Matematyka I

De�nicje, twierdzenia

13 pazdziernika 2012

Literatura

� K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiówtechnicznych, cz. 1,2, HELPMATH, ×ódz 2007

� M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna I, O�cyna Wydawnicza GiS, Wroc÷aw2000

� T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, O�cyna Wydawnicza GiS, Wroc÷aw 2000

� A. Just, Matematyka dla studentów politechnik, Wydawnictwo P×, ×ódz 2012

� K. Kuratowski, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1964

� F. Leja, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1963

1 Liczby zespolone

1.1 Podstawowe de�nicjeDe�nicja 1.1 Zbiorem liczb zespolonych nazywamy zbiór C = R2 wraz z wyró·znionymielementami 0 = (0; 0) i 1 = (1; 0) oraz dzia÷aniami + i � zde�niowanymi jak poni·zej:

(a; b) + (x; y)def= (a+ x; b+ y) ; (a; b) � (x; y) def= (ax� by; ay + bx)

dla (a; b); (x; y) 2 R2.

Bez trudu mo·zna sprawdzic ÷¾acznosc i przemiennosc dodawania i mno·zenia oraz rozdziel-nosc mno·zenia wzgl¾edem dodawania. Liczb ¾a przeciwn ¾a do (x; y) jest

� (x; y) = (�x;�y) ;

zas odwrotn ¾a do (x; y) 6= 0 jest

(x; y)�1=

�x

x2 + y2;� y

x2 + y2

�:

W dalszym ci ¾agu zero 0 i jedynk¾e 1 zespolon ¾a b¾edziemy oznaczac po prostu przez 0 i 1.Przyjmujemy te·z oznaczenie:

idef= (0; 1) :

1

1. LICZBY ZESPOLONE

Uwaga 1.2 Zauwa·zmy, ·ze

i2 = (0; 1) � (0; 1) = (0� 1; 0 + 0) = (�1; 0) = � (1; 0) = �1;

co oznacza, ·ze w zbiorze liczb zespolonych równanie z2 = �1 posiada rozwi ¾azanie i jest nimliczba i.

Uwaga 1.3 Liczb¾e zespolon ¾a (x; 0) b¾edziemy uto·zsamiac z liczb ¾a rzeczywist ¾a x. W kon-sekwencji zbiór liczb rzeczywistych R mo·zna traktowac jako podzbiór zbioru C.

Jesli z = (x; y) jest liczb ¾a zespolon ¾a, to

(x; y) = (x; 0) + (0; y) =

= (x; 0) + (0; 1) � (y; 0) == x+ iy:

Ka·zd ¾a liczb ¾e zespolon ¾a z = (x; y), gdzie x; y 2 R, mo·zna jednoznacznie przedstawic wpostaci z = x+ iy, zwanej postaci ¾a kartezjansk ¾a liczby zespolonej.Liczb¾e zespolon ¾a z = x+ iy, gdzie x; y 2 R, mo·zna gra�cznie traktowac jako punkt (x; y)

lub jako wektor [x; y] zaczepiony w punkcie (0; 0). St ¾ad zbiór liczb zespolonych nazywamy te·zp÷aszczyzn ¾a zespolon ¾a (p÷aszczyzn ¾a Gaussa, p÷aszczyzn ¾a Arganda). Z tego równie·zpowodu dodawanie (odejmowanie) liczb zespolonych mo·zna interpretowac jako dodawanie(odejmowanie) wektorów.

Uwaga 1.4 Liczb zespolonych nie porównujemy ze sob ¾a w relacji mniejszosci <. Mówi ¾acdok÷adniej, nie istnieje taka relacja w zbiorze C, która by zachowywa÷a w÷asnosci relacji <ze zbioru R.

De�nicja 1.5 Niech z = x+ iy, gdzie x; y 2 R. Wówczas

� liczb ¾e x nazywamy cz ¾esci ¾a rzeczywist ¾a liczby z i oznaczamy przez Re z, a zatem

Re zdef= x;

� liczb ¾e y nazywamy cz ¾esci ¾a urojon ¾a liczby z i oznaczamy przez Im z, czyli

Im zdef= y:

Liczb ¾e postaci z = iy, y 2 Rr f0g, nazywamy liczb ¾a czysto urojon ¾a.

Uwaga 1.6 Niech z; w 2 C. Wówczas

z = w , (Re z = Rew ^ Im z = Imw) :

1.2 Sprz ¾e·zenie i modu÷liczby zespolonejDe�nicja 1.7 Sprz ¾e·zeniem liczby zespolonej z = x+ iy, x; y 2 R, nazywamy liczb ¾e

�zdef= x� iy:

Twierdzenie 1.8 Niech z; w 2 C. Wówczas

2

1. LICZBY ZESPOLONE

1. z � w = �z � �w;

2. z � w = �z � �w;

3.�zw

�= �z

�w ; o ile w 6= 0;

4. (�z) = z;

5. z + �z = 2Re z;

6. z � �z = 2i Im z:

De�nicja 1.9 Modu÷em liczby zespolonej z = x+iy, x; y 2 R, nazywamy liczb ¾e rzeczywist ¾a

jzj def=px2 + y2:

Zauwa·zmy, ·ze je·zeli z = x = x+ 0 � i jest liczb ¾a rzeczywist ¾a, to

jzj =px2 = jxj ;

gdzie jxj oznacza wartosc bezwzgl¾edn ¾a liczby rzeczywistej x.Geometrycznie modu÷liczby z = x + iy oznacza odleg÷osc punktu (x; y) od pocz ¾atku

uk÷adu wspó÷rz¾ednych (0; 0).

Twierdzenie 1.10 Niech z; w 2 C. Wówczas

1. jzj = j�zj = j�zj ;

2. jz � wj = jzj � jwj ;

3.�� zw

�� = jzjjwj , o ile w 6= 0;

4. jz + wj � jzj+ jwj (tzw. nierównosc trójk ¾ata);

5. jjzj � jwjj � jz � wj ;

6. jRe zj � jzj ; jIm zj � jzj ;

7. z � �z = jzj2.

1.3 Argument i postac trygonometryczna liczby zespolonejNiech z = x+ iy, gdzie x; y 2 R i z 6= 0. Zauwa·zmy, ·ze

(x

jzj )2 + (

y

jzj )2 =

x2

jzj2+

y2

jzj2=x2 + y2

x2 + y2= 1:

Istnieje zatem nieskonczenie wiele liczb ' 2 R takich, ·ze(cos' = x

jzj ;

sin' = yjzj :

(1.1)

De�nicja 1.11 � Je·zeli z = x + iy, gdzie x; y 2 R i z 6= 0, to ka·zd ¾a liczb ¾e ' 2 Rtak ¾a, ·ze zachodz ¾a równosci (1.1) nazywamy argumentem liczby zespolonej z. Zbiórwszystkich argumentów liczby z oznaczamy przez arg z.

3

1. LICZBY ZESPOLONE

� Sposród wszystkich argumentów liczby z 6= 0 dok÷adnie jeden nale·zy do przedzia÷u [0; 2�)�nazywamy go argumentem g÷ównym liczby z i oznaczamy symbolem Arg z.

� Przyjmujemy dodatkowo, ·ze argumentem liczby 0 jest ka·zda liczba ' 2 R oraz ·zeArg 0 = 0.

Uwaga 1.12 1. Zauwa·zmy, ·ze

arg z = fArg z + 2k� : k 2 Zg:

2. Niekiedy przyjmuje si¾e, ·ze Arg z 2 (��; �].

Je·zeli z = x+ iy jest dowoln ¾a liczb ¾a zespolon ¾a, to z (1.1) wynika, ·ze

x = jzj cos'; y = jzj sin';gdzie ' 2 R jest argumentem liczby z. St ¾ad dostajemy

z = x+ iy = jzj cos'+ i jzj sin' == jzj (cos'+ i sin') :

Wniosek 1.13 (postac trygonometryczna liczby zespolonej) Ka·zd ¾a liczb ¾e zespolon ¾az mo·zna przedstawic w postaci

z = jzj (cos'+ i sin') ; gdzie ' 2 arg z; (1.2)

gdzie ' 2 arg z, zwanej postaci ¾a geometryczn ¾a liczby zespolonej z.

Twierdzenie 1.14 Je·zeli z = jzj (cos'+ i sin') oraz w = jwj (cos + i sin ), to

1. z � w = jzj jwj (cos ('+ ) + i sin ('+ )) ;

2. zw =

jzjjwj (cos ('� ) + i sin ('� )) ; o ile w 6= 0:

Wniosek 1.15 Je·zeli z = jzj (cos'+ i sin'), tozn = jzjn (cos (n') + i sin (n')) ; n 2 Z:

W szczególnosci, jesli jzj = 1, tozn = cos (n') + i sin (n') ; n 2 N: (wzór de Moivre�a)

1.4 Pierwiastkowanie liczb zespolonychDe�nicja 1.16 Niech dana b¾edzie liczba zespolona z i n 2 N. Mówimy, ·ze liczba zespolonaw jest pierwiastkiem stopnia n z liczby z, gdy wn = z. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczbyz oznaczamy przez n

pz.

Przyk÷ad 1.17 �p�1 = f�i; ig;

� 4p1 = f�1; 1; i;�ig:

Twierdzenie 1.18 Je·zeli z = jzj (cos'+ i sin') jest liczb ¾a zespolon ¾a ró·zn ¾a od zera, to dlaka·zdego n 2 N istnieje dok÷adnie n ró·znych pierwiastków stopnia n z liczby z. Pierwiastkite maj ¾a postac

wk =npjzj�cos

'+ 2k�

n+ i sin

'+ 2k�

n

�; k = 0; 1; :::; n� 1: (1.3)

4

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

1.5 Zasadnicze twierdzenie algebryTwierdzenie 1.19 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Ka·zdy wielomian stopnia dodat-niego n o wspó÷czynnikach zespolonych ma w zbiorze C dok÷adnie n (niekoniecznie ró·znych)pierwiastków.

Wniosek 1.20 Ka·zdy wielomian W stopnia dodatniego n o wspó÷czynnikach zespolonychrozk÷ada si ¾e na czynniki liniowe, tzn.

W (z) = an (z � z1) (z � z2) ::: (z � zn) ;

gdzie an; z1; :::; zn 2 C.

Twierdzenie 1.21 Je·zeli W jest wielomianem o wspó÷czynnikach rzeczywistych i z0 2 Cjest jego pierwiastkiem, to liczba �z0 jest równie·z pierwiastkiemW oraz krotnosci pierwiastkówz0 i �z0 s ¾a sobie równe.

Wniosek 1.22 Ka·zdy wielomian stopnia dodatniego o wspó÷czynnikach rzeczywistych rozk÷adasi ¾e w ciele R na czynniki liniowe (x� a) b ¾adz kwadratowe

�x2 + px+ q

�, gdzie � = p2�4q <

0.

Wniosek 1.23 Ka·zdy wielomian stopnia dodatniego n o wspó÷czynnikach rzeczywistych maco najwy·zej n pierwiastków rzeczywistych.

Wniosek 1.24 Ka·zdy wielomian stopnia nieparzystego o wspó÷czynnikach rzeczywistych mapierwiastek rzeczywisty.

2 Macierze i wyznaczniki

2.1 Macierze i ich rodzajeDe�nicja 2.1 Niech X b ¾edzie dowolnym niepustym zbiorem oraz m;n 2 N. Macierz ¾a o mwierszach i n kolumnach (m� n macierz ¾a, macierz ¾a wymiaru m� n) o wyrazach w zbiorzeX nazywamy dowoln ¾a funkcj ¾e

A : f1; :::;mg � f1; :::; ng ! X:

Je·zeli X = R (X = C), to mówimy wtedy o macierzy rzeczywistej (zespolonej). Liczbym i n nazywamy wymiarami macierzy A.Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m � n o wyrazach ze zbioru X oznaczamy sym-

bolem Mm;n (X) (w szczególnosci Mm;n (R) oznacza zbiór wszystkich m�n macierzy rzeczy-wistych).

