UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA MECNICA ELCTRICA
ANALISIS DE PROBLEMAS DE
TRANSFORMACION DE ESFUERZO
PLANO CON MDSOLIDS
MONOGRAFIA
Que para obtener el ttulo de: INGENIERO MECNICO ELCTRICISTA
PRESENTA: LUIS MANUEL VALDEZ TEPETLA
DIRECTOR DE MONOGRAFIA:
ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ
XALAPA, VER. JUNIO 2012
ndice
INTRODUCCIN ...................................................................................................................... 1
CAPTULO 1 ............................................................................................................................. 2 TRANSFORMACIN DE ESFUERZO PLANO ......................................................................................................................................................................... 2
CAPTULO 2 ............................................................................................................................. 6 ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MXIMO .............................................................................................................................................. 6
CAPTULO 3 ............................................................................................................................. 9 CRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO .................................................................................................................................................................... 9
CAPTULO 4 ............................................................................................................................ 13 MDSOLIDS .................................................................................................................................................................................................................. 13
CAPTULO 5 ............................................................................................................................ 29 ANLISIS DE PROBLEMAS SELECCIONADOS .................................................................................................................................................................... 29
COMENTARIOS FINALES ..................................................................................................... 41
BIBLIOGRAFA ....................................................................................................................... 42
Introduccin
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 1
Introduccin
La mecnica de materiales es un tema bsico en muchos
campos de la ingeniera, su objetivo principal es determinar los
esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en
estructuras y en sus componentes, debido a las cargas que
actan sobre ellos. En el nivel universitario, particularmente en
el caso especfico del programa educativo en Ingeniera
Mecnica Elctrica de la Universidad Veracruzana, la mecnica
de materiales se ensea prcticamente al inicio de los estudios
de licenciatura, ya que como se ha dicho antes es un tema
bsico y necesario para los alumnos de las diversas reas de la
ingeniera.
Es importante tomar en cuenta que como en todos los cursos
de mecnica, la solucin de problemas es parte importante del
proceso de aprendizaje. Por tanto, al abordar la mecnica de
materiales el alumno deber estar consciente de que sus
estudios se dividirn en forma natural en dos partes: primero,
comprender el desarrollo lgico de los conceptos, y segundo,
aplicar esos conceptos a situaciones prcticas. Lo primero se
logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y
la segunda parte se logra resolviendo los problemas
propuestos. Los problemas que se trabajan en el curso pueden
ser de carcter numrico o de carcter simblico (algebraico).
El objetivo del presente trabajo es aportar un instrumento que
apoye el proceso de aprendizaje en lo que respecta a la
resolucin de problemas mediante la utilizacin de un software
educativo para estudiantes que toman los cursos del rea de la
mecnica de materiales, llamado MDSolids. El software
dispone de mdulos didcticos para el anlisis de diversos
tpicos de la mecnica de materiales, sin embargo, dentro de
los alcances de este trabajo se har uso del MDSolids
aplicndolo nicamente en la resolucin de problemas de
transformacin de esfuerzo plano, tema que se estudia como
parte del programa de la experiencia educativa Mecnica de
Materiales del programa educativo en Ingeniera Mecnica
Elctrica de la Universidad Veracruzana.
Transformacin de esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 2
Captulo 1 Transformacin de esfuerzo plano
La figura 1.1 muestra el estado ms general de esfuerzo en un
punto dado , el cual incluye seis componentes de esfuerzo,
tres de las cuales , y , definen los esfuerzos normales
ejercidos sobre las caras de un elemento cbico centrado en
y con la misma orientacin de los ejes coordenados y las otras
tres, , y , las componentes de de los esfuerzos
cortantes del mismo elemento.
Figura 1.1
En la figura 1.2 se observa el mismo estado de esfuerzos
mediante un conjunto diferente de componentes debido a que
se han girado los ejes.
Figura 1.2
En este captulo estudiaremos cmo se transforman las
componentes de los esfuerzos cuando se giran los ejes
coordenados.
El anlisis de transformacin de esfuerzos tratar
principalmente con el esfuerzo plano, es decir, una situacin en
la cual dos caras del cubo estn libres de esfuerzo, como se
aprecia en la figura 1.3.
Transformacin de esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 3
Figura 1.3
Tal situacin ocurre en una placa delgada sometida a fuerzas
que actan en su plano medio (figura 1.4) o en la superficie libre
de un elemento estructural o elemento de mquina, es decir, en
cualquier punto de la superficie que no est sujeto a una fuerza
externa (figura 1.5).
Figura 1.4
Figura 1.5
Transformacin de esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 4
A continuacin aprenderemos a determinar el comportamiento
de las componentes de esfuerzo , y asociadas con el
elemento mostrado en la figura 1.6(a) despus de que ha girado
un ngulo alrededor del eje , es decir, las componentes de
esfuerzo , y asociadas con el elemento mostrado en
la figura 1.6(b).
Figura 1.6
Consideremos el elemento prismtico de la figura 1.7, cuyas
caras son perpendiculares a los ejes , y , y apliquemos la
primera condicin de equilibrio sumando las componentes de
fuerza a lo largo de los ejes y .
