinamičke brzine na tu ravninu do osi x letjelice u toj
ravnini (slika 1-8), a kut klizanja β je od projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke
brzine. Drugim riječima, kut klizanja je otklon aerodinamičke brzine od ravnine simetrije
letjelice (simetrije vanjske površine letjelice). Sa tim kutovima komponente aerodinamičke
brzine u koordinatnom sustavu letjelice su
Kinematika leta 1-26
.sincos
sincoscos
αββ
αβ
VwVvVu
===
1.75
Na osnovu tih jednadžbi dobivamo zavisnost napadnog kuta i kuta klizanja od komponenti
aerodinamičke brzine:
sin β α= =vV
tgwu
. 1.76
Uočavamo da je napadni kut α pozitivan kad je pozitivna komponenta w , te isto tako da je
kut klizanja pozitivan ako je pozitivna komponenta v aerodinamičke brzine. To je
najsigurniji način kontrole predznaka napadnog kuta i kuta klizanja. Vrlo često su os letjelice
i aerodinamička brzina vrlo blizu, te su napadni kut i kut klizanja mali kutovi. To nam
omogućava primjenu pojednostavljenih jednadžba
v V w V= =β α . 1.77
Slika 1-9. Kutovi ψ θ φ, , , α β, , γχ , .
Drugi način su kutovi χ A i γ A (isto kao što su kutovi χ i γ za brzinu leta).
Kut χ A je u horizontalnoj ravnini od osi x0 nošenog koordinatnog sustava do
projekcije aerodinamičke brzine na horizontalnu ravninu, a kut γ A je u vertikalnoj ravnini od
horizontalne projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke brzine letjelice.
Kinematika leta 1-27
Između kutova χ γA A, i kutova ψ θ φ, , , α β, postoje veze. Te veze dobivaju se iz
relacije:
OFO
wvu
VL=
( )
−=
A
AA
AA
FO
VVV
VV
V
γχγχγ
ψϑφαβ
βαβ
sinsincoscoscos
,,sincos
sincoscos
L .
Možemo skratiti aerodinamičku brzinu na lijevoj strani s aerodinamičkom brzinom na desnoj
i tako dobiti tri jednadžbe, od kojih su dvije neovisne, a treća se može dobiti kombinacijom
tih dviju odabranih jednadžbi.
Slika 1-10. Aerodinamičke osi i glavne osi tromosti
U aerodinamici zrakoplovnih konfiguracija upotrebljava se osim koordinatnog sustava
letjelice i aerodinamički koordinatni sustav (slika 1-10). Njegovo ishodište je u središtu mase
ili nekoj određenoj točki letjelice, a os Ax je u pravcu i smjeru aerodinamičke brzine. Os Az
je u ravnini simetrije letjelice. Kako je ta os okomita na aerodinamičku brzinu (jer je brzina
Kinematika leta 1-28
na osi Ax ), ona se nalazi u presjeku dviju ravnina, ravnine okomite na aerodinamičku brzinu i
ravnine simetrije letjelice.
Najviše trebamo matricu transformacije u koordinatni sustav letjelice iz
aerodinamičkog koordinatnog sustava. Ta transformacija predstavlja dvije sukcesivne rotacije
(vidi sliku 1-10):
• prvo, oko osi zA za kut β i to u negativnom smjeru rotacije (dok os Ax ne uđe u
ravninu simetrije letjelice)
• drugo, oko novodobivene osi y , za kut α (dok os Ax ne dođe u položaj osi x ).
Prema tome je matrica transformacije
( ) ( )L L LFA Y Z= −α β , 1.78
što množenjem daje
−
−−=
αβαβαββ
αβαβα
cossinsincossin0cossin
sinsincoscoscos
FAL . 1.79
Ako su kutovi mali, onda je
−−=
1001
1
αβ
αβ
FAL . 1.80
Od nošenog koordinatnog sustava do brzinskog dolazimo pomoću tri rotacije (slika
1-11)
• za kut χ A u horizontalnoj ravnini oko osi z0 do horizontalne projekcije
aerodinamičke brzine;
• za kut γ A u vertikalnoj ravnini oko osi y, od horizontalne projekcije do
aerodinamičke brzine;
• za kut µ A oko aerodinamičke brzine dok os z ne uđe u ravninu simetrije letjelice.
To znači da je matrica transformacije u aerodinamički iz nošenog koordinatnog sustava
( ) ( ) ( ) ( )AZAYAXAAAAO χγµχγµ LLLL =,, . 1.81
Uočimo da je to ista matrična funkcija kao ( )ψϑφ ,,FOL .
Kinematika leta 1-29
Slika 1-11. Transformacija iz nošenog koordinatnog sustava
u aerodinamički koordinatni sustav
Kada nema vjetra, možemo lako usporediti aerodinamički i brzinski koordinatni
sustav, jer su tada brzina leta i aerodinamička brzina jednake, pa oba koordinatna sustava
imaju istu os x. Osi Az i Vz se razlikuju. Obje su u ravnini okomitoj na brzinu, ali dok je os
Az u ravnini simetrije letjelice, os Vz je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu (slika 1-11).
Između njih je kut Aµ koji se nalazi u ravnini okomitoj na brzinu od osi Vz do osi Az ,
mjeren oko brzine. Zato je matrica transformacije iz aerodinamičkog u brzinski koordinatni
sustav
( )AXVA µ−= LL . 1.82
Kada nema vjetra, može se lako prijeći iz koordinatnog sustava letjelice u brzinski kroz
aerodinamički koordinatni sustav. Matrica transformacije u brzinski iz koordinatnog sustav
letjelice jest produkt dviju matrica
AFVAVF LLL = , 1.83
Kinematika leta 1-30
pa se množenjem matrica ( )AXVA µ−= LL i ( ) ( )αβ −= YZAF LLL , dobiva tražena matrica
transformacije
( ) ( ) ( )αβµ −−= YZAXVF LLLL 1.84
koja vrijedi samo u slučaju ako nema vjetra.
1.4.3 Primjer
Zadana je brzina horizontalnog leta [ ]smVK 4.54= i njen kut pravca 08.10=χ . Intenzitet
brzine vjetra je [ ]smVW 8= , koji puše iz pravca čiji je azimut 0120=WA , a to znači da je kut
pravca kud puše vjetar 0300=Wχ . Treba odrediti aerodinamičku brzinu, napadni kut i kut
klizanja kada je stav zrakoplova [ ]T000 192.5 9.2−=s
Projekcije su brzine leta na osi nošenog koordinatnog sustava:
−=
γχγχγ
sinsincoscoscos
K
K
KOK
VVV
Vr
Uvijek pretpostavljamo da je vjetar horizontalan te su njegove projekcije na osi nošenog
koordinatnog sustava:
=
0sincos
WW
WWO
W VV
χχ
Vr
.
Projekcije aerodinamačke brzine na iste osi nošenog koordinatnog sustava bit će: O
WOK
O VVV −= .
Intenzitet ove brzine je
( ) ( ) ( )222 OOO wvuV ++= ,
a njene su projekcije na osi letjelice
( )OW
OKFO
OFO VVLVLV −== .
Matrica transformacije u koordinatni sustav letjelice iz nošenog koordinatnog sustava jest
produkt triju temeljnih matrica:
( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅=
Na osnovu tih vrijednosti izračunavamo komponente aerodinamičke brzine u koordinatnom
sustavu letjelice, a s tim komponentama bit će napadni kut i kut klizanja
Kinematika leta 1-31
.arcsin
arctan
Vvuw
=
=
β
α
Rješenje se nalazi u fileu primjer.m. na disketi u direktoriju kinematika.
Kinematika leta 1-32
Projektna aerodinamika 2-1
2 PROJEKTNA AERODINAMIKA
2.1 Aerodinamički koeficijenti zrakoplova
2.1.1 Definicije
Djelovanje zraka na letjelicu može se zamijeniti jednom aerodinamičkom silom u središtu
mase i jednim aerodinamičkim momentom oko središta mase. Ta aerodinamička sila i taj
aerodinamički moment imaju po tri komponente u koordinatnom sustavu kojim se koristimo.
Kada su u pitanju aerodinamička sila ili aerodinamički moment zrakoplova upotrebljavamo
dva koordinatna sustava: koordinatni sustav letjelice ili aerodinamički koordinatni sustav.
Ovisno o problemu koji rješavamo, odabrat ćemo jedan od tih dvaju koordinatnih sustava.
Komponente obilježavamo i nazivamo:
• u koordinatnom sustavu letjelice komponente sile [ ]TZYX nazivamo :
− X aksijalna sila i označavamo je sa A,
Y je bočna sila i
Z− normalna sila, označava se sa N.
Komponente momenta [ ]L M NT
nazivamo :
L je moment valjanja,
M moment propinjanja i
N moment skretanja;
• u aerodinamičkom koordinatnom sustavu komponente sile[ ]X Y ZA A A T nazivamo :
− X A je otpor, označava se sa D, AY je bočna sila i
− ZA je uzgon, označava se sa L.
Komponente momenta [ ]L M NA A A T nazivamo:
AL moment valjanja, AM moment propinjanja i
AN moment skretanja.
Ovisno o oznaci kažemo da je to moment propinjanja ili skretanja u aerodinamičkom
koordinatnom sustavu ( M A ili N A ), odnosno u koordinatnom sustavu letjelice (M ili N), s
tim što aerodinamičke komponente duž osi letjelice nemaju nikakvih oznaka iznad slova ni
Projektna aerodinamika 2-2
indeksa, a aerodinamičke komponente u aerodinamičkom koordinatnom sustavu imaju
oznaku "A". Isto tako treba napomenuti da se u aerodinamičkom koordinatnom sustavu
obično koriste samo komponente sila, a ne i komponente momenata. Pomoću matrica
transformacija lako se izračunane komponente u jednom koordinatnom sustavu prenose u
drugi koordinatni sustav.
U praksi se umjesto komponenata aerodinamičke sile i aerodinamičkog momenta
koriste njihovi aerodinamički koeficijenti. To su bezdimenzijske veličine koje dobivamo
dijeljenjem komponenata aerodinamičke sile s referentnom silom, a komponente
aerodinamičkog momenta s referentnim momentom. Zato moramo definirati referentnu silu i
referentni moment. Referenta sila je produkt referentnog tlaka i referentne površine, a
referentni moment je produkt te referentne sile i referentne duljine.
Referentni tlak je uvijek isti. To je dinamički tlak izračunan sa aerodinamičkom
brzinom, odnosno s brzinom opstrujavanja (rekli smo da su te dvije brzine po intenzitetu
jednake, samo su suprotnog smjera):
qV
∞ =ρ 2
2 2.1
Za zrakoplove referentna površina je površina krila s nepostojećim dijelom kroz tijelo
zrakoplova.
Tablica 2-1
Koeficijent
aksijalne sile
refX Sq
XC∞
=
Koeficijent
momenta
valjanja
CL
q S brefl =
∞
Koeficijent
bočne sile
refY Sq
YC∞
=
Koeficijent
momenta
propinjanja
Arefm cSq
MC∞
=
Normalne
sile
refZ Sq
ZC
∞
=
Koeficijent
momenta
skretanja
bSqNC
refn
∞
=
Premda standardi propisuju da zrakoplov ima jednu referentnu duljinu, u praksi je
referentna duljina propinjanja različita od referentne duljine valjanja i skretanja, tj. za
Projektna aerodinamika 2-3
zrakoplove se u praksi primjenjuju dvije referentne duljine. Za propinjanje referentna je
duljina aerodinamička tetiva krila Ac , a za valjanje i skretanje raspon zrakoplova b .
Kao što komponente sila i momenata određujemo u nekom koordinatnom sustavu, tako
će isto i aerodinamički koeficijenti biti definirani za određeni koordinatni sustav. Ako su
komponente bile duž osi koordinatnog sustava letjelice, onda ne treba nikakvo posebno
označavanje koordinatnog sustava. Jednostavno označenim koeficijentima ,,, ZYX CCC
nm CCC ,,l podrazumijeva se da su u koordinatnom sustavu letjelice. U tablici su prikazani
aerodinamički koeficijenti zrakoplova za koordinatni sustav letjelice.
Duž osi aerodinamičkog koordinatnog sustava upotrebljavamo samo aerodinamičke
koeficijente sila C CXA YA, CZAi . Ti aerodinamički koeficijenti su algebarski brojevi koji
imaju predznak komponenata X YA A, Z Ai . Budući da su uvijek komponente X A i Z A
negativne, uvijek su negativni i njihovi aerodinamički koeficijenti
C C C C C CXA D YA K ZA L= − = = −, , , 2.2
gdje smo sa C C CD L K, i označili uvijek pozitivne koeficijente, a to su aerodinamički
koeficijenti: sile otpora D, sile uzgona L i bočne sile K. Veličine D i L su uvijek pozitivne, jer
su njihov pravac i smjer poznati. Aerodinamički koeficijenti momenata duž osi
aerodinamičkog koordinatnog sustava obično nisu potrebni.
Svi aerodinamički koeficijenti u općem slučaju su funkcije:
• aerodinamičkih parametara:
Machova broja aVMa = i Reynoldsova broja
νlVRe = 2.3
gdje je l duljina opstrujavanja, a ν je kinematički koeficijent viskoznosti zraka,
• kutova položaja aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu
βα i ; 2.4
• bezdimenzijskih kutnih brzina aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu
AcV∞
∗ =αα&
& bV∞
∗ =ββ&
& ; 2.5
• bezdimenzijskih kutnih brzina letjelice
bV
pp∞
∗ = AcV
qq∞
∗ = bV
rr∞
∗ = ; 2.6
• otklona upravljačkih površina
lδ otklon krilaca (aileron)
Projektna aerodinamika 2-4
mδ otklon kormila visine oko osi y letjelice (elevator)
nδ otklon kormila pravca oko osi z letjelice (ruder)
• otklona
δ f otklon zakrilca (flaps)
otklon pretkrilca
zračnih kočnica (spoiler) itd.
Slika 2-1. Pozitivni smjerovi rotacija, momenata i otklona upravljačkih površina
Određivanje aerodinamičkih koeficijenata ovisno o parametarima i konfiguraciji letjelice
zadaća je aerodinamike. Ona se rješava na različite načine. Teoretski pristup na temelju
mehanike fluida vodi nas na numeričko rješavanje sustava parcijalnih diferencijalnih
jednadžbi sa zadanim rubnim uvjetima na letjelici i u beskonačnosti, koji rješavamo
numeričkim metodama na računalima. Eksperimentalno aerodinamički koeficijenti se
određuju u zračnom tunelu, ili na temelju izmjerenoga gibanja letjelice u letu.
Pokazat ćemo kako se mogu metodama “projektne aerodinamike” procijeniti
aerodinamički koeficijenti.
Projektna aerodinamika 2-5
2.1.2 Aerodinamički model zrakoplova
Danas su najčešće dvije bitno različite konfiguracije zrakoplova. To je klasična shema
zrakoplova, prikazana na slici 2-1, i shema canard. U prvoj krilo je isprijed, a horizontalni rep
straga, a u drugoj krilo je straga a isprijed su canari. Iza tih vidljivih razlika postoje i bitno
različite uloge nosećih površina. Kod obje sheme krilo ima ulogu stvaranja velike normalne
sile. Međutim, dok kod normalne sheme horizontalni rep ima ulogu stabilizatora, kod sheme
canard krilo ima ulogu kreatora normalne sile i stabilizatora.
Za obje sheme a priori su svi aerodinamički koeficijenti funkcije svih parametra:
( )( )( )nmZZ
nmYY
nmXX
,,,r,q,p,,,,CC
,,,r,q,p,,,,CC
,,,r,q,p,,,,CC
δδδβαβα
δδδβαβα
δδδβαβα
l
l
l
&&
&&
&&
∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
=
=
=
2.7
( )( )( )nmnn
nmmm
nm
,,,r,q,p,,,,CC
,,,r,q,p,,,,CC
,,,r,q,p,,,,CC
δδδβαβα
δδδβαβα
δδδβαβα
l
l
lll
&&
&&
&&
∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
=
=
=
2.8
Prvo trebamo iskoristiti činjenicu da je koordinatna ravnina 0xz ujedno ravnina simetrije
konfiguracije. To znači da XC mora biti parno po kutovima β δi n :
( )22nmXX ,,,r,q,p,,,,CC δδδβαβα l
&& ∗∗∗∗∗=
Osim te egzaktne činjenice, koristimo i druga svojstva zrakoplova.
Gibanje zrakoplova u vertikalnoj ravnini bez valjanja nazivamo uzdužno gibanje, a
valjanje i skretanje nazivamo bočno gibanje, jer se ta dva gibanja za zrakoplovne
konfiguracije pojavljuju zajedno. To je logična posljedica načina upravljanja zrakoplova, koji
ima polarni način upravljanja. O tome će biti više riječi u vezi s performansama zrakoplova.
Za vrijeme leta zrakoplova u vertikalnoj ravnini njegova ravnina simetrije ostaje u toj
vertikalnoj ravnini. U tom letu upravlja se otklonom δm , a mijenjaju se varijable α i q , kao i
dvije koordinate središta mase u vertikalnoj ravnini. Te veličine mq, δα i nazivamo varijable
uzdužnog leta, dok su varijable bočnog gibanja lδδβ i,,, nrp . Bez obzira na to kakav je taj
let, tj. kolike su te varijable, ne pojavljuje se ni bočna aerodinamička sila Y, ni moment
skretanja N, ni moment valjanja L . Na temelju te činjenice opravdano usvajamo da
komponente Y, N i L nisu funkcije varijabli uzdužnoga gibanjaα α, & , q , i δm :
( )( )( )nnn
n
nYY
,,r,p,,CC
,,r,p,,CC
,,r,p,,CC
δδββ
δδββ
δδββ
l
lll
l
&
&
&
∗∗∗
∗∗∗
∗∗∗
=
=
=
Projektna aerodinamika 2-6
U poglavlju o dinamičkoj stabilnosti zrakoplova bit će dokazano da mali poremećaji
varijabla bočnog gibanja lδδβ i,,, nrp ne utječu na uzdužno gibanje. To omogućuje
pretpostavku po kojoj u komponentama uzdužnog gibanja Z i M možemo zanemariti utjecaj
varijabli poprečnog gibanja nrp δδβ i,,, l :
( )( )mmm
mZZ
qCC
qCC
δαα
δαα
,,,
,,,∗∗
∗∗
=
=
&
&
Na veličinu koeficijenta aksijalne sile, možemo zanemariti utjecaj svih kutnih brzina (kutne
brzine p, q i r), derivacije napadnog kuta α& i kuta klizanja β& , kao i otklone upravljačkih
površina, ali ne i utjecaj napadnog kuta α niti kuta klizanja β .
( )2βα ,CC XX =
Konačno u koeficijentu valjanja zanemarujemo utjecaj kutne brzine skretanja ∗β& , pa su pod
ovim pretpostavkama konačno aerodinamički koeficijenti
( )( )( )( )( )( )nnn
mmm
n
mZZ
nYY
XX
,,r,p,,CC
,q,,CC
,,r,p,CC
,q,,CC
,,r,p,,CC
,CC
δδββ
δαα
δδβ
δαα
δδββ
βα
l
lll
l
&
&
&
&
∗∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗∗
=
=
=
=
=
= 2
2.9
Ako napadni kut α i kut klizanja β ne prelaze granice linearnosti primjenjujemo linearni oblik
ovih funkcija:
mZZqZZZZ
nYYrYpYY
XXXX
m
n
CqCCCCC
CrCpCCC
CCCC
δαα
δβ
βα
δαα
δβ
βα
++++=
+++=
++=
∗∗
∗∗
&&0
20 2
2.10
C C C p C r C C
C C C C C q C
C C C r C p C C
p r n
m m m m mq m m
n n nr np n n n
n
m
n
l l l l l l l
l
l
l
= + + + +
= + + + +
= + + + +
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
β δ δ
α α δ
β δ δ
β δ δ
α α δ
β δ δ0 & & 2.11
Parcijalne derivacije aerodinamičkih koeficijenata po parametrima nazivamo derivativi ili
gradijenti. U ovom aerodinamičkom modelu ima 24 parcijalnih derivacija aerodinamičkih
koeficijenata i sve su a priori funkcije Machova broja. Otkloni upravljačkih površina prelaze
granice proporcionalnosti pa su zato derivativi uz otklone, funkcije i tih otklona upravljačkih
površina. Osim ta 24 derivativa, trebamo i tri nulte vrijednosti: za aksijalnu silu CX0 , za
Projektna aerodinamika 2-7
koeficijent normalne sile CZ0 i za moment propinjanja Cm0 . Te nulte vrijednosti, kao i
parcijalne derivacije čine zajedno 27 funkcija Machova broja.
2.1.3 Veze između aerodinamičkih koeficijenata
Pri određivanju performansi zrakoplova upotrebljavamo aerodinamičke koeficijente u
aerodinamičkom koordinatnom sustavu ( C CD Li ). Pomoću matrice transformacije L AF
(u aerodinamički koordinatni sustav iz koordinatnog sustava letjelice) možemo povezati
komponente aerodinamičke sile [ ]X Y ZA A A Tu aerodinamičkom koordinatnom sustavu s
komponentama [ ]X Y ZT
u koordinatnom sustavu letjelice. U prethodnom poglavlju
vidjeli smo da je matrica transformacije u aerodinamički koordinatni sustav iz koordinatnog
sustava letjelice
( ) ( )L L LAF Z Y= − = − −−
β αα β β α βα β β α βα α
cos cos sin sin coscos sin cos sin sin
sin cos0. 2.12
Dijeljenjem s referentnom silom dobivamo veze između koeficijenata
−
−
=
CCC
CCC
D
K
L
AF
X
Y
Z
L . 2.13
Tako dobivamo jednadžbe veza :
.cossin
sinsincossincoscossinsincoscos
ααβαββαβαββα
ZXL
ZYXK
ZYXD
CCCCCCCCCCC
−=−+−=−−−=
2.14
Derivacijom treće jednadžbe po napadnom kutu dobivamo:
ααα
αααα
sincoscossin ZZ
XXL C
CC
CC+
∂∂
−+∂∂
=∂∂
.
Za 0=α dobivamo vezu
0
00
∂∂
−=
∂∂
ααZ
XL C
CC
. 2.15
Kako je 00 DX CC −= , a NZ CC −= , ovu jednadžbu možemo napisati u obliku
( ) ( ) 000 DNL CCC −= αα . 2.16
Projektna aerodinamika 2-8
Iz toga vidimo da je uvijek ( )0αLC manje od ( )0αNC za vrijednost 0DC . U slučaju zrakoplova
treba razlikovati ( )0αLC od ( )0αNC , jer 0DC nije zanemarivo u odnosu na ( )0αLC ili ( )0αNC .
No, ta razlika nije velika.
Za male vrijednosti kutova α i β jednadžbe veza imaju oblik
.ZXL
YXK
ZYXD
CCCCCC
CCCC
−=+−=
−−−=
αβ
αβ 2.17
Na isti način možemo dobiti inverzne ovisnosti:
αβαβαββ
αβαβα
cossinsincossincossin
sinsincoscoscos
LKDZ
KDY
LKDX
CCCCCCC
CCCC
−−−=+−=
+−−=
koje za male kutove imaju oblik
.LDZ
KDY
LKDX
CCCCCC
CCCC
−−=+−=
+−−=
αβ
αβ 2.18
2.2 Noseća površina
2.2.1 Geometrijske karakteristike
Koordinatni sustav noseće površine ima ishodište u vrhu korijenske tetive, os x duž korijenske
tetive, os y je okomito na ravninu simetrije noseće površine, a os z čini desni trijedar (u
ravnini simetrije krila).
Aerodinamička apscisa je srednja udaljenost napadnog ruba krila od os y
( ) ( )∫ ⋅⋅=2
00
2 b
A dyycyxS
x , 2.19
gdje je ( )yx0 jednadžba napadnog ruba krila. Za trapeznu noseću površinu po toj jednadžbi
nalazi se aerodinamička apscisa na udaljenosti od vrha korijenske tetive :
61
21 LEA
tanbx
Λλλ⋅
++
= . 2.20
Aerodinamička tetiva noseće površine dana je jednadžbom
( )[ ]∫=2
22 b
oA dyyc
Sc . 2.21
Projektna aerodinamika 2-9
Za trapeznu noseću površinu po toj jednadžbi aerodinamička tetiva se izračuanava prema
obrascu :
+
+=λ
λ1
132 2
rA cc . 2.22
Udaljenosti svih točaka u pravcu osi x letjelice označavat ćemo sa l ako ih mjerimo
od vrha zrakoplova. Međutim, u zrakoplovstvu se često udaljenosti mjere od aerodinamičke
apscise krila, gdje se nalazi početak aerodinamičke tetive. Tu točku nazivamo aerodinamičko
ishodište. Ako je početak krila udaljen W0l od vrha zrakoplova, onda je Al udaljenost
aerodinamičkog ishodišta od vrha AW0A x+= ll . Kada udaljenosti točaka mjerimo od
aerodinamičkog ishodišta, označavamo ih sa h. Tako na primjer središte mase je udaljeno od
vrha letjelice ml , a od aerodinamičkog ishodišta mh . Treba li prelaziti s jedne na drugu
udaljenost, onda koristimo vezu
hA += ll . 2.23
b/2
c t =λc r
x0(y) c(y)
xA cA
0W c r
Slika 2-2. Aerodinamička tetiva i aerodinamičko ishodište
Bez obzira na to odakle mjerimo udaljenosti uvijek ih izražavamo u multiplima
aerodinamičke tetive krila Ac , koja je referentna duljina u svim problemima propinjanja.
Uvest ćemo oznake
Acl
l = i Ac
hh = . 2.24
Projektna aerodinamika 2-10
2.2.2 Veza između uzgona i normalne sile
Podsjetimo se da je uzgon letjelice komponenta aerodinamičke sile koja je u ravnini simetrije
okomita na projekciju aerodinamičke brzine na ravninu simetrije letjelice, a da je normalna
sila okomita na os x tromosti u istoj ravnini simetrije letjelice. Vezu između gradijenata
uzgona i normalne sile vidjeli smo na kraju prethodnog odjeljka.
( ) ( ) 000 DNL CCC −= αα . 2.25
Ova jednadžba vrijedi za zrakoplov u cjelini, ali i za krilo ili horizontalni rep. Krilo,
horizontalni rep, vertikalni rep i canare zajednički nazivamo noseće površine. Napadni kut
noseće površine α mjerimo od aerodinamičke brzine do korijenske tetive krila. Kada je u
pitanju noseća površina, treba uzeti u obzir još tri činjenice:
• Prvo, za noseću površinu 0DC je vrlo malo u odnosu na ( )0αLC ili ( )0αNC (manje od
1%), pa u granicama točnosti, s kojom radimo, možemo 0DC u gornjoj jednadžbi
zanemariti te je
( ) ( )00 αα NL CC = . 2.26
• Drugo, tipična ovisnost koeficijenta uzgona krila o napadnom kutu prikazana je na slici
2-3.
Slika 2-3. Ovisnost sile uzgona krila o napadnom kutu
Na većem dijelu, gdje napadni kut nije mali (npr. do 020≈ ), ona se može predstaviti
linearnom zavisnošću
Projektna aerodinamika 2-11
( ) ( )OLLL CC ααα α −= , 2.27
u kojoj je αLC konstantno u odnosu na napadni kut (ali je ovisno o Machovu broju). To
znači da je na linearnom dijelu ( )0αα LL CC = .
Zato je opravdano ne praviti razliku između αLC i αNC noseće površine.
• Treće, iz jednadžbe
αα cossin ZXL CCC −=
za 0=α slijedi da je
00 NL CC = . 2.28
Na temelju ovih činjenica slijedi zaključak da na linearnom području, imaju sile uzgona i
normalna sila isti gradijent i istu vrijednost pri nultom napadnom kutu. Drugim riječima, na
linearnom području sila uzgona je brojno jednaka normalnoj sili i obje imaju istu ovisnost o
napadnom kutu (slika 2-4).
( ) ( ) ( ) ( )00 αααααα αα −=≡−= LLNN CCCC , 2.29
ali ne i isti pravac. U ovim jednadžbama je 00 <α , što znači da je uzgon (ili normalna sila)
jednak nuli kada je napadni kut 0<= Oαα , tj. kada je os x krila ispod brzine (točnije ispod
aerodinamičke projekcije brzine na ravninu simetrije krila). Taj negativni napadni kut Oα pri
kome je uzgon (normalna sila) jednak nuli nazivamo “kut nultog uzgona”. Ako je u letu
napadni kut krila jednak nuli, tj. aerodinamička brzina je u pravcu osi x krila, uzgon, pa i
normalna sila, nisu jednaki nuli, već je to neka određena pozitivna vrijednost koeficijenta
uzgona (ili normalne sile) ( ) 00 αα αα LOL CC =−⋅ . Ako noseća površina nije uvijena (tj. ako
su tetive profila u svim presjecima paralelne) onda je kut nultog uzgona samog krila zapravo
jednak kutu nultog uzgona profila koji je značajka profila.
Osim koeficijenta uzgona noseće površine LC , koristimo i koeficijent uzgona profila
koji označavamo sa cl , što ne treba dovoditi u vezu s koeficijentom momenta valjanja koga
označavamo s velikim slovom Cl , ali s istim indeksom.
2.2.3 Gradijent normalne sile
Dobru procjenu gradijenta koeficijenta uzgona u subsonici sve do kritičnog Machovog broja,
možemo dobiti pomoću jednadžbe koja daje količnik gradijenta uzgona krila (ili gradijent
normalne sile) prema vitkosti krila:
Projektna aerodinamika 2-12
W
N
tW
L
AC
Matg
cAA
C
=
−+
++
=
α
α
α
Λπ
π
2
22
11242
2
l
A je vitkost noseće površine, tΛ je strijela geometrijskog mjesta najveće debljine, a αlc
gradijent uzgona profila. Ta jednadžba je dobivena na temelju teorije vrtloga, uzimajući u
obzir utjecaj stlačivosti i korekcije prema eksperimentalnim mjerenjima.
Linearizirana teorija noseće površine pokazuje da je u transsonici i supersonici,
količnik gradijenta uzgona (ili gradijenta normalne sile) i vitkosti, funkcija triju parametara :
( )β=α AAAfA
CCm
N ,, , 2.30
Gdje su
3
tan
tAA
AA
C
mm
=
= Λ
>−<−−=
1111
2
2
MaMaMaMaβ 2.31
U tim parametrima je t t c= srednja relativna debljina noseće površine, Λ m je kut strijele
geometrijskog mjesta srednjih točaka tetiva. Na slikama od 2-4 do 2-7, prikazana su četiri
dijagrama za vrijednosti parametra 3i210 ,,Am = prema [15]. Na tim dijagramima je Λm
označeno sa Lm, a β sa BETA.
Slika 2-4. Krivulje ( )βα A,AfA
CC
N = za slučaj 0=mA
Projektna aerodinamika 2-13
U literaturi [20] preporučuje se povećati vitkost krila kako bi se uzeli u obzir dodaci
na kraju krila koji mijenjaju raspored vrtloga na krilu. Za kraj krila u obliku “endplate”
preporučuje se
A Ahbeffective = +
1 19. ; 2.32
h je visina “endplate”, a za kraj krila u obliku “winglet”
A Aeffective = 12. . 2.33
Slika 2-5. Krivulje ( )βα A,AfA
CC
N = za slučaj 1=mA
Slika 2-6. Krivulje ( )βα A,AfA
CC
N = za slučaj 2=mA
Projektna aerodinamika 2-14
Slika 2-7. Krivulje ( )βα A,AfA
CC
N = za slučaj 3=mA
2.2.4 Položaj hvatišta normalne sile
Položaj napadne točke normalne sile krila određen je također trima parametrima:
( )βλ A,,Afh mc = . 2.34
Za vrijednosti parametra 3i210 ,,Am = napravljena su četiri dijagrama na slikama od 2-8 do
2-11 prema [15].
Slika 2-8. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 0=mA
Projektna aerodinamika 2-15
Slika 2-9. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 1=mA
Slika 2-10. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 2=mA
Svaki dijagram je izrađen za jednu vrijednost parametra mA , a na jednom dijagramu
predočene su krivulje za šest raznih vrijednosti parametra suženja krila λ . Na horizontalnoj
Projektna aerodinamika 2-16
osi je parametar βA , a na vertikalnoj osi je ch udaljenost hvatišta normalne sile od
aerodinamičkog ishodišta krila podijeljena s aerodinamičkom tetivom.
Slika 2-11. Krivulje ( )βλ A,fhc = za slučaj 3=mA
2.2.5 Hvatište normalne sile polovice noseće površine
U mnogim procjenama aerodinamičkih koeficijenata potrebno je hvatište normalne sile jedne
polovice noseće površine cy . Na slici 2-12 prema [13] predočeni su dijagrami za procjenu
napadne točke normalne sile na polukrilu:
( )βλ AAfy mc ,,= . 2.35
Prikazana su dva dijagrama na slici 2-12. Na prvom su dijagramu dvije familije krivulja:
gornja familija za romboidno krilo ( 1=λ ), i donja za trokutasto ( 0=λ ) . Svaka familija ima
po tri krivulje za vrijednosti parametara 4i2,0=mA . Na apscisi su desno vrijednosti za βA
u supersonici (kada je 12 −= Maβ ), a lijevo za subsoniku (tada 21 Ma−=β ). Na
ordinati je bezdimenzijska udaljenost hvatišta 2b
yy c
c = .
Projektna aerodinamika 2-17
cy
cy
Slika 2-12. Položaj napadne točke normalne sile polu krila:
gore za delta krilo 0=λ i romboidno 1=λ , a dolje za suženje krila 5.0=λ
2.2.6 Maksimalni uzgon
Pri polijetanju (“take off”), i slijetanju (“landing”) zrakoplova veliku ulogu ima maksimalna
vrijednost sile uzgona krila. Da ne bi smo povećavali nepotrebno površinu krila i kvadrat
brzine, treba iskoristiti maksimalni koeficijent uzgona krila. Zato treba znati taj maksimalni
koeficijent uzgona maxLC i vrijednost maxα pri kojoj je maksimalni uzgon. Poslije te
Projektna aerodinamika 2-18
vrijednosti αmax nastaje naglo opadanje koeficijenta uzgona (“stall”). Treba napomenuti da se
ta vrijednost maksimalnog koeficijenta uzgona teško određuje ne samo teoretski već i
eksperimentalno u aerodinamičkom tunelu.
Slika 2-13. Maksimalni uzgon krila maxLC i napadni kut pri maksimalnom uzgonu maxα
Pri velikim vrijednostima napadnog kuta, na prednjem rubu krila pojavljuju se vrtlozi koji su
posebno izraženi kod strelastih krila male vitkosti. Pod utjecajem tih vrtloga odvaja se zračna
struja na početku gornjake profila. To odvajanje struje od krila smanjuje uzgon, te on nije više
linearno proporcionalan napadnom kutu. Odvajanje se zbiva na početnom dijelu gornjake, pa
stoga ova pojava ovisi o nagibu tangente na početnom dijelu gornjake profila. Nagib tangente
na tom mjestu u direktno je vezi s parametrom y∆ koji predstavlja prirast ordinate gornjake
profila od apscise c. ⋅00150 do apscise c. ⋅060 , a koji se također mjeri u postocima tetive:
cy
y∆∆ 100= 2.36
Taj parametar uobičajeno ima vrijednosti 26 za profile s četiri i pet znamenki, za seriju
profila 64 ima vrijednost 3.21 , a za seriju 65 ima vrijednost 3.19 .
Koeficijent maksimalnog uzgona krila maxLC i napadnog kuta maxα ovise osim o
vrijednosti y∆ i o obliku krila (vitkost krila A, suženje krila λ , strijele napadnog ruba krila
LEΛ ) i o relativnoj debljini krila te konačno i o Machovu broju. U prilogu je empirijski
postupak za procjenu maksimalnog koeficijenta uzgona krila maxLC i napadnog kuta maxα
Projektna aerodinamika 2-19
2.2.7 Gradijent normalne sile po otklonu upravljačke površine
Upravljačke površine mogu biti dio noseće površine ili cijela noseća površina koja mijenja
kut otklona u odnosu na letjelicu. U subsonici je obično upravljačka površina dio noseće
površine ili stabilizatora, jer se poremećaj njenog otklona prenosi uz struju na cijelu površinu,
a moment oko osi otklona je proporcionalan samo otklonjenoj površini. To znači da nije
potrebno mnogo snage za pokretanje tih upravljačkih površine, a učinkovitost je velika. U
supersonici da bi se postigla dovoljna učinkovitost mora se otkloniti cijela noseća površina ili
stabilizator, jer se poremećaji otklona ne prenose uz struju. U prvom slučaju, kada je
upravljačka površina dio noseće površine, onda se u subsonici gradijent δNC po otklonu
upravljačke površine (kormilo visine, kormilo pravca ili kormila valjanja subsoničnih
letjelica) može procijeniti na temelju gradijenta profila δlc prema jednadžbi
fHLL
refN Kcosc
cC
SS
.C ⋅⋅⋅
⋅= Λδ
α
αδδ l
l
90 , 2.37
gdje je αlc gradijent uzgona profila , a αLC gradijent uzgona krila.
ccδ
δlc
Slika 2-14. Krivulje
=
ct
ccfc ,δ
δl
Gradijent profila δlc ovisi o odnosu tetive otklonjene površine δc i ukupne tetive c noseće
površine, kao i o relativnoj debljini profila ct noseće površine. Ta ovisnost prikazana je na
Projektna aerodinamika 2-20
slici 2-14 prema [27]. Sa δS označili smo dio noseće površine na kojoj se nalazi upravljačka
površina kao na slici 2-15.
Slika 2-15. Površina δS
Koeficijent fK je korekcija zbog nelinearnost te ovisi o otklonu δ , ali i o odnosu tetiva
ccδ . Ta ovisnost prikazana je na slici 2-16 prema [27].
Slika 2-16. Krivulje
=c
cfK f
δδ ,
Položaj hvatišta upravljačke sile zbog otklona upravljačke površine δx , može se u subsonici
dobiti linearnom interpolacijom između dva ekstremna slučaja. Prvo, ako je cijela noseća
površina upravljačka površina onda je napadna točka na četvrtini tetive. Drugo, ako je
upravljački dio iznimno mali onda je napadna točka na polovici neotklonjenoga dijela tetive
Projektna aerodinamika 2-21
c′ . Ovaj odnos može bitno promijeniti veličina procjepa između pokretnog dijela i
nepokretnog dijela, kao što se to vidi sa slike 2-17.
cxδ
ccδ
c' δc
c
Slika 2-17. Položaj hvatišta normalne sile upravljačke površine
2.3 Normalna sila kombinacije tijelo – noseća površina Pod kombinacijom tijelo – noseća površina razumijemo dvije konzole polukrila i onaj dio
tijela za koji su vezane te konzole (slika 2-18). Kada govorimo o normalnoj sili na samom
krilu wN , mislimo na normalnu silu koja djeluje na krilo koje je dobiveno spajanjem dvaju
polukrila skinuta sa zrakoplova.
Slika 2-18. Kombinacija tijelo – noseća površina
Ta dva polukrila spojena čine samo krilo. Samo krilo ima raspon wb koji je manji od raspona
kombinacije b za širinu trupa na mjestu kombinacije d. Za takvo krilo sastavljeno od dva
Projektna aerodinamika 2-22
polukrila određujemo gradijent normalne sile ( )wNC α i za to krilo određujemo površinu krila
wS .
Slika 2-19. Kombinacija tijelo – noseća površina
a) planarna kombinacija b) otklonjena kombinacija
Razlikujemo dvije vrste kombinacije. U prvoj je os tijela u ravnini noseće površine, pa
tijelo i noseća površina imaju isti napadni kut αα =w . Takva kombinacija naziva se
planarna. U drugom slučaju, noseća površina ima postavni kut i u odnosu na tijelo. Tu
kombinaciju nazivamo otklonjena, a taj kut i nazivamo postavni kut noseće površine.
Prema teoriji konformnog preslikavanja [18], planarna kombinacija ima BWK puta
veću normalnu silu od normalne sile samog krila pod istim napadnim kutom α . Pri
preslikavanju pretpostavlja se da je tijelo rotacijskog oblika promjera d , te da je os tijela u
ravnini krila. U tom slučaju dobivamo da je koeficijent interferencije
( )dddK BW −−+= 131 λ , 2.38
gdje je bdd = , b je raspon kombinacije, a d promjer kruga presjeka trupa.
U slučaju otklonjene kombinacije, tj. kada tetiva krila ima postavni kut i u odnosu na
os tijela, onda je normalna sila kombinacije (kada je napadni kut jednak nuli, tj. brzina u
pravcu osi tijela) BWk puta veća od normalne sile samog krila pod napadnim kutom i:
( )( )
( )[ ]dddd
dk BW −−++
+= 131
1
41.012
2
λ 2.39
U realnosti neki uvjeti koji su pretpostavljeni u teoriji konformnog preslikavanja nisu
zadovoljeni. Dva odstupanja su najvažnija: prvo, trup zrakoplova nije rotacijskog oblika pa
koristimo ekvivalentni promjer d , koji određujemo kao promjer površine kruga čija je
površina jednaka površini poprečnog presjeka tijela na mjestu kombinacije krilo- tijelo.
Drugo, os tromosti x od koje mjerimo napadni kut nije pravac nultog uzgona tijela. Ova
pogreška nije velika jer tijelo ima malu normalnu silu.
Zbog tih nedostataka, neki autori kao npr. [20], uzimaju vrijednost BWK za
pravokutno krilo ( 1=λ ) uvećanu za 7%. To daje koeficijent interferencije tijelo-krilo
Projektna aerodinamika 2-23
2
107.1
+=
bdK BW 2.40
i usvajaju BWBW Kk = . Drugi [6, 7, 16] zanemaruju oba koeficijenta, kao da su jednaki
jedinici 1== BWBW Kk , ali zamjenjuju kombinaciju s krilom koje čine dva polu-krila i dio
krila pod tijelom.
U stvarnosti imamo otklonjenu kombinaciju pod napadnim kutom. U tom slučaju
normalna sila kombinacije je zbroj normalne sile planarne kombinacije pod napadnim kutom i
otklonjene kombinacije bez napadnog kuta. Osim toga, treba imati na umu da nesimetrični
profili imaju još i dodatni napadni kut L0α (koji je negativan) zbog zakrivljenosti srednje linije
profila. Taj kut ima istu ulogu kao postavni kut:
( )LWBWWBWBW iNkNKN 0αα αα −+= 2.41
ili
( )[ ]LBWBWWBW ikKNN 0ααα −+= 2.42
Iz toga zaključujemo da kombinacija ima normalnu silu (ili uzgon) koja je jednaka normalnoj
sili samog krila ali pod ekvivalentnim napadnim kutom:
( )LBWBWeq ikK 0ααα −+= . 2.43
2.4 Usporenje i savijanje struje Iza prednje noseće površine zračna struja je poremećena. Rep se nalazi u zračnoj struji koja je
poremećena opstrujavanjem krila, ili bolje reći kombinacijom krilo – trup. Taj poremećaj se
osjeća u gubitku dinamičkog tlaka i pravcu brzine opstrujavanja. Zato dinamički tlak iza
kombinacije krilo – trup umanjujemo množenjem s jednim koeficijentom Vη koji uzima u
obzir te gubitke. Procjenjuje se da u subsonici treba uzeti koeficijent gubitaka oko 980.V =η ,
a u supersonici gubici rastu i dosežu za 52.Ma = vrijednost 900.V =η , no za veće brzine
ostaju približno isti.
Iz teorijske aerodinamike znamo da s izlaznog ruba krila silaze vrtložne niti koje se
vrlo brzo udružuju u dva slobodna vrtloga, jedan s jednoga i drugi s drugoga polukrila. Ti
vrtlozi induciraju brzine koje s brzinom opstrujavanja mijenjaju pravac zračne struje. Te
promjene su različite u svakoj točki prostora, a nas zanima prosječna promjena pravca zračne
struje na horizontalnom repu. Iz razloga simetrije, kada nema kuta skretanja, prosječna
promjena pravca bit će smanjenje napadnog kuta α za kut ε . Zato je napadni kut iza
Projektna aerodinamika 2-24
kombinacije krilo -trup, gdje se nalazi horizontalni rep, manji od napadnog kuta zrakoplova
za veličinu ε . Tu veličinu nazivamo savijanje struje od kombinacije krilo - trup. Matematički
modeli za određivanje savijanja struje pokazuju da je to savijanje struje prije svega
proporcionalno napadnom kutu krila:
wααεε
∂∂
= 2.44
Gradijent savijanja struje αε
∂∂ ovisi o:
• obliku krila: razmaha b, vitkosti A i suženju λ te o
• položaju repa u odnosu na krilo: l i h kao na slici 2-20.
l
h
Slika 2-20. Položaj repa u odnosu na krilo
Zato ovisnost gradijenta savijanja struje o parametrima može se predstaviti jednadžbom
prema [7, 19, 28]:
( ) 19.1
4cos44.4 cHA KKK Λαε
λ⋅=∂∂ , 2.45
gdje su:
3
71
2
1
73101
11
b
bh
K
K
AAK
H
.A
l
−=
−=
+−=
λλ
U ovim su jednadžbama λ,b i A su karakteristike krila s podtrupnim dijelom, a h i l su
veličine kao na slici 2-20.
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-1
3 OTPOR, NORMALNA SILA I MOMENT PROPINJANJA
3.1 Otpor
Otpor zrakoplova ima dva dijela. Prvi dio je otpor zrakoplova kada ne postoji uzgon
zrakoplova. Označavamo ga sa DOC i naziva se nulti otpor . Drugi dio je inducirani otpor
koji je posljedica postojanja uzgona. Označavamo ga sa DiC .
Nulti otpor letjelice zbroj je otpora dijelova letjelice: krila, tijela, horizontalnog repa,
vertikalnog repa. Osim ovih komponenti, za vrijeme polijetanja i slijetanja postoje još i
dodani otpori od podvoza i otklona zakrilaca (flapsova).
Nulti otpor svakog dijela letjelice može se podijeliti na tri dijela prema uzroku zbog
kojega nastaje, pa je koeficijent otpora svakog dijela zbroj triju koeficijenata:
bDwDfDD CCCC ++= ; 3.1
fDC (friction drag) je aerodinamički koeficijent onog dijela otpora koji je nastao zbog
trenja zraka po površini svih dijelova letjelice,
wDC (wave drag) je aerodinamički koeficijent rezultante u pravcu aerodinamičke brzine od
elementarnih sila tlaka okomitih na sve dijelove površine,
bDC (base drag) je aerodinamički koeficijent otpora dna zbog podtlaka koji nastaje iza
dijelova letjelice.
3.1.1 Otpor trenja
Kao što je poznato iz aerodinamike, koeficijent otpora trenja ravne površine fC definira se
kao količnik između sile trenja i produkta referentnog tlaka i “kvašene površine” wetS , tj.
površine na kojoj se ostvaruje trenje
wet
ff Sq
DC
∞
= . 3.2
Procjenu koeficijenta trenja na prostornoj površini fC (trodimenzionalno strujanje), izvodimo
posredstvom koeficijenta trenja fc u ravninskom (dvodimenzionalnom) strujanju. Kako nam
treba koeficijent trenja za referentnu površinu imat ćemo vezu
fDreffwetf CSqcSqD ∞∞ == , 3.3
odakle je
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-2
fref
wetDf c
SS
C = , 3.4
Ako usvojimo zakon trećeg stupnja za profil brzine u graničnom sloju za laminarno
dvodimenzionalno opstrujavanje ravne površine, dobivamo koeficijent trenja [1], bez obzira
je li opstrujavanje subsonično ili supersonično
Re.c f31
=l 3.5
Re je Reynoldsov broj određen za duljinu opstrujavanja. Ako je opstrujavanje turbulentno
(subsonično ili supersonično), onda je prema Schlichtingovoj formuli
( ) 582
913.ft Ren
.cl
= . 3.6
Eksperimentalna ispitivanja pokazala su da je za 510<Re na ravnoj i glatkoj površini
strujanje laminarno. Međutim, ako je 610>Re , čak i na ravnoj i glatkoj površini strujanje je
turbulentno. Na ravnoj i glatkoj površini u intervalu 65 101053 <<⋅ Re.
strujanje će biti na početku laminarno, zatim će na jednom kratkom dijelu biti prijelazno, da bi
na drugom dijelu bilo turbulentno. Prijelaz iz laminarnog u tubulentni granični sloj nije ni
trenutan, ni stabilan, pa se zato u literaturi daju različite granice intervala u kome se odvija
prelazak iz laminarnog u turbulentni granični sloj. Da bismo odredili koeficijent trenja takvog
laminarno - turbulentnog opstrujavanja, uvodimo dvije pretpostavke:
• prelazak iz laminarnog u turbulentni granični sloj ostvaruje se trenutno na mjestu tl
• od tl turbulentni granični sloj je isti kao da je imao početak u ishodištu 0=l
Prema ovim hipotezama bit će
∫∫ +=l
l
l
l
t
t
xdxdc tf 00
0 ττ .
U ovim integralima su bezdimenzijska tangencijalna naprezanja na površini:
xRe.
q ⋅==
∞
646000
ττ l za laminarno opstrujavanje na temelju zakona trećeg stupnja profila
brzine,
50
00580
xRe.
q ⋅==
∞
ττ l za turbulentno opstrujavanje prema zakonu 71 profila brzine.
Integracijom dobivamo:
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-3
( )805
1072031 .ttf Re
.Re.c ll −+= . 3.7
U ovoj jednadžbi 50720 Re. predstavlja koeficijent turbulentnog trenja za usvojeni profil
brzine prema zakonu jedne sedmine. Ako se taj koeficijent zamijeni s točnijom
Schlichtingovom formulom, dobiva se bolja procjena za koeficijent trenja u laminarno -
turbulentnom graničnom sloju :
( )
( )80582 191331 .
t.tf Reln.
Re.c ll −+= . 3.8
Točki prijelaza laminarnog u turbulentno opstrujavanje odgovara tzv. prijelazni Reynoldsov
broj
∞
∞=νV
Re tt
l. 3.9
Slika 3-1
=
∞
∞
νhVMaft ,Re
Kako odrediti tl ? Neki nepravilni oblik opstrujavane površine može izazvati turbulenciju, to
više što se s duljinom opstrujavanja Reynoldsov broj približava vrijednosti granice prelaska
laminarnog u turbulentno opstrujavanje. Općenito uzevši, turbulentnost će nastati prije na
hrapavijoj površini. Hrapavost se mjeri prosječnom visinom h. Ispitivanja su pokazala da tRe
ovisi o Machovu broju i o parametru ∞
∞
νhV
. Ta ovisnost prema [15] prikazana je na slici 3-1.
Na temelju ovih jednadžbi možemo odrediti koeficijent trenja na ravnim dijelovima
zrakoplova pri malim brzinama leta kada je utjecaj stlačivosti zanemariv. Nije li 2Ma
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-4
zanemariv u odnosu na 1, znači da treba uzeti u obzir utjecaj stlačivosti, što činimo množeći
izračunat fc s koeficijentom
( ) 650214401
1.Ma
Ma.F
⋅+= . 3.10
Međutim, dijelovi zrakoplova nisu ravne površine, što mijenja raspored tlaka, a raspored tlaka
utječe bitno na koeficijent trenja. Zbog toga treba koeficijent trenja u dvodimenzionalnoj
struji pomnožiti s koeficijentom oblika FF ovisno o obliku opstrujavane površine. Isto tako
pri prelasku u trodimenzionalno strujanje trebamo koeficijent trenja iz dvodimenzionalnog
strujanja pomnožiti s koeficijentom SF :
fFSf cFFC = 3.11
• za noseće površine u subsonici prema [20]
++= 4100
601 t
xt.
Ft
F 3.12
Produkt fF cF 2⋅ predstavlja koeficijent trenja profila. Ako ne postoji valni otpor onda je
ta vrijednost nulti otpor profila za zadanu hrapavost. U tablicama standardnih profila
nalazi se minimalni otpor profila mindc za slučaj standardne hrapavosti. Te vrijednosti se
mogu uspoređivati, što nam omogućuje kontrolu procjene.
( ) 280.tS cosF Λ= , 3.13
gdje je ctt = ,
cx
x tt = , tx je apscisa maksimalne debljine profila., a tΛ je strijela
geometrijskog mjesta maksimalnih debljina profila. Za slučaj repa treba SF FF povećati
još za 10 % zbog dodatnog otpora kroz zazore između noseće površine i upravljačke
površine.
• za trup s dobro oblikovanom kabinom prema [20]
400
601 3
ff
FF FS ++=⋅ , 3.14
gdje je f vitkost tijela, koju određujemo za stvarnu duljinu tijela i fiktivni promjer d. Ovaj
koeficijent daje dobre vrijednosti ako se kabina uklapa u oblik tijela (kao npr. za
zrakoplov F16), ali ako kabina iskače iz oblika tijela, onda treba koeficijent povećati (npr.
za F15 treba povećati 40 %). Isto tako ako tijelo ima kvadratni presjek, oštri bridovi mogu
povećati koeficijent oblika oko 40 %.
• za kućište motora i spremnik goriva prema [20]
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-5
f.FF FS3501+=⋅
U supersonici nema prenošenja poremećaja uz zračnu struju, pa je SF FF za sve oblike blisko
jedinici.
Konačno, postoji i međuutjecaj dijelova. Prisutnost drugoga tijela u blizini
opstrujavanoga tijela mijenja raspored tlaka po površini opstrujavanog tijela, što utječe na
koeficijent trenja. Taj se utjecaj uzima u obzir koeficijentom Q. Evo nekoliko rezultata
ispitivanja u aerotunelu prema [20]:
• tijelo motora postavljeno neposredno na krilo ima povećan otpor za 50 % ( 51.Q = ), a taj
se utjecaj izgubi kad je tijelo udaljeno za jedan svoj promjer od krila;
• obješeni projektili ispod krila imaju koeficijent interferencije 251.Q ≈ ;
• za klasične kombinacije tijelo - noseća površina uzima se 1=Q ;
• za repne površine V-oblika uzima se 031.Q ≈ , a za repne površine H-oblika 081.Q ≈ .
U supersonici međuutjecaj dijelova na otpor gotovo i ne postoji, te je u supersonici koeficijent
1=Q .
Tako je konačno otpor trenja letjelice zbroj otpora trenja svih njenih dijelova:
( )∑ ∞∞ ==c
cwetfSFMafDfreff SQFFFcqCSqD 3.15
Odnos ∞qD f naziva se površina otpora
( )∑⋅=∞ c
cwetfSFfMaf SQFFcF
qD
. 3.16
Prema tome, ukupna površina otpora zrakoplova je zbroj površina otpora komponenata.
Dijeljenjem površine otpora s referentnom površinom dobivamo traženu vezu između
koeficijenta otpora trenja letjelice i površinskih koeficijenata trenja dijelova letjelice:
∑
=
c cref
wetSFfMaDf S
SQFFcFC . 3.17
3.1.2 Otpor dna
Iza svakog dijela letjelice pojavljuje se trag u kome je tlak manji od neporemećenog tlaka.
Posljedica tog podtlaka je sila kočenja, jednaka produktu podtlaka i površine na kojoj on
djeluje. Na kraju nosećih površina je izlazni rub, pa nema površine na kojoj bi djelovao taj
podtlak (ako nije došlo do odvajanja struje od noseće površine). Tom podtlaku odgovara
koeficijent
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-6
∞
∞−=
qpp
C bp . 3.18
Međutim, otpor dna postoji iza kućišta motora, spremnika goriva, nosača naoružanja, i iza
kućišta kabine ako nije dobro uklopljena s oblikom tijela, itd.
( ) ( ) bpbbb SCqSppD −=⋅−= ∞∞ 3.19
Da bi se izbjegao otpor dna ili bar smanjio na prihvatljivu mjeru, tijelu lagano smanjujemo
poprečni presjek prema kraju na što manju površinu dna bS . Procjena koeficijenta tlaka na
dnu može se izvesti prema [18] pomoću jednadžbi:
• za subsoniku
( )2161041901390 .Ma..C p −+=− 3.20
• za supersoniku
( )284304200640 .Ma..C p −+=− . 3.21
Na slici 3-2 prikazana je ovisnost koeficijenta tlaka na dnu o Machovom broju prema
navedenim jednadžbama
Slika 3-2. Koeficijent tlaka na dnu ( )MaC p
3.1.3 Valni otpor
Valni otpor je posljedica rasporeda tlaka na površini. U subsonici prema d’Alembertovom
principu, zasnovanom na neviskoznom opstrujavanju, valni otpor je jednak nuli. Međutim,
poznato je da realni uvjeti opstrujavanja ne prate d’Alembertov princip. Raspored tlaka u
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-7
stvarnosti je zbog viskoznih učinaka izmijenjen, te se pojavljuje valni otpor. Mjerenja otpora
standardnih profila, pri malim brzinama pri kojima možemo zanemariti utjecaj stlačivosti,
pokazuju da je izmjereni otpor jednak otporu trenja što je očigledan dokaz da ne postoji valni
otpor. Ta mjerenja otpora profila zajedno s drugim karakteristikama profila (uzgon i moment
propinjanja) objavljena su u mnogim knjigama kao npr. [1].
U supersonici postojanje udarnih valova stvara uvijek valni opor. Zato je ta
komponenta otpora i dobila to ime, premda udarni valovi nisu jedini razlog nastajanja valnog
otpora. Već smo rekli da valni otpor postoji i u subsonici kada nisu ispunjeni uvjeti za
d’Alambertov princip, a udarni valovi javljaju se samo u transsonici i supersonici.
Mnogo je manje objavljenih podataka o mjerenju valnog otpora profila i zrakoplova
nego što je to slučaj s otporom trenja ili otporom dna, pa za procjenu nema pouzdanih metoda.
Prema zakonu površine [13] u transsoničnom području ( 1≈Ma ) valni otpor
zrakoplova za zadani Machov broj ovisi samo o promjeni veličine površine poprečnog
presjeka zrakoplova ( )xS (uključujući sve njegove dijelove) okomito na brzinu
opstrujavanja.. To znači da je otpor zrakoplova u transsonici isti kao otpor rotacijskog tijela
koje ima istu površinu poprečnog presjeka na svim mjestima. U teorijskoj aerodinamici
postoji tzv. teorija tankih tijela [12] kojom se dokazuje da za zadani volumen W i duljinu tijela
l postoji tzv. optimalno tijelo (Sears-Haackovo tijelo) čije su parametarske jednadžbe:
( ) .cos12
33sinsin3
21
θ
θθπ
+=
−=
lx
Sr m
3.22
To tijelo ima teoretski valni otpor
2max
max 29l
SSqDWπ
⋅= ∞ . 3.23
To znači da će zrakoplov imati minimalni valni otpor ako njegov poprečni presjek prati
promjenu poprečnog presjeka Sears_Haackova tijela, ili što bliže tom obliku. Realni oblici
zrakoplova odstupaju od tog uvjeta. Pretpostavimo da za 2.1=Ma , realni oblik zrakoplova
ima WDE puta veći valni otpor od Sears-Haackova tijela (koeficijent WDE se kreće od 1.20 do
3, pa i više). S promjenom Machova broja iznad 21.Ma = , valni otpor zrakoplova opada po
zakonu
( )( ) ( ) ( ) ( )77.057.0 709.012.1386.01,
2.1 LELEW
W MaMafD
MaD ΛΛ −−−== , 3.24
gdje je LEΛ strijela napadnog ruba krila u radijanima, a valni otpor
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-8
( ) 2max
max 292.1l
SSqED WDWπ
∞⋅= . 3.25
Tako možemo, ako je 21.Ma > , procijeniti valni otpor zrakoplova jednadžbom
( )LEref
WDDw MafS
SEC Λ,29
2
2max
l
π= . 3.26
3.1.4 Otpor u transsonici
Pojava valnog otpora je posljedica činjenice što lokalni Machov broj dostigne supersoničnu
vrijednost prije Machova broja letjelice. Na tom mjestu počinje supersonično strujanje koje
treba opet prijeći u subsonično. Taj proces prelaska iz subsoničnog u supersonično strujanje
nije reverzibilan. Povratak na subsonično strujanje zbiva se diskontinuirano, što ima za
posljedicu stvaranje lokalnih udarnih valova. S udaljavanjem od letjelice ta pojava slabi. Kada
se pojavi prvi lokalni Machov broj koji je dostigao supersoničnu vrijednost, Machov broj
letjelice nazivamo kritični Machov broj i označavamo ga sa crMa .
Macr MaDD MaDD
0.08 0.06
0.0020
0.0080 do 0.0100Boi
ng
Dou
glas
CD
Slika 3-3. Kritičan Machov broj Macr i MaDD (Drag Divergent Ma)
Teško je utvrditi kada je dostignuta kritična vrijednost. Zato velike tvrtke definiraju točku
DDMa na kojoj je ( )MaCD0 porastao za 0.0020 (Boing) ili točku na krivulji ( )MaCD0 u kojoj
je tangens kuta tangente 0.10 (Douglas) itd. Međusobni položaj tih dviju točaka pokazan je na
slici 3-3.
S povećanjem Machova broja letjelice, prvi lokalni Machov broj jednak jedinici može
se dogoditi na krilu ili na tijelu. Nije nam unaprijed poznato koja će se od tih dviju
mogućnosti prva dogoditi, pa zato moramo procijeniti obje, i usvojiti onu koja je manja za
kritičnu vrijednost Machova broja letjelice.
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-9
Slika 3-4. ( )
== c
t,fMa LDD 410 Λ
Kada je riječ o krilu, lokalni Machov broj dostiže jedinicu najprije na gornjoj površini
krila zbog povećanja brzine opstrujavanja profila pri povećanoj sili uzgona. To će se dogoditi
utoliko prije ukoliko je veći napadni kut letjelice tj. ukoliko je veća sila uzgona, a to znači da
će utoliko biti manji kritični Machov broj crMa . Budući da procjenjujemo nulti otpor,
trebamo procijeniti kada nastaje lokalni Machov broj jednak jedinici u slučaju nultog uzgona.
Prema metodi tvrtke Boeing procjena ( ) 0=LDDMa na krilu provodi se prema dijagramu na
slici 3-4 za 0=LC , ovisno o strijeli 41Λ i relativnoj debljini profila ctt = .
Slika 3-5. ( )nDD fMa za subsonični i supersonični oblik trupa
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-10
Tijelo koje nije dobro oblikovano imat će lokalni Machov broj jednak jedinici prije
krila. Na slici 3-5 prikazane su dvije krivulje koje daju vrijednost DDMa tijela ovisno o
vitkosti prednjeg dijela trupa. Konačno DDMa letjelice bit će manja vrijednost od DDMa krila
i DDMa tijela.
Znamo da je 0=DwC do kritične vrijednosti Machova broja, zatim smo odredili
DDMa i znamo da je ( ) 0020.0=DDDw MaC . Isto tako poznat nam je valni otpor iznad
21.Ma = . trebamo još odrediti ( )MaCD u intervalu od DDMa do 1.2 .To je interval
transsonike. To je vrlo složena teorijska zadaća i zato ćemo se zadovoljiti približnom
metodom. Praksa je pokazala da možemo usvojiti pet točaka:
( ) 0080.0 =−DDDW MaC
( ) 0020.0=DDDW MaC
( ) ( )2
21001
.C.C DW
DW = 3.27
( ) ( )21051 .C.C DWDW =
( )ref
WDDW SSEC 2
2max
292.1l
π=
Kroz tih pet točaka provlačimo kontinuiranu krivulju koja ima zajedničku tangentu sa
( )MaCD u subsonici ( crMaMa < ) i s krivuljom ( )MaCD u supersonici ( 21.Ma < ), kao na
slici 3-6.
CDW
1.2
Ma
1.051.0MaDD
0.0020
Macr
0.08
Slika 3-6. Konstrukcija krivulje ( )MaCDw u transsoničnoj oblasti
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-11
3.1.5 Dodatni otpor
Postoji više uzroka zbog kojih se pojavljuje dodatni otpor.
Prvo, neke dijelove zrakoplova nismo obuhvatili gornjom metodom, kao npr. kućište
motora, spremnike goriva, nosače naoružanja, kabinu, ili poseban oblik zadnjeg dijela
transportnog zrakoplova. Svi oni povećavaju otpor zrakoplova.
Drugo, u određenim uvjetima zrakoplov mijenja svoj oblik. Primjerice pri polijetanju
zrakoplov ima izbačene kotače i djelomično izbačena zakrilca, u letu ima uvučene kotače i
zakrilca, a pri slijetanju ima opet izbačene kotače i potpuno izbačena zakrilca, a na kraju i
zračne kočnice. Zbog toga se otpor zrakoplova znatno povećava. I ta povećanja nazivamo
dodatni otpor.
Treće, zaustavljeni motor ne samo što nema pogonsku silu već je uzrok dviju vrsta
dodatnog otpora. Ako je rotor ukočen, onda motor ima jednu vrijednost otpora, a ako se rotor
okreće pod utjecajem zračne struje, onda motor ima drugu vrijednost otpora. Procjena
dodatnog otpora zaustavljenog motora iznimno je važna zato što ta komponenta kod
zrakoplova sa dva ili više motora ima jak bočni moment za središte mase, te dovodi u pitanje
bočnu stabilnost zrakoplova, što ćemo razmatrati kasnije.
U većini slučajeva, koeficijent dodatnog otpora procjenjujemo prema jednadžbi
ref
frontD S
SkC =∆ , 3.28
u kojoj je frontS silueta (dijela koji stvara dodatni otpor) gledano u pravcu aerodinamičke
brzine. Koeficijent k je obično poznat za tipizirane oblike. U donjoj tablici prikazani su
koeficijenti za neke dijelove zrakoplova prema [20].
k
Zračne kočnice (spoiler) na 60% tetive 1.6
Vjetrobran (laki zrakoplovi)
dobro uklopljen u oblik trupa
loše uklopljen u oblik trupa
0.07
0.15
Kotač s gumama 0.25
Drugi kotač iza prvoga 0.15
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-12
Povećanje koeficijenta otpora krila zbog otklona zakrilca flapδ može se procijeniti
jednadžbom
W
fflapD S
sinS.C
δ∆ 130= . 3.29
Slika 3-7. Površina flapS
Površina flapsS prikazana je na slici 3-7, a flapsflaps sinS δ predstavlja frontalnu površinu
flapsova (okomito na brzinu zračne struje).
uSmax
Slika 3-8. Otpor dna transportnog zrakoplova
Transportni zrakoplovi radi što većega korisnoga prostora imaju suženje zadnjega
dijela trupa veće od kritičnog, zbog čega dolazi do odvajanja struje od tijela. To odvajanje
stvara dodatni otpor na tom dijelu trupa, što je teško i složeno teoretski izučavati. Za procjenu
otpora, zbog odvajanja struje od trupa transportnog zrakoplova, možemo koristiti empirijsku
formulu
ref
max.D S
Su.C 52833=∆ , 3.30
u kojoj je u kut u radijanima srednje crte tijela na tom zadnjem dijelu kao na slici 3-8, a maxS
površina najvećeg poprečnoga presjeka tijela.
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-13
Koeficijent otpora zaustavljenog motora ili onoga kojega pokreće zračna struja treba
odrediti konstruktor motora. Ako taj koeficijent nije poznat može se procijeniti.
Za zaustavljenu elisu u subsonici
ref
eliseD S
SkC =∆ . 3.31
Ako se elisa okreće pod djelovanjem zračne struje, onda je 10.k = , a ako se elisa ne okreće,
onda je 80.k = (prema [18]). Površina elise diskelise SS σ= , gdje je ( )πσ AN= , N je broj
poluelisa, A je vitkost poluelise.
Za mlazni motor koji se okreće pod utjecajem zračne struje
ref
frontD S
S.C 30=∆ , 3.32
gdje je frontS poprečni presjek kućišta mlaznoga motora.
Za kućišta motora, spremnike goriva i za nosače naoružanja postoje, umjesto procjena,
mjerenja zbroja površina otpora trenja i otpora dna [20]:
∞∞
+=
q
DDqD bf
c
,
ovisno o Machovu broju, za tipizirane oblike i veličine.
Najveći problem su strujanja kroz otvore na trupu iz područja povišenog tlaka u
područja smanjenog tlaka, bilo da je to iz atmosfere u unutrašnjost ili iz unutrašnjosti prema
van. U oba slučaja mijenja se bitno slika opstrujavanja, mijenja se tlak pa i trenje na površini.
Isto tako, razni uređaji na površini zrakoplova, kao što su svjetla, Pito-cijev, antena i drugo,
mogu izmijeniti vrijednost koeficijenta trenja. Svi ti nepredviđeni i nametnuti uzroci mogu
povećati koeficijent trenja i do 15%.
3.1.6 Nulti otpor
Konačno smo u mogućnosti nacrtati cijelu krivulju ( )MaCD , koja je zbroj triju krivulja
komponenata otpora ( )MaCDf , ( )MaCDb , ( )MaCDw i krivulje uslijed dodatnog otpora
( )MaCD∆ . Taj zbroj je shematski prikazan na slici 3-9.
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-14
CDw
CDf
DC∆otpor trenja od interferencije
CD0
Ma
MaDD 1.0 1.2
Slika 3-9. Zbroj komponenata nultog otpora
3.1.7 Inducirani otpor
Do sada smo promatrali otpor letjelice kada nema sile uzgona (niti bočne sile). Drugim
riječima, tako dobiveni otpor je aerodinamička sila jer nema drugih komponenata. U tom
slučaju napadni kut je jednak kutu nultog uzgona letjelice L0α . Otpor u ovom slučaju
( L0αα = ) nazvat ćemo nulti otpor i označit ćemo ga sa 0D , a njegov koeficijent sa 0DC .
Prva jednadžba transformacije za prijelaz iz aerodinamičkih koeficijenata duž osi
aerodinamičkog koordinatnog sustava [ ]TLKD CCC u koeficijente [ ]TZYX CCC duž
osi tromosti letjelice jest
αβ LKDX CCCC +−−=
i primijenimo je na ovaj slučaj. Za L0αα = i 0=β bit će 0DD CC = , nema uzgona 0=LC , a
zato što smo pretpostavili da nema kuta skretanja, nema ni bočne sile 0=KC . Prema tome bit
će u ovom slučaju
00 DX CC −= .
Taj nulti otpor je istodobno i nulta aksijalna sila.
Ako upotrijebimo istu tu jednadžbu za transformaciju na slučaj kad je napadni kut
L0αα ≠ , ali nema kuta skretanja, dobivamo
LXD CCC α+−= .
Pretpostavit ćemo da aksijalna sila XC− za male napadne kutove ne zavisi od napadnog kuta
pa je ona jednaka vrijednosti kada je napadni kut jednak kutu nultog uzgona
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-15
00 DXX CCC =−≈− . Ta pretpostavka nije nerealna jer mjerenja pokazuju da aksijalna sila
ovisi o napadnom kutu ali znatno manje od sile otpora. To je aproksimacija koja će nam
pomoći da bolje razumijemo ovisnost otpora o uzgonu. Tom zamjenom dobivamo
LDD CCC α+= 0 .
Ova jednadžba pokazuje utjecaj napadnog kuta na otpor letjelice. Vidimo da je totalni otpor
zbroj otpora pri nultom uzgonu i otporu zbog uzgona, koji nazivamo inducirani otpor. Taj
dodatni otpor ostvaruje se uglavnom kroz WD , jer je utjecaj napadnog kuta na otpor trenja i
otpor dna neznatan. Kako je sila uzgona također ovisna o napadnom kutu, te dvije ovisnosti
( )LLL
LDD
CCCCC
0
0
ααα
α −=+=
3.33
predstavljaju parametarske jednadžbe polare zrakoplova (slika 3-11) ili eliminacijom
napadnog kuta
200
1L
LLLDD C
CCCC
α
α ++= . 3.34
CL
C D
CDf + CDb CDp
CDmin
C D0
horiz
onta
lni l
et
CLminDL0α
minα
0=α
0>α
Slika 3-10. Polara zrakoplova
Iz ove jednadžbe dobivamo da je najmanji otpor zrakoplova minDC za napadni kut
20Lmin αα = i on ima vrijednost
2
00 2
−= L
LDminD CCCα
α , 3.35
a pri minimalnom otporu bit će uzgon
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-16
( )20
0L
LLminLDminL CCCα
αα αα −=−= . 3.36
Pri napadnom kutu L0α , kada je uzgon jednak nuli, otpor 0DC nije najmanji. Najmanja
vrijednost otpora je pri napadnom kutu 20Lmin αα = , kad postoji neki mali uzgon DminL .
Pomoću vrijednosti za minDC i DminLC , jednadžba polare može se napisati u obliku
( )21DminLL
LminDD CC
CCC −+=
α
. 3.37
Tu jednadžbu izveli smo uz pretpostavku da aksijalna sila ne ovisi o napadnom kutu.
Naznačili smo da je to samo jedna aproksimacija koja je za supersoniku dovoljno točna, a
manje točna za subsoniku. Zato se koristimo jednadžbom
( )2minLLminDD CCKCC −+= . 3.38
Međutim, u poglavlju o performansama zrakoplova, s namjerom a se olakšaju i omoguće
jednostavne veze između performansi i karakteristika zrakoplova, koristi se oblik polare
20 LDD CKCC += , 3.39
što pretpostavlja da je 0DminD CC ≈ i da je 0≈minLC . Za zrakoplove koji imaju profil krila bez
velike zakrivljenosti srednje linije ove su aproksimacije prihvatljive.
Koeficijent K ima veliko značenje i bitnu ulogu na performanse zrakoplova. Jasno je
da želimo zrakoplov koji ima što manji taj koeficijent, jer će takav zrakoplov za isti uzgon
imati manji otpor.
U subsonici, kad postoji sila uzgona, pod dejstvom vezanog vrtloga zrak prelazi oko
prednjega ruba krila s donje strane krila na gornju zbog razlike tlaka. To opstrujavanje
prednjega ruba stvara područje podtlaka oko prednjega ruba, a podtlak oko prednjega ruba
uzrokuje silu u pravcu gibanja. Ta sila sisanja smanjuje prirast aksijalne sile zbog promjene
tlaka po površini krila usled napadnog kuta. Rezultanta tih dviju sila je inducirani otpor.
Prema Glauertovoj teorija za slučaj eliptičnog krila koeficijent induciranog otpora je
221LL KCC
A=
π
Za trapezna krila inducirani otpor ima drugu vrijednost, pa radi primjene iste jednadžbe
uvodimo Oswaldov koeficijent e:
221LL KCC
Ae=
π 3.40
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-17
ili
Ae
Kπ1
= , 3.41
gdje je 85.065.0 << e . Procjena Oswaldova koeficijent izvodi se prema jednadžbama:
• za zrakoplov s trapeznim krilom bez strijele
( ) 64.0045.0178.1 68.0 −−= Ae , 3.42
• za zrakoplov s trapeznim strelastim krilom
( )( ) 1.3cos045.0161.4 15.068.0 −−= LEAe Λ 3.43
Takva procjena za e u subsonici daje K konstantno, što se pokazalo prihvatljivim do crMa .
Međutim za veće vrijednosti Machovog broja K se povećava. To daljnje povećanje objašnjava
se daljnjim smanjenjem sile u pravcu gibanja zbog nemogućnosti zraka da dovoljno brzo
opstrujava prednji rub krila, što ima za posljedicu nedovoljni podtlak da bi se dobila potrebna
sila u pravcu gibanja.
U supersonici iz linearne teorije krila znamo da je za vrijednosti Machova broja
LELE cos
MaMaΛ1
=>
napadni rub krila supersoničan te zrak ne prelazi oko prednjega ruba krila s jedne na drugu
stranu krila. Zato nema nikakve sile u pravcu gibanja. Inducirani otpor nastaje samo kao
poslijedica prirasta aksijalne sile zbog promjene tlaka po površini krila usled napadnog kuta.
U slučaju profila ploče taj koeficijent induciranog otpora iznosi
αsinCKC NL =2 .
Iz ove jednadžbe dobivamo
αLC
K 1= . 3.44
Na granicama transonike dva su ekstremna slučaja:
• do crMa kad postoji sila u pravcu gibanja 1=S odgovara joj A
Kπ1
= i
• od LEMa kad nema sile u pravcu gibanja 0=S tada je αLC
K 1= .
Za Machove brojeve u transonici LEcr MaMaMa << pretpostavlja se da postoji djelomično
opstrujavanje prednjeg ruba 01 >> S . Primijenit ćemo stoga linearnu interpolaciju u tom
intervalu, ali tako da za vrijednost DDMa odgovara πeAK 11 = , a za LEMa je αLCK 10 = .
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-18
Ma
K
πeA1
αLC1
αLC1
MaDDLEcos
MaΛ1
=
A
B
Slika 3-11. Koeficijent K u ovisnosti o Machovu broju
To znači da je u tom intervalu za zadani Machov broj koeficijent linearne interpolacije
DDLE
DD
MaMaMaMa−−
=ξ 3.45
te je K za zadanu vrijednost Ma dano jednadžbom
−+=
πξ
π α eACeAK
L
111 . 3.46
Na slici 3-11 predstavljena je promjena ( )MaK . U subsonici DDMaMa < je πeAK 1= . U
supersonici za vrijednosti LEMaMa > , kada je napadni rub krila supersoničan, αLCK 1= .
Konačno, od točke A do točke B ostala je nepoznata prijelazna krivulja. Poslužit ćemo se
vrijednostima koje dobivamo linearnom interpolacijom koeficijenta K od točke A do točke B.
