ATAT ÜRK AN ADO L U L İ SESİ
MATEMATİK
Çok Terimliler
Üzerine Kısa Çalışmalar
KONYA \ SELÇUKLU ©2017
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 2
14 POLİNOMLAR
Polinomların matematikteki yeri çok özeldir. Polinomlar davranış bakımından tahmin edilebilir durumdadır. Doğrusallık özeliklerine sahip olması sebebiyle birçok olayın açıklanmasında
kullanılabilmektedir. Doğrusal olmayan fonksiyonlara göre polinomların üzerinde işlem yapmak çok
kolaydır. Polinomların davranışlarının ne olacağı tahmin edilebilir. Polinomlar, mühendislik alanında da önemli bir yere sahiptir.
Polinom sözcüğünün anlamı Türk Dil Kurumu sözlüğünde
- Çok terimli
olarak tanımlanmaktadır.
14.1 Polinomlar ile İlgili Temel Kavramlar
Belirsiz (değişken), üs ve katsayı terimleri polinomların temel kavramlarıdır. Bu kavramlar
Üslü Sayılar ve Fonksiyonlar konularında kullanılmıştır.
14.2 Reel (Gerçel) Kat Sayılı ve Bir Belirsizli (Değişkenli) Polinom
Tanım (REEL (GERÇEL) KAT SAYILI VE BİR BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ)
POLİNOM)
0 1 2 3 n 2 n 1 na ,a ,a ,a , ,a ,a ,a , n ve x belirsiz (değişken) bir eleman olmak üzere,
n
n1n
1n2n
2n3
32
21
10
0 xaxaxaxaxaxaxa)x(P
biçimindeki yazılımlara, reel (gerçel) kat katsayılı ve bir belirsizli (değişkenli) polinom denir.
nn1n
1n2n
2n3
32
210 xa ,xa ,xa , ,xa ,xa ,xa ,a
yazılımlarına, polinomun terimleri
denir.
0 1 2 3 n 2 n 1 na , a , a , a , , a , a , a sayılarına, polinomunun kat sayıları denir.
n1nk210 olmak üzere derecesi en büyük olan nn xa teriminin
derecesine, )x(P polinomun derecesi denir ve n)x(Pder biçiminde gösterilir.
Derecesi en büyük olan nn xa teriminin kat sayısı olan na sayısına, polinomun baş kat sayısı
denir.
Derecesi en küçük olan 00 xa teriminin kat sayısı olan 0a sayısına, polinomun sabit terimi
denir.
Örnek 1: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun belirsizi (değişkeni) nedir?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 3
Yanıt 1:
)x(P ifadesinde belirsiz (değişken) olarak x kullanılmıştır.
Örnek 2: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun terimleri nelerdir?
Yanıt 2:
5x3x4x)x(P 235 polinomunun terimleri ,x5 ,x4 3 ,x3 2 5 dir. Terim sayısı
da 4 dür.
Örnek 3: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun kat sayıları nelerdir?
Yanıt 3:
5x3x4x)x(P 235 polinomunun terimleri ,x5 ,x4 3 ,x3 2 5 olduğundan,
katsayıları da bu terimlerdeki bilinmeyenlerin başındaki sayıdır. Bu durumda kat sayılar 1, ,4 ,3
ve 5 dir. Burada 5 in yanında bir belirsiz (değişken) yok fakat bu terim 0x5 biçiminde
düşünülmelidir. Çünkü 1x0 dir.
Örnek 4: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun derecesini bulunuz.
Yanıt 4: Polinomun derecesini bulmak için polinomun belirsizinin (değişkeninin) üzerindeki sayılara
bakılır. Üs olarak kullanılan bu sayılardan en büyük olan polinomun derecesini belirlediğinden,
5)x(Pder olur.
Örnek 5: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun baş katsayısını nedir?
Yanıt 5:
5x3x4x)x(P 235 polinomunun baş katsayısı, polinomun derecesini belirleyen
terimin, yani en büyük üslü belirsizin (değişkenin) katsayısı, baş katsayısıdır. Bu da 1 dir.
Örnek 6: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun sabit terimi nedir?
Yanıt 6:
5x3x4x)x(P 235 polinomunun sabit terimi, 0x teriminin kat sayısıdır. Bu da
polinomun 0235 x5x3x4x)x(P biçiminde yazılabileceği düşünülmelidir. Bu durumda, sabit
terim 5 olur.
Örnek 7: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun belirsizini (değişkenini),
terimlerini, terim sayısını, derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini bulunuz.
Yanıt 7:
5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun:
Belirsizi (değişkeni) : x Terim sayısı : 6 Derecesi : 8
Baş katsayısı : 9 Sabit terimi : 5
Terimler : ,x9 8 ,x5 7 ,x2 5 ,x4 3 ,x3 2 5
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 4
Örnek 8: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunu belirsizin (değişkenin) artan
ve azalan derecesine göre yazınız.
Yanıt 8:
5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunu:
Azalan : 5x3x4x2x5x9)x(P 23578
Artan : 87532 x9x5x2x4x35)x(P
Örnek 9: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinom mudur?
Yanıt 9:
5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomdur. Çünkü belirsizlerin kuvvetleri ve
katsayıları gerekli şartları sağlamaktadır. Bu şartlar: kuvvetlerin doğal sayı ve katsayıların reel (gerçel)
sayı olması gerektiğidir. Buradan, belirsizin kuvvetleri 0, 2, 3, 5, 7, 8 ve katsayılar
5, 3, 4, 2, 5, 9 dir.
Örnek 10: 52 xx2)x(P polinom mudur?
Yanıt 10: 52 xx2)x(P polinomdur. Çünkü üsler 2, 5 ve katsayılar 2, 1 dir.
Örnek 11: 5x3x3
5)x(P 34 polinom mudur?
Yanıt 11:
5x3x3
5)x(P 34 polinomdur. Çünkü üsler 4, 3, 0 ve katsayılar
5
3 ,
3 , 5 dir.
Örnek 12: 5)x(P polinom mudur?
Yanıt 12:
5)x(P polinomdur. Çünkü 5)x(P polinomu 0x5)x(P biçiminde yazılabileceğinden
polinomun derecesi 0)x(Pder , baş katsayısı ve sabit terimi 5 olan polinomdur.
Örnek 13: 0)x(P polinom mudur?
Yanıt 13:
0)x(P polinomdur. Çünkü 0)x(P polinomu nx0x0x0)x(P biçiminde
yazılabilir. Polinomun derecesi belirsizdir.
Örnek 14: 5x5x6x)x(P 33n bir polinom ise n nin alabileceği değerler neler
olabilir?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 5
Yanıt 14:
5x5x6x)x(P 33n bir polinom ise katsayılarının reel (gerçel) sayılar ve belirsizinin
(değişkeninin) üslerinin doğal sayı olması gerekmektedir. Bu durumda, kat sayılar 1, 6, 5, 5 ve
üsler n 3, 3, 1, 0 olacaktır.
3n ün doğal sayı olabilmesi için
03n 3n olur. Buradan n nin alabileceği değerler ,7 ,6 ,5 ,4 olacaktır.
Örnek 15: 5x5x6x)x(P n53n bir polinom ise n nin alabileceği değerler neler
olabilir?
Yanıt 15:
5x5x6x)x(P n53n bir polinom ise katsayılarının reel (gerçel) sayılar ve
belirsizinin (değişkeninin) üslerinin doğal sayı olması gerekmektedir. Bu durumda, kat sayılar
1, 6, 5, 5 ve üsler n 3, 5 n, 1, 0 olacaktır.
3n ün doğal sayı olabilmesi için
03n 3n
n5 in doğal sayı olabilmesi için
0n5 n5 5n
Bu iki eşitsizlik birleştirilirse 3n ve 5n ise 5n3 olacağından 4n bulunur.
Örnek 16: 1xx5x3)x(P 2n7
bir polinom ise n nin alabileceği değerler neler olabilir?
Yanıt 16:
1xx5x3)x(P 2n7
bir polinom ise katsayılarının reel (gerçel) sayılar ve belirsizinin
(değişkeninin) üslerinin doğal sayı olması gerekmektedir. Bu durumda, kat sayılar 3, 5, 1, 1
ve üsler 7n
1, , 2, 0 olacaktır.
n
7 ün doğal sayı olabilmesi için 0
n
7 olmalıdır. Bu durumda 7 nin bölenlerine bakmak
gerekecektir. 7 bir asal sayı olduğundan bölenleri 7 ve 1 dir. Buradan n in alabileceği değerler 7 ,1 dir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 6
ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomların terimlerini,
katsayılarını, baş katsayılarını ve sabit terimlerini bulunuz.
a) 22x 6x 3 b) 26x 7x 2
c) 6 87 2x 5x 7x d) 4 22x 2x 3
2. Aşağıda verilenlerin polinom olup olmadığını belirleyiniz.
a) 32x 2x b)
327x 5x 3
c) 2x x d) 2 3 42x 3x 3x
3. n 3P(x) 2x 5x 3 ün bir polinom
olabilmesi için n nin alabileceği en küçük
doğal sayı kaçtır?
4. 2n 5
2P(x) 2x 3x 3
ün 5. dereceden bir
polinom olabilmesi için n ne olmalıdır?
5. n 5 7 nP(x) x 2x 3x 4 polinom
olabilmesi için n nin alabileceği değerler
kümesini bulunuz.
6. n 2 n 2
3 4P(x) 3x 3x 3
polinom olabilmesi
için n nin en küçük değeri ne olmalıdır?
14.3 Benzer Terimler
Tanım (BENZER TERİMLER)
Polinomlarda, aynı belirsizlerin (değişkenlerin) aynı kuvvetlerinden oluşan terimlere benzer
terimler denir.
Örnek 1: 5x8x5x3)x(P 36 ve 6532 x3x7x7x3x36)x(Q polinomlarında
benzer terimler nelerdir? Bulunuz.
Yanıt 1:
5x8x5x3)x(P 36 ve 6532 x3x7x7x3x36)x(Q polinomlarında benzer
terimler:
6x3 ile 6x3 , 3x5 ile 3x7 , x8 ile x3 terimleri benzer terimlerdir.
ALIŞTIRMALAR
1. P(x) 2x 2 , Q(x) 3x 5 polinomlarının
benzer terimlerini bulunuz.
2. 3P(x) 3x 2x 5 , 3 2Q(x) 5x 2x 3x 7
ve 3 2H(x) 7x 2x 4x 8 polinomlarının
benzer terimlerini bulunuz.
3. 2Y(x) x 5x 8 ve 3 2T(x) 2x x 5x
polinomlarının benzer terimlerini bulunuz.
4. 3U(x) 3x 2x 5 ve 3 2V(x) 3x x x
ve 3Z(x) x x 5 polinomlarının benzer
terimlerini bulunuz.
14.4 Bir Belirsizli (Değişkenli) Polinomlar Halkası
Tanım (BİR BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ) POLİNOMLAR HALKASI)
Reel sayılar kümesi ile hiçbir koşulu olmayan x elemanına sahip x kümesinin birleşimi ile
elde edilen x kümesine bir belirsizli (değişkenli) polinomlar halkası denir ve bu küme
x biçiminde gösterilir.
Bu kümenin elemanları da ),x(P ),x(Q R(x), biçiminde gösterilir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 7
Örnek 1: 6xx4x8x9x)x(P 2578 bir belirsizli (değişkenli) polinom olduğundan
polinomlar halkasının bir belirsizli (değişkenli) polinomudur.
Örnek 2: 8xx7x4)5x(P 25 bir belirsizli (değişkenli) polinom olduğundan
polinomlar halkasının bir belirsizli (değişkenli) polinomudur.
Örnek 3: Aşağıdakilerden hangileri [x] polinomlar halkasının birer polinomudur?
8 2P(x) x 4x x 6 5 22 1 13
E(x) x 2x x3 2 2
5 5 25L(x) 3x 5x 2x
Yanıt 3:
xP(x), E(x) dir. Fakat xL(x) dir. Çünkü x in üslerinden biri olan 5
2 dir.
