Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 6º AnoEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau;
resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações problemas
Objetivos da Matemática para o terceiro ciclo do pensamento algébrico:
-Reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções. -Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico.(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, página 64,1998)
Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a resolução de problemas, que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática, e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, página 40,1998).
MATEMÁTICA, 6º AnoEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
Vocês já ouviram falar de EQUAÇÕES?Quem sabe o que são SENTENÇAS OU
PREPOSIÇÕES?
E INCÓGNITA OU VARIÁVEIS?
ESTÁ DIFÍCIL SABER QUAIS AS RESPOSTAS PARA ESSAS PERGUNTAS?
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VAMOS ESTUDAR TUDO ISSO!?
Existem expressões matemáticas que podemos classificar como verdadeiras ou falsas e outras que não é possível classificar.
Podemos dizer que essas expressões são verdadeiras.
Já essas não podemos classificar como verdadeiras, nem falsas.
Vocês já observaram?
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a – c ≥ 9
6t + 4 = 40
13 > 10
7 + 8 = 15
a) uma expressão matemática que pode ser classificada como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA.EXEMPLOS:
40 > 11 15 + 14 =29 4 . 8 = 36SENTENÇA VERDADEIRASENTENÇA FALSASENTENÇA VERDADEIRA
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Dizemos que:
b) uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA.EXEMPLOS:
a – b ≥ 8
7c + 5 = 19
x + y ǂ 36
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR
ATRIBUÍDO A c.
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A
x E A y.
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A a E A b.
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Sentenças ou preposições matemáticas
estabelecem uma relação de
igualdade ou de desigualdade.
40 > 22
4 . 8 = 32
a – b ≥ 8
7c + 5 = 19
x + y ǂ 36
EXEMPLOS:
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Podemos observar que:
As sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade são denominadas EQUAÇÃO!!! A letra encontrada em uma equação é denominada INCÓGNITA ou VARIÁVEL.
Agora, veja:
Vamos procurar no dicionário outros significados da palavra Equação e registrar no caderno.
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Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas
2x – 5 = 12
x – y = 258x = 32
r² + 5 = r + 17
x + 6 = 2x + 1
É uma equação de incógnita x
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É uma equação com uma incógnita: r
É uma equação com duas incógnitas: x e y
x é a incógnita da equação
É uma equação com uma incógnita: x
Observe a equação 2x - 5 = 12.
2x - 5 = 12
Denomina-se 1º membro da
equação
Denomina-se2º membro da
equação
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Em uma equação, o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja:
2x – 5 = 13
4x² = 12
r² + 5 = r + 17
É uma equação do primeiro grau.
Observe que 2 = 2¹, 3 = 3¹, ... então X = X¹
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É uma equação do segundo grau.
Também é uma equação do segundo grau.
Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita.
Em uma equação do 1º grau, procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença verdadeira.
Na equação 8x = 32, qual o valor de x ?
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EXEMPLO:
Resolvendo mentalmente: 8x = 32
8 . 4 = 32 Logo, x = 4, ou seja,
4 é a solução ou raiz da equação 8x = 32.
Isso significa dizer que, substituindo o x por 4, na
equação 8x = 32, temos uma sentença fechada
verdadeira.
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Veja que 8x = 32 pode ser escrito assim: 8 . x = 32
Resolva a equação 2x - 5 = 13.
Resolver uma equação do 1º grau é encontrar a sua raiz e verificar se ela satisfaz as condições apresentadas por essa equação.
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Resolvendo mentalmente: 2x – 5 = 13 A equação pode ser escrita assim:
2 . x - 5 = 13
Então, temos que x = 9
9 = 13 2 .
Logo, x = 9 é soluções da equação 2x - 5 = 13
- 5
13 18 = - 5
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A RAIZ ou solução da equação é todo número que, substituindo a incógnita, torna a equação uma sentença verdadeira.
4 é a RAIZ da equação 8x = 32
9 é a RAIZ da equação 2x - 5 = 13
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Vamos agora resolver as equações 8x = 32 e 2x – 5 = 13, utilizando um método que não é o mental.
Vamos resolver essas equações por meio das operações matemáticas
inversas.
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RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 8x = 32
8.x = 32
Observe que o 8 está multiplicando.
A operação inversa de multiplicar por 8 é dividir por 8.
x = 32 : 8 Observe que o número 8 estava multipicando no 1º membro e “passou” para o 2º membro
dividindo (operação inversa).x = 4
RESPOSTA: 4 é a raiz da equação 8x=32
Verificação: 8 . 4 = 32
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2x - 5 = 13
2x = 13 + 5
Observe que o 5 está subtraindo.
A operação inversa de subtrair 5 é somar 5.
Observe que o número 5 estava subtraindo no 1º membro e “passou” para o 2º membro somando
(operação inversa).