Slika 3-12 Simetrični fiktivni vrtlozi
Na veličinu induciranog otpora utječe i prisutnost tla. U trenutku polijetanja i slijetanja
tlo utječe na sliku opstrujavanja krila. Iz graničnih uvjeta da brzina zraka pri opstrujavanju
krila mora biti tangencijalna s tlom, zaključuje se da u tlu mora postojat za svaki elementarni
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-19
vrtlog koji silazi s krila, odgovarajući i fiktivni vrtlog jednakog intenziteta, suprotnog smjera i
simetrične pozicije u odnosu na stvarni vrtlog. Ti fiktivni vrtlozi uzrokuju promjene slike
opstrujavanja krila, a to znači da mijenjaju i uzgon krila i inducirani otpor krila. Izmjene će
ovisiti o udaljenosti krila od tla. Glauertova teorija u ovom slučaju daje odnos
2
2
161
16
+
=
bh
bh
CC
Di
groundDi . 3.47
U toj jednadžbi je h visina krila od tla, a b raspon krila na zrakoplovu.
3.1.8 Primjer
Mjerenja u aerotunelu otpora i uzgona zrakoplova lovca pri 80.Ma = i pri različitim
napadnim kutovima dala su ove rezultate
LC 0.000 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.776
DC 0.0228 0.042 0.0593 0.084 0.116 0.1506 0.180
0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
CL
CD
Lovac
polinomK polaramjerenje
Slika 3-13. Slika mjerene polare i usklađene
Na temelju tih mjerenja treba odrediti stvarnu polaru i polaru oblika 2
0 LDD KCCC += .
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-20
U MATLAB-u napravljen je program Polara.m koji se nalazi na disketi u direktoriju
Aerodinamika, s kojim je nacrtan dijagram na slici 3-13. Najbolji polinom drugoga reda jest
( )22 0386.0293.00222.02924.00226.00226.0 −⋅+=⋅+⋅−= LLLD CCCC
Taj polinom prolazi kroz mjerene točke. Ako želimo oblik bez linearnog člana po napdnom
kutu pogodan za analizu performansi, onda je rezultat 2250002280 LD C..C ⋅+=
Ovu polaru dobit ćema ako svakoj točki LD CC , dodamo simetričnu točku LD CC −, pa
odredimo najbolji polinom drugog reda za sve točke.
3.2 Normalna sila i moment propinjanja
Na početku ovog poglavlja vidjeli smo da za zrakoplovne konfiguracije aerodinamički
koeficijent normalne sile i momenta propinjanja imaju oblik
( )mNN qfC δαα ,,, ∗∗= &
( )m,,, δαα ∗∗= qfC mm & .
Ako te funkcije razvijemo u red, dobivamo linearnu zavisnost aerodinamičkog koeficijenta
normalne sile i momenta propinjanja:
mNNqNNNoN mCqCCCCC δαα δαα ++++= ∗∗&& 3.48
mmmqmmmom mCqCCCCC δαα δαα ++++= ∗∗&& 3.49
Ovim lineariziranim modelom možemo se služiti ako su parametri mi,, δαα ∗∗ q&
male veličine u odnosu na interval u kome se aerodinamički koeficijenti NC i mC ponašaju
linearno. To uvijek vrijedi za putničke i transportne zrakoplove, ali za sportske i borbene
zrakoplove koji trebaju velike manevarske sposobnosti to treba provjeriti.
Normalnu silu kao i aerodinamički moment propinjanja zrakoplova stvaraju svi
dijelovi zrakoplova: kombinacija krilo-tijelo, kombinacija horizontalni rep-tijelo (ili
kombinacija canari-tijelo u slučaju canard konfiguracije ) i tijelo:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )BmhBmWBmm
BNhBNWBNN
CCCCCCCC
++=
++= 3.50
To načelo superpozicije vrijedi i za nulte članove i za gradijente. Tako je za nulte članove
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,0000
0000
BmhBmWBmm
BNhBNWBNN
CCCCCCCC
++=
++= 3.51
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-21
a za gradijent na primjer po napadnom kutu
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .BmhBmWBmm
BNhBNWBNN
CCCCCCCC
αααα
αααα
++=
++= 3.52
Isto tako možemo pisati i za druge gradijente, samo što gradijente po otklonu kormila visine
stvara samo kombinacija horizontalni rep-tijelo:
( )( )
hBmm
hBNN
mm
mm
CC
CC
δδ
δδ
=
= 3.53
Zato ćemo za potrebe normalne sile i momenta propinjanja analizirati posebno kombinaciju
krilo - tijelo, zatim horizontalni rep - tijelo i konačno samo tijelo.
3.2.1 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije BW
Trebamo razlikovati napadni kut krila wα od napadnog kuta zrakoplova α . Napadani kut
krila mjerimo od aerodinamičke brzine do korenske tetive, a napadni kut zrakoplova od
aerodinamičke brzine do glavne osi tromosti x . Kako je korenska tetiva postavljena pod
kutom wi (postavni kut krila) u odnosu na os x tromosti zrakoplova, dobivamo vezu
ww i+=αα .
Kao što je poznato iz aerodinamike krilo sa nesimetričnim profilom ima normalnu silu koja je
linearna po napadnom kutu krila wα
( )WWNN CC 0ααα −= .
Ta normalna sila krila ima svoju napadnu točku na udaljenosti cwl od vrha letjelice. Moment
propinjanja letjelice čine moment te sile, koji ovisi o napadnom kutu, i spreg propinjanja
( )wmC 0 koji ne ovisi o napadnom kutu. Koeficijent ( )wmC 0 i kut ( )w0α karakteristike su krila
koje ovise prije svega o profilu, a zatim i o obliku krila. Za tablične profile postoje podaci o
( ) profmC 0 i ( )prof0α (npr. lit. [1]). Ako krilo nije uvijeno i ima isti profil po rasponu, onda je
( )profW 00 αα =
Ako je krilo uvijeno a to znači da je napadni kut promjenljiv po rasponu, onda treba odrediti
prosječni ekvivalentni napadni kut eqα koji daje istu normalnu silu kao promjenljiv ( )yα :
( ) ( )∫=2
0
2b
eqW dNN αα
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-22
Taj prosječni napadni kut eqα predstavlja dio postavnog kuta krila. Oblik krila (vitkost i
strijela napadnog ruba), mijenja spreg ( )wmC 0 te on nije jednak ( ) profmC 0 . Utjecaj oblika krila
može se procijeniti prema empirijskoj formuli
( ) ( )LE
LEprofmwm cosA
cosACC
ΛΛ
2
2
00 += . 3.54
Za kombinaciju krilo-tijelo usvojit ćemo da je ( ) ( )WmWBm CC 00 = , ali se ( )WmC 0 treba
izračunati prema gornjoj jednadžbi za krilo s podtrupnim dijelom.
U odjeljku 2.3 vidjeli smo da je ekvivalentni napadni kut krila
( )WWwBWBWBW ikK 0ααα −+= , 3.55
što daje normalnu silu kombinacije
( ) ( )[ ]WWBWBWwNWBW ikKCSVN 0
2
2ααρ
α −+= 3.56
gdje je WS površina samog krila. Treba napomenuti da krilo stvara još jednu normalnu
komponentu u sprezi s tijelom.
Ac
Ax
Al
Cx
Ch
tc
rc
LEΛ
WC
2wb
bx
y
fW
Slika 3-14. Kombinacija krilo tijelo
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-23
Naime, krilo ima i aksijalnu silu ( )wAww CSVA2
2ρ= u pravcu tetive krila kao na slici 3-14.
Ta sila ima komponentu wwww iAiA ≈sin u pravcu osi tromosti z pa je
( ) ( )[ ] ( ) wwAwWwBWBWwNwBW iCSVikKCSVN22
2
0
2 ρααρα −−+=
Slika 3-15. Normalna sila kombinacije i aksijalna sila krila
Dijeljenjem s referentnom silom refSV2
2ρ dobivamo koeficijent normalne sile kombinacije
tijelo-krilo:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) wwALwBWBWwNref
wBWN iCikKC
SSC −−+= 0ααα . 3.57
U većini slučajeva opravdano je zanemariti ( )wAC u odnosu na ( )wNC α . Zato ćemo se u
daljnjem radu koristi koeficijentom normalne sile kombinacije tijelo-krilo u obliku:
( ) ( ) ( )[ ]WwBWBWwNref
wBWN ikKC
SSC 0ααα −+= . 3.58
Iz ove jednadžbe nalazimo da je nulti član kombinacije krilo-tijelo
( ) ( ) ( )WwBWwNref
wBWN ikC
SSC 00 αα −= , 3.59
da je gradijent po napadnom kutu
( ) ( ) BWwNref
wBWN KC
SS
C αα = , 3.60
te konačno da je gradijent normalne sile kombinacije po otklonu kormila visine
( ) 0=BWN m
C δ 3.61
jer normalna sila kombinacije krilo-tijelo ne ovisi o otklonu kormila visine.
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-24
Koordinate napadne točke normalne sile krila WN i aksijalne sile WA u koordinatnom
sustavu zrakoplova su ( )wcwm z,0,ll − , te je moment propinjanja tih sila za os y tromosti
zrakoplova
( )( ) ( ) wwwwwcwmwwww zAiNiAiN cossinsincos +−−− ll
cwm ll −
cwz
wi
wN
wA
Fx
Fz Slika 3-16. Položaj normalne i aksijalne sile krila
Uočimo da je svejedno mjerimo li udaljenosti od vrha letjelice ili od aerodinamičkog središta
jer je razlika udaljenosti ista: cwmcwm hh −=− ll . Postavni kut krila wi uvijek je mali pa je
moment ovih sila:
( )( ) ( )
( ) ( )
−
−−
−−−=
=+−−−
cwmw
ww
cwm
ww
w
wwcwmw
wwwwcwmwww
NzAzi
NiAN
zAiNiAN
llllll
ll
1
U većini slučajeva mogu se zanemariti članovi
( )cwmw
ww
cwm
ww
w
ww
NzAzi
NiA
llll −−,,
u odnosu na jedinicu. To se može provjeriti u svakom konkretnom slučaju, te ako uvjet nije
ispunjen, mogu se uzeti u obzir svi članovi. Radi jednostavnosti pretpostavit ćemo u daljnjem
tekstu da je taj uvjet ispunjen pa je moment propinjanja zrakoplova od aerodinamičkih sila
krila za središte mase zrakoplova zbroj sprega propinjanja krila i momenta normalne sile
kombinacije tijelo-krilo:
( )cwmWBoWBW NMM ll −+=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )cwmLwBWBWwNwWBmArefWBmAref ikKCSVCcSVCcSVll −−++= 0
2
0
22
222ααρρρ
α .
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-25
Dijeljenjem ove jednadžbe s referentnim momentom Aref cSV2
2ρ dobivamo koeficijent
momenta propinjanja za središte mase od kombinacije tijelo-krilo :
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )cwmLwBWBWwNref
wWBmBWm ikKC
SSCC ll −−++= 00 ααα 3.62
Kada je napadni kut zrakoplova jednak nuli, koeficijent momenta propinjanja je
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]cwmLwBWwNwmref
wBWmo ikCC
SS
C ll −−+= 00 αα . 3.63
Derivacijom po napadnom kutu, dobivamo gradijent koeficijenta momenta propinjanja
kombinacije krilo-tijelo:
( ) ( ) ( )cwmwNBWref
wBWm CK
SS
C ll −= αα . 3.64
Jasno je da je derivacija ( ) 0=BWm m
C δ , jer normalna sila pa i njen moment kombinacije tijelo-
krilo ne ovisi o otklonu kormila visine.
3.2.2 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije hB
Normalna sila horizontalnog repa ima dva dijela. Prvi je uslijed napadnog kuta na kombinaciji
horizontalni rep-tijelo hα , a drugi uslijed otklona upravljačkih površina mδ . Napadni kut
kombinacije horizontalni rep-trup bit će jednak napadnom kutu zrakoplova umanjenom za
savijanje struje ε :
ε−α ,
Slika 3-17. Napadni kut horizontalnog repa
gdje je ( )WWi 0αααεε −+
∂∂
= . U toj kombinaciji horizontalni rep postavljen je pod kutom hi
u odnosu na tijelo. Prema tome, ekvivalentni napadni kut na horizontalnom repu je
( ) hBHWWBHBH ikiK +
−+
∂∂
−= 0αααεαα . 3.65
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-26
U ovoj jednadžbi nema nultog kuta profila horizontalnog repa zato što horizontalni rep ima
obično simetričan profil za koji je 00 =hα .
Obje komponente normalne sile na horizontalnom repu imaju gubitke zbog smanjenog
dinamičkog tlaka iza krila. Taj gubitak uzimamo u obzir množenjem dinamičkog tlaka s
koeficijentom hη . Komponenta zbog otklona upravljačke površine mδ ima još dodatne
gubitke kroz zazor između nepokretnog (dio horizontalnog repa) i pokretnog dijela noseće
površine (kormilo visine). Te gubitke uzimamo u obzir time što dinamički tlak te komponente
smanjujemo množeći ga s još jednim koeficijentom slotη , koji procjenjujemo u subsonici
850.slot =η , a u supersonici je znatno manji te se može u prvoj iteraciji zanemariti ( 1=slotη ).
Tako zaključujemo da je ukupna normalna sila kombinacije horizontalni rep-tijelo:
( ) ( ) ( ) mhNhslotVhBHLWBHhNhhhB CSVikiKCSVN δρηηαααεαρη δα 22
2
0
2
+
+
−+
∂∂
−=
Dijeljenjem ove jednadžbe s referentnom silom refSV2
2ρ dobivamo koeficijent normalne sile
zrakoplova koji stvara kombinacija horizontalni rep-tijelo
( ) ( ) ( ) ( ) mhNslothBHWBHhNref
hhhBN CikiKC
SSC δηαα
αεαη δα +
+
−+
∂∂
−= 0 3.66
U ovoj jednadžbi je ( )hNC α određeno u odjeljku 2.2.3, a BHK je određeno za odnos promjera
trupa na mjestu horizontalnog repa prema rasponu kombinacije horizontalni rep – trup i BHk u
odjeljku 2.3. Kada je trup malog promjera na mjestu horizontalnog repa, onda se obično
zanemaruje koeficijent interferencije ( 1== BWBW kK ) te je tada
( ) ( ) ( ) ( )
+
+−+
∂∂
−= mhNslothWhNref
hhhBN CiiC
SSC δηαα
αεαη δα 0 . 3.67
Iz ove jednadžbe dobivamo da je
( ) ( ) ( )
+−
∂∂
−= hWhNref
hhhBN iiC
SSC 00 α
αεη α 3.68
( ) ( )
∂∂
−=αεη αα 1hN
ref
hhhBN C
SSC 3.69
( ) ( )hNref
hslotVhBN C
SS
Cm δδ ηη= , 3.70
pa je konačno koeficijent normalne sile horizontalnog repa (za referentni tlak i referentnu
površinu zrakoplova)
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-27
( ) ( ) ( ) ( ) mhBNhBNhBNhBN mCCCC δα δα ++= 0 . 3.71
Budući da ne postoji spreg od horizontalnog repa jer je profil horizontalnog repa
obično simetričan, moment propinjanja za središte mase od horizontalnog repa ima također tri
dijela, a to su momenti za središte mase ova triju dijelova normalne sile. Prvi i drugi dio
normalne sile na repu, ( )hBNC 0 i ( ) αα hBNC , imaju hvatište u napadnoj točki normalne sile
horizontalnog repa na udaljenosti chl od vrha letjelice ( chl poslije dijeljenja s referentnom
duljinom propinjanja Ac ). Zato je prvi dio koeficijent momenta propinjanja za središte mase
od prvoga dijela normalne sile na repu
( ) ( ) ( )mchhBNhBm CC ll −−= 00 3.72
kao i drugi
( ) ( ) ( )mchhBNhBm CC ll −⋅−= αα αα . 3.73
Komponenta normalne sile na horizontalnom repu uslijed otklona upravljačke površine mδ
ima hvatište na udaljenosti hδl od vrha letjelice, te je koeficijent njenog momenta propinjanja
( ) ( ) ( )mhmhBNmhBm mmCC ll −⋅−= δδδ δδ . 3.74
Tako zaključujemo da je koeficijent momenta propinjanja za središte mase od horizontalnog
repa
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )mhmhBNmchhBNhBNhBm CCCC llll −⋅−−⋅+−= δδα δα0 3.75
ili
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+−
+−+
∂∂
−−= mhmhNslotmchhwWhNref
hVhBm CiiC
SSC llll δδα δηαα
αεαη 0
3.76
Taj koeficijent ima tri dijela. Prvi je konstantan
( ) ( ) ( ) ( )mchhwWhNref
hVhBm iiC
SS
C ll −
+−
∂∂
−−= 00 ααεη α 3.77
Drugi je proporcionalan napadnom kutu α , a njegov gradijent je
( ) ( ) ( )mchhNref
hVhBm C
SS
C ll −
∂∂
−−=αεη αα 1 3.78
i treći koji je proporcionalan otklonu kormila visine mδ , s gradijentom
( ) ( ) ( )mhhNref
hslotVhBm C
SS
Cm
ll −−= δδδ ηη . 3.79
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-28
Gradijent ( )hNC δ horizontalnog repa po otklonu kormila visine odredili smo u odjeljku 2.2.7.
U supersonici cijeli horizontalni rep je kormilo visine te je ( ) ( )hNhN CC αδ = a hvatište
chh ll =δ .
3.2.3 Moment propinjanja tijela
Na prednjem divergentnom dijelu tijela javlja se pozitivna normalna sila (sila uzgona), a na
zadnjem konvergentnom dijelu javlja se negativna normalna sila (negativan uzgon). Te dvije
sile približno su slične, pa je njihova rezultanta zanemariva, ali one čine spreg koji treba uzeti
u obzir i koji je proporcionalan napadnom kutu tijela. Taj spreg možemo procijeniti pomoću
empirijske formule prema [18]:
( ) αrefA
BBfBm Sc
WKC l2
= 3.80
( )wcl
Bl
Slika 3-18. Koeficijent sprega propinjanja trupa
BBW li su širina i duljina tijela, a fK je koeficijent koji ovisi o odnosu udaljenosti napadne
točke krila od vrha ( )wcl , prema ukupnoj duljini tijela Bl .
Ako tijelo nema zadnji konvergentni dio, ili ako je suženje na zadnjem dijelu malo,
ova jednadžba ne daje realnu procjenu. U tom slučaju treba upotrijebiti procjene iz lit [27].
3.2.4 Nulti članovi i stacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinjanja
Sada imamo sve dijelove nultih članova i gradijenata po napadnom kutu i po otklonu kormila
visine od koeficijenata normalne sile i momenta propinjanja.
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-29
Nulti član normalne sile je zbroj članova normalne sile kombinacije krilo - trup
(jednadžba 3.59) i horizontalni rep - trup (jednadžba 3.68):
( ) ( )hBNWBNN CCC 000 += 3.81
( ) ( ) ( ) ( )
+−
∂∂
−+−= hhBWhBhNref
hhLWBWwN
ref
WN ikiKC
SSikC
SSC 000 α
αεηα αα 3.82
Nulti član koeficijenta momenta propinjanja također je zbroj (jednadžbe 3.63 i 3.77)
( ) ( )hBmWBmm CCC 000 += 3.83
( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( )mchhhBwWhBhNref
hV
cwmLwBWwNwmref
wm
ikiKCSS
ikCCSSC
ll
ll
−
+−
∂∂
−−
−−−+=
0
000
ααεη
α
α
α
3.84
U gradijentu normalne sile ne sudjeluje tijelo već samo kombinacija krilo-tijelo i kombinacija
horizontalan rep-tijelo (jednadžbe 3.60 i 3.69)
( ) ( )hBNWBNN CCC ααα += 3.85
( ) ( )
∂∂
−+=αεη ααα 1hBhN
ref
hhBWwN
ref
wN KC
SSKC
SSC 3.86
U gradijentu po napadnom kutu momenta propinjanja sudjeluju sva tri dijela:
( ) ( ) ( )BmhBmWBmm CCCC αααα ++= . 3.87
Taj je zbroj prema jednadžbama 3.64, 3.78 i 3.80:
( ) ( ) ( ) ( )refA
BBfmchhN
ref
hhcwmwNBW
ref
wm Sc
WKCSSCK
SSC l
llll2
1 +−
∂∂
−−−=αεη ααα 3.88
U gradijentu normalne sile po otklonu kormila visine kao i od momenta propinjanja sudjeluje
samo horizontalni rep (jednadžbe 3.70 i 3.79)
( ) ( )hNref
hslothhBNN C
SSCC
mm δδδ ηη== 3.89
( ) ( ) ( )mhhNref
hslothhBmm C
SSCC
mmll −−== δδδδ ηη 3.90
Ove jednadžbe za procjenu derivativa pokazuju nam utjecaj veličine i položaja krila i
horizontalnog repa na njihovu veličinu. Točnija procjena derivativa mm mNmN CCCC δδαα i,,
može se naći u lit.[28] i [29].
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-30
3.2.5 Gradijenti zbog promjenjivog napadnog kuta
Hvatište normalne sile horizontalnog repa je na udaljenosti cwch ll − od hvatišta normalne
sile krila. Ako je brzina letjelice V, onda je potrebno vrijeme
Vt cwch ll −=∆
da horizontalni rep dođe na mjesto gdje je bilo krilo. Drugim riječima, na horizontalni rep
dolazi zračna struja koja je bila na krilu t∆ vremena prije. Napadni kut na horizontalnom repu
u trenutku t je
( ) hit +− εα ,
a savijanje struje ε na koje dolazi horizontalni rep u trenutku t, izvelo je krilo u trenutku
tt ∆− , pa je kut na horizontalnom repu:
( ) ( ) ( ) hwh itttit +−∂∂
−=+− ∆ααεαεα
Slika 3-19. Dodatni napadni kut na horizontalnom repu
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] tiittiitttit hwwhwwh ∆∆ ααεαα
αεαααα
αεαεα &&
∂∂
+++−∂∂
−=++−−∂∂
−=+− 00 .
Kada usporedimo ovaj napadni kut horizontalnog repa u uvjetima promjenjivog ( )tα , vidimo
da zbog promjenjivosti napadnog kuta postoji dodatni napadni kut na horizontalnom repu koji
do sad nismo uzeli u obzir. Taj dodatni napadni kut
Vcwch
hll
&−
∂∂
= ααεα∆
stvara dodatnu normalnu silu prema gore koja je suprotnog smjera od osi z tromosti letjelice:
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-31
( )V
CSVVcCSV cwch
hNhhA
Zrefll
&&
&
−∂∂
−= ααερηαρ
αα 22
22
Kraćenjem dobivamo
( )A
cwchhN
ref
hhZ c
CSSC ll
&
−∂∂
−=αεη αα 3.91
Ta sila ima negativni moment za središte mase oko osi y tromosti letjelice. Udaljenost
hvatišta te sile od središta mase je mch ll − pa je njen moment
( ) ( )mchcwch
hNhhA
mAref VCSV
VcCcSV
llll
&&
& −−
∂∂
−= ααερηαρ
αα 22
22
što kraćenjem daje gradijent
( ) ( )mchZA
mch
A
cwchhN
ref
hhm hhC
ccC
SSC −=
−−∂∂
−= ααα αεη &&
llll 3.92
3.2.6 Gradijenti zbog kutne brzine propinjanja
Zbog kutne brzine q oko osi y tromosti, svi dijelovi zrakoplova stvaraju kočeći moment.
Prema linearnoj teoriji krila, krilo ima tri dijela momenta kočenja: vlastiti, položajni i
mješoviti. Vlastiti je onaj moment kočenja kojim se krilo suprotstavlja rotaciji oko osi koja
prolazi kroz hvatište normalne sile krila. Položajni je onaj koji ovisi o udaljenosti osi rotacije
u ravnini krila od hvatišta normalne sile, a mješoviti je posljedica činjenice da moment
kočenja nije zbroj vlastitog i položajnog. Kada primijenimo taj rezultat na horizontalni rep,
onda je položajni moment kočenja vrlo velik zbog udaljenosti repa od središta mase u odnosu
na vlastiti pa i na mješoviti moment. Krilo ima mali položajni kočeći moment. Vlastiti kočeći
moment krila, bez obzira na veličinu krila, obično se može zanemariti u odnosu na položajni
moment horizontalnog repa. To znači da je dovoljno uzeti u obzir samo položajni moment
horizontalnog repa. Procjenu tog položajnog momenta kočenja horizontalnog repa izvodimo
prema slici 3-20. Hvatište normalne sile horizontalnog repa koji je na udaljenosti mch ll − od
središta mase ima brzinu prema dolje ( )mchq ll − zbog kutne brzine q kroz središte mase. To
gibanje horizontalnog repa zamjenjujemo gibanjem zraka prema gore brzinom ( )mchq ll − .
Vektorski zbroj tih dviju brzina zraka stvara dopunski napadni kut
( )V
q mch ll −=α∆
Taj dopunski napadni kut na horizontalnom repu uzrok je dopunskoj normalnoj sili prema
gore na horizontalnom repu
Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3-32
( ) ( )mchhNhhA
Zqref VqCSV
VcqCSV
ll −−= αρηρ
22
22
Slika 3-20. Horizontalni rep pri kutnoj brzini propinjanja
što kraćenjem daje derivativ normalne sile po kutnoj brzini propinjanja:
( )A
mchhN
ref
hhZq c
CSSC ll −
−= αη 3.93
Hvatište te sile u odnosu na središte mase je mch ll − pa je gradijent momenta za središte
mase
( ) ( )222
22 mchhNhhA
mqAref VqCSV
VcqCcSV
ll −−= αρηρ
Kraćenjem na lijevoj i desnoj strani dobivamo gradijent momenta po kutnoj brzini
propinjanja:
( ) ( )mchZqA
mchhN
ref
hhmq hhC
cC
SSC −=
−−=
2ll
αη 3.94
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-1
4 BOČNA SILA, MOMENTI SKRETANJA I VALJANJA
4.1 Bočna sila i moment skretanja Vidjeli smo da je opći izraz za aerodinamičke koeficijente bočne sile i momenta skretanja
( )( )l
l
δδβ
δδβ
,,p,r,CC,,p,r,CC
nnn
nYY∗∗
∗∗
=
= 4.1
Ove funkcije mogu se linearizirati razvijanjem u red i zanemarivanjem malih veličina
drugoga i višega reda. Kut klizanja nije velik, jer prema propisima ne smije biti veći od 2.0
radijana, kutne brzine ∗r i ∗p su male, a nelinearnosti zbog povećanih otklona krilaca lδ i
kormila pravca nδ uzet ćemo posebno u obzir. U većini slučajeva ti uvjeti za linearizaciju su
ispunjeni te koristimo linearnu zavisnost koeficijenta valjanja od parametara.
.l
l
l
l
δδβ
δδβ
δδβ
δδβ
nnnnpnrnn
YnYpYrYYY
CCpCrCCC
CCpCrCCC
n
n
++++=
++++=∗∗
∗∗
4.2
Koeficijenti ββ nY CC i uz parametar β , nryr CC i uz bezdimenzijsku kutnu brzinu skretanja
∗r , npYp CC i uz bezdimenzijsku kutnu brzinu valjanja ∗p , nn nY CC δδ i uz otklon kormila
pravca nδ kao i koeficijenti ll δδ nY CC i uz otklon krilaca lδ a priori su funkcije Machova
broja. Za subsonične zrakoplove, pa donekle i za supersonične, kada su promjene Machova
broja male, mogu se smatrati konstantnim. Međutim kada su otkloni upravljačkih površina
veći od 100, treba imati na umu da su zbog nelinearnosti gradijenti nn nY CC δδ i ovisni i o
otklonu kormila pravca nδ , a ll δδ nY CC i o otklonu krilaca lδ . Točniju procjenu ovih
derivativa možemo naći u lit.[28] i [29].
4.1.1 Gradijenti bočne sile i momenta skretanja po kutu klizanja
Gradijent bočne sile zbog kuta klizanja uzrokuje najvećim djelom vertikalni rep. Ta sila na
vertikalnom repu u pravcu je osi y, ali suprotnoga smjera. Njen je intenzitet
( ) VVBVNVV KCSV βρη α2
2
. 4.3
Brzina zračne struje na repu nije ista kao brzina ispred zrakoplova pa zato postoji promjena
dinamičkog tlaka ηV kao u i slučaju horizontalnog repa, ali su gubitci na vertikalnom repu
manji od onih na horizontalnom ako je horizontalni rep u ravnini krila ili u blizini te ravnine.
Također ni kut klizanja na vertikalnom repu nije jednak kutu klizanja zrakoplova. Zračna
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-2
struja iza ravnine elise skrenuta je za neki kut σ , a u strujnoj cijevi koja prolazi kroz krug
elise bit će zavojno gibanje. I mlazni motori skreću zračnu struju tako da je kut klizanja iza
njega umanjen isto za neku vrijednost. Osim toga zračna struja pri opstrujavanju tijela
zrakoplova i kombinacije krilo-tijelo, stvara na njima bočnu silu, a kao reakcija oni skreću
struju za neki kut. Taj kut skretanja σ sigurno je utoliko veći ukoliko je veći kut klizanja β ,
te je on prije svega proporcionalan kutu klizanja, što znači da možemo pisati
ββσσ∂∂
= . 4.4
U toj jednadžbi usvajamo da je parcijalna diferencijacija neovisna o kutu klizanja. Pomoću te
jednadžbe možemo kut klizanja na vertikalnom repu napisati u obliku
β β σ β∂σ∂β
∂β∂β
βVV= − = −
=1 . 4.5
Prema tome, bočna sila zbog kuta klizanja bit će
( ) β
ββρ
ηβρ
αβ ∂∂
−= vVBVNVvYref KCSVCSV
22
22
pa je njen gradijent
( )ββη αβ ∂∂
−= vVBN
ref
vvY KC
SSC . 4.6
Vrlo je teško postaviti neki matematički model koji bi dovoljno točno određivao ∂β∂β
V .
Eksperimentalno je određeno usporenje i skretanje uslijed kombinacije tijelo-krilo u ovisnosti
o parametru krila s podtrupnim dijelom: vitkosti wA′ , strijele prednjeg ruba LEΛ i položaja
krila na trupu fw Dz , kao i o odnosu površina vertikalnog repa skupa sa dijelom pod trupom
prema površini krila wv SS ′
wf
WW
V
VV A.
Dz.
cosSS
.. 009040
1
0637240 ++
+
′
+=Λ∂β
∂βη . 4.7
Gradijent momenta skretanja po kutu klizanja osim momenta skretanja od bočne sile
na vertikalnom repu ima i dva sprega: od krila i od tijela
( ) ( ) ( )fnWnVnn CCCC ββββ ++= 4.8
Prvi dio gradijenta momenta skretanja zbog kuta klizanja ( )VnC β jest posljedica momenta
normalne sile na vertikalnom repu zbog kuta klizanja Vβ . Tu silu smo već odredili
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-3
( ) β∂β∂βρη α
VVBVNVVV KCSVYY
2
2
== .
Hvatište ove sile određujemo kao napadnu točku krila od dva polukrila jednaka vertikalnom
repu:
CAAVCV hcx ++= 0ll 4.9
Moment skretanja zbog normalne sile na vertikalnom repu je pozitivan:
( ) ( )mCVV
VBVNVVV KCSVN ll −= β∂β∂βρη α2
2
4.10
Dijeljenjem s referentnim veličinama zrakoplova bit će
( ) ( )b
Cb
KCSSC mCV
YmCVV
VBVNref
VVVBn
llll −−=
−= βαβ ∂β
∂βη . 4.11
Aerodinamički koeficijent sprega ( )WBnC β pojavljuje se samo ako krilo ima silu
uzgona. Na njega znatno utječe strijela krila. U literaturi [18], za referentne veličine krila s
podtrupnim dijelom dana je empirijska formula za ovaj gradijent:
( ) ( )
−⋅−−= mcw
LWn BB
ACC ll21
2
41
πβ , 4.12
gdje je
( )( )( )4141
241
2
41
2
4141
411
46
824
ΛΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
cosAcosAsin
B
cosAAcos
cosAtg
B
+=
−−
+=
Za veće brzine treba uzeti u obzir i utjecaj stlačivosti zraka, tako što se ova vrijednost množi
još s funkcijom
AAB
A B ABA A
+
+
+ −
+ −
44
4 84 8
1 4
1 4
2 21 4
21 4
21 4
21 4
coscos
cos coscos cos
Λ
Λ
Λ Λ
Λ Λ,
u kojoj je
B M= −1 2 21 4cos Λ .
Koeficijent sprega od tijela ( )fnC β stvara tijelo isto kao i u slučaju momenta
propinjanja. Tijelo stvara spreg koji je proporcionalan kutu skretanja ( ) ββ fnC . Taj spreg je
posljedica bočne sile na prednjem dijelu tijela koja je u smjeru poprečne brzine opstrujavanja,
i bočne sile na zadnjem dijelu koja je u suprotnom smjeru. Te su sile po veličini približno
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-4
jednake i njihova rezultanta je mala, ali one čine negativan spreg oko osi z koji povećava kut
skretanja. Koeficijent tog sprega koji je negativan, može se procijeniti empirijskom
jednadžbom
( )bSW
DVCrefB
BBBn 3.1−=β , 4.13
u kojoj je BV volumen tijela, BD njegova najveća visina, a BW njegova najveća širina.
4.1.2 Gradijent bočne sile i momenta skretanja od otklona kormila pravca
Normalna sila na vertikalnom repu koja je nastala zbog pozitivnog otklona kormila pravca
(vidi sliku 4.1) po pravca i smjeru je duž osi y:
( ) nVNVslotVnYref CSVCSVn
δρηηδρδδ 22
22
= ,
odakle je
( )VNref
VslotVY C
SSC
n δδ ηη= , 4.14
U odjeljku 2.2.7. pokazali smo kako se može odrediti koeficijent ( )VNC δ .
0>nδx
y
Slika 4-1. Normalna sila na vertikalnom repu za pozitivan otklon kormila pravca
Moment skretanja ove sile je negativan za pozitivan otklon nδ (vidi sliku 3.1)
( ) ( )mVnVNVslotVnnref CSVCbSVn
ll −−= δδδ δρηηδρ22
22
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-5
Hvatište ove sile na vertikalnom repu zbog otklona kormila, odredili smo također u odjeljku
2.2.7. Ako je x Vδ udaljenost te točke od srednje aerodinamičke apscise, a Ax udaljenost
srednje aerodinamičke apscise od početka repa, treba tom zbroju dodati udaljenost početka
repa od vrha letjelice V0l . Tako dobivamo da je vAVv xx δδ ++= 0ll . Dijeljenjem s
referentnim veličinama dobivamo
( )b
Cb
CSSC mV
YmV
VNref
VslotVn nn
llll −−=
−−= δ
δδ
δδ ηη . 4.15
4.1.3 Gradijent momenta skretanja zbog otklona krilca
Promatrajmo krilo s podtrupnim dijelom. Na lijevom polukrilu na kome je 0<y (vidi sliku
4-2), uzgon 22
2
LW CSV ′ρ je povećan za veličinu ∆L zbog pozitivnog otklona krilca. Na
desnom polukrilu na kome je 0>y uzgon je smanjen za tu istu veličinu. Zamislimo
kombinaciju krilo-tijelo koja ima oba krilca otklonjena prema dolje kao lijevo krilce stvarne
kombinacije i. Koeficijent uzgona takve kombinacije krilo-tijelo je
( )( )
222
22
22
2
WWBL
W
WBLW
SVLC
SV
LCSV
ρρ
ρ∆∆
+=+
.
Koeficijent induciranog otpora na toj kombinaciji je
( )
2
2
22
+W
WBL SVLCK
ρ∆ ,
pa je inducirani otpor na lijevoj polovini te kombinacije
( )
2
2
2
2222
+W
WBLW
SVLCKSV
ρρ ∆ .
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-6
x
0>lδ
y
z
>0
L∆
L∆
Slika 4-2 Dodatna normalna sila zbog otklona krilaca
Isto tako nalazimo da je inducirani otpor na desnoj polovici krila na kome je 0>y , koje ima
krilce otklonjeno prema gore
( )
2
2
2
2222
−W
WBLW
SVLCKSV
ρρ ∆ .
Vidimo da inducirani otpori na desnoj i lijevoj strani krila nisu isti. Posljedica je moment
skretanja. Hvatište tih sila je na udaljenosti cy od osi zrakoplova, a to je hvatište normalne
sile polukrila s podtrupnim dijelom. Lijevo polukrilo imat će negativni moment skretanja, a
desno pozitivni:
( ) ( ) cW
WBLW
WBLW y
SVLC
SVLCKSVN
−+
+−=
2
2
2
2
2
222222 ρρ
ρ ∆∆ ,
ili
( ) cWBLnref yLCKCbSV∆4
2
2
−=llδρ
δ .
Označimo sa ly udaljenost hvatišta sile L∆ od osi letjelice Onda je moment valjanja zbog
otklonjenih krilaca
lll lyLCbSV
ref ∆δρδ 2
2
2
= ,
Dijeljenjem ovih dviju jednadžbi dobivamo
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-7
( )l
l ll yyCCKC c
WBLn δδ 2−= . 4.16
Udaljenost cy od ose zrakoplova napadne točke normalne sile polu-krila određujemo pomoću
dijagrama na slici 2-12, a ey je udaljenost od osi zrakoplova do napadne točke normalne sile
krilca L∆ . Tu napadnu točku možemo uzeti na polovini raspona krilca.
4.1.4 Bočna sila i moment skretanja zbog kutne brzine valjanja
Na slici 4-3 vidimo da zbog kutne brzine valjanja aerodinamičko središte vertikalnog repa
dobiva brzinu cvzp u pravcu i smjeru osi y. Učinak je isti ako vertikalni rep stoji a zrak ima
brzinu cvzp u suprotnom smjeru osi y. Ta brzina mijenja pravac brzine opstrujavanja tako
što se na vertikalnom repu dobije pozitivan dopunski kut klizanja Vzp c
V =β∆ . Usvojili smo
apsolutnu vrijednost udaljenosti aerodinamičkog središta vertikalnog repa cz od osi
zrakoplova, kako predznak ne bi utjecao na smjer sile i momenta koji su posljedica ovog kuta.
Slika 4-3.Vertikalni rep pri kutnoj brzini valjanja
Sila na vertikalnom repu koja se javlja zbog vβ∆ jest negativna bočna sila zrakoplova zbog
kutne brzine valjanja:
( )Vzp
CSVVpbCSV cv
vNvvYpref αρηρ
22
22
−= ,
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-8
odakle je
( )b
zC
SS
C cvvN
ref
vvYp αη−= . 4.17
Moment skretanja zbog kutne brzine valjanja ima dva dijela. Prvi je dio moment
bočne sile na vertikalnom repu, a drugi je spreg skretanja koji se stvara na krilu zbog kutne
brzina valjanja krila.
Moment skretanja od bočne sile na vertikalnom repu je pozitivan.
( ) ( )ll −cvcv
vNvv Vzp
CSVα
ρη
2
2
Zbog pozitivne kutne brzine valjanja na desnoj polovici krila, točke krila imaju brzinu
prema dolje py , a to je isto kao da zrak na desnoj strani krila ide prema gore. Ta dopunska
brzina zraka prema gore na desnoj polovici krila stvara dodani napadni kut Vpy
=α∆ , koji
raste linearno po rasponu krila. Na lijevoj strani krila također je takav ali negativan dopunski
napadni kut.
Ako napadni kut krila bio pozitivan, onda je na desnoj strani on povećan pa zato je
desnoj strani krila povećan a na lijevoj strani smanjen inducirani otpor. Rezultanta tih
promjena induciranog otpora bit će praktično nula, ali one daju pozitivan spreg oko osi z .
Povećani napadni kut izazvat će veću silu u pravcu gibanja krila zbog opstrujavanja prednjeg
ruba na desnoj strani krila, dok će smanjeni napadni kut na lijevoj strani smanjiti tu isu silu.
Opet će rezultanta tih promjena praktično biti nula, ali te promjene sila stvaraju negativan
spreg.
porast sile zbogopstrujavanja
pad induciranog optora
porast induciranog optora
pad sile zbogopstrujavanja
Slika 4-4. Spreg induciranih sila otpora i aksijalnih sisajućih sila
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-9
Razlika između ta dva sprega je mala u odnosu na moment koji stvara vertikalni rep
zbog kutne brzine valjanja, pa je zato moment skretanja zrakoplova zbog kutne brzine
valjanja uglavnom moment skretanja od bočne sile na vertikalnom repu zbog kutne brzine
valjanja:
( ) ( )ll −= cvcv
vNvvnpref Vzp
CSVVpbbCSV
αρηρ
22
22
( )b
Cbb
zC
SSC mcv
Ypmcvcv
vNref
vvnp
llll −−=
−= αη 4.18
4.1.5 Bočna sila i moment skretanja zbog kutne brzine skretanja
Slično kao u prethodnom odjeljku, zbog kutne brzine skretanja r oko osi z aerodinamičko
središte vertikalnog repa ima brzinu ( )mcvr ll − u pravcu osi y, ali u suprotnom smjeru. Tu
brzinu aerodinamičkog središta vertikalnog repa možemo zamijeniti sa suprotnom brzinom
zraka.
mcv ll −
( )mcvr ll −
( )mcvr ll −
Slika 4-5. Vertikalni rep pri kutnoj brzini skretanja
Na slici 4-5 vidimo da vektorski zbroj te dodate brzine zraka ( )mcvr ll − i brzine dolazeće
zračne struje V, daju negativni kut klizanja na vertikalnom repu. Taj kut klizanja stvara
pozitivnu bočnu silu zrakoplova:
( ) ( )V
rCSVVrbCSV mcv
vNvVYrrefll −
= αρηρ
22
22
te je
( )b
CSSC mcv
vNref
vVYr
ll −= αη . 4.19
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-10
Moment oko osi z od te sile je negativan, a to je moment skretanja zrakoplova zbog kutne
brzine skretanja
( ) ( )V
rCSV
VrbbCSV mcv
vNvVnrref
222
22ll −
−= αρ
ηρ
te je gradijent koeficijenta momenta skretanja
( ) ( )b
Cb
CSSC mcv
Yrmcv
vNref
vVnr
llll −−=
−−= 2
2
αη . 4.20
4.2 Moment valjanja Koeficijent momenta valjanja određujemo tako da moment valjanja bude izražen jednadžbom
lCbSVL ref2
2ρ= . 4.21
Taj aerodinamički koeficijent kao što smo to na početku ovog odjeljka pokazali, za
zrakoplovne konfiguracije ovisi o parametrima nrp δδβ ,,,, l . Ta funkcija se može
linearizirati
( ) nrpn nCC
VrbC
VpbCCrpC δδβδδβ δδβ llllllll l
++++=∗∗ ,,,, , 4.22
što nam omogućuje da svaki derivativ posebno analiziramo. Ta analiza ima dvostruku ulogu.
S jedne strane na temelju nje procjenjujemo vrijednosti derivativa, a s druge strane
upoznajemo se s fizičkom slikom, na temelju koje uočavamo ulogu krila, horizontalnog i
vertikalnog repa u momentu valjanja. Točniju procjenu ovih derivativa možemo naći u
lit.[28] i [29].
4.2.1 Gradijent po kutu klizanja
Moment valjanja zrakoplova zbog kuta klizanja βlC stvara krilo i vertikalni rep.
( ) ( )VW
CCC βββ lll += 4.23
4.2.1.1 Od krila ( )CWlβ
Gradijent momenta valjanja po kutu klizanja koje stvara krilo ( )CWlβ ima tri komponente
( ) ( ) ( ) ( )WWzWLCWW
zCCCCCL ββνββ ν llll ++= ; 4.24
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-11
( )CWlβ νν komponenta zbog prostornog kuta ν krila,
( )WLC CC
Lβl komponenta zbog istodobnog postojanja normalne sile na krilu i kuta
klizanja,
( )C zz W Wlβ komponenta zbog nesimetrično postavljenog krila na tijelu.
Utjecaj prostornog kuta krila ( )W
C βνl
Od ova tri faktora najveći utjecaj na moment valjanja krila ima kut ν (kut koji čini krilo u
odnosu na koordinatnu ravninu xy). Zbog tog kuta, kao što se vidi sa slike 4-6, poprečna
brzina V Vsinβ β≈ razlaže se na komponentu okomitu na ravninu krila V Vβ ν βνsin ≈ i
drugu komponentu u ravnini krila (na drugoj polovici krila ta okomita komponenta Vβν ima
suprotan smjer). Okomita komponenta brzine podijeljena s brzinom V Vcosβ ≈ stvara
napadni kut βν na desnoj polovici krila ( 0>y ) i isti takav ali negativan βν− na lijevoj
polovici krila ( 0<y ).
0>= βνα∆ 0<= βνα∆
f
z
2wb
b
βV βV( )νβV ( )νβV
W
Slika 4-6. Utjecaj kuta klizanja na krilo s kutom ν
Tom napadnom kutu na desnoj polovici krila odgovara normalna sila
( ) βνρα wNw CSV
221 2
,
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-12
čije je hvatište na udaljenosti WCy od ose zrakoplova. Ista je tolika sila samo suprotnog
smjera pojavljuje se na desnoj polovici krila, te one skupa čine spreg oko x osi negativnog
smjera:
( )WC
WNW
ref yCSV
CbSV2
222
2
2 βνρ
βνρ α
νβ −=l ,
Dijeljenjem sa referentnim momentom bSq ref∞ i skraćivanje sa βν dobivamo
( )b
yC
SSC WC
wNref
wανβ −=l , 4.25
Pomoću dijagrama na slici 2-12 možemo odrediti položaj napadne točke polu-krila u
ovisnosti o parametru krila. Toj vrijednosti treba dodati pola širine trupa na mjestu krila.
Utjecaj preko normalne sile LCC βl
Drugi uzrok pojave momenta valjanja na krilu jest nesimetrija opstrujavanja dviju polovica
strelastog krila. Nazovimo, kao u prethodnom slučaju, desno polukrilo ono na kome su
koordinate y pozitivne, a lijevo polukrilo gdje je y < 0 (kao na slici 4-7 gledano u vrh osi z ).
V41Λ
βV
β
41Λ
y
x
Wf
desno lijevo
Slika 4-7. Nesimetrija opstrujavanja strelastog krila pri postojanju kuta klizanja
Prva posljedica ove nesimetrije je razlika u komponenti brzine okomite na glavni
vrtlog. Na desnom polukrilu ta komponenta je ( )β−41cos ΛV , a na lijevom ona je
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-13
( )β+41cos ΛV . Zbog toga će biti različiti dinamički tlak u struji okomitoj na glavni vrtlog
lijevog i desnog polukrila.
Druga posljedica nesimetrije su različiti napadni kutovi u presjecima lijevog i desnog
polu-krila okomitim na glavni vrtlog. Na desnom polukrilu je napadni kut
( )βα−41cos
sinΛV
V ,
a na lijevom
( )βα+41cos
sinΛV
V .
Zato će se pojaviti različiti momenti valjanja na desnom i na lijevom polu krilu
( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ,
cos2cos
2
cos2cos
2
41
241
41
241
WCWBWNW
lijevo
WCWBWNW
desno
ykCSVL
ykCSVL
βΛαβΛρ
βΛαβΛρ
α
α
++=
−−−=
a rezultirajući moment valjanja bit će zbroj tih dvaju momenata:
( ) ( )[ ] ( )
( ) .2
sin22
2coscos
2
2
41
2
4141
2
2
WCWBWNW
WCWBWNW
lijevodesnoLCref
ykCSV
ykCSV
LLCbCSVL
αΛβρ
αβΛβΛρ
βρ
α
α
β
⋅⋅−=
++−−=
+=l
Dijeljenjem s referentnim veličinama za moment valjanja i ijednašavanjem ( ) αα WNL CC = ,
dobivamo
b
yk
SSC WC
WBref
wCL 41sinΛβ −=l . 4.26
Podsjetimo se da položaj napadne točke polukrila u ovisnosti o parametrima krila određuje
pomoću dijagrama na slici 2-12.
Utjecaj zbog nesimetrično postavljenog krila ( )C zWlβ
Treća komponenta momenta valjanja je zbog nesimetrično postavljenih krila. Ako su krila
postavljena na donjem dijelu tijela (niskokrilac, slika 4-7-b), onda povećani tlak na spoju krila
i trupa zbog poprečne brzine Vβ stvara pozitivni moment valjanja, i obrnuto, ako je krilo
postavljeno na gornjem dijelu tijela (visokokrilac kao na slika 4-7-a), onda povećani tlak na
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-14
spoju krila i trupa stvara negativni moment valjanja. Na temelju mjerenja napravljena je
empirijska formula
( ) Wff
W zb
WDA.zC
+= 21βl . 4.27
βV
βV
+ -
-
y
z
z
yzW>0
zW<0
a)
b)
Slika 4-8. a) visoko-krilac, b) nisko-krilac
Df i Wf su visina i širina tijela na mjestu gdje je postavljeno krilo, a zW je visina korijene
tetive u koordinatnom sustavu letjelice (pozitivna prema dolje) podijeljena s referentnom
duljinom b.
4.2.1.2 Od vertikalnog repa ( )V
C βl
Moment valjanja koji se stvara na vertikalnom repu zbog kuta klizanja ( ) ββ VCl jest
posljedica normalne sile na vertikalnom repu (vidi sliku 4-9). Ta sila je
( ) VVNVVV CSVF βρη α′−=2
2
. 4.28
Hvatište te sile određeno je kao napadna točka polunoseće površine u odjeljku 2.25.
Udaljenost CVz od napadne točke vertikalnog repa do osi x je zbroj udaljenosti od napadne
točke do korijenske tetive i udaljenosti od korijenske tetive i do osi x letjelice:
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-15
y
L<0
x
vVβ
zcv FvV
Slika 4-9. Moment valjanja od vertikalnog repa
Služimo se apsolutnim vrijednostima da ne bi smo pogriješili u predznaku. Osim usporenja
struje, zbog čega smanjujemo dinamički tlak na repu ηV , mijenja se i pravac zraka ββ <v .
Zato umanjujemo kut klizanja na vertikalnom repu za kut σ , kao što je objašnjeno u odjeljku
4.1.1, te je
∂β∂β
β∂β∂σβσββ V
V =
−=−= 1 .
S obzirom na tako određeni kut klizanja normalna sila na vertikalnom repu je
( ) βρββ
η α VNVv
VV CSVF ′∂∂
−=2
2
, 4.29
a njen moment valjanja za os x je negativan:
( ) ( ) CVVNVV
VVref zCSVCbSV βρ∂β∂β
ηβραβ ′−=
22
22
l
Dijeljenjem s referentnim veličinama i kutom klizanja dobit ćemo traženi koeficijent
( ) ( )b
zC
SS
C CVVN
ref
VVVV αβ ∂β∂β
η′
−=l . 4.30
U poglavlju 4.1.1 dana je empirijska formula za određivanje produkta ∂β∂β
η VV za slučaj
skretanja struje izazvano elisom.
4.2.2 Gradijent po otklonu kormila pravca
Otklon kormila pravca na vertikalnom repu stvara normalnu silu na njemu
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-16
( ) nVNVslotVV CSVF δρηη δ2
2
= 4.31
koja je okomita na vertikalni rep. Ako je otklon pozitivan (kao na slici 4-9), ta sila je u pravcu
i smjeru osi y . Gradijent ( )VNC δ na vertikalnom repu procjenjujemo kako je opisano u
odjeljku 2.2.7. Možemo uzeti da je napadna točka ove sile na polovici raspona kormila
pravca. Označimo sa rmz udaljenost te točke od osi x . Moment valjanja zrakoplova ove sile,
za pozitivan otklon, jest pozitivan.
( ) rmnVNVslotVnref zCSVbCSVn
δρηηδρδδ 22
22
=l
Dijeljenjem s referentnim veličinama i otklonom kormila pravca dobivamo
( )b
zC
SSC rm
VNref
VVn δδ η=l . 4.32
z
C
rm
Slika 4-10. Površina δS i napadna točka u središtu te površine
Ovaj gradijent je znatno manji u odnosu na druge gradijente Clβ i Cl lδ te se zato ponekad
zanemaruje.
4.2.3 Gradijent po otklonu krilaca
Moment valjanja koji stvaraju krilca najbolje ćemo odrediti ako na dijelu krila na kome se ona
nalaze, promatramo element površine dycdS = udaljen y od osi x. Moment valjanja od
jednog elementa je
HLfKcdSVydL Λδρδ cos
2
2
ll= .
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-17
Svi elementi imaju isti otklon HLΛδ cosl , te prema tome i isti koeficijent nelinearnosti K f .
Integracijom od unutrašnje udaljenosti krilca iny do vanjske udaljenosti outy (slika 5.11)
dobivamo ukupni moment valjanja jednog krilca. Za par krilaca moment je dva puta veći:
( )∫=out
in
y
yHLfref dyycycKVbCSV
δδ Λδρδρllll l
cos2
22
22
x
0>lδ
y
z
ly
lSiny
outy
>0
Slika 4-11.
Dijeljenjem s referentnim momentom i otklonom krilaca, dobivamo gradijent momenta
valjanja zbog otklona krilca:
( )
bS
dyycycKC
ref
y
yHLf
out
in
∫=
δ
δ
Λ l
l l
cos2. 4.33
Postoji li između krila i krilaca zazor, treba uzeti u obzir gubitke reda veličine i do 20%. δlc
je gradijent profila u presjeku y, a δNC je gradijent krila zbog otklona krilaca. Sa eS
označimo dio površine polukrila na kome se nalazi krilce, a sa ey udaljenost središta te
površine od osi zrakoplova kao na slici 5-11. Možemo uzeti da je
( ) eeN
y
y
SyCdyycycout
in
δδ =∫ l ,
pa je konačno
HLfNe
ref
eslot KC
by
SSC Λη δδ cos2=
ll . 4.34
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-18
4.2.4 Gradijent po kutnoj brzini valjanja ∗pC pl je koeficijent momenta prigušenja valjanja letjelice. Bezdimenzijska brzina valjanja je
Vpb . Derivativ pCl stvaraju krilo, horizontalni i vertikalni rep, a udio tijela se zanemaruje:
( ) ( ) ( )VBphBpWBpp CCCC llll ++= 4.35
Najveći dio ovog derivativa stvara krilo, pa možemo reći s malom pogreškom da je
( )WBpp CC ll = . 4.36
Prigušenje valjanja od krila ( )WpCl
Kombinacija krilo-tijelo ima raspon b, samo krilo (od dva polukrila) ima raspon wb , a fW je
širina tijela na mjestu kombinacije. Neka se kombinacija krilo-tijelo valja oko osi x
koordinatnog sustava letjelice. Uočimo jedan element krila na desnom polukrilu, širine dy na
udaljenosti y od osi x. Zbog kutne brzine p taj element ima brzinu py prema dolje.
Opstrujavanje tog elementa je isto ako on nema tu brzinu prema dolje, već zrak ima brzinu py
prema gore. To znači da možemo kombinaciju krilo-tijelo koje se vrti kutnom brzinom p oko
osi x, zamijeniti s kombinacijom koja se ne vrti ali je opstrujavana zrakom koji osim
aerodinamičke brzine ima kutnu brzinu p− , suprotnog smjera od kutne brzine letjelice. U
tom drugom slučaju, u presjeku y zrak ima vertikalnu brzinu py prema gore (za y negativno
brzina je na dolje). Vektorski zbroj aerodinamičke brzine i brzine vrtnje zraka daju rezultantu
koja ima napadni kut u presjeku y kao na slici 4-12.
dN
x
y
b
z
Wf
y
Slika 4-12. Kombinacija krilo-tijelo u valjanju
yVp
Vpyarctg ≈=α∆
Zbog tog kuta na element površine krila, ( )dyycdS = , djeluje elementarna normalna sila
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-19
yVpcdSVdN lα
ρ2
2
= ;
αlc je gradijent profila tog elementa u presjeku y. Ta elementarna sila stvara negativni
elementarni elementarni moment valjanja
dSyVpcVydNdL 2
2
2 δρ
l−=−= .
Ukupni moment valjanja dobivamo integracijom po rasponu od korijenske do vršne tetive.
Korijenska tetiva je na udaljenosti 2fW od osi x, a vršna tetiva je na udaljenosti 2b . Druga
polovica krila stvara isti takav moment jer je slika anti-simetrična, pa je zato ukupni moment
valjanja
∫−=2
2
222
22
2
b
Wpref
f
dSyVpcV
VpbbCSV
δρρ
ll ,
ili kraćenjem istih veličina na lijevoj i desnoj strani jednadžbe, dobivamo
∫−=2
2
22
2 b
Wrefp
f
dSycbS
C αll 4.37
Integral na desnoj strani može se napisati kao razlika dvaju integrala
∫∫∫ −=2
0
22
0
22
2
2 222f
f
Wbb
W
dSycdSycdSyc ααα lll ,
kao što je to prikazano na slici 4-13.
= -
Slika 4-13. Područje kombinacije = područje krila raspona b - područje krila raspona fw
−−= ∫∫
2
0
22
0
22 221 fWb
refp dSycdSyc
bSC αα lll . 4.38
Bezdimenzionalna veličina
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-20
( ) ( )βλαα AAfCdSycbS mWN
b
ref
,,2 2
0
22 =∫ l . 4.39
izračunata je u subsonici pomoću teorije vrtloga a u supersonici pomoću linearne teorije
krila. Detaljno izvođenje je problem teorijske aerodinamike, pa se nećemo na njemu
zadržavati. Funkcija ( )βλ A,A,f m predočena je na slici 4.13 prema [13]. Parametri funkcije
su
mm tanAA Λ=
11 2 −−=⇒< MaAAMa β
11 2 −=⇒> MaAAMa β
-4 -2 0 2 4 6 80.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Am=0 Am=4
λ=1
λ=0
Am=2Am=4
Am=0
Slika 4-14. ( )βλ A,A,f m
Zamjenom u jednadžbu za gradijent valjanja zrakoplova po kutnoj brzini valjanja dobivamo
( )[ ] ( )[ ] fwmNfbmN
refp AAfCWSAAfCbS
SbC βλβλ αα ,,,,1 22
2 −−=l . 4.40
U vitičastoj zagradi prvo izračunamo produkt fCbS Nα2 za krilo s podtrupnim dijelom
(raspona b), a zatim od njega oduzmemo taj isti produkt za krilo pod trupom (krilo raspona
fW ). Ovaj drugi produkt obično je mali i s obzirom na točnost cijele teorije obično se
zanemaruje. U tom slučaju ako je referentna površina jednaka krilu raspona b onda je
( ) ( ) ( )βλα AAfCC mWNWp ,,=l . 4.41
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-21
4.2.5 Gradijent po kutnoj brzini skretanja
Moment valjanja zbog kutne brzine skretanja stvara krilo i vertikalni rep
( ) ( )VrWrr CCC lll += . 4.42
Utjecaj krila ( )WrCl
Razmotrimo prvo mehanizam stvaranja momenta valjanja na krilo kada postoji kutna brzina
skretanja. Uočimo jedan element krila dS (šrafirana površina na slici 4-15) koji je udaljen od
yr
ryV −∞
y
y
x
desno lijevo
Slika 4-15 Krilo s kutnom brzinom skretanja r
osi letjelice y . Zbog kutne brzine skretanja r, taj element dobiva brzinu yr unatrag, što je isto
kao da on stoji a da se brzina zraka smanji za tu isu veličinu. To znači da svaki element desne
polovice krila ima umanjenu brzinu opstrujavanja ryV −∞ . Suprotno tomu, s lijeve strane isti
takav element imat će povećanu brzinu yrV +∞ . Upotrijebili smo apsolutnu vrijednost kako
ne bismo pogriješili zbog promjene predznaka s desne na lijevu polovicu krila. Element s
desne strane polukrila ima elementarnu normalnu silu
( )lcdSryVdNdesno 2
2−= ∞ρ ,
gdje je lc koeficijent uzgona profila u presjeku y . Ta elementarna normalna sila stvara
elementarni moment valjanja
( ) ycdSryVdLdesno l2
2−= ∞ρ .
Na lijevoj strani, na simetričnom elementu imamo elementarnu normalnu silu
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-22
( )lcdS
yrVdNlijevo 2
2+= ∞ρ
i njen moment
( )ycdS
yrVdLlijevo l2
2+= ∞ρ
.
Elementarni momenti od desnog polukrila su negativni, a od lijevoga su pozitivni. Ukupni
moment valjanja od oba polukrila bit će
( ) ( )∫∫
++
−−=− ∞∞
2
0
22
0
2
22
bb
lijevodesno ycdSyrV
ycdSryVLL ll
ρρ ,
ili
( ) ∫ ⋅=2
0
2
422
b
Wrref ydScryVVrbCbSV
ll
ρρ .
Kraćenjem dobivamo
( ) ∫
=2
0
22
2
1 b
ref
Wr dSycSb
C ll . 4.43
Da bismo procijenili vrijednost ovog integrala, zamijenimo zadano krilo ekvivalentnim
krilom pravokutnog oblika. Neka je tetiva tog krila Ac , raspon Ab i konstantan koeficijent
uzgona profila. Onda je taj integral jednak vrijednosti
AA
b
bccbcbcdSyc lll 61
2231 232
0
2
=
=∫ . 4.44
Za takvo krilo produkt Abc je njegova površina, a pomnožena s koeficijentom uzgona profila
približno je uzgon tog krila, te je konačno
( ) ( )WNWr CC61
=l , 4.45
gdje je NC normalna sila krila s podtrupnim dijelom.
Utjecaj repa ( )VrCl
Zbog kutne brzine r oko osi z tromosti letjelice, vertikalni rep ima brzinu ( )rmcv ll − u
pravcu y osi, ali suprotnog smjera. Tu brzinu vertikalnog repa možemo zamijeniti istom
tolikom brzinom zraka ali suprotnog smjera, a to znači u smjeru os y . U tom slučaju zrak koji
dolazi na vertikalni rep ima dvije brzine, kao na slici 4-16.
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-23
r>0
( )rmcv ll −
vβ∆
x
y
z
zcv
Slika 4-16. Moment valjanja od vertikalnog repa
Aerodinamičku brzinu V i ovu fiktivnu ( )rmcv ll − u pravcu i smjeru osi y. Rezultirajuća
brzina zraka ima negativni dopunski napadni kut na vertikalni rep
( )V
rmcvv
ll −=β∆ ,
zbog koje se pojavljuje pozitivna bočna sila okomita na vertikalni rep
( ) ( )r
VCSV mcv
VNvvll −
αρη
2
2
.
Ta sila ima pozitivan moment oko osi x tromosti letjelice koji čini moment valjanja zbog
kutne brzine skretanja:
( ) ( )cv
mcvVNvvrref z
Vr
CSVVrbbCSV ll
l
−= α
ρηρ22
22
Kraćenjem dobivamo
( )b
zb
CSS
C cvmcvvN
ref
vvr
lll
−= αη . 4.46
Bočna sila, moment skretanja i moment valjanja 4-24
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-1
5 PRIMJER Kao primjer aerodinamičkog proračuna izvršit ćemo procjenu aerodinamičkih koeficijenata u
slučaju jednog malog putničkog zrakoplova. Dimenzije tog “malog zrakoplova” prikazane su
na slici 5.2. Taj mali zrakoplov ima pojednostavljeni oblik zrakoplova CHEROKEE 180
PIPER (slika 5.1), da bi aerodinamički proračun bio olakšan. Neki podaci o zrakoplovu
PIPER uzeti su iz lit.[14], a neki su dobiveni ljubaznošću tvrtke.
Slika 5-1 CHEROKEE 180 PIPER
5.1 Podaci i geometrija
5.1.1 Krilo (dva polukrila)
Korijenska tetiva mcr 882.1=
Vršna tetiva mct 500.1=
Raspon dva polukrila mbW 600.7=
Strijela prednjeg ruba krila 0=mΛ
Udaljenost krila od ravni elise mW 394.10 =l
Maksimalni uzgon krila 45.1max =LC
profil krila 415652 −NACA
Tetiva krilaca 20% od tetive krila
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-2
5930
3050
8768
150011
68
545
1362
1394 1882
1486 cA=1698
762
1267
570
6540
1545
5548
370
linija
1/4
tetiv
e
4370
275021
66ln
35°
lm
1009
Slika 5-2. Dimenzije malog zrakoplova
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-3
Kut strijele napadnog ruba:
088205006007
50018821 ...
..b
cctan LE
v
trLE =⇒=
−=
−= ΛΛ
Kut strijele geometrijskog mjesta točaka 25% tetive krila:
04141 44.10252.0
800.3500.1882.125.00503.0
225.0tantan =Λ⇒=
−−=
−−Λ=Λ
v
trLE b
cc
Kut strijele maksimalne debljine krila:
0580010108003
5001882140050302
...
....b
ccxtantan t
v
trtLEt =⇒=
−−=
−−= ΛΛΛ
Kut strijele osi otklona krilaca
0731030108003
5001882180050302
...
....b
ccxtantan HL
v
trtLEHL −=⇒−=
−−=
−−= ΛΛΛ
Površina dvaju polu krila
28512600072
5001882122
2 m....bccS Wtr
W =⋅+
=+
⋅=
548512
6007 22
..
.Sb
ARW
W ===
Za ishodište u vrhu krila
( ) ( ) m.....tanbx LEWA 0920050307970167970216007
1621
=+⋅+
⋅=+
+= Λ
λλ
( ) ( )m.
..
..
bS
cW
WA 6981
1797079701
60078512
34
11
34
22 =
+−=
+−⋅=
λλ
m...xAWA 4861092039410 =+=+= ll
Za 415652 −NACAprofil lit [1] (str. 628 i 629), daje geometrijske karakteristike
40150.x
.t
t ==
i rezultate mjerenja za 6106 ⋅=Re
00 62
00420
.
.c
L
mind
−=
=
α
0600106.c
.c
mo −==αl
To znači da ovaj profil ima najmanji koeficijent otpora 00420.cd = ako je napadni kut profila
u intervalu od 02− do 04+ . Zato zrakoplov treba u horizontalnom letu imati napadni kut koji
odgovara intervalu u kome je ta minimalna vrijednost koeficijenta otpora profila.
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-4
Geometrija krilca
374752
20
.y.y
.cc
out
in
==
=lδ
Geometrija zakrilca
20
1722
.cc.b
f
f
=
=
5.1.2 Tijelo
Zadani podaci
2171
171546
m.Sm.Wm.L
max
B
B
=
==
m..Sd max
e 22117122 ===ππ
Da bi izračunali opstrujavanu površinu tijela zrakoplova, prednji i zadnji dio tijela zamijenit
ćemo sa krnjim stošcem, a srednji s cilindrom, kao na slici 6-2.
500. 221. 300.
681. 601. 263.
Slika 5-3
Tako dobivamo procjenu opstrujavane površine 26318867136644 m....S B =++=
5.1.3 Horizontalni rep
Horizontalni rep je 0.304 iznad površine krila:
m.ccm.b
tr
h
7620053==
=
m...hm.
Ahh
h
2834648193059305
00
0
=−=−==
ll
l
Profil horizontalnog repa je NACA 0009. Za taj simetričan profil su prema lit [1], str 454 i
455, geometrijske karakteristike:
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-5
090.t =
300.xt =
i rezultati mjerenja za 6103 ⋅=Re
096
0520
.c.c mind
=
=
αl
Na horizontalnom repu nalazi se kormilo visine po cijeloj duljini horizontalnog repa:
2.0=ccδ
Korisna površina repa
( ) ( ) 208.2762.0316.0050.3 mcdbS hhh =⋅−=⋅−=
5.1.4 Vertikalni rep
548.5545.0009.1
0 ===
V
t
r
cc
l
035
36212
=
=
LE
V .b
Λ
Suženje vertikalnog repa:
54.0009.1545.0
===r
t
cc
λ
Izložena površina vertikalnog repa je
2058136212
5450009122
m....bccS vtr
v =+
=+
=
Vitkost vertikalnog repa
( ) 50.3058.12
362.12 22
=⋅⋅
==S
AVl
Aerodinamička tetiva vertikalnog repa je
( ) ( ) mdyydyycS
cb
vA 834.0341.0009.1
058.111 362.1
0
22
0
2 =−== ∫∫
Aerodinamička apscisa vertikalnog repa
( ) ( ) mbx LEVAV 429.0700.0540.016540.021724.2tan
1621
=+⋅+
⋅=Λ++
=λλ
Profil vertikalnog repa je isti kao horizontalnog repa. Strijela najveće debljine vertikalnog
repa je
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-6
00 9303621
5450009130352
..
...tgarctgb
ccxtanarctg
v
trtLEt =
−
−=
−−= ΛΛ
Strijela srednje crte vertikalnog repa je
00 9.27362.1
545.0009.15.0352
5.0tan =
−
−=
−−Λ=Λ tgarctg
bccarctg
v
trLEm
5.1.5 Zrakoplov
mmc
b
365.1941.1
768.8
0
0
===
l
mm 72.1=l
Površina krila sa pod trupnim dijelom
20 09.15768.82
500.1941.122
2 mbccS tref =⋅
+=
+⋅=
Za ishodište u vrhu krila
( ) ( ) mbx LEA 106.00503.0773.016773.021768.8tan
1621
=+⋅+
⋅=++
= Λλλ
( ) ( )m
bS
c refA 730.1
1773.0773.01
768.809.15
34
11
34
22 =
+−=
+−⋅=
λλ
Postavit ćemo ishodište u početak aerodinamičke tetive krila sa pod trupnim dijelom. Prema
podacima, to ishodište je udaljeno od vrha letjelice:
mxAA 471.1106.0365.10 =+=+= ll
mh Amm 237.0471.1708.1 =−=−= ll
137.0730.1237.0
===A
mm c
hh
Brzini leta smV 45= .
Vitkost krila s podtrupnim dijelom:
09.509.15
768.8 22
===refS
bAR
Oswaldov koeficijent induciranog otpora je 60.0=e . Njemu odgovara
104.009.560.0
11=
⋅⋅==
ππAReK .
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-7
5.2 Otpor
5.2.1 Krilo
Koeficijent trenja na ploči ovisi o mjestu tranzicije tl i o Reynoldsovu broju
( )( )
( )80582 191331 .
t.tplocet Reln.
Re.c ll −+=
Reynoldsov broj jest
65 102.5
1046.173.145Re ⋅=
⋅⋅
== −νAVc
Sobzirom da je Reynoldsov broj veći od 610 smatraćemo da je granični sloj na krilu
turbulentan.
( )( )
0033.0102.5ln91.3
58.26=
⋅=
plocefc
Korekcija zbog relativne debljine:
27115010040
150601100601 44 ...
..tx
t.Fm
F =
⋅+
⋅+=
⋅+
⋅+=
Za male vrijednosti Machova broja nije potrebna korekcija za stlačivost ( 1=MaF ). U tom
slučaju je koeficijent otpora profila:
( ) ( ) 0084.00033.02127.12 =⋅⋅⋅==plocefMaFtd cFFc l .
Odnos koeficijent otpora krila prema koeficijentu otpora profila određen je koeficijentom
( ) ( ) 1580 280028040 ≈==
...S .coscosF Λ .
Konačno dobivamo koeficijent otpora krila za referentnu površinu 2115 m.S ref = :
( ) 0071.00.10084.01.15
85.12=⋅⋅=⋅⋅= Sd
ref
WWDf Fc
SSC
5.2.2 Tijelo
Reynoldsov broj određujemo za duljinu tijela:
65 10220
1046154645
⋅=⋅⋅
==−
..
.VRe B
νl
Zbog elise pretpostavljamo da je cijeli granični sloj na tijelu turbulentan, te je koeficijent
trenja
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-8
( )( )[ ] ( )[ ] 002690
10220
9139135826582 .
.ln.
Reln.c ..plocef =
⋅==
Ekvivalentni promjer kruga površine maksimalnog presjeka tijela je m.d 221= pa je vitkost
tijela 365221546 ...f == . Toj vitkosti odgovara koeficijent korekcije zbog oblika tijela
401400
365365601
400601 33 ..
.f
fFF =++=++=
Ovaj koeficijent oblika odgovara pravilnom rotacijskom tijelu. Kabina se uglavnom uklapa u
oblik, pa treba malo povećati taj koeficijent zbog kabine za 10%, ali zbog oblika poprečnog
presjeka koji nije kružan treba povećati taj koeficijent oblika za 30%.:
002301101401 ....FF =⋅⋅=
Kao i za krilo, i ovdje je koeficijent korekcije zbog stlačivosti 1=MaF . Procjena je
opstrujavane površine tijela zrakoplova (vidi podatke u prilogu) 26318 m,S B =
Kao i za krilo, i za tijelo je 1=BQ , pa je otpor trenja tijela:
( ) ( ) 00660100200270115618 .....FFc
SS
C MaFplocafref
BBDf =⋅⋅⋅⋅==
Čelna površina vjetrobrana je 30.S front = . Vjetrobran je dobro uklopljen u tijelo pa je
070.k = . Dodatni valni otpor zbog vjetrobrana procjenjujemo na
( ) 0014011530070 ....
SS
kCref
frontBV ===
Koeficijent tlaka neposredno iza zrakoplova je
( ) ( ) 13901610132041901390161041901390 22 ......Ma..C p =−+=−+=
Površina baze je 0710430 2
..Sbase ==π pa je koeficijent otpora baze
( ) 00070115
07101390 .,
..SS
CCref
basepbaseD ===
Tako procjenjujemo otpor tijela
( ) ( ) ( ) ( ) 00870000700014000660 ....CCCC BbBVBfBD =++=++=
5.2.3 Horizontalni rep
Profil horizontalnog repa je NACA 0009. Podaci su u prilogu. Reynoldsov je broj na
horizontalnom repu:
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-9
65 10292
10461762045950
⋅=⋅⋅⋅
==−
,.
..VcRe Ah
νη
Pretpostavljamo da je horizontalni rep u cijelosti u turbulentnoj struji jer je njegov
Reynoldsov broj veći od 610 .
( )( ) ( )[ ] 0038.0
1029.2ln91.3
Reln91.3
58.2658.2 =⋅
==plocefc
Korekcija FF zbog relativne debljine 090.t = na mjestu 300.xt = je
301090100300
090601101100601101 44 ...
...tx
t..Ft
F =
⋅+
⋅+⋅=
⋅+
⋅+⋅=
a korekcija zbog stlačivosti također je 1=MaF , te je koeficijent otpora profila horizontalnog
repa
( ) 0099.0130.10038.022 =⋅⋅⋅== WMaplocefd FFcc
Odnos koeficijenta otpora horizontalnog repa prema koeficijentu otpora profila je
( ) ( ) .10coscos 28.028.0 === tSF Λ
Izložena površina horizontalnog repa je 208.2 mSh = te je komponenta otpora horizontalnog
repa za referentnu površinu 115.S ref =
( ) 0014.010099.01.15
08.2=⋅== Sd
ref
hhDf Fc
SSC
5.2.4 Vertikalni rep
Reynoldsov broj za vertikalni rep je
65 1062
10461834045
⋅=⋅
⋅==
−.
..Vc
Re A
ν
Vertikalni rep nalazi se u vrtložnoj struji elise, pa je njegov granični sloj turbulentan, a
karakteristike profila vertikalnog repa iste su kao za horizontalni rep, pa je koeficijent otpora
profila vertikalnog repa isti kao i koeficijent otpora profila horizontalnog repa:
0099.0=dc
Za vertikalni rep je 930.t =Λ , pa je odnos koeficijenta otpora vertikalnog repa prema
koeficijentu otpora profila vertikalnog repa:
( ) ( ) 96.09.30coscos 28.028.0 === tVF Λ
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-10
( ) 0007.096.00099.01.15
06.1=⋅⋅=⋅⋅= Vd
ref
VVDf Fc
SSC
5.2.5 Otpor podvoza
Čelna površina jednog kotača je 20600100600 m...S front =⋅= , ali se vidi samo pola čelne
površine, a druga polovica je zaklonjena blatobranom čija je čelna površina približno dva puta
veća. Zato je 20900030020300 m...S front =⋅+= . Čelna površina jedne noge kotača
20150050300 m...S front =⋅== . U letu su tri noge s kotačima. Zato je otpor podvoza:
( ) 00800115
015021115
090025033 ..
...
..SS
kSS
kCref
nogenoge
ref
frontkotačokotačoD =
+⋅=
+=
Od podvoza uzimamo u obzir samo ovaj valni otpor
5.2.6 Otpor zrakoplova
Konačno zbroj parcijalnih otpora daje nulti otpor (bez uzgona) zrakoplova:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0259.00080.00007.00014.00087.00071.0
=++++=
++++= podvpzDVDhDBDWDDO CCCCCC
5.3 Normalna sila i momenta propinjanja
Postavit ćemo ishodište na početak aerodinamičke tetive krila.
5.3.1 Krilo
Za izračun gradijenta krila potrebni su nam koeficijent stlačivosti β i koeficijent iskorištenja
profila. Pri brzini leta smV 45= , Machov broj je
132034045 .
aVMa ===
te je koeficijent stlačivosti
9910132011 22 ..Ma =−=−=β
Gradijent profila NACA 415652 − je 106.c =αl , te je za vitkost krila ..A 54= i strijelu
02 =cΛ gradijent uzgona normalne sile krila
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-11
( ) 014
991001
106504242
542
1242
2
2
2
22
22.
...
.
tgc
A
ACc
WL =
+
⋅
++
⋅=
+
++
=π
π
β
Λπ
π
α
α
l
Za određivanje položaja hvatišta sile ( ) αα WLC trebaju nam parametri
005454991054
800
=⋅=⋅−=⋅−=
=
.tgA...A
.
mΛβ
λ
Prema dijagramu na slici 2-8
240.hc =
Normalna sila kombinacije krilo-tijelo
( ) ( ) ( )[ ]LWWBBWref
WWNWBN ikK
SS
CC 0ααα −+=
Za odnos
1390778221 ...
bd
d e ===
vrijednost koeficijenta interferencije određujemo jednadžbama:
( ) ( ) 321139011390800139031131 .....dddK BW =−⋅⋅−⋅+=−⋅−+= λ
14132113901
139041011
4101 22
...