Przyjmujemy nast¾epuj ¾ace oznaczenie

aijdef= A (i; j) :

Wówczas piszemyA = [aij ]i=1;:::;m

j=1;:::;nlub A = [aij ]

5

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

i macierz A reprezentujemy w postaci tablicy

A =

2666666664

a11 a12 : : : a1j ::: a1na21 a22 : : : a2j : : : a2n...

......

...ai1 ai2 : : : aij : : : ain...

......

...am1 am2 : : : amj : : : amn

3777777775 i-ty wiersz

"j-ta kolumna

Uwaga 2.2 Mówimy, ·ze macierze A = [aij ] ; B = [bij ] 2Mm;n (X) s ¾a równe, gdy

aij = bij dla i = 1; :::;m; j = 1; :::; n:

Piszemy wtedy A = B.

Rodzaje macierzy

� Macierz A = [aij ] 2 Mm;n (X), gdzie X = R (X = C) nazywamy macierz ¾a zerow ¾a,je·zeli aij = 0 dla wszystkich i = 1; :::;m, j = 1; :::; n. Oznaczamy j ¾a przez 0m;n lub poprostu przez 0, gdy znane s ¾a wymiary.

� Je·zeli A = [aij ] 2 Mm;n (X) i m = n, to A nazywamy macierz ¾a kwadratow ¾a.Wyrazy a11; a22; :::; ann nazywamy g÷ówn ¾a przek ¾atn ¾a macierzy A.

Zak÷adamy dalej, ·ze A = [aij ] jest rzeczywist ¾a (zespolon ¾a) macierz ¾a kwadratow ¾a stopnian.

� Macierz A, n � 2, nazywamy macierz ¾a trójk ¾atn ¾a górn ¾a (doln ¾a), gdy

aij = 0 dla i > j (i < j);

czyli gdy pod (nad) g÷ówn ¾a przek ¾atn ¾a s ¾a same zera, tzn. A jest postaci

A =

2666664a11 a12 a13 : : : a1n0 a22 a23 : : : a2n0 0 a33 : : : a3n...

......

. . ....

0 0 0 0 ann

3777775 :

lub

A =

2666664a11 0 0 : : : 0a21 a22 0 : : : 0a31 a32 a33 : : : 0...

......

. . ....

an1 an2 an3 : : : ann

3777775

6

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

� Macierz A nazywamy macierz ¾a diagonaln ¾a, gdy

aij = 0 dla i 6= j;

czyli gdy poza g÷ówn ¾a przek ¾atn ¾a s ¾a same zera

A =

2666664a11 0 0 : : : 00 a22 0 : : : 00 0 a33 : : : 0...

......

. . ....

0 0 0 0 ann

3777775 :

Jesli przy tym aii = 1 dla i = 1; 2; :::; n, to A nazywamy macierz ¾a jednostkow ¾astopnia n i oznaczamy symbolem In

In =

26666641 0 0 : : : 00 1 0 : : : 00 0 1 : : : 0.......... . .

...0 0 0 : : : 1

3777775 :

� Macierz A nazywamy macierz ¾a symetryczn ¾a, gdy

aij = aji dla i > j;

czyli gdy wyrazy macierzy A le·z ¾a symetrycznie wzgl¾edem g÷ównej przek ¾atnej

A =

2666664a11 a12 a13 : : : a1na12 a22 a23 : : : a2na13 a23 a33 : : : a3n...

......

. . ....

a1n a2n a3n : : : ann

3777775 :

2.2 Operacje na macierzachW tym paragra�e mówimy o macierzach rzeczywistych (zespolonych).

De�nicja 2.3 Niech A;B 2Mm;n, A = [aij ], B = [bij ]. Sum ¾a macierzy A i B nazywamymacierz A+B 2Mm;n tak ¾a, ·ze

A+Bdef= [aij + bij ] :

Je·zeli � jest dowoln ¾a liczb ¾a, to ilocznem A przez � nazywamy macierz �A 2Mm;n tak ¾a,·ze

�Adef= [�aij ] :

Stwierdzenie 2.4 Jesli A;B;C s ¾a macierzami rzeczywistymi (zespolonymi) tego samegowymiaru, oraz �; � dowolnymi liczbami, to

1. A+B = B +A;

7

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

2. A+ (B + C) = (A+B) + C;

3. A+ 0 = A;

4. A+ (�A) = 0, gdzie �A = [�aij ], jesli A = [aij ] ;

5. (�+ �)A = �A+ �A;

6. � (A+B) = �A+ �B;

7. � (�B) = (��)B;

8. 1A = A:

De�nicja 2.5 Je·zeli A 2Mm;r i B 2Mr;n, A = [aij ], B = [bij ], to iloczynem macierzyA i B nazywamy macierz AB = [cij ] 2Mm;n, gdzie

cij =rX

k=1

aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + :::+ airbrj :

Uwaga 2.6 Zamiast A � ::: �A| {z }n razy

piszemy An.

Uwaga 2.7 Je·zeli u = [u1; u2; :::; un] i w = [w1; w2; :::; wn], to iloczynem skalarnym u i wnazywamy liczb¾e

u �w = u1w1 + u2w2 + :::+ unwn:

Iloczyn macierzy A i B powstaje zatem w ten sposób, ·ze wyraz cij jest równy iloczynowiskalarnemu wektora [ai1; :::; air] przez wektor [b1j ; :::; brj ].

Twierdzenie 2.8 Przy za÷o·zeniu, ·ze poni·zsze dzia÷ania na macierzach s ¾a wykonalne, za-chodz ¾a równosci

1. A (B + C) = AB +AC;

2. (A+B)C = AC +BC;

3. � (AB) = (�A)B = A (�B) dla dowolnej liczby �;

4. A (BC) = (AB)C;

5. ImA = AIn = A, gdy A 2Mm;n:

Uwaga 2.9 Na ogó÷mno·zenie macierzy nie jest przemienne!

De�nicja 2.10 Je·zeli A 2 Mm;n, to macierz ¾a transponowan ¾a do A nazywamy macierzAT = [bij ] 2Mn;m, gdzie

bij = aji; i = 1; :::; n; j = 1; :::;m:

Transponowanie macierzy polega na zamianie kolejnych wierszy na kolumny.

Twierdzenie 2.11 Jesli poni·zsze dzia÷ania s ¾a wykonalne, to:

1. (A+B)T = AT +BT ;

8

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

2. (�A)T = �AT ;

3.�AT�T= A;

4. (AB)T = BTAT ;

5. macierz kwadratowa A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy AT = A.

2.3 Wyznacznik macierzyDe�nicja 2.12 Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n, rzeczywistej lub ze-spolonej, nazywamy liczb ¾e detA okreslon ¾a nast ¾epuj ¾aco:

� gdy n = 1, A = [a11],detA

def= a11;

� gdy n = 2, A =�a11 a12a21 a22

�;

detAdef= a11a22 � a12a21;

� gdy n � 3, to

detAdef= (�1)1+1 a11W11 + (�1)1+2 a12W12 + :::+ (�1)1+n a1nW1n;

gdzie W1j oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n�1, powsta÷ej z A przezskreslenie pierwszego wiersza i j-tej kolumny.

Uwaga 2.13 Je·zeli A = [aij ], to zapisujemy

detA =

���������a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

.... . .

...an1 an2 : : : ann

���������Uwaga 2.14 Do obliczania wyznacznika macierzy stopnia 3 mo·zna u·zyc tzw. metodySarrusa: ����������

a11 a12 a13& .

a21 a22 a23&. &.

a31 a32 a33

����������. &. &. &

� a11 a12 a13 +. &. &. &

� a21 a22 a23 +. &

� +

= (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23)� (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21)

9

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

� Je·zeli A 2M2;2 (R), to jdetAj jest równe polu powierzchni równoleg÷oboku rozpi¾etegona wierszach (kolumnach) macierzy A: W szczególnosci, jesli detA = 0, to wiersze(kolumny) s ¾a równoleg÷e.

u = [a11; a12] ; v = [a21; a22]

jDj =����det � a11 a12

a21 a22

������ Je·zeli A 2 M3;3 (R), to jdetAj jest równe obj¾etosci równoleg÷oscianu rozpi¾etego nawierszach (kolumnach) macierzy A. W szczególnosci, jesli detA = 0, to wiersze(kolumny) le·z ¾a w jednej p÷aszczyznie.

u = [a11; a12; a13] ; v = [a21; a22; a23] ; w = [a31; a32; a33]

jV j =

������det24 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

35������Twierdzenie 2.15 (W÷asnosci wyznacznika macierzy) � detA = detAT , tzn.���������

a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

.... . .

...an1 an2 : : : ann

��������� =���������a11 a21 : : : an1a12 a22 : : : an2...

.... . .

...a1n a2n : : : ann

���������� Je·zeli pewien wiersz (kolumna) macierzy A sk÷ada si¾e z samych zer, to detA = 0:���������

a11 a12 : : : 0 : : : a1na21 a22 : : : 0 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : 0 : : : ann

��������� = 0

� Je·zeli macierz A ma dwa takie same wiersze (kolumny), to detA = 0:�����������

: : : : : : : : : : : :�1 �2 : : : �n...

......

�1 �2 : : : �n: : : : : : : : : : : :

�����������= 0

� Je·zeli macierz A ma dwa proporcjonalne wiersze (kolumny), to detA = 0:�����������

: : : : : : : : : : : :�1 �2 : : : �n...

......

��1 ��2 : : : ��n: : : : : : : : : : : :

�����������= 0

10

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

� Je·zeli macierzA jest trójk ¾atna (dolna lub górna), to wyznacznikA jest równy iloczynowielementów z g÷ównej przek ¾atnej, czyli

detA = a11 � ::: � ann;

w szczególnosci det In = 1:�����������

a11 0 0 : : : 0a21 a22 0 : : : 0a31 a32 a33 : : : 0...

......

. . ....

an1 an2 an3 : : : ann

�����������= a11 � a22 � ::: � ann;

���������1 0 : : : 00 1 : : : 0....... . .

...0 0 : : : 1

��������� = 1

� Je·zeli macierz B powstaje z A przez przestawienie dwóch dowolnych wierszy (kolumn),to

detB = �detA:�����������

: : : : : : : : : : : :�1 �2 : : : �n...

......

�1 �2 : : : �n: : : : : : : : : : : :

�����������= �

�����������

: : : : : : : : : : : :�1 �2 : : : �n...

......

�1 �2 : : : �n: : : : : : : : : : : :

������������ Je·zeli macierzB powstaje zA przez przemno·zenie pewnego wiersza (kolumny) macierzyA przez liczb ¾e �, to

detB = � detA:

W szczególnosci, jesli A ma stopien n, to

det (�A) = �n detA:

��������������

a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

�ai1 �ai2 : : : �ain...

......

an1 an2 : : : ann

��������������= �

��������������

a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

ai1 ai2 : : : ain...

......

an1 an2 : : : ann

������������������������a11 �a12 : : : �a1n�a21 �a22 : : : �a2n...

......

�an1 �an2 : : : �ann

��������� = �n

���������a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

an1 an2 : : : ann

���������� Wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jesli do pwenego wiersza (kolumny) dodamy

11

2. MACIERZE I WYZNACZNIKI

inny wiersz (kolumn¾e) pomno·zony przez dowoln ¾a liczb ¾e �.���������a11 : : : a1i : : : a1j : : : a1na21 : : : a2i : : : a2j : : : a2n...

......

...an1 : : : ani : : : anj : : : ann

���������=

���������a11 : : : a1i : : : �a1i + a1j : : : a1na21 : : : a2i : : : �a2i + a2j : : : a2n...

......