Figura 1.7
Transformacin de esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 5
Resolviendo la primera ecuacin para y la segunda para
, se tiene:
y
Podemos simplificar las ecuaciones anteriores si utilizamos las
siguientes relaciones trigonomtricas:
Sustituyendo adecuadamente las identidades trigonomtricas
en las ecuaciones de y , tenemos que:
La expresin para el esfuerzo normal se obtiene
reemplazando en la ecuacin de , por el ngulo
que el eje forma con el eje , y por tanto:
Como y ,
podemos verificar que la suma de los esfuerzos normales
ejercidos sobre un elemento cbico de material es
independiente de la orientacin del elemento.
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 6
Captulo 2 Esfuerzos principales y esfuerzo
cortante mximo
Las ecuaciones obtenidas en el captulo anterior son las
ecuaciones paramtricas de un crculo, esto significa que si
escogemos un sistema de ejes rectangulares y se grfica un
punto de coordenadas para cualquier valor de los
puntos as obtenidos estarn situados en un crculo. La figura
2.1 representa un crculo de radio cuyo centro se ubica en el
punto de coordenadas .
Figura 2.1
Los puntos y , donde el crculo interseca el eje horizontal,
son de especial inters, ya que corresponden al valor mximo y
mnimo del esfuerzo normal , respectivamente. Observe que
en ambos puntos el esfuerzo cortante es cero.
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 7
Los valores de del parmetro que corresponden a los
puntos y pueden obtenerse haciendo en la
segunda ecuacin obtenida en el captulo anterior.
Esta ecuacin define dos valores que difieren en 180 y, y
por tanto, dos valores que difieren en 90. Cualquiera de
estos dos valores puede usarse para determinar la orientacin
del elemento correspondiente (figura 2.2).
Figura 2.2
Los planos que contienen las caras del elemento obtenido se
llaman planos principales de esfuerzo en el punto , y los
valores correspondientes y del esfuerzo normal
ejercido sobre estos planos son los esfuerzos principales en .
No hay esfuerzo cortante en los planos principales.
Haciendo referencia nuevamente al crculo de la figura 2.1,
observe que los puntos y , localizados en el dimetro
vertical del crculo, corresponden al mayor valor numrico del
esfuerzo . La abscisa de los puntos y es . Los
valores de del parmetro que corresponden a los puntos
y pueden obtenerse haciendo en la primera
ecuacin obtenida en el capitulo anterior.
Esta ecuacin define dos valores que difieren en 180 y, y
por tanto, dos valores que difieren en 90. Cualquiera de
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 8
estos dos valores puede usarse para determinar la orientacin
del elemento correspondiente al esfuerzo cortante mximo
(figura 2.3).
Figura 2.3
Al observar en la figura 2.1 notamos que el valor mximo del
esfuerzo cortante es igual al radio del crculo.
El esfuerzo normal correspondiente a la condicin de esfuerzo
cortante mximo es:
Es importante destacar lo siguiente:
Los planos de esfuerzo cortante mximo estn a 45 de
los planos principales.
Se debe estar consciente de que el anlisis sobre la
transformacin de esfuerzo plano se ha limitado a las
rotaciones en el plano de esfuerzo.
Crculo de Mohr para esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 9
Captulo 3 Crculo de Mohr para esfuerzo
plano
El crculo usado en el captulo anterior para obtener algunas de
las ecuaciones bsicas relativas a la transformacin de un
esfuerzo plano lo introdujo el ingeniero alemn Otto Mohr (1835
1918) por lo que se le conoce como crculo de Mohr para
esfuerzo plano. Este crculo (figura 3.1) puede utilizarse como
mtodo alternativo de solucin en problemas de transformacin
de esfuerzo plano. Este mtodo se basa en consideraciones
geomtricas simples y no requiere el uso de ecuaciones
especializadas. Aunque fue diseado para obtener soluciones
grficas, se puede aplicar muy bien empleando una
calculadora.
Figura 3.1
Figura 3.2
Crculo de Mohr para esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 10
A continuacin se describir el procedimiento para dibujar el
crculo de Mohr de la figura 3.1. Para ello, consideremos un
elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano
cuyas componentes de esfuerzo se ilustran en la figura 3.2:
1. Trace un sistema de ejes rectangulares, el eje de las
abscisas corresponder a y el de las ordenadas a .
2. Dibuje un punto de coordenadas y un punto
de coordenadas . Si es positivo, como se
supone en la figura 3.2, el punto est situado debajo
del eje y el punto encima.
3. Una los puntos y con una lnea recta y en la
interseccin de la lnea y con el eje se identifique el
punto que define la posicin del centro del crculo. La
lnea es el dimetro del crculo.
4. Dibuje el crculo con centro en y dimetro .
Las abscisas de los puntos y , en donde el crculo (figura
3.1) interseca el eje , representan respectivamente los
esfuerzos principales y en el punto considerado. El
ngulo es igual en magnitud a uno de los ngulos , as
pues, el ngulo que define la orientacin del plano principal
(figura 3.2) correspondiente al punto (figura 3.1) puede
obtenerse dividiendo por la mitad al ngulo medido en el
crculo de Mohr. Observe que si y , como es el
caso que se representa en las figuras 3.1 y 3.2, la rotacin de
hacia es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Por tanto, el sentido de rotacin en ambas figuras es el mismo.