..Kd
d.k BWWB =
+⋅+
=
+
+=
Kut nultog uzgona profila NACA 415652 − je 00 3−=Lα . S ovim vrijednostima je
ekvivalentni napadni kut krila:
( )
−
−⋅+⋅=−+=35731413210 .
i..ikK WLWBWBWef αααα
0600141321 .i.. Wef ++= αα
te je konačno koeficijent normalne sile kombinacije krilo-tijelo
( ) ( ) ( )0600141321115
8512014 .i...
..SS
CC Wefref
WWNWBN ++⋅⋅⋅== ααα
( ) 2050893504 .i..C WWBN ++⋅= α
Spreg profila NACA 415652 − je 07000 .cm −= , te je spreg krila sveden na referentnu
površinu
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-12
( ) ( ) 04102158512
12541540700
200 ...
...
SS
cosAcosA
cCref
W
mW
mWprmWm −=⋅
⋅+⋅
−=⋅+
=Λ
Λ
Koeficijent momenta propinjanja kombinacije krilo-tijelo za središte mase koje je udaljeno
mh od aerodinamičkog ishodišta bit će:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mWmCWBWNWmBWm h..i...hhCCC −⋅++−−=−−= 240205089350404100 α
( ) ( ) ( ) mwmmBWm hihhC 205.0090.089.3934.050.408.1 +−−−−−= α
5.3.2 Tijelo
Oblik tijela je takav da možemo zanemariti rezultirajuću normalnu silu, ali moramo uzeti u
obzir spreg od normalne sile prednjeg i zadnjeg dijela, koji procjenjujemo prema jednadžbi
( ) αrefA
fffBm Sc
LWKC
2
= .
Za relativni položaj krila na tijelu
280546
24069813941546
0 ..
....
hcL
cAW
f
CW =⋅+
=+
=ll
s dijagrama na slici 4-18 dobivamo 560.K f = , pa je
( ) αα 19601156981
546171560 2
...
...C Bm =⋅
⋅⋅=
5.3.3 Savijanje struje
Iza kombinacije rila povijanje struje izračunavamo pomoću jednadžbe
( ) 191
41444.
HA cosKKK.dd Λαε
λ=
gdje je
13700951
10951
111
7171 ....AA
K ..A =+
−=+
−=
08617
8003107
310 ..K =⋅−
=−
=λ
λ
2104469814861
476209305
440 .....cc AA
hhcwch =
+−+=
+−+=− llll
9470
3842147785701
2
1
33
.
.
...
b
bh
Kcwch
H =−
=−
−=
ll
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-13
025208003
50018821250050302
25041 ..
....b
cc.tantan
v
trLE =
−⋅−=
−⋅−= ΛΛ
041 441.=Λ
te je
( ) 4310441947008611370444191
0 ..cos....dd .
=⋅⋅⋅⋅=αε
5.3.4 Horizontalni rep
Napadni kut na horizontalnom repu je
efh dd ααεαα −=
( )060.014.132.1431.0 ++−= wh iααα
026.0491.0431.0 −−= wh iαα
Za proračun gradijenta normalne sile po napadnom kutu trebat će nam veličine β :
9910132098011 22 ...Mah =⋅−=−= ηβ
Za profil NACA 0009 za koji je 096.c =αl , m.bh 682= 2042 m.Sh = , 53.Ah = i 02 =cΛ
bit će gradijent koeficijenta normalne
( )( )
603
010906
503242
4932
12
42
22
22
22.
..
.
tgc
A
AC
ch
hhN =
+
⋅
++
⋅=
+
++
=π
π
β
Λπ
π
α
α
l
Hvatište komponente ( ) αα hNC normalne sile nalazi se na udaljenosti od aerodinamičkog
središta
m.....c.hh Ahhc 61947620230486193052300 =⋅+−=⋅+=α
720269816194 .
.
.ch
hA
chc ===α
Normalna sila na horizontalnom repu
( ) ( ) ( ) ( )[ ]mhNhBHhBHhNref
hslothhBN CikKC
SS
C δαηη δα ++=
Koeficijenti interferencije za kombinaciju horizontalni rep-tijelo ovisno o odnosu promjera
tijela prema rasponu horizontalnog repa dobivamo iz jednadžbi
1210053370 ...
bd
d e ===
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-14
( ) ( ) 261121011210001121031131 .....dddK Bh =−⋅⋅−⋅+=−⋅−+= λ
10126112101
121041011
4101 22
...
..Kd
d.k BWWB =
+⋅+
=
+
+=
Gradijent normalne sile na horizontalnom repu zbog otklona kormila visine određujemo
pomoću jednadžbe
( ) ( ) fHLprofh
N
hhN KcosC
cC
SS.C ⋅
⋅= Λδ
α
αδδ l
l
90
U subsonici kad je upravljačka površina po cijelom rasponu noseće površine, onda je 1=hS
Sδ .
Za 20.c
c=δ i 090.
ct= sa slike 2-14 očitavamo ( ) 603.C prof =δl , te je
( ) ffhN K.Kcos.....C ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 92106030966030190δ
S ovim vrijednostima bit će koeficijent normalne sile kombinacije horizontalni rep - tijelo
( ) ( )[ ] mfhwhBN KiiC δα 92.110.1026.0491.0431.026.160.31.15
04.285.098.0 ++−−⋅⋅=
Sređivanjem dobivamo
( ) mfhwhBN KiiC δα 216.0013.0446.0250.0220.0 +−+−=
Ova sila ima dva dijela. Prvi 013.0446.0250.0220.0 −+− hw iiα od horizontalnog repa bez
otklona kormila visine i drugi mfK. δ2160 od otklona kormila visine. Prvi dio ima hvatište u
napadnoj točki normalne sile horizontalnog repa 7202.hc =α . Drugi dio zbog otklona kormila
visine, koji nazivamo upravljačka sila, ima napadnu točku na udaljenosti δx udaljenost
napadne točke od aerodinamičke apscise horizontalnog repa. Budući da je srednja
aerodinamička apscisa horizontalnog repa jednaka nuli, udaljenost δx je istodobno udaljenost
od napadnog ruba horizontalnog repa. Udaljenost δch napadne točke upravljačke sile od
aerodinamičkog ishodišta zrakoplova bit će zbroj hh0 udaljenosti napadnog ruba
horizontalnog repa od aerodinamičkog ishodišta zrakoplova i δx udaljenost napadne točke
od napadnog ruba horizontalnog repa. Sa slike 3-17 za 20.c
c=δ očitavamo 45.0=
cxδ . Tako
dobivamo hvatište upravljačke sile na udaljenosti od aerodinamičkog ishodišta zrakoplova:
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-15
819.2698.1
450.0762.0486.1930.50=
⋅+−=
+=
A
hh
c ccxch
hδ
δ
Koeficijent moment propinjanja horizontalnog repa za središte mase na udaljenosti mh od
aerodinamičkog središta letjelice ima
( ) ( )( ) ( )mmfmhwhBm hKhiiC −−−−+−−= 819.2216.0720.2013.0446.0250.0220.0 δα .
Sređivanjem dobivamo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mhmwm
mfmmhBm
hihih
KhhC
013.0035.0446.0212.1250.0680.0
216.0609.0220.0598.0
−+−−−+
−−−−−= δα
5.3.5 Stacionarni koeficijent normalne sile zrakoplova
( ) ( )hBNWBNN CCC +=
( ) ( )mfhwWN KiiiC δαα 216.0013.0446.0250.0220.0205.089.350.4 +−+−+++=
192.0446.064.3216.072.4 ++++= hwmfN iiKC δα
0 2 4 6 8 10 12 140
0.5
1
1.5
alfa
CL(alfa)
dm=6
dm=-18
Slika 5-4. ( )mLC δα , za slučaj 01=Wi i 01−=hi
Na disketu u direktoriju Aerodinamika nalazi se program pod imenom CLalfa.m u
MATLAB-u koji crta funkciju ( )mLC δα , za slučaj 01=Wi i 01−=hi kao na slici 5-4.
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-16
5.3.6 Stacionarni koeficijent momenta propinjanja zrakoplova
( ) ( ) ( )hBmBmWBmm CCCC ++=
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )mhmwm
mfmm
mwmmm
hihih
KhhhihhC
013.0035.0446.0212.1250.0680.0
216.0607.0220.0598.0196.0205.0090.089.3934.050.4080.1
−+−−−+
−−−−−
−++−−−−−=
δα
αα
( ) ( )( ) ( ) mhmwm
mfmmm
hihih
KhhC
192.0055.0446.0212.1640.3254.0
216.0607.072.4482.1
+−⋅−−⋅−−
−⋅−−⋅−−= δα
0 2 4 6 8 10 12 14-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
alfa
Cm(alfa)
dm
-18
-12
-6
0
6
Slika 5-5 Ovisnost momenta propinjanja o napadnom kutu i otklonu kormila visine za slučaj
137.0=mh , te 01=Wi i 01−=hi
Na disketu u direktoriju Aerodinamika nalazi se program koji se zove Cmalfadelta.m u
MATLAB-u koji crta funkciju ( )mmC δα , za slučaj 137.0=mh , 01=Wi i 01−=hi kao na
slici 5-5.
5.3.7 Nestacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinjanja
Izračunat ćemo nestacionarne gradijente za slučaj kada je 137.0=mh . Gradijenti po derivaciji
napadnog kuta:
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-17
( ) ( ) ( ) 52.024.072.2431.060.31.15
08.298.0 −=−⋅⋅⋅⋅−=−∂∂
−= cwchhNref
hVZ hhC
SSC
αεη αα&
( ) ( ) 34.1137.072.252.0 −=−−=−= mchZm hhCC αα &&
Gradijenti po kutnoj brzini propinjanja
( ) ( ) ( ) 26.1137.072.260.31.15
08.298.0 −=−⋅⋅−=−−= mchhNref
hVZq hhC
SSC αη
( ) ( ) 24.3137.072.226.1 −=−−=−= mchZqmq hhCC
5.4 Bočna sila i moment skretanja
5.4.1 Vertikalni rep
Profil vertikalnog repa isti je kao i profil horizontalnog repa te je gradijent normalne sile po
napadnom kutu
( ) 35.3
991.001
09.650.3242
50.32
1242
2
2
2
22
22=
+
⋅
++
⋅=
Λ+
++
=π
π
βπ
π
α
α
c
VNtg
cA
AC
l
Za 3.0=ccδ i 090.
ct= sa slike 2-14 očitavamo ( ) 40.4=profC δl , te gradijent normalne sile na
vertikalnom repu zbog otklona kormila pravca određujemo pomoću jednadžbe
( ) ( ) fffHLprofh
N
VVN KKKC
cC
SSC ⋅=⋅⋅⋅=⋅Λ
⋅= 96.14.4
09.635.390.09.0cos9.0 δ
α
αδδ l
l
Parametri za određivanje napadne točke normalne sile na vertikalnom repu su:
47.3991.050.31
85.1530.050.3tan2 =⋅=−=
=⋅=Λ=
MaAA
AA mm
β
54.0=λ
Prema dijagramu na slici 2-12 nalazimo 44.0=cy , a interpolacijom između dijagrama 2-9
(za 1=mA ) i 2-10 (za 2=mA ) dobivamo za 85.1=mA da je 23.0=ch . Napadna točka
normalne sile na vertikalnom repu ima koordinate
mybrz cV
Vc 782.044.0362.1183.02
=⋅+=+=
mhcx CAAVcV 17.6834.023.0429.0548.50 =⋅++=++= ll
Napadna točka normalne sile od otklona kormila pravca nalazi se na udaljenosti od vrha
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-18
mcxcx AVAVVV 34.643.0834.0429.0548.50 =⋅++=++= δ
δ ll
Za 30.0=ccδ te je prema dijagramu na slici 3-17 43.0=
cxδ
Za 118.01545
13621545=
−=Vd , koeficijent interferencije tijelo - vertikalni rep iznosi
( ) ( ) 30.1118.0154.0118.031131 =−−⋅+=−−+= dddKVB λ
5.4.2 Skretanje struje
Gubici zbog savijanja struje u ravnini kuta klizanja zanemarivi su jer je krilo nisko
postavljeno
1≈∂β∂β
η VV
5.4.3 Bočna sila zrakoplova
nnYYrYpYY CrCpCCC δδβ β +++= ∗∗
Gradijent vertikalnog repa po kutu klizanja
( ) 317.030.135.31.15
058.11 −=⋅⋅−=∂∂
−= VBNref
vvvY KC
SSC αβ β
βη
a gradijent po otklonu kormila pravca
( ) fVfVVNref
VVY KKC
SSC
n⋅=⋅== 137.096.1
1.15058.11δδ η
0283.077.8782.0317.0 −=⋅−==
bz
CC cvYYp β
( ) 119.077.8
719.1169.635.31.15
058.11 =−
=−
=b
CSSC mcv
vNref
vVYr
llαη
Konačno je
nfVY KrpC δβ ⋅++−−= ∗∗ 137.0119.00283.0317.0
5.4.4 Moment skretanja zrakoplova
nnnnrnpnn nCCrCpCCC δδβ δδβ ++++= ∗∗
ll
Gradijent letjelice po kutu klizanja je zbroj
( ) ( ) ( )BnVnWnn CCCC ββββ ++=
Gradijent krila po kutu klizanja
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-19
( ) ( ) ( )
0037.0
726.1802.100008.0013.041
1.5473.0
41 2
21
2
=
−⋅−+=
−⋅−−=
ππβ mcwL
Wn BBA
CC ll
( ) ( )
( )( )
( )( )
00008.044.1cos41.544.1cos1.5
44.1sin6cos4cos
sin6
013.0
44.1cos81.5
21.544.1cos
44.1cos41.544.1tan
cos82cos
cos4
00
20
4141
241
2
0
20
0
0
41
2
4141
411
=+⋅
⋅=
Λ+Λ
Λ=
−=
−−
+=
Λ−−Λ
Λ+
Λ=
AAB
AAA
tgB
Gradijent tijela po kutu klizanja:
( ) 0110.017.177.81.15
27.103.13.13.1 −=⋅⋅
⋅−=−=
B
B
ref
Bfn W
DbS
VC β
Gradijent vertikalnog repa po kutu klizanja:
( ) 161.077.8
719.1169.6317.0 =−
−−=−
−=b
CC mcvYn
llββ
Gradijent letjelice po kutu klizanja:
( ) ( ) ( ) 154.00110.0161.00037.0 =−+=++=BnVnWnn CCCC ββββ
Gradijent po kutnoj brzini valjanja
0143.077.8
719.1169.60283.0 =−
=−
−=b
CC mcvYpnp
ll
Gradijent po kutnoj brzini skretanja:
0604.077.8
719.1169.6119.0 −=−
−=−
−=b
CC mcvYrnr
ll
Za parametre krila 80.0=λ , 5.4991.05.4 −=⋅−=βA i 005.4 =⋅=Λ⋅ mtgA , udaljenost
napadne točke polovine krila od korijenske tetive 439.0=cWy , te je udaljenost od osi
zrakoplova:
mybWy cW
WBc 252.2439.0
2600.7
2168.1
22=+=+=
Udaljenost sredine raspona krilca od osi letjelice, prema slici 5-2, iznosi:
myyy outin 56.32
37.475.22
=+
=+
=l
S ovim vrijednosti bit će gradijent koeficijenta momenta skretanja po otklonu krilaca:
0344.0560.3252.2552.0473.0104.022 −=⋅⋅⋅⋅−=−=
l
l ll yyCCKC C
Ln δδ
Gradijent po otklonu kormila pravca
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-20
fVfVmV
Yn KKb
CCnn
⋅−=−
⋅−=−
−= 0721.077.8
719.1336.6137.0ll δδδ
Konačno moment skretanja zrakoplova je
nn rpC δδβ 0721.00344.00604.00143.0154.0 −−−+= ∗∗l
5.5 Moment valjanja
nrp nCCrCpCCC δδβ δδβ lllllll l
++++= ∗∗
Gradijent letjelice po kutu klizanja zbroj je gradijenta koji nastaju na krilu i na vertikalnom
repu
( ) ( )VW
CCC βββ lll +=
a gradijent koji nastaje na krilu je zbroj triju efekata
( ) ( ) ( ) ( )WWzWLCWW
zCCCCCL ββνββ ν llll ++=
Ta tri efekta su:
( ) 1147.03.575.7
77.8252.201.4
1.1585.12
−=⋅−=⋅−= νν ανβ byC
SSC c
wNref
wl
0026.0473.077.8252.244.1sin
1.1585.12sin 0
41 −=⋅⋅=⋅−= Lc
ref
wLC C
by
SSCC
LΛβl
( ) 0459.077.8570.0
77.8168.1267.15.42.12.1 =
+=
+= W
ffWW z
bWD
AzC βl
te je gradijent po kutu klizanja nastao na krilu
( ) 105.00459.00026.01147.0 −=+−−=W
C βl
a gradijent po kutu klizanja nastao na vertikalnom repu
( ) ( ) 0209.077.8782.035.3
1.15058.11 −=⋅−=
′−=
bz
CSSC CV
VNref
VVVV αβ ∂β∂βηl
Konačno gradijent letjelice po kutu klizanje je zbroj tih dvaju gradijenta
0336.00209.00127.0 −=−−=βlC
Gradijent letjelice po kutnoj brzini valjanja je praktično jednak gradijentu krila po kutnoj
brzini valjanja
( ) ( )[ ] ( )[ ] fwmNbmN
refWpp AAfCbSAAfCbS
SbCC βλβλ αα ,,,,1 22
2 −−=≈ ll
Za krilo s dijelom pod trupom:
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-21
77.0941.1500.1
0
===cctλ
05.5991.010.5 −=⋅−=βA
0010.5 =⋅=Λ⋅ mtgA
Svi drugi parametri krila su isti kao za polukrila
( ) 20.4
991.001
10.610.5242
10.52
1242
2
2
2
22
22=
+
⋅
++
⋅=
Λ+
++
=π
π
βπ
π
α
α
c
WLtg
cA
AC
l
( ) ( ) 046.00.5,0,77.0,, =−= fAAf m βλ
( ) 224046.020.477.81.15,, 22 =⋅⋅=βλα AAfCbS mN
Za krilo pod trupom je:
( ) ( )
970.0941.1882.1
305.047.4
168.1
465.4168.1882.1941.1
0
22
20
===
===
=+=+=
cc
SW
AR
mWccS
r
f
fr
λ
( ) 476.0
991.001
10.6305.0242
305.02
1242
2
2
2
22
22=
+
⋅
++
⋅=
Λ+
++
=π
π
βπ
π
α
α
c
WLtg
cA
AC
l
( ) ( ) 031.030.0,0,97.0,, =−= fAAf m βλ
( ) 091.0031.048.0168.147.4,, 22 =⋅⋅⋅=βλα AAfCbS mN
Vidimo da je utjecaj dijela pod trupom zanemariv u odnosu na utjecaj cijelog krila (0.091
prema 224).
( ) 193.0046.020.4,, −=⋅−=−= βλα AAfCC mNpl
Gradijent po kutnoj brzini skretanja:
( ) ( ) ( )b
zC
CCCC cv
YrWN
VrWrr +=+=6lll
Kako je ( ) 2050893504 .i..C WWBN ++⋅= α , za postavni kut krila 0175.010 ==Wi , bit će
( ) 273.050.4 +⋅= αWBNC
te je gradijent koeficijenta valjanja po kutnoj brzini skretanja:
77.8782.0119.0
6273.05.4
++
=α
rCl
Primjer procjene aerodinamičkih koeficijenata
5-22
056.075.0 += αrCl
Za zadani profil krila
( ) 75.315.0,2.0, ==
= f
ct
ccfC δ
δl
Uz ovoj gradijent profila bit će gradijent letjelice po otklonu krilaca
( ) 517.075.377.856.3
1.1513.588.2cos2cos 0 =⋅⋅=Λ= ffprof
e
ref
eHL KKC
by
SSC δδ ll l
Gradijent po otklonu kormila pravca:
fnfnCV
Y KKb
zCC
nn⋅=⋅== 0122.0
77.8782.0137.0δδl
Konačno moment valjanja letjelice:
( ) nrpC δδαβ 0122.0517.0056.075.0193.0105.0 ++++−−= ∗∗ll
Dinamika letjelica 6-1
6 DINAMIKA LETJELICA
6.1 Relativno gibanje
6.1.1 Kinematika relativnog gibanja
Brojni su primjeri složenih gibanja. Kao primjer složenog gibanja točke promatrajmo gibanje
muhe u zrakoplovu (jer muhu možemo zamisliti kao materijalnu točku). To gibanje muhe u
zrakoplovu nazivamo relativno gibanje, gibanje zrakoplova nazivamo prijenosno gibanje, a
gibanje muhe u odnosu na Zemlju nazivamo apsolutno gibanje. Koordinatni sustav koji je
vezan za Zemlju nazivamo apsolutni koordinatni sustav (u daljnjem tekstu obilježit ćemo ga
sa A, što podsjeća na apsolutni, a koordinatni sustav koji je vezan za letjelicu nazivamo
relativni koordinatni sustav, obilježit ćemo ga sa B što podsjeća na englesku riječ "body".
Ishodište relativnog koordinatnog sustava obilježit ćemo slovom "O".
Položaj točke "O" u apsolutnom koordinatnom sustavu A određen je vektorom položaja rr0 (od ishodišta apsolutnog koordinatnog sustava do ishodišta "O" relativnog koordinatnog
sustava). Projekcije toga vektora na osi apsolutnog koordinatnog sustava A funkcije su
vremena. U primjeru koji smo naveli točka "O" je neka točka letjelice, a projekcije vektora rr0
na osi apsolutnog koordinatnog sustava su koordinate položaja letjelice. Označimo sa Or
matricu od jedne kolone koju čine tri projekcije na osi apsolutnog koordinatnog sustava toga
vektora. Derivacije po vremenu ovih koordinata su komponente apsolutne brzine točke "O"
letjelice r
V0 , ili
V r0 0= & , 6.1
a derivacije projekcija apsolutne brzine na osi apsolutnog koordinatnog sustava su
komponente apsolutnog ubrzanja točke "O" letjelice, ra0 , ili
a V r0 0 0= =& && . 6.2
Relativni koordinatni sustav B giba se u prostoru u odnosu na apsolutni koordinatni
sustav A. To gibanje je zbroj translacije, koja je određena brzinom ishodišta relativnog
koordinatnog sustava r
V0 , i rotacije koordinatnog sustava oko ishodišta "O". Kutnu brzinu te
rotacije označavamo sa rΩ . Drugim riječima,
rΩ je kutna brzina relativnog koordinatnog
sustava B u odnosu na apsolutni koordinatni sustav A. U našem primjeru to je kutna brzina
zrakoplova. (slika 6-1)
Dinamika letjelica 6-2
ρr
Slika 6-1. Apsolutni i relativni koordinatni sustavi
Položaj neke točke "M" u relativnom koordinatnom sustavu određen je relativnim vektorom
položaja rρ od ishodišta relativnog koordinatnog sustava "O" do promatrane točke "M".
Projekcije tog vektorarρ na osi relativnog koordinatnog sustava su relativne koordinate
položaja točke "M". Označimo sa ρ matricu od jednog stupca koju čine tri projekcije na osi
relativnog koordinatnog sustava. Derivacije tih koordinata po vremenu su komponente
relativne brzine točke "M" koju označavamo sa r
Vr . U tom slučaju bit će
Vr = &ρ . 6.3
Derivacije projekcija relativne brzine na osi relativnog koordinatnog sustava su komponente
relativnog ubrzanja ra r te je
a Vr r= =& &&ρ . 6.4
Vektor položaja točke "M" u apsolutnom koordinatnom sustavu A neka bude rr . On je
zbroj dvaju vektora: vektora položaja letjelice rr0 i relativnog vektora položaja rρ tj.
r r L= +0 AB ρ . 6.5
Sa LAB označili smo matricu transformacije u apsolutni koordinatni sustav A iz relativnog
koordinatnog sustava B. Deriviranjem po vremenu ove jednadžbe dobivamo:
ddt A B AB AB rr V L L V= − +0
~/ω ρ 6.6
Dinamika letjelica 6-3
Prema pravilu o derivaciji matrice transformacije, trebamo LAB pomnožiti ispred sa
kososimetričnom matricom (od komponenata u koordinatnom sustavu A) kutne brzine
koordinatnog sustava A u odnosu na sustav B. Kako je rΩ kutna brzina koordinatnog sustava
B u odnosu na A, onda je kutna brzina B u odnosu na A
~ ~/ /ω A B B A= −Ω . 6.7
Derivacija po vremenu apsolutnog vektora položaja rr točke "M" je apsolutna brzina.
Isto kao što projekcije vektora rr čine matricu r tako i derivacije te matrice čine matricu
projekcija apsolutne brzine V na koordinatne osi sustava A. Tako je konačno
V V L L V= + +0~
/Ω B AA
AB AB rρ . 6.8
Derivirajmo još jedanput po vremenu ovu jednadžbu
( )a a L L L V L V L a= +
+ + + +0ddt B A
AAB B A
AB AA
AB AB r B AA
AB r AB r~ ~ ~ ~
/ / / /Ω Ω Ω Ωρ ρ . 6.9
Kutno ubrzanje rε derivacija je vektora kutne brzine
rΩB A/ . Ako su projekcije kutne brzine u
apsolutnom koordinatnom sustavu ΩB AA/ , onda njihovim deriviranjem po vremenu dobivamo
projekcije (u istom kutnom sustavu) kutnog ubrzanja
ε A B AA
t=
ddΩ / , 6.10
te je
a a V aA A A AB AA
B AA A
B AA
rA
rA= + + + +0 2~ ~ ~ ~
/ / /ε ρ ρΩ Ω Ω . 6.11
Primjenom pravila o transformaciji produkta kososimetrične matrice i matrice od jednog
stupca, prethodnu jednadžbu možemo napisati i u koordinatnom sustavu B. Množenjem te
jednadžbe s matricom transformacije LBA , dobivamo
a a V aB Br r= + + + +0 2~ ~ ~ ~
ε ρ ρΩΩ Ω . 6.12
Matrice ρ ε, , ,V ar r Ω i sastavljene su, prema definiciji, od projekcija ovih vektora na osi
koordinatnog sustava B, te nema potrebe da to naznačimo, a matrice a i Oa sastavljene su od
projekcija na osi koordinatnog sustava A, pa je zato potrebno naznačiti da ih treba
transformirati u koordinatni sustav B.
Uočimo onu točku "P" relativnog prostora koja je fiksna u relativnom prostoru, ali se u
promatranom trenutku poklapa s točkom "M". Drugim riječima, pokretna točka "M" nalazi se
u trenutku "t" u točki "P" relativnog prostora. U primjeru koji smo uzeli to je točka
zrakoplova u kojoj se nalazi muha. U drugom trenutku bit će to druga točka zrakoplova P', jer
će se točka "M" u međuvremenu pomaknuti iz položaja P u položaj P'. Ako tražimo ubrzanje
Dinamika letjelica 6-4
te točke P, onda imajući na umu da je ona nepokretna u relativnom koordinatnom sustavu
slijedi da ona nema ni relativnu brzinu Vr ni relativno ubrzanje ar te je njeno apsolutno
ubrzanje
ρρε ΩΩ ~~~ ++= BO
BP aa . 6.13
Iz toga vidimo da zbroj prva tri člana na desnoj strani jednadžbe predstavlja ubrzanje točke P.
To ubrzanje nazivamo prijenosno ubrzanje i označavamo ga sa Pa . Međutim, apsolutno
ubrzanje nije jednako zbroju prijenosnog ubrzanja i relativnog, jer u jednadžbi imamo još
jedno dopunsko ubrzanje koje nazivamo Coriolisovo ubrzanje
rBK Va Ω~2= . 6.14
Na osnovi definicija o prijenosnom i Coriolisovu ubrzanju konačno možemo zaključiti da je
apsolutno ubrzanje jednako zbroju prijenosnog, Coriolisovog i relativnog ubrzanja.
a a a a= + +P K r , 6.15
ali sve komponente, pa i rezultanta trebaju biti u koordinatnom sustavu A ili u koordinatnom
sustavu B.
6.1.2 Inercijske sile
Newtonov zakon da je vektor ubrzanja središta mase pomnožen skalarom koji predstavlja
masu jednak rezultanti vanjskih sila koje djeluju na tijelo, može se primjenjivati samo u
apsolutnom (ili inercijskom) koordinatnom sustavu. Međutim, let je relativno gibanje, jer je to
gibanje u odnosu na neki koordinatni sustav vezan za Zemlju, a kako se Zemlja okreće, svi
koordinatni sustavi koji su vezani za Zemlju jesu relativni koordinatni sustavi. Postavlja se
pitanje čemu je jednak produkt vektora relativnog ubrzanja ra r s masom. Iz gornje jednadžbe
imamo
KPr mmmm aaaa −−= .
Na desnoj strani produkt ma jednak je projekcijama rezultate vanjskih sila R na osi istog
koordinatnog sustava, te je
m m mr P Ka R a a= − − . 6.16
Iz ove jednadžbe vidimo da je umnožak vektora relativnog ubrzanja s masom također jednak
rezultanti vanjskih sila, ali uvećanoj za još dva vektora koje zovemo inercijske sile, i to:
prijenosna inercijska sila F aP Pm= − ,
Coriolisova inercijska sila F aK Km= − .
Dinamika letjelica 6-5
Prijenosna inercijska sila je umnožak mase s prijenosnim ubrzanjem obrnutog smjera, a
Coriolisova inercijska sila je umnožak mase s Coriolisovim ubrzanjem obrnutog smjera. U
relativnom prostoru te inercijske sile i stvarne sile zbrajaju se u rezultatu, koja je jednaka
umnošku relativnog ubrzanja i mase:
m r P Ka R F F= + + . 6.17
Znači možemo i u relativnom koordinatnom sustavu primjenjivati Newtonov zakon , ali onda
moramo stvarnim vanjskim silama dodati i dvije inercijske sile: prijenosnu i Coriolisovu.
Uočimo činjenicu da zbog toga neko tijelo u relativnom koordinatnom sustavu može imati
neko ubrzanje i ako nema vanjskih sila koje djeluju na to tijelo, jer to ubrzanje mogu izazvati
inercijske sile.
6.1.3 Akcelerometri
Ubrzanja se mjere akcelrometrom. Jednostavan akcelerometar je cjevčica u kojoj se može
gibati masa m . Os te cjevčice određuje os akcelerometra. Princip rada akcelerometra je
održavanje ravnoteže male mase nekom silom F koju možemo registrirati. Jednostavan
primjer održavanja mase "m" u ravnoteži je opruga čija se sila deformacije F uravnotežuje s
inercijskom silom. Veličina deformacije određuje silu F, a kako ta sila uravnotežuje inercijsku
silu i silu Zemljišne teže, određujemo kolika je inercijska sila. Da bismo odredili točno
inercijsku silu, pogledajmo jednadžbu relativnog gibanja male mase m u cjevčici. Na nju
djeluju:
- sila F mjernog elementa (npr. duž osi cjevčice),
- sila Zemljišne teže mg,
- reakcija oslonca N, normalna na površinu na kojoj se oslanja mala masa m. Ta sila N
okomita je na stijenke cjevčice, a to znači da je N okomito na os akcelerometra,
- sila trenja R djeluje u pravcu relativne brzine ali je suprotnog smjera,
- inercijske sile: prijenosna -maP i Coriolisova -maK .
Prijenosno ubrzanje aP je ubrzanje one točke letjelice u kojoj se u tom trenutku nalazi središte
mase "m". Jednadžba relativnog gibanja male mase m u akcelerometru je:
m m m mr P Ka F g N R a a= + + + + − + −( ) ( )
Kada se uspostavi ravnoteža male mase m u akcelerometru, nema sile trenja R, jer nema
relativnog gibanja, nema Coriolisove inercijske sile jer nema relativne brzine, a relativno
ubrzanje je nula jer mala masa m miruje u relativnom prostoru. Tako, jednadžba relativnog
gibanja male mase m postane jednadžba relativne ravnoteže:
Dinamika letjelica 6-6
( )0 = + + + −F g N am m P
Postavimo relativni koordinatni sustav tako da je os akcelerometra os x koordinatnog sustava
letjelice. Tada je
0 = + −F mg max x Px
ili
aFm
gPxx
x= + . 6.18
Na neki način registriramo silu F, malu masu m znamo, te nam je prvi član na desnoj strani
poznat, ali drugi moramo odrediti na neki drugi način: drugim mjerenjem ili računom. To
znači da akcelerometrom mjerimo projekciju ubrzanja letjelice na os akcelerometra umanjenu
za projekciju ubrzanja sile Zemljišne teže. Da bismo dobili kompletnu projekciju ubrzanja
točke letjelice, moramo mjerenju dodati projekciju ubrzanja sile Zemljišne teže na os
akcelerometra. U izuzetnom slučaju ako je os akcelerometra horizontalna, ovaj dodatak je
jednak nuli, te nam je mjerenje jednako projekciji ubrzanja točke letjelice na os
akcelerometra.
6.2 Temeljni zakoni gibanja letjelica konstantne mase
6.2.1 Gibanja središta mase
Kruto tijelo smatramo limesom sustava materijalnih točaka kada njihov broj teži
beskonačnosti, a masa se svake materijalne točke infinitezimalno smanjuje. Zato ćemo
primjenjivati diferencijalni i integralni račun. Masa jedne materijalne točke ili čestice tijela bit
će "dm", a njen vektor položaja (od ishodišta koordinatnog sustava) bit će rr , njena brzina je rV i njeno ubrzanje je ra . Položaj , brzina i ubrzanje te čestice "dm" definirani su u odnosu na
koordinatni sustav, koji a priori ne mora biti apsolutni.
Kada kažemo "kruto tijelo" to znači da su čestice tijela u međusobnom konstantnom
odnosu, pri čemu tijelo ne mora biti homogeno. Ako su čestice u stalnom međusobnom
odnosu, slijedi da su unutrašnje sile djelovanja između čestica u ravnoteži. Drugim riječima,
sila kojom djeluje jedna čestica na sve ostale čestice jednaka je sili kojom djeluju te čestice na
tu jednu česticu. Kada promatramo jednu česticu, onda moramo uzeti u obzir rezultantu
djelovanja svih drugih čestica na tu jednu (dFu) , ali kada promatramo sve čestice zajedno, tj.
kada tu jednu česticu pridružimo svim ostalim onda se njeno djelovanje na sve druge i
djelovanje drugih na nju poništavaju te je ukupna unutrašnja sila jednaka nuli.
Dinamika letjelica 6-7
Za takvo tijelo definira se "središte mase" prema jednadžbi
∫=m
c mm
d1 rr . 6.19
Deriviranjem po vremenu dobivamo brzinu i ubrzanje središta mase
∫
∫
=
=
mc
mc
mm
mm
d1
d1
aa
VV 6.20
To znači da je derivacija količine gibanja tijela konstatne mase određena jednadžbom
cmmm
mdmdmdtddm
dtd
dtd aaVVQ
==== ∫∫∫ 6.21
Brzina i ubrzanje bit će apsolutni ako su članovi matrice r projekcije vektora na osi
apsolutnog koordinatnog sustava. Ako su to projekcije na relativni koordinatni sustav ρ , onda
su i brzina i ubrzanje relativne veličine, i to u odnosu na taj isti relativni koordinatni sustav.
Zasad nećemo ničim uvjetovati ni položaj ishodišta ni gibanje toga koordinatnog sustava u
odnosu na koji promatramo gibanje tijela .
Želimo izvesti jednadžbu relativnog gibanja krutog tijela. Kako smo rekli da kruto tijelo
promatramo kao skup njegovih čestica, prvo ćemo promatrati jednu česticu. Na svaku česticu
djeluje privlačna sila Zemlje a γ dm , a na čestice vanjske površine djeluje i vanjska sila dR
(sila tlaka zraka i trenja zraka na element vanjske površine). Djelovanje svih drugih čestica
tijela na promatranu česticu bit će elementarna unutrašnja sila uFd . Osim ovih stvarnih sila,
moraju se dodati i inercijske sile zato što su članovi matrice r vektora položaja elementarne
čestice, projekcije na osi relativnog koordinatnog sustava, jer je koordinatni sustav u odnosu
na koji promatramo gibanje tijela relativni koordinatni sustav, a to gibanje tijela je relativno
gibanje. Inercijske sile na elementarnu česticu su
prijenosna mPP dd aF −= ,
Coriolisova mKK dd aF −= .
Tako je jednadžba gibanja elementarne čestice tijela u relativnom koordinatnom sustavu
mmm rKPur ddddddd VFFFaRa &=++++= γ
Prijenosno ubrzanje bit će definirano prijenosnim gibanjem koordinatnog sustava koje je
zadato. Zbrojimo jednadžbe gibanja svih elementarnih čestica letjelice i pređimo na limes.
Dobit ćemo
Dinamika letjelica 6-8
a R a F Fr P Kmmm
m md d d= + + + ∫∫∫ γ
Unutrašnje sile su u ravnoteži i d um
F∫ = 0 , kao što smo to objasnili, pa je ubrzanje središta
mase:
m mcr P Kmm
a R a F F= + + + ∫∫γ d d
Označimo sa "O" ishodište koordinatnog sustava, a matrice brzine i ubrzanja ishodišta sa 0V i
0a , te neka je matrica kutne brzine relativnog koordinatnog sustava Ω 0 , onda je rezultanta
Coriolisovih sila
d d d dF a V V V aKm
Km
r rmm
cr cKm m m m m∫ ∫ ∫∫= − = − = − = − = −2 2 20 0 0~ ~ ~Ω Ω Ω ,
jer je kutna brzina relativnog koordinatnog sustava ista u svakoj točki tijela. Ova jednadžba
pokazuje da je rezultirajuća Coriolisova sila jednaka Coriolisovoj sili ako bi sva masa bila
koncentrirana u središtu mase. Slično tome bit će i rezultirajuća prijenosna inercijska sila:
( ) ( ) mmmm cpcKcrcKrpm
p aaaaaaaaF −=−−−=−−−=−= ∫ ∫∫ ddd
To znači da je zbroj inercijskih prijenosnih sila jednak inercijskoj prijenosnoj sili kao kada bi
cijela masa tijela bila koncentrirana u središtu mase tijela.
Uvrstimo li ove rezultate za rezultirajuću inercijsku prijenosnu i Coriolisovu silu u
jednadžbu za relativno ubrzanje središta mase dobivamo najvažniju jednadžbu gibanja
letjelica:
( ) ( )a R a a acr cp cKm m m m= + + − + −γ 6.22
Ova jednadžba nam određuje gibanje središta mase letjelice. Vanjske sile koje čine rezultantu
R moraju biti poznate (aerodinamička sila) kao i gibanje relativnog koordinatnog sustava
kako bismo mogli odrediti inercijsku i Coriolisovu silu. Za to nam je potrebno prijenosno
ubrzanje acp središta mase i kutna brzina Ω0 . Ako promatramo gibanje letjelice u odnosu na
Zemlju, onda je prijenosna inercijska sila − a cp m centrifugalna sila uslijed rotacije Zemlje.
Zbroj privlačne sile Zemlje i inercijske prijenosne sile nazivamo sila Zemljišne teže:
mmm cpaag −= γ 6.23
te je derivacija brzine leta u koordinatnom sustavu vezanom za Zemlju (npr. lokalnom
koordinatnom sustavu):
Dinamika letjelica 6-9
( )&VR
g aKL
LL
CKL
m= + + − ,
jer je brzina leta relativna brzina. Ako su komponente brzine u koordinatnom sustavu
letjelice, onda obično ovu jednadžbu gibanja prenosimo u koordinatni sustav letjelice
množenjem sa matricom transformacije FLL
( ) ( )CKLFFL magRVLL K −++=
dtd ,
jer se u koordinatnom sustavu letjelice ne mora označavati u kojemu su koordinatnom sustavu
komponente. Coriolisovo ubrzanje u ovoj jednadžbi je 2~Ω E KV . Derivacija matrice L LF je
− =~ ~ω L F
L LL LLF LFΩ ,
jer je − =ω L F Ω . Uvrštavanjem u gornju jednadžbu dobivamo
( ) ( )L L V L VR
g aFL LF K LK~ &Ω L
K CKm+ = + + − ,
odakle je konačno
( )~ &Ω V VR
g aK K+ = + + −m CK . 6.24
6.2.2 Gibanje oko središta mase
Drugu temeljnu jednadžbu mehanike letjelica dobit ćemo polazeći od jednadžbe apsolutnog
gibanja (dok smo prvu dobili polazeći od relativne jednadžbe gibanja). Vektorsku jednadžbu
apsolutnog gibanja čestice dm projektirat ćemo na relativni koordinatni sustav te dobiti
a R F gd d d dm mu= + + .
Usvojiti ćemo relativni koordinatni sustav vezan za letjelicu. Osi toga relativnog koordinatnog
sustava imaju istu kutnu brzinu kao i letjelica rΩ . Komponente kutne brzine Ω
r duž osi toga
istog koordinatnog sustava čine matricu od jednog stupca Ω . Pomnožimo ovu jednadžbu
vektorski s vektorom relativnog položajarρ . Dobivamo
~ ~ρ ρa M M gd d d dm mu= + +0
vektorski produkt ~ρdR , tj. moment vanjskih sila koje djeluju na česticu dm , predstavlja
elementarni moment vanjskih sila 0Md , a produkt ~ρdFu predstavlja elementarni moment
unutrašnjih sila koji smo označili sa udM . Dobivenu jednadžbu ne možemo u praksi koristiti
jer su nam nepoznate unutrašnje sile i njihovi momenti. Zato ćemo i ovu jednadžbu integrirati,
kao što smo to uradili s jednadžbom za gibanje središta mase, jer će tom prilikom nestati
momenti unutrašnjih sila. Budući da ishodište nije a priori postavljeno u središtu mase,
Dinamika letjelica 6-10
koordinate središta mase ρc nisu jednake nuli te ćemo imati moment sile Zemljišne teže za
ishodište, ali ako je ishodište u središtu mase, taj moment sile Zemljišne teže za ishodište
jednak je nuli. Rezultirajući moment vanjskih sila moramo uzeti za točku letjelice u kojoj smo
postavili ishodište relativnog koordinatnog sustava, a moment unutrašnjih sila bez obzira na
to je li ishodište postavljeno u središtu mase ili nije, bit će
d um
M∫ = 0 .
Tako dobivamo ~ ~ mρ ρa M gdm C
m
= +∫ 0 ;
0M su komponente momenta vanjskih sila za točku letjelice u kojoj smo postavili ishodište
relativnog koordinatnog sustava, duž osi relativnog koordinatnog sustava.
M R0 = ∫ ~ρdm
U tom relativnom koordinatnom sustavu promatramo i komponente vektora položaja (matrica
ρ ). Razmotrimo pobliže integral ~ρadmm∫ . Da bismo odredili taj integral, pođimo od
vektorske definicije kinetičkog momenta: r r rH V m
m0 = ×∫ ρ d
Deriviranjem dobivamo:
dd
dd
dt
Ht
V mm
r r r0 = ×∫ ρ
Projekcije relativnog vektora ne ovise o vremenu već o položaju elementarne mase. Međutim,
ortovi relativnog koordinatnog sustava imaju kutnu brzinu te je njihova derivacija vektorski
produkt te kutne brzine i ortova. Tako je derivacija vektora:
ρ×Ω=ρ rrr
dtd
Zato je derivacija integrala:
( )[ ] maVmaVdtdmV
t mmm
ddddd
∫∫∫ ×+××=
×+×=×
rrrrrrrrrrrρρρρρ Ω
( ) ( )[ ] maVmVt mm
dddd
0∫∫ ×+×+××=×rrrrrrrrr
ρρρρ ΩΩ
Dinamika letjelica 6-11
( ) ∫∫∫∫ ×+××=×+×
×=×
mC
mmm
mamVmaVmmVt
dddddd
00rrrrrrrrrrrr
ρρρρρ ΩΩ
Ako je ishodište u središtu mase ( )CO ≡ , onda je vρC = 0 , pa je prvi član na desnoj strani
jednadžbe jednak nuli. To znači da je derivacija kinetičkog moment za središte mase:
dd
dt
H a mCm
r r r= ×∫ ρ ,
kao u slučaju kad se tijelo giba oko nepomične točke (sferno gibanje).
Konačno u ovim jednadžbama zamijenimo integral na desnoj strani r rρ ×∫ a m
m
d s
momentom vanjskih sila prema jednadžbi ( 3.30). Dobivamo u općem slučaju:
( ) 000dd MmVHt C
rrrrr+××−= ρΩ 6.25
000~~~ MVHH 0 +−=+ mCρΩΩ& , 6.26
ili ako je ishodište u središtu mase:
CMdd rr
=CHt
6.27
CCC MHH =+ Ω~& 6.28
6.2.3 Tenzor tromosti
Uloga kinetičkog momenta u rotacijskom gibanju ista je kao količine gibanja u translatornom
gibanju. Kao što je derivacija količine gibanja jednaka rezultanti vanjskih sila, uključujući i
inercijske sile, tako je i derivacija kinetičkog momenta za neku točku jednaka momentu
vanjskih i inercijskih sila za tu istu točku. Kada integracijom po vremenu dobijemo količinu
gibanja, onda dijeljenjem s masom tijela dobivamo brzinu translatornog gibanja tijela (brzina
središta mase tijela). Tako isto integracijom druge vektorske jednadžbe dobivamo kinetički
moment, a iz njega trebamo dobiti kutnu brzinu tijela.
Pođimo od definicije kinetičkog momenta za bilo koju točku letjelice:
∫ ×ρ= mVH drrr
6.29
Podsjetimo se da ρr
vektor položaja čestice mase dm od ishodišta koordinatnog sustava (za
koju određujemo kinetički moment), dok je r
V brzina te čestice dm . Prema definiciji
kinetičkog momenta
Dinamika letjelica 6-12
( )( )( ) ,d
dd
d
0
0
00
mmV
mmV
mVH
C ∫∫ ∫∫
××−×=
××+×=
×+×=
Ω
Ω
Ω
rrrrr
rrrrr
rrrrr
ρρρ
ρρρ
ρρ
ili matrično
( )Ω∫−×= md~~~ ρρρ m0C0 VH 6.30
Ako je ishodište u središtu mase,
( )r r r rH mC = − × ×∫ ρ ρ Ω d ,
ili matrično
( )Ω∫−= mC d~~ρρH . 6.31
Matricu dimenzije 3x3 koja se pojavila u oba slučaja u maloj zagradi na desnoj strani
matrične jednadžbe nazivamo "tenzor tromosti" i označavamo je sa I:
I = − =−
−−
−−
−
∫∫ ~~ρρ d dmz y
z xz x
z yz xz x
m0
00
00
0
( )( )
( )I =
+ − −
− + −
− − +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
y z m xy m zx m
xy m z x m yz m
zx m yz m x y m
2 2
2 2
2 2
d d d
d d d
d d d
ili
−−−−−−
=
zyzzx
yzyxy
zxxyx
IIIIIIIII
I 6.32
Članovi tenzora tromosti imaju svoja imena. Po dijagonali to su aksijalni momenti tromosti:
( )I y z mx = +∫ 2 2 d moment tromosti za os x,
( )I z x my = +∫ 2 2 d moment tromosti za os y,
( )I x y mz = +∫ 2 2 d moment tromosti za os z.
a članovi van dijagonale nazivaju se centrifugalni ili devijacijski momenti tromosti:
I yz my z = ∫ d I zx mzx = ∫ d I xy mxy = ∫ d
Uočimo važnu značajku centrifugalnih momenata tromosti. Ako je neka koordinatna ravnina
istodobno i ravnina simetrije, onda svakoj čestici dm odgovara ista takva čestica s druge
Dinamika letjelica 6-13
strane ravnine, koja ima jednu koordinatu istu, a drugu iste veličine ali suprotnog predznaka,
te je ukupni integral po tijelu jednak nuli. Tako za slučaj da je ravnina Oxy ravnina simetrije,
centrifugalni momenti tromosti koji sadrže koordinatu "z" bit će nula (Iyz = Iyx), jer se u
podintegralnoj funkciji nalazi "z" koje je pozitivno za pola tijela s jedne strane ravnine
simetrije, a negativno za drugu polovicu na drugoj strani ravnine simetrije. Ako koordinatne
osi imaju sva tri centrifugalna momenta tromosti jednaka nuli, takve osi nazivamo glavne osi
tromosti.
Iz zadnjih jednadžba prethodnog odjeljka vidimo da je kinetički moment letjelice za
središte mase C
ΩCC IH = , 6.33
a za točku letjelice O koja nije u središtu mase:
Ω00 IVH += mCρ~0 6.34
Dalje ćemo tenzor tromosti za bilo koju točku označavati sa I, bez posebnih oznaka. Ako je
potrebno istaknuti da je tenzor tromosti za središte mase onda ga označavamo sa CI . Isto tako
i kinetički moment za bilo koju točku bit će rH , a za središte mase je
rHC .
6.2.4 Transformacija tenzora tromosti
Veličina kinetičkog momenta za bilo koju točku letjelice ne ovisi o izboru koordinatnog
sustava. Kako je ta veličina invarijanta, vektor rH ne mijenja svoj intenzitet, ni pravac, ni
smjer promjenom koordinatnog sustava. Neka koordinatni sustav glavnih osi tromosti "B"
ima ishodište u središtu mase. Tada su komponente kinetičkog momenta:
[ ]HBxB B
yB B
zB B
TI p I q I r= .
I I IxB
yB
zB, , su momenti tromosti za glavne osi, a BBB rqp ,, su komponente kutne brzine
letjelice duž glavnih osi tromosti. Međutim, često ne znamo a priori glavne osi tromosti, već
počinjemo s nekim pogodnim koordinatnim sustavom "D" s ishodištem u središtu mase
letjelice, za koji nam je poznat tenzor tromosti DI . Za taj koordinatni sustav je DDD ΩIH =
Aksijalni i centrifugalni momenti tromosti u tenzoru DI određeni su za koordinatni sustav
"D", a ΩD su komponente kutne brzine u tom istom koordinatnom sustavu. Kako su HB i HD
komponente istog vektora, onda je
H L HDDB
B= ,
ili
Dinamika letjelica 6-14
I L ID DDB
B BΩ Ω= ,
odakle dobivamo temeljno pravilo za transformaciju tenzora tromosti zaokrenemo li
koordinatni sustav:
BDB
DBD LILI = 6.35
Znamo tenzor tromosti u koordinatnom sustavu "D" koji smo odabrali tako da lako odredimo
taj tenzor ID. Glavne osi tromosti kao i momenti tromosti za te osi (glavni momenti tromosti)
nisu poznati. Pokazat ćemo da su glavni momenti tromosti korijeni karakteristične jednadžbe
trećega reda
s DJ I− = 0
u kojoj je "s" skalar, a J jedinična matrica. Glavni momenti tromosti su vlastite vrijednosti
matrice DI . Pođimo od identiteta
( )s s
s
DDB BD DB
BBD
DBB
BD
J I L JL L I L
L J I L
− = −
= −
Kako je determinanta produkta matrica jednaka produktu determinanata matrica, bit će
s sDDB
BBDJ I L J I L− = − ,
te kako je determinanta matrice transformacije jednaka jedinici imamo konačno
s sD BJ I J I− = − .
Tenzor tromosti BI ima samo članove na dijagonali, te razvijanjem desne strane jednadžbe
dobivamo
( )( )( )Bz
By
Bx
D IsIsIss −−−=−IJ . 6.36
Za rotacijska tijela (os rotacije x) momenti tromosti za osi okomite na os rotacije su jednaki
( )I IyB
zB= pa se dobiva jedan dvostruki korijen.
Položaj glavnih osi tromosti (koordinatni sustav B) odredit ćemo u odnosu na izabrani
koordinatni sustav D pomoću temeljne jednadžbe koju možemo napisati u obliku B
DBDBD ILLI = .
Matricu transformacije LDB koju trebamo, izrazit ćemo u obliku tri orta
[ ]DZ
DY
DXDB bbbL = 6.37
To su komponente ortova B na osi koordinatnog sustava D. Tako se jednadžba B
DBDBD ILLI = može napisati u obliku:
Dinamika letjelica 6-15
[ ]
=
3
2
1
000000
ss
s
bbbbbbbbb
ZZYZXZ
ZYYYXY
ZXYXXX
ZYXD bbbI
koji možemo rastaviti na tri jednadžbe
3
2
1
s
s
s
ZZD
YYD
XXD
bbIbbIbbI
=
=
=
Na taj način se problem traženja matrice transformacije LBA svodi na određivanje triju vektora
iz jednadžba:
( )( )( ) 0
0
0
3
2
1
=−
=−
=−
ZD
YD
XD
s
s
s
bJIbJIbJI
6.38
U linearnoj algebri ta se tri orta ZYX bbb i, nazivaju karakteristični vektori matrice DBL .
U praktičnom radu pojavljuje se potreba izračunavanja tenzora tromosti I0 za
koordinatni sustav D0 s ishodištem u točki 0 koji ima osi paralelne s osima koordinatnog
sustava Dc čije je ishodište u središtu mase i za koji znamo tenzor tromosti Ic . Obilježimo sa r
komponente vektora položaja čestice d m u koordinatnom sustavu D0 , a sa ρ vektor položaja
iste čestice u koordinatnom sustavu Dc (ishodište u središtu mase). Tada je
r r= +c ρ
gdje je rc vektor položaja središta mase u koordinatnom sustavu D0. Tenzor tromosti za novi
koordinatni sustav D0 po definiciji je:
∫−= md~~0 rrI
ili
( )( )
( )ccccccc
cccc
cccc
c
mmm
mmmm
mmmm
m
Irrrr
rrrr
rrrr
rrI c
+ρ−ρ−−=
ρρ−ρ−ρ−−=
ρρ−ρ−ρ−−=
ρ+ρ+−=
∫∫ ∫∫∫∫ ∫
∫
~~~~~~d~~~d~d~~~~
d~~d~~d~~d~~d~~~~
0
ρ c = 0 zato što je ishodište koordinatnog sustava Dc u središtu mase. Traženi tenzor tromosti
za ishodište 0 bit će
ccc m IrrI +−= ~~0 . 6.39
To je tzv. Steinerov teorem.
Dinamika letjelica 6-16
Tenzor tromosti nekog tijela složenog geometrijskog oblika izračunavamo pomoću
Steinerovoga teorema i teorema o rotaciji tenzora tromosti. Prvo rastavimo tijelo složenog
geometrijskog oblika na dijelove jednostavnih geometrijskih oblika kojima znamo središte
mase, glavne osi i tenzor tromosti za te osi. Za izračunato središte mase tijela i odabrani
koordinatni sustav u središtu mase tijela, transliramo i rotiramo tenzore tromosti svakog dijela
u to središte mase tijela i za te odabrane osi tijela. Zbrajanjem tako transliranih i rotiranih
tenzora tromosti dijelova dobivamo tenzor tromosti tijela za odabrani koordinatni sustav u
središtu mase tijela, te određujemo glavne osi i tenzor tromosti tijela.
6.2.5 Primjer
A priori za zrakoplovne konfiguracije znamo da su glavne osi u ravnini simetrije letjelice. U
središtu mase letjelice postavljamo pravac osi x na primjer u pravcu pogonske sile, ili u
pravcu osi tijela letjelice, a os z okomito prema dolje u vertikalnoj ravnini. Za tako izabrane
osi izračunamo tenzor tromosti koji ima oblik
=DZ
DZX
DY
DZX
DX
III
II
000
0DI
Dx
DzBz
ϑ
Bx
ϑ
Slika 6-2 Pogled u vrh osi y
Želimo odrediti glavne osi tromosti i momente za te osi. Kako je os y okomita na ravninu
simetrije, ona je već glavna os tromosti te je i moment tromosti oko te osi glavni moment
tromosti: DY
BY II =
Dinamika letjelica 6-17
Glavne osi tromosti BB zx i okrenute su u ravnini simetrije za kut ϑ oko osi y u odnosu na
usvojene osi DD zx i , a to znači da je
( )ϑYBD LL = .
kao na slici 6-2. Da bismo odredili ovaj kut, moramo prvo naći glavne momente tromosti za
osi BZ
BX II i iz jednadžbe
0=− JI sD ,
ili
00
000
=−
−−
sIIsI
IsI
DZ
DZX
DY
DZX
DX
,
što daje jednadžbu
( )( )( ) ( ) ( ) 02=−−−−− sIIsIsIsI D
YDZX
DZ
DY
DX
( )( ) ( ) 02=−−− D
ZXDZ
DX IsIsI
( ) ( ) 022 =−++− DZX
DZ
DX
DZ
Dx IIIsIIs ,
odakle je
( ) DZ
DX
DZX
DZ
DX
DZ
DX III
IIIIs −+
+±
+=
22
2,1 22.
Time smo odredili glavne momente tromosti 1sI BX = i 2sI B
Z = , a kako smo već na početku
obrazložili da je DY
BY II = , odredili smo cijeli tenzor tromosti za glavne osi:
=BZ
BY
BX
B
II
I
000000
I
Iz jednadžbe da je D
BDB
DB ILIL =
dobivamo jednadžbu po kutu rotacije osi:
=
−
− DZ
DZX
DY
DZX
DX
BZ
BY
BX
III
II
II
I
000
0
cos0sin010
sin0cos
000000
cos0sin010
sin0cos
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
što množenjem matrica daje:
Dinamika letjelica 6-18
( )
( )
=
+−
−+
DZ
DZX
DY
DZX
DX
BZ
BX
BX
BZ
BY
BX
BZ
BZ
BX
III
II
IIIII
IIII
000
0
cossin0cossin00
cossin0sincos
22
22
ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑ
Izjednačavanjem člana na lijevoj i desnoj strani dobivamo: DY
BY II =
( )DZ
BZ
BX
DZX
BX
BZ
DX
BZ
BX
III
IIIIII
=+
=−
=+
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
22
22
cossin
cossin
sincos
Zbrajanjem druge i četvrte jednadžbe dobivamo DZ
DX
BZ
BX IIII +=+ ,
a iz treće jednadžbe:
( ) DZX
BY
BZ III =−
22sin ϑ ,
određujemo kut ϑ između glavne osi tromosti Bx i izabrane osi Dx .
6.3 Zakoni gibanja letjelice promjenjive mase Treće poglavlje posvetili smo aerodinamičkoj sili zrakoplova i aerodinamičkom momentu.
Međutim, za razmatranje upravljanja i statičke stabilnosti potrebne su nam komponente
pogonske sile i pogonskog momenta. One se izučavaju u mehanici tijela promjenjive mase.
6.3.1 Sustav promjenjive mase Σ
Letjelice s propulzivnim i reaktivnim motorima čine sustave promjenjive mase, jer pri
izgaranju troše zrak koji ulazi u letjelicu i gorivo koje je u letjelici, a ispuštaju plinovite
produkte izgaranja. Takve letjelice nazivamo sustav promjenjive mase. Na tim letjelicama
razlikujemo: tijelo letjelice stalne mase, gorivo (kruto, tekuće) promjenjive mase i plinove
izgaranja. U odnosu na tijelo letjelice, tekuće se gorivo i plinovi gibaju. Na takvu letjelicu
koja nije nepromjenjive mase ne mogu se a priori primijeniti temeljni zakoni klasične
mehanike. Zato je nužno proučiti gibanje takvih tijela kako bi se postavili novi temeljni
zakoni koji su nam potrebni za proučavanje gibanja letjelica promjenjive mase.
Pri izučavanju gibanja letjelice, uključujemo sve materijalne čestice (bez obzira na to
pripadaju li tijelu, tekućini ili plinu) koje se nalaze unutar tzv. kontrolne površine
(označavamo je slovom F). Tu zatvorenu površinu čine vanjska površina letjelice, površine
ulaznih presjeka usisnika i površine izlaznih presjeka motora. Usvajamo da se ta kontrolna
Dinamika letjelica 6-19
površina F ne deformira. U svakom trenutku materijalne čestice unutar te kontrolne površine
čine sustav promjenjive mase koji promatramo. Taj sustav označit ćemo slovom Σ.
Pokazat ćemo da se zakoni gibanja (zakoni o derivacijama količine gibanja i kinetičkog
momenta) za tijela promjenjive mase mogu odrediti pomoću solidificiranih tijela na koje se
primjenjuju temeljni zakoni klasične mehanike, pod uvjetom da se uz stvarne vanjske sile i
momente uvedu još i dopunske sile i momenti koje nazivamo reaktivne sile i momenti.
U praksi koordinatni sustav postavljamo u središte mase letjelice, tako da on ima istu
kutnu brzinu kao kontrolna površina F. Kako je letjelica promjenjive mase, središte mase giba
se u odnosu na kontrolnu površinu, ali je relativna brzina središta mase nula, jer je ono uvijek
u ishodištu. Moguć je i drugi pristup ako koordinatni sustav vežemo za kontrolnu površinu. U
tom slučaju središte mase ima relativnu brzinu. U oba slučaju kutna brzina koordinatnog
sustava jednaka je kutnoj brzini kontrolne površine F. Gibanje sustava promjenjive mase
promatramo u odnosu na jedan od ta dva koordinatna sustava. To gibanje je relativno
gibanje. Neka je r
Vr brzina u odnosu na izabrani relativni koordinatni sustav, bilo koje čestice
dm unutar kontrolne površine. Za to relativno gibanje označimo sa rQr količinu gibanja, a sa
rHr0 kinetički moment u odnosu na ishodište relativnog koordinatnog sustava:
∫
∫×=
=
Σ
Σ
mVH
mVQ
rr
rr
d
d
0
rrr
rr
ρ 6.40
Pri tome se integracija izvodi unutar kontrolne površine F. Vektor rρ određuje položaj
promatrane čestice dm u odnosu na ishodište izabranoga relativnog koordinatnog sustava.
Gornjim jednadžbama za sustav Σ određeni su za relativno gibanje, količina gibanja i
kinetički moment za ishodište O.
6.3.2 Prividni sustav Σ∗
Da bismo riješili problem, uvedimo u razmatranje i sustav nepromjenjive mase Σ∗. Taj sustav
čine čestice dm koje se u trenutku t nalaze u kontrolnoj površini F. Neka taj sustav čini N
čestica. Nazvat ćemo taj sustav prividni jer on ne postoji. U sljedećem trenutku taj sustav
čestica nije više u kontrolnoj površini (neke čestice su izašle iz F, a druge su ušle u F) te se taj
sustav Σ∗ poklapa sa sustavom Σ samo u trenutku t. U trenutku t+dt sustav Σ je promijenio
masu ali je ostao u kontrolnoj površini F, a sustav Σ∗ je ostao iste mase ali nije više u
kontrolnoj površini F. Uočimo da sustav Σ∗ nije homogeno tijelo. On se sastoji od čestica koje
Dinamika letjelica 6-20
čine kruto tijelo, i od čestica koje se gibaju unutar tog tijela, kao i one koje u trenutku t
prolaze kroz kontrolnu površinu F. Znači da sustav Σ∗ ima čestice koje se gibaju u odnosu na
kontrolnu površinu F.
Za relativno gibanje sustava Σ∗ označit ćemo sa ( )rQ tr
∗ i ( )rH tr0
∗ količinu gibanja i
kinetički moment
∫
∫
∗
∗
×=
=
∗
∗
Σ
Σ
mVH
mVQ
rr
rr
d
d
0
rrr
rr
ρ 6.41
Kako je prividni sustav Σ∗ konstantne mase, možemo s relativnom derivacijom po vremenu
proći kroz znak integrala, te je za njega
.d
d
dd
0 ∫
∫
∗
∗
×=
=
∗
∗
Σ
Σ
mat
H
mat
Q
rr
rr
rrr
rr
ρδ
δ
6.42
6.3.3 Očvrsnuti sustav S
Potrebno je uvesti još jedan pojam. Ako u trenutku t sustav svih materijalnih čestica unutar
kontrolne površine F očvrsnemo, dobivamo kruto tijelo. To tijelo zovemo očvrsnuta letjelica
S (slovo S podsjeća na riječ solid). S fizičke strane treba uočiti da u trenutku t očvrsnuta
letjelica, tj. sustav S ima istu masu i isto središte mase kao i sustav Σ ili Σ∗, ali nema istu
količinu gibanja ni kinetički moment jer smo očvršćivanjem poništili relativno gibanje čestica
tekućina i plina u odnosu na tijelo. Međutim, na tu očvrsnutu letjelicu primjenjuju se svi
zakoni klasične mehanike. Sa ( )rQ tS i sa ( )
rH tS
0 označit ćemo količinu (apsolutnog) gibanja i
kinetički moment sustava S
.mVH
mVQS
S
∫∫
×=
=
d
d
0
rrr
rr
ρ 6.43
Kako je sustav S kruto tijelo, derivacijom po vremenu dobivamo:
( ) ( ) ∫∫∫
∫
×+×+××=×=
=
mamVmVtt
H
mat
Q
FF
S
S
ddddd
dd
dd
d
00 rvrrrrrrrr
rr
ρρρρ ΩΩ
ili
Dinamika letjelica 6-21
( ) ( ) ∫∫∫ ×+××=×+××=
=
mamVmamVt
H
mat
Q
cFF
S
c
S
dddd
dd
d
000 rvrrrrvrrrr
rr
ρρρρ ΩΩ
6.44
Uočimo da za sustav S ne postoji relativna količina gibanja niti relativni kinetički moment,
bez obzira na to vezuje li se relativni koordinatni sustav za kontrolnu površinu F ili za središte
mase, jer niti jedna točka očvrsnute letjelice, pa ni središte mase, nema relativnu brzinu u
odnosu na kontrolnu površinu F.
6.3.4 Veze između sustava Σ i Σ∗
U trenutku t sustavi Σ i Σ∗ po definiciji su isti :
( ) ( )( ) ( ) ,00 tHtH
tQtQ
rr
rr
∗
∗
=
=rr
rr
6.45
ali već u sljedećem trenutku t t+ d ta se dva sustava razlikuju (jer su neke čestice izašle a
druge ušle kroz kontrolnu površinu), te zato derivacije ovih veličina nisu jednake.
Odredimo veze između derivacija tih veličina. Potražit ćemo razliku između tih veličina
za sustave Σ i Σ∗ u vremenskom intervalu ∆t. Za promatrača koji se nalazi u relativnom
koordinatnom sustavu kroz kontrolnu površinu F u vremenu ∆t
ulaze čestice s količinom gibanja ∆rQru i kinetičkim momentom ∆
rHr u0 u odnosu na
ishodište,
izlaze čestice s količinom gibanja ∆rQri i kinetičkim momentom ∆
rHr i0 u odnosu na
ishodište.
Prema tome, poslije vremena ∆t bit će
( ) ( )( ) ( ) .0000 rirurr
rirurr
HHttHttH
QQttQttQrrrr
rrrr
∆∆∆∆
∆∆∆∆
−++=+
−++=+∗
∗
Ako se od tih jednadžbi oduzmu jednadžbe 3.58, zatim razlika podijeli sa ∆t, te pusti ∆t da
teži k prema nuli, dobivaju se relativne derivacije (derivacije u relativnom koordinatnom
sustavu) :
,
dd
dd
000
rrr
rrr
ht
Ht
H
kt
Qt
Q
rrr
rrr
−=
−=
∗
∗
δδ
δδ
6.46
gdje je
Dinamika letjelica 6-22
0
lim
→
−=
tt
QQk rurir
∆∆∆∆rr
r
6.47
0
lim 000
→
−=
tt
HHh rurir
∆∆∆∆rr
r
6.48
Veličine rkr i
rh r0 su količina relativnog gibanja i kinetički moment tog relativnog gibanja
čestica koje prolaze kroz kontrolnu površinu F u jedinici vremena (koliko je izašlo umanjeno
za onoliko koliko je ušlo). Vektori rkr i
rh r0 zavise od brzine gibanja čestica u odnosu na
izabrani koordinatni sustav. Ako želimo da rk F i
rh F0 predstavljaju razliku protoka i momenta
protoka kroz kontrolnu površinu F (protok prema van umanjen za protok prema unutra),
trebamo relativni koordinatni sustav vezati za kontrolnu površinu F.
6.3.5 Načelo očvršćivanja
U odjeljku 6.4 postavili smo temeljne zakone gibanja tijela kao sustava čestica čija je ukupna
masa konstantna, a sve čestice sustava pripadaju tijelu. Sve jednadžbe koje smo izveli u tom
odjeljku izravno se mogu primijeniti na očvrsnutu letjelicu, tj. na sustav S. Sustav Σ∗ koji
ima ukupnu masu konstantnu možemo razmatrati na sličan način, ali moramo uzeti u obzir da
osim čestica tijela (kojih ima najviše), postoje i čestice koje se gibaju u odnosu na tijelo
letjelice (npr. čestice tekućina ili čestice plinova). Zbog toga što se neke čestice gibaju u
odnosu na tijelo, giba se i središte mase sustava Σ i Σ∗ u donosu na tijelo.
Na temelju definicije sustava Σ , Σ∗ i S, uočimo da sva ta tri sustava imaju u trenutku
“t” iste masene karakteristike, da sustavi Σ i Σ∗ imaju istu količinu gibanja i isti kinetički
moment, ali ne i njihove derivacije po vremenu.
Relativni koordinatni sustav postavljamo na dva načina. Njegovo ishodište vezujemo za
fiksnu točku kontrolne površine ili za središte mase sustava, a kutna brzina relativnog
koordinatnog sustava je kutna brzina kontrolne površine.
U oba je slučaja jednadžba relativnog gibanja bilo koje čestice sustava Σ ili Σ∗ u tom
relativnom koordinatnom sustavu: r r r r r ra m R g m F F Fr u pd d d d d d= + + + + k .
Prije zbrajanja za sve čestice sustava Σ ili Σ∗ pridružimo ovoj jednadžbi i njen produkt s
relativnim vektorom položaja. Tako dobivamo dvije jednadžbe: r r r r r ra m R gm F F Fr u kd d d d= + + + + ∫∫∫∫
Dinamika letjelica 6-23
r r r r r r r r r r rr a m M r g m r F r F r Fr u p k× = + × + × + × + ×∫ ∫ ∫ ∫ ∫d d d d d0 .
Svi su integrali uzeti po sustavu Σ ili Σ∗ . Integral na lijevoj strani prve jednadžbe ra mr d∫ je
relativna derivacija relativne količine gibanja sustava Σ∗, a integral je na lijevoj strani druge
jednadžber rρ ×∫ a mr d relativna derivacija po vremenu relativnog kinetičkog momenta za
ishodište istoga prividnog sustava Σ∗ . Temeljem načela akcije i reakcije bit će
.0d
0d
∫∫
=×
=
u
u
F
Frr
r
ρ
Prijenosno gibanje sustava Σ ili Σ∗ je gibanje sustava S te je
.2d2d
ddd
CrFrFk
CS
pp
VmVF
mamamaF
rrrrr
rrrr
×−=×−=
−=−=−=
∫∫
∫ ∫∫ΩΩ
Σ
Σ
Isto tako je:
( ) .d2d
ddd
∫∫
∫∫∫××−=×
×=×=×
Σ
ΣΣ
Ωρρ
ρρρ
mVF
mamaF
rFk
Spp
rrrr
rrrrrr
Tako dobivamo jednadžbe :
δr
r r r r rQt
R gm a m V mrC F Cr
∗
= + − − ×d
2Ω
( )δρ ρ ρ
rr r r r r r r rH
tM g m a m V mr
C p F r0
0 2∗
= + × − × − × ×∫ ∫dd dΩ ,
a zatim pomoću veza između derivacija sustava Σ i Σ∗ dobivamo :
r r r rr
r ra m R gm k
Qt
V mC rr
F Cr= + − − − ×dd
2Ω ,
( )r r r r r rr
r r rρ ρ
δρ× = + × − − − × ×∫ ∫a m M g m h
Ht
V mp C rr
F rdd
d0 00 2 Ω .
Za očvrsnutu letjelicu, prema jednadžbi 6.49 bit će
rr
a mQtc
S
=dd
.
Prijenosno ubrzanje ra p je istodobno ubrzanje ra te iste materijalne čestice u očvrsnutom
sustavu S, jer smo taj sustav definirali tako da se zaustavi relativno gibanje. Na temelju te
činjenice bit će
Dinamika letjelica 6-24
( )r r r rr
r r rρ ρ ρ× = × = − × ×
∗∫ ∫a m a m
Ht
V mpS
S
F cd dd
dΣ
Ω00 ,
u kojoj je rV0 brzina ishodišta. Kada se ovaj integral uvrsti u drugu gornju jednadžbu
dobivamo
mVtQdkmgR
tQ
CrFrr
r
S rrr
rrrr
×−−−+= Ω2dd
d
( ) ( ) mVt
HdhmgMmVt
HrF
rrrCcF
S
d2dd
d 0000
0 ∫ ××−−−×++××=rrr
rrrrrrrr
r
ΩΩ ρρρ
Na desnoj strani u prvoj jednadžbi, osim stvarnih vanjskih sila, pojavljuje se i jedna dopunska
sila koju nazivamo pogonska sila rFR :
mVtQdkF CrF
rrrR
rrr
rr×−−−= Ω2
d. 6.50
Isto tako u drugoj se jednadžbi, osim stvarnih vanjskih momenata, pojavljuje i jedan dopunski
koji nazivamo pogonski moment :
( )r rr
r r rM h
Ht
V mRr
rF r0 0
0 2= − − − × ×∫δ
ρd
dΩ . 6.51
Prvi član na desnoj strani posljedica je ishodišta izvan središta mase. Ako je ishodište
relativnog koordinatnog sustava postavljeno u središtu mase očvrsnute letjelice (sustava S),
onda je rρC = 0 pa taj član ne postoji. Isto tako neće postojati ni moment sile Zemljane teže za
ishodište (treći član na desnoj strani).
Uvrstimo li izraz za reaktivnu silu i reaktivni moment u jednadžbe za derivaciju
količine gibanja i kinetičkog momenta očvrsnute letjelice, dobivamo:
R
S
FmgRt
Q rrrr
++=d
d 6.52
( ) RCcF
S
MmgMmVt
H000
0
dd rrrrrrrr
+×++××= ρρΩ 6.53
Ako smo koordinatni sustav vezali za kontrolnu površinu, onda u ovoj jednadžbi imamo
vektore rk F i
rh F0 koji ovise o protoku kroz kontrolnu površinu, ali je tada obično
rVC r ≠ 0 , a
relativna derivacija relativne količine gibanja i relativnog kinetičkog momenta jesu derivacije
količine gibanja i kinetičkog momenta čestica koje se gibaju u odnosu na tijelo letjelice, dok
je tijelo letjelice nepomično.
Suprotno tomu, ako smo koordinatni sustav vezali za središte mase, onda su rkr i
rh r0
relativne derivacije relativne količine gibanja i relativnog kinetičkog momenta, kroz
Dinamika letjelica 6-25
kontrolnu površinu, koje su različite od rk F i
rh F0 , ali najviše se razlikuju relativne derivacije
relativnog gibanja i kinetičkog momenta jer sve čestice tijela imaju relativnu brzinu u odnosu
na središte mase, no tada je r
VC r = 0 i rρc = 0 . U tom se slučaju druga vektorska jednadžba
gibanja znatno pojednostavnjuje:
RCC
SC MM
tH rrr
+=d
d . 6.54
6.4 Pogonska sila i moment mlaznog motora
Na letjelicu primijenit ćemo teoriju tijela promjenjive mase. Vanjska površina letjelice, na
kojoj se nalaze ulazne površine usisnika uS i izlazne površine mlaznica motora iS , čine
kontrolnu površinu. Promatrajmo slučaj letjelice s jednim motorom. Neka je ppp zyx
koordinatni sustav motora. Njegova ravnina pp yx neka je paralelna sa xy ravninom simetrije
zrakoplova, a os px je ispod osi x zrakoplova za kut Tα . Ulazna površina uS okomita je na
brzinu ulaza uVr
, a izlazna površina iS okomita na os x motora, duž koje je izlazna brzina iVr
.
6.4.1 Napadni kut i kut klizanja motora
Za analizu pogonske sile i pogonskog momenta potrebni su kutovi uα i uβ dolazeće struje u
odnosu na koordinatni sustav motora ppp zyx .
uVr
iVr
yz
Tα
pz
py pxuα
uβ
Slika 6-3
Dinamika letjelica 6-26
Oni su jednaki kutovima aerodinamičke brzine umanjeni za savijanje uε i skretanje uσ struje
ispred elise ili usisnika, a kut uα umanjen je još za kut zakretanja motora Tα :
uu
Tuu
σββαεαα
−=−−=
6.55
Koliko je to savijanje uε u ravnini simetrije i skretanje uσ okomito na ravninu simetrije,
mnogo ovisi o konfiguraciji zrakoplova. Ako je to zrakoplov koji ima pogon na prednjem
dijelu trupa, onda nema ni savijanja ni skretanja zračne struje ( 0== uu σε ). Obrnuto ako su
motori postavljeni na krilu, savijanje ispred krila uε ne treba zanemariti. Uzimamo da su
savijanje i skretanje proporcionalni kutovima struje:
β
βσ
σ
ααε
ε
∂∂
=
∂∂
=
uu
uu
6.56
Uz tu pretpostavku dobivamo kutove dolazeće struje:
β
βσ
σββ
αααε
αεαα
∂∂
−=−=
−
∂∂
−=−−=
uuu
Tu
Tuu
1
1 6.57
Slika 6-4.