...an1 : : : ani : : : �ani + anj : : : ann

���������De�nicja 2.16 Niech A = [aij ] b ¾edzie macierz ¾a kwadratow ¾a stopnia n � 2. Dope÷nieniemalgebraicznym elementu aij nazywamy liczb ¾e

a�ij = (�1)i+j

Wij ;

gdzie Wij jest wyznacznikiem macierzy powsta÷ej z A przez skreslenie i-tego wiersza i j-tejkolumny.

Twierdzenie 2.17 (Laplace�a o rozwijaniu wyznacznika wzgl ¾edem wiersza lub kolumny)Je·zeli A jest macierz ¾a kwadratow ¾a stopnia n, n � 2, to dla dowolnych i0; j0 2 f1; :::; ng za-chodzi równosc

detA =nXj=1

ai0ja�i0j = ai01a

�i01 + ai02a

�i02 + :::+ ai0na

�i0n

(rozwini ¾ecie wzgl ¾edem wiersza i0),

detA =nXi=1

aij0a�ij0 = a1j0a

�1j0 + a2j0a

�2j0 + :::+ anj0a

�nj0

(rozwini ¾ecie wzgl ¾edem kolumny j0).

Twierdzenie 2.18 (Cauchy�ego) Je·zeli A i B s ¾a macierzami kwadratowymi tego samegostopnia, to

det (AB) = detA � detB

2.4 Macierz odwrotnaDe�nicja 2.19 Mówimy, ·ze macierz kwadratowa A stopnia n jest odwracalna, je·zeli ist-nieje taka macierz B, ·ze

AB = BA = In:

Taka macierz B jest jednoznacznie wyznaczona. Nazywamy j ¾a macierz ¾a odwrotn ¾a doA i oznaczamy symbolem A�1. Zatem

AA�1 = A�1A = In:

12

3. UK×ADY RÓWNAN LINIOWYCH

De�nicja 2.20 Macierz kwadratow ¾a A nazywamy nieosobliw ¾a, je·zeli

detA 6= 0;

w przeciwnym wypadku A nazywamy macierz ¾a osobliw ¾a.

Zauwa·zmy, ·ze jesli A jest odwracalna, to jest nieosobliwa, przy czym detA�1 = 1detA .

Istotnie

1 = det In = det�AA�1

�= detA � detA�1

i st ¾ad

detA�1 =1

detA:

Zachodzi te·z fakt odwrotny: jesli macierz A jest nieosobliwa, to jest odwracalna. Dosta-jemy wi¾ec

Twierdzenie 2.21 Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jestodwracalna. Jesli detA 6= 0, to

A�1 =1

detA

�a�ij�T;

gdzie�a�ij�oznacza macierz dope÷nien algebraicznych wyrazów macierzy A.

Przyk÷ad 2.22 Niech A =�a bc d

�b¾edzie macierz ¾a nieosobliw ¾a. Wówczas

A�1 =1

detA

�d �c�b a

�T=

1

ad� bc

�d �b�c a

�:

Twierdzenie 2.23 (W÷asnosci macierzy odwrotnej) Je·zeli A i B s ¾a macierzami nieosobli-wymi tego samego wymiaru, to

1. det�A�1

�= (detA)

�1;

2.�AT��1

=�A�1

�T;

3. (AB)�1 = B�1A�1;

4.�A�1

��1= A;

5. (�A)�1 = 1�A

�1 dla dowolnej liczby � 6= 0:

3 Uk÷ady równan liniowych

3.1 Podstawowe de�nicjeDe�nicja 3.1 Uk÷adem m równan liniowych z n niewiadomymi x1; :::; xn, gdzie m;n 2N, nazywamy ka·zdy uk÷ad równan postaci8>>><>>>:

a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm

(*)

13

3. UK×ADY RÓWNAN LINIOWYCH

gdzie aij (i = 1; :::;m, j = 1; :::; n) oraz bi (i = 1; :::;m) s ¾a ustalonymi liczbami rzeczywistymi(zespolonymi).Rozwi ¾azaniem uk÷adu równan liniowych (*) nazywamy ka·zdy ci ¾ag (x1; :::; xn) liczbrzeczywistych (zespolonych) spe÷niaj ¾acy ten uk÷ad.Macierz ¾a uk÷adu (*) nazywamy macierz

A =

26664a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n...

......

am1 am2 ::: amn

37775 :Zauwa·zmy, ·ze uk÷ad równan (*) mo·zna zapisac w tzw. postaci macierzowej

AX = B; (**)

gdzie

X =

26664x1x2...xn

37775 ; B =

26664b1b2...bm

37775 :Macierz B nazywamy kolumn ¾a wyrazów wolnych.

De�nicja 3.2 Mówimy, ·ze uk÷ad równan (*) jest

� sprzeczny, gdy nie ma rozwi ¾azan;

� oznaczony, gdy ma dok÷adnie jedno rozwi ¾azanie;

� nieoznaczony, gdy ma nieskonczenie wiele rozwi ¾azan.

De�nicja 3.3 Uk÷ad równan liniowych postaci

AX = 0

nazywamy uk÷adem jednorodnym.

Uwaga 3.4 Jednym z rozwi ¾azan uk÷adu jednorodnego jest rozwi ¾azanie zerowe

X =

2666400...0

37775 :

3.2 Twierdzenie CrameraDe�nicja 3.5 Uk÷adem równan Cramera nazywamy uk÷ad

AX = B;

w którym A jest (kwadratow ¾a) macierz ¾a nieosobliw ¾a.

14

3. UK×ADY RÓWNAN LINIOWYCH

Twierdzenie 3.6 (Cramera) Uk÷ad równan Cramera ma dok÷adnie jedno rozwi ¾azanie

X =1

W

26664W1

W2

...Wn

37775 ;gdzie W = detA oraz Wj (j = 1; :::; n) oznacza wyznacznik macierzy, która powstaje przezzast ¾apienie j-tej kolumny A kolumn ¾a wyrazów wolnych.

Wj =

���������a11 a12 ::: a1j�1 b1 a1j+1 ::: a1na12 a22 ::: a2j�1 b2 a2j+1 ::: a2n...

......

......

...an1 an2 ::: anj�1 bn anj+1 ::: ann

���������Wniosek 3.7 Jedynym rozwi ¾azaniem jednorodnego uk÷adu Cramera jest rozwi ¾azanie ze-rowe.

Uwaga 3.8 Je·zeliAX = B

jest uk÷adem Cramera, toX = A�1B:

3.3 Rz ¾ad macierzy i twierdzenie Kroneckera-CapellegoDe�nicja 3.9 Minorem stopnia r (r 2 N) macierzy A nazywamy wyznacznik macierzypowsta÷ej przez skreslenie pewnej ilosci wierszy lub kolumn macierzy A. W szczególnosci,jesli A jest macierz ¾a kwadratow ¾a stopnia n, to detA jest jej minorem stopnia n.

De�nicja 3.10 Rz ¾edem macierzy A nazywamy najwy·zszy ze stopni niezerowych minorówmacierzy A. Rz ¾ad macierzy A oznaczamy przez R (A).

Twierdzenie 3.11 (W÷asnosci rz¾edu macierzy) � Je·zeli A jest macierz ¾a wymiarum� n, to

0 � R (A) � minfm;ng:

� R (A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierz ¾a zerow ¾a

� Je·zeli A jest macierz ¾a kwadratow ¾a stopnia n, to

R (A) = n, detA 6= 0:

� Dla dowolnej macierzy A zachodzi równosc

R�AT�= R (A) :

� Je·zeli macierz B powstaje poprzez

� skreslenie zerowego wiersza (kolumny) macierzy A

15

4. CI ¾AGI LICZBOWE

� skreslenie jednego z dwóch identycznych wierszy (kolumn) macierzy A

� skreslenie jednego z dwóch proporcjonalnych wierszy (kolumn) macierzy A

� zamian ¾e dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy A

� dodanie do pewnego wiersza (kolumny) macierzy A innego wiersza (kolumny)pomno·zonego przez pewn ¾a liczb ¾e

toR (B) = R (A) :

De�nicja 3.12 Macierz ¾a uzupe÷nion ¾a uk÷adu

AX = B

nazywamy macierz

Udef= [AjB] ;

czyli

U =

26664a11 a12 ::: a1n b1a21 a22 ::: a2n b2...

......

...am1 am2 ::: amn bm

37775 :Twierdzenie 3.13 (Kronecker-Capelli) Uk÷ad m równan z n niewiadomymi

AX = B

ma rozwi ¾azanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R (A) = R (U) :

Wówczas rozwi ¾azania uk÷adu zale·z ¾a od n� r parametrów, gdzie r = R (A) = R (U).

4 Ci ¾agi liczboweDe�nicja 4.1 Ci ¾agiem (nieskonczonym) o wyrazach w zbiorze A nazywamy ka·zd ¾a funkcj ¾ea : N! A. Wartosc funkcji a dla liczby naturalnej n oznaczamy przez

an = a (n) 2 A:

Element an 2 A nazywamy n-tym wyrazem ci ¾agu a. Ci ¾ag o wyrazach an oznaczamy sym-bolem (an)n2N. Zbiór jego wyrazów oznaczamy przez fangn2N, tzn.

fangn2N = fan 2 A : n 2 Ng.

De�nicja 4.2 Niech a : N!A. Je·zeli A � R, to ci ¾ag a nazywamy ci ¾agiem liczbowym.Je·zeli A jest zbiorem funkcji, to ci ¾ag a nazywamy ci ¾agiem funkcyjnym.

De�nicja 4.3 Niech (an) b ¾edzie ci ¾agiem liczbowym. Ci ¾ag (an) nazywamy

� rosn ¾acym, gdyVn2N

an < an+1

16

4. CI ¾AGI LICZBOWE

� niemalej ¾acym, gdyVn2N

an � an+1

� malej ¾acym, gdyVn2N

an > an+1

� nierosn ¾acym, gdyVn2N

an � an+1

Ci ¾agi te nazywamy ci ¾agami monotonicznymi. Ci ¾agi malej ¾ace i rosn ¾ace nazywamyscisle monotonicznymi, zas niemalej ¾ace i nierosn ¾ace � monotonicznymi w szerszym sensie.

Twierdzenie 4.4 Jesli an > 0, to ci ¾ag (an) jest rosn ¾acy wtedy i tylko wtedy, gdy^n2N

an+1an

> 1:

De�nicja 4.5 � Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony z do÷u, gdy zbiór jego wyrazówfang jest ograniczony z do÷u, tzn _

m2R

^n2N

m � an:

� Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony z góry, gdy zbiór jego wyrazów fang jestograniczony z góry, tzn. _

M2R

^n2N

an �M

� Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony, gdy jest ograniczony z góry i z do÷u, czyli_m;M2R

^n2N

m � an �M:

Stwierdzenie 4.6 Ci ¾ag (an) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy_M>0

^n2Njanj �M:

De�nicja 4.7 Liczb ¾e a nazywamy granic ¾a (w÷asciw ¾a) ci ¾agu (an), gdy^">0

_k2N

^n>k

jan � aj < ";

czyli w dowolnym przedziale (a� "; a+ "), " > 0; le·z ¾a prawie wszystkie wyrazy ci ¾agu (an)(prawie wszystkie = wszystkie poza skonczon ¾a ilosci ¾a). Ci ¾ag (an) nazywamy zbie·znym, gdyma granic ¾e. Granic ¾e ci ¾agu (an) oznaczamy przez lim

n!1an;

limn!1

an = a:

Twierdzenie 4.8 Ka·zdy ci ¾ag zbie·zny ma dok÷adnie jedn ¾a granic ¾e.

