1
PŁOCKA
MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA
MATEMATYKA
marzec 2013
KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa):
Numer zadania Zad. 1 Zad. 2
Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 SUMA
PUNKTÓW Poprawna odpowiedź
Max liczba punktów 1 1 4 4 3 5 4 22
Wybrana odpowiedź
Liczba uzyskanych punktów
Drogi Uczniu!
Przed Tobą arkusz z ciekawymi zadaniami z matematyki. Przy każdym zadaniu podano liczbę punktów, jaką możesz uzyskać.
Swoje rozwiązania i odpowiedzi do zadań umieszczaj wyłącznie w przeznaczonym do tego miejscu. W zadaniach zamkniętych o numerach 1 i 2 podane są cztery odpowiedzi. Wybierz tylko jedną z nich i wpisz w odpowiednią kratkę.
Zapisuj szczegółowe komentarze do rozwiązań zadań otwartych. Pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń może spowodować, że za rozwiązanie nie będziesz mógł otrzymać maksymalnej liczby punktów.
Rozwiązując zadania nie możesz korzystać z kalkulatora.
Test trwa 90 minut.
POWODZENIA!
KOD ucznia
3
Zadanie 1. (1 punkt)
Bok rombu ma długość 2 cm, zaś pole tego rombu wynosi 1 cm2. Kąt ostry w tym rombie ma miarę:
A. 30° B. 45° C. 60° D. nie można określić Zadanie 2. (1 punkt)
Jeżeli 1
12
b
ba to b wynosi:
A. 1
2
a
a B.
2
1
a
a C.
12
1
a
a D.
2
2
a
Zadanie 3. (4 punkty) Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o ten sam procent kurtka kosztuje o 36% mniej niż przed obniżkami. Ile procent ceny początkowej stanowiła cena kurtki po pierwszej obniżce?
Odpowiedź:
Zadanie 1.
Zadanie 2.
4
Zadanie 4. (4 punkty)
Uzasadnij, że istnieje tylko jedna liczba całkowita spełniająca równanie .11 xx
x
Odpowiedź:
5
Zadanie 5. (3 punkty)
Sumę S miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego można opisać wzorem funkcji
360180 nnS .
a) podaj dziedzinę funkcji określonej powyższym wzorem, b) narysuj wykres tej funkcji dla 6n , c) ile boków ma wielokąt, którego suma S miar kątów wewnętrznych spełnia warunek
?15001400 S
Odpowiedź:
6
Zadanie 6. (5 punktów)
W kąt prosty wpisano dwa okręgi zewnętrznie styczne i styczne do ramion kata. Promień mniejszego okręgu ma długość 1 cm. Oblicz długość promienia większego okręgu.
Odpowiedź:
7
Zadanie 7. (4 punkty)
Pan Jabłoński planując nowy sad, chce zasadzić drzewka tak, by ich liczba w każdym rzędzie była równa liczbie rzędów. Zakupu drzewek do sadu dokonała jego żona, która kupiła o 6 drzewek więcej niż planował mąż. Pan Jabłoński obliczył, że jeśli doda jeszcze jeden rząd i po 1 drzewku w każdym rzędzie, to zabraknie mu 19 drzewek. Oblicz, ile drzewek kupiła żona pana Jabłońskiego.
Odpowiedź:
9
PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA marzec 2013
KARTOTEKA TESTU1
Nr zad.
Czynności ucznia punkty Zakres
wymagań
1 Analizuje warunki zadania – wybiera poprawną odpowiedź
1 A. 30° G
2 Analizuje warunki zadania – wybiera poprawną odpowiedź
1 B. 2
1
a
a WA
3
Analizuje warunki zadania, ustala strategię rozwiązania, zapisuje ceny po kolejnych obniżkach
Układa równanie
Przekształca wyrażenie i oblicza procent obniżek
Zapisuje odpowiedź podając ile procent ceny początkowej stanowiła cena po pierwszej obniżce.
1 1 1 1
Cena początkowa – a Procent obniżek – x
Cena po I obniżce – ax 1
Cena po dwóch obniżkach – ax 2
1
Cena po dwóch obniżkach – a64,0
2,0
8,01
64,012
x
x
x
Odpowiedź: II cena stanowiła 80% ceny początkowej.
LR WA
4
Zauważa, że iloczyn liczb po lewej stronie równania musi być równy 1
Uzasadnia, że nie jest możliwe, żeby oba czynniki były równe 1 (przypadek 1.).
Zauważa, że oba czynniki muszą być równe -1
Wyprowadza wniosek uzasadniający tezę twierdzenia (jedyną liczbą spełniającą równanie jest -2)
1 1
1
1
Aby iloczyn dwóch liczb całkowitych wynosił 1 musi zachodzić:
1.