Dinamika letjelica 6-27
Na slici 6-4 prikazan je dijagram koji omogućuje procjenu gradijenta savijanja struje
paralelno ravnini simetrije letjelice, za razne vitkosti krila A u ovisnosti o udaljenosti koja je,
izražena u tetivama od točke na prvoj četvrtini tetive. Bočno savijanje struje je malo. Osim
toga, bočno savijanje struje na lijevoj strani suprotno je od savijanja na desnoj strani u odnosu
na ravninu simetrije letjelice, te se efekti poništavaju. Zato obično zanemarujemo bočno
savijanje struje i uzimamo da je ββ =u .
6.4.2 Komponente pogonske sile
Prema teoriji mehanike tijela promjenljive mase iz odjeljka 6.3 pogonska sila motora je
( ) mVdtQdkF rCF
rrrP
rrr
rr×−−−= Ω2 , 6.58
gdje je
t
QQlimk ruir
r ∆∆∆rr
r −= . 6.59
Ove jednadžbe su opće. Primijenit ćemo ih na pogon zrakoplova koji ima jedan ili više parova
simetrično raspoređenih mlaznih motora. Pretpostavljamo da je istjecanje plinova duž px
koja s x osom letjelice čini kut Tα u ravni ni paralelnoj s ravninom simetrije letjelice.
Ako je rad motora stacionaran, onda je derivacija količine relativnog gibanja ukupne
mase plinova koji se nalaze u motoru od ulaza do izlaza jednaka nuli:
0=dtQd rr
r
Relativna brzina promjene položaja središta mase letjelice ( )rCVr
mala je pa je zanemarujemo:
( ) 0≈rCVr
U tom slučaju koji nas zanima bit će jednadžba pogonske sile:
0
lim
→
−=
tt
QQF riur
p
∆∆
∆∆rr
r
6.60
Kroz dio kontrolne površine uS , tijekom vremena t∆ ulazi masa ( )uuu StV ρrr
∆ . Ta
masa je uvijek pozitivna pa treba uzeti apsolutnu vrijednost ovog skalarnog produkta.
Relativna količina gibanja zraka bit će uuuuur StVVQ ρrrrr
∆∆ = .
U istom vremenu t∆ kroz izlaznu površinu iS motora izlazi masa iii StV ρrr
∆ koja je
također uvijek pozitivna, pa treba i tu uzeti apsolutnu vrijednost. Količina gibanja produkta
Dinamika letjelica 6-28
izgaranja bit će ( )iiiiir StVVQ ρ∆∆rrrr
= , gdje je iρ specifična masa produkta izgaranja na
izlazu iz motora. U tim uvjetima limesi u jednadžbi pogonske sile lako se nalaze:
0
limlimlim
→
⋅−
⋅=
−=
tt
tSVV
t
tSVV
tQQ
F iiiiuuuuriurp
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆∆ ρρrrrrrr
r
pa je
iiiiuuuup SVVSVVF ρρrrrrrrr⋅−⋅= . 6.61
Relativna brzina zraka na usisniku uVr
jednaka je po veličini i smjeru aerodinamičkoj brzini V,
ali je u suprotnom smjeru. Neka su pα i pβ napadni kut i kut klizanja ulazne brzine uVr
u
odnosu na koordinatni sustav ppp zyx . Intenzitet ulazne brzine pretpostavit ćemo da je jednak
aerodinamičkoj brzini. Tada su komponente ulazne brzine u koordinatnom sustavu pogona
ppp zyx :
[ ]Tuuuuup
u VVV αββαβ sincossincoscos −−−=V , 6.62
gdje su, kao što smo to vidjeli u prethodnom odjeljku, kutovi uα i uβ određeni jednadžbama
(6.57). Kako su ti kutovi uvijek mali,
[ ]Tuup
u VVV αβ −−−=V . 6.63
Vektor uSr
je okomit na osi px i usmjeren prema van. Zato je
[ ]Tupu S 00=S . 6.64
S tim vrijednostima u koordinatnom sustavu ppp zyx nalazimo skalarni produkt:
upu
puuu VSSV =⋅=⋅ SV
rr 6.65
Brzina istjecanja produkta izgaranja iVr
ima intenzitet U u pravcu osi mlaznice motora
(okomito na izlaznu površinu), te je
[ ]Tpi U 00−=V , 6.66
jer je smjer istjecanja suprotan smjeru osi px . Isto tako vektor izlazne površine iSr
je u pravcu
osi px , ali suprotnog smjera [ ]TiPi S 00−=S . Tako je skalarni produkt:
ipi
piii USSV ==⋅ SV
rr 6.67
S tim skalarnim produktima bit će vektorska jednadžba pogonske sile:
Dinamika letjelica 6-29
( ) ( ) iiiuuup USVVSVF ρρrrr
−−= , 6.68
ili njen matrični oblik
( ) ( )iip
iuup
uP SUSV ρρ VVF −= . 6.69
Komponente pogonske sile u koordinatnom sustavu pogona ppp zyx lako nalazimo jer su nam
sve veličine poznate:
( ) ( )iiuu
u
up
Z
pY
pX
SUU
SVVVV
FFF
ρραβ
−−
−−−
=
00 . 6.70
Uvedimo oznake:
uupu
iipi
SVF
SUF
ρ
ρ2
2
=
= 6.71
Uz te oznake bit će komponente pogonske sile duž osi pogonske grupe:
upup
Z
upup
Y
pupip
X
FF
FF
FFF
α
β
−=
−=
−=
6.72
Komponenta duž ose motora PXF predstavlja pogonsku silu motora. Ona se obično označava
sa T.
uuii SVSUT ρρ 22 −= . 6.73
Pored te aksijalne sile pojavljuju se i dvije bočne komponente u ravnini okomitoj na ulaz u
motor koje su proporcionalne ulaznim kutovima
upu
pZ
upup
Y
FF
FF
α
β
−≈
−≈ 6.74
6.4.3 Komponente pogonskog momenta
Hvatišta bočnih komponenata upuF β i upuF α uzimamo u središtu ulaza
[ ]Tuuumru zyll −=r , 6.75
a hvatište aksijalne sile određujemo kao hvatište rezultate od dviju komponenata aksijalne
sile:
iiSU ρ2 s hvatištem u središtu izlaza ( )[ ]Tiiimri zyll −=r i
iiSV ρ2 s hvatištem u središtu ulaza [ ]Tuuumru zyll −=r .
Dinamika letjelica 6-30
uVr
iVr
pz
py px
yz
Tαum ll −im ll −
py
izuz
T
x
pYF
pZF
uαuβ
Slika 6-5
pa su koordinate hvatišta pogonske komponente T
( ) ( ) ( )
.22
22
22
22
22
22
uuii
uuuiiip
uuii
uuuiiip
uuii
uuumiiimpm
SVSUSVzSUzz
SVSUSVySUyy
SVSUSVSU
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
−⋅−⋅
=
−⋅−⋅
=
−⋅−−⋅−
=−llll
ll
6.76
Vektor položaja hvatišta aksijalne sile označavamo sa:
[ ]Tpppmrp zyll −=r . 6.77
Uz te oznake bit će komponente momenta pogonske sile
−−+
=
upu
upu
FF
T
αβ
0~
00~
FPruFPrpFC LrLrM . 6.78
Velika je razlika u intenzitetu aksijalne komponente T i bočnih komponenata puu Fβ i puu Fα ,
te njih možemo smatrati malim veličinama u odnosu na aksijalnu komponentu. Postavni kut
motora Tα obično je isto mali kut, pa je opravdano izjednačiti bočne komponente u
koordinatnom sustavu motora i letjelice.
Dinamika letjelica 6-31
−−≈
−−
upu
upu
upu
upu
FF
FF
αβ
αβ
00
FPL
pa gornja jednadžba 6.78 ima oblik:
−−+
=
upu
upu
FF
T
αβ
0~
00~
ruFPrpFC rLrM 6.79
Kako je ( )TXFP αLL = bit će komponente pogonskog momenta u koordinatnom sustavu
letjelice:
( )( )
( )( )
−−⋅
−−−−
−+
+
⋅
−⋅
−−−−
−=
upu
upu
umu
umu
uu
TT
TT
pmp
pmp
pp
F
F
F
FF
yz
yz
T
yz
yz
NML
αβ
αα
αα
0
00
0
00
cos0sin010
sin0cos
00
0
ll
ll
ll
ll
6.80
Množenjem dobivamo:
( ) ( )( )
−−−
+−+
−−−=
upuum
upuum
upuuupuu
Tp
TpmTp
Tp
F
F
F
FF
FzFy
TyTTz
Ty
NML
βα
βα
ααα
α
ll
llll
cossincos
sin. 6.81
U ovim jednadžbama treba uočiti nekoliko činjenica.
• Prvo, bočne komponente pogonske sile puu Fβ i puu Fα znatno su manje od aksijalne
komponente pogonske sile T , pa su i momenti koje one stvaraju isto tako znatno manji
od momenata aksijalne sile.
• Drugo, ako postoji jedan središnji motor, onda je za njega 0== up yy . Komponente
pogonskog momenta u tom slučaju imaju oblik:
( ) ( )( )
−−−+
−−=
upuum
upuum
upuu
TpmTpF
F
F
FF
FzTTz
NML
βα
βαα
ll
llll
0sincos
0. 6.82
Dinamika letjelica 6-32
• Treće, u slučaju više motora, uvijek se za par motora članovi koji sadrže py i uy skrate,
jer je za jedan motor pozitivno, a za drugi negativno. To znači da je gornja jednadžba
upotrebljiva za veći broj motora, samo što se članovi trebaju onoliko puta zbrojiti koliko
ima motora.
• Četvrto, ako je u paru otkazao jedan motor, onda je komponenta oko osi z
( ) ppuumTpF FTyN βα ⋅−−−= llcos 6.83
• Peto, pogonski moment propinjanja FM
( ) ( ) upuumTpmTpF FTTzM ααα llll −+−−= sincos 6.84
linearna je funkcija po napadnom kutu, jer je prema jednadžbi 6.55
Tu
Tuu αααεαεαα −
∂∂
−=−−= 1 ,
pa je
ααFFF MMM += 0 6.85
gdje su:
( ) ( )
( ) .1
sincos0
∂∂
−−=
−−−−=
αε
ααα
αu
puumF
TpuumTpmTpF
FM
FTTzM
ll
llll
6.86
6.4.4 Raspoloživa sila mlaznog motora
Aksijalna komponenta T duž osi motora može se mijenjati otklonom Tδ . Za najveću
vrijednost tog otklona imamo maksimalnu ili raspoloživu pogonsku silu aT . Da ne bi došlo
do zabune u oznakama označit ćemo raspoloživu pogonsku silu sa F, a temperaturu zraka sa
T. Ta raspoloživa sila mlaznog motora F ovisi o karakteristikama zraka. Prema Cohenu [17],
sila mlaznog motora ovisi o tlaku p i temperaturi T preko bezdimenzijskih veličina: odnosa
tlaka na visini i tlaka pri zemlji 0p
p , odnosa temperature pri zemlji i na visini TT0 i o
Machovu broju, kao i o kutnoj brzini motora ω :
= Ma
TTf
ppF ,0
10
ω
O tim parametrima također ovisi i potrošnja goriva (masa goriva potrošena u jedinici
vremena)
Dinamika letjelica 6-33
= Ma
TTf
TT
ppFC ,0
200
ω
Prema tome i potrošnja goriva mijenjat će se obzirom na visinu. U standardnoj atmosferi na
određenoj visini možemo je predstaviti kao funkciju Machova broja. Proizvođač obično daje
tu ovisnost u obliku dijagrama kao na slici 8-4.
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 km
3 km
6 km
9 km
11 km
Ma
F/F 0
Slika 6-6
Takav dijagram treba aproksimirati nekim funkcijama koje su usklađene u intervalima
uporabe motora. Jedna od mogućih je eksponencijalna funkcija po Machovom broju
nMaAFF −⋅=
0
u kojoj je 0F sila mlaznog motora na razini mora u statičkim uvjetima, a konstante A i n ovise
o visini. Moguće je krivulju ( )MaF za određenu visinu dijagram aproksimirati polinom
011
1 aMaaMaaMaaF nn
nn ++++= −
− L
s tim da red polinoma n ne bude veći od 4. U tom slučaju koeficijenti polinoma ovise o
visini.
Dinamika letjelica 6-34
6.5 Pogonska sila i moment elisnog motora
6.5.1 Komponenta pogonske sile u ravnini diska elise
I u slučaju elise postoji sila u ravnini diska elise, koja je proporcionalna kutu između dolazeće
zračne struje i osi rotacije elise. Eksperimentalno je utvrđeno da je taj koeficijent
proporcionalnosti
( )TfC
SNVF bladeNpBP α
ρσ ∂
∂=
2
2
, 6.87
gdje je:
pS površina diska elise,
BN broj ploštica u elisi,
α∂∂ bladeNC
gradijent ploštice elise prema dijagramu na slici 6-7, a korak nDVJ = ; n broj
okretaja elise u sekundi, a D promjer diska elise.
( )Tf funkcija pogonske sile elise prema dijagramu na slici 6-8, na kome je
bezdimenzijski
Slika 6-7 Krivulja 1 za obične elise, krivulja 2 za široke elise tipa turbomlazni
Dinamika letjelica 6-35
Aerodinamička brzina na ulazu u disk elise ima napadni kut pα i kut klizanja pβ . Međutim i
osa elisnog motora može biti pod kutom Tα u odnosu na os letjelice, a može postojati i
povijanje stuje ispred elise (npr. u slučaju potisne elise) pa je u tom slučaju napadni kut
Tup αεαα −−= . 6.88
Oba ta kuta stvaraju sile okomite na os rotacije elise, tj. u ravnini diska čije su komponente
duž koordinatnog sustava pogona:
pPZ
pPY
FFFF
α
β
σ
σ
−=
−=
Slika 6-8
Prema tome, komponente pogonske sile u slučaju elisnog motora duž osi tromosti zrakoplova
jesu :
( ) [ ]TppppTY FFT αβα σσ −−⋅L , 6.89
Uočimo da je to potpuno isti oblik jednadžba kao i kod mlaznog motora. Razlika je što je kod
mlaznog motora uupu SVF ρ2= , a ovdje je σpF određeno gornjom jednadžbom
6.5.2 Komponente momenta pogonske sile elise
Te komponente pogonske sile stvaraju momente oko središta mase. Neka su, kao na slici 6-9,
[ ]Tpppm zyll −
Dinamika letjelica 6-36
koordinate središta diska elise u koordinatnom sustavu letjelice, gdje je pl udaljenost diska
elise od vrha letjelice, a ml udaljenost središta mase isto od vrha letjelice.
ppF βσ
ασ ′pF
T
Slika 6-9. Bočne sile elise
Komponente pogonske sile u koordinatnom sustavu letjelice dobivamo poslije transformacije
zbog zaokrenutog koordinatnog sustava pogona za kut Tα
−−+
=
pp
pp
FF
T
αβ
σ
σ
0~
00~
FPruFPrpFC LrLrM .
Kao i u slučaju mlaznih motora bočne komponente puu Fβ i puu Fα male su sile u odnosu na
aksijalnu komponentu T, te njih smatramo malim veličinama u odnosu na T. Postavni kut
motora Tα isto je mala veličina, pa zanemarujući male veličine drugog reda bit će:
−−+
=
pp
pp
FF
T
αβ
σ
σ
0~
00~
ruFPrpFC rLrM . 6.90
odakle je
( ) ( )( )
−−−
+−+
−−−=
pppm
pppm
pppppp
Tp
TpmTp
Tp
F
F
F
FF
FzFy
TyTTz
Ty
NML
βα
βα
ααα
α
σ
σ
σσ
ll
llll
cossincos
sin 6.91
Kao i u slučaju mlaznog motora i ovdje ima nekoliko važnih napomena:
Dinamika letjelica 6-37
• Ako postoji samo jedna središnja elisa, onda je 0=py , pa nestaju članovi sa py , a ako
je više elisa, onda treba zbrojiti komponente svih elisa. Tada će se članovi sa py skratiti
jer elisi s desne strane odgovara ista s lijeve strane:
( ) ( )( ) .
sincos
pppmF
ppTpmTpF
pppF
FN
FTTzM
FzL
β
ααα
β
σ
σ
σ
ll
ll
−−=
−−−=
=
6.92
• U slučaju otkaza jednog motora komponenta momenta FN vrlo je snažna:
( ) pppmTpF FTyN βα σll −−−= cos . 6.93
• Moment propinjanja je linearna funkcija napadnog kuta
ααFFF MMM += 0 , 6.94
gdje je
( ) ( )
( ) .1
sincos0
∂∂
−−=
+−−=
αε
ααα
σα
σ
uppm
F
TpTpmTpF
FM
FTTzM
ll
ll
6.95
jer je Tup αεαα −−= .
6.5.3 Primjer
Za mali putnički zrakoplov iz odjeljka 5 odrediti normalnu komponentu i moment propinjanja
pogonske sile, ako je 05.4=Tα
Za korak elise
60088140
45 ..nD
VJ =⋅
==
gradijent ploščice elise je
0300.C bladeN =∂
∂
α
a za bezdimenzijsku pogonsku silu koja je jednaka otporu zrakoplova
( ) ( ) 231.088.12
694.0104.00231.01.1521
2
2
2
20
22 =⋅
⋅+⋅=
+==∗
DKCCS
DVTT LDref
ρ
S tim vrijednostima je gradijent normalne sile
( ) ( ) 0132.0203.1030.01.15288.12
2
=⋅⋅=∂
∂= ∗
∞
πα
σ TfC
SS
NSq
F bladeN
ref
pB
ref
p
Dinamika letjelica 6-38
Ispred elise nema savijanja struje ( Tp ααα −= ) te je s ovim gradijentom normalna
komponenta pogonske sile:
( ) ( ) ααααα σσ ⋅−=−⋅−=−−=−
∞∞
0132.000103.0078.00132.0Tref
p
ref
pp
SqF
SqF
Moment propinjanja od elise prema jednadžbi 6.92 bit će:
( ) ( )ppTpmTpF FTTzM ααα σ−−−= sincos ll .
Os motora prolazi kroz središte mase te je 0=pz , pa će komponenta propinjanja pogonskog
momenta biti:
( ) ( )[ ]TpTpmF FTM ααα σ −−−−= sinll .
ili
( ) ( ) ( )
−+⋅⋅+−
−=
∞∞T
ref
pTLD
A
pm
Aref
F
SqF
CKCccSq
M ααα σsin20
ll
( ) ( )[ ]0068.00132.0
078.00132.0078.0694.0104.00231.00698.1719.1 2
−⋅=
−⋅+⋅⋅+−
−=
∞
α
αAref
F
cSqM
7-1Ravnotežni let
7 RAVNOTEŽNI LET I NJEGOVA STABILNOST
Zrakoplovi imaju tzv. polarno upravljanje. Trebaju li u nekoj ravnini učiniti zaokret, a to znači
promijeniti pravac brzine u toj ravnini, oni to ostvaruju vektorskom razlikom sile uzgona i
težine, tj. jedan dio sile uzgona služi za kompenzaciju težine, a drugi za promjenu pravca
vektora brzine. Zato se zrakoplovi moraju zavaljati da bi postavili silu uzgona tamo gdje treba,
a istodobno povećali silu uzgona koliko treba. Odatle slijedi da je problem upravljivosti
pitanje veličine sile uzgona koju zrakoplov može ostvariti. Kao mjera upravljivosti može se
upotrebljavati ili maksimalna sila uzgona ili prirast sile uzgona za jedinični prirast otklona
kormila visine.
7.1 Ravnotežni let
7.1.1 Definicija ravnotežnog leta
Ravnotežni let ili istrimana letjelica, kako se često govori, znači da su momenti koji djeluju
oko središta mase letjelice u ravnoteži, tj. da je rezultirajući moment jednak nuli. U tom
slučaju letjelica se neće okretati, ili ako ima neku kutnu brzinu neće je mijenjati, jer momenti
za središte mase mijenjaju kutnu brzinu. U većini slučajeva let transportnih zrakoplova odvija
se u ovim uvjetima ili vrlo blisko njima. Prema tome, možemo reći da u ravnotežnom letu
mora biti:
000
===
LNM
U ravnotežnom letu razmatramo dva pojma: statičku stabilnost i upravljivost.
7.1.2 Zbroj pogonske i aerodinamičke sile i momenta
Tražimo komponente zbroja pogonske sile i aerodinamičke sile duž osi aerodinamičkog
koordinatnog sustava u letu bez kuta klizanja ( 0=β ). Zato trebamo naći komponente obiju
sila u tom koordinatnom sustavu. Pogonska sila ima komponente duž osi pogona prema
prethodnom poglavlju
,ppp
Z
ppp
Y
pX
FF
FFTF
α
β
−=
−=
=
7.1
Ako je pogon s elisom onda je
7-2 Ravnotežni let
( )TfC
SNVFF bladeNpBpp α
ρσ ∂
∂==
2
2
, 7.2
a kad je riječ o mlaznim motorima, onda je
uupup SVFF ρ2== . 7.3
Da bi ove komponente pogonske sile preneli u aerodinamički koordinatni sutav potrebna nam
je matrica transformacije u aerodinamički koordinatni sustav iz pogonskog. Tu matricu
nalazimo lako na temelju već određenih matrica.
( ) ( ) ( )αααα −=⋅−== TYTYYFPAFAP LLLLLL 7.4
Konstrukcijom zrakoplova motor se postavlja tako da u ravnotežnom horizontalnom letu bude
ravT αα = , pa je matrica ( ) JL =−ααTY . Kad nije tako, bit će ta razlika mala pa je matrica
približno jednaka jediničnoj matrici. Uz tu činjenicu dobivamo tražene komponente pogonske
sile:
−−=
−−⋅=
−−=
pp
pp
pp
pp
pp
ppAPP
Z
PY
PX
FFT
FFT
FFT
FFF
αβ
αβ
αβ JL f7.5
Komponentu AZF zbrojit ćemo s aerodinamičkom silom uzgona. Budući da smo u
aerodinamici odredili normalnu silu zrakoplova, silu uzgona zrakoplova dobit ćemo
transformacijom:
( )
−
−−=
−
−
N
A
YAL
D
C
C
C
C00 αL
Iz toga slijedi:
αα sincos ANAL CCC −=
( ) mNANNAL CCCCC δα δα +⋅−+= 0
Kako je uzgon suprotnog smjera od aerodinamičke osi z, trebamo dodati pogonsku
komponentu sili uzgona, te je konačno
( )ref
ppmNANNL Sq
FCCCCC
∞
++⋅−+=α
δα δα0
Kako je Tup αεαα −−= (jednadžba 6.57 i 6.88) bit će poslije zamjene
mLLLL CCCC δα δα ++= 0 , 7.6
gdje je
7-3Ravnotežni let
( )
.
1
00
δδ
αα αε
α
NL
u
ref
pANL
ref
TpNL
CCSq
FCCC
SqF
CC
=
∂∂
−+−=
−=
∞
∞
7.7
Komponente zbroja pogonskog i aerodinamičkog momenta trebamo duž osi letjelice. I
jedan i drugi moment već smo odredili upravo duž tih osi, te sada ih treba samo zbrojiti.
Pogonski moment propinjanja u oba slučaja (mlazni ili elisni motor) također ima isti oblik,
ααFFF MMM += 0
u kome su za slučaj mlazniog motora (jednadžbe 6.86):
( ) ( )
( ) ,1
sincos0
∂∂
−−=
−−−−=
αε
ααα
αu
puumF
TpuumTpmTpF
FM
FTTzM
ll
llll
a za slučaj eleisnog motora (jednadžba 6.95):
( ) ( )( ) .1
sincos0
∂∂
−−=
+−−=
αε
ααα
σα
σ
uppm
F
TpTpmTpF
FM
FTTzM
ll
ll
Uočimo da veličina FM 0 može biti i pozitivna i negativna, a da predznak FM α ovisi o tomu je
li usisnik, odnosno elisa, ispred ili iza središta mase zrakoplova. Gradijen FMα je isti po obliku
pa možemo koristiti zajedničku jednadžbu
( ) .1
∂∂
−−=αε
αu
ppmF FM ll 7.8
Pretpostavimo da nema kutne brzine ili su male te ih možemo zanemariti, što je slučaj u
ravnotežnom letu. U tom slučaju aerodinamički moment propinjanja ima oblik:
( )mmmmAA
mCCCcSqM δα δα ++= 0 7.9
Rezultirajući moment propinjanja, koji je zbroj pogonskog i aerodinamičkog momenta
propinjanja, imat će oblik
mMMMM δα δα ++= 0 , 7.10
gdje su:
7-4 Ravnotežni let
δδ
ααα
ρ
ρ
ρ
mAref
mArefF
mArefF
CcSVM
CcSVMM
CcSVMM
2
2
2
2
2
0
2
00
=
+=
+=
7.11
Derivativi momenta propinjanja mmm CC δα i nisu samo funkcije Machova broja već ovise i o
napadnom kutu i otklonu kormila visine zbog savijanja struje i zbog nelinearnosti gradijenta
normalne sile krila. Ta ovisnost derivativa mmm CC δα i o napadnom kutu i otklonu kormila
visine za normalne zrakoplovne sheme može se zanemariti (ako napadni kut nije velik), ali u
slučaju zrakoplova sheme canard, koju imaju suvremeni borbeni zrakoplovi, mora se uzeti u
obzir ta nelinearnost.
7.1.3 Uzgon u ravnotežnom letu
Zbrajanjem komponenata pogona i aerodinamike, u općem slučaju na zrakoplov u letu djeluje
moment propinjanja i sila uzgona. Oba vektora ovise o napadnom kutu i otklonu kormila
visine
mLLLL δα δα ++= 0
mmMMMM δα δα ++= 0
To su dvije familije krivulja, koje su prikazane na slici 7.1. Na toj slici položaji krivulja
odgovaraju normalnoj shemi zrakoplova. Ovisnost sile uzgona ( )mLfL δα ,= o napadnom
kutu obično je funkcija bliska pravcu, a njihova međusobna udaljenost za različite otklone mδ
ovisi o veličini upravljačkih površina. U slučaju subsoničnih zrakoplova, kada su kormila
visine samo dio horizontalnog repa, one su vrlo bliske te se često zamjenjuju jednim pravcem.
Nasuprot tomu, krivulje momenta propinjanja ( )mm ,fM δα= za različite otklone kormila
visine mδ uvijek su razmaknute. Za normalne zrakoplovne sheme te krivulje su približno
linearne, a za konfiguracije tipa canard vrlo su nelinearne po napadnom kutu.
Pretpostavimo da letimo s otklonom mδ u ravnotežnom letu. Na donjem dijagramu
slike 7-1 točka A predstavlja stanje u letu jer po definiciji u ravnotežnom letu moment
propinjanja AM je nula, a točka A se nalazi na krivulji ( )mm ,fM δα= za zadano mδ . Iz te
jednadžbe
00 =++= mravA MMMM δα δα 7.12
7-5Ravnotežni let
dobivamo ravnotežni napadni kut za postavljeni otklon kormila visine. Kada je moment
propinjanja jednak nuli, onda je napadni kut jednak ravnotežnom napadnom kutu ravα . To
znači da zadanom otklonu kormila visine mδ , u ravnotežnom letu, odgovara ravnotežni
napadni kut:
α
δ δαMMM m
rav −+
= 0 7.13
U ravnotežnom letu sila uzgona predstavljena je odgovarajućom točkom A u gornjemu dijelu
dijagrama na slici 7-1:
α
α
mδ
mm δδ <1A
B
D
DA
B
mδ
mm δδ <1
Nf
mf
Slika 7-1. Prijelaz iz jednoga u drugu ravnotežni let
mravrav LLLL δα δα ++= 0 ,
ili zamjenom za ravnotežni kut:
mm
mravrav LMMMLLLLLL δ
δδα δ
α
δαδα +
−+
+=++= 000
7-6 Ravnotežni let
mrav LM
MLM
MLLL δδα
δα
αα
+
−+
−+= 0
0 7.14
Iz toga zaključujemo da u ravnotežnom letu sila uzgona ovisi isključivo o veličini otklona
kormila pravca mδ .
Vidjeli smo da napadni kut u ravnotežnom letu ovisi o otklonu kormila visine. Tu
ovisnost označavamo s ( )mrav δα . Iz gornje jednadžbe za ravnotežni napadni kut slijedi također
da on ima dva dijela. Prvi dio ( )αMM −0 ne ovisi o otklonu kormila visine mδ i to je
vrijednost napadnog kuta u ravnotežnom stanju kad je otklon kormila visine nula:
( )α
αM
Mrav −
= 00 . 7.15
Drugi dio je proporcionalan otklonu kormila visine. Taj koeficijent proporcionalnosti
α
δ
MMK −= 7.16
nazivamo aerodinamičko pojačanje (zajedno s njegovim predznakom). Predznak
aerodinamičkog pojačanja može biti i pozitivan i negativan, što ovisi o aerodinamičkoj shemi.
Za canard konfiguracije je 0>δM , 0<αM , pa je aerodinamičko pojačanje tih shema uvijek
pozitivno. Nasuprot tomu, normalna konfiguracija zrakoplova ima 0<δM , a αM može biti
negativno ili pozitivno, pa i aerodinamičko pojačanje može biti pozitivno i negativno. S tim
oznakama je ovisnost ravnotežnog napadnog kuta od otklona kormila visine:
( ) ( ) mravmrav K δαδα ⋅+= 0 7.17
7.1.4 Normalno opterećenje
Budući da proučavamo zrakoplove koji su aerodinamički upravljivi, bitna je veličina sile
uzgona i sposobnost zrakoplova da je mijenja jer se pomoću te sile upravlja zrakoplovom.
Zato se odnos intenziteta sile uzgona prema težini zrakoplova naziva normalno opterećenje
(load factor) i označava se sa skalarom n bez indeksa:
WLn = 7.18
Drugim riječima to znači da je faktor opterećenja veličina uzgona izražena u težinama
letjelice. Međutim, taj koeficijent ima šire značenje. Da bismo razumjeli njegovo značenje,
promatrajmo relativno gibanje mase m u zrakoplovu.
7-7Ravnotežni let
kpvezer amamgmFam rrrrr−−+= ;
• vezeFr
su sile veze koje djeluju na masu m u zrakoplovu,
• par je prijenosno ubrzanje koje je jednako apsolutnom ubrzanju one točke zrakoplova u
kojoj se nalazi masa m,
• kar je Coriolisovo ubrzanje rVrr
×Ω2 .
Ako masa m miruje u zrakoplovu, onda je relativno ubrzanje te mase 0=rar i njena relativna
brzina 0=rVr
, te nema ni Coriolisova ubrzanja. Iz jednadžbe za relativno gibanje dobivamo da
su sile veza koje djeluju na masu m proporcionalne prijenosnom ubrzanju:
gmamF pvezerrr
−=
Pretpostavimo da se mala masa m nalazi u središtu mase zrakoplova. U tom slučaju prijenosno
ubrzanje jednako je ubrzanju središta mase zrakoplova:
gWWLDTa p
rrrrr +++
=
Ako zrakoplov leti konstantnom brzinom, onda je 0=+ DT . Prijenosno ubrzanje koje je
jednako ubrzanju središta mase zrakoplova ima vrijednost:
gnggW
WWLg
gWWLa p
rrrrrr
r+=+=
+=
To znači da je u tom slučaju potrebna sila u vezama koja će držati masu m u mirovanju:
( ) nmggmgngmFvezerrrrr
⋅=−+= 7.19
Vidimo da na masu m, osim njene težine mg, djeluje i dodana sila nmg ⋅ u pravcu sile uzgona.
Znači da na tu malu masu m, koja je u relativnoj ravnoteži u zrakoplovu, djeluje osim težine
još i dopunska sila koja je umnožak njene težine mg i normalnog opterećenja n u smjeru i
pravcu uzgona. Koliko bi normalno opterećenje n (u smjeru i pravcu uzgona) bilo veće, toliko
je veća dopunska sila koja djeluje na malu masu m. To je značenje riječi opterećenje .
Konačno, ako zrakoplov leti konstantnom brzinom u horizontalnom letu, onda je
WL = ili 1=n , a zato što je vektorski zbroj ovih sila jednak nuli, nema prijenosnog ubrzanja
0=+
=m
WLa p
rrr ,
što znači da na masu m ne djeluje dopunska inircijska sila pamr− , a sila veze je gmFveze
rr−= .
Taj isti zaključak slijedi iz gornje jednadžbe nmgFirr
⋅= , jer vektor nr ima intenzitet 1, a smjer
u pravcu uzgona.
7-8 Ravnotežni let
Čovjekov organizam može podnijeti neku najveću vrijednost ove sile, i zato faktor
opterećenja mora biti manji od neke vrijednosti humenn . Isto tako konstrukcijske veze
omogućuju faktor opterećenja do neke vrijednosti sn . Kad bi faktor opterećenja premašio tu
vrijednost, onda bi došlo do kidanja veza u strukturi. Zato je nužno da faktor opterećenja u letu
bude manji od tih ograničenja.
7.1.5 Primjer
Odrediti opterećenje malog zrakoplova za najveći otklon kormila visine, ako je za taj otklon
koeficijent sile uzgona 75% od maksimalne vrijednosti 45.1max =LC , pri zemlji i brzini leta
[ ]smV 50=
mg
CSV
WLn
Lref2
2ρ
==
Za maksimalni otklon kormila visine je 09.145.175.0 =⋅=LC pri zemlji i brzinom leta
[ ]smV 50=
36.281.91088
09.11.152
50225.1 2
max =⋅
⋅⋅
=n
7.2 Stabilnost ravnotežnog leta
Ravnotežni let bit će stabilan ako se opet uspostaviti ravnotežni let kakav je bio, kad neki
vanjski poremećaj leta naruši tu ravnotežu (npr. udar uzdužnog vjetra, ulazak u oblak gdje je
povećana gustoća i dr.). Postoje dvije stabilnosti ravnotežnog leta: uzdužna stabilnost i bočna
stabilnost.
Zrakoplov je uzdužno stabilan ako poremećaj napadnog kuta α∆ (zbog vanjskih
uzroka) stvara promjena momenta propinjanja koja nastoji poništiti taj poremećaj napadnog
kuta.
U bočnom gibanju zrakoplova promatramo stabilnost skretanja i valjanja. Tako
kažemo da je zrakoplov bočno stabilan, ako se zbog poremećaja kuta klizanja β∆ i (ili)
poremećaja kuta valjanja φ∆ pojave promjene momenata skretanja N∆ i valjanja L∆ koje
smanjuju te poremećaje kuta klizanja i kuta valjanja.
7-9Ravnotežni let
7.2.1 Uvjeti uzdužne stabilnosti ravnotežnog leta
Vidjeli smo da točka A na slici 7-1 predstavlja stanje letjelice, tj. njen napadni kut za zadani
kut otklona kormila visine. Prvo treba u ravnotežnom letu potreban je pozitivan napadni kut
ravα , a zatim taj ravnotežni kut treba biti stabilan.
Zrakoplov treba za svaku vrijednost otklona kormila visine mδ imati određeni napadni
kut ravα za koji je moment propinjanja jednak nuli:
ravm MMM αδ αδ ++= 00
To znači da postoji ravnoteža između dva momenta mMM δδ+0 i ravM αα . Kad letjelica leti
s tim kutom ravα , onda je ukupni moment propinjanja jednak nuli, tj. nema momenta
propinjanja, letjelica se ne okreće oko osi y, napadni kut ravα se ne mijenja. Kaže se da je
letjelica u ravnotežnom letu (istrimana letjelica).
Postavlja se pitanje je li letjelica u letu s napadnim kutom ravα stabilna. Drugim
riječima ako iz bilo kojih razloga nastane poremećaj napadnog kuta α∆ , pa napadni kut ima
novu vrijednost α∆αα += rav , što će se zbiti? Zbog tog poremećaja α∆ narušena je
ravnoteža između dva momenta mMM δδ+0 i ααM . Rezultirajući moment propinjanja nije
jednak nuli. Za poremećeni napadni kut α∆α +rav bit će taj rezultirajući moment propinjanja
( )α∆αδ αδ +++= ravm MMMM 0 .
Međutim, kako je 00 =++ ravm MMM αδ αδ , bit će novi moment propinjanja
αα ∆= MM
Sve ovisi o predznaku derivativa αM . Ako je 0<αM , onda novi moment propinjanja M ima
suprotan predznak od α∆ . Tako će novi moment propinjanja α∆αMM = , koji je nastao zbog
poremećaja napadnog kuta, biti negativan u slučaju povećanja napadnog kuta, a to znači da će
smanjivati napadni kut, tj. težiti da se letjelica vrati u prvobitni položaj ravα . Ili, ako je
poremećaj napadnog kuta bio negativan, moment propinjanja α∆αMM = bit će pozitivan pa
će povećavati napadni kut, tj. opet će težiti da vrati letjelicu u prvobitni položaj ravα . To znači
da letjelica sa 0<αM ima stabilan let s napadnim kutom ravα . U tom slučaju kada je
0<αM , da bi ravnotežni napadni kut
α
δ δα
MMM m
rav −+
= 0 7.20
7-10 Ravnotežni let
bio pozitivan, mora biti mMM δδ+0 pozitivno. Tako dobivamo dva uvjeta za stabilan
ravnotežni napadni kut:
.0
0
0 >+<
mMMM
δδ
α 7.21
Slika 7-2. Statička stabilnost i nestabilnost
Ovakvu stabilnost u ravnotežnom letu zovemo statička stabilnost leta, tj. to su dva uvjeta
statičke stabilnosti leta. Međutim to nisu jedini mogući uvjeti stabilnosti u ravnotežnom letu.
Do sada smo smatrali da je otklon upravljačke površine mδ proporcionalan otklonu
samo otklonu pilotske palice, tj. da je izravno pod kontrolom pilota. Ako letjelica nema
statičku stabilnost, ona može biti stabilizirana pomoću povratne veze. Povratna veza je dodani
otklon mδ∆ koji se zbraja s otklonom mδ , tako da je otklon upravljačke površine mm δ∆δ + ,
zbroj otklona mδ izravno od pilota, i dodanog otklona mδ∆ iz povratne veze. U tom je slučaju
moment propinjanja
( ) ( ) α∆δ∆α∆αδ∆δ αδαδ MMMMMM mravmm +=++++= 0 ,
jer i dalje vrijedi jednadžba ravnotežne letjelice ravm MMM αδ αδ ++= 00 . Taj dodani otklon
iz povratne veze mδ∆ može osigurati da ovaj rezultirajući moment M bude suprotnog
predznaka od poremećaja α∆ , a to znači da statički nestabilna letjelica s povratnom vezom
može biti stabilna. Takvu stabilnost nazivamo sintetična stabilnost.
7-11Ravnotežni let
7.2.2 Uzdužna statička stabilnost
Da bismo povećali napadni kut zrakoplova, trebamo negativan otklon kormila visine. Kada
smo promijenili otklon kormila visine mm δδ <1 , normalna sila predstavljena je točkom B na
gornjemu dijagramu slike 7-1, a pojavio se moment propinjanja ( )1, mAmB fM δα= određen
ordinatom točke B u donjemu dijagramu iste slike. Taj moment okreće letjelicu i povećava
napadni kut od vrijednosti Aα do vrijednosti Dα . Kako je letjelica stabilna ( 0<αM ),
povećanje napadnog kuta AD ααα∆ −= stvara dodatni negativni aerodinamički moment
0<= α∆∆ αMM propinjanja, tako da letjelica postiže novi ravnotežni položaj predstavljen
točkom D u kojoj je ( ) 0, 1 == mDmD fM δα . U točki D moment propinjanja je opet nula i
letjelica je opet u ravnotežnom stanju, ali sada je normalna sila veća, kao što se vidi u točki D
u gornjemu dijelu slike. Prelazak iz točke A u točku D predstavlja prijelazni proces. On je
opisan u zadnjem poglavlju ove knjige.
Statički stabilna letjelice na svaki zauzeti otklon upravljačkih površina poslije
prijelaznog procesa zauzima novi ravnotežni položaj u kome je moment za središte mase
jednak nuli. Kada promatramo let transportnih zrakoplova, tada nema velike i nagle promjene
otklona kormila visine, kao što je slučaj s borbenim lovcima ili akrobatskim zrakoplovima. Za
transportne zrakoplove u prvoj iteraciji možemo usvojiti da su oni za vrijeme leta stalno u
ravnotežnom stanju, a to znači da je 0=M , odnosno da je napadni kut uvijek ovisan samo o
otklonu kormila visine.
7.2.3 Neutralna točka
Gradijent rezultirajućeg momenta po napadnom kutu zbroj je dvaju gradijenata
ααα mAF CqScMM += 7.22
Ovaj prvi uslijed pogonske sile određuje se prema jednadžbama 7.8 :
( )
∂∂
−−=αε
αu
pmpF FM 1ll 7.23
u kojoj je eliseppp FF ll == ,σ (jednadžba 6.87) kad je riječ o pogonu pomoću elise, a
uppup FF ll == , (jednadžba 6.87) kad zrakoplov ima mlazni motor. Samo u slučaju ako je
elisa ili ulaz u mlazni motor iza središta mase 0<− pm ll , ovaj član doprinosi stabilnosti. U
većini slučajeva oni su pozitivni te aerodinamički gradijent treba biti ne samo negativan nego i
7-12 Ravnotežni let
manji od neke negativne vrijednosti. To znači da negativan gradijent aerodinamičkog
koeficijenta momenta propinjanja 0<αmC ne osigurava prvi uvjet stabilnosti 0<αM .
Gradijent momenta propinjanja αM koji treba biti negativan ovisi o položaju središta
mase. Vidjeli smo da je taj gradijent zbroj: pogonskog momenta i aerodinamičkog momenta
propinjanja. Dijeljenjem s referentnim momentom dobivamo:
ααα
mAref
F
Aref
CcqS
McqS
M+= 7.24
Gradijent aerodinamičkog koeficijenta momenta propinjanja zrakoplova ima tri komponente:
od krila, horizontalnog repa i tijela (jednadžbe 3.64, 3.78 i 3.80)
( ) ( ) ( ) fmhBmWBmAm CCCC αααα ++= 7.25
Kada zamijenimo vrijednosti za ova tri gradijenta prema jednadžbama koje smo izveli u
trećem poglavlju i uvedemo opću oznaku pogonski gradijent, dobivamo:
( )
( ) ( ) ( ) ( )Aref
fffchmhN
ref
hVcwmWNBW
ref
w
pmu
ref
p
Aref
cSLWK
CSSCK
SS
qSF
cqSM
2
1
1
+−
∂∂
−+−+
+−
∂∂
−=
llll
ll
αεη
αε
αα
α
7.26
Postoji jedan položaj središta mase za koji je 0=αM . Nazivamo ga neutralna točka.
Udaljenost neutralne točke od vrha, podijeljenu sa aerodinamičkom tetivom krila označavamo
sa nl . Dobiva se iz jednadžbe:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 01
1
2
=+−
∂∂
−+−+
+−
∂∂
−
Aref
fffchnhN
ref
hVcwnWNWB
ref
w
pnu
ref
p
cSLWK
CSSCK
SS
qSF
llll
ll
αεη
αε
αα
7.27
Oduzimanjem ove jednadžbe od prethodne dobivamo:
( ) ( ) ( )nmhNref
hVWNWB
ref
wu
ref
p
Aref
CSS
CKSS
qSF
cqSM
ll −
∂∂
−++
∂∂
−=αεη
αε
ααα 11 7.28
Kako je
( ) ( ) ,1
21
2
∂∂
−++
∂∂
−=
+=
αεηρ
αε
αα
ααα
hNref
hVWNWB
ref
wref
up
AN
CSSCK
SSSVF
NFN
iz ove dvije zadnje jednadžbe dobivamo:
7-13Ravnotežni let
( )nmrefAref qS
NcqS
Mll −= αα . 7.29
Sad se jasno vidi da će prvi uvjet statičke stabilnosti 0<αM biti ispunjen ako je
nm ll < 7.30
tj. ako je središte mase ispred neutralne točke. Što je više središte mase ispred neutralne točke,
to će bolje biti zadovoljen uvjet statičke stabilnosti. Položaj neutralne točke odrežujemo iz
jednadžbe 7.27 sređivanjem dobivamo:
( ) ( )
( ) ( )
∂∂
−++
∂∂
−
−⋅
∂∂
−+⋅+⋅
∂∂
−
=
αεη
αε
αεη
αε
αα
αα
11
112
hNref
hVWNWB
ref
wu
ref
p
Aref
fffchhN
ref
hVcwWNWB
ref
wp
u
ref
p
n
CSSCK
SS
qSF
cSLWK
CSSCK
SS
qSF
lll
l . 7.31
7.2.4 Primjer
Odredit ćemo neutralnu točku malog putničkog zrakoplova (odjeljak 5).
Udaljenost neutralne točke od vrha letjelice s elisnim pogonom dobivamo iz uvjeta da
je za neutralnu točku zbroj gradijenata pogonskog momenta i aerodinamičkog momenta
propinjanja jedna k nuli.
0=+ αα MM F
ili
0=+ αα
mAref
F
CcqS
M
U primjeru iz odjeljka 6.5.3 izračunali smo koeficijent propinjanja pogonskog momenta za
mali putnički zrakoplov
( )( )pmTref
p
Aref
F
SqF
cSqM
ll −−=∞∞
αασ
a za neutralnu točku je koeficijent tog momenta
( )( )pnTref
p
Aref
F
SqF
cSqM
ll −−=∞∞
αασ
Njegov gradijent bit će ( 0=Pl )
( ) npnref
p
Aref
F
SqF
cSqM
lll ⋅=−=∞∞
0132.0σα
Aerodinamički moment propinjanja izračunan je u odjeljku 5.3.6
7-14 Ravnotežni let
( ) ( )( ) ( ) mhmwm
mfmmm
hihih
KhhC
192.0055.0446.0212.1640.3254.0
216.0607.072.4482.1
+−⋅−−⋅−−
−⋅−−⋅−−= δα
Bez obzira na to koliki su postavni kutovi Wi i hi , bit će gradijent aerodinamičkog momenta
propinjanja
( )nm hC 72.4482.1 −−=α
Ukupni gradijent momenta propinjanja za neutralnu točku mora biti jednak nuli:
( ) 072.4482.10132.0 =−− nn hl
Iz jednakosti
875.0698.1486.1
−=−=−
= nnA
Ann c
h llll
zamjenom u gornju jednadžbu dobivamo
( ) 0875.072.4482.10132.0 =−⋅+− nn lr
l
186.1=nl
To znači da je neutralna točka udaljena od vrha
mcAnn 014.2698.1186.1 =⋅== ll
Ako se središte mase na udaljenosti od vrha letjelice mm 719.1=l onda je
17.0698.1
719.1014.2=
−=− mn ll
To znači da postavni kutovi krila i horizontalnog repa nemaju utjecaja na položaj neutralne
točke.
7.2.5 Bočna statička stabilnost
U ravnini simetrije zrakoplova pozitivni moment propinjanja M povećava pozitivni napadni
kut, ali u poprečnoj ravnini, pozitivni moment skretanja smanjuje pozitivni kut skretanja.
Pretpostavimo da zrakoplov leti pravocrtno bez kuta klizanja i bez valjanja, tj. 0=β i 0=φ .
Otklon kormila pravca neka je nula 0=nδ . U takvom pravocrtnom letu kutne brzine su nula,
0=== rqp . U tom letu aerodinamički moment valjanja i skretanja kao i od pogonske sile
jednaki su nuli. Neka je u jednom trenutku zapuhnuo bočni vjetar, takav da se pojavio kut
klizanja 0>β kao na slici 7-3. Kao posljedica toga kuta je pojavljuje se aerodinamički
moment valjanja i momenta skretanja:
7-15Ravnotežni let
βρ
βρ
β
β
nrefA
refA
bCSVN
bCSVL
2
22
2
=
= l
7.32
kao i pogonski momenti prema jednadžbama 6.81 i 6.91:
ppF zFL β=
( )pmpF FN ll −−= β
u kojima je za elisni motor elisappp FF ll == ,σ , a za mlazni motor uppup FF ll == , .
Vk
V
β
y
x
0>nδ
ββnC
nn nC δδ
VW
VW
Slika 7-3. Zrakoplov i bočni vjetar
Uvjet je bočne statičke stabilnosti da zbroj momenata skretanja
( )ββρβ pmpnref
FA FbCSVNN ll −−=+2
2
bude pozitivan kako bi svojim djelovanjem smanjivao nastali kut klizanja β . Prema
konvenciji predznaka, da bi moment skretanja FA NN + smanjivao nastali kut klizanja 0>β ,
on treba biti pozitivan, a to znači da mora biti
7-16 Ravnotežni let
( ) 02
2
>−− pmpnref FbCSVllβ
ρ
ili
( )
bSVF
C
ref
pmpn
2
2ρβ
ll −> 7.33
Kako je prema jednadžbi 4.8
( ) ( ) ( )fnWBnVBnn CCCC ββββ ++= ,
Prema jednadžbama 4.11 i 4.13
( ) ( )b
KCSSC mCVV
VBVNref
VVVBn
ll −=
∂β∂β
η αβ .
( )bSW
DVC
reff
fffn 3.1−=β ,
dok je ( )WBnC β proporcionalno kvadratu koeficijenta uzgona.
( ) ( ) ( )bSW
DV
SVF
Cb
KCSS
reff
ff
ref
pmpWBn
mCVVBVN
ref
VVV 3.1
2
2 +−
>+−
⋅⋅∂∂
ρββ
η βα
llll
Ovaj uvjet nije teško ispuniti odgovarajućim dimenzioniranjem produkta ( )mCVVS ll −
vertikalnog repa, koji nazivamo volumen vertikalnog stabilizatora. Taj produkt lako
udovoljava i strožijem uvjetu
( ) ( )bSW
DV
SVF
bKC
SS
reff
ff
ref
pmpmCVVBVN
ref
VVV 3.1
2
2 +−
>−
⋅⋅∂∂
ρββ
η α
llll
Za dimenzioniranje vertikalnog repa postoje još teži zahtjevi koje ćemo razmotriti u poglavlju
o upravljivosti bočnog gibanja.
7.3 Upravljivost u ravnotežnom letu
7.3.1 Upravljivost u uzdužnom gibanju
Sila uzgona mijenja pravac brzine te ona predstavlja upravljačku silu:
( ) ( ) mLANNNN qSCqSCqSCFqSCFL δα δαα +−+++= 00 7.34
Ima tri komponente:
7-17Ravnotežni let
• prva je konstantna
0
2
00 2 Nrefp
Y CSVFL ρ+= 7.35
• druga je proporcionalna napadnom kutu i ona je najvažnija
( ) αρα ααα
−+= ANref
pY CCSVFL
2
2
7.36
• treća je proporcionalna otklonu upravljačkih površina
mNrefm CSVLm
δρδ δδ 2
2
= . 7.37
U ravnotežnom letu, kada je 0=M , kod aerodinamičke sheme canard treća je komponenta u
istom smjeru kao i druga, a kod normalne sheme u suprotnom je smjeru. Zato je rezultirajuća
normalna shema kod canard konfiguracije veća u odnosu na normalnu shemu. To je jedan od
razloga što zrakoplovi koji trebaju imati velike manevarske mogućnosti imaju canard
konfiguracije.
Sila uzgona u ravnotežnom stanju ovisi samo o otklonu kormila visine jer ravnotežni
napadni kut ovisi o otklonu kormila visine.
α
δ δα
MMM m
rav −+
= 0 7.38
Uvrstimo li ovu vrijednost za ravnotežni napadni kut u jednadžbu za silu uzgona, dobivamo:
mm
mravrav LMMMLLLLLL δ
δδα δ
α
δαδα +
−+
+=++= 000
mrav LM
MLM
MLLL δδα
δα
αα
+
−+
−+= 0
0 7.39
Apsolutna vrijednost derivacije sile uzgona po otklonu kormila visine
δα
δαδ
LM
MLddL
m
rav +−
= 7.40
mjera je upravljivosti, jer pokazuje za koliko se promijeni upravljačka sila kad se promijeni
otklon kormila visine, bez obzira na koju stranu. Da bismo vidjeli utjecaj položaja središta
mase na upravljivost, podsjetimo se jednadžbe za gradijent momenta propinjanja ovisno o
položaju neutralne točke i središta mase:
( )mnrefAref qS
NcqS
Mll −−= αα 7.41
Iz te jednadžba dobivamo vezu ( αα LN = )
7-18 Ravnotežni let
( )mnAcLM
ll −−=α
α 7.42
Zamjenom u gornju jednadžbu 7.40, dobivamo ovisnost upravljivosti o položaju središta mase
i normalne točke:
( ) m
m Lc
MddL
mnAm
ravδ
δ
δ+
−=
ll 7.43
gdje su, podsjetimo se, m
Lδ i m
M δ određeni jednadžbama 3.89 i 3.90 u odjeljku 3.2.4. U ovoj
jednadžbi pojavljuje se totalna i parcijalna derivacija uzgona. Totalna derivacija koeficijenta
uzgona (ili koeficijenta normalne sile) po otklonu kormila visine, moguća je s obzirom na
zavisnost napadnog kuta α od otklona kormila visine mδ prema jednadžbi 7.38 koja postoji u
ravnotežnom let. Drugim riječima jednadžba 7.43 kao mjerilo upravljivosti, postoji samo u
ravnotežnom letu kada važi jednadžba 7.38.
Jednadžba 7.43 pokazuje utjecaj mn ll − na upravljivost i jasno ukazuje da
upravljivost opada s povećanjem razlike ( )mn ll − . Tako dolazimo do spoznaje da središte
mase ne treba ići suviše prema naprijed, kako smo to željeli zbog statičke stabilnosti, jer se
time smanjuje upravljivost letjelice. To znači da su uvjet statičke stabilnosti i uvjet
upravljivosti oprečni. To je jedan od razloga što se za zrakoplove koji trebaju velike
manevarske mogućnosti, pitanje stabilnosti rješava pomoću povratne veze (sintetična
stabilnost) i canard konfiguracija.
Za transportne zrakoplove koji ne trebaju velike manevarske mogućnosti primjenjuje
se normalna shema. Položaj krila i dimenzije horizontalnog repa određuju se tako da neutralna
točka bude na udaljenosti od središta mase 2% do 5% aerodinamičke tetive, tj.
05.002.0 >−> mn ll 7.44
Maksimalnu silu uzgona postižemo pri maksimalnom napadnom kutu. Taj napadni kut treba se
ostvariti s najvećim otklonom kormila visine, no u određenim granicama, jer u suprotnom
dolazi do odvajanja struje i pada učinkovitost kormila. Isto tako maksimalni napadni kut ne
smije biti veći od neke granične vrijednost maxα , jer u suprotnome naglo pada uzgon
zrakoplova (stall). Tom maksimalnom otklonu kormila visine maxmδ odgovara u ravnotežnom
letu najveći dopušteni napadni kut zrakoplova, a on je 25% manji od najvećeg napadnog kuta
pri kome nastaje stall. Znači da maksimalnom otklonu kormila visine maxmδ treba odgovarati
ravnotežni kut max75.0 α⋅ . Iz jednadžbe za ravnotežni napadni kut
7-19Ravnotežni let
α
δ δα
MMM m
rav −
+=⋅ max0
max75.0 7.45
možemo odrediti koliko je potrebno aerodinamičko pojačanje (odnos αδ MM ) letjelice.
7.3.2 Primjer
Odrediti postavni kut horizontalnog repa malog putničkog zrakoplova tako da je za
maksimalni otklon kormila visine 018=mδ sila uzgona %75 od maksimalne kritične
vrijednosti 45.1=LC , ako je postavni kut krila 01+=wi , a udaljenost središta mase od
aerodinamičkog ishodišta 1370.hm = .
Jednadžbe koje daju koeficijente aerodinamičke sile uzgona i momenta propinjanja
izračunane su u odjeljku 5.3.5 i 5.3.6:
192.0446.064.3216.072.4 ++++= hwmfAL iiKC δα
( ) ( )( ) ( ) mhmwm
mfmmAm
hihih
KhhC
192.0055.0446.0212.1640.3254.0
216.0607.072.4482.1
+−⋅−−⋅−−
−⋅−−⋅−−= δα
Za 1370.hm = i postavni kut krila 01=wi ove jednadžbe daju vrijednosti:
256.0446.0216.072.4 +⋅+⋅+= hmfAL iKC δα
024.0151.1577.0835.0 −⋅−⋅−⋅−= hmfAm iKC δα
Tim koeficijentima trebamo dodati i odgovarajuće koeficijente od pogonske sile i pogonskog
momenta koje smo odredili u šestom poglavlju i konkretno izračunali u primjeru 6.5.3
α⋅−==∞
0132.00010.0ref
ZFZ Sq
FC
0068.00134.0 +⋅==∞
αAref
FFm cSq
MC
Tako dobivene koeficijente zbrajamo s aerodinamičkim. Pri tome vodimo računa da je FN
FZ CC −= :
255.0446.0216.073.4 +⋅+⋅+= hmfL iKC δα
017.0151.1577.0822.0 −⋅−⋅−⋅−= hmfm iKC δα
Iz uvjeta da pri otklonu kormila visine 314.0180 −=−=mδ (za taj otklon je 87.0=fK )
imamo 75% od maksimalne sile uzgona, dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:
7-20 Ravnotežni let
( ) 255.0446.0314.087.0216.073.445.175.0 ++−⋅⋅+=⋅ hrav iα
( ) 017.0151.1314.087.0577.0822.0 =⋅−−⋅⋅−− hrav iα
Kad se urede te jednadžbe imaju oblik
892.0446.073.4 =⋅+⋅ hrav iα
141.0151.1822.0 =⋅+ hrav iα
Iz tih dviju jednadžbi trebamo odrediti hi i ravα . Njihovo rješenje je
0
0max
7.0013.0
9.10190.0
−=−=
==
hi
α
S dobivenim postavnim kutom horizontalnog repa, jednadžbe ukupnog koeficijenta sile
uzgona i ukupnog momenta propinjanja imaju oblik:
249.0216.073.4 +⋅+= mfL KC δα
002.0577.0822.0 −⋅−⋅−= mfm KC δα
U horizontalnom letu uzgon je jednak težini te ako je pri najvećoj masi malog zrakoplova
kgm 1088= brzinu leta smV 4.54= , treba biti:
474.01.15
24.54007.181.91088
2
22 =⋅
⋅==
ref
L
SVmgC
ρ
To znači da će u horizontalnom letu trebati otkloniti kormilo visine za veličinu koju
određujemo iz jednadžbi
249.0216.073.4474.0 +⋅+= mfK δα
002.0577.0822.00 −⋅−⋅−= mfK δα
ili
225.0216.073.4 =⋅+ mfK δα
002.0577.0822.0 −=⋅+⋅ mfK δα
Rješenje ovih jednadžbi je
0
0
4.40762.0
9.20510.0
−=−=
==
mf
rav
K δ
α
Za otklone upravljačkih površina manje od 010 prema slici 2-16 je 1=fK .
7-21Ravnotežni let
7.3.3 Upravljivost bočnog leta
Bočno stabilna letjelica okrenut će se “uz vjetar”, poništit će kut klizanja β , ali će zato
promijeniti pravac leta. Da bi nastavila letjeti u željenom pravcu, letjelica mora letjeti s kutom
klizanja β , a da pri tome moment skretanja i moment valjanja budu i dalje jednaki nuli kao
prije pojave bočnog vjetra. Ta ravnoteža momenata skretanja i valjanja postiže se otklonom
kormila pravca nδ i krilaca lδ . Drugim riječima, u uvjetima bočnog vjetra koji stvara kut
klizanja β , trebaju otkloni kormila pravca nδ i krilaca lδ biti takvi da ukupni moment
valjanja i ukupni moment skretanja budu jednaki nuli:
( ) 02
2
=+++=+= nfrefppAF KCCCbSVFzLLL
nδδβρβ δδβ llll l
( ) ( ) 02
2
=+++⋅−−=+= nfnnnrefpumAF KCCCbSVFNNN
nδδβρβ δδβ ll
ll
Te jednadžbe kad se urede imaju oblik:
( ) βρ
δδ
βρ
δδ
βδδ
βδδ
+−−
−=+
+−=+
npm
ref
pnfnn
p
ref
pnf
CSV
FKCC
CzSV
FKCC
n
n
lll
llll
l
l
2
2
2
2
7.46
Dobivene jednadžbe moraju imati realno rješenje, tj. učinkovitost krilaca i kormila pravca
moraju biti dovoljna da se omogući let u uvjetima dopuštenog vjetra. Kako su otkloni
ograničeni najvećim vrijednostima, bočna stabilnost zrakoplova je zadovoljena ako je kut
klizanja manji od neke vrijednosti maxβ koja je u općem slučaju ovisna o Machovom broju.
Uvjeti sigurnosti zrakoplova s više motora zahtijevaju i više od toga, jer ako otkaže
jedan od dva motora, onda se pojavljuje (prema jednadžbi 6.93 za elisni pogon, a prema
jednadžbi 6.83 za slučaj mlaznog motora) moment skretanja
( ) pppmTpF FTyN βα ll −−−= cos 7.47
i moment valjanja:
ppTpF FzTyL βα σ+= sin 7.48
7-22 Ravnotežni let
u kojima je za elisni motor elisappp FF ll == ,σ , a upuppup FF ββ === ;, ll za mlazni
motor. U oba slučaja pojavljuje se vrlo snažna komponenta momenta skretanja TpTy αcos
koja nije više uravnotežena simetričnim motorom s druge strane. Osim toga, na drugoj strani
umjesto pogonske sile T stvara se aksijalna sila PA strujanja kroz motor suprotnog smjera.
Tako se taj moment skretanja oko osi z još dodatno povećava:
( ) Tpp ATy αcos+−
Treba uzeti u obzir onu kombinaciju otkaza motora ( py pozitivno za desni motor ili negativno
za lijevi) i bočnog vjetra kada se aerodinamički moment βρβnref bCSV
2
2
uslijed bočnog
vjetra i moment skretanja motora ( ) Tpp ATy αcos+− zbrajaju. Za bočni vjetar, kao na slici
2-7 koji stvara pozitivan kut klizanja, nepovoljan je otkaz desnog motora, jer lijevi motor
( 0<py ) povećava taj kut klizanja. Jednadžba ravnoteže momenata skretanja ima oblik:
( ) ( ) ( ) 02
cos2
=+++−−+− llll δδβρβα δδβ nnfnnrefpppmTpp CKCCbSVFATy
n.
Isto tako i u jednadžbi valjanja pojavljuje se novi član ( ) Tpp ATy αsin+ pa ona dobiva oblik:
( ) ( ) 02
sin2
=+++++ nfrefppTpp KCCCbSVFzATyn
δδβρβα δδβ llll l.
Kad se ove jednadžbe urede, one imaju oblik:
( )
( ) ( ) βρρ
αδδ
βρρ
αδδ
βδδ
βδδ
−−++
=+
+−+
=+
npm
ref
pp
ref
Tpnfnn
p
ref
pp
ref
Tpnf
CSV
Fy
SVAT
KCC
CzSV
Fy
SVAT
KCC
n
n
lll
llll
l
l
22
cos
22
sin
22
22
7.49
Bitno je uočiti da u ovom slučaja rješenja nδ i lδ ovise o aerodinamičkoj brzini V. Kako
otkloni ne smiju biti veći od nekih maksimalnih vrijednosti koje osiguravaju pravilno
opstrujavanje kormila pravca i krilaca, koje su fizički ograničene na zrakoplovu, slijedi da za
zadani kut klizanja (propisuje se standardima 0.2), mora brzina V biti veća od neke vrijednosti
koja se zove minimalna brzina upravljanja (minimum control speed) i označava se sa cmV . To
znači da zrakoplov pri zalijetanju na pisti tek kada dostigne tu brzinu može kompenzirati bočni
vjetar i eventualni otkaz jednog bočnog motora.
7-23Ravnotežni let
7.3.4 Primjer
Mali zrakoplov pri aerodinamičkoj brzini smV 10= u uvjetima bočnog vjetra smvW 8=
ima kut klizanja 010=β . Koje otklone kormila pravca i krilaca treba imati da bi savladao
bočni vjetar
U odjeljku 6.5.3 izračunano je
0132.0
2
2 =
ref
p
SVF
ρσ ,
te je uvjet bočne stabilnosti
( )0026.0
77.8719.10132.0
2
154.0 2 =⋅=−
>=bSV
FC
ref
pmpn ρ
σβ
ll
više nego zadovoljen. Pri postojanju bočnog vjetra koji stvara kut klizanja 1745.0100 ==β
potrebni otkloni određeni su jednadžbama:
( )β
ρδδ
βρ
δδ
βσ
δδ
βδδ
+−−
−=+
+−=+
n
ref
pmpnfnn
p
ref
pnf
CbSV
FKCC
CzSV
FKCC
n
n
2
2
2
2
lll
llll
l
l
Za mali zrakoplov gradijenti koeficijenta momenta skretanja određeni su u potpoglavlju 5.4, a
momenta valjanja u 5.5. Os motora prolazi kroz središte mase te je 0=pz . Za te vrijednosti
ove jednadžbe imaju oblik:
[ ]
1745.0154.077.8
719.10125.00721.00344.0
1745.0105.00122.0517.0
+⋅−=⋅−⋅−
⋅−−=⋅+⋅
nf
nf
K
K
δδ
δδ
l
l
Poslije sređivanja dobivamo:
0273.00721.00344.00183.00122.0517.0−=⋅−⋅−
=⋅+⋅
nf
nf
KK
δδ
δδ
l
l
Rješenje je
0
0
0.21366.0
5.10268.0
==
==
nfK δ
δ l
7-24 Ravnotežni let
Korekcija uz otklon kormila pravca za relativnu debljinu 9% prema slici 2-16 jest reda
veličine 70.0=fK , pa je potreban otklon kormila pravca 030=nδ . Budući da je taj otklon
kormila pravca najveća moguća vrijednost, znači da je kut 010=β zbog bočnog vjetra
najveća vrijednost pri kojoj je još moguće držati zrakoplov na željenom pravcu leta. Ako je
polijetanje pri brzini sm30 , da bi u kut skretanja bio 010<β , bočni vjetar ne smije biti veći
od
smVV KW 3.510tan30tan 0 =⋅== β .
7.4 Jednadžbe gibanja ravnotežnog leta
Želimo promatrati gibanje središta mase. Polazimo stoga od vektorske jednadžbe gibanja
središta mase
ARWFamrrrr
++= 7.50
Zanemarit ćemo zakrivljenost Zemljine površine i rotaciju Zemlje. Pretpostavit ćemo da nema
vjetra, pa su brzina leta i aerodinamička brzina jednake VVK = .
γχ cosV &
γ&V
Slika 7-4. Ubrzanja duž osi brzinskog koordinatnog sustava
Osim toga, i kutovi aerodinamičke brzine i brzine leta također su isti: Aχχ = i Aγγ = . Kad
pretpostavljamo da nema vjetra, onda je logično da nema ni kuta klizanja, a to znači da ne
7-25Ravnotežni let
postoji bočna komponenta K aerodinamičke sile. Projicirat ćemo jednadžbu gibanja središta
mase na osi brzinskog koordinatnog sustava.
7.4.1 Komponente ubrzanja
Komponente brzine u brzinskom koordinatnom sustavu su [ ]T00V=V , a kutna brzina
brzinskog koordinatnog sustava je [ ]TV γχγγχ cossin &&&−=Ω pa su komponente ubrzanja
u brzinskom koordinatnom sustavu:
T
VV
VV
00V
−=
−−
−+
=+=γ
γχγχγ
γχγχγγχ
&
&
&
&&
&&
&&&
& cos00
0sinsin0cos
cos0~ VVa VΩ 7.51
7.4.2 Komponente sila
Pogonska sila Fr
ima komponente u koordinatnom sustavu letjelice:
[ ]TTT TT αα sin0cos=F
Težina letjelice ima komponente u nošenom koordinatnom sustavu:
[ ]TO W00=W
Aerodinamička sila u aerodinamičkom koordinatnom sustavu ima komponente:
[ ]TA LD −−= 0R
Projekcije vektorske jednadžbe gibanja bit će na osi brzinskog koordinatnog sustava:
−
−+
+
=
− L
D
WsinT
cosT
VcosV
Vm VAVO
T
T
VF 000
0 LLLα
α
γχγ&
&
&
7.52
Podsjetimo još jednom na to da su brzina leta i aerodinamička brzina jednake zato što nema
vjetra, te je os x aerodinamičkog i brzinskog koordinatnog sustava zajednička. Os Az nalazi se
u ravnini simetrije zrakoplova, a os Vz u vertikalnoj ravnini. One čine kut Aµ u ravnini
okomitoj na brzinu, koji mjerimo od brzinske osi Vz do aerodinamičke osi Az . Prema tome, u
brzinski iz aerodinamičkog koordinatnog sustava dolazi se rotacijom oko x za kut Aµ− .
( )AXVA µ−= LL 7.53
Matricu transformacije u brzinski iz koordinatnog sustav letjelice dobit ćemo posredno preko
aerodinamičkog koordinatnog sustava:
AFVAVF LLL =
7-26 Ravnotežni let
U aerodinamački iz koordinatnog sustava letjelice dolazi se poslije dvije rotacije. Prva je oko
osi y za kut α− , a zatim oko osi z za kut β . S obzirom da tražimo jednadžbe gibanja u
atmosferi bez vjetra, usvajamo da je kut klizanja 0=β , te je
( )α−= YAF LL .
Zato je konačno:
( ) ( )αµ −−== YAXAFVAVF LLLLL 7.54
ravansimetrijeletjelice
Slika 7-5. Ravan simetrije zrakoplova i vertikalna ravan kroz brzinu
Matrica transformacije u brzinski iz nošenoga koordinatnog sustava:
( ) ( )χγ ZYVO LLL = 7.55
Pomoću tih matricama dobit ćemo konačno jednadžbu gibanja središta mase letjelice:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
−−+
+
−−=
− LKD
WsinT
cosT
VcosV
Vm AXY
T
T
YAX µχγα
ααµ
γχγ LLLLL Z 0
00
&
&
&
Množenjem matrica dobivamo skalarne jednadžbe:
aATAT
aATAT
TT
cosLcosWcoscossinTcossincosTmVsinLsincossinTsinsincosTcosmV
DsinWsinsinTcoscosTVm
µγµααµααγµµααµααχγ
γαααα
−++−=−+−=
−−+=
&
&
&
7-27Ravnotežni let
Na osnovu toga dobivamo polazne jednadžbe za izučavanje performansi zrakoplova u
atmosferi bez vjetra:
( )
( )[ ]( )[ ] γµααγ
µααχγγαα
cosWcossinTLmVsinsinTLcosmVDsinWcosTVm
aT
aT
T
−−−=−−=
−−−=
&
&
&
7.56
Te smo jednadžbe mogli i izravno ispisati. Promatrajmo sliku 7-6 u ravnini simetrije letjelice.
( )αα −TsinT
L
( )αα −TcosTTα
αV
T
x
Az Slika 7-6. Uzgon i pogon u ravnini simetrije zrakoplova
S obzirom na to što nema kuta klizanja, brzina je u ravnini simetrije letjelice, pa pogonska sila
koja je također u ravnini simetrije letjelice ima komponentu ( )αα −TcosT duž brzine i
( )αα −TsinT okomito na brzinu duž osi Vz , kao na slici 7-6. Tako se duž osi Az ,u ravnini
okomitoj na brzinu (slika 7-7) nalazi sila ( )αα −− TTL sin , a ta se sila razlaže na dvije
komponente: na komponentu u vertikalnoj ravnini ( )[ ] AT cossinTL µαα −− i na horizontalnu
komponentu ( )[ ] AT sinsinTL µαα −− .
( )αα −− TsinTL
( )[ ] AT cossinTL µαα −−
( )[ ] AT sinsinTL µαα −−
Aµ
VzAz
Slika 7-7. Projektiranje u ravnini okomitoj na brzinu
7-28 Ravnotežni let
U vertikalnoj ravnini komponenta ( )[ ] AT cossinTL µαα −− okomita je na brzinu. U toj
ravnini djeluje i težina W koja se razlaže, kao na slici 7-8, na komponente γsinW na pravac
brzine ali suprotnoga smjera i γcosW okomito na brzinu duž osi Vz .
xv
( )[ ] AT cossinTL µαα −−
γsinWD
γ
W
Vz
VxγcosW
Slika 7-8. Vertikalna ravnina kroz brzinu
Sila otpora D u pravcu je, ali suprotnoga smjera od brzine. Kada zbrojimo to razlaganje sila,
dobivamo iste jednadžbe koje smo dobili pomoću matrica transformacija.
7.4.3 Veza između kutova valjanja
Postoji veza između kuta valjanja aerodinamičkog koordinatnog sustava µ A i kuta valjanja
zrakoplova φ . Možemo je dobiti iz jednakosti
OFVOVF LLL = , 7.57
ili
−+−+
++−
−
−=
=
−−
ϑφϑφϑψϑφψφψϑφψφψϑ
ψϑφψφψϑφψφψϑ
γχγχγχχ
γχγχγ
µαµµαµαµµα
αα
cccssssccssssccsc
cscsscsssccc
cossinsincossincossin
sinsincoscoscos
coscossincossinsincoscossinsin
sincos
AAA
AAA
0
0
Izjednačavanjem članova drugoga retka na lijevoj i desnoj strani poslije množenja dobivamo
tri jednadžbe:
( )sin sin cos sinα µ ϑ ψ χA = −
( ) ( )cos cos cos sin sin sinµ φ ψ χ φ ϑ ψ χA = − + −
7-29Ravnotežni let
( ) ( )− = − − + −cos sin sin cos cos sin sinα µ φ ψ χ φ ϑ ψ χA
Ako drugu jednadžbu pomnožimo sa sin φ , a treću sa cosφ , te ih zbrojimo, dobivamo
( )cos sin cos sin cos sin sinµ φ α µ φ ϑ ψ χA A− = −
Eliminacijom ( )sin ψ χ− iz ove i prve jednadžbe, dobivamo
cos sin cos sin cos sin sinµ φ α µ φ α µ ϑA A A tg− =
odakle je
tgtgAµ
φα φ α ϑ
=+
sincos cos sin
. 7.58
Ovu jednadžbu izveli smo za slučaj kada je kut klizanja β = 0 . Sad vidimo da je µ φA = samo
ako je uz β = 0 i napadni kut α = 0 (što je logično).
015=ϑ
0=ϑ
015−=ϑ
Slika 7-9. Razlika Aµφ − ovisno o kutu valjanja φ .
Prema toj jednadžbi, na slici 7-9 je prikazana razlika φ µ− A u ovisnosti o kutu valjanja
letjelice φ (kada nema vjetra i kuta klizanja) za slučaj kada je napadni kut jednak deset
stupnjeva ( α = 100 ) a za tri slučaja kuta propinjanja zrakoplova.
7.4.4 Model gibanja središta mase
Model gibanja središta mase određen je jednadžbama:
( )
( )[ ]( )[ ] γµααγ
µααχγγαα
cosWcossinTLmVsinsinTLcosmVDsinWcosTVm
aT
aT
T
−−−=−−=
−−−=
&
&
&
7.59
7-30 Ravnotežni let
Budući da je i u ekstremnim uvjetima razlika φ µ− A mala, obično se u jednadžbama
zamjenjuje kut valjanja aerodinamičkog koordinatnog sustava µ A s kutom valjanja letjelica
φ . U tom slučaju su polazne jednadžbe za razmatranje performansi zrakoplova:
( )
( )[ ]( )[ ] γφααγ
φααχγγαα
cosWcossinTLmVsinsinTLcosmVDsinWcosTVm
T
T
T
−−−=−−=
−−−=
&
&
&
7.60
Drugo pojednostavljenje proizlazi iz činjenice što se konstrukcijom zrakoplova Tα bira tako
da u horizontalnom letu bude pogonska sila u pravcu brzine leta, a to znači da je ravT αα = .
Gornje jednadžbe onda imaju jednostavniji oblik:
φχγ
γφγ
γ
sincos
coscos
sin
LdtdmV
WLdtdmV
WDTdtdVm
=
−=
−−=
7.61
Kada određujemo performanse zrakoplova, obično se služimo ovim modelom. U tom modelu
usvajamo da je zrakoplov u ravnotežnom letu, što znači da je ukupni moment propinjanja
jednak nuli, odakle je
α
δ
α
δα
MM
MM m
rav −+
−= 0 ,
te je sila uzgona ovisna samo o kormilu visine:
mrav LLLL δα δα ++= 0 7.62
7.4.5 Program gibanja zrakoplova u ravnotežnom letu
Blok-shema programa za izračunavanje putanje središta mase zrakoplova u ravnotežnom letu
prikazana je na slici 7-10. Za konkretan zrakoplov treba prije svega napraviti model motora, tj
odrediti ovisnost raspoložive pogonske sile aT o brzini leta i parametrima okolne atmosfere
(gustoće ρ i temperature zraka oT ), a pogonska sile bit će ovisna o veličini parametra
(položaja ručice pogona) Pδ i o toj raspoloživoj sili aT .
U ovom modelu zanemarujemo bočne koponenate pogonske sile, pa su komponente
pogonske sile duž osi zrakoplova:
[ ]TTT TT αα sin0cos=F , 7.63
7-31Ravnotežni let
a komponente pogonskog momenta su nule jer je 0=pz . Jedan takav model motora za male
zrakoplove s elisom nalazi se u prilogu C, a model atmosfere nalazi se u prilogu B.
