Download - Matematica Basica

1A U L A

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Recordando operações

Vamos iniciar nosso curso de matemática do2º grau recordando as quatro operações:

l adição

l subtração

l multiplicação

l divisão

Vamos lembrar como essas operações são feitas e, principalmente, quandodevemos utilizá-las na solução de um problema.

Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em matemática.É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com aprática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quaissão as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, emmatemática, o mais importante é o raciocínioo mais importante é o raciocínioo mais importante é o raciocínioo mais importante é o raciocínioo mais importante é o raciocínio.

Para começar, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais são ascontas que devem ser feitas.

l Um motorista de táxi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia seguinte.No total, quanto ele andou nesses dois dias?

l Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de R$50,00. Dequanto foi o troco?

l Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 16 litros de leite. Quantos litrosexistem em 12 caixas?

l Devo repartir 24 balas igualmente entre meus três filhos. Quantas balas devereceber cada um?

Introdução

1A U L AEm todos os exemplos desta aula, usaremos apenas números inteiros. Eles

são os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3, ... e também os negativos - 1, - 2, - 3, ... .

A adição

Podemos pensar na operação de adição quando queremos juntarjuntarjuntarjuntarjuntar as coisasque estão separadas.

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola?

Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunosde cada turma. A operação que devemos fazer é:

27 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 76

Existem, portanto, 76 alunos76 alunos76 alunos76 alunos76 alunos nessa escola.

Cada um dos números de uma soma chama-se parcelaparcelaparcelaparcelaparcela. Na operação deadição, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certezade que 18 + 27 + 31 também dá 76 76 76 76 76.

Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser soma-dos. Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 dá ----- 17 17 17 17 17. Para escrever essa operaçãofazemos assim:

----- 12 + ( 12 + ( 12 + ( 12 + ( 12 + (----- 5) = 5) = 5) = 5) = 5) = - - - - - 17 17 17 17 17

Observe que colocamos - 5 entre parênteses para evitar que os sinais de +e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever amesma operação. Veja:

----- 12 12 12 12 12 ----- 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = ----- 17 17 17 17 17

A subtração

Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar umaquantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.


Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondên-cia. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer?

Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação quedevemos fazer é:

90 90 90 90 90 ----- 52 = 38 52 = 38 52 = 38 52 = 38 52 = 38

Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 38 envelopes38 envelopes38 envelopes38 envelopes38 envelopes.

Nossa aula

1A U L A Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior

que o primeiro, o resultado é negativo. Veja:

9 9 9 9 9 ----- 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 45 5 5 5 5 ----- 9 = 9 = 9 = 9 = 9 = ----- 4 4 4 4 4

Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os núme-ros inteiros como pontos de uma reta.

Na operação 9 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para adireitadireitadireitadireitadireita e chegamos ao número 14.

Na operação 9 9 9 9 9 ----- 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para aesquerdaesquerdaesquerdaesquerdaesquerda e chegamos ao número 4.

Na operação 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para adireitadireitadireitadireitadireita e chegamos ao número 14.

Na operação 5 5 5 5 5 ----- 9 = 9 = 9 = 9 = 9 = ----- 4 4 4 4 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades paraa esquerdaesquerdaesquerdaesquerdaesquerda e chegamos ao número - 4.

Para resumir, as regras são as seguintes:

l Escrever 55555 ou + 5+ 5+ 5+ 5+ 5 é a mesma coisa.l Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos,

então:(+) (+) = (+)(+) (- ) = (- )(- ) (+) = (- )(- ) (- ) = (+)

Por exemplo:

5 + (+ 3) = 5 + 3 = 85 + (- 3) = 5 - 3 = 25 + (+ 3) = 5 - 3 = 25 - (- 3) = 5 + 3 = 8

Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma esubtração de diversos números.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-5 +5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14-4 -3 -2 -1

-9 +9

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DIADIADIADIADIA SALDOSALDOSALDOSALDOSALDO INICIALINICIALINICIALINICIALINICIAL DEPÓSITODEPÓSITODEPÓSITODEPÓSITODEPÓSITO RETIRADARETIRADARETIRADARETIRADARETIRADA

1010101010 00,0000,0000,0000,0000,00

1010101010 53,0053,0053,0053,0053,00

1212121212 25,0025,0025,0025,0025,00

1515151515 65,0065,0065,0065,0065,00

1818181818 30,0030,0030,0030,0030,00

2121212121 18,0018,0018,0018,0018,00


João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresen-tou o seguinte movimento:

Qual será o saldo de João após essas operações?Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por

números negativos. Devemos então fazer a seguinte conta:

53 53 53 53 53 ----- 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 ----- 30 30 30 30 30 ----- 18 18 18 18 18

O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no banco. Amelhor forma de fazer esse cálculo é somarsomarsomarsomarsomar os números positivos (os depósitos),somarsomarsomarsomarsomar os números negativos (as retiradas) e depois subtrairsubtrairsubtrairsubtrairsubtrair o segundo resul-tado do primeiro. Assim:

0000053 53 53 53 53 ----- 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 ----- 30 30 30 30 30 ----- 18 = 18 = 18 = 18 = 18 == (53 + 65) = (53 + 65) = (53 + 65) = (53 + 65) = (53 + 65) - - - - - (25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) == 118 = 118 = 118 = 118 = 118 ----- 73 = 73 = 73 = 73 = 73 == 45= 45= 45= 45= 45

Portanto, João ainda tem R$ 45,00R$ 45,00R$ 45,00R$ 45,00R$ 45,00 em sua conta bancária.

A multiplicação

A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Porexemplo:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 ´ 7 = 35 7 = 35 7 = 35 7 = 35 7 = 35

O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 ´ 5 = 35 5 = 35 5 = 35 5 = 35 5 = 35

Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35.

Você já sabe que, em uma multiplicação cada número chama-se fatorfatorfatorfatorfator.Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação.

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1.1.1.1.1. Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso:

5 5 5 5 5 ´ 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7 = 7 ´ 5 5 5 5 5

2.2.2.2.2. Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delaspode ser feita primeiro. Por exemplo:

2 2 2 2 2 ´ 3 3 3 3 3 ´ 5 5 5 5 5 ===== (2 (2 (2 (2 (2 ´ 3) 3) 3) 3) 3) ´ 5 5 5 5 5 ===== 6 6 6 6 6 ´ 5 5 5 5 5 ===== 30303030302 2 2 2 2 ´ 3 3 3 3 3 ´ 5 5 5 5 5 ===== 2 2 2 2 2 ´ (3 (3 (3 (3 (3 ´ 5) 5) 5) 5) 5) ===== 2 2 2 2 2 ´ 15 15 15 15 15 ===== 30303030302 2 2 2 2 ´ 3 3 3 3 3 ´ 5 5 5 5 5 ===== (2 (2 (2 (2 (2 ´ 5) 5) 5) 5) 5) ´ 3 3 3 3 3 ===== 10 10 10 10 10 ́ 3 3 3 3 3 ===== 3030303030

3.3.3.3.3. Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parceladessa soma. Por exemplo:

2 2 2 2 2 ´ (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 ́ 12 = 24 12 = 24 12 = 24 12 = 24 12 = 24Ou, ainda:

2 2 2 2 2 ´ (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 ́ 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2 ́ 4 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 ´ 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24

Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações comnúmeros negativos. As regras são as seguintes:

(+)(+)(+)(+)(+) ´ (((((----- ))))) ===== (((((----- )))))(((((----- ))))) ´ (+)(+)(+)(+)(+) ===== (((((----- )))))(((((----- ))))) ´ (((((----- ))))) ===== (+)(+)(+)(+)(+)

Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.

l Para calcular 4 ́ (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3.Daí:

4 4 4 4 4 ´ (((((----- 3) = ( 3) = ( 3) = ( 3) = ( 3) = (----- 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + (----- 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + (----- 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + (----- 3)3)3)3)3)4 4 4 4 4 ´ (((((----- 3) = 3) = 3) = 3) = 3) = ----- 3 3 3 3 3 ----- 3 3 3 3 3 ----- 3 3 3 3 3 ----- 3 3 3 3 34 4 4 4 4 ´ (((((----- 3) = 3) = 3) = 3) = 3) = ----- 12 12 12 12 12

l Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamoslembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto:

(((((----- 3) 3) 3) 3) 3) ´ 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0

Vamos então escrever essa igualdade assim:

(((((----- 3) 3) 3) 3) 3) ´ (((((----- 2 + 2) = 0 2 + 2) = 0 2 + 2) = 0 2 + 2) = 0 2 + 2) = 0

É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma daspropriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma aindadiferente. Veja:

(((((----- 3) 3) 3) 3) 3) ´ (((((----- 2) + ( 2) + ( 2) + ( 2) + ( 2) + (----- 3) 3) 3) 3) 3) ´ 2 = 0 2 = 0 2 = 0 2 = 0 2 = 0

????? ----- 6 6 6 6 6

Ora, sabemos que (- 3) ́ 2 dá - 6. Logo, devemos ter (- 3) ́ (- 2) = 6 para quea soma seja zero.

{{

1A U L AA divisão

Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partesiguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro.


Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixastenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa?

A resposta é fácil. Basta dividirdividirdividirdividirdividir 80 por 5.

80 80 80 80 80 ̧ 5 = 16 5 = 16 5 = 16 5 = 16 5 = 16

Logo, cada caixa deve conter 16 lápis.

No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exataexataexataexataexata ou seja, conseguimoscolocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum.O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? Áresposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2.

Veja a operação:

082 5- 5 16032

0- 3002

Na operação acima, 82 é o dividendodividendodividendodividendodividendo, 5 é o divisordivisordivisordivisordivisor, 16 é o quocientequocientequocientequocientequociente e 2é o restorestorestorestoresto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma:

82 = 5 82 = 5 82 = 5 82 = 5 82 = 5 ´ 16 + 2 16 + 2 16 + 2 16 + 2 16 + 2

(dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) ́ (quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)

Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!O resto é sempre positivopositivopositivopositivopositivo e menormenormenormenormenor que o divisor.

Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números:o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação emum problema.

dividendo

divisorquociente

resto

1A U L A EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5

Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todasessas pessoas?

Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:

_ 46 6- 42 70_.4

O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotaçãocompleta. Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4 pessoas para seremtransportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transpor-tar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8 viagens para transportartodas as pessoas.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Efetue as operações indicadas:a)a)a)a)a) 37 + 43 =b)b)b)b)b) 55 - 18 =c)c)c)c)c) 18 - 55 =d)d)d)d)d) 12 + (- 7) =e)e)e)e)e) 12 - (- 7) =f)f)f)f)f) - 9 - 6 =g)g)g)g)g) - 9 + (- 6) =h)h)h)h)h) - 9 - (- 6 ) =i)i)i)i)i) 13 ´ 7 =j)j)j)j)j) (- 8) ´ 9 =l)l)l)l)l) (7 - 3) ´ 4 =m)m)m)m)m) (3 - 8) ´ (- 4) =

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Efetue as operações indicadas. Lembre que, se várias operações aparecemem uma mesma expressão, as multiplicações e divisões são feitas primeiroe depois as somas e subtrações.a)a)a)a)a) 4 + 2 ´ 3 =b)b)b)b)b) 20 - 3 + 12 - 30 ¸ 6 =c)c)c)c)c) 13 ´ 112 - 11 ´ 10 =

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Um revendedor entrou numa confecção e fez a seguinte compra.

MERCADORIAMERCADORIAMERCADORIAMERCADORIAMERCADORIA QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE PREÇOPREÇOPREÇOPREÇOPREÇO UNITÁRIOUNITÁRIOUNITÁRIOUNITÁRIOUNITÁRIO (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)

camisetas 30 06camisas 15 12

bermudas 25 09calças 20 18

Quanto ele pagou por essa compra?

Exercícios

1A U L AExercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4

Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais uma gratificação deR$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quantoesse trabalhador deverá ter recebido após 4 semanas?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Descubra que números estão faltando nas operações abaixo:a)a)a)a)a) 12 ´ ........ =180

b)b)b)b)b) ........ 8 5 26

c)c)c)c)c) 148 = 6 ´ ........ + 4

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Certo automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer umaviagem de 340 km, o proprietário colocou no tanque 30 litros de gasolina.Esse combustível será suficiente?

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Em uma festa, as mesas do salão são quadradas e acomodam, no máximo,4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas serãonecessárias?

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunosainda podem ser matriculados?

Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9João tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e desejacercá-lo com uma cerca de arame com 5 fios.

Quantos metros de arame ele deverá comprar?

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9A U L A

O gráfico queé uma reta

Agora que já conhecemos melhor o planocartesiano e o gráfico de algumas relações entre xxxxx e yyyyy, voltemos ao exemplo daaula 8, onde y = 2x + 1y = 2x + 1y = 2x + 1y = 2x + 1y = 2x + 1 e cujo gráfico é uma reta.

Queremos saber mais sobre como é essa ligação que existe entre a fórmulay = 2x + 1y = 2x + 1y = 2x + 1y = 2x + 1y = 2x + 1 e a figura geométrica da reta. Queremos saber, por exemplo, se outrasfórmulas também têm como gráfico uma reta. Caso haja, o que essas fórmulasde retas têm em comum; de que modo se parecem?

É isso que estudaremos hoje. Como você verá, são muitas as situações navida cotidiana - especialmente nas nossas diversas profissões - em que a relaçãoentre duas grandezas é expressa graficamente por um reta. Veremos isso numexemplo com um automóvel em movimento, na relação entre a distânciapercorrida e o tempo de percurso. E deixaremos para você aplicar as mesmasidéias na sua própria área de trabalho: na construção civil, na indústria, nocomércio, no trabalho em casa etc.

A conclusão da aula é que a Matemática tem uma maneira de visualizar todauma série de problemas, facilitando imensamente sua resolução.

Um exemplo tirado do futebol

Talvez você já tenha visto um comentarista de futebol dizer o seguinte,analisando um determinado chute a gol: “A velocidade da bola era de aproxima-damente 90 km/h, quando foi espalmada pelo goleiro.” O que significa isso? Comose faz essa estimativa de velocidade?

Se um automóvel estivesse a 90 km/h, isso quer dizer que ele percorreria 90quilômetros de distância no tempo de 1 hora. Possivelmente, a estimativa docomentarista deve ter sido calculada por computador da seguinte maneira: pelovídeo do chute, é anotado o instante em que o pé do jogador toca a bola e aposição em que ele está no campo; é anotado também o instante em que o goleiroespalma a bola e a posição do goleiro. Assim, obtém-se a distânciadistânciadistânciadistânciadistância que a bolapercorreu e o tempotempotempotempotempo que levou para isso. O que é a velocidade da bola, então?

Se, para simplificar, considerarmos que a velocidade da bola é constante aoé constante aoé constante aoé constante aoé constante aolongo de toda sua trajetórialongo de toda sua trajetórialongo de toda sua trajetórialongo de toda sua trajetórialongo de toda sua trajetória, então, por definição:

Velocidade é a distância percorrida dividida pelo tempo de percurso.Velocidade é a distância percorrida dividida pelo tempo de percurso.Velocidade é a distância percorrida dividida pelo tempo de percurso.Velocidade é a distância percorrida dividida pelo tempo de percurso.Velocidade é a distância percorrida dividida pelo tempo de percurso.

Introdução

Nossa aula

9A U L A Rigorosamente falando, isso não é verdade, pois o atrito do ar diminui a

velocidade da bola o tempo todo. Estamos simplificando as coisas.) Em lingua-gem matemática:

No caso desse chute, a velocidade equivale a 90 km/h. Em metros porsegundo (pois as medidas do campo de futebol são em metros e cada chute se dáem frações de segundo), ela é de:

v = 90 km/h = v = 90 km/h = v = 90 km/h = v = 90 km/h = v = 90 km/h = 90km

1h=

90 ´ 1000m3600s

= 25 m/s = 25 m/s = 25 m/s = 25 m/s = 25 m/s

4040404040

Ou seja, a bola percorre um espaço de 25 metros a cada segundo25 metros a cada segundo25 metros a cada segundo25 metros a cada segundo25 metros a cada segundo. Ou 50metros a cada 2 segundos, ou 100 metros a cada 4 segundos, ou 150 metros a cada6 segundos, e assim por diante.

É fácil visualizar de uma só vez a relação do espaço (eeeee) percorrido com otempo (ttttt) de percurso - que neste exemplo é:

et

= 25 = 25 = 25 = 25 = 25, ou e = 25 t e = 25 t e = 25 t e = 25 t e = 25 t

Para isso, basta construir uma tabela e um gráfico que mostre a maneiracomo o espaço se relaciona com o tempo:

0000000000ttttt e = 25te = 25te = 25te = 25te = 25t

000000000000000 000000000000000000000000011111 000002525252525000000000022222 000005050505050000000000044444 100100100100100000000000066666 150150150150150

Como vemos, neste caso, temos uma reta que passa pela origem do planocartesiano. Observe que, nesse exemplo, os eixos do plano cartesiano represen-tam eeeee (espaço) e ttttt (tempo), que são grandezas diferentes: uma é medida emmetros e outra, em segundos, respectivamente. Dessa forma, a marcação dospontos sobre os eixos pode ser feita também com unidades diferentes. No eixovertical, cada unidade equivale a 25 metros; enquanto no eixo horizontal cadaunidade corresponde a 1 segundo.

1 2 3 4 5 6

25

50

75

100

125

150

0 t (s)

e (m)e=25t

e

espaçoespaçoespaçoespaçoespaço=====

eeeeetempo ou vou vou vou vou v t=====velocidadevelocidadevelocidadevelocidadevelocidade

9A U L AO gráfico de y = ax: retas pela origem

Observe os exemplos a seguir:a)a)a)a)a) y = x b)b)b)b)b) y = 3x

0000000000xxxxx yyyyy

000000000000000 00000000000000011111 11111000000000022222 222220000000000

c)c)c)c)c) y = - 2x d)d)d)d)d) y = -12

x

xxxxx yyyyy

00000 - 0000011111 ----- 2 2 2 2 222222 ----- 4 4 4 4 4

Exercíciosxxxxx yyyyy

00000 0000011111 3333322222 66666

xxxxx yyyyy

00000 ----- 00000

11111 -12

22222 ----- 1 1 1 1 1

1 2

2

1

y

x

3

4

5

6

1 2

2

1

y

x

y

x

- 1

- 2

- 3

- 4

1 2

y

x

- 1

1 2

- 1/2

9A U L A

Como você mesmo deve ter notado, o gráficode y = axy = axy = axy = axy = ax (no qual aaaaa é uma constante) é sempre umareta. Quando aaaaa é positivo, a reta está no 1º e no 3ºquadrantes do plano cartesiano; quando aaaaa é nega-tivo, a reta está no 2º e no 4º quadrantes. Veja nosexemplos abaixo:

Voltando ao exemplo da velocidade

O gráfico da relação e = 25 te = 25 te = 25 te = 25 te = 25 t, que vimos no início da aula, mostra, para cadainstante de tempo ttttt, o espaço eeeee percorrido pela bola de futebol, desde o iníciodo movimento até o instante ttttt.

Você se lembra de que verificamos que:

v = 25 m/sv = 25 m/sv = 25 m/sv = 25 m/sv = 25 m/s é equivalente a v = 90 km/hv = 90 km/hv = 90 km/hv = 90 km/hv = 90 km/h

Imagine agora um carroque se desloca a uma velocidade de 90 km/h90 km/h90 km/h90 km/h90 km/h, ouseja, sua velocidade é de 25 m/s25 m/s25 m/s25 m/s25 m/s. Na figura abaixo, ilustramos isso, imaginandoo eixo eeeee como o próprio caminho do carro para ajudar na visualização. Desenha-mos no carrouma seta vvvvv, sempre do mesmo tamanho, para representar suavelocidade constante:

1

-1/3

-1

-2y=-x (a=-1)

y=-2x (a=-2)

y

x

y=-1/3x (a=-1/3)

00

t

in’cio do tempo depois de t segundos

e=25t (metros)

0 e e (espa•o)

v=25 v=25

®

y y y y y 2º q. 2º q. 2º q. 2º q. 2º q. 1º q.1º q.1º q.1º q.1º q.

xxxxx

3º q. 3º q. 3º q. 3º q. 3º q. 4º q.4º q.4º q.4º q.4º q.

00 00 00 00 00 O SO SO SO SO S 4 4 4 4 4 QUADRANTESQUADRANTESQUADRANTESQUADRANTESQUADRANTES

DODODODODO PLANOPLANOPLANOPLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO

®

)13

13

-=a(x -=y

1

1/21

3

2

x

y y=3x (a=3)

y=x (a=1)

y=1/2 (a=1/2)12

x=y a12=( )

v = 25 m/s v = 25 m/s

9A U L AO gráfico da página 64 já falou tudo sobre este exemplo, não é mesmo? Vê-

se logo que o carro tinha percorrido 25 metros após 1 segundo do início dacontagem do tempo; 50 metros após 2 segundos, 75 metros após 3 segundos etc.

Agora vamos mexer um pouco no exemplo. No total, quantos metros teriapercorrido o carro se o cronômetro só tivesse sido disparado para começar acontagem do tempo depois de o carro já haver percorrido 40 metros?

No total, o carro teria percorrido 25t 25t 25t 25t 25t (como antes) mais 40 metros40 metros40 metros40 metros40 metros. É fácilobter o novo gráfico do espaço percorrido em relação ao tempo, para e = 25te = 25te = 25te = 25te = 25t+ 40+ 40+ 40+ 40+ 40. Acompanhe como o espaço inicial, que aqui é de 40 metros40 metros40 metros40 metros40 metros, aparecenas linhas da nova tabela e no gráfico, deslocando a reta anterior para cimaem 40 unidades40 unidades40 unidades40 unidades40 unidades (40 metros).

TABELATABELATABELATABELATABELA TABELATABELATABELATABELATABELA

ANTERIORANTERIORANTERIORANTERIORANTERIOR::::: NOVANOVANOVANOVANOVA:::::

ttttt e = 25te = 25te = 25te = 25te = 25t ttttt e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40

00000 000000000000000 00000 00000000000 + 40 = 400 + 40 = 400 + 40 = 400 + 40 = 400 + 40 = 4011111 000002525252525 11111 0000025 + 40 = 6525 + 40 = 6525 + 40 = 6525 + 40 = 6525 + 40 = 6522222 000005050505050 22222 0000050 + 40 = 9050 + 40 = 9050 + 40 = 9050 + 40 = 9050 + 40 = 9044444 100100100100100 44444 100 + 40 = 140100 + 40 = 140100 + 40 = 140100 + 40 = 140100 + 40 = 14066666 150150150150150 66666 150 + 40 = 190150 + 40 = 190150 + 40 = 190150 + 40 = 190150 + 40 = 190

0 0

t

in’cio do tempo depois de t segundos

25t

0 e e (espa•o)40

40

v=25v=25v=25

1 2 3 4 5 6

25

50

75

100

125

150

40

65

90

t (s)

e (m)

e=25t+40

e=25t

(2,50)

(2,90)

+40

+40

+40

+40

e

v = 25 m/s v = 25 m/s v = 25 m/s

9A U L A

,

O gráfico de y = ax + c: retas quaisquer

Nos exemplos abaixo, construímos gráficos de equações do tipo y = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + c.Esses gráficos foram obtidos somando-se c unidades aos gráficos dos exemplosanteriores, cujas equações eram do tipo y = axy = axy = axy = axy = ax.

Observe que, quando ccccc é positivo, a reta de y = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + c corta o eixo yyyyy acima daorigem; e quando ccccc é negativo, corta o eixo yyyyy abaixo da origem.

Um caso particular: retas horizontais

Os diversos gráficos de y = axy = axy = axy = axy = ax já nos mostraram que a constante aaaaa estárelacionada com a inclinação da reta. Quando aaaaa é positivo (reta no 1º e 3ºquadrantes), dizemos que a reta tem inclinação positivainclinação positivainclinação positivainclinação positivainclinação positiva; quando aaaaa é negativo(reta no 2º e 4º quadrantes), dizemos que a reta tem inclinação negativainclinação negativainclinação negativainclinação negativainclinação negativa.

Como a reta de y = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + c é a reta de y = axy = axy = axy = axy = ax deslocada de ccccc para cima (sec > 0c > 0c > 0c > 0c > 0) ou para baixo (se c < 0c < 0c < 0c < 0c < 0), a inclinação permanece igual. Confira nas figuras:as retas são paralelas, tendo a mesma inclinação.

Para quem está atento, uma pergunta logo surge: que dizemos da inclina-ção, quando aaaaa não é positivo nem negativo, mas nulo (a = 0a = 0a = 0a = 0a = 0)? Dizemos que ainclinação é nulanulanulanulanula. E como será uma reta y = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + c com a = 0a = 0a = 0a = 0a = 0, ou seja, tal queyyyyy = c = c = c = c = c (para todo xxxxx)? Aqui estão duas delas, com tabela e gráfico:

0000000000xxxxx y = 2,5y = 2,5y = 2,5y = 2,5y = 2,5

000000000000000 2,52,52,52,52,5000000000011111 2,52,52,52,52,5000000000022222 2,52,52,52,52,5000000000044444 2,52,52,52,52,5----- 2 2 2 2 2 2,52,52,52,52,5

0000000000xxxxx y = y = y = y = y = ----- 1 1 1 1 1

000000000000000 ----- 1 1 1 1 1000000000011111 ----- 1 1 1 1 1000000000022222 ----- 1 1 1 1 1000000000044444 ----- 1 1 1 1 1----- 2 2 2 2 2 ----- 1 1 1 1 1

1

2

3

1

+2

y=x+2

y=x

y

x

y

x

1

2

3

-2

-3

1

-3 y=3x-3

y=3x y

x

1

22.5

-2

-1

1

+2.5

y=-2xy=-2x+2.5

1 2 3 4-1-2

1

2

2.5 (1; 2.5) (4; 2.5) y=2.5

y

x

1 2 3-1-2

x

y

y=-1(-2, -1) (-3, -1)-1

,,,

+2,5

2,5

y=-2x+2,5

9A U L A

3

y

-1

1/3

5/2(1, -1)

-5/3

x

2x-3y=5

1

y

x1 4 7

1

2

3

3/2

7/2 (1, 3)

(4, 3/2)

x+2y=7

y

-1x

1

2

1 2 3

(3, 2)

(3, -1)

x=3y

x

1

2

-1

-2x= -1

(-1; -1,5)

-1

(-1, 2)

Veja que efeito teve anular aaaaa na relação y = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + c: ficamos com y = cy = cy = cy = cy = c, cujográfico é uma reta horizontalreta horizontalreta horizontalreta horizontalreta horizontal.

Já conhecemos retas inclinadas de vários modos e, agora, retas horizontais.Que tipo de reta nos falta encontrar? Pense.

Outro caso particular: retas verticais

Relembre que obtivemos retas horizontais anulando o coeficiente aaaaa de xxxxx narelação y = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + cy = ax + c. Poderíamos encontrar as retas que nos faltam, as verticais,fazendo a mesma coisa com yyyyy - ou seja, anulando o seu coeficiente? Do jeito queestá não - porque o coeficiente de yyyyy é 1. Mas se incluírmos também umcoeficiente (b) para yyyyy, então, quando ele for nulo, teremos as retas verticais: é ocaso dos dois últimos dos próximos exemplos.

O gráfico de ax + by = c : exemplos

Vamos desenhar estes gráficos de retas, usando uma tabela auxiliar:a)a)a)a)a)

2x - 3 y = 5 x y= 23

x - 53

- 3 y= - 2x + 5 0 - 5/3 = - 1,6

y=23

x - 53

5/2 0

1 - 13 1/3

b)b)b)b)b)

x + 2 y = 7 x y = - 12

x + 72

2 y =- x + 7 0 7/2 = 3,5

y =- 12

x + 72

7 0

1 34 3/2

c)c)c)c)c) x + 0 y = 3 x y

x = 3(para todo y) 3 0

3 13 23 - 1

d)d)d)d)d) x + 0 y = - 1 x y

x = - 1(para todo y) - 1 0

- 1 2- 1 - 1, 5

9A U L A Conclusão: a relação x = cx = cx = cx = cx = c (onde ccccc é uma constante) é representada no plano

cartesiano por uma reta vertical: à direita da origem se c > 0c > 0c > 0c > 0c > 0, e à esquerda se c < 0c < 0c < 0c < 0c < 0.“E se c = 0c = 0c = 0c = 0c = 0?” A reta de x = 0x = 0x = 0x = 0x = 0 é o próprio eixo yyyyy.Além desta conclusão, os dois primeiros exemplos nos mostram claramente

como é o gráfico da relação geral ax + by = cax + by = cax + by = cax + by = cax + by = c, quando aaaaa e bbbbb não são nulos: é umareta inclinada que corta o eixo x x x x x no ponto ( c

a, 0) e o eixo yyyyy em (0, c

b). Confirme isso

nos exemplos.Sendo assim, já sabemos traçar o gráfico de qualquer reta, isto é, de qualquer

relação entre xxxxx e yyyyy do tipo ax + by = cax + by = cax + by = cax + by = cax + by = c. Vamos praticar?

Atenção: Para os exercícios desta aula, é interessante você trabalhar compapel quadriculado, pois ele ajuda no traçado de gráficos.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1a)a)a)a)a) Para cada reta abaixo, faça uma tabela auxiliar e use-a para traçar o gráfico

da reta. (Desenhe todas as retas num mesmo plano cartesiano).

a1)a1)a1)a1)a1) y = 125

x

a2)a2)a2)a2)a2) y = 125

x + 2

a3)a3)a3)a3)a3) y = 125

x - 25

a4)a4)a4)a4)a4) 12x - 5y = 7

b)b)b)b)b) Qual destas retas tem maior inclinação?

c)c)c)c)c) Em termos geométricos, o que podemos dizer destas quatro retas?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2a)a)a)a)a) Observando o gráfico de e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40, do espaço total (em metros) per-

corrido pelo automóvel até o instante ttttt, responda: qual o espaço totalpercorrido até:

a1)a1)a1)a1)a1) 2 segundos?



a4)a4)a4)a4)a4) 1,5 segundo?

b)b)b)b)b) Confirme suas respostas pela tabela.

Exercícios


a)a)a)a)a) Com base no gráfico de e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40e = 25t + 40, trace no mesmo plano cartesiano ográfico de e = 25 t + 75e = 25 t + 75e = 25 t + 75e = 25 t + 75e = 25 t + 75.

b)b)b)b)b) O que significa esse 75 no lugar de 40, no exemplo do automóvel?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4a)a)a)a)a) Observe, a seguir, cada uma das relações que envolvem xxxxx e yyyyy, e faça

o que se pede. Escreva ao lado de cada uma: (H) se o gráfico da relaçãofor uma reta horizontal; (V) se for uma reta vertical; (I +) se for uma retade inclinação positiva; e (I -) se for de inclinação negativa.

a1)a1)a1)a1)a1) y = 2x - 1

a2)a2)a2)a2)a2) x = 5

a3)a3)a3)a3)a3) y = - 3 x

a4)a4)a4)a4)a4) x = p

a5)a5)a5)a5)a5) x = 5 - y

a6)a6)a6)a6)a6) y = - 2

a7)a7)a7)a7)a7) 3y - 4x = 12

b)b)b)b)b) Usando uma tabela auxiliar, trace o gráfico de cada reta, e confirme suaresposta anterior.

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Aqui estão algumas retas na forma ax + by = cax + by = cax + by = cax + by = cax + by = c. Use o último comentário daaula para responder o que se pede em seguida (ou use as sugestões).

:reta 1: reta 1: reta 1: reta 1: reta 1: ® 7x + 2y = - 14reta 2: reta 2: reta 2: reta 2: reta 2: ® x - 3y = 0reta 3: reta 3: reta 3: reta 3: reta 3: ® - 12x - 31 y = 1reta 4: reta 4: reta 4: reta 4: reta 4: ® - 7x - 2y = 14reta 5: reta 5: reta 5: reta 5: reta 5: ® 3x + 5y = 8

a)a)a)a)a) Em que ponto a reta corta o eixo xxxxx? (Sugestão: Faça y = 0y = 0y = 0y = 0y = 0 e calcule xxxxx)

b)b)b)b)b) E o eixo yyyyy? (Sugestão: Faça x = 0x = 0x = 0x = 0x = 0 e calcule yyyyy).

c)c)c)c)c) Em que casos esses dois pontos bastam para traçar a reta?

14A U L A

Operações compotências

Quando um número é multiplicado por elemesmo, dizemos que ele está elevado ao quadradoelevado ao quadradoelevado ao quadradoelevado ao quadradoelevado ao quadrado, e escrevemos assim:

a · a = a²a · a = a²a · a = a²a · a = a²a · a = a²

Se um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes, temos umapotênciapotênciapotênciapotênciapotência.

aaaaa ····· aaaaa ····· aaaaa ===== a³a³a³a³a³ (a elevado a 3 ou a ao cubo)(a elevado a 3 ou a ao cubo)(a elevado a 3 ou a ao cubo)(a elevado a 3 ou a ao cubo)(a elevado a 3 ou a ao cubo)

3 fatoresaaaaa ····· aaaaa ····· aaaaa ····· aaaaa ===== aaaaa44444 (a elevado a 4)(a elevado a 4)(a elevado a 4)(a elevado a 4)(a elevado a 4)

4 fatores

De uma forma geral, se o fator a a a a a aparece nnnnn vezes escrevemos a a a a annnnn (a elevado an). O número a é a base base base base base da potência e nnnnn é o expoenteexpoenteexpoenteexpoenteexpoente.

Nas ciências, para escrever números muitos grandes ou muito pequenosusamos potências. Por exemplo, um bilhão é o número 1.000.000.000, que éigual a:

1010101010 ····· 1010101010 ····· 1010101010 ····· 1010101010 ····· 1010101010 ····· 1010101010 ····· 1010101010 ····· 1010101010 ····· 10 = 1010 = 1010 = 1010 = 1010 = 1099999

Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidadechamada ano-luz,ano-luz,ano-luz,ano-luz,ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essaimensa distância vale, aproximadamente, 9.500.000.000.000 km, ou seja, novetrilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos essenúmero assim:

1 ano-luz = 9,51 ano-luz = 9,51 ano-luz = 9,51 ano-luz = 9,51 ano-luz = 9,5 ····· 10101010101212121212 km km km km km

Acontece que essa distância é ainda pequena se olharmos para o universoconhecido. A estrela mais próxima de nós (que está na constelação do Centauro)fica a 4 anos-luz de distância. Mas, existem estrelas que estão a bilhões de anos-luz de distância de nós. Imagine que número gigantesco deve representar essadistância em quilômetros. Podemos então perceber que só é prático representarnúmeros desse tamanho usando potências e, além disso, é preciso saber fazercálculos com elas.

Introdução

14A U L A

{{

14A U L A O produto de potências de mesma base

Começamos com um exemplo. Vamos multiplicar a a a a a44444 por aaaaa33333

aaaaa44444 ····· aaaaa3 3 3 3 3 = a= a= a= a= a ····· aaaaa ····· aaaaa ····· aaaaa ····· a a a a a ····· aaaaa ····· aaaaa = a = a = a = a = a 4 + 34 + 34 + 34 + 34 + 3 = a = a = a = a = a77777

4 fatores 3 fatores

7 fatores

Como cada expoente representa o número de fatores então o número totalde fatores é a soma dos expoentes. Concluímos então que para multiplicarmultiplicarmultiplicarmultiplicarmultiplicarpotências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentesconservar a base e somar os expoentesconservar a base e somar os expoentesconservar a base e somar os expoentesconservar a base e somar os expoentes. Esseresultado, escrito de forma geral, fica assim:

aaaaammmmm ····· aaaaan n n n n = a= a= a= a= am + nm + nm + nm + nm + n


Certa estrela está a 1,2 milhões de anos-luz do sol. Sabendo que 1 ano-luz éigual a 9,5 trilhões de quilômetros, determine, em quilômetros, a distância entreessa estrela e o sol. Pense um pouco antes de ver a solução. Procure exprimir osnúmeros dados usando potências de 10.

Vamos exprimir os números dados usando números decimais e potências de 10.Observe que:

milmilmilmilmil ===== 1.000 = 101.000 = 101.000 = 101.000 = 101.000 = 1033333

milhãomilhãomilhãomilhãomilhão ===== 1.000.000 = 101.000.000 = 101.000.000 = 101.000.000 = 101.000.000 = 1066666

bilhãobilhãobilhãobilhãobilhão ===== 1.000.000.000 = 101.000.000.000 = 101.000.000.000 = 101.000.000.000 = 101.000.000.000 = 1099999

trilhãotrilhãotrilhãotrilhãotrilhão ===== 1.000.000.000.000 = 101.000.000.000.000 = 101.000.000.000.000 = 101.000.000.000.000 = 101.000.000.000.000 = 101212121212

Então,

1,21,21,21,21,2 milhões = 1,2 milhões = 1,2 milhões = 1,2 milhões = 1,2 milhões = 1,2 ····· 101010101066666

9,59,59,59,59,5 trilhões = 9,5 trilhões = 9,5 trilhões = 9,5 trilhões = 9,5 trilhões = 9,5 ····· 10101010101212121212

Para calcular a distância entre o sol e a outra estrela, devemos multiplicaresses dois números. Observe que vamos multiplicar os números decimais e aspotências de 10. Veja:

1,2 ·1,2 ·1,2 ·1,2 ·1,2 · 101010101066666 ····· 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 ····· 10101010101212121212 = 1,2 · = 1,2 · = 1,2 · = 1,2 · = 1,2 · 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 ····· 10 10 10 10 106 6 6 6 6 · · · · · 101010101012 12 12 12 12 = 11,4 · = 11,4 · = 11,4 · = 11,4 · = 11,4 · 10101010106 + 126 + 126 + 126 + 126 + 12 = = = = = = 11,4 · = 11,4 · = 11,4 · = 11,4 · = 11,4 · 10101010101818181818 km km km km km

Quando representamos um número por um decimal seguido de uma potên-cia de 10, estamos usando o que se chama de notação científicanotação científicanotação científicanotação científicanotação científica. É assim que oscientistas representam números muito grandes. Entretanto, eles também combi-naram o seguinte: para que todos escrevam da mesma forma nunca escreverãomais de um dígito na parte inteira do número decimal. Assim, um verdadeirocientista não escreveria a distância 11,411,411,411,411,4 ····· 101010101018 18 18 18 18 kmkmkmkmkm. Ele faria assim:

11,4 . 1018 =11,410

×10×1018 = 1,14×1019km

{{

Nossa aula

{

14A U L AObserve que 10 = 101 .

Por isso, 1010101010 ····· 10101010101818181818 é igual a 10101010101 + 181 + 181 + 181 + 181 + 18, ou seja, 10101010101919191919.

Vamos então recordar as outras operações.

A divisão de potências de mesma base

Começamos também com um exemplo para descobrir o caso geral. Vamosdividir aaaaa66666 por aaaaa22222.

6 fatores

a6

a2 =a.a.a.a.a.a

a.a= a6- 2 = a4

2 fatores

Cada fator do denominador é cancelado com um fator do numerador. Entãoo número de fatores do resultado é a diferença entre o número de fatores donumerador e o número de fatores do denominador. Concluímos então que, paradividir potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair osexpoentes. Esse resultado, escrito de forma geral fica assim:

am

an = am- n

Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: Nesta identidade existe uma restrição para a letra aaaaa: ela poderepresentar qualquer número, exceto exceto exceto exceto exceto o zero zero zero zero zero. Isso acontece porque é impossívela divisão por zero.

A potência do produto e do quociente

Observe as seguintes sequências de cálculos:

(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)33333 =ab =ab =ab =ab =ab · ababababab · ab = aab = aab = aab = aab = a · aaaaa · aaaaa · bbbbb · bbbbb · bbbbb = a = a = a = a = a33333 · bbbbb33333

ab

ΦΗ

ΙΚ

3

=ab

×ab

×ab

=a×a×ab×b×b

=a3

b3

Estes resultados podem ser generalizados para um expoente qualquer

(ab)n = an.bn

A potência de uma potência

Vamos, mais uma vez, descobrir o caso geral a partir do raciocínio usado emum exemplo. Calculemos então (a(a(a(a(a33333)))))44444.

{

{

ab

ΦΗ

ΙΚ

n

=an

bn

b ¹ 0

14A U L A (a(a(a(a(a33333)))))44444 = a = a = a = a = a33333 · aaaaa33333 · aaaaa33333 · aaaaa33333 = a = a = a = a = a3 + 3 + 3 + 33 + 3 + 3 + 33 + 3 + 3 + 33 + 3 + 3 + 33 + 3 + 3 + 3 = a = a = a = a = a3 · 43 · 43 · 43 · 43 · 4 = a = a = a = a = a1212121212

É claro que a letra aaaaa apareceu como fator 12 vezes, que é o produto dosexpoentes. Concluimos então que quando uma potência está elevada a algumexpoente, devemos manter a base e multiplicar os expoentes.

(a(a(a(a(ammmmm)))))nnnnn = a = a = a = a = a mnmnmnmnmn

Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: O que acontece se o expoente for zero? Essa é uma perguntafreqüente, e a resposta é a seguinte. Quando definimos aaaaannnnn, o expoente nnnnn é onúmero de vezes que a letra aaaaa aparece como fator. Então, nnnnn pode ser 1, 2, 3, 4 etc,e o caso n = 0n = 0n = 0n = 0n = 0 não está incluído na nossa definição. Portanto, a expressão aaaaa00000

precisa ser definida, ou seja, precisamos dar um significado para ela.Definimos, então:

aaaaa00000 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 para todo a a a a a ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 00000

Por que isso? Porque, com essa definição, as propriedades anteriores conti-nuam válidas. Observe.