De�nicja 4.9 Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest

17

4. CI ¾AGI LICZBOWE

� rozbie·zny do +1 (ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1), gdy^M2R

_k2N

^n>k

an > M ;

piszemy wtedy limn!1

an = +1;

� rozbie·zny do �1 (ma granic ¾e niew÷asciw ¾a �1), gdy^m2R

_k2N

^n>k

an < m;

piszemy wtedy limn!1

an = �1;

� rozbie·zny, gdy nie posiada granicy (w÷asciwej lub niew÷asciwej)

Twierdzenie 4.10 Je·zeli limn!1

an = a i limn!1

bn = b, a; b 2 R, to

1. limn!1

(an + bn) = a+ b;

2. limn!1

(an � bn) = a� b;

3. limn!1

(anbn) = ab;

4. limn!1

anbn= a

b o ile b 6= 0 i bn 6= 0.

Uwaga 4.11 Skreslenie lub dodanie do ci ¾agu skonczonej ilosci wyrazów nie wp÷ywa na jegozbie·znosc.

Twierdzenie 4.12limn!1

an = 0, limn!1

janj = 0:

Twierdzenie 4.13 Je·zeli limn!1

an = +1 oraz limn!1

bn = b > �1 lub limn!1

bn = +1, tolimn!1

(an + bn) = +1 i st ¾ad przyjmujemy umow ¾e

1+ b =1; b 2 R;1+1 =1:

Twierdzenie 4.14 Je·zeli limn!1

an = +1 oraz limn!1

bn > 0, to limn!1

(anbn) = +1; je·zelilimn!1

bn < 0, to limn!1

(anbn) = �1 i st ¾ad przyjmujemy umow ¾e

1�1 =1; 1� b =1; b > 0;1� (�1) = �1; 1� b = �1; b < 0:

Twierdzenie 4.15 Je·zeli limn!1

an = +1 (�1), to limn!1

1an= 0. St ¾ad umowa

1�1 = 0:

18

4. CI ¾AGI LICZBOWE

Twierdzenie 4.16 Je·zeli limn!1

an = 0, to

limn!1

1

an=

�+1; gdy an > 0 dla prawie wszystkich n�1; gdy an < 0 dla prawie wszystkich n:

St ¾ad przyjmujemy umow ¾e

10+ = +1;

10� = �1:

Twierdzenie 4.17

limn!1

qn =

8>><>>:+1 q > 11 q = 10 jqj < 1nie istnieje q � �1

Twierdzenie 4.18

limn!1

n� =

8<: 0 � < 01 � = 0+1 � > 0

Twierdzenie 4.19 Za÷ó·zmy, ·ze limn!1

an = +1.

� Je·zeli 0 < limn!1

bn � +1, to limn!1

(an)bn = +1.

� Je·zeli �1 � limn!1

bn < 0, to limn!1

(an)bn = 0:

St ¾ad przyjmujemy umow ¾e

11 =1 1b =1; b > 0;1�1 = 0 1b = 0; b < 0:

De�nicja 4.20 Poni·zsze wyra·zenia nazywamy symbolami nieoznaczonymi

1�1 11

00 0 � 1

11 00 10

Twierdzenie 4.21 Je·zeli ci ¾agi (an) i (bn) s ¾a zbie·zne oraz an < bn lub an � bn dla prawiewszystkich n, to

limn!1

an � limn!1

bn:

Twierdzenie 4.22 Za÷ó·zmy, ·ze dla prawie wszystkich wryazów ci ¾agów (an) i (bn) zachodzinierównosc

an � bn:

� Jesli limn!1

an = +1, to limn!1

bn = +1:

� Jesli limn!1

bn = �1, to limn!1

an = �1:

19

4. CI ¾AGI LICZBOWE

Twierdzenie 4.23 (o trzech ci ¾agach) Je·zeli dla ci ¾agów (an), (bn) i (cn) zachodzi nierównosc

an � bn � cn

oraz limn!1

an = limn!1

cn = a, to wówczas limn!1

bn = a.

Wniosek 4.24 Je·zeli limn!1

an = 0 i ci ¾ag (bn) jest ograniczony, to limn!1

anbn = 0.

Twierdzenie 4.25 1. limn!1

npn = 1:

2. limn!1

npa = 1; a > 0:

3. Je·zeli an � 0 i limn!1

an = a > 0, to limn!1

npan = 1.

Twierdzenie 4.26 Ka·zdy ci ¾ag zbie·zny jest ograniczony.

Twierdzenie 4.27 Ka·zdy ci ¾ag monotoniczny i ograniczony jest zbie·zny.

De�nicja 4.28 Mo·zna wykazac, ·ze ci ¾ag�1 + 1

n

�njest monotoniczny i ograniczony, a wi ¾ec

jest zbie·zny. Jego granic ¾e oznaczamy przez e

edef= lim

n!1

�1 +

1

n

�n:

Liczba e jest liczb ¾a niewymiern ¾a

e = 2; 7182818284:::

De�nicja 4.29 Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oz-naczamy symbolem ln

lnxdef= loge x; x > 0:

Twierdzenie 4.30 Je·zeli limn!1

an = +1 (�1), to limn!1

�1 + 1

an

�an= e.

De�nicja 4.31 Niech b¾edzie dany ciag (an). Podci ¾agiem ci ¾agu (an) nazywamy ka·zdy ci ¾agpostaci

(ank) ;

gdzie (nk) jest rosn ¾acym ci ¾agiem liczb naturalnych.

Twierdzenie 4.32 Je·zeli ci ¾ag (an) jest zbie·zny do a, to wszystkie podci ¾agi ci ¾agu (an) s ¾azbie·zne do a.

Twierdzenie 4.33 (Bolzano-Weierstrassa) Z ka·zdego ci ¾agu ograniczonego mo·zna wybracpodci ¾ag zbie·zny. Z ka·zdego ci ¾agu nieograniczonego mo·zna wybrac podci ¾ag rozbie·zny do M+1 lub �1.

20

5. GRANICE FUNKCJI

5 Granice funkcji

5.1 Podstawowe de�nicjeDe�nicja 5.1 Otoczeniem punktu x0 2 R nazywamy ka·zdy przedzia÷postaci

U (x0) = (x0 � �; x0 + �) ; gdzie � > 0:

S ¾asiedztwem punktu x0 nazywamy ka·zdy zbiór postaci

S (x0) = (x0 � �; x0) [ (x0; x0 + �) = (x0 � �; x0 + �)� fx0g; gdzie � > 0:

S ¾asiedztwem prawostronnym punktu x0 nazywamy ka·zdy przedzia÷

S+ (x0) = (x0; x0 + �) ;

zas lewostronnym � ka·zdy przedzia÷

S� (x0) = (x0 � �; x0) :

De�nicja 5.2 Niech X � R b ¾edzie zbiorem niepustym. Mówimy, ·ze x0 2 R jest punktemskupienia zbioru X, je·zeli istnieje ci ¾ag (xn) taki, ·ze

fxng � X � fx0g oraz limn!1

xn = x0:

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru X oznaczamy symbolem Xd. Je·zeli dodatkowojest spe÷niony warunek

x0 < xn; (xn < x0)

dla wszystkich n, to x0 nazywamy prawostronnym (lewostronnym) punktem skupi-enia. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów skupienia zbioru X oznaczamy przezXd+ (X

d�). Punkty x 2 X, które nie s ¾a punktami skupienia zbioru X nazywamy punktami

izolowanymi.

Uwaga 5.3 ×atwo widac, ·ze

� x0 2 S (x0)d ;

� x0 2 S+ (x0)d+ ;

� x0 2 S� (x0)d� :

De�nicja 5.4 (granicy funkcji w punkcie) Niech f : X ! R oraz niech x0 2 Xd.Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w punkcie x0, je·zeli

limn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X � fx0g i limn!1

xn = x0. Piszemy wtedy

limx!x0

f (x) = g:

21

5. GRANICE FUNKCJI

Mówimy, ·ze funkcja f ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 (�1) w punkcie x0, je·zeli

limn!1

f (xn) = +1 (�1)

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X � fx0g i limn!1

xn = x0. Piszemy wtedy

limx!x0

f (x) = +1�limx!x0

f (x) = �1�:

De�nicja 5.5 (granicy funkcji w +1) Niech f : X ! R i za÷ó·zmy, ·ze zbiór X nie jestograniczony z góry. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w +1, je·zeli

limn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X oraz limxn = +1. Piszemy wtedy

limx!+1

f (x) = g:

Mówimy, ·ze funkcja f ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 (�1) w +1, je·zeli

limn!1

f (xn) = +1 (�1)

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X i limxn = +1: Piszemy wtedy

limx!+1

f (x) = +1�lim

x!+1f (x) = �1

�:

Analogicznie de�niujemy granice funkcji w �1 (przy za÷o·zeniu, ·ze X nie jest zbioremograniczonym z do÷u)

De�nicja 5.6 (granicy prawostronnej) Niech f : X ! R i x0 2 Xd+. Mówimy, ·ze g

(g 2 R, g = �1) jest granic ¾a prawostronn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) funkcji f w punkcie x0,co zapisujemy przez

limx!x+0

f (x) = g;

jesli jest spe÷niony waruneklimn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X, limn!1

xn = x0 oraz xn > x0.

De�nicja 5.7 (granicy lewostronnej) Niech f : X ! R i x0 2 Xd_ . Mówimy, ·ze g

(g 2 R, g = �1) jest granic ¾a lewostronn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) funkcji f w punkcie x0, cozapisujemy przez

limx!x�0

f (x) = g;

jesli jest spe÷niony waruneklimn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X, limn!1

xn = x0 oraz xn < x0.

22

5. GRANICE FUNKCJI

Twierdzenie 5.8 Niech f : X ! R oraz x0 2 Xd+ \ Xd

�. Wówczas granica funkcji f wpunkcie x0 jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a granice jednostronne w x0 i s ¾arówne g, tzn.

limx!x0

f (x) = g , limx!x+0

f (x) = g = limx!x�0

f (x)

Twierdzenie 5.9 (o arytmetyce granic w÷asciwych) Je·zeli f; g : X ! R, x0 2 Xd

oraz limx!x0

f (x) = a, limx!x0

g (x) = b, przy czym a; b 2 R, to

1. limx!x0

(f (x)� g (x)) = a� b;

2. limx!x0

(f (x) � g (x)) = a � b;

3. limx!x0

f(x)g(x) =

ab ; o ile b 6= 0;

4. limx!x0

(f (x))g(x)

= ab, o ile a � 0; jesli a = 0, to zak÷adamy, ·ze b 6= 0.

Twierdzenie 5.10 (o arytmetyce granic niew÷asciwych)

1+1 =1; 1+ a =1; a 2 R;

1 �1 =1; a � 1 =1; a > 01 � (�1) = �1; a � 1 = �1; a < 0

a�1 = 0; a 2 R;

a0+ = +1; a > 0; a

0� = �1; a > 0;

b1 =

�0; 0 � b < 1;+1; 1 < b � 1

1a =

�0; �1 � a < 0;+1; 0 < a � +1:

Twierdzenie 5.11 (o granicy funkcji z÷o·zonej) Niech f : X ! Y � R i g : Y ! R.Jesli spe÷nione s ¾a warunki:

1. limx!x0

f (x) = y0 2 Y d;

2. limy!y0

g (y) = a;

to limx!x0

g (f (x)) = a.

Twierdzenie 5.12 (o trzech funkcjach) Je·zeli funkcje f; g; h : X ! R spe÷niaj ¾a warunki:

23

5. GRANICE FUNKCJI

1.V

x2S(x0)f (x) � g (x) � h (x) dla pewnego s ¾asiedztwa S (x0) ;

2. istniej ¾a granice limx!x0

f (x) = a = limx!x0

h (x) ;

to limx!x0

g (x) = a.

Twierdzenie 5.13 (o dwóch funkcjach) Niech funkcje f; g : X ! R spe÷niaj ¾a warunek^x2S(x0)

f (x) � g (x) :

Wówczas

� je·zeli limx!x0

f (x) = +1, to limx!x0

g (x) = +1;

� je·zeli limx!x0

g (x) = �1, to limx!x0

f (x) = �1.