Figura 3.3
Crculo de Mohr para esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 11
El crculo de Mohr est definido en forma nica, por lo que el
mismo crculo puede obtenerse considerando las componentes
, y , correspondientes a los ejes y de la figura
3.3.
Figura 3.4
En la figura 3.4 se identifican los puntos y
localizados en el crculo de Mohr y el ngulo
debe ser el doble del ngulo de la figura 3.3. Por otra
parte, en la figura 3.4 el ngulo es el doble del ngulo
de la figura 3.3. Se observa que la rotacin que hace
coincidir el dimetro con el dimetro en la figura 3.4, tiene
igual sentido que la rotacin que superpone los ejes a los ejes
en la figura 3.3.
La propiedad que acaba de indicar puede usarse para verificar
el hecho de que los planos de esfuerzo cortante mximo estn
a 45 de los planos principales (figura 3.5).
Figura 3.5
Crculo de Mohr para esfuerzo plano
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 12
Figura 3.6 Crculo de Mohr para carga axial concntrica
Figura 3.7 Crculo de Mohr para carga de torsin
0, xyyxA
P
A
Pxyyx
2
J
Tcxyyx 0
0 xyyxJ
Tc
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 13
Captulo 4 MDSolids
MDSolids es un software educativo (en idioma ingls) para
estudiantes de los cursos del rea de la mecnica de
materiales, disciplina bsica de la mecnica aplicada en
diversos programas de ingeniera. El software dispone de
mdulos didcticos para anlisis de vigas estticamente
determinadas, miembros en torsin, columnas, estructuras
sujetas a carga axial, armaduras, propiedades de secciones
transversales, y el crculo de Mohr, incluyendo el anlisis de las
transformaciones de esfuerzo.
La idea que plantea MDSolids es que el estudiante obtenga una
mayor compresin de los problemas y que el docente tenga una
herramienta ms para apoyar al alumno en la resolucin de
ciertos casos los cuales, en ocasiones, no pueden ser
explicados de manera clara y concisa.
El software puede ayudar a desarrollar el problema que
soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface
intuitiva que los dirige a los factores importantes que inciden en
varios tipos de problema, les ayuda a visualizar la naturaleza de
esfuerzos internos y deformaciones, y proporciona un medio
fcil de usar y de investigar un nmero mayor de problemas y
variaciones. Basado en esta premisa, MDSolids fue
desarrollado con varios objetivos:
VERSATILIDAD
MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos
enseados en un curso tpico de mecnica de materiales. Estas
rutinas son agrupadas en doce mdulos, similares a captulos
que pertenecen a una amplia gama de problemas de los textos
comunes disponibles actualmente. Dentro de los mdulos, cada
rutina soluciona los tipos de problemas clsicos de la mecnica
de materiales. El alcance de MDSolids ofrece rutinas para
ayudar a estudiantes en todos los niveles de comprensin,
ayudndole a resolver desde problemas de aplicacin hasta
problemas ms complejos que requieren el anlisis y la sntesis.
FACILIDAD DE ENTRADA
La facilidad de entrada es un aspecto esencial en el concepto
MDSolids. La solucin de problemas de mecnica de materiales
confunde bastante a los estudiantes. El estudiante debera ser
capaz de definir un problema por intuicin y directamente de un
libro sin la necesidad del manual de usuario. MDSolids,
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 14
proporciona seales grficas para dirigir a usuarios en la
entrada de datos. Las ilustraciones fcilmente pueden ser
ajustadas de modo que la pantalla introducida se vea muy
similar a la ilustracin del libro.
COMUNICACIN VISUAL
En cada rutina MDSolids destaca un cuadro, el bosquejo y el
argumento que grficamente representa los aspectos
importantes del problema. Los bosquejos son usados para
mostrar la direccin de esfuerzos internos, cargas aplicadas, y
reacciones.
EXPLICACIONES A BASE DE TEXTO
Muchos de los mdulos MDSolids proporcionan explicaciones
suplementarias para describir en palabras cmo son realizados
los clculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los
estudiantes a desarrollar los procesos usados en la solucin de
problemas de la mecnica de materiales. Las explicaciones de
texto son dinmicas y sensibles a contexto, adaptadas al
problema particular en trminos de los valores y del sistema de
unidades del problema. Errores comunes en ecuaciones de
equilibrio y manipulaciones de ecuacin se corrigen cuando un
estudiante compara clculos de la mano con las explicaciones
de MDSolids.
CARCTERSTICAS
MDSolids ofrece opciones grficas al usuario para todos los
datos requeridos o unidades. En el dibujo de la fuerza
transversal y diagramas de momento, por ejemplo, el usuario
puede pulsar sobre un cuadro de una flecha y entrar en la
magnitud de la carga para definir una carga de punto hacia
abajo vertical.
