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MATEMÁTICAS

2019

INSTITUTO TECNOLÓGIC O DE SAN LUIS POTOSÍ DEPARTAMENTO DE CIEN CIAS BÁSICAS

PRIMER PARCIAL

Contenido

1. Aritmética ................................................................................................................................................................. 1

1.1 Operaciones aritméticas ..................................................................................................................................... 2

1.2 Operaciones con fracciones ................................................................................................................................ 5

1.3 Jerarquía de las operaciones ............................................................................................................................. 10

1.4 Potencias ........................................................................................................................................................... 12

1.5 Radicales ............................................................................................................................................................ 16

ACTIVIDADES

2. Trigonometría ......................................................................................................................................................... 45

2.1 Teorema de Pitágoras ....................................................................................................................................... 46

2.2 Unidades de medida de los ángulos .................................................................................................................. 48

2.3 Círculo Unitario.................................................................................................................................................. 51

2.4 Razones trigonométricas ................................................................................................................................... 54

ACTIVIDADES

CAPÍTULO 1. ARITMÉTICA

2 CAPÍTULO 1. Aritmética

1.1 Operaciones aritméticas

La aritmética es una rama de las matemáticas encargada del estudio de las operaciones con números. Existen

cuatro operaciones fundamentales:

1. Suma o adición → + 3. Multiplicación o producto → {

× ∙( )∗

2. Resta o sustracción → − 4. División o cociente → {÷/

Para realizar estas operaciones, es muy importante distinguir y no confundir las reglas que se tienen que aplicar a

los números con signo, debe separar en dos grupos las operaciones: el primero para sumas o restas y el segundo

para multiplicaciones y divisiones.

REGLA DE SIGNOS

SUMAS O RESTAS

MULTIPLICACIONES O

DIVISIONES

SIGNOS IGUALES "Se suman y se conserva

el signo del número mayor"

EJEMPLOS: a) −5 − 7 Solución: Como los dos números tienen el mismo signo entonces sólo sumamos 5 y 7. El número mayor es el 7 y éste tiene signo negativo, por tanto la respuesta tendrá signo negativo. Entonces, −5 − 7 = −12 b) 3 + 8 Solución: El 3 y el 8 tienen el mismo signo, por lo tanto sólo se suman. Como el número mayor es el 8 y su signo es positivo, entonces la respuesta tendrá signo positivo. Entonces, 3 + 8 = +11

SIGNOS DIFERENTES "Se resta el número menor

del mayor y la respuesta tendrá el signo del número

mayor" EJEMPLOS: a) −2 + 8 Solución: Son de diferente signo, entonces identificamos el número mayor que es 8, mientras que el menor es 2. Entonces restamos 8 − 2. Como el número mayor es el 8 y éste tiene signo positivo, la respuesta tendrá signo positivo. Entonces,

−2 + 8 = +6 b) −40 + 10 Solución: Tienen diferente signo, restamos 40 − 10 debido a que 40 es el número mayor. La respuesta tendrá signo negativo, debido que el número mayor que es 40 tiene signo negativo. Entonces,

−40 + 10 = −30

SIGNOS IGUALES (+)(+) = + (−)(−) = +

EJEMPLOS: a) (5)(9) Solución: Tienen signos iguales, por lo tanto el resultado es positivo. Entonces, (5)(9) = +45 b) (−2)(−3) Solución: Ambos factores tienen signos iguales. Entonces, (−2)(−3) = +6

c) −10

−2

Solución: La respuesta será positiva porque los dos números son positivos,

−10

−2= +5

SIGNOS DIFERENTES (+)(−) = − (−)(+) = −

EJEMPLOS: a) (−3)(4) Solución: Los dos factores tienen diferentes signos, por tanto la respuesta es negativa.

(−3)(4) = −12

b) 12

−2

Solución: El cociente será negativo debido a que tienen diferente signo.

12

−2= −6


EJEMPLOS: Resuelve las siguientes operaciones

d) Dividir 15 y −3

Solución:

Es incorrecto escribir:

15 ÷ −3 =

Es correcto escribir:

15 ÷ (−3) =

O bien, se puede expresar: 15

−3=

El resultado tendrá signo negativo ya que son signos

diferentes en una división, entonces:

15 ÷ (−3) = −5

Dos símbolos como estos no

deben escribirse consecutivos.

a) Sumar 5 y −6

Solución:

Es incorrecto escribir:

5 + −6 =


5 + (−6) =

Un signo de suma o resta antes de un paréntesis

indica que se debe aplicar la regla de los signos de la

multiplicación, entonces:

5 − 6 =

Ahora, la operación resultante es una resta con

signos diferentes. El resultado se obtiene restando el

número mayor menos el menor, o sea, 6 − 5 y

tendrá signo negativo porque el número 6 es el

mayor y es negativo.

5 − 6 = −1

Dos signos de suma o

resta no deben ir juntos.

b) Restar −3 de −7

Solución:

−7− (−3) =

Como se mencionó en el inciso a), un signo

negativo antes de un paréntesis indica que se

aplicará la regla de los signos para la multiplicación,

quedando:

−7 + 3 =

Ahora, la operación resultante es una suma con

signos diferentes. Entonces, restando el número

mayor menos el menor, o sea, 7 − 3 y

considerando que la respuesta tendrá signo

negativo, se obtiene:

−7 + 3 = −4

c) Multiplicar −8 y −2

Solución:


(−8)(−2) =

También es correcto escribir:

−8(−2) =

Ahora, son signos iguales en una multiplicación,

entonces el resultado es positivo.

−8(−2) = 16

Omitir el paréntesis sólo

del primero número es

válido.


PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES:

a) −2 − 3 =

b) −5 − 10 =

c) 10 − 30 =

d) −6 + 9 =

e) −8 + 2 =

f) (−5)(−4) =

g) (2)(−3) =

h) −7(9) =

i) −6(−1) =

j) −5 ÷ 5 =

k) 8 − (−5) =

l) 7 + (−2) =

m) −10 ÷ (−2) =

n) −3 + (−5) =

o) 24 ÷ (−6) =

p) (−1)(−1)(1)(−1)(−1)(−1)(1)(1)(1)(−1) =

(−1)(−1)(1)(−1)(−1)(−1)(−1)(−1)(1)(−1)(−1) =

q) 4−18

3−(−4)=

r) −2(−5)

25−(+15)=

NOTA: Investiga si hay una regla que te

ayude a multiplicar los signos más

fácilmente cuando hay más de varios

factores.


1.2 Operaciones con fracciones

SUMAS Y RESTAS

CASO I. Mismo denominador

Obtener la solución de sumas y restas de fracciones con el mismo denominador es extremadamente simple. Observe

los ejemplos.

EJEMPLOS:

a) 2

5+

1

5

Solución: 2

5+1

5=3

5

b) −1

7+

9

7

Solución: Nuevamente, sólo basta aplicar la operación entre los numeradores y conservar el denominador. −1

7+9

7=8

7

c) −7

16+

5

16

Solución:

−7

16+5

16=−2

16

= −1

8

d) 1

6−7

6−

10

6=

Solución: Sin importar cuantas fracciones se estén sumando o restando, mientras el denominador sea el mismo la operación únicamente se realiza con los numeradores. 1

6−7

6−10

6= −

16

6

= −8

3

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE FRACCIONES, SIMPLIFICA EL RESULTADO.

a) 5

3−

7

3=

c) 3

4+

10

4=

e) 2

9+

11

9−

2

9=

b) −2

9−

8

9= d) −

9

7−

8

7+

4

7= f)

1

3+

8

3−

2

3=

Numerador Denominador

Partes de una fracción 𝟐

𝟑

El denominador de la solución será el mismo

denominador de sumandos.

El numerador de la solución se obtuvo

sumando los numeradores.

Este resultado aún puede simplificarse.

Tanto numerador como denominador son

divisibles entre 2.

Cuando el numerador es mayor al

denominador, como en este caso, la

fracción se denomina impropia.


CASO II. Distinto denominador

Cuando los denominadores son distintos es incorrecto realizar la suma o resta directa de numeradores, en su lugar

debe buscar fracciones equivalentes con denominadores iguales. En este manual se muestran dos técnicas para

encontrar el denominador de la solución.

PRIMERA TÉCNICA: Emplear el común denominador

a) 2

5+

7

15

Solución: PASO 1. Los denominadores se multiplican para obtener el denominador de la solución:

2

5+7

15= +

75

PASO 2. El nuevo denominador será dividido por el primer denominador y el resultado será multiplicado por el primer denominador, observe:

2

5+7

15= 30 +

75

Este paso se repite en todas las fracciones. PASO 3. Se suma o resta según sea el caso y se simplifica si es necesario.

2

5+7

15= 30 + 35

75

=65

75

=13

15

Inconveniente de esta técnica: En ocasiones, al multiplicar los denominadores para obtener el nuevo denominador puede llegar a encontrar un número muy elevado e incómodo de manipular, pero mientras no pase esto, la técnica es muy práctica.

SEGUNDA TÉCNICA: Emplear el mínimo común denominador, llamado mínimo común múltiplo 𝑚. 𝑐.𝑚.

a) 2

5+

7

15

Solución: PASO 1. Se obtiene el mínimo común denominador

5 15

5 15 3

5 15 3 5 5

5 15 3 5 5 5 1 1

5 15 3 5 5 5 1 1

PASO 2. El igual que en el ejemplo anterior el nuevo denominador será dividido individualmente a los denominadores y el resultado se multiplicará por cada numerador.

2

5+7

15= 6 + 7

15

PASO 3. Se suma o resta según sea el caso.

2

5+7

15= 6 + 7

15

=13

15

×

÷

Este es el común

denominador. Se anotan en la 1era fila los denominadores.

En la columna derecha se escriben en orden

creciente los números primos que sean

divisores de algún o algunos

denominadores. En este caso el 3 sólo es

divisor del 15.

Si los denominadores son divisibles se

escribe la respuesta de la división en la

siguiente fila, sino sólo se transcribe el

número.

El procedimiento de buscar divisores se

repite hasta que la última fila sea de puros

unos.

El mínimo común denominador se obtiene

multiplicando todos los divisores:

𝑚. 𝑐.𝑚 = 3 × 5

= 15

×

÷


Observe que los ejemplos anteriores difieren únicamente en la forma de buscar el denominador de la solución,

llegando finalmente al mismo resultado.

Ahora, aunque el procedimiento de buscar el 𝑚. 𝑐.𝑚. pareciera verse más largo, en realidad representa ser un

método fácil, rápido y más conveniente; pero usted tiene la decisión de aplicar la técnica que más le convenga.


a) −5

9−

8

3=

d) 1

2+5

4−

8

3= g)

5

2−2

5−

3

2=

b) 3

8−5

4=

e) −2

7−

3

4+1

6= h)

1

4−

9

4+

1

3=

c) −7

6+

10

4=

f) 3

8+

2

5+

2

6= i)

6

3+

8

4−

10

5=

CASO III. Enteros y fracciones

Frecuentemente necesitará realizar sumas y restas de enteros con fracciones, aquí se presenta una forma de

hacerlo.

EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones, simplificando el resultado.

a) 8

5− 3

Solución: Para realizar la operación con un número entero debe convertirse en fracción, puede hacerlo de la siguiente manera: 8

5− 3 =

8

5−3

1

=8 − 15

5

=−7

5

b) −7+2

9=

Solución:

−7 +2

9= −

7

1+2

9

=−63 + 2

9

= −61

9


a) 2

9− 2 =

c) −8 +4

7= e) 9 −

2

4+ 4 =

b) 5

3+ 6 = d) −3−

4

9= f) 3 − 2 −

5

7=

Agregue un denominador igual a 1, debajo

del entero para que automáticamente el

entero pueda verse como una fracción.

Luego, simplemente obtenga el común

denominador y resuelva como en el caso II.


MULTIPLICACIONES

Realizar multiplicación de fracciones es extremadamente simple, basta multiplicar numerador con numerador y

denominador con denominador.

EJEMPLOS: Realice las siguientes multiplicaciones, simplifique el resultado.

a) 5

4(3

7) =

Solución: 5

4(3

7) =

15

28

c) 8 (5

3) =

Solución:

8 (5

3) =

8

1(5

3)

=40

3

b) −3

2(2

4) (

7

5) =

Solución:

−3

2(2

4) (7

5) = −

42

40

= −21

20

d) −7

4(4

5) =

Solución:

−7

4(4

5) = −

28

20

= −14

10

= −7

5

PRACTICA REALIZANDO LOS SIGUIENTES PRODUCTOS, SIMPLIFICA EL RESULTADO.

a) −7

4(−

3

9) =

c) 2 (−7

9) = e)

4

11(11

3) =

b) (2

5) (−

2

6) (

4

3) = d) −5(

2

4) = f) −

6

7(7

6) =

Observe que para multiplicar fracciones, no

importa si los denominadores son distintos.

Observe que al número entero se le agregó

el 1 en el denominador.

NOTA: Este producto tiene la característica

de que el numerador de una fracción es

igual al denominador de la otra fracción,

entonces puede seguir la siguiente

estrategia:

−7

4(4

5) = −

7

4(4

5)

= −7

5

Y llega al resultado más rápidamente.


DIVISIONES

Resolver una división de fracciones implica realizar productos de numeradores con denominadores, el orden es el

siguiente:

𝑎

𝑏÷𝑐

𝑑=𝑎𝑑

𝑏𝑐

EJEMPLOS: Realice las siguientes divisiones, simplifique el resultado.

a) 3

4÷

7

5=

Solución: 3

4÷7

5=15

28

b) 8

5

−2

3

=

Solución:

85

−23

= −24

10

= −12

5

c) 6

7÷ (−5) =

Solución: 6

7÷ (−5) =

6

7÷ (−

5

1)

= −6

35

d) 5 2

3

=

Solución:

5

23

= 51

23

= 15

2

PRACTICA REALIZANDO DIVISIONES DE FRACCIONES, SIMPLIFICA EL RESULTADO.

a) −6

9÷

7

4=

d) 7 ÷2

5= g)

−2

9

−10

3

b) −7

5÷ (−

3

2) =

e) 9 ÷ (−2

3) = h)

−4

5

3

c) −8

3÷ 5 = f)

3

7

3

4

= i) 7 6

2

Se realiza el producto cruzado:

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 × 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 → 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑑𝑜𝑟

𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 × 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 → 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

1. El producto de los extremos será el nuevo

numerador.

2. El producto de medios será el

denominador de la respuesta.

Cuando hay un entero es

conveniente agregarle un 1 en el

denominador y continuar con el

producto cruzado.

Para realizar los productos de extremos y

medios es necesario que al número entero

se le agregue un 1 en el denominador.


1.3 Jerarquía de operaciones

¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

Jerarquía de operaciones:

1. Potencias y raíces.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Sumas y restas.

IMPORTANTE: Este orden se sigue a menos que existan signos de agrupación que indiquen otra secuencia. Lo

que encierren los signos de agrupación se realiza primero. Estos signos son: ( ), [ ] y { }.

Ahora, sabiendo el orden en que se deben realizar las operaciones, ¿cuál es la respuesta de la operación anterior?*

EJEMPLOS: Analizar las siguientes operaciones aritméticas de números naturales y resolver.

a) 3 + 15 ÷ 3 = Solución: 3 + 15 ÷ 3 = 3 + 5

= 8

d) 20 ÷ 4 + 2 × (−5) = Solución: 20 ÷ 4 + 2 × (−5) = 5 + (−10) = 5 − 10 = −5

b) 2 + 1 × 9 = Solución: 2 + 1 × 9 = 2 + 9 = 11

e) 4 × 10 ÷ 5 = Solución: Cuando dos operaciones con el mismo grado de jerarquía se encuentran una después de la otra, se efectúa la operación de izquierda a derecha. 4 × 10 ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8

c) 6 − 10 ÷ 2 + 5 × 4 = Solución: 6 − 10 ÷ 2 + 5 × 4 = 6 − 5 + 20 = 21

f) 20 ÷ 5 × 4 = Solución: Al igual que inciso anterior se realiza de izquierda a derecha. 20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16

3 + 4 × 2 − 10 ÷ 2 =?

5

9

5 20

5 -10

40

4

*6


PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES.

a) 2 − 10 ÷ 5 − 3 =

c) 6 + 4 ÷ 4 − 5 × 8 = e) 60 ÷ 3 × 2 + 6 =

b) −3+ 2 − 7 × 4 =

d) −3 × (−5) + 10 − 20 ÷ (−4) = f) 18 ÷ 6 × (−8) − 5 =

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación en una operación indican que se debe resolver primero lo que esté dentro. En caso de que

un signo de agrupación esté dentro de otro, entonces comenzará a resolverse desde el signo de agrupación más

interno, todo esto respetando la jerarquía de operaciones.

EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones.

a) −4 − 3(2 − 5 × 4) ÷ 6 = Solución: −4 − 3(2 − 5 × 4) ÷ 6 = −4 − 3(−18) ÷ 6

= −4 + 54 ÷ 6

= −4 + 9

= 5

b) −(3 − 10 ÷ 2) + 4 ÷ (−5 + 1) = Solución: −(3 − 10 ÷ 2) + 4 ÷ (−5 + 1) = −(−2) + 4 ÷ (−4)

= 2 + (−1)

= 2 − 1

= 1

c) −2{4 + 5[−2 − 2(5 − 1)]} + 10 = Solución: El orden será realizar primero la operación del paréntesis debido a que es el signo de agrupación más interno.

−2{4 + 5[−2 − 2(5 − 1)]} + 10

Luego, los corchetes. = −2{4 + 5[−2 − 2(4)]} + 10

Finalmente, las llaves. = −2{4 + 5(−10)} + 10 = −2(−46) + 10

= 92 + 10

= 102

d) 2[(−5 − 7) ÷ 2] + 4[2 − (−6 − 2 + 3)] = Solución: En este ejercicio se pueden resolver las operaciones que están dentro de los 2 corchetes simultáneamente.

Primero, los paréntesis.

2[(−5 − 7) ÷ 2] + 4[2 − (−6 − 2 + 3)] Luego, los corchetes. = 2[−12 ÷ 2] + 4[2 − (−5)] = 2(−6) + 4(7) = −12 + 28 = 16

2 − 20

-18

3 − 5

-2

-4

4

-10

−2 − 8

-46

4 − 50

-12 -5

-6 7



a) 10 ÷ (20 − 10) + 4 =

d) −3[4 + 5(−3 + 4)] + 2[6 − 4(6 − 2)] =

b) −5(−9 + 3 × 4) − 6 =

e) 2 + 5{4 − [5 + (1 + 2 ÷ 2)]} =

c) −(3 − 4 ÷ 4) + 3(2 − 6) = f) −{−3 + [−7(6 − 5) + 2 × 3]} − [−6(2 − 3)] =

1.4 Potencias

𝟓𝟐

En una potencia el exponente indica que la base se multiplicará consigo misma tantas veces indique el exponente.

EJEMPLOS: Determine las siguientes potencias.

a) 52 Solución: 52 = (5)(5) = 25

d) −24 Solución:

−24 = −(2)(2)(2)(2) = −16

b) 43 Solución: 43 = (4)(4)(4) = 64

e) 50 Solución: 50 = 1

c) (−2)4 Solución: (−2)4 = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16

f) −50 Solución: −50 = −1

PRACTICA RESOLVIENDO LAS SIGUIENTES POTENCIAS.

a) 34 =

d) 70 = g) 2352 = j) (−1)2 =

b) (−3)4 =

e) −150 = h) −(−4)232 = k) (−1)25 =

c) −34 = f) (−2)0 = i) 8030 = l) (−1)30 =

Exponente

Base

Partes de una potencia

NOTA: A diferencia del inciso c, la base es sólo 2, por tal

motivo, el 2 se multiplica consigo mismo 4 veces y el

signo negativo antecede tal producto.

NOTA: Cualquier número elevado a la 0 es igual a 1, excepto 00.

Esto se generaliza con:

𝑎0 = 1 siempre y cuando 𝑎 ≠ 0

NOTA: Observe que el 5 es lo único que tiene el exponente 0, por

tal motivo, el signo queda por fuera de la potencia. Sería muy

diferente (−5)0, así la respuesta sería 1 positivo.


Una de las conclusiones importantes de los ejercicios anteriores es que al resolver una potencia previamente se

debe considerar el signo de la respuesta, esto se puede resumir de la manera siguiente:

Si la base es positiva la potencia será positiva.

Si la base es negativa

Ahora, también los exponentes negativos tienen significado, veamos cómo se resuelve una potencia con exponente

negativo.

EJEMPLOS: Resuelva las siguientes potencias.

a) 3−2 Solución:

3−2 =1

32

=1

(3)(3)

=1

9

c) 237−2 Solución:

237−2 =23

72

=(2)(2)(2)

(7)(7)

=8

49

b) (−5)−3 Solución:

(−5)−3 =1

(−5)3

=1

(−5)(−5)(−5)

= −1

125

d) 304−1 Solución:

304−1 =30

4

=1

4


a) 2−4 =

d) 7−1 = g) −2432 =

b) −5−2 =

e) 338−2 = h) 10−2 =

c) (−4)−2 =

f) 9272 = i) 10−3 =

NOTA: Puede evaluar una potencia con

exponente negativo, con tal sólo seguir la

regla:

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

Cuando el exponente es 1, no es necesario

indicarlo.

la potencia será positiva si el exponente es par.

la potencia será negativa si el exponente es impar.


También se puede encontrar una potencia dentro de otra potencia, en los ejemplos siguientes se verá qué hacer

con los exponentes.

EJEMPLOS: Simplifique los exponentes.

a) (52)7 Solución: (52)7 = 52×7 = 514

c) (7−2)9 Solución: (7−2)9 = 7−2×9 = 7−18

=1

718

b) (35)9 Solución: (35)9 = 35×9

= 345

d) (6−2)−10 Solución:

(6−2)−10 = 6(−2)(−10) = 620

PRACTICA SIMPLIFICANDO LOS EXPONENTES, DEJAR LOS RESULTADOS CON EXPONENTES POSITIVOS.

a) (86)3

c) (3−1)−1 e) (7−3)−7 g) (−37)5

b) (54)4 d) (2−9)6 f) (65)−8 h) (−34)2

Ahora, si desea multiplicar o dividir potencias existe una regla para poder efectuar la operación bajo la restricción

de que sólo se realiza cuando las bases son iguales. A continuación se muestra el método.


a) 3233 Solución: 3233 = 32+3

= 35 = 243

c) 57

54

Solución: 57

54= 57−4

= 53 = 125

NOTA: Cuando tiene una potencia dentro

de otra potencia siga la regla:

(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑥𝑛×𝑚

sólo multiplique los exponentes para tener

el nuevo exponente.

