Matemática e suas Tecnologias - MatemáticaEnsino Médio, 2ª Série
TEORIA DAS PROBABILIDADES
SEQUÊNCIA DIDÁTICA
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
A Mônica e seus amigos moram no mesmo bairro. A distância da casa da Mônica (vermelho) para a casa do Horácio (verde), Cebolinha (preto), Magali (amarelo), Cascão (marrom) e Bidú (azul) é de quatro quarteirões, conforme ilustra a figura. A Mônica costumava visitar seus amigos durante os dias da semana em
uma ordem pré-estabelecida: segunda-feira, Horácio; terça-feira, Cebolinha; quarta-feira, Magali; quinta-feira, Cascão e sexta-feira, Bidú. Para tornar mais emocionantes os encontros, a turma combinou que o acaso escolhesse o amigo a ser visitado pela Mônica. Para isso, na saída de sua casa e a cada cruzamento, Mônica deve jogar uma moeda; se sair cara (C), andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um quarteirão para o Leste. Cada jogada representa um quarteirão de percurso. Mônica deve jogar a moeda quatro vezes para poder chegar à casa dos amigos. (Cazorla e Santana, 2006, 44)
PASSEIOS ALEATÓRIOS DA MÔNICA
Após ler a história, responda:
1) Qual é a diferença entre a forma antiga da Mônica visitar seus amigos e a nova forma?
2) Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda?
3) Qual é a chance de sair cara? E de sair coroa?
4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?( ) Não. ( )Sim.
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
5) Para Mônica visitar um amigo, tem que lançar a moeda quatro vezes, que denominamos de experimento. Se sair cara (C), Mônica andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um quarteirão para o Leste. Vocês devem repetir esse experimento 30 vezes e anotar os resultados no Quadro 1. Por exemplo, se sair a sequência: cara, cara, coroa, cara, anotar na coluna a sequência: CCXC e, na coluna do amigo visitado: Cebolinha
Repetição Sequência Amigo visitado Repetição Sequência Amigo visitado
01 16
02 17
03 18
04 19
05 20
06 21
07 22
08 23
09 24
10 25
11 26
12 27
13 28
14 29
15 30
6) Quem tem mais chance de ser visitado(a) Magali ou Horácio? 7) Existe a chance da Mônica não visitar nenhum amigo?
( ) Não. ( ) Sim. 8) Depois de ter realizado o experimento, vocês mudariam de opinião na seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Pense na sua resposta considerando a questão 4. ( ) Não. ( ) Sim.
Por quê?
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
9) Sistematizem os resultados do Quadro 1 na Tabela 1, chamada de
Tabela de Distribuição de Frequência – TDF.
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Tabela 1. Distribuição do número de visitas que cada amigo recebeu da MônicaAmigo N° de vezes que foi visitado Frequência relativa
(hi)Portentagem
Horácio
Cebolinha
Magali
Cascão
Bidu
Total 30 1,00 100,00Onde hi = fi/30, que representa uma estimativa da probabilidade
10) Depois que vocês organizaram os resultados na TDF, podem mudar de opinião na seguinte questão: “todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Pense na sua resposta considerando a questão 8. ( ) Não ( ) Sim. Por quê?
11) Na malha quadriculada, construam um gráfico que apresente os dados da frequência relativa, constante da Tabela 1. Depois, comparem seus resultados com os dos seus colegas. Esses são iguais? ( ) Não ( ) Sim. Por quê?
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
12) Completem a árvore de possibilidades, indicando a sequência sorteada, o número de caras e o amigo visitado. Observe que cada ramo se desdobra em dois novos ramos (um para cara e outro para coroa) a cada sorteio:
Ponto de partida
Primeiro sorteio
Segundo sorteio
Terceiro sorteio
Quarto sorteio
Sequência sorteada
N° de caras Amigo visitado
Mônica
13) E agora, quantos caminhos existem ao todo?