En la mayora de los casos, cuatro unidades comunes (dos del
sistema ingls y dos del sistema internacional) son aseguradas
en cada variable. Por ejemplo, la tensin puede ser calculada
en psi, ksi, kPa, o MPa. El usuario es libre de mezclar las
unidades de cualquier modo deseado. Por ejemplo, la seccin
transversal de una viga podra ser definida en milmetros, su
longitud en pulgadas, un diagrama de momento flexionante en
kNm, y presentar el esfuerzo de flexin en psi.
Todas estas opciones para fuerzas y unidades son hechas
simplemente pulsando los botones apropiados sobre las formas
mostradas. Los conceptos de mecnica de materiales son
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 15
bastante difciles sin aadir la confusin sobre convenciones de
signo y sistemas de unidades.
El software est escrito en Visual Basic para correr en el
entorno de Windows, requiere resolucin SVGA (800 x 600) y
para correrlo es suficientemente un ordenador 486-33MHz, pero
es recomendable emplear un equipo ms rpido para obtener
una mayor visualizacin de los grficos.
Figura 4.1 - Pantalla principal de MDSolids (Mdulos de MDSolids)
MODULOS
Problem Library
Contiene rutinas diseadas para doce tipos comunes de los
problemas frecuentemente utilizados para introducir los
conceptos de esfuerzo y deformacin (figura 4.1). Para cada
tipo de problema, la rutina incluye preguntas tpicas las cuales
son relativas a la estructura, variaciones comunes (como el
corte doble o cortante simple) y una imagen o dibujo que
describe la geometra del problema
Figura 4.2 Men mdulos de MDSolids
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 16
Despus de que el estudiante hace clic en el botn compute, la
rutina prepara una explicacin detallada del enfoque que se
debe tomar para resolver el problema con los datos de entrada
suministrados por el usuario y las unidades.
Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un grupo
de problemas que comnmente se utiliza para introducir los
conceptos de esfuerzo y deformacin. Estos problemas
incluyen una viga que se fija en un extremo y con el apoyo de
una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos
problemas requieren especificar el dimetro de los pernos y sus
configuraciones, ya sea de corte simple o doble en las
conexiones. El estudiante puede ser requerido para determinar
la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el esfuerzo
normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las
conexiones. Un problema de la viga y el puntal, en cualquier
configuracin, puede ser resuelto por este mdulo.
Trusses
Armaduras estticamente determinadas pueden ser analizadas
las fuerzas internas axiales. La entrada de datos es grfica y
slo requiere la definicin mnima por parte del usuario. Las
dimensiones de la armadura son establecidas creando una
cuadrcula definida por el usuario de los puntos de nodo (figura
4.3). Los miembros de la armadura son definidos con el mouse
al dibujar las lneas que conectan los nodos deseados. El
software comprueba los miembros a medida que son definidos
para garantizar que los supuestos de idealizacin de armadura
estn satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados slo
en las articulaciones). Los apoyos y cargas tambin son
definidos con movimientos del mouse. Los controles de
software permiten al menos a tres limitaciones de apoyo y de
aceptar cargas slo en las articulaciones.
Figura 4.3 Armadura estticamente determinada
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 17
El etiquetado de las uniones se realiza automticamente. Los
ngulos de los miembros de la armadura se calculan y se
muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del
anlisis se muestran sobre la armadura. Los miembros de
tensin, de compresin y de fuerza cero son indicados cada
uno por un color diferente.
Opcionalmente, los esfuerzos normales pueden ser calculados
para los miembros de la armadura, o dado un lmite de
esfuerzos, el rea de la seccin transversal requerida para cada
miembro puede ser calculada a partir de los resultados del
anlisis de armadura.
Indet Axial
En este mdulo se consideran estructuras estticamente
indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos
miembros (figura 4.4). Problemas de ste tipo son por lo
general los que se indican en las siguientes variaciones:
miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga
aplicada en la unin, miembros de extremo a extremo con una
separacin entre los dos y sujetos a una variacin de temperatura,
miembros de extremo a extremo con un desajuste entre ellos que se
cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos miembros
axiales conectados a una barra fija rgida que gira, y, un cerrojo que
pasa por una manga con una tuerca que es apretada.
1.
Figura 4.4 Una de las pantalla del mdulo indet axial
Torsion
La torsin de elementos con seccin transversal circular es
considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 18
diferentes de miembros sujetos a torsin estn disponibles. El
usuario puede definir un miembro en torsin simple (por
ejemplo, un eje con un momento de rotacin). ste eje se
muestra como una representacin en tres dimensiones. Una
cuadrcula se sobrepone en el eje para ilustrar la torsin
producida por un momento de rotacin (figura 4.5). La
perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario
pueda observar el eje desde varios puntos de vista.
Figura 4.5 - Torsin simple
Opcionalmente, una fuerza axial tambin puede ser
considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular,
los efectos de la presin pueden ser incluidos. Esto permite a
problemas con carga axial y efectos de torsin ser
considerados.
