Sonia L’Innocente
Matematica e Statistica
Modulo di Matematica
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Biologia della Nutrizione
Argomento 4.
Derivate
a.a. 2013-2014
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Derivate
Outline
1 DerivateSignificato geometrico della derivata di una funzioneTeoremi legati alla derivataDerivate di ordine superioreUso delle derivate per il calcolo dei limiti
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Derivate
Iniziamo con l’osservare che se t e una variabile che rappresenta iltempo e se p(t) e una funzione che rappresenta il peso di undeterminato corpo al tempo t , allora nell’intervallo di tempo [t , t + h],con h > 0, il peso del corpo varia da p(t) a p(t + h) ed il rapporto
p(t + h)− p(t)h
indica di quanto e variato in media il peso nell’unita di tempo, talerapporto e detto tasso medio di accrescimento o tasso medio divariazione o velocita media di variazione.
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Derivate
Se, invece della variazione media, si vuole la variazione istantaneaallora si deve considerare
limh→0
p(t + h)− p(t)h
il quale e detto tasso di accrescimento.
Se invece t e una variabile che rappresenta il tempo e s(t) e unafunzione che rappresenta lo spazio percorso da un corpo al tempo t ,allora la quantita
s(t + h)− s(t)h
rappresenta la velocita media tenuta dal corpo nell’intervallo ditempo [t , t + h], mentre la quantita
limh→0
s(t + h)− s(t)h
rappresenta la velocita istantanea tenuta dal corpo al tempo t .Sonia L’Innocente (Camerino) 4 / 26
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Derivate
DerivataDefinizione. Data una funzione f : (a,b)→ R e dato x ∈ (a,b), sidefinisce rapporto incrementale in x la seguente quantita
f (x + h)− f (x)h
, h ∈ R, h 6= 0
e si dice che f e derivabile nel punto x se esiste ed e finito ilseguente limite
limh→0
f (x + h)− f (x)h
,
il valore di tale limite e detto derivata di f in x e si indica in uno deiseguenti modi:
f ′(x),df (x)
dx, Df (x).
Inoltre si dice che f e derivabile in (a,b) se f e derivabile in ognipunto x ∈ (a,b)
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Derivate
Vediamo come si calcolano le derivate di alcune semplici funzioniutilizzando solo la definizione.
Se f (x) = c e una funzione costante con c ∈ R allora f ′(x) = 0,cioe Dc = dc
dx = 0. Infatti
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0 = 0
Se f (x) = x allora f ′(x) = 1, cioe Dx = dxdx = 1. Infatti
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
x + h − xh
= limh→0
hh= lim
h→01 = 1
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DefinizioneData una funzione f : (a,b)→ R e dato x ∈ (a,b), se il seguente limite
limh→0
f (x + h)− f (x)h
,
non esiste o e infinito (±∞) allora si dice che f non e derivabile in x .
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EsempiVediamo alcuni esempi di funzioni non derivabili in un punto.
1 La funzione f (x) = |x | non e derivabile in 0 infatti
limh→0
f (0 + h)− f (0)h
= limh→0
|h|h
e questo limite non esiste.2 La funzione f (x) = 3
√x − 1 non e derivabile in 1 infatti
limh→0
f (1 + h)− f (1)h
= limh→0
3√
1 + h − 1h
= limh→0
3√
hh
= limh→0
h−23
= limh→0
13√
h2= +∞.
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DefinizioneIn alcuni casi, invece del limite completo per h→ 0, soltanto il limitedestro h→ 0+, oppure il limite sinistro h→ 0−. Nel primo caso si parladi derivata destra e nel secondo caso, di derivata sinistra. Se f (x) euna funzione in [a,b], si dice che f derivabile nell’intervallo chiuso[a,b] se e derivabile in ogni punto x ∈ (a,b), ed inoltre se, f ammettederivata destra nel punto x = a, e ammette derivata sinistra nel puntox = b.