Uwaga 5.14 Powy·zsze twierdzenia pozostaj ¾a prawdziwe, je·zeli zamiast granicy w punkciex0 wyst¾epuj ¾a granice jednostronne lub granice w �1.

Twierdzenie 5.15limx!0

sin xx = 1

limx!0

(1 + x)1=x

= e:

5.2 Asymptoty funkcjiDe�nicja 5.16 Niech f : X ! R i x0 2 Xd. Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamyprawostronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcji f , je·zeli

limx!x+0

f (x) = �1 albo limx!x+0

f (x) = +1:

Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamy lewostronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcjif , je·zeli

limx!x�0

f (x) = �1 albo limx!x�0

f (x) = +1:

Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamy obustronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcjif , je·zeli jest asymptot ¾a prawostronn ¾a i lewostronn ¾a.

De�nicja 5.17 Niech f : X ! R. Je·zeli X nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to prost ¾ao równaniu y = ax+ b nazywamy asymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcji f w +1, gdy

limx!+1

(f (x)� (ax+ b)) = 0:

Je·zeli X nie jest zbiorem ograniczonym z do÷u, to prost ¾a o równaniu y = ax+ b nazywamyasymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcji f w �1, gdy

limx!�1

(f (x)� (ax+ b)) = 0:

Je·zeli a = 0, to odpowiedni ¾a asymptot ¾e ukosn ¾a nazywamy asymptot ¾a poziom ¾a.

24

6. CI ¾AG×OSC FUNKCJI

Uwaga 5.18 Prosta y = b jest asympot ¾a poziom ¾a wykresu funkcji f w 1 wtedy i tylkowtedy, gdy lim

x!+1f (x) = b.

Twierdzenie 5.19 Prosta o równaniu y = Ax+ B jest asymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcjif w +1 wtedy i tylko wtedy, gdy

limx!+1

f (x)

x= A i lim

x!+1(f (x)�Ax) = B

(o ile te granice istniej ¾a i s ¾a skonczone). Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptot ¾aukosn ¾a wykresu funkcji f w �1 wtedy i tylko wtedy, gdy

limx!�1

f (x)

x= a i lim

x!�1(f (x)� ax) = b:

6 Ci ¾ag÷osc funkcjiDe�nicja 6.1 (Heine) Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U (x0) � X. Mówimy, ·zefunkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie x0, je·zeli

limx!x0

f (x) = f (x0) :

Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w ka·zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ·ze jest ci ¾ag÷a.

Uwaga 6.2 Podobnie mo·zna zde�oniowac ci ¾ag÷osc funkcji w punktach zbioru X, które s ¾apunktami skupienia X. Przyjmujemy wtedy dodatkowo, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punktachizolowanych.

De�nicja 6.3 Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U+ (x0) 2 X. Mówimy, ·ze funkcjaf jest ci ¾ag÷a prawostronnie w punkcie x0, je·zeli

limx!x+0

f (x) = f (x0) :

Analogiczne de�niujemy lewostronn ¾a ci ¾ag÷osc funkcji w punkcie.

Uwaga 6.4 Powiemy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], je·zeli jest ci ¾ag÷a naprzedziale (a; b) oraz jest prawostonnie ci ¾ag÷a w a i jest lewostronnie ci ¾ag÷a w b.

Twierdzenie 6.5 Niech f : X ! R, x0 2 X i U (x0) � X. Funkcja f jest ci ¾ag÷a w x0wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawostronnie i lewostronnie ci ¾ag÷a w x0.

De�nicja 6.6 Niech f : X ! R, x0 2 X i U (x0) � X. Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f nie jestci ¾ag÷a w x0. Mówimy, ·ze funkcja f ma w punkcie x0 nieci ¾ag÷osc

� pierwszego rodzaju, je·zeli istniej ¾a skonczone granice limx!x+0

f (x) i limx!x�0

f (x) oraz

limx!x+0

f (x) 6= f (x0) lub limx!x�0

f (x) 6= f (x0) ;

25

6. CI ¾AG×OSC FUNKCJI

� drugiego rodzaju, je·zeli jedna z granic jednostronnych

limx!x+0

f (x) ; limx!x�0

f (x)

jest niew÷asciwa lub nie istnieje.

Twierdzenie 6.7 Je·zeli funkcje f i g s ¾a ci ¾ag÷e w x0, to

1. funkcje f � g s ¾a ci ¾ag÷e w x0;

2. funkcja fg jest ci ¾ag÷a w x0;

3. funkcja fg jest ci ¾ag÷a w x0, o ile g(x0) 6= 0.

Twierdzenie 6.8 Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w x0 i g jest ci ¾ag÷a w f (x0), to g � f jestci ¾ag÷a w x0.

De�nicja 6.9 Funkcjami elementarnymi podstawowymi nazywamy funkcje sta÷e, pot ¾e-gowe, wyk÷adnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Funkcje, które mo·znaz nich otrzymac za pomoc ¾a skonczonej ilosci dzia÷an arytmetycznych oraz z÷o·zenia funkcji,nazywamy funkcjami elementarnymi.

Twierdzenie 6.10 Funkcje elementarne s ¾a ci ¾ag÷e na swoich dziedzinach.

Twierdzenie 6.11 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f : [a; b]! R jest ró·znowartosciowa i ci ¾ag÷a. Wów-czas f jest monotoniczna oraz funkcja odwrotna f�1 : f [[a; b]]! R jest te·z ci ¾ag÷a i monoton-iczna.

Twierdzenie 6.12 (Weierstrass) Je·zeli funkcja f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to jest ogranic-zona, co wi ¾ecej osi ¾aga swoj ¾a wartosc najwi ¾eksz ¾a i najmniejsz ¾a na przedziale [a; b], tzn._

c2[a;b]

f (c) = maxx2[a;b]

f (x) ;_

d2[a;b]

f (d) = minx2[a;b]

f (x) :

Twierdzenie 6.13 (Darboux) Je·zeli funkcja f : [a; b] ! R jest ci ¾ag÷a oraz f (a) < f (b),to ^

y2(f(a);f(b))

_x2(a;b)

f (x) = y.

Uwaga 6.14 Je·zeli w powy·zszym twierdzeniu za÷o·zymy, ·ze f (b) < f (a), to^y2(f(b);f(a))

_x2(a;b)

f (x) = y.

Wniosek 6.15 Je·zeli f : [a; b]! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a i f (a)�f (b) < 0, to istnieje x 2 (a; b),·ze f (x) = 0.

26

7. POCHODNA FUNKCJI

7 Pochodna funkcji

7.1 Podstawowe poj ¾ecia i w÷asnosciDe�nicja 7.1 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a rzeczywist ¾a okreslon ¾a na pewnym otoczeniu U (x0; r) =(x0 � r; x0 + r) punktu x0. Ilorazem ró·znicowym odpowiadaj ¾acym przyrostowi h takiemu,·ze 0 < jhj < r, nazywamy

f (x0 + h)� f (x0)h

:

Geometrycznie jest to wspó÷czynnik kierunkowy prostej przechodz ¾acej przez punkty (x0; f (x0)),(x0 + h; f (x0 + h)).

De�nicja 7.2 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a rzeczywist ¾a okreslon ¾a na pewnym otoczeniu U (x0; r).Pochodn ¾a (w÷asciw ¾a) funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic ¾e

f 0 (x0) = limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

;

o ile ta granica istnieje i jest skonczona.

De�nicja 7.3 Mówimy, ·ze funkcja f : X ! R jest ró·zniczkowalna, je·zeli jest ró·zniczkowalnaw ka·zdym punkcie swojej dziedziny. Funkcj ¾e

X ! Rx 7! f 0 (x)

nazywamy pochodn ¾a funkcji f i oznaczamy przez f 0.

Twierdzenie 7.4 (Pochodne podstawowych funkcji elementarnych) 1. (c)0 = 0dla dowolnej funkcji sta÷ej f (x) = c, gdzie c 2 R jest ustalone;

2. (xn)0 = nxn�1 dla x 2 R i n 2 N;

3. (x�)0 = �x��1; � 6= 0;

4. (ex)0 = ex;

5. (ax)0 = ax ln a, a > 0, a 6= 1;

6. (lnx)0 = 1x , x > 0;

7. (loga x)0= 1

x ln a , x > 0, a > 0, a 6= 1;

8. (sinx)0 = cosx;

9. (cosx)0 = � sinx;

10. (tg x)0 = 1cos2 x ;

11. (ctg x)0 = � 1sin2 x

;

12. (arcsinx)0 = 1p1�x2 , x 2 (�1; 1) ;

13. (arccosx)0 = � 1p1�x2 , x 2 (�1; 1) ;

27

7. POCHODNA FUNKCJI

14. (arctg x)0 = 11+x2 ; x 2 R;

15. (arcctg x)0 = � 11+x2 , x 2 R.

Twierdzenie 7.5 (Warunek konieczny ró·zniczkowalnosci) Je·zeli funkcja f jestró·zniczkowalna w punkcie x0, to jest ci ¾ag÷a w x0.

De�nicja 7.6 (Pochodne jednostronne) Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na zbiorzeU+ (x0; r) = [x0; x0 + r), gdzie r > 0. Pochodn ¾a prawostronn ¾a funkcji f w punkcie x0nazywamy granic ¾e

f 0+ (x0) = limh!0+

f (x0 + h)� f (x0)h

;

o ile ta granica istnieje i jest skonczona.Analogicznie, je·zeli f jest okreslona na zbiorze U� (x0; r) = (x0 � r; x0], gdzie r > 0, to

pochodn ¾a lewostronn ¾a funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic ¾e

f 0� (x0) = limh!0�

f (x0 + h)� f (x0)h

;

o ile ta granica istnieje i jest skonczona.

Ró·zniczkowalnosc funkcji f : [a; b] ! R oznacza, ·ze f ma pochodn ¾a na przedziale (a; b)oraz ma pochodn ¾a prawostronn ¾a w a i lewostronn ¾a w b.

Twierdzenie 7.7 Funkcja f ma pochodn ¾a w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

f 0� (x0) = f 0+ (x0) .

Je·zeli spe÷niony jest powy·zszy warunek, to pochodna f w punkcie x0 jest równa tej wspólnejwartosci.

De�nicja 7.8 Niech f : X ! R b ¾edzie ci ¾ag÷a na pewnym otoczeniu punktu x0 2 X.Mówimy, ·ze prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie x0, je·zeli przy h ! 0prosta przechodz ¾aca przez punkty (x0; f (x0)) i (x0 + h; f (x0 + h)) ma po÷o·zenie granicznerówne l.

Twierdzenie 7.9 Je·zeli funkcja f jest ró·zniczkowalna w punkcie x0, to równanie stycznejdo wykresu funkcji f w punkcie x0 ma postac

y = f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ;

czyli geometrycznie f 0 (x0) jest wspó÷czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu fw punkcie x0.

Twierdzenie 7.10 (o arytmetyce pochodnych) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ró·zniczkowalnew punkcie x0, to

1. (f � g)0 (x0) = f 0 (x0)� g0 (x0) ;

2. (fg)0 (x0) = f 0 (x0) g (x0) + f (x0) g0 (x0), w szczególnosci (cf)

0(x0) = cf 0 (x0) ;

3.�fg

�0(x0) =

f 0(x0)g(x0)�f(x0)g0(x0)(g(x0))

2 , o ile g (x0) 6= 0.

28

7. POCHODNA FUNKCJI

Twierdzenie 7.11 (o pochodnej funkcji z÷o·zonej) Je·zeli funkcja f jest ró·zniczkowalnaw punkcie x0 oraz g jest ró·zniczkowalna w punkcie f (x0), to z÷o·zenie g�f jest ró·zniczkowalnew x0 przy czym

(g � f)0 (x0) = g0 (f (x0)) � f 0 (x0) .

Twierdzenie 7.12 (Rolle�a) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], ró·zniczkowalnana (a; b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt x0 2 (a; b), ·ze f 0 (x0) = 0.