Los clculos de crculo de Mohr tambin pueden ser iniciados
desde esta opcin de torsin. Los valores estndar para los
mdulos de corte estn disponibles para el usuario simplemente
pulsando sobre el material deseado en un men desplegable.
Dos opciones de torsin toman en cuenta los problemas de
transmisin de potencia. Una de estas opciones considera un
solo eje conectado a un motor mientras que la segunda opcin
considera un eje de potencia unido por engranajes a un eje
simple.
La opcin de eje de potencia simple, figura 4.6, tambin incluye
un motor animado y el movimiento de engranaje con
reguladores simulados de modo que los usuarios puedan
observar los efectos producidos por el cambio de alimentacin
del motor, la velocidad, o relacin de engranaje.
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 19
Figura 4.6- Transmisin de potencia
Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de formato
de definicin flexible. El usuario introduce las variables
conocidas y el software soluciona para el resto de las variables.
El software incluye explicaciones adicionales que describen el
procedimiento especfico que debera ser usado para solucionar
cada problema.
Una cuarta opcin de torsin considera un solo eje con
mltiples momentos de torsin. Esta opcin produce un
diagrama de momento de torsin, un diagrama esfuerzo
cortante y un diagrama de ngulo de giro (figura 4.7).
Figura 4.7 - Eje de torsin con mltiples torques
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 20
Determinate Beams
El usuario puede definir a cualquier viga estticamente
determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble
y empotrada. Las cargas que pueden aplicarse a las vigas
incluyen carga puntual, uniformemente distribuida, linealmente
variable y momentos de flexin (figura 4.8).
Figura 4.8 - Modulo de vigas estticamente determinadas
Los iconos mostrados en un formato de barra de herramientas
permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin
necesidad de la consideracin de una convencin de signos.
Figura 4.9 Diagramas de fuerza cortante y momento flector
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 21
Los diagramas, figura 4.9, que muestran la fuerza cortante,
momento flexionante, pendiente y deflexin son dibujados
inmediatamente despus de la entrada de una carga. Esto
permite al usuario ver el efecto de cada carga al ser aadida.
MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen:
1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio
necesario para resolver las reacciones de la viga,
2) cmo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la
fuerza de corte y diagramas de momento, y
3) la forma de calcular el rea en cada parte del diagrama de
fuerza cortante, como encontrar puntos de cero en fuerza
cortante, y como construir el diagrama de momento a partir
del diagrama de fuerza cortante.
Las cargas se pueden introducir, ya sea para anlisis sin factor
de carga o con factor. Las cargas sin factor se utilizan en la
filosofa de diseo por esfuerzo permisible habitualmente
encontrada en los textos de la mecnica de materiales. Las
cargas con factor se utilizan en el diseo por resistencia para
estructuras de acero y hormign. Tres combinaciones de carga
estn disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L.
Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posicin
especfica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza
cortante, momento, pendiente o la deflexin en ese punto.
Flexure
Si una seccin transversal se define, el software puede mostrar
la forma de la seccin transversal y trazar la distribucin de
cualquier esfuerzo normal o cortante, los cuales varan en la
profundidad de la seccin (figura 4.10). El software incluye una
pestaa desplegable en la que los usuarios puedan indicar una
posicin especfica en la profundidad de la seccin transversal y
muestra los valores de esfuerzo normal y cortante calculados
para ese punto. En el clculo del esfuerzo cortante, el valor de
Q tambin se calcula para la posicin elegida por el usuario.
Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios
especficos pueden ser calculados para secciones transversales
compuestas. Adems, las fuerzas axiales en la seccin
transversal tambin pueden ser consideradas de modo que las
cargas combinadas puedan ser analizadas.
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 22
Figura 4.10 - Diversas pantalla del modulo de flexin
El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la fuerza
axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante
puedan ser calculados. Los estudiantes que lo requieran podrn
resolver ejercicios de diseo de vigas para calcular el tamao
de viga necesaria. La flexin de formas asimtricas puede ser
considerada.
Section Properties
Los mens permiten al usuario calcular las propiedades de la
seccin transversal de 19 figuras genricas diferentes. Las
formas generales que se incluyen son: I, T, C, L, Z", caja,
circular slida, tubular y las formas rectangulares. Tambin se
incluyen formas dobles I, T, C y L.
Los botones de visualizacin permiten al usuario hacer girar la
forma a la orientacin deseada. Por ejemplo, una forma de T se
puede girar de modo que el tallo de la T seale hacia arriba.
Esta caracterstica permite a los usuarios hacer coincidir
exactamente con lo planteado en el ejercicio particular que se
est analizando.
Las propiedades de la seccin calculada incluyen: localizacin
del centroide, momento de inercia, mdulo de seccin, radio de
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 23
giro, mdulo plstico, momento polar de inercia y, momentos
mximos y mnimos de inercia. La forma de la seccin
transversal se vuelve a dibujar a escala y se muestran los ejes
centroidales.
Figura 4.11 - Modulo propiedades de la seccin
El mdulo de elasticidad de la seccin se puede introducir
directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de
materiales comunes. Por ejemplo, el usuario simplemente
podra pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y el software
recuperar un valor de 10,000,000 de psi para el mdulo de
elasticidad.