L(x) polinom değildir.
ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıda verilen polinomlardan bir belirsizli
(değişkenli) olanları bulunuz.
a) P(x) 2x 3 b) 2Q(x) 2x 5
c) 5 2H(x) 3x 2x 5 d) 2G(x) 3x 4x
e) 2 2K(x,y) x y xy
f) 2L(x,y,z) x yz g) x y
M(x,y)x y
2. Aşağıda verilen bir belirsizli polinomların belirsizlerini bulunuz.
a) W(x) 2x 5 b) T(z) 5
c) 9 3 3D(n) 2n 3n 6b 2a
d) H(y) 2z 5r 5 e) T(b) b
f) 5 32
F(d) x 9x 5x 193
14.5 Çok Belirsizli (Değişkenli) Polinomlar
Birden fazla değişkene sahip polinomlardır. Bu polinomlar belirsiz (değişken) sayısına göre isimlendirilirler. Bir, iki, üç, vb. belirsizli (değişkenli) polinomlar olarak tanımlanır. İki belisrsizli
(değişkenli) polinomlar P(x,y) , üç belirsizli (değişkenli) polinomlar P(x,y,z) , vb. biçiminde
gösterilir.
Bu polinomlar 3 2P(x,y) xy x 3 , 2 2 2P(x,y,z) xy z x y z y 3 biçimlerinde
belirtilebilir.
14.6 İki Belirsizli (Değişkenli) Polinomlar Halkası
Tanım (İKİ BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ) POLİNOMLAR HALKASI)
Reel sayılar kümesi ile hiçbir koşulu olmayan x, y elemanına sahip y,x kümesinin
birleşimi ile elde edilen x,y kümesine iki belirsizli (değişkenli) polinomlar halkası denir
ve bu küme x,y biçiminde gösterilir.
Bu kümenin elemanları da P(x,y) , Q(x, y) R(x, y) , biçiminde gösterilir.
Örnek 1: 3yxyx6yx5)y,x(P 3254 iki belirsizli (değişkenli) polinomlar
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 8
halkasının bir polinomudur.
Örnek 2: 3yxy6x5)y,x(P 34 iki belirsizli (değişkenli) polinomlar halkasının bir
polinomudur.
Örnek 3: 11xyxyy6y5)y,x(P 3234 iki belirsizli (değişkenli) polinomlar
halkasının bir polinomudur.
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen polinomlardan iki belirsizli (değişkenli) olanları belirleyiniz.
a) R(x) 3x a b) P(x,y) 3x y 2
c) 2Q(x,y) 3x y b d) U(x) 2x y
e) 2S(x,y,z) 4x 5y z 3
f) T(x,y,z) 4x xz y
2. 2 3 2 4 3P(x,y) 5x 2x y x y 3xy 5x 3
ve 2 2 4 2 3 2Q(x,y) 5x x y 3x y 4x 3y
polinomlarının benzer terimlerini bulunuz.
3. 2 2 3 4R(x,y) 3xy x y 5x y 9x 7y 3 ve 2 2 3 4S(x,y) xy x y 5x y 7y 3x 3
polinomlarının benzer terimlerini bulunuz.
14.7 İki Belirsizli (Değişkenli) Polinomlarda Benzer Terimler
Polinomdaki değişkenlerin hem kendileri hemde dereceleri aynı ise bu terimler benzerdir.
Örnek 1: 2 2 3P(x,y) 2xy 5xy 8x y ve 2 2 3 2 3Q(x,y) 5 3xy 3x y 6xy 4xy 8x y
polinomlarının benzer terimlerini bulunuz.
Yanıt 1: 2 2 3P(x,y) 2xy 5xy 8x y polinomdaki terim sayısı az olduğundan bu polinoma göre
terimleri karşılaştıralım.
P(x,y) polinomunun terimleri Q(x, y) polinomunun terimleri
2xy 3xy
25xy 26xy
2 38x y 2 38x y
Tabloda aynı sırada verilen terimler benzer terimlerdir. Yazılmayan terimlerin benzerleri
diğer polinomda olmadığından benzer terimler olarak yazılamamıştır.
14.8 İki Belirsizli (Değişkenli) Polinomların Derecesi
Tanım (İKİ BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ) POLİNOMLARIN DERECESİ)
P(x,y) polinomundaki terimlerin değişkenlerinin dereceleri toplamının en büyüğüne bu iki
belirsizli (değişkenli) polinomların derecesi denir ve der P(x, y) ile gösterilir.
Örnek 1: 2 2 3P(x,y) 3 2xy 5xy 8x y polinomunun derecesi kaçtır?
Yanıt 1:
P(x,y) polinomunun terimlerinin dereceleri tek tek bulunursa:
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 9
3 teriminin derecesi 0
2xy teriminin derecesi 1 1 2
25xy teriminin derecesi 1 2 3
2 38x y teriminin derecesi 2 3 5
Bu durumda P(x,y) polinomunun dercesini 2 38x y teriminin derecesi belirler. Böylece
P(x,y) polinomunun derecesi der P(x,y) 5 olarak bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1. 2 3 4 2B(x,y) 3 3x 5y 9x y 7x y
polinomunun derecsini bulunuz.
2. 3 7 2K(x,z) z x zx 3xy 7x y
polinomunun derecsini bulunuz.
14.9 Bir Polinomun Bir Reel (Gerçel) Sayı İçin Değeri
Tanım (BİR POLİNOMUN BİR REEL (GERÇEL) SAYI İÇİN DEĞERİ) Bir )x(P polinomu ve a olmak üzere
ax için )x(P in aldığı )a(P değerine
bir polinomun bir reel (gerçel) sayı için değeri denir.
Örnek 1: 5x3x4x)x(P 235 ise )0(P nedir?
Yanıt 1:
5x3x4x)x(P 235 polinomu için )0(P ın değeri:
503040)0(P 235 503040)0(P
5)0(P
Örnek 2: 5x3x4x)x(P 235 ise )1(P nedir?
Yanıt 2:
5x3x4x)x(P 235 polinomu için )1(P in değeri:
513141)1(P 235 513141)1(P
5341)1(P
11)1(P
Örnek 3: 5x3x4x)x(P 235 ise )1(P nedir?
Yanıt 3:
5x3x4x)x(P 235 polinomu için )1(P ın değeri:
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 10
5)1(3)1(4)1()1(P 235 513)1(41)1(P
5341)1(P
5)1(P
Örnek 4: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 ise )1(P nedir?
Yanıt 4:
5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomu için )1(P ın değeri:
5)1(9)1(3)1(4)1(5)1(2)1(P 82375
5)1(9)1(3)1(4)1(5)1(2
593452
2
Örnek 5: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun 2x için değeri nedir?
Yanıt 5:
5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun 2x için değeri, )2(P için alacağı
değerdir.
52923242522)2(P 82375
5256943841285322
52304123264064
2944113
2831
ALIŞTIRMALAR
1. 5P(x) 9x 3x 3 polinomu için aşağıda
verilenleri bulunuz.
a) P(0) b) P(1) c) P( 1)
d) P( 2) e) P( 2) f) P(2)
P(1)
g) P(1 5) h) P(1 3) ı) P( 3)
2. 4 2P(x) 2x 2x 3x 1 polinomu için
aşağıda verilenleri bulunuz.
a) P( 2) b) P( 1) c) P(2)
3. 2 2P(x,y) x y 2xy polinomu için aşağıda
verilenleri bulunuz.
a) P(2,1) b) P( 2, 2)
c) P( 2, 2) d) 1 1
P ,2 2
4. 2 2 21
Q(x,y) (x y 2xy) 3x y2
polinomu
için aşağıdakileri bulunuz.
a) Q(1,0) b) Q(0,1) c) Q(1,1)
d) Q( 1, 1) e) Q( 2,2) f) Q(2, 3)
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 11
14.10 Sabit Terim
Tanım (SABİT TERİM) n n 1
n n 1 1 0P(x) a x a x a x a
polinomundaki 0a sabit sayısına sabit terim denir ve
P(0) değerine eşittir.
Örnek 1: 3P(x) 2x x 5 polinomunun sabit terimi nedir?
Yanıt 1: 3P(x) 2x x 5 polinomunun sabit terimi 5 dir.
0a P(0) olacağından
0a P(0)
32 0 0 5
5
Sabit terim 0a 5 olarak bulunur.
Örnek 2: 6 4 2P(x) 5x x 2x 3x polinomunun sabit terimi nedir?
Yanıt 2: 6 4 2P(x) 5x x 2x 3x polinomunun sabit terimi 0 (sıfır) dır.
0a P(0)
6 4 25 0 0 2 0 3 0
Sabit terim 0a 0 olarak bulunur.
ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomların sabit terimlerini
bulunuz.
a) 2R(x) 2x 3x b) nW(x) 5x 4x 5
c) K(x) 0 d) 2Y(x) 9x 4x m
e) D(x) 15 f) 2 5L(x) 1 3x 4x
g) 9 2Q(x) 4x nx m 1
2. Sabit terimi 5 olan 4. dereceden polinomlara örnekler veriniz.
3. Sabit terimi, kendisine eşit olan polinoma örnek veriniz.
4. P(x) polinomunun x 0 için alacağı değer
için ne söylenebilir?
5. n n 1 2n 1P(x) ax bx cx d polinomunun
sabit terimi nedir?
14.11 Katsayılar Toplamı
Katsayıların toplamı üç şekilde yapılmaktadır. Bunlar:
1. Tüm Katsayılar Toplamı 2. Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı 3. Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 12
14.11.1 Tüm Katsayılar Toplamı
Tanım (TÜM KATSAYILAR TOPLAMI)
P(x) polinomunda P(1) için elde edilen değere tüm katsayılar toplamı denir.
Örnek 1: 9 2P(x) 2x 5x 4 polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.
Yanıt 1: 9 2P(x) 2x 5x 4 polinomunun katsayılar toplamı için P(1) değerinin bulunması
gerekmektedir.
9 2P(x) 2x 5x 4 9 2P(1) 2(1) 5(1) 4
P(1) 2 (1) 5 (1) 4
P(1) 2 5 4
P(1) 1
Örnek 2: n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.
Yanıt 2: n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun katsayılar toplamı için P(1) değerinin bulunması
gerekmektedir.
n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 n n 8P(1) 5(1) 4(1) 5(1) 9
P(1) 5 (1) 4 (1) 5 (1) 9
P(1) 13
14.11.2 Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı
Tanım (ÇİFT DERECELİ TERİMLERİN KATSAYILARI TOPLAMI)
P(x) polinomu için P(1) P( 1)
2
değerine polinomun çift dereceli terimlerin katsayıları
toplamı denir.
Örnek 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayıları
toplamını bulunuz.
Yanıt 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayılar toplamı için
P(1) P( 1)
2
değerinin bulunması gerekmektedir.
P(1) değeri bulunursa : P( 1) değeri bulunursa :
5 2P(1) 5(1) 7(1) 4(1) 9 5 2P( 1) 5( 1) 7( 1) 4( 1) 9
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 13
P(1) 5 (1) 7 (1) 4 (1) 9 P( 1) 5 ( 1) 7 (1) 4 ( 1) 9
P(1) 5 7 4 9 P( 1) 5 7 4 9
P(1) 7 P( 1) 25
P(1) P( 1) 7 ( 25) 3216
2 2 2
Örnek 2: 2n 2n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayıları
toplamını bulunuz.
Yanıt 2: n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayılar toplamı için
P(1) P( 1)
2
değerinin bulunması gerekmektedir.
P(1) değeri bulunursa : P( 1) değeri bulunursa :
2n 2n 8P(1) 5(1) 4(1) 5(1) 9 2n 2n 8P( 1) 5( 1) 4( 1) 5( 1) 9
P(1) 5 (1) 4 (1) 5 (1) 9 P( 1) 5 (1) 4 (1) 5 ( 1) 9
P(1) 5 4 5 9 P( 1) 5 4 5 9
P(1) 13 P( 1) 23
P(1) P( 1) 13 23 3618
2 2 2
ALIŞTIRMALAR
1. 9 6 3Ş(x) 9x 5x 2x 5x 1 polinomunun
çift dereceli terimilerinin katsayıları toplamını
bulunuz.