1
11
x
x
x
lub 2.
1
11
x
x
x
Układ równań w przypadku 1. nie ma rozwiązań, bo z drugiego równania wynika, że 0x , a
pierwsze równanie spełnia tylko x = 0
Rozwiązując układ równań w przypadku 2. otrzymujemy:
12
2
2x
Wniosek: liczba (- 2) jest jedynym pierwiastkiem tego równania
DT RiN
1 Zadania opracowano wykorzystując podręczniki do matematyki dla gimnazjów oraz ogólnie dostępne zbiory zadań
10
5
Określa dziedzinę funkcji
Oblicza współrzędne punktów i rysuje wykres funkcji w podanej dziedzinie
Rozwiązuje układ nierówności, wyznacza liczbę n (liczbę boków wielokąta spełniającą podany warunek)
1 1 1
a) dziedziną tej funkcji są liczby naturalne 3n
b) aby narysować wykres należy obliczyć współrzędne punktów (wykres składa się z 4 punktów
o podanych współrzędnych):
n 3 4 5 6
S(n) 180° 360° 540° 720°
1900180
2000180
n
n
9
510
9
95
18
190
9
111
9
100
18
200
n
n
wniosek: 11n
Odpowiedź: wielokąt spełniający podany warunek to jedenastokąt.
F RiN
6
Wykonuje rysunek, zaznaczając na nim ważne dla rozwiązania zadania elementy
Zauważa, że trójkąt ABS (mały okrąg) oraz trójkąt ACO (duży okrąg) są prostokątne równoramienne i oblicza długości odcinków AS oraz AO (przekątne kwadratów)
Zapisuje długość odcinka AO jako zależność między odcinkiem AS, promieniem małego i dużego okręgu
Układa i rozwiązuje równanie,
1 1 1 2
ABS - prostokątny, równoramienny, 2AS
ACO - prostokątny, równoramienny, 2RAO
RAO 12
Mamy więc: RR 122
G WA
11
wyznaczając długość promienia dużego okręgu.
Uwaga: Jeżeli uczeń nie usunie niewymierności z mianownika ułamka, za ostatnią czynność otrzymuje 1 pkt.
2231222
12
12
12
12
12)12(
R
R
R
Odpowiedź: promień dużego okręgu ma długość .223
7
Analizuje warunki zadania (może wykonać pomocniczy rysunek), zapisuje wyrażenie określające liczbę drzewek zaplanowanych praz męża
Zapisuje równanie opisujące nową sytuację w sadzie
Przekształca wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, rozwiązuje równanie
Oblicza, ile drzewek kupiła żona
1 1 1 1
liczba drzewek planowana przez męża - nn
liczba drzewek zakupionych przez żonę – 62 n
nowa liczba drzewek – 19611 2 nnn
12
242
2512 22
n
n
nnn
Żona kupiła – 150614462 n drzewek
ZL WA RiN
ZAKRES WYMAGAŃ:
LR Działania w zbiorze liczb rzeczywistych z uwzględnieniem działań na potęgach i pierwiastkach, zastosowanie tych działań w rozwiązywaniu zadań tekstowych.
WA Wyrażenia algebraiczne. Przekształcanie jednomianów i sum algebraicznych. Wzory skróconego mnożenia.
RN Rozwiązywanie równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych.
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną (bez równań wymiernych).
DT Dowodzenie twierdzeń z zastosowaniem: cech podzielności liczb, działań na wyrażeniach algebraicznych, działań na potęgach i pierwiastkach
F Funkcja liniowa i jej własności. Uzasadnianie i opisywanie za pomocą wzoru zależności funkcyjnych. Ilustracje w układzie współrzędnych.
G Pola i obwody figur płaskich. Zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych
ZL Zadania i zagadki logiczne.
UMIEJĘTNOŚCI:
stosowanie języka matematycznego przy zapisywaniu rozwiązań zadań i uzasadnianie strategii postępowania;
formułowanie wniosków na podstawie analizy podanego tekstu matematycznego;
sprawdzanie, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania;
rozwiązywanie łamigłówek logicznych, dostrzeganie prawidłowości.
12
PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA marzec 2012
SZKICE PRZYKŁADOWYCH ROZWIĄZAŃ ZADAŃ
Zadanie 1. Zadanie 2.
Odpowiedź A. Odpowiedź B.
Zadanie 3. (4 punkty)
Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o ten sam procent telewizor kosztuje o 36% mniej niż przed obniżkami. Ile % ceny początkowej stanowiła cena telewizora po pierwszej obniżce?