Las propiedades de seccin tambin pueden ser calculadas
para reas transversales compuestas. Dos materiales
diferentes pueden ser seleccionados y asignados a las partes
deseadas de las secciones transversales. Para las secciones
transversales compuestas, los resultados se dan en trminos
del mtodo de rea transformada para posibles
transformaciones.
MDSolids incluye las dimensiones y propiedades seleccionadas
por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una
lista de perfiles de acero estndar, en denominaciones usuales
de los sistemas ingls (US) y mtrico (SI).
En cada anlisis de seccin transversal el programa genera una
tabla con los parmetros calculados, que incluyen:
1) centroide y momentos de inercia,
2) eje neutro (y/o plano neutro) y mdulo de la
seccin, y
3) producto de inercia.
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 24
Para las reas compuestas, el centroide y el momento de
inercia estn calculados con la conversin del material A en el
material B y viceversa. Los clculos de propiedades de seccin
actan recprocamente tanto con la viga, la flexin, como con la
rutina de columna.
Columns
Los clculos de columnas se basan en la frmula de pandeo de
Euler:
MDSolids muestra dos vistas de pandeo (figura 4.12), del eje
fuerte y el eje dbil, con las vistas de corte transversal
correspondientes para cada columna. Cualquier condicin de
soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo,
empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro
extremo de la columna. La carga crtica de pandeo y el esfuerzo
son calculados por el software, que adems, muestra la
direccin del pandeo de la columna.
Figura 4.12 - Mdulo de pandeo de columnas
El usuario tambin puede agregar soportes intermedios en
cualquier direccin que se pueden colocar en cualquier posicin
entre los apoyos de los extremos. Un grfico de esfuerzo crtico
contra la relacin de esbeltez se muestra y los resultados de las
dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva.
Opcionalmente, el usuario puede definir el lmite de elasticidad
del material y/o el lmite de proporcionalidad de modo que el
pandeo de Euler pueda ser evaluada.
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 25
Se pueden realizar diseos de columnas utilizando el acero
estndar, el aluminio y/o madera.
Figura 4.13 - Diseo de columnas
Mohrs circle
El anlisis del crculo de Mohr para esfuerzo plano y los
momentos de inercia estn disponible en MDSolids. Los
esfuerzos normales en las direcciones y son especificados
en trminos de tensin o compresin y no como un nmero
positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido
de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara
positiva del elemento de esfuerzos. Un diagrama de orientacin
aparece para mostrar el resultado de las condiciones de
esfuerzo segn lo especificado por el usuario.
El crculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que
corresponden a la orientacin de los ejes y del elemento de
esfuerzos. Se dibujan planos de esfuerzos separados para
indicar la orientacin de los esfuerzos principales en relacin
con el sistema de coordenadas , as como la orientacin del
esfuerzo cortante mximo.
Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los usuarios
una clara representacin visual de la orientacin o direccin de
rotacin del estado de esfuerzos para representar los planos de
esfuerzos principales y de esfuerzo cortante mximo. Los
esfuerzos en cualquier orientacin arbitraria pueden ser
obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos
ubicado en el interior de un transportador que permite al usuario
obtener los valores correspondientes en cualquier orientacin
arbitraria con simplemente un clic del ratn.
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 26
Los clculos del crculo de Mohr se pueden obtener tanto desde
el mdulo de vigas estticamente determinadas como de las
partes del mdulo de miembros de torsin de MDSolids. Los
datos de planos de esfuerzos combinados automticamente
son suministrados desde estas rutinas al clculo de crculo de
Mohr. Los clculos de esfuerzo plano se pueden obtener a
partir de los datos de deformacin normal y cortante.
Figura 4.14 - Mdulo de transformacin por crculo de Mohr
Dos tipos de galgas extensmetricas, rectangulares y en delta,
que pueden ser analizadas en este modulo (figura 4.15).
Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a
partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes
ortogonales ms el producto de inercia.
Figura 4.15 - Mdulo de transformacin por crculo de Mohr (galgas extensmetricas)
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 27
Combined Loading
Figura 4.16 - Mdulo de cargas combinadas
Pressure Vessels
Figura 4.17 - Mdulo de recipientes a presin
MDSolids
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 28
General Analysis, Axial Torsion, Beams
En este mdulo se consideran estructuras axiales
estticamente determinadas e indeterminadas, ejes y vigas.
Figura 4.18 - Mdulo de anlisis general
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 29
Captulo 5 Anlisis de problemas
seleccionados
En este captulo se presenta una seleccin de problemas de
elementos cargados axialmente (tomados del libro de texto
Mec nica de Materiales, 5. edicin de Ferdinand P. Beer, E.
Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf y David F. Mazurek,
editorial McGraw-Hill) cuya solucin puede realizarse con la
ayuda del MDSolids.
Figura 5.1 - MDSolids documentos de ayuda
Es conveniente hacer mencin que para poder implementar el
software en la resolucin de los ejercicios, stos deben
adaptarse a las caractersticas de las rutinas disponibles que
han sido diseadas para problemas tipo de algunas ediciones
de textos clsicos de mecnica de materiales.