2. 7 10Ö(x) 5 6x 9x 11x polinomunun
çift dereceli terimilerinin katsayıları toplamını
bulunuz.
14.11.3 Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı
Tanım (TEK DERECELİ TERİMLERİN KATSAYILARI TOPLAMI)
P(x) polinomu için P(1) P( 1)
2
değerine polinomun tek dereceli terimlerin katsayıları
toplamı denir.
Örnek 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun tek dereceli terimilerinin katsayıları
toplamını bulunuz.
Yanıt 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun tek dereceli terimilerinin katsayılar toplamı için
P(1) P( 1)
2
değerinin bulunması gerekmektedir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 14
P(1) değeri bulunursa : P( 1) değeri bulunursa :
5 2P(1) 5(1) 7(1) 4(1) 9 5 2P( 1) 5( 1) 7( 1) 4( 1) 9
P(1) 5 (1) 7 (1) 4 (1) 9 P( 1) 5 ( 1) 7 (1) 4 ( 1) 9
P(1) 5 7 4 9 P( 1) 5 7 4 9
P(1) 7 P( 1) 25
P(1) P( 1) 7 ( 25)
2 2
7 25
2
18
2 9
Örnek 1: 2n 2n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun tek dereceli terimilerinin katsayıları
toplamını bulunuz.
Yanıt 1:
P(1) değeri bulunursa : P( 1) değeri bulunursa :
2n 2n 8P(1) 5(1) 4(1) 5(1) 9 2n 2n 8P( 1) 5( 1) 4( 1) 5( 1) 9
P(1) 5 (1) 4 (1) 5 (1) 9 P( 1) 5 (1) 4 (1) 5 ( 1) 9
P(1) 5 4 5 9 P( 1) 5 4 5 9
P(1) 13 P( 1) 23
P(1) P( 1) 13 23
2 2
10
2 5
ALIŞTIRMALAR
1. 9 6 3Ş(x) 9x 5x 2x 5x 1 polinomunun
tek dereceli terimilerinin katsayıları toplamını
bulunuz.
2. 7 10Ö(x) 5 6x 9x 11x polinomunun
tek dereceli terimilerinin katsayıları toplamını
bulunuz.
14.12 Sabit Polinom
Tanım (SABİT POLİNOM) a , 0a olmak üzere
n1n3210 x0x0x0x0x0xa)x(P
biçimindeki polinomlara, sabit polinom denir ve kısaca a)x(P biçiminde yazılır.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 15
Örnek 1: 5x)nm(x)3n()x(P 3 polinomu sabit polinom ise m ve n nedir?
Yanıt 1:
5x)nm(x)3n()x(P 3 polinomu sabit polinom ise belirsizlerin (değişkenlerin)
katsayıları 0 (sıfır) olmalıdır. Bu durumda
03n ve 0)nm(
3n ve nm
Örnek 2: 5x)nm(x)3n(x)mp()x(P 34 polinomu sabit polinom ise nmp
nedir?
Yanıt 2:
5x)nm(x)3n(x)mp()x(P 34 polinomu sabit polinom ise belirsizlerin
(değişkenlerin) katsayıları 0 (sıfır) olmalıdır. Bu durumda
,0mp 03n ve 0)nm(
,mp 3n ve 3nm ,3p 3m ve 3n olur.
Buradan 333nmp 3nmp
Örnek 3: 2mx)x(P polinomu sabit polinom ise m nedir?
Yanıt 3: 2mx)x(P polinomunun sabit polinom olabilmesi için
2mx)x(P
022 x0x0x0mx)x(P
22 x0mx
0m
Örnek 4: 4x)3k(x)3n(mx)x(P 23 polinomu sabit polinom ise m, n ve k nedir?
Yanıt 4:
4x)3k(x)3n(mx)x(P 23 polinomu sabit polinom olabilmesi için
4x)3k(x)3n(mx)x(P 23
4x0x0x04x)3k(x)3n(mx)x(P 2323
0m 03n 03k
0m 3n 3k
ALIŞTIRMALAR
1. P(x) 2nx 5 polinomu sabit polinom ise n
nedir?
2. 2P(x) mx (n 2)x 3 polinomu sabit
polinomu ise m ve n nedir?
3. 2P(x) (m 1)x (n 6)x 5 polinomu sabit
polinom ise m n kaçtır?
4. 2 4 2 2P(x) (m 1)x (n 2)x 3kx 3m
polinomu sabit bir polinom ise m, n, k nın
pozitif değerleri toplamı kaçtır?
5. 2 3P(x,y) (m 7)x y (3 n)x 7 polinomu
sabit polinom ise m n nin değeri kaçtır?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 16
14.13 Sıfır Polinomu
Tanım (SIFIR POLİNOMU) n1n2n3210 x0x0x0x0x0x0x0)x(P
biçimindeki polinomlara, sıfır polinomu denir ve kısaca 0)x(P biçiminde yazılır.
Örnek 1: 4mx)x(P polinomunun sıfır polinom olabilmesi için m ne olmalıdır?
Yanıt 1: 4mx)x(P polinomunun sıfır polinom olabilmesi için kat sayısının 0 (sıfır) olması
gerektiğinden, 0m olması gerekir.
Örnek 2: nxx)2m(x)mp()x(P 25 polinomunun sıfır polinom olabilmesi için m,
p ve n ne olmalıdır?
Yanıt 2:
nxx)2m(x)mp()x(P 25 polinomunun sıfır polinom olabilmesi için katsayılarının
0 (sıfır) olması gerektiğinden,
,0mp 0)2m( ve 0n olacaktır. Buradan
n 0 , 2m ve 2mp
Örnek 3: n için n 2P(x) px (m 2)x (n 3)x polinomunun sıfır polinom
olabilmesi için p, m ve n nedir?
Yanıt 3: n 2P(x) px (m 2)x (n 3)x polinomunun sıfır polinom olabilmesi için katsayılarının 0
(sıfır) olması gerektiğinden,
0p 02m 03n
0p 2m 3n
ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomlardan hangileri sıfır
polinomdur?
a) P(x) 0 b) P(x) 2 3 4
c) P(x) 4 2 3 5 d) P(x) 2
e) P(x) 2x 2 2x 2
2. P(x) 2mx polinomunun sıfır polinomu
olabilmesi için m ne olmalıdır?
3. P(x) (n 1)x 4m polinomunun sıfır
polinomu olabilmesi için m ve n ne olmalıdır?
4. 5P(x) (n 1)x (2m 3)x 4k
polinomunun sıfır polinomu olabilmesi için
m n k toplamı nedir?
5. a 5 a 5
2 33 4S(x) (n 4)x (k 8)x m
sıfır
polinomu ise 2
n k
m 3
in değeri kaçtır?
6. Sıfır polinomunun derecesi nedir?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 17
14.14 Polinom Fonksiyonlar
Tanım (POLİNOM FONKSİYONLAR) x olmak üzere
n
n1n
1n2
21
10
0 xaxaxaxaxa)x(P
polinomu için P : ise bu fonksiyonlara polinom fonksiyonlar denir.
Örnek 1: Aşağıdaki polinomların her biri polinom fonksiyondur.
P(x) x 5 , 2Q(x) 2x 9 , 3R(x) x 2x 5 , 7 4 3S(x) 2x 5x x x
Örnek 2: P : , 2x3x)x(P 2 için )2(P yi bulunuz.
Yanıt 2:
2x3x)x(P 2 polinomu için )2(P :
2x3x)x(P 2 2232)2(P2
264)2(P
0)2(P
Örnek 3: P : , 2x3x)x(P 2 için )1x(P değerini bulunuz.
Yanıt 3:
2x3x)x(P 2 polinomu için )1x(P :
2x3x)x(P 2 2)1x(3)1x()1x(P2
23x3)1x2x( 2
23x31x2x2
6x5x 2
Örnek 4: P : , 2x3x)1x(P 2 için )x(P değerini bulunuz.
Yanıt 4:
2x3x)1x(P 2 için )x(P :
)x(P in bulunması için 2x3x)1x(P 2 polinomunda yer alan )1x(P in )x(P e
dönüştürülmesi gerekir.
)1x(P den yeni bir polinom olan 1x)x(Q in tersi bulunmalıdır. Bu da
1x)x(Q polinomunun tersi bulunursa 1x)x(Q 1 elde edilir. )1x(P de yerine
yazılırsa
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 18
2)1x(3)1x()1)1x((P 2 2)1x(3)1x()x(P2
23x3)1x2x( 2
23x31x2x 2
xx2
Örnek 5: 1xx2)x(P 3 ise )x(P 2 nedir?
Yanıt 5:
1xx2)x(P 3 ise )x(P 2 :
)x(P 2 nin bulunması için 3P(x) 2x x 1 polinomun da yer alan )x(P in )x(P 2 ye
dönüştürülmesi gerekir.
Burada, )x(P polinomunda her x in yerine 2x yerleştirilmelidir.
1xx2)x(P 3 3
2 2 2P(x ) 2 x (x ) 1
2 3 22x x 1
6 22x x 1
ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomlardan hangileri polinom
fonksiyonlardır?
a) P(x) x 11 b) P(x) 2x 5
c) P(x) x 8 d) P(x) 2x 8
2. Aşağıdaki polinomların polinom fonksiyon olabilmeleri için m ne olmalıdır?
a) m 5 2S(x) 2x 5 mx 2
b)
5
m 1R(x) x 3
14.15 İki Polinomun Eşitliği
Tanım (İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ) Dereceleri n,m ve mn olan iki polinom )x(P ve )x(Q olmak üzere
n
n1n
1n2n
2n3
32
21
10
0 xaxaxaxaxaxaxa)x(P
ve
mm
1m1m
2m2m
33
22
11
00 xbxbxbxbxbxbxb)x(Q
polinomları için
)x(Q)x(P ,ba 00 ,ba 11 ,ba 22 3 3a b , , ,ba 2m2n ,ba 1m1n mn ba
dir.
Yapılan bu işleme iki polinomun eşitliği denir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 19
Örnek 1: 1ax)x(P ve bx2)x(Q polinomlarının eşit olabilmesi için a ve b ne olur?
Yanıt 1:
1ax)x(P ve bx2)x(Q eşit olabilmesi için
)x(Q)x(P bx21ax 2a b1
2a 1b
Örnek 2: 3xx)1b(ax)x(P 23 ve dx)1c(x2)x(Q 2 polinomları eşit
polinomlar ise a, b, c ve d nedir?
Yanıt 2:
3xx)1b(ax)x(P 23 ve dx)1c(x2)x(Q 2 polinomları eşit olduğundan
)x(Q)x(P dx)1c(x2x03xx)1b(ax2323
0a 21b 11c 3d
0a 3b 2c 3d
Örnek 3: 5x2x)x(P 2 polinomu ile nQ(x) ax 2x b polinomunun eşit olabilmesi
için a, b ve n ne olmalıdır?
Yanıt 3: Polinomların eşit olabilmesi için polinomların hem derecelerinin hem de eşit dereceli
terimlerinin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. Bu durumda
)x(Q)x(P için bx2ax5x2x n2 dir.
2)x(Pder ve n)x(Qder dir. Dereceler eşit olacağından 2n dir.
2 nx 2x 5 ax 2x b 1a ve 5b
ALIŞTIRMALAR
1. P(x) 2x 3 ve Q(x) nx 3 polinomları
eşit ise n nedir?
2. 2R(x) 3x 4 ve 2Q(x) nx mx 3
polinomları eşit ise n m nedir?
3. 5 3T(x) px rx 4x 5 , 5 3U(x) 4x 3x mx n
polinomları eşit ise m n
p r
nedir?
4. 3K(x) mx 4x k ve 3R(x) nx nx 3
polinomları eşit ise 2m
n nedir?
