MCTB019-17
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ConjuntosPrimitivas
Inclusao
Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Semana 2
1 Teoria ingenua dos conjuntos
2 Axiomatica ZFC de conjuntos
3 Relacoes e funcoes
4 Conjuntos numericos
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ConjuntosPrimitivas
Inclusao
Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Semana 2
1 Teoria ingenua dos conjuntos
2 Axiomatica ZFC de conjuntos
3 Relacoes e funcoes
4 Conjuntos numericos
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ConjuntosPrimitivas
Inclusao
Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Conjuntos
Conjunto e informalmente entendido como uma colecao deentidades, ou objetos, chamados de elementos doconjunto e eles mesmos podem ser conjuntos.
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ConjuntosPrimitivas
Inclusao
Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Pertinencia
Um elemento x pertence ao conjunto A se x e umelemento de A o que e denotado por
x ∈ A
e escrevemos a negacao como
x 6∈ A
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos sao iguais se, e somente se, tem osmesmos elementos.
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Conjunto vazio
Ha um (unico) conjunto sem elementos, denotado por ∅ echamado de conjunto vazio.
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Especificacao de conjuntos• lista entre chaves separados por vırgulas.
{ 2, 3, 5, 7 }
{ {A }, {B }, {C }, {D }, { F }, {O } }
• As vezes, abreviamos usando “. . . ”
{ 0, 2, 4, 6, . . . }
, { 3, 5, 7, . . . }?
• por compreensao, damos uma regra de como gerartodos os seus elementos
A = { x ∈ B : P(x) }
a ∈ A e verdadeiro se e so se, a ∈ B e P(a) everdadeiro.Por exemplo, o conjunto dos numeros naturais primos
{ x ∈ N : x > 1 e ∀y, z ∈ N(yz = x→ y = 1∨ z = 1) }.
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Especificacao de conjuntos• lista entre chaves separados por vırgulas.
{ 2, 3, 5, 7 }
{ {A }, {B }, {C }, {D }, { F }, {O } }
• As vezes, abreviamos usando “. . . ”
{ 0, 2, 4, 6, . . . }
, { 3, 5, 7, . . . }?
• por compreensao, damos uma regra de como gerartodos os seus elementos
A = { x ∈ B : P(x) }
a ∈ A e verdadeiro se e so se, a ∈ B e P(a) everdadeiro.Por exemplo, o conjunto dos numeros naturais primos
{ x ∈ N : x > 1 e ∀y, z ∈ N(yz = x→ y = 1∨ z = 1) }.
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Especificacao de conjuntos• lista entre chaves separados por vırgulas.
{ 2, 3, 5, 7 }
{ {A }, {B }, {C }, {D }, { F }, {O } }
• As vezes, abreviamos usando “. . . ”
{ 0, 2, 4, 6, . . . }
, { 3, 5, 7, . . . }?
• por compreensao, damos uma regra de como gerartodos os seus elementos
A = { x ∈ B : P(x) }
a ∈ A e verdadeiro se e so se, a ∈ B e P(a) everdadeiro.Por exemplo, o conjunto dos numeros naturais primos
{ x ∈ N : x > 1 e ∀y, z ∈ N(yz = x→ y = 1∨ z = 1) }.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Especificacao de conjuntos• lista entre chaves separados por vırgulas.
{ 2, 3, 5, 7 }
{ {A }, {B }, {C }, {D }, { F }, {O } }
• As vezes, abreviamos usando “. . . ”
{ 0, 2, 4, 6, . . . }, { 3, 5, 7, . . . }?
• por compreensao, damos uma regra de como gerartodos os seus elementos
A = { x ∈ B : P(x) }
a ∈ A e verdadeiro se e so se, a ∈ B e P(a) everdadeiro.Por exemplo, o conjunto dos numeros naturais primos
{ x ∈ N : x > 1 e ∀y, z ∈ N(yz = x→ y = 1∨ z = 1) }.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Especificacao de conjuntos• lista entre chaves separados por vırgulas.
