MATEMÁTICAS Itema 1
El conjunto delos Números Reales
IES Mata Jove curso 2019/2020
Matemáticas I IES Mata Jove
ud1: El conjunto de los números reales curso 2019/2020
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LOS DIVERSOS CONJUNTOS CONJUNTOS DE NÚMEROS
Números naturales, ! = 0,1, 2,3, 4,"{ }
Números enteros, ! = ",− 4,− 3,− 2,−1,0,1, 2,3, 4"{ } . Se cumple ! ⊂ " , es decir,
todo número natural es también número entero.
Números racionales, ! , formado por todos los números que se pueden escribir de la
forma
ab
siendo a y b números enteros y b ≠ 0 . Se cumple ! ⊂ "⊂ # , es decir, los
número naturales y los números enteros son también números racionales. Son también números racionales los siguientes tipos de números decimales:decimales exactos: los números decimales con una cantidad finita de cifras decimales.decimales periódicos: los números decimales con una cantidad infinita pero periódica de cifras decimales.
Números irracionales, I, formado por todos los números decimales con una cantidad infinita y no periódica de cifras decimales. Se cumple I ∩! =∅ , es decir, son conjuntos
disjuntos, no tienen elementos en común.
Números reales, ! = "∪ I, es decir, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.
1. Indica el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen los números.
π2 81 3 − 49 3 '711711711…
−
41
153 164 − 2 0 '0912937919…
− 273
3 +
56 1+ 3 0 '10110111011110…
2. Escribe un número irracional entre cada pareja de números.
1 y 2
0 '2 y 0 '25
0 '47! y 0 '475
2'3 y 2'35!
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3. Ordena de menor a mayor los siguientes números.
a. π +
12
; 364100
; 3 '64⌢
; 364 ; − 3 '64 b. −3 '64 <
364100
< π +12< 3 '64
⌢< 364
4. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta.
Hay números enteros que no son racionales
Existen números irracionales que no son números reales
Un números real es racional o irracional
Cualquier número decimal es un número real
Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción
Todos los números reales son racionales
Todo número irracional es también un número real
Existen números enteros que son irracionales
Hay números reales que son racionales
Cualquier número decimal es racional
Un número racional es entero Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales
Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten
Todos los números racionales se pueden escribir mediante fracciones.
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FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO RACIONALTodo número racional se puede expresar en forma de fracción. La fracción irreducible que representa a un número racional se llama fracción generatriz.
enteros 3 =
31
, − 7 =−71
, 0 =01
decimales exactos
4 '7 =4710
, 1'42 =142100
=7150
, − 0 '245 =−2451000
= −49200
decimales periódicos
7 '23!
Sea N = 7 '23! = 7 '232323... entonces 100N = 723 '232323...
así 100N − N = 716 ⇒ 99N = 716 ⇒ N =71699
0 '21⌢4
Sea N = 0 '21⌢4 = 0 '214444... entonces 100N = 21'4444... y 1000N = 214 '4444...
así 1000N −100N = 193 ⇒ 900N = 193 ⇒ N =193900
5. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números racionales.
a. 3 '75 b. 3 '75! c. 3 '675! d. 3 '9⌢
e. 1'9⌢
f. 0 '9⌢
6. Expresa los números racionales como fracciones y efectúa las operaciones. Expresa el resultado final como una fracción irreducible
1. 1'⌢3 + 3 '4 2. 10 '2
⌢5 − 5 '
⌢7 3. 1'36! + 8 '25! 4. 1'25 ⋅2'
⌢5 5. 0 '0
⌢3 ÷ 2'9
⌢2
7. Señala el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen los siguientes números.
1+ 2 8 + 10 3 ⋅ 16
5
2 5 − 9
165
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INTERVALOS DE LA RECTA REALEl conjunto de los números reales se pueden representar en una recta llamada recta real, de modo que cada números real se identifica con un punto de la recta y cada punto de la recta se corresponde con un número real.
