Matematica e regole, un connubio ben riuscito
Come la matematica può aiutare gli alunni ad istaurare
un rapporto positivo con le regole
Sempre più frequentemente le nostre classi sono “colorate”, frequentate cioè da
alunni che provengono da varie parti del mondo. Al primo senso di smarrimento e
inadeguatezza, ecco che segue e, sempre più si diffonde, la consapevolezza che essi ci
propongono una grande opportunità di crescita a livello interpersonale ed anche
culturale. In quest’ottica si coglieranno le prospettive di sviluppo che le scienze
matematiche possono offrire nella costruzione di conoscenze e di competenze per
divenire insieme cittadini del mondo.
proposta di lavoro (primo livello) conosciamoci attraverso i numeri
qual è la tua esperienza nella scuola dell’infanzia e al passaggio alla scuola primaria
circa i
come hai imparato i loro nomi : attraverso conte, filastrocche, canzoncine mimate…
ognuno racconta la propria esperienza con le parole e con il disegno.
Su un cartellone si incollano i disegni, i testi delle filastrocche o delle conte che ci
hanno aiutato a scoprire i nomi dei numeri.
Te ne proponiamo alcune, inventate di sana pianta, così ti sentirai in dovere di provarci
anche tu!
Proposta di lavoro - Secondo livello – per alunni che hanno già frequentato alcuni anni
di scuola nella nazione di provenienza
Noi ti raccontiamo come abbiamo imparato matematica durante i primi anni di scuola,
tu (o voi) ci racconti/ ci raccontate l’esperienza ?
Un, due, tre
se vieni con noi, un posto c’è anche per
te…
numeri da infilare
1 è l’uccellino sul pruno,
2 le galline sue,
3 indovina chi è
4 il gatto che salta di soppiatto
5 un animale qualunque
6 i pesciolini miei
7 le coccinelle sulle tenere erbette
8 il veloce leprotto
9 il tranquillo bove
10 ma chi ha mangiato la mia pasta coi
ceci?
Conta e riconta
1 solo è Pinocchio
2 sono Ansel e Gretel
3 sono i porcellini
4 le ali della farfalla
5 le dita della tua mano
6 le zampe della formica
7 i nani di Biancaneve
8 …ma già dormi tranquillo
come un orsacchiotto?
In classe 1a abbiamo iniziato a formare insiemi equipotenti ed a mettere in ordine
nello scatolone dei numeri tutti quelli formati dallo stesso numero di elementi…
Poi la maestra…..ci ha insegnato a fare le operazioni.
Siamo partiti dalle addizioni ed ora le conosciamo tutte e quattro.
Abbiamo usato abachi, regoli in colore, il materiale Multibase del Dienes…
Conosci anche tu questi materiali che ci hanno accompagnato nel nostro viaggio di
conoscenza dei numeri ?
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E non dimentichiamo che abbiamo disegnato con il gesso o abbiamo disegnato con la
carta colorata e adesiva molte linee dei numeri…
Ora tocca a te, raccontaci la tua esperienza.
In un cartellone vengono appesi i disegni e le parti scritte che illustrano i percorsi di
conoscenza dei numeri che gli alunni hanno realizzato nelle rispettive scuole di
appartenenza.
Ci sono somiglianze, quali ?
Ci sono differenze, quali ?
A quale conclusione possiamo arrivare ?…
Nessuno può far a meno della matematica
La matematica è un sapere antico come l’uomo.
Alla domanda : quanti sono ? dove sono localizzati ? che probabilità c’è …? Si può
rispondere solo con conoscenze di tipo matematico.
Tali conoscenze hanno segnato l’evoluzione culturale dell’uomo di ogni ambiente e di
ogni epoca.
Il termine greco matematica deriva dal verbo “manthanein” che significa appunto
imparare.
Imparare a contare, a riordinare, a trovare elementi, regole generalizzabili, a mettere
ordine nell’ordine…fino a comprendere, con le nuove branche della famiglia delle
scienze matematiche che, a livello di grandi numeri, anche il “caso” è in regola con
previsioni e regolarità.