Rozwiązanie:
Cena początkowa – a
Procent obniżek – x
Cena po I obniżce – ax 1
Cena po dwóch obniżkach – ax 2
1
Cena po dwóch obniżkach – 0,64 a
2,0
8,01
64,012
x
x
x
Odpowiedź: Druga cena stanowiła 80% ceny początkowej. Zadanie 4. (4 punkty)
Uzasadnij, że istnieje tylko jedna liczba całkowita spełniająca równanie .11 xx
x
Rozwiązanie:
Aby iloczyn dwóch liczb całkowitych wynosił 1 musi zachodzić:
1.
1
11
x
x
x
lub 2.
1
11
x
x
x
Układ równań w przypadku 1. nie ma rozwiązań, bo z drugiego równania wynika, że 0x , a
pierwsze równanie spełnia tylko x = 0
Rozwiązując układ równań w przypadku 2. otrzymujemy:
12
2
2x
Wniosek: liczba (- 2) jest jedynym pierwiastkiem tego równania
UWAGA:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego zadania metodą inną niż podane poniżej przyznajemy maksymalną liczbę punktów
13
Zadanie 5. (3 punkty)
Sumę S miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego można opisać wzorem funkcji
360180 nnS .
a) podaj dziedzinę funkcji określonej powyższym wzorem, b) narysuj wykres tej funkcji dla 6n , c) ile boków ma wielokąt, którego suma S miar kątów wewnętrznych spełnia warunek
?20001900 S
Rozwiązanie:
a) dziedziną tej funkcji są liczby naturalne 3n
b) aby narysować wykres należy obliczyć współrzędne punktów (wykres składa się z 4 punktów o podanych współrzędnych):
n 3 4 5 6
S(n) 180 360 540 720
c)
9
510
9
95
18
190
9
111
9
100
18
200
1900180
2000180
n
n
n
n
wniosek: 11n
Odpowiedź: wielokąt spełniający podany warunek to jedenastokąt. Zadanie 6. (5 punktów)
W kąt prosty wpisano dwa okręgi zewnętrznie styczne i styczne do ramion kata. Promień mniejszego okręgu ma długość 1 cm. Oblicz długość promienia większego okręgu. Rozwiązanie:
ABS - prostokątny,
równoramienny, 2AS
ACO - prostokątny,
równoramienny, 2RAO
RAO 12
Mamy więc:
2231222
12
12
12
12
12)12(
122
R
R
R
RR
Odpowiedź: promień dużego okręgu ma długość .223
14
Zadanie 7. (4 punkty)
Pan Jabłoński planując nowy sad, chce zasadzić drzewka tak, by ich liczba w każdym rzędzie była równa liczbie rzędów. Zakupu drzewek do sadu dokonała jego żona, która kupiła o 6 drzewek więcej niż planował mąż. Pan Jabłoński obliczył, że jeśli doda jeszcze jeden rząd i po 1 drzewku w każdym rzędzie, to zabraknie mu 19 drzewek. Oblicz, ile drzewek kupiła żona pana Jabłońskiego Rozwiązanie: liczba drzewek planowana przez męża - nn
liczba drzewek zakupionych przez żonę – 62 n
nowa liczba drzewek – 19611 2 nnn
12
242
2512 22
n
n
nnn
Żona kupiła – 150614462 n drzewek
Odpowiedź: Żona pana Jabłońskiego kupiła 150 drzewek.
.
ZAKRES WYMAGAŃ:
LR Działania w zbiorze liczb rzeczywistych z uwzględnieniem działań na potęgach i pierwiastkach, zastosowanie tych działań w rozwiązywaniu zadań tekstowych.
WA Wyrażenia algebraiczne. Przekształcanie jednomianów i sum algebraicznych. Wzory skróconego mnożenia.
RN
Rozwiązywanie równań i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych.
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną (bez równań wymiernych).
DT Dowodzenie twierdzeń z zastosowaniem: cech podzielności liczb, działań na wyrażeniach algebraicznych, działań na potęgach i pierwiastkach
F Funkcja liniowa i jej własności. Uzasadnianie i opisywanie za pomocą wzoru zależności funkcyjnych. Ilustracje w układzie współrzędnych.
G Pola i obwody figur płaskich. Zastosowanie w rozwiązywaniu zadań tekstowych
ZL Zadania i zagadki logiczne.
UMIEJĘTNOŚCI:
stosowanie języka matematycznego przy zapisywaniu rozwiązań zadań i uzasadnianie strategii postępowania;
formułowanie wniosków na podstawie analizy podanego tekstu matematycznego;
sprawdzanie, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania;
rozwiązywanie łamigłówek logicznych, dostrzeganie prawidłowości.
Zadania opracowano wykorzystując podręczniki do matematyki dla gimnazjów oraz ogólnie dostępne zbiory zadań
Top Related