Observe que o 2 está multiplicando,logo “passará” para o 2º membro dividindo.
Verificação: 2. 9 – 5 = 13 → 18 – 5 = 13
2x = 18
x = 18 : 2
x = 9RESPOSTA: 9 é a raiz da equação 2X – 5 = 13
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 2x - 5= 13
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Observação:
As equações aparecerão em linguagem corrente.
Vamos agora resolver mais problemas envolvendo equações!
1) Uma loja possui um plano de venda de eletrodomésticos que corresponde a uma entrada de R$ 100,00 mais quatro prestações de valores iguais. Na venda de uma TV que custa R$ 700,00, qual é o valor de cada prestação?
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Vamos equacionar o problema: (Utilizar o dicionário para entender o significado da palavra equacionar.)
Igualando a expressão 100 + 4p, que representa o preço da TV utilizando o plano de venda da loja, com seu custo, que é R$ 700,00 :
4p = 700+100
VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO.
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Passando para linguagem matemática, a expressão “uma entrada de R$ 100,00 e mais quatro prestações de mesmo valor”, chamando as prestações de p, temos:
100 + 4 . P = 100 + 4p
100 4p = 700+ O inverso de adicionar 100 é subtrair 100.
4p = 700 - 100
6004p =
O inverso de multiplicar por 4 é dividir por 4.
600p = : 4
p = 150
A raiz da equação é 150.
O que esse resultado nos
mostra?
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Como p = 150 e ele representa o valor da prestação, isso significa dizer que cada prestação da TV custa R$ 150,00. Vamos verificar:
100 4p = 700+
Lembre-se de que 4p = 4 . p
100 4 .150 = 700+
100 600 = 700+700 = 700
Substituindo p por 150
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2) A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20 anos. Qual é a idade de cada um, sabendo que Petrúcio é 8 anos mais velho que Petrus?
Representando a idade de Petrus por x, então a idade de Petrúcio será representada por x + 8
Passando para linguagem matemática:
x = 20+(x + 8)
Solução
A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20.
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RESOLVENDO A EQUAÇÃOX + 8 X = 20+
Aplicando a propriedade comutativa.
2X + 8 = 20
122X = O inverso de multiplicar por 2 é dividir por 2.12X = : 2
X + X 8 = 20+
O inverso de adicionar 8 é subtrair 8.2X = 20 - 8
6X =
Observe que x + x = 2x.
(X + 8) X = 20+
Eliminando os parênteses.
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A raiz da equação é 6. Isso significa dizer que...
Como a idade de Petrus foi
representada por x, e x = 6, logo Petrus tem 6 anos. anos.
A idade de Petrúcio foi representada por x + 8, e como x = 6, temos: x + 8
6 + 8 = 14
Conclusão: Petrus tem 6 anos e Petrúcio tem 14 anos.
Isso significa dizer que Petrúcio tem 14 anos.
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3) O retângulo abaixo representa a planta baixa de um quarto cujo perímetro é 30 m. Qual é a largura e o comprimento desse quarto? -Pesquisar na internet: Significado de Planta baixa. -Dicionário: O que é perímetro de uma figura plana?
Chamando o perímetro de P, temos:
2x
x
P = 2x + 2x + x + x = 6x P = 6x
Largura: xComprimento:
2x
TEMOS:
2x
x
Equacionando o problemaDo enunciado do problema, temos que o perímetro é igual a 30 m, então podemos escrever a expressão: P = 30
Como a expressão que representa o perímetro é dada por P = 6x, igualando as duas expressões, temos:
6x = 30
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RESOLVENDO A EQUAÇÃO:
6. x = 30
O inverso de multiplicar por 6 é dividir por 6.
x = 30 : 6
x = 5Temos que a largura é x, e x = 5 logo, a largura é igual a 5m.
Como o comprimento é representado por 2x, ou seja, o
dobro da largura, temos:
2 . 5 = 10;O comprimento é igual a 10 m.
6x = 30
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Verificação:
6x = 30
Com x = 5 temos que:
6 . x = 30
6 . 5 = 30
30 = 30
CONCLUSÃO:
O quarto tem 5m de largura e 10m de comprimento.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.-Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental-Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília -MEC /SEF, 1998.-Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 5ª série, São Paulo, Ática, 2002.-Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 5ª série, São Paulo, Scipione, 1997.-Souza, Maria Helena de, Matemática, 5ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999.-Guelli, Oscar, Matemática: Uma aventura do pensamento. 5ª série, São Paulo, Ática, 8ª edição, 2001.-Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 5ª série, São Paulo, FTD, 2000.-Logen, Adilson, Matemática em Movimento, 5ª série, São Paulo,Editora do Brasil, 1999.-Projeto Araribá: matemática/obra coletiva, 5ª série, São Paulo Moderna, 2006-www.somatematica.com.br-http://tvescola.mec.gov.br/
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