E’ proprio questa famiglia di scienze che ci permette di inoltrarci in insiemi di idee, di
concetti, di assiomi ed in particolare di metodi di indagine che costituiscono le basi
stesse delle conoscenze che si sono costruite nel corso dei millenni.
Ancor di più sono importanti per quelle che attualmente vanno approfondendosi ed
ancor di più lo saranno per gli sviluppi futuri delle conoscenze e non solo di tipo
scientifico.
Sempre di più le matematiche sono divenute un sapere trasversale, una base
indispensabile non solo per le scienze “esatte”, ma anche per le scienze prettamente
umane : dall’antropologia alla sociologia…
Dalla matematica attingono conferme e modalità di ricerca sistematica per ogni tipo
di indagine e conoscenza.
L’universalità del bisogno della matematica ha prodotto una pluralità di matematiche,
potremmo dire almeno una per ogni popolo o, se andiamo considerando come ciascuno
di noi conosce e fa sua tale disciplina, secondo modalità, tempi e stili personali,
potremmo arrivare a dire che ci sono “…tante matematiche quanti quelli che
l’avvicinano” .
In fondo ciascuno di noi va costruendo, durante la propria vita, il suo sistema di
conoscenze ed anche per i non matematici, gran parte delle strutture mentali, sono
tipiche di saperi matematici.
Regoliamoci
Comprendere che in matematica l’incontro con le regole avviene molto in fretta è una
considerazione così ovvia che quasi fa sorridere. Non è invece scontato che ai ragazzi
si faccia percepire il valore fondante dell’incontro con la regola.
Non c’è matematica senza regola, ma alla stessa maniera, non c’è società senza regola.
La differenza con cui le si avvicinano e ci si rapporta con loro, nasce da un’altra
ovvietà : la regola viene imposta/subita o alla regola ci si avvicina man, mano
sentendone la necessità ed il valore?
Dalle regole imposte ci si difende e nella misura in cui ciò non è possibile, si eludono, si
osteggiano, si infrangono.
L’atteggiamento di chi avverte il bisogno di superare un ostacolo per mezzo di una
regola in più, è diametralmente opposto : se ne sente il bisogno, se se ne si avvale
perché –solo lei – lo può traghettare oltre quel muro invalicabile… la regola viene
vissuta come valore, come ponte, come apertura. Non sarà quindi la regola da
infrangere, ma la regola da utilizzare ogni volta che ci si troverà in quella circostanza
o si dovrà superare quell’ostacolo. Se si interrogano gli studenti circa il loro rapporto
con le regole matematiche e non solo, potremo vedere “allo specchio” quale tipo di
insegnamento è stato loro proposto : contenutistico o con un’equa presenza di
conoscenze e formazione ?
Regole e sviluppo del concetto di cittadinanza
E’ significativo in una società multiculturale aiutare gli studenti a superare lo spazio
angusto di un’unica matematica per arricchirla con una visione olistica delle
matematiche espresse dall’uomo di ogni tempo ed ogni luogo, per dare alla cultura
matematica il suo valore formativo e per permettere ad ogni persona a sentirsi a casa
in ogni angolo del pianeta si trovi a vivere.
A quel punto ciascun cittadino potrà realizzare meglio il compito di vivere una
cittadinanza attiva e consapevole.
La conoscenza reciproca dei mondi culturali risulta essere il primo passo per un
esercizio di reali cittadinanze plurali.
Già questo basterebbe a giustificare il superamento di un insegnamento tradizionale -,
intendendo un insegnamento asettico, dogmatico, funzionalistico - della matematica,
per uno che sappia mettere in luce le caratteristiche interculturali che l’impianto
storico ed epistemologico della disciplina portano con sé.
Alla matematica compete in modo specifico, il compito di mettere in luce soprattutto
un aspetto che le è proprio e che a lei ha portato una ricchezza particolare di
aperture e sviluppi : qui torniamo ad incontrare le regole. Senza regole non ci sarebbe
una qual si voglia matematica. E senza regole non è possibile una vita sociale rispettosa
per ogni individuo che componga quella società.