Normalmente, los resultados suelen

expresarse con exponentes positivos.

NOTA: En un producto de potencias, si las

bases son iguales, puede seguir la siguiente

regla:

𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

NOTA: En una división de potencias, si las

bases son iguales, puede seguir la siguiente

regla:

𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚


b) 222−352 Solución:

222−352 = 22+(−3)52

= 2−152

=25

2

d) 2−3

2

Solución: 2−3

2= 2−3−1

= 2−4

=1

24

=1

16


a) 525 =

d) 62646−9 = g) 3−9

3−12=

b) 242−629 =

e) (105)210−12 = h) (−7)8

(−7)6=

c) 76747−8 = f) 64

63= i)

535−5

52=

La propiedad distributiva en potencias sirve para simplificar y manipular términos en una multiplicación y división,

sin embargo, no puede aplicarse a sumas y restas. En los ejemplos encontrarás la regla empleada.

EJEMPLOS: Resuelva las siguientes operaciones.

a) (3

7)2

Solución:

(3

7)2

=32

72

=9

49

c) (42 × 3−1)2 Solución: (42 × 3−1)2 = (42)2(3−1)2 = 443−2

=44

32

=256

9

Observe que 52 no tiene la misma

base y por lo tanto, no se aplica la

suma de su exponente.

NOTA: La propiedad distributiva de potencias

aplicada a un cociente es:

(𝑎

𝑏)𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛

Lo que indica esta propiedad es que el exponente

se distribuirá íntegramente a cada uno de los

componentes de la división.

NOTA: La propiedad distributiva

para el producto es:

(𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛


b) (−5

4)3

Solución:

(−5

4)3

=(−5)3

43

= −125

64

c) (2×32

5)3

Solución:

(2 × 32

5)

3

=(2 × 32)3

53

=2336

53

=8(729)

125

=5832

125

PRACTICA LAS PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS PARA ENCONTRAR EL RESULTADO DE LOS EJERCICIOS.

a) (4

9)2

c) (22

3)−3

e) (6−1 × 3)−2

b) (−2

3)4

d) (−32

5−1)3

f) (5−1 × 22)−1

1.5 Radicales

Características de los índices de una raíz:

1. Sólo pueden ser números enteros mayores o iguales a 2.

2. Cualquier índice debe indicarse en el radical excepto el 2.

¿Qué significa obtener la raíz de un número?

Significa descubrir el número que elevado al índice de la raíz sea igual al radicando.

Partes de un radical 8 3

Radicando Índice


EJEMPLOS: Encontrar la raíz cúbica de a) 8 y b) -8.

Solución a:

8 3

= ______ , entonces ?3= 8 ¿Qué número elevado al cubo da como resultado 8? Respuesta: 2 Dado que 23 = (2)(2)(2) = 8 Entonces,

8 3

= 2

Solución b:

−8 3

= ______ , entonces ?3= −8 ¿Qué número elevado al cubo da como resultado -8? Respuesta: -2 Dado que 23 = (−2)(−2)(−2) = −8 Entonces,

− 8 3

= −2

EJEMPLOS: Encontrar la raíz cuadrada de a) 25 y b) -25.

Solución a:

25 = ______ , entonces ?2= 25 La respuesta tiene 2 soluciones:

25 = 5

25 = −5

Solución b:

−25 = ______ , entonces ?2= −25 Si usted trata de encontrar un número que multiplicado por sí mismo 2 veces sea −25, en los números reales no encontrará la respuesta. Por lo tanto,

−25 = no tiene solución.

De los ejemplos observe que un radicando con índice de raíz impar, puede ser negativo o positivo. Mientras que si

la raíz tiene índice par, el radicando sólo puede ser positivo para que el radical tenga solución real.

PRACTICA RESOLVIENDO LOS SIGUIENTES RADICALES.

a) 9 =

c) 164

= e) −17

g) 643

b) −273

= d) 15

= f) 1253

h) −646

Observe como las 2 soluciones

satisfacen 25:

52 = (5)(5) = 25

(−5)2 = (−5)(−5) = 25

25 = ±5


FACTORES EN UN RADICAL

En ocasiones, se obtienen resultados

EJEMPLOS: Simplifique los siguientes radicales.

a) 25 × 3 Solución:

25 × 3 = 25 × 3

= 5 × 3

= 5 3

c) √2

27

3

Solución:

√2

27

3

= 23

273

= 23

3

b) 60 Solución:

60 = 4 × 15

= 4 15

= 2 15

d) √63

4

Solución:

√63

4= 63

4

= 9 × 7

2

=3 7

2

PRACTICA SIMPLIFICANDO LOS SIGUIENTES RADICALES.

a) 49 × 2 c) 18 e) √

5

64

3 g) √

32

9

b) 12 d) 108 f) √

7

81 h) √

20

121

Se puede descomponer en el producto de

los radicales, siempre y cuando conserve el

índice de la raíz.

𝑎 × 𝑏𝑛

= 𝑎𝑛

× 𝑏𝑛

Si el radicando es un producto

Como 25 tiene una solución

exacta, se resuelve.

Esta es la forma apropiada de

escribirlo.

En un cociente se aplica un criterio similar

al del producto:

√𝑎

𝑏

𝑛= 𝑎𝑛

𝑏𝑛

¡Cuidado! Nunca será válido para sumas y

restas.


El procedimiento anterior consistió en extraer factores de un radical, ahora será el caso contrario: introducir

factores a un radical.

EJEMPLOS: Introducir los factores al radical

a) 3 7 Solución:

3 7 = 9 × 7

= 63

b) 10 53

Solución:

10 53

= 1000 × 53

= 50003

PRACTICA INTRODUCIENDO LOS FACTORES AL RADICAL.

a) 8 2

c) −5 4 e) 2 53

b) 4 3 d) −2 10 f) −3 23

REPRESENTACIÓN EN FORMA DE EXPONENTE

Anteriormente, se estudiaron potencias con exponentes positivos y negativos, pero ¿qué pasa si el exponente fuera

una fracción? Resulta que un exponente en forma de fracción está relacionado con los radicales de la siguiente

manera.

𝑥𝑚𝑛

= 𝑥𝑚 𝑛⁄

EJEMPLOS: Cambiar los radicales a forma de potencia y viceversa, según sea el caso.

a) 243

Solución:

√243

= 24 3⁄

c) 62/5 Solución:

62/5 = √625

b) 7 Solución:

7 = 71 2⁄

d) 4−5/7 Solución:

4−5/7 =1

45/7

=1

457

PRACTICA CAMBIANDO LOS RADICALES A POTENCIAS Y VICEVERSA, SEGÚN SEA EL CASO.

a) 238

c) 47 e) 82/3 g) 6−1/3

b) 653

d) 23

f) 41/2 h) 2−4/9

Para introducir factores a un radical, tiene

que elevar los factores al índice de la radical.

En este caso 3 se elevó al cuadrado.

El 10 se elevó al cubo para poder

introducirse a la raíz cúbica.

De la fórmula 𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚 𝑛⁄ , puede asociarse que:

𝑚 = 4

𝑛 = 3

De la fórmula 𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚 𝑛⁄ , recuerde si el

exponente de x no está escrito es porque su valor

es 1, al igual que si el índice de la raíz es 2.

𝑚 = 1

𝑛 = 2

Relacionando el exponente 2/5 con la fórmula

𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚 𝑛⁄ , se tiene:

𝑚 = 2

𝑛 = 5

1. El exponente al ser negativo sigue la regla

vista anteriormente: 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

2. Se asocia los valores 𝑚 = 5 y 𝑛 = 7.


SUMAS Y RESTAS DE RADICALES

Para realizar la suma o resta los términos deben ser semejantes, es decir:

1. Deben tener el mismo índice del radical.

2. Deben ser iguales los radicandos.

De lo contrario, la suma o resta sólo quedará expresada y no logrará simplificar más la operación.

EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones.

a) 5 3 + 7 3 Solución: Observe que ambas son raíces cuadradas y que ambos radicales son 3, por lo tanto puede realizarse la suma:

5 3 + 7 3 = 12 3

b) 8 23

− 3 23

+ 2 Solución: Observe que sólo los dos primeros términos pueden simplificarse entre sí, ya que el último término aunque tiene el mismo radicando no comparte el mismo índice de la raíz, por tanto:

8 23

− 3 23

+ 2 = 5 23

+ 2

c) 8 + 3 98 − 72 Solución: Observe que a pesar de que todos los términos tienen el mismo índice no tienen el mismo radicando, esto provocaría que en un principio, la expresión no pudiera simplificarse más. Sin embargo, los radicandos tienen factores que podrían extraerse de las raíces. Entonces:

8 + 3 98 − 72 = 4 × 2 + 3 49 × 2 − 36 × 2

= 2 2 + 21 2 − 6 2

= 17 2


a) 3 63

+ 8 63

− 63

c) 4 5 + 3 55

+ 6 5 = e) 27 − 12 + 75 =

b) −4 11 − 2 11 + 3 11 = d) 7 − 2 7 + 2 = f) 2 75 − 4 20 + 3 45 − 3 =

IMPORTANTE: La solución tendrá

el mismo índice y radicando que

los términos originales.


RACIONALIZACIÓN

Al resolver una operación con radicales, muchas veces el radical quedará en el denominador de una fracción. Suelen

reescribirse esos resultados usando una técnica de racionalización, que consiste en multiplicar por un 1 que puede

tomar cualquier forma como:

1 =2

2=−5

−5= 3

3= ⋯

EJEMPLOS: Racionalice las siguientes expresiones.

a) 1

2

Solución:

1

2=

1

2( 2

2)

=1

2( 2

2)

= 2

2

b) 4

3

Solución:

4

3=

4

3( 2

2)

=4

3( 3

3)

=4 3

3

PRACTICA RACIONALIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.

a) 1

5

c) 7

2 e)

−5

11

b) 1

6

d) 8

5 f)

2

2

Se tiene que multiplicar por un 1, pero éste

debe estar relacionado con el radical,

entonces se elige que:

1 = 2

2

El 1 que está relacionado con el radical es:

1 = 3

3

Esta representación es la que se utilizará

para racionalizar este ejemplo.


Cuando el denominador de una fracción involucra una suma o una resta donde al menos uno de los elementos es

una raíz, el proceso de simplificación se hace por racionalización. En el ejemplo siguiente se mostrará el método.

EJEMPLOS: Simplifique racionalizando la siguiente expresión.

a) 6

4+ 13

Solución:

6

4 + 13=

6

4 + 13(4 − 5

4 − 5)

=6

4 + 13(4 − 13

4 − 13)

=24 − 6 13

42 − ( 13)2

=24 − 6 13

16 − 13

=24 − 6 13

3

= 8 − 2 13

PRACTICA RACIONALIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.

a) 4

2− 2=

c) 7

3+ 2

b) −3

5−2=

d) 10

35−5

El denominador por el cual se racionalizará la expresión es 4 + 13 , por lo tanto, el 1 por el cual

se va a multiplicar será un cociente que difiera de 4 + 13 en sólo el signo intermedio, a éste se

le llama conjugado. Entonces:

1 =4 − 13

4 − 13

La finalidad de multiplicar por el conjugado del denominador es quitar el radical, utilizando la

fórmula:

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

(4 + 13)(4 − 13) = 42 − ( 13)2


Instituto Tecnológico de San Luis Potosí Departamento de Ciencias Básicas

Curso de nivelación 2018 Matemáticas

PRIMER PARCIAL TRABAJO 1. Operaciones aritméticas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Halle el valor de las siguientes expresiones, no use calculadora.

𝟏. 5 + 3 − 9 − 2 − (−1) + 4 − (−3) = 𝟐. 7 − 4 − 9 + 3 + 2 + 1 − 5 − 3 =

𝟑. (−6) + (−2) = 𝟒. − (−15) − (−9) =

𝟓. 15 + (−8) = 𝟔. (−4) − (+3) + (−2) − (−1) + (+5) =

𝟕. (6) − (7) + (−7) − (−6) − (2) = 𝟖. (+7) − (+5) + (−11) − (−9) + (+4) =

𝟗. (−8) − (−4) + (−6) − (+2) − (−9) =

𝟏𝟎. 5 − (−3) + (−4) + 11 =


𝟏𝟏. − 6 − (−5) = 𝟏𝟐. (−9) + (−1) − (−10) =

𝟏𝟑. (11) − (13) + (−16) 𝟏𝟒. − (−24) + (−13) − (9) =

𝟏𝟓. − (7) + (−3) − (−16) = 𝟏𝟔. 9 − (−6) + (−12) =

𝟏𝟕. (3) − (6) + (−5) − (−8) = 𝟏𝟖. − (−8) − 5 + (−25) + (−11) − (+12) − 11 =

𝟏𝟗. 9 − (5) + (−3) − (11) = 𝟐𝟎. 12 − (6) − (−4) + (−8) − (+15) + (−12) =




PRIMER PARCIAL TRABAJO 2. Operaciones con fracciones Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Efectúe las siguientes operaciones sin usar calculadora. Simplifique las respuestas.

𝟏. 7

9−

11

9+

15

9−

6

9−

1

9=

𝟐. 2

3+

5

6=

𝟑. 7

24+

11

30= 𝟒.

5

3+

4

9+

7

18=

𝟓. 7

5+

8

35−

9

21= 𝟔.

3

4+

5

6−

1

10=

𝟕. 3

4+

2

5−

3

20= 𝟖. 3 +

1

2−

3

4=


𝟗. 1

4−

1

16−

1

2= 𝟏𝟎.

5

8+

3

4−

1

6−

2

3=

𝟏𝟏. 3 +2

5−

1

4+

7

2=

𝟏𝟐. 5

3−

1

5− 2 +

4

2=

𝟏𝟑. 32

7+ 1

3

7− 4

3

7= 𝟏𝟒. 4

1

2− 6 =

𝟏𝟓. 11

6−

2

3−

1

2= 𝟏𝟔.

5

4×

2

7=


𝟏𝟕. 2

3×

3

4×

5

6= 𝟏𝟖.

7

9×

8

5×

3

14× 15 =

𝟏𝟗. 13

9÷

4

3= 𝟐𝟎.

7

3÷

4

5=

𝟐𝟏. 11

9÷ 3

2

3= 𝟐𝟐.

3

4(

1

12+

1

6+

1

4+

1

2) =

𝟐𝟑. 1 −

34

1 +18

= 𝟐𝟒.

43

−29

(43) (

29)

=


𝟐𝟓.

1722

+ 1

2 −9

11

= 𝟐𝟔. 1 −

12

34

−58

=

𝟐𝟕. (1 −3

4) ÷ (3 − 2

1

2) =

𝟐𝟖.

25

−34

710

+ 1 =

𝟐𝟗. (3

5+

1

2+

7

10) ÷

3

4=

𝟑𝟎. (1

4+

3

2) ÷

1

3=




PRIMER PARCIAL TRABAJO 3. Jerarquía de operaciones. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Seleccione la respuesta que consideres correcta, realiza las operaciones en los espacios en blanco.

1. El valor de 150 − 40 + 90 es: a) 110 b) 280 c) 20 d) 200

2. Calcule (13 + 22) × (6 − 4) + 10. a) 80 b) 67 c) 216 d) 156

3. Determina el valor de 5 − 6 + 9 + 2 − 11 + 3 − 5. a) 3 b) -3 c) -9 d) 9

4. El resultado de la operación 3 − (3 − 8) + (18 − 3) es: a) 14 b) -15 c) 23

d) -159

5. Encuentra el resultado de la siguiente expresión: 12 − 3 ∙ (5 ∙ 2 − 8) + 20 ÷ 4. a) 17 b) 23 c) -73 d) 11


6. El valor de [5 + 9 ÷ (10 − 7)] ∙ (12 − 7) − (3 + 1) ÷ 4 es: a) 39 b) 88 c) -40 d) 32

7. Calcula el resultado de (5

3−

1

5) − 2 +

3

2.

a) 83/30 b) 29/30 c) -5/3 d) 89/30

8. Determine el valor de 4

5(

1

4+

3

2) −

1

3.

a) 41/30 b) 16/15 c) 89/60 d) 4/15

9. Determine el valor de −3

4− (2 −

5

2−

3

8).

a) 1/8 b) -21/32 c) 21/32 d) -13/8

10. Determine el resultado de 2 (2

5−

3

4) ÷

7

10+ 1

a) 0 b) 3/4 c) -3/4 d) -1


11. Calcule el valor de 2 −1

3(5 −

10

3).

a) -3 b) 3 c) 23/9 d) 13/9

12. Encuentre el resultado de (4

3−

2

9) ÷ (1 +

4

3×

2

9).

a) 20/21 b) 6/7 c) 7/6 d) 10/9

13. Calcule el valor de 800 + {20 − 3 × 4 + 5[18 − (6 − 1) × 3 + (5 − 2) × 4]}. a) 1117 b) 883 c) 1033 d) 803




PRIMER PARCIAL TRABAJO 4. Manipulación de exponentes. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Simplifique las siguientes expresiones. Dé el resultado en exponentes positivos.

𝟏. 3−5 ∙ 32 = 𝟐.

58

510=

𝟑. (27 ∙ 3−4)(2−5 ∙ 34) = 𝟒. (43/2 ∙ 31/3)(2−1 ∙ 3−7/3) =

𝟓. 35 ∙ 4−6

37 ∙ 4−8= 𝟔.

2−4 ∙ 3−5 ∙ 5−6

2−6 ∙ 3−3 ∙ 5−6=


𝟕. (2−1 ∙ 31/4

2−3 ∙ 31/2)

−2

= 𝟖. (3−4 ∙ 5−1

32 ∙ 5−3 )

−1/2

(34 ∙ 53

32 ∙ 54)

−1

=

𝟗. 123 ∙ 33

63 ∙ 22= 𝟏𝟎. [(

1

4)

2

]

4

=

𝟏𝟏. [(−5)2]3 = 𝟏𝟐. (−52)3

𝟏𝟑. (3

5⁄

65⁄

)

2

=

𝟏𝟒. (2−3 ∙ 32)2


𝟏𝟓. (−1

3−3)

−2

𝟏𝟔. (24 ∙ 3−6 ∙ 52)−1/2

𝟏𝟕. (1

2−3−

1

2−1)

−3

𝟏𝟖. (3−2 ∙ 52)3(33 ∙ 5−3 ∙ 7)2

𝟏𝟗. (7−1

2−1 + 3−1 + 6−1)

−2

= 𝟐𝟎. (5−1/5)

−10




PRIMER PARCIAL TRABAJO 5. Jerarquía de operaciones con potencias y radicales. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Efectúe las siguientes operaciones.

𝟏. 122 ÷ √16 + √81 + 52 × 6 ÷ 3 =

𝟐. √2 × 36 + 576 ÷ 8 + {(√9 − √4)2

− [7 + (8 − 2) − (5 − 4)] + 6} =

𝟑. 3 × {√(5 − 2) × (7 − 4) − (5 − 3) + (8 − 3) − [6 − (7 − 2) + 8] − 6} =


𝟒. √9

4× (

1

3)

2

+ √1

8

3

− [52 − 42

9−

3

4] =

𝟓. √(1

3)

2

− (1

5)

2

×3

2÷

2

5− (

3

4)

2

×4

3÷

3

4=

𝟔. (1

√2)

2

− 12 {(2

3−

1

2) ÷ 6 +

3

8(

5

2−

2

3) −

25

36} =


𝟕. (√25

36− √

1

36)

2

÷1

3− 2 (

5

4−

1

2)

2

=

𝟖. √2

3÷ (

17

27−

1

3) +

1

2÷ (

1

6−

1

24) −

3

5× (

7

8+

13

8) =




PRIMER PARCIAL TRABAJO 6. Operaciones con radicales. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Simplifique las siguientes expresiones.

𝟏. √52 ∙ 62 ∙ 34 = 𝟐. √84 ∙ 433=

𝟑. (27

125) (

9

25)

1/3

= 𝟒. (√5 ∙ √254

)2

=

𝟓. 117 ∙ √6

115 ∙ 63/2= 𝟔. √√93

3

=

𝟕. √23 ∙ 55

2−1 ∙ 53∙ (

24 ∙ 5−1

25 ∙ 5−1) = 𝟖.

√34

4

∙ √6

√ 127

12=


𝟗. √√103

2−5/3 ∙ 5−1/3= 𝟏𝟎. (

√5 ∙ √53

52 )

−1

√5−1 ∙ √5

√54 =

𝟏𝟏. √3−1 + 6−1

8−1= 𝟏𝟐. √

1

3−2+

1

2−4=




PRIMER PARCIAL TRABAJO 7. Suma y resta de radicales. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Efectúe las siguientes operaciones. Dé el resultado en forma exacta.

𝟏. √3 + 2√3 + 4√3 = 𝟐. 2

5√6 + 3√6 −

7

4√6 =

𝟑. 2√5 + √80 = 𝟒. √27 + √48 − √75 =

𝟓. 3√12 − 2√5 − 7√3 + √125 = 6. 4√75 + 6√18 − √128 − √245 − √98 − 3√125 =




PRIMER PARCIAL TRABAJO 8. Racionalización. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Racionalice las siguientes denominadores.

𝟏. 12

√6= 𝟐.

√3

√20= 𝟑.

5

√3=

𝟒. √20 − √30

√5= 𝟓.

8

3 + √7=

𝟔. 2 + √3

1 − √3= 𝟕.

4

√6 + 2=




PRIMER PARCIAL TRABAJO 9. Problemas de razonamiento. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas.

1. Con el dinero que tengo puedo comprar 6 periódicos y me sobran 5 pesos, pero si quisiera comprar 13 periódicos me faltarían 30 pesos. ¿Cuánto vale cada periódico? Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. ¿Cuáles son los datos y la incógnita? Plantea el problema matemáticamente y resuelve. ¿La respuesta es lógica?