14) Existe alguma relação entre o(s) caminho(s) que leva(m) a cada um dos
amigos. Caso exista, que relação é observada para o(s) caminho(s) que
leva(m) a:
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
a. Horácio_____________________
b. Cebolinha___________________
c. Magali______________________
d. Cascão____________________
e. Bidu______________________
15) Depois que vocês analisaram quantos caminhos levam a Mônica para a
casa de cada amigo, podem mudar de opinião na seguinte questão: “todos
os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Pense na sua
resposta considerando a questão 10.
( ) Não ( ) Sim. Por quê?
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
16) Analisando e sistematizando os resultados da árvore de possibilidades,
preencham a Tabela 2:
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Tabela 2. Distribuição e probabilidade da visita da Mônica a seus amigosAmigo N° de caminhos N° de caminhos / total de
caminhos (fração)Probabilidade
(Pi)*
Horácio
Cebolinha
Magali
Cascão
Bidu
Total
(*) efetuar a divisão para expressar na forma decimal.
17) Preencham a Tabela 3 com os resultados da Tabela 1 e 2:
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Tabela 3. Quadro comparativo da atribuição de probabilidadesAmigo Frequência relativa (hi) Probabilidade
Horácio
Cebolinha
Magali
Cascão
Bidu
Total
18) Qual é a diferença entre essas duas formas de atribuir probabilidades?
19) Analisando os resultados, qual dessas duas maneiras de atribuir
probabilidades é mais adequada? Por quê?
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
20) Na grade de baixo da malha, representem os dados da probabilidade (Pi)
constante na Tabela 3. Comparem seus resultados com as outras duplas. Esses
são iguais?
( )Sim ( )Não.
Por quê?
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
SITUAÇÃO – PROBLEMA
Maria Eduarda fez uma fezinha na Loteria, apostando com o cartão da figura
abaixo:
Qual a chance dos
números escolhidos por
Maria Eduarda serem os
sorteados?
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Imagem: Nubarron / GNU Free Documentation License
Para resolver situações dessa natureza, recorremos ao
estudo das Probabilidades.
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Imagem: Nubarron / GNU Free Documentation LicenseImagem: Diacritica / Creative Commons Atribuição-Partilha nos Termos da Mesma Licença 3.0 Unported
A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que
pesquisa e desenvolve modelos, visando estudar
experimentos ou fenômenos aleatórios.
PROBABILIDADE
Experimento aleatório
É todo experimento que, mesmo repetido várias
vezes, sob condições semelhantes, apresenta
resultados imprevisíveis, dentre os resultados
possíveis.
Exemplos:
a) Lançamento de um
dado;
b) Lançamento de uma
moeda;
c) Loteria de números.
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Fenômenos
• Lançamento de uma moeda;
• lançamento de um dado;
• escolha casual de um caminho;
• extracção de uma carta num baralho.
• Furar um balão cheio;
• encher um balde;
• calcular a área de
quadrado de lado 7 cm;
• escrever uma carta.
RESULTADO DESCONHECIDO RESULTADO CONHECIDO
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Problema
Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face
voltada para cima. Qual a chance de se obter um número
ímpar?
Resultados possíveis ao lançar um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Número ímpar = { 1, 3, 5 }
Probabilidade = %505,02
1
6
3
EVENTO ESPAÇO AMOSTRAL
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Essa razão foi estabelecida pelo matemático e astrônomo francês Pierre
Laplace (1749-1827).
Seja um evento A de um espaço amostral finito S (não-
vazio). A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre
o número de elementos de A e o número de elementos de S.
CONCEITUANDO PROBABILIDADE
)(
)(
possíveis casos de nº
favoráveis casos denº
Sn
AnAP
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
01. Jogando 2 dados simultaneamente, determine:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
(5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
(6,6)
a) O conjunto dos resultados possíveis (espaço amostral).
b) Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 4? 9
1
36
4P
APLICAÇÕES
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
02. Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?