Twierdzenie 7.13 (Lagrange�a o przyrostach) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale[a; b] i ró·zniczkowalna na (a; b), to istnieje taki punkt x0 2 (a; b), ·ze

f 0 (x0) =f (b)� f (a)

b� a :

Wniosek 7.14 Niech f b ¾edzie ró·zniczkowalna na przedziale (a; b). Wówczas

� je·zeli f 0 (x) = 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest sta÷a na (a; b);

� je·zeli f 0 (x) > 0 (f 0 (x) � 0) dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest rosn ¾aca (niemale-j ¾aca) na (a; b) ;

� je·zeli f 0 (x) < 0 (f 0 (x) � 0) dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest malej ¾aca (nieros-n ¾aca) na (a; b):

Twierdzenie 7.15 (Cauchy�ego o przyrostach) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ci ¾ag÷e na przedziale[a; b], ró·zniczkowalne na (a; b) i g0 (x) 6= 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to istnieje x0 2 (a; b), ·ze

f (b)� f (a)g (b)� g (a) =

f 0 (x0)

g0 (x0):

Uwaga 7.16 Twierdzenie Lagrange�a o przyrostach jest szczególnym przypadkiem twierdzeniaCauchy�ego, gdy g (x) = x, x 2 [a; b].

Twierdzenie 7.17 Je·zeli funkcja f

1. jest ró·zniczkowalna na przedziale (a; b)

2.V

x2(a;b)f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0);

to istnieje funkcja odwrotna f�1 oraz�f�1

�0(f (x)) = 1

f 0(x) dla ka·zdego x 2 (a; b).

Twierdzenie 7.18 (regu÷a de l�Hospitala) Je·zeli funkcje f i g spe÷niaj ¾a warunki:

1. limx!x0

f (x) = limx!x0

g (x) = 0 lub limx!x0

f (x) = limx!x0

g (x) = +1;

2. istnieje granica limx!x0

f 0(x)g0(x) (w÷asciwa lub nie)

to

limx!x0

f (x)

g (x)= lim

x!x0

f 0 (x)

g0 (x):

29

7. POCHODNA FUNKCJI

Uwaga 7.19 Powy·zsze twierdzenie jest prawdziwe tak·ze dla granic jednostronnych i granicw +1 lub w �1.

Uwaga 7.20 Zamiana symboli nieoznaczonych 0 � 1, 1�1, 00, 11, 10 na 00 lub

11 .

� Je·zeli limx!x0

f (x) = 0� i limx!x0

g (x) = �1, to wówczas limx!x0

1g(x) = 0 i limx!x0

1f(x) = �1;

st ¾ad

limx!x0

f (x) g (x) = [0 � 1] =

= limx!x0

f (x)1

g(x)

=

�0

0

�= lim

x!x0

g (x)1

f(x)

=h11

i;

� Je·zeli limx!x0

f (x) = limx!x0

g (x) = +1, to

limx!x0

(f (x)� g (x)) = [1�1]

= limx!x0

11

f(x)

� 11

g(x)

!

= limx!x0

1g(x) �

1f(x)

1f(x)g(x)

=

�0

0

�;

� W przypadku, gdy limx!x0

f (x)g(x) daje jeden z symboli nieoznaczonych 11; 00; 10

stosujemy przekszta÷cenie

f (x)g(x)

= eln f(x)g(x)

= eg(x) ln(x);

7.2 Badanie funkcjiDe�nicja 7.21 (Ekstrema lokalne) Niech f : X ! R, X � R oraz x0 2 X. Mówimy, ·zefunkcja f ma w punkcie x0

� minimum lokalne, je·zeli _r>0

^x2S(x0;r)

f (x) � f (x0)

� maksimum lokalne , je·zeli_r>0

^x2S(x0;r)

f (x) � f (x0) :

Je·zeli w powy·zszych warunkach zachodz ¾a nierównosci ostre f (x) > f (x0) (f (x) <f (x0)), to mówimy o minimum (maksimum) lokalnym w÷asciwym.

30

7. POCHODNA FUNKCJI

De�nicja 7.22 Niech f : X ! R. Mówimy, ·ze funkcja f ma

� wartosc najmniejsz ¾a m na zbiorze A � X, je·zeli_x02A

f (x0) = m i^x2A

f (x) � m;

� wartosc najwi ¾eksz ¾a M na zbiorze A � X, je·zeli_x02A

f (x0) =M i^x2A

f (x) �M:

Twierdzenie 7.23 (Fermata � warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)Je·zeli funkcja f ma ekstermum lokalne w punkcie x0 oraz f jest ró·zniczkowalna w x0, tof 0 (x0) = 0.

Uwaga 7.24 Warunek f 0 (x0) = 0 nie jest warunkiem wystarczaj ¾acym do istnienia ek-stremum lokalnego w x0, np. niech f (x) = x3; wtedy f 0 (x) = 3x2 oraz f 0 (0) = 0, ale wx0 = 0 funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.

Twierdzenie 7.25 (I warunek wystarczaj ¾acy istnienia maksimum lokalnego) Niechf : (a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a na (a; b) oraz x0 2 (a; b). Je·zeli f 0 (x0) = 0 i

_r>0

0@ ^x2(x0�r;x0)

f 0 (x) > 0 ^^

x2(x0;x0+r)

f 0 (x) < 0

1A ;

to funkcja f ma maksimum lokalne w÷asciwe w punkcie x0.

Uwaga 7.26 Analogicznie formu÷ujemy warunek wystarczaj ¾acy istnienia minimum lokalnegow÷asciwego.

Twierdzenie 7.27 (II warunek wystarczaj ¾acy istnienia ekstremum) Je·zeli istniejeliczba parzysta n � 2 taka, ·ze

1. f 0 (x0) = f 00 (x0) = ::: = f (n�1) (x0) = 0;

2. f (n) (x0) < 0�f (n) (x0) > 0

�,

to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne w÷asciwe.

De�nicja 7.28 Mówimy, ·ze funkcja f jest wypuk÷a na przedziale (a; b), je·zeli^x1;x22(a;b)

^t2(0;1)

f (tx1 + (1� t)x2) � tf (x1) + (1� t) f (x2) :

Mówimy, ·ze funkcja f jest wkl ¾es÷a na przedziale (a; b), je·zeli^x1;x22(a;b)

^t2(0;1)

f (tx1 + (1� t)x2) � tf (x1) + (1� t) f (x2) :

Je·zeli w powy·zszych warunkach zachodz ¾a nierównosci ostre, to mówimy o scis÷ej wy-puk÷osci (wkl ¾es÷osci).

31

8. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Twierdzenie 7.29 Za÷ó·zmy, ·ze f jest funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a na przedziale (a; b). Funkcjaf jest wypuk÷a (wkl ¾es÷a) na (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu x0 2 (a; b)

f (x) � f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ; x 2 (a; b)

(f (x) � f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ; x 2 (a; b))tzn. wykres funkcji f na przedziale (a; b) le·zy "powy·zej"("poni·zej") stycznej do wykresufunkcji w punkcie (x0).

Twierdzenie 7.30 Je·zeli f 00 (x) > 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest wypuk÷a na(a; b). Je·zeli f 00 (x) < 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to f jest wkl ¾es÷a na (a; b).

De�nicja 7.31 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na pewnym otoczeniu U (x0) punktux0 i f jest ci ¾ag÷a w x0. Mówimy, ·ze funkcja f ma pochodn ¾a niew÷asciw ¾a w x0 je·zeli

limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

= +1 lub limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

= �1.

De�nicja 7.32 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na pewnym otoczeniu U (x0) punktu x0i ·ze ma pochodn ¾a w x0 (w÷asciw ¾a lub nie). Punkt (x0; f (x0)) nazywamy punktem przegi ¾e-cia wykresu funkcji, je·zeli dla pewnego � > 0 funkcja f jest scisle wypuk÷a na (x0 � �; x0) iscisle wkl ¾es÷a na (x0; x0 + �) lub odwrotnie.

Twierdzenie 7.33 (Warunek konieczny istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli (x0; f (x0))jest punktem przegi ¾ecia funkcji f oraz istnieje f 00 (x0), to f 00 (x0) = 0.

Uwaga 7.34 Warunek f 00 (x0) = 0 nie jest warunkiem wystarczaj ¾acym istnienia punktuprzegi¾ecia w x0. Je·zeli f (x) = x4, to f 00 (x) = 12x2, f 00 (0) = 0, ale funkcja f nie ma punktuprzegi¾ecia w (0; 0); f jest wypuk÷a.

Twierdzenie 7.35 (warunek wystarczaj ¾acy istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli funkcjaf ma w punkcie x0 pochodn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) oraz

_�>0

0@ ^x2(x0��;x0)

f 00 (x) > 0 ^^

x2(x0;x0+�)

f 00 (x) < 0

1A ;

to punkt (x0; f (x0)) jest punktem przegi ¾ecia wykresu funkcji f .

Uwaga 7.36 Powy·zsze twierdzenie jest prawdziwe, gdy na zbiorach (x0 � �; x0), (x0; x0 + �)s ¾a nierównosci odwrotne.

8 Ca÷ka nieoznaczona i oznaczona

8.1 Ca÷ka nieoznaczonaDe�nicja 8.1 Funkcj ¾e F nazywamy funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f na przedziale I, je·zeli Fjest ró·zniczkowalna i

F 0 (x) = f (x)

dla ka·zdego x 2 I.

32

8. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Twierdzenie 8.2 Je·zeli F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f na przedziale I, to

1. G (x) = F (x) + c, gdzie c 2 R, jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f na I;

2. ka·zda funkcja pierwotna funkcji f na przedziale I jest postaci F (x) + c dla pewnejsta÷ej c.

Twierdzenie 8.3 Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a na przedziale I ma funkcj ¾e pierwotn ¾a.

De�nicja 8.4 Niech f : I ! R b ¾edzie ustalon ¾a funkcj ¾a. Zbiór wszystkich funkcji pierwot-nych funkcji f nazywamy ca÷k ¾a nieoznaczon ¾a funkcji f i oznaczamy przezZ

f (x) dx:

Jesli F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f na przedziale I, toZf (x) dx = fF (x) + c : c 2 Rg:

Uwaga 8.5 Ogólniej, powiemy, ·ze F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f : X ! R je·zeli F jestró·zniczkowalna na X oraz

F 0 (x) = f (x)

dla ka·zdego x 2 X (nie wymagamy teraz, ·zeby dziedzina funkcji f by÷a jednym przedzia÷em).Je·zeli f (x) = 0 dla x 6= 0, to funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f jest ka·zda funkcja postaci

F (x) =

�C1; x < 0;C2; x > 0;

gdzie C1 i C2 s ¾a dowolnymi sta÷ymi.

Ca÷ki nieoznaczone pewnych funkcji elementarnych

1.R0dx = C; x 2 R,

2.Rxndx = 1

n+1xn+1 + C; x 2 R, n 2 N [ f0g, w szczególnosci

R1dx = x+ C;

3.Rxpdx = 1

p+1xp+1 + C, gdzie p 2 f�2;�3;�4; :::g, x 2 (�1; 0) lub x 2 (0;+1),

4.Rx�dx = 1

�+1x�+1 + C, � 2 R� Z,

5.R1xdx = ln jxj+ C, gdzie x 2 (�1; 0) lub x 2 (0;+1),

6.Rexdx = ex + C

7.Raxdx = 1

ln aax + C;

8.Rsinxdx = � cosx+ C;

9.Rcosxdx = sinx+ C;

10.R

dxcos2 x = tg x+ C, gdzie x 2

���2 + k�;

�2 + k�

�i k 2 Z jest ustalone,

11.R

dxsin2 x

= � ctg x+ C;

12.R

dx1+x2 = arctg x+ C;

33

8. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

13.R

dxp1�x2 = arcsinx+ C, jxj < 1:

Twierdzenie 8.6 Je·zeli f i g maj ¾a funkcje pierwotne na przedziale I, to

1.R(f (x)� g (x)) dx =

Rf (x) dx�

Rg (x) dx;

2.R�f (x) dx = �

Rf (x) dx dla dowolnej liczby � 2 R� f0g.