2. Un gerente ofrece a un obrero calificado un sueldo anual de $190 000 y un carro. Al cabo de 8 meses el obrero es despedido, recibiendo $110 000 y el carro. ¿Cuál era el valor del carro? Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. ¿Cuáles son los datos y la incógnita? Plantea el problema matemáticamente y resuelve. ¿La respuesta es lógica?


3. Cuando un vaso que está a la mitad se le agregan 40 ml de agua se completa a 2/3 partes de su capacidad. ¿De cuántos mililitros es el vaso? Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. ¿Cuáles son los datos y la incógnita? Plantea el problema matemáticamente y resuelve. ¿La respuesta es lógica?

4. Antonio compró una parcela por $25 000 y la vendió por $29 998, luego repartió lo que ganó entre sus tres hijos. ¿Cuánto le tocó a cada uno? Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. ¿Cuáles son los datos y la incógnita? Plantea el problema matemáticamente y resuelve. ¿La respuesta es lógica?


5. Se desea realizar un viaje a Huatulco, 4 días y 3 noches todo incluido y se tienen contempladas 232 personas, el costo por persona es de $780 en habitación doble y $865 en habitación individual. Si sólo 15 personas no realizan el viaje y se sabe que se alquilaron 75 habitaciones dobles, ¿Cuántas habitaciones individuales se alquilaron y cuál fue el monto total del viaje? Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. ¿Cuáles son los datos y la incógnita? Plantea el problema matemáticamente y resuelve. ¿La respuesta es lógica?

6. Miguel perdió 1/3 de su dinero y prestó 1/4. ¿Qué parte de su dinero le queda? Redacta con tus palabras lo que se entendió del problema. ¿Cuáles son los datos y la incógnita? Plantea el problema matemáticamente y resuelve. ¿La respuesta es lógica?

CAPÍTULO 2. TRIGONOMETRÍA

46 CAPÍTULO 2. Trigonometría

2.1 Teorema de Pitágoras

Este teorema es válido sólo para triángulos rectángulos, sus lados se definen de la siguiente manera:

3. Los lados restantes se denominan catetos y puede asignarle indistintamente las variables 𝑎 y 𝑏.

EJEMPLOS:

a) Obtenga el valor del lado faltante del siguiente triángulo:

1. Un triángulo rectángulo se caracteriza

por tener un ángulo de 90° (ángulo recto)

y suele señalarse con un pequeño

cuadro.

2. El lado contrario al ángulo recto es la

hipotenusa y se denota por la letra 𝑐.

𝑎 = cateto

𝑏 =

cat

eto

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a

la suma de los cuadrados de los catetos.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

4

5

Solución:

La ubicación del ángulo recto es muy relevante porque determina la ubicación

de la hipotenusa y por consecuencia de los catetos. Por lo tanto,

𝑐 = 5 → Valor de la hipotenusa.

𝑎 = 4 → Valor de una de los catetos.

𝑏 = ? → Cateto desconocido.

Entonces, de la fórmula 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, se despeja 𝑏.

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 → 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2

Sustituyendo,

𝑏 = √52 − 42

𝑏 = √25 − 16

𝑏 = √9

𝑏 = 3


b) Obtenga la medida de los lados de un cuadrado, si la diagonal que lo cruza es de 4 unidades.

c) Obtenga el área de un triángulo con base de 30 cm e hipotenusa de 50 cm.

Solución:

PRACTICA ENCONTRANDO LAS MEDIDAS DE LOS LADOS FALTANTES DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS

a) b) c)

Para poder obtener el área de un triángulo se necesita el valor de base y la altura. Con los datos proporcionados, la altura se puede obtener con el teorema de Pitágoras.

hipotenusa2 = base2 + altura2 altura2 = hipotenusa2 − base2

altura2 = (50 cm)2 − (30 cm)2

altura = √1600 cm2 altura = 40 cm

Ahora, sólo se aplica la fórmula del área 𝐴 de un rectángulo 𝐴 = 1

2(base × altura).

𝐴 =1

2(30 cm × 40 cm)

𝐴 = 600 cm2

4

Solución:

La diagonal secciona el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa

es 𝑐 = 4.

Como se trata de un cuadrado todos los lados miden lo mismo y por tanto los

catetos del triángulo son iguales 𝑎 = 𝑏.

Entonces, de la fórmula 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2,

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑎2 , → 𝑐2 = 2𝑎2 → 𝑎 = √𝑐2

2

Sustituyendo, 𝑎 = √42

2

𝑎 = √8

𝑎 = 2√2

base

altu

ra

6 m

4 m

1 c

m

4 m


2.2 Unidades de medida de los ángulos

Los grados y los radianes pueden relacionarse mediante la siguiente conversión: 180° = 𝜋 rad. Esto quiere decir,

que en media circunferencia (180°), la longitud de arco es aproximadamente 3.1416 veces el radio. Hay ángulos

denominados ángulos exactos que al igual que sus múltiplos se deben manipular y visualizar rápidamente sin una

laboriosa conversión, por lo cual es importante que encuentre un patrón eficaz para convertir estos ángulos. Se

presentan a continuación:

180° = 𝜋 rad

90° = 𝜋

2rad

45° = 𝜋

4 rad

30° = 𝜋

6 rad

60° = 𝜋

3 rad

PRACTICA CON EL PATRÓN HALLADO LA CONVERSIÓN DE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS.

a) 360° =

b) 135° =

c) 120° =

d) 150° =

e) 210° =

f) 240° =

g) 270° =

Grados

Un grado ( ° ) es el ángulo definido al dividir

la circunferencia en 360 partes iguales.

Radianes

Un radián (rad) es el ángulo obtenido

cuando la longitud de arco mide

exactamente el radio de la circunferencia.

30°

Si se mide la longitud

de esta sección de la

circunferencia

medirá lo mismo que

el radio 𝑟. 𝑟

1 rad

Puede expresar los ángulos de 2 formas*:

¿Qué patrón puede encontrar para

realizar la conversión de estos

ángulos rápidamente?


Ahora, a veces las conversiones grados-radianes no son tan directas y es necesario recurrir a otros métodos, a

continuación se muestran los siguientes ejemplos.

EJEMPLO: Convertir 35 grados a radianes.

Solución:

Puede ordenar la proporción, de tal manera que la cantidad que desea convertir y la incógnita aparezcan en la

parte del numerador de las razones. En los denominadores escribir la equivalencia conocida.

35°

180°=

𝑥

𝜋 rad

Despejar su incógnita es sencillo,

(35°

180°) (𝜋 rad) = 𝑥

El resultado será:

𝑥 ≈ 0.61 rad

NOTA: Observe que es análogo a la conocida regla de tres. Puede emplearla teniendo en cuenta los siguientes 3

puntos:

EJEMPLO: Convertir 2 radianes a grados. Solución:

𝑥

180°=

2

𝜋 rad

𝑥 = (2

𝜋 rad ) (180°)

𝑥 ≈ 114.59°

EJEMPLO: Convertir 1 radián a grados. Solución:

𝑥

180°=

1

𝜋 rad

𝑥 = (1

𝜋 rad ) (180°)

𝑥 ≈ 57.29°

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES CONVERSIONES:

a) 15 grados a radianes. d) 3.1416 radianes a grados. b) 277 grados a radianes. e) 0.5 radianes a grados. c) 125 grados radianes. f) 𝜋 5⁄ radianes a grados.

180° = 𝜋 rad 35° = 𝒙

1. Se escribe la equivalencia

conocida.

2. Cuidar que los grados

estén alineados uno debajo

del otro.

3. Indicar la incógnita.


¿Por qué es importante el uso de los radianes?

En áreas de materiales, física, mecánica puede encontrar frecuentemente cantidades expresadas en radianes y su

importancia radica en que son las unidades que pueden multiplicarse, dividirse o manipularse con otras cantidades.

EJEMPLO: La velocidad angular 𝜔 que experimenta un engrane de radio 𝑟 de 0.2 m es 1revolución

s . Esta velocidad

puede ser representada por: 2π rad

s

Aunque expresar esta velocidad angular como 360°

s significa lo mismo, ésta última no puede manipularse con otras

cantidades. Es decir, si se requiere obtener la velocidad lineal dada por la fórmula 𝑣 = 𝜔𝑟 y se calcula en grados por

segundo, obtendrá un resultado que carece de interpretación física. Entonces lo correcto es:

𝑣 = 𝜔𝑟 → 𝑣 = (2π rad

s) (0.2 m)

𝑣 ≈ 1.25 m/s

Observe que en la respuesta la palabra “rad” no aparece en el resultado, esto es porque los radianes son unidades

virtuales que sirven para especificar y enfatizar que son cantidades angulares.

PRACTICA ENCONTRANDO LA VELOCIDAD LINEAL EN LA PERIFERIA DE UNAS ASPAS DE 0.5 m DE LONGITUD QUE

GIRAN A 720°/s.


2.3 Círculo unitario Se le llama círculo unitario o trigonométrico a un círculo con radio 𝑟 = 1. Este círculo permite:

1. Recordar los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante.

2. Recordar los valores de las funciones trigonométricas en un cuadrante y sus múltiplos.

O

A C

B D

𝑟=

1

𝜃

En el círculo unitario se han trazado 6 segmentos para formar dos triángulos,

la característica de estos triángulos es que uno de sus lados es el radio de la

circunferencia. Con ellos, podremos obtener el significado de seno, coseno y

tangente de la siguiente manera.

Observe que los segmentos OA̅̅ ̅̅

y OD̅̅ ̅̅ coinciden con el radio de

la circunferencia, por lo tanto

OA̅̅ ̅̅ = OD̅̅ ̅̅ = 1.

Triángulo formado por los segmentos OA̅̅ ̅̅ , OB̅̅ ̅̅ y AB̅̅ ̅̅ .

sen 𝜃 =cateto opuesto al ángulo θ

hipotenusa ∴ sen 𝜃 =

AB̅̅ ̅̅

OA̅̅ ̅̅

Como OA̅̅ ̅̅ = 1, entonces:

sen 𝜃 =AB̅̅ ̅̅

1 → sen 𝜃 = AB̅̅ ̅̅

Por lo tanto, seno es el segmento perpendicular al eje 𝑥, trazado

verticalmente desde el punto de la circunferencia por el cual está definido el

ángulo.

De este mismo triángulo,

cos 𝜃 =cateto adyacente al ángulo θ

hipotenusa ∴ cos 𝜃 =

OB̅̅ ̅̅

OA̅̅ ̅̅

Como OA̅̅ ̅̅ = 1, entonces:

cos 𝜃 =OB̅̅ ̅̅

1 → cos 𝜃 = OB̅̅ ̅̅

Por lo tanto, coseno es el segmento en el eje 𝑥, trazado desde el origen O

hasta el pie de seno.

Con el triángulo formado por los segmentos OC̅̅̅̅ , OD̅̅ ̅̅ y CD̅̅̅̅ ,

tan 𝜃 =cateto opuesto al ángulo θ

cateto adyacente al ángulo θ ∴ tan 𝜃 =

CD̅̅ ̅̅

OD̅̅ ̅̅

Como OD̅̅ ̅̅ = 1, entonces:

tan 𝜃 =CD̅̅̅̅

1 → tan 𝜃 = CD̅̅̅̅

Por lo tanto, tangente es el segmento perpendicular al eje 𝑥, trazado desde

la intersección del eje 𝑥 positivo y la circunferencia hasta la abertura que

comprende el ángulo.

NOTA: El segmento 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ siempre se trazará tangente a la circunferencia en

0°, por lo tanto, este segmento sólo puede estar en el primer o cuarto

cuadrante.

PREGUNTA: Si seno y coseno se obtuvieron del mismo triángulo, ¿por qué se tuvo que recurrir

a otro triángulo para obtener tangente?

O

A

B 𝜃

¡Entonces 𝑠𝑒𝑛 𝜃 es un

segmento rectilíneo!

O

C

D 𝜃

𝑟


En resumen, como:

De esta manera, sabrá que los signos de sen 𝜃, cos 𝜃 y tan 𝜃 dependen del cuadrante, entonces:

Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante De 90° a 180° De 180° a 270° De 270° a 360°

sen 𝜃 → + cos 𝜃 → − tan 𝜃 → −

sen 𝜃 → − cos 𝜃 → − tan 𝜃 → +

sen 𝜃 → − cos 𝜃 → + tan 𝜃 → −

Recuerde que el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ siempre es tangente a la circunferencia en 0°.

PRACTICA ESCRIBIENDO LOS SIGNOS QUE CORRESPONDEN A LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Signo Signo

a) 𝑦 = sen 30° f) 𝑦 = cos 5𝜋

3

b) 𝑦 = cos 135° g) 𝑦 = tan 2𝜋

3

c) 𝑦 = tan 120° h) 𝑦 = sen 7𝜋

6

d) 𝑦 = sen 300° i) 𝑦 = cos 𝜋

e) 𝑦 = tan 210° j) 𝑦 = sen 𝜋

2

Ahora, del primer círculo unitario dibujado en esta página

imagine que el ángulo decrece hasta volverse cero, entonces

¿podría predecir el valor de las funciones trigonométricas?

Completemos la siguiente tabla añadiendo las funciones

trigonométricas de 90°, 180°, 270° y 360°. Estos son algunos

de los ángulos conocidos como ángulos exactos.

Ángulos exactos

0° 90° 180° 270° 360°

sen 𝜃 0

cos 𝜃 1

tan 𝜃 0 ±∞

O

A

C

B D

𝜃

AB̅̅ ̅̅ = sen 𝜃

OB̅̅ ̅̅ = cos 𝜃

CD̅̅̅̅ = tan 𝜃

sen

𝜃

cos 𝜃

tan

𝜃

Entonces

Como en el primer cuadrante los

segmentos son positivos,

de 0° a 90°:

sen 𝜃 → +

cos 𝜃 → +

tan 𝜃 → +

O

A

C

B D

𝜃 cos 𝜃 se

n 𝜃

tan

𝜃 O

A

C

B D 𝜃

O

A

C

B D

𝜃

sen

𝜃 cos 𝜃

tan

𝜃

cos 𝜃

sen

𝜃

tan

𝜃

NOTA: Se escribió ±∞ para indicar que para valores menores y

próximos a 90°, la función tangente crece sin límite y para

valores mayores y próximos de 90° decrece infinitamente.


GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

El comportamiento gráfico de una función trigonométrica puede estudiarse por medio del círculo unitario.

Para ello, se dibuja el círculo unitario y se divide arbitrariamente según el número de puntos que desee tener en la

curva. El eje horizontal del círculo debe coincidir con el eje del gráfico, así como el número de divisiones.

EJEMPLO: Grafique la función:

𝑦 = sen 𝜃

Solución:

El círculo unitario y el eje horizontal se dividieron por comodidad cada 30° es decir cada 𝜋 6⁄ . Ahora, recuerde que

en el círculo unitario, seno es el segmento vertical trazado desde un punto de la circunferencia al eje horizontal. Por

ejemplo, la recta que une el centro del círculo y el punto B forma un ángulo de 𝜋 6⁄ con respecto a la horizontal,

entonces lo que mide el segmento vertical desde B hasta el eje horizontal es el valor de la función trigonométrica,

en este caso tenemos que: sen 𝜋

6= 0.5.

Si este proceso se repite para el resto de los puntos obtenemos:

Ahora, observe en el círculo unitario que el punto B situado a 30° y el punto F en 150°, tienen el mismo valor, es

decir sen 30° = sen 150° y también sen 210° = sen 330° correspondientes a los puntos H y L, difiriendo la función

trigonométrica estos dos últimos a los dos primeros sólo en el signo. Esto no es una coincidencia, sucede que los

ángulos 150°, 210°, 330° son múltiplos del ángulo de 30°, lo que significa que están localizados por encima o debajo

del eje 𝑥 a la misma abertura. Lo mismo pasa entre los puntos C, E, I y K.

PRACTICA GRAFICANDO CON AYUDA DEL CÍRCULO UNITARIO LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA 𝑦 = tan 𝜃

𝜃 y = sen 𝜃

A 0 0

B 𝜋 6⁄ 0.5

C 𝜋 3⁄ √3 2⁄ D 𝜋 2⁄ 1

E 2𝜋 3⁄ √3 2⁄ F 5𝜋 6⁄ 0.5

G 𝜋 0

H 7𝜋 6⁄ −√3 2⁄ I 4𝜋 3⁄ -0.5

J 3𝜋 2⁄ -1

K 5𝜋 3⁄ −√3 2⁄ L 11𝜋 6⁄ -0.5

M 2𝜋 0

A

B

C D

E

F

G

H

I J

K

L

M

B(𝜋

6, 0.5)

El punto B se señala en el círculo unitario, además de señalarse en el

gráfico.

Si todos los puntos se ubican en el gráfico y son unidos por una curva

suave generan el gráfico de la función trigonométrica

𝑦 = sen 𝜃.

Al dar la vuelta completa al círculo se obtuvo un ciclo completo de la

función 𝑦 = sen 𝜃, el cual cada 2𝜋 vuelve a repetirse. De aquí se

concluye que el periodo de la función es 2𝜋.


2.4 Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas se definen como la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas son:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS EXACTOS

A partir de un triángulo equilátero de lados igual a 2 se pueden definir las razones trigonométricas de 30° y 60°.

Cateto Adyacente C

atet

o O

pu

esto

𝜃

sen θ =Cateto Opuesto

Hipotenusa

cos θ =Cateto Adyacente

Hipotenusa

tan θ =Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

cot θ =Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

sec θ =Hipotenusa

Cateto Adyacente

csc θ =Hipotenusa

Cateto Opuesto

Ob

serv

e q

ue

cad

a ra

zón

tri

gon

om

étri

ca t

ien

e

su r

ecíp

roco

.

Que sean recíprocas significa que existe la siguiente relación:

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =1

csc 𝜃, cos 𝜃 =

1

sec 𝜃, tan 𝜃 =

1

cot 𝜃

2

1

2

2

60° 60°

60°

1. Por ser un triángulo equilátero,

todos los ángulos internos miden 60°.

Recuerde que para cualquier triángulo,

la suma interna de los 3 ángulos

siempre es 180°.

2. El triángulo rectángulo se obtiene

seccionando el triángulo equilátero

por la mitad.

2 2

2

60° 60°

60°

60°

3. Las nuevas medidas de los lados y los

ángulos se calculan. Este es el

triángulo que se utilizará para 30° y

60°.

30°

2

1

√3

El cateto opuesto y el adyacente se determinan a partir de la elección de uno de

los ángulos del triángulo. Para definir las razones trigonométricas se ubicó el

ángulo 𝜃 en la posición indicada en el triángulo de la figura.


Para el ángulo de 30°: Para el ángulo de 60°:

A partir de un cuadrado de lados igual a 1 se pueden definir las razones trigonométricas de 45°.

PRACTICA ENCONTRANDO LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA 45°, RECUERDA RACIONALIZAR EL

RESULTADO CUANDO SEA NECESARIO.

Con estas razones trigonométricas de ángulos exactos observe que:

sen 30° = cos 60°

cos 30° = sen 60°

sen 45° = cos 45°

sen 30° =1

2

cos 30° =√3

2

tan 30° =1

√3=

√3

3

cot 30° = √3

1 = √3

sec 30° =2

√3=

2√3

3

csc 30° =2

1 = 2

30°

2

1

√3

60°

2

1

√3

sen 60° =√3

2

cos 60° =1

2

tan 60° =√3

1 = √3

cot 60° =1

√3 =

√3

3

sec 60° =2

1 = 2

csc 60° =2

√3 =

2√3

3

2. El triángulo rectángulo se obtiene

seccionando el cuadrado con una

diagonal.

3. Las nuevas medidas de los lados y los

ángulos se determinan. Este es el

triángulo que se utilizará 45°.

1. Por ser un cuadrado, todos los

ángulos internos miden 90°.

1 1

1

1

1 1

1

1

1

1

√2

45°

45°

1

1

√2

45°

sen 45° =

cos 45° =

tan 45° =

cot 45° =

sec 45° =

csc 45° =

Entonces, mientras los ángulos sean complementarios, es decir, sumen 90°, las razones

seno y coseno son iguales. Por ejemplo sen 80° = cos 10°, etcétera.


Anteriormente con el círculo unitario se observó que bastaba saber el valor de las funciones trigonométricas de

algunos ángulos exactos para derivar los valores de sus múltiplos de acuerdo al cuadrante en que se medía el ángulo,

en base a ello complete la siguiente tabla:

Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

30° 45° 60° 120° 135° 150° 210° 225° 240° 300° 315° 330°

sen 𝜃 √22

⁄ √22

⁄ −√22

⁄ −√22

⁄

cos 𝜃 √32

⁄ −√32

⁄ −√32

⁄ √32

⁄

tan 𝜃 √3 −√3 √3 −√3

EJEMPLOS: Realice las siguientes operaciones:

a) 8 sen 45° Solución:

8 sen 45° = 8 (√2

2)

= 4√2 Si usted considera pertinente o necesita una aproximación en decimales, basta recordar el valor

√2 ≈ 1.41, de esta manera se continuaría así: 8 sen 45° ≈ 2(1.41) = 4.82

b) 10 cos 210° Solución:

10 cos 210° = 10 (−√3

2)

= −5√3

El valor de √3 es aproximadamente 1.73, entonces si necesita una aproximación de la operación, tendría que calcular: 10 cos 210° ≈ −5(1.73) = −8.65

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES

a) 12 tan 30° d) 12 cos 300° b) 3 cos 60° e) √3 tan 240° c) 6 sen 225° f) −5 tan 𝜋

4


En diversas ocasiones los ángulos podrían ser incógnitas de algún problema, el despeje de ángulos requiere de

funciones inversas, como se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLOS:

a) Encontrar el ángulo agudo 𝜃, sabiendo que:

sen 𝜃 = √3

2

Solución: Es incorrecto tratar de despejar así:

sen 𝜃 = √3

2 → 𝜃 =

√3

sen 2

Lo correcto es aplicar una función inversa, de la siguiente manera:

sen 𝜃 = √3

2 → 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 (

√3

2)

𝜃 = 60° De no haber señalado que se refería a un ángulo agudo, pudo haberse asignado otra respuesta como 150°. Entonces, la respuesta también dependerá del contexto del problema. En este manual, mientras no se indique lo contrario los ángulos buscados serán agudos.

b) Encontrar el ángulo 𝜃, sabiendo que:

2 cos 𝜃 = √2. Solución: A diferencia del inciso anterior, lo primero que hay que hacer es despejar cos 𝜃, para después aplicar la función inversa.