{ 2, 3, 5, 7 }
{ {A }, {B }, {C }, {D }, { F }, {O } }
• As vezes, abreviamos usando “. . . ”
{ 0, 2, 4, 6, . . . }, { 3, 5, 7, . . . }?
• por compreensao, damos uma regra de como gerartodos os seus elementos
A = { x ∈ B : P(x) }
a ∈ A e verdadeiro se e so se, a ∈ B e P(a) everdadeiro.Por exemplo, o conjunto dos numeros naturais primos
{ x ∈ N : x > 1 e ∀y, z ∈ N(yz = x→ y = 1∨ z = 1) }.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Inclusao
A e subconjunto de B, se, e so se, para todo x
x ∈ A⇒ x ∈ B
Notacao: A ⊂ B (tambem e usual A ⊆ B)
A e subconjunto proprio de B, se, e so se, e verdadeira asentenca: A ⊂ B e A 6= B
Notacao: A ( B
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Inclusao
Notacao: A 6⊆ B para “A e nao e subconjunto de B”, o quee equivalente a
∃x(x ∈ A e x 6∈ B)
Exercıcio: Para qualquer conjunto A,
∅ ⊆ A.
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Conjunto das partes
O conjunto das partes do conjunto A e o conjunto formadopor todos os subconjuntos de A.
Notacao: 2A ou ℘(A).
Exercıcio: 2{a } ? 2∅ ? 2{∅ } ?
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Operacoes basicas
• Uniao: A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}
• Interseccao A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.
• Diferenca A \ B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}.
• Diferenca simetricaA4 B = {x : x ∈ A ∪ B e x 6∈ A ∩ B}.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Operacoes basicas
• Uniao: A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}
• Interseccao A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.
• Diferenca A \ B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}.
• Diferenca simetricaA4 B = {x : x ∈ A ∪ B e x 6∈ A ∩ B}.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Operacoes basicas
• Uniao: A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}
• Interseccao A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.
• Diferenca A \ B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}.
• Diferenca simetricaA4 B = {x : x ∈ A ∪ B e x 6∈ A ∩ B}.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
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Conjuntosnumericos
Operacoes basicas
• Uniao: A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}
• Interseccao A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.
• Diferenca A \ B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}.
• Diferenca simetricaA4 B = {x : x ∈ A ∪ B e x 6∈ A ∩ B}.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Exercıcio: Assuma que ∀x ∈ D,P(x) e logicamenteequivalente a ∀x ∈ D,Q(x).
{ x ∈ D : P(x) } = { x ∈ D : Q(x) }?
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Algumas propriedades
Seguem das equivalencias logicas notaveis
1 A ∩ B = B ∩A
2 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3 C \ (A ∪ B) = (C \A) ∩ (C \ B)
+ na pag. 124 do Rosen
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Exercıcio: Seja R um conjunto de conjuntos. Denote por⋃
R
a uniao dos elementos de R.
Por exemplo, se A = {X, Y, Z }, por exemplo, entao⋃A = X ∪ Y ∪ Z.
Tome R = { { { 1 }, { 1, 2 } }, { { 1 }, { 1, 3 } }, { { 2 }, { 2, 3 } } }.
Escreva os conjuntos⋃R e
⋃⋃R.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Semana 2
1 Teoria ingenua dos conjuntos
2 Axiomatica ZFC de conjuntos
3 Relacoes e funcoes
4 Conjuntos numericos
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ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Axiomas ZFC
Axioma da existencia Existe um conjunto que nao temelementos. Na linguagem formal
∃a∀x(x 6∈ a).
Axioma da extensionalidade Quaisquer dois conjuntoscom os mesmos elementos sao iguais. Na linguagemformal
∀a∀b((∀x(x ∈ a↔ x ∈ b))→ a = b).
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Axiomas ZFC
Axioma do par Dados conjuntos y e z existe o conjuntoformado somente por tais elementos {y, z }.
∀y∀z∃a∀x(x ∈ a↔ x = y∨ x = z).