5. 2 5 3 3S(x) (m 1)x (n 7)x 5 , 2 5 4 3 3T(x) (2m 5)x kx (2n 15)x 5
polinomları eşit ise m, k, n değerleri kaçtır?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 20
14.16 Bir )x(P ve )x(Q Polinomları İçin )x(QP Polinomunun Bulunması
Tanım (BİR )x(P ve )x(Q POLİNOMLARI İÇİN )x(QP POLİNOMUNUN BULUNMASI)
)x(P ve )x(Q polinomları için )x(P polinomunda )x(Qx yerleştirilirse )x(QP elde edilir.
Yapılan bu işleme bir )x(P ve )x(Q polinomları için )x(QP polinomunun bulunması denir.
Örnek 1: 2x3)x(P ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomunu bulunuz.
Yanıt 1:
2x3)x(P ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomu
2x3)x(P 2x)x(Q 2)2x(3)x(QP
26x3
3x 4
Örnek 2: 5x2x)x(P 2 ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomunu bulunuz.
Yanıt 2:
5x2x)x(P 2 ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomu:
5x2x)x(P 2 2x)x(Q 5)2x(2)2x()x(QP 2
54x24x4x 2
5x2x 2
ALIŞTIRMALAR
1. 2P(x) x 1 ve Q(x) x 1 ise P Q(x) polinomunu bulunuz.
2. 2P(x) 2x 2x 1 ve Q(x) x 1 ise
P Q(x) polinomunu bulunuz.
3. P(x) 3x 6 ve 2Q(x) x x ise P Q(x) polinomunu bulunuz.
4. 2P(x) x 5x 6 ve Q(x) x 3 ise
Q P(x) polinomunu bulunuz.
5. 3P(x) x 1 ve Q(x) x 2 ise Q P(x) polinomunu bulunuz.
6. K(x) x ve 4 3 2T(x) 2x x 3x 4x 3
ise K T(x) ve T K(x) polinomlarını bulunuz.
7. P(x) ve Q(x) polinomları için
P Q(x) Q P(x) ise P(x) ve Q(x) polinomlarını bulunuz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 21
14.17 Bir )x(QP Polinomu İçin )x(P Polinomunun Bulunması
Tanım (BİR )x(QP POLİNOMU İÇİN )x(P POLİNOMUNUN BULUNMASI)
1
xQ(x),Q (x) olmak üzere x)x(I)QQ( 1 olduğundan
)x(QQP)x(P 1
dir.
Bu işleme bir )x(QP polinomu için )x(P polinomunun bulunması denir.
Örnek 1: 8x)1x(P ise )x(P nedir?
Yanıt 1: 8x)1x(P ise )x(P için
8x)1x(P 8x)1x(P)x(Q
1x)x(Q
1x)x(Q 1
8x)1x(P 8x)1x(P)x(Q)x(Q 11
8x)1x(P1x1x
8)1x()1)1x((P
81x)11x(P
9x)x(P
Örnek 2: 1x5)1x2(P ise )x(P nedir?
Yanıt 2: 1x5)1x2(P ise )x(P için
1x2)x(Q 2
1x)x(Q 1
1x5)1x2(P 1)x(Q5)1)x(Q2(P 11
x 1 x 1
P 2 1 5 12 2
x 1
P((x 1) 1) 5 12
5x 5 2
P(x 1 1)2 2
5x 7
P(x)2
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 22
Örnek 3: 5x2)2x5(P ise )3(P nedir?
Yanıt 3:
5x2)2x5(P ise )3(P için
5x2)2x5(P 5x2)2x5(P3
32x5
5x5
1x
5x2)2x5(P polinomun da x yerine 1 yazılırsa )3(P bulunur.
1x 5x2)2x5(P11
5)1(2)2)1(5(P
52)25(P
3)3(P
Örnek 4: 2x 5
P x 2x 33
ise )x(P nedir?
Yanıt 4:
2x 5P x 2x 33
ise )x(P için
3
5x)x(Q
5x3)x(Q 1
2x 5P x 2x 33
1
1 2 1Q (x) 5P (Q (x)) 2(Q (x)) 33
23x 5 5
P (3x 5) 2(3x 5) 33
23xP (3x 5) 2(3x 5) 3
3
3)5x3(2)5x3()x(P 2
310x625x30x9)x(P 2
18x24x9)x(P 2
Örnek 5: 42x 3
P 4x x 44
ise )x(P nedir?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 23
Yanıt 5:
42x 3P 4x x 44
ise )x(P için
4
3x2)x(Q
2
3x4)x(Q 1
42x 3P 4x x 44
14
1 12Q (x) 3P 4 Q (x) Q (x) 44
44x 3
2 34x 3 4x 32P 4 4
4 2 2
4
4x 3 3 4x 3 4x 3 8P 4
4 2 2 2
4
4x 4x 3 4x 3 8P 4
4 2 2
4
4
(4x 3) 4x 5P(x) 4
2 2
2
5x4
22
)3x4(4)x(P
22
4
4
)5x4(2
4
)3x4()x(P
4
4
10x8
4
)3x4()x(P
4
4
10x8)3x4()x(P
4
4
10x833)x4(43)x4(63)x4(4)x4()x(P
432234
4
10x88127)x4(49)x16(63)x(4x4)x(P
23444
4
91x8x432x864x768x256)x(P
234
ALIŞTIRMALAR
1. P(2x) x 1 ise P(x) i bulunuz.
2. 1
P x 3x 12
ise P(x) i bulunuz.
3. 22x 1
P x 3x 13
ise P(3) i bulunuz.
4. P( x) x 1 ise P(x) i bulunuz.
5. 3 2T( x) 2x 3x 3 ise T(x) i bulunuz.
6. 4 2U(x 3) 2x 3x 3x 2 ise U(x) i
bulunuz.
7. 2V(2x 1) x x ise V(x) i bulunuz.
8. 5 3K(5x 2) 3x 3x 2x 3 ise K(x) ve
K(2x) i bulunuz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 24
14.18 Polinomlar Kümesinde İşlemler
Polinomlar kümesindeki işlemler:
1. Toplama İşlemi 2. Çıkarma İşlemi 3. Çarpma İşlemi 4. Bölme İşlemi
14.19 Polinomlar Kümesinde Toplama İşlemi
Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİ) n
n1n
1n2n
2n3
32
21
10
0 xaxaxaxaxaxaxa)x(P
ve
mm
1m1m
2m2m
33
22
11
00 xbxbxbxbxbxbxb)x(Q
polinomlarında, )x(Qder)x(Pder ise bu polinomların toplamı
nn
1m1m1m
222
111
000 xax)ba(x)ba(x)ba(x)ba()x(Q)x(P
işlemine polinomlar kümesinde toplama işlemi denir.
Örnek 1: 7x5x2)x(P 2 ve 9x3x3)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(P
toplamını bulunuz.
Yanıt 1:
7x5x2)x(P 2 ve 9x3x3)x(Q 2 polinomları için
)9x3x3()7x5x2()x(Q)x(P 22
)9)7((x))3(5(x)32( 2
)97(x)35(x5 2
25x 2x (2)
25x 2x 2
Örnek 2: x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için
)x(Q)x(P toplamını bulunuz.
Yanıt 2:
x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için
Polinomlarda yer almayan terimler bulunmaktadır. Bu terimler katsayılar 0 olacak şekilde
belirtilebilir. Bu terimler
)x(P için ,x04
,x03
0x0 (sabit terim) )1x( 0
)x(Q için 3x0
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 25
Bunlara göre
)9x5x8x0x3x3()x0x9x7x0x0x3()x(Q)x(P 234502345
02345 x))9(0(x)5)9((x)87(x)00(x)30(x))3(3(
02345 x)90(x)59(x15x0x3x)33(
02345 x)9(x)4(x15x0x3x0
02345 x9x4x15x0x3x0
9x4x15x3 24
Örnek 3: 3)x(P ve 5)x(Q polinomları için )x(Q)x(P toplamını bulunuz.
Yanıt 3:
)x(P ve )x(Q , sabit polinomlardır.
)5(3)x(Q)x(P
53
2
ALIŞTIRMALAR
1. 5P(x) 3x 4x 1 ve 5 4Q(x) x 2x 3x
polinomları için P(x) Q(x) polinomunu
bulunuz.
2. 2P(x) x 1 ve 2Q(x) 4x 3x 9
polinomları için P(x) Q(x) polinomunu
bulunuz.
3. 2P(x) 3x x 5 ve 2Q(x) 3x x 2
polinomları için P(x) Q(x) polinomunu
bulunuz.
4. 4P(x) 2x 5x 7 ve 4 2Q(x) 3x x x
polinomları için P(x) Q(x) polinomunu
bulunuz.
5. 7 4P(x) x 3x 6x 5 ve 7Q(x) 4x 1
polinomları için P(x) Q(x) polinomunu
bulunuz.
6. 2T(2x 3) 2x 3 ve 2U(2x) 3x 2x 1
polinomları için T(x) U(x) polinomunu
bulunuz.
14.19.1 Polinomlar Toplamının Derecesi
Teorem (POLİNOMLAR TOPLAMININ DERECESİ) )x(P ve )x(Q polinom olmak üzere T(x) P(x) Q(x) yine bir polinomdur ve
der T(x) maks der P(x) , der Q(x)
dir.
Örnek 1: 3x2xx5)x(P23 ve 5x7x3)x(Q
23 polinomları için
)x(Q)x(Pder nedir?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 26
Yanıt 1:
3x2xx5)x(P 23 ve 5x7x3)x(Q 23 olduğundan
)5x7x3()3x2xx5()x(Q)x(P 2323
5x7x33x2xx5 2323
53x2x7xx3x5 2233
3 2(5 3)x ( 1 7)x 2x 3 5
3 28x ( 8)x 2x 2
2x2x8x8 23
3 2der P(x) Q(x) der 8x 8x 2x 2
3
Örnek 2: 3xx5x)x(P 38 ve 5x7x3)x(Q 25 polinomları için
)x(Q)x(Pder nedir?
Yanıt 2: Polinomların dereceleri bulunursa
3xx5x)x(P 38 polinomunun derecesi 8)x(Pder
5x7x3)x(Q 25 polinomunun derecesi 5)x(Qder
58 olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda
)x(Qder)x(Pder 8)x(Q)x(Pder
Örnek 3: m ve m 9 olmak üzere 5x7x5x4x3)x(P 29m ve 5mx)x(Q 3
ise )x(Q)x(Pder nedir?
Yanıt 3: Polinomların dereceleri bulunursa
5x7x5x4x3)x(P 29m polinomunun derecesi m)x(Pder
5mx)x(Q 3 polinomunun derecesi 3)x(Qder
9m olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda
)x(Qder)x(Pder m)x(Q)x(Pder
ALIŞTIRMALAR
1. 2P(x) x 3x 2 ve 3T(x) 2x 3x 2 ise
der P(x) T(x) i bulunuz.
2. 3T(x 1) 2x 3x , 4K(x 1) 2x 3x 1
ise der T(x) K(x) i bulunuz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 27
14.19.2 Toplama İşleminin Özelikleri
Toplama işleminin özelikleri:
1. Kapalılık Özeliği 2. Değişme Özeliği 3. Birleşme Özeliği 4. Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği 5. Ters Eleman Özeliği
14.19.2.1 Kapalılık Özeliği
Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x) polinomları için xP(x) Q(x) dir.
Bu özeliğe kapalılık özeliği denir.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu gösteriniz.
Yanıt 1:
xP(x),Q(x) için xP(x) Q(x) olduğundan polinomlar kümesinde toplama
işleminin kapalılık özeliği vardır. Örneğin
xP(x) 2x 1 ve 2
xQ(x) x 2x 1 polinomları için
)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2
)1x2x()1x2x0( 22
))1(1(x)22(x)10( 2
)11(x)4(x)1( 2
2x 4x 0
x4x2
2
xP(x) Q(x) x 4x olduğundan kapalılık özeliği vardır.
Örnek 2: Polinomlar kümesinde toplama işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu bir örnek ile gösteriniz.