2 cos 𝜃 = √2 → cos 𝜃 = √2

2

𝜃 = cos−1 (√2

2)

𝜃 = 45°

c) Encontrar el ángulo 𝜃 formado en el siguiente triángulo:

√3

𝜃

1

Se trata de un triángulo rectángulo, del cual no dan valor para la hipotenusa.

Al observar el ángulo 𝜃, se deduce que:

Cateto adyacente = √3

Cateto opuesto = 1

Las razones trigonométricas que mezclan ambos catetos son tangente y

cotangente, las cuales son igualmente válidas para usar, sólo que el empleo

de tangente es más frecuente y simple. Por lo tanto,

tan 𝜃 =Cateto Opuesto

Cateto Adyacente → tan 𝜃 =

1

√3

tan 𝜃 =√3

3

𝜃 = tan−1 (√3

3 )

𝜃 = 30°

Este error normalmente

se comete porque se

piensa que “sen”

multiplica a 𝜃, ¡cuidado!

esto es completamente

falso.


PRACTICA ENCONTRANDO EL VALOR DEL ÁNGULO 𝜃, NO EMPLEE CALCULADORA.

a) sen 𝜃 = √2

2

b) cos 𝜃 = 1

2

c) tan 𝜃 = √3

d) sen 𝜃 = 0

e) cos 𝜃 = 1

f) cos 𝜃 = −1

g) tan 𝜃 = 1

h) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −√2

2

i)

j)

k)

𝜃

4 2

3

5

3√2

5

𝜃

𝜃

√3

4

0.5




PRIMER PARCIAL TRABAJO 1. Teorema de Pitágoras Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, realice un dibujo que bosqueje la información.

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3 cm y 4 cm.

2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 cm y uno de sus lados mide 1 cm, ¿cuánto mide el otro lado?

3. Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales miden 16 cm y 12 cm.

16 cm

12 cm


4. La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2.54 centímetros: Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96×79 cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor?

5. Un clavadista está entrenando en una piscina con plataforma. Cuando realiza un salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2.4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8.8 metros de longitud. Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11.2 m. ¿Cuáles la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?

6. Un estacionamiento en forma rectangular de dimensiones 35×98 cm es controlado por 4 cámaras de vigilancia. La cámara A observa el área 1; la cámara B, el área 2; la cámara C, el área 3; y la cámara D, el área 4. Calcular el porcentaje del área del estacionamiento que no está vigilada por ninguna cámara.

1

2

3

4

Cám. A

Cám. B

Cám. D Cám. C

35 m

90 m




PRIMER PARCIAL TRABAJO 2. Unidades de medición de ángulos. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Convierta de radianes a grados y viceversa, según sea el caso.

𝟏. 𝜋

5 rad 𝟐.

3𝜋

7 rad

𝟑. 2𝜋

7 rad

𝟒. 0.5 rad

𝟓. 3 rad 𝟔. 20°

𝟕. 140° 𝟖. 215°

𝟗. 0° 𝟏𝟎. 350°




PRIMER PARCIAL TRABAJO 3. Razones trigonométricas de ángulos exactos. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Determine de forma exacta, sin calculadora. Realice un dibujo que bosqueje la información.

1. Determine el cateto opuesto a un ángulo de 30° si la hipotenusa tiene valor de 25.

2. Determine el cateto adyacente a un ángulo de 45° si el cateto opuesto es 12.

3. Determine el cateto adyacente a un ángulo de 60° si la hipotenusa es igual a 10.

4. Un círculo con radio igual a 20 cm está inscrito en un hexágono regular. Determine el perímetro del hexágono.


5. Calcula la altura de una torre, sabiendo que el ángulo de elevación desde un punto A y la horizontal es de 45°, que desde un punto B a 25 m del punto A y más cerca de la torre el ángulo de elevación es de 60°.

6. Sea un triángulo rectángulo cuyos lados; hipotenusa igual a 5 cm, cateto igual a 3 cm y el ángulo formado entre ellos de 60°. ¿Cuál es su área? y ¿cuál su perímetro?

7. Obtenga el ángulo que un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante de 15 m que va desde la punta del primero hasta el piso. Dé su respuesta en grados y radianes.




PRIMER PARCIAL TRABAJO 4. Razones trigonométricas para cualquier ángulo. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas, emplee calculadora. Realice un dibujo que bosqueje la información.

1. Se recorren 150 m en una carretera librando un desnivel de 10 m. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la carretera?

2. Un piloto de avión que vuela a una altitud de 300 m señala que su ángulo de depresión a la torre de control es de 18°. Si el avión sigue volando a esta altitud hacia la torre de control, ¿cuántos metros tiene que recorrer para llegar a la torre?

3. La cuerda de un cometa forma un ángulo de 42° con el suelo, cuando la longitud de la cuerda mide 740 m. ¿Cuál es la altitud de la cometa, suponga que la cuerda forma una línea recta?


4. Un depósito de agua está a 325 m de un edificio (base a base). Desde una ventana del edificio se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del depósito es de 39° y el ángulo de depresión a la parte inferior es de 25°. ¿Cuál es la altura del depósito? ¿A qué altura está la ventana?

5. Un aeroplano vuela a una altura de 5150 pies directamente por encima de una carretera recta. Dos automovilistas están manejando automóviles sobre la carretera en lados opuestos del aeroplano, si el ángulo de depresión de un automóvil es de 35° y de 52° el del otro, ¿a qué distancia están los automóviles entre sí?

6. Un globo de aire caliente flota por encima de una carretera recta. Para calcular su altura sobre el nivel del piso, los aeronautas miden simultáneamente el ángulo de depresión a 2 postes consecutivos de marcaje de kilómetros sobre la carretera del mismo lado del globo. Los ángulos de depresión encontrados son de 20° y 22°. ¿A qué altura está el globo?


7. Una torre de telefonía celular que tiene una altura de 46 metros, está colocada en la cima de una montaña a 366 metros sobre el nivel del mar. ¿Cuál es el ángulo de depresión desde la parte superior de la torre hasta un usuario con teléfono celular que está horizontalmente a 8 kilómetros y a 122 metros sobre el nivel del mar?

8. Durante el despegue el ángulo de ascenso de un avión es de 18° y su velocidad es de 84 metros por segundo. a) Determine la altura del avión después de 1 minuto. b) ¿Cuánto tiempo le tomará al avión ascender a una altitud de 3048 metros?

9. Una norma de seguridad establece que el ángulo de elevación máximo para una escalera de rescate es 72°. La escalera más larga del departamento de bomberos es de 30.5 m. ¿Cuál es la altura máxima de rescate segura?


10. Un asta de 12 pies está colocada en forma vertical en la orilla del techo de un edificio. El ángulo de elevación a la parte superior del asta desde un punto en el suelo que se encuentra a 64 pies del edificio que mide 79°. Determine la altura del edificio.

SEGUNDO PARCIAL

Contenido

3. Álgebra .................................................................................................................................................................... 68

3.1 Operaciones algebraicas ................................................................................................................................... 69

3.2 Productos notables ............................................................................................................................................ 75

3.3 Factorización ..................................................................................................................................................... 76

3.4 Fracciones algebraicas ....................................................................................................................................... 81

ACTIVIDADES

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRA

69 CAPÍTULO 3. Álgebra

3.1 Operaciones algebraicas

A diferencia de la aritmética que estudia los números y sus operaciones, el álgebra elemental es la rama de las

matemáticas cuyas operaciones son expresadas por medio de símbolos, números y letras.

Básicamente, la representación más compacta de una expresión algebraica se denomina término algebraico, sus

partes son:

El exponente y coeficiente pueden ser cualquier número real. La base es representada por letras del alfabeto,

aunque frecuentemente se emplean 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑥, 𝑦, 𝑧, y dependiendo del contexto del problema se le llama variable

o incógnita.

En una expresión algebraica puede encontrar varios términos y se logran identificar uno del otro porque se separan

por signos +, −. Por ejemplo,

Expresión algebraica Número de términos −3𝑥 1

4𝑥7 + 5𝑥 2

8𝑥5 + 9𝑥−2 − 4 3

Si la expresión algebraica está compuesta por términos cuyos exponentes son todos positivos y enteros, entonces

la expresión se denomina polinomio, y dependiendo del número de términos recibe el nombre de monomio,

binomio o trinomio.

Ahora, considerando la expresión

Para llevar a cabo las operaciones, es necesario que recuerde lo aprendido en aritmética. En álgebra siguen siendo

válidas:

1. Las reglas de los signos en sumas o restas y multiplicaciones o divisiones.

2. Las reglas de exponentes.

3. Jerarquía de operaciones.

4. Operaciones con fracciones.

Coeficiente

Base

Exponente 5 𝑥2

+3𝑥6 + 1𝑥4 + 3𝑥1 − 2𝑥0

3𝑥6 + 𝑥4 + 3𝑥 − 2

Si en la expresión encuentra:

Signo + en el primer término

Coeficientes con valor de 1

Exponente con valor de 1

Términos con 𝑥0. Recuerde que 𝑥0 = 1.

“PUEDE OMITIRLOS EN LA EXPRESIÓN”


SUMA O RESTA

1. Identificar términos semejantes.

2. Sólo se suman o restan los coeficientes, la base con su exponente quedan igual.

EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

a) 5𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = Solución: Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma base y exponente, sin importar que el coeficiente sea distinto. Aplique la regla de los signos para la suma o resta a estos términos. 5𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 3𝑥2 + 11𝑥3 = 11𝑥3 + 3𝑥2 Los términos deben quedar ordenados de exponente menor a mayor o viceversa.

b) −4𝑥9 + 7𝑥8 − 10𝑥9 − 9𝑥8 + 5𝑥 = Solución: Observe que el último término no tiene semejante, entonces ese término simplemente se transcribe en la solución. −4𝑥9 + 7𝑥8 − 10𝑥9 − 9𝑥8 + 5𝑥 = −14𝑥9 − 2𝑥8 + 5𝑥

d) 8𝑥−3 − 𝑥5 + 4𝑥5 − 6𝑥−3 + 2𝑥3 = Solución:

8𝑥−3 − 𝑥5 + 4𝑥5 − 6𝑥−3 + 2𝑥3 =

3𝑥5 + 2𝑥3 + 2𝑥−3 =

3𝑥5 + 2𝑥3 +2

𝑥3

Así como es conveniente ordenar los términos por su exponente, también debe cuidar que el resultado final siempre tenga exponentes positivos.

e) 2𝑥2𝑦3 + 4𝑥2𝑦3𝑧 − 3𝑥2𝑦3 − 𝑥5𝑦 − 2𝑥5𝑦 = Solución: Observe que hay más de una variable en la expresión, recuerde que sólo puede simplificar aquellos términos que sean semejantes, para ello todo el término debe tener bases y exponentes iguales.

2𝑥2𝑦3 − 𝑥5𝑦 − 3𝑥2𝑦3 − 2𝑥5𝑦 + 4𝑥2𝑦3𝑧 =

−𝑥2𝑦3 − 3𝑥5𝑦 + 4𝑥2𝑦3𝑧

PRACTICA SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, MUESTRE SIN EXPONENTES NEGATIVOS.

a) 3𝑥2 − 2𝑥2 + 8𝑥3 − 10𝑥3

d) 𝑎𝑐3 − 4𝑎𝑐 − 2𝑎3𝑐 − 3𝑎𝑐 + 𝑏 g) 4

3𝑥2 − 5𝑥2 +

1

3𝑥 −

2

4𝑥

b) 2𝑥6 − 𝑥−2 + 3𝑥−2 − 2𝑥6

e) 3𝑥𝑦2 − 5𝑥2𝑦 + 6𝑥𝑦2 +1

4𝑥2𝑦 h)

3𝑥2−5

3+

𝑥2−2

7

c) −𝑎7 − 𝑎−7 + 8𝑎 + 10𝑎−7 − 𝑎 f) 5𝑥9 − 2𝑥9𝑦 − 15𝑦 + 13𝑦 − 5𝑥9 i) 𝑥−3𝑦−2 + 4𝑥

𝑦− 5𝑥𝑦−1 +

7

𝑥3𝑦3

Recuerde que 𝑥−𝑛 = 1𝑥𝑛⁄


Cuando hay signos de agrupación se trabaja de la misma manera que en aritmética, dando prioridad a realizar las

operaciones indicadas por el signo de agrupación más interno al más externo.

EJEMPLOS: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

a) −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 + (−2𝑥)]} Solución: Al igual que en aritmética, se empezará a resolver a partir del paréntesis, que es el signo de agrupación más interno. Para poder quitar el paréntesis, se aplica la regla de los signos para la multiplicación. −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 + (−2𝑥)]} Ahora, el signo menos antes del corchete multiplicará a todos los términos contenidos dentro del corchete.

= −5𝑥 + {𝑥 − [2𝑥2 + 4 − 2𝑥]}

= −5𝑥 + {𝑥 − 2𝑥2 − 4 + 2𝑥}

Puede ir simplificando los términos semejantes.

= −5𝑥 + {3𝑥 − 2𝑥2 − 4}

Luego, el signo multiplica el signo de cada término dentro de las llaves.

= −5𝑥 + {3𝑥 − 2𝑥2 − 4} = −5𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥2 − 4 Finalmente, simplifique y ordene.

= −2𝑥2 − 2𝑥 − 4

b) −2𝑥7 − 3(−2𝑥6 − 5𝑥7) + 2(8𝑥7 − 2𝑥6) = Solución: Este ejercicio se realiza como en el caso anterior, sólo que además del signo el número antes del paréntesis debe multiplicar a cada coeficiente dentro del signo de agrupación. −2𝑥7 − 3(−2𝑥6 − 5𝑥7) + 2(8𝑥7 − 2𝑥6) = −2𝑥7 + 6𝑥6 + 15𝑥7 + 16𝑥7 − 4𝑥6 = 29𝑥7 + 2𝑥6

PRACTICA SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, ESCRIBA EL RESULTADO SIN EXPONENTES NEGATIVOS.

a) 3𝑥 − (2𝑥5 − 3𝑥) + (−9𝑥5 + 2) − (−5𝑥)

d) −2(5𝑎𝑏 − 3) + 2(6𝑎𝑏 − 4𝑏) − 3(−2𝑏)

b) 8 − [−(4𝑥 − 9)] + [−8𝑥 − (−𝑥 + 6)]

e) 5 − 4{4𝑥𝑦3 − 3[2𝑥3 + 2(3𝑥3 + 1)]}

c) 3𝑥𝑦 + {2𝑥2𝑦 + 5𝑥𝑦 − [4𝑥2𝑦 + (2𝑥𝑦 − 4𝑥2𝑦)]} f) 4

3(𝑥 + 𝑦) −

5

2[2 − (3𝑥 − 4𝑥)]

−2𝑥

−2𝑥2 − 4 + 2𝑥

+3𝑥 − 2𝑥2 − 4

+6𝑥6 + 15𝑥7 +16𝑥7 − 4𝑥6


MULTIPLICACIÓN

1. Se multiplican los signos, aplicando la regla vista en la sección 1.1.

2. Se multiplican los coeficientes.

3. Los exponentes con la misma base se suman.

EJEMPLOS: Realice los siguientes productos.

a) −6𝑥2𝑦(−3𝑥5𝑦3𝑧) Solución: Este ejemplo muestra la multiplicación de dos expresiones algebraicas de 1 término. Sin importar que no sean semejantes, se siguen los tres pasos mencionados.

−6𝑥2𝑦(−3𝑥5𝑦3𝑧) = +18𝑥2+5𝑦1+3𝑧

= 18𝑥7𝑦4𝑧

b) 2𝑥3(7𝑥2 − 4𝑥4 − 5𝑦7) Solución: Como en la multiplicación no importa que no sean términos semejantes, 2𝑥3 multiplicará a los tres términos de la expresión que está dentro del paréntesis.

2𝑥3(7𝑥2 − 4𝑥4 − 5𝑦7) = +14𝑥3+5 − 8𝑥3+4 − 10𝑥3𝑦7

= 14𝑥8 − 8𝑥7 − 10𝑥3𝑦7

c) −3𝑥2(−4𝑥−5 + 2𝑥−2 + 1) Solución: Nuevamente como en el inciso anterior, −3𝑥2 multiplicará a los tres términos que están dentro del paréntesis.

−3𝑥2(−4𝑥−5 + 2𝑥−2 + 1) Aunque existan signos negativos en los exponentes, la suma de exponentes se mantiene.

= +12𝑥2+(−5) − 6𝑥2+(−2) − 3𝑥2 = 12𝑥−3 − 6𝑥0 − 3𝑥2 Recordar expresar el resultado siempre con exponentes positivos y omitir la escritura de 𝑥0.

= −3𝑥2 − 6 +12

𝑥3

c) (4𝑥2 − 5𝑥3)(−2𝑥3 − 4𝑥 + 2) Solución: Este ejemplo muestra el producto de dos expresiones con más de un término cada una. Fijar 4𝑥2 que es el primer término de la primera expresión y multiplicar con los términos de la otra expresión:

(4𝑥2 − 5𝑥3)(−2𝑥3 − 4𝑥 + 2) Multiplicar nuevamente todos los términos de la segunda expresión pero ahora finado −5𝑥3,

(4𝑥2 − 5𝑥3)(−2𝑥3 − 4𝑥 + 2) Se obtiene entonces:

= −8𝑥5 − 16𝑥3 + 8𝑥2 + 10𝑥6 + 20𝑥4 − 10𝑥3 Simplificando términos y ordenandolos:

= 10𝑥6 − 8𝑥5 + 20𝑥4 − 26𝑥3 + 8𝑥2 PRACTICA REALIZANDO LOS SIGUIENTES PRODUCTOS.

a) 5𝑥2(−3𝑥𝑦6)

d) 5𝑎3𝑏(4𝑎𝑐 − 3𝑎3 + 4) g) (3𝑥2 − 4𝑦3)(−5 + 2𝑥𝑦 − 6𝑥)

b) −4𝑥−3(−4𝑥−2𝑦)

e) 2𝑥𝑦−1(−2𝑦 + 6𝑥−1 + 5𝑥𝑦) h) (−2𝑎𝑏−3 + 4𝑎)(−5𝑎𝑏−3 − 2𝑏)

c) 2

3𝑥4𝑦3 (

6

5𝑥2/3𝑦2) f) −

1

3√𝑥(−3√𝑥 − 5𝑥𝑦 − 9) i) (

4

5𝑥3𝑦2 −

8

3) (

4

5𝑥3𝑦2 −

8

3)


DIVISIÓN 1. Se aplica la regla de división para signos.

2. Se dividen los coeficientes.

3. Los exponentes con la misma base se restan.

EJEMPLOS: Realice las siguientes divisiones.

a) −18𝑥7𝑦6

2𝑥4𝑦

Solución: −18𝑥7𝑦6

2𝑥4𝑦= −9𝑥7−4𝑦6−1

= −9𝑥3𝑦5

b) −14𝑥−6𝑦2𝑧

−5𝑥−3𝑦2

Solución: −14𝑥−6𝑦2𝑧

−5𝑥−3𝑦2= +

14

5𝑥−6−(−3)𝑦2−2𝑧

=14

5𝑥−3𝑦0𝑧

Recuerde presentar la solución con exponentes positivos y omitir aquellos con exponente cero. Entonces,

=14𝑧

5𝑥3

b) 6𝑥3𝑦5𝑧7

−4𝑥5𝑦8𝑧11

Solución:

6𝑥3𝑦5𝑧7

−4𝑥5𝑦8𝑧11= −

6

4𝑥3−5𝑦5−8𝑧7−11

= −3

2𝑥−2𝑦−3𝑧−4

= −3

2𝑥2𝑦3𝑧4

c) 4𝑥6𝑦3−8𝑥5𝑦5𝑧3+12

2𝑥4𝑦

Solución:

4𝑥6𝑦3 − 8𝑥5𝑦5𝑧3 + 12

2𝑥4𝑦

=4𝑥6𝑦3

2𝑥4𝑦−

8𝑥5𝑦5𝑧3

2𝑥4𝑦+

12

2𝑥4𝑦

= 2𝑥2𝑦2 − 4𝑥𝑦4𝑧3 +6

𝑥4𝑦

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES DIVISIONES

a) −8𝑎2𝑏3𝑐

−2𝑎𝑏2𝑐

c) 3𝑥8𝑦𝑧5

5𝑥−6𝑧9

e) 10𝑥7𝑦−2+5𝑥−5𝑦+10

−10𝑥9𝑦−7

b) 𝑥9𝑦6𝑧8

𝑥9𝑦6𝑧8

d) −21𝑎2𝑏4−6𝑎5+7𝑎𝑏3

7𝑎𝑏3 f) −√𝑥+4𝑥

𝑥

Aunque los

exponentes sean

negativos, deben

restarse.

Observe que finalmente las

bases quedan en la posición

donde tenían el mayor

exponente.

Por comodidad, puede separar

la división en varios cocientes.

Ahora, cada cociente se

resuelve como los

ejemplos anteriores.


Observe que en los ejemplos y ejercicios de división vistos hasta ahora, el divisor es de sólo 1 término. Para poder

efectuar una división con más de un término como divisor, puede emplear el método desarrollado en el siguiente

ejemplo.

EJEMPLO: Realice la siguiente división.

a) 2𝑥3+2+5𝑥

1+𝑥

Solución: 1. La división sólo se realiza entre el primer término del dividendo con el divisor, anotando el resultado sobre

la línea. 2. El cociente obtenido multiplicará a todos los términos del divisor y se colocarán con el signo contrario debajo

de los términos semejantes del dividendo.