Para consultar el listado de ejercicios abra el programa y haga
clic en MDSolids Help Documents (Figura 5.1). En la ventana
de la figura 5.1, seleccione MDSolids Navigator y haga clic en el
botn Open y se abrir como en la figura 5.2 (a). El MDSolids
Navigator tiene la intencin de ayudarle a utilizar MDSolids en
el contexto del estudio de la mecnica de los materiales. Usted
encontrar una serie de libros de texto que figuran en la tabla
de contenidos (figura 5.2 (b)).
Abra el libro que corresponde a su libro de texto de clase y
encontrar una lista de problemas que pueden ser resueltos y
explicados por MDSolids. Haga clic en un nmero de problemas
y el MDSolids Navigator le mostrar una breve descripcin de
los pasos que debe realizar para resolver el problema con la
ayuda del software.
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 30
(a)
(b)
Figura 5.2 - MDSolids Navigator
En el caso de que la edicin del libro de texto que utiliza en su
curso no corresponda a la especificada por el programa deber
elegir problemas similares a los que se enlistan, por lo que sera
conveniente contar con un ejemplar de ambas ediciones para
realizar la comparativa.
Esperando que estas notas sirvan de apoyo a los estudiantes
del curso de las experiencias educativas del rea de la
mecnica de materiales en lo concerniente al anlisis de
problemas de transformacin de esfuerzo plano, a continuacin
se presenta una seleccin de ejercicios resueltos aplicando el
MDSolids.
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 31
Problema 1
7.23 Se aplica una fuerza de 19.5 kN en el punto D del poste de
hierro fundido que se muestra en la figura. Si se sabe que el
poste tiene un dimetro de 60 mm, determine los esfuerzos
principales y el esfuerzo cortante mximo en el punto H.
7.24 Se aplica una fuerza de 19.5 kN en el punto D del poste de
hierro fundido que se muestra en la figura (figura 5.3). Si se
sabe que el poste tiene un dimetro de 60 mm, determine los
esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo en el punto
K.
Figura 5.3 Problema 1 (7.23 y 7.24)
Solucin con MDSolids:
Previo a la apicacin del software, es necesario establecer el
sistema equivalente fuerza par en la seccin transversal que
contiene a los puntos H y K.
Si observamos la figura 5.3, la fuerza aplicada se representa
con el vector:
El par lo definimos de la siguiente manera:
Por tanto, el sistema equivalente fuerza par en dicha seccin
es:
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 32
(a)
(b)
Figura 5.4
Observe que la figura 5.4(a) se obtiene al rotar a la figura 5.3 de
tal manera que la podemos hacer coincidir con la figura que
presenta MDSolids en el mdulo de cargas combinadas
(Combined Loadings Module) con la configuracin eje slido
doblado a la izquierda (Solid Shaft Bend Left) como se aprecia
en la figura 5.4(b). Los puntos H y K de la figura original del
problema que estamos analizando estn representados por los
puntos A y D en la figura 5.5, la longitud que se representa
sobre el eje corresponde a la ubicacin de la seccin
transversal que contiene a los puntos H y K. Tome en cuenta
que debido a la rotacin que le dimos a la figura debemos
adaptar la direccin de las componentes de la fuerza aplicada
como se muestra en la figura.
Figura 5.5
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 33
Propiedades de la seccin transversal del poste:
Para el punto H (representado por A en la figura 5.6); los
subndices en las siguientes ecuaciones corresponden a la
figura original del problema.
Como puede observarse los valores de esfuerzo normal y
esfuerzo cortante para el plano de esfuerzos correspondiente al
punto H corresponde a los del punto A de la figura 5.6. A
continuacin abrimos el mdulo de crculo de Mohr (Mohrs
Circle), capturamos los valores calculados y hacemos clic en los
botones compute y details para obtener la pantalla mostrada en
la figura 5.7.
Figura 5.6
Figura 5.7
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 34
Tanto en la figura 5.6 como en la figura 5.7 podemos observar
el valor de los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante
mximo, adems en la figura 5.7 se despliegan un par de
figuras que representan la orientacin del plano de esfuerzos
principales y el plano de esfuerzo cortante mximo.
; ;
Para el punto K (representado por D en la figura 5.8); los
subndices en las siguientes ecuaciones corresponden a la
figura original del problema.
Con los valores calculados, nuevamente vamos al mdulo de
crculo de Mohr, y obtenemos la pantalla mostrada en la figura
5.9.
; ;
Figura 5.8
Figura 5.9
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 35
Problema 2
7.31 Para el estado de esfuerzo dado, determine a) los planos
principales, b) los esfuerzos principales. Utilice el crculo de
Mohr para resolver este problema.
Figura 5.10 Problema 1 (7.31)
Solucin con MDSolids:
Abrimos MDSolids y en la pantalla principal seleccionamos
MDSolids Help Documents, damos clic en MDSolids Navigator,
elegimos Beer, Johnston, and DeWolf, 3rd Edition y
seleccionamos la rutina Prob. 7.31 thru 7.40, como se muestra
en la figura 5.11. En la figura 5.12 se tiene el procedimiento que
seguiremos en la solucin de este problema y en la figura 5.13
se muestra la pantalla donde se indican los valores de solucin.