1 =aa

=a1

a1 = a1- 1 = a0

Inicialmente os nossos expoentes eram inteiros positivos, e agora o zero foiincluído. O leitor curioso poderá então perguntar o que acontece se o expoentefor negativo. Realmente, expoentes negativos existem; mas, como eles não estãoincluídos na definição original de potência, precisamos criar um significado paraeles. Isso é o que veremos a seguir.

O expoente negativo

Devemos definir potências de expoentes negativos, de forma que as propri-edades anteriores permaneçam válidas. A definição conveniente é a seguinte:

a- n =1a

ΦΗ

ΙΚ

n

=1an

Observe que, com essa definição, as propriedades que vimos continuam a serusadas. Veja:

Nas ciências, potências de base 10 com expoente negativo são usadas pararepresentar números muito pequenos.

1an =

a0

an = a0- n = a- n

{ a3

a5 =a×a×a

a×a×a×a×a=

1a2

a3

a5 = a3- 5 = a- 2

14A U L AObserve: 0, 1 =

1

10= 10 - 1

0, 01 =1

100= 10 - 2

0, 001 =1

1000= 10 - 3

0, 0001 =1

10000= 10 - 4

Então, para representar, por exemplo, o número 0,00030,00030,00030,00030,0003 na nossa já conhe-cida notação científica, fazemos assim:

0, 0003 =0, 0003×104

104=

3

104= 3×10 - 4


Para tratar a água consumida pela população e diminuir a incidência decáries dentárias, muitos países acrescentam flúor à água que será distribuida. Aproporção recomendada é de 700g de flúor para 1 milhão de litros de àgua.Calcular:

a)a)a)a)a) a quantidade de flúor em cada litro de água;b) b) b) b) b) se você tem uma cisterna com 12.000 litros de água não tratada, que

quantidade de flúor você deve acrescentar?Pense um pouco antes de ver a solução.

Este problema se resolve com regra de três mas, é conveniente escrever osnúmeros usando potências de 10. Isso vai facilitar os cálculos.

Solução:Solução:Solução:Solução:Solução:a) a) a) a) a) Sabemos que 1 milhão é igual a 106. Se xxxxx é a quantidade de flúor contida

em um litro de água, temos a regra de três abaixo:

700g700g700g700g700g 101010101066666 litros litros litros litros litrosx gx gx gx gx g 1 litro1 litro1 litro1 litro1 litro

Portanto, x =1.700106 =

7.102

106 = 7.102- 6 = 7.10- 4

Temos, então, em cada litro de água tratada, 77777 · 1010101010----- 44444 gramas de flúor.

b)b)b)b)b) Para saber a quantidade de flúor que deve ser colocada na cisternad e -vemos multiplicar 7 · 10- 4 por 12.000 litros.

Observe o cálculo:

7 · 107 · 107 · 107 · 107 · 10-4-4-4-4-4 · 12.000 = 7 · 10 · 12.000 = 7 · 10 · 12.000 = 7 · 10 · 12.000 = 7 · 10 · 12.000 = 7 · 10-4-4-4-4-4 · 1,2 · 10 · 1,2 · 10 · 1,2 · 10 · 1,2 · 10 · 1,2 · 1044444 = 7 · 1,2 · 10 = 7 · 1,2 · 10 = 7 · 1,2 · 10 = 7 · 1,2 · 10 = 7 · 1,2 · 10----- 4+44+44+44+44+4 = 7 · 1,2 = 8,4 = 7 · 1,2 = 8,4 = 7 · 1,2 = 8,4 = 7 · 1,2 = 8,4 = 7 · 1,2 = 8,4

Então, devemos acrescentar 8,4 gramas de flúor para tratar a água dessacisterna.

14A U L A Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1

Escreva cada uma das expressões a seguir na forma de uma única potênciade base 2.

a)a)a)a)a) 25 · 23 b)b)b)b)b) 29

23 c)c)c)c)c) (23)5 d)d)d)d)d) 2 ×25

29

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Escreva os números a seguir utilizando um número decimal (ou inteiro)multiplicado por uma potência de 10.a)a)a)a)a) 23.000 b)b)b)b)b)2.000.000 c) c) c) c) c)0,04 d) d) d) d) d)0,000.015

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Simplifique

23 ×45

86

Atenção: observe que 4 = 22 e 8 = 23

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Simplifique 1005 · 10007 · (1002)-4 · 10000-3

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Escreva cada uma das expressões a seguir usando uma única potência debase 3.

a)a)a)a)a)3-2 · 3-5 b)b)b)b)b) 36

3- 4 c) c) c) c) c) 1

3- 2δ ι5d)d)d)d)d) 3 ×95

276

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Calcule 2,4 · 10-6 · 5 · 10-3

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7O planeta Plutão, o mais afastado do sistema solar, está a 5900 milhões dequilômetros de distância do Sol. Escreva essa distância:a)a)a)a)a) em quilômetros usando um número decimal com 1 dígito na parte inteira

e uma potência de 10;b)b)b)b)b) em anos-luz.

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Muitas fábricas lançam na atmosfera uma substância chamada dióxido deenxofre. A Organização Mundial de Saúde estabeleceu que a quantidademáxima dessa substância no ar que respiramos deve ser de 4 · 10-5 gramas emcada metro cúbico de ar. Acima desse valor o ar é considerado poluído. Certodia, em uma amostra de 2,5m3 de ar de Sorocaba (SP) havia 0,135 · 10-3 gramasde dióxido de enxofre. O ar de Sorocaba estava poluído ou não?

Exercícios

24A U L A

24A U L A

A equação do 2º grau

Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um pro-blema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado.Estas são as chamadas equações do 2º grau.

Veja alguns exemplos:

x ² - 6 = 02x² = 10xx ² - 5x + 6 = 0

Repare que em todas aparece o termo x ².De forma geral, a equação do 2º grau é escrita assim:

ax2 + bx + c = 0

onde a, b, e c são números quaisquer. Mas, o número a não pode ser zero,porque, nesse caso, o termo x ² seria eliminado.

O número a é o coeficiente de x².

O número b é o coeficiente de x.

O número c é o termo independente.

Observe os valores de a, b e c nos exemplos:

l Na equação x ² ----- 6 = 0 temos a = 1, b = 0 e c = ----- 6

l A equação 2x² = 10x é a mesma que 2x² ----- 10x = 0; portanto, a = 2, b = ----- 10 e c= 0.

l Na equação x ² ----- 5x + 6 = 0 temos a = 1, b = ----- 5 e c = 6.

24A U L ANesta aula, vamos aprender a resolver equações do 2º grau, ou seja, a

encontrar suas soluções ou raízes.Uma raiz (ou solução) de uma equação é um número que, se colocado no

lugar de x, torna a igualdade correta.Por exemplo, consideremos a equação

x² ----- 5x + 6 = 0

O que acontece se substituirmos a letra x pelo número 1?Vejamos:

1 ² - 5 · 1 + 6 = 01 - 5 + 6 = 0

2 = 0 ® errado

Com essa experiência, descobrimos que x = 1 não é uma solução dessaequação. Veja agora o que acontece se substituirmos a letra x pelo número 2.

2 ² - 5 · 2 + 6 = 04 - 10 + 6 = 0

0 = 0 ® certo

Sabemos agora que x = 2 é uma solução (ou raiz) dessa equação.É natural que agora você tenha perguntas a fazer, tais como:

l �Será que existem outras soluções?�l �Como encontrá-las?�

As respostas virão com o estudo desta aula. Você descobrirá que umaequação do 2º grau possui, no máximo, duas soluções, e vai também aprendera encontrá-las.

Leia com atenção os exemplos e procure fazer os exercícios propostos.

Resolvendo ax² + b = 0

EXEMPLO 1

Vamos resolver x ² ----- 9 = 0Solução: Transpondo - 9 para o outro lado, obtemos

x2 = 9oux = ± 9ou, ainda,x = ± 3

Temos, então, que a equação x ² ----- 9 = 0 possui duas raízes: x = 3 e x = ----- 3.

Nossa aula

24A U L A Nota: Nem sempre as soluções de uma equação desse tipo são números

inteiros. Veja a equaçãox² - 10 = 0

Fazendo da mesma forma, temos:

x2 = 10 ex = ± 10

Isso significa que essa equação tem também duas soluções:

x = 10 e x = - 10

Se você quiser saber, aproximadamente, quanto valem esses números, usesua máquina de calcular. Com aproximações até a 3ª casa decimal, asraízes da equação x² - 10 = 0 são: x = 3,162 e x = 3,162.

Exercício 1Resolva as equações:a) x ² - 36 = 0b x ² - 3 = 0c) 2x² - 8 = 0

EXEMPLO 2

Resolver a equação 4 x ² ----- 3 = 0.Solução: Para resolver, passamos - 3 para o outro lado e em seguidadividimos os dois lados por 4. Observe:

4x2 = 34x2

4=

34

x2=34

x = ±34

Lembre-se de que a raiz quadrada de uma fração é igual à raiz quadrada donumerador dividida pela raiz quadrada do denominador, ou seja:

x = ±34

= ±3

2

A equação tem, portanto, as soluções: x =3

2 e x = -3

2.

Exercício 2Resolva as equações:a) 3x² = 9b) 2x² - 10 = 0c) 16x² - 5 = 4

24A U L AResolvendo x² + px = q

EXEMPLO 3

Vamos resolver (x ----- 3)² = 16.Iniciamos extraindo a raiz quadrada dos dois lados:

x - 3 = ± 16 oux - 3 = ±4

Passando o ----- 3 para o outro lado, temos:

x = 4 + 3

ou seja, as raízes da nossa equação são

x = + 4 + 3 = 7 e x = - 4 + 3 = - 1

EXEMPLO 4

Resolver a equação (x ----- 4)² = 5.Solução: Procedendo da mesma forma, temos:

x - 4 = ± 5 ex = 4 ± 5

ou seja, as raízes são x = 4 + 5 e x = 4 - 5

Nota: No caso que acabamos de ver, as raízes são números chamadosirracionais, ou seja, são números que só podem ser conhecidos por aproxi-mações. A máquina de calcular nos mostra essas aproximações.

Para calcular x = 4 + 5 , digite

Para calcular x = 4 - 5 , digite

Exercício 3Resolva as equações abaixo. Caso encontre raízes irracionais, use suacalculadora para obter aproximações até a 3ª casa decimal.

a) (x + 1)² = 4b) (x - 2)² = 15c) (x + 5)² - 3 = 0

4 + 5 =

4 - 5 =

6,236®

1,764®

24A U L A Para resolver o caso geral (x² + px = q), devemos aprender a criar um

quadrado perfeito a partir da expressão x² + px. A partir de agora, devemoster em mente as conhecidas fórmulas:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,(a ----- b)² = a² ----- 2ab + b²²

EXEMPLO 5

Resolver a equação x² + 6x = 7Solução: Observe atentamente nossa solução. Vamos começar com algoque, a princípio, pode parecer misterioso.

Somamos 9 aos dois lados da equação.

x² + 6x + 9 = 7 + 9

Repare que, com esse artifício misterioso, o lado esquerdo é exatamenteigual a (x + 3)² . Confira.

Temos, então:

(x + 3)² = 16

E essa é uma equação que sabemos resolver.

x + 3 = ± 16x + 3 = 4x + 3 = - 4

As raízes são, portanto,

x = 4 ----- 3 = 1 e

x = ----- 4 ----- 3 = ----- 7

Fica então a pergunta: como adivinhamos que, se somássemos 9 aos doislados da equação, a solução apareceria? Respondemos logo.Para obter um quadrado perfeito a partir da expressão x² + px, devemossomar a essa expressão

Observe que

Portanto, se temos, por exemplo a expressão x² + 6x, para obter umquadrado perfeito, devemos somar

= 32 = 9

Pratique, no exercício, como completar quadrados.

æpö²è2 ø

ö

ö

ö

ø

øøx² + px + æpè2 =

æ pè 2x +

²

æ6è2

²

24A U L AExercício 4

Complete as expressões abaixo:

a) x² + 10x+ = (x + )²²

solução: 102

= 5 e 5² = 25 . Portanto,

x² + 10x + 25 = (x + 5)²²

b) x² + 12x + = (x + )²²c) x² - 6x + = (x - )²²d) x² + 3x + = (x + )²²

Estamos agora preparados para resolver o caso geral da equação do 2º grau.

EXEMPLO 6

Resolva a equação x² ----- 8x + 10 = 0.Solução: Observe os passos que vamos seguir; todos são conhecidos.

x² - 8x + 10 = 0x² - 8x = - 10x² - 8x + 16 = - 10 + 16(x - 4)² = 6x - 4 = ± 6x = 4 ± 6

As raízes são x = 4 + 6 e x = 4 - 6

Aprendemos hoje a resolver equações do 2º grau. Na próxima aula vamosdeduzir uma fórmula que resolve essas equações, e que você poderáutilizar sempre que quiser. Em seguida, apresentaremos os problemas quesão resolvidos com auxílio das equações do 2º grau.

Exercício 5Resolva as equações:a) (x - 2)² = 12b) (x + 3)² = 25

Exercício 6 A equação (x - 1)² + 3 = 0 não possui solução. Por quê?

Exercício 7Resolva as equações:a) x² - 6x - 40 = 0b) x² - 5x + 6 = 0c) x² - 4x = 0

Exercíciosfinais

39A U L A

Medida de ângulos

Introdução

39A U L A

Há muitas situações em que uma pequenamudança de ângulo causa grandes modificações no resultado final. Veja algunscasos nos quais a precisão dos ângulos é fundamental:

Para sabera direção a seguir

Para instalar umaantena parabólica

N

S

EO

NE

SESO

NO

Na construção civil

No futebol

Na localização no mapa Na arquitetura

39A U L A São tantos os exemplos que você já deve estar se lembrando de outros.

Mas o que é ângulo?

Ângulo é o nome que se dá àabertura formada por duassemi-retas que partem deum mesmo ponto.

As semi-retas que formam o ângulo são os lados do ângulo, e o ponto deorigem das semi-retas é chamado vértice do ângulo.

Nesta aula vamos estudar um pouco mais sobre os ângulos, como medi-los(que instrumentos usar e qual a unidade de medida) e alguns exemplos eaplicações importantes.

O ângulo mais famoso, justamente por ser o mais comum, é o ângulo reto.Você se lembra dele? O ângulo reto é aquele ângulo formado por duas retasperpendiculares e que está sempre presente nos esquadros. Você deve lembrartambém que o ângulo reto mede 90º.

Falando em medida de um ângulo, neste caso o ângulo reto, perguntamos:

Como medir um ângulo?

O instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor, e você podeencontrá-lo de dois tipos:

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 13050 12060 11070

10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180190350

200340

210330

220320

230310

240300

250290

260280

270270

280260

290250300 240310 23032

0 220

350

190

340

200

330 210

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 13050 12060 11070

10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

lado

lado

‰ngulov•rtice

Nossa aula

39A U L AUsar o transferidor é muito simples. Observe estes exemplos e depois

pratique desenhando ângulos e medindo-os com seu transferidor.Dado um ângulo, devemos fazer coincidir seu vértice com o centro do

transferidor e um de seus lados com a marca do zero do transferidor, comomostram as figuras:

A unidade de medida de ângulo é o grau. Desenhando uma circunferênciae dividindo-a em 360 pequenos ângulos iguais, obtemos um ângulo de um grau.Usando o transferidor, desenhamos um ângulo de 1º (um grau). Verifique comoele é pequeno!

EXEMPLO 1

Qual destes ângulos é maior?

Usando um transferidor, você pode verificar que os três ângulos possuema mesma abertura (20 graus) e portanto são do mesmo tamanho.

Se dois ângulos têm a mesma abertura, também têm a mesma medida.

EXEMPLO 2

Na ilustração que está na próxima página, você pode observar uma parte dolitoral brasileiro. Vamos ver como calcular a direção, da rota de um avião,supondo que ele viaje usando sempre a menor distância entre dois pontos, ouseja, em linha reta.

Nos mapas usados pela aviação, encontramos pequenas bússolasdesenhadas sobre algumas cidades. Para calcular o ângulo de uma rota, opiloto coloca um transferidor sobre o mapa e faz a leitura do ângulo.O diâmetro do transferidor deve ter a mesma direção que a direção Norte-Sul da bússola, sendo que 0º corresponde ao norte magnético.

90

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45 13050 12060 11070

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45

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0 180

centro

90

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45 13050 12060 11070

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0 180

centro

marca de 60º marca de 90º

1

39A U L A Nesta ilustração, você pode conferir que a rota de um vôo do Rio de

Janeiro a Aracaju é de 56º. Observe que a rota do Rio de Janeiro a JoãoPessoa também é de 56º, porém a distância desta viagem é maior do quea da primeira.

Classificando ângulos

Você já sabe que o ângulo que mede 90º é chamado ângulo reto. Outroângulo que recebe nome especial é o ângulo que mede 180º. Neste tipo de ângulo,as duas semi-retas que formam os lados estão sobre uma mesma reta, e ele échamado ângulo raso.

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1800

170

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020

15030

14040

45 13050 12060 11070

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80 70110

60120

50130

45

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90

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 13050 12060 11070

10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

180

90

1800 170

1016020

15030

1404045

13050

12060

11070

10080

1008070

11060

120501304540 140

30 15020 16010 1700 180

N

S

LO

Jo‹o Pessoa

Aracajœ

Oceano Atl‰ntico

Rio deJaneiro

39A U L AÂngulos com medidas entre 0º e 90º são chamados ângulos agudos, e

ângulos com medidas entre 90º e 180º são chamados ângulos obtusos.

Na figura anterior, temos um ângulo agudo e um ângulo obtuso e, alémdisso, a soma de suas medidas é igual a 180º. Quando a soma de dois ângulosé 180º, eles são chamados ângulos suplementares.

Quando dois ângulos agudos somam 90º, eles são chamados ânguloscomplementares.

Curiosidade

Você já observou um par de esquadros? Existem dois tipos de esquadro.Um deles é formado por um ângulo reto e dois ângulos de 45º, e o outropossui um ângulo reto, um ângulo de 30º e outro de 60º. Confira!

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 13050 12060 11070

10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

48137

‰ngulo agudo

‰ngulo obtuso

90

1800

170

1016

020

15030

14040

45 13050 12060 11070

10080 100

80 70110

60120

50130

45

40140

30150

20160

10170

0 180

‰nguloagudo60

30

‰nguloagudo

30

60

45

45

39A U L A EXEMPLO 3

Para decidir com um carpinteiro qual o ângulo de inclinação que seu telhadoterá, você precisa saber que tipo de telha irá utilizar.Um carpinteiro nos informou que, para usar telhas francesas, o telhado podeter um caimento de 45%. Isso significa que, nesse caso, para cada metrohorizontal, o telhado �cai� 45% de metro. Representamos essa situação comum desenho em escala a seguir:

Medindo com o transferidor o ângulo x de inclinação do telhado, encon-tramos 25º.Se você decidir usar telha de amianto, o ângulo de inclinação pode ser umângulo de 10º. Nesse caso, o caimento do telhado seria aproximadamente de15%. Confira usando o desenho a seguir.

EXEMPLO 4

Você já reparou que, quando observamos um automóvel que se distancia aolongo de uma grande avenida, ele parece estar diminuindo de tamanho? Ouque, quando assistimos a um grande show, quanto mais longe do palco,menores parecem ser os artistas?

x

4,5 m

1 m

escala: 1 m = 10 cm

x1,5 m

1 m

escala: 1 m = 10 cm

205

0,45 m

0,15 m

39A U L AObserve a ilustração abaixo. Nela, um homem foi desenhado maior do que

o outro para dar a impressão de que está mais perto de nós. Como vemos ohomem �menor� sob um ângulo de visão menor, nosso cérebro interpretaa cena como se esse homem estivesse mais afastado do que o primeiro.

Podemos concluir que o ângulo de visão que temos de um objeto dependeda distância desse objeto e da posição que estamos em relação a ele. E nossoângulo de visão máximo, sem mexer a cabeça, é de 180º.

Os ângulos e a semelhança

Na Aula 21, você estudou semelhança de figuras planas. Relembre agora oimportante papel que os ângulos exercem no caso de figuras semelhantes.

Sempre que dois polígonos são semelhantes, seus ângulos sãoiguais e seus lados são proporcionais e vice-versa.

Observe os polígonos abaixo.Como são polígonos semelhantes, você pode medir os ângulos correspon-

dentes em cada par e verificar que suas medidas são iguais.

39A U L A Mas será que a recíproca é verdadeira? Ou seja, será que, sempre que os

ângulos forem iguais, os polígonos serão semelhantes?Não! Basta verificar que isso não vale para um exemplo. Veja:

Um quadrado e um retângulo não são semelhantes.No entanto, ambas as figuras possuem quatro ângulos retos.

Mas existe um caso especial. Quando o nosso polígono forum triângulo é verdadeiro afirmar que se os três ânguloscorrespondentes de dois triângulos são iguais, então ostriângulos são semelhantes.

Podemos verificar este fato construindo pares de triângu-los com ângulos iguais. Observe o exemplo seguinte.

EXEMPLO 5

Construa dois triângulos diferentes com ângulos medindo 50º, 60º e 70º.

Vamos construir o primeiro triângulo e chamá-lo de ABC. Desenhamos umsegmento qualquer que será sua base AB. Usando o transferidor, marcamosem A um ângulo de 50º e em B um ângulo de 60º. Traçando as semi-retas queformam o segundo lado de cada um desses ângulos, o ponto onde elas seencontram é o vértice C do triângulo ABC.Verifique que o ângulo com vértice em C mede 70º.

(50º + 60º + 70º = 180º)

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Vamos agora utilizar o mesmo processo para desenhar outro triângulo MNPcom ângulos de 50º, 60º e 70º. Já que queremos um triângulo diferente,vamos começar com uma base maior.

Agora, medindo os lados dos dois triângulos podemos verificar que sãoproporcionais. Dobramos o comprimento da base, e os outros 2 lados, automa-ticamente, dobraram suas medidas.

2 cmA

50

B2 cmA 2 cmA

50

B

C

60

4 cmM

50

N

P

60

70

4 cmM

50

N


Use o transferidor e meça os ângulos abaixo:

a) b) c)

Exercício 2Desenhe ângulos conforme o que se pede:a) agudob) retoc) obtusod) raso

Exercício 3Utilize o mapa do Exemplo 2 e determine os ângulos das rotas abaixo:a) Rio- Vitória;b) Rio- São Paulo

Exercício 4No mesmo mapa, podemos observar que a rota Rio- Belém é de 15º. Se opiloto errar e marcar nos aparelhos uma rota de 150º, o que acontece?

Exercício 5Observe a bússola da figura e descubra, usando um transferidor, a quantosgraus correspondem as direções NE (Nordeste), SE (Sudeste), NW (Noroes-te), SW (Sudoeste).

Exercício 6Construa um triângulo MNP semelhante a qualquer triângulo cujos ângulosmeçam 110º, 30º e 40º.

Exercício 7Determine o ângulo suplementar (ou o suplemento) de:a 120ºb) 43º

Exercício 8Determine o ângulo complementar (ou o complemento) de:a) 37ºb) 25º

Exercícios

Estasabreviaturas notexto referem-se àbússola, quesempre traz asdireções em inglês.

N

S

EO

NE

SESO

NO

41A U L A

41A U L A

Triângulos

O triângulo é uma figura geométrica muitoutilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos detriângulo. Observe na armação do telhado os tipos diferentes que você podeencontrar. Tente contar quantos triângulos existem nessa armação.

Você já sabe que o triângulo é uma figura geométrica de:

Para pensar

lado

lado

vértice

vérticelado

vértice

®ângulos®®

Nossa aula

41A U L APara falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma conven-

ção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles sãopontos do plano. E assim temos, por exemplo:

l Os pontos A, B e C são os vérticesvérticesvérticesvérticesvértices.l Os segmentos AB, BC e AC são os ladosladosladosladoslados.l Â, B e C são os ângulosângulosângulosângulosângulos do triângulo.

Você também já viu, na 1ª fase de seu curso, que:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.

Veja os exemplos abaixo:

Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre desco-brir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problemausando os mesmos exemplos acima.

45º

30º

60º 60º 60º

60º

90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º 90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º 60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º

45º

?

45º

30º

?

?

? ?

180º 180º 180º 180º 180º - (90º + 30º) = (90º + 30º) = (90º + 30º) = (90º + 30º) = (90º + 30º) == 180º = 180º = 180º = 180º = 180º - 120º = 120º = 120º = 120º = 120º == 60= 60= 60= 60= 60ººººº

180º 180º 180º 180º 180º - (90º + 45º) = (90º + 45º) = (90º + 45º) = (90º + 45º) = (90º + 45º) == 180º = 180º = 180º = 180º = 180º - 135º = 135º = 135º = 135º = 135º == 45º= 45º= 45º= 45º= 45º

O ângulo cuja medida édesconhecida mede 45º, pois équanto falta à soma dos outrosdois para completar 180º.

O resultado é encontradosubtraindo-se de 180º (total dasoma) a soma dos ângulos quevocê já conhece.

Neste exemplo, você nãoconhece nenhum dos três ângulos,mas sabe que os três possuemmedidas iguais. Basta então divi-dir o total por 3.

180º3

= 60º

A B

C

41A U L A Classificação dos triângulos

Como os triângulos não são todos iguais, podemos separá-los em grupos quetenham características comuns, ou seja, podemos classificá-los. Usam-se doistipos de classificação: pelos ângulos ou pelos lados.

Classificação quanto aos ângulos

Com um esquadro, verifique, nos exemplos acima, se os ângulos são agudos(menores que o ângulo reto), retos ou obtusos (maiores que o ângulo reto). Veja:

l O triângulo acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo possui os 3 ângulos agudos.

l O triângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo possui 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos.

l O triângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo possui 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.

Classificação quanto aos lados

Você pode confirmar com a régua as medidas dos lados destes triângulos:

l O triângulo equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero possui os 3 lados com a mesma medida.

l O triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles possui 2 lados com a mesma medida e o terceiro ladocom medida diferente.

l O triângulo escalenoescalenoescalenoescalenoescaleno possui os 3 lados com medidas diferentes.

acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo

A

AA

B B B CCC

3 cm 3 cm

3 cm 3 cm

4 cm 4 cm 4 cm3,5 cm

3 cm

41A U L A

3 cm 3 cm

3 cm

60º

60º 60º

A

B C

65º 65º

A

B C3 cm

3,5 cm 3,5 cm

ObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservações

1.1.1.1.1. Quando um triângulo é equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero ele é também equiânguloequiânguloequiânguloequiânguloequiângulo, isto é,seus três ângulos possuem a mesma medida.

2.2.2.2.2. No triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles, o lado que possui medida diferente é chama-do de basebasebasebasebase e os ângulos que os lados com medidas iguais formam coma base têm a mesma medida.

Construção de um triângulo pelas medidas de seus lados

Mesmo conhecendo as três medidas dos lados, nem sempre conseguimosconstruir um triângulo. Você pode usar palitos ou varetas de vários tamanhos ever o que acontece na prática.

Vamos mostrar com três exemplos algumas situações que você vai encontrarna prática. Você descobrirá que existe uma relação entre as medidas dos ladosque possibilita a construção de um triângulo. Vamos lá!


É possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 4 cm e 3 cm?

8 cm

3cm

4 cm

3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =

AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =

BC = base =BC = base =BC = base =BC = base =BC = base = 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm

3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm

(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°

B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°

41A U L A Observe que, se “fixarmos” nas extremidades do lado maior os lados

menores, não conseguiremos encontrar uma posição para que eles se encon-trem e formem um triângulo.Isso ocorre porque a soma das medidas dos lados menores (3 + 4 = 7) é menordo que a medida do lado maior (8): 8 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 4


Vamos tentar então aumentar um dos lados menores e verificar o queacontece. Façamos os lados medindo 8 cm, 4 cm e 4 cm.

Como no exemplo anterior se “fixamos” as extremidades para procurar aposição que formará o triângulo veremos que os dois lados menores (4 cm cadaum) só se encontrarão sobre o lado maior (8 cm). Isso ocorre porque: 8 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 4


Vamos agora utilizar lados com 8 cm, 5 cm e 4 cm.

Nesse caso é possível construir um triângulo, pois quando “giramos” oslados menores com extremidades presas no lado maior eles se encontramformando o triângulo. Note que: 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4 8 < 5 + 4

ConclusãoPara verificar a existência de um triângulo quando são conhecidas asmedidas de seus três lados, bastabastabastabastabasta verificar se a soma das medidas dosdois lados menores é maior que a medida do lado maior. Mais for-malmente dizemos que:

Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempremenor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

8 cm

4 cm 4 cm

8 cm

4 cm 5 cm


Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quantoaos lados.

a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)

c)c)c)c)c) d)d)d)d)d)

e) e) e) e) e) f) f) f) f) f)

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Use a régua para medir os lados dos triângulos abaixo e classifique-osquanto aos lados.

a)a)a)a)a) b) b) b) b) b) c) c) c) c) c)

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Use o transferidor (ou um ângulo reto qualquer), meça os ângulos e classi-fique os triângulos quanto aos ângulos:


Exercícios

4 cm

4 cm

3,2 cm

5,5 cm

4 cm

3,5 cm 3,5 cm

3,5 cm

3 cm

4 cm4 cm

7 cm

6,4 cm 3 cm

6 cm

6 cm

45º

45º

60º

60º 60º

20º

30º130º

110º35º 35º

30º

60º70º

60º

50º

c) c) c) c) c)


Determine a medida do terceiro ângulo:

a)a)a)a)a) b) b) b) b) b) c) c) c) c) c)

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo?

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quantomede o outro ângulo?

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 110º. Quanto medem osoutros dois ângulos?

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Observe a figura abaixo. O ângulo marcado com a letra aaaaa, obtido quandoprolongamos um dos lados do triângulo, é chamado ângulo externoângulo externoângulo externoângulo externoângulo externo. Nesteexemplo,

a)a)a)a)a) Quanto mede aaaaa?b)b)b)b)b) Como você obteve essa medida?c)c)c)c)c) Que relação ela tem com os ângulos do triângulo?

Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9 Verifique se sua conclusão é válida para estes outros exemplos:


Exercício 10Exercício 10Exercício 10Exercício 10Exercício 10Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas abaixo:a)a)a)a)a) 7 cm, 10 cm e 15 cmb)b)b)b)b) 6 cm, 6 cm e 6 cmc)c)c)c)c) 4 cm, 5 cm e 10 cmd)d)d)d)d) 3 cm, 7 cm e 10 cm

50º

100º

30º

a

a 70º60º

50º

60º28º

?

?

?

43º 52º 70º 70º

40º

50º

a

42A U L A

42A U L A

A lei dos co-senos

Introdução Utilizando as razões trigonométricas nos tri-ângulos retângulos, podemos resolver vários problemas envolvendo ângulos elados. Esse tipo de problema é conhecido como resolução de triângulos. Conhe-cendo dois elementos de um triângulo retângulo, quase sempre podemosdeterminar os outros elementos, como veremos nos exemplos a seguir:

Conhecendo dois lados, e usando o Teorema de Pitágoras, determinamos amedida do terceiro lado:

b2 = 82 - 42

b = 64 - 16 = 48

b = 4 3 @6,92

Usando as razões trigonométricas e consultando a tabela trigonométrica,determinamos os ângulos agudos.

∃C = 90º - ∃B Þ ∃C = 30º

Se conhecermos um lado e um ângulo, poderemos determinar os outrosdois lados:

cos ∃B =48

=12

Þ ∃B = 60º

42A U L A

Sabendo que os ângulos agudos são complementares, determinamos o outroângulo: ∃C = 90º - ∃B Þ ∃C = 40º

Conhecendo os dois ângulos agudos, podemos construir vários triângulossemelhantes (com os mesmos ângulos). Portanto, essa é a única situaçãoindeterminada na resolução de triângulos retângulos.

A hipotenusa unitária

Vimos nas aulas anteriores que as razões trigonométricas de um ânguloagudo não dependem do triângulo retângulo escolhido. Na figura abaixo temos:

sen 50º =6a

Þ a =6

sen50º=

60,766

@7,83

tg 50º =6c

Þ c =6

tg50º=

61,192

@5,03

sena =b1

a1

=b2

a2

=b3

a3

=catetoopostohipotenusa

cosa =c1

a1

=c2

a2

=c3

a3

=catetoadjacente

hipotenusa

42A U L A Observamos que, para o cálculo do seno e do co-seno de um ângulo,

dividimos um dos catetos pela hipotenusa do triângulo retângulo correspon-dente. Já que podemos obter esse valor com qualquer um dos triângulossemelhantes, é muito prático trabalharmos com um triângulo retângulo cujahipotenusa seja igual a 1.

Apenas nesse caso, em que a hipotenusa do triângulo retângulo é igual a 1,podemos obter a medida dos catetos conhecendo seus ângulos agudos.

ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação

Para uma hipotenusa qualquer teríamos:

Veja, nos triângulos retângulos abaixo, a medida dos catetos:

a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)

x = sen 45º = 22 x = sen 30º = 1

2

y = cos 45º = 22 y = cos 30º = 3

2 @0,866

sena =b1

= b

cosa =c1

= c

42A U L AA variação do seno e do co-seno

Na figura a seguir, temos uma circunferência cujo raio é igual a 1 dm (umdecímetro). Para vários ângulos diferentes, podemos obter os valores do seno edo co-seno (em decímetros) apenas medindo os catetos dos triângulos formados.

BP = sen AÔP OB = cos AÔPCQ = sen AÔQ OC = cos AÔQDR = sen AÔR OD = cos AÔRe assim por diante...

A partir dessa figura, podemos concluir que:

I)I)I)I)I) Quanto maior o ângulo, maior a medida do cateto oposto (ou seja, maior ovalor do seno).

II)II)II)II)II) Quanto maior o ângulo, menor a medida do cateto adjacente (ou seja, menoro valor do co-seno).

Senos e co-senos de ângulos obtusos

42A U L A Para obtermos um ângulo a obtuso (maior que 90º), desenhamos um

triângulo retângulo (semelhante aos que desenhamos para os ângulos agudos doitem anterior) e, como estamos considerando a hipotenusa igual a um (1 dm),definimos que:

sen a = HM e cos a = OH

Note que o seno do ângulo obtuso a é igual ao seno do ângulo agudo180º - a e que o co-seno do ângulo a é do mesmo comprimento que o co-seno de180º - a. Entretanto, como está do “outro lado” em relação ao centro do círculo,terá sinal negativo.

Resumindo: sen a = sen (180º - a)cos a = - cos (180º - a)


a)a)a)a)a) 30º + 150º = 180º

sen 150º = sen 30º = 12

cos 150º = - cos 30º = - 32

b)b)b)b)b) 80º + 100º = 180º

sen 100º = sen 80º = 0,98481

cos 100º = - cos 80º = - 0,17365

c)c)c)c)c) 45º + 135º = 180º

sen 135º = sen 45º = 22

cos 135º = - cos 45º = - 22

Veja agora a relação entre lados e ângulos de um triângulo não-retângulo(acutângulo ou obtusângulo).

O triângulo acutângulo

No triângulo acutângulo ABC (que tem três ângulos agudos), traçamos umade suas alturas e obtemos dois triângulos retângulos:

o triângulo ABH e o triângulo ACH.

42A U L A

//

Chamando de xxxxx a medida de BH, a base BC do triângulo ABC fica divididaem dois segmentos de medidas xxxxx e a a a a a - x x x x x.

Usando o Teorema de Pitágoras em cada um dos triângulos retângulos, temos:

1º triângulo: b2 = h2 + (a - x)2

2º triângulo: c2 = h2 + x2

Subtraindo essas duas equações:

b2 - c2 = (a -x)2 - x2

b2 - c2 = a2 - 2ax + x2 - x2

b2 - c2 = a2 - 2ax

Sabendo que: cos ∃B = x6 Þ x = c · cos ∃B , efetuamos a substituição:

b2 - c2 = a2 - 2ac cos ∃B

Logo, b2 = a2 + c2 - 2ac cos ∃B

Da mesma forma, podemos achar ccccc, conhecendo a medida dos doisoutros lados e seu ângulo oposto. Para isso, fazemos HC medindo xxxxx e BHmedindo a a a a a - x x x x x.

c2 = h2 + (a - x)2

- b2 = h2 + x2

.c2 - b2 = (a - x)2 - x2

c2 - b2 = a2 - 2ax

Como xxxxx agora é igual a bcos ∃C , temos: c2 = a2 + b2 - 2ab cos ∃C

Para obter uma expressão para o cálculo de aaaaa, podemos traçar outra alturahhhhh do triângulo ABC, relativa ao lado AC.

a2 = h2 + (b - x)2

- c2 = h2 + x2

.a2 - c2 = (b - x)2 - x2

a2 - c2 = b2 - 2bx e x = c · cos Â

a2 = b2 + c2 - 2bc cos Â

42A U L A Resumindo:Resumindo:Resumindo:Resumindo:Resumindo:

Num triângulo acutângulo, valem as relações:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos Âb2 = a2 + c2 - 2ac cos ∃Bc2 = a2 + b2 - 2ab cos ∃C

Ao transformar um triângulo retângulo num triângulo acutângulo, o ânguloreto diminui e, conseqüentemente, o lado oposto também diminui.

Observe as figuras:

Triângulo retângulo Triângulo acutângulo

a2 = b2 + c2 a2 < b2 + c2

a2 = b2 + c2 - 2bc cos Â

O triângulo obtusângulo

Veja o que ocorre quando um triângulo retângulo se transforma numtriângulo obtusângulo:

a2 = b2 + c2 a2 > b2 + c2

Procedendo como no caso do triângulo acutângulo, descobrirmos de quantoa soma bbbbb22222 + c + c + c + c + c22222 precisa ser acrescida para se igualar a aaaaa22222.

Para vocêsaber mais

42A U L AA fim de facilitar a visualização, vamos girar o triângulo obtusângulo,

colocando o lado AC como base:

Traçando a altura relativa ao lado AC, formamos um novo segmento AH,que mede xxxxx e dois triângulos retângulos: triângulo BHA e triângulo BHC.

Usando o Teorema de Pitágoras nos triângulos BHA e BHC e subtraindo asequações obtidas, temos:

a2 = h2 + (b +x)2

- c2 = h2 + x2

.a2 - c2 = (b + x)2 - x2

a2 - c2 = b2 + 2bx ® a2 = b2 + c2 + 2bx

No triângulo retângulo triângulo BHA, temos cos (180º - Â) = xc

logo x = cos (180º - Â)

cos (180º - Â) = - cos Â

x = - c cos Â

Substituindo xxxxx na equação:

a2 = b2 + c2 + 2b (- c · cos Â) ou

a2 = b2 + c2 - 2bc cos Â

Assim, concluímos que as expressões obtidas para triângulos acutângulossão válidas para triângulos obtusângulos.


Uma pessoa viajou de A para C passando por B. De A até B, percorreu25 km e de B até C, 42 km. Os percursos AB e BC formam entre si um ângulode 150º. Se fosse possível ir em linha reta de A para C, qual seria a economia dequilometragem?

Solução:Solução:Solução:Solução:Solução:

x2 = 252 + 422 - 2 · 25 · 42 · cos 150º

x2 = 625 + 1764 - 2 · 1050 (- cos 30º)

x2 = 2389 + 2100 · 0,866

x2 = 2389 + 1818,6

x2 = 4207,6

x @ 65 km

Indo de A para C, passando por B, gasta-se 25 + 42 = 67 km; e de A para Cem linha reta, aproximadamente, 65 km. Desse modo, a economia de quilome-tragem seria de 2 km.


Se o ângulo entre as direções AB e BC fosse menor, o caminho direto seriamais vantajoso?


Vejamos, como exemplo, duas situações:

a)a)a)a)a) Se o ângulo for reto:

x2 = 252 + 422

x2 = 625 + 1764

x2 = 2389

x @ 49 km

67 km - 49 km = 18 km

Seriam economizados 18 km.

42A U L Ab)b)b)b)b) Se o ângulo for agudo igual a 60º:

x2 = 252 + 422 - 2 · 25 · 42 · cos 60º

x2 = 625 + 1764 - 2 · 100 · 12

x2 = 1239

x @ 35 km

67 km - 35 km = 32 km

Seriam economizados 32 km.

Quanto menor o ângulo entre AB e BC, melhor seria ir direto de A para C,pois essas cidades seriam mais próximas e a diferença entre os dois percursosaumentaria.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Dados os seguintes elementos de um triângulo ABC: Â = 30º, AB = 8 m,CB = 5 m. Calcule AC.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Os lados de um triângulo medem 5 cm, 7 cm e 10 cm.a)a)a)a)a) Classifique esse triângulo quanto aos ângulos.b)b)b)b)b) Obtenha o valor aproximado do maior ângulo do triângulo.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Determine:a)a)a)a)a) sen 120ºb)b)b)b)b) cos 120ºc)c)c)c)c) sen 95ºd)d)d)d)d) cos 95º

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Nos triângulos retângulos abaixo, determine as medidas dos catetos.a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Complete com = , > ou <.

a)a)a)a)a) sen 30º .......... sen 45ºb)b)b)b)b) cos 30º .......... cos 45ºc)c)c)c)c) sen 70º .......... sen 110ºd)d)d)d)d) cos 70º .......... cos 110ºe)e)e)e)e) sen 70º .......... cos 20ºf)f)f)f)f) cos 30º .......... sen 60ºg)g)g)g)g) cos 120º .......... cos 150ºh)h)h)h)h) sen 130º .......... sen 100º

Exercícios

42A U L A

No mosaico acima, podemos identificar duas figuras bastante conhecidas:o quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado, de dois tamanhos diferentes, e o retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo.

As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portantomedem 90º cada um.

Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem doispares de lados iguais chamados lados opostoslados opostoslados opostoslados opostoslados opostos.