3. Sumar y transcribir los términos restantes. 4. Los tres pasos anteriores se repetirán hasta que el residuo sea de exponente menor que el primer término

del divisor. Entonces:

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES DIVISIONES

a) 2𝑥4+13𝑥3+15𝑥2+16𝑥−3

𝑥2+5𝑥−2 b)

𝑥2−5𝑥−84

𝑥+7 c)

𝑥3+3𝑥2+3𝑥+1

𝑥+1

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

NOTA:

Observe que se reacomodó el orden de los términos, del

exponente mayor al menor, tanto en el dividendo como en el

divisor.

En caso que el dividendo carezca de un término se deja un espacio.

OPERACIONES:

2𝑥3

𝑥= 2𝑥2 2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2

−2𝑥3 − 2𝑥2

NOTA:

El producto −2𝑥2 se colocó debajo del espacio vacío ya que no

tiene término común.

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2

−2𝑥3 − 2𝑥2

−2𝑥2 + 5𝑥 + 2

NOTA:

Debe comprobar que el primer término de la suma se elimine, de

no ser así, rectifique las operaciones.

2𝑥3 − 5 + 5𝑥 + 2 𝑥 +1

2𝑥2 − 2𝑥 + 7

−2𝑥3 − 2𝑥2

−2𝑥2 + 5𝑥 + 2

+2𝑥2 + 2𝑥

7𝑥 + 2

−7𝑥 − 7

−5 Residuo

La solución final se representa con el cociente y

residuo:

2𝑥3 + 2 + 5𝑥

1 + 𝑥= 2𝑥2 − 2𝑥 + 7 −

5

1 + 𝑥

Cociente

75

C

AP

ÍTULO

3. Á

lgebra

3.2 Productos notables

Productos notables

Aquellos productos que se pueden resolver mediante la aplicación de una regla.

CASO I. Binomio al cuadrado

¿Cuál es el resultado de (𝑎 + 𝑏)2 o bien

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)?

Si se desarrolla el producto, como se indicó

en la sección previa, tenemos:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Entonces, todos los productos que pueda

escribir como un binomio al cuadrado se

resuelven mediante la regla:

( 𝑎 ± 𝑏 )2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Ejemplos: Resuelva los siguientes

productos.

a) (𝑥 + 5)2 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25

b) (𝑦 − 3)2 = 𝑦2 − 6𝑦 + 9

c) (4𝑥 + 3)2 = 16𝑥2 + 24𝑥 + 9

d) (−2𝑥 + 6)2 = 4𝑥2 − 24𝑥 + 36

e) (5𝑥3 − 2𝑥𝑦)2 = 25𝑥6 − 20𝑥4𝑦 + 4𝑥2𝑦2

CASO III. Binomios conjugados

Se denomina producto de binomios

conjugados si lo único que difiere entre

ellos es 1 signo, como (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏).

¿Cuál será el producto?

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2

= 𝑎2 − 𝑏2

Observe que al realizar el producto dos

términos se cancelan y siempre será una

diferencia de cuadrados. Por tanto, la regla

es:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2


productos.

a) (𝑥 + 10)(𝑥 − 10) = 𝑥2 − 100

b) (𝑦 − 7)(𝑦 + 7) = 𝑦2 − 49

c) (−8 + 𝑥)(𝑥 + 8) = 𝑥2 − 64

d) (4 − 2𝑥)(4 + 2𝑥) = 16 − 4𝑥2

d) (3𝑥2𝑦4 − 1)(3𝑥2𝑦4 + 1) = 9𝑥4𝑦8 − 1

CASO II. Binomios con un término

común

Suponga que desea resolver el producto

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐), en donde sólo el término 𝑎

es común en ambos factores, ¿cuál sería la

solución?

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

= 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑏𝑐

Esto significa, que puede omitir el producto

y sólo seguir la regla:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑏𝑐


productos.

a) (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑥2 + (2 + 3)𝑥 + 6

= 𝑥2 + 5𝑥 + 6

b) (𝑥 + 5)(𝑥 − 4) = 𝑥2 + (5 − 4)𝑥 − 20

= 𝑥2 + 𝑥 − 20

c) (𝑥3 − 1)(𝑥3 − 9) = 𝑥6 + (−1 − 9)𝑥3 + 9

= 𝑥6 − 10𝑥3 + 9

CASO IV. Potencia n-ésima de un

binomio

¿Qué patrón puede seguir si desea elevar

(𝑎 + 𝑏)𝑛?

Puede utilizar el triángulo de Pascal. A partir

del tercer renglón los elementos del triángulo

de Pascal representan los coeficientes de la

solución de un binomio a la 𝑛.

Observe como se construyen, las potencias

de binomios:

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3

(𝑎 ± 𝑏)4 = 𝑎4 ± 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 ± 4𝑎𝑏3 + 𝑏4

⋮


productos.

a) (𝑥 + 2)3 = 𝑥3 + 3(𝑥2)(2) + 3(𝑥)(4) + 8

= 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8

b) (𝑥 − 1)3 = 𝑥3 − 3(𝑥2)(1) + 3(𝑥)(1) − 1

= 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1

El primer término al cuadrado

El doble del primer por el

segundo término

El segundo término

al cuadrado

Término común al cuadrado

Producto del término

común con la suma de los

no comunes

Producto de términos

no comunes

El primer término al cuadrado

El segundo término

al cuadrado

(𝑎 ± 𝑏)4

(𝑎 ± 𝑏)2

(𝑎 ± 𝑏)3

(𝑎 ± 𝑏)5

BINOMIOS

TRIÁNGULO DE PASCAL


3.3 Factorización

I. FACTOR COMÚN

Si todos los términos de la expresión tienen:

1. Un coeficiente o múltiplo del mismo coeficiente.

2. Y/O una o más variable en común.

Entonces, el coeficiente y/o la variable serán uno de los factores de su expresión.

EJEMPLOS: Factorizar.

a) 𝑥5 + 3𝑥4 − 𝑥2 Solución: Al inspeccionar la expresión observe que todos los términos tienen en común la variable 𝑥, por tanto, factorice la 𝑥 que tenga el mínimo exponente, es decir 𝑥2.

𝑥5 + 3𝑥4 − 𝑥2 = 𝑥2(𝑥3 + 3𝑥4 − 1)

b) 2𝑥7𝑦3 − 2𝑥6𝑦 + 2𝑥5 Solución: A pesar de que hay dos variables en la expresión, sólo 𝑥 es una variable común; al mismo tiempo que 2 es un

coeficiente común. Por tanto, el factor común será 2𝑥5.

2𝑥7𝑦3 − 2𝑥6𝑦 + 2𝑥5 = 2𝑥5(𝑥2𝑦3 − 𝑥𝑦 + 1)

c) 3𝑥4 + 18𝑥2 − 15𝑥 Solución: Todos los términos tienen en común la variable 𝑥, pero también todos los coeficientes son divisibles entre 3, por tanto, el factor común es 3𝑥.

3𝑥4 + 18𝑥2 − 15𝑥 = 3𝑥(𝑥3 + 6𝑥 − 5)

d) −8𝑥3𝑦5 − 4𝑥2𝑦8 − 12𝑥𝑦6 Solución: Con respecto a los coeficientes todos son divisibles entre −4, mientras que ambas variables son comunes en la expresión. Determinando el exponente más pequeño de cada variable, se obtiene que el factor

común es −4𝑥𝑦5.

−8𝑥3𝑦5 − 4𝑥2𝑦8 − 12𝑥𝑦6 = −4𝑥𝑦5(2𝑥2 + 𝑥𝑦3 + 3𝑦)

PRACTICA FACTORIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.

a) 𝑥10 − 6𝑥6 + 𝑥8

c) 12𝑥5 + 6𝑥3𝑦2 + 3𝑥4𝑦 e) 2𝑥3𝑦𝑧 − 20𝑥𝑦2𝑧5

b) 5𝑥4 + 2𝑥5 − 4𝑥6 d) −5ℎ𝑘 − 5ℎ2𝑘3 − 5𝑘 f) 1

5𝑥3𝑦 −

2

5𝑥6𝑦9 +

6

10𝑥𝑦

Factorización

Expresión algebraica escrita en forma de producto

¿De dónde se obtuvo este factor?

Observe que es el resultado de dividir todos

los términos entre el factor común 𝑥2.

𝑥5

𝑥2+

3𝑥4

𝑥2−

𝑥2

𝑥2= 𝑥3 + 3𝑥4 − 1

¿Cómo se obtuvo este factor?

Observe que es el resultado de dividir todos

los términos entre el factor común 2𝑥5.

2𝑥7𝑦3

2𝑥5 −2𝑥6𝑦

2𝑥5 +2𝑥5

2𝑥5 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥𝑦 + 1


II. FORMA DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

¿Cuál sería el resultado de (𝑥 − 4)(𝑥 − 4)?

(𝑥 − 4)2 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16

Y, ¿qué tal si dieran el resultado 𝑥2 − 8𝑥 + 16 y se pi averiguar el binomio que se elevó al cuadrado?

Para responder esta pregunta se describirán los siguientes ejemplos.

EJEMPLOS: Factorice las siguientes expresiones.

a) 𝑥2 − 6𝑥 + 9 Solución: Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto tendrá que averiguar el binomio que se elevó al cuadrado. Para ello, sólo verifique que los términos estén ordenados del exponente mayor al menor. Por tanto, la factorización es:

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2

b) 25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2 Solución: Una vez que haya observado que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, la factorización se realiza como el inciso anterior. Por tanto, la factorización es:

25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2 = (5𝑥3 + 4𝑦)2


a) 𝑥2 − 12𝑥 + 36

d) 𝑥2𝑦2 − 14𝑥𝑦 + 49

b) 𝑥2 + 2𝑥 + 1

e) 9𝑥8𝑦4 + 12𝑥4𝑦2 + 4

c) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 f) 16𝑥10 − 48𝑥5𝑦 + 6𝑦

Recordando los productos notables

𝑥2 − 6𝑥 + 9

( − )2

𝑥2 − 6𝑥 + 9

(𝑥 − 3)2

1. El signo es el mismo que

el del término lineal. 2. Se obtiene la raíz cuadrada

de los extremos.

25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2

( + )2

25𝑥6 + 40𝑥3𝑦 + 16𝑦2

(5𝑥3 + 4𝑦)2

1. El signo es el mismo que

el del término que está en el

centro.

2. Se obtiene la raíz cuadrada

de cada extremo incluyendo

coeficiente y aplicando

correctamente leyes de

exponentes.


III. TRINOMIO DE LA FORMA: 𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝒂 + 𝒃𝒄

¿Recuerda de la sección 2.2 como resolver el producto notable (𝑥 + 2)(𝑥 − 8)?

(𝑥 + 2)(𝑥 − 8) = 𝑥2 + (2 − 8)𝑥 − 16

= 𝑥2 − 6𝑥 − 16

Ahora, imagine que le piden que en base al resultado 𝑥2 − 6𝑥 − 16 encuentre los dos factores necesarios para

llegar a ese trinomio. Tal vez la primera reacción sería resolverlo como si fuera un trinomio cuadrado perfecto pero

observe que no puede factorizarse a un binomio al cuadrado, simplemente no satisface la comprobación. Para

realizar esta factorización observe los siguientes ejemplos.


a) 𝑥2 − 6𝑥 − 16 Solución: Por la forma del trinomio la factorización será 2 factores con un término común.

Por lo tanto, la factorización es:

𝑥2 − 6𝑥 − 16 = (𝑥 − 8)(𝑥 + 2)

b) 3𝑥5 + 12𝑥3 − 36𝑥 Solución: Observe que esta expresión tiene un término común como el estudiado unas hojas atrás. Entonces, previamente factorizar el término común:

3𝑥5 + 12𝑥3 − 36𝑥 = 3𝑥(𝑥4 + 4𝑥2 − 12) Ahora, lo que está dentro del paréntesis es un trinomio de la forma: 𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝒂 + 𝒃𝒄. Si desea puede omitir los pasos 1 y 2 del ejemplo anterior, estos sólo sirven para identificar los signos que tendrán la pareja de números que necesita, que son:

3𝑥(𝑥4 + 4𝑥2 − 12) = 3𝑥( + )( − ) Buscando que:

La suma sea +4.

El producto sea −12. Se obtienen los números +6 y −2.

Por lo tanto, la factorización es:

3𝑥5 + 12𝑥3 − 36𝑥 = 3𝑥(𝑥2 + 6)(𝑥2 − 2)


a) 𝑥2 + 2𝑥 − 8

c) 𝑥2 − 10𝑥 + 21 e) 𝑥17 − 4𝑥9 − 5𝑥

b) 𝑥2 − 12𝑥 + 35 d) 𝑥8 + 9𝑥4 + 18 f) 𝑥4 + 5𝑥3 + 6𝑥2

𝑥2 − 6𝑥 − 16

( − )( + )

(−)(−) = +

𝑥2 − 6𝑥 − 16

( − )( )

1. En el primer paréntesis

coloque el signo del término

central.

2. En el segundo paréntesis

coloque el signo del producto de

los signos del segundo y tercer

término.

3. Como el trinomio es de la forma: 𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝒂 + 𝒃𝒄, deberá

encontrar 2 números que simultáneamente tenga las siguientes

características:

La suma sea −6.

El producto sea −16

Los números son −8 y +2 (𝑥 − 8)(𝑥 + 2).

Entonces:

𝑏 + 𝑐 = +2 − 8 = −6

𝑏𝑐 = (+2)(−8) = −16


IV. DIFERENCIA DE CUADRADOS: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

De acuerdo a la sección 2.2, el producto de dos binomios conjugados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) es 𝑎2 − 𝑏2. Por el contrario,

la factorización de la diferencia de cuadrados serán dos binomios conjugados.


a) 𝑥2 − 16 Solución: 𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 4)

b) 9𝑥2 − 𝑦2 Solución: 9𝑥2 − 𝑦2 = (3𝑥 − 𝑦)(3𝑥 + 𝑦)


a) 𝑥2 − 9 c) 16𝑥2 − 25 e) 4 − 9𝑥2

b) 𝑥2 − 36 d) 𝑥2 − 𝑦2 f) 49𝑥2 − 81𝑦2

V. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN: 𝒏(𝒂 + 𝒃) + 𝒎(𝒂 + 𝒃)

Si tiene una expresión que no puede factorizar total o parcialmente con los métodos anteriores, puede ser que

cumpla la siguiente forma:

𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑚(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑛 + 𝑚)

Observe los siguientes ejemplos en donde se discute este tipo de factorización.

a) 5(𝑥 + 𝑦) − 𝑧(𝑥 + 𝑦) Solución: 5(𝑥 + 𝑦) − 𝑧(𝑥 + 𝑦) Entonces, la factorización queda de la siguiente manera:

5(𝑥 + 𝑦) − 𝑧(𝑥 + 𝑦) = (5 − 𝑧)(𝑥 + 𝑦)

b) 4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) Solución: 4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) No puede aplicar la fórmula por que no son iguales los términos dentro del paréntesis. Sin embargo, si factoriza el signo negativo de los términos del segundo paréntesis, tendrá: 4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) = 4𝑥(𝑥3 − 3) + 2(𝑥3 − 3) Entonces, la factorización será:

4𝑥(𝑥3 − 3) − 2(−𝑥3 + 3) = (4𝑥 + 2)(𝑥3 − 3)

Sólo tiene que obtener

la raíz cuadrada de cada

término.

Iguales

Para poder aplicar la

fórmula de factorización,

tiene que observar que sean

iguales los términos dentro

del paréntesis.

No son iguales


c) 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 6 − 3𝑦 Solución: Primero, seccionar la expresión en dos grupos que compartan un término común y factorizarlo. 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 6 − 3𝑦 = 𝑥(2 + 𝑦) − 3(2 + 𝑦) Ahora, los dos paréntesis tienen términos iguales y ya puede proceder a factorizar como los incisos anteriores: 2𝑥 + 𝑥𝑦 − 6 − 3𝑦 = (𝑥 − 3)(2 + 𝑦)

d) 40𝑥 + 2𝑦 + 16 + 5𝑥𝑦 Solución: Para factorizar parcialmente por medio de término común como se hizo en el inciso anterior, primero cambiar la posición de los términos: 40𝑥 + 2𝑦 + 16 + 5𝑥𝑦 = 5𝑥𝑦 + 2𝑦 + 40𝑥 + 16

= 𝑦(5𝑥 + 2) + 8(5𝑥 + 2) Ahora, ya puede quedar factorizada toda la expresión:

40𝑥 + 2𝑦 + 16 + 5𝑥𝑦 = (𝑦 + 8)(5𝑥 + 2)


a) 2(𝑥 + 𝑧) − 𝑥(𝑥 + 𝑧) c) 𝑥(𝑧 + 8) − (𝑧 + 8)

e) 𝑛2 + 2𝑛 − 𝑚𝑛 − 2𝑚

b) 𝑥(𝑥 + 7) + 4(𝑥 + 7) d) 𝑥(𝑦 − 2) − 3(2 − 𝑦) f) 10𝑦 + 2𝑧𝑦 + 5𝑥 + 𝑧𝑥

V. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Aunque ya se ha desarrollado factorizaciones de trinomios, la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es un caso más general que

puede reconocer porque el término cuadrático tiene un coeficiente diferente de 1. En los siguientes ejemplos se

explicará la metodología para factorizar estos trinomios.

EJEMPLOS: Factorice las siguientes expresiones algebraicas.

a) 12𝑥2 − 7𝑥 + 1 Solución: Primero debe comprobar que el trinomio esté ordenado en forma descendente, para después hacer dos consideraciones: 12𝑥2 − 7𝑥 + 1 =

𝑥(2 + 𝑦) −3(2 + 𝑦)

1. Elegir los coeficientes de los extremos y

multiplicarlos:

(+12)(+1) = +12

2. Considerar el coeficiente del término lineal:

−7

Observe que esta pareja de números es −4 y −3:

(−4)(−3) = +12 (−4) + (−3) = −7

Entonces, debe encontrar una pareja de números que

simultáneamente satisfaga que: El producto sea: +12

La suma sea: −7


Por tanto, debe descomponer el término lineal −7𝑥 en −4𝑥 − 3𝑥.

12𝑥2 − 7𝑥 + 1 = 12𝑥2 − 4𝑥 − 3𝑥 + 1 Ahora, puede factorizar por agrupación:

= 4𝑥(3𝑥 − 1) − (3𝑥 − 1) = (4𝑥 − 1)(3𝑥 − 1)

Por lo tanto, la factorización del trinomio es:

12𝑥2 − 7𝑥 + 1 = (4𝑥 − 1)(3𝑥 − 1)

PRACTICA FACTORIZANDO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

a) 4𝑥2 + 8𝑥 + 3

c) 5𝑦2 − 8𝑦 + 3 e) 3𝑥2 − 𝑥 − 2

b) 6𝑥2 + 5𝑥 − 4 d) 8𝑥2 − 10𝑥 + 3 f) 6𝑥2 − 𝑥 − 2

3.4 Fracciones algebraicas

Anteriormente en la sección 3.1, se desarrolló el estudio de operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación

y división. Ahora, las mismas operaciones se desarrollarán pero con expresiones algebraicas, siguiendo las mismas

normas aplicadas en aritmética bajo la adaptación del álgebra.

SUMA Y RESTA

EJEMPLO: Exprese las sumas como una sola expresión.

CASO I. Mismo denominador

a) 3

4𝑥3+1−

2𝑥+8

4𝑥3+1+

6𝑥2+𝑥

4𝑥3+1

Solución: Al igual que en aritmética, si los sumandos comparten el mismo denominador, entonces la suma se hará sólo con los numeradores.

3

4𝑥3 + 1−

2𝑥 + 8

4𝑥3 + 1+

6𝑥2 + 𝑥

4𝑥3 + 1=

3 − (2𝑥 + 8) + (6𝑥2 + 𝑥)

4𝑥3 + 1

=3 − 2𝑥 − 8 + 6𝑥2 + 𝑥

4𝑥3 + 1

=6𝑥2 − 𝑥 − 5

4𝑥3 + 1

Mismo denominador

El denominador de la solución será el mismo que el de

las fracciones individuales.


CASO II. Diferente denominador

b) 𝑥3−2𝑥

2𝑥5𝑦+

2𝑥+7𝑦2

8𝑥2𝑦3 −6𝑥−2

3𝑥4𝑦6

Solución: Para resolver esta operación con denominadores distintos se tienen dos opciones:

1. Obtener un común denominador por medio del producto de todos los denominadores. 2. Obtener un mínimo común denominador.

Este ejemplo se resolverá por la segunda opción ya que los cálculos y resultados bajo esta condición son más elegantes. Entonces, ¿cuál es el denominador de la solución? 𝑥3 − 2𝑥

2𝑥5𝑦+

2𝑥 + 7𝑦2

8𝑥2𝑦3−

6𝑥 − 2

3𝑥4𝑦6=

+ −

24 𝑥5𝑦6

𝑥3 − 2𝑥

2𝑥5𝑦+

2𝑥 + 7𝑦2

8𝑥2𝑦3−

6𝑥 − 2

3𝑥4𝑦6=

12𝑦5(𝑥3 − 2𝑥) + 3𝑥3𝑦3(2𝑥 + 7𝑦2) − 8𝑥(6𝑥 − 2)

24 𝑥5𝑦6

=12𝑥3𝑦5 − 24𝑥𝑦5 + 6𝑥4𝑦3 + 21𝑥3𝑦5 − 48𝑥2 + 16𝑥

24 𝑥5𝑦6

=6𝑥4𝑦3 + 33𝑥3𝑦5 − 48𝑥2 − 24𝑥𝑦5 + 16𝑥

24 𝑥5𝑦6


a) −6𝑥−3

4𝑥4−5+

12𝑥+2

4𝑥4−5

c) 2+3𝑥2

3𝑥2 +1−5𝑦2

15𝑦2 −2

5𝑥𝑦 f)

2

𝑥+

1

𝑥2 −3

𝑥3 −1

𝑥−2+

5

(𝑥−2)2

b) 2𝑥3

(𝑥2+1)2 +4𝑥−3

(𝑥2+1)2 −2𝑥3+5𝑥

(𝑥2+1)2 e) 4−2𝑥+𝑥2

2+𝑥− 2 − 𝑥 g)

2

(𝑥+1)2 +3

𝑥+1− 2𝑥2

Si los denominadores de las fracciones constan de un

solo término se eligen las bases de mayor exponente.