U ovoj shemi koristi se jednostavan model aerodinamike:
( )
Lref
LDref
CSVL
KCCSVD
2
22
20
2
ρ
ρ
=
+= 7.64
u kome je koeficijent sile uzgona ovisi samo o otklonu kormila visine
mm
mL
m
mLLL C
CCC
CCCCm
δα
δδ
αα
−
++−
+= 00 7.65
P mδδφ ,,
( )
( )
( )rT
rT
rT
mVTL
dtd
Vg
mVTL
dtd
gmD
mT
dtdV
−−=
−−−
=
−−−
=
φγ
ααχ
γφααγ
γαα
sincos
sin
coscossin
sincos
motP PCdtdm
Vdtdh
Vdtdy
Vdtdx
−=
=
=
=
γ
χγ
χγ
sin
sincos
coscos α
δδαMMM m
rav −+
= 0
modelmotoraT
modelatmosfere
0, Tρ
h
Modelaerodinamike
mrav δα ,D,L
a,ρ
0
0
0
0
0
0
0
mhyx
V
χγ
Slika 7-10. Blok-shema zrakoplova kao materijalna točka
Koeficijenti δαδα mmmLLLD CCCCCCKCm
i,,,,,, 000 mogu biti funkcije Machova broja:
aVMa = . Kut valjanja φ i otklon kormila visine mδ trebaju doći s palice upravljanja, a
parametar motora Pδ s pedale snage motora.
7-32 Ravnotežni let
Performanse zrakoplova 8-1
8 PERFORMANSE ZRAKOPLOVA
Pod pojmom performanse letjelica razumijevamo neke općenite karakteristike leta u uvjetima
zadane energije letjelice kao što su na primjer daljina do koje može zrakoplov letjeti, vrijeme
koje može zrakoplov provesti u zraku, maksimalna zakrivljenost putanje, optimalna brzina
letjelice i drugo. U svim tim slučajevima ne zanima nas ni stabilnost letjelice, niti njeno
ponašanje u određenom trenutku (kao što su npr. njihanja letjelice).
8.1 Horizontalni let
8.1.1 Režim leta
Ako zrakoplov leti u atmosferi bez vjetra, horizontalno ( )γ = 0 i pravocrtno ( )0=χ& , onda iz
jednadžbi gibanja 7.61
φχγ
γφγ
γ
sincos
coscos
sin
LdtdmV
WLdtdmV
WDTdtdVm
=
−=
−−=
8.1
slijedi da mora biti:
WL
L==
φφ
cos0sin
8.2
Iz njih zaključujemo da za horizontalni pravocrtni let kut valjanja φ zrakoplova mora biti
jednak nuli, a normalno opterećenje (load factor) mora biti jednako jedinici:
10
==
nφ
8.3
Kako je
WSCVL L ==2
2ρ , 8.4
slijedi da u horizontalnom letu mora biti
S
WCV L ρ22 = . 8.5
Performanse zrakoplova 8-2
Svaka kombinacija moguće brzine i mogućeg napadnog kuta koja ispunjava ovaj uvjet
horizontalnog leta naziva se režim horizontalnog leta, a iz tog uvjeta za horizontalni let slijedi
da je brzina leta ovisna o izabranom koeficijentu uzgona:
LCS
WV 12ρ
= , 8.6
ili obrnuto, da za izabranu brzinu leta slijedi odgovarajući koeficijent sile uzgona. Međutim,
treba uzeti u obzir da zrakoplov ne smije letjeti brzinom manjom od
max
2
Lrefstall CS
WVρ
= , 8.7
kojoj odgovara najveći mogući koeficijent uzgona, koji zrakoplov postiže pri najvećem
dopuštenom napadnom kutu. Za manje brzine bi napadni kut trebao biti još veći, no tada
nastaje pad koeficijenta uzgona. Prema tome, mogući su režimi leta brzinom stallVV >
8.1.2 Potrebna sila ili potrebna snaga
Ako želimo dodatno da horizontalan pravocrtan let bude i stacionaran, tj. da brzina leta bude
konstantna, onda treba biti ispunjen i treći uvjet da pogonska sila bude jednaka otporu:
DT =
Tu potrebnu pogonsku silu, za izabrani režim leta, označavamo sa rT (Thrust required).
Potrebna sila pomnožena s brzinom leta daje potrebnu snagu. Pri određivanju performansi
zrakoplova služit ćemo se jednostavnom polarom zrakoplova te će potrebna sila biti određena
jednadžbom
( )20
2
2 LDr CKCSVDT +==ρ
U tim jednadžbama, za potrebnu silu ili potrebnu snagu, imamo i koeficijent uzgona LC i
kvadrat brzine leta V (odnosno kub ako je u pitanju potrebna snaga).. Da bismo dobili
potrebnu pogonsku silu, odnosno potrebnu snagu, ovisno samo o brzini leta eliminirat ćemo
koeficijent uzgona iz uvjeta da je u horizontalnom letu SV
WCL 2
2ρ
= :
2
22
012
2 VSKWVCSDT Dr ρ
ρ+== 8.8
Kako je otpor zraka D u horizontalnom letu ovisan samo o brzini leta V, možemo odrediti
režim leta pri kome je potrebna pogonska sila rT minimalna. Taj problem se može
Performanse zrakoplova 8-3
matematički formulirati tako da se traži minimum funkcije ( )VTr u ovisnosti o brzini leta V.
Izjednačavanjem s nulom derivacije jednadžbe 8.8 po brzini V, dobivamo:
01422 3
2
0 =−VS
KWVCSD ρ
ρ
Uz pomoć drugog uvjeta za horizontalni let LW = i poslije sređivanja dobivamo:
02
DL CKC = , 8.9
Slika 8-1 Potrebna pogonska sila rT , nulti otpor 0D i inducirani otpor iD
što znači da je u režimu za minimalnu silu inducirani otpor jednak otporu pri nultom uzgonu.
Kada iz ove jednadžbe odredimo koeficijent uzgona
K
CC D
L0= , 8.10
jednadžba za horizontalni let daje nam brzinu leta u tom režimu. Važno je uočiti da je
potrebna sila ili potrebna snaga karakteristika letjelice, što je neka vrsta aerodinamičke
kvalitete letjelice. Aerodinamički je bolja ona letjelica koja ima manju potrebnu snagu ili
manju potrebnu silu.
Potrebna snaga rP (Power required) bit će određena jednadžbom
( )20
3
2 LDr CKCVSVDP +==ρ
Performanse zrakoplova 8-4
koja također predstavlja zbroj snage koji je potreban da se svlada parazitski otpor i snage da
se svlada inducirani otpor. Kao i za potrebnu silu, postoji režim leta kada je potrebna snaga
rP u minimumu. Eliminacijom koeficijenta uzgona iz uvjeta za horizontalni let:
SWCV L ρ
22 =
dobivamo ovisnost potrebne snage samo o brzini:
VS
KWVCSDVP Dr12
2
23
0 ρρ
+== 8.11
Slika 8-2 Potrebna snaga VDPr = , snaga 0VD i iVD za "mali" zrakoplov
Derivacijom po brzini leta potrebne snage dobivamo:
( )2
22
0123
2 VSKWVCS
dVDVd
D ρρ
−=
Uočimo da je prvi član na desnoj strani 03D , a drugi točno iD . Izjednačavanjem ove
derivacije s nulom i korištenjem drugoga uvjeta za horizontalni let WL = dobivamo:
SVKLSCV
D
22
3 2
2
0
2
ρρ
= ,
ili
02 3 DL CKC = . 8.12
Performanse zrakoplova 8-5
To znači da je u režimu leta za minimalnu potrebnu snagu inducirani otpor jednak trostrukoj
vrijednosti otpora pri nultom uzgonu. Kada smo odredili koeficijent uzgona LPC koji
odgovara ovom režimu leta,
KCC D
L03
= . 8.13
Brzinu leta nalazimo iz uvjeta WL = za horizontalni let:
LCS
gmV 12ρ
= 8.14
Tijekom leta smanjuje se masa zrakoplova zbog potrošnje goriva, pa će i brzina potrebna za
horizontalan let opadati. Međutim ta promjena mase nije velika. Obično je krajnja masa oko
80% od početne, pa je krajnja brzina oko 0.9 od početne. Za tako mali pad brzine leta ne
mijenja se 0DC kao ni koeficijent K, pa koeficijent uzgona LC ostaje konstantan.
Slika 8-3 Raspoloživa i potrebna sila.
8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga
S druge strane, imamo pogon i njegove karakteristike. Ako je pogon zrakoplova pomoću
elise, onda motor daje neku snagu motP elisi koja razvija raspoloživu pogonsku snagu aP
(Power available):
motPa PP ⋅=η 8.15
Performanse zrakoplova 8-6
Ova jednadžba nam omogućuje da odredimo i raspoloživu silu kombinacije elisa-motor:
VPT motP
a⋅
=η 8.16
U prilogu C nalazi se opisan postupak određivanja snage jednog tipičnog zrakoplovnog
motora u ovisnosti o tlaku i temperaturi okolnog zraka, za razne režime rada motora. Posebno
je pitanje koeficijenta učinkovitosti elise Pη . On ovisi o parametru )/(nDVJ = ; D je
promjer diska elise, a n je broj okretaja elise u sekundi. Kad odredimo raspoloživu silu ( )VTa
ili raspoloživu snagu ovisno ( )VPa o brzini, možemo ih usporediti s potrebnom silom ( )VTr
ili potrebnom snagom ( )VPr , kao na slici 8-3 i 8-4. Iz te usporedbe dobivamo interval
mogućih brzina leta od minV do maxV s obzirom na pogon.
Slika 8-4 Raspoloživa i potrebna snaga.
Ako zrakoplov ima mlazni motor, onda je raspoloživa sila jednaka maksimalnoj
pogonskoj sili mlaznog motora o kojoj je bilo riječi u odjeljku 6.4.4.
8.1.4 Ovojnice
Horizontalni let moguć je samo kada je
DTT ra =≥ ili DVPP ra =≥
Da bi se odredila najmanja i najveća moguća brzinu leta iz ove jednadžbe, promatrat ćemo
najveću raspoloživu snagu motora pri maksimalnom broju okretaja motora. Ta snaga prema
Performanse zrakoplova 8-7
dijagramu C-2 (prilog C) ovisi o tlaku okolnog zraka i pada kada taj tlak pada. Isto tako otpor
ovisi o gustoći okolnog zraka. Prema tome najmanja i najveća moguća brzina bit će različite
za razne visini leta jer su tlak i gustoća različiti. Dijagram koji nam daje minV i maxV ovisno o
visini za standardnu atmosferu predstavlja karakteristiku zrakoplova. Svakako se na taj
dijagram moraju unijeti i druga ograničenja, kao npr. stallV , koje je iz istih razloga različito na
raznim visinama.
Izjednačavanjem raspoložive potrebne sile rT i raspoložive sile aT u uvjetima
standardne atmosfere, dobivamo jednadžbu iz koje možemo izračunati minV i maxV ovisno o
visini leta H :
( ) ( )2
22
012
2,
VSKWVCS
VVHPJ D
mot
ρρη += 8.17
Isto se tako iz jednadžbe WL = , za najveći mogući koeficijent uzgona maxLC , izračunava
stallV ovisno o visini, jer gustoća zraka ovisi o visini:
max
2
Lrefstall CS
WVρ
= 8.18
Slika 8-5 Ovojnica za "mali" zrakoplov
Za "mali" zrakoplov nacrtane su krivulje ( )HVmin , ( )HVmax i ( )HVstall na slici 8-5 . Jasno je
da zrakoplov ne smije letjeti s brzinom koja je manja od ( )HVmin ili ( )HVstall , niti može letjeti
Performanse zrakoplova 8-8
s brzinom koja je veća od ( )HVstall . Zato ove krivulje predstavljaju teoretske ovojnice
područja režima leta zrakoplova.
8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba)
Dolet zrakoplova jest daljina do koje zrakoplov može letjeti kad se uzme u obzir njegova
specifična potrošnja goriva i količina goriva koju nosi. Za vrijeme leta masa zrakoplova m
umanjuje se za potrošeno gorivo. Neka je dm promjena mase u vremenskom intervalu dt. Ta
promjena mase dm jednaka je produktu vremena dt i derivacije mase po vremenu m& . Ako sa
dR označimo element puta, za vrijeme promjene mase dm, onda je duž tog elementarnog puta
mV
dtmVdt
dmdR
&&== 8.19
Jasno je da je ta promjena mase pad mase, tj. da je 0<m& . Masa zrakoplova je zbroj
promjenljive mase goriva fm& (fuel) i konstantnog dijela mase cm .
fc mmm +=
To znači da je fmm && = .
Za zrakoplove s elisom potrošnja goriva fm& praktički je proporcionalna razvijenoj
snazi motora. Zato je motP PCm −=& . Koeficijent PC nazivamo specifična masena potrošnja.
On ima dimenziju masenog protoka po jedinici snage [ ]Wskg . Raspoloživa snaga motora
motP pomnožena s koeficijentom elise Pη daje raspoloživu pogonsku snagu, ili snagu na elisi
VTa . Vidjeli smo da je u horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom:
VDPmotP =η
te je
PP
VDCmη
−=&
gmDL
CVDCV
mV
dmdR
P
PP
P
1ηη−=
−==
&
Integrirat ćemo gornju jednadžbu od početka leta kada je masa zrakoplova im , do kraja leta
kada se masa zrakoplova smanji za masu goriva fm , te je fik mmm −= :
∫=k
i
m
m D
L
P
P
mdm
CC
gCR η
Performanse zrakoplova 8-9
Odnos 20 LD
L
D
L
KCCC
CC
+= bit će konstantan tijekom leta ako je koeficijent uzgona LC
konstantan tijekom leta. To znači da se tijekom leta mora smanjivati brzina tako da je
ispunjen uvjet za horizontalan let:
LSC
WVρ2
= 8.20
Ako se tako leti, odnos DL CC konstantan je tijekom leta, pa se može izvući iz integrala.
Integriranjem od početnog stanja i do krajnjeg stanja k dobivamo:
=
k
i
D
L
P
P
mmn
CC
gCR l
η 8.21
Ovo je poznata Breguetova jednadžba doleta za zrakoplove s elisnim motorom. Ne
zaboravimo da je ona dobivena uz pretpostavku da je koeficijent uzgona tijekom leta bio
konstantan a s tim konstantnim koeficijentom uzgona, ovisno o masi zrakoplova, određena je
brzina leta tako da je u svakom trenutku zadovoljen uvjet horizontalnog leta.
Breguetova jednadžba zahtijevala je da odnos DL CC tijekom horizontalnog leta
bude konstantan, a taj uvjete ispunjavamo ako letimo horizontalno s konstantnim
koeficijentom uzgona LC . Ostaje otvoreno pitanje kolika je ta konstanta vrijednost
koeficijenta uzgona. Možemo ga izabrati da dolet bude najveći, a to znači da odaberemo onu
vrijednost koeficijenta uzgona LC za koju je funkcija
( ) 20 LD
L
D
LL KCC
CCCCf
+==
u maksimumu. Izjednačavanjem derivacije ove funkcije po koeficijentu uzgona s nulom
( )( )
02122
0
20 =
+
⋅−+⋅=
LD
LLLD
L KCCKCCKCC
dCdf
dobivamo:
02
DL CKC = .
To znači da trebamo letjeti u režimu leta za najmanji otpor pri kome je inducirani otpor
jednak parazitskom otporu. To je logično, zato što je u horizontalnom letu uzgon jednak
težini, pa ako je otpor u minimumu bit će odnos uzgona prema otporu najveći.
Za mlazne motore je specifična masena potrošnja goriva proporcionalna pogonskoj
sili TCm T−=& . Taj koeficijent masene potrošnje goriva TC ima dimenziju masenog protoka
po jedinici sile [ ]Nskg . U horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom,
Performanse zrakoplova 8-10
pogonska sila T jednaka je otporu D, a uzgon L jednak je težini mg, te se polazna jednadžba
transformira u oblik:
gmDL
CV
TCV
mV
dmdR
TT
1−=
−==
&
Normalno je koeficijent masene potrošnje mlaznog motora TC konstantan, pa se
integriranjem te jednadžbe od početka leta do kraja dobiva:
∫−=k
i
m
m D
L
T mdm
CCV
gCR 1 ;
im je početna masa zrakoplova, a km krajnja masa. Ako je tijekom leta koeficijent uzgona
LC konstantan, onda je i koeficijent otpora konstantan jer je 20 LDD KCCC += , a brzina leta
se mijenja tako da je zadovoljen uvjet horizontalnog leta.
LCm
SgVρ2
=
Ta brzina tijekom leta opada kao što smo to već napomenuli, jer se masa zrakoplova smanjuje
s potrošnjom goriva. Zamjenom te brzine ovisno o masi u jednadžbu za dolet, dobivamo
∫−=f
i
m
mL
DT mdmC
Sg
CgCR
ρ21
Integriranjem od im do km dobivamo dolet leta za zrakoplove s mlaznim motorima
( )kiLDT
mmCSg
CgCR −=
ρ22 , 8.22
ili
( )kiD
L
T
VVCC
gCR −=
2 . 8.23
To je Breguetovu jednadžba doleta za zrakoplove s mlaznim motorima. Zapamtimo da je ta
jednadžba za zrakoplove s mlaznim motorima izvedena uz pretpostavku da je tijekom leta
koeficijent uzgona LC konstantan, a da zrakoplov u svakom trenutku ima brzinu leta kojom
zadovoljava uvjet za horizontalni let.
Breguetova jednadžba za dolet leta može se staviti u oblik:
( ) 20
22
LD
Lfi
T KCCC
mmSg
gCR
+−=
ρ
Vidimo da dolet leta ovisi o usvojenom koeficijentu uzgona. Potražimo maksimum te
ovisnosti. Dolet leta bit će najveći kada je funkcija
Performanse zrakoplova 8-11
( ) 20 LD
LL KCC
CCf
+=
u maksimumu po LC :
( )
( )0
22
1
220
20
=+
−+
=LD
LLLDL
L KCC
KCCKCCC
dCdf
Odatle dobivamo da je
02
31
DL CKC = . 8.24
To znači da je dolet leta zrakoplova s mlaznim motorima u maksimumu ako je inducirani
otpor jednak trećini parazitskog otpora. Iz ove jednadžbe je
K
CC D
L0
31
= , 8.25
a brzina leta je određena iz uvjeta za horizontalni let, što znači da će ona opadati jer masa
zrakoplova opada zbog potrošnje goriva.
8.1.6 Maksimalno trajanje leta (Endurance)
Ponekad nam je potrebno što dulje boraviti u zraku. To je slučaj kada ne možemo sletjeti iz
bilo kojih razloga te moramo čekati da se stvore uvjeti za slijetanje. Takvo čekanje treba
ostvariti s režimom leta u kome je najveće vrijeme trajanja leta za određenu količinu goriva.
Sa E označavamo vrijeme trajanja letenja (endurance). To vrijeme jednako je potrebnom
vremenu da se masa zrakoplova smanji za masu goriva, jer let traje dok ima goriva:
∫∫ ==k
i
k
i mdmdtE&
I u ovom slučaju treba također odrediti u kojem režimu leta treba letjeti zrakoplov s elisom, a
u kojem zrakoplov s mlaznim motorom.
Zrakoplov s elisom ima masenu potrošnju motP PCm −=& , gdje je motP snaga motora. Ta
snaga motora pomnožena s koeficijentom elise Pη daje potrebnu snagu koja je jednaka
produktu VD. Zato je trajanje leta zrakoplova s elisom:
∫∫∫∫ ==−
==i
f D
L
P
Pi
fP
Pf
i PP
f
i mdm
CC
VgCgmdm
DL
VCVDCdm
mdmE 11 ηη
η&
Performanse zrakoplova 8-12
Koeficijent uzgona bira se prema nekom kriterijumu i držimo ga konstantnim tijekom leta.
Samim tim je i koeficijent otpora konstantan tijekom leta jer je 20 LDD KCCC += , a brzina
leta određena je iz uvjeta za horizontalni let
LCm
SgVρ2
=
i promjenljiva je tijekom leta, jer se mijenja masa zrakoplova zbog potrošnje goriva.
Zamjenom u integral dobivamo:
∫−
=i
fD
L
P
P dmmCC
gS
gCE 2
323
2ρη
a poslije integracije
−=
ifD
L
P
P
mmCC
gS
gCE 11
22 23ρη
8.26
ili
−=
ifD
L
P
P
VVCC
gCE 112η
. 8.27
Pri tome smo pretpostavili da je koeficijent uzgona konstantan, a mijenja se brzina leta kako
bi bio uvijek zadovoljen uvjet horizontalnog leta mgL = .
Da bi E bilo što veće, trebamo taj konstantni koeficijent uzgona odabrati tako da
funkcija koeficijenta uzgona
( ) 20
2323
LD
L
D
LL KCC
CCCCf
+==
bude u maksimumu.
( )( )
02
23
220
20
=+
−+=
LD
LLLLDL
L KCC
KCCCKCCC
dCdf ,
odakle je
02 3 DL CKC = , 8.28
što znači da je inducirani otpor trostruko veći od parazitskog otpora ili da je potrebna snaga u
minimumu.
Za zrakoplov s mlaznim motorom izraz za trajanje letenja bit će:
∫∫∫∫ −=−=−
==f
i D
L
T
f
iT
f
i T
f
i gmdm
CC
Cgmdm
DL
CTCdm
mdmE 11&
Performanse zrakoplova 8-13
Ako se leti s konstantnim koeficijentom uzgona, a pomoću brzine leta zadovoljen je uvjet
horizontalnog leta, onda ovaj integral lako rješavamo jer je odnos DL CC konstantan pa je:
=
f
i
D
L
T mm
CC
gCE n1
l 8.29
Da bi se postigao maksimum trajanja leta, treba letjeti s koeficijentom uzgona koji će odnos
DL CC D učiniti maksimalnim. Vidjeli smo da je taj odnos najveći ako je inducirani otpor
jednak parazitskom otporu
02
DL CKC = ,
a to je slučaj najmanjeg otpora u horizontalnom letu.
8.1.7 Primjeri
Primjer 1
Nacrtati dijagram ovojnica za "mali" zrakoplov (slika 8-5), ako klipni motor, prema prilogu
C, ima kutnu brzinu srad240=ω , a elisa ima koeficijent učinkovitosti
( ) 2644.05670.04815.16923.1 23 +++−= JJJJη ,
gdje je nDVJ = parametar rada elise, n broj okretaja u sekundi, D promjer diska elise.
Najmanja i najveća brzina dobivaju se iz jednadžbe
ra PP =
u kojoj je raspoloživa snaga
),,,()( TpVomegaPJPa mot⋅=η ,
jer je za najveću snagu motora tlak punjenja ppS = , a potrebna snaga
+⋅=SV
KWSCVVP Dr
22 2
2
0
2
ρρ
Krivulje ( )HVmin i ( )HVmax na slici 8-5 nacrtane su pomoću programa Ovojnica.m , koji se
nalazi na disketu u direktoriju Performanse\Horizontalni let.
Primjer 2
Odrediti za mali putnički zrakoplov otklone kormila visine za režim leta za najveći dolet.
U režimu leta za maksimalni dolet inducirani otpor jednak je parazitskom otporu
Performanse zrakoplova 8-14
499.0104.00259.00 ===
KCC D
L .
Kut otklona kormila visine dobivamo iz uvjeta da je koeficijent sile uzgona u ravnotežnom
letu 474.0=LC i da je u ravnotežnom letu ( 0=mC )
mmRmm
mLRLLL
CCCCCCCδαδα
δα
δα
++=++=
0
0
0
ili
mfK δα ⋅++= 216.073.4249.0499.0
mfK δα ⋅−⋅−−= 577.0822.0002.00 .
08.40842.0 −=−=mδ 02.3567.0 ==rα
Primjer 3
Odrediti najveći dolet ako motor radi s 75% snage, na visini 2000 m za potrošenih 200 litara
goriva.
U režimu za najveći dolet inducirani otpor jednak je nultom otporu, pa je prema
prethodnom primjeru
0518.00259.022499.0
0 =⋅=⋅==
DD
L
CCC
Na početku leta masa 1088=+= gLi mmm . Tom koeficijentu uzgona i toj masi odgovara
brzina horizontalnog leta:
smCS
gmVL
ii .1.53
499.01
1.1581.91089
006.1212
=⋅
==ρ
,
Specifična masa goriva je litkg720.0 , pa je poslije potrošenih 200 litara masa zrakoplova
kgm f 94572.0*2001089 =−= . Na kraju leta bit će brzina leta:
smVmm
V ii
ff 5.491.53
1089945
=⋅== .
Prema dijagramu C-5 u prilogu, specifična potrošnja je 710850.0 −⋅ , a u intervalu od
5.49=fV do 1.53=iV možemo uzeti da je prosječni koeficijent učinkovitosti elise, prema
jednadžbi u primjeru 1, 81.0=elisaη . Tako dobivamo dolet u tom režimu:
Performanse zrakoplova 8-15
kmmm
CC
gCR
f
i
D
L
P
elisa 1330945
1089ln0518.0499.0
10850.081.981.0ln 7 =
⋅⋅
⋅⋅=
= −
η .
8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova
Jednadžbe gibanja središta mase zrakoplova 7.62 izveli smo na kraju prethodnog poglavlja:
φχγ
γφγ
γ
sincos
coscos
sin
LdtdmV
WLdtdmV
WDTdtdVm
=
−=
−−=
D
T
L
W
γγcosW
γsinW
γ
V
Slika 8-6 Zrakoplov u penjanju
Za gibanje u vertikalnoj ravnini kut skretanja χ je konstantan, te iz treće jednadžbe proizlazi
da tada nema ni kuta valjanja 0=φ , te ove jednadžbe imaju oblik:
γγ
γ
cosWLdtdmV
sinWDTdtdVm
−=
−−= 8.30
Za pravocrtno ( const=γ ) i stacionarno ( constV = ) penjanje ili spuštanje bit će
γγ
cosWLsinWDT
=+=
Performanse zrakoplova 8-16
Te jednadžbe možemo direktno napisati promatrajući zrakoplov u stacionarnom penjanju. Iz
prve jednadžbe su kut penjanja γ i brzina penjanja Vv :
WDTVsinVV
WDTsin
v−
==
−=
γ
γ 8.31
Brzina penjanja Vv označava se u zrakoplovnoj praksi s R/C (Rate of Climb), a tangens kuta
γ označava se sa G i naziva se gradijent penjanja (Climb Gradient).
Iz jednakosti γcosWL = , koja je potrebna za penjanje (ili spuštanje), nameće se uvjet
za penjanje pod kutom γ :
S
WCV L
ργ2
cos
2
= 8.32
Kojom brzinom leta V, kojim koeficijentom uzgona LC , te kojim će se kutom γ zrakoplov
penjati, nije apriorni određeno. Ovdje je problem optimizacije teži od onoga koji je bio u
horizontalnom letu. Koriste se dvije mogućnosti optimizacije:
• najveći kut penjanja (Best Angle of Climb)
• najveća brzina penjanja (Best Rate of Climb)
8.2.1 Najveći kut penjanja
U stacionarnom penjanju pod kutom γ potrebna je pogonska sila
γsinWDTr +=
Najprije valja uočiti da više nemamo jednakost otpora i potrebne pogonske sile. Potrebna
pogonska sila treba svladati ne samo otpor, već i komponentu težine. Taj otpor u penjanju
( )qSLKqSCKCCqSD DLD
2
02
0 +=+=
ne može se izraziti samo kao funkcija brzine, jer on ovisi i o kutu penjanja, zato što više nema
jednakosti uzgona i težine već L W= cosγ . Eliminacije uzgona, biti će otpor u penjanju pod
kutom γ :
SW
qKqSCD D
γ22
0cos
+=
te je potrebna sila u penjanju
γγρ
ρ sincos122
22
220 W
VSKWVSCT D
r ++= 8.33
Performanse zrakoplova 8-17
Potrebna sila ovisi o tri parametra. Prvo, o kutu penjanja γ , zatim o brzini leta V i konačno o
gustoći zraka. To znači da će na određenoj visini, gdje je gustoća zraka neka određena
vrijednost, potrebna sila ovisiti o brzini leta i o izabranom kutu penjanja ( )γ,VTr . S druge
strane imamo raspoloživu silu (ili snagu pogona). Raspoloživa pogonska sila ovisi također o
brzini ( )VTa ali ne o kutu penjanja. Ako se pretpostavi da je visina konstantna, može se
promatrati dijagram kao na slici 8-7
Slika 8-7 Potrebna sila ovisno o brzini leta i kutu penjanja.
na komu su ucrtane krivulje potrebne sile ( )γ,VTr za konstantne kutove penjanja (od 00 do
90). Za neki određeni kut penjanja, u presjeku krivulja ( ) ( )VTVT ar =γ, dobivamo minV i maxV ,
granice intervala mogućih brzina s kojima se može zrakoplov penjati pod tim kutom.
Povećavanjem kuta penjanja, kao što se to vidi sa slike 8-7 taj se interval smanjuje, da bi se za
neki određeni kut penjanja te dvije krivulje ( )VTa i ( )γ,VTr tangirale u točki A. Kut penjanja
ne može biti veći od te vrijednosti, jer pogon ne raspolaže dovoljnom silom, da bi se taj
zrakoplov mogao penjati pod većim kutom. Dakle, krivulja ( )γ,VTr , na kojoj je točka A,
određuje najveći kut penjanja, s kojim se taj zrakoplov s tim pogonom može penjati.
Označimo taj kut sa BAC (Best angle of climb). Međutim, ne zaboravimo da smo to rješenje
dobili za određenu visinu, što znači da će za drugu visinu biti drugo rješenje za BAC, tj.
najveći mogući kut penjanja nije konstantan već se mijenja s visinom. Koeficijent uzgona, za
taj najveći kut penjanja, nalazimo iz uvjeta da je γcosWL = :
Performanse zrakoplova 8-18
2cos2
SVWCL ρ
γ= 8.34
Povećavanjem visine smanjivat će se BAC, tako da će za najveću visinu on biti jednak nuli,
jer tada krivulja ( )VTa tangira krivulju ( )VTr za 0=γ . Tim istim postupkom za isti
zrakoplov ali za visinu mh 5400= nacrtana slika 9-8 , prema kojoj je dobiven krajnji slučaj
mogućega leta i to za 0=γ , tj. s tim motorom na tom zrakoplovu više se nije moguće penjati.
Slika 8-8 BAC za "mali" zrakoplov na razini mora
Na temelju ove analize vidimo da svakoj visini odgovara neki najveći kut ( )hmaxγ koji se
smanjuje s visinom da bi na vrhuncu bio jednak nuli. Isto tako, na svakoj visini imamo
odgovarajuću brzinu leta V s kojom trebamo letjeti. To je režim leta s najvećim mogućim
kutom penjanja.
U slučaju zrakoplova s elisom dobivene vrijednosti brzine leta za najveći kut penjanja
ili su manje od onih koje su propisane kao minimalne za pravilan i siguran rad elise, ili su
tako male da neki drugi efekti dominiraju u penjanju, kao npr. povećani otpor zbog odvajanja
struje od elise, pa se zato elisni zrakoplovi obično penju ili spuštaju u režimu najveće brzine
penjanja.
8.2.2 Najveća brzina penjanja
Brzina penjanja se definira kao
Performanse zrakoplova 8-19
γsinVVdtdh
V == . 8.35
Za lovce presretače vrlo je važno da u što kraćem vremenu budu na određenoj visini. Taj
zahtjev znači da trebaju što veću brzinu penjanja VV . Brzina penjanja označili smo sa RC, a
najveću sa BRC. Jasno je a priori da je BRC različit na različitim visinama.
Slika 8-9 Potrebna sila ( )γ,VTr i raspoloživa sila ( )VTa , za određenu visinu
Neka su na slici 8-9 nacrtane krivulje potrebne pogonske sile ( )γ,VTr i raspoložive pogonske
sile ( )VTa , za neku određenu visinu za koju je nacrtana slika. Označimo sa ( )γmaxV apscisu
točke desnog presjeka krivulje ( )VTa sa krivuljama ( )γ,VTr . Svaka točka odgovara nekom
kutu penjanja i predstavlja maksimalnu brzinu maxV koju može postići zrakoplov s tim
motorom na tom kutu penjanja. Drugim riječima u svakoj točki dobivamo par vrijednosti maxV
i γ . Pomoću tih parova možemo nacrtati novi dijagram koji na apscisi ima brzinu leta V, a na
ordinati brzinu penjanja γsinmaxVVV = . Taj dijagram 8-10 urađen je za onu istu visinu za
koju smo nacrtali polazne krivulje na slici 8-9. Taj dijagram pokazuje s kojim se brzinama
leta V može penjati zrakoplov i koje će biti brzine penjanja VV s raspoloživom silom pogona.
Ta krivulja je geometrijsko mjesto točaka koje imaju apscisu ( )γmaxV a ordinatu
( ) ( ) γγγ sinmax ⋅=VVV . Na njenom tjemenu nalazi se točka C koja predstavlja najveću
moguću brzinu penjanja.
Performanse zrakoplova 8-20
Slika 8-10 Brzina penjanja ( )VVV za određenu visinu,
U toj točki C određujemo brzinu leta V i kut γ koji osiguravaju najveću brzinu penjanja
γsinVVV = na visini h za koju smo konstruirali taj dijagram. Koeficijent uzgona određen je
jednadžbom 2cos2
SVWCL ρ
γ= . Te vrijednosti određuju režim leta BRC za visinu h. Za neku
drugu h visinu dobili bi drugu krivulju i druge vrijednosti γ,V potrebne za BRC . Drugim
riječima γ,V su funkcije visine h, a samim tim i brzina penjanja γsinVVV = i koeficijent sile
uzgona 2cos2
SVWCL ρ
γ= isto su poznate funkcije visine.
Primjer
Za mali putnički zrakoplov na visini mH 2000= , odrediti režim leta za najveću brzinu
penjanja.
Rješenje grafičkom metodom nalazi se u direktoriju Performanse\Penjanje pod imenom
BRC1.m s kojim je nacrtana slika 8.9, a zatim očitane točke nacrtane su pomoću programa
BRC2.m S tim programom dobiva se vrijednost 0max 5.3=γ za brzinu leta smVBAC 2.46=
na zadanoj visini.
Performanse zrakoplova 8-21
8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju
Nakon analiza, iz prethodnog odjeljka, o režimu penjanja u mogućnosti smo izračunati
vrijeme penjanja. Iz jednadžbe da je
∫=2
1
h
h VVdht
vidimo da će najkraće vrijeme penjanja biti za najveću brzinu penjanja:
∫=2
1 maxmin
h
h VVdht 8.36
U prethodnom odjeljku odredili smo funkcije ( )hVV max , ( )hV i ( )hγ . S tom funkcijom
( )hVV max trebamo izračunati ovaj integral.
Potrošnju goriva u penjanja zrakoplova određujemo na temelju jednadžbe
VV
mdhdm &
−= 8.37
u kojoj je za elisne zrakoplove
elisa
PmotPg
TVCPCmmη
−=−== && ,
a za mlazne
TCmm Tg −== && .
U ovim jednadžbama pogonska sila u penjanju određena je jednadžbom
( ) γργ sin2
sin 20
2
WKCCVWDT LD ++=+=
u kojoj su ( )hV i ( )hγ određene u prethodnom poglavlju, a ( )hρ je karakteristika atmosfere
za vrijeme penjanja.
8.3 Horizontalni zaokret
Ako zrakoplov leti
• konstantnom brzinom
• u horizontalnoj ravnini 0=γ ,
• bez kuta klizanja β = 0 , te
• ako je ravT αα ≈ i φµ ≈A ,
jednadžbe gibanja centa mase zrakoplova dobivaju oblik:
Performanse zrakoplova 8-22
.cos0
sin
0
WL
LdtdmV
DT
−=
=
−=
φ
φχ 8.38
φ
W
L φcosL
φsinL
Slika 8-11 Zrakoplov u horizontalnom zaokretu
Do tih jednadžbi može se doći neposredno promatrajući sile koje djeluju na zrakoplov u
zaokretu, kao na slici 8-11. Da bi zrakoplov letio u horizontalnoj ravnini, mora biti vertikalna
komponenta uzgona jednaka težini:
WL =φcos 8.39
a horizontalna komponenta stvara centripetalno ubrzanje koje je okomito na brzinu leta:
φsin2
LR
Vm = , 8.40
χd
V
VR
ds
Slika 8-12
gdje je R polumjer zakrivljenosti putanje središta mase zrakoplova u horizontalnoj ravnini kao
na slici 8-12. Podsjetimo se iz mehanike da je kutna brzina vektora brzine
Performanse zrakoplova 8-23
RVV
dsd
dsds
dtd
=⋅=⋅=χχχ& , 8.41
jer je polumjer zakrivljenosti:
χd
dsR = 8.42
8.3.1 Jednadžbe zaokreta
Prethodne jednadžbe mogu se s normalnim opterećenjem n napisati u obliku:
φ
φχ
cos1
sin
=
=
n
Vng
&
8.43
Iz ovih jednadžbi eliminacijom kuta valjanja φ dobivamo najčešće korištene veze koje nam
daju opterećenja u ovisnosti o kutnoj brzini zaokreta, ili obrnuto, kutnu brzinu zaokreta u
ovisnosti o opterećenju:
Vng 12 −
=χ& , 8.44
ili što je isto
12
+
=
gVn χ& . 8.45
Osim ovih veličina, u praksi je potreban i polumjer zaokreta R. Znajući iz klasične mehanike
da je
χχ &
VddsR == , 8.46
bit će polumjer u horizontalnom zaokretu ovisan o opterećenju:
12
2
−=
ng
VR , 8.47
ili obrnuto, opterećenje bit će ovisno o polumjeru zakrivljenosti:
122
+
=
gRVn 8.48
Performanse zrakoplova 8-24
8.3.2 Ograničenja kutne brzine
Opterećenje ne smije biti veće od onog što može izdržati konstrukcija Snn < . Maksimalno
opterećenje koje može izdržati konstrukcija poznata je vrijednost, te kutna brzina ne smije biti
veća od:
( )V
constVng
V SS =
−=
12
χ& 8.49
Ta jednadžba u dijagramu χ&,V ograničava sa gornje strane područje mogućih kutnih brzina u
ovisnosti od brzine leta.
Isto tako, koeficijent uzgona ne smije biti veći od maksimalne vrijednosti
( )MaCC LL max≤ . Ako u jednadžbi za kutnu brzinu, izrazimo opterećenje odnosom WLn = ,
dobivamo utjecaj koeficijenta uzgona na kutnu brzinu:
( ) 12
22
−
=W
SCV
VgV
Lρ
χ&
u koju, kada unesemo najveći koeficijent uzgona, dobivamo najveće dopušteno opterećenje s
obzirom na stall, ovisno o brzini leta:
( ) 22
22
2max 11
2 VVconstg
VV
WSCgV L
L −⋅=−
=ρ
χ& 8.50
Ta krivulja također ograničava s gornje strane moguće kutne brzine s obzirom na najveći
koeficijent uzgona. Taj maksimalni koeficijent uzgona maxLC može biti također ovisan o
Mahovu broju.
Vidimo da je najveća moguća kutna brzina ovisno o brzini leta ograničena s gornje
strane krivuljama ( )VSχ& i ( )VLχ& . S obzirom na oblik ovih krivulja (krivulja ( )VLχ& raste, a
krivulja ( )VSχ& opada) u njihovu presjeku bit će najveća moguća kutna brzina koja
zadovoljava oba ograničenja. Ta kutna brzina se naziva corner speed, a brzina leta pri kojoj
se ona ostvaruje označava se sa CV , kao i odgovarajući Machov broj sa CM . U presjeku
brzinu leta dobivamo izjednačavanjem kutnih brzina:
( ) ( )VV SL χχ =&
Iz te jednadžbe dobivamo
max
2
L
SC SC
WnV
ρ= 8.51
Performanse zrakoplova 8-25
a toj brzini leta odgovara kutna brzina corner speed
−=
SS
Lspeedcorner n
nW
SCg 12
maxρχ& 8.52
8.3.3 Koordinirani zaokret
Uočimo da se u zaokretu povećava otpor. Prije zaokreta otpor je bio
( )20
2
2 LD KCCSVD +⋅=ρ
gdje je koeficijent uzgona bio određen iz uvjeta horizontalnog leta WL = . Međutim, u
horizontalnom zaokretu taj uvjet se mijenja
φcosWL =
Prema tome, u zaokretu je povećan koeficijent uzgona, zbog čega se povećava inducirani
otpor. Da ne bi u horizontalnom zaokretu brzina leta opadala, potrebno je povećati pogonsku
silu za onoliko koliko se povećao otpor.
U horizontalnom zaokretu polumjera R, brzinom V, vrijednost opterećenja određena
je jednadžbom:
122
+
=
gRVn .
Da bi se ostvario takav zaokret, potrebno je:
• otklonom krilaca lδ zavaljati letjelicu za kut valjanja
narc 1cos=φ ;
• otklonom kormila visine mδ postaviti ravnotežni napadni kut ravα za koji je koeficijent
uzgona
ref
L
SVnWC
2
2ρ= ;
• otklonom ručice pogona Pδ postići novu potrebnu pogonsku silu koja održava
konstantnu brzinu leta.
( )20
2
2 LDr KCCSVT +=ρ
Performanse zrakoplova 8-26
Za takav koordinirani zaokret moraju se uskladiti: otklon krilaca lδ , kormila visine mδ i
pogonske sile Pδ . Zato se takav zaokret u kome su usklađene ove tri veličine naziva
koordinirani zaokret. U njemu se leti sa zadanom konstantnom brzinom, na zadanoj visini i
izvodi zaokret sa zadanim polumjerom R.
Kako su faktor opterećenja n, koeficijent uzgona LC i pogonska sila T ograničeni, bit
će ograničen i horizontalni zaokret zrakoplova. Sve tri veličine imaju svoje maksimalne
vrijednosti Sn , maxLC i aT . Te granice određuju najmanji mogući polumjer zakrivljenosti R,
odnosno najveću moguću kutnu brzinu χ& u koordiniranom zaokretu za zadanu brzinu leta V
na promatranoj visini leta.
8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu
U horizontalnom letu je normalno opterećenje
WLn =
bilo jednako jedinici jer je WL = . U horizontalnom zaokretu ono se povećava jer je u
horizontalnom zaokretu φcos1=n i to utoliko više ukoliko je manji polumjer zakrivljenosti
122
+
=
gRVn
Potrebno normalno opterećenje postiže se povećanjem sile uzgona, odnosno povećanjem
ravnotežnog napadnog kuta. Međutim, povećana sila uzgona znači i znatno veći inducirani
otpor. Da bi u koordiniranom zaokretu brzina leta ostala nepromijenjena, treba povećati
pogonsku silu isto toliko koliko je povećan inducirani otpor. Ta potrebna pogonska sila ne
može biti veća od raspoložive, pa se postavlja pitanje za koliko je moguće povećavati
normalno opterećenje s obzirom na raspoloživu silu (ili snagu) motora. To najveće
opterećenje nazivamo raspoloživo opterećenje. Ono ovisi o brzini leta ( )Vnrasp . Da bi
zrakoplov letio konstantnom brzinom leta V potrebna je sila
+⋅=
2
20
2
22 SV
LKCSVT Dr ρρ .
Kako je nWL = , ta potrebna sila ovisi o normalnom opterećenju
Performanse zrakoplova 8-27
( )2
220 12
2 VSnWKVSCT D
r ρρ
+= 8.53
Raspoloživa sila aT mora biti veća od potrebne, ili u najgoremu slučaju jednaka potrebnoj, pa
izjednačavanjem potrebne i raspoložive sile dobivamo
( )a
D TVS
nWKVSC=+ 2
220 12
2 ρρ , 8.54
ili
( ) 4
20
22
22
42V
KWCSV
KWSTn Da
raspρρ
−= . 8.55
Ova jednadžba direktno je primjenljiva za mlazne zrakoplove. Za elisne zrakoplove
raspoloživa sila ovisno od raspoložive snage određena je jednadžbom:
VP
VPT motelisaa
amaxη
== 8.56
Zato raspoloživo opterećenje za elisne zrakoplove određujemo pomoću jednadžbe:
( ) 4
20
2
2max2
42V
KWCSV
KWSP
n Dmotelisarasp
ρρη−= 8.57
Ovisnost raspoloživog opterećenja o brzini leta bit će različita na različitim visinama zato što
ovisi i o gustoći zraka. Ovisnost normalnog opterećenja o brzini leta ( )Vnrasp ima
maksimalnu vrijednost za brzinu leta koju dobivamo derivacijom funkcije ( )Vnrasp .
8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu
Kutna brzina je određena jednadžbom
Vng 12 −
=χ&
i bit će utoliko veća ukoliko je veće opterećenje, pa zato promatramo kutnu brzinu pri
raspoloživom opterećenju.
V
ng raspP
12 −=χ& 8.58
Ta kutna brzina ovisi o brzini leta direktno i indirektno preko ( )Vnrasp . Da bismo odredili
najveću kutnu brzinu ovisno o brzini leta, zamijenimo raspoloživo opterećenje s njegovom
funkcijom o brzini leta. Ako je u pitanju mlazni zrakoplov, raspoloživo opterećenje raspn
određeno je jednadžbom 8.55, te dobivamo ovisnost ( )Vχ& :
Performanse zrakoplova 8-28
22 1
VBV
VAg −−=χ& 8.59
s konstantama kao u jednadžbi 8.55.
Za elisne zrakoplov, raspoloživo opterećenje raspn određeno je jednadžbom 8.57 što
daje ovisnost ( )Vχ& :
22 1
VBVAg −−=χ& 8.60
u kojoj su konstante kao u jednadžbi 8.57. Tu ovisnost ( )Vχ& nazivamo ovojnica
koordiniranog zaokreta zrakoplova. Ona ima maksimum za brzinu leta ( )χ&maxV , pri kojoj je
najveća moguća kutna brzina leta maxχ& u koordiniranom zaokretu.
8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta
Iz jednadžbi horizontalnog zaokreta:
122
+
=
gRVn
nWCSVL =2
2ρ ,
eliminacijom brzine dobivamo ovisnost polumjera zaokreta o opterećenju n:
1
22 −
=n
nSCgWR
Lρ 8. 61
Polumjer zaokreta ovisi o koeficijentu uzgona i o opterećenju. Za najmanji zaokret treba
najveći koeficijent uzgona i najveće opterećenje. Zato se najmanji polumjer zaokreta
ostvaruje u režimu leta za corner speed. Za najveći koeficijent sile uzgona maxLC i najveće
strukturalno opterećenje Sn dobivamo najmanji polumjer koji odgovara najvećoj kutnoj
brzini (corner speed):
1
22
max −=
S
S
LC
n
nSCg
WRρ
8.62
8.3.7 Primjer
Odrediti za mali zrakoplov koji leti na visi 2000 m kolika je ovisno o brzini leta :
• raspoloživa kutna brzina u koordiniranom zaokretu s obzirom na performanse motora iz
priloga C,
Performanse zrakoplova 8-29
• raspoloživa kutna brzina ovisno s obzirom na maksimalni koeficijent uzgona 5.1=LC i
• raspoloživa kutna s obzirom na maksimalno strukturalno naprezanje 3=Sn .
Prema prilogu C napravljen je pod program Rasp_snaga koji daje raspoloživu snagu motora
ovisno o kutnoj brzini elise, brzine leta, temperaturi i tlaku okolnog zraka. Nominalni broj
obrtaja motora je ][240 srad=ω .
Slika 8-13. Ograničenja kutnih brzina malog zrakoplova
Izjednačavanjem potrebne i raspoložive snage ar PP = dobivamo:
( )VP
VSWnK
VSC araspD =+ 2
220 12
2 ρρ .
Iz ove je jednadžbe kvadrat raspoloživog opterećenja:
−= 40
22
22VSCVP
KWSn D
araspρρ ,
S ovim raspoloživim opterećenjem određujemo najveću kutnu brzinu Pχ& u koordiniranom
zaokretu, prema jednadžbi 8.58.
Vng rasp
P
12 −=χ&
Na disketi u direktoriju performanse nalazi se program Maxkutbr.m koji crta u MATLABu
krivu ( )VPχ& kao i dvije krive ( )VLχ& prema jednadžbi 8.50 i ( )VSχ& prema jednadžbi 8.49 u
Performanse zrakoplova 8-30
čijem presjeku C se nalazi najveća moguća kutna brzina (corner speed). Taj presjek ima
koordinate. Na slici 8-13 prikazan je dijagram dobiven tim programom.
8.4 Vertikalni zaokret
8.4.1 Jednadžbe
Jednadžbe gibanja središta mase s kojima određujemo performanse zrakoplova:
γφγ
φχγγ
coscossincos
sin
WLmVLmVWDTVm
−==−−=
&
&
&
8.63
u slučaju zaokreta u vertikalnoj ravnini 0=χ& dobivaju oblik
,coscos
sin0sin
γφγφ
γ
WLmVL
WDTVm
−==
−−=
&
&
pa iz druge jednadžbe zaključujemo da u slučaju vertikalnog zaokreta mora biti 0=φ , tj. da
nema valjanja. Prva i treća jednadžba postaju:
γγ
γ
cos
sin
WLdtdmV
WDTdtdVm
−=
−−= 8.64
Iz druge jednadžbe je
γγ cos−= ngV& . 8.65
Kako je γ&RV = , ova jednadžba daje vezu između polumjera krivine i normalnog opterećenja
γcos2
+=gRVn 8.66
8.4.2 Najveća kutna brzina
Kao i za horizontalni zaokret, i ovdje je kutna brzina ograničena najvećim konstruktivnim
opterećenjem nS :
( )V
ngV SS
γγ cos−=& . 8.67
Zamjenom opterećenja prema definiciji
Performanse zrakoplova 8-31
WSCV
n L
2
2ρ=
dobivamo jednadžbu za kutnu brzinu u ovisnosti o koeficijentu uzgona:
( )
−=V
cosVW
SCgV L γρ
γ2
& .
Iz toga je očito da je najveća kutna brzina ovisno o maksimalnom koeficijentu uzgona dana
jednadžbom:
( )
−=V
VW
SCgV L
Lγρ
γ cos2
max& 8.68
U presjeku tih dviju ovisnosti ( )VSγ& i ( )VLγ& :
−=
−V
VW
SCgV
ng LS γργ cos2
cos max
CL
C
S VW
SCVn
2maxρ
=
dobiva se brzina leta CV :
max
2
L
SC SC
WnV
ρ= , 8.69
pri kojoj se može ostvariti najveća kutna brzina u vertikalnoj ravnini. Ta brzina ne ovisi o
kutu γ što znači da se bilo u kojemu nagibu putanje može dobiti najveća kutna brzina
propinjanja pri ovoj brzini leta. Činjenica je da je to ista brzina pri kojoj se može ostvariti i u
horizontalnom zaokretu najveća kutna brzina (corner speed). U vertikalnom zaokretu bit će
ta najveća kutna brzina (corner speed) :
S
SL
nn
WSC
gγρ
γcos
2max
max−
=& 8.70
Ta kutna brzina ovisi o kutu penjanja. Zanimljivo je usporediti ovu maksimalnu kutnu brzinu
u vertikalnoj ravnini s kutnom brzinom u horizontalnoj ravnini (jednadžba 8.55)
−=
SS
Lspeedcorner n
nW
SCg 12
maxρχ&
Ako zrakoplov leti horizontalno onda je odnos kutnih brzina u vertikalnom zaokretu prema
horizontalnom zaokretu:
11
max
max
+−
=S
S
nn
χγ&
& 8.71
Performanse zrakoplova 8-32
8.4.3 Analiza vertikalne petlje
Da bismo pojednostavili analizu vertikalne petlje, pretpostavimo da je u svakom trenutku
raspoloživa sila jednaka otporu. Jednadžbe se pojednostavnjuju:
γγ
γ
cos
sin
ggndtdV
gdtdV
−=
−= 8.72
Eliminacijom vremena iz ovih dviju jednadžbi, dobivamo:
γγ
γ dnV
dVcos
sin−
−= 8.73
Ako zrakoplov sve vrijeme leta u petlji ima isto opterećenje, onda poslije integracije od
polazne točke 0=γ u kojoj je brzina leta 0V do bilo koje točke, dobivamo:
γcos
10 −
−=
nnVV 8.74
Ova ovisnost ( )γV prikazana je na slici 8-14.
Slika 8-14 Promjena brzine u petlji
U ovakvom letu zrakoplov bi imao najmanju brzinu na vrhuncu petlje
11
0min +−
=nnVV , 8.75
Jednadžbu 8.66 možemo napisati u obliku
( )γcos
2
−=
ngVR
Performanse zrakoplova 8-33
Ona daje veličinu polumjera petlje R ovisno o brzini leta u petlji V i nagibu brzine γ .
Zamjenom ( )γV prema jednadžbi 8.74 u jednadžbu 8.66 dobivamo ovisnost polumjera petlje
samo o nagibu tangente.
( )( )3
220
cos1γ−
−=
nn
gVR
Iz ove jednadžbe možemo za razne položaje odrediti polumjer krivine petlje Tako je u tablici
izračunat polumjer krivine za petlju u kojoj je opterećenje 3=n , a za tri karakteristična
položaja zrakoplova.
0=γ 090=γ 0180=γ
gVR
205.0=
gVR
20148.0=
gVR
200625.0=
Na slici 8.15 prikazan je približan izgled ove petlje.
1R2R3R
γ
Slika 8-15. Zrakoplov u vertikalnoj petlji
Da bi zrakoplov sve vrijeme petlje imao konstantno normalno opterećenje u uvjetima
promjenljive brzine, on mora mijenjati napadni kut tako da se koeficijent uzgona mijenja
ovisno o kutu γ :
2
2VC
WS
WLn L
ρ==
( )
( )222
0
cos1
2 γρ
−−
= nnSV
WnCL 8.76
Ta promjena koeficijenta uzgona prikazana je na dijagramu slike 8-16
Performanse zrakoplova 8-34
Slika 8-16
Minimalna vrijednost koeficijenta uzgona je na ulazu u petlju ( 0=γ )
20
02SVWnCL ρ
= ,
a maksimalna na vrhuncu petlje:
2
20 1
12
−+
=nn
SVWnC 1L ρ
8.77
U vrhuncu petlje centrifugalna sila jednaka je zbroju uzgona i težine zrakoplova,
LWR
Vg
W+=
2
jer je 0180=γ , pa je polumjer zakrivljenosti ( )1
2
+=
ngVR .
Polijetanje i sletanje 9-1
9 POLIJETANJE I SLIJETANJE
9.1 Polijetanje (take off)
Prvo istaknimo da su za vrijeme polijetanja djelomično izbačena zakrilc (flapsovima) i da je
izbačeno podvozje. Takav zrakoplov ima potpuno različiti aerodinamički model od
zrakoplova s uvučenim zakrilcima i uvučenim podvozjem. Pored toga na aerodinamičke
koeficijente utječe i blizina tla.
Dobra procjena povećanja sile uzgona zbog izbačenih flapsova može se izvršiti
pomoću ESDU 74009 i 74012. Utjecaj tla na uzgon procjenjuje se pomoću ESDU 72023, a
na otpor pomoću ESDU 72023 i 74035. U radu lit. 31 ispitivan je utjecaj izbačenih flapsova
na moment propinjanja. Gruba procjena otpora za konfiguraciju u polijetanju može se izvršiti
prema ESDU 79015 (lit.[29]). Tako se u fazi projektiranja (kad nisu poznate dimenzije
podvozja) možemo poslužiti jednom empirijskom formulom za procjenu povećanja otpora
(lit.[17]):
215.0−= mwKC cuD∆
U toj jednadžbi m je masa zrakoplova u kg u trenutku polijetanja, w je opterećenje krila u 2mN , a koeficijent cuK varira od vrijednosti 51081.5 −⋅ za potpuno uvučena zakrilca do
vrijednosti 51016.3 −⋅ za maksimalno izvučena zakrilca.
9.1.1 Tehnika polijetanja
U ovom poglavlju promatramo način polijetanja i slijetanja zrakoplova, duljine zalijetanja i
polijetanja kao i duljine slijetanja i kočenja.
Proces polijetanja ima tri faze (slika 9-1):
• zalijetanje po pisti, duljine 1s ,
• zalijetanje i propinjanje letjelice, duljine 2s i konačno
• odvajanje od piste do postizanja propisane visine, duljine 3s .
Sve tri faze promatramo u lokalnom koordinatnom sustavu koji ima ishodište na mjestu
središta mase zrakoplova u trenutku starta, os Lx duž piste u pravcu zalijetanja, a Ly os
Polijetanje i sletanje 9-2
vertikalno naviše. Treća os z znači da je horizontalno, udesno, gledajući u pravcu zalijetanja
zrakoplova.
1s 2s
3s
as3 bs3
RV
Ly
TOV
LxLx
Slika 9-1 Faze polijetanja zrakoplova
Promatrat ćemo polijetanje u uvjetima kad ima vjetra.
VVV WK
rrr+=
Vjetar WVr
razlažemo na dvije komponente: uzdužnu WXV , pozitivnu u pravcu i smjeru
polijetanja, i bočnu WZV , pozitivnu u pravcu osi z kad vjetar puše s lijeve na desnu stranu
gledajući u pravcu polijetanja.
Zalijetanje je pravocrtno ubrzano gibanje po pisti, koje započinje brzinom leta jednakoj
nuli, 0=KV , a to znači, uzdužnom aerodinamičkom brzinom intenziteta WXVV −=0 .
Zalijetanje se završava kada komponenta aerodinamičke brzine u ravnini simetrije letjelice
dostigne zadanu vrijednost TOV . U tom trenutku brzina zalijetanja bit će TOWXK VVV += .
Vrijeme i put zalijetanja počinjemo mjeriti kad se zrakoplov počne gibati. Na kraju zalijetanja
sila uzgona je jednaka težini i u tom trenutku prestaje kontakt s pistom počinje let zrakoplova.
Tijekom cijelog polijetanja (za sve tri faze) zrakoplov ima konfiguracija u polijetanju.
• djelomice izbačena zakrilca i
• izbačeno podvozje .
Na koeficijent uzgona i otpora u zalijetanju utječe još i prisustvo tla. Označimo sa maxLC
maksimalni koeficijent uzgona za konfiguraciju u polijetanju. Sa stallV se označava
aerodinamička brzina koja s tim koeficijentom daje uzgon jednak težini letjelice:
Polijetanje i sletanje 9-3
WCSVLref
stall =max
2
2ρ 9.1
To znači ako postavimo kormilo visine maxmδ , onda će poslije kratkog vremena (prijelazni
proces) letjelica zauzeti napadni kut maxα kome odgovara maxLC . Prema tome, stallV je
najmanja moguća aerodinamička brzina pri kojoj zrakoplov može poletjeti, ali se može i
vratiti na pistu, jer koeficijent uzgona pri malo većem napadnom kutu opada. Zato je
propisano (FAR Part 25) da se odvajanje ne izvodi pri maxLC već pri malo manjem
koeficijentu uzgona:
21.1maxL
LTO
CC = 9.2
S ovim koeficijentom uzgona potrebna je brzina TOV da bi sila uzgona bila jednaka težini, pa
tu brzinu određujemo iz tog uvjeta:
WCSVTOLref
TO =2
2ρ 9.3
Brzinu TOV nazivamo brzina odvajanja (take-off speed). Kad ovu jednadžbu usporedimo s
jednadžbom 9.1 zaključujemo da će odvajanje nastupiti kad je aerodinamička brzina
stallTO VV ⋅= 10.1 .
Zalijetanje ima dva dijela. U prvom dijelu nema otklona kormila visine, napadni kut
zrakoplova je nula ili blizak nuli. Aerodinamička brzina raste dok zrakoplov kreće po pisti do
trenutka kada aerodinamička brzina naraste do vrijednosti RV . Kad aerodinamička brzina
dostigne tu vrijednost RV tad je kraj prvog dijela zalijetanja i počinje drugi dio zalijetanja. U
tom drugom dijelu zalijetanja zrakoplov i dalje ubrzava svoje kretanje po pisti, ali istodobno
se propinje i prednji kotač gubi kontakt s pistom. Taj drugi dio zalijetanja predstavlja drugu
fazu polijetanja i nazivamo je propinjanje. Propinjanje počinje kad pilot postavi otklon
kormila visine TOmδ , kome u ravnotežnom letu odgovara napadni kut TOα za koji je
koeficijent uzgona jednak vrijednosti 0LTC . U prijelaznom procesu promjene napadnog kuta
od nule do nove vrijednosti TOα , zrakoplov se propinje pod utjecajem aerodinamičkog
momenta. On se okreće oko osi glavnih kotača do kuta TOTO αϑ = , a prednji se kotač odvaja
od zemlje. Za to vrijeme zrakoplov se još uvijek ubrzano kreće s glavnim kotačima po pisti.
Aeroddinamička brzina zrakoplova se povećava. Brzinu RV treba tako izabrati da kut
propinjanja zrakoplova dostigne vrijednost TOTO αϑ = kad aerodinamička brzina dostigne
Polijetanje i sletanje 9-4
vrijednost TOV . Uočimo da smo trebali otkloniti kormilo visine ranije za vrijeme koje je
potrebno da se obavi prijelazni proces. Uzima se obično da je stallR VV ⋅= 05.1 , što osigurava
da aerodinamička brzina dostigne vrijednost stallTO VV ⋅= 10.1 na kraju prijelaznog procesa kad
koeficijent uzgona dostigne potrebnu vrijednost LTOC za odvajanje od piste pri
aerodinamičkoj brzini TOV . Posebno treba provjeriti pri konstruiranju zrakoplova da kut TOϑ
bude manji od vrijednosti pri kojoj bi zadnji dio zrakoplova udario u pistu. Kad zrakoplov
dostigne kut propinjanja TOTO αϑ = , pri brzini TOV , završava druga faza polijetanja, a time i
zalijetanje. Zalijetanje je zbroj prvog i drugog dijela: 21 sssg += .
Treća faza počinje kad se glavni kotači odvoje od piste, pod utjecajem sile uzgona
koja je veća od težine zrakoplova. Ta razlika između sile uzgona i težine zrakoplova, u prvom
dijelu treće faze uzrokuje vertikalni zaokret putanje zrakoplova od kuta 0=γ do kuta
penjanja cγ na horizontalnoj duljini as3 . Kad brzina dostigne kut cγ , koji je potreban za
penjanje, pilot postavlja mδ koji je potreban za penjanje s konstantnim kutom cγ . Počinje
drugi dio treće faze u kome se zrakoplov pravocrtno penje. Taj pravocrtni dio ima
horizontalnu projekciju bs3 . Ukupna horizontalna projekcija treće faze je zbroj ba sss 333 += .
Polijetanje je gotovo kad zrakoplov dostigne propisanu visini obstacleh Za civilne
zrakoplove ta visina je 10.67 m (35 feet), a za vojne 15.24 m (50 feet). Tu visinu neki
zrakoplovi dostižu još za vrijeme vertikalnog zaokreta, pa je duljina njihove treće faze
polijetanja dio vertikalnog zaokreta bez pravocrtnog dijela ass 33 = . Drugi zrakoplovi postižu
tu visinu tek poslije vertikalnog zaokreta, tijekom pravocrtnog penjanja. Duljina njihove treće
faze je zbroj horizontalne duljine vertikalnog zaokreta as3 i pravocrtnog penjanja do
propisane visine bs3 . U svakom slučaju ukupna duljina polijetanja je zbroj
321 ssss ++=
9.1.2 Duljina zalijetanja - prva faza polijetanja
9.1.2.1 Diferencijalne jednadžbe prvog dijela zalijetanja
Za vrijeme zalijetanja po pisti jednadžbe gibanja središta mase su
Polijetanje i sletanje 9-5
F
dtdVm
Vdtdx
K
K
=
= 9.4
Sila u pravcu zalijetanja F i sila reakcije piste R na kotačima su:
LWR
RDTF−=
−−= µ
Slika 9-2. Sile koje djeluju na zrakoplov u zalijetanju
Eliminacijom R iz tih dviju jednadžbi, dobivamo ovisnost sile koja ubrzava zrakoplov na
pisti:
( ) WCCSVTF LD µµρ−−−=
2
2
9.5
gdje je µ koeficijent kotrljanja kotača po pisti. Pri zalijetanju zrakoplovu su djelomično
izbačena zakrilca ili nisu, a napadni kut je vrlo mali. Zrakoplovi koji imaju treći kotač na
prednjem dijelu, njihovom geometrijom osiguravaju u zalijetanju napadni kut jednak nuli ili
blizak nuli.
Kada jednadžbu 9.5 koja daje silu zalijetanja zrakoplova pridružimo diferencijalnim
jednadžbama gibanja središta mase zrakoplova po pisti, dobivamo model gibanja zrakoplova
po pisti. Numeričkom integracijom tog modela možemo izračunati put i trenutnu brzinu
zrakoplova ovisno o vremenu. Tu numeričku integraciju izvodimo do brzine RV .
U jednadžbama gibanja po pisti:
Polijetanje i sletanje 9-6
a
dtdV
Vdtdx
K
K
=
= 9.6
ubrzanje a prema jednadžbi 9.5
( ) gCCmSV
mTa LD µµρ
−−−=2
2
9.7
ovisi o aerodinamičkoj brzini, a u diferencijalnim jednadžbama imamo brzinu leta. Zato
moramo brzinu leta izraziti ovisno o aerodinamičkoj brzini WXK VVV += . Pretpostavimo da je
za vrijeme zalijetanja vjetar konstantan, onda je 0=WdV . Eliminacijom vremena iz
diferencijalnih jednadžba gibanja i zamjenom brzine leta sa zbrojem aerodinamičke brzine i
vjetra, dobivamo diferencijalnu jednadžbu prijeđenog puta
( ) ( )( ) ( )Va
VdVVa
dVVa
VVdVVadVVds WX
WXWXKK +=++
==1 9.8
9.1.2.2 Procjena ubrzanja u zalijetanja
Ubrzanje u zalijetanju prema jednadžbi 9.5 ima oblik:
( ) gCCmSV
mTa LD µµρ
−−−=2
2
9.9
Najteži dio problema zalijetanja je dobra procjena veličina koje ulaze u jednadžbu za
ubrzanje, a to su:
• pogonska sila T,
• aerodinamički koeficijenti konfiguracije u polijetanju i
• koeficijent kotrljanja µ .
Obično se u problemima polijetanja primjenjuju tri modela za procjenu pogonske sile.
Prvi, kada zrakoplov ima elisni pogon s klipnim motorom, kad se može pretpostaviti
da je za vrijeme polijetanja snaga motora konstantna te je sila na elisi:
VPT motelη
= 9.10
Za vrijeme polijetanja koeficijent učinkovitosti elise ovisi o parametru nDVJ = , Ukoliko za
male vrijednosti brzine koeficijent učinkovitosti ima konačne vrijednosti smatra se da za male
vrijednosti aerodinamičke brzine pogonska sila ne prelazi neku maksimalnu vrijednost.
U drugom modelu, koji se koristi u slučaju turbofan motora, pretpostavlja se da je
pogonska sila kvadratna funkcija aerodinamičke brzine
Polijetanje i sletanje 9-7
( )2210 1 VkVkTT +−= 9.11
ESDU 76034 omogućuje procjenu koeficijenata 2k i 3k za potrebe polijetanja. Na primjer za
Rolls-Royceov turbofan motor RB211-535E4, ti koeficijenti imaju vrijednosti 32 1052.2 −⋅=k
i 63 1034.4 −⋅=k .
Treći model koristi se za mlazne motore. U njemu se obično usvajamo da je pogonska
sila konstantna.
Ovisno o vrsti podloge na pisti, vrijednosti koeficijenta kotrljanja µ prikazane su
tablicom 9-3.
Vrsta tla Bez kočenja Pri kočenju Suhi asfalt 0.03 - 0.05 0.3 - 0.5
Mokri asfalt 0.05 0.15 - 0.3 Poledica na asfaltu 0.02 0.06 - 0.10
Tvrda zemlja 0.05 0.4 Čvrsto nasuta pista 0.04 0.3
Meka zemlja 0.07 0.2 Vlažna trava 0.08 0.2
Tablica 9-3. Tablica koeficijenta kotrljanja
9.1.2.3 Duljina prvog dijela zalijetanja zrakoplova
Integracijom diferencijalne jednadžbe 9.8 od početne aerodinamičke brzine WXVV −=0 do RV
dobivamo pređeni put u prvom dijelu zalijetanja:
( ) ( )∫∫ +=RR V
V
V
VWX Va
VdVVa
dVVs00
1
Za vrijeme zalijetanja zrakoplova smatrat ćemo pogonsku silu kvadratnom funkcijom od
brzine (jednadžba 9.8).
( )2320 1 VkVkTT +−=
U tom slučaju ubrzanje sile F bit će kvadratna funkcija aerodinamičke brzine:
2CVBVAmFa ++== 9.12
gdje su:
Polijetanje i sletanje 9-8
( ).2
0
0
20
02
01
0
LLD CKCCmS
mTkC
mTkB
gmTA
µρ
µ
−+−=
<−=
>−=
9.13
Taj model obuhvaća i slučajeve (neki mlazni motori) kada se može pretpostaviti da je za
vrijeme zalijetanja pogonska sila konstantna ( 021 == kk ).
∫∫ +++
++=
RR V
V
V
VW CVBVA
VdVCVBVA
dVVs00
221 9.14
Drugi integral na desnoj strani rastavljamo na dva integrala:
dVCVBVA
CVBCCVBVA
dVCBdV
CVBVACVBB
C
RRR V
V
V
V
V
V∫∫∫ ++
++
++−=
++++−
000
222
221
22
21
Prvi dio drugog integrala zbrojimo s prvim integralom te je
dVCVBVA
CVBCCVBVA
dVCBVs
RR V
V
V
VW ∫∫ ++
++
++
−=
00
2212
21
2
Rješenje ovih integrala ovisi o korijenima 1V i 2V polinoma 02 =++ CVBVA . Neka su
vrijednosti realnih korijena
CA
CB
CBV −
±−=
2
12 22 9.15
Korijeni V i V1 2 , uvijek su realni, ali ne mogu biti u intervalu integracije RVV ,0 , jer bi to
značilo da u fazi ubrzavanja postoji u tim trenucima ubrzanje jednako nuli (vrijednost
polinoma jednaka je nuli), a zatim i negativno. Budući da su korijeni realni i pozitivni, onda
je
( )( ) dVCVBVA
CVBCVVVV
dVCC
BVsR
i
R
i
V
V
V
VW ∫∫ ++
++
−−
−= 2
211
2211
2
( ) dVCVBVA
CVBC
dVVVVVVVC
BCVxR
i
R
i
V
V
V
V
W ∫∫ +++
+
−
−−−
−= 2
212121
22111
22 ,
pa je konačno
( )( ) ( )( ) ( ) 2
00
2
102
101
2121 ln
21ln
22
CVBVACVBVA
CVVVVVVVV
VVCBCVs RR
R
RW
++++
⋅+−⋅−−⋅−
⋅−−
= . 9.16
Polijetanje i sletanje 9-9
U slučaju da je pogonska sila konstantna za vrijeme zalijetanja (tada su 021 == kk ),
onda je 0=B , a preostale konstante imaju vrijednosti:
( )LLD CKCC
mSC
gmTA
µρ
µ
−+−=
−=
2
0
2
9.17
CA
CBV
−±−=
212 9.18
te je
( ) RR
V
V
V
V
WX CVACVV
VVAC
Vs0
0
2
2
11 ln
21ln
42
++−−
−= 9.19
U slučaju elisnih zrakoplova znamo da oni imaju raspoloživu snagu koju u prvoj
aproksimaciji možemo pretpostaviti konstantom. Međutim, za male brzine bi pogonska sila
tada bila vrlo velika, a to nije slučaj. Zato za male brzine za koje je 1.0<Ma ,
pretpostavljamo da je pogonska sila konstantna i jednaka vrijednosti za 1.0=Ma , a za veće
brzine mijenja se prema jednadžbi:
VPT η= ,
gdje je η koeficijent učinkovitosti elise, a P snaga motora. Na osnovi takve prosudbe trebamo
dužinu zalijetanja podijeliti na dva dijela. Od starta do 0s s konstantnom pogonskom silom T:
( )LWDTdx
dVmV kk −−−= µ
2BVAdx
dVV kk += ,
gdje je
( )LD CC
mSB
gmTA
µρ
µ
−−=
−=
2
9.20
Gornja diferencijalna jednadžba od 0=V do 340 =V (što odgovara u normalnim uvjetima
1.0=Ma ) daje dužinu zalijetanja:
222 BVAVdV
BVAdVV
BVAdVVdx WX
kk
++
+=
+=
Polijetanje i sletanje 9-10
++
=
++
+= ∫∫ 2
000
20
20 1ln21arctan100
VAB
BABV
ABBVAVdV
BVAdVVs
VV
WX 9.21
Od ove daljine pogonska sila elise je obrnuto proporcionalna brzini leta te diferencijalna
jednadžba ima oblik:
( )LWDVP
dxdVmV k
k −−−= µη
( )VCBVA
dxdVVVWX ++=+ 2 ,
gdje su
( )
PC
CCmSB
gA
LD
η
µρµ
=
−−=
−=
2 9.22
te je
∫ +++
+=RV
V
WX dVBVAVCVVVss
0
3
2
01 9.23
Taj integral se može u svakom konkretnom slučaju izračunati, ali opća formula je
neprikladna.
9.1.3 Propinjanje zrakoplova - druga faza polijetanja
Neka su moment propinjanja i uzgon zrakoplova linearne funkcije otklona kormila visine i
napadnog kuta:
m
m
m
m
MMMM
LLLL
δα
δα
δα
δα
++=
++=
0
0 9.24
U trenutku kada je zrakoplov dostigao određenu brzinu RV pilot postavlja otklon kormila
visine TOmδ . Tom kutu kormila visine u ravnotežnom stanju odgovara napadni kut TOα .
Prema propisima (FAR Part 25) aerodinamički koeficijent uzgona pri tom napadnom kutu
LTOC treba biti
21.1max
0L
mTOLTOLLLTO
CCCCC
m=++= δα δα 9.25
U trenutku kada je pilot postavio otklon kormila visine TOmδ potreban za odvajanje,
zrakoplov je imao napadni kut 0=α . Kad moment svih sila za os zadnjih kotača postane
Polijetanje i sletanje 9-11
pozitivan zrakoplov se počinje propinjati oko osi zadnjih kotača. U trenutku kad nastaje
odvajanje prednjeg kotača od piste, moment oko osi zadnjih kotača je zbroj momenata:
• od težine koja ima napadnu točku u središtu mase xW ∆⋅− ,
• od aerodinamičkih sila (i poprečne pogonske sile) koje svedene na središte mase
imaju rezultantu silu uzgona L i spreg M , a za os zadnjih kotača imat će moment
xLMM Ac
Ao ∆⋅+= ,
• od pogonskog momenta za os kotača TMM cFc
Fo
rr×−= ρ i
• dopunskog momenta ( ) mVc 0
rrr××Ω ρ prema jednadžbi 6.53. Ako sa λ označimo
kut od horizontalne brzine do pravca OC, intenzitet ovog momenta bit će
( ) ( ) mxVmVmV cc ⋅∆=
+⋅⋅⋅Ω=××Ω 000 2
sin ϑπλρρ &rrr
zato što je xc ∆=λρ cos
.
Vrαx
L
Wx∆
T
O
C
Slika 9-4 Propinjanje zrakoplova
Propinjanje počinje kad zbroj ovih momenata bude veći od nule. Kut propinjanja zrakoplova
mijenja se od početne vrijednosti 0=ϑ do krajnje vrijednosti TOαϑ = . Ta promjena odvija se
prema diferencijalnoj jednadžbi
( ) xmVWLMMdtdI A
cFoO ∆⋅⋅+−++= ϑϑ &
02
2
9.26
OI je moment tromosti zrakoplova za os zadnjih kotača. Kotači za vrijeme propinjanja ostaju
na pisti pa je za vrijeme propinjanja 0=γ , što znači da je napadni kut α jednak je kutu
propinjanja zrakoplova ϑ . Zato je u gornjoj jednadžbi
Polijetanje i sletanje 9-12
mTO
mTOAc
Ac
Ac
Ac
LLLL
MMMM
δϑ
δϑ
δα
δα
++=
++=
0
0 9.27
Pretpostavimo da je prošlo vrijeme TOt od trenutka postavljanja kormila visine u položaj
mTOδ do trenutka kada je napadni kut dostigao ravnotežnu vrijednost TOα . Za to vrijeme
brzina je isto rasla od vrijednosti RV do TOV . Brzinu RV treba tako izabrati da na kraju
propinjanja uzgon bude jednak težini zrakoplova:
( ) WCCCSVmTOLTOLLref
TOm
=++ δαρδα0
2
2 9.28
Druga faza je gotova i započinje treća faza polijetanja. Vrijeme propinjanja LOt je kratko, pa
brzina RV malo manja od brzine OFV .
Ukoliko je opravdano na dijelu puta 2s dok brzine rase od RV do TOV zanemariti
utjecaj promjene napadnog kuta na ubrzanje, možemo integraciju diferencijalne jednadžbe
vršiti do brzine odvajanja TOV . Tada integracijom diferencijalne jednadžbe gibanja 9.9,
dobivamo ukupnu duljinu zalijetanja koja je zbroj prvog dijela gdje nemamo propinja
zrakoplova i drugog dijela na kome se zrakoplov propinje do vrijednosti potrebne za
odvajanje.
∫∫ +=+=TOTO V
V
V
VWXg a
VdVa
dVVsss00
21 9.29
Rezultat integracije je potpuno isti, samo je krajnja brzina ona koja odgovara odvajanju TOV .