Twierdzenie 8.7 (o ca÷kowaniu przez cz¾esci) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ró·zniczkowalne ijedna z funkcji fg0 lub f 0g ma funkcj ¾e pierwotn ¾a, to druga z nich te·z ma, przy czymZ

f (x) g0 (x) dx = f (x) g (x)�Zf 0 (x) g (x) dx:

Twierdzenie 8.8 (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je·zeli:

1. f : I ! J jest ró·zniczkowalna,

2. g : J ! R ma funkcj ¾e pierwotn ¾a G,

to wówczas funkcja (g � f) f 0 jest ca÷kowalna przy czymZ(g (f (t))) f 0 (t) dt = G (f (t)) + C:

Twierdzenie 8.9 1.R f 0(x)

f(x) dx = ln jf (x)j+ C;

2.R f 0(x)p

f(x)dx = 2

pf (x) + C:

8.2 Ca÷ka oznaczonaDe�nicja 8.10 Podzia÷em przedzia÷u [a; b] nazywamy zbiór P = fxi 2 [a; b] : i =0; 1; :::; ng taki, ·ze

a = x0 < x1 < ::: < xn = b:

Zbiór wszystkich podzia÷ów przedzia÷u [a; b] oznaczamy przez P [a; b].Wartosciowaniem podzia÷u P nazywamy zbiór T = fti 2 [a; b] : i = 1; :::; ng taki, ·ze

ti 2 [xi�1; xi] ; i = 1; :::; n:

Zbiór wszystkich wartosciowan podzia÷u P oznaczamy przez T (P ).Srednic ¾a podzia÷u P nazywamy liczb ¾e

� (P ) = maxfxi � xi�1 : i = 1; :::; ng:

De�nicja 8.11 Niech f : [a; b] ! R. Sum ¾a Riemanna dla funkcji f , podzia÷u P = fxi :i = 0; :::; ng przedzia÷u [a; b] i jego wartosciowania T = fti : i = 1; :::; ng nazywamy liczb ¾e

S (f; P; T ) =nXi=1

f (ti) (xi � xi�1) :

34

8. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

De�nicja 8.12 Ci ¾ag podzia÷ów (Pk), k 7! Pk 2 P [a; b] nazywamy normalnym, je·zeli

limk!1

� (Pk) = 0.

De�nicja 8.13 Liczb ¾e S (f) nazywamy ca÷k ¾a Riemanna z funkcji f na przedziale [a; b],je·zeli dla dowolnego normalnego ci ¾agu podzia÷ów (Pk) przedzia÷u [a; b] i dowolnego ci ¾aguwartosciowan (Tk) (Tk 2 T (Pk))

S (f) = limk!1

S (f; Pk; Tk) :

Liczb ¾e S (f) w dalszym ci ¾agu oznaczac b ¾edziemy przez

S (f) =

Z b

a

f (x) dx:

De�nicja 8.14 Funkcj ¾e f , dla której istnieje ca÷ka Riemanna na przedziale [a; b] nazywamyfunkcj ¾a ca÷kowaln ¾a na [a; b]. Przyjmujemy dodatkowo, ·zeZ a

a

f (x) dx = 0

i dla funkcji ca÷kowalnej f na [a; b]Z a

b

f (x) dx = �Z b

a

f (x) dx:

Interpretacja geometryczna ca÷ki oznaczonej.Niech f b¾edzie ca÷kowalna na [a; b]. Je·zeli f (x) � 0 dla x 2 [a; b] oraz

D = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ 0 � y � f (x)g;

to Z b

a

f (x) dx = jDj ;

je·zeli f (x) � 0 dla x 2 [a; b] i

D = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ f (x) � y � 0g;

to Z b

a

f (x) dx = � jDj :

Twierdzenie 8.15 Je·zeli funkcje f i g s ¾a ca÷kowalne na [a; b], to wówczas f+g i �f , � 2 R,s ¾a ca÷kowalne, przy czym

1.R ba(f (x) + g (x)) dx =

R baf (x) dx+

R bag (x) dx;

2.R ba�f (x) dx = �

R baf (x) dx:

35

8. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Twierdzenie 8.16 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; b] i c 2 (a; b), toZ b

a

f (x) dx =

Z c

a

f (x) dx+

Z b

c

f (x) dx:

Twierdzenie 8.17 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b], to wówczas jf j jest te·z ca÷kowalnana [a; b] i �����

Z b

a

f (x) dx

����� �Z b

a

jf (x)j dx:

Twierdzenie 8.18 Je·zeli f i g s ¾a ca÷kowalne na [a; b] i f (x) � g (x) dla ka·zdego x 2 [a; b],to Z b

a

f (x) dx �Z b

a

g (x) dx:

Twierdzenie 8.19 Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f : [a; b]! R jest ca÷kowalna na [a; b].

Uwaga 8.20 Zachodzi fakt ogólniejszy: je·zeli f : [a; b]! R jest ograniczona i ma skonczon ¾aliczb ¾e punktów nieci ¾ag÷osci pierwszego rodzaju, to f jest ca÷kowalna.

Twierdzenie 8.21 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b], to jest ograniczona.

Przyk÷ad 8.22 Funkcja Dirichleta f : [0; 1]! R

f (x) =

�1; x 2 Q;0; x =2 Q

jest ograniczona, ale nie jest ca÷kowalna w sensie Riemanna.

Twierdzenie 8.23 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b] i istniej ¾a liczby m;M takie, ·ze^x2[a;b]

m � f (x) �M;

to wówczas

m (b� a) �Z b

a

f (x) dx �M (b� a) :

Twierdzenie 8.24 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a ca÷kowaln ¾a na przedziale [a; b] i niech x0 2 [a; b]b ¾edzie dowolnym punktem. Wówczas funkcja

F (x) =

Z x

x0

f (t) dt

jest ci ¾ag÷a. Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w x, to F jest ró·zniczkowalna w x, przy czymF 0 (x) = f (x) :

Twierdzenie 8.25 (Newtona-Leibniza, zasadnicze tw. rachunku ca÷kowego) Je·zelif : [a; b]! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, toZ b

a

f (x) dx = F (b)� F (a) ;

gdzie F jest dowoln ¾a funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f .

36

8. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Uwaga 8.26 Przyjmujemy nast¾epuj ¾ace oznaczenie

F (x) jba = F (b)� F (a) :

Uwaga 8.27 Za÷ó·zmy, ·ze a > 0 i f jest ca÷kowalna na przedziale [�a; a].

� Je·zeli f jest parzysta, toR a�a f (x) dx = 2

R a0f (x) dx:

� Je·zeli f jest nieparzysta, toR a�a f (x) dx = 0:

Twierdzenie 8.28 (o ca÷kowaniu przez cz¾esci) Je·zeli funkcje f i g maj ¾a ci ¾ag÷e pochodnena [a; b], to Z b

a

f 0 (x) g (x) dx = [f (x) g (x)]ba �

Z b

a

f (x) g0 (x) dx:

Twierdzenie 8.29 (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je·zeli ' : [�; �] �! [a; b] maci ¾ag÷¾a pochodn ¾a, ' (�) = a, ' (�) = b oraz f jest ci ¾ag÷a na [a; b], toZ b

a

f (x) dx =

Z �

�

f (' (t))'0 (t) dt:

Twierdzenie 8.30 (o wartosci sredniej) Je·zeli f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to istnieje takipunkt c 2 (a; b), ·ze Z b

a

f (x) dx = f (c) (b� a) :

Zastosowania geometryczne ca÷ek

� Niech dane b¾ed ¾a funkcje ci ¾ag÷e f; g : [a; b]! R. Wówczas pole obszaru ograniczonegowykresami funkcji f i g na przedziale [a; b] wyra·za si¾e wzoremZ b

a

jf (x)� g (x)j dx

� Niech (t) = (x (t) ; y (t)), t 2 [a; b] b¾edzie parametryzacj ¾a krzywej �. Powiemy,·ze � jest ÷ukiem zwyk÷ym, gdy funkcje x i y s ¾a ci ¾ag÷e i krzywa nie ma punktówwielokrotnych, tzn. (t1) 6= (t2) dla t1 6= t2. Mówimy, ·ze � jest krzyw ¾a zamkni¾et ¾a,gdy (a) = (b). Je·zeli � jest (zamkni¾etym) ÷ukiem zwyk÷ym, przy czym pochodnefunkcji x i y s ¾a ci ¾ag÷e, to d÷ugosc krzywej � jest równa

l =

Z b

a

q(x0 (t))

2+ (y0 (t))

2dt:

� Za÷ó·zmy, ·ze f : [a; b] ! R jest funkcj ¾a nieujemn ¾a. Niech V oznacza obj¾etosc bry÷ypowsta÷ej przez obrót trapezu krzywoliniowego

f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ 0 � y � f (x)g

wokó÷osi OX. Wówczas obj¾etosc V jest równa

jV j = �

Z b

a

f2 (x) dx:

37

8. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Pole powierzchni bocznej otrzymanej bry÷y jest równe

jSj = 2�Z b

a

f (x)

q1 + (f 0 (x))

2dx:

8.3 Ca÷ki niew÷asciweDe�nicja 8.31 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest ca÷kowalna na ka·zdym przedziale [a; �] dla ka·zdejliczby � > a. Je·zeli istnieje granica w÷asciwa

lim�!+1

Z �

a

f (x) dx;

to nazywamy j ¾a ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a;+1) i oznaczamy symbolemZ +1

a

f (x) dx:

St ¾ad Z +1

a

f (x) dxdef= lim

�!+1

Z �

a

f (x) dx:

Je·zeli powy·zsza granica istnieje i jest w÷asciwa, to mówimy, ·ze ca÷ka funkcji f na przedziale[a;+1) jest zbie·zna. Je·zeli granica ta nie istnieje lub jest niew÷asciwa, to mówimy, ·ze ca÷kaniew÷asciwa jest rozbie·zna. Ca÷k ¾e niew÷asciw ¾a na przedziale nieograniczonym nazywamyca÷k ¾a niew÷asciw ¾a pierwszego rodzaju.

W podobny sposób okreslamy ca÷k¾e niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale (�1; a]:Z a

�1f (x) dx

def= lim

�!�1

Z a

�

f (x) dx:

De�nicja 8.32 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na ka·zdym przedziale [a; b], to ca÷k ¾e funkcjif na przedziale (�1;+1) de�niujemy jako sum ¾eZ 1

�1f (x) dx

def= lim

�!�1

Z 0

�

f (x) dx+ lim�!+1

Z �

0

f (x) dx:

Mówimy, ·ze ca÷ka funkcji f na przedziale (�1;+1) jest zbie·zna, gdy zbie·zne s ¾a ca÷kiR 0�1 f (x) dx i

R +10

f (x) dx.

Przyk÷ad 8.33 Ca÷ka Z 1

1

dx

x�

jest rozbie·zna dla � � 1 i zbie·zna dla � > 1.

Twierdzenie 8.34 (Kryterium porównawcze) Za÷ó·zmy, ·ze funkcje f; g : [a;+1) ! Rs ¾a ca÷kowalne na ka·zdym przedziale [a; �] dla � > a oraz^

x�a0 � f (x) � g (x) :

� Je·zeli ca÷kaR +1a

g (x) dx jest zbie·zna, to zbie·zna jest ca÷kaR +1a

f (x) dx.

38

9. SZEREGI

� Je·zeli ca÷kaR +1a

f (x) dx jest rozbie·zna, to ca÷kaR +1a

g (x) dx jest rozbie·zna.