Prato· Arroz com camarão· Bife acebolado· Lasanha
Sobremesa:· Frutas · Pudim
Entrada· Sopa· Camarão ao alho e óleo Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
FPFPFP
FPFPFP
( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )
( S,L,P )( S,L,F )
( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )
12 refeições diferentes!
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
03. Escolhida uma refeição ao acaso, qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta?
3
2
12
8P
Qual é a probabilidade de não comer lombo nem pudim?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
FPFPFP
FPFPFP
( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )
( S,L,P )( S,L,F )
( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )
3
1
12
4P
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
04. Como determinar a probabilidade de um acontecimento a partir da experiência?Exemplo:
a) Lançar uma moeda 10 vezes e anotar os resultados obtidos (cara ou coroa);
b) E se aumentassem o número de lançamentos da moeda, qual seria a tendência do resultado?
Para um grande nº de experiências, a frequência relativa de um acontecimento
A é um valor aproximado da sua probabilidade
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
01. Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face
voltada para cima. Calcule a probabilidade de se obter:
a) o número 2
b) um número ímpar
c) um número maior que 2
d) um número menor que 7
e) um número maior que 6
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
02. Qual a probabilidade de sair coroa em três lançamentos
seguidos de uma moeda?
03. No lançamento simultâneo de dois dados, calcule a
probabilidade de se obter:
a) soma diferente de 11;
b) faces diferentes.
Respostas: 02) 1/8 03. a) 17/18 b) 5/6
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
04. Pegue 2 moedas e faça vários lançamentos sobre uma
mesa. Descreva:
a) O espaço amostral.
b) O evento A: obtenção das faces de mesmo nome.
c) O evento B: obtenção de faces de nomes diferentes.
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
05. Durante um jogo de futebol, verificam-se muitos eventos.
Faça uma lista de 10 eventos e classifique-os como certos,
impossíveis, pouco prováveis ou muito prováveis, de modo
que se tenha pelo menos um evento de cada tipo.
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
06. Crie uma frase que comece por:
a) “É muito provável que amanhã...”.
b) “É certo que amanhã...”.
c) “É pouco provável que amanhã...”.
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
07. Em uma urna há 5 bolas brancas, 3 bolas pretas e 7 bolas
vermelhas. Retirando uma dessas bolas ao acaso, qual a
probabilidade dela ser:
a) Branca
b) Preta
Respostas: 07) a) 1/3 b) 1/5
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
08. Considere um octógono regular. Tomando, ao acaso,
uma das diagonais do polígono, qual a probabilidade de
que ela passe pelo centro?
Resposta:1/5 ou 20%
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
09. Em um pacote de balas, há 5 de sabor morango e 10
de sabor abacaxi. Se 3 balas forem retiradas ao acaso,
qual é a probabilidade de serem todas de sabor morango?
Resposta: 2/91
EXERCÍCIOS
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
10. Considere que três vértices de um hexágono regular
são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que os
vértices escolhidos formem um triângulo retângulo?
Resposta: 3/5 ou 60%
ReferênciasSANTOS, Paulo Avelino dos. A Modelagem como proposta para introdução á probabilidade por meio dos passeios aleatórios da Mônica. PUC/SP, 2009. Dissertação de Mestrado.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática: Ensino Médio. Editora Saraiva. 5ª edição. 2º ano Ensino Médio. São Paulo 2005.
PAIVA, M. Matemática. 2.ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006.
PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino: matemática. Recife: SE, 2008.
PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008.
MATEMÁTICA, 2º anoTeoria das Probabilidades
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso
15 Nubarron / GNU Free Documentation
Licensehttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Resguardo_primitiva_1985.jpg?uselang=pt-br
10/05/2012
16.a Diacritica / Creative Commons Atribuição-Partilha nos Termos da Mesma Licença 3.0 Unported
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:6sided_dice.jpg?uselang=pt-br
10/05/2012
16.b Nubarron / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Resguardo_primitiva_1985.jpg?uselang=pt-br
10/05/2012
Tabela de Imagens
Top Related