Zato treba u jednadžbama 9.21 i 9.24 samo zamijeniti brzinu RV sa TOV . Tako dobivamo za
kvadratni oblik ubrzanja od aerodinamičke brzine novu jednadžbu za ukupnu duljinu
zalijetanja 21 sssg +=
( )( ) ( )( ) ( ) 2
00
2
102
101
212 ln
21ln
22
CVBVACVBVA
CVVVVVVVV
VVCBCVs TOTO
TO
TOWg ++
++⋅+
−⋅−−⋅−
⋅−−
= 9.30
Konstante A, B i C određene su jednadžbama 9.13, a koreni 21 i VV jednadžbom 9.15. U
slučaju konstante pogonske sile bit će ukupna duljina zalijetanja
( ) TOTO
V
V
V
V
WXg CVA
CVVVV
ACVsss
00
2
2
121 ln
21ln
42
++−−
−=+= 9.31
Konstante A i C određene su jednadžbama 9.19, a koreni 21 i VV jednadžbom 9.20.
Polijetanje i sletanje 9-13
9.1.4 Treća faza polijetanja
Brzina TOV je početak treće faze polijetanja zrakoplova. Zrakoplov postaje letjelica, brzina
gibanja više nije paralelna pisti, kut brzine leta Kγ se povećava. Na početku ove faze kut
brzine leta zrakoplova 0=Kγ , i on treba rasti dok ne dostigne vrijednost Cγ potrebnu za
penjanje. Ta promjena kuta brzine Kγ od 0 do Cγ je gibanje u vertikalnoj ravnini koje je
određeno jednadžbama 8.64
γγ
γ
cos
sin
WLdtdmV
WDTdtdVm
−=
−−=
iz kojih smo odredili da je polumjer vertikalnog zaokreta u svakoj točki leta:
Kng
VRγcos
12
−⋅= 9.32
Dok se kut Kγ mijenja od 0 do vrijednosti Cγ , brzina raste od vrijednosti TOV do CV jer se
zrakoplov i dalje ubrzava. Prema FAR-propisima, brzina leta tijekom zaokreta raste od
vrijednosti stallTO VV ⋅= 10.1 do vrijednosti stallC VV ⋅≈ 20.1 kada je obično postignut kut
penjanja Cγ .
1s 2s
0 TOVRV
as3 CV
Slika 9-5
Pogledajmo kako izgleda krivulja vertikalnog zaokreta. Pretpostavimo da za vrijeme
zaokreta pilot ne mijenja otklon kormila visine. Drugim riječima, cijelo vrijeme zaokreta
koeficijent uzgona je max826.0 LL CC ⋅= . Na početku zaokreta bilo je normalno opterećenje u
Polijetanje i sletanje 9-14
trenutku odvajanja 1=n , a polumjer zaokreta je beskonačno veliki. Na kraju zaokreta je
normalno opterećenje
( )19.1
826.02
20.12 max
22
=⋅
=W
CSV
W
CSVLref
stallLref
ρρ
Kut penjanja Cγ je mali te je 1cos ≈Cγ . S tom aproksimacijom je polumjer na kraju zaokreta
( )( )
( ) gV
gV
ngVR stallstall
K
222
6.71189.1
20.1cos
=−
=−
=γ
Krivulja vertikalnog zaokreta ima na početku neizmjeran polumjer zakrivljenosti, a na kraju ti
konačnu vrijednost. Na osnovu toga slijedi da je to neka vrsta spirale. Mi ćemo je zamijeniti s
lukom kružnice. To znači da nam treba neki prosječni polumjer u vertikalnom zaokretu. Taj
prosječni polumjer dobit ćemo ako uzmemo prosječne vrijednosti u jednadžbi za polumjer
zakrivljenosti. To su brzina, normalno opterećenje i γcos . Brzina na početku zaokreta je
stallLO VV ⋅= 10.1 . Ako je na kraju vertikalnog zaokreta brzina dostigla vrijednost stallV⋅20.1 ,
onda je prosječna vrijednost brzine u zaokretu stallV⋅15.1 :
( )092.1
826.02
15.12 max
22
=⋅
⋅
==W
CSV
W
CSV
nLref
stallLref
m
m
ρρ
Ako se uzme u obzir da je sve vrijeme zaokreta kut γ vrlo mali, možemo u prvoj
aproksimaciji pretpostaviti da je sve vrijeme vertikalnog zaokreta 1cos ≈γ . U tom je slučaju
polumjer kružnice
( )( )
( ) gV
gV
ngVR stallstall
Km
mm
222
141092.1
15.1cos
=−
⋅=
−=
γ 9.33
Na osnovi tih aproksimacijama zamjenjuje se putanja za vrijeme zaokreta kružnicom. Zato je
visina na kraju zaokreta, kada je Cγγ = :
( )CRh γcos1−= 9.34
Treća faza završava kad zrakoplov dostigne visinu obsh , koju nazivamo visina nadvisivanja
prepreke (obstacle clearance altitude). Po civilnim standardima mhobs 7.10= (35 ft), a po
vojnim mhobs 2.15= (50 ft). Ako zrakoplov na kraju vertikalnog zaokreta, kada ima potreban
kut penjanja Cγ , nema potrebnu visinu, onda treća faza obuhvaća i dio penjanja pri
konstantnom kutu penjanja Cγ do visine obsh .
Polijetanje i sletanje 9-15
Horizontalna projekcija ovih triju faza leta je duljina polijetanja. Međutim, u pravom
smislu riječi, polijetanje završava na visini od 150 m (500 ft) kad zrakoplov treba uvući
kotače, uvući zakrilca, postaviti motor u režim za penjanje, i time u potpunosti završiti fazu
polijetanja.
9.1.5 Sigurnost polijetanja
9.1.5.1 Duljina piste
Kada je riječ o zrakoplova s više od jednog središnjeg motora, u odjeljku 7.3 vidjeli smo da
postoji jedna minimalna aerodinamička brzina pri kojoj je moguće maksimalnim otklonom
kormila pravca kompenzirati moment skretanja koji nastaje otkazom jednog bočnog motora.
Nazovimo tu brzinu mcaV (minimum control speed). Jasno je da ta brzina mora biti manja od
brzine odvajanja TOV i obično je dosta manja. Ako se otkaz jednog bočnog motora dogodi u
zalijetanju pri brzini failV koja je manja od mcaV zrakoplov mora kočiti, a ako se otkaz motora
dogodi u zalijetanju kad je mcafail VV > , postoje dvije mogućnosti:
• kočiti zrakoplov dok ne stane,
• nastaviti polijetanje s jednim motorom jer se zrakoplov može držati u željenom
pravcu, a poslije polijetanja sletjeti na pistu.
Jasno je da zrakoplov s jednim motorom ima znatno manje ubrzanje, što zahtijeva dužu pistu
od one koju normalno treba s dva motora. Koje od ove dvije mogućnosti treba realizirati? Da
bi odgovorili na to pitanje, promotrimo dijagram na slici 9-6. Na apscisi je brzina zrakoplova
u trenutku otkaza motora failV . Donja krivulja na apscisi ima "put od starta do zaustavljanja"
koji je zbroj dva dijela. U prvom dijelu zrakoplov je ubrzavao s dva motora do brzine failV , a
u drugom djeluje je kočio s jednim motorom od brzine failV do zaustavljanja. I druga krivulja
ima apscisu koja je zbroj dva dijela. Prvi dio je isto pređeni put zrakoplova za vrijeme
ubrzavanja s dva motora od starta do brzine otkaza failV , a drugi je ubrzavanje s jednim
motorom od brzine otkaza failV do brzine odvajanja TOV . Ta ukupna duljina bit će duža ako je
otkaz motora nastao pri manjoj brzini, pa krivulja pada s povećanjem brzine failV . Dijagrama
pokazuje da se te dvije krivulje sijeku za neku brzinu 1V koja se naziva brzina odlučivanja
(decision speed). Ako je u trenutku otkaza 1VV fail < , onda je kraći put do zaustavljanja i pilot
treba kočiti. I obrnuto, ako je u trenutku otkaza 1VV f > , pilot treba nastaviti proceduru
Polijetanje i sletanje 9-16
polijetanja, poletjeti, te onda donijeti odluku što raditi. U gornjem dijagramu krajnja točka
predstavlja brzinu odvajanja TOV , pa ako je otkaz motora i nastao kad je brzina zrakoplov
dostigla tu vrijednost, put do odvajanja isti je kao da nije bilo otkaza.
10 20 30 40 50 60 70 80 900
1000
2000
3000
4000
5000
6000pu
t s [m
]
brzina pri otkazu Vf(i) [m/s]
put do odvajanja
put do zaustavljanja
Slika 9-6 Duljina puta do odvajanja i do zaustavljanja
Prema tome očito je da dužina piste za zalijetanje treba biti iz sigurnosnih razloga veća od one
koju teoretski određujemo. Ta dužina piste za zalijetanje gs mora odgovarati dužini piste ako
je otkaz nastao pri brzini odlučivanja 1V , a ta dužina piste dosta je veća od one u normalnom
zalijetanju ( gs ). Upravo je to jedan od zahtjeva koji mora zadovoljiti dužina piste. Jasno je da
ta brzina 1V mora biti manja od brzini RV , a veća od cmV .
9.1.5.2 Utjecaj vjetra
Pri određivanju dužine piste mora se uzeti u obzir i nepovoljna komponenta vjetra u pravcu
piste. Nepovoljna je komponenta vjetra u smjeru polijetanja. To znači da treba odrediti dužinu
piste iz uvjeta da zrakoplov kome je otkazao jedan motor poslije brzine 1V s tako umanjenim
ubrzanjem, a u uvjetima najvećega dopuštenog vjetra u pravcu i smjeru polijetanja, ima
dovoljnu duljinu piste da postigne aerodinamičku brzinu odvajanja TOV , odnosno ako mu je
motor otkazao prije brzine 1V onda mora pista biti dovoljno duga da može ukočiti prije kraja
Polijetanje i sletanje 9-17
piste. Pored toga treba voditi računa da zrakoplov s jednim motorom mora postići visinu
obstacleh , ako se odvojio na kraju piste.
Kada smo promatrali utjecaj bočne komponente vjetra na stabilnost gibanja
zrakoplova vidjeli smo da bočna komponenta vjetra stvara kut klizanja
WXK
WZ
VVV−
−=βtan
Ako ne otklonimo kormilo pravca, statički stabilan zrakoplov okrenut će se u pravcu vjetra,
za taj kut klizanja, i time nastaviti gibanje u pravcu vjetra, a ne u pravcu piste. Zato treba
otkloniti kormilo pravca (i krilca) kako bi zrakoplov ostao na istom pravcu gibanja duž piste.
Vidjeli smo da postoji u letu neka vrijednost kuta klizanja do koje je moguće kompenzirati
utjecaj bočnog vjetra na pravac gibanja, jer je otklon kormila pravca ograničen nekom
maksimalnom vrijednošću. Prema propisima za konstrukciju zrakoplova, kormilo pravca
mora biti u stanju osigurati pravac leta kada je kut klizanja 010=β . Kut klizanja bit će
najveći kad je najmanja brzina leta, a najmanja brzina leta je u trenutku odvajanja. To znači
da se smije polijetati ako je bočna komponenta vjetra manja od βtanTOV . S obzirom na to što
vjetar nikad nije konstantan, mora se uzeti i određena rezerva zbog trenutnih udara vjetra, pa
se ova vrijednost još umanjuje. Nazovimo je dopuštena vrijednost bočnog vjetra.
9.1.6 Primjeri
9.1.6.1 Primjer 1
Odredit ćemo duljinu zalijetanja dvomotornog zrakoplova do brzine TOV ako nema vjetra i
utjecaj vjetra u pravcu polijetanja intenziteta sm10 . Težina zrakoplova je KNW 3260= .
Referentna površina je 2511 mS = , za konfiguraciju s izbačenim kotačima i djelomice
izbačenim zakrilcima 0364.00 =DC , a za čistu konfiguraciju 0182.00 =DC . Koeficijent
068.0=K , a koeficijent maksimalnog uzgona zrakoplova s djelomice izvučenim zakrilcima
je 80.1max =LC . Koeficijent trenja kotača po pisti je 02.0=µ . Za vrijeme zalijetanja s
djelomice izbačenim zakrilcima 0.1=LC . U prisutnosti tla inducirani otpor pada na 14% od
njegove vrijednosti u letu. Ovisnost pogonske sile motora u KN o aerodinamičkoj brzini
zadana je jednadžbom:
( )[ ]KNVVT 263 1097.41094.212.705 −− ⋅+⋅−⋅=
Za vrijeme zalijetanja je inducirani otpor u prisutnosti tla:
Polijetanje i sletanje 9-18
09500010680140140 22 ....KC.C LiD =⋅⋅=⋅=
te je totalni otpor za vrijeme zalijetanja
0459.00095.00364.00 =+=+= DiDD CCC
Iz jednadžbe dobivamo:
WCSVLref
stall =max
2
2ρ
smCSWV
Lrefstall 1.76
8.1511225.1326000022
max
=⋅⋅
⋅==
ρ
Pilot postavlja otklon kormila visine tako da s djelomice izvučenim zakrilcima bude
koeficijent uzgona:
49.180.1826.0826.0 max =⋅=⋅= LLTO CC
S tim koeficijentom uzgona nastupit će odvajanje od tla pri brzini
WSCVLTO
TO =2
2ρ
smCS
WVTOLref
TO 6.8349.1511225.1
326000022=
⋅⋅⋅
==ρ
Za 0=− Tαα bit će
926.102.03323007052000 =−=−= gg
mTA µ
( ) 3301 1024.6
3323007052001094.2 −− ⋅−=⋅−=−=
mTkB
( ) ( )5
602
10387.1
00.1020.00364.03323002
511225.13323007052001097.4
2−
−
⋅−=
⋅−⋅
⋅−⋅=−−= LD CC
mS
mTkC µρ
Korijeni su
52
5
32
12 38710.1926.16.231
10387.121024.6
22 −−
−
−−±
⋅⋅−⋅−
−=−
±−=
CA
CB
CBV
3.6604.210
2
1
−==
VV
Za slučaj kada nema vjetra VW = 0 , jednadžba za duljinu zalijetanja 9.18 dobiva oblik:
( )( )( ) 12
21
212
2
ln2
ln21
VVVVVV
VVCB
ACVBVA
Cx
LO
LOLOLOg ⋅−
⋅−⋅
−−
++⋅=
Polijetanje i sletanje 9-19
Poslije zamjene 926.1=A , 31024.6 −⋅−=B i 510387.1 −⋅−=C dobivamo:
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
m
.-.x
2
g
2320116701398952444.0ln1862767837.0ln36049
4.2103.6607.833.6604.2107.83ln
3.6604.21010387.121024.69261
7.8310387.17.831024.69261ln10387.12
1
25
3
53
5
=−=⋅+⋅−=
⋅+−⋅−
⋅+⋅⋅−⋅
⋅−−
−⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅−⋅
=
−
−
−−
−
Napravljen je program koji daje ovisnost duljine zalijetanja o vjetru, ( )WXg Vx . On se nalazi na
disketi pod imenom Vjetar.m u direktoriju Performanse\Poletanje. S tim programom
nacrtan je dijagram na slici 9-8, na kojoj se vidi utjecaj vjetra u pravcu polijetanja na duljinu
zalijetanja. Može se reći da je taj utjecaj linearan i da svaki sm1 vjetra u pravcu polijetanja
produžuje put zalijetanja ovog zrakoplova za 42 m.
Ovaj zrakoplov na kraju vertikalnog zaokreta trebao bi imati brzinu leta
smVV stall 3.911.7620.120.1 =⋅=⋅=
Pri toj brzini pogonska sila je
( )( )
KN
VVT
2.5164.871097.44.871094.212.705
1097.41094.212.705263
263
=⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅=−−
−−
0 5 10 15 202200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
put d
o od
vaja
nja
xg [m
]
brzina vjetra Vw [m/s] Slika 9-7 Utjecaj vjetra na duljinu zalijetanja
Polijetanje i sletanje 9-20
Kut penjanja određujemo za konfiguraciju zrakoplova na kraju polijetanja. Kotači su još
izbačeni a zakrilca djelomice kao pri odvajanju, ali više nema utjecaja tla na inducirani otpor.
Zato je 0364.00 =DC , pa je režim leta za maksimalni kut penjanja je
smCK
SWVV
DT 6.119
0182.0068.0
5113260000
225.122
0
====ργ
a toj brzini odgovara pogonska sila
( )( )
KN
VVT
5076.1191097.46.1191094.212.705
1097.41094.212.705263
263
=⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅=−−
−−
Sila otpora je:
KNCSV
D D 3220182.025112
6.119225.122
2
0
2
=⋅⋅⋅
== γρ
0567.03260
322507sin =−
=−
=W
DTCγ
03.3=Cγ
Procjena polumjera zaokreta je
mg
VR stall 826481.91.761414
22
===
te je visina zrakoplova u trenutku kada postigne kut penjanja
( ) ( )mRx
mRh
Ctr
C
4763.3sin8264sin7.133.3cos18264cos1
=⋅===−⋅=−=
γγ
To je veća visina od potrebne visina ( m7,10 ). Prema ovom modelu duljinu treće faze
dobivamo iz jednadžba:
( )CRh γcos1−=
( )Cγcos182647.10 −⋅=
092.29987.0cos =⇒= CC γγ
mRx C 42092.2sin8264sin3 =⋅== γ
To znači da je duljina polijetanja ovog zrakoplova u normalnim uvjetima bez vjetra
mxxg 274042023203 =+=+
Polijetanje i sletanje 9-21
9.1.6.2 Primjer 2
Za prethodni primjer treba nacrtati:
• duljinu puta do odvajanja ako je pri brzini fV otkazao jedan motor, u ovisnosti o toj
brzini
• duljinu do zaustavljanja ako je poslije otkaza pri brzini fV pilot kočio s preostalim
jednim motorom i kočnicama na kotačima.
• Sila kočenja pomoću dva motora je kNT r 6.3520 −= , a koeficijent kočenja kotačima je
20.0=rµ
Konstante pri zalijetanju s dva motora:
926.181.902.03323007052000 =⋅−=⋅−= g
mTA µ
006234.03323007052001094.2 30
2 −=⋅−=−= −
mTkB
( )
( ) 56
03
10385.100.102.00459.03323002
511225.13323007052001097.4
2−− ⋅−=⋅−
⋅⋅
−⋅=
−−= LD CCmS
mTkC µρ
Konstante pri zalijetanju s jednim motorom:
865.081.902.03323002
70520020 =⋅−⋅
=⋅−= gm
TAf µ
003120.03323002
7052001094.22 302 −=
⋅⋅−=−= −
mTkB f
( )
( ) 56
03
10912.100.102.00459.03323002
511225.13323002
7052001097.4
22
−− ⋅−=⋅−⋅
⋅−
⋅⋅=
−−= LDf CCmS
mTkC µρ
Konstante pri kočenju s jednim motorom i kotačima:
( ) ( ) 410451.100.12.00459.03323002
511225.12
0
493.281.92.033230023526002
−⋅=⋅−⋅
⋅−=−−=
=
−=⋅−⋅
−=⋅−=
LrDr
r
rr
r
CCmSC
B
gm
TA
µρ
µ
Prijeđen je put fs s dva motora od brzine 0V do otkaza jednog motora pri brzini fV :
Polijetanje i sletanje 9-22
( )( ) ( )( ) ( ) 2
00
2
102
201
212 ln
21ln
22
CVBVACVBVA
CVVVVVVVV
VVCBCVs ff
f
fWn ++
++⋅+
−⋅−
−⋅−⋅
−−
=
Od tog mjesta dalje radio je samo jedan motor te je prijeđeni put s jednim motorom do brzine
TOV :
( )( ) ( )( ) ( ) 2
2
12
21
212 ln
21ln
22
fffff
TOfTOff
ffTO
fTO
f
Wff VCVBA
VCVBACVVVV
VVVVVVCBVC
s++
++⋅+
−⋅−
−⋅−⋅
−
−=
Te je ukupni put do odvajanja
fn sss +=1
Ako se koči jednim motorom od mjesta otkaza pri brzini fV do zaustavljanja 0=V , prijeđeni
je put za vrijeme kočenja jednim motorom:
( )( ) ( )( ) ( ) 2
12
21
212 ln
21ln
22
rrfrr
r
rf
f
r
rWrr VCVBA
ACVVV
VVVVVCBVCs
++⋅+
−⋅−
−⋅−⋅
−−
=
pa je u tom slučaju ukupni put:
rn sss +=2
Program se nalazi disketi u direktoriju Performanse\Poletanje pod imenom V1decision.m,
a rezultat primjene je dijagram na slici 9-4
9.2 Slijetanje (landing)
9.2.1 Opis slijetanja
Slijetanje započinje s visine obsth . Od tog mjesta počinje se mjeriti duljina slijetanja, pa sve do
zaustavljanja letjelice. Zrakoplov dolazi na slijetanje u planiranju (minimalni pogon), s malim
kutom aγ i s aerodinamičkom brzinom koja prema propisima mora biti veća ili jednaka
stallV⋅3.1 . Slijetanje ima također tri faze:
• prva faza je od visine hobst do visine rh , gdje započinje vertikalni zaokret,
• druga faza je vertikalni zaokret s polumjerom R od visine rh do dodira s pistom,
• treća faza je usporavanje na pisti.
U prvoj fazi slijetanja zrakoplov nastavlja pravolinijsko spuštanje do visine rh koja mu
odgovara za vertikalni zaokret s polumjerom R da bi na kraju zaokreta tangirao pistu. U
zaokretu pilot kontrolira polumjer s promjenom opterećenja n. Prijelaz od kraja zaokreta do
Polijetanje i sletanje 9-23
dodira s pistom treba se ostvariti bez velikog vertikalnog ubrzanja. Usporavanje na pisti
ostvaruje se najprije aerodinamičkim kočnicama, zatim, ako zrakoplov to omogućuje,
motorom i na kraju i mehaničkim kočnicama na kotačima.
9.2.2 Prva faza - spuštanje
Visina obsth odakle počinje slijetanje propisana je ista kao za polijetanje. Na tu visinu
zrakoplov treba doći u planiranju s kutom γ a i brzinom ne manjom od stallV⋅3.1 . Od te točke
zrakoplov nastavlja dalje spuštanje u pravocrtnom letu s istom brzinom do visine rh , koja mu
odgovara za početak zaokreta ( obstr hh ≤ ). Prijeđeni put od visine obsth do visine rh ima
horizontalnu projekcija
a
3 tan γrobst hh
x−
= 9.35
9.2.3 Druga faza - zaokret do dodira piste
Da bi se zrakoplov s visine rh i s kutom poniranja aγ , spustio na pistu po kružnici, potreban
je polumjer
acos1 γ−
= rhR . 9.36
Da bi zrakoplov imao ovaj potreban polumjer pilot postavlja otklon kormila visine u položaj
kome odgovara opterećenje n određeno je jednadžbom 8.66 iz prethodnog poglavlja
agRVn γcos
2
+= . 9.37
Horizontalna projekcija puta bit će:
a2 sin γRx = 9.38
U ovoj fazi dolazi do izražaja vještina pilota jer mora točno procijeniti trenutak kada treba
postaviti otklon kormila da bi na kraju vertikalnog zaokreta, kada je brzina horizontalna
0=γ , opet vratio kormilo visine u položaj za horizontalni let, a zrakoplov bio što bliže pisti.
9.2.4 Treća faza - usporavanje
Na kraju zaokreta, u idealnom slučaju zrakoplov tangira pistu, brzina je paralelna pisti,
pogonska sila (ili snaga) motora je na minimumu. Pri dodiru s pistom zrakoplov odmah koči.
Prvo se uključuju aerodinamičke kočnice, zatim ako zrakoplov ima kočenje motorom, ono se
uključuje odmah poslije aerodinamičkih kočnica. Na kraju se uključuju i kočnice na
Polijetanje i sletanje 9-24
kotačima. Model gibanja zrakoplova na pisti isti je kao u fazi zalijetanja pri polijetanju
zrakoplova, samo što je pogonska sila 0T ili mala pozitivna vrijednost koja odgovara
minimalnoj pogonskoj sili, ili konstantna negativna vrijednost koja odgovara kočenju
motorom. U svakom slučaju sila je u pravcu gibanja zrakoplova po pisti:
( ) gCCSVTF LD µµρ−−−=
2
2
0 , 9.39
pa je ubrzanje te sile
02 <+== CVAmFa , 9.40
gdje je V aerodinamička brzina, a konstante su:
( )LLD CKCCmSC
gmTA
µρ
µ
−+−=
−=
20
0
2
Konstanta C je uvijek negativna, a A može biti i pozitivna i negativna vrijednost, što ovisi o
sili motora 0T , dok je napadni kut gotovo uvijek jednak nuli. Tijekom usporavanja na pisti
treba ovu fazu podijeliti na dijelove jer se ove konstante razlikuju ovisno o načinu kočenja.
Radi lakšeg izvođenja pretpostavimo da su konstante A i C iste duž cijelog puta
kočenja. U točki dodira zrakoplova i piste TD (touch down) brzina leta je zbroj aerodinamičke
brzine TDV i vjetra WV (pozitivan vjetar u pravcu slijetanja), a u točki zaustavljanja
zrakoplova zbroj aerodinamičke brzine 0V i vjetra WV jednak je nuli, te je tada aerodinamička
brzina WVV −=0 . Pređeni put zrakoplova na pisti od točke TD do zaustavljanje je
( ) ( )∫∫
++==
00
TD
WW
TD
KKg a
VVdVVadVVs .
I ovdje pretpostavljamo da je za vrijeme druge faze vjetar WV konstantan te je
∫∫ ++
+=
00
22
V
V
V
VWg
TDTDCVA
VdVCVA
dVVs .
Ako jednadžba 02 =+ VCA ima realne korijene (tj. koeficijenti A i C su suprotnih znakova)
onda je rješenje
( ) ( ) 0
0
0
2
2
1
212 ln
21ln
22 V
V
V
V
Wg
DTD
CVACVV
VVVVC
CVs ++−−
−= , 9.41
Polijetanje i sletanje 9-25
gdje su 1V i 2V korijeni te jednadžbe. Ukoliko nemamo realne korijene (koeficijenti A je
negativan kao i C ) rješenje je
( ) 0
0
0
2ln21 V
V
V
V
Wg
D
TD
CVACA
CVarctgAC
Vs ++
−= . 9.42
Koeficijent trenja µ povećan je zbog kočenja kotača, a te vrijednosti su dane u istoj tabeli u
kojoj su i vrijednosti koeficijenta trenja pri kotrljanju u polijetanju zrakoplova u fazi
ubrzavanja.
9.2.5 Primjer
Isti zrakoplov, čiju smo duljinu zalijetanja izračunali, s izbačenim zakrilcima, s
aerodinamičkim kočnicama i s izbačenim kotačima pri nultom napadnom kutu ima
157.00 =DC , pri izbačenim zakrilcima je 30.0=LC , a utjecaj tla smanjuje inducirani otpor
na 14%. Pogonska sila pri kočenju motorom je KNT 6.3520 −=
Konstante imaju vrijednosti
( )
( ) 523
20
0
10217.930.02.030.0068.014.0157.0103322511225.1
2
025.32.0332300353200
−⋅−=⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅
−=
−+−=
−=−−=−=
LLD CKCCmSC
ggmTA
µρ
µ
Obje su vrijednosti negativne, te je duljina kočenja bez utjecaja vjetra:
( ) mCVAA
Cxg 1079
8510217.9025.3025.3ln
10217.921ln
21
2552 =⋅−−
−⋅
⋅−=
+⋅= −−
Polijetanje i sletanje 9-26
Ukupna energija 10-1
10 UKUPNA ENERGIJA
10.1 Energetska jednadžba
U osmom poglavlju izveli smo jednadžbe gibanja središta mase zrakoplova u ravnotežnom
letu. U ovom poglavlju primijenit ćemo zakon o očuvanju ukupne energije na te jednadžbe, u
slučaju kad je Tαα ≈ i kad nema vjetra:
γφγ
φχγγ
coscossincos
sin
WLmVLmV
DWTVm
−==
−−=
&
&
&
10.1
Prvoj jednadžbi ovog sustava pridružit ćemo jednadžbu koja definira brzinu penjanja kao
derivaciju visine leta
γ
γ
sin
sin
Vdtdh
WDTdtdV
gW
=
−−=
Eliminacijom kuta γ dobivamo
WVDVT
gVh
dtd −
=
+
2
2
.
Uvedimo oznaku
gVhhe 2
2
+=
Zbroj potencijalne i kinetičke energije:
ehWmVmghE ⋅=+=2
2
predstavlja ukupnu energiju (energy state) zrakoplova. To znači da je eh ukupna energija
svedena na jedinicu težine zrakoplova. Nazivamo je specifična energija (specific energy).
Ona predstavlja određenu visinu do koje se zrakoplov može podići, polazeći od stvarne visine
i koristeći svoju kinetičku energiju sve dok je posve ne potroši. Zbog toga se ona naziva i
energetska visina (energy high) i mjeri se u metrima. Za višak snage sveden na jedinicu težine
uvodimo oznaku:
W
VDVTPS−
= 10.2
Ukupna energija 10-2
Nazivamo je višak specifične snage . Ta funkcija ima dimenziju brzine [m/s]. Konačno se
pomoću tih varijabla može energetska jednadžba napisati u obliku
Se P
dtdh
= . 10.3
Ova jednadžba pokazuje da je derivacija specifične energije jednaka višku specifične snage.
10.2 Specifična snaga zrakoplova
10.2.1 Jednadžba specifičnog viška snage
Otpor je ovisan o brzini leta, o normalnom opterećenju i o svojstvima zraka (prije svega o
gustoći):
( ) ( )qSnWKqSCKCCqSD DLD
2
02
0 +=+= 10.4
Zamijenimo li tu ovisnosti otpora u specifični višak snage i poslije dijeljenja s težinom,
dobivamo
VS
KWnVCWS
WVTP DOS
122
23
ρρ
−−= 10.5
Raspoloživa pogonska sila T , ili raspoloživa pogonska snaga VT , veličine su koje
predstavljaju pogonsku grupu zrakoplova. One su poznate zadane funkcije Machova broja Ma
ili brzine leta V ( MaaV ⋅= ) i svojstva zraka.
Da bismo izračunali brojčanu vrijednost specifičnog viška snage trebamo energetskoj
jednadžbi pridružiti aerodinamičke funkcije ( )MaCD0 i ( )MaK , funkciju raspoloživog
pogona ( )hMaT , ili ( )hMaP , i konačno jednadžbe svojstva atmosfere ( )ha i ( )hρ .
Cjelokupan sustav jednadžbi koji definira funkciju ( )nhMaPS ,, ima oblik:
VSKWnVC
WS
WVTP DOS
122
23
ρρ
−−=
( ) ( )MaKKMaCC DOD == i0
( )hMaTT ,= ili ( )hMaPVT a ,=
( ) ( )haah == iρρ
Tako se na desnoj strani energetske jednadžbe pojavljuje određena funkcija o Machovu broju
Ma, visine zrakoplova h i opterećenja n. Tu funkciju od te tri varijable Ma, h i n označit
ćemo sa ( )nhMaPS ,, . Pretpostavimo da smo napravili program u kome su ulazne veličine
Ukupna energija 10-3
Ma, h i n a izlaz je specifičan višak snage SP . Program za izračunavanje SP koristi tri
podprograma: prvi, za aerodinamičke funkcije ( )MaCC DOD =0 i ( )MaKK = , drugi za
raspoloživu silu (ili snagu) i treći za svojstva zraka ovisno o visini. U programu moramo
zadati i dvije konstante masu m ili težinu W i referentnu površinu S. Na slici 10.1 za
zrakoplov koji ima karakteristike lovca (vidi primjer) nacrtana je familija krivulja ( )MaPS za
razna opterećenja n, i za jednu visinu.
Slika 10-1. Funkcija ( )hnMaPS ,, , mh 10000= .
Funkcija ( )nhMaPS ,, lako se računa, ali analitički se ne može riješiti ni po visini h ni po
Machovu broju Ma.
10.2.2 Primjer
Zadane su aerodinamičke funkcije lovca ( )MaCD0 i ( )MaK u potprogramu Energija\otpor.m
za referentnu površinu 0,23=S . Masa letjelice je kgm 6200= , a masa goriva
kgm f 2400= . Motor ima maksimalnu pogonsku silu koja u standardnoj atmosferi ovisi o
Ukupna energija 10-4
visini i Machovu broju ( )MaHT , . Ta ovisnost zadana je potprogramom motor.m u istom
direktoriju kao i treći potprogram ISO.m koji za zadanu visinu vraća temperaturu zraka T,
tlak p, gustoću ρ i brzinu zvuka a. Izračunat ćemo i i nacrtati krivulje ( )MaPS za normalna
opterećenja 5,4,3,2,1=n , a za visinu mh 5000= Za izračunavanje krivulja ( )MaPS
napravljen je program Ps_Ma.m, u MATLAB-u. Pomoću tog programa nacrtane su krivulje
na slici 10-1. I taj program, kao i tri podprograma, nalazi se u direktoriju Energija.
10.3 Usporedba performansi zrakoplova
10.3.1 Specifična snaga u funkciji kutne brzine
Kutna brzina horizontalnog zaokreta važna je performansa borbenih zrakoplova. Bolji je
aerodinamički onaj lovac koji može, pri istom višku specifične snage, ostvariti veću kutnu
brzinu u horizontalnom zaokretu. Da bismo ocijenili tu performansu lovca trebamo krivulju
)(χ&SP
Za poznati zrakoplov koji leti na visini h s Machovim brojem Ma, možemo izračunati
funkciju specifičnog viška snage ovisno o opterećenju n na primjer pomoću programa
( )nhMaPS ,, iz prethodnog poglavlja.
nhMa ,,
MaaV ⋅= 12 −= nVgχ&
SPSP
χ&
Slika 10-2. Dijagram toka za izračunavanje krivulja )(χ&SP
Horizontalna kutna brzina za brzinu leta ( )haMaV ⋅= poznata je funkcija visine h, Machova
broja Ma i opterećenja n:
( ) ( )n,Ma,hhaMa
ngVng χχ && =
⋅−
=−
=11 22
10.6
Dijagram logičnog toka prikazan je je na slici 10-2. Prema tom algoritmu može se napraviti
program koji daje parametarske jednadžbe krivulja ( )&χ PS . Parametar je n, ako su Ma i h
Ukupna energija 10-5
zadani. Na slici 10.3 prikazana je krivulja )(χ&SP koja je izračunana za borbeni zrakoplov iz
primjera u prethodnom poglavlju. Program pod imenom Ps_Hit.m nalazi se u istom
direktoriju Energija jer koristi iste potprograme kao i program Ps_Ma.m .
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Hit [rad/s]
Ps
[m/s
]
Slika 10-3. Ovisnost viška specifične snage o kutnoj brzini u horizontalnom zaokretu
za Machov broj 2.1=Ma i visinu mh 10000=
Sa slike vidimo da pri 0=SP ovaj lovac može ostvariti kutnu brzinu
sstupnjasrad 3.3057.0 ==χ& .
Smatra se [20] da je značajno bolji onaj zrakoplov ako pri istoj snazi ima kutnu brzinu veću
za 0.035 rad/s (2 stupnja po sekundi)
10.3.2 Krivulje normalnog opterećenja za PS=0
Za relativnu ocjenu performansi borbenih zrakoplova najviše se upotrebljava dijagram na
kome su krivulje ( ) consthMan =, za 0=SP koje odgovaraju ravnotežnom stanju u letu.
Iz jednadžbe 0=SP dobivamo
( ) 022
23
=−−VSWKnMaC
WSV
WVT
DO ρρ
Tu jednadžbu rješavamo po normalnom opterećenju:
Ukupna energija 10-6
( ) ( )KWVSMaC
WSV
WVTMahn DO 22
,3 ρρ
−= 10.7
U MATLAB-u postoji naredba contour koja nam crta u koordinatnom sustavu Ma na apscisi i
h na ordinati krivulje ( ) constMahn =, . Pomoću te naredbe napravili smo program Ps_0.m
kojim smo nacrtali krivulje na slici 10-4 za isti zrakoplov lovac kao u prethodnom poglavlju.
Slika 10-4. Krivulje ( ) consthMan =, za 0=SP
Bolji zrakoplov ima krivulju ( ) consthMan =, koja obuhvaća krivulju njegova suparnika jer
može s istim Machovim brojem na istoj visini razviti veće opterećenje, ili na istoj visini pri
istom oterećenju može letjeti u većem intervalu Machovih brojeva.
Ukupna energija 10-7
10.4 Područje leta i optimalno penjanje
10.4.1 Krivulje Ps(Ma,h)=const za određeno opterećenje n
Vidjeli smo da se penjanje odvija s konstantnim opterećenjem (blisko jedinici). U
koordinatnom sustavu Ma-h (na horizontalnoj osi je Machov broj, a na vertikalnoj osi je
visina) možemo nacrtati familiju krivulja s konstantnim opterećenjem n (na primjer za 1=n ),
a za različito constPS = .
Slika 10-5. Krivulje ( ) consthMaPS =, , za 1=n za zrakoplov lovac.
Znači da svaka krivulja familije odgovara jednoj vrijednosti ( ) consthMaPS =, , a sve krivulje
familije imaju isto opterećenje constn = :
constqS
VWKnCW
VqSWVTP DS =−−= 2
0 10.8
Familija krivulja za 1=n posebno je važna jer je to slučaj horizontalnog leta, a upotrebljava
se i za optimalnu putanju penjanja. Oblik ovog dijagrama prikazan je na slici 10-5 za lovac
Ukupna energija 10-8
kao primjer iz prethodnog poglavlja. Program Ps_const.m kojim je nacrtan taj dijagram nalazi
se u istom direktoriju Energija.
Ti se dijagrami ne upotrebljavaju samostalno. Njihova je uporaba objašnjena u
slijedeća dva odjeljka.
10.4.2 Područje uporabe zrakoplova
U prethodnom poglavlju o performansama (odjeljak 8.1.4) vidjeli smo da s obzirom na
raspoloživu snagu motora na svakoj visini u horizontalnom letu postoje minimalna i
maksimalna brzina leta (ili Machov broj). Te veličine, ovisno o visini, čine ovojnice koje
ograničavaju područje mogućih režima horizontalnog leta. U ovom poglavlju imamo krivulje
0=SP , koje ograničavaju područje u kome je snaga motora veća ili jednaka potrebnoj snazi
kad je 1=n . Npr u horizontalnom letu je 1=n , pa nam krivulja 0=SP određuje područje
mogućih horizontalnih letova. Zato bi za isti zrakoplov ovojnice horizontalnog leta iz
odjeljaka 8.14 bile iste s krivuljama 0=SP . Na slici 10-6 prikazane su te krivulje 0=SP za
jedan borbeni zrakoplov. Najviša točka te krivulje predstavlja apsolutni vrhunac leta (absolute
ceiling).
Slika 10-6. Operativne ovojnice
Ukupna energija 10-9
Za neke zrakoplove vrhunac je vrlo velik te se postavlja pitanje preživljavanje pilota u
slučaju njegova izbacivanja. Smatra se da je na visinama većim od 15 km (50000 ft) potrebna
specijalna oprema koju imaju astronauti da bi čovjek mogao preživjeti. S obzirom da piloti
nemaju tu opremu, oni ne mogu biti van kabine zrakoplova iznad 15 km. Ako je apsolutni ili
praktični vrhunac iznad te visine, onda se ograničava visina leta do granice preživljavanja
pilota izvan kabine.
Dinamički tlak q predstavlja ima neposrednu ulogu u površinskom naprezanju
konstrukcije, te njegovu maksimalno dopuštenu vrijednost propisuje konstruktor, jer je to
vrijednost s kojom je analizirano naprezanja konstrukcije. Tako je za borbene zrakoplove ta
granica oko Pak100 . Na slici 10-6 ta krivulja označena je maxq .
Na velikim visinama pojavljuje se problem ponovnog pokretanja motora ako se on
ugasi, jer je gustoća zraka mala. Tu gornju granicu propisuje proizvođač motora, jer ona ovisi
i o brzini leta zato što se motor lakše pokrene ako je brzina zrakoplova veća. Kako gustoća
pada s visinom, tako se ta granica dinamičkog tlaka pomiče prema većim brzinama.
I tlak na ulazu usisnika može imati određeno ograničenje. Pri velikim brzinama leta i u
donjim slojevima može biti tlak na ulazu usisnika prevelik.
Konačno, na velikim brzinama i aerodinamičko zagrijavanje može biti ograničenje,
što ovisi o materijalu na površini onih dijelova koji su najviše izloženi aerodinamičkom
zagrijavanju. Unutar svih tih krivulja nalazi se područje normalne uporabe zrakoplova.
10.4.3 Minimalno vrijeme penjanja
Bez ikakvih problema možemo nacrtati i krivulje consthe = u koordinatnom sustavu Ma-h
gdje već imamo krivulje ( ) consthMaPS =, (za constn = kojim izvodimo penjanje).
Jednadžba specifične energije eh (ukupna energija zrakoplova svedena na jedinicu mase):
constg
Vhhe =+=2
2
10.9
( ) consthMaghah e ==+ 2
2
2 10.10
Tako, kroz jednu točku ( )hMa, prolazi jedna krivulja ( ) consthMahe =, i jedna krivulja
( ) consthMaPS =, (za određeno n). To znači da je u toj točki, na visini h pri Machovu broju
Ma, energetska visina consthe = i specifični višak snage constPS = . Slika 10-7 nacrtana je
pomoću programa Pshe_const.m koji se nalazi na disketi u direktoriju Energija.
Ukupna energija 10-10
Slika 10-7 Familija krivulja ( ) consthMaPS =, i ( ) consthMahe =,
za zrakoplov lovac kada je 1=n
Iz energetske jednadžbe
Se P
dtdh
=
dobivamo
S
e
Pdh
dt =
Vrijeme prelaska iz režima leta 11 Ma,h kome odgovara energetska visina 1eh , u režim leta
22 Ma,h kome odgovara energetska visina 2eh , određeno je integralom:
∫=2
1
1e
e
h
he
S
dhP
t 10.11
Da bismo izračunali ovaj integral, trebamo znati funkciju ( )eS hP . Ta funkcija je niz točaka
kroz koje predstavljaju promjenu režima leta hMa, od početnog režima leta 11, hMa koji
predstavlja točku 1 u krajnji režim leta 22 , hMa koji predstavlja točku 2. Točke možemo
Ukupna energija 10-11
definirati pomoću koordinata hMa, kao na dijagramu slika 10-8 ili pomoću krivulja koje
prolaze kroz tu isu točku Se Ph , .
Slika 10-8. Prelazak iz stanja 2.0;1000 == Mah u stanje 5.1;14000 == Mah
za minimum vremena
Da bi vrijeme bilo minimalno, treba režim leta mijenjati tako da vrijednosti funkcij
( )eS hP budu najveće moguće. Režim leta znači određeni Machov broj Ma na zadatoj visini h .
Te dvije vrijednosti predstavljaju određenu točku u dijagramu Ma-h. Kroz tu točku prolaze
dvije krivulje ( ) consthMahe =, i ( ) consthMaPS =, . Ta točka može biti pretstavljena krivo-
linijskim koordinatama Se Ph . Zamislimo da mijenjamo tako režim leta da točke na dijagramu
sve nalaze na krivulji ( ) consthMahe =, . Vrijednosti SP od jedne do druge točke će rasti, a
zatim opadati zbog oblika krivulja ( ) consthMaPS =, , a bit će najveća u onoj točki u kojoj se
krivulje ( ) consthMahe =, i ( ) consthMaPS =, tangiraju. To znači da iz točke koja
predstavlja režim leta 1 treba ići u režim leta koji predstalja točka 2 kroz kočke u kojima su
Ukupna energija 10-12
krivulje eh i SP tangentne jedna na drugu. Dok krivulje consthe = idu pravilno, krivulje
constPS = za vrijednosti Machova broja u transsonici su nepravilne zbog nepravilnog toka
funkcija ( )MaCD0 i ( )MaK . Potrebna snaga raste u transsonici, što ima za posljedicu
stvaranja zatvorene krivulje constPS = . Ako prijelaz iz režima leta 1 u režim leta 2 vodi
pored te zatvorene krivulje, treba režim leta mijenjati duž consthe = da bi se opet išlo kroz
točke koje imaju zajedničke tangente za krivulje eh i SP . Opravdanje za ovakav postupak jest
činjenica da kada mijenjamo režim leta po krivulji consthe = , onda je 0=edh , te se
vrijednost integrala ne povećava.
10.4.4 Penjanja s najmanjom potrošnjom goriva
Izbor promjene režima leta u penjanju može se temeljiti i na najmanjoj potrošnji goriva. Da bi
se odredila promjena režima leta u penjanju tako da je najmanja potrošnja goriva, trebamo
funkciju Sf - prirast specifične energije po jedinici goriva (fuel specific energy)
Sf
e fdmdh
=−
10.12
Ako zrakoplov ima mlazni motor za koji je potrošnja goriva proporcionalna pogonskoj sili,
onda je
( )nhMafTC
PdtTC
dtPdmdh
f ST
S
T
S
f
eS ,,===
−= 10.13
Drugim riječima prirast specifične energije po jedinici gorivi također je funkcija Machova
broja, visine i normalnog opterećenja. Za zadano opterećenje n, na desnoj strani je funkcije
Machova broja Ma i visine leta h, pa je za određeno opterećenje pri penjanju:
( )h,Maff SS = 10.14
Na slici 10-9 prikazane su funkcije ( ) consth,Maf S = za normalno opterećenje 1=n . Iz
definicije za funkciju Sf dobiva se da je količina goriva od režima leta 1 do režima leta 2:
∫=−=∆−2
121
1e
Sfff dh
fmmm 10.15
Da bi se iz režima leta 1 prešli u režim leta 2 mi prolazi se kroz razne režime leta. Svakom
režimu leta odgovara jedna točka, jedna visina h i jedna brzina Ma, ili jedna specifična
ukupna energija eh i jedan prirast specifične energije po jedinici goriva Sf . Tako pri
Ukupna energija 10-13
prijelazu iz režima leta 1 u režim leta 2 ti parovi vrijednosti Se f,h predstavljaju točke puta
duž kojega treba izračunati ovaj integral. Da bi na tom putu bila najmanja potrošnja goriva
treba režime leta mijenja duž točaka u kojima je Sf u maksimumu. Od svih točaka na krivulji
consthe = bit će Sf u maksimumu u točkama u kojima se krivulje ( )h,Maff SS = i
( ) consthMahe =, tangiraju. Drugim riječima, od svih točaka s istom ukupnom energijom eh
u tim točkama je funkcija Sf u maksimumu. Te točke vidimo na slici 10-9.
Slika 10-9. Prijelaz iz energetskog stanja 1 u stanje 2 s najmanjom količinom goriva
Ukupna energija 10-14
Model leta 6DOF 11-1
11 MODEL LETA SA 6 STUPNJEVA SLOBODE GIBANJA
11.1 Opće odrednice
U ovoj knjizi razmatraju se problemi upravljivosti, stabilnosti, polijetanje i slijetanje a
posebno dinamičko ponašanje zrakoplova pri upravljanju u odnosu na Zemlju. Kako se
Zemlja okreće kutnom brzinom EΩr
, gibanje zrakoplova u odnosu na Zemlju jest relativno
gibanje, okretanje Zemlje je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u svemiru je apsolutno
gibanje. Pri izučavanju relativnoga gibanja osim realnih sila treba dodati i sile tromosti. U
ovom slučaju to su dvije sile tromosti: centrifugalna sila zbog rotacije Zemlje i Coriolisova
sila. Time smo uzeli u obzir bitnu činjenicu da je let u odnosu na Zemlju relativno gibanje.
U ovom knjizi ograničili smo se na krutu letjelicu. Zrakoplov kao kruto tijelo ima šest
stupnjeva slobode te zato ovaj model nazivamo skraćeno 6DOF od engleskog punog naziva
six degrees of freedom. Čine ga četiri matrične jednadžbe:
• derivacija vektora položaja središta mase letjelice,
• derivacija brzine leta središta mase letjelice,
• derivacija kinetičkog momenta letjelice za središte mase,
• derivacija stava letjelice.
Budući da ne izučavamo probleme navigacije, zanemarit ćemo Zemljanu zakrivljenost.
Zanemarivanjem zakrivljenosti Zemlje, nošeni koordinatni sustav ostaje sve vrijeme leta
paralelan sam sebi, tj on ima samo translatorno gibanje u odnosu na zemlju. Kako lokalni
koordinatni sustav miruje u odnosu na zemlju, u proučavanju relativnog gibanja ta dva
koordinatna sustava, lokalni i nošeni, nemaju kutnih brzina, njihov međusobni kutni položaj
je uvijek isti. Da bismo pojednostavili izvođenja, obično ih biramo tako da su im osi paralelne
kao na slici 11-1. Za tako izabrane koordinatne sustave je matrica transformacije iz jednog u
drugi
−=
=
010100001
2π
XOL LL
jer nošeni dobivamo rotacijom lokalnog oko x osi za kut 2π .
Model leta 6DOF 11-2
Lx
Ly
Lz
Ox
Oy
Oz
nošeni k.s.
lokalni k.s.
Slika 11-1Položaj nošenog u odnosu na lokalni koordinatni sustav
11.1.1 Derivacija vektora položaja
Vektor položaja rr počinje u ishodištu lokalnog koordinatnog sustava (vezan za Zemlju) i
završava se u središtu mase letjelice. Njegove projekcije na osi lokalnog koordinatnog sustava
su:
[ ]Tzyx=r 11.1
Brzinu leta definirali smo kao brzinu u odnosu na Zemlju, a to znači da su komponente brzine
leta u lokalnom koordinatnom sustavu derivacije komponenata vektora položaja.
=
LK
LK
LK
wvu
zyx
&
&
&
11.2
To pišemo matrično ovako:
LKVr =& 11.3
To je vektorska jednadžba čijom integracijom dobivamo koordinate središta mase letjelice. Za
tu integraciju potrebne su komponente brzine leta u lokalnom koordinatnom sustavu. Kako
komponente brzine leta [ ]TKKKK wvu=V metodom 6DOF dobivamo duž osi tromosti
letjelice, onda ovu vektorsku jednadžbu koristimo u obliku
KLF VLr =& 11.4
ili
Model leta 6DOF 11-3
=
K
K
K
LF
wvu
zyx
L&
&
&
11.5
11.1.2 Derivacija brzine leta
Kao što smo to rekli u poglavlju 6.1.1 po definiciji su komponente relativnog ubrzanja
jednake derivacijama komponenata relativne brzine u prenosnom koordinantnom sustavu. To
znači da je relativno ubrzanje
( )LK
Lr dt
d Va =
S obzirom na to da su komponente brzine [ ]TKKKK wvu=V poznate duž glavnih osi
tromosti letjelice, a taj koordinatni sustav ima kutnu brzinu Ωr
u odnosu na zemlju, čije su
komponente duž tih istih glavnih osi tromosti [ ]Trqp=Ω , bit će prema odjeljku 1.1.3
komponente relativnog ubrzanja duž glavnih osi tromosti
KKr VVa &+Ω= ~ 11.6
Za vrijeme leta zrakoplov mijenja masu, pa se a priori na njega ne može primijeniti Newtonov
zakon, prema kojemu je produkt mase zrakoplova s relativnim ubrzanjem jednak zbroju
vanjskih sila i sila tromosti. Zrakoplov se mora promatrati kao materijalni sustav promjenljive
mase. Taj sustav je definiran vanjskom površinom zrakoplova na kojoj se nalaze ulazne
površine uS kroz koje ulazi zrak i izlazne površine iS kroz koje istječu plinovi, produkti
izgaranja. Na takav sustav primjenjuje se načelo očvršćivanja (odjeljak 6.3.5) po kojemu
umjesto zrakoplova s promjenljivom masom, promatramo drugi fiktivni zrakoplov konstantne
mase Sm koja je jednaka masi zrakoplova u promatranom trenutku ( )tm . To znači da je u
svakom trenutku drugi očvrsnuti sustav. Na taj očvrsnuti sustav u kontrolnoj površini
možemo primijeniti Newtonov zakon klasične mehanike za relativno gibanje 6.24:
( )~ &Ω V VR
g aK K+ = + + −m CK . 11.7
Rezultantu R čine:
• aerodinamička sila [ ]TZYX čije su komponente duž glavnih osi tromosti zrakoplova,
• pogonska sila [ ]TZYX FFF koja je objašnjena detaljno u odjeljku 6.4 za slučaj
mlaznog motora i 6.5 za slučaj elisnog pogona,
Model leta 6DOF 11-4
• vektor gr je zbroj ubrzanja privlačne sile Zemlje i prijenosnog centrifugalnog ubrzanja
uslijed rotacije Zemlje. I ako on ovisi o geografskoj širini i visini, ovdje usvajamo da je
vektor gr konstantan, intenziteta 806169. , po pravcu vertikalan, a po smjeru prema dolje.
U gornjoj matričnoj jednadžbi zanemarujemo Coriolisuvu silu tromosti pa matrična jednadža
gibanje središta mase zrakoplova ima oblik:
( )
+
+
=+g
mFFF
ZYX
m FO
Z
y
x
A
A
A
KK 00
~ LVV &Ω 11.8
Komponente aerodinamičke sile poznate su nam duž glavnih osi tromosti zrakoplova obično u
obliku:
( )
( )
( )mAZ
A
nA
YA
AX
A
qMaCSVZ
rpMaCSVY
MaCSVX
δααρ
δδβρ
βαρ
,,,,2
,,,,2
,,2
2
2
22
&
l
=
=
=
11.9
Za transportne zrakoplove napadni kut i kut klizanja nisu veliki pa možemo aerodinamičke
koeficijente linearizirati po ovim varijablama.
mZZqZZZZ
nYYrYpYY
XXXX
m
n
CqCCCCC
CrCpCCC
CCCC
δαα
δβ
βα
δαα
δβ
βα
++++=
+++=
++=
∗∗
∗∗
&&0
20 2
11.10
11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta
Kinetički moment gibanja rH kao i aerodinamički i pogonski moment uzimamo za središte
mase. Komponente kinetičkog momenta duž osi koordinatnog sustava letjelice jednake su
produktu tenzora tromosti I i vektora kutne brzine letjelice Ω .
ΩIH =
Budući da smo usvojili glavne osi tromosti, tenzor tromosti ima samo članove na dijagonali.
To su momenti tromosti za te osi pa su komponente kinetičkog momenta za glavne osi
tromosti
( )( )
( )
( )( )( )
=
=
rtIqtIptI
rqp
tItI
tI
z
y
x
z
y
x
000000
H
Model leta 6DOF 11-5
Zbog promjenljivosti momenata tromosti s vremenom, jer zrakoplov nije tijelo konstantne
mase, na derivaciju toga momenta ne može se primijeniti teorem o derivaciji kinetičkog
momenta iz klasične mehanike. I ovdje se mora primijeniti načelo očvršćivanja (prema 6.3.5),
prema kojemu određujemo derivaciju kinetičkog momenta letjelice koja ima u promatranom
trenutku isti tenzor tromosti ali konstantan ( )tS II = . Na tu očvrsnutu letjelicu primjenjujemo
zakon o derivaciji kinetičkog momenta iz klasične mehanike:
Fs
MMdtHd rrr
+=
Budući da su komponente kinetičkog momenta poznate duž glavnih osi tromosti ΩIH = ,
koje imaju kutnu brzinu kao i letjelica [ ]Trqp=Ω , komponente derivacije kinetičkog
momenta duž istih osi izračunavamo prema odjelu 1.1.3 po jednadžbi SS HH &+Ω~ .
S obzirom na to što se radi o očvrsnutoj letjelici, prilikom deriviranja komponenata
kinetičkog momenta SH& tenzor tromosti trebamo smatrati konstantnim:
( )( )( )
=
=rtIqtIptI
HHH
Z
Y
X
SZ
SY
SX
S
&
&
&
&
&
&
&H ,
iako su momenti tromosti funkcije vremena. Izjednačavanjem derivacije kinetičkog momenta
i zbroja momenata, duž osi tromosti bit će
FAS ~ MMHH +=+ Ω& . 11.11
Komponente aerodinamičkog momenta za središte mase AM duž glavnih osi tromosti
zrakoplova dane su obično jednadžbama:
( )
( )
( ).,,,,2
,,,,2
,,,,,2
,
2
2
2
nnA
mmA
nA
rpMaSbCVN
qMaCcSVM
rpMaSbCVL
δδβρ
δααρ
δδβρ
l
ll
&
=
=
=
11.12
Za transportne su zrakoplove kutovi α i β mali, pa je moguće aerodinamičke koeficijente
momenata linearizirati po ovim varijablama. Tada oni imaju oblik:
Model leta 6DOF 11-6
C C C p C r C C
C C C C C q C
C C C r C p C C
p r n
m m m m mq m m
n n nr np n n n
n
m
n
l l l l l l l
l
l
l
= + + + +
= + + + +
= + + + +
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
β δ δ
α α δ
β δ δ
β δ δ
α α δ
β δ δ0 & & 11.13
Pogonski moment za središte mase FMr
ima komponente duž glavnih osi tromosti
[ ]TFFFF NML=M , 11.14
Njih smo detaljno objasnili u odjeljku 6.4 za slučaj mlaznog motora i u odjeljku 6.5 za slučaj
elisnog pogona.
11.1.4 Derivacija stava ili parametara
U prvoj matričnoj jednadžbi treba nam matrica transformacije OFL . Da bismo odredili tu
matricu transformacije, trebaju nam ili
• stav zrakoplova [ ]Tψϑφ=s ili
• Eulerovi parametri [ ]T0 eeee 321=p .
Ako se odlučimo za stav s, onda je
( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅= , 11.15
a kutove dobit ćemo iz kutne brzine letjelice Ω . U poglavlju 1.3.3, izveli smo jednadžbu
koja daje derivaciju stava kada znamo kutnu brzinu letjelice:
Ω⋅= −1Rs& ,
gdje je [ ]Tψϑφ=s i
−
−=
θφφθφφ
θ
coscossincossincos
sin
00
01R , 11.16
ili u razvijenom obliku
−=
rqp
coscoscossinsincos
tgcostgsin
θφθφφφθφθφ
ψθφ
001
&
&
&
. 11.17
Ukoliko se odlučimo raditi s Eulerovim parametrima e onda na mjesto matrične
diferencijalne jednadžba ( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ ,& , imamo matričnu diferencijalnu jednadžbu
parametara
ΩT
21 Gp =& 11.18
Model leta 6DOF 11-7
ili u razvijenom obliku
−−
−−−−
=
rqp
eeeeee
eeeeee
eeee
012
103
230
321
3
2
1
0
21
&
&
&
&
. 11.19
U tom slučaju matrica transformacije, određena je jednadžbom
−++−
−−++
+−−+
=
21
21
21
2
20
2310322013
103220
223021
2013302120
21
eeeeeeeeee
eeeeeeeeee
eeeeeeeeee
OFL 11.20
11.2 Model 6DOF u simulatorima leta
Okosnicu modela čine četiri matrične jednadžbe: derivacija vektor položaja (11.4), derivacija
vektora brzine leta (11.8), derivacija vektor kinematičkog momenta (11.11) i derivacija stava
ili derivacija Eulerovih parametara (11.18).
KLF VLr =&
( ) gLFRVV AFOKK mm ++=+Ω &~
FAS ~ MMHH +=+ Ω&
Ω⋅= −1Rs& , ili ΩT
21 Gp =& .
U tim jednadžbama ima 12 nepoznanice:
ψθφrqpwvuzyx KKK
Međutim, u tim jednadžbama imamo još promjenljivih veličina, eksplicitno i implicitno.
Eksplicitno to su masa zrakoplova i tenzor tromosti, a implicitno to su u aerodinamičkim
silama i momentima: aerodinamička brzina, napadni kut i kut klizanja, ako i karakteristike
zraka gustoća i brzina zvuka koja je potrebna radi određivanja Machovog broja.
Masa zrakoplova je zbroj mase letjelice, tereta i goriva. Tijekom leta prve dvije su
konstantne i označavamo ih sa Lm , a masa goriva opada ovisno o potrošnji goriva. Potrošnja
goriva označava se sa FC predstavlja masu gorivu koja se troši u jedinici vremena Ona se
može izraziti specifičnom potrošnjom PC , koja predstavlja masenu potrošnju goriva u
jedinici vremena po jedinici snage motora, ili TC koja predstavlja masenu potrošnju u jedinici
Model leta 6DOF 11-8
vremena po jedinici sile motora. Ukupna masa zrakoplova je zbroj ( ) ( )tmmtm GL += .
Deriviranjem te jednadžbe je Gmm && = , pa je
⋅⋅
==motP
motP
PCPC
FCdtdm 11.21
S obzirom da je i masa zrakoplova određena diferencijalnom jednadžbom imamo trinaest
varijabla koje su određene diferencijalnim jednadžbama:
mrqpwvuzyx KkK ψϑφ . 11.22
One čine jedan vektor koji nazivamo vektor stanja letjelice.
Promjena tenzora tromosti nastaje zbog promjene mase i kao posljedica pomjeranja
središta mase zbog potrošnje goriva. Zato je jedan od načni određivanja tenzora tromosti
napraviti funkciju
( )GmII = 11.23
Kada konstrukcijska rješenja osiguravaju male promjene središta mase zbog potrošnje goriva,
može se taj utjecaj zanemariti. Onda je utjecaj promjene mase na tenzor tromosi linearan, pa
približna jednadžba promjene tenzora tromosti može biti:
( ) ( )0
0
IIm
tmt = . 11.24
Pored varijabla vektora stanja, promjenljive mase i tenzora tromosti u jednadžbama
imamo još varijabla, koje su neophodne za određivanje aerodinamičkih sila i momenata:
napadni kut i njegova derivacija po vremenu, kut klizanja. gustoća zraka, brzina zvuka koja
nam je potrebna za Machov broj i aerodinamička brzina.
Da bi odredili napadni kut i kut klizanja prema jednadžbama:
Vvuw
wvuV
=
=
++=
β
α
sin
tan
222
11.25
potrebne su nam sve komponente aerodinamičke brzine. U sustavu diferencijalnih jednadžbi,
tj. u vektoru stanja, nema komponenata aerodinamičke brzine već samo komponenata brzine
leta. Aerodinamičku brzinu određujemo iz jednadžbe WK VVVrrr
−= . Komponente vjetra
poznate su u lokalnom odnosno u nošenom koordinatnom sustavu. Projiciranjem ove
Model leta 6DOF 11-9
jednadžbe na koordinatni sustav letjelice dobivamo tražene komponente aerodinamičke
brzine:
−
=
OW
OW
OW
FO
k
k
k
wvu
wvu
wvu
L 11.26
U projekcijama aerodinamičke sile i momenta pojavljuje se i derivacija napadnog kuta.
Određujemo je deriviranjem jednadžbe uwtan =α . Tako dobivamo
22 wuuwuw
+−
=&&
&α 11.27
Derivacije aerodinamičke brzine i njenih komponenata dobivamo deriviranjem matrične
jednadžbe koja definira komponente aerodinamičke brzine:
−
+
=
OW
OW
OW
OFOW
OW
OW
OF
k
k
k
wvu
wvu
~
wvu
wvu
&
&
&
&
&
&
&
&
&
LLΩ 11.28
Derivacije komponenata brzine leta su poznate, a derivacije vjetra trebaju biti zadane (udari
vjetra). Ako vjetar nije funkcija vremena, drugi se član na desnoj strani jednadžbe poništava.
Za određivanje gustoće zraka i brzine zvuka u zraku najčešće koristimo podatke o
standardnoj atmosferi. Za taj slučaj ove jednadžbe dane su u prilogu B.
( )( )yaa
y== ρρ
11.29
Ukoliko želimo simulirati let u nekoj drugoj atmosferi onda se koristimo mjerenjima
temperature, tlaka i vlažnosti zraka ovisno o visini (sondaža atmosfere, vidi prilog B), a zatim
na temelju tih podatak određujemo promjenu gustoće i brzine zvuka ovisno o visini.
Sad smo u mogućnosti napisati cjelokupan razvijen sustav jednadžba koji čini model
6DOF
=
− K
K
K
OF
wvu
yzx
L&
&
&
11.30
+
+
+
⋅
−−
−−=
gFFF
mZYX
mwvu
pqpr
qr
wvu
FO
Z
y
x
A
A
A
K
K
K
K
K
K
00
11
00
0L
&
&
&
11.31
Model leta 6DOF 11-10
( )( )( )
( )( )( )
+
+
⋅
−−
−−=
F
F
F
A
A
A
Z
Y
X
Z
Y
X
NML
NML
trItqItpI
pqpr
qr
tIrtIqtIp
00
0
&
&
&
11.32
−=
rqp
coscoscossinsincos
tgcostgsin
θφθφφφθφθφ
ψθφ
001
&
&
&
11.33
⋅⋅
==motP
motP
PCPC
FCdtdm 11.34
Matricu transformacije FOL možemo odrediti ili pomoću de Sparreovih kutova tada ima oblik
( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅= 11.35
U ovom slučaju vektor stanja ima trinaest komponenti. Te su veličine zavisne varijable, a
vrijeme je nezavisna varijabla.
Ako umjesto kutova de Sparre koristimo Eulerove parametre. U tom slučaju namjesto
matrične diferencijalne jednadžba ( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ ,& , tj. na mjesto tri diferencijalne jednadžbe
11.32, treba uzeti matričnu diferencijalnu jednadžbu Eulerovih parametara ΩT
21 Gp =& , a to
znači na mjesto tri diferencijalne jednadžbe 11.32 imamo četiri diferencijalne jednadžbe
parametara
−−
−−−−
=
rqp
eeeeee
eeeeee
eeee
012
103
230
321
3
2
1
0
21
&
&
&
&
, 11.36
a matrica transformacije OFL ima oblik:
−++−
−−++
+−−+
=
21
21
21
2
20
2310322013
103220
223021
2013302120
21
eeeeeeeeee
eeeeeeeeee
eeeeeeeeee
OFL . 11.37
Vektor stanja ima četrnaest komponenta
meeeerqpwvuyzx KKK 3210
Pored tih varijabli koje čine vektor stanja, a koje su određene diferencijalnim jednadžbama
imamo varijable koje su određene algebarskim jednadžbama. To su:
Model leta 6DOF 11-11
• komponente aerodinamičke brzine:
−
=
OW
OW
OW
FO
k
k
k
wvu
wvu
wvu
L 11.38
• derivacije komponenata aerodinamičke brzine:
−
+
=
OW
OW
OW
OFOW
OW
OW
OF
k
k
k
wvu
wvu
~
wvu
wvu
&
&
&
&
&
&
&
&
&
LLΩ 11.39
• komponente vjetra ovisne o visini
( )( )hvv
huuOW
OW
OW
OW
=
= 11.40
• napadni kut α i njegovu derivaciju po vremenu α& , kao i kut klizanja β
Vvuw
wvuV
=
=
++=
β
α
sin
tan
222
11.41
22 wuuwuw
+−
=&&
&α 11.42
• tenzor tromosti
( )mII = . 11.43
• ovisnost pogonske sile T i specifične potrošnje TC od brzine leta, stanja okolnog zraka i
otklona Tδ
( )( )TTT
T
TVCCTVTT
δρδρ
,,,,,,
==
11.44
• ovisnost karakteristika zraka temperature T i gustoće ρ o položaju zrakoplova
( )( )hhTT
ρρ ==
11.45
Ovaj model je važan za projektiranje i ispitivanje sustava upravljanja letjelicom. Vrlo često se
dijelovi tog matematičkog modela zamjenjuju realnim sklopovima, što omogućuje da se
ispituju ti sklopovi. Te kombinacije realnog i matematičkog dijela letjelice u engleskoj se
literaturi sreću pod imenom HIL (hardware in the loop).
Model leta 6DOF 11-12
11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima
Simulatore treba razlikovati od trenažera. Za trenažere leta upotrebljava se obično
jednostavniji model u kome je letjelica uvijek kruto tijelo a vjetar je konstantan i u prostoru i
vremenu. Ta druga pretpostavka da je vjetar konstantan omogućuje da se gibanje središta
mase promatra u odnosu na relativni koordinatni sustav vezan za zrak (tzv. Didionov princip).
Gibanje zraka je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u odnosu na zrak je relativno gibanje.
Koordinatni sustav vezan za zrak giba se u odnosu na Zemlju konstantom brzinom vjetra te je
on inercijski koordinatni sustav. Jednadžbe relativnog gibanja iste su kao one koje smo pisali
u odnosu na Zemlju, jer je prijenosno ubrzanje jednako nuli. U prvoj jednadžbi trebamo
dodati prijenosnu brzinu (brzina vjetra) a u drugoj jednadžbi, brzina leta postaje
aerodinamička brzina:
+
=
− WZ
WY
WX
OF
VVV
wvu
yzx
L&
&
&
11.46
Međutim, druga matrična jednadžba daje neposredno aerodinamičku brzinu:
( )
+
+
=+g
mFFF
ZYX
~m FO
Z
y
x
A
A
A
00
LVV &Ω 11.47
Treća i četvrta matrične jednadžbe iste su kao jednadžbe 11.21 i 11.22, a isto je i određivanje
napadnog kuta prema jednadžbama 11.34, kao i derivacije napadnog kuta po vremenu prema
jednadžbi 11.36. Ovaj sustav jednadžbi koristi se u trenažerima leta. Ne zaboravimo da ovaj
model možemo primijeniti samo za slučaj konstantnog vjetra. To znači da on ne može
pokazati utjecaj "udara vjetra". Vektor položaja [ ]Tzyx određuje točku iz koje pilot
promatra sliku, a stav letjelice [ ]Tψϑφ određuje pravac promatranja i rotaciju slike oko
osi promatranja. Na temelju tih šest veličina izrađuje se slika koju vidi pilot na ekranu
trenažera.
Linearizacija 6DOF 12-1
12 LINEARIZACIJA 6DOF MODELA
12.1 Princip linearizacije
12.1.1 Jednadžbe stvarnog gibanja
U sedmom poglavlju promatrali smo ravnotežna stanja u letu koja su bila okarakterizirana
momentom za središte mase jednakim nuli. To ravnotežno stanje odgovaralo je određenim
otklonima upravljačkih površina. Svaki otklon upravljačkih površina ima svoje ravnotežno
stanje. U ovom poglavlju promatrat ćemo prijelaz iz jednoga ravnotežnog stanja u drugo.
Pretpostavljamo da je bilo ravnotežno stanje za određene otklone upravljačkih površina. U
tom ravnotećnom stanju promijenili smo otklone upravljačkih površina i zrakoplov treba
prijeći u novi ravnotežni položaj. Taj prijelaz predstavlja problem dinamičke stabilnosti
zrakoplova.
Za razmatranje dinamičke stabilnosti poći ćemo od modela 6DOF za slučaj kada nema
vjetra i radit ćemo pomoću Eulerovih kutova. Pretpostavljamo da su komponente pogonske
sile [ ]TTT FF αα sin0cos . Jednadžbe gibanja središta mase i oko središta mase
zrakoplova u razvijenom obliku su :
φϑα
φϑ
ϑα
coscossin
sincos
sincos
gmZ
mT
pvquw
gmYpwruv
gmX
mT
qwrvu
T
T
+++−=
+++−=
−++−=
&
&
&
12.1
zz
yx
yy
xz
xx
zy
INpq
III
r
IMrp
III
q
ILqr
III
p
+−
=
+−
=
+−
=
&
&
&
12.2
( ) ( )( ) ( )
rq
rq
rtgqtgp
θφ
θφψ
φφθ
θφθφφ
coscos
cossin
sincos
cossin
+=
−=
++=
&
&
&
12.3
Nismo uzeli u obzir prve tri jednadžbe, jer se dinamički proces prijelaza iz jednoga u drugo
ravnotežno stanje odvija na vrlo maloj promjeni visine, pa se gustoća i brzina zvuka gotovo
Linearizacija 6DOF modela 12-2
ne mijenjaju, te nam nije potrebna visina leta. Aerodinamičke sile ZYX i, i aerodinamički
momenti NML i, duž glavnih osi tromosti letjelice zadani su jednadžbama :
( )
( )
( )mz
ny
x
qcSVZ
rpcSVY
cSVX
δααρ
δβρ
βαρ
,,,2
,,,2
,2
2
2
22
&=
=
=
( )
( )
( )nn
mmA
n
prcSbVN
qcScVM
prcSbVL
δβρ
δααρ
δδβρ
,,,2
,,,2
,,,,2
2
2
2
=
=
=
&
ll
12.4
Gornji sustav diferencijalnih jednadžbi vrijedi za bilo koji režim leta. On određuje vektor
stanja
[ ]Trqpwvu ψθφ=X 12.5
kao funkciju vremena. Taj vektor stanja zvat ćemo stvarni vektor stanja, jer odgovara
stvarnom gibanju. Drugim riječima znači da je
1xu = , 2xv = , 3xw = , 4xp = , 5xq = , 6xr = , 7x=φ , 8x=ϑ i 9x=ψ . 12.6
Na desnoj strani sustava diferencijalnih jednadžbi imamo vektor
[ ]T1 fffffffff 98765432=F , 12.7
gdje nam je
φϑα
φϑ
ϑα
coscossin
sincos
sincos
3
2
1
gmZ
mT
pvquf
gmYpwruf
gmX
mT
qwrvf
T
T
+++−=
+++−=
−++−=
12.8
zz
yx
yy
xz
xx
zy
INpq
III
f
IMrp
III
f
ILqr
III
f
+−
=
+−
=
+−
=
6
5
4
12.9
( ) ( )
( ) ( )
rqf
rqfrtgqtgpf
θφ
θφ
φφθφθφ
coscos
cossin
sincoscossin
9
8
7
+=
−=++=
12.10
Članovi vektora F su funkcije članova vektora stanja. Osim vektora X i F uvodimo i vektor
upravljanja
Linearizacija 6DOF 12-3
[ ]Tnm δδδ l=e 12.11
Vektor F ovisi o vektoru stanja, ali preko aerodinamičkih sila i momenata on je funkcija i
vektora upravljanja. Zato cijeli sustav diferencijalnih jednadžbi 12.1-3 kratko pišemo:
( )eXFX ,=dtd 12.12
Taj sustav diferencijalnih jednadžbi određuje promjenu stanja letjelice tijekom vremena u
ovisnosti o vektoru upravljanja. Taj sustav diferencijalnih jednadžbi nije pogodan za analizu
ponašanja letjelice u ovisnosti o njenim parametrima, niti za izbor tih parametara da bi se
letjelica ponašala kako se to a priori želi.
U ovim jednadžbama za sile i momente, brzina V i kutovi α i β funkcije su
varijabla stanja u, v i w preko kinematičkih jednadžba:
.sinsincoscoscos
αβαβα
VwVvVu
===
12.13
Kako smo pretpostavili da nema vjetra, ne razlikujemo brzinu leta od aerodinamičke brzine
jer su one jednake.
12.1.2 Referentno gibanje
Ravnotežno stanje u kome je bila letjelica prije nego što smo promijenili vektor upravljanja,
nazivamo referentno stanje. Vektor stanja u takvom gibanju označit ćemo sa 0X i nazvati ga
referentni vektor stanja.
( )000
,eXFX=
dtd 12.14
Pretpostavit ćemo da su svi uvjeti nominalni (standardna atmosfera, nema vjetra, normalne
težine itd.). Odabrat ćemo kao referentni let
• jednoli let:
constV =0 , 12.15
• pravocrtni let (horizontalno ili u penjanju ili u spuštanju):
00 =χ 12.16
const=0γ 12.17
Neka je u takvom referentnom letu vektor upravljanja [ ]Tm 00 00 δ=e . Budući da nema
klizanja (nema vjetra 0=v ), niti kuta valjanja (pravocrtni let), onda su :
Linearizacija 6DOF modela 12-4
000 == χψ 12.18
000 αγϑ += 12.19
U tom letu, pri konstantnoj brzini leta i konstantnoj gustoći zraka, napadni kut 0α je
konstantan, pa su konstanti kutovi osi letjelice 0ψ i 0ϑ . Kada su sva tri de Sparreova kuta
konstanti, onda su i sve tri kutne brzine jednake nuli. Konačno zaključujemo da je za izabrani
referentni let:
0000 === wvu &&& 12.20
0000000 ====== ψϑφ &&&rqp 12.21
0
000
0
==
=
ψφ
v 12.22
S obzirom da su za ovakvo referentno gibanje derivacije svih varijabla jednake nuli, matrični
je oblik sustava diferencijalnih jednadžbi vektora stanja
( )00 ,0 eXF= 12.23
koji nam omogućuje da za zadani referentni let 0X odredimo potrebni vektor upravljanja 0e ,
ili obrnuto.
12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja
Kada promijenimo otklon upravljačkih površina 0ee ≠ vrijednosti varijabli vektora stanja bit
će različite od referentnih vrijednosti (uspoređujemo ih u istom trenutku t), a tu razliku
između stvarnih i referentnih vrijednosti označavamo sa 0iii xxx −=∆ , a za cijeli vektor
stanja sa 0XXX −=∆ , i nazivamo ih poremećaj vektora stanja. Uzrok koji je izazvao
poremećaje
[ ]Tnm δ∆δ∆δ∆∆ l=−= 0eee
nazivamo također poremećaj (ili perturbacija).
U sustavu diferencijalnih jednadžbi vektora stanja 12.12
( )eXFX ,=dtd
zamijenimo li stvarni vektor stanja s referentnim, povećanim za poremećaj, kao i vektor
upravljanja s referentnim povećanim za poremećaj vektora upravljanja, onda dobivamo sustav
diferencijalnih jednadžbi stvarnog stanja:
Linearizacija 6DOF 12-5
( ) ( )eeXXFXX 00 ∆+∆+=∆+ ,dtd
Kad razvijmo u Taylorov red članove matrice F oko referentnog stanja, dobit ćemo
( ) ( ) K+
∂∂
+
∂∂
+=++ eeFX
XFeXFeeXXF 000 ∆∆∆∆
000 ,,,, tt
A je kvadratna matrica koju čine parcijalne derivacije stupca F po varijablama stanja X:.