El coeficiente del denominador solución se obtiene como en

aritmética, mediante el 𝑚. 𝑐. 𝑚.

2 8 3 2 1 4 3 2 1 2 3 2 1 1 3 3 1 1 1

𝑚. 𝑐. 𝑚. = 2 × 2 × 2 × 3

= 24

MU

LTIP

LIC

AR

DIVIDIR


MULTIPLICACIÓN

El producto de fracciones algebraicas se realiza de forma similar que en aritmética: producto de numeradores y

producto de denominadores. Si el procedimiento involucra expresiones factorizables y lo realiza, simplificará el

producto.

EJEMPLO: Resolver las siguientes operaciones.

a) (2

𝑥−3) (

−8𝑥

𝑥+3)

Solución:

(2

𝑥 − 3) (

−8𝑥

𝑥 + 3) =

−16𝑥

(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)

Observe que el denominador es el producto de binomios conjugados, por lo tanto:

=−16𝑥

𝑥2 − 9

b) (5

𝑥+2) (

𝑥2+5𝑥+6

𝑥+3)

Solución: El algoritmo para llegar a la solución no es único y depende de la estrategia que quiera implementar. En este ejemplo observe que 𝑥2 + 5𝑥 + 6 puede factorizarse y obtener (𝑥 + 2)(𝑥 + 3), de esta manera puede evaluar rápidamente el producto.

(5

𝑥 + 2) (

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑥 + 3) =

5

𝑥 + 2[(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

𝑥 + 3]

= 5

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES, FACTORIZA CUANDO SEA NECESARIO.

a) (−7

𝑥−5) (

−2

𝑥+5)

d) (−−8

𝑥−9) (

𝑥−9

𝑥+9) g) (

6𝑥2−18𝑥+12

6𝑥−6) (

𝑥+2

𝑥2−4)

b) (3𝑥

4𝑥+1) (

−6𝑥

4𝑥−1)

e) (4𝑥2−2𝑥

2𝑥5 ) (𝑥

2𝑥−1) h) (

𝑥

5𝑥3−10𝑥2−15𝑥) (

𝑥−3

𝑥−1)

c) (6𝑥+2

5𝑥−3) (

5𝑥+3

6𝑥−2)

−1 f) (

𝑥2−8𝑥−20

3𝑥4 ) (−3

𝑥−10) i) (

𝑥2−4𝑥−12

𝑥2−2𝑥−24) (

𝑥2−𝑥−20

𝑥2−3𝑥−10)


DIVISIÓN

Al igual que en aritmética, evaluar divisiones de fracciones algebraicas, consiste en el producto cruzado de

numerador y denominador. Observe los siguientes ejemplos, donde se realiza factorización de ciertas expresiones

para facilitar el procedimiento y simplificar el resultado.


a) 𝑥2−9

𝑥−3÷

𝑥2+7𝑥+12

𝑥+2

Solución: La división consiste en productos cruzados, de la forma siguiente:

𝑥2 − 9

𝑥 − 3÷

𝑥2 + 7𝑥 + 12

𝑥 + 2=

(𝑥2 − 9)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥2 + 7𝑥 + 12)

Observe que hay expresiones que pueden ser factorizadas, y que para este caso resulta pertinente efectuarlas.

=(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(𝑥 + 3)

De esta manera, la división se simplifica a:

=𝑥 + 2

𝑥 + 4

PRACTICA REALIZANDO LAS SIGUIENTES OPERACIONES, FACTORIZA CUANDO SEA NECESARIO.

a) 𝑥2−5𝑥

𝑥+2÷

3𝑥3−15𝑥2

𝑥+2

d) 𝑥2+4𝑥−12

3÷

𝑥2+7𝑥+6

𝑥+1

b) 𝑥2−4𝑥+4

𝑥−2÷

𝑥2+𝑥−6

𝑥+3

e) 𝑥2+6𝑥+5

𝑥2−25÷

𝑥+1

𝑥−5+ 1

c) 2𝑥3 ÷8𝑥5+2𝑥3

3 f)

2

2𝑥2−14÷

𝑥2−16

𝑥2−11𝑥+28

𝑥2 − 9

𝑥2 + 7𝑥 + 12




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 1. Suma y resta de expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva las siguientes operaciones.

1. De la suma de 4𝑎2 + 8𝑎𝑏 − 5𝑏2 con 𝑎2 + 6𝑏2 − 7𝑎𝑏 restar 4𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2.

2. De la suma de 𝑥4 − 6𝑥2𝑦2 + 𝑦4 con 8𝑥2𝑦2 + 31𝑦4 restar 𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 32𝑦4.

3. De la suma de 𝑛4 − 6𝑛5 + 𝑛2 con 7𝑛3 − 8𝑛 − 𝑛2 − 6 restar −3𝑛4 − 𝑛6 − 8𝑛3 + 19.


4. Restar 5𝑎4𝑏 − 7𝑎2𝑏3 + 𝑏5 de la suma de 𝑎5 − 3𝑎3𝑏2 + 6𝑎𝑏4 con 22𝑎4𝑏 + 10𝑎3𝑏2 − 11𝑎𝑏4 − 𝑏5.

5. Restar 𝑎 − 𝑏 − 2𝑐 de la suma de: 3𝑎 − 4𝑏 + 5𝑐; −7𝑎 + 8𝑏 − 11; −𝑎 + 2𝑏 − 7𝑐.

6. Restar de la suma de 𝑚4 + 10𝑚2𝑛2 + 15𝑛4 con −11𝑚3𝑛 − 14𝑚2𝑛2 − 3𝑚𝑛3 + 𝑛4 de 6𝑚4 + 7𝑚2𝑛2 +8𝑚𝑛3 − 𝑛4.

7. De la suma de 𝑥2 + 5 con 2𝑥 − 6 restar la suma de 𝑥 − 4 con −𝑥 + 6.


8. Restar de la suma de 1

3𝑎3 +

1

8𝑎2 +

1

5 con −

3

4𝑎 −

3

5𝑎2 −

1

10 de la suma de

1

4𝑎2 −

2

3𝑎 +

1

4 con −

29

40𝑎2 +

1

3𝑎3 −

1

8.

9. De la suma de 3

5𝑥2 −

5

6𝑥𝑦 +

2

9𝑦2 con −

3

2𝑥𝑦 −

1

3𝑦2 +

1

4 restar la suma de

2

9𝑥2 −

2

3𝑦2 +

1

9𝑥𝑦 con

17

45𝑥2 −

22

9𝑥𝑦 −

3

2𝑦2 −

1

2.

10. Restar de la suma de 2

7𝑎3 −

1

5𝑏3 con −

3

4𝑎2𝑏 +

3

8𝑎𝑏2 +

1

10𝑏3 de la suma de

1

2𝑎2𝑏 +

1

4𝑎𝑏2 +

1

5 con

−5

4𝑎2𝑏 +

1

8𝑎𝑏2 −

3

2𝑏3 −

1

2.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 2. Signos de agrupación en expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación reduciendo términos semejantes.

1. 𝑎 + {(−2𝑎 + 𝑏) − (−𝑎 + 𝑏 − 𝑐) + 𝑎} =

2. 2𝑥 + [−5𝑥 − (−2𝑦 + {−𝑥 + 𝑦})] =

3. −(𝑎 + 𝑏) + [−3𝑎 + 𝑏 − {−2𝑎 + 𝑏 − (𝑎 − 𝑏)} + 2𝑎] =


4. 7𝑚2 − {−[𝑚2 + 3𝑛 − (5 − 𝑛) − (−3 + 𝑚2)]} − (2𝑛 + 3) =

5. −[−(−𝑎)] − [+(−𝑎)] + {−[−𝑏 + 𝑐] − [+(−𝑐)]} =




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 3. Multiplicación de expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Realice las siguientes multiplicaciones.

1. 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 por 𝑥2 − 2𝑥 + 5.

2. 𝑥2 + 1 + 𝑥 por 𝑥2 − 𝑥 − 1.

3. 2 − 3𝑥2 + 𝑥4 por 𝑥2 − 2𝑥 + 3.

4. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 por 𝑥𝑦 − 𝑥2 + 3𝑦2.


5. 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 4𝑎𝑏2 por 𝑎2𝑏 − 2𝑎𝑏2 − 10𝑏3.

6. 8𝑥3 − 9𝑦3 + 6𝑥𝑦2 − 12𝑥2𝑦 por 2𝑥 + 3𝑦.

7. 𝑦2 − 2𝑦 + 1 por 𝑦4 − 2𝑦2 + 2.

8. 𝑚4 − 3𝑚2 + 4 por 3𝑚2 − 2𝑚 + 1.


9. 5𝑎4 − 3𝑎 + 2𝑎2 − 4𝑎3 − 1 por 𝑎4 − 2𝑎2 + 2.

10. 2

5𝑚2 +

1

3𝑚𝑛 −

1

2𝑛2 por

3

2𝑚2 + 2𝑛2 − 𝑚𝑛.

11. 3

8𝑥2 −

1

4𝑥 −

2

5 por 2𝑥3 −

1

3𝑥 + 2.

12. 1

3𝑎𝑥 −

1

2𝑥2 +

3

2𝑎2 por

3

2𝑥2 − 𝑎𝑥 +

2

3𝑎2.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 4. División de expresiones algebraicas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Realice las siguientes divisiones.

1. 4𝑥8 − 10𝑥6 − 5𝑥4 entre 2𝑥3.

2. 8𝑚9𝑛2 − 10𝑚7𝑛4 − 20𝑚5𝑛6 + 12𝑚3𝑛8 entre 2𝑚2𝑛.

3. 1

4𝑚2 −

2

3𝑚3𝑛 +

3

8𝑚2𝑛2 entre

1

4𝑚2.


4. 𝑚2 − 11𝑚 + 30 entre 𝑚 − 6.

5. 𝑥2 + 15 − 8𝑥 entre 3 − 𝑥.

6. 15𝑥2 − 8𝑦2 + 22𝑥𝑦 entre 2𝑦 − 3𝑥.


7. 𝑥3 − 𝑦3 entre 𝑥 − 𝑦.

8. 𝑥4 − 9𝑥2 + 3 + 𝑥 entre 𝑥 + 3.

9. 𝑥4 − 𝑥2 − 2𝑥 − 1 entre 𝑥2 − 𝑥 − 1.


10. 𝑥6 + 6𝑥3 − 2𝑥5 − 7𝑥2 − 4𝑥 + 6 entre 𝑥4 − 3𝑥2 + 2.

11. 𝑚6 + 𝑚5 − 4𝑚4 − 4𝑚 + 𝑚2 − 1 entre 𝑚3 + 𝑚2 − 4𝑚 − 1.

12. 1

6𝑎2 +

5

36𝑎𝑏 −

1

6𝑏2 entre

1

3𝑎 +

1

2𝑏.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 5. Problemas de razonamiento. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas.

1. Durante su primer año de operación, una fábrica de zapatos deportivos obtuvo ingresos calculados en 𝐼 =−0.25𝑥2 + 120𝑥 + 130 (1 ↔ 1000 pesos) al vender al mayoreo en 𝑥 días, 𝑥 + 10 pares de tenis (1 ↔ 100). a) Halla una expresión para el precio promedio de cada par de zapatos. b) Simplifica y obtén su precio (cientos de pesos) al concluir el año.

2. a) Halla un modelo simple para la rapidez con que trabaja una freidora de papas de una empresa, si con 𝑥 kilos de papa cruda en 2𝑥 − 1 minutos produce 𝑃 = 1800𝑥2 − 900𝑥 + 1 gramos de papa frita. b) Calcula la cantidad de papa procesada, el tiempo empleado y la rapidez cuando 𝑥 = 1, 10, 200 kg.




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 6. Productos notables Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Desarrolla los siguientes productos notables.

1. (𝑚2𝑛2 +1

3) (𝑚2𝑛2 −

1

3) 2. (3𝑥 + 2𝑦)2

3. (𝑥 − 9)2 4. (2𝑥 − 1)2

5. (3𝑥 − 2)3 6. (𝑥 + 5)3


7. (−6𝑥 + 4)2 8. (−𝑥 − 12)2

9. (8𝑥 − 7)2 10. (3𝑥 + 2)(3𝑥 + 1)

11. (𝑥 + 6)(𝑥 − 7) 12. (7𝑥 + 1)(7𝑥 − 1)

13. (4𝑥 + 5)(5 − 4𝑥) 14. (𝑥 − 3𝑦 − 8)2


15. (6𝑘 − 8𝑚)2 16. (

2

3𝑎 +

5

4𝑏)

2

17. (−2𝑘 + 5)2 18. (5𝑥 − 8𝑦 − 6𝑧)2

19. (4𝑤2 + 7𝑧3)(4𝑤2 − 7𝑧3) 20. (1

2𝑥 +

3

5𝑦) (

1

2𝑥 −

3

5𝑦)

21. (10𝑟2𝑡3𝑣4 − 12𝑠2𝑢5𝑤)(12𝑠2𝑢5𝑤 + 10𝑟2𝑡3𝑣4) 22. (3𝑧 − 6)(3𝑧 + 6)


23. (7

4𝑥 − 5) (

7

4𝑥 + 1) 24. (−𝑘 + 5)(−𝑘 + 12)

25. (1

3𝑎 +

2

5𝑏)

3

26. (4𝑥3 − 8𝑦2)3

27. (2𝑎 − 6)(2𝑎 + 6) 28. (4𝑘2 + 5𝑗2)2




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 7. Problemas de productos notables. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva siguientes problemas. Realice un dibujo que facilite su comprensión.

1. a) Escribe una expresión para el volumen de agua contenida en un tinaco de radio 𝑥 − 15, si el agua alcanza una altura de 𝑥 + 15. b) ¿Es este el volumen igual a 𝜋(𝑥 − 15)(𝑥2 − 225)? c) ¿Cuál es el diámetro del tinaco y el volumen del agua si 𝑥 = 60 cm?

2. a) Obtén 5 ternas pitagóricas. b) Generaliza el proceso.

3. a) En un parque cuadrado que mide 100 m de cada lado, se van a construir dos andadores en el centro, perpendiculares entre sí, con un ancho 𝑥. ¿Cuál es el área del resto del parque?

𝑥

10

0 m


4. ¿Cuál de los productos notables justifica que 26 × 34 = 302 − 42?

5. El área de un rectángulo es 𝑥2 + 7𝑥 +12. ¿Cuánto mide el largo y ancho?

6. Juan afirma que 43 × 47 = 402 + (3 + 7) × 40 + 3 × 7. ¿Éste cálculo aritmético es una aplicación de qué producto notable?


7. El ingreso por venta de trucha preparada en el Estado de México puede obtenerse con 𝐼 = 120𝑥 − 0.04𝑥2 =𝑥𝑝, en cientos, donde 𝑥 es la cantidad de truchas vendidas y 𝑝 el precio promedio de cada una. a) ¿Cuál es la expresión que indica el precio por trucha? b) ¿Qué ingreso se obtiene si 𝑝 = 60 pesos?

8. Encuentra una expresión algebraica para los lados del cuadrado, y otra para su perímetro, si su área es igual a 9𝑥2 − 30𝑥 + 25.


9. La guacamaya roja es una especie en peligro de extinción debido a la desaparición de su hábitat y a su lento proceso de reproducción: una pareja procrea uno o dos polluelos que tardan 2 años en dejar a sus padres. El hábitat de estos animales en el parque ZooMat, en el estado de Chiapas, de 2002 a 2006, puede modelarse (en m2) con −45𝑥2 − 45𝑥 + 8190 (𝑥 = 0 ↔ 2002). Si el año 2002 habían 14 guacamayas rojas, y cada año el total aumenta en 1. a) Halla un modelo para la dimensión del hábitat por guacamaya cada año. b) Determine el tamaño del hábitat individual en 2002 y en 2006. SUGERENCIA: Hábitat total =Cantidad de guacamayas × hábitat individual.

10. Si el precio semanal por una taza de chocolate fue 𝑝 = 10 −𝑥

10 y 𝑇 = (−

1

5) (𝑥2 − 30𝑥 − 7000) es el ingreso

por la venta semanal. a) ¿Cuántas tazas de chocolate se vendieron en la semana 𝑥? b) ¿Y en las semanas 0, 1, 2, 10 y 12? c) ¿Cuál fue, en esas semanas, el precio de cada taza de chocolate?




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 8. Factorización Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Factorizar o descomponer en factores

1. 15𝑦3 + 20𝑦2 − 5𝑦 2. 93𝑎3𝑥2𝑦 − 62𝑎2𝑥3𝑦2 − 124𝑎2𝑥

3. 𝑎2𝑥2 − 3𝑏𝑥2 + 𝑎2𝑦2 − 3𝑏𝑦2 4. 3𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑏𝑥 − 6𝑎 + 3𝑎𝑦 + 4𝑏

5. 3𝑎2 − 7𝑏2𝑥 + 3𝑎𝑥 − 7𝑎𝑏2 6. 3𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 9𝑎𝑏2 − 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 3𝑏2


7. 1 + 49𝑎2 − 14𝑎 8. 16𝑎2 + 24𝑎𝑏 + 9𝑏2

9. 36𝑚2 + 96𝑚𝑛 + 64𝑛2 10. 𝑐2

16−

1

2+

1

𝑐2

11. 𝑥2

25−

𝑥𝑦

5+

𝑦2

4 12. 36𝑥6 + 60𝑥3𝑦2 + 25𝑦4

13. 49𝑎2𝑏2 − 14𝑎𝑏 + 1 14. 100𝑥2 + 20𝑥 + 1




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 9. Factorización Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Factorizar o descomponer en factores.

1. 36𝑥2 − 4𝑦2 2. 16𝑥4 − 4𝑦6

3. 81

49𝑥16 −

25

36𝑦8 4. 196𝑥2𝑦4 − 225𝑧12

5. 4𝑥2 + 25𝑦2 − 36 + 20𝑥𝑦 6. 25 − 𝑥2 − 16𝑦2 + 8𝑥𝑦


7. 28 + 𝑎2 − 11𝑎 8. 𝑥2 − 17𝑥 − 60

9. 𝑚2 − 2𝑚 − 168 10. 𝑥2 + 12𝑥 − 364

11. 5𝑥2 + 20𝑥𝑦 + 15𝑦2 12. 9𝑎2 − 12𝑎 − 5

13. 21𝑟2 − 38𝑟𝑠 + 5𝑠2 14. 16𝑥2 − 2𝑥 + 8




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 10. Problemas de factorización. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva siguientes problemas. Realice un dibujo que facilite su comprensión.

1. ¿Cuáles son las medidas de los lados de un rectángulo si su área es 𝑥2 + 𝑥𝑦?

2. El área de un rectángulo es 𝑥2 + 7𝑥 + 12. ¿Cuánto mide de largo y ancho?

3. El área de un cuadrado es 𝑥2 + 6𝑥 + 9 cm2. ¿Cuánto mide por lado?




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 11. Suma y resta de fracciones algebraicas Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Exprese las sumas como una sola expresión.

𝟏. 2

3(2𝑥 − 1)+

7

6(𝑥 + 1)−

1

2(𝑥 − 1)

𝟐. −12

2𝑥 − 1+

19

3𝑥 − 1

𝟑. 𝑥

10(𝑥2 + 1)+

1

20(𝑥 − 1)+

1

20(𝑥 + 1)


𝟒. 1

𝑥−

𝑥

𝑥2 + 4

𝟓. 3 +29

𝑥 − 3−

13

𝑥 − 2)

𝟔. −1

7(𝑥 − 2)+

37

7(2𝑥 + 3)

𝟕. −10

𝑥+

13

𝑥 − 1−

12

(𝑥 − 1)2+

5

(𝑥 − 1)3


𝟖. 1 −1

𝑥+

3

5(𝑥 − 1)−

6

5(2𝑥 + 3)

𝟗. 3

(𝑥 + 1)2−

14

(𝑥 + 1)3+

16

(𝑥 + 1)4

𝟏𝟎. 29

𝑥 + 1−

101

𝑥 + 2−

18𝑥 − 1

3𝑥2 − 𝑥 + 1

𝟏𝟏. 𝑎

3𝑏2𝑐−

2𝑏

9𝑎𝑐2+

5𝑐

18𝑎2𝑏


𝟏𝟐. 1

𝑥−

3 − 2𝑥

2𝑥 − 1+

1

𝑥(2𝑥 − 1)

𝟏𝟑. 10𝑏2 − 𝑎𝑏

𝑎(𝑎2 − 4𝑏2)−

1

𝑎 − 2𝑏+

2

𝑎

𝟏𝟒. 2𝑎3 + 54𝑏3

(2𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 3𝑏)+

8𝑎𝑏 − 19𝑏2

2𝑎 − 𝑏− 𝑎 − 𝑏

𝟏𝟓. 2𝑟

𝑟2 − 𝑠2−

4𝑟𝑠

(𝑟 + 𝑠)2(𝑟 − 𝑠)−

𝑟 − 𝑠

(𝑟 + 𝑠)2




SEGUNDO PARCIAL TRABAJO 12. Operaciones con fracciones Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.

𝟏.

12 + ℎ

−12

ℎ

𝟐.

1𝑥 +

1𝑦

𝑥2 − 𝑦−2

𝟑. 2 −

7𝑥 +

3𝑥2

2 +3𝑥 −

2𝑥2


𝟒. 𝑥 + 1 +

𝑥 + 1𝑥 − 1

𝑥 −2

𝑥 − 1

𝟓. 1 +

4𝑏𝑎 − 𝑏

3 +8𝑎𝑏

𝑎2 − 𝑏2

𝟔.