Vejamos como se representam as observações acima:

No quadrado ABCD: AB = BC = CD = AD _ lados iguaisÂ = B = C = D _ ângulos iguais

No retângulo EFGH: EF = GH _ lados opostos iguais FG = EH _ lados opostos iguais Ê = F = G = H _ ângulos iguais

O quadrado e outrosquadriláteros

42A U L A

Para pensar

A D

B C

E

F G

H

Nossa aula

42A U L A

S

U

TR

N

M P

O

}

}

Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro ladostambém conhecida:

Essa figura, chamada losangolosangolosangolosangolosango, possui os quatro lados iguais e dois pares deângulos iguais, os ângulos opostos.

No losango RSTU:

RS = ST = TU = UR _ lados iguaisR = T _ ângulos opostos iguaisS = U _ ângulos opostos iguais

Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulosiguais é o paralelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramo. Note que seus lados opostos são iguais dois a dois,como no retângulo.

No paralelogramo MNOP:

MN = OP dois pares de ladosNO = MP opostos iguais

M = O dois pares de ângulosN = P opostos iguais

Todas as figuras apresentadas nesta aula são chamadas de quadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláteros(quadri = quatro e láteros = lados).

Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras:

´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´ ´

´ ´ ´

Observe que na 3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas asfiguras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Porisso, são chamadas de paralelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramos. Portanto:

Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresde lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.

44444 LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS

IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS

APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS

OOOOOPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS

22222 PARESPARESPARESPARESPARES DEDEDEDEDE

LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS

PARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOS

44444 ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS


APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS

ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS

OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS

42A U L A

A B

C D G H

E F

L M

I J

DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS


DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS

DESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAIS

A

B

D

C

O trapéziotrapéziotrapéziotrapéziotrapézio não é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas umapenas umapenas umapenas umapenas umpar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelos, que chamamos de basesbasesbasesbasesbases. Veja alguns tipos detrapézio:

O trapézio 11111 tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maiorbase maiorbase maiorbase maiorbase maior e CDa base menorbase menorbase menorbase menorbase menor. Os outros dois lados não são paralelos mas são iguais, isto é,AC = BD. Esse é o trapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isósceles.

O trapézio 22222 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto,ângulos retos Ê e G. Esse é o trapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulo.

O trapézio 33333 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ¹ JM. Esseé o trapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escaleno.

Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com aclassificação dos triângulos vista na aula anterior, lembra-se? Assim fica fácillembrar de nomes novos.

Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nostriângulos: a diagonal.

Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligadois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.

No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Vejaa figura:

AC e BD são as diagonais

No retângulo as diagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguais e se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meio.Faça você as outras figuras (paralelogramos) e conclua as propriedades

das diagonais.Confira suas conclusões com a tabela abaixo.

´ ´ ´

´ ´

´ ´ ´

´ ´

Observe que na 4ª coluna aparece a propriedade comum às diagonais dosparalelogramos:

As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.

(1) (2) (3)

DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS

PERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARES

DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE SESESESESE

CORTAMCORTAMCORTAMCORTAMCORTAM AOAOAOAOAO MEIOMEIOMEIOMEIOMEIO

42A U L A Soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer

Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é180º.

Um quadrilátero é convexo quando uma das diagonais fica totalmente nointerior do quadrilátero, como na figura.

Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica divididoem dois triângulos:

A soma dos ângulos do triângulo LMO, assim como a soma dos ângulos dotriângulo LNO, é igual a 180º.

Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dosângulos do quadrilátero. Portanto, 180º + 180º = 360º.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º

Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidadeque a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a180º e que a dos quadriláteros convexos vale 360º, como nas figurasabaixo.

L

M

O

N

1

2 3

1

2 31

2 3

1

23

4 4

32

1

1

23

4

42A U L AExercícios

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Como se chama o quadrilátero:

a)a)a)a)a) Que possui os lados opostos iguais?

b)b)b)b)b) Que possui somente um par de lados paralelos?

c)c)c)c)c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º?

d)d)d)d)d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Complete a tabela com o que se pede:

FIGURASFIGURASFIGURASFIGURASFIGURAS GEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICAS PONTOSPONTOSPONTOSPONTOSPONTOS EMEMEMEMEM COMUMCOMUMCOMUMCOMUMCOMUM DIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇAS

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Desenhe:

a)a)a)a)a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado.Diga seu nome.

b)b)b)b)b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado.Diga seu nome.

c)c)c)c)c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome.

d)d)d)d)d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio mas não são iguais.


Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados.

Temos um quadrado de 2 · 2 e 4 quadrados de 1 · 1.

Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados:


Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este:

a) a) a) a) a) Recorte-os.b)b)b)b)b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado

do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo quevocê recortou.

c)c)c)c)c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeçacom 5 peças.

Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:l Construa com 2 peças do seu quebra-cabeça:

− um paralelogramo;− um retângulo.

l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.l Com 3 peças de seu quebra-cabeça, forme:

− um paralelogramo;− um retângulo.

l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.l Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em

papel quadriculado.

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule osoutros três ângulos.

43A U L A

Polígonos e mosaicos

43A U L A

Para pensarA regularidade de formas encontradas nanatureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Aoobservar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas.

Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos demel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço.

Exemplos da aplicação do formato das colméias são blocos de calçamentoe suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas alcóolicas em adegas.

Esse mesmo formato também éencontrado na cabeça de um tipo deparafuso chamado pelos mecânicos etécnicos de parafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavado.

Na geometria, parte da Matemá-tica que estuda as figuras, essa formaé chamada de hexagonalhexagonalhexagonalhexagonalhexagonal.

43A U L A O hexágono e as outras formas geométricas

No revestimento de pisos e paredes de uma casa muitas vezes usamosladrilhos (lajotas ou azulejos) de diferentes formatos, além da forma hexagonal.Veja os desenhos:

As figuras que aparecem nesses revestimentos são chamadas, pela Matemá-tica, de polígonospolígonospolígonospolígonospolígonos. Os polígonos são figuras geométricas planas e podem serclassificados como regularesregularesregularesregularesregulares ou irregularesirregularesirregularesirregularesirregulares. No quadro abaixo, apresentamosalguns exemplos.

Nossa aula

Formato hexagonalFormato hexagonalFormato hexagonalFormato hexagonalFormato hexagonal Formato quadrangularFormato quadrangularFormato quadrangularFormato quadrangularFormato quadrangular

Formato retangularFormato retangularFormato retangularFormato retangularFormato retangular Composição entre formatosComposição entre formatosComposição entre formatosComposição entre formatosComposição entre formatosquadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonalquadrangular e hexagonal

POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS REGULARESREGULARESREGULARESREGULARESREGULARES: : : : : LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEEÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA

POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS IRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARES: : : : : LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEEÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS NÃONÃONÃONÃONÃO TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA

triângulo quadrado

hexágono

decágonoeneágono

pentágono

triângulo quadrilátero

pentágono

hexágono heptágono

heptágono octógono

43A U L A

ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoSe você traçar as diagonais dos polígonos anteriores, vai perceber que,em alguns, elas ficam no interior e, em outros, ficam no exterior dopolígono. Veja o exemplo:

Quando um polígono possui todas as suas diagonais na parte interior, eleé chamado de polígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexo. E quando pelo menos uma diagonalfica na parte exterior, ele é chamado de polígono não convexo polígono não convexo polígono não convexo polígono não convexo polígono não convexo oucôncavocôncavocôncavocôncavocôncavo.

A soma dos ângulos de um polígono

Num polígono o número de lados é sempre igual ao número de ângulos.

Na Aula 41 você aprendeu que a soma dos ângulos internos de umtriângulo é igual a 180º. Agora vamos ver como calcular a soma dos ângulosde um polígono qualquer, como por exemplo do:

Pentágono (polígono de 5 lados)

Vamos desenhar um pentágono convexo qualquer, escolher um de seusvértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostra a figura:

Observe que, ao fazermos isso, o pentágono ficou dividido em três triân-gulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos é igual a 180º, então paracalcular a soma dos ângulos do pentágono podemos fazer: 3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º.Portanto:

A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é iguala 540º.a 540º.a 540º.a 540º.a 540º.

Todas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais nointerior do polígono.interior do polígono.interior do polígono.interior do polígono.interior do polígono.

Pelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonalPelo menos uma diagonalno exterior do polígono.no exterior do polígono.no exterior do polígono.no exterior do polígono.no exterior do polígono.

43A U L A Hexágono (polígono de 6 lados)

Agindo de forma análoga, observamos que as diagonais dividem o hexá-gono convexo em quatro triângulos:

Nesse caso, a soma total é calculada assim: 4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º. Portanto:

A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é iguala 720º.a 720º.a 720º.a 720º.a 720º.

Esse processo também pode ser aplicado a outros polígonos convexos, de7, 8, 9 ou mais lados. Experimente!

Os ângulos do hexágono regularObserve a figura abaixo:

Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobreporou deixar vãos. A esse tipo de composição costuma-se dar o nome de mosaicomosaicomosaicomosaicomosaico.

Neste mosaico, cada um dos vér-tices é vértice de três hexágonos aomesmo tempo, como mostra a figuraao lado. Todos os hexágonos são regu-lares, isto é, possuem lados e ângulosde mesma medida, o que significa queÂ = B = C. Além disso, a soma dessestrês ângulos é igual a 360°, ou seja,eles formam um ângulo de uma voltacompleta: Â + B + C =360° . Então, cadaum desses ângulos éigual a 360°¸ 3 =120º.

Você poderá chegar a essa mesma conclusão de outra maneira. Você acaboude aprender que a soma dos ângulos internos de um hexágono qualquer é iguala 720º. No caso do hexágono regular, basta fazer 720º 720º 720º 720º 720º ¸ 6 6 6 6 6, isto é, 1 2 0 º1 2 0 º1 2 0 º1 2 0 º1 2 0 º.

Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Esse processo é válido também para outros polígonos regulares.

Â B

C

43A U L A

Você já viu que é possível revestir o piso ou as paredes de uma casa comladrilhos de um único tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipo. Podemos revestir uma parede usando, por exemplo,apenas ladrilhos quadrados ou, então, usando só ladrilhos com a forma dehexágonos regulares.

Será que é possível revestir uma paredeusando apenas ladrilhos com a forma depentágonos regulares? Você pode responder aessa pergunta fazendo o seguinte: recorte emuma folha de papel vários pentágonos iguaisao que está na figura ao lado. Em seguida, tenteajustá-los como se fossem ladrilhos. Será quevocê vai conseguir um encaixe perfeito?

Já sabemos que é possível revestir umaparede usando apenas ladrilhos quadrados,pois os ângulos dos quadrados se encaixamperfeitamente, sem que haja sobra. Isso acon-tece porque cada um destes ângulos é igual a90º, e 90 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 360.

Já sabemos também que é possível revestir uma parede usando apenasladrilhos em forma de hexágonos regulares, pois os ângulos dos hexágonosregulares encaixam-se perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porquecada um desses ângulos é igual a 120º, e 120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360.

Portanto, para saber se é possível fazer revestimentos usando apenasladrilhos com a forma de pentágonos regulares, devemos calcular a medida dosângulos de um pentágono regular e, em seguida, verificar se essa medida é ounão um divisor de 360.

Lembre-se de que a soma dos ângulos deum pentágono dá 540º . Quando umpentágono é regularregularregularregularregular, todos os seus 5 ângulossão iguais (veja a figura ao lado). E, se a somadesses ângulos dá 540º, cada um deles é iguala 540º ¸ 5, ou seja, 108º. Vamos verificar entãose 108 é ou não um divisor de 360. Temos:

A divisão não é exata e, portanto, 108 não é108 não é108 não é108 não é108 não édivisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360. Haverá, então, sobra quandotentarmos encaixar os pentágonos regulares.Logo, não é possível fazer revestimentos usan-do apenas ladrilhos com a forma de pentágonosregulares, como se pode ver na figura acima.

Texto extraído do Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1 Jornal do Telecurso 1º Grau Grau Grau Grau Grau. Fundação Roberto Marinho, Ministé-rio da Educação e Cultura e Fundação Universidade de Brasília, 1989.

360 108360 108360 108360 108360 108 36 3 36 3 36 3 36 3 36 336º

108º 108º

108º

Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?

43A U L A Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!

Num artigo da Revista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de Matemáticaaaaa - nº 4, osprofessores Imenes e Jakubovic escreveram sobre o formato dos para-fusos, apresentando algumas questões interessantes:

1.1.1.1.1. “Num parafuso, o polígono presente é sempre regular.”Isso se dá por uma razão simples: seria muito inconveniente apertare desapertar um parafuso que não fosse regular, pois a chave precisa-ria ser especial para aquele parafuso e ela voltaria a se encaixarsomente após uma rotação de 360º, como mostra a figura:

2.2.2.2.2. “O parafuso mais conveniente é o sextavado.”

“Com o parafuso sextavado, completamos um passo da rosca apósseis movimentos de 60º cada um.

Quando um mecânico está consertando um defeito qualquer numamáquina, por exemplo num automóvel, muitas vezes ele tem poucoespaço para trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Poressa razão, dos três parafusos apresentados, o mais cômodo é ohexagonal, pois é o que pode ser apertado ou desapertado com girosmenores (60º), isto é, com movimentos mais curtos do braço.”

Parafuso sextavadoParafuso sextavadoParafuso sextavadoParafuso sextavadoParafuso sextavado Outros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusos

60º


Reproduza estas malhas, crie um padrão e forme um mosaico com ele.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Descubra a medida dos ângulos das figuras abaixo. Observe que:l a primeira é um pentágono formado por um triângulo equilátero e um

quadrado;l a segunda é um losango formado por dois triângulos equiláteros.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3O losango é um polígono regular? Por quê?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4O octógono é um polígono de 8 lados. Desenhe um octógono, escolha umde seus vértices e trace todas as diagonais que “saem” desse vértice.Depois,responda às perguntas:

a)a)a)a)a) Em quantos triângulos o octógono ficou dividido?

b)b)b)b)b) A soma dos ângulos de todos esses triângulos é igual à soma dosângulos desse octógono?

c)c)c)c)c) Quanto dá, então, a soma dos ângulos de um octógono?

O Exercício 4 foi extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau. Fundação Roberto Marinho,Ministério da Educação e Cultura, Fundação Universidade de Brasília,1989.

Exercícios


Ao desenhar um polígono, podemos, em geral, escolher um dos vértices etraçar as diagonais que “saem” desse vértice, como mostram as figuras:

Agora, com base nessa informação, complete a tabela abaixo:

NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE SOMASOMASOMASOMASOMA DEDEDEDEDE

LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS DODODODODO DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE TRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOS TODOSTODOSTODOSTODOSTODOS OSOSOSOSOS ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS

POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO “““““ SAEMSAEMSAEMSAEMSAEM” ” ” ” ” DEDEDEDEDE FORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOS DODODODODO POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO

CADACADACADACADACADA VÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICE

3 0 1 180º

4 1 2 360º

5

6

7

8

9

10

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Após preencher a tabela, observe-a com bastante atenção e responda: existeuma relação entre “o número de lados do polígono” e “o número detriângulos formados”? Qual é essa relação?

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Imagine um polígono com nnnnn lados, sendo nnnnn um número inteiro e maior que3. Escolha um de seus vértices e imagine-se traçando todas as diagonais que“saem” desse vértice.a)a)a)a)a) Escreva uma expressão que indique o número de triângulos formados

nesse polígono de nnnnn lados que você imaginou.b)b)b)b)b) Escreva uma expressão que indique como você poderia calcular a soma de

todos os ângulos desse polígono de nnnnn lados.

44A U L A

Observe o texto abaixo. Ele foi extraído deum livro de geometria chinês. Veja se, mesmo sem saber chinês, vocêconsegue entender o tema do texto, ou seja, sobre o que o texto fala. O queestá sendo demonstrado?

44A U L A

A linguagemmatemática

Para pensar

44A U L A Ao procurar num dicionário a palavra linguagemlinguagemlinguagemlinguagemlinguagem, você encontra várias

definições. Veja duas delas, encontradas no Novo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua Portuguesa:

linguagem.linguagem.linguagem.linguagem.linguagem. 1. 1. 1. 1. 1. O uso da palavra articulada ou escrita como meio deexpressão ou da comunicação entre pessoas. 2.2.2.2.2. O vocabulário especí-fico usado numa ciência, numa arte, numa profissão etc.

Como você pode ver, a linguagem é uma forma de expressar determi-nada idéia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar asidéias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc.

A Matemática também criou uma forma de comunicação. Ela se utilizade uma linguagem universal para transmitir suas idéias de maneira simples,curta e precisa.

l Simples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressarfrases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade desímbolos. Por exemplo, a frase:

Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,

se escrita na linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, quepodem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com ossímbolos matemáticos:

2 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 5

l PrecisaPrecisaPrecisaPrecisaPrecisa porque deve indicar uma idéia com precisão, com exatidão, isto é,sem falhas.

O uso de letras na Matemática

Além dos algarismos e dos sinais de operação (+, -, ´, ¸ : , , etc), alinguagem matemática também utiliza letras em sua comunicação. Veja algunsexemplos:


Considere as multiplicações do múmero 1 por outros números:

1 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 3

Você já deve ter percebido que o número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse número. Daí, podemos usar uma letra pararepresentar esse fato:

11111 ..... x = x x = x x = x x = x x = xonde a letra xxxxx está representando um número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquer.

Nossa aula

44A U L A

As propriedades da adição ou da multiplicação também podem ser expressaspor letras. É o caso, por exemplo, da propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-cação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adição, que você já aprendeu e que pode ser representadapor:

a a a a a ····· (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a ····· b + a b + a b + a b + a b + a ····· c c c c c

onde as letras aaaaa, b b b b b e c c c c c representam números quaisquer.

Vejamos agora uma outra situação. Observe:

0 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 02 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 2

Será que esses exemplos são suficientes para afirmar que x + x = x ..... x?Basta escolher um exemplo bem simples para verificar que nãonãonãonãonão: 1 + 1 nãoé igual a 1 ..... 1.Portanto, como esse fato não é válido para qualquer número, não podemosescrever que x + x = x ····· x.

O uso de letras na geometria

As letras também podem ser usadas para indicar algumas “fórmulas” dageometria. Por exemplo:

l A área de um quadrado pode ser expressa por l ²² , onde l representa o ladodesse quadrado.

l A área de um retângulo pode ser expressa por a · ba · ba · ba · ba · b, onde aaaaa e bbbbb representamas dimensões do retângulo. O perímetro do retângulo pode ser expressopor 2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b ou 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b).

l A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode serexpressa por (n (n (n (n (n - 2) · 180º 2) · 180º 2) · 180º 2) · 180º 2) · 180º. Volte à Aula 43 e veja o que significam a letrannnnn e a expressão n n n n n - 2 2 2 2 2.

lado = = = = = lárea = = = = = l . . . . . l = = = = = l ²

l

l

Considere dois números quaisquer cuja soma seja igual a 5.Esse fatopode ser representado por: a + b = 5

onde a e b representam os números que somados dão 5.



44A U L A A linguagem matemática e a resolução de problemas

A linguagem matemática tornou-se, hoje em dia, um instrumento impor-tante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir os dados do problemaque estão em linguagem corrente, ou seja, podemos equacionarequacionarequacionarequacionarequacionar o problema.Nos exemplos seguintes, há uma tabela com o problema em linguagem correntee sua tradução para a linguagem matemática. Veja:


A metade de um número é igual a 6.

Qual é esse número ? x = ?

A solução desse problema é a solução da equação matemática x2

= 6 . Nomomento, nãonãonãonãonão vamos aprender a resolver equações. Nosso objetivo,agora, é apenas saber o que é o que é o que é o que é o que é e para que servepara que servepara que servepara que servepara que serve a linguagem matemá-tica.

Uma pessoa tinha uma determinada xquantia de dinheiro.

No primeiro mês gastou 100 reais. x - 100

No segundo mês gastou metade doque sobrou,

ficando com 80 reais. 80

Qual era a quantia inicial? x = ?

Para descobrir o valor de xxxxx, basta resolver a última equação. Mas, como jádissemos, esse não é o nosso objetivo no momento.

x2

= 6

EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA

EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA

x = 100 +x - 100

2+ 80

{ { {

gastou no1º mês

gastou no2º mês

sobrou

x - 1002



Escreva as seguintes frases em linguagem matemática:

a)a)a)a)a) O dobro de um número.

b)b)b)b)b) O triplo de um número.

c)c)c)c)c) Um número menos sete.

d)d)d)d)d) Metade de um número, mais um.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Como você escreveria em linguagem matemática as frases seguintes?

a)a)a)a)a) A ordem dos fatores não altera o produto.

b)b)b)b)b) A ordem das parcelas não altera a soma.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Considere um retângulo cujo perímetro é 20 cm.

a)a)a)a)a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para representaresse fato.

b)b)b)b)b) Dê alguns exemplos para as medidas das dimensões desse retângulo.

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Complete a frase:

Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se opreço é xxxxx, pagamos ........................

Exercícios

45A U L A

45A U L A

O círculo e o número p

O círculo é uma figura geométrica bastan-te comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circularesestão presentes: nas moedas, nos discos, à mesa de refeição...

Agora pense, o que você faria para:l riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?l desenhar um círculo no seu caderno?l marcar o limite das escavações de um poço no chão?

Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessafigura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequenadistinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvidofalar.

A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculocírculocírculocírculocírculo.Quando riscamos no papel ou no chão

apenas o contorno do círculo, este con-torno é chamado circunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferência.

O compasso compasso compasso compasso compasso é um instrumento utili-zado para desenhar circunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferências.Como você pode ver na figura ao lado, ocompasso possui duas “pernas”. Umadelas tem uma ponta metálica, que deveser assentada no papel, no local que seráo centro centro centro centro centro da circunferência. A outra pon-ta, com o grafite, deve ser girada para

Para pensar

Nossa aula

45A U L Aobter o traçado da circunferência.

Antes de traçar uma circunferên-cia, devemos decidir qual será a aber-tura entre as pernas do compasso. Adistância entre as duas pontas do com-passo define o raio raio raio raio raio da circunferência.

Agora, pegue um compasso e traceuma circunferência. Repare que todosos pontos da circunferência que vocêriscou no papel estão a uma mesmadistância do centrocentrocentrocentrocentro. Essa distância éo raioraioraioraioraio.

Com essas informações, você consegue improvisar seu compasso. Utilizan-do uma tachinha, um barbante e um giz você pode riscar uma circunferência nochão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumamusar uma corda e duas estacas.

Algumas definições importantes

CordaCordaCordaCordaCorda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.DiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetro é uma corda que passa pelo centro centro centro centro centro da circunferência.

Observe que o diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passapelo centrocentrocentrocentrocentro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Veja a figura:

diâm

etro

cor

da

Raio

Raio

Diâmetro

rr

d

d = 2 . r

45A U L A

P

Q

®

Assim, se você precisar medir a maior distância entre dois pontos de umacircunferência, deve medir o diâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida(régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro centro centro centro centro da circunferência.

Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.Esta parte da circunferência, delimitada por dois pontos quaisquer, é chamadaarco arco arco arco arco de circunferência.

Para simbolizar a corda que une os pontosP e Q, utilizamos a notação de segmento de reta,ou seja, corda PQ.

Por outro lado, o arco também começa emP e termina em Q mas, como você pode ver, acorda e o arco são diferentes e por isso asimbologia também deve ser diferente. Para oarco, usamos PQ.

Da mesma forma que a maior corda é odiâmetro, o maior arco é aquele que tem asextremidades em um diâmetro. Esse arco échamado semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência, e a parte do cír-culo correspondente é chamada semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.

O comprimento da circunferência

Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior seráo seu comprimento. É fácil perceber isso. Imagine que você vai caminhar emtorno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metrosde diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.

No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no pontomarcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foiesticada.

Como já sabemos que o diâmetro e o comprimento de uma circunferênciaestão relacionados, vamos a seguir compará-los.

semicircunferência AB

diâmetro AB

arco

corda

_

45A U L A

ê

ê

Descobrindo uma relação

Usando diferentes objetos com a forma circular, vamor medir o comprimen-to das circunferências (das bordas) e de seus diâmetros. Tente medir objetoscirculares variados, como um copo ou uma mesa redonda.

Você pode estar se perguntando: “Mas como medir a linha curva?”.Um barbante ou uma fita métrica pode servir. Acompanhe este exemplo:

l Pegue um copo e um pedaço debarbante. Coloque o copo com aboca para baixo e contorne a bor-da do fundo do copo com o bar-bante. Marque com uma caneta oponto do barbante que toca o seucomeço. Então estique o barbantee meça com a régua o compri-mento do começo do barbanteaté a marquinha que você fez.

l No copo que nós utilizamos, essamedida foi de 15,5 cm ou 155 mm.

l Agora meça o diâmetro. Não es-queça que qualquer diâmetrotem a mesma medida e que odiâmetro passa pelo centro. Aquiobtivemos 4,9 cm ou 49 mm.

Para saber quantas vezes o comprimento da circunferência é maior que odiâmetro, vamos dividir a medida da circunferência pela medida do diâmetro.Usando uma máquina de calcular encontramos o seguinte resultado:

Observe que, nesse e nos próximos exemplos, utilizamos apenas duas casasdecimais no resultado das divisões.

Vamos repetir a experiência do copo com outros objetos do nosso dia-a-dia.

Medindo uma ficha telefônica,encontramos aproximadamente69 mm para o comprimento da circun-ferência e 22 mm para o diâmetro.

comprimentodiametro

=155mm49mm

= 3,16

comprimentodiametro

=69mm22mm

= 3,13

45A U L A

Um pouco deHistória

Observe as medidas que obtivemos com vários objetos:

tampo de mesa 3,10 m 1 m 3,10pires de xícara 47 cm 15 cm 3,13prato de refeição 73,5 cm 23,4 cm 3,14pirex de vidro 84,8 cm 27 cm 3,14fundo de copo 155 mm 49 mm 3,16ficha telefônica 69 mm 22 mm 3,13

Ao dividir a medida do comprimento da circunferência pela medida de seudiâmetro, encontramos sempre um número um pouco maior do que 3. Narealidade, esse número é sempre o mesmo e vale aproximadamente 3,143,143,143,143,14.

Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 emtodas as divisões. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatas exatas exatas exatas exatas comos métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproxi-madas, o resultado das divisões também é uma aproximação.

Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Esse é um resultado muito importante em Matemática. Esse númerotão útil e importante é chamado pipipipipi e simbolizado pela letra grega p (quejá existe em muitas calculadoras).

ConclusãoConclusãoConclusãoConclusãoConclusão

O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quandoconhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima.Note que d = 2r, logo:

Arquimedes, que viveu por volta de 287 a 212 anos antes de Cristo, foi umgênio da Matemática e da Física, além de grande construtor de máquinas deguerra. Ele desenvolveu muitos estudos para obter um cálculo aproximado de p.Sabia que a divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro éum número constante, qualquer que seja o tamanho da circunferência.

Para calcular o número p, Arquimedes aproximou polígonos por dentro epor fora da circunferência e mediu os perímetros. Quanto maior era o númerode lados do polígono mais ele se aproximava da medida da circunferência.

O valor utilizado para p foi, durante muitos anos, o número aproximadoobtido por Arquimedes: 22

7= 3,142857142857...

6 lados6 lados6 lados6 lados6 lados 8 lados8 lados8 lados8 lados8 lados 12 lados12 lados12 lados12 lados12 lados

comprimento da circunferênciadiâmetro da circunferência

=Cd

= p

OBJETOOBJETOOBJETOOBJETOOBJETO COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETROCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO

DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO

Cd

= p ®C2r

= p ® C = p ×2r ou C = 2p r

p

p_ p_ p . 2r p

45A U L APara você saber mais

Descobriu-se, posteriormente, que o número p não pode ser representadopor uma fração e que ele tem infinitas casas decimais. O número p é exemplo deum tipo de número chamado irracionalirracionalirracionalirracionalirracional.

Há cem anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou onúmero p com 707 casas decimais. Para realizar essa tarefa, precisou de 15 anos!

Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número pcom milhares de casas decimais em apenas alguns minutos.

p = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,1415926535897932384626433832795028...

Na prática, usa-se apenas 3,143,143,143,143,14 ou 3,14163,14163,14163,14163,1416 para aproximar o valor de p.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Usando um compasso, desenhe uma circunferência com um raio de 5 cm.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Usando um compasso, desenhe uma circunferência com diâmetro de 10 cm.

ExerExerExerExerExercício 3cício 3cício 3cício 3cício 3Desenhe duas circunferências com o mesmo centro e com os raios medindo4 cm e 6 cm. Qual delas tem o maior comprimento?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Numa bicicleta em que o raio da roda é de 26 cm, qual será, aproximada-mente, o comprimento da circunferência da roda?

EEEEExercício 5xercício 5xercício 5xercício 5xercício 5Medindo uma circunferência com fita métrica graduada obtivemos 62,8 cmde comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência?

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Complete a tabela abaixo:

RAIORAIORAIORAIORAIO = r= r= r= r= r DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO = d= d= d= d= d COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO = 2= 2= 2= 2= 2prrrrr2 4 4 . 3,14 = 12,56

1

5

18,84

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Se uma circunferência tem 18,84 m de comprimento, qual o comprimento dasemicircunferência dela obtida?

ExExExExExercício 8ercício 8ercício 8ercício 8ercício 8Agora imagine uma circunferência de 18,84 m de comprimento que foidividida em 4 arcos do mesmo tamanho. Qual o comprimento de cadaum dos arcos?

Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Numa circunferência de 1 cm de raio, quanto mede a maior corda quepodemos desenhar?

ExExExExExercício 10ercício 10ercício 10ercício 10ercício 10Desenhe uma circunferência e divida-a em apenas dois arcos.

Exercícios

46A U L A

46A U L A

Novamente frações

Para pensar Uma pessoa vai viajar para uma cidade a220 km de distância de onde mora. Planeja fazer duas paradas para descansar.

Quais serão as distâncias das paradas (incluindo a partida e a chegada),sabendo que elas deverão ser aproximadamente iguais? Faça um gráfico daestrada, marcando as paradas.

Sabemos que, quando dividimos um número inteiro por outro, podemosencontrar como quociente um número inteiro ou um número decimal. Porexemplo:

20 ¸ 5 = 4100 ¸ 40 = 2,5

Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 41 por 9:

41 9450 4,555......455045550455550 ....

Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o algarismo 5 no quociente,e o resto será sempre o mesmo (5).

Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, aparecerá no visor onúmero 4.5555555 (ou seja, 4,5555555). Nesse caso, o algarismo 5 aparecerepetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa máquina maior, encontra-remos um resultado com o algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou 11 vezes).

Concluímos, então, que a divisão de 41 por 9 nunca termina e que os pontosindicam que o algarismo 5 se repete indefinidamente.

O número 4,555... é chamado de dízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódica e o algarismo 5 é operíodoperíodoperíodoperíodoperíodo da dízima.

Podemos também representar a dízima periódica colocando um traço sobreo período: 4,5 .

Como essa dízima foi gerada pela divisão 41¸ 9, que pode ser escrita emforma de fração, como 41

9, dizemos que a geratrizgeratrizgeratrizgeratrizgeratriz da dízima periódica é a

fração 419

.

Nossa aula

46A U L A

®

®

Vejamos outros exemplos de geratrizes e as respectivas dízimas periódicas:

179

= 17 ¸ 9 = 1, 8 O período é 8,a parte inteira é 1.

733

= 7 ¸ 3 = 0, 21 O período é 21,a parte inteira é zero.

Nesses dois exemplos, os períodos períodos períodos períodos períodos aparecem logo após a vírgula. Elas sãochamadas de dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples dízimas períodicas simples.

As dízimas nas quais aparece um outro número entre a vírgula e o períodoperíodoperíodoperíodoperíodosão chamadas de dízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostas. Por exemplo:

1,4888 ... O período é 8,a parte não-periódica é 4,a parte inteira é 1.

0,3272727 ... O período é 27,a parte não-periódica é 3,a parte inteira é zero.

Os números que vimos até agora podem ter muitas representações, como:

l 5; V; 5,0; 51

; 102

...

l 0,8; 0,80; 8

10;

45

; 80

100 ...

l 0,666...; 69

; 23

; 8

12 ...

l 13

; 26

; 39

; 4

12 ...

Além disso, observamos que todos esses números podem ser representadosem forma de fração. Eles são chamados números racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionais.

Vamos conhecer, agora, um número diferente: um número decimal cominfinitas casas decimais mas sem um período. Veja este exemplo:

0,10110111011110 ....

Será que você pode concluir como serão as casas decimais seguintes?A parte decimal começa com 1 seguido de zero, depois 11 seguido de zero,

depois 111 seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o número nunca terá umfim nem um período. Ele não é um número racional.

Um número desse tipo é chamado de número irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracional. Um númeroirracional não é resultado de nenhuma divisão de números inteiros; ele não podeser escrito em forma de fração.

Você viu, na aula anterior, um número irracional muito conhecido, o número p,que vale aproximadamente 3,1416.

Você verá mais adiante, em outra aula, exemplos de números irracionais quesurgem naturalmente em muitos cálculos matemáticos.

®

®


Escreva a representação decimal de:

a)a)a)a)a) 1399

b)b)b)b)b) 720

c)c)c)c)c) 569

d)d)d)d)d) 6415

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Efetue as divisões com quociente decimal:

a) a) a) a) a) 1 ¸ 9 b)b)b)b)b) 2 ¸ 9 c)c)c)c)c) 3 ¸ 9

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado decimal de:

a)a)a)a)a) 4 ¸ 9 b) b) b) b) b) 5 ¸ 9 c)c)c)c)c) 6 ¸ 9

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Ao lado de cada número, escreva se sua representação decimal é finitafinitafinitafinitafinita,infinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódica ou infinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódica:

a) a) a) a) a) 175

c)c)c)c)c) 0, 35 e)e)e)e)e) 46

b)b)b)b)b) 3,45 d)d)d)d)d) 0,12131415... f)f)f)f)f) p

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Diga se estes números são racionaisracionaisracionaisracionaisracionais ou irracionaisirracionaisirracionaisirracionaisirracionais:

a)a)a)a)a) 4 c)c)c)c)c) 4,33 e)e)e)e)e) 4,330

b)b)b)b)b) 4,333 ... d) d) d) d) d) 1,010010001 ... f) f) f) f) f) 0

Exercícios

47A U L A

Números proporcionais

47A U L A

Para pensar

Nossa aula

20m?

=23

A distância entre Rio de Janeiro e São Pauloé de 400 km. Qual é a distância entre as duas cidades em um mapa feito naescala de 1 : 200.000?

Se uma caixa d’água produz uma sombra de 20 m e um homem com 1,80m de altura produz uma sombra de 1,20 m, medidas no mesmo local e na mesmahora, qual é a altura da caixa?

Comparando o comprimento da sombra do homem com sua altura, medidosem centímetros (cm), encontramos:

120180

=23

, depois de simplificar a fração.

A divisão é uma das formas que usamos para comparar dois números.Dizemos que a razãorazãorazãorazãorazão entre o comprimento da sombra e a altura do homem é de23

ou 2 : 32 : 32 : 32 : 32 : 3, que se lê 2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.

Como as medidas foram feitas na mesma hora e no mesmo local, a razão entreo comprimento da caixa d’água e sua altura também será 2

3.

A altura da caixa d’água é igual a 30 m, pois a razão 2030

é igual a 23

.

No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou maquetes de projetos, aescalaescalaescalaescalaescala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reaisque correspondem a ele.


A planta de uma sala retangular está desenhada na escala 1 : 100. Determi-ne as medidas reais dessa sala.

6 cm

8 cm

A razão entre as medidas que aparecem na planta da sala e as medidas reaisé de 1 : 100 1 : 100 1 : 100 1 : 100 1 : 100 ou 1

100 (lê-se 1 para 1001 para 1001 para 1001 para 1001 para 100), o que significa que as medidas reais são

100 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta.Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas daplanta por 100:

6 cm . 100 = 600 cm = 6 m

8 cm . 100 = 800 cm = 8 m1

As medidas reais da sala são, portanto, 6 m6 m6 m6 m6 m e 8 m8 m8 m8 m8 m.

O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse naplanta, como, por exemplo, largura e altura de portas e janelas.

Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Quando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, are lação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada de proporção,proporção,proporção,proporção,proporção, e dizemose dizemose dizemose dizemose dizemos

que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são que as quantidades medidas são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais.

escala: 1

100ou 1:100

47A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoapara percorrer 180 km com a mesma velocidade?

Essa igualdade é uma proporçãoproporçãoproporçãoproporçãoproporção, e os números que medem as distânciase o tempo são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempopara percorrê-la.Como calcular o número que não se conhece na proporção desse exemplo?Vamos recordar algumas proporções que já conhecemos:

a) a) a) a) a) 23

=69

b)b)b)b)b) 34

=2432

É fácil verificar que:

a)a)a)a)a) 2 . 9 = 18 b)b)b)b)b) 3 . 32 = 963 . 6 = 18, logo 2 . 9 = 3 . 6 4 . 24 = 96, logo 3 . 32 = 4 . 24

Acabamos de chegar a uma propriedade muito importante e bastante usadaem Matemática:

Numa proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãopelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.

Voltando ao exemplo, podemos agora determinar o termo desconhecido daproporção 120

2=

180?

.Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra x x x x x, que é usada em lugardo termo desconhecido (Aula 44),

1202

=180x

e aplicando a propriedade que vimos anteriormente:

120x = 2.180120x = 360

x = 360 : 120 (Aplicando operação inversa)x = 3

A pessoa levará 3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para percorrer os 180 km.

1202

=180

?


Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de números A e B. Completea tabela de modo que a razão de A para B seja sempre o número 6

7.

AAAAA BBBBB RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO AB

RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO AB

NANANANANA FORMAFORMAFORMAFORMAFORMA MAISMAISMAISMAISMAIS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES

a)a)a)a)a) 12 141214

67

b)b)b)b)b) 21

c)c)c)c)c) 30

d)d)d)d)d) 100

e)e)e)e)e) 100

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Numa sala de aula há 30 alunos, dos quais 12 são meninas:

a)a)a)a)a) Qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma?

b)b)b)b)b) Qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma?

c)c)c)c)c) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Determine o valor de x x x x x em cada uma das seguintes igualdades de modo queelas se tornem verdadeiras:

a)a)a)a)a) 208

=x6

b)b)b)b)b) 1430

=x90

c)c)c)c)c) x3

=7515

d)d)d)d)d) x4

=3627

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4A planta de uma casa foi feita em escala de 1 : 50. Quanto medirá na plantauma parede que mede 20 m?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Quanto custam 12 canetas se 4 custam R$ 3,50?SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Estabeleça o preço usando o conceito de proporção.

Exercícios

48A U L A

48A U L A

Introdução

O princípiomultiplicativo

Nossa aula

A palavra Matemática, para um adulto ouuma criança, está diretamente relacionada com atividades e técnicas para conta-gem do número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividadesmatemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos de umconjunto, enumerando seus elementos.

As operações de adição e multiplicação são exemplos de �técnicas� matemá-ticas utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira(adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda(multiplicação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituiradições de parcelas iguais.

A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante emMatemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativoconstitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que sejanecessário enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos).

Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória.A partir desta aula, aprofundaremos o estudo dessa parte da Matemática.

EXEMPLO 1

Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

Solução:

48A U L AO princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também pode ser

enunciado da seguinte forma:

Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outradecisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras detornarmos as decisões d1 e d2 será n · m.

No exemplo anterior havia duas decisões a serem tomadas:

d1: escolher uma dentre as 3 blusasd2: escolher uma dentre as 2 saias

Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2, ou seja,6 possibilidades diferentes de se vestir.

EXEMPLO 2

Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada,salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas).De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um pratoquente, uma salada e uma sobremesa?

Solução:

Esse e outros problemas da análise combinatória podem ser representadospela conhecida árvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamospor uma �árvore� o problema do cardápio do restaurante.

Observe que nesse problema temos três níveis de decisão:

d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes.

d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada.

d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24maneiras de tomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio.

48A U L A A representação gráfica em árvore de possibilidades é muito ilustrativa.

Nela podemos ver claramente os três níveis de decisão d1, d2 e d3, consultandoos vários tipos de cardápios possíveis. Observe que, percorrendo as opçõesdadas pelos segmentos à esquerda da árvore, o cardápio ficaria frango/saladaverde/sorvete enquanto que, escolhendo os segmentos à direita, teríamossalsichão/salada russa/ frutas. No entanto, nosso objetivo é saber as combina-ções possíveis e calcular o número total de possibilidades sem precisarenumerá- las, pois muitas vezes isso será impossível devido ao grande núme-ro de opções e/ou de decisões envolvidos num problema.

As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, nosfornecem soluções gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, essesproblemas exigem engenhosidade, criatividade e uma plena compreensão dasituação descrita. Portanto, é preciso estudar bem o problema, as condições dadase as possibilidades envolvidas, ou seja, ter perfeita consciência dos dados e daresolução que se busca.

EXEMPLO 3

Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendomais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão com salada verde, dequantas maneiras você poderia se alimentar pagando menos?

Solução:

Note que agora temos uma condição sobre as decisões d1 e d2:

d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichão).

d2: escolher salada verde (apenas uma opção).

d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

Então, há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos. (Verifiqueos cardápios mais econômicos na árvore de possibilidades do exemplo anterior).

EXEMPLO 4

Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem?

Solução:

Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como oalgarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões:

d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções).

d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi escolhido paraocupar a centena (9 opções).

d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que já foram utilizados(8 opções).

Portanto, o total de números formados será 9 · 9 · 8 = 648 números.

48A U L AEXEMPLO 5

De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos contar dentre os 648números de 3 algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2,4, 6 e 8), como deveríamos proceder?

Solução*:

c d u

O algarismo da unidade poderá ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se ozero foi usado como último algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos(não podemos usar o algarismo já empregado na última casa). Se o zero não foiusado como último algarismo, o primeiro só pode ser escolhido de 8 modos (nãopodemos usar o zero, nem o algarismo já empregado na última casa).

