Introduo, teoria e aplicaes
Prof. Marco Andr Argenta
Prof. Marcos Arndt
2. Viga de Euler-Bernoulli:
Hipteses bsicas:
a) Existe uma linha neutra onde no ocorre trao nem
compresso;
b) As sees que so planas e perpendiculares ao eixo
longitudinal antes da deformao permanecem planas e
indeformveis no plano;
c) O material elstico, linear e homogneo;
d) Tenses normais y e z so muito pequenas quando
comparadas com a tenso axial x e, por esta razo, so
desprezadas.
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 2
Equilbrio:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 3
0)()()( 0 dxxpdQxQxQV )(xpdx
dQ
00 dxpdxQdxMdMMM )(xQdx
dM
10
Da Resistncia dos Materiais:
Logo:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 4
)()(
2
2
xMdx
xvdEI
2
2 )()(
dx
xvdEI
dx
dxQ
)()(
2
2
2
2
xpdx
xvdEI
dx
d
Eq. diferencial que rege o problema: Encontrar v tal
que
com condies de contorno:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 5
Neumann) deou naturais (c.c. em
Dirichlet) deou essenciais (c.c. em
2
2
2
2
t
v
Qdx
vdEI
dx
d
Mdx
vdEI
dx
dvvv
Forma Forte ),0( em )()(
2
2
2
2
Lxpdx
xvdEI
dx
d
Aplicando o Met. dos Resduos Ponderados: Encontrar v
respeitando as c.c. tal que
para toda funo peso w admissvel.
Para garantir a compatibilidade entre a equao
diferencial e a equao integral tambm necessrio
que:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 6
vw em 0
Forma Forte 0)()(
2
2
2
2
wdxxpwdxdx
xvdEI
dx
d
vdx
dw em 0
Integrando por partes o 1o termo:
Integrando por partes mais uma vez o 2o termo:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 7
02
2
2
2
pwdxdxdx
dw
dx
vdEI
dx
dw
dx
vdEI
dx
d
02
2
2
2
2
2
2
2
pwdxdxdx
wd
dx
vdEI
dx
dw
dx
vdEIw
dx
vdEI
dx
d
Como e
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 8
vw em 0 tQdx
vdEI
dx
d
em
2
2
tv
wdx
vdEI
dx
dw
dx
vdEI
dx
dw
dx
vdEI
dx
d
2
2
2
2
2
2
t
wQwdx
vdEI
dx
d
2
2
Como e
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 9
vdx
dw em 0
tMdx
vdEI em
2
2
tv
dx
dw
dx
vdEI
dx
dw
dx
vdEI
dx
dw
dx
vdEI
2
2
2
2
2
2
tdx
dwM
dx
dw
dx
vdEI
2
2
Logo, a equao
transforma-se em:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 10
02
2
2
2
2
2
2
2
pwdxdxdx
wd
dx
vdEI
dx
dw
dx
vdEIw
dx
vdEI
dx
d
02
2
2
2
pwdxdx
dx
wd
dx
vdEI
dx
dwMwQ
t
t
Ento, o problema transforma-se em encontrar a funo
v que satisfaz as c.c. essenciais e a equao:
para todo w tal que .
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 11
Forma Fraca
v
dww em 0
dx e 0
t
t dx
dwMwQpwdxdx
dx
wd
dx
vdEI
22
2
2
Particularizando para a viga abaixo com extremidade
esqueda engastada e extremidade direita livre:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 12
naturais) (c.c. em
0
0
)essenciais (c.c. 0 em 0
0
2
2
2
2
Lx
dx
vdEI
dx
d
dx
vdEI
x
dx
dvv
Logo, o problema transforma-se em encontrar a funo v
tal que e
para todo w tal que .
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 13
Forma Fraca
0)0(0
xdx
dww
000
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
LLL
L
pwdxdxdx
wd
dx
vdEI
dx
dw
dx
vdEIw
dx
vdEI
dx
d
0)0(0
xdx
dvv
LL
pwdxdxdx
wd
dx
vdEI
00
2
2
2
2
- Extremidade engastada:
- Extremidade simplesmente apoiada:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 14
0)0( v
00
xdx
dv
0)( Lv
0Lxdx
dv
0)0( v
0)0(
0
2
2
xdx
vdEIM
0)( Lv
0)(2
2
Lxdx
vdEILM
- Extremidade tipo engaste mvel:
- Extremidade livre:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 15
00
xdx
dv
0)0(
0
2
2
xdx
vdEI
dx
dQ
0Lxdx
dv
0)(2
2
Lxdx
vdEI
dx
dLQ
0)0(
0
2
2
xdx
vdEIM
0)0(
0
2
2
xdx
vdEI
dx
dQ
0)(2
2
Lxdx
vdEILM
0)(2
2
Lxdx
vdEI
dx
dLQ
- Carga concentrada na extremidade:
- Momento aplicado em extremidade:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 16
1
0
2
2
Qdx
vdEI
dx
d
x
22
2
Qdx
vdEI
dx
d
Lx
1
0
2
2
Mdx
vdEI
x
22
2
Mdx
vdEI
Lx
- Apoios elsticos (molas transversais e rotacionais):
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 17
00
2
2
x
RE
xdx
dvk
dx
vdEI
)0(
0
2
2
vkdx
vdEI
dx
dTE
x
Lx
RD
Lxdx
dvk
dx
vdEI
2
2
)(2
2
Lvkdx
vdEI
dx
dTD
Lx
Utilizando o Mtodo de Galerkin:
No MEF a formulao fraca aplicada a cada elemento
finito (e), logo:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 18
n
i
ii wxw1
.)(
en
j
jj
e
h vxv uNT
1
.)(
nx 21
N
nTe vvv 21u
en
i
ii wxw wNT
1
.)(
nTe www 21w
n
j
jjh vxvxv1
.)()(
Aplicando formulao fraca:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 19
eTeTe
h
dx
d
dx
xvduBu
N
2
2
2
2 )(
2
2
2
2
2
2
1
2
dx
d
dx
d
dx
dx n
B
eTeT
dx
d
dx
xwdwBw
N
2
2
2
2 )(
0
et
et
ee dx
dMQdxpdxEI eT
Te NNNuBBw
Como a formulao fraca deve ser vlida para todo w admissvel, ou seja, para qualquer vetor w, ento:
Ou, na forma matricial:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 20
eeefuK
et
et
e dx
dMQdxxpe
NNNf )(
0
et
et
ee dx
dMQdxpdxEI eT
NNNuBB
e
dxEI Te BBK
Utilizando o Mtodo de Galerkin:
para qualquer conjunto de valores wi.
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 21
n
i
ii wxw1
.)(
n
j
jj
e
h vxv1
.)(
01111
2
2
12
2
et
et
ee
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
j
j
jw
dx
dMwQdxwpdxw
dx
dv
dx
dEI
01 1
2
2
2
2
n
i
ii
iij
n
j
ji wdx
dMQdxpvdx
dx
d
dx
dEI
et
et
ee
Logo:
Ou matricialmente:
15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 22
eeefuK
dxdx
d
dx
dEIK
jie
ije
2
2
2
2
et
et
e dx
dMQdxxpf iii
e
i
)(
ni
dx
dMQdxpvdx
dx
d
dx
dEI
et
et
ee
iiij
n
j
ji
1
01
2
2
2
2
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