Axioma da uniao Para qualquer conjunto z existe oconjunto
⋃z formado pela uniao dos elementos de z.
∀z∃a∀x(x ∈ a↔ ∃y(x ∈ y∧ y ∈ z)).
Exercıcio: Dados os conjuntos A e B, forme A ∪ B.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Axiomas ZFC
Axioma das partes Para qualquer conjunto y, existe oconjunto a tal que x ∈ a se, e so se, x ⊆ y.
∀y∃a∀x(x ∈ a↔ ∀z(z ∈ x→ z ∈ y)).
Axioma do infinito Existe um conjunto indutivo; tem ∅como elemento e, se x e elemento, tambem e x ∪ { x }.
∃a(∅ ∈ a∧ ∀x(x ∈ a→ x ∪ { x } ∈ a))
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Axiomas ZFC
Axioma da especificacao De um conjunto y e umpredicado P, formamos o conjunto { x ∈ y : P(x) }.
∀y∃a∀x(x ∈ a↔ x ∈ y∧ P(x)).
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Conjunto das partes
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ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Axiomas ZFC
A definicao de uniao { x : x ∈ A∨ x ∈ B } nao se enquadra.
Se x e nao vazio entao⋂x ={y ∈
⋃x : ∀z ∈ x, y ∈ z
}.
Nao temos mais o paradoxo de Russell pois se
S = { x ∈ U : x 6∈ x }
entao S ∈ S se e so se S ∈ U e S 6∈ S o que nao econtraditorio.
nao ha conjunto universo: Teorema. ¬∃y∀x(x ∈ y).
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Axiomas ZFC
Axioma da fundacao Cada conjunto nao vazio a tem umelemento b com a ∩ b = ∅.
Axioma da substituicao Dado um conjunto x e umpredicado R(s, t) com a propriedade ∀s∃!tR(s, t), existe oconjunto z tal que y ∈ z se, e so se, existe w ∈ x para oqual R(w,y) e verdadeiro.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Axiomas ZFC
O ultimo axioma e controverso para alguns. Embora parecacoerente ha decorrencias nao intuitivas.
Axioma da escolha Para qualquer conjunto x formado deconjuntos nao-vazios, existe uma funcao f que atribui paracada y ∈ x um f(y) ∈ y.
ou
Dado qualquer conjunto x de conjuntos nao vazios edois-a-dois disjuntos, existe pelo um conjunto z que contemexatamente um elemento em comum com cada um dosconjuntos em x.
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Par ordenado
Definicao: (a, b) = { {a }, {a, b } }.
Exercıcio: Verifique que a definicao acima satisfaz apropriedade fundamental de par ordenado se
(a, b) = (x, y) entao a = x e b = y.
Conclua que se a 6= b entao (a, b) 6= (b, a).
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Par ordenado
Definicao: (a, b) = { {a }, {a, b } }.
Exercıcio: Verifique que a definicao acima satisfaz apropriedade fundamental de par ordenado se
(a, b) = (x, y) entao a = x e b = y.
Conclua que se a 6= b entao (a, b) 6= (b, a).
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Produto cartesianoA e B sao conjuntos nao vazios. Vamos definir o conjuntoA× B que contem os partes ordenados (x, y) com x ∈ A ey ∈ B.
—axiomas do par e da uniao: A ∪ B =⋃{A,B }
—axioma das partes: ℘(A ∪ B).
Dados a ∈ A e b ∈ B,—axioma do par: {a } e {a, b } ∈ ℘(A ∪ B).—axioma do par: { {a }, {a, b } } ⊆ ℘(A ∪ B).
Portanto{ {a }, {a, b } } ∈ ℘(℘(A ∪ B)).
Especificando A× B =
{ z ∈ ℘(℘(A ∪ B)) : ∃x, ∃y(x ∈ A∧ y ∈ B∧ z = (x, y)) }
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Produto cartesianoA e B sao conjuntos nao vazios. Vamos definir o conjuntoA× B que contem os partes ordenados (x, y) com x ∈ A ey ∈ B.