Los intervalos son conjuntos de números reales que se corresponde con un segmento o con una semirrecta de la recta real. Existen distintos tipos de intervalos:
intervalos acotados
abierto a,b( )
x ∈! / a < x < b{ }
intervalos acotados
cerrado a,b⎡⎣ ⎤⎦
x ∈! / a ≤ x ≤ b{ }intervalos acotados
semiabiertos
a,b⎡⎣ ) x ∈! / a ≤ x < b{ }
intervalos acotados
semiabiertos
a,b( ⎤⎦
x ∈! / a < x ≤ b{ }
intervalos no acotados
abiertos a,+∞( )
x ∈! / a < x{ }
intervalos no acotados
abiertos
−∞,b( )
x ∈! / x < b{ }intervalos no acotados
cerrados
a,+∞⎡⎣ ) x ∈! / a ≤ x{ }
intervalos no acotados
cerrados
−∞,b( ⎤⎦
x ∈! / x ≤ b{ }
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8. Completa el siguiente cuadro:
descripción intervalo desigualdad representación
números mayores que 2 y menores o iguales que 5
−7,15( )
x > 3
números menores que –3
4,+∞⎡⎣ )
números mayores o iguales que 0
9. Efectúa y haz una representación gráfica de las siguientes operaciones con intervalos.
a. 3,5( )∪ 4,8( ⎤⎦ b.
3,+∞⎡⎣ )∩ 0,5( ) c.
4,9⎡⎣ ⎤⎦ ∩ 5,15⎡⎣ ⎤⎦ d.
−∞,1( )∩ 4,5( )
e. −1,1⎡⎣ ⎤⎦ ∩ −1,3( ⎤⎦ f.
−5,3⎡⎣ ⎤⎦ ∩ 3,6⎡⎣ ⎤⎦ g.
−4,4( )∪ −2,2( ⎤⎦ h.
−∞,1( )∪ 0,+∞( )
i. −7,4( ⎤⎦ ∪ −2,10⎡⎣ ) j.
−∞,9( ⎤⎦ ∪ 9,+∞⎡⎣ ) k. l.
10. Calcula la fracción generatriz en los siguientes casos
a. 0 '96 b. 0 '96! c. 0 '196!
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NOTACIÓN CIENTÍFICAYa has visto en cursos pasados cómo utilizar las potencias de base 10 para representar números muy grandes o muy pequeños. Pero no todo número escrito haciendo uso de las potencias de base 10 es un número escrito en notación científica normalizada.
El ejemplo siguiente muestra este hecho.
700000 0 '7 ⋅106 incorrecto 7 ⋅105 correcto
0 '0112 11'2 ⋅10−3 incorrecto 1'12 ⋅10−2 correcto
11. Efectúa las siguientes operaciones. Expresa el resultado final en notación científica.
a.
2 '3 ⋅104 + 5 ⋅103
b.
5 ⋅10−2( ) ⋅ 3 '1⋅10−4( )
c.
3 ⋅10−7 − 7 ⋅10−4
d.
4 ⋅10−6( ) ÷ 2 ⋅10−8( )
12. Efectúa las siguientes operaciones.
1. 9 '35 ⋅104 + 7 '6 ⋅102
2. 7 '8 ⋅10−3 + 8 ⋅10−5
3.
9 ⋅104( ) ⋅ 8 '5 ⋅102( )
4.
7 ⋅104( ) ÷ 1'4 ⋅105( )
13. La longitud de un cierto microorganismo es 3,5 micras. Una micra es una unidad de longitud equivalente a la millonésima parte de un metro. Calcula la longitud de una fila hecha con 4 millones de estos microorganismos. Expresa esa longitud en metros y utilizando notación científica
14. Usa tu calculadora para determinar el valor de 9 '23 ⋅1099 +1'78 ⋅1099 . Después de eso, haz la misma suma sin calculadora. ¿Qué diferencias puedes observar?
15. Escribe utilizando notación científica.
distancia Tierra-Luna
384000kmdistancia Tierra-Neptuno
4308000000kmdiámetro de un electrón
0 '0000000003m
area de la Tierra
150000000km2
longitud del virus de la gripe
0 '0000000022mradio de un protón
0 '00000000005m
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16. Usa la notación científica para expresar la capacidad de los siguientes dispositivos electrónicos en bits: un disco duro de 120Gb y una tarjeta de memoria de 512MbUnidades de almacenamiento de información
17. La masa de Plutón es 6,6·10-9 veces la masa del Sol. Por su parte, la masa del Sol es 3,3·106 veces la masa de la Tierra. Si la masa de nuestro planeta es 6·1024 kg, calcula la masa de Plutón y del Sol
18. Hay un cierto tipo de bacterias que duplican su población cada media hora. Si comenzamos con una colonia de 8·1012 bacterias,
a. Calcula el número de bacterias al cabo de tres horas. b. Calcula el número de bacterias al cabo de tres horas. c.¿Cuánto tiempo se necesita para que la población llegue a 1,04·1015 individuos?