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Diamo ora una tabella dove ci sono le derivate delle funzionielementari
f (x) f ′(x)c 0xb b xb−1
ex ex
log x 1x
ax ax log aloga x 1
x loga e
f (x) f ′(x)sin x cos xcos x − sin xtan x 1
cos2 xarcsin x 1√
1−x2
arccos x − 1√1−x2
arctan x 11+x2
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Operazioni e derivazioneSe f (x) e g(x) sono due funzioni derivabili allora anche la loro somma,differenza, prodotto e quoziente e derivabile nel loro dominio, inoltrevalgono le seguenti formule
D(cf ) = cDf , quando c e una costanteD(f ± g) = Df ± DgD(f · g) = Df · g + f · Dg
D( fg ) =
Df ·g−f ·Dgg2
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Derivate
OsservazioneVediamo altre formule di derivazione.
Derivazione della funzione composta. Se f e g sono duefunzioni tali che: g e derivabile in x e f e derivabile in g(x) alloraf ◦ g e derivabile in x e
D(f ◦ g)(x) = Df (g(x)) · Dg(x)
Derivazione della funzione inversa. Se f e continua, derivabileed invertibile in (a,b) e se Df (y) 6= 0, ∀y ∈ (a,b) allora f−1 ederivabile in x = f (y), y ∈ (a,b) e si ha
D(f−1)(x) =1
Df (y)dove y = f−1(x).
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Derivate
OsservazioneVediamo altre formule di derivazione.
Derivazione della funzione (f (x))g(x).
D((f (x))g(x)
)= (f (x))g(x)
[g′(x) log(f (x)) +
g(x)f ′(x)f (x)
].
Tale formula puo essere evitata utilizzando le regole sopraesposte e la seguente identita:
(f (x))g(x) = elog(f (x))g(x)= eg(x) log(f (x))
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Derivate Significato geometrico della derivata di una funzione
Significato geometrico della derivata di una funzioneSi noti che se f e una funzione derivabile in x0 allora quando h tende a0 (h→ 0) la retta passante per i punti P = (x0, f (x0)) ePh = (x0 + h, f (x0 + h)) tende alla retta tangente al grafico di f nelpunto P. Dunque, quando esiste f ′(x0) tale valore coincide con ilcoefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto P,vedi Figura successiva (a), e l’equazione di tale retta e
y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).
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Derivate Significato geometrico della derivata di una funzione
x0 x0+h0 x0+h1 x0+h2 x0
Figure: Retta tangente nel punto (x0, f (x0)); (a) la retta tangente hacoefficiente angolare f ′(x0); (b) la retta tangente e verticale.
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Derivate Significato geometrico della derivata di una funzione
Esercizi1 Determinare la retta tangente al grafico di f (x) = ex nel punto di
ascissa x0 = 0, [Soluzione r : y = x + 1].2 Determinare la retta tangente al grafico di f (x) = sin x nel punto di
ascissa x0 = π2 , [Soluzione r : y = 1].
3 Determinare la retta tangente al grafico di f (x) =√
x + 1 nelpunto di ascissa x0 = −1, [Soluzione r : x = −1].
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Derivate Teoremi legati alla derivata
Derivabilita e continuitaSe f e derivabile in x allora f e continua in x .
Teorema di RolleSe f : [a,b] −→ R e continua in [a,b] e derivabile in (a,b) e sef (a) = f (b) allora ∃x0 ∈ (a,b) tale che f ′(x0) = 0, cioe esiste un puntodel grafico di ascissa x0 in cui la retta tangente e orizzontale, si veda laFigura successiva (a).
Teorema di LagrangeSe f : [a,b] −→ R e continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora∃x0 ∈ (a,b) tale che f ′(x0) =
f (b)−f (a)b−a , cioe esiste un punto del grafico
di ascissa x0 in cui la retta tangente e parallela al segmento checongiunge (a, f (a)) con (b, f (b)), si veda la Figura successiva (b).
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Derivate Teoremi legati alla derivata
a x0 b
f(a)=f(b)
a x0 b
Figure: (a) Rappresentazione grafica del teorema di Rolle; (b)Rappresentazione grafica del teorema di Lagrange.