Para vencer este impasse, temos três alternativas:

a) �Abrir� o problema em casos (que é alternativa mais natural). Contarseparadamente os números que têm zero como último algarismo (unidade = 0)e aqueles cujo último algarismo é diferente de zero (unidade ¹ 0).

Terminando em zero temos 1 modo de escolher o último algarismo, 9 modosde escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena),num total de 1 · 9 · 8 = 72 números.

Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolhero último algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (nãopodemos usar o zero, nem o algarismo já usado na última casa) e 8 modos deescolher o algarismo do meio (não podemos usar os dois algarismos já emprega-dos nas casas extremas). Logo, temos 4 · 8 · 8 = 256 números terminados em umalgarismo diferente de zero. A resposta é, portanto, 72 + 256 = 328 números.

b) Ignorar uma das restrições (que é uma alternativa mais sofisticada).Ignorando o fato de zero não poder ocupar a centena, teríamos 5 modos deescolher o último algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos deescolher o do meio, num total 5 · 8 · 9 = 360 números. Esses 360 números incluemnúmeros começados por zero, que devem ser descontados. Começando em zerotemos 1 modo de escolher o primeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o último(2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (não podemos usar os doisalgarismos já empregados nas casas extremas), num total de 1 · 4 · 8 = 32 números.A resposta é, portanto, 360 ----- 32 = 328 números.

c) É claro que também poderíamos ter resolvido o problema determinandotodos os números de 3 algarismos distintos (9 · 9 · 8 = 648 números), como é o casodo Exemplo 4, e abatendo os números ímpares de 3 algarismos distintos (5 naúltima casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 5 · 8 · 8 = 320 números.Assim, a resposta seria 648 ----- 320 = 328 números.

Fonte: * Solução proposta pelo prof. Augusto César de Oliveira Morgado no livro"Análise Combinatória e Probabilidade" - IMPA/VITAE/1991.

48A U L A EXEMPLO 6

As placas de automóveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y eW) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estão sendo todastrocadas e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cadatipo podemos formar?

Solução:

No primeiro caso L L N N N N

Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N)de 10 modos distintos, a resposta é:

26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6 760 000

No segundo caso L L L N N N N

26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 6 760 000 == 175 760 000

A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade 26vezes maior. A diferença é de 169.000.000, ou seja, 169 milhões de placasdiferentes a mais do que anteriormente.

Exercício 1.Numa sala há 4 homens e 3 mulheres. De quantos modos é possível selecio-nar um casal homem- mulher?

Exercício 2.a) Quantos números naturais de 2 algarismos distintos existem?b) Quantos destes números são divisíveis por 5?

Exercício 3.Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com umalfabeto de 26 letras?

Exercício 4.Quantos são os gabaritos possíveis para um teste de 10 questões de múltiplaescolha, com 5 alternativas por questão?

Exercício 5.Com todos os números de 01 a 50, quantas escolhas de 6 números distintospodemos fazer?

Exercícios

48A U L AExercício 6.

De quantas maneiras você pode ir da cidade X para a cidade Y?

Exercício 7.O código morse usa �palavras� contendo de 1 a 4 �letras�, representadas porponto e traço. Quantas �palavras� existem no código morse?

Exercício 8.O segredo de um cofre é formado por uma seqüência de 4 números de 2dígitos (de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber aformação do segredo (por exemplo: 15 - 26 - 00 - 52). Se essa pessoa levar 1segundo para experimentar cada combinação possível, trabalhandoininterruptamente e anotando cada tentativa já feita para não repeti-la, qualserá o tempo máximo que poderá levar para abrir o cofre?

Exercício 9.No Exemplo 6 vimos que existem 175.760.000 placas diferentes de três letrase quatros algarismos. José Carlos Medeiros gostaria de que a placa de seuautomóvel tivesse as iniciais do seu nome. Quantas placas existem com asletras JCM?

48A U L A

O Teorema de Tales

Para pensar

Nossa aula

l A estaca tem 1,50 m e sua sombra 2,20 m. A sombra do poste mede 4,90 m.Qual é a altura do poste?

l A massa de um bloco de gelo é de 13 kg. Se 10% do gelo derreter, de quantopassará a ser a sua massa?

l Com um par de esquadros, desenhe um feixe de 5 retas paralelas. Depois,trace sobre elas 2 retas transversais que não sejam paralelas entre si. Meça ossegmentos determinados nas retas transversais. Eles são proporcionais?

As pirâmides do Egito

As pirâmides egípcias são monu-mentos grandiosos. A técnica empre-gada em suas construções até hojefascina o homem.

A pirâmide de Qué ops, no Egi-to, foi construída por volta de 2.500anos antes de Cristo.

Considerada uma das grandesmaravilhas do mundo antigo,Quéops tem aproximadamente 150metros de altura. Sua base é um qua-drado cujos lados medem cerca de230 metros.

48A U L A

48A U L A Tales e a pirâmide

O filósofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga,por volta do ano 585 a.C.

Há muitas lendas e histórias sobre ele. Diz-se que, ao ser interrogado sobreo que era difícil, Tales respondeu: “Conhecer a si mesmo”. O que era fácil: “Serdirigido por outro”. Agradável: “Seguir a própria vontade”. Divino: “Aquiloque não tem começo nem fim”.

Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábiosdaquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelofaraó Amásis por ter medido a altura de uma pirâmide sem precisar escalá-la.

Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, nomomento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimen-to da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra dapirâmide mais metade da medida da base.

A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figuraabaixo: a altura é a medida do segmento VH .

V

H

metade da base comprimentoda sombra

{ {raio solar

48A U L ATales e a Matemática

Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos:1.1.1.1.1. Quando dois triângulos têm os ângulos iguais, então seus lados

correspondentes formam uma proporção.

2.2.2.2.2. Os raios solares são paralelos.

E, nesse caso, Tales também sabia que os ângulos de incidência dos raiossolares num mesmo instante tinham todos a mesma medida.

Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade dabase mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando ovértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginoutambém um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar.

Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo retoe um ângulo de mesma medida (aaaaa). Nesse caso, Tales sabia que as medidas doslados desses triângulos eram proporcionais. Então:

Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, muitoutilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentementenão podemos alcançar, como a altura de montanhas, árvores e monumentos oua largura de grandes rios e lagos.

ax

=by

=cz

c b

a

z y

x

V

H P

a a

A

B C

VHHP

=ABBC

48A U L A

a

O Teorema de Tales

São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais umteorema com seu nome. Veja o que diz esse teorema:

Duas retas, Duas retas, Duas retas, Duas retas, Duas retas, mmmmm e e e e e nnnnn, cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas , cortam três retas parelelas aaaaa, , , , , b b b b b eeeee c c c c c. Nessas. Nessas. Nessas. Nessas. Nessascondições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segmentos de medidas mentos de medidas mentos de medidas mentos de medidas mentos de medidas xxxxx, , , , , yyyyy, , , , , zzzzz e e e e e wwwww são proporcionais. são proporcionais. são proporcionais. são proporcionais. são proporcionais.

Assim:Assim:Assim:Assim:Assim:

Uma aplicação do Teorema de Tales

Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos dolote B, conforme a figura:

Representando por xxxxx a medida que desejamos calcular e usando o Teoremade Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como aslaterais são paralelas, temos:

E, fazendo uma simples regra de três:

30 x = 20 . 24 x = 16

Assim, sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote Bmede 16 metros.

xy

=zw

b

c

w

zx

y

nm

Rua das Marrecas

Rua

dos

Gan

sos

lote A

lote B

lote

C

x

24 m

20 m

30 m

2030

=x24

48A U L AUma forma mais geral do Teorema de Tales

Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, comomostra a figura:

Os segmentos de medidas a, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, d e x, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, z, determinados nas retastransversais, formam segmentos proporcionais:

ax

=by

=cw

=dz

Uma outra aplicação do Teorema de Tales

Para encontrar a solução de problemas de cálculo de distâncias aparente-mente impossíveis, os antigos usavam instrumentos de medida de ângulos navertical e na horizontal.

Hoje em dia, os topógrafos usam o teodolitoteodolitoteodolitoteodolitoteodolito, um instrumento que medeângulos, distâncias e diferenças de nível.

a

c

b

d

x

y

w

z

48A U L A Veja na figura abaixo como funciona o teodolito na medição da altura de uma

árvore. O teodolito deve ser afastado até que o ângulo de visão da horizontalcom o topo da árvore seja de 45º. Quando isso ocorrer, basta medir a distânciada árvore até o teodolito. Essa medida será igual à medida da altura daárvore.

Isso ocorre porque se comparou o triângulo imagináriocom um triângulo retângulo e isósceles que tem os catetoscom a mesma medida.

Outras descobertas geométricas atribuídas a Tales

l O diâmetro divide o círculo em duas partes iguais.l Ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.

l Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm medidas iguais.l O ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.

AB45º

C

48A U L A

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Nas figuras abaixo, calcule o valor de x x x x x (as retas a, b e c são paralelas).

a)a)a)a)a)

b)b)b)b)b)

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas desuas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é90 metros.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte.

Exercícios

x 2,4

1,4 1,2

a

b

c

4

6

x

8

a b c

A

B

30 m 45 m

x

y

9 m

18 m

E

x

B

A

C

10 m

D

48A U L A

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4A imagem de uma foto é, em geral, semelhante ao que se vê na realidade.Imagine que o desenho abaixo seja uma foto. Que proporção você podeestabelecer entre a altura do coqueiro, a altura da pessoa e suas respectivassombras?

49A U L A

Figuras semelhantes

Desenhe uma ampliação da figura abaixo,utilizando o restante da parte quadriculada do quadro de modo que as dimen-sões da figura original sejam duplicadas.

Agora faça outra ampliação da mesma figura utilizando o quadriculadoabaixo. O que você deve fazer para que essa nova ampliação seja também umaduplicação?

49A U L A

Para pensar

49A U L A

ABA1B1

=BC

B1C1

=CD

C1D1

=DA

D1A1

=12

Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporção constante,sem modificar a sua forma, a nova figura e a figura original são chamadas defiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantes. Observe os quadriláteros abaixo. Eles são semelhantes?

Sim, eles são realmente semelhantes. O quadrilátero 22222 é uma redução e oquadrilátero 33333 é uma ampliação do quadrilátero 11111.

Observe que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas.Confira com um transferidor. Os lados correspondentes foram ampliados oureduzidos sempre na mesma proporção.

De 1 1 1 1 1 para 22222, reduzimos cada lado à metade do tamanho original. De 11111 para 33333,ampliamos cada lado para o dobro do tamanho original.

Para que duas figuras sejam semelhantes elas não precisam estar na mesmaposição. No exemplo abaixo, todos os quadriláteros são uma ampliação doquadrilátero ABCD original.

Se você comparar a medida de qualquer um dos lados do quadrilátero ABCDcom a medida de seu correspondente nos outros quadriláteros, vai verificar que:

A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes éconhecida em Matemática como razão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhançaançaançaançaança e é comum utilizarmosa letra k k k k k para simbolizá-la. Dizemos então que k =

12 , neste exemplo.

Nossa aula

(1)(2)

(3)

A B

C DA1 B1

C1 D1

A2

B2

D2

C2A3

B3

C3

D3

A4

D4

B4

C4

49A U L A

Cozinha

Quarto

Quarto

Sala

O que é escala?

Em muitos casos, a razão de semelhança é chamada de escalaescalaescalaescalaescala. Quandodesenhamos a planta de uma casa, observamos a maquete de um prédio ouestudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra escalaescalaescalaescalaescala. Tal como naplanta do exemplo abaixo.

Esta escala 1 : 200 = 1200

significa que cada 1 cm da planta equivale, narealidade, a 200 cm ou 2 m na casa de verdade.

Você pode verificar com sua régua que, na planta, a largura da sala é 1,7 cme que o comprimento é de 2,3 cm. Para encontrarmos as medidas reais da sala,basta multiplicarmos as medidas por 200.

00000

largura 1,7 cm 1,7 cm · 200 = 340 cm = 3,40 m

comprimento 2,3 cm 2,3 cm · 200 = 460 cm = 4,60 m

VBº

Escala: 1

200

MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS DADADADADA SALASALASALASALASALANANANANANA PLANTAPLANTAPLANTAPLANTAPLANTA MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS REAISREAISREAISREAISREAIS DADADADADA SALASALASALASALASALA

49A U L A A Geografia utilizando a Matemática

Observe o mapa abaixo. A escala é apresentada em um segmento de reta esignifica que cada centímetro do mapa é equivalente a 1.250 quilômetros.

Meça algumas distâncias com a régua e calcule, aproximadamente, adistância real em quilômetros. Para isso, utilize a escala.

É desse modo, por meio de mapas e suas respectivas escalas, que a aviaçãoe a navegação planejam rotas de viagem, calculam distâncias e tempos depercurso.

49A U L AObtendo figuras semelhantes

Sabemos, então, que duas figuras são semelhantes quando as duas condi-ções abaixo são satisfeitas:

11111. os ângulos correspondentes têm a mesma medida; e22222. as razões entre as medidas de lados correspondentes são iguais.

No início desta aula, você observou uma maneira de ampliar ou reduzirfiguras utilizando papel quadriculado.

Vamos mostrar a seguir outro método, também muito utilizado.

1.1.1.1.1. Escolhemos um pon-to qualquer OOOOO.

2.2.2.2.2. Ligamos este ponto OOOOOa vários pontos danossa figura.

3.3.3.3.3. Medimos a distânciade cada ligação e obte-mos novos pontosmultiplicando esta me-dida por uma constan-te.

4.4.4.4.4. Ligamos os novospontos e está feita aampliação.

Este método pode ser utilizado para qualquer figura e o ponto OOOOO pode estarem qualquer posição. Confira nos exemplos abaixo:

1. 2.

3.

OO

O

O está dentro da figura O está em um dos vértices da figura

OO

49A U L A Para você saber mais

Vimos que duas condições devem ocorrer, ao mesmo tempo, para garantira semelhança entre figuras. No entanto, um caso muito especial de semelhançaocorre quando as figuras são triângulos, pois basta verificar apenas uma dascondições, pois a outra ocorrerá automaticamente. Veja:

l se os lados são proporcionais, então os ângulos são iguais e os triângulos sãosemelhantes; ou

l se os ângulos correspondentes são iguais, então os lados são proporcionaise os triângulos são semelhantes.

Podemos então verificar apenas uma das condições para conferir se doistriângulos são semelhantes. Mas, não esqueça, isto só ocorre com triângulostriângulostriângulostriângulostriângulos.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Analise a planta da casa que aparece nesta aula e indique quais são asmedidas dos quartos.

Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Num mapa de guerra a escala era 1:100.000. No mapa, o alcance do míssilera de 100 cm. Qual o alcance real do míssil em quilômetros?

Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Um jogador de basquete mede 2,04 m. Para fazer propaganda de seu time,fabricaram miniaturas do jogador. A escala é 1:12. Quanto mede a miniatura?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Num banheiro retangular, é preciso trocar os azulejos do box. O box ocupa14

do banheiro. O banheiro mede 6 m². Na planta, o banheiro está na es-cala 1 : 30. Quanto mede o box na planta?

(*) Os Exercícios 2 e 3 foram extraídos do artigo “Alunos inventam problemas”, daprofessora Sylvia Judith Hamburger Mandel, publicado na Revista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática, nº 26.

Exercícios

50A U L A

50A U L A

Introdução O título desta aula já indica que continuare-mos o assunto da Aula 49, em que vimos vários exemplos de permutaçõesdenominadas “permutações simples” e “permutações simples com restrições”.Você deve ter notado que em todos aqueles exemplos permutamos objetosdistintos: 3 caixas diferentes, pessoas diferentes, números formados por algaris-mos diferentes, anagramas da palavra MARTELO (que não têm letras repetidas)etc. Como deveríamos proceder se quiséssemos saber o número de anagramaspossíveis com as letras da palavra MAAAAADEIRAAAAA ou da palavra PRÓPRIOPRÓPRIOPRÓPRIOPRÓPRIOPRÓPRIO?

Nesta aula você estudará permutações com objetos nem todos distintos.Outro caso que será estudado é o que chamamos de permutação circular. Sópara você já ir pensando, no Exemplo dos 7 presidentes, eles sempre sesentavam lado a lado. O que aconteceria se fôssemos arrumá-los numa mesaredonda? Será que teríamos o mesmo número de permutações diferentes?Além de acompanhar cuidadosamente os exemplos, você precisa resolver osexercícios, discutir sua solução com outras pessoas e até inventar problemas.Matemática se aprende fazendo!

Permutações com repetição


A palavra MAAAAADEIRAAAAA possui sete letras, sendo duas letras A e cinco letrasdistintas: M, D, E, I, R. Quantos anagramas podemos formar com essa palavra?


O número de permutações de uma palavra com sete letras distintas (MAR-TELO) é igual a 7! = 5040. Neste exemplo formaremos uma quantidade menor deanagramas, pois são iguais aqueles em que uma letra A aparece na 2ª casa e a outraletra A na 5ª casa (e vice-versa).

Para saber de quantas maneiras podemos arrumar as duas letras A, precisa-mos de 2 posições. Para a primeira letra A teremos 7 posições disponíveis e paraa segunda letra A teremos 6 posições disponíveis (pois uma das 7 já foi ocupada).

Continuando compermutações

Nossa aula

50A U L ATemos então, 7 ·

62

= 21 opções de escolha.

A divisão por 2 é necessária para não contarmos duas vezes posições queformam o mesmo anagrama (como, por exemplo, escolher a 2ª e 5ª posições ea 5ª e 2ª posições).

Agora vamos imaginar que as letras A já foram arrumadas e ocupam a1ª e 2ª posições:

A A _ _ _ _ _

Nas 5 posições restantes devemos permutar as outras 5 letras distintas, ouseja, temos 5! = 120 possibilidades. Como as 2 letras A podem variar de 21maneiras suas posições, temos como resposta:

7 · 62

· 5! = 21 · 120 = 2520 anagramas da palavra MAAAAADEIRAAAAA


Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas e 4 brancas. Quantas são as maneiras dese retirar da urna, uma a uma, as 10 bolas?


Vejamos primeiro algumas possibilidades de se retirar as bolas da urna, umaa uma:

Nesse exemplo temos uma permutação de 10 elementos. Caso fossem todosdistintos, nossa resposta seria 10!10!10!10!10!. No entanto, o número de permutações comrepetição de 6 bolas pretas e 4 bolas brancas será menor.

Se as bolas brancas (que são iguais) fossem numeradas de 1 a 4, as posiçõesseriam diferentes:

Note que para cada arrumação das bolas brancas temos 4! = 24 permutaçõesque são consideradas repetições, ou seja, que não fazem a menor diferença nocaso de as bolas serem todas iguais.

etc...

50A U L A

número total de permutações de 7 letras.

produto das repetições possíveis com as letras P, R e O.

Da mesma forma, para cada posição em que as 6 bolas pretas apareceremnãonãonãonãonão devemos contar as repetições ou as trocas entre as próprias bolas pretas. Onúmero de repetições é 6! = 720.

Concluímos, então, que as maneiras de se retirar uma a uma 6 bolas pretas e4 bolas brancas, sem contar as repetições, é:

10!4! 6!

= 3.628.800

24.720 = 210


Quantos anagramas podemos formar com a palavra PRÓPRIOPRÓPRIOPRÓPRIOPRÓPRIOPRÓPRIO?


Este exemplo é parecido com o das bolas pretas e brancas. Mas observe queaqui temos 7 letras a serem permutadas, sendo que as letras P, R e O aparecem 2vezes cada uma e a letra I, apenas uma vez.

Como no caso anterior, teremos 2! repetições para cada arrumação possívelda letra P (o mesmo ocorrendo com as letras R e O). O número de permutaçõessem repetição será, então:

7!2! 2! 2!

®

®

50402 · 2 · 2

= 630

Uma expressão geral para permutaçõescom objetos nem todos distintos

Havendo nnnnn elementos para permutar e dentre eles um elemento se repete pppppvezes e outro elemento se repete qqqqq vezes, temos:

n!p! q!

No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 elementos que serepetem. Neste caso, teremos no denominador da expressão o produto dosfatoriais de todos os elementos que se repetem.

50A U L ASimplificando fatoriais

Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador pode ser facil-mente simplificada. Observe os exemplos:

a)a)a)a)a)10!6!

= 10 · 9 · 8 · 7 · 6!

6! = 10 · 9 · 8 · 7

b)b)b)b)b)5!7!

= 5!

7 · 6 · 5! =

17 · 6

c)c)c)c)c)n!

n - 1α φ! = n · n - 1α φ!

n - 1α φ! = n

d)d)d)d)d)5!

3! 2! =

5 · 4 · 3!3! 2!

= 5 · 42 · 1

= 5 · 2

Permutações circulares

Permutações circulares são os casos de permutações em que dispomosnnnnn elementos em nnnnn lugares em torno de um círculo. Veja um exemplo.

De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?

Para formar uma roda com 5 crianças, não basta escolher uma ordem paraelas. Vamos nomear as 5 crianças por A, B, C, D, E. Observe que as rodas abaixo,por exemplo, são iguais:

Em cada uma dessas rodas, se seus elementos fossem arrumados em fila,teríamos permutações diferentes; no entanto, dispostos de forma circular, nãodão origem a rodas diferentes; temos 5 rodas iguais, pois a posição de cada criançaem relação às outras é a mesma e a roda foi apenas “virada”.

Como não queremos contar rodas iguais, nosso resultado não é o número depermutações com 5 elementos em 5 posições, ou seja, 5! = 120. Já que cada rodapode ser “virada” de cinco maneiras, o número total de permutações, 120 rodas,contou cada roda diferente 5 vezes e a resposta do problema é:

1205

= 24

50A U L A Uma expressão geral para permutações circulares

Nas permutações simples importam os lugares que os objetos ocupam e naspermutações circulares importa a posição relativa entre os objetos, ou seja,consideramos equivalentes as arrumações que possam coincidir por rotação.

Se temos nnnnn objetos, cada disposição equivalente por rotação pode ser obtidade nnnnn maneiras. Confirme isso com os exemplos a seguir:

a)a)a)a)a) 3 elementos: A, B, C. Considere a roda ABC. As rodas BCA e CAB sãorodas equivalentes.

b)b)b)b)b) 8 elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Verifique que as 8 rodas abaixo sãoequivalentes:

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1

A expressão geral do número de permutações circulares será o número totalde permutações, n!, dividido pelas nnnnn vezes que cada roda equivalente foicontada:

n!n

= n · n - 1α φ!

n = n - 1α φ!


Quantas rodas de ciranda podemos formar com 8 crianças?


Podemos formar 8!8

= 7! = 5040 rodas diferentes rodas diferentes rodas diferentes rodas diferentes rodas diferentes.


Se no encontro dos 7 presidentes as reuniões fossem ocorrer ao redor de umamesa, de quantas maneiras poderíamos organizá-los?


7!7

= 6! = 720 posições circulares diferentes.


Neste mesmo exemplo, o que ocorreria se dois dos 7 presidentes nãodevessem sentar juntos?


Neste caso, poderíamos contar as permutações circulares dos outros 5presidentes e depois encaixar os 2 que devem ficar separados nos espaços entreos 5 já arrumados.

O número de permutações circulares com 5 elementos é 4! = 24, e entre elesficam formados 5 espaços. Veja a figura:

Se os presidentes F e G forem colocados em 2 destes 5 espaços, eles não ficarãojuntos. Temos então 5 opções para sentar o presidente F e 4 opções (uma foiocupada por F) para sentar o presidente G.

A resposta a este problema é 5 · 4 · 4! = 480

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Quantos são os anagramas da palavra TEEEEELEEEEECURSO?

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. Quantos são os anagramas da palavra TELEELEELEELEELESALAALAALAALAALA?

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Quantos são os números de 7 algarismos, maiores que 6 000 000, que podemosformar usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8?

Exercícios

50A U L A Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.

Numa prova de 10 questões, todos os alunos de uma classe tiveram nota 8(acertaram 8 questões e erraram 2). O professor, desconfiado, resolveucomparar todas as provas e ficou feliz ao verificar que em toda a classe nãohavia duas provas iguais. Qual o número máximo de alunos que essa classepode ter?

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.De quantos modos 5 casais podem formar uma roda de ciranda?

Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.De quantos modos 5 casais podem formar uma roda de ciranda, de maneiraque pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?

Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.De quantos modos 5 casais podem formar uma roda de ciranda, de maneiraque cada homem permaneça ao lado de sua mulher?

Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.De quantos modos 5 casais podem formar uma roda de ciranda, de maneiraque cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas do mesmosexo não fiquem juntas?

50A U L A

50A U L A

Proporção inversa

l Um automóvel com velocidade média de 60 km/h gasta 5 horas parapercorrer a distância entre duas cidades. Quanto tempo levará para percor-rer a mesma distância com a velocidade média de 100 km/h?

l Pegue uma folha de papel quadriculado e desenhe alguns retângulos deárea 36 (considere cada quadradinho como uma unidade de área). Anotenuma tabela os valores encontrados para as dimensões (comprimento elargura) de cada um dos retângulos que você desenhou.Observando a tabela, o que você pode afirmar sobre a variação dessasdimensões?

Na Aula 47, você aprendeu que duas grandezas que mantêm entre si umarelação de dependência podem variar proporcionalmente. Vamos ver um exem-plo para “refrescar” a memória.

Uma receita muito simples, e às vezes bastante necessária, é a do sorocaseiro. Para fazer 1 litro de soro, basta:

1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal12

colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar colher (café) de açúcar

E está pronto um soro muito útil nos casos de desidratação. Mas, o que essareceita tem a ver com proporcionalidade? Observe a tabela:

QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE DEDEDEDEDE ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA SALSALSALSALSAL AÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCAR

SOROSOROSOROSOROSORO (((((LITROLITROLITROLITROLITRO))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ)))))

1 litro 1 1 122 litros 2 2 243 litros 3 3 364 litros 4 4 48

A quantidade de água, sal e açúcar são dependentes da quantidade de sorocaseiro que se deseja fazer.

Para pensar

Nossa aula

50A U L A É fácil perceber que, se desejamos dobrar a quantidade de soro, devemos

dobrar as quantidades de água, sal e açúcar. Dizemos, então, que as quantidadesde água, sal e açúcar são proporcionais, ou diretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionais.

Existem situações, porém, em que as grandezas mantêm entre si umarelação inversamente proporcional. Mas, o que são grandezas inversamenteinversamenteinversamenteinversamenteinversamentepropor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionais?

Vejamos um exemplo. Viajando constantemente do Rio de Janeiro a SãoPaulo, Mônica fez alguns cálculos e anotou o resultado numa tabela. Ela sabiaque a velocidade pode ser calculada dividindo-se a distância percorrida pelotempo gasto na viagem (v = e/t). Considerando a distância entre essas duascidades como sendo 400 km, ela fez a seguinte tabela:

50 km/h 8h

60 km/h 6h40min400 km

80 km/h 5h

100 km/h 4h

Observe que à medida que a velocidade aumenta velocidade aumenta velocidade aumenta velocidade aumenta velocidade aumenta o tempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminui.Dizemos, então, que as grandezas velocidade velocidade velocidade velocidade velocidade e tempo tempo tempo tempo tempo mantêm entre si umarelação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional.

Observando um pouco mais a tabela podemos verificar que:

50 km/h . 8h

60 km/h . 6h 40min = 400 km = 400 km = 400 km = 400 km = 400 km80 km/h . 5h

100 km/h . 4h

Dizemos, então, que:

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osvalores valores valores valores valores xxxxx e e e e e y y y y y correspondentes a correspondentes a correspondentes a correspondentes a correspondentes a elaselaselaselaselas são tais que: são tais que: são tais que: são tais que: são tais que:

xxxxx ..... y = ky = ky = ky = ky = k,onde onde onde onde onde k k k k k é u m vé u m vé u m vé u m vé u m valor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado alor constante e positivo chamado constante deconstante deconstante deconstante deconstante deproporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.


No exemplo acima, a constante de proporcionalidade inversa (kkkkk) é400 e a velocidade e o tempo são as variáveis xxxxx e yyyyy.

DISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIA

PERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDA

VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE

MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA

TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO

GASTOGASTOGASTOGASTOGASTO

50A U L AVamos resolver juntos dois problemas com variáveis inversamente

proporcionais.

PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1

Numa pequena fábrica de uniformes escolares, 12 costureiras fazem umdeterminado serviço em 5 dias. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, emquantos dias 15 costureiras farão o mesmo serviço?

12 5

15 x

Observe que, nessas condições, as variáveis (costureiras e dias) mantêmentre si uma relação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional. Isto se dá porque, seaumentamos o número de costureiras, o tempo gasto será menor, pois oserviço é o mesmo. Então:

12 . 5 = 15 . x 60 = 15x x = 4

O que significa que o serviço poderá ser feito em 4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.

PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2

Para encher uma caixa d'água cuja capacidade é de 500 litros, uma torneiraleva 6 horas. Em quanto tempo duas torneiras iguais a essa encherão a mesmacaixa d'água?

500 l 1 6h

500 l 2 x

Como as variáveis (quantidade de torneiras e tempo) são grandezas inver-inver-inver-inver-inver-samente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionais, temos:

1 . 6 = 2 . x6 = 2xx = 3

Ou seja, as duas torneiras juntas levarão 3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para encher a caixa d'água.

COSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRAS DIASDIASDIASDIASDIAS

CAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADE DADADADADA

CAIXACAIXACAIXACAIXACAIXA DDDDD''''' ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA

QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE

DEDEDEDEDE TORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO

50A U L AExercícios Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1

Verifique se as variáveis das tabelas abaixo são inversamente proporcio-nais. Em caso afirmativo, dê o coeficiente de proporcionalidade:

a)a)a)a)a) xxxxx 5 20 40

yyyyy 8 2 1

b)b)b)b)b) aaaaa 90 80 60

bbbbb 10 20 40

c)c)c)c)c) yyyyy 8 5 4

xxxxx 10 16 20

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Para pintar um prédio, 5 pintores levam 40 dias. Em quanto tempo 10pintores fazem o mesmo serviço?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Uma torneira, despejando 10 litros de água por minuto, demora 3 horaspara encher um reservatório. Se ela despejar 20 litros por minuto, quantotempo levará para encher esse mesmo reservatório?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Um ônibus, a uma velocidade constante de 80 km/h, faz uma viagem entreduas cidades em 5 horas. Quanto tempo levará para fazer essa mesmaviagem à velocidade de 60 km/h?

Exercícios

51A U L A

51A U L A

Regra de três

Nossa aula

Num acampamento, há 48 pessoas e ali-mento suficiente para um mês. Se 16 pessoas forem embora, para quantos diasainda haverá alimento?

Observe a seguinte situação:

l Uma pessoa paga pelo quilo de feijão R$ 1,20.

l Se comprar 2 quilos de feijão, pagará R$ 2,40.

l Se comprar 3 quilos, pagará R$ 3,60.

Quando a quantidade de feijão comprada aumenta de 1 para 2 quilos,o preço aumenta na mesma razão, pois passa de R$ 1,20 para R$ 2,40.

Podemos, então, escrever que a razão de 1 para 2 é igual à razão de 1,20para 2,40. Em linguagem matemática:

12

=1,202,40

que se lê: 1 está para 2, assim como 1,20 está para 2,40.

Da mesma forma, quando o aumento é de 1 para 3 quilos, o preço aumentana mesma razão:

13

=1,203,60

Como já foi visto na Aula 47, a igualdade entre duas razões é umaproporção. O preço do feijão, no caso, é proporcionalproporcionalproporcionalproporcionalproporcional à quantidade de quilosde feijão.

Para pensar


Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h,quantos quilômetros percorrerá em 2 horas?Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

A letra xxxxx representa o valor desconhecido do problema.TempoTempoTempoTempoTempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaço são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais, pois, quando o valor do tempo aumenta, ovalor do espaço percorrido aumenta na mesma razão, ou seja, de 1 para 2.Dizemos que tempotempotempotempotempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaço são grandezasgrandezasgrandezasgrandezasgrandezas que variam da mesma formae na mesma razão. Se uma aumenta, a outra também aumenta; se umadiminui, a outra também diminui.Da tabela acima, podemos escrever a seguinte proporção:

12

=80x

_ 1 está para 2, assim como 80 está para xxxxx.

Recordando a propriedade fundamental das proporções:

O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-dor da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador da

primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.

Então: 1 . x = 2 . 80 (lembre-se que 1 . x = x)x = 160

Portanto, o espaço percorrido pelo ônibus em 2 horas será de 160 km160 km160 km160 km160 km.

Nesse exemplo, três elementos eram conhecidos e faltava determinar oquarto elemento.Dois dos elementos conhecidos são medidas de uma mesma grandeza(tempo) e o terceiro é medida de outra grandeza (espaço). O quartoelemento, aquele que será calculado, é medida da segunda grandeza(espaço).O método usado para resolver problemas desse tipo é chamado rrrrregra de egra de egra de egra de egra de tttttrêsrêsrêsrêsrês.No exemplo anterior, as grandezas tempo e espaço são diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-cionaiscionaiscionaiscionaiscionais e a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta.


Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto tempolevariam 4 pintores para fazer o mesmo serviço?Veja a tabela e verifique se as grandezas são diretamente proporcionais:

2h x

TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO ESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇO

1h 80 km

4 x

PINTORESPINTORESPINTORESPINTORESPINTORES TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO

2 18h

51A U L ASe o número de pintores dobrar, passando de 2 para 4, será que o tempo

gasto no serviço também dobrará?Pense um pouco e observe que o tempo gasto no serviço não pode aumentar,pois são mais homens trabalhando. Aumentando o número de pintores, otempo de serviço deve diminuir. Como o número de pintores dobrou, otempo será reduzido à metade (razões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversas). Logo, os pintores gasta-rão 9 horas para pintar a parede.Nesse caso, dizemos que as duas grandezas do problema (número depintores e tempo de serviço) são grandezas inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais, ea regra de três é inversainversainversainversainversa.


Cinco operários constroem uma casa em 360 dias. Quantos dias serãonecessários para que 15 operários construam a mesma casa?

Aumentando-se o número de operários de 5 para 15, ou seja, triplicando-se o número de operários, o que acontecerá com o número de diasnecessários para a construção da casa?Da mesma forma que no exemplo anterior, essas grandezas são inversamen-inversamen-inversamen-inversamen-inversamen-te proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionais. Isso quer dizer que variam na razão inversarazão inversarazão inversarazão inversarazão inversa, e a razãoinversa de 3 é 1

3. Então:

13

de 360 = 360 : 3 = 120

Portanto, os 15 operários construirão a casa em 120 dias120 dias120 dias120 dias120 dias.Vimos que, para resolver problemas de regra de três, é importantedeterminar se as grandezas envolvidas no problema são diretadiretadiretadiretadireta ouinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.Quando as grandezas são inversamente proporcionais, a proporção entreos valores não é representada por uma mesma razão mas sim por razõesinversas.Portanto, no caso de grandezas inversamente proporcionais, deve-se inver-ter uma das razões para escrever a proporção relativa ao problema.


Um ônibus, em velocidade média de 80 km/h, leva 5 horas para percorreruma estrada. Quanto tempo gastará para percorrer a mesma estrada sedesenvolver velocidade média de 100 km/h?

15 x

OPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOS DIASDIASDIASDIASDIAS

5 360

15 x

VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA(km/h(km/h(km/h(km/h(km/h)))))

5 360

TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO(h)(h)(h)(h)(h)

51A U L A As grandezas tempo e velocidade são direta ou inversamente proporcionais?

Desenvolvendo maior velocidade média, o ônibus gastará menos tempopara percorrer a estrada.As grandezas envolvidas são, portanto, inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.Assim, escreveremos a proporção invertendo umas das razões:

5x

=10080

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

100 . x = 5 . 80100x = 400

x =400100

x = 4

Desenvolvendo velocidade média de 100 km/h, o ônibus levará 44444hhhhhorasorasorasorasoras para percorrer a estrada.

Aplicações da regra de três

Cálculo da taxa de porcentagem


Depositando-se R$ 600,00 numa caderneta de poupança, ao final do mêsobtêm-se R$ 621,00. Calcule a taxa de porcentagem do rendimento.l R$ 600,00 é a quantia principalquantia principalquantia principalquantia principalquantia principal, também chamada apenas de principalprincipalprincipalprincipalprincipal.l R$ 21,00 é o rendimentorendimentorendimentorendimentorendimento, que foi obtido subtraindo-se 600 de 621.l Devemos calcular a taxataxataxataxataxa, ou seja, “quantos por cento” correspondem ao

rendimento obtido, R$ 21,00.Vamos escrever a regra de três observando que, se a taxa de porcenta-gem do rendimento fosse de 100%, então o rendimento seria igual aoprincipal (R$ 600,00). A taxa xxxxx%, procurada, corresponde ao rendimentoobtido (R$ 21,00).

Neste caso, a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta, pois, aumentando-se o rendimento, ataxa correspondente também aumentará. Logo:

=

600 . x = 21 . 100600 x = 2.100

2.100600

= 3,5

A taxa de rendimento é de 3,5%3,5%3,5%3,5%3,5%.

100x

60021

21,00 x

RRRRR$$$$$ %%%%%

600,00 100


Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de comissão 5% do valor davenda, recebendo R$ 2.500,00. Qual foi o valor da venda?

Vamos organizar os dados:l R$ 2.500,00 é o valor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagem;l 5% é a taxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagem;l xxxxx é o valor da venda valor da venda valor da venda valor da venda valor da venda do imóvel.

5 . x = 2.500 . 1005 x = 250.000

x =250.000

5 = 50.000

O preço de venda do imóvel foi de R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00.

Cálculo de juro


Pedi um empréstimo de R$ 10.000,00 a um banco, que me cobrará 8% dejuro mensal. Quanto pagarei de juro?

l R$ 10.000,00 é o capitalcapitalcapitalcapitalcapital;l 8% é a taxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de juro;Juro Juro Juro Juro Juro é a quantia que pagarei mensalmente em troca do empréstimo.

Novamente vamos resolver o problema por uma regra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três direta, poisa taxa e o juro variam da mesma forma.

10.000x

=100

8

100 . x = 8 . 10.000100 x = 80.000

x =80.000

100 = 800

Pagarei de juro pelo empréstimo R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00 por mês.

2.500,00 5

RRRRR$$$$$ %%%%%

x 100

x 8

RRRRR$$$$$ %%%%%

10.000,00 100


Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Em quanto tempo (em minutos)3 torneiras iguais à primeira encherão o mesmo tanque?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Se 16 operários levam 3 dias para completar uma obra, quantos operáriosseriam necessários para completar essa obra em 2 dias?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m no mesmo instante emque um poste de 2 m de altura projeta uma sombra de 0,6 m?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Trabalhando durante 40 minutos, uma máquina produz 100 peças. Quantaspeças essa máquina produzirá em 2 horas?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Para percorrer 360 km de uma estrada, um automóvel consome 30 l degasolina. Para percorrer 450 km, quanto consumirá?

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Numa classe de 40 alunos, 18 são meninas. Qual é a taxa de porcentagem dasmeninas dessa classe?

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Gastei 30% do meu salário comprando um vestido. Calcule meu saláriosabendo que paguei R$ 60,00 pelo vestido.

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Quando se aplicam R$ 2.000,00 à taxa de 12% ao ano, qual será a quantiarecebida após 5 anos?

Exercícios

52A U L A

52A U L A

Introdução à álgebra

Para pensarl Na figura abaixo, a balança está em equilíbrio e as três melancias têm omesmo peso. Nessas condições, qual é o peso (em kg) de cada melancia?

l Uma barra de rapadura pesa 1 kg mais meia barra de rapadura. Quanto pesaa barra de rapadura?

l Hoje, Isabel tem 40 anos e seu filho André tem 8 anos. Daqui a quantos anosa idade de André será igual à metade da idade da mãe?

Na Aula 44 você viu que, em linguagem matemática, podemos representarum número, uma quantidade ou até mesmo uma frase, usando letras. Na aulade hoje, vamos aprofundar um pouco mais esse assunto, estudando uma parteda Matemática chamada álgebraálgebraálgebraálgebraálgebra. A álgebra se caracteriza fundamentalmen-te pelo uso de letras e é uma ferramenta poderosa na solução de muitosproblemas.

Vamos começar com um exemplo bem simples.

8kg 3

kg

8kg

Nossa aula

52A U L A EXEMPLO 1 EXEMPLO 1 EXEMPLO 1 EXEMPLO 1 EXEMPLO 1

A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números?

Este é um problema com quantidades pequenas. Por isso, é possívelcalcular mentalmente que os números são 6 e 7.Mas, como na vida real nós nem sempre trabalhamos com quantidadespequenas, vamos aprender a equacionar e a resolver problemas como esse.Primeiro, vamos equacionar o problema:l dois números consecutivos _ xxxxx e xxxxx + 1+ 1+ 1+ 1+ 1l sua soma é 13 _ xxxxx + (x + 1x + 1x + 1x + 1x + 1) = 13

Agora, vamos resolver a equação:

x + (x + 1) = 13

x + x + 1 = 13

2x + 1 = 13

2x + 1 - 1 = 13 - 1

2x + 0 = 12

2x = 12

2x2

=122

x = 6

Então, x = 6 e x + 1 = 7. Ou seja, os números procurados são 66666 e 77777.

O que é uma equação?

Um dos significados apresentados pelo dicionário para a palavra equa- equa- equa- equa- equa-çãoçãoçãoçãoção é este: “qualquer igualdadeigualdadeigualdadeigualdadeigualdade entre seres matemáticos que só é satisfeitapara alguns valores”.

De um modo mais simples, podemos dizer que toda equação tem:l uma letra que indica um número desconhecido;l um sinal de igualdade (=).