19. Efectúa las siguientes operaciones. Expresa el resultado final en notación científica.
1.
2 '3 ⋅104 + 5 ⋅103
2.
5 ⋅10−2( ) ⋅ 3 '1⋅10−4( )
3.
3 ⋅10−7 − 7 ⋅10−4
4.
4 ⋅10−6( ) ÷ 2 ⋅10−8( )
5. 1'32 ⋅104 + 2'57 ⋅104
6. 8 '75 ⋅102 + 9 '46 ⋅103
7. 8 '6 ⋅103 − 5 '45 ⋅102
8. 7 '9 ⋅10−4 −1'3 ⋅10−6
20. Usa la notación científica para expresar la capacidad de los siguientes dispositivos electrónicos en bytes: un diskette de 1,44Mb y un CD-ROM de 650MbUnidades de almacenamiento de información
Kilobyte = 210bytes , Megabyte = 210Kilobytes , Gigabytes = 210Megabytes
21. Escribe utilizando notación científica.
peso de un estafilococo
0 '00000001gaño-luz
9460000000000km
diámetro del Universo observable
25000 million años-luz
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22. Completa el siguiente cuadro:
descripción intervalo desigualdad representación
4 < x ≤15
−2 > x
−3,6⎡⎣ ⎤⎦
23. Efectúa la operación entre intervalos indicada en cada caso y haz una representación gráfica del resultado.
a. −∞,4( )∪ 4,5( ) b.
−∞,1( )∪ 1,+∞⎡⎣ ) c.
−10,−2( ⎤⎦ ∩ −5,7( ⎤⎦ d.
3,4( )∪ 5,8( )
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ERRORES Y APROXIMACIONESSea a ∈! and a
! una aproximación de a
aproximación por defecto aproximación por exceso
a! < a a
! > aerror absoluto error relativo
Ea = a − a!
Er =
Ea
a
cota de error cualquier número b tal que Ea < b
24. Si que tomamos 250,49 como aproximación de la suma 45,96 + 203,7 + 0,8323 , ¿cuál es el error que se comete. Calcula tanto el error absoluto como el relativo.
25. Supongamos que queremos aproximar el número irracional π . ¿Crees que el número
racional 355113
es una buena elección? Encuentra una cota superior del error absoluto para
justificar tu respuesta. Esta aproximación, ¿es por exceso o por defecto?
26. Escribe dos aproximaciones, una por exceso y otra por defecto, del número e. Halla, en ambos casos, una cota del error absoluto.
27. Calcula la longitud del lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 5cm. ¿Qué tipo de número has encontrado?. Da la solución con una precisión de milímetros
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28. Consideremos el número conocido como la razón aúrea
phi( ) φ =
1+ 52
= 1'61803…
Redondea este número irracional a las centésimas y calcula los errores absoluto y relativo cometidos en la aproximación.
29. Calcula un número tal que 5432,723 es su aproximación por defecto a las milésimas.
30. Calcula la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 8cm. Supón que construyes un cuadrado cuyos lados miden lo mismo que la diagonal que acabas de calcular. ¿Cuál es el área de este nuevo cuadrado?
31. Calcula el volumen de la caja representada en el dibujo de dos formas distintas.Primero: calcula el volumen y redondea el valor obtenido a las milésimas. Calcula los errores absoluto y relativo.Segundo: aproxima las medidas de la caja a las décimas, con esos valores calcula el volumen de la caja. Calcula los errores absoluto y relativo cometidos en este caso.
32. Se consideran 4 lugares A, B, C and D. La distancia entre A y B es de 48km con un error de medida de 200m. La distancia entre C y D es 300m. En este caso, el error es 2,5m. ¿Cuál es la más precisa de las aproximaciones y porqué?
33. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de números.
a.
7 '512! , 7 '512 , 7 '51! , 7 '512" , 7 '51⌢2
b.
3 '⌢6 , 3 '61! , 13 '6
⌢1 , 13 '615!
c.