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
=
9
9
2
9
1
9
9
2
2
2
1
2
9
1
2
1
1
1
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
L
LLLL
L
L
XFA 12.24
a B je matrica koja pretstavlja derivaciju stupca F po parametrima upravljanja (onoliko
stupaca koliko je parametara upravljanja, a broj vrsta je jednak dimenziji vektora stanja).
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
=
m
nm
ff
f
fff
δδ
δ
δδδ
99
2
111
L
LLL
LL
l
l
l
eFB 12.25
Opći član matrice A u redu i u stupcu j je
j
iij x
fa
∂∂
=
Kada provodimo linearizaciju, pretpostavljamo da se realni vektor stanja X ne razlikuje
mnogo od referentnog vektora stanja 0X tj. da su poremećaji X∆ i e∆ male veličine. To nam
omogućuje da pri razvijanju u red funkcije F zanemarimo produkte poremećaja kao male
veličine višega reda u odnosu na bilo koji poremećaj. Tako u daljnjem radu nećemo imati niti
produkte poremećaja niti njihove stupnjeve nego ćemo imati linearne jednadžbe po
poremećajima. Kasnije, kada budemo primjenjivali linearizirane diferencijalne jednadžbe
trebamo voditi računa da ti uvjeti budu zadovoljeni.
Oduzimanjem diferencijalnih jednadžbi za referentno stanje 12.14 od diferencijalnih
jednadžbi za stvarno stanje 12.12 dobivamo:
eBXAX ∆∆∆ +=dtd 12.26
Linearizacija 6DOF modela 12-6
To su tzv. diferencijalne jednadžbe poremećaja, koje su linearne po poremećajima eX ∆∆ i .
Obratimo pažnju na to da su članovi matrica A i B funkcije od vremena i od referentnog
stanja, što znači da se svaki član tih matrica određuje na temelju referentnog vektora stanja 0X i za referentni vektor upravljanja 0e .
Činjenica je da linearizaciju jednadžbi možemo raditi po istim pravilima po kojima
izvodimo diferenciranje jednadžbi.
12.2 Linearizacija model 6DOF
12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi
Počet ćemo s jednadžbama veze između brzina i kutova:
α
βαβα
sinsincoscoscos
VwVvVu
===
12.27
Primijenimo pravilo diferenciranja umjesto linearizacije na prvu jednadžbu:
ββαβααβα ∆−∆+∆=∆ 00000000 sincoscossincoscos VVVu
Kako u referentnom stanju nema klizanja 00 =β , dobivamo lineariziranu prvu jednadžbu:
ααα ∆−∆=∆ 000 sincos VVu
Na isti način dobivamo i preostale dvije linearizirane jednadžbe:
α∆αα∆∆
β∆α∆ooo
oo
VVwVv
cossincos
+=
=
U referentnom režimu napadni kut je mali. Zato u ovim jednadžbama možemo zamijeniti 00sin αα ≈ i 1cos 0 ≈α :
αα
β
αα
∆+∆=∆
∆=∆
∆−∆=∆
oo
o
VVwVv
VVu 00
Po svojoj veličini produkt 00αV reda je veličine poremećaja brzine, te je drugi član na desnoj
strani mala veličina drugoga reda koju možemo zanemariti. Isto tako produkt 0αV∆ na
desnoj strani treće jednadžbe predstavlja malu veličinu drugoga reda koju možemo
zanemariti. Tako dobivamo konačno:
Linearizacija 6DOF 12-7
α
β
∆=∆
∆=∆
∆=∆
o
o
VwVv
Vu 12.28
12.2.2 Linearizacija sila
Za mlaazne motore smatramo da poremećaji gibanja ne utječu na potisnu silu pa nema
poremećaja pogonske sile, a za elisne motore usvajamo da nema poremećaja snage. Prema
tome, za elisne motore je
( ) 0=⋅∆ VT ,
ili
000 =∆+⋅∆ VTVT .
Iz ove jednadžbe dobivamo da je poremećaj pogonske sile elisnog motora
oo T
VVT ∆∆ −= , 12.29
a za mlazne motore je
0=∆T . 12.30
Komponente sile Zemljine teže duž osi tromosti zrakoplova jesu:
( )
−=
ϑφϑφ
ϑψϑφ
coscoscossin
sin00
,, mgmg
FOL
Primjenjujući pravilo diferenciranja dobivamo poremećaje komponente sile Zemljine teže:
−−−
−
ϑ∆ϑφϑφ∆φϑ∆ϑφϑφ∆φ
ϑ∆ϑ
oooo
oooo
o
mgsincoscossin
sinsincoscoscos
Za referentni let je 0=oφ , te dobivamo konačno poremećaje komponenata sile Zemljine
teže:
−
−
ϑ∆ϑφ∆ϑϑ∆ϑ
o
o
o
mgsin
coscos
12.31
Linearizacija komponenata aerodinamičke sile:
Linearizacija 6DOF modela 12-8
( )
( )
( )mZ
nY
X
qCSVZ
rpCSVY
CSVX
δααρ
δβρ
βαρ
,,,2
,,,2
,2
2
2
22
∗∗
∗∗
=
=
=
&
12.32
prema pravilu o diferenciranju, daje poremećaje:
ZZ
YY
XX
CSVCSVVZ
CSVCSVVY
CSVCSVVX
∆⋅+∆=∆
∆⋅+∆=∆
∆⋅+∆=∆
2
2
2
2000
2000
2000
ρρ
ρρ
ρρ
Poremećaji aerodinamičkih koeficijenata sila su:
moZ
oZq
oZ
oZZ
noY
oYr
oYp
oYY
ooX
oXX
m
n
CqCCCC
CrCpCCC
CCC
δ∆∆α∆α∆∆
δ∆∆∆β∆∆
β∆βα∆∆
δαα
δβ
βα
+++=
+++=
+=
∗∗
∗∗
&&
22
12.33
Poremećaj bezdimenzijske kutne brzine valjanja je
( ) pVb
VVbppVb
Vbpp ∆=
∆−∆=
∆=∆ ∗
0200
0
, 12.34
jer je 00 =p . Isto tako su i poremećaji bezdimenzijskih kutnih brzina:
qVc
q A ∆∆ 0=∗ 12.35
rVbr ∆∆ 0=∗ 12.36
Kako je u referentnom stanju 0=oYC , bit će konačno poremećaji aerodinamičkih brzina:
++++=
+++=
+=
moZ
AoZq
AoZ
oZ
ooZ
o
noY
oYr
oYp
oY
o
oX
ooX
o
m
n
CVc
qCVc
CCSVVSCVZ
CVbrC
VbpCCSVY
SCVVSCVX
δ∆∆α∆α∆ρ∆ρ∆
δ∆∆∆β∆ρ∆
α∆ρ∆ρ∆
δαα
δβ
α
00
2
00
2
2
2
2
2
&&
U ove jednadžbe uvodimo oznake za koeficijente dinamičke stabilnosti uz poremećaje:
Linearizacija 6DOF 12-9
oX
oo
oX
oou
Cm
SVXm
X
Cm
SVuX
mX
ααρ
∂α∂
ρ∂∂
21
1
2
==
==
oY
o
n
o
oYr
oo
r
oYp
oop
oY
oo
nnC
mSVY
mY
Cm
SbVrY
mY
Cm
SbVpY
mY
Cm
SVYm
Y
δδ
ββ
ρ∂δ∂
ρ∂∂
ρ∂∂
ρ∂β∂
21
21
21
21
2
2
==
==
==
==
oZ
o
m
o
oZq
Ao
oq
oZ
Ao
o
oZ
oo
oZ
oou
mmC
mSVZ
mZ
CmScV
qZ
mZ
CmScVZ
mZ
Cm
SVZm
Z
Cm
SVuZ
mZ
δδ
αα
αα
ρ∂δ∂
ρ∂∂
ρα∂∂
ρ∂α∂
ρ∂∂
21
21
21
21
1
2
2
==
==
==
==
==
&& & 12.37
Svi ovi koeficijenti dinamičke stabilnosti trebaju biti izračunani za vrijednosti parametara u
referentnom stanju. S tim koeficijentima jednadžbe možemo napisati u obliku:
moo
qooo
u
noo
rpo
oou
m
n
ZqZZZuZmZ
YrYpYYmY
XuXmX
δ∆∆α∆α∆∆∆
δ∆∆∆β∆∆
α∆∆∆
δαα
δβ
α
++++=
+++=
+=
&&
0 12.38
12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase
Linearizaciju prvih triju jednadžbi gibanja središta mase:
φϑα
φϑ
ϑα
coscossin
sincos
sincos
gmZ
mT
pvquw
gmYpwruv
gmX
mT
qwrvu
T
T
+++−=
+++−=
−++−=
&
&
&
12.39
izvest ćemo po pravilu diferenciranja. Tako dobivamo
ϑ∆ϑ∆α∆∆∆∆∆∆
φ∆ϑ∆∆∆∆∆∆
ϑ∆ϑ∆α∆∆∆∆∆∆
oToooo
ooooo
oToooo
gmZ
mT
pvvpquuqw
gmYpwwpruurv
gmX
mT
qwwqrvvru
sinsin
cos
coscos
−++−−+=
++++−−=
−++−−+=
&
&
&
12.40
U referentnom letu je 00 =v kao i sve kutne brzine 0=== ooo rqp . Kut 0α u referentnom
letu je obično mala veličina, te je ooo uw α= reda veličina poremećaja u∆ ili w∆ . Zato se
Linearizacija 6DOF modela 12-10
njegovi produkti sa drugim poremećajima mogu zanemaruju kao male veličine drugog reda.
To nam omogućava da u prvoj jednadžbi zanemarimo produkt qw ∆0 , a u drugoj pw ∆0 . Tako
linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase dobivaju oblik:
ϑϑα
φϑ
ϑϑα
∆∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆∆
∆
oTo
oo
oT
gmZ
mTquw
gmYruv
gmX
mTu
sinsin
cos
coscos
−++=
++−=
−+=
&
&
&
12.41
Derivacijom lineariziranih jednadžbi veza između kutova i komponenti brzine dobivamo:
α∆∆
β∆∆&&
&&o
o
VwVv=
= 12.42
Zamjenom poremećaja aerodinamičkih sila ZYX ∆∆∆ ,, i poremećaja derivacija bočnih
brzina wv && ∆∆ , u gornje linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase, bit će
konačno:
ϑϑδαααα
φϑδββ
ϑϑαα
δαα
δβ
α
∆−∆+∆+∆+∆+∆+∆
+∆=∆
∆+∆+∆+∆+∆+∆−=∆
∆−∆+∆+∆
=∆
om
ooq
ooou
To
on
oorp
oo
ooou
T
gZqZZZuZm
Tquu
gYrYpYYruu
gXuXm
Tu
m
n
sinsin
cos
coscos
0
00
&&
&
&
&
12.43
Za mlazne motore nema poremećaja potiska, pa dijeljenjem jednadžbe druge sa 0u i treće
jednadžbe sa 00α&Zu − dobivamo:
moo
o
oo
o
oo
oq
o
oo
o
oo
ou
n
ooorp
o
ooou
Zu
Z
Zugq
ZuZu
ZuZ
uZu
Z
u
Y
ugr
uY
puY
uY
gXuXu
m
n
δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆α∆
δ∆φ∆ϑ
∆∆β∆β∆
ϑ∆ϑα∆∆∆
α
δ
ααα
α
α
δβ
α
&&&&&
&
&
&
−+
−−
−
++
−+
−=
++
+−++=
−+=
sin
cos1
cos
0000
0
0 12.44
Za zrakoplove s elisnim motorima poremećaj pogonske sile određen je jednadžbom 12.29
uuTT
o
∆∆ 0−=
pa gornje jednadžbe 12.43 za zrakoplove s elisnim motorima imaju oblik:
Linearizacija 6DOF 12-11
m
oooq
ooT
oou
n
ooorp
o
ooTo
ou
ZuZ
Zugq
ZuZu
ZuZu
Zumu
TZ
uY
ugr
uYp
uY
uY
gXumu
TXu
m
n
δϑϑα
α
α
δφϑββ
ϑϑαα
α
δ
ααα
α
α
δβ
α
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆
0000000000
0000
0
0
0
sinsin
cos1
coscos
&&&&&
&
&
&
−+
−−
−
++
−+
−
−=
++
+−++=
−+
−=
12.45
12.2.4 Linearizacija kutnih brzina
Linearizaciju jednadžbi:
( ) ( )( ) ( )
rq
rq
rtgqtgp
θφ
θφψ
φφθ
θφθφφ
coscos
cossin
sincos
cossin
+=
−=
++=
&
&
&
12.46
izvodimo primjenom pravila diferenciranja. Tako dobivamo:
rrqq
rrqq
rtgrrtg
qtgqqtgp
oooo
∆⋅+⋅
∆+∆⋅+⋅
∆=∆
∆−⋅∆−∆+⋅∆−=∆
∆+∆
+⋅⋅∆−
−∆+∆
+⋅⋅∆+∆=∆
0
00
0
00
00
00002
0000
00002
0000
coscos
coscos
cossin
cossin
sincoscossin
coscos
cossin
sincos
sincos
ϑφ
ϑφ
ϑφ
ϑφψ
φφφφφφϑ
ϑφϑϑφϑφφ
ϑφϑϑφϑφφφ
&
&
&
U tim jednadžbama treba uzeti u obzir da su u referentnom stanju sve kutne brzine 0p , 0q i 0r jednake nuli (jednadžbe 12.21) kao i kut valjanja 0φ (jednadžbe 12.22). Tako konačno
dobivamo linearizirane jednadžbe:
0
0
cos
tan
θψ
ϑ
ϑφ
rq
rp
∆=∆
∆=∆
∆+∆=∆
&
&
&
12.47
12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta
Ovisnosti komponenata aerodinamičkog momenta zrakoplova o parametarima dane su
jednadžbama:
Linearizacija 6DOF modela 12-12
( )
( )
( )nn
mmA
n
rpSbCVN
qCScVM
rpSbCVL
δδβρ
δααρ
δδβρ
,,,,2
,,,2
,,,,2
2
2
2
l
ll
&
∗∗
∗∗
∗∗
=
=
=
12.48
Primjenom pravila diferenciranja dobivamo:
n
oon
o
mA
oomA
o
ooo
CSbVSbCVVN
CScVCScVVM
CSbVSbCVVL
∆⋅+∆=∆
∆⋅+∆=∆
∆⋅+∆=∆
2
2
2
2
2
2
ρρ
ρρ
ρρ ll
12.49
U ravnotežnom stanju on
om
o CCC ,,l jednaki su nuli, a poremećaji aerodinamičkih koeficijenata
momenata su:
nonno
onro
onp
onn
mom
Aomq
Aom
omm
nooo
rop
o
n
m
n
CCVbrC
VbpCCC
CVc
qCVc
CCC
CCVbrC
VbpCCC
δ∆δ∆∆∆β∆∆
δ∆∆α∆α∆∆
δ∆δ∆∆∆β∆∆
δδβ
δαα
δδβ
++++=
+++=
++++=
l
&
lllllll
l
l
&
0
00
00
12.50
Uvest ćemo koeficijente momenata dinamičke stabilnosti:
ll l
l
l
l
l
l
δδ
δδ
ββ
ρ∂δ∂
ρ∂δ∂
ρ∂∂
ρ∂∂
ρ∂β∂
CI
SbVLI
L
CI
SbVLI
L
CI
VSbrL
IL
CI
VSbpL
IL
CI
SbVLI
L
xx
xnx
rxx
r
pxx
p
xx
nn
21
21
21
21
21
2
2
2
2
2
==
==
==
==
==
mm my
A
my
qmy
A
yq
my
A
y
my
A
y
CIScVM
IM
CI
VScqM
IM
CI
VScMI
M
CIScVM
IM
δδ
αα
αα
ρ∂δ∂
ρ∂∂
ρα∂
∂
ρ∂α∂
21
21
21
21
2
2
2
2
==
==
==
==
&& &
nn nznz
nrzz
r
npzz
p
nzz
CI
SbVNI
N
CI
VSbrN
IN
CI
VSbpN
IN
CI
SbVNI
N
δδ
ββ
ρ∂δ∂
ρ∂∂
ρ∂∂
ρ∂β∂
21
21
21
21
2
2
2
2
==
==
==
==
12.51
Napomenimo da sve ove koeficijente treba izračunati za referentno stanje. Sa ovim oznakama
bit će:
Linearizacija 6DOF 12-13
nprz
mqy
nrpx
n
m
n
NNNrNNIN
MqMMMIM
LLrLpLLIL
δ∆δ∆φ∆∆β∆∆
δ∆∆α∆α∆∆
δ∆δ∆∆∆β∆∆
δδβ
δαα
δδβ
00000
0000
00000
++++=
+++=
++++=
l
&
l
l
l
&
& 12.52
12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase
Jednadžbe gibanja oko središta mase za glavne osi tromosti su:
( )( )( ) NpqIIrI
MrpIIqI
LqrIIpI
yxz
xzy
zyx
+−=
+−=
+−=
&
&
&
12.53
Pravilom diferenciranja dobivamo
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) NqpqpIIrI
MprprIIqILpqpqIIpI
yxz
xzy
zyx
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
+⋅+⋅⋅−=
+⋅+⋅⋅−=
+⋅+⋅⋅−=
&
&
&
U ravnotežnom stanju sve kutne brzine jednake su nuli te ove jednadžbe dobivaju oblik:
NrI
MqILpI
z
y
x
∆∆
∆∆∆∆
=
==
&
&
&
12.54
ili poslije linearizacije aerodinamičkih momenata:
nrp
mq
nrp
n
m
n
NNrNpNNr
MqMMMq
LLrLpLLp
δ∆δ∆∆∆β∆∆
δ∆∆α∆α∆∆
δ∆δ∆∆∆β∆∆
δδβ
δαα
δδβ
00000
0000
00000
++++=
+++=
++++=
l
&
l
l
l
&
&&
&
12.55
U drugoj jednadžbi na desnoj strani imamo poremećaj derivacije napadnog kuta α&∆ . Taj kut
eliminiramo pomoću treće jednadžbe gibanja središta mase:
m
oooq
ooT
oou
ZuZ
Zugq
ZuZu
ZuZu
Zumu
TZm δϑϑα
α
αα
δ
ααα
α
α
∆−
+∆−
−∆−
++∆
−+∆
−
−=∆ 0000000000
sinsin
&&&&&
& 12.56
Sređivanjem dobivamo konačno:
Linearizacija 6DOF modela 12-14
nrp
m
o
oq
o
q
ooT
oou
nrp
n
m
m
n
NNrNpNNr
ZuZM
M
qZuZu
MMZu
gMZuZMMu
Zumu
TZMq
LLrLpLLp
δδβ
δ
ϑϑ
α
α
δδβ
δδβ
α
δαδ
αα
α
α
α
ααα
αα
δδβ
∆+∆+∆+∆+∆=∆
∆
−++
∆
−
+++∆
−−∆
−
++∆−
−=∆
∆+∆+∆+∆+∆=∆
00000
00
00
0000
00
0
00
00
000
00000
sinsin
l
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
l
l
l
&
&
&
12.57
12.2.7 Linearni model zrakoplova
Objedinjavanjem lineariziranih jednadžbi gibanja središta mase i oko središta mase dobivamo
sustav linearnih jednadžbi prijelaznog procesa. Prve tri linearizirane jednadžbe gibanja
središta mase malo se razlikuju za zrakoplove s elisnim pogonom od jednadžba za zrakoplove
s mlaznim pogonom, dok su linearizirane jednadžbe za gibanje oko središta mase iste. Zato
ćemo objedinjavanjem dobiti dva različita sustava jednadžbi.
Za zrakoplove s mlaznim pogonom:
moo
o
oo
o
oo
oq
o
oo
o
oo
ou
n
ooorp
o
ooou
Zu
Z
Zugq
ZuZu
ZuZ
uZu
Z
u
Y
ugr
uY
puY
uY
gXuXu
m
n
δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆α∆
δ∆φ∆ϑ∆∆β∆β∆
ϑ∆ϑα∆∆∆
α
δ
ααα
α
α
δβ
α
&&&&&
&
&
&
−+
−−
−
++
−+
−=
++
+−++=
−+=
sin
cos1
cos
0000
0
0
nrp
m
ooq
o
q
ooT
oou
nrp
n
m
m
n
NNrNpNNr
ZuZM
MqZuZu
MM
ZugM
ZuZMMu
Zumu
TZMq
LLrLpLLp
δδβ
δ
ϑϑ
α
α
δδβ
δδβ
α
δαδ
αα
α
α
α
ααα
αα
δδβ
∆∆∆∆∆∆
∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
00000
00
00
0000
00
0
00
00
000
00000
sinsin
++++=
−++
−
+++
+−
−
−
++−
−=
++++=
l
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
l
l
l
&
&
&
12.58
0
0
cos
tan
θψ
ϑ
ϑφ
rq
rp
∆=∆
∆=∆
∆+∆=∆
&
&
&
Za zrakoplove s elisnim pogonom sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja ima oblik:
Linearizacija 6DOF 12-15
m
oooq
ooT
oou
n
ooorp
o
ooTo
ou
Zu
Z
Zugq
ZuZu
ZuZ
uZumu
TZ
u
Y
ugr
uY
puY
uY
gXumu
TXu
m
n
δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆
α
α∆
δ∆φ∆ϑ∆∆β∆β∆
ϑ∆ϑα∆∆α
∆
α
δ
ααα
α
α
δβ
α
0000000000
0000
0
0
sinsin
cos1
coscos
&&&&&
&
&
&
−+
−−
−
++
−+
−
−=
++
+−++=
−+
−=
nrp
m
ooq
o
q
ooT
oou
nrp
n
m
m
n
NNrNpNNr
ZuZM
MqZuZu
MM
ZugM
ZuZM
MuZumu
TZ
Mq
LLrLpLLp
δδβ
δ
ϑϑ
α
α
δδβ
δδβ
α
δαδ
αα
α
α
α
ααα
αα
δδβ
∆+∆+∆+∆+∆=∆
∆
−++∆
−
+++
+∆−
−∆
−
++∆−
−=∆
∆+∆+∆+∆+∆=∆
00000
00
00
0000
00
0
00
00
000
00000
sinsin
l
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
l
l
l
&
&
&
12.59
0
0
cos
tan
θψ
ϑ
ϑφ
rq
rp
∆=∆
∆=∆
∆+∆=∆
&
&
&
U oba slučaja, u jednadžbama imamo devet varijabli
ψϑφαβ ∆∆∆∆∆∆∆∆∆ rqpu
koje su funkcije vremena, i tri zadana otklona nm δδδ ∆∆∆ l . Koeficijenti uz varijable i
uz zadane otklone poznate su konstante.
Linearizacija 6DOF modela 12-16
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-1
13 DINAMIČKA STABILNOST UZDUŽNOG GIBANJA
13.1 Modovi uzdužnog gibanja
Sustav linearnih jednadžbi zrakoplova može se rastaviti na dva podsustava koji se rješavaju
neovisno. Prvi podsustav čine četiri jednadžbe gibanja s četiri varijable: θ∆α∆∆ ,,u i q∆ . To
su: prva i treća jednadžba gibanja središta mase, druga jednadžba gibanja oko središta mase i
druga jednadžba veza između kutnih brzina i derivacija kutova.
Za zrakoplove s elisnim pogonom to su jednadžbe:
q
Zu
ZMMq
ZuZu
MM
ZugM
ZuZM
MuZumu
TZ
Mq
Zu
Z
Zugq
ZuZu
ZuZ
uZumu
TZ
gXumu
TXu
m
ooq
o
q
ooT
oou
m
oooq
ooT
oou
ooTo
ou
m
m
m
∆=∆
∆
−++∆
−
+++
+∆−
−∆
−++∆
−
−=∆
∆−
+∆−
−∆−
++∆
−+∆
−
−=∆
∆−∆+∆
−=∆
ϑ
δ
ϑϑ
α
α
δϑϑα
α
α
ϑϑαα
α
δαδ
αα
α
α
α
ααα
αα
α
δ
ααα
α
α
α
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&&&&
00
00
0000
00
0
00
00
000
0000000000
sinsin
sinsin
coscos
13.1
Gibanje opisano ovim jednadžbama nazivamo uzdužno gibanje. U njima se ne pojavljuju
varijable skretanja ( )r∆β∆ , niti varijable valjanja ( )p∆φ∆ , . Mali poremećaj kuta valjanja
φ∆ ne mijenja ništa u ovim jednadžbama, što drugim riječima znači da malo valjanje letjelice
ne utječe na uzdužno gibanje. Gornje jednadžbe uzdužnog gibanje možemo napisati kao
linearni sustav diferencijalnih jednadžbi
eBXAX ∆∆∆ +=& , 13.2
u kome je vektor stanja
[ ]Tqu ϑ∆∆α∆∆∆ =X ,
a vektor upravljanja svodi se na skalar mδ∆∆ =e . Matrica A sustava je:
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-2
( )
−−
−
++
−+
−
−
−−
−
+
−−
−
−−
=
0100
sinsin
sinsin
cos0cos
00
00
00
0000
00
000
00
0
00
0
00
0
00
00
00
0
00
0
000
00
α
α
α
α
α
ααα
αα
ααα
α
α
α
ϑα
ϑα
ϑα
&
&
&
&
&
&
&
&
&&&&
ZugM
ZuZuM
MZuZMM
Zumu
TZM
Zug
ZuZu
ZuZ
Zumu
TZ
gXmu
TX
Tu
qoT
o
u
Tu
A 13.3
a matrica B je :
−+
−=
0
Z0
00
000
00
0m
α
δαδ
α
δ
&
&
&
ZuZM
M
Zu
m
m
B 13.4
Podsjetimo se da smo ove jednadžbe dobili za pretpostavljeno stacionarno pravocrtno
referentno gibanje, što znači da su matrice A i B konstantne.
Interesira nas kako se zrakoplov ponaša kada se u stacionarnom pravocrtnom letu
promijenimo otklon kormila visine. Tražit ćemo odgovor letjelice na tri tipa promjene
otklona:
• jedinični impuls otklona
• jedinični odskok otklona i
• harmonijski otklon
13.2 Odgovor letjelice na odskok otklona u vremenskom području
Rješenje linearnog sustava diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima
eBXAX ∆∆∆ +=& 13.5
poznato je. Ono je zbroj homogenog i partikularnog integrala:
ph XXX ∆+∆=∆ 13.6
13.2.1 Homogeno rješenje
Homogeni integrali hX∆ rješenjr je homogenog sustava tj. kada nema pobude 0=e∆ :
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-3
0=∆−∆ hh XAX& 13.7
Tražimo rješenje hX∆ u obliku eksponencijalne funkcije
=
∆∆∆∆
=∆
st
st
st
st
h
h
h
h
h
eeee
q
u
ϑ
αX 13.8
isto za svaku komponentu. U tom slučaju je hh s XX ∆=∆ & . Ako takvo rješenje postoji onda
ono mora zadovoljavati diferencijalnu jednadžbu. Zamjenom u gornju jednadžbu dobivamo
( ) 0=− hs XJA ∆ 13.9
Ovo je sustav od četiri linearne jednadžbe u kojima su četiri nepoznanice:
[ ]Thhhhh qu ϑα ∆∆∆∆=∆X
S obzirom na to što nemamo slobodne članove na desnoj strani, determinanta sustava
( ) JA ssD −=
mora biti jednaka nuli, jer bismo u protivnom imali trivijalno rješenje 0=hX∆ :
( )
( )
sZu
gMsZu
ZuMM
ZuZMM
Zumu
TZM
Zug
ZuZu
sZu
ZZumu
TZ
gXsmu
TX
sD
Tu
q
Tu
Tu
−−
−−−
++
−+
−
−
−−
−
+−
−−
−
−−−
=
100
sincos
sinsin
cos0cos
00
00
00
0000
00
000
00
0
00
0
00
0
00
00
00
0
00
0
00
000
00
α
α
α
α
α
ααα
αα
ααα
α
α
α
ϑα
ϑα
ϑα
&
&
&
&
&
&
&
&
&&&& 13.10
Kad se razvije ta determinanta matrice A, dobiva se tzv. karakteristični polinom četvrtog
reda:
( ) 0234 =++++= dscsbsassD 13.11
Taj karakteristični polinom ima 4 korijena 4ssss i,, 321 koje u MATLABu dobivamo
pomoću naredbi
( )psAp
rootpoly
== )(
Tim korijenima odgovaraju četiri moguća rješenja tstststs eeee 4321 i,, . Zato što svaka varijabla
ima opće rješenje u obliku linearne kombinacije tih četiri mogućih rješenja, dobivamo:
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-4
tsu4
tsu3
tsu2
tsu1h
4321 eCeCeCeC∆u +++=
ts4
ts3
ts2
ts1h
4321 eCeCeCeC∆ ααααα +++=
tsq4
tsq3
tsq2
tsq1h
4321 eCeCeCeC∆q +++=
ts4
ts3
ts2
ts1h
4321 eCeCeCeC∆ ϑϑϑϑϑ +++=
To možemo napisati matrično:
=
ts
ts
ts
ts
qqqq
uuuu
h
h
h
h
eeee
CCCCCCCCCCCCCCCC
q
u
4
3
2
1
4321
4321
4321
4321
ϑϑϑϑ
αααα
ϑ∆∆α∆∆
Uvedimo četverodimenzionalne konstante uz moguća rješenja:
[ ]
=
ts
ts
ts
ts
h
h
h
h
eeee
q
u
4
3
2
1
4321 CCCC
ϑ∆∆α∆∆
ili
∑=
=4
1i
tsih
ieCX∆ 13.12
Konstante 432 CCCC1 ,,, imaju četiri dimenzije, koliko ima dimenzija i vektor stanja X∆ .
U općem slučaju korijeni 4ssss i,, 321 mogu biti realni (pozitivni i/ili negativni) i
kompleksni korijeni. A priori jednadžbe uzdužnog gibanja zrakoplova imaju četiri
kompleksna korijena. Budući da su koeficijenti karakterističnog polinoma realni brojevi,
kompleksni korijeni moraju biti konjugirani. Znači da imamo dva para konjugiranih
kompleksnih korijena. Te konjugirane korijene pišemo u obliku
iii ωδ ±− 13.13
gde je 2,1=i . Opće rješenje svake varijable možemo napisati u obliku gušene
trigonometrijske funkcije. Na primjer za poremećaj hu∆ , koje mora biti realno, možemo opći
oblik transformirati kako slijedi: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )tiu
tiu
ttiu
tiu
t
tiu
tiu
tiu
tiuh
eCeCeeCeCe
eCeCeCeCu222111
22221111
4321
4321ωωδωωδ
ωδωδωδωδ
−−−−
−−+−−−+−
+++=
+++=∆
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]titCtitCe
titCtitCeu
uut
uut
h
224223
112111
sincossincos
sincossincos2
1
ωωωω
ωωωωδ
δ
−+++
+−++=∆−
−
ili
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-5
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tCCitCCe
tCCitCCeu
uuuut
uuuut
h
243243
121121
sincos
sincos2
1
ωω
ωωδ
δ
−+++
+−++=∆−
−
Promatrajmo prvi član na desnoj strani
( ) ( )[ ]tCCitCCe uuuut
121121 sincos1 ωωδ −++−
Da bi on bio realan, mora biti uu CC 21 + realan broj C ′ , a uu CC 21 − mora biti imaginaran broj
Ci ′′ . S obzirom na jednakost
( ) ( )110111 sincossin 11 ϕωωω δδ +=′′+′ −− tAetCtCe tt ,
gdje su
,arctan1
2201
CC
CCA
′′′
=
′′+′=
ϕ
može se poremećaj uzdužne brzine staviti u oblik:
( ) ( )22021101 sinsin 21 ϕωϕω δδ +++=∆ −− tAetAeu tt 13.14
Tako se mogu napisati i poremećaji ϑα ∆∆∆ ,, q . Prema tome homogeno rješenje, za svaku
komponentu poremećaja, je zbroj dva gušena harmonijska moda. Realni dio konjugirano
kompleksnih korijena iδ− mora biti negativan, tj. 0>iδ da bi mod bio gušen. To iδ naziva
se koeficijent gušenja (dumping coefficient). Imaginarni dio i
i Tπω 2
= predstavlja kružnu
učestalost. iT je perioda tog moda, a ii
fT
=1 je učestalost moda.
Osim ovih parametara iδ i iω upotrebljavaju se i od njih izvedeni parametri.
Vrjemenska konstanta predstavlja recipročnu vrijednost konstante gušenja
δ
τ 1= , 13.15
a to znači kada je vrijeme gibanja t jednako vremenskoj konstanti, amplituda se smanjila e
puta. Sa 21τ označava se vrijeme za koje se amplituda moda prepolovi. To vrijeme dobivamo
iz jednadžbe
2121 =−δτe ,
odakle je
δ
τ 2ln21 = . 13.16
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-6
U slučaju ne gušenog moda koristi se vrijeme 2τ za koje se amplituda moda udvostruči:
22 =−δτe
δ
τ−
=2ln
2 13.17
Konačno za ocjenu moda upotrebljava se parametar gušenje. Da bismo objasnili taj
parametar, zamislimo sustav koji ima korijene jednog moda ωδ is ±−=2,1 . Karakteristična
jednadžba tog sustava je
( ) 021212 =+⋅+− ssssss ,
ili
( ) 02 222 =++⋅+ ωδδ ss .
Ako uvedemo novu varijablu 22 ωδσ += s , dobit ćemo novu jednadžbu:
01222
2 =++
+ σωδ
δσ
Tu jednadžbu možemo napisati u općem obliku
0122 =++ σζσ
u kojoj imamo samo jedan parametar koji se naziva gušenje moda.
22 ωδ
δζ+
= 13.18
Veličina
22 ωδω +=n 13.19
naziva se prirodna učestalost i koristi se za ocjenu kvalitete upravljivosti objekta.
13.2.2 Partikularni integral
Partikularni integrali se mogu naći na temelju pretpostavke da ih tražimo u obliku konstanta.
Ako su oni konstantni, onda je 0X =p&∆ , pa je
eBXA ∆∆ += p0
eBAX ∆∆ ⋅−= −1p .
Uvest ćemo pojam aerodinamičko pojačanje:
BAK 1−−= 13.20
To je matrica koja ima onoliko redaka koliko ima varijabli vektor stanja, a onoliko stupaca
koliko ima dimenzija vektor upravljanja. S tom veličinom je partikularni integral :
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-7
mδ∆⋅=∆ KXp 13.21
Taj partikularni integral vektor stanja je konstantan vektor i predstavljanja razliku od
početnog ravnotežnog stanja do novog ravnotežnog stanja.
13.2.3 Opće rješenje
Konačno rješenje je zbroj homogenog i partikularnog integrala. Svaka varijabla stanja (ima ih
četiri) ima dva moda sa po dvije konstante. Rješenje nehomogenog sustava diferencijalnih
jednadžbi uzdužnog gibanja je :
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
mq
u
ttqq
tqq
t
ttuu
tuu
t
KKKK
tAetAetAetAetAetAetAetAe
q
u
δ
ϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕω
ϑ
α
ϑ
α
ϑϑδ
ϑϑδ
δδαα
δαα
δ
δδ
∆
+
++++++++++++
=
∆∆∆∆
−−
−−
−−
−−
222111
222111
222111
222111
sinsinsinsinsinsinsinsin
21
21
21
21
, 13.22
gdje su ixA amplitude moda 2,1=i poremećaja qux ∆∆∆= ,, α i ϑ∆ , a ixϕ njihovi fazni
pomaci. Konstanta ixA ima 824 =⋅ i isto toliko faznih pomaka. Ukupno to je 16 konstanti.
Opće rješenje možemo napisati i u obliku koji nam je pogodniji za usporedbu s
Laplaceovom analizom:
mq
u
ts
ts
ts
ts
qqqq
uuuu
KKKK
eeee
CCCCCCCCCCCCCCCC
q
u
δ∆
ϑ∆∆α∆∆
ϑ
α
ϑϑϑϑ
αααα
+
=
4
3
2
1
4321
4321
4321
4321
Kraće napisano to je:
mi
tsi
ie δ∆∆ KCX +=∑=
4
1, 13.23
u kome su
[ ]
=
4321
4321
4321
4321
4321
ϑϑϑϑ
αααα
CCCCCCCCCCCCCCCC
qqqq
uuuu
CCCC
Ukupno imamo šesnaest konstanta. Veličine tih konstanti najlakše ćemo odrediti, kao i druga
svojstva uzdužnog gibanja, pomoću Laplaceove transformacije.
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-8
13.2.4 Primjer
Za laki mali putnički zrakoplov treba odrediti korijene uzdužnog gibanja zrakoplova i
aerodinamičko pojačanje kada leti horizontalno na visini 2000 m u režimu za maksimalni
dolet koji smo odredili u primjeru 8.1.7, primjer 2.
499.053==
LCV
Aerodinamički proračun tog zrakoplova urađen je u petom poglavlju, gdje smo dobili
koeficijente normalne sile i momenta propinjanja u stacionarnom režimu kada 0== qα& . Ti
su rezultati ovisili o postavim kutovima krila i repa, kao i o položaju središta mase. Za
postavne kutove 01=Wi i 01−=hi te za središte mase na udaljenosti mm 233.0=l od
ravnine elise ili 137.0=mh od aerodinamičkog ishodišta dobili smo koeficijente:
δα
δα
fm
mfN
KCKC⋅−−−=
⋅++=
577.0835.0001.0216.072.4247.0
Na kraju aerodinamičkog proračuna malog zrakoplova u poglavlju 3.9.7 urađen je i proračun
nestacionarnih koeficijenata za isti položaj središta mase 137.0=mh :
34.152.0
−=−=
α
α
&
&
m
Z
CC
25.326.1
−=
−=
mq
Zq
CC
Masene karakteristike zrakoplova su:
kgm .1088= 21693 mkgIY ⋅=
Rješenje
Ako zrakoplov leti horizontalno onda je Tααγϑ =+= jer je 0=γ , a motor je tako
postavljen da je u tom režimu leta pogonska sila u pravcu brzine leta. To znači da je u
referentnom letu (vidi primjer 8.1.7.2) potreban koeficijent uzgona 499.0=LC , a brzina leta
smV 1.53= .
Iz gornjih jednadžba za aerodinamičke koeficijente normalne sile i momenta
propinjanja, vidimo da su gradijenti po napadnom kutu:
72.4−=αZC
835.0−=αmC
U ravnotežnom letu je 0=mC , a za željeni koeficijent uzgona gornje jednadžbe daju nam
ravnotežni napadni kut i kut otklona za koji se on ostvaruje:
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-9
δα
δα
frav
mfrav
KK
⋅−−−=
⋅++=
577.0835.0001.00216.072.4247.0499.0
Dobivamo traženi ravnotežni napadni kut 03.30573.0 ==ravα
koji se ostvaruje s otklonom kormila visine 08.40846.0 −=−=mδ . Taj otklon je u linearnom
području te je 1=fK . Pretpostavimo da je postavni kut motora 03.3== ravT αα , onda je u
referentnom režimu 00 3.3== Tαϑ . Pogonska sila jednaka je otporu. Prema odjeljku 5.2.6
0259.00 =DC , a otpor pri ravnotežnom napadnom kutu bit će
0518.00259.022 0 =⋅=⋅= DD CC
NCSVT Dref 11100518.009.152
1.53007.12
20
2
=⋅⋅
==ρ
Da bismo odredili potrebne derivative aerodinamičkih koeficijenata u koordinatnom sustavu
letjelice, kao npr. αXC , korist ćemo se vezama između aerodinamičkih koeficijenata koje
smo izveli u odjeljku 2.1.3. U ovom slučaju nema bočnog gibanja pa su veze između
aerodinamičkih koeficijenata u uzdužnom gibanju:
αLDX CCC +−=
U referentnom režimu je
0232.00573.0499.00518.00000 −=⋅+−=+−= αLDX CCC
Ovisnost aksijalne sile o napadnom kutu može se dobiti na sljedeći način:
α
α
LLD
LDX
CKCCCCC
+−−=
+−=2
0
Derivacijom po napadnom kutu dobivamo: 000000 2 ααα α LLLLX CCCKCC ++−=
Za izabranom referenti let dobivamo:
279.073.40573.0499.073.4499.0104.020 =⋅++⋅⋅⋅−=αXC
Napravljen je program u MATLAB-u pod imenom ABROOT.m koji se nalazi na CDu u
direktoriju Dinamicka\ stabilnost\uzduzna. S njim su dobivene matrice:
−−−−−−−
=
0100009801353.307621600670010609790074351006907937904945503640
..........
A
−−
=
03407.12
079600.
B
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-10
Korijeni su karakterističnog polinoma matrice A :
i..si..si.si.s
237600108023760010809067.3446929067.344692
4
3
2
1
−−=+−=−−=+−=
Prema ovim rezultatima određene su periode :
• kratka perioda sT 61.19067.322
11 ===
πωπ ,
• duga perioda sT 4.262376.022
22 ===
πωπ
13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function)
Izvedimo Laplaceovu transformaciju lineariziranih jednadžbi:
( )tdt
dmBXAX δ∆∆∆
+= 13.24
Tom transformacijom dobivamo (pod uvjetom da su početni poremećaji vektora stanja
jednaki nuli, što je zadovoljeno):
( ) ( ) ( )ssss mδ∆∆∆ BXAX += ,
odakle je
( ) ( ) ( )sss mδ∆∆ ⋅=⋅− BXAJ , 13.25
ili
( ) ( ) BAJX 1−−= ss
mδ∆∆ . 13.26
Odnos Laplaceove transformacije vektora stanja poremećaja prema Laplaceovoj
transformaciji otklona kormila visine nazivamo prijenosna funkcija po otklonu kormila
visine. Taj vektor ima četiri dimenzije
( ) [ ]Tqu mmmmmGGGGs ϑδδαδδδ =G
Ako gornju jednadžbu 13.25 napišemo u obliku
( ) BGJA −=⋅−m
s δ , 13.27
dobivamo linearni sustav algebarskih jednadžbi po prijenosnim funkcijama. Rješenje toga
sustava algebarskih jednadžbi daje nam četiri komponente vektora prijenosne funkcije :
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-11
[ ] ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )sDs
sDsN
sDsN
sDsN
sDsNGGGG quT
qu mmmmm
NG =
== ϑα
ϑδδαδδδ
D je determinanta JA s− , tj. karakteristični polinom matrice A, a polinomi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu sNsNsNsNs ϑα=N determinante su koje dobivamo kada u determinanti
JA s− zamijenimo stupac uz varijablu sa stupcem matrice -B. Kako u stupcu koji
zamjenjujemo ima s, a u stupcu koji ga zamjenjuje -B nema s, nove determinante ( )sN bit će
polinomi po s za jedan stupanj niži od polinoma ( )sD .
Pomoću prijenosne funkcije možemo Laplaceovu transformaciju poremećaja prikazati
kao produkt prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine:
( ) ( ) ( )sss mmδδ ∆⋅=∆ GX 13.28
Primjerice poremećaj napadnog kuta bit će:
( ) ( ) ( )ssGs mδ∆α∆ αδ ⋅= .
Isto tako bit će Laplaceova transformacija poremećaja svake druge varijable jednaka produktu
njene prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine.
13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance)
Promatrajmo posebni slučaj otklona. Ako u trenutku 0=t zadamo otklon ( )tmδ∆ koji ima
jedinični impuls, nije važno kakva je to funkcija od vremena, samo je potrebno da
( ) 10
=⋅∫t
m dtt∆
δ∆ ,
s tim da t∆ bude malo u odnosu na periodu kratkoperiodičnog moda (matematički je točnije
reći da ovaj integral teži k jedinici kada t∆ teži k nuli). Laplaceova transformacija jediničnog
impulsa jednaka je jedinici
( ) 1=smδ∆ ,
pa je Laplaceova transformacija izlaza
( ) ( ) ( ) ( )ssssmm m δδ δ GGX =∆⋅=∆ 13.29
jednaka prijenosnoj funkciji. Kada na ulazu imamo jedinični impuls otklona kormila visine,
izlaze veličine u realnom vremenu ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tttqttu θ∆∆α∆∆ označimo sa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu ththththt ϑα=h .
Ti izlazi bit će jednaki inverznim Laplaceovim transformacijama od prijenosnih funkcija
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-12
( ) ( )[ ]sLtmδ
Gh 1−= , 13.30
a ta inverzna transformacija može se dobiti primjenom Heavisideova teorema razvoja.
Imajući na umu da je ( ) ( )( )sDss
m
NG =δ , dobit ćemo
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( ) .43
21
342414
4
432313
3
423212
2
413121
11
tsts
tsts
essssss
sessssss
s
essssss
sessssss
ssDsLt
−−−+
−−−+
+−−−
+−−−
=
= −
NN
NNNh
13.31
Ovu jednadžbu možemo napisati u obliku:
( ) tstststs eeeet 43214321 CCCCh +++=
Primjerice vektor konstanta 1C uz tse 1 ima komponente
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )413121
44
413121
31
413121
21
413121
11
sssssssNC
sssssssN
C
sssssssNC
sssssssNC
i
uu
−−−=
−−−=
−−−=
−−−=
ϑ
αα
Tako možemo dobiti poremećaje svih varijabli stanja uzdužnog gibanja za slučaj kada
zadamo jedinični impulsni otklon kormila visine.
13.4.1 Primjer
Treba izračunati i nacrtati za zrakoplov iz prethodnog primjera odgovor u uzdužnom gibanju
na jedinični impuls otklona kormila visine.
Zadatak je riješen u MATLABu. Napravljen je program pod imenom Impuls.m", koji se
nalazi na CD-u u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Uzduzna. Primijenili smo ga na
matrice A i B koje smo izračunali u prethodnom promjeru za mali zrakoplov. Iz dobivenih
rezultata na slikama 13-1, 13-2, 13-3 i 13-4 vidimo da su za poremećaje gibanja središta mase
u∆ i αϑγ ∆−∆=∆ dominantni dugoperiodični modovi, dok su za gibanje oko središta mase
α∆ dominantni kratkoperiodični modovi.
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-13
Slika 13-1 ( )tu∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine
Slika 13-2 ( )tα∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-14
Slika 13-3 ( )tq∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine
Slika 13-4 ( )tϑ∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-15
13.5 Odgovor na jedinični odskok (indicial admittance)
Ako je u realnom vremenu otklon kormila visine jedinični odskok
>≤
=0100
tt
mδ∆ , 13.32
onda je njegova Laplaceova transformacija ulaza
( )s
sm1
=δ∆ . 13.33
Izlaz iz linearnog sustava:
( ) ( ) ( )sss mmδδ ∆⋅=∆ GX
Kako je prijenosna funkcija poremećaja po otklonu kormila visine
( ) ( )( )sDss
n
NG =δ , 13.34
bit će izlaz u realnom vremenu za poremećaj:
( ) ( )( )
⋅=∆ −
sDssLt NX 1 13.35
( )sDs ⋅ je polinom petog reda koji ima četiri korijena karakteristične jednadžbe i peti korijen
jednak nuli: 0i4321 =5ss,s,s,s , a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu sNsNsNsNs ϑα=N su poznati
polinomi trećega reda. Primjenom Heavisideova teorema bit će
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )43214342414
4
2313343
3
1224232
2
1413121
1
043
21
sssse
sssssssse
ssssssss
esssssss
sesssssss
s
tsts
tsts
NNN
NNX
+−−−
+−−−
+
+−−−
+−−−
=∆
13.36
Usporedimo ovo rješenje s onim koje smo dobili kao zbroj homogenog i partikularnog
rješenja kada je otklon kormila visine na jedinični odskok
KCX +=∆ ∑=
4
1i
tsi
ie 13.37
Izjednačavanjem ova dva rješenja dobivamo
( )( )( )( )
( )( )( )( )4232122
22
4131211
11
ssssssss
ssssssss
−−−=
−−−=
NC
NC
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-16
( )( )( )( )4323133
33 sssssss
s−−−
=NC 13.38
( )( )( )( )( )
4321
3424144
44
0ssss
ssssssss
NK
NC
=
−−−=
13.5.1 Primjer
Treba odrediti izlaz poremećaja varijabli stanja uzdužnog gibanja ako je ulaz jedinična
odskočna funkcija otklona kormila visine za laki zrakoplov kao iz prethodnog primjera.
Program je napisan u MATLAB-u pod imenom Odskok.m, a nalazi se na disketi u
direktoriju "Dinamicka stabilnost\Uzduzna ". Isti rezultati mogu se dobiti u MATLAB-u
pomoću rutine LSIM. To je sistemski program koji obavlja numeričku integraciju
diferencijalnih jednadžbi BeAXX +=& . Program koji poziva tu rutinu naziva se Odsk.m.
Nalazi se također na CD-u u istom direktoriju. Dobiveni dijagrami nacrtani su na slikama 13-
5, 13-6, 13-7 i 13-8.
Slika 13-5 ( )tu∆ na jedinični odskok kormila visine
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-17
Slika 13-6 ( )tα∆ na jedinični odskok kormila visine
Slika 13-7 ( )tq∆ na jedinični odskok kormila visine
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-18
Slika 13-8 ( )tϑ∆ na jedinični odskok kormila visine
Prvo uočimo da su poslije nekoliko dugih perioda poremećaji u∆ , α∆ i ϑ∆
konstantni i različiti od nule, dok je poremećaj 0=∆q . To znači da je letjelica prešla u drugi
ravnotežni let. Ta konstantna vrijednost na primjer za α∆ predstavlja razliku između
prvobitnog ravnotežnog leta i ovog drugog u kojem se nalazi poslije smirivanja.
13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu
Posebno je zanimljiv odgovor letjelice ako je ulaz sinusna funkcija zato što se proizvoljan
otklon u funkciji vremena može uvijek spektralnom analizom prikazati kao zbroj sinusnih
funkcija različite učestalosti i amplitude.
Promatramo odgovor letjelice na sinusnu promjenu otklona kormila visine konstantne
učestalosti i jedinične amplitude. Pri tome ne promatramo početak gibanja letjelice već
ustaljeno uzdužno gibanje, jer je početni dio opterećen prijelaznim procesom koji se bolje
izučava odskočnim ulazom. Pretpostavljamo da je uzdužno gibanje stabilno, tj. da su realni
dijelovi korijena negativni.
Neka je ulaz
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-19
( ) tim et ωδ∆ = 13.39
Laplaceova transformacija ovog ulaza je
( )ω
δ∆is
sm −=
1 , 13.40
pa je odgovor letjelice
( ) ( )ω
∆isss
−=
GX . 13.41
Potražimo odgovor u realnom vremenu, tj. inverznu transformaciju ovog odgovora letjelice.
Kako je ( ) ( )( )sDss NG = bit će
( ) ( )( ) ( )
⋅−
=∆sDis
sLtωNX 1' . 13.42
Polinom ( ) ( )sDis ω− petoga je reda i ima četiri korijena 4321 ,,, ssss ista kao i karakteristični
polinom ( )sD i još jedan korijen koji je imaginaran ωis =5 . Zato primjenom Heavisideova
teorema razvoja dobivamo:
( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
ti
tsts
tsts
esisisisi
i
eisssssss
seisssssss
s
eisssssss
seisssssss
st
ω
ωωωωω
ωω
ωω
4321
4342414
4
3432313
3
2423212
2
1413121
1
43
21
−−−−+
+−−−−
+−−−−
+
+−−−−
+−−−−
=∆
N
NN
NNX
13.43
Kako smo uvjetovali da se radi o stabilnoj letjelici, realni dijelovi korijena 4321 ,,, ssss
moraju biti negativni pa prva četiri člana na desnoj strani iščezavaju poslije određenog
vremena pa na desnoj strani ostaje samo peti član koji predstavlja ustaljeni izlaz, dok prva
četiri predstavljaju prijelazni proces koji nas ovdje ne zanima.
( ) ( )( )( )( )( )
tiesisisisi
it ω
ωωωωω
4321 −−−−=∆
NX 13.44
Kompleksna amplituda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja. Npr. za napadni
kut bit će
( ) ( ) ( )ϕωωα += tieKt∆ 13.45
gdje je
( )( )( )( )( ) ( ) ( )ωϕα ω
ωωωωω ieK
sisisisiiN
=−−−− 4321
.
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-20
To znači da je ustaljeni izlaz pri harmonijskoj pobudi također harmonijska funkcija, ali koja
ima amplitudu ovisnu o veličini periode pobude, a periodičnost ima vremenski pomak
unaprijed za kut ϕ koji je također funkcija od veličine periode pobude.
13.6.1 Primjer
Za slučaj malog zrakoplova iz prethodnih primjera treba usporediti pojačanje na odskočni
otklon s pojačanjem na sinusni otklon kormila visine. Napravljen je program u MATLAB-u
pod pod imenom Odziv.m, u direktoriju Dinamicka stabilnost\Uzduzna na disketi. Kao
što se moglo očekivati, pri malim učestalostima pojačanje je jednako pojačanju na odskok.
Slika 13-9 Pojačanje ovisno o ω otklona kormila visine
Nakon toga dostiže maksimalnu vrijednost pri ω koja odgovara imaginarnom dijelu manjega
korijena, tj. učestalosti dugoperiodičnog moda. To je rezonanca. Pri tim učestalostima
pojačanje je suviše veliko i opasno. Uočimo da se ona pojavljuje u okolini učestalosti
dugoperiodičnog moda. U okolini učestalosti kratkoperiodičnog moda analiza pokazuje da
nema nikakve rezonance.
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-21
Slika 13-10 Fazni pomak ovisno o ω otklona kormila visine
13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem
Vlastite vrijednosti matrice A (korijeni karakteristične jednadžbe) jedna su od objektivnih
ocjena kvalitete zrakoplova. Ta se ocjena provodi na osnovi veličina koje ovise o korijenima
karakteristične jednadžbe. Letovi se svrstavaju u tri kategorije: A, B i C, a u svakoj kategoriji
letova zrakoplovi se svrstavaju u tri klase. Klase su određene uvjetima koji se postavljaju
korijenim akarakteristične jednadžbe, a ti uvjeti ovise o kategoriji leta
U kategoriju A spadaju letovi tijekom kojih se izvode brzi manevri i čije putanje
moraju biti vrlo precizne, kao na primjer borbeni zrakoplovi koji ciljaju za vrijeme leta, ili
letjelice koje tijekom leta moraju pratiti konfiguraciju Zemljišta itd.
U kategoriju B uvrštavaju se letovi tijekom kojih nema zahtjeva za velikim
manevarskim sposobnostima niti za velikom točnosti putanja, ali ti zahtjevi mogu biti
postavljeni u blažoj formi, kao npr. za slučaj zrakoplova koji opskrbljuje gorivom u letu druge
zrakoplove, zatim letovi za vrijeme penjanja i spuštanja te letovi pri odbacivanju praznih
spremnika goriva itd.
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-22
U treću kategoriju C spadaju letovi tijekom kojih nema velikih manevarskih zahtjeva,
ali se zahtijevaju precizne putanje da bi zrakoplov mogao doći u neku određenu putanju, kao
što su zrakoplovi koji se pune gorivom u letu, bombardiranja, polijetanje i slijetanje itd.
Dugoperiodičnim modovima se ocjenjuje klasa zrakoplova prema parametru gušenje
ζ ili prema vremenu 2τ za sve kategorije letova.
Prva klasa zrakoplova ima gušenje 04.0>ζ
Druga klasa zrakoplova ima 0>ζ
Treća klasa zrakoplova može biti s negušenim modom ako je .552 s>τ
Kratkoperiodičnih modova ocjenjuju se parametrom gušenja koji ima tri klase ovisno
o kategoriji leta prema tablici 13-1. Ako je gušenje malo, onda zrakoplov može imati vrlo
neugodna njihanja, a ako je gušenje jako, tada zrakoplov može biti trom (lijen). To znači da
imamo i gornju i donju granicu gušenja kratkoperiodičnih modova.
Tablica 13-1 ζ za kratko periodične modove
Kategorija A i C Kategorija B Klasa
od do od do
I 0.35 1.30 0.30 2.00
II 0.25 2.00 0.20 2.00
III 0.15 - 0.15 -
Tablica 13-2
α
ωn
n2
Kateg. A B C
Klasa od do od do od do
I 0.28 3.6 0.085 3.6 0.16 3.6
II 0.16 10.0 0.038 10.0 0.096 10.0
III 0.16 - 0.038 - 0.096 -
Isto tako propisuju se prema tablici 13-2 granice za odnos prirodne frekvencije
22 ωδω +=n kratkoperiodičnih modova prema gradijentu normalnog opterećenja po
napadnom kutu
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-23
WCSV
n Lref αα
ρ 221
=
13.7.1 Primjer
Provedimo ocjenjivanje malog zrakoplova iz prethodnih primjera prema ovim kriterijima.
Za dugoperiodično gibanje faktor gušenja je pri najvećoj masi
046.0237.00108.0
0108.02222=
+=
+=
ωδδζ .
Ova vrijednost odgovara za prvu klasu zrakoplova jer je 040.0>ζ .
Slika 13-11
Međutim mali zrakoplov može imati razne vrijdnosti mase tijekom leta. Zato smo napravili
program Dugoperiodicni.m koji se nalazi u direktoriju Dinamicka stabilnost\uzduzna, s
kojim kontroliramo ovaj uvjet od maksimalne do minimalne mase. Taj program crta krivulju
( )mζ , a na slici 13-11 nacrtana je i vrijednost minζ od koje mora biti veće ζ bez obzira na
masu m. S kružićem "o" označena je točka s najvećem masom za koju smo izračunali gušanje.
S dijagrama vidimo da uvjet za prvu klasu nije zadovoljen kad je masa manja od 730 kg.
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-24
Parametar gušenja kratkoperiodičnog gibanja za najveću masu ima vrijednost
53.091.345.2
45.22222=
+=
+=
ωδδζ .
Prema kriteriju za kratkoperiodično gibanje za letove grupe A treba biti
3.135.0 <<ζ
Taj uvjet zrakoplov ispunjava kada ima najveću masu. Pogledajmo pomoću programa
Kratkoperiodicni.m da li zrakoplov zadovoljava taj uvjet kada masa opada zbog potršnje
goriva ili zbog manjeg tereta. Program crta krivulju ( )mζ za kratkoperiodični mod i kao što
se vidi sa slike 13-12 uvjet je bolje zadovoljen kad je masa manja od maksimalne.
Slika 13-12
Konačno proverimo i uvjet za kratkoperiodične modove
6.328.02
<<α
ωn
n
Za maksimalnu masu bit će
61.4907.3447.2 2222 =+=+= ωδωn .
45.981,91088
72.406.151.530066.1 2212
21
=⋅
⋅⋅⋅⋅==
WCSV
n Lref αα
ρ
Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-25
Traženi parametar ima vrijednost
25.245.961.4 22
==α
ωn
n
Prema kriteriju za kratkoperiodične modove, mali zrakoplov s maksimalnom masom, spada u
prvu klasu za letove A grupe. Pomoću programa Uvjeti.m pogledajmo da li pri manjim
masama zrakoplov ispunjava ovaj uvjet za kratkoperiodične modove. Rezultat toga programa
je slika 13-13 .
Slika 13-13
Vidimo da zrakoplov za sve vrijednosti mase od maksimalne do minimalne ispunajva uvjet za
kratkoperiodične modove.
Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-26
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-1
14 DINAMIČKA STABILNOST BOČNOG GIBANJA
14.1 Modovi bočnog gibanja
Cjelokupan sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja zrakoplova s elisnim pogonom bio je:
m
oooq
ooT
oou
n
ooorp
o
ooTo
ou
Zu
Z
Zugq
ZuZu
ZuZ
uZumu
TZ
u
Y
ugr
uY
puY
uY
gXumu
TXu
m
n
δ∆ϑ∆ϑ
∆α∆∆
α
α∆
δ∆φ∆ϑ∆∆β∆β∆
ϑ∆ϑα∆∆α
∆
α
δ
ααα
α
α
δβ
α
0000000000
0000
0
0
sinsin
cos1
coscos
&&&&&
&
&
&
−+
−−
−
++
−+
−
−=
++
+−++=
−+
−=
nrp
m
o
oq
o
q
ooT
oou
nrp
n
m
m
n
NNrNpNNr
ZuZM
M
qZuZu
MMZu
gMZuZMMu
Zumu
TZMq
LLrLpLLp
δδβ
δ
ϑϑ
α
α
δδβ
δδβ
α
δαδ
αα
α
α
α
ααα
αα
δδβ
∆+∆+∆+∆+∆=∆
∆
−++
∆
−
+++∆
−−∆
−
++∆−
−=∆
∆+∆+∆+∆+∆=∆
00000
00
00
0000
00
0
00
00
000
00000
sinsin
l
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
l
l
l
&
&
&
0
0
cos
tan
θψ
ϑ
ϑφ
rq
rp
∆=∆
∆=∆
∆+∆=∆
&
&
&
Prva, treća, peta i osma bile su jednadžbe uzdužnog gibanja koje smo proučili u prethodnom
poglavlju. Preostalih pet jednadžba
0
0
00000
00000
0000
0
0
cos
tan
cos1
θψ
ϑφ
δδβ
δδβ
δφϑββ
δδβ
δδβ
δβ
rrp
NNrNpNNr
LLrLpLLp
uY
ugr
uYp
uY
uY
nrp
nrp
n
ooorp
o
n
n
n
∆∆
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆
=
+=
++++=
++++=
++
+−++=
&
&
&
&
&
l
l
l
l
14.1
odnose se na skretanje i valjanje. Možemo ih riješiti neovisno o uzdužnom gibanju, ali ova
dva gibanje (skretanje i valjanje) ne možemo rastaviti jer su im jednadžbe spregnute, tj.
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-2
moramo ih simultano rješavati. Zato ta dva simultana gibanja, skretanje i valjanje, zajednički
nazivamo bočno gibanje. Zadnja jednadžba definira kut skretanja letjelice, a on se ne
pojavljuje u prethodnim jednadžbama. Zato se ovaj sustav raspada na četiri + jedna
jednadžba. Prve četiri jednadžbe:
rp
NNrNpNNr
LLrLpLLp
uY
ugr
uYp
uY
uY
nrp
nrp
n
ooorp
o
n
n
n
∆+∆=∆
∆+∆+∆+∆+∆=∆
∆+∆+∆+∆+∆=∆
∆+∆+∆
+−+∆+∆=∆
0
00000
00000
0000
0
0
tan
cos1
ϑφ
δδβ
δδβ
δφϑββ
δδβ
δδβ
δβ
&
&
&
&
l
l
l
l 14.2
imaju varijable
[ ]Trp φβ ∆∆∆∆ ,
a petu varijablu ψ∆ ako je trebamo rješavamo naknadno. I ovdje smo dobili nehomogene
linearne diferencijalne jednadžbe oblika:
∆∆
+
∆∆∆∆
−
=
∆∆∆∆
nrp
rl
rp
n
n
n
NNLLuY
rp
NNNLLL
ug
uY
uY
uY
rp
dtd
δδ
φ
β
ϑ
ϑ
φ
β
δδ
δδ
δ
β
β
β
l
l
l
00
0
0tan1000
cos1
00
00
0
0
0
000
000
0
0
0
0
0
0
0
0
14.3
koje kraće pišemo
BeXAX += ∆∆dtd . 14.4
U toj matričnoj jednadžbi poremećaja bočnog gibanja, vektor stanja ima četiri komponente
[ ]Trp φ∆∆∆β∆∆ =X , a vektor upravljanja [ ]Tne δ∆δ∆ l= , za razliku od uzdužnog
gibanja, ima dvije dimenzije. Matrica sustava i matrica upravljanja su
−
=
0tan1000
cos1
0
000
000
0
0
0
0
0
0
0
0
ϑ
θ
β
β
β
rp
rp
rp
NNNLLL
ug
uY
uY
uY
A
=
00
0
00
00
0
0
n
n
n
NNLLu
Y
δδ
δδ
δ
l
lB 14.5
Kao što vidimo matrica A je opet četvrtog reda pa je i karakteristični polinom bočnog gibanja
( ) JA ssD −= 14.6
polinom četvrtoga reda kao i u slučaju uzdužnog gibanja, koji mora biti jednak 0 da bi
postojalo homogeno rješenje:
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-3
( ) 0012
23
34 =++++= dsdsdsdssD 14.7
Taj polinom ima četiri korijena 4321 i,, ssss Korijene određujemo u MATLAB-u na isti
način kao i u slučaju uzdužnog gibanja pomoću sistemskih rutina
( )( ) ,ps
Aprootpoly
==
gdje su [ ]43211 dddd=p koeficijenti karakterističnog polinoma matrice A.
Homogeno rješenje je oblika:
=
ts
ts
ts
ts
rrrr
pppp
h
h
h
h
eeee
CCCCCCCCCCCCCCCC
rp
4
3
2
1
4321
4321
4321
4321
φφφφ
ββββ
φ∆∆∆β∆
14.8
a možemo ga napisati u obliku:
tstststs eeee 4321432 CCCCX 1h +++=∆ 14.9
Svakom korijenu, tj. svakom članu tsie gibanja, odgovara jedan vektor konstanta, a to znači
da vektor iC uz član tsie ima 4 konstante, tj. [ ]Tiripiii CCCC φβ=C , prva je u
jednadžbi za β∆ , druga u jednadžbi za p∆ , treća u jednadžbi za r∆ i četvrta u jednadžbi za
φ∆ .
Partikularni integral pX∆ tražimo u obliku konstantnog vektora za slučaj konstantnog
odskoka otklona lδ∆ i nδ∆ pa on mora zadovoljiti jednadžbu
eBXA ∆∆ += p0
u kojoj je vektor upravljanja e∆ konstantan. To znači da je
eBAXp ∆∆ 1−−= 14.10
Kao i u slučaju uzdužnog gibanja, uvodimo matricu aerodinamičkog pojačanja bočnog
gibanja
BAK 1−−= 14.11
koja ima dva stupca svaki s četiri člana, jer imamo dva parametra upravljanja.
Konačno, bočno gibanje je zbroj homogenog i partikularnog integrala:
⋅+=∑
= n
l
i
tsieδ∆δ∆
∆ KCX i
4
1
. 14.12
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-4
14.1.1 Primjer
Za laki putnički zrakoplov za koji smo odredili modove uzdužnog gibanja treba odrediti
modove bočnog gibanja. Potrebne karakteristike za bočno gibanje su
;77.809.15 2
mbmS
==
masene karakteristike:
kgm .1088= 21450 mkgI X ⋅= 23134 mkgI Z ⋅= ;
aerodinamičke karakteristike (vidi primjere 5.4.3, 5.5 i 5.4.4):
137.0119.0
0283.0317.0
==
−=
−=
nY
Yr
Yp
Y
CCCC
δ
β
0122.0
517.0
056.075.0
193.0
105.0
=
=
+=
−=
−=
nC
C
C
C
C
r
p
δ
δ
β
α
l
l
l
l
l
l
0721.0
0344.0
0604.0
0143.0
154.0
−=
−=
−=
=
=
nn
n
rn
pn
n
C
C
C
C
C
δ
δ
β
l
Zrakoplov leti horizontalno brzinom smV 1.53= pa je 03.3=== ravT ααϑ , pa je
0992.0056.03.573.375.0 =+⋅=rCl
Rješenje pomoću MATLAB-a dano je u programu koji se zove ABroot.m, a nalazi se
na CD-u u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Bocna":
00.05771000.5981-0.14169.233602.12324.1309-13.6073-
0.18440.9927-0.0017- 0.1176-
= A
−−003230.40626.2
5810.19997.660508.00
= B
Korijeni su
0.0634 si3.0327- -0.3389si3.0327 -0.3389s
-4.2323= s
4
3
2
1
==
+=
Kao što vidimo iz ovog primjera bočno gibanje ima tri tipa korijena karakteristične jednadžbe:
• negativni realni korijen kome odgovara aperiodični mod,
• konjugirano kompleksni korijen kome odgovara gušeni harmonijski mod, tzv.
Dutch mod,
• jedan mali realni korijen koji može biti pozitivan kome odgovara aperiodični mod,
tzv. spiralni mod.
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-5
14.2 Prijenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilaca
Općenito uzevši, analiza bočnoga gibanja po otklonu kormila pravca ista je kao analiza
uzdužnoga gibanja zbog otklona kormila visine. Međutim s obzirom na druge vrijednosti
matrica A i B rezultat analize je različit.
Laplace-ova transformacija linearnog sustava bočnog gibanja je
( ) ( ) ( )ssss eBXAX ⋅+⋅= ∆∆ . 14.13
Matrice A i B su konstantne (jednadžbe 14.5), a vektor upravljanja ( )se ima dvije
komponente koje su Laplace-ova transformacija zadanih funkcija ( )tlδ∆ i ( )tnδ∆ . Zbog
linearnog karaktera odgovor na istodobne otklone kormila pravca i krilca bit će zbroj
odgovora na otklon samo kormila pravca i samo krilca. Zato ćemo te odgovore analizirati
odvojeno.
Pretpostavimo da nema otklona krilaca već je otklonjeno samo kormilo pravca. Tada
linearni sustav jednadžbi 14.13 ima oblik:
( ) ( ) ( )ssss nδ∆+∆⋅=∆ 2BXAX 14.14
gdje je matrica A
−
=
0tan1000
cos1
0
000
000
0
0
0
0
0
0
0
0
ϑ
θ
β
β
β
rp
rp
rp
NNNLLL
ug
uY
uY
uY
A 14.15
a matrica 2B je drugi stupac od matrice B (jednadžba 14.5)
=
0
0
0
0
0
2
n
n
n
NLuY
δ
δ
δ
B 14.16
Ako nema otklona kormila pravca ( ) 0=∆ tnδ , ali su otklonjena krilca onda je Laplace-ova
transformacija linearnog sustava bočnog gibanja
( ) ( ) ( )ssss lδ∆+∆⋅=∆ 1BXAX 14.17
Matrica A je ista kao i u prethodnom slučaju, ali matrica 1B je prvi stupac od matrice B.
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-6
=
0
0
0
0
1l
l
δ
δ
NL
B 14.18
U oba slučaja uvodimo prijenosne funkcije bočnog gibanja:
• po otklonu kormila pravca.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
T
nnnn
Trp
ss
ssr
ssp
ss
sGsGsGsGsnnnnn
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
=
==
δφ
δδδβ
δφδδδβδG
14.19
gdje su φβ ∆∆∆∆ i,, rp odgovori na otklon nδ∆ ,
• po otklonu krilca
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
T
nnnn
Trp
ss
ssr
ssp
ss
sGsGsGsGs
∆∆
∆∆
∆∆
∆∆
=
==
δφ
δδδβ
δφδδδβδ lllllG
14.20
gdje su φβ ∆∆∆∆ i,, rp odgovori na otklon lδ∆ .
Poslije smjene ( )( ) ( )sss
nn
δδGX
=∆∆ u jednadžbe 14.14 i ( )
( ) ( )sss
l
l
δδGX
=∆∆ u jednadžbu 14.17
dobivamo sustave algebarskih jednadžbi koji određuje prijenosne funkcije
( ) ( ) 2BGJA −=⋅− ssnδ
14.21
( ) ( ) 1BGJA −=⋅− sslδ
14.22
Rješenjem ovih sustava algebarskih jednadžbi dobivamo prijenosne funkcije
( ) ( )( )sD
ss nδ
δ
NG
n= 14.23
( ) ( )( )sD
ss nδ
δ
NG =
l 14.24
Polinomi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp sNsNsNsNsnnnnn δφδδδβδ =N trećeg reda predstavljaju vrijednosti
determinanta koje dobivamo kada u determinantu sustava JA s− zamjenimo odgovarajući
stupac uz poremećaj sa stupcem 2B (drugim stupcem matrice B) kome prethodno
promijenimo predznak.
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-7
Isto tako dobivamo polinome ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp sNsNsNsNslllll δφδδδβδ =N stim da
stupce u determinanti JA s− zamjenjujemo sa stupcem 1B . Uočimo da je determinanta
sustava JA s− ista za otklone kormila pravca i krilca.
14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilaca
Kada znamo prijenosne funkcije lako je odrediti odgovor na neki određeni otklon kormila
pravca ili krilaca. Taj odgovor bit će u Laplace-ovom području
( ) ( ) ( )sss nnδδ ∆⋅=∆ GX
( ) ( ) ( )sss llδδ ∆⋅=∆ GX
Ako je ( ) 1=∆ snδ , onda je
( ) ( )ssnδ
GX =∆ 14.25
ili ako je ( ) 1=∆ slδ , onda je
( ) ( )sslδ
GX =∆ 14.26
Kao i u slučaju uzdužnog gibanja izlaze veličine u realnom vremenu ( )tX∆ zbog jediničnog
impulsa označimo sa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp shshshshs φβ=h .
One će biti jednake inverznim Laplace-ovim transformacijama od prijenosnih funkcija
( ) ( )[ ]sLtnδ
Gh 1−= , 14.27
ili
( ) ( )[ ]sLtlδ
Gh 1−= , 14.28
Te inverzne transformacije vršimo primjenom Heavisideova teorema razvoja. jer su
prijenosne funkcije, određene jednadžbama 14.23 i 14.24, pravi razlomci koji u brojniku
imaju polinome trećeg reda ( )sn
Nδ ili ( )slδ
N , a i nazivniku sve prijenosne funkcije imaju isti
polinom četvrtog reda ( )sD čiji su korijeni 4321 si,, sss .
( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( ) .43
21
342414
4
432313
3
423212
2
413121
11
tsts
tsts
essssss
sessssss
s
essssss
sessssss
ssDsLt
−−−+
−−−+
+−−−
+−−−
=
= −
NN
NNNh 14.29
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-8
Ukoliko tražimo odgovor na impuls kormila pravca treba uzeti polinome ( )sn
Nδ , a odgovor
na impuls krilaca dobivamo uvrštavanjem polinoma ( )slδ
N . U oba slučaja, imamo u realnom
vremenu odgovore na impuls kormila pravca ili krilca, u obliku
( ) tstststs eeeet 43214321 CCCCh +++= . 14.30
14.3.1 Primjer
Pogledajmo odgovore našeg malog zrakoplova čije smo korijene karakteristične jednadžbe
bočnog gibanja već odredili. Prvo ćemo analizirati odgovore na impulsi otklon kormila
pravca. Oni su određeni primjenom programa impuls.m, koji se nalazi na disketi u direktoriju
"Dinamicka stabilnost\Bocna", a koji je sličan onom koji smo koristili za uzdužno gibanje.
U programu matrica B ima dva stupca: prvi stupcu za slučaj otklona krilaca, a drugi za slučaj
otklona kormila pravca pa je zato za analizu odgovora na impuls kormila pravca potrebno
staviti parametar ib=2. Rezultati su prikazani dijagramima na slikama 14-1, 14-2, 14-3 i 14-4.
Slika 14-1 ( )tu∆ za jedinični impuls kormila pravca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-9
Slika 14-2 ( )tp∆ za jedinični impuls kormila pravca
Slika 14-3 ( )tr∆ za jedinični impuls kormila pravca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-10
Slika 14-4 ( )tφ∆ za jedinični impuls kormila pravca
Slika 14-5 ( )tβ∆ zbog impulsa krilca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-11
Slika 14-6 ( )tp∆ zbog impulsa krilca
Slika 14-7 ( )tr∆ zbog impulsa krilca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-12
Slika 14-8 ( )tφ∆ zbog impulsa krilca
Za analizu odgovora na impuls krilca treba staviti u program ib=1. Rezultati su na slikama
14-5, 14-6 14-7 i 14-8. Kao što vidimo s ovih dijagrama Dutch mod dao je početne ali gušene
titraje, dok je spiralni mod (pozitivni korijen) uzrok stalnom porastu poremećaja poslije
gušenja Dutch moda. Srećom to povećanje poremećaja nije brzo te je pilot u mogućnosti
ručno ga korigirati.
14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca
Ako tražimo odgovor na jedinični odskok kormila pravca ili krilaca. Laplace-ova je
transformacija od jediničnog odskoka je s1 , pa je u Laplace-ovom području
( ) ( )sss GX =∆
ili u realnom vremenu :
( ) ( )( )
⋅
=∆ −
sDssLt NX 1
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-13
s tim da treba uzeti polinome ( )sn
Nδ u slučaju odskoka kormila pravca, odnosno ( )slδ
N u
slučaju odskoka krilaca. Polinom ( )sDs ⋅ petog je reda koji ima četiri korijena od
karakteristične jednadžbe bočnog gibanja 4321, ssss i peti korijen koji je jednak nuli
05 =s . Primjenom Heavisideova teorema bit će poremećaji bočnog gibanja u realnom
vremenu
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )43214342414
4
2313343
3
1224232
2
1413121
1
043
21
sssse
sssssssse
ssssssss
esssssss
sesssssss
s
tsts
tsts
NNN
NNX
+−−−
+−−−
+
+−−−
+−−−
=∆
14.31
To rješenje možemo napisati u obliku
( ) ∑=
+=∆4.1i
tsi
ies KCX 14.32
I ako su rješenja po obliku ista za odskok kormila pravca i krilca, poremećaji bočnog gibanja
bit će različiti zato što smo polinome ( )sn
Nδ dobili pomoću stupca 2B , a polinome ( )slδ
N
pomoću stupca 1B . Podsjetimo se, da su u oba slučaja korijeni 4321, ssss isti, dva
kompleksno konjugirana korijena daju Dutch mod, jedan realan ali negativan daje aperiodičan
mod i konačno jedna realan i pozitivan, ali mali, daje spiralni mod u oba odgovora.