Yanıt 2:
2
xP(x) x 1 ve
2
xQ(x) x 2x polinomları için
)x2x()1x()x(Q)x(P 22
)0x2x()1x0x( 22
2(1 1)x (0 2)x (1 0)
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 28
2(2)x (2)x (1)
22x 2x 1
2
xP(x) Q(x) 2x 2x 1 olduğundan kapalılık özeliği vardır.
ALIŞTIRMALAR
1. P(x) 3x 4 ve Q(x) 2x 1 polinomları
için toplama işleminin kapalılık özeliği olduğunu gösteriniz.
2. 2P(x) 3x 2x 1 ve 2Q(x) x 7
polinomları için toplama işleminin kapalılık
özeliğinin olduğunu gösteriniz.
3. 3P(x) x 4x 5 ve Q(x) 2x 1
polinomları için toplama işleminin kapalılık
özeliğinin olduğunu gösteriniz.
4. 2P(x) 5x 3 ve 2Q(x) 4x 1 polinomları
için toplama işleminin kapalılık özeliğinin
olduğunu gösteriniz.
14.19.2.2 Değişme Özeliği
Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x) polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x) dir.
Bu özeliğe değişme özeliği denir.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özeliğinin olduğunu gösteriniz.
Yanıt 1:
xP(x), Q(x) için P(x) Q(x) Q(x) P(x) olduğundan polinomlar kümesinde
toplama işleminin değişme özeliği vardır. Örneğin
xP(x) 2x 1 ve 2
xQ(x) x 2x 1 polinomları için
)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2
)1x2x()1x2x0( 22
))1(1(x)22(x)10( 2
)11(x)4(x)1( 2
2x 4x 0
x4x2
2
XP(x) Q(x) x 4x (1)
)1x2()1x2x()x(P)x(Q 2
)1x2x0()1x2x( 22
)1)1((x)22(x)01( 2
)11(x)4(x)1( 2
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 29
2x 4x 0
x4x2
2
XQ(x) P(x) x 4x (2)
(1) ve (2) den )x(P)x(Q)x(Q)x(P
Örnek 2: 3x5x2x3x)x(P 235 ve 5x3x2x3)x(Q 24 polinomları için
)x(P)x(Q)x(Q)x(P olduğunu gösteriniz.
Yanıt 2:
)x(Q)x(P ve Q(x) P(x) toplamları ayrı ayrı bulunursa:
5 3 2 4 2P(x) Q(x) (x 3x 2x 5x 3) ( 3x 2x 3x 5)
5x3x2x33x5x2x3x 24235
53x3x5x2x2x3x3x 22345
53x)35(x)22(x3x3x 2345
8x2x4x3x3x 2345
4 2 5 3 2Q(x) P(x) ( 3x 2x 3x 5) (x 3x 2x 5x 3)
3x5x2x3x5x3x2x3 23524
35x5x3x2x2x3x3x 22345
5 4 3 2x 3x 3x (2 2)x ( 3 5)x 5 3
8x2x4x3x3x 2345
Sonuç olarak )x(P)x(Q)x(Q)x(P olduğu görülür.
ALIŞTIRMALAR
1. 3P(x) 4x 2x 1 , 3 2Q(x) 5x x x 3
polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x)
olduğunu gösteriniz.
2. 2P(x) x 1 ve 3 2Q(x) x 4x 1
polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x)
olduğunu gösteriniz.
14.19.2.3 Birleşme Özeliği
Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x), R(x) polinomları için )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P dir.
Bu özeliğe birleşme özeliği denir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 30
Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özeliğinin olduğunu gösteriniz.
Yanıt 1:
xP(x), Q(x), R(x) için )x(R)x(P)x(Q)x(R)x(Q)x(P olduğundan
polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır. Örneğin
xP(x) 2x 1 , x2 R1x2x)x(Q ve 2)x(R polinomları için
)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2
)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222
)2x0x0())1(1(x)22(x)10( 22
)2x0x0()11(x)4(x)1( 22
)2x0x0(0x4x 22
)20(x)04(x)01( 2
2x4x2
2x4x)x(R)x(Q)x(P 2 (1)
)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2
)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222
)2)1((x)02(x)01()1x2x0( 22
)21(x)2(x)1()1x2x0( 22
1x2x)1x2x0( 22
)11(x)22(x)10( 2
)2(x)4(x)1( 2
2x4x2
2x4x)x(R)x(Q)x(P 2 (2)
(1) ve (2) den )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P
Örnek 2: P(x) x 3 , 2Q(x) 2x 6 ve 3R(x) 3x 1 polinomları için
)x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P olduğunu gösteriniz.
Yanıt 2:
)x(R)x(Q)x(P ve )x(R)x(Q)x(P ayrı ayrı bulunursa
2 3P(x) Q(x) R(x) x 3 (2x 6) (3x 1)
3 2x 3 3x 2x 6 1
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 31
3 2x 3 3x 2x 7
7x2x33x 23
73xx2x3 23
10xx2x3 23
2 3P(x) Q(x) R(x) (x 3) (2x 6) 3x 1
2 3(x 3) (2x 6) 3x 1
2 3x 3 2x 6 3x 1
1x36x23x 32
163xx2x3 23
10xx2x3 23
Sonuçlara göre; )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P olduğu görülür.
ALIŞTIRMALAR 1. Keyfi seçilecek üç polinom için birleşme
özeliğinin gerçekleştiğini gösteriniz. 2. P(x) x , Q(x) 2x 3 ve 2T(x) 2x 1
polinomları için birleşme özeliğini gösteriniz.
14.19.2.4 Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği
Tanım (ETKİSİZ (BİRİM) ÖZELİĞİ)
xP(x) polinomu için
)x(P0)x(P)x(P0
dir. Birim eleman, Q(x) 0 sıfır polinomudur. Burada
n n 1 n 2 2 1 0Q(x) 0 0x 0x 0x 0x 0x 0x
dır.
Bu özeliğe etkisiz (birim) eleman özeliği denir.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim) eleman özeliğinin olduğunu gösteriniz.
Yanıt 1:
xP(x), Q(x) için )x(P)x(Q)x(P olduğundan polinomlar kümesinde toplama
işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği vardır ve 0)x(Q dır. Örneğin
xP(x) 2x 1 için
)x(P)x(Q)x(P
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 32
)1x2()x(Q)1x2( )1x2()1x2()1x2()x(Q)1x2(
)1x2()1x2()x(Q)1x2()1x2(
)1x2)1x2()x(Q)1x2)1x2(
(2 2)x (1 ( 1)) Q(x) (2 2)x (1 ( 1))
(0)x (1 1) Q(x) (0)x (1 1)
0x0)x(Q00
0x0)x(Q
0)x(Q
Polinomlar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfır polinomu 0)x(P
dır.
Örnek 2: 0)x(P ve 3x)x(Q için )x(Q)x(Q)x(P olduğunu gösteriniz.
Yanıt 2: )x(Q)x(P bulunursa:
)3x()0()x(Q)x(P
3x0
03x
3x
Sonuç olarak )x(Q)x(Q)x(P olduğu görülür.
ALIŞTIRMALAR
1. R(x) 0 ve 2Q(x) x 2x 1 polinomları
için R(x) Q(x) Q(x) olduğunu gösteriniz.
2. 5 4T(x) x 2x 3x 1 ve V(x) 0 için
T(x) V(x) T(x) olduğunu gösteriniz.
14.19.2.5 Ters Eleman Özeliği
Tanım (TERS ELEMAN ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x) polinomu için
0)x(Q)x(P)x(P)x(Q
dır. Ters eleman, )x(P)x(Q dır. )x(P polinomunun toplama işlemine göre ters elemanı
)x(P
dir.
Bu özeliğe ters eleman özeliği denir.
Örnek 1: 2P(x) x x 1 polinomunun tersi olan polinomu bulunuz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 33
Yanıt 1:
P(x) polinomunun tersi olan polinom T(x) P(x) olacağından
T(x) P(x) 2(x x 1)
2x x 1
Örnek 2: 1x)x(P 2 polinomunun tersinin 1x)x(Q 2 olduğunu gösteriniz.
Yanıt 2:
)x(Q polinomu )x(P polinomunun tersi ise 0)x(Q)x(P)x(P)x(Q olacaktır. Bu
duruma göre:
)x(P)x(Q ve )x(Q)x(P toplamları bulunursa:
)1x()1x()x(P)x(Q 22
1x1x 22
0
)1x()1x()x(Q)x(P 22
1x1x 22
0
Sonuç olarak 0)x(Q)x(P)x(P)x(Q olduğu görülür. Dolayısıyla,
1x)x(P 2 polinomunun tersinin 1x)x(Q 2 olduğu görülür.
ALIŞTIRMALAR
1. 3R(x) x 2x 1 polinomunun tersi olan
polinomu bulunuz.
2. 5 4T(x) x 2x 2x 1 polinomunun tersi
olan polinomu bulunuz.
14.20 Polinomlar Kümesinde Çıkarma İşlemi
Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE ÇIKARMA İŞLEMİ) n
n1n
1n2n
2n3
32
21
10
0 xaxaxaxaxaxaxa)x(P
,
m
m1m
1m2m
2m3
32
21
10
0 xbxbxbxbxbxbxb)x(Q
ve
m
m1m
1m2m
2m3
32
21
10
0 xbxbxbxbxbxbxb)x(Q
polinomlarında, )x(Qder)x(Pder ise bu polinomların farkı )x(Q)x(P)x(Q)x(P için
nn
1m1m1m
222
111
000 xax)ba(x)ba(x)ba(x)ba()x(Q)x(P
işlemine polinomlar kümesinde çıkarma işlemi denir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 34
Örnek 1: 7x5x2)x(P 2 ve 9x3x3)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(P
toplamını bulunuz.
Yanıt 1:
Polinomlar kümesinde çıkarma işlemi )x(Q)x(P)x(Q)x(P dir.
9x3x3)x(Q 2 9x3x3)x(Q 2
9x3x3)x(Q 2
)x(Q)x(P)x(Q)x(P
)9x3x3()7x5x2()x(Q
22
)9x3x3()7x5x2( 22
))9()7((x)35(x))3(2( 2
)97(x8x)32( 2
)16(x8x2
16x8x 2
Örnek 2: x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için
)x(Q)x(P toplamını bulunuz.
Yanıt 2:
x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için
Polinomlarda yer almayan terimler bulunmaktadır. Bu terimler katsayılar 0 olacak şekilde
belirtilebilir. Bu terimler
)x(P için ,x0 4 ,x0 3 0x0 (sabit terim) )1x( 0
)x(Q için 3x0
Bu durumda )x(P ve )x(Q 02345 x0x9x7x0x0x3)x(P
9x5x8x0x3x3)x(Q 2345
Polinomlar kümesinde çıkarma işlemi )x(Q)x(P)x(Q)x(P dir. 9x5x8x3x3)x(Q 245 )9x5x8x3x3()x(Q 245
9x5x8x3x3)x(Q 245
Bunlara göre
)9x5x8x0x3x3()x0x9x7x0x0x3()x(Q)x(P)x(Q
234502345
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 35
)9x5x8x0x3x3()x0x9x7x0x0x3( 234502345
02345 x))9(0(x)59(x)87(x)00(x)30(x)33(
02345 x)90(x)4(x15x0x3x6
02345 x9x4x15x0x3x6
9x4x15x3x6 245
Örnek 3: 5x5x3)x(P 2 ve 45 x2x3)x(Q polinomları için )x(Q)x(P
toplamını bulunuz.
Yanıt 3: 45 x2x3)x(Q )x2x3()x(Q
45
45 x2x3)x(Q
)x(Q)x(P)x(Q)x(P
)x2x3()5x5x3( 452
452 x2x35x5x3
5x5x3x2x3 245
ALIŞTIRMALAR
1. 5 2P(x) 2x x x 1 ve 3 2Q(x) x x 1
ise P(x) Q(x) ve Q(x) P(x)
polinomlarını bulunuz.
2. T(x) 2x , 2Q(x) x 2 ve 3 2S(x) x x 2
ise T(x) Q(x) S(x) ve S(x) T(x) Q(x)
polinomlarını bulunuz.