8 '24! , 8 '2⌢4 , 8 '24
⌢3 , 8 '243!
d.
7 '1⌢4 , 7 '141" , 7 '1412#
34. Intercala tres números reales entre cada una de las siguientes parejas.
3,4 y 3,400232323... 5,6 y 5,686868... 2,52222... y 2,52525252...
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35. Expresa el número decimal exacto 6,8 como suma de dos números periódicos.
6 '8 = 6 '7⌢9 = 6 '7
⌢5 + 0 '0
⌢4 = 2'5
⌢3 + 4 '2
⌢6 ="
36. Calcula la cifra que ocupa la 26ª posición decimal del número el número 1289999
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERORecuerda el significado de exponentes negativos
a−n =
1an
y las reglas de las operaciones con potencias
mismo exponente potencia de una potencia
a ⋅b( )n = an ⋅bn a
b⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n
=an
bn an( )m = an⋅m
misma base fracciones y exponentes negativos
an ⋅am = an+m an
am = an−m
ab
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−n
=ba
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n
Fíjate en los siguientes ejemplos. En ellos se muestra cómo utilizar las reglas de los exponentes para simplificar expresiones con potencias de exponente entero.
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(a) −
25
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
÷ −48
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
= −25
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
÷12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
= −22
52 ÷123 = −
22 ⋅23
52 = −25
52 = −3225
(b)
24 ⋅ −5( )⎡⎣ ⎤⎦−2= 2−8 ⋅ −5( )−2
= 2−8 ⋅5−2 =1
28 ⋅52 =1
6400
(c)
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−4
⋅23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
⋅23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−1
=32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
⋅23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−3
⋅23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−6
=32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
⋅32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
⋅32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6
=32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13
= 2−13 ⋅313
(d)
35+
13
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
+ 2 ⋅ 52−
16
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
=9 + 515
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
+ 2 ⋅ 15 −16
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
=
=1514
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
+21⋅
614
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
=225196
+21⋅
949
=225196
+1849
=225 + 72
196=
297196
37. Realiza las siguientes operaciones con potencias simplificando el resultado
a. −
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
⋅54
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
b.
−72
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
÷5−2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
c. −3( ) ⋅8⎡⎣ ⎤⎦
−3 d.
92 ÷ −3( )5⎡⎣⎢
⎤⎦⎥−1
e.
56
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
⋅56
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−3
⋅65
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
3
f.
92 ⋅12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
÷ 2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−2
g.
15−
310
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
÷ 1− 25
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
−32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
g.
15−
310
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
÷ 1− 25
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
−32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−2
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POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL (radicales) Recuerda el significado de los exponentes racionales
apq = apq
propiedades de las potencias (siendo n un número racional)propiedades de las potencias (siendo n un número racional)
a ⋅b( )n = an ⋅bn a
b⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n
=an
bn an ⋅am = an−m an
am = an−m
an( )m = an⋅m
cómo sacar factores de un radicalcómo sacar factores de un radical
Sea m ≥ n entonces m = n ⋅q + r ⇒ xmn = xq ⋅ xrn Sea m ≥ n entonces m = n ⋅q + r ⇒ xmn = xq ⋅ xrn
Fíjate en los siguientes ejemplos. En ellos se muestra cómo utilizar las reglas de los exponentes para simplificar expresiones con potencias de exponente racional.