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Derivate Teoremi legati alla derivata
OsservazioneSe f : [a,b] −→ R e tale che f ′(x) = 0 ∀x ∈ [a,b] allora f (x) =costante.
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Derivate Derivate di ordine superiore
Derivate di ordine superioreLe derivate di ordine superiore si ottengono derivando ulteriormente lefunzioni ottenute.
Derivata seconda di una funzione f : f ′′(x) = D(f ′(x))Derivata terza di una funzione f : f ′′′(x) = D(f ′′(x)). . .
Derivata n-esima di una funzione f : f (n)(x) = D(f (n−1)(x))
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Derivate Derivate di ordine superiore
Esercizi1 Calcolare f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) quando f (x) = ex . Quanto vale in
questo caso f (n)(x)?Soluzione: f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = f (n)(x) = ex
2 Calcolare f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) quando f (x) = sin x . Quanto vale inquesto caso f (n)(x)?Soluzione: f ′(x) = cos x , f ′′(x) = − sin x , f ′′′(x) = − cos(x),
f (n)(x) ={
(−1)k sin x n = 2k(−1)k cos x n = 2k + 1
.
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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti
Teorema di De L’HopitalSe f ,g : A \ {x0} −→ R sono due funzioni derivabili e tali che
limx→x0
f (x) = 0, limx→x0
g(x) = 0,
oppurelim
x→x0f (x) = ±∞, lim
x→x0g(x) = ±∞,
se g′(x) 6= 0 ∀x ∈ A \ {x0} allora
limx→x0
f (x)g(x)
= limx→x0
f ′(x)g′(x)
se il limite a destra esiste.
Si noti che se il limite a destra non esiste non si puo concludere nullasu quanto valga il limite a sinistra.
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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti
OsservazioneTale teorema continua a valere anche se si hanno limiti destri(x → x+
0 ), limiti sinistri (x → x−0 ) o limiti ad infinito (x → ±∞).
Esempi
Tutti i limiti seguenti soddisfano le ipotesi del teorema di De L’Hopital1.
limx→0
sin xx
= limx→0
cos x1
= 1,
2.limx→0
1− cos xx2 = lim
x→0
sin x2x
= limx→0
cos x2
=12,
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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti
Esempi
Tutti i limiti seguenti soddisfano le ipotesi del teorema di De L’Hopital3.
limx→0
ex − 1x
= limx→0
ex
1= 1,
4.
limx→0
log(1 + x)x
= limx→0
11+x
1= 1,
5.lim
x→+∞
ex
x= lim
x→0
ex
1= +∞,
6.
limx→+∞
x3 + 2x + 1x2 + x + 1
= limx→+∞
3x2 + 22x + 1
= limx→+∞
6x2
= +∞,
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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti
Il teorema di De L’Hopital risulta essere un utile strumento per risolvereforme indeterminate del tipo 0
0 o ∞∞ . Vediamo come si possono trattarealtre forme indeterminate.
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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti
La forma indeterminata 0 · ∞ puo essere ricondotta alla formaindeterminata 0
0 oppure a ∞∞ . Infatti se f (x)→ 0 e g(x)→ ±∞allora
f (x) · g(x) = f (x)1
g(x)= g(x)
1f (x)
↓ ↓ ↓0 · ∞ 0
0∞∞
La forma indeterminata +∞−∞ puo essere ricondotta alla formaindeterminata 0
0 . Infatti se f (x)→ +∞ e g(x)→ +∞ allora
f (x)− g(x) =1
g(x)−1
f (x)1
f (x)·g(x)
↓ ↓+∞−∞ 0
0
Le forma indeterminata 1+∞, 1−∞, (+∞)0 e 00 possono esserericondotte ad una delle forme indeterminate sopra descritte nelseguente modo:
f (x)g(x) = elog(f (x)g(x)) = eg(x)·log(f (x)).Sonia L’Innocente (Camerino) 26 / 26
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