13𝑥 − 2𝑦 +

12𝑥 + 3𝑦

2𝑥 + 3𝑦3𝑥 − 2𝑦 + 1

TERCER PARCIAL

Contenido

3. Álgebra (continuación)

3.5 Ecuaciones lineales .......................................................................................................................................... 117

3.6 Sistemas de ecuaciones lineales...................................................................................................................... 120

3.7 Ecuaciones cuadráticas.................................................................................................................................... 124

ACTIVIDADES

4. Introducción a las funciones ................................................................................................................................. 151

4.1 Gráficas por medio de tabulación ................................................................................................................... 152

4.2 Introducción a las desigualdades .................................................................................................................... 155

ACTIVIDADES


3.5 Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una igualdad de dos expresiones con una o más variables de exponente 1. Las variables se

relacionan únicamente con sumas y restas. Por ejemplo:

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

EJEMPLOS: Resolver las siguientes ecuaciones.

a) 5𝑥 +2

3= −2

Solución: Al resolver se busca despejar la incógnita existente, en este caso 𝑥. En el lado derecho de la ecuación sólo hay un término, mientras que en el lado izquierdo hay dos de los cuales uno contiene la incógnita.

5𝑥 +2

3 = −2

−2

3+ 5𝑥 +

2

3 = −2 −

2

3

5𝑥 = −2 −2

3

5𝑥 = −8

3

1

5(5𝑥 = −

8

3)

𝑥 = −8

15

LADO IZQUIERO LADO DERECHO

Primero, eliminar el término que no tiene la incógnita 𝑥 del lado izquierdo. Para ello

necesita agregarse −2

3 en ambos de la ecuación para no afectar la igualdad.

Se eliminan

Observe que en el lado derecho quedó una operación pendiente, la cual debe realizarse.

Para seguir despejando dividir toda la ecuación entre 5, o bien multiplicarla por 1

5.

En el lado izquierdo sólo está el término que contiene la incógnita, aunque aún está

multiplicada por 5.

2𝑥 − 5 = 10 3𝑥 − 2𝑦 = 7

Ecuación lineal con una variable. Ecuación lineal dos variables.

Si tiene una incógnita Si tiene dos o más variables

Se despeja la incógnita. En una ecuación:

se despeja una variable quedando

en término de las otras variables.

En dos o más ecuaciones:

se resuelve un sistema de

ecuaciones.

¿Qué significa resolver una ecuación lineal?


b) −2(𝑤 − 4) = 6 +2

3(𝑤 + 1)

Solución: Resolver esta ecuación implica despejar la incógnita 𝑤. Una diferencia con el inciso anterior es que la incógnita está en ambos lados de la ecuación.

−2(𝑤 − 4) = 6 +2

3(𝑤 + 1)

−2𝑤 + 8 = 6 +2

3𝑤 +

2

3

−2𝑤 + 8 = 2

3𝑤 +

20

3

−8 − 2𝑤 + 8 = 2

3𝑤 +

20

3− 8

−2

3𝑤 − 2𝑤 =

2

3𝑤 −

4

3−

2

3𝑤

−8

3𝑤 = −

4

3

−3

8(−

8

3𝑤 = −

4

3)

𝑤 = −4

3(−

3

8)

𝑤 = 1

2

PRACTICA RESOLVIENDO LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES.

a) 7𝑥 = 4 d) −2𝑥 − 7 = 5 g) −7 − 2𝑥 = 6 − 4𝑥 b) 6𝑥 − 1 = 0 e) −

4

3+ 𝑥 =

2

3 h) −5 − 2(𝑥 − 3) = 6(𝑥 + 2) + 5

c) 8𝑥 + 3 = 5 f) 3

5− 4𝑥 = −

8

7 i)

4

3−

5

7(2𝑥 − 7) = 2𝑥 − 3(𝑥 + 1)


Observe que la incógnita está dentro de un signo de agrupación. Puede comenzar

quitándolos, realizando el producto indicado.

Puede ir simplificando expresiones como 6 +2

3

La finalidad es que sólo en un lado de la ecuación esté la incógnita, entonces sumará

o restará en ambos lados de la igualdad términos que conlleven a tener a 𝑤 en un

solo lado. En este caso, primero se agregará −8.

Se eliminan Realizar la resta

Se eliminan Realizar la

operación

Por último, multiplicar toda la ecuación por −3

8, esto hará que el coeficiente de 𝑤

sea 1.

Después, se agrega −2

3𝑤.


ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

EJEMPLOS: Resolver las siguientes ecuaciones.

a) 2𝑥 − 𝑦 = 5 Solución: Esta es una ecuación con dos incógnitas, sin importar que variable se despeje, ésta quedará en términos de la otra, teniendo un número infinito de soluciones. Con la finalidad de dar un sentido gráfico, este ejemplo se resolverá para 𝑦. 2𝑥 − 𝑦 = 5 −2𝑥 + 2𝑥 − 𝑦 = 5 − 2𝑥 −𝑦 = 5 − 2𝑥 −1(−𝑦 = 5 − 2𝑥) 𝑦 = 2𝑥 − 5 Este resultado representa un número infinito de soluciones porque puede asignar cualquier número a 𝑥, mientras que 𝑦 dependerá de tal valor para generar un sinfín de parejas de valores que satisfagan 𝑦 = 2𝑥 − 5.

PRACTICA RESOLVIENDO LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES PARA LA VARIABLE 𝑦.

a) −5𝑥 − 𝑦 = −9

c) 1

4𝑦 − 2 = 3𝑥 e)

3𝑦−1

2= 𝑥 + 2𝑦

b) 8𝑥 − 2 = 𝑦 + 2𝑥

d) 2𝑦 + 3𝑥 = −5𝑦 + 1 f) 6𝑦 − 2𝑥 = 1 − 3(𝑥 − 𝑦)


En ambos lados de la ecuación agregar

−2𝑥.

Se eliminan

El resultado siempre debe expresar la

variable positiva. En este caso, basta con

multiplicar toda la ecuación por −1.

Representación gráfica de la solución

𝑦 = 2𝑥 − 5

Intersección con el eje 𝑦

Una ecuación lineal siempre se

representará gráficamente por una recta.

Una ecuación de dos variables podrá

escribirse en la forma:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

donde 𝑏 representa la intersección de la

recta con el eje 𝑦 y 𝑚 representa su

pendiente. Cualquier pareja de puntos sobre la recta

satisfacen 𝑦 = 2𝑥 − 5


3.6 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con variables comunes. Como mínimo se necesita el mismo

número de ecuaciones que de incógnitas para formar un sistema con posible solución. Existen diferentes métodos

de solución tales como: método de suma y resta, de igualación, de sustitución, gráfico, entre otros.

MÉTODO DE SUMA Y RESTA

EJEMPLO: Resuelva el siguiente problema.

Una empresa ha gastado 1500 euros en comprar un celular a cada uno de sus 25 empleados. Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 euros y otro a 50 euros. ¿Cuántos celulares de cada modelo compró? Solución: Definiendo variables.- Normalmente puede distinguir las variables de la pregunta del problema, en este caso: 𝑥1: Número de celulares con costo unitario de 75 euros. 𝑥2: Número de celulares con costo unitario de 50 euros.

Planteamiento de ecuaciones.- Ec. 1 𝑥1 + 𝑥2 = 25 Ec. 2 75𝑥1 + 50𝑥2 = 1500 Método de suma y resta.- Consiste en sumar o restar las dos ecuaciones, de tal forma que una de las incógnitas se elimine. Para ello, si es necesario debe multiplicar las ecuaciones por números idóneos que hagan que se cancelen las variables 75(𝑥1 + 𝑥2 = 25) 75𝑥1 + 50𝑥2 = 1500 Una vez encontrado el valor de una incógnita, sustituirla en una de las ecuaciones establecidas inicialmente, en este caso se elige la Ec. 1. 𝑥1 + 𝑥2 = 25 𝑥1 + 15 = 25

PRACTICA RESOLVIENDO LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

a) 2𝑥1 + 3𝑥2 = −1 3𝑥1 + 4𝑥2 = 0

b) 3𝑥 + 2𝑦 = 6 5𝑥 + 3𝑦 = 3

Ecuación del total de celulares comprados.

Ecuación del costo total (en euros) de los celulares comprados.

−

En este caso, se multiplicará la Ec. 1

por 75.

Recuerde verificar que las

incógnitas estén alineadas para que

puedan sumarse o restarse

satisfactoriamente.

75𝑥1 + 75𝑥2 = 1875

75𝑥1 + 50𝑥2 = 1500

75𝑥1 + 75𝑥2 = 1875

75𝑥1 + 50𝑥2 = 1500

25𝑥2 = 375

𝑥2 =375

25

𝑥2 = 15

En este caso se restan para poder

eliminar 𝑥1.

Después sólo despeje la variable.

𝑥2 = 15

𝑥1 = 25 − 15

𝑥1 = 10

Conclusión.-

Se compraron 10 celulares con costo

unitario de 75 euros y 15 con costo de

50 euros.


MÉTODO DE IGUALACIÓN


En un almacén hay botellas de aceite de 5 litros y 2 litros. En total hay 1000 litros de aceite y 323 botellas. ¿Cuántas botellas de cada tipo hay? Solución: Definiendo variables.- 𝑥1: Número de botellas de 5 litros. 𝑥2: Número de botellas de 2 litros. Planteamiento de ecuaciones.- Ec. 1 Ec. 2 Método de igualación.- Consiste en despejar de las dos ecuaciones la misma incógnita e igualarlas. En este ejemplo se despejará 𝑥1.

Para encontrar el valor de la incógnita restante, sustituir 𝑥2 en una de las ecuaciones originales, o bien, en alguna de las dos que se despejaron, lo cual se empleará en este ejemplo. De la ecuación despejada proveniente de la ecuación 1, sustituir


a) 3𝑥1 + 2𝑥2 = 7

4𝑥1 − 3𝑥2 = −2 b)

𝑥 + 3𝑦 = 10 3𝑥 − 𝑦 = 5𝑦

𝑥1 + 𝑥2 = 323

5𝑥1 + 2𝑥2 = 1000

Ecuación del total de botellas existentes.

Ecuación del total litros de aceite.

Ec. 1 𝑥1 + 𝑥2 = 323

Despejando 𝑥1 = 323 − 𝑥2

Ec. 2 5𝑥1 + 2𝑥2 = 1000

Despejando 5𝑥1 = 1000 − 2𝑥2

𝑥1 = 200 −2

5𝑥2

Igualando

𝑥1 = 𝑥1

323 − 𝑥2 = 200 −2

5𝑥2

Resolviendo

2

5𝑥2 − 𝑥2 = 200 − 323

−3

5𝑥2 = −123

𝑥2 = −123 (−5

3)

𝑥2 = 205

𝑥1 = 323 − 𝑥2 𝑥2 = 205

𝑥1 = 323 − 205

𝑥1 = 118

Conclusión.-

Hay 118 botellas con 5 litros de aceite y

205 botellas con 2 litros.


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN


Una fábrica tiene máquinas de tipo A y máquinas de tipo B. La semana pasada se dio mantenimiento a 5 del tipo A y a 4 del tipo B por un costo de $3405. La semana anterior se pagó $3135 por dar mantenimiento a 3 máquinas de tipo A y 5 de tipo B. ¿Cuál es el costo de mantenimiento de las máquinas de cada tipo? Solución: Definiendo variables.- 𝑥1 (pesos): Costo del mantenimiento de cada máquina tipo A. 𝑥2 (pesos): Costo del mantenimiento de cada máquina tipo B. Planteamiento de ecuaciones.- Ec. 1 Ec. 2 Método de sustitución.- Consiste en despejar una incógnita de una ecuación para sustituirla en otra ecuación. En este ejemplo se despejará 𝑥1 de la Ec. 1.

Ahora, sustituir 𝑥1 en Ec. 2 y despejar 𝑥2. Para encontrar el valor de la incógnita faltante, se sustituye 𝑥2 en alguna de las ecuaciones originales, pero por sencillez puede sustituirla en la Ec. 1a.


a) 4𝑥1 − 2𝑥2 = 10 3𝑥1 + 5𝑥2 = 14

b) 9𝑥 − 3𝑦 = 18

2𝑥 + 8𝑦 = −48

5𝑥1 + 4𝑥2 = 3405

5𝑥1 = 3405 − 4𝑥2

Ec. 1a 𝑥1 = 681 −4

5𝑥2

5𝑥1 + 4𝑥2 = 3405

3𝑥1 + 5𝑥2 = 3135

Ecuación del costo (pesos) de mantenimiento en la primera

semana. Ecuación del costo (pesos) de mantenimiento en la segunda

semana.

3𝑥1 + 5𝑥2 = 3135

3 (681 −4

5𝑥2 ) + 5𝑥2 = 3135

2043 −12

5𝑥2 + 5𝑥2 = 3135

2043 +13

5𝑥2 = 3135

13

5𝑥2 = 3135 − 2043

𝑥2 = 1092 (5

13)

𝑥2 = 420

𝑥1 = 681 −4

5𝑥2

𝑥1 = 681 −4

5𝑥2 𝑥2 = 420

𝑥1 = 681 −4

5(420)

𝑥1 = 345

Conclusión.-

El mantenimiento de cada máquina del

tipo A es $345 y $420 para cada

máquina B.


MÉTODO GRÁFICO


El perímetro de un rectángulo es de 40 metros. Si se duplica el largo del rectángulo y se aumenta en 6 metros el ancho, el perímetro queda en 76 metros. ¿Cuáles son las medidas originales del rectángulo y cuáles las medidas del rectángulo agrandado? Solución: Definiendo variables.- 𝑥 (metros): Medida del largo del rectángulo original. 𝑦 (metros): Medida del ancho del rectángulo original. Planteamiento de ecuaciones.- Ec. 1 Ec. 2 Método gráfico.- Consiste en representar gráficamente las dos rectas. La solución del sistema es la intersección de las dos rectas. Para graficar despeje la variable 𝑦 de ambas ecuaciones. Representación gráfica


a) 𝑥 + 2𝑦 = 5

3𝑥 − 6𝑦 = −9 b)

3𝑥 + 3𝑦 = 6 5𝑥 − 10𝑦 = 10

2𝑥 + 2𝑦 = 40

4𝑥 + 2𝑦 = 64

Ecuación que representa el perímetro original (en metros).

Ecuación que representa el perímetro agrandado (en metros).

𝑥

𝑦

RECTÁNGULO ORIGINAL 𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 40 = 2𝑥 + 2𝑦

𝑥

𝑦

RECTÁNGULO AGRANDADO 𝑃 = 4𝑥 + 2(𝑦 + 6) 76 = 4𝑥 + 2𝑦 + 12 64 = 4𝑥 + 2𝑦 2𝑥

𝑦+

6

𝑦+

6

2𝑥

De la Ec. 1

2𝑥 + 2𝑦 = 40

2𝑦 = 40 − 2𝑥

𝑦 = −𝑥 + 20

De la Ec. 1

4𝑥 + 2𝑦 = 64

2𝑦 = 64 − 4𝑥

𝑦 = −2𝑥 + 32

Observe que tienen la forma:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

(12, 8)

Observe que la intersección de las rectas es el punto

(12, 8), por tanto la solución al sistema es 𝑥 = 12 y 𝑦 = 8.

Conclusión.-

El rectángulo original mide 12 m de largo y 8 m de ancho.

Mientras que el rectángulo agrandado mide 24 m de largo

y 14 m de ancho.

CA

PÍTU

LO 3

. Álgeb

ra 1

24

3.7 Ecuaciones cuadráticas a𝑥2 + b𝑥 + c = 0 a𝑥2 + b𝑥 = 0 a𝑥2 + c = 0 a𝑥2 = 0

¿Cómo resolver la ecuación?

1. FACTORIZACIÓN 𝐚𝒙𝟐 + 𝐛𝒙 + 𝐜 Utilizar algún método de factorización si es posible, ver sección 3.3. Ejemplo: Encontrar la solución de:

𝑥2 + 6 = 5𝑥 Solución: PASO I. Igualar a cero

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 PASO II. Factorizar

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 PASO III. Las soluciones son aquellos valores de 𝑥 que hacen que los factores sean cero.

𝑥 − 2 = 0 → 𝑥1 = 2 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥2 = 3

NOTA: La factorización es muy práctica de realizar, más no siempre resulta ser posible. 2. FÓRMULA GENERAL

𝑥 =−b ± √b2 − 4ac

2a

Ejemplo: Encontrar la solución de:

4𝑥2 − 3𝑥 = 10 Solución: PASO I. Igualar a cero, cuidando que los términos estén ordenados del exponente más grande al menor.

4𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 PASO II. Identificar a, b y c (incluye el signo).

a = 4, b = −3 y c = −10

PASO III. Sustituir en la fórmula general

𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4(4)(−10)

2(4)

𝑥 =+3 ± √+9 + 160

8

𝑥 =+3 ± √169

8

¿Cómo resolver la ecuación?

1. FACTORIZACIÓN 𝐚𝒙𝟐 + 𝐛𝒙 Utilizar método de factorización “factor común”, ver sección 3.3. Ejemplo: Encontrar la solución de:

−2𝑥 = −5𝑥2 Solución: PASO I. Igualar a cero

5𝑥2 − 2𝑥 = 0 PASO II. Factorizar el factor común

𝑥(5𝑥 − 2) = 0 PASO III. Las soluciones se obtienen al igualar los dos factores con cero.

𝑥 = 0 → 𝑥1 = 0

5𝑥 − 2 = 0 → 𝑥2 =2

5

NOTA: Para ecuaciones cuadráticas de este tipo, siempre una de las soluciones será cero. 2. FÓRMULA GENERAL Aunque puede aplicar la fórmula general, la solución es más simple por medio de factorización. 3. NUNCA DESPEJAR 𝒙 Un error muy común es tratar de despejar 𝑥. Evite hacerlo. PRACTICA ENCONTRANDO LA SOLUCIÓN DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES. a) 3𝑥2 + 8𝑥 = 0 b) −𝑥 = 𝑥2 c) 4𝑥2 − 16𝑥 = 0

¿Cómo resolver la ecuación? 1. DESPEJAR 𝒙 La forma a𝑥2 + c = 0 es una ecuación cuadrática en donde puede despejar 𝑥 para encontrar la solución. Ejemplo: Encontrar la solución de:

−2

3𝑥2 + 5 = 0

PASO I. Despejar 𝑥

−2

3𝑥2 = −5

𝑥2 =15

2

PRACTICA ENCONTRANDO LA SOLUCIÓN DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES. a) 𝑥2 − 16 = 0 b) −𝑥2 = −4 c) 5𝑥2 − 8 = 0

¿Cómo resolver la ecuación? 1. DESPEJAR 𝒙 La forma a𝑥2 = 0 es una ecuación cuadrática en donde puede despejar 𝑥 para encontrar la solución. Ejemplo: Encontrar la solución de:

3𝑥2 = 0 PASO I. Despejar 𝑥

𝑥2 =0

3

𝑥 = √0

𝑥 = 0 NOTA: Siempre la solución de una ecuación de la forma a𝑥2 = 0 será cero. PRACTICA ENCONTRANDO LA SOLUCIÓN DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES. a) −7𝑥2 = 0

b) 4

5𝑥2 = 0

c) 10𝑥2 = 0

𝑥 =15

2

𝑥1 = +15

2

𝑥2 = −15

2

CA

PÍTU

LO 3

. Álgeb

ra 1

25

3. NUNCA DESPEJAR 𝒙 Un error muy común es tratar de despejar 𝑥. Evite hacerlo. PRACTICA ENCONTRANDO LA SOLUCIÓN DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES, POR MEDIO DE FACTORIZACIÓN Y FÓRMULA GENERAL. a) 𝑥2 − 50 = 5𝑥 b) 𝑥2 = −8𝑥 − 7 c) −𝑥2 + 9𝑥 − 18 = 0

𝑥 =+3 ± 13

8

𝑥1 =+3 + 13

8 𝑥1 = 2

𝑥2 =+3 − 13

8 𝑥2 =−5

4


EJEMPLOS DONDE PUEDEN ENCONTRARSE ECUACIONES CUADRÁTICAS

I. Cuando se tiene que resolver problemas geométricos. EJEMPLO: Una placa cuadrada de cobre tiene un área de 25 cm2, ¿Cuáles son sus dimensiones?

PRACTICA RESOLVIENDO EL SIGUIENTE PROBLEMA GEOMÉTRICO A una pieza de madera de 1.5 m de largo por 0.7 m de ancho se le extrae una pieza rectangular de área 0.9 m2 de tal manera que quede un marco de ancho 𝑥, como se indica en la figura.

a) Determine el ancho del marco. b) Concluya si las 2 soluciones son geométricamente posibles, justifique.

𝑥

𝑥

25 cm2

Solución: Área → 𝐴 = 25 cm2

Dimensiones → 𝑥 =? (medidas de los lados)

Como el área de un cuadrado es lado 𝑥 por lado 𝑥, entonces: 𝑥2 = 25 cm2

Es una ecuación cuadrática de la forma 𝐚𝒙𝟐 + 𝐜 = 𝟎, por lo tanto, se

despeja 𝑥.

𝑥 = √25 cm2

Por lo tanto, las dimensiones de la placa son 5 cm de lado.

𝑥 = 25 cm2

𝑥1 = +5 cm

𝑥2 = −5 cm Este resultado se descarta, dado que no hayylongitdes negativas

𝑥

𝑥


II. Para buscar intersecciones de la parábola con el eje 𝒙 EJEMPLO: El siguiente gráfico representa a la parábola 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥 + 2, determine las intersecciones con el eje 𝑥.

PRACTICA RELACIONANDO CON UNA LÍNEA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON SU RESPECTIVA GRÁFICA.

PREVIAMENTE ANALIZA LAS INTERSECCIONES CON EL EJE 𝑥.

Intersecciones

con el eje 𝑥

Solución:

Los puntos de intersección tienen las coordenadas (𝑥1, 0) y (𝑥2, 0).

𝑥1 =?

𝑥2 =?

𝑦 = −𝑥2 + 𝑥 + 2 → 𝟎 = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐

La ecuación cuadrática tiene la forma 𝐚𝒙𝟐 + 𝐛𝒙 + 𝐜 = 𝟎, por lo tanto

puede resolverse por factorización o fórmula general.

Si elige factorizar, es más fácil trabajar con el término cuadrático positivo.

Para ello, puede multiplicar toda la ecuación por -1.