(a) a6 ⋅b105 = a1 ⋅b2 ⋅ a1 ⋅b05 = ab2 ⋅ a5 a6 ⋅b105 = a1 ⋅b2 ⋅ a1 ⋅b05 = ab2 ⋅ a5
base a: 6 = 5·1 + 1base b: 10 = 5·2 + 0
(b) −
1681
3 = −24
343 = −
23⋅
23
3
−
1681
3 = −24
343 = −
23⋅
23
3para ambas bases 2 and 3:
4 = 3·1 + 1
(c) 12 ⋅ 163 −
35⋅ 1283 + 7 ⋅ 543 = 12 ⋅ 243 −
35⋅ 273 + 7 ⋅ 2 ⋅333 =
12 ⋅ 163 −
35⋅ 1283 + 7 ⋅ 543 = 12 ⋅ 243 −
35⋅ 273 + 7 ⋅ 2 ⋅333 =
12 ⋅ 163 −
35⋅ 1283 + 7 ⋅ 543 = 12 ⋅ 243 −
35⋅ 273 + 7 ⋅ 2 ⋅333 =
base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0
= 12 ⋅21 ⋅ 213 −
35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −
125
⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125
+ 21⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ 23 =
2135
⋅ 23
= 12 ⋅21 ⋅ 213 −
35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −
125
⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125
+ 21⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ 23 =
2135
⋅ 23
= 12 ⋅21 ⋅ 213 −
35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −
125
⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125
+ 21⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ 23 =
2135
⋅ 23
= 12 ⋅21 ⋅ 213 −
35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −
125
⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125
+ 21⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ 23 =
2135
⋅ 23
(d)(d)
3 2 − 5( ) ⋅ 4 2 − 3( ) = 3 ⋅ 2 ⋅4 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 ⋅3 − 5 ⋅4 ⋅ 2 + 5 ⋅3 =
= 24 − 9 2 − 20 2 +15 = 39 − 29 2
3 2 − 5( ) ⋅ 4 2 − 3( ) = 3 ⋅ 2 ⋅4 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 ⋅3 − 5 ⋅4 ⋅ 2 + 5 ⋅3 =
= 24 − 9 2 − 20 2 +15 = 39 − 29 2
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38. Expresa en forma de radical las siguientes potencias. Con ayuda de la calculadora expresa estas mismas potencias en forma de decimal, redondeando el resultado a las milésimas
radical decimal radical decimal
39. Extrae factores de los siguientes radicales
a. 23a53 b. a3b5c63 c. 24a74 d.
27625
3 e.
288972
4 f. −
642187
5
g. a6b105 h. 26a4b8 i. 22a2b4 j. −
1681
3 k.
5243
5 l.
24310000
4
40. Opera y simplifica las siguientes expresiones.
a. 5 12 + 7 27 − 243 −
12
75 b. 4 8 − 7 50 +
83
18 + 4 98
c. 2 7 + 3 2( ) ⋅ 5 − 2 2( ) d.
7 5 + 3( ) ⋅ 5 5 − 3 6( )
41. En las siguientes expresiones con radicales, racionaliza el denominador y simplifica.
a.
16
b.
−52 5
c.
4
325d.
12 +1
e.
−53 − 2
f.
4 23 2 − 5
g.
−56 + 7
h. h. i.
33−
52
i.
33−
52 j. j. j.
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42. Opera y simplifica las siguientes expresiones.
a. b. c. 12 163 −
35
1283 + 7 543
d.
3 + 2( ) ⋅ 3 − 2( ) e. 6 7 − 5( ) ⋅ 6 7 + 5( ) f.
2 5 − 3 2( )2
+ 2 5 + 3 2( )2
LOGARITMO DE UN NÚMERODados dos números reales a ,b > 0 ,a ≠ 1 , se define el logaritmo en base a de b como
loga b = c ⇔ ac = bSi la base a= 10 , entonces se les denomina logaritmos decimales y se denotan por log.Si la base a= e ! 2,7182… , entonces se llaman logaritmos neperianos o naturales. Se representan por ln.
Los logaritmos en cualquier base, cumplen las siguientes propiedades.
loga 1= 0 loga a = 1 loga b =
logc blogc a
loga b ⋅c( ) = loga b + loga c
loga b ÷ c( ) = loga b − loga c
loga bn( ) = n ⋅ loga b
42. Calcula usando la definición de logaritmo.
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43. Calcula usando la definición de logaritmo.
a. b.
c. d.
44. Calcula el valor de x en cada caso
a. b. c. d. e.
f. g. h. i. j.
k. l. m. n. ñ.
o. p. q. r. s.
45. Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar las expresiones.
a. log a2 ⋅b3
c4
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟b.
ln a3
b2 ⋅c−4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
46. Utiliza las propiedades de los logaritmos para encontrar el valor de x.
a. b.
c. d.
47. Resuelve las siguientes ecuaciones
a. b. c.
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48. Sabiendo que log2 = 0,301 , calcula el logaritmo decimal de los siguientes números:
20, 2000, 0’2, 0’02, 8, 128, 0’5, 0’125, 24 , 167
49. Sabiendo que loga = 9,1 , calcula el valor de: log 0,1⋅a2( ) , log 10
a4
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