3. 2T(x) 2x 3x 2 ve 5 3K(x) x x ise
2 T(x) 5 K(x) polinomunu bulunuz.
4. 2T(x) x 2x 2 ve 4 2V(x) 2x 3x 2
ise V(x) 2 T(x) polinomunu bulunuz.
5. 2T( x) 2x 5 ve 2D(2x) 3x 2x 1 ise
T(x) D(x) polinomunu bulunuz.
6. 3R(x) 2x 5x 5 ve H(x) için
5 4 2R(x) H(x) 2x 5x x 4 ise H(x) i
bulunuz.
14.20.1 Polinomlar Farkının Derecesi
Teorem (POLİNOMLAR FARKININ DERECESİ)
)x(P ve )x(Q polinom olmak üzere T(x) P(x) Q(x) P(x) Q(x) yine bir polinomdur ve
der T(x) maks der P(x) , der Q(x)
dir.
Örnek 1: 3xx5x)x(P 38 ve 5x7x3)x(Q 25 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 36
Yanıt 1: Polinomların dereceleri bulunursa
3xx5x)x(P 38 polinomunun derecesi 8)x(Pder
5x7x3)x(Q 25 polinomunun derecesi 5)x(Qder
58 olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda
)x(Qder)x(Pder 8)x(Q)x(Pder
Örnek 2: m ve 9m olmak üzere ve 5mx)x(Q 3 ise )x(Q)x(Pder nedir?
Yanıt 2: Polinomların dereceleri bulunursa
5x7x5x4x3)x(P 29m polinomunun derecesi m)x(Pder
5mx)x(Q 3 polinomunun derecesi 3)x(Qder
9m olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda
)x(Qder)x(Pder m)x(Q)x(Pder
Örnek 3: 3xx5)x(P 3 ve 5x7x5)x(Q 23 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?
Yanıt 3: Polinomların dereceleri bulunursa
3xx5)x(P 3 polinomunun derecesi 3)x(Pder
5x7x5)x(Q 23 polinomunun derecesi 3)x(Qder
33 olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda
)x(Qder)x(Pder 3)x(Q)x(Pder
)x(Q)x(P bulunursa
)5x7x5()3xx5()x(Q)x(P 233
5x7x53xx5 233
53xx7x5x5 233
53xx7x)55( 23
2xx7x0 23
2xx7 2
22xx7der)x(Q)x(Pder 2
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 37
ALIŞTIRMALAR
1. 2P(x) x 2x 2 ve 3T(x) 3x 2x 2 ise
der T(x) P(x) ve der P(x) T(x) i bulunuz.
2. 7 4K(x) 3x 5x 3x 1 , 7 3U(x) 3x 4x
ve 2T(x) 3x 3x ise der K(x) T(x) U(x) i bulunuz.
14.20.2 Çıkarma İşleminin Özelikleri
Çıkarma işleminin sadece kapalılık özeliği vardır.
1. Kapalılık Özeliği 2. Değişme Özeliği (yoktur) 3. Birleşme Özeliği (yoktur) 4. Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği (yoktur) 5. Ters Eleman Özeliği (yoktur)
14.20.2.1 Kapalılık Özeliği
Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ)
P(x) , xQ(x) polinomları için xP(x) Q(x) dir.
Bu özeliğe kapalılık özeliği denir.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu gösteriniz.
Yanıt 1:
xP(x), Q(x) için xP(x) Q(x) olduğundan polinomlar kümesinde çıkarma
işleminin kapalılık özeliği vardır. Örneğin
xP(x) 2x 1 ve 2
xQ(x) x 2x 1 polinomları için
)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2
)1x2x()1x2x0( 22
))1(1(x)22(x)10( 2
)11(x)0(x)1( 2
2x0x 2
2x 2
2
xP(x) Q(x) x 2 olduğundan kapalılık özeliği vardır.
Örnek 2: Polinomlar kümesinde toplama işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu bir örnek
ile gösteriniz
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 38
Yanıt 2:
2
xP(x) x 1 ve
2
xQ(x) x 2x polinomları için
)x2x()1x()x(Q)x(P 22
)0x2x()1x0x( 22
)01(x)20(x)11( 2
)1(x)2(x)0( 2
1x2x0 2
1x2
xP(x) Q(x) 2x 1 olduğundan kapalılık özeliği vardır.
ALIŞTIRMALAR
1. 3P(x) 2x 2x 1 ve 3T(x) 2x 3x
polinomları için kapalılık özeliğinin varlığını
gösteriniz.
2. T(x) x ve K(x) 2x polinomları için
kapalılık özeliğinin varlığını gösteriniz.
14.20.2.2 Değişme Özeliği
Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)
P(x) , xQ(x) polinomları için )x(P)x(Q)x(Q)x(P dir.
Çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin değişme özeliğinin olmağını gösteriniz.
Yanıt 1:
xP(x), Q(x) için )x(P)x(Q)x(Q)x(P olduğundan polinomlar kümesinde
çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur. Örneğin
xP(x) 2x 1 ve 2
xQ(x) x 2x 1 polinomları için
)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2
)1x2x()1x2x0( 22
))1(1(x)22(x)10( 2
)11(x)0(x)1( 2
2x0x 2
2x 2
2
xP(x) Q(x) x 2 ............................................................................................. (1)
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 39
)1x2()1x2x()x(P)x(Q 2
)1x2x0()1x2x( 22
)1)1((x)22(x)01( 2
)11(x)0(x)1( 2
2x0x 2
2x2
2
xQ(x) P(x) x 2 ............................................................................................... (2)
(1) ve (2) den )x(P)x(Q)x(Q)x(P elde edilir. Çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur.
ALIŞTIRMALAR
1. 7P(x) x x ve 2K(x) 2x polinomlarını
kullanarak çıkarma işleminin değişme
özeliğinin olmadığını gösteriniz.
2. Keyfi seçilecek iki polinom ile çıkarma
işleminin değişme özeliğinin olmadığını
gösteriniz.
14.20.2.3 Birleşme Özeliği
Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)
P(x) , Q(x) , xR(x) polinomları için )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P dir.
Çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin birleşme özeliğinin olmadığını
gösteriniz.
Yanıt 1:
xP(x), Q(x), R(x) için )x(R)x(P)x(Q)x(R)x(Q)x(P olduğundan
polinomlar kümesinde çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur. Örneğin
xP(x) 2x 1 , 2
xQ(x) x 2x 1 ve 2)x(R polinomları için
)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2
)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222
)2x0x0())1(1(x)22(x)10( 22
)2x0x0()11(x)0(x)1( 22
)2x0x0(2x0x 22
)22(x)00(x)01( 2
0x)0(x)1( 2
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 40
0x0x2
2x
2x)x(R)x(Q)x(P ............................................................................................... (1)
)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2
)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222
)2)1((x)02(x)01()1x2x0( 22
)21(x)2(x)1()1x2x0( 22
3x2x)1x2x0( 22
))3(1(x)22(x)10( 2
)31(x)0(x)1( 2
4x0x 2
4x2
4x)x(R)x(Q)x(P 2 ........................................................................................... (2)
(1) ve (2) den )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P elde edilir. Çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur.
ALIŞTIRMALAR
1. 5P(x) x 3x 1 , 2R(x) x 2x 7 ve 2Q(x) 2x 3x için çıkarma işleminin
birleşme özeliğinin olmadığını gösteriniz.
2. Keyfi seçilecek üç polinom ile çıkarma işleminin birleşme özeliğinin olmadığını
gösteriniz.
14.20.2.4 Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği
Tanım (ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN ÖZELİĞİ)
xP(x) polinomu için
)x(P)x(P00)x(P
dir. 0, sıfır polinomudur. Burada
0122n1nn x0x0x0x0x0x00)x(P
dır.
Çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği yoktur.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliğinin olmadığını gösteriniz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 41
Yanıt 1:
xP(x) için )x(P)x(P00)x(P olduğundan polinomlar kümesinde çıkarma
işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği yoktur. Örneğin
xP(x) 2x 1 için
)x(P)x(P00)x(P işlemi yapılırsa
)0()1x2(0)x(P
)0x0()1x2(
)01(x)02(
)1(x)2(
1x2
1x20)x(P elde edilir. ............................................................................................................ (1)
)1x2(0)x(P0
)1x2()0x0(
)10(x)20(
)1(x)2(
1x2
1x2)x(P0 elde edilir. .......................................................................................................... (2)
(1) ve (2) nin sonucu olarak )x(P)x(P00)x(P olduğundan çıkarma işleminin
etkisiz (birim) eleman özeliği yoktur.
ALIŞTIRMALAR
1. T(x) 2x ve 2U(x) 2x 1 polinomları ile
birim eleman özeliğinin olmadığını gösteriniz.
2. Keyfi seçilecek polinomlar yardımı ile çıkarma işleminin birim elemanının
olmadığını gösteriniz.
14.20.2.5 Ters Eleman Özeliği
Tanım (TERS ELEMAN ÖZELİĞİ)
Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği olmadığından,
polinomlar kümesinde çıkarma işleminin ters eleman özeliği yoktur.
Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin ters eleman özeliğinin olmadığını
gösteriniz.
Yanıt 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği olmadığından,
polinomlar kümesinde çıkarma işleminin ters eleman özeliği yoktur.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 42
ALIŞTIRMALAR
1. 2L(x) 2x 3x 1 ve 2M(x) 7x 7x 1
polinomları ile ters eleman özeliğinin
olmadığını gösteriniz.
2. Seçilecek keyfi polinomlar ile çıkarma işleminin ters eleman özeliğinin olmadığını
gösteriniz.
14.21 Polinomlar Kümesinde Çarpma İşlemi
Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE ÇARPMA İŞLEMİ) n
n1n
1n2n
2n3
32
21
10
0 xaxaxaxaxaxaxa)x(P
ve m
m1m
1m2m
2m3
32
21
10
0 xbxbxbxbxbxbxb)x(Q
polinomlarının çarpımı
2021120011000 x)bababa(x)baba(ba)x(Q)x(P
işlemine polinomlar kümesinde çarpma işlemi denir.
Örnek 1: x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için )x(Q)x(P çarpımını bulunuz.
Yanıt 1: x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için
)1x()x()x(Q)x(P
1xxx
xx2
Örnek 2: 1x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için )x(Q)x(P çarpımını bulunuz.
Yanıt 2:
1x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için
)1x()1x()x(Q)x(P
)1x(1)1x(x
)11x1()1xxx(
)1x()xx( 2
1x2x2
Örnek 3: 1x)x(P 2 ve 1x)x(Q polinomları için )x(Q)x(P çarpımını bulunuz.
Yanıt 3:
1x)x(P 2 ve 1x)x(Q polinomları için
)1x()1x()x(Q)x(P 2
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 43
))1x(1())1x(x( 2
)11x1()1xxx( 22
)1x()xx( 23
1xxx 23
Örnek 4: 1xx)x(P 23 ve 1xx)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(P çarpımını
bulunuz.
Yanıt 4:
1xx)x(P 23 ve 1xx)x(Q 2 polinomları için
)1xx()1xx()x(Q)x(P 223
))1xx(1())1xx(x())1xx(x( 22223
))1xx(1())1xx(x())1xx(x( 22223
)11x1x1()1xxxxx()1xxxxx( 222223323
)1xx()xxx()xxx( 2234345
1xxxxxxxx 2234345
1xxxxxxxx 2234345
1xxxx 335
1xx2x 35
ALIŞTIRMALAR
1. P(x) 2 ve 2T(x) x 2 polinomlarının
çarpımını bulunuz.
2. T(x) x 3 ve Q(x) 2x 4 polinomları
için T(2x) Q( x) i bulunuz.
3. 2S(x) 2x 3x 6 ve K( x) 2x 1 için 2S(x) K (x) i bulunuz.
4. 2V(x) x 1 , 2U(x) x 1 ve L(x) x
polinomlar için V(x)U(x)L(x) i bulunuz.