A letra é a incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita da equação. Por exemplo: na equação 22222xxxxx + 5 = 21 + 5 = 21 + 5 = 21 + 5 = 21 + 5 = 21,a letra xxxxx é a incógnita, isto é, o termo desconhecido.

A palavra incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita significa desconhecida e a palavra equação equação equação equação equação significaigualdade (o prefixo -equa-equa-equa-equa-equa, em latim, quer dizer igual).

Numa equação, a expressão que fica à esquerda do sinal de igual é chamadade 11111º membro membro membro membro membro e a que fica à direita é chamada de 22222º membro membro membro membro membro.

2x + 5 = 21

1º membro 2º membro

Eliminando os parênteses ejuntando os termos semelhantes.

Subtraindo 1 dos dois membros.

Dividindo os dois membros por 2.

{ {

52A U L AResolver uma equação sem perder o equilíbrio

Podemos comparar uma equação a uma balança em equilíbrio.

Isso significa que os dois pratos devem estar em equilíbrio. Se alguma coisafor acrescentada a um dos pratos, um peso igual deve ser acrescentado ao outroprato, para não se perder o equilíbrio. E o mesmo deve ser feito quando algumacoisa é retirada de um dos pratos.

Na balança da figura anterior, as 2 abóboras mais um peso de 2 kg somamum peso igual a 10 kg. Isso pode ser escrito da seguinte maneira:

2x + 2 = 10,

onde xxxxx é a incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita que representa o peso de cada abóbora.

Retirando o peso de 2 kg de um dos pratos,temos que retirar um peso igual do outroprato, que ficará com 8 kg.

Substituindo o peso de 8 kg por dois de 4 kg,podemos perceber que cada abóbora pesa4 kg.

Portanto, x = 4.

82x

2x + 44

x 4

1022x +

1022kg

10kg

52A U L A

Traduzindo para a linguagem matemática, fica assim:

2x + 2 = 10

2x + 2 - 2 = 10 - 2

0

2x = 8

2x2

=82

x = 4

Uma das etapas na solução de um problema é verificar se a respostaencontrada está correta. Para isso, devemos substituir na equação o valorencontrado, no caso x = 4.

2 x + 2 = 102 . 4 + 2 = 10

8 + 2 = 1010 = 10

A palavra á lgebraálgebraálgebraálgebraálgebra tem origem na palavra árabe al-jabral-jabral-jabral-jabral-jabr (às vezes tambémescrita como al-gebral-gebral-gebral-gebral-gebr), título de um livro escrito em Bagdá, por volta do ano 825,pelo matemático árabe Mohammed Al-Khowarizmi: Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-Livro sobre as opera-ções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalahções al-jabr e qabalah.

O termo al-jabral-jabral-jabral-jabral-jabr significa restauraçãorestauraçãorestauraçãorestauraçãorestauração e refere-se à transposição de termospara o outro lado da equação:

6x = 2x + 8 6x - 2x = 8

O termo qabalahqabalahqabalahqabalahqabalah significa equilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrioequilíbrio e refere-se à redução de termossemelhantes:

6x - 2x = 84x = 8

x = 8 : 4x = 2

Al-Khowarizmi resolvia as equações de modo semelhante a nós. A diferen-ça é que tudo era expresso em palavras.

O primeiro matemático a escrever as equações usando letras, por volta de1590, foi François Viète. Por isso, ele é chamado de “Pai da Álgebra”.

A partir de então, as equações passaram a ser interpretadas como asentendemos hoje:

Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.Equação é o idioma da álgebra.

Subtraindo 2 dos dois membros.

Dividindo por 2 os dois membros.

Um pouco deHistória

Subtraindo 2x dos dois membros.


A soma de dois números consecutivos é 1.349. Quais são esses números?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Resolva as equações:

a)a)a)a)a) 4x + 2 = 14

b)b)b)b)b) 4(x - 2) = 3 (x - 1)

c)c)c)c)c)x2

- 1 = 6

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Uma caneta custa R$ 1,00 a mais que um lápis. Comprei 2 canetas e 4 lápise gastei R$ 3,20.

a)a)a)a)a) Escreva uma equação que solucione o problema.

b)b)b)b)b) Qual o valor de cada caneta?

c)c)c)c)c) Qual o valor de cada lápis?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Somando 6 ao triplo de um número, o resultado é 42. Qual é esse número?

Exercícios

53A U L A

53A U L A

Calculando áreas

Para pensar l Imagine que você vá revestir o piso de sua sala com lajotas. Para saber aquantidade de lajotas necessária, o que é preciso conhecer: a área ou operímetro da sala?

l Foram feitos 8 furos iguais em duas placas de madeira. As placas são demesmo tamanho e mesma espessura, como indica a figura:

Após terem sido furadas, qual delas possui maior área?

l Quantos quadradinhos de 1 centímetro (1cm) de lado serão necessários paracobrir um quadrado de 1 metro quadrado (1m2) de área?

Leia com atenção o texto seguinte, que foi extraído do Jornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do TelecursoJornal do Telecurso11111º Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3 Grau - Matemática, 3ª fase fase fase fase fase (Fundação Roberto Marinho, Editora Globo, 1981).

Calculando áreasCalculando áreasCalculando áreasCalculando áreasCalculando áreas

Existem muitas situações práticas que envolvem o cálculo de áreas, comoveremos nos exemplos a seguir.

Um azulejista, ao ser chamado para executar um serviço, começará seutrabalho calculando a área das paredes que vão ser revestidas. Depois, ele vaicomprar o material e, quando pedir os azulejos, o balconista certamente lheperguntará quantos metros quadrados ele deseja. Assim, calculando a área dasparedes, e das portas e janelas, o azulejista poderá pedir a quantidade certa deazulejos, evitando a falta ou o desperdício de material.

Nossa aula

53A U L AUma vez elaborado o projeto de uma casa, é necessário preparar seu

orçamento. É preciso saber, por exemplo, qual a quantidade de tijolos a ser usadana obra. Para isso, devemos saber quantos metros quadrados de parede a casaterá. Esse cálculo é necessário não apenas para saber a quantidade de materialque se deve comprar, mas também para avaliar o custo da mão-de-obra que vaiser utilizada.

As caldeiras industriais são fabricadas com chapas de aço. Quando sãoprojetadas, é preciso calcular a área das chapas que vão ser usadas na suaconstrução. Esse cálculo serve para fazer o orçamento do custo da caldeira e,também, para prever o peso que ela terá.

Os garotos da rua acertaram a bola numa vidraça, e vão ter de comprar umanova. Você já foi ao vidraceiro comprar um pedaço de vidro? Quando damos asmedidas do vidro que queremos, o vidraceiro faz alguns cálculos e diz o preçoa pagar. Você sabe o que ele está calculando? Se não sabe, tente descobrir o queele calcula.

Esses são alguns dos exemplos que mostram que o cálculo de áreas faz partedo dia-a-dia de muitos profissionais.

O que é área de uma superfície?Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade.

O resultado da comparação é um número positivo, ao qual chamamos de áreaáreaáreaáreaárea.Como não existe instrumento para medir a área de uma superfície, compa-

ramos sua área com a área de uma figura mais simples, como o retângulo ou oquadrado.


Deseja-se forrar uma parede de 3 m ́ 5 m com quadrados de cortiça de 1 mde lado. Quantos quadrados de cortiça serão necessários?

Para resolver esse problema, é preciso calcu-lar a área da parede, que tem a forma de umretânguloretânguloretânguloretânguloretângulo e a área do pedaço de cortiça, quetem a forma de um quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado.

Área do retângulo = comprimento · largura

= 3 m · 5 m = 15 m2

Área do quadrado = lado · lado

= 1 m · 1 m = 1 m2

Como cada quadrado tem 1 m2 de área, serão necessários 15 pedaços de 15 pedaços de 15 pedaços de 15 pedaços de 15 pedaços decortiçacortiçacortiçacortiçacortiça para forrar a parede.

53A U L A Unidade de área

Na Aula 15, estudamos unidades específicas para cada figura a ser medida.No quadro abaixo, vamos recordar as unidades de área mais usuais.

l MetroMetroMetroMetroMetro quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado (m(m(m(m(m22222))))): é a superfície de um quadrado de 1 metro (1 m) de lado.

l QQQQQuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (kmuilômetro quadrado (km22222))))): é a superfície de um quadrado de 1 quilômetro(1 km) de lado.

l CentímetroCentímetroCentímetroCentímetroCentímetro quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado (cm(cm(cm(cm(cm22222))))): é a superfície de um quadrado de 1 centímetro(1 cm) de lado.

Existem ainda: o hectômetro quadrado (hmhmhmhmhm22222), o decâmetro quadrado (damdamdamdamdam22222),o decímetro quadrado (dmdmdmdmdm22222) e o milímetro quadrado (mmmmmmmmmm22222).

Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: No Brasil, costuma-se usar o hectarehectarehectarehectarehectare (ha) ou o alqueirealqueirealqueirealqueirealqueire paramedir grandes extensões de terra. Lembre que:

l 1 hectare (ha) = 10.000 m2 (um quadrado cujos lados medem 100 metros).

l O alqueire alqueire alqueire alqueire alqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem: o alqueirepaulista; o alqueire do norte; o alqueire mineiro.

Mudando de unidade

Quantos centímetros quadrados cabem em um quadrado de 1 metro de lado?

Observe que 1 m = 100 cm, logo, a área desse quadrado é:

100 cm · 100 cm = 10.000 cm2

Portanto, concluímos que: em um quadrado de 1 m2 de área, cabem 10.000quadradinhos de 1 cm2 de área, isto é, quadradinhos de 1 cm de lado.

Agora, é sua vez! Quantos quadrados de 1 m de lado são necessários paracobrir um quadrado de 1 km2 de área?

1 m

1 m

1 cm2

1 m

1 m1 m2

1 m

1 m

53A U L AÁreas de figuras geométricas planas

Área do quadradoConsidere um quadrado qualquer. Usando a álgebra para representar a

medida do lado desse quadrado, vamos chamá-lo por aaaaa.A área desse quadrado é:

A = a A = a A = a A = a A = a ´ aaaaa = aaaaa2

Área do retânguloConsidere um retângulo qualquer, de dimensões aaaaa e bbbbb.A área do retângulo é o produto da medida da base pela altura.Então:

AAAAA = bbbbb ´ aaaaa

Área do paralelogramoObserve as figuras abaixo. Podemos “cortar” um pedaço do paralelogramo

e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo:

A área do paralelogramo é, assim, igual à área do retângulo obtido, ou seja,ao produto das medidas da base pela altura:

AAAAA = bbbbb ´ hhhhh

ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra;portanto, é perpendicular à base.

Área do losangoO losango é uma figura geométrica de lados iguais e diagonais perpendiculares.

AB = diagonal maiorCD = diagonal menor

b

h

base (b)

altura (h)

a

base (b)

base (b)

altura (h)

b

h

B

A

C D

altu

ra (

a)

53A U L A Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique inscrito

nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losango é metademetademetademetademetade da áreado retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais:

Diagonal maior ´ diagonal menor 2

ou, em linguagem algébrica:

A = A = A = A = A = D ´ d

2

Área do trapézioO trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados bases bases bases bases bases:

Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeçapara baixo” em relação ao outro.

A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio.Dessa forma, a área do trapézio é:

Área do trapézio = (base maior + base menor) ´ altura

2 =

B + bα φ́ h2

B b

b B

altu

ra

( )

diagonalmenor

diag

onal

mai

or

diagonalmenor

base menor (b)

base maior (B)

b B

B b

altu

ra

diag

onal

mai

or


Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m na basemaior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno?

Logo, a área do terreno é de 3.500 m3.500 m3.500 m3.500 m3.500 m22222.

Área do triânguloUsaremos um raciocínio semelhante ao que usamos para determinar a área

do trapézio. Assim, construímos dois triângulos iguais:

Encaixando-os, como na figura da esquerda, obtemos um paralelogramocuja área é o dobro da área do triângulo. Como a área do paralelogramo édeterminada pelo produto da base pela altura, a área do triângulo é igual à áreado paralelogramo dividida por dois.

Área do triângulo = base ´ altura2

= b ´ h2

Se o triângulo for retângulo, a área pode ser calculada multiplicando-se oscatetos e dividindo o resultado por 2, pois, nesse caso, um cateto corresponde àbase (bbbbb) e o outro à altura (hhhhh).

A =A =A =A =A = b b b b b ´ h h h h h 2 2 2 2 2

75 m

100 m

40 m

Área =(75 + 100)×40

2 =

=175×40

2 =

= 175 . 20 = 3.500

20

1

altura (h)

base (b)

100 m

40 m

75 m

base (b)

altura (h)

b

a

53A U L A Decompondo figuras planas

Muitas vezes nos deparamos com “figuras estranhas”, que não são nemtriângulos, nem trapézios, nem nenhuma dessas figuras cujas áreas sabemosdeterminar. E aí, o que fazer? Nesses casos, podemos usar uma técnica muitosimples: decompor a “figura estranha” em outras de formatos conhecidos, cujasáreas são mais fáceis de serem obtidas. Veja o exemplo seguinte.


Calcule a área da figura:

Podemos decompor essa figura da seguinte maneira:

Calculamos, então, a área de cada uma das figuras:

(1)(1)(1)(1)(1) é um trapézio de área: (3 + 4, 5)×1,52

= 5,625m2

(2)(2)(2)(2)(2) é um paralelogramo de área: 4,5 . 2,5 = 11,25 cm2

(3)(3)(3)(3)(3) é um triângulo de área:4, 5×3

2= 6,75m2

Somando os três resultados, temos a área da figura dada:

5,625 + 11,25 + 6,75 = 23,625

Assim, a área da figura é 23,625 cm 23,625 cm 23,625 cm 23,625 cm 23,625 cm22222 .

4,5

cm

3 cm2,5 cm1,5 cm

3 cm

4,5

cm

23

1

53A U L ACálculo aproximado de áreas

Existem figuras planas cujas áreas são obtidas por cálculos aproximados.


Esta figura representa a planta de um terreno, na qual cada cm2 correspondea 1 km2 no real. Qual é a área do terreno?

Quadriculamos a figura tomando, por exemplo, o centímetro quadradocomo unidade de área:

Contando os quadradinhos internos e os que cobrem a figura, temos:Figura A (quadradinhos internos) = 43 cm2

Figura B (quadradinhos que cobrem a figura) = 80 cm2

A área da figura, portanto, está entre 43 cm2 e 80 cm2 .

Figura B

Figura A

53A U L A Aproximamos os valores encontrados por meio de média aritmética:

43 + 802

= 61, 5cm2

A área da figura é, portanto, 61,5 cm61,5 cm61,5 cm61,5 cm61,5 cm22222.

Como cada cm2 corresponde a 1 km2, na realidade o terreno têm uma área de,aproximadamente, 61,5 km61,5 km61,5 km61,5 km61,5 km22222.ObObObObObservação:servação:servação:servação:servação: Se usarmos uma unidade de área menor, como por exemplo omilímetro quadrado (mm2), o resultado obtido será mais preciso.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Com a ajuda de uma régua, meça os comprimentos necessários e determinea área das figuras.


c)c)c)c)c)

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Dê o significado de:a)a)a)a)a) 1 m2 b) b) b) b) b) 1 km2

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Calcule a área da capa de seu livro de Matemática do Telecurso 2000.

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Calcule a área do banheiro de sua casa.

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Uma cozinha tem formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões:

Deseja-se azulejar as paredes dessa cozinha até o teto.Quantos azulejos devemos comprar, se os azulejos são quadrados de 15 cmde lado?

Exercícios

h

3 m

3,5 m

4 m

h

4 m

3,5 m

3 m


Pedro desenhou 2 retas paralelas. Em uma marcou o segmento AB e em outramarcou os pontos C, D, E e F, como mostra a figura:

Em seguida ligou alguns pontos formando os triângulos CAB, DAB, EAB eFAB. Analisando esses triângulos, Pedro descobriu um “segredo” sobresuas áreas.Qual foi o “segredo” descoberto por Pedro?

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Calcule a área da figura:

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Quantos metros quadrados de papel são necessários para forrar uma caixafechada, no formato de um cubo de 20 centímetros de aresta?

Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Considerando o quadradinho como unidade de área (u), determine o valoraproximado da área da figura:

A B

C D E F

4 cm

4 cm

1 cm

1 cm

3 cm

2 cm

u

4 cm

2 cm

1 cm

1 cm

4 cm 3 cm

54A U L A

54A U L A

Potências e raízes

Para pensar Num determinado jogo de fichas, os valo-res dessas fichas são os seguintes:

l 1 ficha vermelha vale 5 azuis;l 1 ficha azul vale 5 brancas;l 1 ficha branca vale 5 pretas;l 1 ficha preta vale 5 verdes.

Responda às perguntas, dando o resultado em forma de potência:

a)a)a)a)a) Uma ficha vermelha pode ser trocada por quantas fichas brancas?b)b)b)b)b) E por quantas fichas pretas?c)c)c)c)c) E por quantas fichas verdes?

Potenciação

Na Aula 4 do Volume 1, adotamos cubos para aprender a agrupar e fazercontagens de um modo mais simples. Você se lembra das nossas figuras? Veja:

Nossa aula

54A U L A

{

Quantos cubos há em:

l uma barra?l uma placa?l um bloco?

Para responder a essas perguntas, efetuamos as seguintes multiplicações:

1 barra = 10 cubinhos

1 placa = 10 · 10 = 100 cubinhos

1 bloco = 10 · 10 · 10 = 1.000 cubinhos

Esse tipo de multiplicação, em que os fatores são todos iguais, chama-sepotenciaçãopotenciaçãopotenciaçãopotenciaçãopotenciação, e pode ser indicada da seguinte maneira:

10 · 10 = 10²

10 · 10 · 10 = 10³

l O número que é multiplicado várias vezes por ele mesmo é chamado debasebasebasebasebase (no exemplo acima, é o número 10).

l O número que indica quantas vezes a base está sendo multiplicada é oexpoente expoente expoente expoente expoente (no exemplo acima, são os números 2 e 3).

l O resultado da potenciação é chamado de potênciapotênciapotênciapotênciapotência.

Por exemplo:

1)1)1)1)1) 4³ = 4 · 4 · 4 = 64, que se lê: 4 elevado à 3ª potência ou4 à terceira ou ainda 4 ao cubo

2)2)2)2)2) 5² = 5 · 5 = 25, que se lê: 5 elevado à 2ª potência ou5 à segunda ou ainda 5 ao quadrado

3)3)3)3)3) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, que se lê: 2 elevado à 5ª potência ou2 à quinta


Os únicos casos de potenciação que têm nomes especiais são o deexpoente 2 (que se lê ao quadradoao quadradoao quadradoao quadradoao quadrado) e o de expoente 3 (que se lê ao cuboao cuboao cuboao cuboao cubo).

2 vezes

{

3 vezes

54A U L A

5 zeros

{{

2 zeros

Casos especiais da potenciação

1.1.1.1.1. A base é igual a 1 e o expoente é qualquer número diferente de zero:a potência é sempre igual a 1.

Por exemplo: 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

2.2.2.2.2. O expoente é igual a 1 e a base é qualquer número:a potência é sempre igual à base.

Por exemplo: 31 = 3

3.3.3.3.3. A base é zero e o expoente é qualquer número diferente de zero:a potência é sempre igual a zero.

Por exemplo: 0³ = 0 · 0 · 0 = 0

4.4.4.4.4. A base é 10 e o expoente é qualquer número diferente de zero:a potência é um número que começa com 1 e tem um número de zerosigual ao expoente.

Por exemplo: 10² = 10 · 10 = 100

105 = 100.000

5.5.5.5.5. A base é um número qualquer diferente de zero e o expoente é zero:a potência, por convenção, é sempre igual a 1.

Observe:

34 = 81¸ 3

3³ = 27¸ 3

3² = 9¸ 3

31 = 3¸ 3

30 = 1

54A U L A

NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO

QUADRADOQUADRADOQUADRADOQUADRADOQUADRADO

Radiciação

Vejamos agora a operação inversa da potenciação, a radiciaçãoradiciaçãoradiciaçãoradiciaçãoradiciação.Considere a pergunta: qual é o número que elevado ao quadrado dá 81?

Você sabe que 9 . 9 = 81.Então: 9² = 81 e 81 9= , que se lê: a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9a raiz quadrada de 81 é 9.

l o sinal é o radical radical radical radical radical;l 81 é o radicandoradicandoradicandoradicandoradicando;l 9 é a raiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadrada de 81.

Organizamos uma tabela de quadrados para facilitar a determinação da raizquadrada. Veja:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...

Veja que, na 2ª linha (a dos quadrados) não aparecem todos os números. Osnúmeros que não aparecem não são quadrados e, por isso, não possuem raizquadrada natural. Por exemplo: 2 não tem raiz quadrada natural.

Vejamos agora a inversa do cubo (3ª potência).Qual é o número que elevado ao cubo dá 27?Vejamos uma tabela de cubos:

0 1 2 3 4 5 6 7 ...

0 1 8 27 64 125 216 343 ...

Assim, podemos responder à pergunta:

33 = 27 e 273 = 3 que se lê: a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3a raiz cúbica de 27 é 3.

l a raiz cúbica é a inversa do cubo;l o sinal 3 é o radicalradicalradicalradicalradical e o 3 é o índiceíndiceíndiceíndiceíndice.

Assim como no quadrado, podemos observar que nem todo número naturalpossui raiz cúbica natural. Por exemplo: 93 não tem raiz cúbica natural.

CuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidadesCuriosidades

1.1.1.1.1. De onde surgiu a expressão ao quadradoao quadradoao quadradoao quadradoao quadrado para expressar um númeroelevado à 2ª potência? Por exemplo 3².

Os nove pontos formam um quadrado de ladocom 3 pontos.Por isso, dizemos que 9 é o quadrado de 3.

2.2.2.2.2. De onde surgiu a expressão ao cuboao cuboao cuboao cuboao cubo para expressar um númeroelevado à 3ª potência? Por exemplo 2³.

Na figura, estão marcados 8 pontos que formam umcubo de lado com 2 pontos.Por isso, dizemos que 8 é o cubo de 2.

NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO

CUBOCUBOCUBOCUBOCUBO

54A U L AExercícios

(*) O Exercício 2 foi extraído do livro Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5Matemática na medida certa - 5ª série série série série série, deJakubo e Lellis, Editora Scipione, São Paulo.

o quadrado de 5

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Escreva e calcule:a) a) a) a) a) treze ao quadrado;b)b)b)b)b) quatro ao cubo.

Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *Exercício 2 *Com 25 pontos é possível formar um quadrado, assim:

l l l l ll l l l ll l l l ll l l l ll l l l l

Se for possível, forme um quadrado desse tipo com:

a)a)a)a)a) 9 pontos b)b)b)b)b) 10 pontos c) c) c) c) c) 16 pontos

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Calcule:

a)a)a)a)a) 81 b)b)b)b)b) 120 c)c)c)c)c) 80 d)d)d)d)d) 014 e)e)e)e)e) 1010


a)a)a)a)a) 49 b)b)b)b)b) 64 c)c)c)c)c) 1 d)d)d)d)d) 100 e)e)e)e)e) 36


a)a)a)a)a) 83 b) b) b) b) b) 13 c)c)c)c)c) 1.0003 d) d) d) d) d) 643 e)e)e)e)e) 03

55A U L A

O Teorema dePitágoras

55A U L A

Para pensarl Com ajuda de um par de esquadros, desenhe dois triângulos retângulos demesmo tamanho. Represente num deles a altura relativa à hipotenusa,como mostra a figura da direita:

Recortando os triângulos IIIIIIIIII e IIIIIIIIIIIIIII, você terá três triângulos.Esses triângulos são semelhantes entre si? Por quê?

l Reproduza a figura abaixo, se possível ampliando-a.

l Recortando nas linhas tracejadas, separe as cinco peças numeradas.Encaixe as peças 1 1 1 1 1, 22222, 33333, 44444 e 55555 no quadrado-base, de forma que, juntas,preencham-no completamente.A área do quadrado-base é igual à soma das áreas das cinco peças?

I II III

quadrado-base

1

2

3

45

55A U L A Desde épocas muito remotas, quando começou a erguer casas para se

abrigar, o homem sentiu a necessidade de “construir” ângulos retos paraverificar se as paredes estavam “no esquadro”, isto é, perpendiculares ao chão.Atualmente há instrumentos apropriados para isso, mas não foi sempre assim.Veremos o que a geometria tem a ver com tudo isso.

A geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antigaA geometria é uma ciência muito antiga

O triângulo de lados 3, 4 e 5 é utilizado há muitos séculos pelosconstrutores. Talvez você já tenha ouvido falar das famosas pirâmides egíp-cias: são enormes monumentos de pedra construídos há muitos séculos.

A maior dessas pirâmides, conhecida como Grande Pirâmide ou Pirâmidede Quéops, foi construída há cerca de 4.500 anos. Sua base é um enormequadrado, cujo lado mede aproximadamente 230 m, dentro do qual caberiamquatro quarteirões. Sua altura, que é de 146 m, equivale à altura de um prédiode 50 andares.

Os pesquisadores impressionaram-se com o alto grau de precisão dessasconstruções. A base da Grande Pirâmide é quase um quadrado perfeito: asdiferenças entre as medidas de seus lados são muito pequenas e seus ângulossão todos praticamente iguais a 90º. Tais fatos nos levam a crer que os egípciosdesenvolveram grandes conhecimentos de geometria. Os diversos documentosescritos naquela época revelam que, por exemplo, o triângulo de lados 3, 4 e5 já era conhecido dos arquitetos e construtores egípcios. Diz a História que osconstrutores usavam uma corda, na qual davam nós a intervalos de igualdistância, formando com ela esse tipo de triângulo.

Os arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosOs arquitetos do Egito Antigo construíam ângulos retosusando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.usando uma simples corda com nós.

Texto extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau. Fundação Roberto Marinho, Ministé-rio da Educação e Cultura, Fundação da Universidade de Brasília, 1989.

Nossa aula

55A U L AO triângulo retângulo

Um triângulo que têm um ângulo de 90º (ângulo reto) é chamado detriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulo. Nele, os lados recebem os seguintes nomes:

A hipotenusa é o maior dos lados e é o lado oposto ao ângulo reto.

CuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidade

Hipotenusa era o nome dado às cordas doinstrumento musical chamado lira. Essascordas formavam triângulos retânguloscom os lados do instrumento.A lira, assim como a harpa, são os maisantigos instrumentos de corda. NaGrécia, a invenção da lira era atribuída aApolo, deus da mitologia grega.

Pitágoras e o triângulo retângulo

Quando falamos em triângulo retângulo, lembramos imediatamente dePitágoras, o grande matemático que nasceu na Grécia Antiga, por volta doano 550 a.C. Acredita-se que ele tenha obtido conhecimentos geométricos comagrimensores egípcios, que já usavam o triângulo de lados 3, 4 e 5.

Pitágoras percebeu que, construindo um quadrado sobre cada um doslados de um triângulo de lados 3u3u3u3u3u, 4u4u4u4u4u e 5u5u5u5u5u (sendo uuuuu uma unidade qualquer),como mostra a figura acima, apareceria a seguinte relação:

A área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àA área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual àsoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetossoma das áreas dos quadrados formados sobre os catetos.

No exemplo acima, você poderá observar que: 25 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 1625 = 9 + 16.

cateto

cateto

hipotenusa

3 cm

4 cm

5 cm

55A U L A

I II III IV

O Teorema de Pitágoras

Para Pitágoras, não bastava que essa relação fosse válida para o triângulode lados 3, 4 e 5. Era preciso provar que a relação valia, também, para todos todos todos todos todos ostriângulos retângulos.

Ao construir algumas figuras com papel, acompanhamos melhor esseraciocínio:

1.1.1.1.1. Recorte quatro triângulos retângulos iguais.

2.2.2.2.2. Recorte um quadrado de tal forma que seu lado seja igual à soma dasmedidas dos catetos de um dos triângulos.

3.3.3.3.3. Agora, monte a figura abaixo, sobrepondo os triângulos e o quadrado járecortados:

Observe que o quadrado ao centro da figura tem lado aaaaa, portanto, sua áreaé igual a aaaaa²² ² ² ² ² .

a

b

c

b + c

a2

I II

III IV

a

b

c

55A U L A4.4.4.4.4. Movimente os triângulos e forme esta outra figura:

Os dois quadrados têm lados bbbbb e ccccc. Portanto, suas áreas são bbbbb² e ccccc²² ² ² ² ² .

ConclusãoConclusãoConclusãoConclusãoConclusão

Como o quadrado grande (de lado b + c) é o mesmo nos dois casos,podemos concluir que o quadrado de área aaaaa²²²²²² é igual ao quadradode área bbbbb²²²²²² somado ao quadrado de área c ²c ²c ²c ²c ², ou seja:

a a a a a²= b= b= b= b= b² + c + c + c + c + c²²²²²²

Assim, deduzimos o Teorema de Pitágoras:

Num triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida daNum triângulo retângulo, o quadrado da medida dahipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos

catetos.catetos.catetos.catetos.catetos.

Usando a semelhança de triângulos, podemos demonstrar o Teorema dePitágoras de outra maneira, bem como aprender outras relações métricasentre os lados de um triângulo retângulo.

Considere o triângulo ABC,cujos catetos são bbbbb e ccccc e ahipotenusa é aaaaa.

Trace a altura relativa àhipotenusa. Determinando oponto H e os segmentos hhhhh, mmmmme nnnnn, podemos observar que:aaaaa = m + n = m + n = m + n = m + n = m + n.

II

I

III

IV

a

b

c

b2

c2

A B

C

ab

c

I

A B

C

Ha

b

c

m

n h

III

II

55A U L A Desse modo, obtivemos três triângulos semelhantes, ou seja, triângulos

que possuem os três ângulos iguais. Para facilitar as conclusões, desenhe os trêstriângulos sobrepostos, como indica a figura:

Assim:

l Triângulo I I I I I semelhante ao triângulo IIIIIIIIII, logo:

bh

=cn

=ac

de: cn

=ac

, temos: c c c c c² = a = a = a = a = a ..... n n n n n (1ª relação),

que pode ter a seguinte interpretação:

O quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusapela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.

l Triângulo I I I I I semelhante ao triângulo IIIIIIIIIIIIIII, logo:

bm

=ch

=ab

de: bm

=ab

, temos: bbbbb² = a = a = a = a = a ..... m m m m m (2ª relação),


O quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusaO quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusapela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.pela projeção desse cateto.

l Triângulo IIIIIIIIII semelhante ao triângulo IIIIIIIIIIIIIII, logo:

hm

=nh

=cb

de: hm

=nh

, temos: hhhhh² = m = m = m = m = m ..... n n n n n (3ª relação),


O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produtoO quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto

a

b

c

b

BA

C

h

m

h n

II III

I

das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

55A U L A

b

x y

17

a

Exercícios

Somando a 1ª e a 2ª relação membro a membro, temos:

c² + b² = a . n + a . maplicando a propriedadedistributiva

c² + b² = a (n + m)

como m + n = a, chegamos ao Teorema de Pitágoras: ccccc² + b + b + b + b + b² = a = a = a = a = a²²²²²²

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Aplicando o Teorema de Pitágoras, verifique se são retângulos os triângu-los que têm estas medidas de lados:a)a)a)a)a) 6 cm, 8 cm e 10 cm c)c)c)c)c) 4 cm, 5 cm e 6 cmb)b)b)b)b) 7 cm, 9 cm e 20 cm d)d)d)d)d) 13 cm, 12 cm e 5 cm

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Desenhe um triângulo retângulo e construa triângulos retângulos e isóscelessobre seus catetos e sua hipotenusa, conforme este modelo:

Em seguida:a)a)a)a)a) calcule a área de cada um dos triângulos desenhados sobre os catetos e

sobre a hipotenusa;b)b)b)b)b) some as áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos e comparec o m

a área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa.O que você concluiu?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Usando as relações métricas no triângulo retângulo, calcule as medidasindicadas na figura:

15

56A U L A

56A U L A

IntroduçãoNa aula 29, você estudou um pouco de Esta-tística e aprendeu que esse ramo da Matemática trabalha com dados compara-tivos, pesquisas de opinião, pesquisas de mercado e projeções futuras.

Os dados numéricos obtidos por intermédio das pesquisas são mais facil-mente observados quando organizados numa tabela ou por representaçõesgráficas. No entanto, se uma tabela contém um número muito grande de dados,essa observação pode se tornar confusa. Nesses casos, torna-se mais interessanteobservar os dados da tabela, determinando-se a média desses valores.

Costumamos calcular várias médias na vida diária: a média de horastrabalhadas diariamente, a velocidade média, o salário médio de uma empresa,a produção mensal média de uma indústria, a despesa média mensal, a estaturamédia das pessoas, o consumo médio de gasolina etc. Ignorando as variações, amédia representa situações regulares, ou seja, ignorando as variações, supõe quetodos os valores de uma tabela são iguais.

Na tabela ao lado, estão indicadoso número de veículos produzidos noBrasil, no período de janeiro de 1995 aabril de 1995.

No período entre janeiro de 1995 eabril de 1995, qual foi a produção mé-dia mensal de veículos?

Para responder à pergunta, devemos calcular a média aritmética dosnúmeros apresentados na tabela. Essa média é calculada somando-se os valoresdados e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Temos, então:

Ma97.800 130.800 151.80

4= 127.900

O que significa dizer que a produção média mensal de veículos, no períodoentre janeiro e abril de 1995, foi de 127.900 veículos? Pense um pouco.

Significa que, se numa situação imaginária, a produção mensal de veículosfosse sempre a mesma, o número de veículos produzidos seria de 127.900 por mês.

As médias

Nossa aulaPRODUÇÃO DE VEÍCULOS

Mês/Ano

Jan/95

Fev/95

Mar/95

Abr/95

Nº de veículos

97.800

130.800

151.800

131.200

(Fon

te: J

orna

l do

Bra

sil -

02/

07/

95)

56A U L A Velocidade média

Quando dizemos que, numa viagem, um carro desenvolve uma velocidademédia de 80 km/h, isso não significa que o carro andou com essa velocidade otempo todo da viagem, o que é quase impossível acontecer. Caso, numa situaçãoimaginária, o carro fizesse a viagem com uma mesma velocidade, gastando omesmo tempo, essa velocidade seria de 80 km/h.

Média de horas diárias de trabalho

O número de horas diárias trabalhadas por um professor, durante umasemana, estão assinaladas na tabela. Vamos calcular a média diária de horastrabalhadas.

Ma7 6 10 11 6

5405

= 8 horas

As horas que o professor traba-lhou abaixo da média (2ª feira, 3ª feirae 6ª feira), no total, foram 5 horas; e ashoras trabalhadas acima da média(4ª feira e 5ª feira), no total, tambémforam 5 horas.

Verifique:

2ª feira: 8 - 7 = 1 4ª feira:10 - 8 = 23ª feira: 8 - 6 = 2 5ª feira:11 - 8 = 36ª feira: 8 - 6 = 2__ .Total: 5 h Total: 5 h

Portanto, o número de horas trabalhadas a menos é igual ao número dehoras trabalhadas a mais.

Costumamos dizer que, em relação à média, os excessos compensam asfaltas. Podemos visualizar bem essa situação, usando um gráfico de barras:

DIAS DA SEMANANººººº DE HORAS DE

TRABALHO

2ª feira

3ª feira

4ª feira

5ª feira

6ª feira

7 h

6 h

10 h

11 h

6 h

56A U L AVejamos outro exemplo, ilustrando a idéia da média:

O peso máximo permitido dentro de um elevador de prédio residencial é, emgeral, de 420 kg ou 6 pessoas, o que dá uma média de 70 kg por pessoa(420 ¸ 6 = 70).

Supondo que 5 pessoas, cujos pesos estão na tabela abaixo, entraram numelevador, qual pode ser, no máximo, o peso de uma 6ª pessoa que deseja entrarno mesmo elevador? (Os pesos, na tabela, foram arredondados para facilitar oscálculos).

Somando os pesos das cinco pes-soas que estão no elevador, encontra-mos 372 kg.

Como o máximo permitido é420 kg, o peso da 6ª pessoa pode ser até:420 - 327 = 93 kg.

70 - 54 = 16 75 - 70 = 5excessos 70 - 68 = 2 72 - 70 = 2 faltas

70 - 58 = 12 .30 7

Diferença: 30 - 7 = 23

Logo, a 6ª pessoa pode ter 70 + 23 = 93 kg.

Usamos nesse problema a idéia, vista anteriormente, de que em relação àmédia os excessos compensam as faltas.

Tente resolver o problema de outra forma, calculando os excessos e as faltasem relação à média dos pesos.

A média aritmética que já estudamos é chamada média aritmética simples.Vamos apresentar, agora, a média aritmética ponderada (ponderar = pesar),muito usada quando se torna necessário valorizar, dar um peso a um ou maisvalores que entrarão no cálculo da média.

Cálculo da média ponderada

Numa escola, o critério para o cálculo da média de cada aluno, em cadadisciplina, é o seguinte:

1º bimestre: peso 12º bimestre: peso 23º bimestre: peso 34º bimestre: peso 4

PESSOAS PESOS

54 kg

68 kg

75 kg

58 kg

72 kg

?

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

56A U L A Para determinar a média aritmética ponderada de um aluno que obteve,

em Matemática, notas 10,0, 8,5, 7,0 e 5,5 em cada bimestre, faz-se assim:multiplica-se cada nota pelo seu peso correspondente, somando-se depoistodos os resultados obtidos nas multiplicações. Em seguida, divide-se essasoma pelo total dos pesos.

MP10,0 · 1 8,5 · 2 7,0 ·

1+ 2 + 3 + 4 = 7,0

A média desse aluno, em Matemática, é 7,0.A média ponderada pode facilitar o cálculo de médias, quando aparecem

uma ou mais parcelas repetidas várias vezes. Nesse caso, multiplicamos asparcelas pelo número de vezes em que elas aparecem. Veja o exemplo:

Em uma empresa, 25 empregados ganham R$ 150,00, 10 ganham R$ 220,00e 5 ganham R$ 280,00. Qual é o salário médio que essa empresa paga?

MP25 · 150 10 · 220 5 ·

25 +10 + 5 = 183,75

O salário médio dos empregados dessa empresa é de R$ 183,75.

Média geométrica

Chamamos de média geométrica de dois números positivos a raiz qua-drada do produto desses dois números.

EXEMPLO

A média geométrica dos números 2 e 8 é:

Mg 2 · 8 16 = 4

Comparando esse resultado com a média aritmética dos mesmos números,e assinalando os dois resultados na reta numérica, temos:

Ma2 8

2102

= 5

A média aritmética é o ponto médio entre 2 e 8 e a média geométrica émenor que a média aritmética.

56A U L AAplicação da média geométrica

Na fase de perfuração de um túnel, os operários precisam colocar estacaspara sustentação. Vamos calcular o comprimento de uma estaca, em determina-do ponto. Assim:

Vamos lembrar que todo ânguloinscrito numa semi-circunferênciamede 90º. Logo, o triângulo formadona figura é um triângulo retângulo e aestaca é a altura desse triângulo.

Sabemos, do estudo de relações métricas no triângulo retângulo, que:

h2 = a · b

ou

h a· b

Podemos dizer, então, que o comprimento da estaca é a média geométricadas distâncias entre o ponto de apoio da estaca e as laterais do túnel.

Exercício 1Num concurso, constavam provas de Português, Matemática e Ciências.Português e Matemática tinham peso 2 e Ciências, peso 1. Calcule a médiaponderada de um candidato que tirou as seguintes notas:

Português: 6,0

Matemática: 7,0

Ciências: 5,0

Exercício 2Calcule a média das alturas de uma equipe de basquete, que estão indicadasna tabela abaixo:

Exercícios

ALTURA (m)JOGADOR

1º

2º

3º

4º

5º

1,80

1,84

1,90

1,88

1,86

56A U L A Exercício 3

Numa reta numérica, assinalamos o número que está localizado no meio dadistância entre os números 1

2 e 65 . Determine o número:

Exercício 4A média aritmética de cinco números é 12. Quatro desses números são6, 7, 8 e 11. Qual é o 5º número?

Exercício 5Um carro fez uma viagem de 480 km, em 8 horas. Qual foi sua velocidademédia?

56A U L A

Aplicação do Teoremade Pitágoras

Para pensar

Nossa aula

Uma escada de 5 m de comprimento estáapoiada num muro. O pé da escada está afastado 3 m da base do muro. Qualé a altura, no muro, que a escada alcança?

Para resolver esse problema, usaremos uma propriedade muito importantedos triângulos retângulos que foi estudada na aula anterior. Ela é conhecidacomo Teorema de Pitágoras e diz o seguinte:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida daEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida dahipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas doshipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos

catetos.catetos.catetos.catetos.catetos.

Observe o seguinte triângulo retângulo:

A hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa é o lado maior do triângulo, BC. A hipotenusa pode seridentificada também como o lado oposto ao ângulo reto do triângulo. Os outroslados, AB e AC, são chamados de catetoscatetoscatetoscatetoscatetos.

Esses nomes, hipotenusa e cateto, são usados apenas para indicar os lados dotriângulo retângulo.

O Teorema de Pitágoras se aplica a todos os triângulos retângulos.Portanto, uma maneira rápida e simples de saber se determinado triângulo éretângulo quando conhecemos apenas as medidas de seus lados é aplicar oTeorema de Pitágoras.

56A U L AA U L A

AB

C


Verifique se o triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm éretângulo.

Elevando ao quadrado as medidas dos dois lados menores, os catetos, esomando os resultados, temos:

10²² + 24²² = 100 + 576 = 676

Elevando também ao quadrado a medida da hipotenusa:26²² = 676

Verificamos que: 26²² = 10²² + 24²² . Logo, este triângulo é retângulo.