(−𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0)(−1)

𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

Al factorizar, se obtiene:

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0

𝑥 + 1 = 0 → 𝑥1 = −1 𝑥 − 2 = 0 → 𝑥2 = 2

Por lo tanto, las intersecciones de la parábola con el eje 𝑥, son: (−1, 0) y (2,0)

cuando 𝑦 = 0

a) 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 5 b) 𝑦 = 3𝑥2 c) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2

Gráfica I Gráfica II Gráfica III


III. Cuando se tiene que resolver ecuaciones cuadráticas en problemas de física. En ocasiones, encontrarás problemas en cuyo procedimiento la solución consiste en encontrar el tiempo a partir de una ecuación cuadrática. Por ejemplo, en el movimiento de proyectiles donde una de las ecuaciones de

movimiento que describe la posición vertical es 𝑦 = 𝑣𝑦𝑜𝑡 −1

2𝑔𝑡2.

EJEMPLO: Un jugador de futbol que se encuentra frente a la portería tiene 2 s para anotar un gol antes de que se acabe el partido. Si golpea el balón con una velocidad inicial 𝑣𝑜 de 40 m/s a un ángulo 𝜃 de 30° con respecto al piso, ¿logrará anotar el gol? NOTA: Considere que el portero no interferirá en la trayectoria del balón.

PRACTICA RESOLVIENDO EL SIGUIENTE PROBLEMA

Una piedra es lanzada desde el borde de un acantilado, describiendo una trayectoria parabólica. La ecuación de la

posición vertical de la piedra en el fondo del acantilado es:

10 𝑡 − 4.9𝑡2 = −45

donde 𝑡 corresponde al tiempo en segundos. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del acantilado?

Solución: El gol será anotado cuando el balón toque el piso dentro de la portería, es decir en 𝑦 = 0. Considerando la gravedad como 𝑔 = 9.8 m/s2 y que 𝑣𝑦𝑜 se obtiene como 𝑣𝑦𝑜 = 𝑣𝑜 sen 𝜃, se tiene:

𝑣𝑦𝑜 = (40 m/s )(𝑠𝑒𝑛 30° ) = 20 m/s

Realizando la sustitución en 𝑦 = 𝑣𝑦𝑜𝑡 −1

2𝑔𝑡2:

0 = (20 m/s)𝑡 −1

2(9.8 m/s2)𝑡2

Entonces, la ecuación que se tendría que resolver es

20𝑡 − 4.9𝑡2 = 0

La ecuación cuadrática tiene la forma 𝐚𝒕𝟐 + 𝐛𝒕 = 𝟎 y se resuelve por medio de la factorización del factor común. Entonces:

Por lo tanto, el balón llegará a la portería a los 4.08 s después de haber

pateado la pelota, y no alcanzará a anotar el gol.

𝑡 −4.9𝑡 + 20 = 0

𝑡1 = 0 Este resultado se descarta, dado que no tarda 0 s en llegar el balón a la portería

−4.9𝑡 + 20 = 0 despejando 𝑡2 ≈ 4.08




TERCER PARCIAL TRABAJO 1. Ecuaciones Lineales. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Hallar la solución de cada ecuación y comprueba el resultado.

1. 𝑥 − 7 = −3

2. 𝑥 + 8 = 1

3. −𝑥

2= 51

4. 12𝑥 − 3 = 9

5. −7𝑥 + 31 = 10

6. −4 = 23𝑥 + 11


7. 6(𝑥 − 2) = 𝑥 + 3

8. 𝑥 + 8(𝑥 + 2) = 5 − 𝑥

9. 𝑥 + 3𝑥 − 13 = 7(𝑥 − 9)

10. 𝑥

2+ 1 = 19

11. 3

4𝑥 − 8 = 1

12. 𝑥−1

3= −5


13. 4𝑥+6

5=

2𝑥

3

14. 8

3𝑥 − 2 =

4

5(𝑥 + 1)

15. 3

2𝑥 +

1

6(𝑥 − 1) = 4

16. 0.09𝑥 + 0.1 = 0.5(𝑥 − 12)




TERCER PARCIAL TRABAJO 2. Sistemas de ecuaciones lineales Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Encuentre las soluciones de los siguientes pares de ecuaciones.

1. 3𝑥 − 2𝑦 = 16

2𝑥 + 𝑦 = 6

2. 3𝑥 + 𝑦 = 1

2𝑥 − 3𝑦 = 8


3. 2𝑥 − 3𝑦 = 16𝑥 − 9𝑦 = 3

4. 24𝑥 − 12𝑦 = −24

3𝑥 + 2𝑦 = −17

5. 4𝑥 − 8𝑦 = −42𝑥 + 3𝑦 = 12


6. 2𝑥 + 3𝑦 = −53𝑥 + 4𝑦 = −6

7. 2𝑥 − 𝑦 = 5

8𝑥 − 4𝑦 = 4

8. 𝑥 + 2𝑦 = 82𝑥 + 𝑦 = 7


9. 2𝑥 − 2𝑦 = −63𝑥 + 3𝑦 = 9

10. 3𝑥 − 2𝑦 = −294𝑥 − 3𝑦 = −41

11.

3𝑥−4𝑦

3−

2𝑥−3𝑦

5=

7

152𝑥−𝑦

2+

𝑥+5𝑦

3=

23

6




TERCER PARCIAL TRABAJO 3. Problemas de ecuaciones y sistemas lineales. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas.

1. Dos hermanos ganaron $1300.00 durante sus vacaciones de verano. El mayor ganó 11

2 veces más que el

otro. Determine la ganancia de cada uno.

2. En una escuela, la mitad de los alumnos menos seis poseen automóviles. El total de automóviles propiedad de los alumnos es 198. ¿Cuántos alumnos hay en la escuela?


3. Un club cobra $21 la entrada a la alberca, por dos horas. Durante las vacaciones, un paquete ofrece a $15 el mismo número de horas, mediante el pago de un pase por $150. ¿Cuántas horas deberías ir a nadar para que el paquete te resulte costeable?

4. Según la norma del banco, los cajeros automáticos deben tener igual cantidad de billetes de $100 que de $200; la cantidad de billetes de $50 debe ser cinco veces la cantidad de billetes de $100, la cantidad de billetes de $500 debe ser el doble de los de $50. ¿Cuántos billetes de cada denominación existen en un cajero que fue surtido con $499 500?

5. Deseas trabajar como representante de ventas para la exportación de productos. Una compañía te ofrece un sueldo de $4 600 más el 1% por el importe de tus ventas. Otra te ofrece $3900 más el 2% sobre las ventas. a) ¿Cuánto deberías vender para percibir lo mismo en ambos empleos? b) ¿Cuál de ellos te convendría más, si tus ventas alcanzaran $100 000?


6. Para organizar una fiesta de cumpleaños tú y tus amigos necesitan comprar hielo y refrescos. Por 5 paquetes de refrescos y una bolsa de hielo la cuenta será $170, pero si se compran 4 paquetes de refrescos y 3 bolsas de hielo deben pagar $158. ¿En cuánto sale cada paquete de refrescos y cada bolsa de hielo?

7. Tomás pagó a Ricardo $300.00 por concepto de un adeudo. Después de efectuado el pago Tomás tenía aún $25.00 más que la quinta parte del total de Ricardo. Si juntos totalizaban $625.00. ¿Cuánto tenía cada uno antes del pago?

8. Sales con tu amiga y deciden cenar tacos al carbón. Estando allí, también se les antojan los tacos al pastor. Tu cuenta por cinco tacos al pastor y tres al carbón es de $46.50, y la de tu amiga es de $47.50 por siete tacos al pastor y dos de carbón. ¿Cuánto pagaron por cada taco?


9. Un equipo de basquetbol anotó 96 puntos en total. Anotaron dos veces y media más canastas que tiros libres. ¿Cuántos anotaron de cada tipo? NOTA: Las canastas cuentan por dos puntos; los tiros libres por un punto. No hubo canastas de tres puntos.

10. El perímetro de un rectángulo es de 60 cm. Su longitud es doble del ancho más tres. Determine las dimensiones.




TERCER PARCIAL TRABAJO 4. Ecuaciones cuadráticas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva las ecuaciones cuadráticas.

1. 𝑥2 − 100 = 0

2. 2𝑥2 = 72

3. 𝑥2 + 4 = 2𝑥2 − 12

4. 4𝑥2 − 9 = 0

5. −12𝑥2 + 8 = 0

6. 5𝑥2 = 25


7. 𝑥2 + 𝑥 = 0

8. −2𝑥2 + 6𝑥 = 0

9. −3𝑥2 − 5𝑥 = 0

10. 3𝑥2 + 3𝑥 = −𝑥2 + 25𝑥

11. 𝑥2 −𝑥

3= 0

12. 5𝑥2 +𝑥

2= 0




TERCER PARCIAL TRABAJO 5. Ecuaciones cuadráticas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva las ecuaciones cuadráticas factorizando.

1. 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

2. 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

3. 𝑥2 + 4𝑥 = 5

4. 𝑥2 − 2𝑥 = 8

5. 𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0

6. 𝑥2 + 7𝑥 = 18


7. 𝑥2 − 36 = 9𝑥

8. 2𝑥2 − 3𝑥 − 14 = 0

9. 16𝑥2 + 10𝑥 − 9 = 0

10. 8𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0

11. 𝑥2 + 7𝑥 + 9 = 0

12. 9𝑥2 − 2 = 18𝑥

13. 9𝑥2 + 9𝑥 − 3 = 1

14. 6𝑥 + 3 = 2𝑥2




TERCER PARCIAL TRABAJO 6. Ecuaciones cuadráticas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva las ecuaciones cuadráticas con fórmula general.

1. 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0

2. 4𝑥2 + 3𝑥 − 22 = 0

3. 𝑥2 + 11𝑥 = −24

4. 𝑥2 = 16𝑥 − 63 = 0


5. 12𝑥 − 4 − 9𝑥2 = 0

6. 5𝑥2 − 7𝑥 − 90 = 0

7. 49𝑥2 − 70𝑥 + 25 = 0

8. 32𝑥2 + 18𝑥 − 17 = 0


9. 176𝑥 = 121 + 64𝑥2

10. 8𝑥 + 5 = 36𝑥2

11. 27𝑥2 + 12𝑥 − 7 = 0

12. 15𝑥 = 25𝑥2 + 2




TERCER PARCIAL TRABAJO 7. Intersecciones de la parábola con eje 𝑥 Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Determine las intersecciones de la parábola con el eje 𝑥.

1. 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

2. 7𝑥2 + 21𝑥 − 20 = 0

3. 8𝑥 − 65 = −𝑥2

4. 𝑥2 + 7𝑥 = 18


5. 2𝑥2 − 8𝑥 + 9 = 0

6. 𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0

7. 2𝑥2 − 8𝑥 + 9 = 0

8. 3𝑥2 + 𝑥 = 10

9. 𝑥2 − 49 = 0 10. 3𝑥2 − 27𝑥 = 0




TERCER PARCIAL TRABAJO 8. Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas.

1. ¿Qué valor debe tener C para que la ecuación 𝑥2 − 10𝑥 + 𝐶 = 0 tenga una raíz doble (es decir, una sola solución)?

2. La longitud de una pieza rectangular de cartón es 2 pulgadas mayor que su ancho. Se forma una caja abierta cortando cuadrados de 4 pulgadas en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. El volumen de la caja debe ser 672 pulgadas cúbicas. Calcule las dimensiones del cartón original.


3. El largo de una sala rectangular es de 3m mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3m y el largo aumenta 2m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

4. Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente, ¿cuánto mide la altura?

CAPÍTULO 4. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES

152 CAPÍTULO 4. Introducción a las funciones

4.1 Gráficas por medio de tabulación

Una forma práctica y fácil de trazar gráficas es por medio de una tabla de valores, pero antes necesitas conocer las

variables que graficarás en el plano cartesiano. La variable independiente se coloca en el eje horizontal, conocido

como eje de las abscisas, mientras que la variable dependiente se coloca en el eje vertical llamado eje de las

ordenadas. Frecuentemente, se emplean las variables 𝑥 y 𝑦, donde:

𝒙: variable independiente

𝒚: variable dependiente

Antes de graficar siempre es necesario predecir la curva que se va a obtener, en la siguiente tabla se muestran 3

tipos de curvas que puede reconocer fácilmente.

Nombre Expresión ¿Cuál es su gráfica? ¿Cómo se ven las gráficas?

Ejemplos:

Función lineal constante

𝑦 = b Recta horizontal intersectando al eje 𝑦 en el valor de b.

a) 𝑦 = 2 b) 𝑦 = −1 c) 𝑦 = 0

Función lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + b Recta inclinada intersectando el eje 𝑦 en el valor b.

a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 b) 𝑦 = −𝑥 + 3 c) 𝑦 = 4𝑥

Función cuadrática

𝑦 = 𝑎𝑥2 + b𝑥 + c Parábola vertical: - Si 𝑎 > 0 → cóncava

hacia arriba. - Si 𝑎 < 0 → cóncava

hacia abajo.

a) 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1 b) 𝑦 = −𝑥2 + 3

EJEMPLO: a) Grafique por medio de tabulación 𝑦 = 𝑥2.

Solución:

PASO I: Identificar la gráfica que se espera obtener, en este caso es una función cuadrática, por lo tanto la gráfica

será una parábola cóncava hacia arriba.

PASO II: Realizar una tabla dando valores a 𝑥 y sustituirlos en 𝑦 = 𝑥2.

𝒙 𝒚 = ( )𝟐 Sustitución

-3 9 → (−3)2 = 9

-2 4 → (−2)2 = 4

-1 1 → (−1)2 = 1

0 0 → (0)2 = 0

1 1 → (1)2 = 1

2 4 → (2)2 = 4

3 9 → (3)2 = 9

Variable independiente, la persona

asigna los valores a su elección siempre

y cuando se puedan evaluar, es decir,

que no se obtengan raíces cuadradas

negativas o divisiones entre cero.

Variable dependiente, los valores se

ajustarán a los designados en la variable

𝑥.

𝑎 > 0

𝑎 > 0


PASO III. Los datos obtenidos generan puntos con coordenadas que puede localizar en el plano, la unión de estos

puntos por medio de una curva suave genera la gráfica.

NOTA: Recuerde que a la variable independiente se le asignaron valores arbitrarios, por lo tanto, no debe suponer

que la parábola se restringe de -3 a 3, de hecho puede graficarla de −∞ a ∞ .

EJEMPLO: b) Bosqueje la gráfica de la función 𝑦 = −2𝑥 + 1.

Solución:

PASO I: La gráfica de 𝑦 = −2𝑥 + 1 es una función lineal, por lo tanto, graficará una recta que intersecta el eje 𝑦

en 1.

PASO II. Tabla de valores PASO III. Graficar

𝒙 𝒚 = −𝟐( ) + 𝟏 Sustitución

-3 7 → −2(−3) + 1 = 7

-2 5 → −2(−2) + 1 = 5

-1 3 → −2(−1) + 1 = 3

0 1 → −2(0) + 1 = 1

1 -1 → −2(1) + 1 = −1

2 -3 → −2(2) + 1 = −3

3 -5 → −2(3) + 1 = −5

(−3,9)

(−2,4)

(−1,1)

(0,0)

(1,1)

(2,4)

(3,9) (−3,9)

(−2,4)

(−1,1)

(0,0)

(1,1)

(2,4)

(3,9)

Es un error muy común que los puntos se unan

con rectas. A menos que se trata de una recta,

los puntos deben unirse trazando curvatura.

Como se indica en la siguiente figura.

La curvatura se genera debido a

que existen valores intermedios a

los tabulados.

(−3,7)

(−2,5)

(−1,3)

(−0,1)

(1, −1)

(2, −3)

(3, −5)

Cuidado con los signos

Se emplearon los mismos

valores de 𝑥 que para el

ejemplo anterior, pero

puede escoger otros y

hasta ampliar el intervalo.


PRACTICA INVESTIGANDO Y COMPLETANDO LA TABLA PARA QUE TE AYUDE A ASOCIAR LAS FUNCIONES CON

SUS GRÁFICAS.

Nombre Expresión ¿Cuál es su gráfica? ¿Cómo se ven las gráficas?

Ejemplos:

Función cúbica

Función raíz cuadrada

Función seno

Función coseno

PRACTICA TRAZANDO EN HOJAS MILIMÉTRICAS LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES, PREVIAMENTE

ANALIZA Y ESCRIBE LA CURVA QUE ESPERAS OBTENER.

a) 𝑦 = −2

b) 𝑦 = 0

c) 𝑦 = 𝑥 − 2

d) 𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥

e) 𝑦 = √−2𝑥

f) 𝑦 = 2 cos 𝑥


4.2 Introducción a las desigualdades

Para comprender el significado de una desigualdad, iniciaremos el estudio de las igualdades. Resolver una igualdad

significa encontrar el valor de la incógnita que satisface la ecuación, es decir, aquel valor que al sustituir en la

ecuación iguala la parte izquierda y derecha de la ecuación. Por ejemplo, si se desea resolver 3𝑥 − 1 = 2 basta con

despejar 𝑥, dando como resultado 𝑥 = 1. Este valor debe satisfacer la ecuación, para ello tenemos que sustituirlo

en la igualdad y demostrar que ambos lados son iguales:

3𝑥 − 1 = 2

3(𝟏) − 1 = 2

2 = 2 Ambos lados son iguales.

Desde el punto de vista gráfico, la solución de una igualdad se obtiene encontrando la intersección de las dos curvas.

DESIGUALDADES

Una desigualdad es la comparación entre dos expresiones relacionadas mediante los símbolos ≤, ≥, < o >.También,

puede resolverse gráficamente, sólo que en lugar de encontrar uno o varios valores de 𝑥, la solución es un intervalo.

𝑦2 = 2

𝑦1 = 3𝑥 − 1

Continuando con el ejemplo anterior,

3𝑥 − 1 = 2

𝑦1 → Representa una recta que intersecta el eje 𝑦 en -1.

𝑦2 → Representa una recta horizontal que intersecta el eje 𝑦 en 2.

En el gráfico se observa que las rectas se intersectan en 𝑥 = 1, siendo

ésta la solución del problema.

𝑦1 𝑦2

𝑦2 = 2

𝑦1 = 3𝑥 − 1 Resolvamos el ejemplo anterior planteado en forma de desigualdad.

3𝑥 − 1 < 2

Deseamos aquel intervalo donde 𝑦1 < 𝑦2, es decir donde la curva 𝑦1

esté por debajo de la curva 𝑦2. Para ello, se ubica la intersección de las

curvas y a partir de ese punto se observa que esta condición sea válida,

en este caso 𝑦1 está por debajo de 𝑦2 para cualquier valor menor a 1,

entonces el resultado se expresa como:

𝑥 ∈ (−∞, 1)

Este resultado indica que cualquier valor menor a 1 satisface la

desigualdad. Verifiquemos con un valor arbitrario, por ejemplo 𝑥 =

−2

¿ 3(−2) − 1 < 2 ?

−7 < 2

𝑦1 𝑦2

Los paréntesis indican que

los valores de los extremos

no forman parte de la

solución .

El círculo vacío indica

que el 1 no formará

parte de la solución.


EJEMPLO: Encuentre gráficamente el intervalo solución de:

b) Analice el ejercicio anterior, pero ahora invirtiendo el signo de la desigualdad: 𝑥2 − 2𝑥 − 2 ≤ −𝑥

Solución: El intervalo solución cambia debido a que ahora buscamos que 𝑦1 ≤ 𝑦2, es decir que 𝑦1 esté por debajo de 𝑦2. Por tanto, gráficamente se observa que la desigualdad se satisface con cualquier valor que esté entre -1 y 2, representándose como:

𝑥 ∈ [−1,2] Investigue con su profesor cómo sería el resultado de estos ejercicios si las desigualdades sólo fueran mayor o menor que.

PRACTICA RESOLVIENDO GRÁFICAMENTE LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES.

a) 2𝑥 + 4 ≥ −3𝑥 − 2 b) −(𝑥 + 2)2 + 4 < 3 c) −𝑥2 + 4 ≥ 0

d) 𝑥2 − 4𝑥 + 5 > 𝑥 − 2

Los círculos rellenos indican que

-1 y 2 forman parte de la

solución.

a) 𝑥2 − 2𝑥 − 2 ≥ −𝑥

Solución:

De la gráfica proporcionada, la parábola 𝑦1 y la recta 𝑦2 representan a

𝑥2 − 2𝑥 − 2 y −𝑥, respectivamente. La solución de la desigualdad es

encontrar el intervalo para el cual 𝑦1 ≥ 𝑦2, es decir donde la curva 𝑦1

esté por encima de 𝑦2. Observe en la gráfica que hay dos intervalos

que cumplen esta condición: valores que sean menores o iguales a -1

o también aquellos mayores o iguales a 2. Una solución de dos

intervalos, se representa como:

𝑥 ∈ (−∞, −1] ó [2, ∞)

Por lo tanto, cualquier valor que se elija dentro de alguno de los dos

intervalos será solución a la desigualdad y puede comprobarlo.

𝑦1

𝑦2

El corchete indica que -1 y 2 son parte de la solución.

𝑦1 𝑦2




TERCER PARCIAL TRABAJO 1. Gráficas de funciones. Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Tabule y grafique las siguientes funciones.

1. 𝑦 = 2𝑥 − 3

2. 𝑦 = −3𝑥 − 0.5


3. 𝑦 = −𝑥2 + 1

4. 𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 2


5. 𝑦 = −𝑥3 + 2

6. 𝑦 = √𝑥 + 2 − 3




TERCER PARCIAL TRABAJO 2. Desigualdades Nombre:______________________________________________________________. Fecha: ____/_____/____. Instrucciones: Resuelva gráficamente las siguientes desigualdades.

1. 3𝑥 − 1 > 𝑥 − 2

3𝑥 − 1 > 𝑥 − 2

2. 5𝑥 + 3 > 𝑥 + 7


3. 2𝑥 + 4 < −3𝑥 − 6

4. 5𝑥 + 2 ≥ 2𝑥 − 5


5. 2𝑥 − 1 > 4𝑥 − 3

6. 3𝑥 + 5 ≤ 7𝑥 − 3


7. 𝑥2 − 2𝑥 > 15

8. 𝑥2 < 2𝑥 − 3


9. 𝑥2 < 3(𝑥 + 6)

10. 𝑥2 + 9 ≥ −6𝑥