14.21.1 Polinomlar Çarpımının Derecesi
Teorem (POLİNOMLAR ÇARPIMININ DERECESİ) )x(P ve )x(Q polinom olmak üzere T(x) P(x) Q(x) yine bir polinomdur ve P(x) 0 ,
Q(x) 0 ise
der T(x) der P(x) der Q(x)
dir.
Örnek 1: 1x)x(P ve 5x)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 44
Yanıt 1: Polinomların dereceleri ayrı ayrı bulunursa:
1x)x(P 11xder)x(Pder
5x)x(Q 2 25xder)x(Qder 2
sonuçları bulunur. )x(Qder)x(Pder)x(Q)x(Pder olduğundan
321)x(Q)x(Pder
3)x(Q)x(Pder sonucu elde edilir.
Bu sonuç çarpım işlemi gerçekleştirilerek bulunmak istenirse:
)5x()1x()x(Q)x(P 2
)5x(1)5x(x 22
51x15xxx 22
5xx5x 23
5x5xx 23
5x5xx)x(Q)x(P 23 elde edilir. Buna göre
35x5xxder)x(Q)x(Pder 23
Örnek 2: 1xxx)x(P 25 ve 5xx2)x(Q 28 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?
Yanıt 2: Polinomların dereceleri ayrı ayrı bulunursa:
1xxx)x(P 25 1xxxder)x(Pder 25 5)x(Pder
5xx2)x(Q 28 5xx2der)x(Qder 28 8)x(Qder
sonuçları bulunur. )x(Qder)x(Pder)x(Q)x(Pder olduğundan 1385)x(Q)x(Pder
Örnek 3: 1xx)x(P 5 polinomu için )x(P2der nedir?
Yanıt 3: Dereceyi bulmak için:
1xx)x(P 5 )1xx(2)x(P25
2x2x2 5
5der 2 P(x) der 2x 2x 2 5
Not : k , )x(P bir polinom ve n)x(Pder ise n)x(Pkder dir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 45
Örnek 4: der P(x) 3 , der Q(x) 6 , der S(x) m ve 2 3der P (x)Q(x)S (x) 21 ise
m nedir?
Yanıt 4: Verilen derecelere göre
2 3 2 3der P (x)Q(x)S (x) der P (x) der Q(x) der S (x)
2 der P(x) der Q(x) 3 der S(x)
2 3 6 3 m
12 3m
2 3der P (x)Q(x)S (x) 21 olduğundan 12 3m 21 m 9
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen polinomların derecelerini bulunuz.
a) 2(x 1)(x 2) b) 3x(x 2x 9)
c) x(x 1)(x 1) d) 2 2(x 1)(x 1)
2. der P(x) 4 ve der W(x) 7 ise P(x)W(x) polinomunun derecesini bulunuz.
3. der P(x) 5 ve der P(x) F(x) 15 ise F(x) polinomunun derecesini bulunuz.
4. der P(x) 5 , der K(x) 10 olmak üzere
der P(x)K(x)Y(x) 22 ise Y(x) in derecesini bulunuz.
5. P, Q, S ve R polinom olmak üzere derP 12 ,
derQ 23 , derS 4 ve der P Q S R 63 ise derR yi bulunuz.
6. H, J ve L polinomları için der H J n ve
der H J L k ise derJ yi bulunuz.
14.21.2 Çarpma İşleminin Özelikleri
Çarpma işleminin özelikleri:
1. Kapalılık Özeliği 2. Değişme Özeliği 3. Birleşme Özeliği 4. Çarpma İşlemine Göre Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği 5. Çarpma İşlemine Göre Ters Eleman Özeliği 6. Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği
14.21.2.1 Kapalılık Özeliği
Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x) polinomları için xP(x) Q(x) dir.
Bu özeliğe kapalılık özeliği denir.
Örnek 1: xP(x), Q(x) polinomları için çarpma işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu
gösteriniz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 46
Yanıt: n n 1
n n 1 1 0P(x) a x a x a x a
ve n n 1
n n 1 1 0Q(x) b x b x b x b
polinomları alınırsa
n n 1 n n 1
n n 1 1 0 n n 1 1 0P(x) Q(x) (a x a x a x a ) (b x b x b x b )
2n 2n 1 n 1 n
n n n n 1 n 1 n 0
2n 1
n 1 n n 1 n 1 0 1 0
P(x) Q(x) a b x a b x a b x a b x
a b x a b x abx abx a b x a b
P(x) Q(x) S(x) yeni bir polinomdur. xS(x) R olduğundan çarpma işleminin kapalılık
özeliği vardır.
ALIŞTIRMALAR
1. 3P(x) 2x 2x 1 ve 3T(x) 2x 3x
polinomları için kapalılık özeliğinin varlığını
gösteriniz.
2. T(x) x ve K(x) 2x polinomları için
kapalılık özeliğinin varlığını gösteriniz.
14.21.2.2 Değişme Özeliği
Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x) polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x) dir.
Bu özeliğe değişme özeliği denir.
Örnek 1: V(x) 3x 1 ve 2C(x) 2x polinomları kullanarak çarpma işleminin değişme
özeliğinin varlığını gösteriniz.
Yanıt 1: Polinomların çarpımları hesaplanırsa:
V(x) C(x) çarpımı bulunursa : C(x) V(x) çarpımı bulunursa :
2V(x) C(x) (3x 1) (2x ) 2C(x) V(x) (2x ) (3x 1)
2 2V(x) C(x) (3x) (2x ) (1) (2x ) 2 2C(x) V(x) (2x ) (3x) (2x ) (1)
3 2V(x) C(x) 6x 2x 3 2C(x) V(x) 6x 2x
Bu çarpım sonuçlarına göre V(x) C(x) C(x) V(x) elde edilir.
ALIŞTIRMALAR
1. 7P(x) x x ve 2K(x) 2x polinomlarını
kullanarak çarpma işleminin değişme
özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.
2. Keyfi seçilecek iki polinom ile çarpma işleminin değişme özeliğinin olup/olmadığını
gösteriniz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 47
14.21.2.3 Birleşme Özeliği
Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x), R(x) polinomları için P(x) Q(x) R(x) P(x) Q(x) R(x) dir.
Bu özeliğe birleşme özeliği denir.
Örnek 1: P(x) 3x 1 , 2R(x) x ve 2Q(x) x 3x için çarpma işleminin birleşme
özeliğini gösteriniz.
Yanıt 1:
Birleşme özeliği için P(x) Q(x) R(x) P(x) Q(x) R(x) eşitliğinin gerçekleşmesi gerekmektedir. Bunu gösterirsek;
P(x) Q(x) işlemi bulunursa : Q(x) R(x) işlemi bulunursa :
2P(x) Q(x) (3x 1)(x 3x) 2 2Q(x) R(x) (x 3x)(x )
3 2P(x) Q(x) 3x 10x 3x 4 3Q(x) R(x) x 3x
P(x) Q(x) R(x) işlemi bulunursa : P(x) Q(x) R(x) işlemi bulunursa :
3 2 2P(x) Q(x) R(x) (3x 10x 3x)(x ) 4 3P(x) Q(x) R(x) (3x 1)(x 3x )
5 4 3P(x) Q(x) R(x) 3x 10x 3x 5 4 3P(x) Q(x) R(x) 3x 10x 3x
Yukarıdaki eşitliklere göre P(x) Q(x) R(x) P(x) Q(x) R(x) olduğu görülür.
ALIŞTIRMALAR
1. 5P(x) x 3x 1 , 2R(x) x 2x 7 ve 2Q(x) 2x 3x için çarpma işleminin
birleşme özeliğinin olup/olmadığını
gösteriniz.
2. Keyfi seçilecek üç polinom ile çarpma işleminin birleşme özeliğinin olup/olmadığını
gösteriniz.
14.21.2.4 Çarpma İşlemine Göre Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği
Tanım (ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN ÖZELİĞİ)
xP(x) polinomu için
1 P(x) P(x) 1 P(x)
dir. Birim eleman, Q(x) 1 sabit polinomudur. Burada
n n 1 n 2 2 1 0Q(x) 1 0x 0x 0x 0x 0x 1x
dır.
Bu özeliğe etkisiz (birim) eleman özeliği denir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 48
Örnek 1: T(x) 2x polinomu ile birim eleman özeliğini gösteriniz.
Yanıt 1: Polinomlarda çarpma işleminin birim elemanı 1 dir. Bunu göstermek için,
I(x) polinomu birim polinom olduğunda I(x) T(x) T(x) I(x) T(x) olacaktır. Bu
durumda
I(x) 2x 2x I(x) 2x eşitliğinden birim elemanın I(x) 1 olduğu görülür.
ALIŞTIRMALAR
1. T(x) 2x ve 2U(x) 2x 1 polinomları ile
birim eleman özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.
2. Keyfi seçilecek polinomlar yardımı ile çarpma işleminin birim elemanının olup/olmadığını gösteriniz.
14.21.2.5 Çarpma İşlemine Göre Ters Eleman Özeliği
Tanım (ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS ELEMAN ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x) polinomları için Q(x) P(x) P(x) Q(x) 1 dır.
)x(P polinomunun çarpma işlemine göre ters elemanı
1Q(x)
P(x)
olur.
Buna göre, polinomlar kümesinin çarpma işlemine göre ters eleman özeliği yoktur.
Örnek 1: 2L(x) 2x 3x 1 polinomu ile çarpma işlemine göre ters eleman özeliğinin
olmadığını gösteriniz.
Yanıt 1: Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre ters eleman özeliği yoktur. Bundan dolayıda
L(x) polinomunun da ters elemanı yoktur. Yani, L(x) polinomunun ters elemanı Q(x) olarak
seçilirse Q(x) L(x) L(x) Q(x) 1 sağlanması gerekir.
Q(x) L(x) 1 ve L(x) Q(x) 1 için 2
1 1Q(x)
L(x) 2x 3x 1
elde edilir. Fakat elde
edilen x21
Q(x)2x 3x 1
olduğundan ters eleman özeliği yoktur.
ALIŞTIRMALAR
1. 2L(x) 2x 3x 1 ve 2M(x) 7x 7x 1
polinomları ile çarpma işlemine göre ters eleman özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.
2. Seçilecek keyfi polinomlar ile çarpma işleminin ters eleman özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 49
14.21.2.6 Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği
Tanım (ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA
ÖZELİĞİ)
xP(x), Q(x), S(x) polinomları için
P(x) Q(x) S(x) Q(x) S(x) P(x)
dir. Bu özeliğe çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği denir.
P(x) Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) ye soldan dağılma özeliği denir.
Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) P(x) ye sağdan dağılma özeliği denir.
Örnek 1: P(x) 3x 1 , 2Q(x) x 3x ve 2S(x) x polinomları için soldan, sağdan
dağılma özeliğini ve dağılma özeliğini gösteriniz.
Yanıt 1: Soldan dağılma işlemi yapılırsa:
P(x) Q(x) S(x) işlemi için
2 2P(x) Q(x) S(x) (3x 1) (x 3x) (x )
2(3x 1) 2x 3x
3 26x 11x 3x
P(x) Q(x) P(x) S(x) işlemi için
2 2P(x) Q(x) P(x) S(x) (3x 1)(x 3x) (3x 1)(x )
3 2 2 3 23x x 9x 3x 3x x
3 26x 11x 3x
Böylece soldan dağılma özeliği için P(x) Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) gerçekleşmiş olur.
Sağdan dağılma işlemi yapılırsa:
Q(x) S(x) P(x) işlemi için
2 2Q(x) S(x) P(x) (x 3x) (x ) (3x 1)
22x 3x (3x 1)
3 2 26x 9x 2x 3x
3 26x 11x 3x
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 50
Q(x) P(x) S(x) P(x) işlemi için
2 2Q(x) P(x) S(x) P(x) (x 3x)(3x 1) (x )(3x 1)
3 2 2 3 23x 9x x 3x 3x x
3 26x 11x 3x
Böylece soldan dağılma özeliği için Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) P(x) gerçekleşmiş olur.