Veja, agora, outras aplicações do Teorema de Pitágoras.


O lado de um quadrado mede 5 cm. Quanto mede a diagonal desse quadrado?

Você já sabe que a diagonal do quadrado é o segmento de reta que liga doisvértices não consecutivos. Não se esqueça também de que o quadrado temos quatro lados iguais e os quatro ângulos retos.Ao traçar uma diagonal, o quadrado fica dividido em dois triângulos retân-gulos iguais. A diagonal é a hipotenusa, e os lados do quadrado, os catetos.

Na figura ao lado, destacamos umdos triângulos. Assinalamos adiagonal com a letra ddddd. Vamosaplicar o Teorema de Pitágoraspara determinar o valor de d d d d d (me-dida da diagonal):

² = 5² + 5²d² = 25 + 25d² = 50 _ d = 50

O resultado 50 é um número irracional: tem uma infinidade de casasdecimais sem ser periódico.Não existe nenhum número natural que elevado ao quadrado seja igual a 50.Portanto, o resultado do problema ficará indicado por 50 . Usando amáquina de calcular, obtemos um resultado aproximado com duas casasdecimais. A diagonal do quadrado de lado 5 cm é igual a 50 ou 7,077,077,077,077,07 cm,aproximadamente.

5 cm

5 cm

5 cm

d

d²


Num losango, as diagonais medem 16 cm e 12 cm. Determine a medida dolado do losango.

O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados iguais. Suasdiagonais são diferentes entre si e perpendiculares, isto é, cortam-se ao meioformando quatro ângulos retos.

Observe na figura acima que, ao se cruzarem, as diagonais dividem olosango em quatro triângulos retângulos. Em cada um deles os catetosmedem 8 cm e 6 cm, pois cada cateto é a metade de uma diagonal. Veja quechamamos a hipotenusa do triângulo de xxxxx, representando a medida do ladoladoladoladoladodo losango que vamos calcular. Aplicando Pitágoras, temos:

x²² = 8²² + 6²²x²² = 64 + 36x²² = 100x = 100 ® x = 10

Logo, o lado do losango mede 10 cm10 cm10 cm10 cm10 cm.


Um triângulo isósceles tem 16 cm de altura e 12 cm de base. Determine amedida dos outros dois lados.

Vamos lembrar que o triângulo isósceles possui dois lados iguais e umdiferente, chamado basebasebasebasebase.Quando traçamos a altura do triângulo em relação à base ela forma doistriângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a alturaalturaalturaalturaaltura (16 cm), o outromede metade da basemetade da basemetade da basemetade da basemetade da base (6 cm) e a hipotenusa é um dos lados iguaislados iguaislados iguaislados iguaislados iguais dotriângulo isósceles, cuja medida é desconhecida (xxxxx).

x8

6

x16

6

12

_

56A U L AAssim, aplicando Pitágoras:

x²² = 16²² + 6²²x²² = 256 + 36x²² = 292x²² = 292

A medida dos lados iguais do triângulo isósceles é 292 cm ou 17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cmaproximadamente.


Num triângulo equilátero cujo lado mede 8 cm, quanto mede a altura?

Da mesma forma que no triângulo isósceles, ao traçarmos a altura formam-se dois triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a alturaalturaalturaalturaaltura (xxxxx) quenão conhecemos a medida, o outro mede metade do ladometade do ladometade do ladometade do ladometade do lado (4 cm) e ahipotenusa é o ladoladoladoladolado do triângulo equilátero (8 cm). Aplicando o Teoremade Pitágoras:

8²² = ² x² + 4²²64 = x² + 1664 - 16 = x²²+ 16 - 16 (lembre-se da Aula52)48 = x²

A altura do triângulo retângulo de lado 8 cm é, portanto, 48 cm ou 6,926,926,926,926,92cmcmcmcmcm aproximadamente.

Vamos agora resolver o problema sugerido no início da aula que é,também, uma interessante aplicação prática do Teorema de Pitágoras.Observe:

4 cm

8 cmx

8 cm

5 m

3 m

x5 m

3 m

x

_ x = Ö48

56A U L A

(aplicando a operação inversa da adição, a subtração)

Exercícios

10

8

10 10x

x

x

Ao encostar no muro, a escada forma um triângulo retângulo onde:l o comprimento da escada é a hipotenusa do triângulo (5 m);l a distância do pé da escada à base do muro é a medida de um dos catetos

do triângulo (3 m);l a altura que a escada alcança no muro é a medida do outro cateto (xxxxx), que

não conhecemos. Aplicando Pitágoras:

5²² = 3² + x²² ²25 = 9 + x²² ²25 - 9 = x²² ²x²² ² = 16

A altura que a escada alcança no muro é de 4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Verifique se o triângulo cujos lados medem 13 cm, 12 cm e 5 cm é umtriângulo retângulo.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine as medidas indicadas:


Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Calcule a medida do ladodesse losango.

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Calcule a medida da diagonal de um retângulo cujos lados medem 36 m e 27 m.

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo perímetro mede 24 cm.

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6As diagonais de um losango medem 6 m e 8 m. Qual é o perímetro desselosango?

_ x = Ö16 _ x = 4

57A U L A

A área do círculo

57A U L A

Para pensar

Nossa aula

Em uma competição de ciclismo, foi decididoque as rodas das bicicletas seriam pintadas com a cor da camisa de cadacompetidor.

A pintura foi feita como na figura abaixo:

Que parte da roda foi pintada?

Você já aprendeu na Aula 45 que o comprimento de uma circunferênciadepende de seu raio e pode ser obtido pela expressão:

Nesta expressão rrrrr é a medida do raio e p é um número irracional queaproximamos para 3,14.

comprimento = 2 prr


Numa circunferência cujo raio é de 5 cm, qual é o comprimento?

2 . p . 5 = 10 . 3,14 = 31,4

O comprimento da circunferência é de aproximadamente 31,4 cm 31,4 cm 31,4 cm 31,4 cm 31,4 cm.

Agora, nesta aula, vamos aprender a calcular a área do círculo.Para isso, imaginamos que o círculo seja formado por várias circunferên-cias concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortare s s a scircunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triânguloretângulo:

Nesse processo, quanto maior for o número de circunferências utilizadopara completar o círculo, melhor será sua representação em um triângu-lo.Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua basemede 2pr, isto é, o comprimento da maior circunferência, a fronteira docírculo.

Calculando a área do triângulo, temos:

=


Vamos agora calcular a área do círculo do Exemplo 1.Como r = 5 cm, r² = 5 x 5 = 25 cm².A área então será: p x 25 = 3,14 ´ 25 = 78,5 cm78,5 cm78,5 cm78,5 cm78,5 cm²²²²²² .

Área do círculo = pr²²

2pr

r

base . altura 2

2pr . r 2

= pr²


Na figura abaixo, você pode perceber que a área do quadrado que contémo círculo com o menor desperdício possível é maior que a área docírculo. Qual é a área desperdiçada?

Se o raio do círculo é 5 cm, seu diâmetro mede 10 cm. O lado do quadradoé igual ao diâmetro do círculo: 10 cm. Então:

Área do quadrado = l ²² = 10 . 10 = 100 cm²²Área do círculo = 78,5 cm²² (ver Exemplo 2)Desperdício = 100 - 78,5 = 21,5 cm²²

SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Avalie esse desperdício em termos percentuais.

Área do setor circular

Numa circunferência de centro OOOOO e raio rrrrr denominamos ângulo centralângulo centralângulo centralângulo centralângulo central aoângulo cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados cortam acircunferência.

Um setor circularsetor circularsetor circularsetor circularsetor circular é a região do círculo de centro O O O O O e raio rrrrr delimitada porum ângulo central.

Para calcular a área de um setor circular temos duas opções.

1.1.1.1.1. Se você sabe em quantas partes iguaispartes iguaispartes iguaispartes iguaispartes iguais um círculo foi dividido, é sódividir a área do círculo pelo número de partes. Veja o exemplo

seguinte.

5 cm

ângulo central AÔB

A

B

O

r

setor circular

A

B

O


2.2.2.2.2. Quando conhecemos o ânguloânguloânguloânguloângulo correspondente ao setor circular, pode-mos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. Vejao exemplo seguinte.


Este setor circular corresponde a umângulo com abertura de 50º que é umsegmento do ângulo central.O ângulo central que corresponde auma volta completa, ou seja, a todo ocírculo, mede 360º.

Já calculamos a área do círculo de raio 2 cm no Exemplo 4. Usando atécnica da regra de três (ver Aula 51), temos:

ÁREAÁREAÁREAÁREAÁREA ÂNGULOÂNGULOÂNGULOÂNGULOÂNGULO

CÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULO 12,56 cm² 360ºSETORSETORSETORSETORSETOR x 50º

Ou seja: 12,56 cm² — 360ºx — 5 0 º

Logo:

Área do círculo = 2 partes iguaisÁrea do setor =

4 partes iguaisÁrea do setor =

6 partes iguaisÁrea do setor =

2 cm 2 cm 2 cmO O O

2 cm50º

x =12,56 × 50º

360º= 1,74cm2

O2 cm

@ 3,14cm²pr² = p . 2² @@12,56 cm²

12,562

= @6,28 cm² 12,56

4= 12,56

6= @ 2,09cm²

.

57A U L A

R

rO

Exercícios

30%

Área da coroa circular

Observe a figura ao lado. Denomina-secococococoroa circularroa circularroa circularroa circularroa circular à região sombreada, que é obti-da com dois círculos de mesmo centro OOOOO e raiosdiferentes RRRRR e rrrrr.

É muito simples calcular a área de umacoroa circular, pois, como você percebe na figu-ra, ela é obtida retirando-se um círculo menordo círculo maior. Desse modo, sua área éobtida subtraindo-se a área do círculo menorda área do círculo maior. Acompanhe o exem-plo.


Fazendo R = 5 mR = 5 mR = 5 mR = 5 mR = 5 m e r = 3 mr = 3 mr = 3 mr = 3 mr = 3 m, temos:Área do círculo maior @ 3,14 · 25 = 78,5 m²Área do círculo menor @ 3,14 · 9 = 28,26 m²Área da coroa circular @ 78,5 - 28,26 = 50,24 m²50,24 m²50,24 m²50,24 m²50,24 m²

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Calcule a área de um círculo:a)a)a)a)a) cujo raio mede 6 cm;b)b)b)b)b) cujo diâmetro mede 8 cm.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule:a)a)a)a)a) a área de um dos setores circulares assim obtidos;b)b)b)b)b) a medida do correspondente ângulo central.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Use a regra de três para calcular a área de um setor circular de 150º deabertura num círculo com 1 m de raio.

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com 2 cm de raio.Calcule a área de cada setor.

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Resolva como exercício a Sugestão ao final do Exemplo 3.

40%

20%

10%

58A U L A

Calculando volumes

l Considere um cubo de aresta aaaaa:

Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de aaaaa, de quantos cubos dearesta a a a a a precisaremos?

l Pegue uma caixa de fósforos e uma caixa de sapatos. Considerando a caixade fósforos como unidade de medida, qual o volume da caixa de sapatos?

l Com cartolina, ou algum outro papel encorpado, construa um cubo e umapirâmide de base quadrada de tal forma que:- a base da pirâmide seja um quadrado igual à face do cubo;- a altura da pirâmide seja igual à medida da aresta do cubo.Nessas condições, qual a relação entre os volumes da pirâmide e do cubo?

58A U L A

Para pensar

a

a

a

Esquema do cubo(sem tampa)

Esquema da pirâmidede base quadrada

a

a a

aa

58A U L ANa Aula 15, estudamos que os objetos têm área, volume e forma. Vimos

também que existem objetos com mesmo volume e formas diferentes.Nesta aula, estudaremos um pouco mais esse assunto, aprendendo a

calcular o volume de alguns sólidos. Mas, antes, veremos algumas situaçõesque envolvem a idéia de volume e capacidade:

l areia retirada de um rio l uma garrafal entulho retirado de uma obra l uma seringal dejetos poluentes despejados l uma caixa d'água

nos rios, lagos ou mares l ar dos nossos pulmões

Medir o volume ou a capacidade de um objeto é saber a quantidade deespaço que ele ocupa ou de que dispõe para armazenar.


Esta garrafa está cheia. Ela contém290 mililitros (290 ml) de refrigerante:

Volume Volume Volume Volume Volume = 290 ml

Isso significa que 290 ml é a quantida-de de líquido que a garrafa podearmazenar:

Capacidade Capacidade Capacidade Capacidade Capacidade = 290 ml


Para encher uma caixa d’água de 2 metros de comprimento por 2 metrosde largura e 1 metro de profundidade, foram necessários 4.000 litros deágua .

VolumeVolumeVolumeVolumeVolume da caixa d’água = 2 m x 2 m x 1 m = 4 m3

CapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidadeCapacidade da caixa d’água = 4.000 litros

Nossa aula

CAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADE DEDEDEDEDEVOLUMEVOLUMEVOLUMEVOLUMEVOLUME DEDEDEDEDE

2 cm

2 cm

1 cm

58A U L A As unidades de volume e de capacidade são estabelecidas pela seguinte

relação:

11111l = 1.000 cm = 1.000 cm = 1.000 cm = 1.000 cm = 1.000 cm³³³³³³

Isto é, se tivermos um cubo oco com 10 cm de aresta, podemos colocar nessecubo, exatamente, 1 litro de líquido (água, suco, leite, óleo etc.).

Outras relações, decorrentes dessa, também são bastante utilizadas:

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m33333 ===== 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 l1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm33333 ===== 1 m1 m1 m1 m1 ml

As unidades de medida de volume fazem parte do Sistema Decimal deMedidas. As mais usadas são:

metro cúbico (m3)decímetro cúbico (dm3)centímetro cúbico (cm3)milímetro cúbico (mm3)

1 m1 m1 m1 m1 m33333 = 1.000 dm = 1.000 dm = 1.000 dm = 1.000 dm = 1.000 dm33333 = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm = 1.000.000 cm33333 = ... = ... = ... = ... = ...

Desse modo são necessários 1.000.000 de cubinhos de 1 cm de arestapara formar um cubo de 1 m de aresta.

Volume do paralelepípedo

Paralelepípedo é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm aforma de uma caixa de sapato, de um tijolo etc. Na verdade, a definição deparalelepípedo é mais geral. Se quisermos ser mais precisos, uma caixa desapato é um paralelepípedo reto de base retangular.

Na Aula 15, calculamos o volume do paralelepípedo, multiplicando suasdimensões (comprimento, largura e altura):

10 cm

10 cm

V = a V = a V = a V = a V = a ..... b b b b b ..... c c c c c

2 cm2 cm

1 cm

58A U L A

Qual o volume do cubo cuja aresta mede 5 cm? (Lembre-se de que o cubo éum paralelepípedo cujas dimensões têm a mesma medida).

Imagine que esse cubo seja oco. Quantos litros de água seriam necessáriospara enchê-lo até a boca?

Como: 1 l = 1.000 cm3

Então, fazendo uma regra de três, temos:

1 litro = 1.000 cm3

x litros = 125 cm3

x = 1× 1251.000

= 0,125 litros = 125 mililitros

Podemos colocar 125 125 125 125 125 l de água num cubo cujo volume é de 125 cm3.

Decompondo figuras sólidas

O paralelepípedo pode ser decomposto em duas outras figuras sólidas.Veja:

V = 5 cm V = 5 cm V = 5 cm V = 5 cm V = 5 cm ..... 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm . . . . . 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm 5 cm = 125 cm333335 cm

5 cm

5 cm


58A U L A Cada um dos sólidos que surge pela decomposição deste paralelepípedo

retângulo é um exemplo de prisma. Temos, em nosso caso, dois prismas retosprismas retosprismas retosprismas retosprismas retosde base triangularde base triangularde base triangularde base triangularde base triangular. Observe que, neste exemplo, a base de cada prisma é umtriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulo.

O volume do prisma reto de base triangular é metade do volume doparalelepípedo. Portanto, o volume do prisma reto de base triangular é:

Note que o paralelepípedo também é um prisma reto, porém de baseretangular.

Para obter o volume de um prisma com uma base qualquer multiplicamosa área da base área da base área da base área da base área da base pela alturaalturaalturaalturaaltura. Por exemplo:

Prisma reto de base quadrangular(ou paralelepípedo):

Volume = área da base x altura

V = (a . b) . c

que é o resultado já conhecido para o volume do paralelepípedo.

a

a

b

b

c

c

b

a

V = a . b . cV = a . b . cV = a . b . cV = a . b . cV = a . b . c

V=V=V=V=V=a . b . ca . b . ca . b . ca . b . ca . b . c 2 2 2 2 2

58A U L AVolume do cilindro

Cilindro é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma deum latão de querosene ou de um cigarro. O cilindro é um sólido geométricocujas bases são dois círculos iguais, como na figura:

O volume do cilindro pode ser determinado do mesmo modo que o volumedo prisma reto:

Volume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . alturaVolume do cilindro = área da base . altura

Como a base do cilindro é um círculo, temos:

Área da base = área do círculo = pr2 , onde r é o raio do círculo

Então, a área do cilindro pode ser expressa por:

A = ² . aA = ² . aA = ² . aA = ² . aA = ² . a


Determine o volume de um cilindro de 30 centímetros de altura e cuja basetem 20 centímetros de raio.

V = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · alturaV = área da base · altura

Área da base = prrrrr22222

A = p . 202 = 3,14 . 400A = 1.256 cm2

Volume = 1.256 . 30 = 37.680 cm37.680 cm37.680 cm37.680 cm37.680 cm33333

área docírculoda base

altura docilindro

{ {

20 cm

30 cm

P rrrrr²

58A U L A Densidade de um corpo

Na Aula 14, aprendemos que a massamassamassamassamassa de um objeto pode ser dada pelo seupeso. As unidades de medida de massa são o quilograma (kgkgkgkgkg) e o grama (ggggg).

Podemos definir a densidade de um objeto (ou corpo) como o quocienteentre sua massa e seu volume:

Um método prático para determinar o volume de objetos, por exemplo ode uma pedra, é o seguinte:

l Pegue um recipiente transparente, cujas medidas sejam fáceis de calcular.Por exemplo, um copo na forma de um cilindro.

l Encha-o com água e meça a altura que a água atingiu.No nosso exemplo, o volume de água é:

V = p . 52 . 10 = 3,14 . 25 . 10 = 785 cm3

l Em seguida, mergulhe a pedra na água e meça novamente a alturaatingida.

Volume = p . 52 . 12 = 3,14 . 25 . 12 = 942 cm2

A diferença entre os dois resultados é o volume da pedra:

Volume da pedra = 942 - 785 = 157 cm157 cm157 cm157 cm157 cm33333.

Densidade =massa

volume

10 cm

10 cm

12 cm


De quantos cubinhos iguais a A precisamos para montar um cubo igual a B?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Quantos litros de óleo cabem no galão abaixo?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3O que significa m3 ?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Qual o volume de um bolo cuja altura é 5 cm e cujo diâmetro é 60 cm?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Quantos litros de leite cabem em um galão cilíndrico de 20 cm de diâmetroe 60 cm de altura?

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Meça as arestas e calcule o volume de uma caixa de pasta de dentes.

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Calcule a capacidade, em metros cúbicos, de uma caixa que possa conter ofogão de sua casa.

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Calcule o volume de duas latas de óleo com formatos diferentes.

Exercícios

A B

50 cm

20 cm

20 cm

58A U L A

58A U L A

Introdução Vamos apresentar, nesta aula, equações ondea incógnita aparece no expoente. São as equações exponenciaisequações exponenciaisequações exponenciaisequações exponenciaisequações exponenciais.

Resolver uma equação é encontrar os valores da incógnita que tornam aequação verdadeira. No caso da equação exponencial, para resolvê-la, procu-raremos obter sempre uma igualdade de duas potências de mesma base, poissabemos que, se duas potências de mesma base são iguais, então, seusexpoentes também são iguais. Por exemplo, para resolver a equação 3xxxxx = 243,podemos decompor o número 243, em fatores primos e escrevê-lo em forma depotência, assim:

3x = 35

logo,

x = 5

A solução da equação é x = 5.

Você verá, agora, vários outros exemplos de resolução de equaçõesexponenciais.


Resolver a equação 2x = 2.

Como já sabemos, todo número elevado a 1 (um) é igual a ele mesmo. Então,podemos escrever:

2x = 21

logo,

x = 1


Equações exponenciais

Nossa Aula


Resolver a equação 52x = 1Lembrando que um número diferente de zero, elevado a zero, é igual a um,

a equação pode ser escrita assim:

52x = 50 Þ 2x = 0 Þ x = 0



Resolver a equação 33x = 19

Uma fração, cujo numerador é 1 (um), pode ser escrita na forma de umapotência de expoente negativo.

Decompondo o denominador da fração em fatores primos, temos:

33x = 1

32 Þ 33x = 3- 2

3x = - 2 Þ x = -23

A solução da equação é x = -23


Resolva a equação 10x - 1 = 0,001O número 0,001 pode ser escrito com uma potência de expoente negativo, logo:

10x - 1 = 10-3 Þ x - 1 = - 3 Þ x = - 3 + 1 Þ x = -2

A solução da equação é x = - 2


Resolver a equação 52x + 1 = 5Vamos escrever a raiz na forma de potência de expoente fracionário, como

vimos na aula anterior:

52x + 1 = 512 Þ 2x + 1 =

12

2x = 12

- 1

2x = 1 - 2

2 Þ 2x = -

12

Þ x = -14

A solução da equação é x = -14

.


Resolva a equação 43x - 5 = 4x-1

Neste exemplo, as potências já estão com as bases iguais, portanto, podemosigualar diretamente seus expoentes.

3x - 5 = x - 13x - x = - 1 + 5

2x = 4

x = 2



Resolva a equação 16x - 3 = 2x + 3

Vamos decompor 16 e escrevê-lo em forma de potência de base 2. Temos que16 = 24, logo:

(24)x - 3 = 2x + 3 (vamos aplicar a propriedade da potenciação de potência).

24(x - 3) = 2x + 3

24x - 12 = 2x + 3 Þ 4x - 12 = x + 3

4x - x = 12 + 3

3x = 15

x = 5


Em todos os exemplos apresentados até agora, poderíamos ter conferido aresposta, substituindo a solução encontrada na equação dada.


Resolva e confira a solução da equação 1

100ΦΗ

ΙΚ

x

= 10x - 3

Vamos substituir na equação 1

100 por 10-2

(10-2)x = 10x- 3

10-2x = 10x - 3 Þ - 2x = x - 3

- 2x- x = - 3

- 3x = - 3

x = 1

58A U L AVamos agora fazer a verificação. Substituindo xxxxx, na equação por 1, temos:

1100

ΦΗ

ΙΚ

1

= 101- 3

1100

= 10- 2 , que é uma sentença verdadeira.

Logo, a solução da equação é, de fato, x = 1.


Resolva a equação 92x = 27x-1

Nesse exemplo, precisamos decompor as duas bases em fatores primos, ouseja, 9 = 3² e 27 = 3³. Temos, então:

(3²)2x = (3³)x-1 (aplicando a propriedade da potenciação da potência)

34x = 33(x-1)

44x = 33x-3 Þ 4x = 3x - 3

4x - 3x = - 3 Þ x = - 3

Vamos verificar a resposta, substituindo o xxxxx por -3.

1º membro da equação: 92 · (-3) = 9-6 = (3²)-6 = 3-12

2º membro da equação: 27-3-1 = 27-4 = (3³)-4 = 3-12

Quando substituímos a solução x = -3 nos dois membros obtemos resultadosiguais.

Logo a solução da equação está correta e é, de fato, x = - 3.

Vejamos, agora, uma utilização de equações exponenciais, na resolução deproblemas sobre progressões geométricasprogressões geométricasprogressões geométricasprogressões geométricasprogressões geométricas.


Em uma progressão geométrica, a razão é 2, o primeiro termo é 5 e o últimotermo é 1.280. Quantos termos possui essa progressão?

Lembrando da aula em que você aprendeu progressões geométricas, afórmula para o cálculo do termo geral é:

an = a1qn-1

onde a1 é o 1º termo, qqqqq é a razão, an é um termo qualquer e nnnnn é o número de termos.Logo, substituindo os dados do problema, na fórmula, temos:

an = a1 · qn-1

1280 = 5 · 2n-1 ® (dividindo os dois membros por 5)

256 = 2n-1

28 = 2n-1 Þ n - 1 = 8 Þ n = 9

A progressão geométrica possui, portanto, 9 termos.


Resolva a equação 3x + 1 - 3x = 1.458

3x +1 - 3x = 1.458

3x · 3 - 3x = 1.458 (aplicando a propriedade da potenciação);

3x (3 - 1) = 1.458 (colocando 3x em evidência);

3x · 2 = 1.458

3x = 729 (dividindo os dois membros por 2).

3x = 36 Þ x = 6


Resolva as equações exponenciais:

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.10x = 1.000.000

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.112x = 11

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.2x + 1 = 1024


Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.

4x = 1

16

Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.(0,0001)x = 108 - 5x


Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.55x - 1 = 53x + 5

Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.125x - 1 = 5x + 7

Exercício 10.Exercício 10.Exercício 10.Exercício 10.Exercício 10.100x - 4 = 1000x

Exercícios

59A U L A

59A U L A

Escreva os números que são pedidos:l os números naturais menores que 5;l os números inteiros maiores que - 2 e menores que 1;l os números naturais que são soluções da equação x + 3 = 2;l os números inteiros que são soluções da equação 5x + 4 = 1;l um número racional que seja maior que zero e menor que 1.

Vários tipos de número já foram estudados neste curso, mas seus nomesnão são conhecidos ainda. Vamos, então, organizar os diferentes tipos denúmero que já conhecemos com seus respectivos nomes.

O primeiro contato que temos com os números é pela contagem, quandosurgem, de maneira natural, os números 1, 2, 3, 4 etc. Mais tarde, quandoestudamos nosso sistema de numeração, aparece o 0 (zero). Ele é usado para indicara ausência de unidades numa determinada ordem de um número.

Chamamos de números naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturaisnúmeros naturais os números 0, 1, 2, 3, 4 ...Considere as chamadas operações elementaresoperações elementaresoperações elementaresoperações elementaresoperações elementares (adição, subtração, multi-

plicação e divisão) com números naturais. Quais dessas operações têm semprecomo resultado um número natural? Isso é o mesmo que perguntar:

l A soma de dois números naturais é sempre um número natural?l A diferença de dois números naturais é sempre um número natural?l O produto de dois números naturais é sempre um número natural?l O quociente de dois números naturais é sempre um número natural?

Nas aulas anteriores verificamos que:

A soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto de dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são sempree dois números naturais são semprenúmeros naturais.números naturais.números naturais.números naturais.números naturais.

A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois números naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalnúmeros naturais só é um número naturalquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igualquando o primeiro é maior ou igual ao segundo. ao segundo. ao segundo. ao segundo. ao segundo.

Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: 7 7 7 7 7 - 3 = 4 3 = 4 3 = 4 3 = 4 3 = 4 é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural.

Organizando osnúmeros

Vamos pensar

Nossa aula

59A U L AQuando queremos fazer uma subtração em que o primeiro número é

menor que o segundo, precisamos usar os números negativosnúmeros negativosnúmeros negativosnúmeros negativosnúmeros negativos, que não sãonúmeros naturais:

4 4 4 4 4 - 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = - 3 não é um número natural 3 não é um número natural 3 não é um número natural 3 não é um número natural 3 não é um número natural

Vemos, assim, surgir um novo conjunto de números, formado pelos núme-ros naturais mais os números negativos: os números inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteirosnúmeros inteiros.

São, portanto, números inteiros os números ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ... e podemser representados numa reta numérica da seguinte maneira:

Observamos que:

l os números negativos estão à esquerda do zero, portanto todo númeronegativo é menor que zero;

l os números positivos estão à direita do zero, portanto todo número positivoé maior que zero;

l os números negativos estão à esquerda dos números positivos, logo todonúmero negativo é menor que qualquer número positivo;

l um número é sempre menor que o número que está à sua direita.

Exemplos: - 3 < 0 (- 3 é menor que zero)- 1 < 1 (- 1 é menor que 1)- 3 < - 1 (- 3 é menor que - 1)

2 > - 1 ( 2 é maior que - 1)0 > - 7 ( zero é maior que - 7)

Voltando às operações, também já sabemos que:

Na divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umNa divisão de dois números naturais, o quociente só será umnúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) fornúmero natural quando o primeiro número (o dividendo) for

múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).múltiplo do segundo (o divisor).

Assim: Assim: Assim: Assim: Assim: 16 16 16 16 16 ̧ 4 = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural. é um número natural.

Quando isso não acontece, usamos outros números para indicar oquociente.

Exemplos: 5 ¸ 2 = 2,5 ou52

1 ¸ 3 = 0,333 ou13

-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4

59A U L A Todos esses números - frações, decimais exatos, dízimas periódicas e os

inteiros - formam um conjunto chamado conjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionaisconjunto dos números racionais.Portanto, este conjunto é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.

Qualquer número racional pode ser representado por um ponto na retanumérica.

Exemplo: assinale na reta numérica um número racional entre 0 e 1:

Será possível marcar na reta outro número racional entre 0 e 1 diferente de 0,5?Entre 0 e 0,5, dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o número 0,25.

E agora, será que ainda podemos marcar outro número racional entre 0 e 0,25?O mesmo processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento ao meio,

marcaremos o número 0,125.Continuando sempre o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois

números racionais existem infinitos outros números racionais. Daí a impossibi-lidade de escrever todos todos todos todos todos eles.

Para ter uma idéia mais clara dos conjuntos numéricos, é interessanterepresentá-los por diagramas, que são representações gráficas de conjuntos pormeio de uma curva fechada. Podemos escrever os elementos do conjunto dentrodo diagrama ou apenas o nome do conjunto junto à curva.

Veja quais são as letras usadas para dar nomes aos conjuntos numéricos:

: conjunto dos números naturais;

: conjunto dos números inteiros;

: conjunto dos números racionais.

E o diagrama fica assim:

-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4

0,5

Z

Z


Escreva os números naturais múltiplos de 3 e maiores que 5.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Escreva os números inteiros menores que 1.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Escreva os números racionais que são a solução da equação: 5x + 1 = 10.

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Escreva um número racional maior que 2.

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Escreva ao lado de cada sentença V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa:a)a)a)a)a) ( ) - 6 é um número inteiro, logo é racional.b)b)b)b)b) ( ) 2,516 é um número decimal exato, logo é racional.c)c)c)c)c) ( ) 0,494949... é um número racional.d)d)d)d)d) ( ) - 5 é um número natural.

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Escreva estes números racionais na forma de fração:a)a)a)a)a) 3b)b)b)b)b) 2,5c)c)c)c)c) 0,555...d)d)d)d)d) 0

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Dê exemplos de dois números racionais maiores que - 1,4.

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Assinale na reta numérica os números: 1

3 ; - 2 ; 1,5 ; - 1

4.

Exercícios

60A U L A

A reta e osnúmeros reais

Preencha os espaços abaixo com númerosda seguinte lista:

4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 - 5 5 5 5 5 - 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 3,1 0,555... 0 11

l números inteiros não naturais: ...........................................................................l números racionais não inteiros: ..........................................................................l números reais não racionais: ...............................................................................l números reais não irracionais: ............................................................................

Vimos, na Aula 59, que os números racionais podem ser: frações, inteiros,decimais exatos e dízimas periódicas. Observe estes dois números:

0,250,250,250,250,25 e 0,252525...0,252525...0,252525...0,252525...0,252525...

O primeiro tem duas casas decimais, portanto um número finitonúmero finitonúmero finitonúmero finitonúmero finito de casasdecimais. Por isso, é chamado de decimal exatodecimal exatodecimal exatodecimal exatodecimal exato.

O segundo tem um número infinitonúmero infinitonúmero infinitonúmero infinitonúmero infinito de casas decimais com um período quese repete (25). Esse número é conhecido como dízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódica.

Vejamos o que acontece com o número decimal:

0,010110111...0,010110111...0,010110111...0,010110111...0,010110111...

Ele tem uma infinidade de casas decimais que não se repetem, portanto, nãoé decimal periódico.

Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número.

Após a vírgula, a 1ª casa decimal é o zero, seguido do número 1; depoisoutro zero, seguido duas vezes do número 1, e assim por diante. Logo, ospróximos algarismos serão o zero e depois quatro vezes o número 1. Essenúmero não é racional. Ele é um exemplo de número irracional. número irracional. número irracional. número irracional. número irracional.

Para pensar

Nossa aula

A U L A

60

60A U L A

2 1 414213

3 1 73205

5 2 23606...

=

=

=

, ...

, ...

,

Outro exemplo de número irracional, bastante conhecido e muitoimportante em Matemática, especialmente usado em geometria, é onúmero p = = = = = 3,141592... 3,141592... 3,141592... 3,141592... 3,141592...

Ao estudar a operação de radiciação (Aula 54), e particularmente a raizquadrada, vimos que nem todo número natural tem raiz quadrada natural.

Os números naturais 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, são chamadosquadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitosquadrados perfeitos. As raízes quadradas desses números são também núme-ros naturais:

Os outros números naturais, diferentes dos números quadrados perfeitos,têm como raízes quadradas números irracionais. Outras raízes, com índicesdiferentes de 2 e que não são números naturais, também são números irracio-nais. Por exemplo:

3 4 4 5 3 100

Ao fazer o cálculo das raízes abaixo, numa calculadora, encontramos osseguintes resultados:

Os pontos que aparecem no final do número não aparecem no visor damáquina de calcular. Eles indicam que as casas decimais continuariam aaparecer se a máquina fosse maior e comportasse mais algarismos.

Vimos também que podemos assinalar todos os números racionais na retanumérica, associando a cada número um ponto da reta bem determinado.

Podemos fazer o mesmo com os números irracionais?Vejamos a representação de 2 na reta numérica, com auxílio de uma

construção geométrica. Vamos construir um triângulo retângulo isósceles decatetos iguais a 1 sobre a reta numérica:

Calculamos a medida da hipotenusa aplicando o Teorema de Pitágoras:

x² = 1² + 1²x² = 1 + 1x² = 2x = 2

16 = 4

25 = 5

36 =6

0 =0

1 =1

4 = 2

9 = 3

49 =7

64 =8

81 =9

100 =10

-2 -1 0 1 2 31

x 1

60A U L A Para marcar na reta a medida da hipotenusa, que é 2 , posicionamos em O

a ponta sem grafite (ponta seca) de um compasso, com abertura igual aotamanho da hipotenusa. Descrevendo um arco com o compasso, encontramoso ponto na reta que corresponde a 2 :

Na prática, localizamos uma raiz quadrada na reta quando conhecemos umvalor aproximado da raiz. Por exemplo: localize o número 5 na reta numérica.

Vejamos quais são os números quadrados perfeitos mais próximos de 5:

5 está entre 4 e 9 = 4 < 5 < 9

está entre e = 4< 5< 9

está entre 2 e 3 = 2 < < 3

Assim, podemos assinalar a 5 entre os números 2 e 3 :

Procurando o valor de 5 por tentativa, teremos uma localização maisexata. Sabendo que 5 está entre 2 e 3, podemos escrever que 5 = 2 ,...Experimentamos então alguns números, por exemplo:

2,1 = (2,1)² = 4,41, que é um valor ainda distante de 5;

2,2 = (2,2)² = 4,84, que é bem próximo de 5.

Então, podemos representar 5 na reta com uma localização razoável, ouseja, próxima do valor exato do número:

-2 -1 0 1 2 31

x 1

2

5

5

4 9

5

-2 -1 0 1 2 35

-2 -1 0 1 2 3

5

60A U L ASabendo que é possível representar na reta os números racionais e os

irracionais, podemos chamá-la reta realreta realreta realreta realreta real. O conjunto dos números reais conjunto dos números reais conjunto dos números reais conjunto dos números reais conjunto dos números reais ( ), queé a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos númerosirracionais. Veja o diagrama abaixo:

O diagrama mostra a relação entre os diversos conjuntos: todo númeronatural é inteiro; todo número inteiro é racional; todo número racional é real,assim como, todo número irracional é também real. Inversamente, todo pontode reta real representa um número, que pode ser racional ou irracional

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Assinale na reta numérica os seguintes números reais:- 2,5 0,75 2 p - 0,666...

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa:a)a)a)a)a) ( ) 1

3 é um número real menor que 1.

b)b)b)b)b) ( ) 10 é um número real menor que 3.c)c)c)c)c) ( ) 2,151617... é um número racional.d)d)d)d)d) ( ) - 5 é um número inteiro, logo é um número real.e)e)e)e)e) ( ) p não é um número real.f)f)f)f)f) ( ) 3 é um número realg)g)g)g)g) ( ) 3é um número racional.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3a)a)a)a)a) Qual o menor número inteiro maior que

34

b)b)b)b)b) Qual o maior número inteiro menor que -14

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Dê exemplo de:a)a)a)a)a) dois números inteiros maiores que -

14

b)b)b)b)b) dois números racionais que estão entre - 1 e 0.

Exercícios

Z

61A U L A

61A U L A

Assim como já vimos em muitas de nossasaulas, a Matemática é uma ciência que está sempre presente em nosso dia-a-dia.

Na aula de hoje, recordaremos algumas propriedades das operações comnúmeros naturais de grande utilidade para a resolução de problemas quenecessitam de um cálculo mais rápido, ou seja, o cálculo mental.

Estudaremos também as expressões numéricas, suas regras e seus sinaisde pontuação.

Observe a seguinte situação:

Fazendo compras num “shopping”, uma pessoa resolveu somar mental-mente seus gastos. Qual a melhor maneira de fazer esse cálculo, para a seguintesoma: R$ 18,00 + R$ 40,00 + R$ 32,00?

18 + 40 + 32 == 40 + 18 + 32 = Trocar a ordem das duas parcelas.

= 40 + (18 + 32) == 40 + 50 = 9090909090 Associar as duas últimas parcelas e somar.

As etapas seguidas para esse tipo de cálculo foram baseadas, intuitivamen-te, nas propriedades da adição: propriedade comutativa (comutar = trocar) eassociativa (associar = juntar).

Na 1ª propriedade, vimos que é possível trocar a ordem das parcelas semalterar o resultado.

“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.“A ordem das parcelas não altera a soma”.

Na 2ª propriedade, vimos que a associação de parcelas pode ser feita demaneiras diferentes, sem que o resultado seja alterado.

Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,Podemos associar duas ou mais parcelas de uma adição,sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.sem que o resultado seja alterado.

Revendo as operações

Introdução

Nossa aula

61A U L AVeja como poderia ser feita, de outra maneira, a adição do exemplo

anterior:

18 + 40 + 32 == (18 + 40) + 32 = Somar as duas primeiras parcelas.

= 58 + 30 + 2 = Decompor a última parcela.

= (58 + 2) + 30 = Trocar a ordem das duas parcelas

= 60 + 30 = Associar as duas primeiras parcelas

= 9090909090 e somar.

Será que na multiplicação podemos aplicar as mesmas propriedades daadição? Veja os exemplos:


Calcule a área de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m decomprimento.

Multiplicando as dimensões do terreno, temos:

Área do retângulo: 20 x 15 = 300 m²²ou 15 x 20 = 300 m²²

Logo, concluímos que a propriedade comutativa também é válida paraa multiplicação, portanto:

A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.A ordem dos fatores não altera o produto.

Em relação à propriedade associativa, podemos concluir o mesmo resulta-do, ou seja:

A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,A associação de dois fatores de uma multiplicação,de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.de diferentes maneiras, não altera o produto.

No exemplo a seguir, aplicaremos a propriedade associativa para facilitar ocálculo mental:

237 x 25 x 4 == 237 x (25 x 4) == 237 x 100 == 23.70023.70023.70023.70023.700

Agora, veremos uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adiçãoou a multiplicação e a subtração. Observe:


Calcule o perímetro de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 mde comprimento.

Como o perímetro é a soma dos lados do terreno, esse cálculo pode serfeito de duas maneiras diferentes:

l Multiplicando as dimensões do terreno por 2 e somando o resultado:Perímetro = 2 x 15 + 2 x 20 = 30 + 40 = 70 m70 m70 m70 m70 m

l Somando as duas dimensões e multiplicando o resultado por 2:Perímetro = 2 x (15 + 20) = 2 x 35 = 70 m70 m70 m70 m70 m

Observe que, nos dois casos, o resultado é o mesmo.Então, podemos concluir que:

2 x (15 + 20) = 2 x 15 + 2 x 20

Nesse caso, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação emrelação à adição.

Essa propriedade também é válida quando relacionada à subtração,podendo ser aplicada ao cálculo mental. Por exemplo:

Multiplique 18 por 99, sem efetuar a conta de multiplicação:

18 x 99 = 18 x (100 - 1) = 1.800 - 18 = 17821782178217821782

Além das propriedades das operações que vimos até aqui, é precisoconhecer as regras adequadas para a resolução de expressões numéricas.

Expressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosExpressão numérica é uma seqüência de númerosque seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.que seguem determinadas operações.

Veja os exemplos:

Calcular o valor da expressão: 15 + 12 - 10

Esse exemplo envolve duas operações - a adição e a subtração - que devemser efetuadas na ordem em que aparecem:

15 + 12 - 10 = 27 - 10 = 17

Veja os exemplos:

Calcular o valor da expressão: 98 - 12 . 3 + 36 : 3

Essa expressão apresenta as quatro operações: adição, subtração, multipli-cação e divisão. Inicialmente, devemos efetuar as multiplicações e divisões, naordem em que aparecem. Em seguida, efetuamos as adições e subtrações,também na ordem em que ocorrem:

98 - 12 . 3 + 36 : 3 = = 98 - 36 + 12 = = 62 + 12 = 7474747474

61A U L ASe tentarmos calcular essa expressão de outra maneira, o resultado poderá

ser diferente. Nesse caso, é preciso estabelecer uma determinada ordem paracalcular a expressão.