La differenza sostanziale fra i tipi di insegnamento è messa in luce
inequivocabilmente, come da cartina al tornasole, dalla regola. Se essa viene
dogmaticamente imposta alla conoscenza al fine dell’applicazione in uno specifico tipo
di esercizio, verrà appresa e dimenticata appena cade l’interesse per quel tipo di
conoscenza; se invece gli studenti “sentono il bisogno della regola” perché essa
“regolamenta ” una situazione e propone il superamento di un limite, ecco che essa
sarà apprezzata come un qualcosa che libera da uno spazio angusto ed immette in
spazi più vasti.
Pensiamo, ad esempio, all’insieme dei numeri naturali, ordinati secondo la progressione
– uno di più- che possono essere composti scrivendo una cifra accanto all’altra
secondo le regole della base dieci; essi sono infiniti, come l’insieme N dei numeri
naturali…
“Ma più piccolo di zero, non posso scrivere nulla? ” Prima o poi questa domanda si pone.
Basta avere la tabella delle temperature invernali o la linea del tempo da comporre
che …prima dello zero qualcosa si dovrà scrivere.
La regola di composizione dell’insieme dei numeri relativi mi permette di impostare la
semiretta corrispondente a quella che dell’insieme dei numeri naturali N. Essa parte
proprio da zero e si estende all’infinito, nella direzione opposta. Per distinguere i due
diversi insiemi numerici, mi è sufficiente far precedere dai segni + o – ciascun numero.
E’ quasi troppo semplice. Ecco l’insieme dei numeri interi relativi.
Ma ancora, se tra un numero naturale ed il suo successivo nella numerazione naturale
non posso “inserire” nessuno numero, ecco che, con una nuova regola, invece, posso
suddividere lo spazio tra un numero ed il suo successivo.
Potrò anche regolare come suddividere tale spazio numerico, prima impossibile ad
essere suddiviso.
Dovrò entrare nell’insieme dei numeri razionali e poi ancora negli irrazionali…
La regola diviene allora un’opportunità favorevole, uno spazio da vivere e non una
costrizione da subire. Dall’approccio che ne avrò avuto ne deriva un atteggiamento
positivo o negativo che sarà facilmente esteso dallo spazio culturale matematico allo
spazio sociale delle regole di vita comune.
Far nascere il bisogno della regola rappresenta una sostanziale differenza rispetto ad
una regola imposta. Non potrò apprezzare la regola senza la dimensione dell’alto valore
positivo che essa comporta, legato alla “regolamentazione” di qualche aspetto della
vita comune : dai più semplici, vedi regole di gioco, ai più complessi vedi la relazione
tra popoli….
valore formativo della regola
Fin da molto piccoli gli alunni hanno bisogno di cogliere, anche a partire dalle regole di
gioco appunto, il valore formativo della regola, imparando a rispettarla anche quando
qualcuno non lo fa e ci danneggia, imparando a rispettarla ed a farla rispettare come
esercizio di cittadinanza attiva e consapevole.
La matematica ha, nei confronti di questo aspetto formativo, un grande compito che i
tempi attuali rendono sempre più importante e fondante, nella costruzione di concetti
di cittadinanza, che si vanno ampliando sempre più : cittadinanza nel piccolo gruppo
famigliare, scolastico, sociale, planetario, una cittadinanza che può arricchire ciascun
componente in cultura ed umanità.
A livello operativo
alcune proposte – 1° livello
Regoliamoci: vita di classe e regole
Risulterà di maggior efficacia partire da una situazione reale : qui non ci sarà che
l’imbarazzo della scelta. La vita comunitaria richiede l’esercizio quotidiano del rispetto
delle regole da parte di ciascuno, sempre, in ogni momento. Discutere insieme di una
regola “infranta” permetterà di considerare il significato della regola per la vita della
classe.
Non è facile analizzare ogni aspetto della relazione tra compagni, ma sarà importante
seguire con metodo la costruzione di un “decalogo” che permetta di analizzare gli
aspetti più rilevanti della vita sociale che il gruppo classe va costruendo. Nei primi
periodi di ingresso nella scuola, questo diviene un impegno educativo di notevole
rilevanza proprio perché si va costruendo un modello di convivenza che vede
l’apprendimento della vita sociale e l’avvio degli apprendimenti culturali come motivo
dello star insieme.