—axiomas do par e da uniao: A ∪ B =⋃{A,B }
—axioma das partes: ℘(A ∪ B).
Dados a ∈ A e b ∈ B,—axioma do par: {a } e {a, b } ∈ ℘(A ∪ B).—axioma do par: { {a }, {a, b } } ⊆ ℘(A ∪ B).
Portanto{ {a }, {a, b } } ∈ ℘(℘(A ∪ B)).
Especificando A× B =
{ z ∈ ℘(℘(A ∪ B)) : ∃x, ∃y(x ∈ A∧ y ∈ B∧ z = (x, y)) }
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Conjunto das partes
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ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Produto cartesianoA e B sao conjuntos nao vazios. Vamos definir o conjuntoA× B que contem os partes ordenados (x, y) com x ∈ A ey ∈ B.
—axiomas do par e da uniao: A ∪ B =⋃{A,B }
—axioma das partes: ℘(A ∪ B).
Dados a ∈ A e b ∈ B,—axioma do par: {a } e {a, b } ∈ ℘(A ∪ B).—axioma do par: { {a }, {a, b } } ⊆ ℘(A ∪ B).
Portanto{ {a }, {a, b } } ∈ ℘(℘(A ∪ B)).
Especificando A× B =
{ z ∈ ℘(℘(A ∪ B)) : ∃x, ∃y(x ∈ A∧ y ∈ B∧ z = (x, y)) }
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1 Teoria ingenua dos conjuntos
2 Axiomatica ZFC de conjuntos
3 Relacoes e funcoes
4 Conjuntos numericos
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ConjuntosAxiomas,informalmente
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Relacoes
Se A e B sao conjuntos, uma relacao R com domınio A econtradomınio B e um subconjunto
R ⊆ A× B.
Se A = B escrevemos A2 para A×B e dizemos que R ⊆ A2
e uma relacao sobre A, ou em A.
Se R ⊆ A× B e (a, b) ∈ R escrevemos a R b.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
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Relacoes
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e R ⊆ A×A dada por
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (3, 1),
(4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1)}
Temos• 1 R 1,• 2 R 1,• 2 R 2 e• 3 6R 4.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
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Conjuntosnumericos
Relacoes
Exemplo:
< e uma relacao sobre N.Ao inves de escrevermos (x, y) ∈ < escrevemos x < y.
Temos• 1 6< 1,• 2 6< 1,• 3 < 4.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
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Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Funcoes
Uma relacao R ⊆ A× B e uma funcao se para cada x ∈ A
existe um unico y ∈ B tal que (x, y) ∈ R.
Em sımbolos ∀x ∈ A, ∃!y ∈ A, (x, y) ∈ R.
∃! abrevia “existe unico”.
Como y e unico ganha um nome: imagem de x por R,denotado R(x).
Escrevemos R : A→ B para R ⊆ A× B funcao.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
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Conjuntosnumericos
Funcoes
Exemplo:
A funcao f que o axioma da escolha afirma existir e umsubconjunto de x×
⋃x, ou seja, f : x→ ⋃
x, com apropriedade de que f(y) ∈ y, para todo y ∈ x.
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ConjuntosAxiomas,informalmente
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Conjuntosnumericos
Semana 2
1 Teoria ingenua dos conjuntos
2 Axiomatica ZFC de conjuntos
3 Relacoes e funcoes
4 Conjuntos numericos
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
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Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Naturais
N = { 0, 1, 2, . . . }
1 (associativa)(a+ b) + c = a+ (b+ c)
2 (comutativa) a+ b = b+ a
3 (elemento neutro da adicao) 0 e o unico natural tal quea+ 0 = 0+ a = a
4 (cancelamento da adicao) Se a+ c = b+ c entao a = b
5 Se a+ b = 0 entao a = b = 0.
6 (elemento neutro da multiplicacao) m · 1 = 1 ·m = m e1 e unico com essa propriedade.
7 (associativa)(m · n) · p = m · (n · p).