Para que isso aconteça, é preciso obedecer aos sinais de pontuação. Um dossinais mais utilizados é chamado de parênteses ( ). Ao encontrá-lo em umaexpressão, devemos efetuar as operações que estão dentro dele e, em seguida,continuar resolvendo as outras.

Além dos parênteses, temos também os colchetes [ ] e as chaves { }, quepodem aparecer em algumas expressões. Assim, após resolvermos as opera-ções que estão entre os parênteses, devemos resolver as que estão entre oscolchetes e, em último lugar, as que estão entre chaves.

Observe as expressões abaixo:

1)1)1)1)1) 5 + (12 + 3) : 3 == 5 + 15 : 3 == 5 + 5 = 1010101010

Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a divisão e, em seguida,a adição.

2)2)2)2)2) [(11 + 12) . 3 - 9] : 15 == [23 . 3 - 9] : 15 == [69 - 9] : 15 == 60 : 15 == 44444

Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as operações entrecolchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expres-são.

3)3)3)3)3) {15 - [2 . (9 - 12 : 4)]} : 3 = = {15 - [ 2 . (9 - 3)]} : 3 = = {15 - [2 . 6]} : 3 = = { 15 - 12} : 3 = = 3 : 3 = = 11111Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo com a ordem

estabelecida. Efetua-se a operação entre colchetes. Efetua-se a operação entrechaves. Determina-se o valor da expressão.

Em caso de ocorrerem expressões numéricas que apresentem operações depotenciação e radiciação, ou apenas uma delas, estas deverão ser efetuadas antesda multiplicação e da divisão. Veja:

(52 - 6 x 2

2) x 3 =

= (25 - 6 x 4) x 3 == (25 - 24) x 3 == 1 x 3 == 33333

Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações entre parênteses,na ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão.

61A U L A Para calcular uma expressão numérica, devemos seguir a seguinte regra

sobre a ordem das operações:

11111º))))) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem.22222º))))) Efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem.33333º))))) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em que aparecem.

Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as operações entreparênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e, por último, as que estão entrechaves { }.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1De acordo com a sentença abaixo, escreva uma expressão e determine oseu valor:“Somei 127 com 356 e subtraí o resultado de 1000.”

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Demonstre a maneira mais simples para calcular, mentalmente, o resultadodas operações:

300 + 895 + 700 =

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Na expressão 180 - 40 : 5 - 6, acrescente parênteses de maneiraa encontrar resultados diferentes, conforme a posição em que foremcolocados.

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Coloque parênteses nas expressões, de modo a obter os resultadosindicados:

a)a)a)a)a) 72 + 60 : 12 - 8 = 87b)b)b)b)b) 10 - 2 . 3 + 1 = 25

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Calcule o valor da expressão: 123 - [30 - (5 . 4 - 2) : 6]

Resumindo

Exercícios

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Expressões algébricas

Na aula anterior, vimos que expressão nu-mérica é aquela que apresenta uma seqüência de operações e de números.

Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática pararepresentar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmu-las da Geometria, por exemplo.

As expressões que apresentam letras, além de operações e números sãochamadas expressões algébricas e as letras são as variáveis.

Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.

Em linguagem matemática, essa propriedade pode ser escrita da seguintemaneira: x . 1 = x

Onde x representa um número natural qualquer.

Veja o exemplo:

Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essapessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressãoalgébrica: 20 . x

Onde x representa o número de dias trabalhados.

Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00

Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa,por meio da multiplicação da variável x pelo número de dias trabalhados.

A expressão algébrica da área de um quadrado de x cm de lado édeterminada elevando-se a medida do seu lado ao quadrado. Veja:

Área: x²

Introdução

Nossa aula

62A U L A

62A U L A Assim, podemos determinar a área de qualquer quadrado por meio da

substituição da variável x pela medida do lado do quadrado.

Observações:1º) Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplica-ção, veja:

2 . x se escreve 2xa . b se escreve ab

2º) Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável ou aindasem variável:

2xy _ expressão com duas variáveis: x e y

5a²² b c³³ _ expressão com três variáveis: a, b e c

25 _ expressão sem variável.

Valor numéricoQuando substituímos as variáveis de uma expressão por números e

efetuamos as operações indicadas, o resultado encontrado é o valor numéricoda expressão.

O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por exemplo, é:

5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14

Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda:qual a área da figura para as dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm.

O valor numérico de ab é :2,5 x 4 = 10Logo, a área do retângulo é 10 cm²

As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entreos números e as variáveis, são chamadas de monômios. Por exemplo: 6x, 3x2y2,ab, 10 etc.

A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formadapor letras é a parte literal.

De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e aparte literal de cada monômio:

6x ® coeficiente: 6parte literal: x

3x³² y³³ ® coeficiente: 3parte literal: x²² y³³

ab ® coeficiente: 1 (ab é o mesmo que 1 ab)parte literal: ab

10 ® coeficiente 10parte literal: não tem

62A U L ADois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes

diferentes são chamados de monômios semelhantes.Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso

contrário, a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas.

A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios:

4xy + 7 xy - 5 xy = (4 + 7 - 5) xy = 6xy

Veja outro exemplo:

No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. Deacordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (commenos termos) que representa o perímetro desse retângulo.

O perímetro de um retângulo é calculado somando-se as medidas deseus lados:

2 (2x + 1) + 2 (x - 3) = Propriedade distributiva da multipli-cação.

= 4x + 2 + 2x - 6 = Propriedade comutativa da adição.= 4x + 2x + 2 - 6 = E f e t u a n d o - s e a s o p e r a ç õ e s d o s

monômios s e m e l h a n -tes.

Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro doretângulo é 6x - 4.

Polinômios

Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamadade polinômio (poli = muitos).

Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²²é um polinômioformado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantesnesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas naseqüência:

4a²² - 7ab + b²² - 2a² - ab - b²²= 4a²² - 2a²² - 7ab - ab + b² - b² == 2a² - 8ab + 0 = 2a²² - 8ab

A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, poisos termos restantes não podem mais ser efetuados.

Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termossemelhantes.

62A U L A Somando o polinômio 3x² - 4xy + y² com - x²² - 2xy + 4y² , temos:

(3x² - 4xy + y²) + (- x² - 2xy + 4y²²) = Retirar os parênteses.= 3x² - 4xy + y² - x² - 2xy + 4y² = Aplicar a propriedade comutativa.= 3x² - x² - 4xy - 2xy + y² + 4y² = Reduzir os termos semelhantes.= 2x² - 6xy + 5y² _ Somar dos dois polinômios.

No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo:

(- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) = Retirando os parênteses e trocan-do os sinais do 2º polinômio.

= - 14ab + 7a + 12ab - 6a == - 14ab + 12ab + 7a - 6a == - 2ab + a _ Diferença dos dois polinômios.

Exercício 1A expressão 2x representa um número múltiplo de 2.Escreva a expressão que representa os múltiplos de 5.

Exercício 2Escreva a propriedade comutativa da adição, usando uma expressãoalgébrica.

Exercício 3Responda:a) qual o monômio que ao somar com - 2x y resulta zero?b) qual o resultado de - 2a² - 5a²?

Exercício 4Escreva a expressão mais simples (reduzida) que possa representar a áreada figura:

Exercício 5Determine o valor numérico da expressão x³y² - x² + y³ , para x = 2 e y = -1

Exercícios

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Equações do 1º grau

Durante nossas aulas, você aprendeu a re-solver algumas equações bem simples. Na aula de hoje, aprofundaremos oestudo dessas equações. Portanto, é preciso que você saiba o significado de:

. equação

. incógnita de uma equação

. membros de uma equação

. termos de uma equação

A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam aresolução de certos problemas. Vejamos:


Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem6 kg a mais que o menor ?

Já vimos que podemos representarquantidades desconhecidas usando aálgebra. Nesse caso, temos:

pacote menor = xpacote maior = x + 6

Onde x representa o peso do pacote menor.

Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22

63A U L A

Nossa aula

Introdução

63A U L A Efetuando as devidas equações:

x + (x + 6) = 22 Eliminar os parênteses

x + x + 6 = 22 Somar os termos semelhantes

2x + 6 = 22

2x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros

2x = 16

2x2

=162

Efetuar uma divisão por 2, nos dois membros

x = 8

Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg8 kg8 kg8 kg8 kg e do pacote maior é de8 + 6 = 14 kg14 kg14 kg14 kg14 kg.

A equação e a balança

As equações têm propriedades semelhantes às transformações realizadaspara manter uma balança em equilíbrio.

Ao retirarmos 6 unidades de um dos pratos, devemos fazer o mesmo como outro, caso contrário, a balança perderá o equilíbrio. Por esse motivo,indicamos a subtração de 6 nos dois membros e a divisão por 2 nos dois membros,quando resolvemos a equação x + (x + 6) = 22.

A equação e a operação inversa

Na prática, não costumamos resolver uma equação pensando numa balança,nem fazendo todas as operações.

Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima,zeramos o 6 que estava no primeiro membro:

2x + 6 - 6 = 22 - 6\ /

0

2x = 22 - 6

Por isso, dizemos simplesmente que o 6 passa para o outro lado e muda desinal.

Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está multiplicando umtermo no primeiro membro, passa para o segundo membro dividindo.

2x = 16

x = 162

_ x = 8

63A U L A É importante observar que nessa regra de “passar para o outro lado”, está

embutido um conceito matemático chamado operação inversaoperação inversaoperação inversaoperação inversaoperação inversa.

A operação inversa da adição é a subtração:

+ 6 virou - 6

A operação inversa da multiplicação é a divisão:

x 2 virou : 2

Vejamos outro exemplo, que faz uso do conceito de operação inversa, pararesolver a equação:


Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao númerosomado com 6, descubra qual é esse número.

Um número: x

Quádruplo do número: 4x

Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6

ResoluçãoResoluçãoResoluçãoResoluçãoResolução:

4x + 9 = x + 64x - x = 6 - 9 passar + 9 para o segundo membro (fica-9)

e + x para o primeiro membro (fica - x).

3x = - 3 como a operação inversa de : 3 é x 3,temos:

x = - 33

x = - 1

Portanto, o número procurado é -----11111.

A verificação da solução

A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução daequação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum errode cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimen-tar o valor encontrado na incógnita. Veja:

4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1

4 (-1) + 9 = (- 1) + 6

- 4 + 9 = - 1 + 6

5 = 5

Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x - 9 = x - 6verdadeira.Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o queacontece.

63A U L A A raiz de uma equação

A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, échamado, pela matemática, de raiz raiz raiz raiz raiz da equação.

x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6

Veja:


Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço daestante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?

Equacionando o problema:

Preço da cadeira: x

Preço da estante: 3x

Equação correspondente: x + 3x = 64

ResoluçãoResoluçãoResoluçãoResoluçãoResolução:

x + 3x = 64

4x = 64 _ x = 644

= 16 _ x = 16

Verificação da raiz:

16 + 3 . 16 = 64

16 + 48 = 64

64 = 64

A estante custa R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Resolva as equações:

a)a)a)a)a) 4x + 8 = 3x - 5

b)b)b)b)b) 3a - 4 = a + 1

c)c)c)c)c) 9y - 11 = - 2

d)d)d)d)d) 5x - 1 = 8x + 5

Exercícios


Verifique se - 7 é raiz da equação:

2(x + 4) -x3

= x - 1

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação:

2x - 3 = 16

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade deAna, se Maria é 5 anos mais nova?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?

Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto.Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior.Qual a produção do ano anterior?

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64A U L A

Introdução Nesta aula vamos rever operações com fra-ções, verificando a validade das propriedades operatórias dos números racionais.

Veremos também o cálculo de expressões numéricas com frações, deacordo com a ordem em que as operações devem ser efetuadas, como vimos naAula 61.

A adição e a subtração de frações homogêneas (que têm denominadoresiguais) são efetuadas, repetindo-se os denominadores e efetuando-se as devidasoperações com os numeradores. Veja:

a)37

+27

=3 + 2

7=

57

b)58

-38

=5 - 3

8=

28

As propriedades da adição de números naturais também são válidas paraa adição de números fracionários.

Propriedade comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma

25

+15

=15

+25

=35

Propriedade associativa: podemos associar duas ou mais parcelas, demaneiras diferentes, sem que o resultado (soma) seja alterado.

Lembre-se que uma fração do tipo 9/8, que tem o numerador maior que odenominador (imprópria), é maior que a unidade (8/8). Portanto, pode serescrita na forma de número misto.

Operações com frações

Nossa aula

æ3 8è

+ 18

öø

+ 58

= 38

+ æè18

+ 58

öø

= 98

64A U L AO número misto é formado por uma parte inteira e uma parte fracionária:

98

=88

+18

= 1+18

= 118

® número misto lê-se:um inteiro e um oitavo

No caso de efetuarmos a adição e a subtração com frações heterogêneas(que têm denominadores diferentes), é preciso transformá-las em fraçõesequivalentes às que tenham denominadores iguais.

Frações equivalentes são as que têm mesmo valor, mas cujos termos sãodiferentes.

Para obtermos frações equivalentes, é preciso multiplicar ou dividir onumerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural,diferente de zero.

EXEMPLO 2

Ao determinarmos as frações equivalentes a 23

, temos:

23

=46

=69

=8

12=

1015

=1218

=1421

=1624

=...

Vamos efetuar a seguinte adição:

Como o número 6 é múltiplo co-mum a 2 e a 3, ele será o denominadordas frações equivalentes às fraçõesdadas .

Então, é preciso multiplicar o nu-merador e o denominador de cada fra-ção, pelo mesmo número, de maneira aobtermos o denominador 6.

Para subtrair frações, seguimos o mesmo procedimento:

58

-16

= (Múltiplo comum: 24).

1524

-4

24=

15 - 424

=1124

Sempre que efetuamos qualquer operação com frações, devemos encontraro resultado mais simples possível, ou seja, uma fração equivalente comnumerador e denominador menores.

=36

+26

=

=3 + 2

6=

56

´ 3´ 2

´ 2´ 3

12

+13

=

64A U L A O processo usado para simplificar uma fração é a aplicação da mesma

propriedade usada para encontrar frações equivalentes, ou seja:

Na simplificação da fração 6460

, temos:

6460

=3230

=1615

ou6460

=1615

Portanto, 1615

é a forma simplificada da fração 6460

.

Vejamos alguns exemplos de expressões com frações:

56

-712

+38

= Múltiplo comum: 24.

=2024

-1424

+924

= Efetuar as operações na ordem em que aparecem.

=624

+9

24=

Simplificar o resultado.=

1524

=58

1 -1

10-

25

= Múltiplo comum: 10.

1010

-1

10-

410

= O número inteiropode ser escrito como uma fração, no caso:

1010

.

910

-4

10=

Simplificar o resultado.

510

=12

Quando as expressões apresentam os sinais de pontuação, devemos seguiras regras das expressões numéricas, ou seja:

1) Inicialmente, efetuamos as operações que estão entre parênteses ( ).2) Em seguida, as que estão entre colchetes [ ].3) E, por último, as que estão entre chaves { }.

¸ 2 ¸ 2

¸ 2 ¸ 2

¸ 4

¸ 4

¸ 5

¸ 5

64A U L AObserve:

2 -34

-15

ΦΗ

ΙΚ-

16

ΛΝΜ

ΟΘΠ=

= 2 -1520

-4

20ΦΗ

ΙΚ-

16

ΛΝΜ

ΟΘΠ=

= 2 -1120

-16

ΛΝΜ

ΟΘΠ=

= 2 -

=12060

-2360

=9760

=

=6060

+3760

= 13760

Multiplicação de frações

Na figura abaixo, dividida em quatro partes iguais, temos assinalada umadas partes que representa 1

4da figura.

Para representar1/3 da parte assinalada, ou seja 1/3 de 1/4, vamos dividiressa parte (1/4) em três partes iguais e, em seguida, estender a divisão para afigura toda.

13

de 14

é 1

12 .

Observe que cada parte da figura, após a segunda divisão, equivale a 1/12da figura toda, logo:

13

de 14

=13

·14

=112

æ3 4è

éë

öø

- ùû

=

éëæè

1520

öø

- ùû

=

é11ë20

ùû

=

éë

33 10 2360 60 û 60 - =

ù2 - =

64A U L A

Então:

Para multiplicar frações, devemos multiplicar os numera-dores e os denominadores entre si.

Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar aoperação usando o processo de cancelamento. Veja:

58

·49

=

=58

·49

= Antes de efetuar a multiplicação, devemos simplificar o 8 e o 4 por um número múltiplo comum

=5

18

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, devemos multiplicaresse número pelo numerador da fração e repetir o denominador. Por exemplo:

2·35

=65

Nas expressões numéricas com frações, devemos lembrar que a ordem emque as orações devem ser efetuadas é a mesma que já aprendemos na aulaanterior, ou seja:

l Potenciação e radiciação.l Multiplicação e divisão.l Adição e subtração.

EXEMPLO 1

Resolver a expressão:

3-

3-

3-

3-

2

1

éë 2 .

æè1 2 43 5 5

+ - öøùû

=

ëé2 .

æè 5 6 15 15

+ öø- 4

5ùû

=

éë22 415 5

éë

ùû

- = 3 - 22 1215 15 û

ù- =

.

.

.

-éë2 . 11 4

15 5ùû

=

64A U L A= 3 -

1015

=4515

-1015

=

Exercício 1Um lojista vende três partes de uma peça de tecido: 7

8m , 1

2m e 1

4m.

Quantos metros vendeu ao todo?

Exercício 2Complete o quadro de modo que a soma dos números de cada linha, de cadacoluna e da diagonal seja a mesma:

Exercício 3Ao receber seu salário, Pedro gastou 2

5 com o aluguel e 1

2 do que sobrou

em custos com alimentação. Que fração do salário ainda restou?

Exercício 4Efetue e simplifique o resultado, sempre que possível:

a)34

-12

+320

=

b)

c)3

10+

23

·54

=

d)

Exercícios

æ2 1 öè3 6 ø ø

æè

ö- 1 - 310

+ =

910

öø

æè4 - 1

3. 10. =

65A U L A

65A U L A

Introdução Nas equações que estudamos até agora, oscoeficientes eram sempre números inteiros.

Em muitas situações, porém, precisaremos resolver equações com coefi-cientes fracionários.

Por exemplo: x2

+x5

-14

= 50

Antes de resolvermos esse tipo de equação, devemos igualar todos osdenominadores e, em seguida, eliminá-los. Desse modo, transformamos aequação inicial em um equivalente a ela, sem denominadores. A equação comcoeficientes inteiros já sabemos resolver.

Veja, a seguir, algumas situações que deverão ser resolvidas a partir deequações com coeficientes fracionários:

EXEMPLO 1

Um terço do salário de uma pessoa é utilizado para o pagamento doaluguel de R$ 110,00. Qual é o salário dessa pessoa?

Escrevendo a equação do problema enunciado, temos:

13

· x = 110

O coeficiente do termo x é 13

e o termo independente (110) é um númerointeiro.

Então, devemos escrever o número inteiro em forma de fração, com denomi-nador igual a 1:

x3

=110

1Igualando os denominadores.

x3

=330

3

Eliminandodenominadores

Nossa aula

65A U L ANuma equação, podemos multiplicar os dois membros

por um mesmo número, diferente de zero.

3 ·x3

= 3 ·330

3 Multiplicar os dois membros por 3,x = 330 para cancelar os denominadores.

Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 330,00.

Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela chamada multiplicaçãoem cruz: x

3=

1101

® x = 3 . 110x = 330

EXEMPLO 2

Uma pessoa quer construir uma casa que ocupará 1

4 de seu terreno, sen-

do que 1

3 será reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará uma área

de 375 m2, responda: qual a área total do terreno?

Área total do terreno: x

Área ocupada pela casa: x4

Área reservada para jardim: x3

Equação do problema: x4

+x3

+ 375 = x

Igualando os denominadores:

3x12

+4x12

+375· 12

12=

12x12

3x + 4x + 450012

=12x12

7x + 4500

12=

12x

12

12 ·7x + 4500

12= 12 ·

12x12

7x + 4500 = 12x

4500 = 12x - 7x

4500 = 5x

x =4500

5x = 900

. .

.

65A U L A De acordo com a verificação da solução, substituindo x por 900 na equação,

temos:

9004

+900

3+ 375 = 900

225 + 300 + 375 = 900

900 = 900 ® igualdade verdadeira.

Logo, a área total do terreno é de 900 m2.

EXEMPLO 3

Uma pessoa diz que daqui a 18 anos, a terça parte de sua idade será ametade da sua idade atual. Qual a idade dessa pessoa?


Idade atual: x A metade: x2

Idade daqui a 18 anos: x + 18 A terça-parte: x + 18

3

Equação do problema: x + 18

3=

x2

Igualando os denominadores:

Verificando a resolução:

Idade atual: 36 anos ® A metade: 18 anos.Daqui a 18 anos: 54 anos ® A terça-parte: 18 anos.

Desse modo, sabemos que a idade atual da pessoa é 36 anos.

EXEMPLO 4

Determine as medidas de um retângulo cujo perímetro é 24 m, sabendoque o lado menor é igual a 1

3 do lado maior.

Lado maior: x

Lado menor:x3

Perímetro do retângulo: 2(x +x3

)

2(x + 18)6

=3x6

® 6 ·2 x + 18α φ

6= 6 ·

3x6

2(x + 18) = 3x ® 2x + 36 = 3x

36 = 3x - 2x

36 = x

_

_ ( x )+

8

65A U L AEquação do problema:

O lado maior do retângulo mede 9m.

O lado menor mede 93

= 3m

Exercício 1Resolva as equações:

a)x + 3

2+

x - 103

= 4

b)2x + 5

3- 3x - 10 = 0

Exercício 2Uma construtora vai aproveitar um terreno de 1.275 m2, reservando

13dessa área para estacionamento.

Determine:

a) A área ocupada pela construção.b) A área reservada para o estacionamento.

Exercício 3Ao receber seu salário, André gastou 1

3 com despesas médicas, 1

2 com

com-pras diversas e 1

4 com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André

se, após pagar todas essas contas, ele ficou devendo R$ 40,00?

Exercício 4Descubra os números do seguinte circuito:

2(x +x3

) = 24

2x +2x3

= 24 ®2x1

3

+2x3

1

+241

3

6x3

+2x3

=24· 3

3®

6x3

+2x3

+723

6x + 2x

3=

72

3®

8x

3=

72

3

3 ·8x3

= 3 ·723

8x = 72 ® x =72

8x = 9

Exercícios

_

_

_

66A U L A

66A U L A

Introdução

Sólidos semelhantes

Um problema matemático, que despertoucuriosidade e mobilizou inúmeros cidadãos na Grécia Antiga, foi o da dupli-dupli-dupli-dupli-dupli-cação do cubocação do cubocação do cubocação do cubocação do cubo. Ou seja, dado um cubo de aresta aaaaa, qual deverá ser a medida daaresta de outro cubo que tenha o dobro do volume do primeiro?

Hoje em dia, esse problema não apresenta grandes dificuldades. Será quevocê é capaz de resolvê-lo? Caso não consiga, não desanime! Leia a aula e, aofinal, volte e tente novamente!

Nesta aula, vamos estudar a relação que existe entre as áreas e os volumesde figuras semelhantes. Mas, antes de entrarmos no tema desta aula, vamosrecordar o conceito de semelhança visto na Aula 21.

Recordando semelhança

Abaixo estão dois triângulos semelhantes.

Podemos dizer que duas figuras são semelhantes quando uma delas éampliaçãoampliaçãoampliaçãoampliaçãoampliação ou reduçãoreduçãoreduçãoreduçãoredução da outra. Os dois triângulos da figura são semelhantes.Observe que seus ângulos são iguais e seus lados são proporcionais, na mesmarazão, isto é:

62

=93

=124

96

12

2 3

4

Nossa aula

66A U L AO número 3 é chamado de razão de semelhançarazão de semelhançarazão de semelhançarazão de semelhançarazão de semelhança e geralmente é represen-

tado pela letra kkkkk. No exemplo anterior, k = 3.

Observe ainda que são necessários 32 = 9 triângulos menores para cobrirtotalmente o maior. É só contar!

Podemos concluir que, se as dimensões de uma figura são o triplo da outra,então, a área dessa figura será igual a 32 = 9 vezes a área da outra.

O cubo mágico

Há um quebra cabeça bastante conhecido, chamado “cubo mágico”, queconsiste em um cubo dividido em diversos cubos menores.

Observando melhor, vemos que cada aresta desse cubo foi dividida em trêspartes iguais. Se você olhar atentamente, verá que cada face ficou dividida emnove quadrados. Ou seja: dividindo cada aresta em três partes iguais, a área decada face ficou dividida em 32 = 9 quadrados menores. Você também podeobservar que o cubo ficou dividido em cubinhos menores, cujas arestas sãoiguais à terça parte da aresta do cubo inicial. Quantos cubinhos caberão no cubomaior?

Observe que podemos dividir o cubo em três placas, sendo cada placaformada de 32 = 9 cubinhos. Assim, teremos 3 · 32 = 33 = 27 cubinhos.

Isso nos permite concluir que, se a razão entre as medidas das arestas dosdois cubos (menor e maior) é k = 3, a razão entre suas áreas é k2 = 32 = 9 e a razãoentre seus volumes é k3 = 33 = 27.

4 4 4

3

3

3

2

2

2

66A U L A De maneira geral, se duas figuras são semelhantes, então, as medidas de uma

valem k vezesk vezesk vezesk vezesk vezes as medidas da outra, onde o número kkkkk representa a razão desemelhança das duas figuras (ou dois sólidos). Então, a área de uma valerá kkkkk22222

vezes a área da outra e o volume de uma valerá kkkkk33333 vezes o volume da outra. Essesfatos podem ser representados no quadro abaixo:

Vamos ver alguns exemplos:


Você já sabe que, se dobrarmos o raio do círculo, a área aumentará quatro vezes.

Mas, o que acontece com o volume da esfera, se dobrarmos seu raio?

V1 = 4pR3

3

V2 = 4p 2Rα φ3

3=

4p · 8 · R3

3

V2 = 84pR3

3ΦΗΓ

ΙΚϑ

Comparando V1 e V2, temos que V2 é 8 vezes maior que V1.

FFFFFIGURASIGURASIGURASIGURASIGURAS S S S S SEMELHANTESEMELHANTESEMELHANTESEMELHANTESEMELHANTES

Razão entrecomprimentos

Razão entre áreas Razão entre volumes

kkkkk kkkkk2 kkkkk3

r

C1

2 r

C2

R

E1 2 r

E2


Uma loja vende miniaturas do Cristo Redentor confeccionadas em madeira.São dois tamanhos das miniaturas, sendo que uma delas tem a metade da alturada outra.

Sabendo que o preço é proporcional ao volume de madeira gasto na confecçãodas miniaturas, qual deve ser o preço da maior, se a menor custa R$ 5,00?


Como as duas imagens são semelhantes entre si, a razão entre seuscomprimentos é constante e igual a k = 2 (razão da maior para a menor). Logo,a razão entre seus volumes valerá k3 = 23 = 8.

Como o preço deve ser proporcional ao volume, e o volume da estatuetamaior é oito vezes o volume da menor, seu preço deve ser R$ 5,00 x 8 = R$ 40,00.

A Matemática e o copo de chope

Seu José adora tomar um chopinho com os amigos nos fins de semana. Elecostuma pedir um chope na pressão. O garçon lhe serve uma tulipa, cujo interiortem a forma praticamente cônica, com chope até à metade da altura e o restosendo ocupado por espuma.

Qual a razão entre a quantidade de chope e a quantidade de espuma que vemna tulipa de seu José?

Para resolver esse problema, seu José considerou a parte interna da tulipacomo sendo um cone perfeito.

2 h

h

66A U L A

Daí, ele reparou que a parte de baixo, ocupada pelo chope, também é umcone. E mais: é um cone semelhante ao cone inteiro. A razão da semelhança ék = 1

2 , pois as medidas do cone da parte de baixo equivalem à metade dasmedidas do cone inteiro.

Então a razão entre seus volumes é k3 = 12χη3

= 18 . Ou seja, o volume de chope

na tulipa, corresponde a apenas 18 do que ela pode conter!

Foi aí que seu José levou um susto: se 18 é de chope, então 7

8 (1 - 18 ) são

de espuma!

Assim, temos 18 de chope e 7

8 de espuma. Logo, a razão é de 1 ¸ 7 (1 para 7).

O problema da duplicação do cubo

Vamos resolver o problema proposto na introdução desta aula.

Devemos ter: V2 = 2 V1

Portanto: x3 = 2a3 Þ x = 2a33 Þ x = a 23

23 é um número irracional e vale, aproximadamente, 1,25991. Você podecomprovar esse resultado com uma calculadora científica que tenha a tecla 3

ou, experimentalmente, isto é, multiplicando 1,259 ´ 1,259 ´ 1,259.

espuma

chopp

h2

h2

x

x

xa

a

a


Uma pessoa constrói uma bola esférica de 8 cm de diâmetro, utilizandomassa de modelar. Em seguida, ela corta essa esfera em oito partes iguais(veja a figura).

De cada parte ela constrói uma nova esfera. Qual a medida do diâmetrodessas novas esferas?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Um cubo teve suas arestas aumentadas de 20% do seu tamanho. Qual foi opercentual de aumento do volume desse cubo?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3A maquete de uma praça é feita na escala 1:50. Se a praça tem 6.000 m2 de área,qual será a área da maquete?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Pai e filho possuem corpos de formas semelhantes. Porém, enquanto o paimede 1,75 m, seu filho mede 1,40 m. Se o filho pesa 40 kg, qual deverá ser,aproximadamente, o peso do pai?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Uma pessoa vai revestir o chão do quarto e da sala de sua casa, com ummesmo tipo de lajota. As medidas da sala valem exatamente o dobro dasmedidas do quarto. Se ela necessita de seis caixas de lajota para revestir oquarto, quantas caixas serão necessárias para revestir a sala?

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Uma tulipa de chope tem 15 cm de profundidade e sua capacidade é de300 ml. O chope (bem tirado, isto é, na pressão) é servido com 3 cm deespuma. Calcule a quantidade de chope contido na tulipa?

Exercícios

3 cm

12 cm


Você já estudou, em Química, que, nos átomos, os elétrons giram em tornodo núcleo a uma distância de 104 vezes o raio do núcleo. Uma pessoaresolveu montar um modelo de átomo, escolhendo, para representar seunúcleo, uma esfera de isopor com 1 cm de raio. A que distância dessa esferaela deverá colocar os elétrons?

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Um triângulo teve seus lados aumentados de 30%, obtendo-se um novotriângulo semelhante ao primeiro.

a)a)a)a)a) Qual a razão de semelhança?

b)b)b)b)b) Qual foi o percentual de aumento de sua área?

Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9No interior de uma caixa cúbica de aresta aaaaa, colocamos uma esfera dediâmetro aaaaa. A seguir, fechamos a caixa. Essa esfera cabe justinho no interiorda caixa. Uma esfera, um pouco maior, já não entra na caixa. Dizemos, emGeometria, que a esfera está inscrita na caixa.

a)a)a)a)a) Que relação existe entre os volumes do cubo e da esfera?

b)b)b)b)b) Que relação existe entre as áreas de suas superfícies?

a

a

a

r

66A U L A

66A U L A

Introdução Você já percebeu que os gráficos são cada vezmais usados na comunicação. Podemos encontrá-los em vários tipos de publica-ção, expressando os mais diversos dados e situações, como por exemplo em:

l Relatórios de empresasl Análises governamentaisl Relatórios de pesquisasl Balanços financeiros

Por isso é tão importante saber interpretar um gráfico.

Nesta aula, vamos estudar mais um tipo de gráfico: o gráfico de umaequação.

Nas Aulas 62 e 63, você aprendeu o que é uma equação e como resolvê-la.Agora vai aprender a resolver graficamente uma equação do 1º grau, ou seja, arepresentá-la no plano cartesiano. (Volte à Aula 37 para relembrar o que é planocartesiano.)

Vamos começar com um exemplo bem simples.


A soma de dois números é igual a 5. Quais são esses números?


dois números : x e yequação correspondente : x + y = 5

Existem muitos números que satisfazem essa equação. Esses números sãorepresentados pelas variáveis (xxxxx e yyyyy). Vamos criar uma tabela com alguns valoresdas variáveis e os respectivos pares ordenados.

Gráfico deuma equação

Nossa aula

66A U L A

Como a cada par ordenado obtido corresponde um ponto no gráfico, vamosmarcar alguns pontos no plano cartesiano.

Observe que todos os pontos do gráfico estão alinhados, portanto, ligandoesses pontos, temos uma retaretaretaretareta.

Essa reta é a representação gráfica da equação x + y = 5.

Como a reta é uma figura geométrica formada por infinitos pontos, podemosconcluir que existem infinitosinfinitosinfinitosinfinitosinfinitos valores que satisfazem a equação x + y = 5.

A equação do 1º grau

Equação do 1º grau é toda equação que pode ser escrita na forma:

ax + by = c

onde aaaaa, bbbbb e ccccc são os coeficientes, xxxxx e yyyyy são as incógnitas (ou variáveis) e têmsempre expoente 1.

Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: As equações do 1º grau estudadas na Aula 63 são equaçõesdo 1º grau com uma variável; já as equações estudadas nesta aula são equaçõesdo 1º grau com duas variáveis.

xxxxx y = 5 y = 5 y = 5 y = 5 y = 5 - x x x x x (x; y)(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)0 5 (0; 5)

0,5 4,5 (0,5; 4,5)1 4 (1; 4)

1,5 3,5 (1,5; 3,5)2 3 (2; 3)3 2 (3; 2)4 1 (4; 1)5 0 (5; 0)6 -1 (6; -1)

O

66A U L A Quantos pontos determinam uma reta?

Imagine um plano e um ponto, como mostra a figura:

Quantas retas passam por esse ponto? Experimente desenhar!É isso mesmo! Se você quiser traçar todas as retas, não vai acabar nunca... No

plano, existem infinitasinfinitasinfinitasinfinitasinfinitas retas que passam por um ponto.

Agora, se desenharmos mais um ponto nesse plano, quantas retas vocêconseguirá desenhar? Experimente!

Você somente conseguirá desenhar uma reta!

No ponto, existe apenas uma reta que passa, ao mesmo tempo, por doispontos. Por esse motivo, podemos dizer que dois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma retadois pontos determinam uma reta.

A equação do 1º grau e a reta

Vamos representar graficamente a equação x + 2y = 8. Para isso, precisamosconstruir uma tabela com os valores das variáveis e os respectivos paresordenados.

(Agora você já sabe: bastam dois pontos, e a reta está determinada.)

Marcando esses pontos no plano cartesiano, temos:

xxxxx y =8 - x

2( x; y)( x; y)( x; y)( x; y)( x; y)

0 4 (0; 4)

172

= 3, 5 (1; 3,5)

66A U L A

A reta que aparece é a reta da equação x + 2y = 8.

Veja algumas considerações sobre esse gráfico:

l a reta corta o eixo dos x x x x x no ponto (8; 0);l à medida que os valores de xxxxx aumentam (crescem), os valores de y y y y y dimi-

nuem, (decrescem);l utilizando o gráfico, podemos determinar outros pontos que pertecem à

reta, como por exemplo (2; 3), (4; 2), (6; 1), (10; -1) etc.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Construa as tabelas e os respectivos gráficos das equações seguintes. Suges-Suges-Suges-Suges-Suges-tão:tão:tão:tão:tão: use uma folha quadriculada.a)a)a)a)a) x + y = 1 c)c)c)c)c) 2x + 2y = 4b)b)b)b)b) y + 2x = 5 d)d)d)d)d) 3x - y = 0

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Represente num mesmo gráfico as equações:

A: x + y = 0 B: x - y = 0O que você pode concluir observando as retas?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Observando o gráfico abaixo, responda:

a)a)a)a)a) Quais as coordenadas dos pontos A, B, C e D?b)b)b)b)b) No instante em que a reta corta o eixo dos x x x x x, qual a abscissa do ponto?c)c)c)c)c) O que acontece com os valores de yyyyy à medida que os valores de xxxxx aumen-

tam?

Exercícios

O

O


Represente num mesmo gráfico as equações

A: 2x + y = 1 B: 2x + y = 2 C: 2x + y = 3

D: 2x + y = 0 E: 2x + y = 5

O que você pode concluir observando as retas?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Analisando os gráficos abaixo, o que podemos afirmar sobre os valores de yyyyyà medida que os valores de xxxxx aumentam?

a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Invente uma equação do 1º grau com duas variáveis. Construa o gráficodessa equação.

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Represente num mesmo gráfico as equações:

x + y = 4 e 2x - y = 1

O que você concluiu?

67A U L A

Inequações do 1º grau

Analisando as condições de vida da popula-ção brasileira, certamente encontraremos um verdadeiro desequilíbrio, tanto naárea social como na área econômica. Esse desequilíbrio pode ser percebidoem situações como:l Moradia: a cada dia, a população de rua vem aumentando nas grandes

cidades.l Alimentação: 42,79% da população rural vive em situação de indigência.l Salário: enquanto o salário de uns é baixíssimo, o salário de outros ée x c e s -

sivamente alto.Também podemos perceber esse desequilíbrio nas áreas de saúde, edu-

cação, saneamento básico etc.Observe o gráfico abaixo. Ele representa o desequilíbrio na área da alimen-

tação:

Introdução

67A U L A

67A U L A Se usarmos a imagem de uma balança para �pesar� essas desigualdades,

ela estará permanentemente desequilibrada... Mas, até quando?

Mas o que tudo isso tem a ver com a nossa aula de Matemática? Na aula dehoje, vamos estudar inequações do 1º grau. E as inequações representam umadesigualdade matemática.

EXEMPLO 1

O número de pessoas que entram no 1º grau é maior do que o número depessoas que terminam o 1º grau. Esse fato é comprovado em diversas pesquisasrealizadas.

Se representarmos por x o número de pessoas que entram no 1º grau e pory o número de pessoas que terminam o 1º grau, poderemos escrever essa fraseem linguagem matemática, assim:

x > y onde o símbolo > indica é maior que.

A balança pode ser usada para mostrar esse desequilíbrio ou essa desigual-dade na educação.

A inequação do 1º grau

Assim como a equação do 1º grau, a inequação também é uma frasematemática, só que, em vez do sinal de = (igual), tem um desses sinais: >(maior) ou < (menor) ou ³ (maior ou igual) ou £ (menor ou igual).

2x + 1 > 4x - 5y - 1 < 02x ³ x + 1y + 4 £ 5 - 2y

Nossa aula

Estas frases matemáticas sãoexemplos de inequações do 1º grau

com uma incógnita.}

67A U L Ax + y > 5

- y + x < 32x ³ 1 - y

Propriedades da inequação do 1º grau

Quando resolvemos uma equação do 1º grau, usamos recursos matemáti-cos tais como: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros da equaçãoe multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo valor, sem alterar aequação. Será que esses recursos também são válidos na inequação do 1ºgrau?

Vamos tomar a desigualdade 5 > 4, que é uma desigualdade verdadeira,para verificar a validade desses recursos.

l Recurso: somar ou subtrair um mesmo valor aos dois membros.

5 > 4somar 2

5 + 2 > 4 + 27 > 6 _____ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.

5 > 4subtrair 1

5 - 1 > 4 - 14 > 3 _____ Continua sendo uma desigualdade verdadeira.

Podemos concluir que esse recurso (somar ou subtrair um mesmo valor aosdois membros) é vál ido também para resolver inequações do 1º grau.

l Recurso: multiplicar ou dividir por um mesmo valor os dois membros dainequação:

Esse valor é um número positivo

5 > 4 x (+ 2) 5 x 2 > 4 x 2 10 > 8

} E estas são inequações do 1º graucom duas incógnitas.

67A U L A Esse valor é um número negativo.

5 > 4 _____ x (- 1)(- 1) . 5 ? 4 . (- 1) - 5 < - 4

Observação: - 5 < - 4 só será uma desigualdade verdadeira se o símbolofor invertido.

5 > 45 : 2 > 4 : 2

2,5 > 2

5 > 4 : (- 2) 5 : (- 2) ? 4 : (- 2)

- 52

< - 42

- 2,5 < - 2

Portanto, devemos ter cuidado ao utilizar esse recurso (multiplicar oudividir por um mesmo valor os dois membros) para resolver uma inequação do1º grau: se esse valor for um número negativo, o sinal da desigualdade deveser invertido.

Como resolver uma inequação do 1º grau?

Vamos aplicar os recursos que acabamos de ver na resolução de umainequação do 1º grau.

EXEMPLO 2

Quais os valores de x que tornam a inequação - 2x + 5 > 0 verdadeira?

Inicialmente, resolvemos como se fosse uma equação do 1º grau:

- 2x + 5 > 0

- 2x > - 5

x < - 52

x < 2,5

como a operação inversa de somar 5 é subtrair 5,+ 5 fica - 5.

2x < 5 multiplicando os dois lados por (- 1)e invertendo o sinal de desigualdade

¿¿

67A U L AObserve que 2,5 não é solução da inequação, mas qualquer ponto menor

que 2,5 é solução.

Vamos verificar:

Para x = - 1 _ - 2 (- 1) + 5 > 0 _ 2 + 5 > 0 _ 7 > 0 (verdadeiro)Para x = 2 _ - 2 (2) + 5 > 0 _ - 4 + 5 > 0 _ 1 > 0 (verdadeiro)Para x = 2,5 _ - 2 (2,5) + 5 > 0 _ - 5 + 5 > 0 _ 0 > 0 (falso)Para x = 3 _ - 2 (3) + 5 > 0 _ - 6 + 5 > 0 _ - 1 > 0 (falso)

Comprovamos, então, que somente os valores menores que 2,5 tornam ainequação verdadeira.