Crescere insieme costruendo conoscenze sotto le varie angolazioni, presuppone che la
vita di relazione si differenzi nei vari momenti della vita di classe : l’esperienza in
aula, in lavori personali e in piccoli gruppi, l’esperienza del gioco libero negli spazi ad
esso destinati : corridoi, giardino, palestra… il confronto con varie figure educative,
con il personale non docente, i momenti della mensa e della ricreazione, l’uso di spazi
comuni…
A ciascun tipo di vissuto vanno affiancate delle regole di vita scolastica : se non si
destineranno degli spazi di discussione con i bambini, non si potranno costruire insieme
con loro le regole di gestione di spazi di lavoro personale o di gruppo, né si potrà
regolamentare tutto l’extra aula e l’impegno nella gestione di spazi e tempi,in comune
con il resto degli alunni di quella scuola.
Alla regola imposta vanno sostituite le regole costruite insieme e per questo condivise
da quel gruppo di alunni.
Si dovranno prevedere anche le “consegne” per chi infrange una regola. A questo
punto risultano efficaci le richieste di “riparazione” che prevedano di destinare una
parte del proprio tempo libero alla gestione di un bene comune : la messa in ordine del
materiale che si può usare nell’angolo dei giochi: distinguere i pupazzetti dalle tessere
dei puzzle, gli animali della fattoria dagli animali feroci …è un’operazione logica di
notevole importanza per le classificazioni che si vanno impostando ma anche diviene
un’opportuna “riparazione ” per un torto fatto alla classe avendo infranto una regola
concordata.
Regole in gioco
Il gioco è una fonte inesauribile di opportunità. Lo possiamo anche utilizzare per far
scoprire che senza regole non si può nemmeno giocare. In questo caso si partirà da
giochi liberi e da giochi proposti dall’insegnante o da un alunno.
Si potrà iniziare un gioco senza precisare le regole, dandole per scontate e ci si
ritroverà presto che le regole sottintese possono essere anche molto diverse da
bambino a bambino, possono essere eluse con maggior facilità aumentando il
contenzioso.
Sarà, così, evidente che le regole vanno esplicitate per non creare equivoci, vanno
concordate in modo che il gioco risulti aperto a tutti i bambini con le stesse
opportunità… e vanno rispettate!
Secondo livello Regole a gogò
…non c’è spazio disciplinare in cui non siano evidenti le regole.
Per convenzione componiamo i numeri secondo le regole della base dieci, scriviamo le
parole in determinate forme perché siano chiare a tutti, usando regole grammaticali e
sintattiche per condividere la forma di composizione di espressioni comunicative
complesse…
Se proviamo ad entrare in un’altra disciplina ritroviamo regole.
Proviamo con geografia.
Le carte geografiche sono composte seguendo regole diverse : vedi le carte di
Mercatore (1569) in cui è rispettata l’isogonia cioè una fedeltà alla riproduzione degli
angoli, le carte di Arno Peters (1973) in cui viene rispettata la reale estensione dei
vari continenti.
Il planisfero di Mercatore mostra le linea dell’equatore a 2/3 dal nord geografico
quindi alle terre del sud rimane 1/3.
La convenzione era nata dalla comodità di vedere meglio le regioni europee.
Basta che si sappia che non è equamente divisa tra nord e sud !
Le carte di Arno Peters, in cui viene rispettata la reale estensione dei vari continenti,
ci mettono di fronte ad un planisfero completamente diverso.
Considerando che la terra è una sfera (tridimensionale ed in rilievo) ed il foglio su cui
viene riprodotta una parte della superficie terrestre ha due dimensioni… qualche
aspetto viene perso.
Il confronto tra carte geografiche così differenti tra loro, mette a confronto le
regole che i geografi hanno seguito per costruirle ed anche permette a ciascuna
persona di utilizzare diverse visioni del modo.
Il confronto tra planisferi provenienti dai diversi continenti permetterà di
“decostruire” un’unica visione del mondo in cui il nostro continente, la nostra nazione si
pongono al centro del mondo per assumere i diversi punti di vista : la carta con al
centro l’Europa sarà accanto a quella con al centro le Americhe o l’Africa, l’Asia o
l’Australia.