8 (comutativa) m · n = n ·m.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
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Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Naturais
9 (cancelamento da multiplicacao) Se mp = np e p 6= 0
entao m = n.
10 (multiplicacao e distributiva com respeito a adicao)(a+ b) ·m = a ·m+ b ·m.
11 Se m · n = 0 entao m = 0 ou n = 0.
12 Se m · n = 1 entao m = n = 1.
13 (reflexiva) a 6 a.
14 (simetrica ) Se a 6 b e b 6 a entao b = a.
15 (transitiva) Se a 6 b e b 6 c entao a 6 c.
16 a 6 b ou b 6 a.
17 (tricotomia) Vale uma e so uma das relacoes
a = b, a < b, b < a.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Naturais
18 (compatibilidade com +) Se a 6 b entao a+ c 6 b+ c.
19 (compatibilidade com ·) Se a 6 b entao a · c 6 b · c.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Naturais
Princıpio da Boa Ordem (PBO) Todo A ⊂ N nao-vazio temum menor elemento, ou seja, existe a ∈ N tal que
a ∈ A
∀x ∈ A, a 6 x.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Inteiros
Z ={. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .
}1 (Associativa) a+ (b+ c) = (a+ b) + c.
2 (Comutativa)a+ b = b+ a.
3 (Elemento neutro) a+ 0 = a e 0 e o unico com essapropriedade.
4 (Elemento inverso) a+ (−a) = 0.
5 (Cancelativa) a+ b = a+ c↔ b = c
6 (Troca de sinal) −(a+ b) = (−a) + (−b) = −a− b
7 (Associativa) a · (b · c) = (a · b) · c.
8 (Comutativa) a · b = b · a.
9 (Elemento neutro) a · 1 = a e 1 e o unico com essapropriedade.
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Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Inteiros10 (Distributiva)
a · (b+ c) = a · b+ a · c
11 (Cancelativab = c⇒ a · b = a · c
a 6= 0 e a · b = a · c⇒ b = c.
12 (Anulamento) se a · b = 0 entao a = 0 ou b = 0.
13 (Tricotomia) vale so um de
a < b ou a = b ou b < a.
14 a 6 b⇔ a+ c 6 b+ c
15 se c ∈ N entao a 6 b⇔ a · c 6 b · c.
16 a < b e b 6 c⇒ a < c.
MCTB019-17
J Donadelli
ConjuntosPrimitivas
Inclusao
Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
Produto cartesiano
Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Inteiros17 a 6 b e b < c⇒ a < c.
18 a 6 b⇔ −a ≥ −b.
19 a < b⇔ −a > −b.
20 Regras de sinal1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 0
2 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0
3 a < 0 e b > 0⇒ ab < 0
21 a 6 b e c 6 d⇒ a+ c 6 b+ d.
22 a 6 b e c < d⇒ a+ c < b+ d.
23 a2 ≥ 0.
24 a < b e c > 0⇒ ac < bc
25 a < b e c < 0⇒ ac > bc
26 ac 6 bc e c < 0⇒ a ≥ b
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
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Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Inteiros
27 |a| ≥ 0, ademais |a| = 0 se e so se a = 0.
28 −|a| 6 a 6 |a|.
29 |− a| = |a|.
30 |ab| = |a||b|.
31 |a| 6 b⇔ −b 6 a 6 b.
32 ||a|− |b|| 6 |a+ b| 6 |a|+ |b|.
33 |a|− |b| 6 |a− b| 6 |a|+ |b|
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Conjunto das partes
Operacoes
ConjuntosAxiomas,informalmente
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Relacoes efuncoes
Conjuntosnumericos
Inteiros
A ⊂ Z nao-vazio e limitado inferiormente se existe m ∈ Z(chamado cota inferior) tal que
∀a ∈ A, m 6 a.
Exercıcio: Todo A ⊂ Z nao vazio e limitado inferiormentetem um elemento mınimo.
Exercıcio: Para todos a, b ∈ Z com b 6= 0, existe n ∈ Z talque n · b > a.
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Exercıcios: veja na pagina web e nas notas de aula.
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