ME623Planejamento e Pesquisa
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Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados)
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Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVA
ANOVA = Analysis of Variance
Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?
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Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVA
ANOVA = Analysis of Variance
Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?
Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis)
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Experimentos com um Único FatorOne-Way ANOVA
ANOVA = Analysis of Variance
Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?
Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis)
Qual é então a motivação para ANOVA?
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Teste t da aula anterior> y1 <- c(1.85, 2.40,-1.21, 0.35, 3.52, 4.04, 4.96, 0.15, -0.59, 2.57)
> y2 <- c(-1.62, -0.75, 1.70, 2.12, 3.98, -4.87, -2.34, 3.02, -0.08, -1.27)
> t.test(y1, y2, var.equal=TRUE)
ANOVA:> grupo <- factor(rep(1:2, each=10), labels=c(“Supl", “Placebo"))
fit <- aov(c(y1,y2) ~ grupo)
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Vamos começar com um exemplo...
Uma engenheira quer investigar a resistência de uma nova fibra sintética usada para fazer camisetas.
Ela sabe que a porcentagem de algodão na composição da fibra afeta a resistência.
Será quer aumentar a porcentagem de algodão aumentará a resistência da fibra?
A porcentagem de algodão deve ser entre 10 e 40% para que o produto final tenha outras características de qualidade desejáveis (como poder aplicar uma estampa)
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Exemplo (cont.)Testar 5 níveis do percentual de
algodão: 15, 20, 25, 30, e 35%
Repetir o experimento 5 vezes para cada percentual
Perguntas1. Quantos fatores?2. Qual é o fator?3. Quantos níveis? Quais são?4. Quantas replicações?5. Quantas UE são necessárias?
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Aleatorização%
Algodão
Ordem Ensaio
15 1 2 3 4 5
20 6 7 8 9 10
25 11 12 13 14 15
30 16 17 18 19 20
35 21 22 23 24 25
UE
Ordem
Ensaio
%Algod
ão
1 8 20
2 18 30
3 10 20
4 23 35
5 1 15
6 5 15
7 14 25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22 16 30
23 25 35
24 19 30
25 3 15
Por que mesmo que a aleatorização é importante?
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DADOS EXPERIMENTAIS
Resistência medida em lb/in2
%Algod
ão
Observações
Total
Média
1 2 3 4 5
15 7 7 15 11 9 49 9.8
20 12 17 12 18 18 77 15.4
25 14 18 18 19 19 88 17.6
30 19 25 22 19 23 108 21.6
35 7 10 11 15 11 54 10.8
37615.0
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Visualização dos Dados
Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão
Figura: Dotplot da resistência versus % de algodão
Existe alguma indicação de que a porcentagem de algodão afeta a resistência da fibra sintética?
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A Análise de VariânciaQueremos testar se existe diferença
entre as resistências média para todos os a=5 níveis do fator A
E por que não aplicar o teste t para todos os pares de médias?
P(não rejeitar H0| H0 é verdadeira) = (1 − 0.05)10 = 0.60
P(Erro Tipo I) = 1 – 0.60 = 0.40
O procedimento apropriado para testar a igualdade de várias médias é conhecido como Análise de Variância
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A Análise de Variância (ANOVA)
Tratamentoou Fator A
(nível) ObservaçõesTotai
s Médias
1 y11 y12 . . . y1n
2 y21 y22 . . . y2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.. . .
.
.
.
.
.
.
a ya1 ya2 . . . yan
Representação típica dos dados em experimentos com um fator
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ModeloAs observações do experimento
(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:
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ModeloAs observações do experimento
(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:
Restrição:
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ModeloAs observações do experimento
(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:
Porque precisamos da Restrição?
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ModeloAs observações do experimento
(variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:
Porque precisamos da Restrição?
Temos k médias : média pop. do fator I
k+1 parâmetros! Identificabilidade!
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Efeito Fixo ou Aleatório?Efeito Fixo: os a tratamentos foram
especi-ficamente escolhidos.Conclusões aplicam-se APENAS aos
trata-mentos considerados na análise
Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos.
Conclusões podem ser estendidas à popu-lação de tratamentos
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Formulando as HipótesesQueremos testar a igualdade das médias
dos a tratamentos, ou seja,
Veja que
Portanto, a hipótese acima é equivalente a testar se os efeitos dos tratamentos são nulos:
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Notação
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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)
Exercício: Demonstrar!!!
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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)
SSA é a soma de que?SSE é a soma de que?
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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)
SSA é a soma de que? Mede dif. média dos trat
SSE é a soma de que? Sobra: devido ao erro
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Graus de Liberdade das Soma de Quadrados
Soma de Quadrado
sGraus de
Liberdade (gl) ExplicaçãoSSA a – 1 a níveis do Fator A
SSE a(n – 1) = N – a n – 1 gl dentro de cada nível do fator A
SST N – 1 N observações no total
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Soma de Quadrados dos Erros
O termo entre colchetes dividido por é a variância amostral para o i-ésimo tratamento:
Então um estimador de é dado por
Estimador de σ2
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Quadrados Médios (MS)Definição:
Quadrado Médio do Erro (MSE)
Quadrado Médio do Fator A (MSA)
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