Ecco il mondo visto dall’Australia : ….siamo noi ad essere sotto
In conclusione Non ci sono carte “giuste o sbagliate” ma carte geografiche che si avvicinano alla
forma della terra secondo un tipo o un altro di regole. Gli effetti sono molto diversi
tra loro. Rilevare le caratteristiche di ciascuna carta sarà un buon avvio per rendere
cittadini del mondo ciascun scolaro al di là della sua provenienza e del processo di
identificazione che la cultura di origine va attuando.
Come i bambini australiani vorrebbero disegnare e
vedere il mondo ? ecco le osservazioni dei nostri alunni
Azra: E’ proprio come avevo detto io: la mettono in alto e al centro…
Giacomo: Per me non ci sarà mai una carta giusta, perché il mondo nell’Universo gira e
quindi cambia continuamente posizione.
Francesco: Hanno messo la propria Terra come se fosse la più importante, e hanno
messo l’Europa nell’angolino, così come noi abbiamo messo l’Australia
Arianna: Ognuno mette la propria Terra al centro e mette le altre in disparte.
Andrea: Quindi quello che noi chiamiamo emisfero settentrionale per l’Australia è
l’emisfero meridionale……..
Dylan: Si disegna la Terra più grande dove vivi tu.
Alex: Nella cartina di Mercatore guardando l’Europa…… ti dà un senso di superiorità…
Micol: Ognuno vede il mondo in modo diverso. Bisogna cercare di non mettere in
evidenza solamente la propria Terra.
Giacomo: Se le Terre fossero tutte unite e ci fosse ancora Pangea non ci sarebbe
problema perché tutti i continenti sarebbero uniti
Micol : Ognuno pensa che la propria Terra sia la più importante
Tutti: Non è proprio sbagliato evidenziare la propria Terra
Francesco: Lo facciamo anche noi
Nicholas: E’un senso di egoismo
Arianna: Se noi non lo facciamo l’Europa diventa piccola….
Micol: Il mondo è rotondo. Non c’è un continente al centro dell’attenzione, più
importante.
Roberto: Se bisogna litigare, allora è meglio non disegnare più planisferi e utilizziamo
solo il mappamondo.
Anna: Come si fa a mettere il mappamondo sui libri?
Francesco: Se utilizziamo la cartina così è un atto di egoismo nostro, se la giriamo è un
atto di egoismo degli altri
Andrea: Bisogna accettare i fatti: l’Australia deve stare lì, invece l’Europa….. non è
proprio egoismo. L’Australia non può essere là in alto
Giacomo… Nessun continente ci può stare, né l’Africa, né l’America….,
Ilaria: L’Australia deve accontentarsi a stare nell’angolino
Francesco: Allora anche noi dobbiamo accontentarci che l’Australia sta in mezzo
Giacomo: Nessuno deve stare nell’angolino e nessuno deve stare al centro.
Micol: Ognuno usa il proprio planisfero,
Arisanna: Gli australiani usano il loro planisfero, ma tengono anche l’altro
Micol: Così magari capiscono in quali modi la gente pensa il mondo.
Anna: E noi dovremmo fare come loro: cioè tenere il nostro e anche il loro
Micol: Per far capire che il mondo non è….. Non è bello dire “ognuno la pensa come
vuole” E’ come se il mondo appartenesse a qualcuno. Il mondo è mio e faccio tutto
quello che voglio..
Anna: Il Mondo è di tutti e di nessuno….. perché il Mondo si può vedere da tanti punti
di vista.
Micol : Perché se no pensi che il tuo modo di pensare il mondo sia l’unico giusto e gli
altri tutti sbagliati, invece non è così
Anna : L’Australia deve accontentarsi di stare nell’angolino, ma ha tutto il diritto di
stare al centro del mondo. Come noi dobbiamo accontentarci di stare nell’angolino della
loro cartina, ma possiamo essere al centro nella nostra cartina.
Noi abbiamo capito che l’unica vera rappresentazione del mondo è il mappamondo.
Quando usiamo un planisfero, dobbiamo ricordarci che quello non è l’unico punto di
vista del mondo, ma solo un punto di vista del mondo
cl 5 B Scuola Primaria S. F. Cabrini - Lodi
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