14.4.1 Primjer
Za mali zrakoplov odredili smo odgovore na jedinični odskok kormila pravca i zatim i krilaca
pomoću programa otsk.m (nalazi se u istom direktoriju na CD-u). Rezultati su prikazani za
slučaj odskoka kormila pravca dijagramima na slikama 14-9, 14-10, 14-11 i 14-12. Program
je napravljen korištenjem naredbe LSIM iz MATLAB-a pomoću koje se definira jedan
linearni sistem tipa
( ) ( )sss eBXAX ⋅+∆⋅=∆⋅
u kome vektor upravljanja e ima dva stupca: prvi definira otklon krilaca na svakom koraku
integracije, a drugi otklon kormila pravca također u svakom koraku integracije. I u ovom
slučaju analizom poremećaja na odskok kormila pravca vidimo da poslije smirivanja Dutch
moda svi poremećaji polako rasu zbog spiralnog moda (pozitivni realni korijen).
S istim programom otsk.m analizirali smo i poremećaje bočnog gibanja zbog odskoka
krilca, a rezultati su prikazani na slikama 14-13, 14-14, 14-15 i 14-16.
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-14
Slika 14-9 ( )tβ∆ za jedinični odskok kormila pravca
Slika 14-10 ( )tp∆ za jedinični odskok kormila pravca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-15
Slika 14-11 ( )tr∆ za jedinični odskok kormila pravca
Slika 14-12 ( )tφ∆ za jedinični odskok kormila pravca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-16
Slika 14-13 ( )tβ∆ zbog odskoka krilca
Slika 14-14 ( )tp∆ zbog odskoka krilca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-17
Slika 14-15 ( )tr∆ zbog odskoka krilca
Slika 14-16 ( )tφ∆ zbog odskoka krilca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-18
Iako odksok krilaca ne bi trebao utjecati na kut klizanja vidimo da se zbog njega ipak pojavio
kut klizanja. Taj je kut vrlo mali tako da su posljedice male i spore, te ih pilot može bez
teškoće otkloniti. Isto tako loša posljedica pozitivnog korijena je i pojava kutne brzina
skretanja, koju pilot također može ručno poništiti. Međutim, odskok krilaca daje poslije
prijelaznog procesa kutnu brzinu valjanja koja raste s vremenom, a ona uzrokuje kut valjanja
koji još brže raste s vremenom. To znači da se ne može upravljati kutom valjanja. Očigledno
je da se željeni kut valjanja ne može postaviti otklonom krilaca, kao što se to može učinili s
napadnim kutom otklonom kormila visine. U slučaju napadnog kuta, upravljački moment,
stvoren otklonom kormila visine, povećava napadni kut, a s povećanjem napadnog kuta za
statički stabilne letjelice stvara se suprotan moment (efekt opruge) koji uravnotežuje
upravljački moment. I upravo u toj ravnoteži postižemo željeni napadni kut (ravnotežni
napadni kut). To se ne može postići pri valjnju jer ne postoji moment valjanja koji je
proporionalan kutu valjnja i suprotnog smjera (efekta opruge). U valjanju postoji samo
moment proporcionalan otklonu krilaca. Zbog toga direktnim otklonom krilaca ne možemo
postaviti željeni kut valjanja.
14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormilom pravca ili krilaca
Tražimo odgovor letjelice na harmonijski otklon kormila pravca ( ) tin et ωδ =∆ ili krilaca
( ) tiet ωδ =∆ l . U oba slučaja Laplace-ovu transformaciju ove pobude je
ωis −
1
pa su poremećaji bočnog gibanja
( ) ( )ωisss
−=∆
GX .
s tim da uzmemo odgovarajući set prijenosnih funkcija po kormilu pravca ili krilaca. U
realnom vremenu poremećaji bočnog gibanja bit će određeni inverznom Laplace-ovom
transformacijom
( ) ( )( ) ( )
⋅−
=∆ −
sDissLt
ωNX 1 .
u kojoj opet trebamo uzeti odgovarajuće polinome ( )sn
Nδ za slučaj otklona kormila pravca,
odnosno ( )slδ
N u slučaju otklona krilaca.
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-19
Polinom u nazivniku ( ) ( )sDis ⋅− ω petoga je reda i ima četiri korijena ista kao i
karakteristični polinom bočnog gibanja ( )sD , a peti korijen je ωis = . Primjenom
Heavisideova teorema razvoja dobivamo:
( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
ti
tsts
tsts
esisisisi
i
eisssssss
seisssssss
s
eisssssss
seisssssss
st
ω
ωωωωω
ωω
ωω
4321
4342414
4
3432313
3
2423212
2
1413121
1
43
21
−−−−+
+−−−−
+−−−−
+
+−−−−
+−−−−
=∆
N
NN
NNX
14.33
Od četiri korijena karakteristične jednadžbe bočnog gibanja, jedan je realan i pozitivan i zbog
toga jedan od prva četiri člana na desnoj strani tijekom vremena raste, dok tri iščezavaju
(aperiodični mod i Dutch mod). Peti član
( ) ( )( )( )( )( )
tiesisisisi
it ω
ωωωωω
4321 −−−−=∆
NX
predstavlja mod bočnog gibanja zbog harmonijskog otklona kormila pravca. Kompleksna
amplituda ovog moda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja, pa taj mod ima
oblik
( ) ( ) tieK ωωϕω +⋅ . 14.34
Taj mod bit će u svakoj varijabli bočnog poremećaja. Vidimo da je on također harmonijska
funkcija. Njegova amplituda ovisi o kutnoj brzini pobude, a periodičnost moda ima vremenski
pomak unaprijed za kut također u funkciji kutne brzine. Pri tome svaka varijabla bočnog
gibanja ima svoje funkcije ( )ωK i ( )ωϕ . Zato što je amplituda pobude bila jedinična,
amplituda ( )ωK predstavlja pojačanje amplitude u odgovoru.
14.5.1 Primjer
Za mali zrakoplov pomoću programa odziv.m, koji se nalazi u direktoriju Dinamička
stabilnost \bocna na CD-u, nacrtane su na slikama 14-17 i 14-18 funkcije ( )ωK i ( )ωϕ za
kut skretanja (m=1). Na tim slikama vidimo da i ovdje postoji rezonanca u području periode
Dutch moda. Rezonanca postoji i na otklon kormila pravca i na otklon krilaca, ali je dva puta
veća na otklon kormila pravca. Međutim pri analizi uzdužnog gibanja rezonanca napadnog
kuta na otklon kormila visine bila je znatno veća.
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-20
Slika 14-17 Pojačanje kuta klizanja ( )ωK u funkciji kutne brzine pobude kormila pravca
Slika 14-18 Pomak kuta klizanja ( )ωϕ u funkciji kutne brzine kormila pravca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-21
Slika 14-19 Pojačanje kuta ( )ωK klizanja na otklon krilca
Slika 14-20 Fazni pomak kuta klizanja ( )ωϕ na otklon krilca
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-22
Tamo je maksimalno pojačanjeza mali zrakoplov bilo reda veličine 45, dok je ovdje
maksimalno pojačanje za otklon kormila pravca oko 2.1, a za otklon krilaca 1.1.
14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljnja bočnog gibanja
Prvi kriterij odnosi se na ocjenu aperiodičnog moda (mod koji odgovara realnom negativnom
korijenu) upotrebljava se parametar vremenska konstanta. Kada je realni koren negativan,
recipročna vrijednost s promijenjenim predznakom korijena naziva se vremenska konstanta
moda. Ona pokazuje koliko brzo iščezava aperiodičan mod.
Tablica 14-1
Maksimalna vremenska konstanta maxτ
Razina kvalitete Kategorija
leta
Klasa
zrakoplova 1 2 3
A I, IV 1.0 1.4 10
II, III 1.4 3.0 10
B svi 1.4 3.0 10
C I, II-C, IV 1.0 1.4 10
II-L, III 1.4 3.0 10
U tablici 14-1 dane su prema [14, 17], dopuštene maksimalne vrijednosti za vremensku
konstantu moda. Te vrijednosti ovise ne samo o kategoriji letova (A, B i C vidi 13.7) već i o
klasifikaciji zrakoplova. Zrakoplovi se svrstavaju u četiri klase, s tim da se druga klasa dijeli
još u dvije pod klase:
• prvu klasu čine mali laki zrakoplovi;
• drugu klasu čine zrakoplovi srednje težine i srednje manevarske sposobnosti koji
se dijele u dvije pod klase:
o II-C (carrier operation)
o II-L (land operation)
• u trećoj klasi su teški zrakoplovi male do srednje manevarske sposobnosti;
• četvrtu klasu čine zrakoplovi velike manevarske sposobnosti.
Drugi kriterij kvalitete bočnog gibanja odnosi se na Duch mod (gušeno harmonijsko
gibanje) od kompleksno konjugiranih korijena. Ovisno o kategoriji leta, razini kvalitete i klasi
zrakoplova zahtijevaju se tri uvjeta:
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-23
• prvi uvjet minδ
• drugi uvjet ( )min22
min ωδω +=n
• treći uvjet minζ
Pregled ovih minimalnih vrijednosti dat je u tablici 14-2.
Tablica 14-2 Minimlani uvjeti za Duch mod
minδ minnω minζ Razina
kvalitete
Kategorija
leta
Klasa
zrakoplova -
I, IV 0.35 1.0 0.19 A
II, III 0.35 0.4 0.19
B svi 0.15 1.0 0.08
I, II-C, IV 0.15 1.0 0.08
1
C
II-L, III 0.15 0.4 0.08
2 sve svi 0.05 0.4 0.02
3 sve svi - 0.4 0.02
Konačno treći kriterij se odnosi na spiralni mod (mod od pozitivnog realnog
korijena), tj. onaj koji je nestabilan. Jasno je da on mora imati propisano minimalno vrijeme
za koje će udvostruči amplitudu. Te propisane vrijednosti za vrijeme udvostručenja amplitude
dane su u tablici 14-3 za razne razine kvalitete ovisno o klasi zrakoplova i kategoriji leta .
Tablica 14-3 Minimalno vrijeme udvostručavanja min2t
Razina kvalitete Klasa zra-
koplova
Kategorija
leta 1 2 3
A 12 12 4.0 I i IV
B i C 20 12 4.0
II i III svi 20 12 4.0
Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-24
14.6.1 Primjer
Vremenska konstanta aperiodičnog moda iznosi
236.0232.411
1
==−
=s
τ
Prema postavljenom kriteriju, ova je vrijednost znatno ispod postavljene granice 00.1max =τ
za letove A s prvom klasom i najboljom kvalitetom zrakoplova. To je slučaj
Tri uvjeta za Dutch mod
Apsolutnu vrijednost realnog dijela korijena
339.0=δ ,
a prema kriterijima za letove A realni dio korena treba biti veći od 35.0 za prvu klasu
zrakoplova. Znači da mali zrakoplov ne udovoljava tom uvjetu.
Modul korijena je
05.3033.3339.0 2222 =+=+ωδ ,
a prema kriteriju on treba bti veći od 1, što je zadovoljeno
Faktor gušenja
111.005.3
339.022
==+
=ωδ
δζ
a prema kriteriju za letove A za zrakoplove prve klase taj faktor treba biti veći od 0.19. Ni
ovdje mali zrakoplov ne udovoljava tom zahtjevu
Međutim, za letove B, mali zrakoplov udovoljava sva tri uvjete za prvu klasu.
Konačno, spiralni mod (onaj koji je nestabilan, zbog realnog pozitivnog korijena) ima
vremensku konstantu
9.100634.0
2ln2ln
4
===s
t
što je iznad propisanog minimuma 12 s. na letovima A za prvu klasu zrakoplova.
Time smo provjerili uvjete samo u slučaju kada je masa maskisimalna, a režim leta
odgovara najvećem doletu. Potrebno je prevjeriti ove uvjete i za druge slučajeve. Zato smo
napravili program u MATLAB-u koji se zove uvjeti.m nalazi se na CD-u u direktoriju
Dinamicka stabilnost\bocna . Taj program provjerava sve ove uvjete od maksimalne mase
(četiri člana posade, puni spremnici goriva i najveća dozvoljena prtljaga) do minimalne mase
(prazan zrakoplov). Dijagrami dobiveni programom pokazuju da se u cijelom intervalu od
maksimalne do minimalne mase rezultati isti kao za maksimalnu masu.
Prilozi A-1
A MAKSIMALNI UZGON KRILA Ovaj postupak procjene maksimalnog koeficijenta uzgona krila CL max i napadnog kuta αmax
prema [18], razlikuje se za krila male vitkosti od postupka procjene za krila velike vitkosti.
Granica malih i velikih vitkosti krila A B ovisi o Machovu broju kao i o obliku krila.
( )[ ]A
Ma
CBLE
=−
+
3 1
1
2
1 λ cosΛ A.1
λ je suženje krila, odnos vršne prema korijenskoj tetivi krila, a LEΛ je strijela prednjeg
napadnog ruba krila. Eksperimentalna funkcija ( )C1 λ prikazana je na slici A-1
Slika A-1. Funkcija ( )C1 λ
Ako je krilo male vitkosti, tj. ako je A A B< ,onda je
( ) ( )
( ) ( )C f A f A Ma
f A f A Ma
L L y L
a
max
max
, ,
,
= ′ + ′′
= ′ + ′′
∆ ∆
∆α α
A.2
Uz već objašnjeni parametar ∆ y , koji predstavlja utjecaj oblika prednjeg ruba na maksimalni
koeficijent uzgona, pojavljuju se još dva parametra:
( )
( ) LE
LE
ACA
Ma
ACA
Λ
Λ
tan1
1
cos1
2
21
+=′′
−+=′
A.3
U ovim parametrima pojavljuje se još jedna funkcija od suženja krila ( )C2 λ . Ona je
prikazana na slici A-2.
Prilozi A-2
Slika A-2. Funkcija ( )C 2 λ
Eksperimentalne funkcije fL i fα ovisno o ovim parametrima prikazane su na slikama A-3 i
A-4. Na tim dijagramima je Y∆ označeno s Dy.
Slika A-3. Funkcija ( )f AL y′, ∆
Funkcije ∆fL i ∆fα dane su dijagramima na slikama A-5 i A-6.
Za krila velike vitkosti, a to su krila koja imaju A A B> , koeficijent maksimalnog
uzgona krila maxLC za 6.02.0 ≤≤ Ma zbroj je dvaju dijelova :
Prilozi A-3
Slika A-4. Funckija ( )f Aα ′
Slika A-5. Funckija ( )∆f A MaL ′′,
Slika A-6. Funkcija ( )∆f A Maα ′′,
Prilozi A-4
maxmaxmax LLL CCfC ∆+= ll A.4
• Prvi dio maxllCf L , koeficijent maksimalnog uzgona krila pri 2.0=Ma proporcionalan je
maksimalnom uzgonu profila krila. Koeficijent proporcionalnosti lLf ovisi o strijeli
napadnog ruba LEΛ i o parametru Y∆ . Ta ovisnost prikazana je na dijagramu slike A-7, a
koeficijent maksimalnog uzgona profila maxlC koji ovisi o relativnoj debljini ct prikazan
je na slici A-8.
Slika A-7. Funkcija ( )f fL L LE yl l= Λ ∆,
Slika A-8. Maksimalni koeficijent uzgona profila maxlC u ovisnosti o relativnoj debljini ct
Prilozi A-5
• Drugi dio maxLC∆ predstavlja korekciju maksimalnog uzgona krila za ∆M Ma= − 0 2. . Ta
korekcija je negativna. Osim Ma∆ ta korekcija ovisi o strijeli napadnog ruba LEΛ i o
parametru Y∆ .Ta ovisnost ( )LEYL MaC Λ∆∆∆ ,,max prikazana je na slici A-9.
Slika A-9.
Koeficijenti maksimalnog uzgona krila CL max i napadnog kuta αmax , osim o vrijednosti ∆ y ,
ovise i o obliku krila (vitkosti krila A, suženja krila λ , strijele napadnog ruba krila LEΛ ), o
Prilozi A-6
relativnoj debljini krila i o Machovu broju Ma. Napadni kut pri kome krilo ostvaruje
maksimalni uzgon je zbroj tri dijela:
maxmax
max α∆ααα
++=L
LOL C
C A.5
Prva dva člana predstavljaju linearni dio. Prvi je aerodinamička značajka krila i ako krilo nije
uvijeno, treći je prirast pri kojemu se dostiže maksimalni uzgon. Na slici A-10 prikazan je
dijagram pomoću kojega određujemo maxα∆ u ovisnosti o strijeli napadnog ruba LEΛ i o
parametru Y∆ .
Slika A-10.
Prilozi B-1
B ATMOSFERA
B.1 Opće o atmosferi
Prema kemijskom sastavu Zemljinu atmosferu čine: dušik (70 %), kisik (21 %), vodena para
(≅3 %), vodik, ugljik i u veoma malim količinama plemeniti plinovi. Teško je reći dokle se
doseže atmosfera, jer gustoća zraka pada s visinom i na kraju je tako mala da se ne može reći
od koje visine više nema zraka. Obično se uzima da atmosfera prestaje na visinama od 2000
do 3000 km.
Cjelokupni Zemljin atmosferski omotač zemlje dijelimo na dva dijela:
- homosferu, koju čine tri sloja tropsfera, stratosfera i mezosfera. Temeljna značajka
homosfere je molekularno stanje plinova. Gornja granica homosfere je na 90 km visine.
- heterosferu, koju čine termosfera i egzosfera. U heterosferi počinju disocijacije
molekula plinova pod utjecajem kozmičkih zraka, tj. molekule su razbijene na atome.
Između ovih slojeva postoje prijelazni slojevi od nekoliko stotina metara. Ti prijelazni
slojevi imaju imena složena od imena prethodnoga sloja i nastavka “pauza”. Tako je
primjerice iznad troposfere tropopauzu, a iznad stratosfere je stratopauza itd.
Od svih tih slojeva zapravo nas zanima samo troposfera i iznimno i stratosfera. Troposfera
nije iste visine na svim geografskim širinama. Na našoj geografskoj širini ona doseže visinu
oko 11 km, a u blizini ekvatora i do 16 Km. Ta visina se također mijenja i s godišnjom dobi;
ljeti se povećava, a zimi smanjuje. U troposferi se nalazi oko 75 % ukupne mase atmosfere i
osnovni dio vodene pare. Bitno obilježje troposfere jest smanjenje temperature ovisno o
visini. Zimi i ljeti, poslije vedrih hladnih noći, mogu nastupiti inverzije temperature, kad
temperatura u početku raste s visinom, a onda od neke visine počinje opadati. U troposferi
mogu nastupiti značajna horizontalna, a rijetko i vertikalna strujanja zračne mase, koja
nazivamo vjetrovima. Horizontalni vjetrovi nastaju zbog razlike tlaka na raznim mjestima
Zemljine površine, dok su vertikalni vjetrovi posljedice prevelikih razlika temperature ovisno
s visini.
Stratosfera, sljedeći sloj, ima donju granicu na 11 km i gornju na približno 50 km.
Taj sloj ima konstantnu temperaturu do približno 30 Km. Od te visine do gornje granice sloja
temperatura raste. Promjena temperaturnog gradijenta između troposfere i stratosfere zbiva se
u uzanom međusloju od nekoliko stotina metara koji nazivamo tropopauza. U tom međusloju
javljaju se velika pomicanja zračne mase od zapada prema istoku brzine i do 110 m/s.
Prilozi B-2
Voda u obliku vodene pare nalazi se u atmosferi kao jedna od njenih sastavnica smeše.
Nazivamo je vlaga i mjerimo je obično u postocima (najviše do 4 % ). Vlaga naglo opada s
visinom. Najveći dio cjelokupne vlage nalazi se u donjemu graničnom sloju atmosfere.
Konkretno, 60 % od ukupne vodene pare na sjevernoj polusferi je do 2 km visine, a 99 % do
10 km. To znači da vlagu postoji zapravo samo u troposferi.
B.2 Ubrzanje Zemljine teže
Zemljina površina ima oblik geoida. U mehanici leta taj se oblik obično zamjenjuje sfernim
oblikom. U standardu ISO 5878 dani su polumjeri geoida r u zavisnosti od geografske širine
ϕ. Kada se Zemljin geoid zamijeni sa sferom, onda se uzima polumjer
kmR 6357= . B.1
Atmosferu izučavamo u odnosu na zemlju. Zato je sila koja djeluje na element mase dm na
visini h od razine mora i na geografskoj širini ϕ, vektorski zbroj gravitacijske sile i sile
tromosti uslijed rotacije Zemlje. Gravitacijska sila koja djeluje na elementarnu masu, ako je
Zemlja smatramo sfernim oblikom polumjera R, bit će:
dm
RhR
M22
1
1
+
γ B.2
i ona je u pravcu od središta mase dm do središta zemlje, sa smjerom od središta mase dm
prema središtu Zemlje.
Sila tromosti posljedica je koordinatnog sustava vezanog za Zemlju u odnosu na koji
promatramo atmosferu. Po pravcu okomita je na osu zemlje, po smjeru od Zemljine osi, a
njen je intenzitet
( )Ω 2 R h dm+ cosϕ
Rezultantu tih dviju sila nazivamo sila Zemljane teže. Jasno je da ubrzanje rezultante tih sila
ne prolazi kroz središte Zemljinog geoida, a intenzitet tog ubrzanja složena je funkcija od ϕ i
h. Tu funkciju s dovoljnom točnošću za geografske širine oko 45o zamjenjujemo
jednadžbom:
( ) ( )2
1,
+
=
Rh
fghg N ϕ
ϕ , B.3
gdje je
Prilozi B-3
80616.9=Ng B.4
( ) ( )ϕϕϕ 2cos0000059.02cos0026372.01 2+−=f B.5
Drugim riječima, za visinu mora (h=0) ubrzanje sile Zemljine teže je ( )g fN ϕ , a za geografsku
širinu 045=ϕ , ubrzanje je 280616.9 smg N = . Za područja bliže ekvatoru ili polovima
Zemlje treba pogledati standard ISO 5878. Radi lakšega izučavanja promjena tlaka u
atmosferi, uvodi se geopotencijalna visina. Po definiciji geopotencijalne visine H bit će
( )dhhgdHg N ϕ,=
Kako je
( ) ( )2
1,
+
=
Rh
fghg N ϕ
ϕ ,
bit će diferencijal geopotencijalne visine
( )dh
Rh
fgdHg N
N 2
1
+
=ϕ
.
Ako je ishodište geopotencijalne visine isto kao i ishodište realne visine (razina mora) postoji
veza između realne i geopotencijalne visine:
( ) h
Rh
fH+
=1
ϕ B.6
i
( )
RHf
Hh−
=ϕ
B.7
B.3 Značajke vlažnog zraka
U mehanici leta potrebne su nam temeljne fizičke značajke zraka - gustoća, brzina zvuka u
zraku, temperatura, tlak i vjetar. Sve te značajke zraka izučavaju na razini Međunarodne
meteorološke organizacije. Za mjerenje atmosfere postoji niz meteoroloških stanica koje su
postavljene na raznim mjestima Zemljine površine. Ispitivanja se obavljaju pomoću složenih
meteoroloških uređaja kojima su opremljeni sondažni baloni, specijalni zrakoplovi, sondažne
rakete te sateliti. Rezultati mjerenja se prikupljaju s raznih strana svijeta, obrađuju i objavljuju
u obliku međunarodnih meteoroloških standarda
Prilozi B-4
Navest ćemo bitne značajke tih ispitivanja koja nas posebno zanimaju u mehanici leta
Zrak je smijesa: dušika, kisika, vodika, ugljičnogdioksida, vodene pare i plemenitih
plinova. Isključimo li problem onečišćenja zraka u gradovima i industrijskim središtima, svi
sastojci zraka, osim vodene pare (pa i ugljinogdioksida i sumporovodika), u stalnom su
međusobnom omjeru i čine suhi zrak. Ta činjenica da je suhi zrak uvijek istoga sastava
omogućava nam da ga smatramo kao jednu sastavnicu vlažnog zraka, a druga je vodena para.
Utvrđeno je da se suhi zrak ponaša kao idealni plin čija je plinska konstanta
( )kgKJR 0053.287= . B.8
Odnos kgJ ima dimenziju brzine na kvadrat, te možemo također napisati da je dimenzija
plinske konstante ( ) ( )[ ]KsmkgKJ 0220 ⋅= . Zato u anglosaksonskim jedinicama plinska
konstanta ima dimenziju brzine na kvadrat po stupnju temperature:
( )RsftR 0221716= B.9
Isto tako i vodena para se može promatrati kao idealni plin čija je plinska konstanta
RRV 58
= . B.10
U zraku oko nas pomiješani su suhi zrak i vodena para. Taj omjer vodene pare prema suhom
zraku je vrlo promjenljiv. Zato vlažan zrak promatramo kao smjesu koja je okarakterizirana
omjerom vlage prema suhom zraku.
Na vlažan zrak možemo primijeniti d’Alambertov zakon o parcijalnim tlakovima.
Neka je na temperaturi T u volumenu V smjesa plinova ma + mv (ma je masa suhog zraka, a
mv masa vodene pare). Totalnim tlakom nazivamo tlak p na kome se nalazi smjesa u
volumenu V i na temperaturi T. Ako je masa jedne komponente plinske smjese sama u tojm
istom volumenu smjese i na toj istoj temperaturi smjese T, onda će ona biti na parcijalnom
tlaku. Po d’Alambertovu zakonu, zbroj parcijalnih tlakova jednak je ukupnom tlaku. S pa
označimo parcijalni tlak suhog zraka, a s e’ parcijalni tlak vodene pare:
epp a ′+=
Jednadžbe stanja komponenata suhog zraka i vodene pare kao idealnih plinova uzete u istom
volumenu V i na istoj temperaturi T, kao i smjesa ma + mv , jesu
TRmVeRTmVp
vv
aa
=′=
Budući da je R Rv =85
druga jednadžba može se transformirati u oblik
Prilozi B-5
RTmVe v=′85 .
Zbrajanjem prve i druge transformirane jednadžbe te imaju na umu da je
,V
mmepp
Va
a
+=
′−=
ρ
dobivamo
.
831
T
pe
Rp
′−
=ρ B.11
Iz ove jednadžbe zaključujemo da, vlažan zrak možemo promatrati kao idealan plin
TR
p
s
=ρ B.12
samo što vlažan zrak ima plinsku konstantu RS koja ovisi o odnosu parcijalnog tlaka vodene
pare prema totalnom tlaku smjese ′e p :
pe
RRs ′−
=
831
B.13
To znači da i brzinu zvuka možemo odrediti pomoću jednadžbe za idealne plinove samo što
treba uvest plinsku konstantu vlažnog zraka
TkRa s= ; B.14
k je odnos specifične topline pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu:
4.1== vp cck B.15
Gustoća ili specifična masa zraka ρ kao i brzina zvuka a veličine su koje nam
trebaju u dinamici leta. One se ne mjere, već računaju na osnovi izmjerenih vrijednosti u
atmosferi: temperature T, totalnog tlaka p i relativne vlažnosti pe′ . Izmjerenu temperaturu T
pomoću izmjerene relativne vlažnosti pe′ pretvorit ćemo u fiktivnu temperaturu τ i s njom
ćemo računati tražene vrijednosti koristeći plinsku konstantu suhoga zraka
Za vlažan zrak kaže se da je zasićen pri danoj temperaturi i tlaku ako u zraku ima
toliko vlage da voda ne može više isparavati na toj temperaturi i pri tom tlaku, tj. vodena para
u vlažnom zraku i voda su u relativnoj ravnoteži. U intervalu od -200 do +300 C možemo
koristiti empirijsku formulu za parcijalni tlak vodene pare u zasićenom vlažnom zraku izražen
u milibarima ( Pa510− ) .
Prilozi B-6
′ =−−
e
AT BT CW 6107. exp , B.16
gdje su
T <273 >273
A 21.87 17.27
B 5972. 4714.
C 7.50 35.7
Dobiveni broj Pa parcijalnog tlaka vlage u zasićenom zraku možemo preračunati u
anglosaksonske jedinice koristeći relaciju HginPa .13386 = . U meteorološkoj praksi,
najčešće se koristi relativna vlažnost U koja predstavlja postotak parcijalnog tlaka vodene
pare ′e u odnosu na ′eW parcijalni tlak vlage u zasićenom vlažnom zraku (pri istoj
temperaturi i tlaku vlažnoga zraka):
UeeW
=′′
100 B.17
B.4 Vertikalna ravnoteža
Ovisnost tlaka o visini zasniva se na hipotezi o vertikalnoj ravnoteži atmosfere. Prema toj
hipotezi, težina horizontalnog sloja zraka elementarne debljine dh i proizvoljne površine A
uravnotežava se razlikom sila tlaka s donje Ap i gornje strane A(p + dp) na istu površinu A.
( )dppApAdhAg +−=ρ
ili
dhgdp ρ−= .
U ovoj jednadžbi promjenljiva je s visinom ne samo gustoća zraka ρ već i ubrzanje sile
Zemljišne teže g. Zato uvodimo na mjesto realne visine h geopotencijalnu visinu H. Prema
definiciji o geopotencijalnoj visini, dHggdh N= , te je diferencijalna promjena tlaka obzirom
na geopotencijalnu visinu
dHgdp N ρ−= .
Uzima se da je 280665.9 smgN = ili u anglosaksonskim jedinicama 2174.32 sftgN = .
Gustoću možemo izraziti pomoću jednadžbe stanja vlažnog zraka
TRp
s
=ρ ,
Prilozi B-7
u kojoj je
.
831
pe
RRs ′−
=
Oznaka sR treba nas podsjetiti na to da je riječ o plinskoj konstanti smjese koju čini suhi zrak
i vodena para, a ′e p odnos parcijalnog tlaka vlage prema totalnom tlaku vlažnog zraka. Tako
dobivamo promjenu tlaka ovisno o visini:
T
dHRg
pdp
S
n−= B.18
Integracijom od visine H 0 na kojoj je tlak p0 do visine H na kojoj je tlak ( )p H dobivamo
promjenu tlaka s visinom za poznatu ovisnost temperature o visini:
( ) ( )
−= ∫
H
H SN HTR
dHgpHp0
exp0 B.19
To znači da možemo odrediti tlak na visini H ako znamo promjenu temperature T s visinom
H, ali i vrijednost tlaka op na visini 0H . Obično uzimamo da je 0H razina mora od koje
mjerimo visinu, te je 00 =H .
U praksi pri sondaži atmosfere usvaja se hipoteza o vertikalnoj ravnoteži, te se ne mjeri
promjena tlaka s visinom, već je računamo na temelju izmjerene temperature na raznim
visinama. Zato je i plinska konstanta vlažnog zraka promjenljiva s visinom ( )HRs , a kako je
poznat tlak pri zemlji op ova jednadžba omogućuje da odredimo tlak u ovisnosti o visini. Još
je zanimljivije to što možemo obrnuto mjerenjem temperature, tlaka i relativne vlažnosti
pomoću ove jednadžbi dobiti visinu mjerenja.
B.5 Standardna atmosfera
Iz svakodnevnoga života znamo da se stanje atmosfere značajno mijenja u ovisnosti o
klimatskim uvjetima, godišnjim dobima, visini pa i tijekom jednog dana. Budući da
aerodinamičke karakteristike letjelica bitno ovise o gustoći zraka i brzini zvuka, proračuni se
u dinamici leta izvode za standardne (normalne) meteorološke uvjete. Ti standardni
meteorološki uvjeti odgovaraju srednjim vrijednostima mjerenja u duljim razdobljima i na
raznim mjernim mjestima. Oni čine tzv. standardnu, normalnu ili referentnu atmosferu.
Utjecaj odstupanja meteoroloških uvjeta od normalnih veličina na let izučava se u teoriji
poremećaja. Međunarodna organizacija za standardizaciju usvojila je tipične atmosfere u
Prilozi B-8
ovisnosti o geografskoj širini (ISO 5878). Te tipične atmosfere obuhvaćaju zakonitost
promjene najvažnijih parametara do visine 80 km. One se uzimaju u obzir pri proračunu
performansi i projektiranju letjelica, pri obradi geofizičkih i meteoroloških podataka, za
prikazivanje rezultata ispitivanja letjelica pod istim uvjetima. U tipičnoj atmosferi određena je
promjena parametara atmosfere ovisno o visini. Međunarodna organizacija za standardizaciju
propisala je standardnom atmosferom tipičnu atmosferu koja vrijedi za geografsku širinu ϕ =
450.
U standardnoj atmosferi zadane su promjene temperature T sa visinom H. U
troposferi, od 0 do 11 km, u ISO standardima tj. za temperaturu u Kelvinovim stupnjevima
[ ]K0 i za visinu u metrima [ ]m :
HHTT N ⋅−=+= 0065.015.2880 β , B.20
a u anglosaksonskim jedinicama kad je temperatura u Reaumurovim stupnjevima [ ]R0 i
visina i u stopama [ ]ft ,
HT ⋅−= 00035745.0519 B.21
U toj standardnoj atmosferi nema vlage i vlada vertikalna ravnoteža. U tim uvjetima u
troposferi (do visine 11 km), rješenjem integrala koji daje vertikalna ravnoteža, dobivamo
zakon promjene tlaka s visinom:
ββ R
g
NN
n
HT
pp−
+=
00 1 B.22
• u ISO jedinicama (tlak u [ ]Pa i visina u [ ]m )
256.5
100002256.01101325
−⋅=
Hp , B.23
• a u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ]ft )
256.5
0 100000688.01
−⋅=
Hpp . B.24
gdje je [ ] [ ]22.2116.92.29 ftlbHginpo == .
U stratosferi (od 11 Km visine do 20 Km), temperatura je konstantna
RKT 00 0.3906.216 == , B.25
Prilozi B-9
te integracijom dobivamo diferencijalne jednadžbe vertikalne ravnoteže od donje granice
stratosfere do bilo koje visine u stratosferi:
( )
⋅−
−=
−= ∫
0
0
0
0
0expexpH
NH
H
HNH TR
HHgpHRT
dHgpp B.26
• u ISO sustavu (visina u metrima, a tlak u paskalima)
−−⋅=
1000110001577.0exp22632 Hp , B.27
• ili u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ]ft )
−−⋅=
10003608904806.0exp
36089
Hpp . B.28
a tlak se može mjeriti u [ ]2ftlb ili u [ ]Hgin. . U prvom slučaju je tlak između
troposfere i stratosfere [ ]236089 7.472 ftlbp = , a u drugom [ ]Hginp .684.636089 = .
Gustoća zraka i brzina zvuka ovisno o visini izračunavaju se za standardnu atmosferu po
jednadžbama:
• u ISO jedinicama (gustoća u [ ]3mKg , tlak u [ ]Pa , temperatura u [ ]K0 ) imaju oblik:
NN
N
NN
Ta
Tp
⋅=
⋅=
05.20
003484.0ρ B.29
Na razini mora te jednadžbe daju:
smamkg
N
N
3.340225.1
0
30
==ρ
B.30
• u anglosaksonskim jedinicama (gustoća u [ ] [ ]423 ftslbftslug ⋅= , tlak u [ ]2ftlb ,
temperatura u [ ]R0 ) te jednadžbe imaju oblik
,02.49
10826.5 4
NN
N
NN
Ta
Tp
⋅=
⋅⋅= −ρ B.31
što na razini mora daje:
sfta
ftslug
N
N
4.11163769.2
0
30
==ρ
B.32
Prilozi B-10
Na mnogim zrakoplovima instrument za mjerenje tlaka ima skalu u [ ]Hgin. . Pri tome treba
imati na umu da je [ ] [ ] PaftlbHgin 1013252.2116.92.29 2 ==
Konačno, u normalnim uvjetima postoji veza između tlaka i temperature koju
dobivamo eliminiramo visinu iz jednadžbi za promjenu tlaka i temperature. U troposferi je
promjena tlaka s obzirom na visinu dana jednadžbom
ββ Rgn
HT
pp−
+=
00 1 ,
a temperature
HTT ⋅+= β0 .
Eliminacijom visine dobivamo jednadžbu po kojoj svakom tlaku odgovara određena
temperatura.
ng
R
ppTT
β−
=
00 B.33
U sustavu ISO jedinica ta jednadžba ima oblik
1903.0
10132515.288
⋅=
pT . B.34
Prilozi B-11
STANDARDNA ATMOSFERA ISO 2533
H T p ρ a ν [m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]
0 288.1 101325. 1.2250 340.3 0.146E-4
200 286.9 98946. 1.2017 339.5 0.148E-4 400 285.6 96612. 1.1787 338.8 0.151E-4 600 284.3 94323. 1.1560 338.0 0.153E-4 800 283.0 92078. 1.1337 337.2 0.156E-4
1000 281.7 89877. 1.1117 336.4 0.158E-4 1200 280.4 87719. 1.0900 335.7 0.161E-4 1400 279.1 85603. 1.0687 334.9 0.163E-4 1600 277.8 83528. 1.0476 334.1 0.166E-4 1800 276.5 81495. 1.0269 333.3 0.169E-4
2000 275.2 79502. 1.0066 332.5 0.171E-4 2200 273.9 77549. 0.9865 331.7 0.174E-4 2400 272.6 75635. 0.9667 331.0 0.177E-4 2600 271.3 73760. 0.9473 330.2 0.180E-4 2800 270.0 71923. 0.9281 329.4 0.183E-4
3000 268.7 70122. 0.9093 328.6 0.186E-4 3200 267.4 68359. 0.8907 327.8 0.189E-4 3400 266.1 66632. 0.8724 327.0 0.193E-4 3600 264.8 64940. 0.8545 326.2 0.196E-4 3800 263.5 63284. 0.8368 325.4 0.199E-4
4000 262.2 61662. 0.8194 324.6 0.203E-4 4200 260.9 60074. 0.8022 323.8 0.206E-4 4400 259.6 58519. 0.7854 323.0 0.210E-4 4600 258.3 56997. 0.7688 322.2 0.214E-4 4800 257.0 55508. 0.7525 321.4 0.217E-4
5000 255.7 54050. 0.7365 320.5 0.221E-4 5200 254.4 52623. 0.7207 319.7 0.225E-4 5400 253.1 51228. 0.7052 318.9 0.229E-4 5600 251.8 49862. 0.6899 318.1 0.233E-4 5800 250.5 48526. 0.6749 317.3 0.237E-4
6000 249.2 47219. 0.6601 316.5 0.242E-4
Prilozi B-12
H T p ρ a ν [m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]
6000 249.2 47219. 0.6601 316.5 0.242E-4 6200 247.9 45941. 0.6456 315.6 0.246E-4 6400 246.6 44692. 0.6314 314.8 0.250E-4 6600 245.3 43470. 0.6174 314.0 0.255E-4 6800 244.0 42275. 0.6036 313.1 0.260E-4
7000 242.7 41107. 0.5900 312.3 0.265E-4 7200 241.4 39966. 0.5767 311.5 0.270E-4 7400 240.1 38850. 0.5637 310.6 0.275E-4 7600 238.8 37760. 0.5508 309.8 0.280E-4 7800 237.5 36694. 0.5382 308.9 0.285E-4
8000 236.2 35653. 0.5258 308.1 0.290E-4 8200 234.9 34637. 0.5136 307.3 0.296E-4 8400 233.6 33644. 0.5017 306.4 0.302E-4 8600 232.3 32674. 0.4899 305.6 0.307E-4 8800 231.0 31727. 0.4784 304.7 0.313E-4
9000 229.7 30803. 0.4671 303.8 0.320E-4 9200 228.4 29900. 0.4560 303.0 0.326E-4 9400 227.1 29019. 0.4451 302.1 0.332E-4 9600 225.8 28159. 0.4344 301.3 0.339E-4 9800 224.5 27320. 0.4239 300.4 0.346E-4
10000 223.3 26502. 0.4135 299.5 0.352E-4 10200 222.0 25703. 0.4034 298.7 0.360E-4 10400 220.7 24924. 0.3935 297.8 0.367E-4 10600 219.4 24165. 0.3838 296.9 0.374E-4 10800 218.1 23424. 0.3742 296.0 0.382E-4
11000 216.8 22702. 0.3648 295.2 0.390E-4 11200 216.6 21998. 0.3537 295.1 0.402E-4 11400 216.6 21317. 0.3428 295.1 0.415E-4 11600 216.6 20658. 0.3322 295.1 0.428E-4 11800 216.6 20019. 0.3219 295.1 0.442E-4
12000 216.6 19400. 0.3119 295.1 0.456E-4 12200 216.6 18800. 0.3023 295.1 0.470E-4 12400 216.6 18218. 0.2929 295.1 0.485E-4 12600 216.6 17655. 0.2839 295.1 0.501E-4 12800 216.6 17109. 0.2751 295.1 0.517E-4
13000 216.6 16580. 0.2666 295.1 0.533E-4
Prilozi B-13
H T p ρ a ν [m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]
13000 216.6 16580. 0.2666 295.1 0.533E-4 13200 216.6 16067. 0.2584 295.1 0.550E-4 13400 216.6 15570. 0.2504 295.1 0.568E-4 13600 216.6 15089. 0.2426 295.1 0.586E-4 13800 216.6 14623. 0.2351 295.1 0.605E-4
14000 216.6 14171. 0.2279 295.1 0.624E-4 14200 216.6 13733. 0.2208 295.1 0.644E-4 14400 216.6 13308. 0.2140 295.1 0.664E-4 14600 216.6 12897. 0.2074 295.1 0.686E-4 14800 216.6 12498. 0.2010 295.1 0.707E-4
15000 216.6 12112. 0.1948 295.1 0.730E-4 15200 216.6 11738. 0.1887 295.1 0.753E-4 15400 216.6 11375. 0.1829 295.1 0.777E-4 15600 216.6 11024. 0.1773 295.1 0.802E-4 15800 216.6 10683. 0.1718 295.1 0.828E-4
16000 216.6 10353. 0.1665 295.1 0.854E-4 16200 216.6 10033. 0.1613 295.1 0.881E-4 16400 216.6 9723. 0.1564 295.1 0.909E-4 16600 216.6 9423. 0.1515 295.1 0.938E-4 16800 216.6 9132. 0.1468 295.1 0.968E-4
17000 216.6 8850. 0.1423 295.1 0.999E-4 17200 216.6 8577. 0.1379 295.1 0.103E-3 17400 216.6 8312. 0.1337 295.1 0.106E-3 17600 216.6 8055. 0.1295 295.1 0.110E-3 17800 216.6 7807. 0.1255 295.1 0.113E-3
18000 216.6 7566. 0.1217 295.1 0.117E-3 18200 216.6 7332. 0.1179 295.1 0.121E-3 18400 216.6 7106. 0.1143 295.1 0.124E-3 18600 216.6 6886. 0.1107 295.1 0.128E-3 18800 216.6 6674. 0.1073 295.1 0.132E-3
19000 216.6 6468. 0.1040 295.1 0.137E-3 19200 216.6 6268. 0.1008 295.1 0.141E-3 19400 216.6 6075. 0.0977 295.1 0.146E-3 19600 216.6 5887. 0.0947 295.1 0.150E-3 19800 216.6 5706. 0.0917 295.1 0.155E-3
20000 216.6 5530. 0.0889 295.1 0.160E-3
Prilozi C-1
C PERFORMANSE KLIPNOG MOTORA
C.1 Snaga klipnog motora
Proizvođači motora na temelju ispitivanja motora daju dva dijagrama prema kojima se može
odrediti snaga motora ovisno o parametrima:
• kutna brzina motora ω u [ ]srad , a u AS sustavu (anglosaksonske jedinice)
RPM u broju okretaja u minuti (revolutions per minute),
• tlak punjenja Sp u [ ]Pa , a u AS jedinicama označava se sa MAP (manifold
absolute pressure) i mjeri se in.Hg (inch of Hg) ili u psi (pounds per square
inch),
• tlak i temperatura okolnog zraka (vidi prilog B) i
• aerodinamička brzina letjelice V u [ ]sm , a u AS u miljama po satu mph
(miles per hour).
Ta snaga se određuje pomoću dva dijagrama kao na slikama C-1 i C-2.
C.1.1 Prvi dijagram, snaga PB
50 60 70 80 90 100 11040
60
80
100
120
140
160
ps [kPa]
PB
[kW
]
[rad/s]
280
260
240
220
200
Slika C-1 Prvi dijagram snage motora LYCOMING O-360-A (180 HP)
C-2
Prvi dijagram je familija krivulja ( )SB pfP ,ω= dobivena na temelju ispitivanja motora na
probnom stolu. Taj dijagram, u statičkim uvjetima (aerodinamička brzina jednaka je nuli),
daje snagu BP ovisno o tlaku punjenja Sp a za razne kutne brzine ω motora, kada je
temperatura i tlak okolnog zraka u normalnim uvjetima na razini mora (vidi prilog C). Na
apscisi nalazi se tlak punjenja Sp . To je tlak smjese zraka i goriva odmah iza zaklopke
rasplinjača. Na ordinati je snaga motora BP . Svaka krivulja je za jednu određenu kutnu
brzinu motora ω .
C.1.2 Drugi dijagram, snaga PA
Na drugom dijagramu su dvije familije krivulja
( )ω,pfPA =
( )SA ppfP ,=
30 40 50 60 70 80 90 100 11040
60
80
100
120
140
160
p [kPa]
PA
[kW
]
280
260240
220200
omega[rad/s]
ps [kPa]
40
50
60
70
80
90
Slika C-2 Drugi dijagram motora LYCOMING O-360-A (180 HP)
Obje familije krivulja daju snagu motora AP ovisno o promjeni tlaka okolnog zraka p, ali za
temperaturu koja odgovara tom tlaku u normalnim uvjetima. Iz priloga C znamo da je ta
temperatura
Prilozi C-3
1903.0
00 101325
15.288
⋅=
=
−p
ppTT
ngR
N
β
.
Krivulje prve familije ( )ω,pfPA = daju snagu za određenu kutnu brzinu motora ω , a
krivulje druge familije daju istu snagu ( )SA ppfP ,= za određeni tlak punjenja Sp . Analizom
ovog drugog dijagrama vidimo da na određenom tlaku okolnog zraka p, malo se mijenja Sp u
normalnom radnom intervalu motora (od minω do maxω ). Kada opada tlak okolnog zraka,
motor radi na sve manjem i manjem Sp , i snaga motora pada te ako je mali tlak okolnog
zraka, bit će mala i raspoloživa snaga motora.
Na osi x ovog drugog dijagrama često se nanosi visina umjesto tlaka, koja odgovara u
normalnim uvjetima tom tlaku okolnog zraka. Ta visina vezana je za okolni tlak jednadžbom
normalne atmosfere (vidi prilog B). U tom slučaju ove dvije familije krivulja imaju visinu kao
neovisnu varijablu:
( )ω,HfPA =
( )SA pHfP ,=
Takvi dijagrami obično se sreću u literaturi (npr. [14], [26] i dr.) Treba još reći kada umjesto
tlaka okolnog zraka na os x nanesemo odgovarajuću visinu onda se dijagram C-2 okrene
(desna strana postane lijeva i obratno), jer kad raste visina, tlak pada.
C.2 Grafička metoda određivanja snage PD
Snaga motora, u okolnom zraku koji ima temperaturu DT i tlak Dp , za određene vrijednosti
parametara ω i Sp može se odrediti pomoću ova dva prikazana dijagrama. Postupak
određivanja snage je slijedeći
1) Na prvom dijagramu, na odgovarajućoj krivulji za zadani broj okretaja motora ω , očita se
snaga BP ovisno o tlaku punjenja Sp .
2) Na drugom dijagramu ucrta se točka A u presjeku krivulje za zadani tlak punjenja Sp i
krivulje za zadanu kutnu brzinu motora ω . Odredi se ordinata AP i apscisa Ap te točke.
To je snaga koju bi motor razvio u okolnom zraku koji ima taj tlak i njemu odgovarajuću
temperaturu u normalnim uvjetima.
3) Ucrta se na tom istom dijagramu točka C koja ima apscisu jednaku normalnom tlaku na
razini mora Np0 , a ordinatu jednaku dobivenoj snazi prema prvom dijagramu BP . Ta
C-4
točka predstavlja snagu motora za zadani tlak punjenja Sp i zadanu kutnu brzinu motora
ω , ali u zraku koji ima i tlak koji odgovara razini mora i odgovarajuću temperaturu u
normalnim uvjetima..
4) Spoje se točke C i A. Ako prihvatimo pretpostavku da je snaga motora, za zadani tlak
punjenja Sp i zadanu kutnu brzinu motora ω , linearno ovisna o tlaku okolnog zraka (i na
odgovarajućoj temperaturi u normalnim uvjetima), onda je to pravac CA.
5) Na tom pravcu CA odredimo točku D koja ima apscisu jednaku zadanom tlaku okolnog
zraka Dp .
6) Ordinata točke D predstavlja snagu motora za zadane radne parametre motora Sp i ω u
okolnom zraku koji ima zadani tlak Dp i temperaturi koja odgovara tom tlaku u
normalnim uvjetima NT , a ne odgovara zadanoj temperaturi okolnog zraka DT :
1903.0
10132515.288
⋅= D
NpT
7) Da bismo konačno dobili traženu snagu na zadanoj temperaturi, pretpostavit ćemo da je
snaga obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature okolnog zraka. Zato se
očitana snaga u točki D množi sa DN TT .
C.2.1 Primjer
Da bismo prikazali originalnu primjenu dijagrama, u ovom ćemo se primjeru služiti
anslosaksonskim jedinicama. Temperatura okolnog zraka je KTD0269= , a tlak
je kPapD 95= . Kutna brzina elise je sradelise 240=ω , a tlak punjenja je kPapS 5.78= .
Treba grafički odrediti raspoloživu snagu motora čije su performanse dane dijagramom na
slici G-1 i G-2.
1) Na prvom dijagramu nacrtana je točka B koja predstavlja raspoloživu snagu na razini
mora. Ona se nalazi na krivulji 240=ω za vrijednost apscise kPapS 5.78= :
kWPB 91=
2) točka A određena je na drugom dijagramu u presjeku krivulja srad240=ω i
kPapS 5.78= :
kPapkWP
A
A
80103
==
Na tom tlaku temperatura u normalnim uvjetima ima vrijednost:
Prilozi C-5
KpT AA
01903.01903.0
5.275101325
0.8015.288101325
15.288 =
⋅=
⋅=
U normalnim uvjetima atmosfere taj tlak i ta temperatura vladaju na visini mH 1950= .
Drugim riječima, za zadane Sp i ω , pri tlaku okolnog zraka kPa80 i temperaturi
K05.275 , snaga je kW103 .
3) Ucrtamo točku C u drugi dijagram. Apscisa te točke je kPap N 3.1010 = , a ordinata je
kWPB 91= .
4) Od A do C snaga opada od vrijednosti kWPA 103= do kWPB 91= , zbog porasta tlaka i
temperature okolnog zraka od kPapA 80= i KTA05.275= do kPap N 3.1010 = , i
KT N0
0 2.288= . Zato pravac AC predstavlja promjenu snage ovisno o tlaku i
odgovarajućoj temperaturi okolnoga zraka, pri zadanim parametrima Sp i ω .
5) Na pravcu AC odredimo točku D u kojoj je zadani tlak okolnog zraka kPapD 0.95= i
odgovarajuća temperatura
KpT DN
01903.01903.0
6.284325.1010.9515.288
10132515.288 =
⋅=
⋅= .
6) Ordinata te točke predstavlja snagu motora za zadani Sp i ω u okolnom zraku koji ima
tlak Dp i njemu odgovarajuću temperaturu NT :
kWPD 95=′
7) Tu snagu trebamo još svesti na zadanu temperaturu:
kWTTPP
D
NDD 98
2696.28495 =⋅=⋅′=
C.2.2 Analitička metoda određivanja snage PD
Prema lit. [22], dana je metoda kojom se mogu ova dva dijagrama motora pretvoriti u
jednadžbe. Tako su u lit. [26], za motor LYCOMING O-360-A (180 HP) dane jednadžbe u
AS jedinicama:
RPMMAPRPMMAPBHPB ⋅−⋅⋅+⋅+−= 0018.000186.008.38.42
RPMMAPRPMMAPBHPA ⋅+⋅⋅+⋅+= 003.00018.037.13.4
C-6
U tim jednadžbama je kutna brzina motora RPM izražena brojem okretaja u minuti, tlak
punjenja MAP iražen je u palcima živinoga stupca in.Hg, a snaga BPH (brake power hors) u
konjskim snagama. Te jednadžbe možemo transformirati u sustav ISO jedinica. U ISO
sustavu jedinica koristit ćemo oznake AB PP , u vatima, tlak punjenja Sp u Pa , a za kutnu
brzinu motora ω u srad :
ωω 5493.90018.03386
5493.900186.03386
08.38.427.745
⋅−⋅⋅+⋅+−= SSB ppP
i
ωω 5493.9003.03386
5493.90018.03386
37.13.47.745
⋅+⋅⋅+⋅+= SSA ppP
Sređivanjem dobivamo tražene jednadžbe u ISO sustavu jedinica:
ωω ⋅−⋅⋅+⋅+−= 817.12003912.06783.031916 SSB ppP C.1
ωω ⋅+⋅⋅+⋅+= 363.21003785.03017.05.3206 SSA ppP C.2
Prva jednadžba ( )ω,SB pfP = omogućuje nam izračunati ordinatu točke C (slika C-2).
Apscisa točke C je normalni tlak na razini mora, jer je cijela jednadžba određena za uvjete na
razini mora. Prema tome koordinate točke C na slici C-2 jesu:
BC
NC
PPpp
== 0
Tako smo odredili radno stanje C, u kome je snaga CP pri tlaku zraka NC pp 0= . Drugo radno
stanje koje možemo odrediti jest snaga motora AP ako je kutna brzina sradelise 240=ω i
tlak okolnog zraka p . Da bismo odredili položaj te točke A (slika C-2), znamo da je ona na
pravcu ( )ω,pfPA = za sradelise 240=ω . Jednadžba familije pravaca na slici C-1 ima oblik
ppPA ⋅+⋅⋅+⋅+= 41009.00034406.0638.13922 ωω C.3
Iz ove jednadžbe možemo odrediti tlak okolnog zraka ako je poznata snaga motora AP i
njegova kutna brzina ω . Taj tlak je apscisa točke A:
41009.00034406.0
638.13922+⋅
⋅−−=
ωωA
APp C.4
U točki A imamo snagu motora AP pri tlaku okolnog zraka Ap i njemu odgovarajućoj
temperaturi AT , a u točki C snagu BP pri tlaku okolnog zraka Np0 i temperaturi NT0 . Obje
točke daju snagu za zadane parametre Sp i ω . Zato možemo linearno interpolirati između
Prilozi C-7
točaka A i C da bismo odredili snagu DP′ ako je tlak okolnog zraka jednak zadanom tlaku Dp
i njemu odgovarajućoj temperaturi NT :
( )NA
NDBABD pp
ppPPPP0
0
−−
−+=′ C.5
Tako smo dobili snagu DP′ za zadane parametre Sp i ω , u okolnom zraku koji ima zadani
tlak Dp , ali kad je temperatura okolnog zraka jednaka temperaturi (vidi prilog B):
1903.0
10132515.288
⋅= D
NpT C.6
Da bismo konačno dobili snagu pri zadanoj temperaturi DT , koristimo činjenicu da je snaga
obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature:
D
NDD T
TPP '= C.7
Tako dobivamo snagu DP za zadane parametre motora Sp i ω , u atmosferi koja ima zadani
tlak Dp i zadanu temperaturu DT zraka.
C.2.3 Primjer
Uradimo isti primjer analitički. Karakteristike su okolnoga zraka:
KTD0269=
kPapD 95=
Parametri rada motora su
srad240=ω
kPapS 5.78=
Treba odrediti analitički istu raspoloživu snagu motora LYCOMING O-360-A (180 HP) kao
u prethodnom primjeru:
kW
ppP SSB
0.92240817.1278500240003912.0785006783.031916
817.12003912.06783.031916
=⋅−⋅⋅+⋅+−=
−⋅++−= ωω
PapB 101325=
kW
ppP SSA
2.103240363.217850024000378.0785003017.05.3206
363.21003785.03017.05.3206
=⋅+⋅⋅+⋅+=
+⋅++= ωω
C-8
kPaPp AA 0.80
41009.02400034406.0240638.13922103200
41009.00034406.0638.13922
=+⋅
⋅−−=
+⋅⋅−−
=ω
ω
( ) ( ) kWppppPPPP
NA
NDBABD 3.95
3.1010.803.1010.950.922.1030.92
0
0 =−−
⋅−+=−−
−+=′
KpT DN
01903.01903.0
6.284325.101
9515.288101325
15.288 =
⋅=
⋅=
kWTTPP
D
NDD 0.98
2696.2843.95 =⋅=′=
C.2.4 Vježba
Treba odrediti promjenu raspoložive snage pogonske grupe koju čini motor LYCOMING O-
360-A (180 HP) i elisa zrakoplova Piper Cherokee PA-28, ovisno o aeerodinamičkoj brzini za
visine 0, 1000, 2000, 3000 i 4000 m. Pretpostavimo da motor radi na kutnoj brzini
srad240max =ω , a koeficijent učinkovitosti elise neka je
2644.05670.04815.16923.1 23 +++−= JJJeliseη ,
gdje je parametar elise 80.0==nDVJ (promjer elise je mD 88.1= , n broj okretaja u s.).
Slika C-3 Raspoloživa snaga motora LYCOMING O-360-A (180 HP) i
elise zrakoplova Piper Cherokee PA-28
Prilozi C-9
Pretpostavljamo normalne uvjete atmosfere. Zbog aerodinamičke brzine tlak okolnog zraka
treba povećati za dinamički tlak, tako da ulazni tlak bude jednak totalnom tlaku, koji je zbroj
okolnog tlaka i dinamičkog tlaka. Taj dinamički tlak umanjuje se do 15% zbog gubitaka u
strujanju oko motora do otvora gdje zrak ulazi u motor:
285.0
2Vpp NNtotal
ρ⋅+=
Snaga motora motP računa se prema analitičkom postupku iz prethodnog primjera C.2.3.
Raspoloživa snaga bit će
motelisea PP ⋅=η .
S ovim jednadžbama napravljen je program u MATLAB-u, koji se zove Rasp_snaga ,
nalazi se na disketi u direktoriju Motor. Pomoću toga programa nacrtan je dijagram C-3.
Slika C-4 Potrošnja goriva za motor LYCOMING O-360-A (180 HP)
C.2.5 Potrošnja goriva
Na temelju eksperimentalnih ispitivanja proizvođači motora izrađuju dijagrame koji daju
potrošnju goriva u normalnim uvjetima okolnog zraka ( NT0 i Np0 ) za razne kutne brzine
motora ovisno o tlaku punjenja MAP. Na temelju takvog dijagrama za slučaj motora
C-10
LYCOMING O-360-A (180 HP) usklađen je polinom drugog reda koji daje potrošnju goriva
FC (fuel consumption) ovisno o tlaku punjenja:
322
1 apapaFC SS ++= , C.8
u kome su koeficijenti funkcije kutne brzine motora:
( )3600/785.3720.0
17.3017431.0386.3
35685.00000090642.0386.3
0081068.0000053562.0
3
2
21
⋅=⋅+⋅=
⋅+⋅
−=
⋅+⋅
=
CCa
Ca
Ca
ω
ω
ω
C.9
Da bi dobili potrošnju u [ ]skg za slučaj specifične mase goriva lkg72.0 koeficijente
trebamo pomnožiti sa C. Bez koeficijenta C dobili potrošnju u USA galonima na sat. S tom
jednadžbom nacrtan je dijagram prikazan na slici C-4. Na ordinati je potrošnja goriva FC
(fuel consumption) u [ ]skg . U mehanici leta upotrebljavamo specifičnu potrošnju goriva PC .
Ona pokazuje kolika je potrošnja goriva u jedinici vremena po jednoj jedinici proizvedene
snage, a to znači da je njena dimenzija ( )[ ]sWkg . Da bismo dobili dijagram specifične
potrošnje PC , moramo vrijednosti očitane na dijagramu potrošnje FC podijeliti s ostvarenom
snagom u istim uvjetima.
Slika C-5 Specifična potrošnja motora LYCOMING O-360-A (180 HP)
Prilozi C-11
Na temelju jednadžba raspoložive snage motora i potrošnje goriva, treba za motor
LYCOMING O-360-A (180 HP), odrediti ovisnost specifične potrošnje goriva (potrošnja
goriva po jedinici ostvarene snage) o tlaku punjenja za razne kutne brzine motora u
normalnim atmosferskim uvjetima. Potrošnju goriva, koja ovisi o tlaku punjenja, dana je
jednadžbama C-8 i C-9, a ostvarena snaga u istim uvjetima je
ωω 817.12003912.06783.031916 −⋅++−= SSB ppP , C.10
Tako dobivamo da je tražena specifična potrošnja
B
P PFCC = . C.11
Prema ovom algoritmu napravljen je program u MATLAB-u koji se zove spec.m. Nalazi se
u direktoriju Motor na disketi. Pomoću njega nacrtan je dijagram na slici C-5
Prilozi D-1
D ODNOSI VELIČINA
Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovnoj uporabi
mmnftinyd
mydmmft
mmin
185213361
9144.018.3041
4.251
===
===
kgslugs 59.141 =
Nlb 448.41 =
Wph 7451 =
litGBgallon 546.41 =
litUSAgallon 785.31 =
mGBmille 16091 =
smkt 5151.01 =
sradRPM 1047.01 =
PaHgin 3386.1 =
Painlbf 32 1089476.61 ⋅=
D-2
1
LITERATURA
1) Abbott, I. H., Von Doenhoff, A. E., “Theory of Wing Section”, Dover, New York,
1959.
2) Anderson, J.D., "Aircraft Performance and Design", McGraw Hill, New York, 1999.
3) Anderson, J.D., "Introduction to Flight", McGraw Hill, New York, 1989.
4) Boiffier, Jean-Luc, “The Dynamics of Flight - The Equations”, John Wiley & Sons,
New York, 1998.
5) Covert, E. Eugene (editor), “Thrust and Drag: Its Prediction and Verification”, AIAA,
Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 98, New York, 1985.
6) Etkin, B. “Dynamics of Atmospheric Flight, John Wiley & Sons, Inc. New York,
1972.
7) Etkin, B., Reid, L. D. “Dynamics of Flight, Stability and Control”, Third Edition, John
Wiley & Sons, Inc. New York, 1996.
8) Goldstein, H., “Classical Mechanics”, Second edition, Addison-Westley Publishing
Company, London, 1981.
9) Gantmakher, F. R. and Levin, L. M., “The Flight of uncontrolled Rockets, Pergamon
Press, Oxford, 1964.
10) Haug, E.,” Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems”,
Volume I: Basic Methods, Allyn and Bacon, Boston, 1989.
11) ISO Concepts, Quantities and Symbols for Flight Dynamics, 1988, Part 1: Aircraft
motion relative to the air, ISO/DIS 1151/1, and Part 2: Motion of the aircraft and the
atmosphere relative to the Earth, ISO/DIS 1151/2
12) Janković, S. “Mehanika leta projektila ”, udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, 1998.
13) Jumper, E.J., “Wave Drag Prediction Using a Simplified Supersonic Area Rule”, J.
Aircraft, Vol. 20, No. 10, October 1983.
14) Jecić, S. “ Mehanika II, Kinematika i mehanika”, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995.
15) Лeбeдeв, A.A., Чepнoбroвкин, Л.C. “Динaмикa полeтa”, Maшинocтpoeниe,
Moskva, 1973.
16) McCormick, B. “Aerodynamics, Aeronautics and Flight Mechanics”, John Wiley &
Sons, Inc. New York, 1995.
17) Mair, W.A. and Birdsall, D. “Aircraft Performance”, Cambridge, University Press,
1992.
18) Nielsen, J. N., “Missile Aerodynamics”, McGraw-Hill, New York, 1960.
2
19) Pamadi, B. N., “Performance, Stability, Dynamics and Control of Airplanes”,
Education Series AIAA, Washington, 1998.
20) Raymer, D. “Aircraft Design: A Conceptual Approach, AIAA Education Series,
Washington, 1992.
21) Rendulić, Z., “Aerodinamika”, RO Sava Mihić, Zemun, 1984.
22) Rendulić, Z., “Mehanika leta”, Vojno-izdavački i novinarski centar, Beograd, 1987.
23) Schmidt, V. Luis, “Introduction to Aircraft Flight Dynamics”, Education Series
AIAA, Washington, 1998.
24) Smith, H. C. and Dreier, "A Computer Technique for the Determination of Brake
Horsepower Output of Normally-Aspirated Reciprocating Aircraft Engine""", SAE
Paper No. 770465, March 1977.
25) Steinberg, D. “Computational Matrix Algebra”, McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo,
1974.
26) Vinh, N. X. “Flight Mechanics of High Performance Aircraft”, Cambridge, University
Press, 1995.
27) .... ,"Introduction to Aircraft Flight Test Engineering", Epperson Sanderson Inc.
JS312647C, ISBN 0-89100-225-1.
28) USAF Stability and Control DATCOM, AD-B072 483/1 INZ.
29) ESDU (Engineering scientific data units), The Royal Aeronautical Society, London.
30) A.Φ. Бoчkapeвa, "Aэpoмeхaниka caмaлeтa" , Maшинocтpoeниe, Moskva 1977.
31) Gerard W.H. van Es, "Pitching Moment Change Caused by High-Lift Devices on
Wing-Body Configurations", Journal of Aircraft, Vol. 40, No. 2 March-April 2003,
pp. 391-393.
3
KAZALO Pojmovi aerodinamička
apscisa krila, 2.2.1
ishodište, 2.2.1
tetiva, 2.2.1
aerodinamički
koeficijenti, 2.1.1
model zrakoplova, 2.1.2
parametri, 2.1.1
aerodinamičko pojačanje, 13.2., 14.1
akcelerometar, 6.1.3
atmosfera
standardna, B.5
baza koordinatnog sustava, 1.1.1
bočna sila, 4.3
brzina
aerodinačka 1.4.2
apsolutna, 6.1.1
leta, 1.4.1
najmanje upravljivosti (Minimum Control Speed), 9.1.3.1
odvajanja (Take off Velocity), 9.1.1
penjanja (Rate of Climb, R/C), 8.2
penjanja najveća (Best Rate of Climb, BRC), 8.2.2
prijenosna, 6.1.1
relativna, 6.1.1
derivacija matrice transformacije, 1.2.2
derivacija vektora, 1.1.3
derivativi, 2.1.2
diferencijalne jednadžbe parametara, 1.2.6
diferencijalne jednadžbe poremećaja, 12.1.3
dolet (Range), 8.1.5
4
energetska visina (Energy Height), 10.1
gradijent bočne sile
po kutu klizanja,4.1.1
po otklonu kormila pravca, 4.1.2
po kutnoj brzini valjanja, 4.1.4
po kutnoj brzini skretanja, 4.1.5
gradijent momenta propinjanja
po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5
po kutnoj brzini, 3.2.6
po napadnom kutu, 3.2.4
po otklonu kormila visine, 3.2.4
stacionarni gradijenti, 3.2.4
gradijent momenta skretanja, 2.1, 4.1
po kutnoj brzini skretanja, 4.1.5
po kutnoj brzini valjanja,4.1.4
po kutu klizanja, 4.3
po otklonu kormila pravca, 4.1.2
po otklonu krilaca, 4.1.3
gradijent momenta valjanja, 2.1, 4.2
po kutnoj brzini skretanja, 4.2.5
po kutnoj brzini valjanja, 4.2.4
po kutu klizanja, 4.2.1
po otklonu kormila pravca, 4.2.2
po otklonu krilaca, 4.2.3
gradijent normalne sile
po napadnom kutu, 3.2.4
po otklonu kormila visine, 3.2.4
po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5
po kutnoj brzini, 3.2.
gradijent penjanja (Climb Gradient), 8.2
gradijenti, 2.1.2
harmonijska pobuda
uzdužnog gibanja, 13.3
bočnog gibanja, 14.5
5
Heavisideov teorem razvoja, 13.4, 13.5, 13.6, 14.3, 14.4, 14.5
horizontalni zaokret, 8.3.1
inercijaksa sila, 6.1.2
jedinični impuls (Impulsive Admittance), 13.4, 14.3
jedinični otskok (Indicial Admittance), 13.5, 14.4
jednadžba stanja zraka, B.3
karakteristični polinom, 13.2.1, 14.1
kinetički moment, 6.2.2
koeficijenti dinamičke stabilnosti
sila , 12.2.2
momenata, 12.2.5
koeficijent gušenja (Dumping Coefficient), 13.2.1
koordinatni sustavi, 1.3
koordinanti sustav
aerodinamički, 1.4.2
brzinski, 1.4.1
letjelice, 1.3.3
lokalni, 1.3.1
nošeni, 1.3.2
koordinirani zaokret, 8.3.2
korak elise, 6.5.1
kružna učestalost, 13.2.1
kut
napadni, 1.4.2
napadni motora, 6.4.1
klizanja, 1.4.2
klizanja motora, 6.4.1
penjanja najveći (Best Angle of Climb, BAC), 8.2.1
postavni, 2.3
propinjanja, 1.3.3
prostorni krila, 4.2.1.1
ravnotežni napadni, 7.1.3
skretanja, 1.4.1
valjanja, 7.4.3
6
valjanja letjelice, 1.3.3
zanosa, 1.3.3
zakretanja motora, 6.4.1
kutna brzina letjelice, 1.3.3
kutna brzina motora (Revolution Per Minute, RPM), C.1
kvašena površina, 3.1.1
linearizacija, 12.1.3
matrica
kososimetrična, 1.1.2
transformacija, 1.2, 1.2.1
temeljna, jed. 1.32-4
minimalno vrijeme penjanja, 10.4.3
model zrakoplova
kao materijalne točke, 7.4.4
kao krutog tijela (6DOF), 11.2
linearizirani, 12.2.7
modovi
uzdužnog gibanja, 13.2.1
bočnog gibanja, 14.1
momenta propinjanja
horizontalni rep - trup, 3.2.2
krilo - tijelo, 3.2.1
nulti članovi, 3.2.4
tijela, 3.2.3
stacionarni gradijenti, 3.2.4
moment pogonske sile, 6.4.3 i 6.5.2
moment tromosti
centrifugalni 6.2.3
za os, 6.2.3
načelo očvršćivanja, 6.3.5
neutralna točka, 7.2.3
normalna sila
kombinacije tijelo-noseća površina, 2.3
krilo - tijelo, 3.2.1
7
nulti članovi, 3.2.4
horizontalni rep - trup, 3.2.2
stacionarni gradijenti, 3.2.4
normalno opterećenje, 7.1.4 i 10.3.2
otpor, 2.1.1, 3.1
dna, 3.1.2
dodatni, 3.1.5
inducirani, 3.1.7
nulti, 3.1.6
transonični, 3.1.4
trenja, 3.1.1
valni, 3.1.3
Oswaldov koeficijent, 3.1.7
otklon upravljačke površine, 2.2.7
ovojnice horizontalnog leta, 8.1.4
ovojnica koordiniranog zaokreta, 8.3.4
parametar gušenja, 13.2.1
parametri
Eulerovi, jed. 1.37
Hamilton-Rodriguezovi, jed. 1.37
petlja, 8.4.3
plinska konstanta zraka, B.3
područje uporabe zrakoplova, 10.4.2
polara, 3.1.7
polijetanje (Take off), 9.1
pogonska sila, 6.4.2 i 6.5.1
poremećaji gibanja (perturabation), 12.1.3
potrebna sila, 8.1.2
potrebna snaga, 8.1.2
potrošnja goriva (Fuel Cosumption, FC), C.2.5
površina
referentna, 2.1.1
krila, 2.3
kvašenja, 3.1.1
8
diska elise, 6.5.1
poprečna, 3.1.3 i 3.1.5
prijenosne funkcije (Open Loop Transfer Function)
po otklonu kormila visine, 13.3
po otklonu kormila pravca, 14.2
po otklonu krilaca, 14.2
prirast specifične energije po jedinici goriva (Fuel Specific Energy), 10.4.4
prirodna učestalost, 13.2.1
raspoloživo opterećenje, 8.3.3
raspoloživa sila, 8.1.3
raspoloživa snaga, 8.1.3
referentno gibanje, 12.1.2
relativno gibanje, 6.1
savijanje struje, 2.4 i 6.4.1
sigurnost polijetanja, 9.1.3
skretanje struje, 4.1.1 i 6.4.1
slijetanje (Landing), 9.2
specifična energija (Specific Energy) 10.1
specifična potrošnja goriva (Specific Fuel Consumption), C.2.5
stabilnost
statička, 7.2.2
dinamička uzdužna 13
dinamička bočna, 14
Steinerov teorem, 6.2.4
sustav
očvrsnuti, 6.3.2
prividni, 6.3.2
promjenljive mase, 6.3.1
tenzor tromosti, 6.2.3
tlak punjenja (Manifold Absolute Pressure, MAP), C.1
trajanje leta (Endurance) 8.1.6
ubrzanje
apsolutno, 6.1.1
Coriolisovo, 6.1.1
9
komponente, 1.4.1
kutno, 6.1.1
prijenosno, 6.1.1
relativno, 6.1.1
Zemljane teže, B.2
učestalost, 13.2.1
ukupna energija (Energy State), 10.1
upravljivost
uzdužna, 7.3.1
bočna 7.3.3
usporenje struje, 2. 4
uzgon, 3.2, 2.1.1
vektor stanja, 11.2 i 12.1.1
vektor upravljanja, 12.1.1
vektorski i skalarni produkt 1.12
vertikalna ravnoteža zraka, B.4
vertikalni zaokret, 8.4
veze između parametara i kutova, 1.2.5
visina nadvisivanja prepreke (Obstacle Clearance Altitude), 9.1.5
višak specifične snage, 10.2.1
vlažnost zraka, B.3
vrijeme penjanja, 8.2.4
vrjemenska konstanta, 13.2.1
Oznake
Opće oznake
a brzina zvuka, ubrzanje
A vitkost krila, azimut
b raspon krila
c tetiva profila
Ac aerodinamička tetiva krila
C napadna točka normlane sile
10
KLD CCC aerodinamički koeficijenti sila u aerodinamičkom koordinatnom sustavu
ZYX CCC aerodinamički koeficijenti sila u koordinatnom sustavu letjelice
nm CCCl aerodinamički koeficijenti momenata u koordinatnom sustavu letjelice
XA CC −= aerodinamički koeficijent aksijalne sile
ZN CC −= aerodinamički koeficijent normalne sile
d promjer
D otpor
e Oswaldov koeficijent krila
e Hamilton R
E trajanje leta
f otklon zakrilca
F sila
g ubrzanje sile Zemljine teže
h udaljenost od aerodinamičkog ishodišta u pravcu x osi zrakoplova, visina leta
he specifična energija
H visina leta
i postavni kut noseće površine, imaginarna jedinica
I tenzor tromosti
J jedinična matrica
BWk koeficijent interferencije otklonjene kombinacije krilo - tijelo
K koeficijent induciranog otpora zrakoplova
BWK koeficijent interferencije planarne kombinacije krilo - tijelo
l udaljen ost od elise u pravcu x osi zrakoplova
L uzgon, moment valjanja
ABL matrica transformacije iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B
ZYX LLL temeljne matrice transformacija
m masa zrakoplova
M moment propinjanja
Ma Machov broj
n normalno opterećenje
N moment skretanja
N neutralna točka.
11
brzine kutne komponente
rqp
p tlak
P snaga
Pa Pr raspoloživa snaga, potrebna snaga
Ps specifični višak snage
R dolet
is ωδ +−= korijen karakteristične jednadžbe
[ ]ψϑφ=s stav zrakoplova
S površina
t vrijeme
T pogonska sila, temperatura zraka
Ta Tr raspoloživa, potrebna pogonska sila
brzine komponente
wvu
V intenzitet aerodinamičke brzine
Vk intenzitet brzine leta
W težina
fW širina trupa
X vektor stanja
X aerodinamička sila u pravcu x osi
Y aerodinamička sila u pravcu y osi
Z aerodinamička sila u pravcu z osi
Grčka slova
βα napadni kut, kut klizanja
γχ kut skretanja brzine, kut propinjanja brzine
φϑψ De Sparraini kutovi zrakoplova
AAA µγχ De Sparraini kutovi aerodinamičkog koordinatnog sustava
nm δδδ l otklon krilaca, otklon kormila visine, otklon kormila pravca
12
λ suženje krila
Vη koerficijent umanjenja dinamičkog tlaka na vertikalnom stabilizatoru
hη koeficijent umanjenja dinamičkog tlaka na horizontalnom stabilizatoru
ρ gustoća zraka
ω kutna brzina
ζ gušenje
Indeksi
( )A veličina aerodinamičkog koordinatnog sustava
( ) ( ) fB = veličina tijela
( )F veličina koordinatnog sustava letjelice
( )h veličina horizontalnog repa
( )K brzina ili ubrzanje u odnosu na zemlju
( )L veličina lokalnog koordinatnog sustava
( )m veličina za središte mase
( )n veličina za neutralnu točku
( )O veličina nošenog koordinatnog sustava
( )V veličina brzinskog koordinatnog sustava
veličina vertikalnog repa
( )W veličina krila (od dva polukrila)
Eksponenti
( )L komponente u lokalnom koordinatnom sustavu
( )O komponente u nošenom koordinatnom sustavu
( )F komponente u koordinatnom sustavu letjelice (obično se izostavlja)
( )V komponente u brzinskom koordinatnom sustavu
( )A komponente u aerodinamičkom koordinatnom sustavu
Top Related