Figura 5.11
Figura 5.12
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 36
Figura 5.13
a) ; b) ,
Problema 3
7.55 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano resultante de la superposicin de los dos estados de esfuerzo que se muestran en la figura.
Figura 5.14 Problema 3 (7.55)
Solucin con MDSolids:
En problemas como este de superposicin de estados de esfuerzo plano, podemos auxiliarnos con el software de la siguiente manera. En primer lugar abriremos el mdulo de crculo de Mohr y supondremos que en el segundo plano de esfuerzos de la figura
5.14 se tiene un , capturamos este dato, hacemos clic en los botones Compute y Details, a continuacin haremos girar 30 en sentido de las manecillas del reloj al estado de esfuerzos, vase la figura 5.15.
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 37
Figura 5.15
Ahora, haremos la superposicin del primer estado de esfuerzos de la figura 5.14 y los valores obtenidos en la figura 5.15 para la orientacin de -30 del segundo de los estados de esfuerzo.
Introducimos los valores anteriores al mdulo de crculo de Mohr para obtener los valores de solucin que pide el problema.
Figura 5.16
De la figura 5.16 se tiene que:
y
,
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 38
Problema 4
7.68 Para el estado de esfuerzo plano ilustrado en la figura,
determine el esfuerzo cortante mximo cuando a) ,
b) . (Sugerencia: Considere los esfuerzos
cortantes en el plano y fuera de ste)
Figura 5.17 Problema 4 (7.68)
Solucin con MDSolids:
Abrimos MDSolids y en la pantalla principal seleccionamos
MDSolids Help Documents, damos clic en MDSolids Navigator,
elegimos Beer, Johnston, and DeWolf, 3rd Edition y
seleccionamos la rutina Prob. 7.66 thru 7.68, como se muestra
en la figura 5.18 en la cual se muestra el procedimiento que
seguiremos en la solucin de este problema y en la figuras 5.19
y 5.20 se muestran las pantallas donde se indican los valores
de esfuerzo cortante mximo absoluto.
Figura 5.18
Figura 5.19 -
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 39
Figura 5.20 -
Problema 5
7.120 Un par de torsin de magnitud de se aplica
en el extremo de un tanque que contiene aire comprimido bajo
una presin de 8 MPa. Si el tanque tiene 180 mm de dimetro
interno y 12 mm de espesor de pared, determine el esfuerzo
normal mximo y el esfuerzo cortante mximo en el tanque.
Figura 5.21 Problema 5 (7.120)
Solucin con MDSolids:
Abrimos MDSolids y en la pantalla principal seleccionamos
MDSolids Help Documents, damos clic en MDSolids Navigator,
elegimos Beer, Johnston, and DeWolf, 3rd Edition y
seleccionamos la rutina Prob. 7.118, como se muestra en la
figura 5.22 en la cual se muestra el procedimiento que
seguiremos en la solucin de este problema.
Anlisis de problemas seleccionados
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 40
Figura 5.22
Figura 5.23 Mdulo de torsin (torsin simple)
Figura 5.24 Mdulo de crculo de Mohr
Del anlisis por torsin simple (figura 5.23) y del anlisis de
transformacin de esfuerzo plano por crculo de Mohr (figura
5.24), se concluye que los valores de los esfuerzos normal
mximo y el esfuerzo cortante mximo en el tanque son:
(fuera del plano)
Comentarios finales
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 41
Comentarios finales
La mecnica de materiales es un tema bsico en muchos
campos de la ingeniera, se ensea prcticamente al
inicio de los estudios de licenciatura, ya que como se ha
dicho antes es un tema bsico y necesario para los
alumnos de las diversas reas de la ingeniera.
Este trabajo presenta una propuesta para complementar
con software especializado la enseanza presencial o el
uso de libros texto, es decir, tomar ventaja de la
tecnologa disponible para mejorar la calidad y eficiencia
del aprendizaje.
Las posibilidades de usar visualizaciones y simulaciones
animadas es una ventaja clara comparada con los libros,
especialmente si hay que estudiar diagramas de cuerpo
libre, distribucin de esfuerzos y procesos de
deformacin.
El ambiente de poco estrs creado bajo un software
adecuado para el aprendizaje autodidctico permite a los
estudiantes avanzar segn su propio ritmo.
Reitero la intencin de que lo expuesto en este trabajo
sirva de apoyo a los estudiantes de las experiencias
educativas del rea de la mecnica de materiales en lo
concerniente al anlisis de problemas de transformacin
de esfuerzo plano.
Bibliografa
Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 42
Bibliografa
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek,
MECNICA DE MATERIALES, 5
Edicin, McGraw-Hill, Mxico 2010
Gere, James M., MECNICA DE
MATERIALES, 6 Edicin, Editorial
Thomson, Mxico 2006
http://www.mdsolids.com/
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