Dağılma işlemi yapılırsa :
Dağılma işlemi için P(x) Q(x) S(x) Q(x) S(x) P(x) sağlanması gerekmektedir.
3 2P(x) Q(x) S(x) 6x 11x 3x yukarıdan elde edildi............................................... (1)
3 2Q(x) S(x) P(x) 6x 11x 3x yukarıdan elde edildi............................................... (2)
Yukarıdaki (1) ve (2) eşitliklerinden P(x) Q(x) S(x) Q(x) S(x) P(x) elde edilir.
ALIŞTIRMALAR
1. 2L(x) 2x 3x 1 , 2M(x) 7x 7x 1 ve
J(x) 5x polinomları ile çarpma işleminin
toplama işlemi üzerine dağılma özeliğinin
olup/olmadığını gösteriniz.
2. Seçilecek keyfi polinomlar ile çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma
özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz
14.22 Bölme Algoritması
Bölme işlemi aşağıda verilecek teoremdeki bölme algoritması ile kolaylıkla yapılabilir.
Teorem (BÖLME ALGORİTMASI) P(x) ve Q(x) herhangi iki polinom, Q(x) 0 olsun. Bu durumda, aşağıdaki koşulları
sağlayan tek türlü belirli )x(B ve )x(K polinomları vardır:
P(x) B(x) Q(x) K(x) , der K(x) der Q(x) .
14.23 Polinomlar Kümesinde Bölme İşlemi
Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE BÖLME İŞLEMİ)
P(x) , Q(x) 0 , )x(B ve )x(K polinomlar der P(x) der Q(x) ve
der K(x) der Q(x) olmak üzere )x(P ve )x(Q polinomları için
P(x) B(x) Q(x) K(x) eşitliğini sağlayan
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 51
)x(B polinomuna; )x(P in )x(Q e bölümü,
)x(K polinomuna; )x(P in )x(Q e bölünmesinden kalan denir.
0)x(K ise )x(P polinomu )x(Q polinomuna tam (kalansız) bölünüyor denir.
Kalansız bölme )x(B)x(Q)x(P biçiminde gösterilir.
Yapılan bu işlemlere polinomlar kümesinde bölme işlemi denir.
Bölme işleminin yapılışı sırasında aşağıdaki sıranın uygulanması kolaylık sağlamaktadır.
1. Bölünen ve bölen polinomların her biri azalan kuvvete göre sıralanır.
2. Bölünen polinomun ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3. Elde edilecek bölüm, bölen polinomun tüm terimleri ile çarpılır ve bölünen polinomun altına yazılır.
4. Elde edilen polinom, bölünen polinomdan çıkarılır.
5. Çıkan polinom için 2. maddeden itibaren işlem 4. maddede elde edilen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar tekrarlanır.
Örnek 1: 2P(x) x 2x 1 polinomunun x 1 ile bölümenden elde edilen bölüm ve kalanı
bulunuz.
Yanıt 1: Bölme işlemi yapılmadan önce bölünen ve bölen polinomlar derecelerine göre büyükten
küçüğe doğru sıralanır ve adım adım devam edilirse
Adım 1: 2x içinde x aranır.
2x 2x 1 x 1
2x x x
Adım 2: Çıkarma işlemi yapılırsa
2x 2x 1 x 1
2x x x
x 1
Adım 3: x içinde x aranır.
2x 2x 1 x 1
2x x x 1
x 1 x 1
Adım 4: Çıkarma işlemi yapılırsa
2x 2x 1 x 1
2x x x 1
x 1 x 1
0
Bölüm Kalan
x 1 0
2P(x) x 2x 1 (x 1)(x 1) olarak bulunur.
Örnek 2: 3P(x) x 3x 3 polinomunun x 1 ile bölümünden elde edilen bölüm ve
kalanı bulunuz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 52
Yanıt 2: Bölme işlemi yapılmadan önce bölünen ve bölen polinomlar derecelerine göre büyükten
küçüğe doğru sıralanır ve devam edilirse
3x 3x 3 x 1
3 2x x 2x x 4
2x 3x 3
2x x
4x 3
4x 4 Bölüm Kalan
1 2x x 4 1
3 2P(x) x 3x 3 (x 1)(x x 4) 1
Örnek 3: 4 2P(x) x x 2x 5 polinomunun 2x 2x ile bölümünden elde edilecek
bölüm ve kalanı bulunuz.
Yanıt 3: Bölme işlemi yapılmadan önce bölünen ve bölen polinomlar derecelerine göre büyükten
küçüğe doğru sıralanır ve devam edilirse
4 2x x 2x 5 2x 2x
4 3x 2x 2x 2x 5
3 22x x 2x 5
2 22x 4x
25x 2x 5
25x 10x Bölüm Kalan
8x 5 2x 2x 5 8x 5
Bölüm ve kalan polinomları bulunur.
Örnek 4: 7 5 4P(x) x 2x 3x 7x 3 polinomunun 3x 2x 1 ile bölümünden elde
edilecek bölümü ve kalanı bulunuz.
Yanıt 4: Bölme işlemi yapılmadan önce bölünen ve bölen polinomlar derecelerine göre büyükten
küçüğe doğru sıralanır ve devam edilirse
7 5 4x 2x 3x 7x 3 3x 2x 1
7 5 4x 2x x 4x 4x
44x 7x 3
4 24x 8x 4x
28x 11x 3
Bölüm Kalan
4x 4x 28x 11x 3
Bölüm ve kalan polinomları bulunur.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 53
ALIŞTIRMALAR
1. 14 10 9 5 3J(x) 3x 5x x x 2x 2x 5 ile 5x 2 bölümünden elde edilecek bölümü ve
kalanı bulunuz.
2. 21 9 5H(x) 12x 4x 6x 2 ile 3x 2x 1
bölümünden elde edilecek bölümü ve kalanı
bulunuz.
14.23.1 Polinomlar Bölümünün Derecesi
Tanım (POLİNOMLAR BÖLÜMÜNÜN DERECESİ)
P(x) , Q(x) 0 , )x(B ve )x(K polinomları der P(x) der Q(x) ve
der K(x) der Q(x) olmak üzere )x(P ve )x(Q polinomları için )x(K)x(B)x(Q)x(P ise
)x(Bder)x(Qder)x(Pder veya )x(Qder)x(Pder)x(Bder
)x(Bder e polinomlar bölümünün derecesi denir.
Örnek 1: 12 7D(x) 3x 5x 6x 2 polinomu 5 2Z(x) 4x 5x 3x 5 polinomuna
bölündüğünde bölüm polinomunun derecesini bulunuz.
Yanıt 1: D(x) polinomunun Z(x) polinomuna bölümünden elde edilecek, B(x) bölüm polinomu
olmak üzere, bölüm polinomunun derecesi bulunursa:
der B(x) der D(x) der Z(x) olduğundan
12 7der D(x) der 3x 5x 6x 2 5 2der Z(x) der 4x 5x 3x 5
der D(x) 12 der Z(x) 5
der B(x) der D(x) der Z(x)
der B(x) 12 5 7
ALIŞTIRMALAR
1. 14 10 9 5 3J(x) 3x 5x x x 2x 2x 5 ile 5x 2 bölümünde bölüm polinomunun
derecesini bulunuz.
2. 21 9 5H(x) 12x 4x 6x 2 ile 3x 2x 1
bölümünde bölüm polinomunun derecesini bulunuz.
3. J(x) , 3T(x) x 2x 1 polinomuna
bölündüğünde bölüm polinomunun derecesi 5
ise J(x) polinomunun derecesini bulunuz.
4. 13 9 3F(x) 3x 5x 13x 1 polinomu Y(x)
polinomuna bölündüğünde bölüm
polinomunun dercesi 11 bulunuyor ise Y(x)
polinomunun dercesini bulunuz.
14.23.2 Bölme İşleminin Özelikleri
Bölme işleminin Kapalılık, Değişme, Birleşme, Etkisiz (Birim) Eleman, Ters Eleman
Özeliklerinden hiçbiri mevcut değildir.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 54
14.24 Horner Yöntemi ile Bölme (Sentetik Bölme)
Tanım (HORNER YÖNTEMİ İLE BÖLME (SENTETİK BÖLME)) Bir P(x) çok terimlisinin x a ile bölünmesinden elde edilen B(x) bölümünü ve K
kalanını kısa yoldan elde etme yöntemine Horner Yöntemi (Sentetik Bölme) denir.
Bu yöntem n n 10 1 n 1 nP(x) a x a x a x a
çok terimlisinin x a ile bölündüğü
zaman elde edilen bölüm çok terimlisi n 1 n 20 1 n 1 nB(x) b x b x b x b
ve kalan K ise bunları
belirleyen tablo aşağıdaki gibi olur.
P(x) 0a 1a 2a 3a n 2a n 1a na
x a 0 0ab 1ab 2ab n 3ab n 2ab n 1ab
B(x) 0b 1b 2b 3b n 2b n 1b K
Tablodan görüldüğü gibi burada yapılan işlemler:
1. 0 0a 0 b
2. 1 0 1a ab b
3. 2 1 2a ab b
4. 3 2 3a ab b
n 2 . n 1 n 2 n 1a ab b
n 1 . n n 1 na ab b K
böylece yöntem tamamlanmış olur.
Polinomların birbirine bölümü aşağıdaki sıra ile yapılır.
1. Bölünen ve bölen polinomların terimleri azalan kuvvetlere göre sıralanır.
2. Bölünen ve bölen polinomların ilk terimleri birbirine bölünür.
3. Bulunan bölüm bölenin tüm terimleri ile çarpılıp bölünenin altına yazılır.
4. Bölünen polinomdan elde edilen çarpım çıkarılır.
5. Elde edilen yeni polinom için 2, 3 ve 4. işlemler tekrarlanır. Bu işleme kalanın derecesinin bölenin derecesinden küçük olana kadar devam edilir.
Örnek 1: 5 3P(x) 2x 5x 3x 3 polinomunun Q(x) x 5 polinomuna bölümünden
elde eldilecek kalanı bulunuz.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 55
Yanıt 1: Tabloyu oluşturalım.
5 3P(x) 2x 5x 3x 3 2 0 5 0 3 3
x 5 0 10 50 225 1125 5640
B(x) 2 10 45 225 1128 K = 5637
ALIŞTIRMALAR
1. 4 2P(x) 6x 5x 6x 7 polinomunu
2Q(x) x 2 polinomuna bölünüz, kalan ve
bölüm toplamını bulunuz.
2. 13 7P(x) 6x x 7 polinomunun
2Q(x) x 2x polinomuna bölümünden
elede edilecek kalan ve bölüm polinomlarının toplamını bulunuz.
14.25 Polinomlarda Grup, Halka ve Cisim
Polinomlar kümesi toplama işlemine Grup ve aynı zamanda Değişmeli Gruptur (Abel Grup).
Polinomlar kümesi toplama ve çarpma işlemine göre bir halkadır.
14.25.1 Grup
Tanım (GRUP) Boş olmayan bir P polinomlar kümesi üzerinde : P P P ikili işlemi için
1. Birleşme özeliği,
2. Birim (Etkisiz) Eleman özeliği,
3. Ters Eleman özeliği
varsa (P, ) yapısına grup denir.
(P, ) yapısı
4. Değişme özeliği
içeriyorsa (P, ) yapısına Değişmeli Grup (Abel Grup) denir.
Örnek 1:
Yanıt 1:
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 56
ALIŞTIRMALAR 1.
14.25.2 Halka
Tanım (HALKA) Boş olmayan bir P polinomlar kümesi üzerinde : P P P ve : P P P ikili işlemleri
için
1. (P, ) yapısı değişmeli grup,
2. (P, ) yapısının kapalılık özeliği,
3. (P, ) yapısının birleşme özeliği,
4. (P, ) yapısının dağılma özeliği
varsa (P, , ) yapısına halka denir.
(P, , ) yapısı
5. Birim Eleman özeliği
içeriyorsa (P, , ) yapısına birimli halka denir.
Örnek 1:
Yanıt 1:
ALIŞTIRMALAR 1.
Çok Terimliler
© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetle
Top Related