De�nicja 8.35 Mówimy, ·ze ca÷kaR +1a

f (x) dx jest bezwzgl ¾ednie zbie·zna, gdy zbie·zna jest

ca÷kaR +1ajf (x)j dx. Je·zeli ca÷ka

R +1a

f (x) dx jest zbie·zna, ale nie bezwgl ¾ednie, to mówimy,·ze jest warunkowo zbie·zna.

Twierdzenie 8.36 Je·zeli dla ka·zdego � > a funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; �] ica÷ka

R +1ajf (x)j jest zbie·zna, to ca÷ka

R +1a

f (x) dx jest zbie·zna, przy czym����Z +1

a

f (x) dx

���� � Z +1

a

jf (x)j :

De�nicja 8.37 Niech f : [a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a nieograniczon ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdymprzedziale [a; �] ,gdzie a < � < b. Je·zeli istnieje granica w÷asciwa

lim�!b�

Z �

a

f (x) dx;

to nazywamy j ¾a ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a; b]. Oznaczamy j ¾a symbolemR baf (x) dx i st ¾ad Z b

a

f (x) dx = lim�!b�

Z �

a

f (x) dx:

Podobnie, je·zeli f : (a; b] ! R jest funkcj ¾a nieograniczon ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdymprzedziale [�; b], gdzie a < � < b, to ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a; b] nazywamygranic¾e Z b

a

f (x) dxdef= lim

�!a+

Z b

�

f (x) dx;

przy za÷o·zeniu, ·ze powy·zsza granica istnieje i jest skonczona.Ca÷k¾e niew÷asciw ¾a z funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym nazywamy ca÷k ¾a

niew÷asciw ¾a drugiego rodzaju. Je·zeli ca÷ka ta istnieje, to mówimy, ·ze jest zbie·zna, w przeci-wnym wypadku mówimy, ·ze jest rozbie·zna.

Przyk÷ad 8.38 Ca÷kaR 10dxx� jest zbie·zna dla � < 1 i rozbie·zna dla � � 1.

Je·zli istniej ¾a ca÷ki niew÷asciwe drugiego rodzaju funkcji f na przedzia÷ach [a0; a1], [a1; a2],:::,[an�1; an],to przyjmujemy Z an

a0

f (x) dx =nXi=1

Z ai

ai�1

f (x) dx:

9 SzeregiDe�nicja 9.1 Niech b¾edzie dany ci ¾ag (an) liczb rzeczywistych. Ci ¾agiem sum cz ¾esciowychodpowiadaj ¾acych ci ¾agowi (an) nazywamy ci ¾ag (sn), gdzie

sn = a1 + :::+ an:

Szeregiem o wyrazie ogólnym an nazywamy par¾e uporz ¾adkowan ¾a ((an) ; (sn)) i oznaczamyprzez

1Xn=1

an:

39

9. SZEREGI

De�nicja 9.2 Mówimy, ·ze szeregP1

n=1 an jest zbie·zny, je·zeli zbie·zny jest ci ¾ag sum cz ¾es-ciowych (sn) dla ci ¾agu (an). Je·zeli s = lim

n!1sn, to s nazywamy sum ¾a szeregu

P1n=1 an i

piszemy

s =1Xn=1

an.

Mówimy, ·ze szeregP1

n=1 an jest rozbie·zny, je·zeli ci ¾ag sum cz ¾esciowych (sn) dla ci ¾agu (an)jest rozbie·zny.

Twierdzenie 9.3 (Warunek konieczny zbie·znosci szeregów) Je·zeli szereg1Pn=1

an jest

zbie·zny, to limn!1

an = 0.

Twierdzenie 9.4 Je·zeli szereg1Pn=1

an jest zbie·zny do a oraz szereg1Pn=1

bn jest zbie·zny do

b, to wówczas szeregi1Pn=1

(an + bn) oraz1Pn=1

�an s ¾a zbie·zne (� 2 R jest dowoln ¾a liczb ¾a) przyczym

1Xn=1

(an + bn) = a+ b;

1Xn=1

�an = �a:

Twierdzenie 9.5 (kryterium porównawcze) Za÷ó·zmy, ·ze dla prawie wszystkich n za-chodzi nierównosc

0 � an � bn:

� Je·zeli szeregPbn jest zbie·zny, to szereg

Pan jest zbie·zny.

� Je·zeli szeregPan jest rozbie·zny, to szereg

Pbn jest rozbie·zny.

De�nicja 9.6 Szeregiem harmonicznym rz ¾edu � nazywamy szereg postaci

1Xn=1

1

n�:

Twierdzenie 9.7 Szereg harmoniczny1Pn=1

1n� jest:

� zbie·zny, gdy � > 1;

� rozbie·zny, gdy � � 1:

Twierdzenie 9.8 (kryterium d�Alemberta) Za÷ó·zmy, ·ze an > 0 dla ka·zdego n i niech

g = limn!1

an+1an

:

� Je·zeli g < 1, to szereg1Pn=1

an jest zbie·zny.

� Je·zeli g > 1, to szereg1Pn=1

an jest rozbie·zny.

40

10. SZEREGI POT ¾EGOWE. SZEREG TAYLORA

Twierdzenie 9.9 (kryterium Cauchy�ego) Za÷ó·zmy, ·ze an � 0 dla ka·zdego n i niech

g = limn!1

npan:

� Je·zeli g < 1, to szeregP1

n=1 an jest zbie·zny.

� Je·zeli g > 1, to szeregP1

n=1 an jest rozbie·zny.

Twierdzenie 9.10 (Leibniza) Je·zeli ci ¾ag (an) spe÷nia warunki:

1. a1 � a2 � a3 � :::: � 0;

2. limn!1

an = 0,

to szereg1Pn=1

(�1)n an jest zbie·zny.

Przyk÷ad 9.11 Szereg1Pn=1

(�1)n 1n jest zbie·zny (jest to tzw. szereg anharmoniczny)

De�nicja 9.12 Mówimy, ·ze szereg1Pn=1

an jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, gdy szereg1Pn=1janj

jest zbie·zny. Mówimy, ·ze szereg1Pn=1

an jest warunkowo zbie·zny, gdy jest zbie·zny, ale nie

jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny.

Twierdzenie 9.13 Je·zeli szereg1Pn=1

an jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, to jest zbie·zny.

Przyk÷ad 9.14 Szereg1Pn=1

(�1)n 1n jest warunkowo zbie·zny.

Uwaga 9.15 Wyst¾epuj ¾acy powy·zej szeregPcn nazywamy iloczynem szeregów

Pan iP

bn.

Twierdzenie 9.16 (Cauchy � Maclaurina) Niech f : [a;+1) ! R b ¾edzie funkcj ¾anieujemn ¾a, nierosn ¾ac ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdym przedziale [a; �], dla � > a. Ca÷ka

R +1a

f (x)jest zbie·zna wtedy i tylko wtedy, gdy szereg

P1n=1 f (a+ n) jest zbie·zny.

10 Szeregi pot ¾egowe. Szereg Taylora

10.1 Szeregi pot ¾egoweDe�nicja 10.1 Szeregiem pot ¾egowym o wyrazie ogólnym an nazywamy szereg postaci

a0 + a1x+ a2x2 + :::+ anx

n + ::: =1Xn=0

anxn;

przy czym przyjmujemy, ·ze 00 = 1.

41

10. SZEREGI POT ¾EGOWE. SZEREG TAYLORA

Uwaga 10.2 Szereg pot¾egowyPanx

n jest zawsze zbie·zny dla x = 0 � jego suma równasi¾e wtedy a0.

De�nicja 10.3 Promieniem zbie·znosci szeregu pot ¾egowegoPanx

n nazywamy liczb ¾e rtak ¾a, ·ze szereg jest zbie·zny, gdy jxj < r i rozbie·zny dla jxj > r. Dodatkowo przyjmujemy,·ze r = 0, gdy szereg jest zbie·zny tylko dla x = 0 oraz r = +1, gdy szereg jest zbie·zny dlaka·zdego x 2 R. Przedzia÷(�r; r) nazywamy przedzia÷em zbie·znosci szeregu.

Twierdzenie 10.4 (Hadamarda-Cauchy�ego) Je·zeli

g = limn!1

npjanj lub g = lim

n!1

����an+1an

���� ;to promien zbie·znosci szeregu pot ¾egowego

Panx

n jest równy

r =

8<:+1; g = 01g ; 0 < g < +10; g = +1:

Twierdzenie 10.5 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a wewn ¾atrz przedzia÷uzbie·znosci, przy czym 1X

n=0

anxn

!0=

1Xn=1

nanxn�1:

Twierdzenie 10.6 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ca÷kowaln ¾a wewn ¾atrz przedzia÷u zbie·znosci,przy czym Z x

0

1Xn=0

antn

!dt =

1Xn=1

an�1xn

n

10.2 Szeregi TayloraDe�nicja 10.7 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f ma w punkcie x0 pochodn ¾a rz ¾edu n 2 N. Wielomian

fn;x0 (x) = f (x0) +f 0 (x0)

1!(x� x0) +

f 00 (x0)

2!(x� x0)2 + :::

:::+f (n) (x0)

n!(x� x0)n

=nXk=0

f (k) (x0)

k!(x� x0)k

nazywamy wielomianem Taylora rz ¾edu n funkcji f w punkcie x0. Je·zeli x0 = 0, towielomian ten nazywamy wielomianem Maclaurina

fn;0 (x) =nXk=0

f (k) (0)

k!xk:

Twierdzenie 10.8 (wzór Taylora z reszt ¾a Lagrange�a) Je·zeli funkcja f jest n krotnieró·zniczkowalna na przedziale [x0; x], to istnieje c 2 (x0; x), ·ze

f (x) = fn�1;x0 (x) +Rn;x0 (x) :

42

10. SZEREGI POT ¾EGOWE. SZEREG TAYLORA

gdzie

Rn;x0 (x) =f (n) (c)

n!(x� x0)n

� jest to tzw. n-ta reszta Lagrange�a. Zatem

f (x) = f (x0) +f 0 (x0)

1!(x� x0) +

f 00 (x0)

2!(x� x0)2 + :::

:::+f (n�1) (x0)

(n� 1)! (x� x0)n�1 +f (n) (c)

n!(x� x0)n :

Uwaga 10.9 Reszt¾e Lagrange�a mo·zna zapisac w nast¾epuj ¾acej postaci: je·zeli h = x � x0,to

Rn;x0 (x) =f (n) (x0 + �h)

n!hn;

gdzie � 2 (0; 1).

Je·zeli x0 = 0, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina

f (x) = f (0) + f 0 (0)x+ :::+f (n�1) (0)

(n� 1)! xn�1 +

f (n) (�x)

n!xn:

Uwaga 10.10 Je·zeli limn!1

Rn;x0 (x) = 0 na pewnym otoczeniu punktu x0, to wówczas ze

wzoru Taylora dostajemy

f (x) =1Xn=0

f (n) (x0)

n!(x� x0)n :

Jest to tzw. rozwini¾ecie w szereg Taylora funkcji f w otoczeniu punktu x0. W szczegól-nosci, jesli we wzorze Maclaurina lim

n!1Rn;0 (x) = 0 na otoczeniu 0, to

f (x) =1Xn=0

f (n) (0)

n!xn

� rozwini¾ecie funkcji f w szereg Maclaurina.

Przyk÷ad 10.11 Przyk÷adowe rozwini¾ecia funkcji w szereg Maclaurina:

1.

ex =1Xn=0

xn

n!;

2.

sinx =1Xn=0

(�1)n x2n+1

(2n+ 1)!;

3.

cosx =1Xn=0

(�1)n x2n

(2n)!;

43

10. SZEREGI POT ¾EGOWE. SZEREG TAYLORA

4.

ln (x+ 1) =1Xn=1

(�1)n+1 xn

n; jxj < 1;

5.

(1 + x)�=

1Xn=0

� (�� 1) ::: (�� n+ 1)n!

xn; jxj < 1:

44