Matemática Discreta IBCC101
Introdução à Lógica
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O que é Lógica
Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos
sentenças declarativas tais como:i. O círculo X tem raio 3 ii. Se um círculo tem raio r, então sua área é
r𝛑 2
Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos concluir:iii.O círculo X tem área 9𝛑
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O que é LógicaÉ importante notar que lógica é o processo de
deduzir informação corretamente, e não de deduzir informação correta Suponha que estamos enganados e, de fato,
o círculo X tem raio 4 Ainda assim, o raciocínio anterior está
correto:
i. O círculo X tem raio 3 ii. Se um círculo tem raio r, então sua área é r𝛑 2
-----------------------------------------------iii.O círculo X tem área 9𝛑
A distinção entre lógica correta e informação correta é importante.
Do que precisamos?
Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo
Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença
Regras de raciocício para determinar a verdade ou falsidade de sentenças da linguagem.
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Verdadeiro, FalsoAxioma: Falso é o oposto de Verdadeiro.
Exemplos:– Se um círculo tem raio r, então sua área é r𝛑 2
– 2 ∈ 𝐙– √2 ∈ 𝐙– ⊆𝐍 𝐙– Esta sentença é fals
Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras?
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Asserções
DEF: Uma asserção é uma sentença que é verdadeira (T) ou falsa (F).
Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade:
•Notação: P, Q, R etc
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Asserções - Notação
Usamos as letras P, Q, R etc, para representar asserções:
P: Para todo inteiro n>1, 2n-1 é primoQ: A função f(x)=x2 é contínuaR: ⊆𝐙
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Asserções - Variáveis
Uma ossserção pode conter variáveis:P(x): Se x é múltiplo de 6, então x é par.Q(x): x é par
M(x,y): x é múltiplo de yUma asserção envolvendo variáveis pode
ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à variável:
Q(10): 10 é par - verdadeira
Q(21): 21 é par - falsaM(10,3): 10 é múltiplo de 3 - falsaM(10,5): 10 é múltiplo de 5 -
verdadeira
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Asserções em Matemática
Teorema de Pitágoras: (sec. V BC)
Em um triângulo retângulo com catetos a e b, e hipotenusa c, temos c2 = a2 + b2
Teorema de Fermat: (sec XVII, provado em 1993)
Para quaisquer números a,b,c,n ∈ , 𝐍n>2, temos que an+bn≠cn
Conjectura de Goldbach: (sec XVIII, ainda não provado)
Todo inteiro par > 2 é a soma de 2 números primos
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Asserções mais Complexas
Asserções mais complexas podem ser formadas a partir de asserções atômicas (e das constantes true e false), usando-se conectivos lógicos (ou operadores lógicos): O número 2 é par e o número 3 é impar
- P: O número 2 é par- Q: O número 3 é impar- P ∧ Q
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Conectivos Lógicos
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Operador Simbolo
Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação, se então)
→
Equivalência (bi-implicação) = ⟷
Lógica Proposicional: sintaxe formal
Seja var uma variável de proposição.
O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática:prop := var |true | false
|(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop ⇒ prop) |(prop = prop)
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Fórmulas da Lógica Proposicional
Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional?
- ((P ∨ Q) → P)- ((P ∧ ∨ P) → ¬)
Conectivos: precedência associatividade
Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos:maior precedência
¬ =∧ ∨ ➝
menor precedência
∧ e ∨ têm associatividade à esquerda
➝ tem associatividade à direita
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Conectivos: precedência associatividade
Exemplos:
¬P ∧ Q ➝ R = (((¬P) ∧ Q) ➝ R)
P ∧ Q ∨ R = ((P ∧ Q) ∨ R)
P ∧ Q ∧ R = ((P∧Q)∧R) = (P∧(Q∧R))
P → Q → R = (P → (Q→R)) ≠ ((P→Q) →R)
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Conectivos: precedência associatividade
Elimine os parênteses desnecessários:
((P ∨ Q) ∨ (R ∨ S))(P ➝ (Q ➝ (P ∧ Q)))¬ (P ∨(Q ∧ R))¬ (P ∧(Q ∨R))
Lógica Proposicional - semântica
O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F
O significado da constante true é TO significado da constante false é F
Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F
Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((P˄Q) R) ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17
Negação
Verdadeiro sse o operando é FalsoDefina p = x < 0, q = x > 10
p é verdadeiro sse x é não negativo(p q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10
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p ¬ pT FF T
Conjunção
Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros
Defina p = x > 0, q = x < 10
pq é verdadeiro sse x está entre 0 e 10
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p q p q∧
T T TT F FF T FF F F
Disjunção
Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro
Defina p = x > 0, q = x < 10
p∨q é verdadeiro para qq valor de x
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p q p q∨
T T TT F TF T TF F F
Ou Exclusivo
Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes
Defina p = x > 0, q = y > 0
p⊕q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante
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p q p ⊕ q
T T FT F TF T TF F F
Quadrante 1 x > 0, y > 0
Quadrante 2 x < 0, y > 0 Quadrante
4 x > 0, y < 0
Quadrante 3 x < 0, y < 0
y
x
Implicação
Falso sse 1o op. é verdadeiro e 2o é falso
Defina p = x > 10, q = x > 0Considere x = 15, x = 5, e x = -5pq é verdadeiro para todo valor de x
A terceira linha da tabela não ocorre
qp é falso quando x está entre 0 e 10BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 22
p q p q➝
T T TT F FF T TF F T
Equivalência ou Bi-implicação
Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor
pq tem o mesmo valor que (p⇒q)(q⇒p)p q tem o mesmo valor que (p q)
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p q p = qT T TT F FF T FF F T
CondicionalDiversas maneiras de expressar p → q:
se p então q. se p, q.p implica q. q se p.p somente se q.q sempre que p.p é suficiente para q.q é necessário para p.
ExemplosÉ suficiente que x>10 para que x>5É necessário que x>5 para que x>10
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Tabela-verdade
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Proposição: (P Q) (PQ)
P Q
F F
F T
T F
T T
F
T
T
T
(P Q) P
T
T
F
F
(PQ)
F
T
T
T
(PQ) (PQ)
F
T
T
T
Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas :
Contradição (não satisfazível)
Outra Tabela-verdade
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Proposição: (PQ) (PQ)
P Q
F F
F T
T F
T T
F
T
F
(PQ) P
T
T
F
F
(P Q)
F
T
T
T
(PQ) (PQ)
F
T
F
F F
Equivalência Lógica: =(PQ) (PQ) (PQ)
Sherlock Holms
O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentesOu o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocenteEntão ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado
M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo
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M C) L C
L M
Sherlock Holms
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M C L M C) L C L M
False False False True False True
False False True True True True
False True False True True True
False True True True True True
True False False True False False
True False True True True True
True True False False True False
True True True False True True
M C), L C ⇒ L M
M C)
L C
L M
Consequência Lógica
O raciocínio com tabela-verdade é viável na
prática?É bom quando existem apenas 2 variáveis
{T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade
Três variáveis — começa a ficar tedioso{T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores2 2 2 linhas na tabela-verdade
Vinte variáveis — impraticável!2 2 … 2 linhas (220)Você gostaria de preencher um milhão de linhas?Nesse caso, como faria para evitar erros?
Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!
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