O gráfico de inequação de 1º grau

Na Aula 66, você aprendeu a representar graficamente uma equação do 1ºgrau com duas incógnitas. Agora vamos representar no plano cartesiano umainequação do 1º grau com duas incógnitas.

EXEMPLO 3

Represente no plano cartesiano a inequação x + 2y < 8Vamos partir da equação x + 2y = 8

A região abaixo da reta representa os pontos em que x + 2y < 8. E a regiãoacima da reta representa os pontos em que x + 2y > 8.

Experimente! Pegue um ponto de cada uma das regiões indicadas e substi-tua suas coordenadas na inequação x + 2y < 8. O que ocorre?

x y =8 - x

2 (x ; y)

0 4 (0 ; 4)2 3 (2 ; 3)

67A U L A Exercício 1

Resolva as inequações:a) x + 4 > 7 b) 2x - 10 £ 4

c) - 3x £ 15 d) 3x £ - 15

e) 3x + 1

2-

x3

< 1 f)

Exercício 2Represente na reta numérica as soluções das inequações do Exercício 1.

Exercício 3A balança ao lado não está equilibrada. Escreva uma frase matemática querepresente esse desequilíbrio.

Exercício 4Represente no plano cartesiano as inequações:a) x + 2y > 8 b) 3x - y £ 0 c) x + y < 5

Exercícios

+x 4 - 2x2 5

³ - 2

68A U L A

Sistemas do 1º grau

Pedro e José são amigos. Ao saírem do traba-lho, passaram por uma livraria onde havia vários objetos em promoção. Pedrocomprou 2 cadernos e 3 livros e pagou R$ 17,40, no total. José gastou R$ 11,20na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.

No dia seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre suas compras,mas não se lembravam do preço unitário dos livros. Sabiam apenas que todosos livros, assim como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.

E agora... Será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro oucaderno com as informações que temos?

Acompanhe a aula e descubra...

Em aulas anteriores, você viu que existem equações do 1º grau com duasincógnitas, como por exemplo:

x + y = 5 x - y = 3 x + 2y = 8

Você viu, também que as equações do 1º grau com duas variáveisadmitem infinitas soluções:

x + y = 5 e x - y = 3

Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que opar (4; 1), isto é, x = 4 e y = 1, é solução para as duas equações. Dessa forma,podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistema sistema sistema sistema sistema deequações do 1º grau que admitem uma solução comum.

Introdução

68A U L A

Nossa aula

xxxxx yyyyy xxxxx yyyyy0 5 0 -31 4 1 -22 3 2 -13 2 3 04 1 4 15 0 5 2... ... ... ...

68A U L A A Matemática utiliza o símbolo {{{{{ para indicar que duas (ou mais) equações

formam um sistema. Veja os exemplos:

x + y = 5 x - y = 4x - y = 3 2x - y = 9

3x - 2y = 5 2x + y + z = 12x + 5y = 1 x - y - 3z = 4

x = 2

Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: Aqui, vamos estudar apenas os sistemas do 1º grau com duasequações de duas variáveis.

Resolução de sistemas

Resolver um sistema é encontrar um par de valores (xxxxx e yyyyy) que tornemverdadeiras as equações que o formam.

Por exemplo, o par (3; 2) é solução do sistema x - y = 1 ?x + y = 5

Para fazer verificação, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambasas equações:

x - y = 1 x + y = 53 - 2 = 1 3 + 2 = 5

1 = 1 5 = 5 (verdadeiro) (verdadeiro)

Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras.

O método da substituição

Esse método de resolução de um sistema consiste em “tirar” o valor de umaincógnita e substituir esse valor na outra equação. Veja um exemplo:

x - y = 1x + y = 5

Escolhemos uma das equações e “tiramos” o valor de uma das incógnitas,ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim:

x - y = 1 ® x = 1 + y

Agora, temos o valor de xxxxx em função de yyyyy e podemos substituir esse va-lor na outra equação:

x + y = 5

1 + y + y = 5 1 + 2y = 5 2y = 5 - 1 2y = 4 y = 2

Como x = 1 + y ® x = 1 + 2 ® x = 3.Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema.

ß

68A U L AQual é mesmo o preço do livro?

Releia o problema proposto na introdução deste capítulo e acompanhe suaresolução.

Uma etapa importante na solução de um problema é a tradução dos dadosem linguagem matemática. Para essa etapa, vamos usar as variáveis x e y emvez de cadernocadernocadernocadernocaderno e livrolivrolivrolivrolivro. Organizamos os dados assim:

Pedro: 3 livros + 2 cadernos = R$ 17,40 ® 3x + 2y = 17,40José: 2 livros + 1 caderno = R$ 11,20 ® 2x + y = 11,20

Temos, assim, o sistema:

3x + 2y = 17,402x + y = 11,20

Estabelecendo o valor de yyyyy em função de xxxxx na 2ª equação, temos:y = 11,20 - 2x

Substituindo esse valor na 1ª equação:3x + 2 (11,20 - 2x) = 17,40

Temos uma equação do 1º grau, com apenas uma incógnita. Resolvendo essaequação:

3x + 22,40 - 4x = 17,40 - x = 17,40 - 22,40 - x = -5 - x = 5

Como y = 11,20 - 2x ® y = 11,20 - 10 ® y = 1,20

Portanto, cada livro custou R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00R$ 5,00 e cada caderno, R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20R$ 1,20.

VerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoPedro: 3 . 5 + 2 . 1,20 = 15 + 2,40 = 17,40José: 2 . 5 + 1,20 = 10 + 1,20 = 11,20

O método da adição

Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termosdas equações. Veja o exemplo:

x - y = - 42x + y = 9

Somando as equações:2x - y = - 42x + y = 9 +3x = 5

x = 53

68A U L A Veja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. PorVeja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. Por

que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!que isso ocorreu? Pense!

Para obter o valor de yyyyy, devemos substituir o valor de xxxxx, encontrado em umadas equações:

x - y = - 4 ® 53

- y = - 4 ® -y = - 4 - 53

-y = - 12 - 5

3 ® - y =

- 173

® y = 173

A solução do sistema é o par .

VerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificação

x - y = - 4 ® 53

- 173

= - 4 ® - 12

3 = - 4 (verdadeiro)

2x + y = 9 ® 2 · 53

+ 173

= 9 ® 103

+ 173

= 9 ® 273

= 9 (verdadeiro)

Usando um artifício de cálculo

Vamos resolver o sistema abaixo pelo método da adição:

3x + 2y = 42x + 3y = 1

Se somarmos as equações do jeito que estão, não conseguiremos anularanularanularanularanular umdos termos. Por isso, vamos usar um artifício de cálculo:

l primeiro, multiplicamos a 1ª equação por +2;l depois, multiplicamos a 2ª equação por -3.

O sistema sofrerá a seguinte transformação:

´ 23x + 2y = 4 ® 6x + 4y = 8

´ - 32x + 3y = 1 ® -6x - 9y = - 3

Agora, podemos somar o sistema:

- 6x + 4y = 8- 6x - 9y = - 3 +

- 5y = 5 ® y = - 1

5 ; 17ö3 3 ø

æè

68A U L APara obter o valor de x x x x x, devemos substituir o valor de y y y y y em uma das equações:

2x + 3y = 12x + 3 (- 1) = 12x - 3 = 12x = 4 ® x = 2

Portanto, a solução do sistema é o par: (2; -1).

VerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificaçãoVerificação

3x + 2y = 4 ® 3 · 2 + 2 · (-1) = 4 ® 6 - 2 = 4 (verdadeiro).2x + 3y = 1 ® 2 · 2 + 3 · (-1) = 1 ® 4 - 3 = 1 (verdadeiro).

Observação: Observação: Observação: Observação: Observação: Você deve ter percebido que o artifício de cálculo, usado pararesolver esse sistema, permitiu que a variável xxxxx desaparecesse. Isso ocorreuporque a variável xxxxx, nas duas equações, ficou com coeficientes simétricos.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Resolva o sistema por substituição:

3x + 5y = 202x + y = 11

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Resolva os sistemas por adição:

a)a)a)a)a) x + y = 10 b)b)b)b)b) 5x - 2y = 1x - y = - 6 7x + 2y = 11

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Resolva os sistemas:

a)a)a)a)a) x - y = - 3x + 2y = 3

b)b)b)b)b) 4x + y = 32x - 2y = - 1

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Verifique se o par (1; 2) é solução para o sistema: 10x - 2y = 6

x + 5y = 11

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação:

Um armário custa o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00.

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Resolva o sistema do Exercício 5.

Exercícios

69A U L A

69A U L A

Introdução Na Aula 68, você aprendeu a resolveralgebricamente um sistema do 1º grau. Nesta aula, você vai aprender a resolvergraficamentegraficamentegraficamentegraficamentegraficamente um sistema de equações do 1º grau.

Mas, antes, vamos recapitular algumas noções que, provavelmente, vocêjá conhece.

Uma equação do 1º grau com duas variáveis pode ser representada noplano cartesiano, isto é, graficamente, por meio de uma reta.

Para a determinação da reta bastam dois pontos. Cada ponto é formado porum par ordenado (x; y), onde x x x x x é a abscissa e yyyyy é a ordenada do ponto.

Os valores de xxxxx e de yyyyy podem ser estabelecidos em uma tabela, como mostrao exemplo.


Represente graficamente 2x + 3y = 5

x x x x x y = y = y = y = y = 5 - 2x

3(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)(x; y)

A 053

(0;53

)

B 1 1 (1; 1)

Nesta aula, vamos estudar apenas os sistemas de duas equações do 1º graucom duas variáveis.

Gráfico deum sistema

Nossa aula


Construa num mesmo plano cartesiano as retas x - y = 1 e x + y = 5

Primeiro montamos as tabelas:

As duas retas se cruzam no ponto (3; 2). Isso significa que o ponto (3; 2) écomum às duas retas, ou seja, é o ponto de interseção das duas retas. Logo o parordenado (3; 2) corresponde à solução do sistema formado por essas duasequações.

Veja:

x - y = 1x + y = 5

Por adição temos:

x - y = 1x + y = 5 +2x = 6 ® x = 3 ® y = 2

Solução:Solução:Solução:Solução:Solução: (3; 2)

E assim podemos verificar que o ponto (3; 2)(3; 2)(3; 2)(3; 2)(3; 2), ponto de interseção das duasretas é a solução gráfica do sistema.


Resolva graficamente o sistema:

x - y = 5x + 2y = 8

x y=x-1 (x;y) x y=5 - x (x;y)0 - 1 (0;1) 0 - 1 (0;1)1 0 (1;0) 1 0 (1;0)

xxxxx y=xy=xy=xy=xy=x-55555 (x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)

0 - 5 (0;- 5)

1 - 4 (1;- 4)

xxxxx y =8 - x

2(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)

072

= 3, 5 (0;3,5)

2 3 (2;3)

69A U L A Agora, vamos verificar esse resultado, achando algebricamente a solução:

x - y = 5x + 2y = 8

Por substituição temos:

x = 5 + y ® 5 + y + 2y = 8 ® 3y = 3

y = 1 ® x = 6

Solução:Solução:Solução:Solução:Solução: (6; 1)

Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1Podemos concluir que a solução de um sistema do 1º grau com duas grau com duas grau com duas grau com duas grau com duasvariáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.variáveis é representada graficamente pela interseção de duas retas.

Muitas vezes, a solução de um sistema pode nos levar a resultados curiosos.Nesse caso, a solução gráfica pode ser um excelente recurso para entender asolução.

EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4EXEMPO 4

Resolva algebricamente o sistema:

2x + y = 02x + y = 3

Usando um recurso do cálculo e resolvendo por adição, temos:

2x + y = 0 ´ (-1) - 2x - y = 0 2x + y = 3 2x + y = 3 + 0 = 3 ® falso

Mas, como 0 ¹ 3 (zero é diferente de 3), dizemos que chegamos a umaidentidade falsaidentidade falsaidentidade falsaidentidade falsaidentidade falsa.

Vamos verificar qual o significado dessa identidade falsa, resolvendo grafi-camente o sistema:

2x + y = 02x + y = 3

Observe que as retas que representam as equações que formam o sistemasão paralelasparalelasparalelasparalelasparalelas. Logo, não há ponto de interseção entre elas, o que significaque o sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem soluçãoo sistema não tem solução.

x y=-2x (x;y) x y=3-2x (x;y)0 0 (0;0) 0 3 (0;3)1 -2 (1;-2) 1 1 (1;1)

69A U L AUm sistema indeterminado

Resolva algebricamente o sistema abaixo e, depois, verifique o significadoda solução encontrada.

x - y = 32x - 2y = 6

Por substituição, temos: x = 3 + y

2x - 2y = 6 ® 2 (3 + y) - 2y = 6 6 + 2y - 2y = 6 ® 6 = 6 ® (verdadeiro)

Agora vamos resolver graficamente o sistema e verificar o significado dasolução.

x - y = 32x - 2y = 6

As duas equações que formam o sistema são representadas por uma únicaúnicaúnicaúnicaúnicaretaretaretaretareta. Logo todas as soluções de uma equação são também soluções da outraequação. O que significa que há infinitas soluções, ou seja, a solução éa solução éa solução éa solução éa solução éindeterminadaindeterminadaindeterminadaindeterminadaindeterminada.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Represente num mesmo plano cartesiano as retas 2x + 3y = 11 e 11x + 4y = 22.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Determine a solução do sistema 2x + 3y = 11 ?

x - y = - 2Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3

Represente graficamente cada um dos sistemas a seguir e, depois, verifiquea solução algebricamente.

a)a)a)a)a) x + y = 1 b)b)b)b)b) 2x + y = 12x - y = 14 2x + y = 3

c)c)c)c)c) x - y = - 3 d)d)d)d)d) x + y = 4x + 2y = 3 2x - 2y = 8

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Sejam aaaaa e bbbbb as retas que representam as equações de um sistema do 1º grau.O que podemos afirmar sobre a solução do sistema, quando:

a)a)a)a)a) aaaaa e bbbbb são retas concorrentes;b)b)b)b)b) aaaaa e bbbbb são retas coincidentes, isto é, representam a mesma reta;c)c)c)c)c) aaaaa e bbbbb são retas paralelas.

xxxxx y=xy=xy=xy=xy=x-33333 (x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)

0 - 3 (0;- 3)

1 - 2 (1;- 2)

xxxxx y =2x - 6

2(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)(x;y)

0 - 3 (0;- 3)

1 - 2 (1;- 2)

Exercícios

70A U L A

70A U L A

Equacionandoproblemas ----- I

Introdução Você já percebeu que a Matemática é umexcelente recurso para resolver muitos dos problemas do nosso dia-a-dia. Masa Matemática também pode ser vista sob um outro aspecto: o da brincadeira.

Problemas que envolvem jogos e desafios lógicos têm contribuído paraestimular a inteligência do ser humano ao longo de toda a história. Há registrodesse tipo de brincadeiras desde a Antigüidade.

Nesta aula, nós vamos apresentar alguns desses desafios. Certamente, vocêtambém se sentirá estimulado a resolvê-los. Afinal, quem nunca brincou deadivinhar?

Como descobrir o número pensado por outra pessoa?

Essa é uma brincadeira bastante antiga (livros do século XII já faziamreferência a esse tipo de jogo como uma atividade comum entre pessoas).Consiste no seguinte: uma pessoa propõe a outra que pense em um númeroqualquer. Após alguns comandos, a pessoa que propôs o jogo adivinha onúmero pensado pela outra. Vamos ver um exemplo.

EXEMPLO 1

Duas pessoas, A e B, estão jogando. A dá alguns comandos para B.

COMANDOS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS

l Pense num número qualquer. l B pensou no número 5.l Encontre o seu dobro. l 5 x 2 = 10l Some 3 ao resultado. l 10 + 3 = 13l Triplique o valor encontrado. l 13 x 3 = 39l Subtraia 9 do resultado. l 39 - 9 = 30l Divida tudo por 6. l 30 : 6 = 5l Quanto deu? l 5l Este é o número no qual você pensou!

Nossa aula

70A U L AVamos escrever em linguagem matemática o que ocorreu:

l Pense um número qualquer: xl Encontre o seu dobro: 2 . x = 2xl Some 3 ao resultado: 2x + 3l Triplique o que você achou: 3 . (2x + 3) = 6x + 9l Subtraia 9 ao resultado: 6x + 9 - 9 = 6xl Divida tudo por 6: 6x : 6 = x

Porque esse jogo dá certo?Observe que há comandos que anulam os anteriores, como por exemplo:

�achar o dobro� e �triplicar� são anulados pelo comando �divida tudo por 6�.

Os comandos que se anulam são determinados pelas operações inversas.

Recordando operações inversas

Uma operação é inversa de outra quando desfaz o que a outra faz.

l A adição e a subtração são operações inversas:

l A multiplicação e a divisão são operações inversas:

l A potenciação e a radiciação são operações inversas:

70A U L A Adivinhando um número novamente

Vamos ver mais um exemplo desse jogo de �adivinha�:

EXEMPLO 2

A pessoa A diz os seguintes comandos para a pessoa B:

l Pense em um número par.

l Triplique o número escolhido.

l Divida o resultado por 2.

l Triplique o resultado.

l Divida o que foi encontrado por 9.

l Multiplique por 2.

l A: O resultado final é o número que você pensou.

Vamos ver em linguagem matemática o que ocorreu:

COMANDOS LINGUAGEM MATEMÁTICA

l pense um número par l 2x (*)l triplique o número pensado l 2x . 3 = 6xl divida o resultado por 2 l 6x : 2 = 3xl triplique o resultado l 3x . 3 = 9xl divida o que deu por 9 l 9x : 9 = xl multiplique por 2 l x . 2 = 2x

(*) A expressão geral para indicar um número par é 2x. Veja que,para qualquer valor atribuído a x, o número 2x é par.

Observe que, novamente, foram feitas operações inversas, permitindo quese retornasse ao número pensado inicialmente.

Jogando com a calculadora

Há pessoas que dizem que os números se relacionam com a sorte. Outras,simplesmente, simpatizam mais com este ou aquele número. E você, tambémtem um número de sua preferência?

Nesse jogo você poderá escolher um número de 1 a 9 e fazer com quesomente ele apareça no visor de uma calculadora, por meio de algumasoperações bem simples. Vamos ver um exemplo.

70A U L AEXEMPLO 3

Imagine que você tenha escolhido o número 5.

Digite na calculadora o número 1 2.3 4 5.6 7 9.

Agora, multiplique esse número por 45.

Veja que, no visor, aparece somente o número 5.

Desvendando o mistério!

Muita gente acha que 1 2.3 4 5.6 7 9 é um número misterioso. A matemáticavai mostrar que não há nenhum mistério. Veja a aplicação:

O número 1 1 1.1 1 1.1 1 1 é divisível por 9 e o quociente dessa divisão é12.3456.79. Experimente fazer a conta na calculadora:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 .... 123456790

Portanto: 1 2.3 4 5.6 7 9 x 9 = 111.111.111.

OFF ONC%

MMR - M+ /+-

7 8 9

5 64

1 2 3

x

-

0

OFF

OFF ONC%

MMR - M+ /+-

7 8 9

5 64

1 2 3

x

-

0

OFF

70A U L A Quando multiplicamos 1 2.3 4 5.6 7 9 por 45, estamos, na verdade,

multiplicando-o por 9 x 5.

Logo: 1 2.3 4 5.6 7 9 x 45 == 1 2.3 4 5.6 7 9 x 9 x 5 == 1 1 1.1 1 1.1 1 1 x 5 = 5 5 5.5 5 5.5 5 5

Veja que curioso:

1 2.3 4 5.6 7 9 x 19 (9 x 1) = 111.111.1111 2.3 4 5.6 7 9 x 18 (9 x 2) = 222.222.2221 2.3 4 5.6 7 9 x 27 (9 x 3) = 333.333.3331 2.3 4 5.6 7 9 x 36 (9 x 4) = 444.444.444

... ...

A álgebra desvendando mistérios

Você já sabe que a álgebra é uma linguagem matemática que auxilia aresolver problemas, isto é, pela álgebra podemos equacionar problemas.

PROBLEMA 1

Vamos resolver um �mistério� sobre a vida de Diofanto, um notávelmatemático da Antigüidade. Tudo o que se conhece a seu respeito encontra-sena dedicatória escrita em seu túmulo sob a forma de um problema matemático.

Veja o que ela diz:

LINGUAGEM CORRENTE LINGUAGEM MATEMÁTICA

CAMINHANTE! AQUI FORAM SEPULTADOS OS RESTOS DE

DIOFANTE. E OS NÚMEROS PODEM MOSTRAR - OH,MILAGRE - QUÃO LONGA FOI SUA VIDA, x

CUJA SEXTA PARTE CONSTITUIU SUA FORMOSA INFÂNCIAx6

E MAIS UM DUODÉCIMO PEDAÇO DE SUA VIDA HAVIA

TRANSCORRIDO QUANDO DE PÊLOS SE COBRIU O SEU ROSTO.x

12

E A SÉTIMA PARTE DE SUA EXISTÊNCIA TRANSCORREU EM

UM MATRIMÔNIO SEM FILHOS.x7

PASSOU-SE UM QÜINQÜÊNIO MAIS E DEIXOU-O MUITO

FELIZ O NASCIMENTO DE SEU PRIMEIRO FILHO, 5

CUJO CORPO ENTREGOU À TERRA, SUA FORMOSA VIDA,QUE DUROU SOMENTE A METADE DA DE SEU PAI.

x2

E COM PROFUNDO PESAR DESCEU À SEPULTURA, TENDO

SOBREVIVIDO APENAS QUATRO ANOS AO DESCANSO DE

SEU FILHO. 4

DIGA-ME: QUANTOS ANOS TINHA DIOFANTO QUANDO LHE

CHEGOU A MORTE? x =x6

+x

12+

x7

+ 5 +x2

+ 4

70A U L ASolução

x =x6

+x

12+

x7

+ 5 +x2

+ 4 igualando os denominadorese simplificando

84x84

=14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336

84

84x - 14x - 7x - 12x - 42x = 420 + 336 9x = 756 x = 84

Desse modo, ficamos conhecendo alguns dados biográficos sobre Diofanto:casou-se aos 21 anos, foi pai aos 38, perdeu o filho aos 80 e morreu aos 84.

PROBLEMA 2

Vamos ver mais um problema bastante antigo que pode ser traduzido paraa linguagem da álgebra.

Um cavalo e um burro caminharam juntos levando no lombo pesados sacos.Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe disse: �De quete queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelocontrário, se te desse um saco, a tua carga seria igual à minha�. Qual a cargade cada um dos animais?

Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo na linguagem da álgebra:

Sejam x = a carga do cavalo e y a carga do burro.

LINGUAGEM CORRENTE LINGUAGEM DA ÁLGEBRA

Se eu levasse um de teus sacos, x - 1a minha carga y + 1seria o dobro da tua. y + 1 = 2 (x - 1)Se eu te desse um saco, y - 1a tua carga x + 1seria igual à minha, y - 1 = x + 1

Temos, então, um sistema com duas equações do 1º grau:

y + 1 = 2 (x - 1) ® y - 2x = - 3 y - 1 = x + 1 y - x = 2

resolvendo o sistema, temos x = 5 e y = 7.

Logo, a carga do burro era de 7 sacos e a do cavalo, de 5 sacos.

Este é um dos mais curiosos problemas que se conhece. E também um dosmais antigos: tem mais de 2000 anos!

70A U L A Um viajante chega à margem de um rio levando uma raposa, uma cabra e

um pé de couve. Ele deseja atravessar o rio, mas o único barco que se encontralá é pequeno e só pode transportar dois elementos de cada vez: ele e um de seuspertences. O viajante deseja levar todos os seus pertences para a outra margem,sem perder nenhum deles. Ele sabe que:

� se deixar a cabra com a couve, a cabra come a couve;� e se deixar a raposa com a cabra, a raposa come a cabra.

O que ele deve fazer?

Tente resolver esse problema antes de ler a solução! Ele não precisa deequação para ser resolvido; precisa, sim, de muito raciocínio!

Solução

Como nada foi dito sobre a raposa e a couve, podemos concluir que podemficar juntos sem prejuízo para o viajante. Sendo assim, veja o que o viajante fazpara resolver seu problema:

� levou a cabra, voltou e pegou a raposa;� deixou a raposa e trouxe a cabra de volta;� levou a couve e voltou para pegar a cabra.

Seguiu seu caminho feliz por não ter perdido nenhum de seus pertences.

Agora que você conhece esse aspecto divertido da Matemática, que talpesquisar ou inventar outros problemas?

Por enquanto, aqui vão algumas sugestões que, certamente, irão �aguçar�seu raciocínio.


Um número, sua metade e sua terça parte somam 77. Qual é o número?

Exercício 2Pensei num número, multipliquei-o por 2 e ao resultado somei 8, obtendo20. Em que número pensei?

Exercício 3Descubra o valor das letras, na conta abaixo, considerando que letras iguaisrepresentam o mesmo número:

ABBA +

CAC

Exercício 4Que comandos anulam os seguintes comandos?a) Somar 8 e multiplicar por 2.b) Triplicar e multiplicar por 5.

Exercício 5Invente uma série de comandos que levem você a adivinhar o númeropensado por um amigo.

Exercícios

71A U L A

71A U L A

Operando compotências

Introdução Operações com potências são muito utiliza-das em diversas áreas da Matemática, e em especial no cálculo algébrico. Oconhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode facilitar aresolução de cálculos com expressões algébricas, que de outra forma seriambastante trabalhosos.

Para estudar essas propriedades, vamos antes rever algumas definições depotências com expoentes inteiros e bases reais.

Potenciação, por definição, é uma forma prática e simples de se represen-tar uma multiplicação de fatores iguais.

Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número devezes que o fator se repete é representado pelo expoente. Por exemplo:

l 5 x 5 = 25 « 52 = 25 Onde 5 é a base e 2 é o expoente.Lê-se: �5 ao quadrado�.

2 vezes

l 2 x 2 x 2 = 8 « 23 = 8 Onde 2 é a base e 3 é o expoente.Lê-se: �2 ao cubo�.

3 vezes

l 3 x 3 x 3 x 3 = 81 « 34 = 81 Onde 3 é a base e 4 é o expoente.Lê-se: �3 à 4ª potência�.

4 vezes

De maneira geral, podemos escrever:

a . a . a ... a = an

se n > 2 (número inteiro) n vezes

Nossa aula

71A U L AAlguns casos especiais da potenciação:

l a1 = a para qualquer a

l a0 = 1 se a ¹¹¹¹¹ 0

l a- n =1

an se a ¹¹¹¹¹ 0

Além dessas definições, convenciona-se ainda que:

- 32 significa - (3)2 = - (3 . 3) = - 9 e

(- 3)2 = (- 3) . (- 3) = + 9

Portanto: - 32 ¹¹¹¹¹ (- 3)2

Isso nos leva a concluir que, se a base é um número negativo e está elevadaa um expoente positivo, é indispensável o uso dos parênteses. Caso osparênteses não sejam utilizados o resultado encontrado poderá ser incorreto.

Vejamos alguns exemplos numéricos de aplicação das propriedadesvistas até aqui:

l 70 = 1 l (- 2)2 = + 4

l 61 = 6 l 3- 2 =132 =

19

l - 22 = - 4 l

Para calcular o valor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar amultiplicação equivalente. Assim, por exemplo, para comparar duas ou maispotências é necessário conhecer antes os seus valores. Por exemplo:

l As potências 3-2 e (-3)-2 são iguais ou diferentes?

3- 2 =132 =

19

e

Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3-2 = (- 3)-2

l Qual é a maior 6-2 ou -6 2?

6- 2 =162 =

136

ou - 62 = -(6 . 6) = -36

Vimos que 6-2 resulta num número positivo e -62 resulta num númeronegativo. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo.

Logo: 6-2 > -62.

æè

12

öø

³¯=

(-3) = 1(-3)

= 19

- -³³

1 (½)³ = 1

8_( )1 8=

71A U L A

l Qual é o número menor: ou ?

e

Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denomi-nador, portanto 1

32.

Como as frações são negativas o resultado é ao contrário e teremos comoresposta: >

Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica.

Para efetuar operações com potências, também é necessário calcularantes o valor de cada potência. Por exemplo:

l 32 + 23 = 9 + 8 = 17

l 53 - 72 = 125 - 49 = 76

l 23· . 32 = 8 . 9 = 72

l 42: 23 = 16 : 8 = 2

Propriedades da potenciação

Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especial daspotências de bases iguais. Nesses casos, podemos resolver a multiplicação semefetuar as potências e obteremos o resultado em forma de potência.

Multiplicação de potências de bases iguais

l 24 x 24 = 24+2 = 26 porque 24 x 22 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26

4 vezes 2 vezes

l 75 x 7-3 = 75 + (-3) = 75-3 = 72

Generalizando, para multiplicar potências de bases iguais, repetimos a basee somamos os expoentes.

am . an = am+n

ø

ø øæ_ 1 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

ö ö

ö

è

³5

øø

ø

ø

ø

ø

ø

ø

ø ø

ø

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

æ_ 1è 2

ö ö

ö ö

öö ö

ö

ö

ö

ö

³

5

5

æ_ 1è 2

_ 1 32

_ 1 8

= . . . . =

= . . =

³

71A U L A

Divisão de potências de bases iguais

l 54 ¸ 52 =54

52 =5· 5· 5· 5

5· 5= 5· 5 = 52

l 7-3 : 72 = 7-3-2 = 7-5

l 94 : 96 = 94-6 = 9-2

Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímosos expoentes.

am ::::: an = am - n

Potenciação de potência

l (32)3 = (32) . (32) . (32) = 32 x 3 = 36

3 vezes

l

Então, para elevar uma potência a um expoente, repetimos a base e multi-plicamos os expoentes.

(am)n = a m . n

Distributividade da potenciação em relação à multiplicação

l (2 x 3)3 = (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 8 . 27

3 vezes 3 vezes 3 vezes

l

Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator ao mesmoexpoente.

(a . b)m = am . bm

:. . .

æ 1 öè 2²

(2 (-2) )4

ø== 1

2 8 2-84

=

(5 x 7) =-2 1(5 x 7)²

15² x 7²

= 5 -2 -2x 7=

71A U L A

Distributividade da potenciação em relação à divisão

l

2 vezes

l

Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, elevamos odividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente.

ou

Aplicações

Como já foi dito no início da aula, uma das maiores aplicações daspropriedades operatórias das potências de bases iguais está no cálculoalgébrico. Na Aula 62, efetuamos a adição e a subtração de expressões algébri-cas. Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a divisão dessas expressões everificaremos o uso constante das propriedades estudadas.

l x2 · x3 · x5 = x10

l y2 · (y2 + y + 1) = y2 · y2 + y2 · y + y2 · 1 = y4 + y3 + y2

l (- 2xy)3 = (- 2)3 · x3 · y3 = - 8x3y3

l (x2)3 · x-4 = x6 · x- 4 = x7- 4

l (2x5 + 3x4) ¸ x3 = (2x5 ¸ x3) + (3x4 ¸ x3) = 2x2 + 3x

l

xyβ γ4

x2yβ γ- 1 =x4 · y4

x2β γ- 1 · y- 1=

x4 · y4

x- 2 · y- 1=

x4

x- 2·

y4

y- 1= x6 · y5

(7 : 3)² =æ7öè3ø

æ7öè3

.ø =

7 . 7 7²3 . 3 3² = 7² : 3²

æ4öè5

-3

ø -3-34

5=

(a : b)m= a : bm m

æaöèbø

= abm

mm

(xy)4

(x- )- (x )- ..

.

. .

71A U L A

As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como umaforma de simplificação dos cálculos. Veja:

l 2 . 128 . 32 = 2 . 27 . 25 = 213

l (43)2 : 16 = 46 : 42 = 44

l52 · 53

625=

52 · 53

54 =55

54 = 51 = 5

Exercício 1Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):

a) ( ) 4-2 = - 16

b) ( ) 7-3 . 73 = 1

c) ( )1x

ΦΗ

ΙΚ

- 2

= x2

d) ( ) - 3- 2 =19

Exercício 2Qual é a maior -

15

ΦΗ

ΙΚ

2

ou -15

ΦΗ

ΙΚ

3

?

Exercício 3Se 2x = 4, qual é o valor de 21+x? E qual o valor de 23-x?

Exercício 4Efetue as operações nas seguintes expressões algébricas:

a) x3 . (x + x2 + x4) =

b) (7x5 - 8x4) : x4 =

c) (6x3 + 3x2) : (-3x) =

d) (x2 + y) . xy =

Exercícios

æ_è

ö²

øæ_è ø

³ö

æ1öèxø

. .

77A U L A

Exercício 1Ao vender um objeto por R$ 90,00, uma pessoa obteve um lucro de 20%.Quanto deve ter lhe custado esse objeto?

Exercício 2Os funcionários de uma empresa foram agrupados em três faixas etárias(A, B e C), que correspondem, respectivamente, às idades de 18 a 25 anos,de 25 a 35 anos e acima de 35 anos. O gráfico abaixo indica o total defuncionários em cada faixa etária. Indique a afirmação errada:

a) B tem 50% a mais que A.b) A tem 50% a mais que C.c) B tem 200% a mais que C.d) C tem 50% a menos que A.e) A tem 50% a menos que B e C juntos.

Exercício 3Qual o aumento total correspondente a dois aumentos sucessivos de 20%e 30%?

Exercício 4Sabendo que o salário de Pedro passou para R$ 450,00, após um reajuste de70%, responda: qual era o salário de Pedro antes do aumento?

Exercícios

72A U L A

72A U L A

Produtos notáveis

Introdução

Nossa aula

O cálculo algébrico é uma valiosa ferra-menta para a álgebra e para a geometria. Em aulas anteriores, já vimosalgumas operações com expressões algébricas.

Nesta aula, estudaremos alguns produtos especialmente importantes por-que aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos sãoconhecidos pelo nome de produtos notáveis. Produto por ser resultado deuma multiplicação, e n o t á v e l por ser importante, digno de nota, que se destaca.

Vamos verificar que podemos calcular a área de algumas figuras demaneiras diferentes.

Primeiro produto notável

Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado mede a.

Área: a2

Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamosum quadrado de lado a + b, assim:

Área: (a + b)2

72A U L AOutra maneira de calcular a área desse quadrado é somando as áreas de

cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, delados a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujas dimensões são a e b:

(a + b)2 = a2 + 2·ab + b2

Podemos ainda calcular a área desse quadrado usando cálculo algébrico:

(a + b)2 = (a + b) (a + b) Elevar ao quadrado éo mesmoquemultiplicar dois fatores iguais.

(a + b) (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = Aplicando a propriedade distributivada multiplicação.

= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Efetuando os termos semelhantes.

Logo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

O trinômio obtido é chamado de trinômio quadrado perfeito por ser oresultado do quadrado de (a + b).

Observe novamente esse produto:

quadrado da soma trinômio quadrado perfeito

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

å â â æ æ1º termo 2º termo quadrado duas vezes quadrado

do 1º o 1º pelo 2º do 2º

Portanto, o primeiro produto notável pode ser lido assim:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo,mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.

72A U L A EXEMPLO 1

Podemos calcular (2 + 3)2 de duas maneiras:

(2 + 3)2 = 52 = 25(2 + 3)2 = 22 + 2 . 2 . 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25

Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos usados.

É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a conclusão do produtonotável, pois, como os termos da soma são números, podemos achar diretamen-te o resultado, somando os números e elevando o resultado ao quadrado.

No caso de uma soma algébrica, é impossível efetuar a adição, e entãotemos de usar a regra do produto notável.

EXEMPLO 2

l (x + 1)2 = x2 + 2 . x . 1 + 12 = x2 + 2x + 1

l (3x + 4)2 = (3x)2 + 2 · (3x) · 4 + 42 = 9x2 + 24x + 16

l

x2

+ yΦΗ

ΙΚ

2

=x2

ΦΗ

ΙΚ

2

+ 2·x2

ΦΗ

ΙΚ· y + y2 =

x2

4+ xy + y2

l (a2 + 3b)2 = (a2)2 + 2 · a2 · 3b + (3b)2 = a4 + 6a2b + 9b2

Segundo produto notável

O segundo produto notável é o quadrado da diferença entre dois termose é praticamente igual ao primeiro produto, sendo a única diferença o sinal.Vamos calculá-lo:

(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - ab - ba + (- b)2 == a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

Logo:(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

que pode ser lido assim:

O quadrado da diferença d e dois termos é igual ao quadradodo 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º termo pelo

2º termo, mais o quadrado do 2º termo.

æxè2

öø

æxö è2ø

æxö è2ø. .

. .

72A U L AEXEMPLO 3

l (a - 2)2 = a2 - 2 . a . 2 + 22 = a2 - 4a + 4

l (x2 - 2y)2 = (x2)2 - 2 . x2 . 2y + (2y)2 = x4 - 4x2y + 4y2

l

Terceiro produto notável

O terceiro produto notável pode ser mostrado por meio do cálculo da áreade uma figura. Essa área será calculada também de duas maneiras diferentes.

A área que devemos calcular é a da figura pintada em forma de L que temtrês dimensões diferentes a, b e c.

Completando as linhas tracejadas, obtemos um quadrado maior de lado ae um quadrado menor de lado b.

A área da figura pintada pode ser calculada fazendo-se a diferença entre aárea do quadrado maior e a área do quadrado menor:

Área do L = área do quadrado maior - área do quadrado menor

Área do L = a2 - b2

Outra maneira para calcular a área do L é decompor a figura em doisretângulos, assim:

Observe na figura anterior, que c = a - b

æè

æ3yè 4ø ø

öö(4x)²4x - -2 . 4x .3y

4+3y

4= 16x² - 6xy + 9y²

16=

²²

72A U L A Como os dois retângulos têm uma das dimensões iguais (c), vamos

colocá-los juntos de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a- b.

comprimento: a + blargura: a - b

Calculando a área do retângulo, que é igual à área do L, temos:

Área do retângulo: (a + b) (a - b)

Então: (a + b) (a - b) = a2 - b2 que pode ser lido:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igualao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.

EXEMPLO 4

l (x + 2) (x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4

l (2x - 5y) (2x + 5y) = (2x)2 - (5y)2 = 4x2 - 25y2

l (a2 + b) (a2 - b) = (a2)2 - b2 = a4 - b2

l

Observações

1. Quando se diz �o quadrado da soma de dois números�, essa sentença érepresentada algebricamente por (x + y)2.

2. Quando se diz �a soma dos quadrados de dois números�, a expressãocorrespondente é x2 + y2.

3. Da mesma forma, �o quadrado da diferença� representa-se por (x - y)2 e �adiferença entre dois quadrados� por x2 - y2.

æx yöè2 3

ö ö öø øøø

. æx yè2 3

+ -=x2

²- y

3

²=

x² y²4 9

æè

æè -

72A U L AResumindo

Os três produtos notáveis estudados nesta aula são:

1. Quadrado da soma de dois termos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Quadrado da diferença de dois termos: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3. Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b) (a - b) = a2 - b2

Exercício 1Sabendo que x2 + y2 = 29 e (x + y)2 = 49 são números inteiros positivos,determine:a) x + yb) xyc) x e y

Sugestão: desenvolver (x + y)2 e substituir (x + y)2 e x2 + y2 pelos seus valoresdados pelo enunciado.

Exercício 2Efetue:a) (2x + 3y)2

b) x -y2

ΦΗΓ

ΙΚϑ

2

c) (x2 - 2xy) (x2 + 2xy)

Exercício 3Qual o polinômio que somado a (a + 2) (a - 2) dá (a + 2)2 como resultado?

Exercício 4Observe os seguintes trinômios quadrados perfeitos e determine os qua-drados correspondentes:a) x2 + 2ax + a2

b) 4x2 + 4x + 1

Exercícios

æèx

øö

73A U L A

73A U L A

Fatoração

Introdução A palavra fatoração nos leva a pensar emfatores, e, como já sabemos, fatores são os elementos de uma multiplicação.Fatorar um número, portanto, é escrevê-lo na forma de uma multiplicação defatores. Por exemplo, o número 16 pode ser escrito como uma multiplicação defatores, de várias maneiras:

16 = 2 x 816 = 4 x 416 = 2 x 2 x 2 x 2 ou ainda 16 = 24

No caso de uma expressão numérica, cujas parcelas têm um fator comum,podemos fatorá-la, assim:

7 x 2 + 5 x 2 = (7 + 5) x 2 ® forma fatorada daexpressão numérica

soma de 2 parcelas produto de dois fatores

Vamos aprender, nesta aula, a fatoração de expressões algébricas, que émuito utilizada para a simplificação dos cálculos algébricos.

Vamos considerar um terreno formado por dois lotes de comprimentosdiferentes e de mesma largura:

Podemos calcular a área total do terreno de duas maneiras diferentes:

l Calculando a área de cada lote e depois somando-as.l Somando os comprimentos dos dois lotes e calculando diretamente a

á r e a total do terreno.

Nossa aula

73A U L AAs duas maneiras dão o mesmo resultado; portanto, podemos escrever:

Área do lote I: ax

Área do lote II: bx

Comprimento total do terreno: (a + b)

Área do terreno: (a + b) x

Logo: ax + bx = (a + b) x

soma de duas produto deparcelas dois fatores

Portanto, sempre que numa soma de duas ou mais parcelas houver um fatorcomum a todas as parcelas (como o x em ax + bx), podemos fatorar essaexpressão, e esse fator comum será um dos fatores da expressão após serfatorada.

Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada?

Basta dividir a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum.

EXEMPLO 1

Fatore a expressão: 3xy + 6x. Temos que 3 e x são fatores comuns às duasparcelas. Podemos, então, escrever a expressão assim:

simplificando as frações

3xy + 6x = 3x (y +2)

Dizemos que o fator 3x foi colocado �em evidência�, isto é, �em destaque�.Na prática, as divisões feitas dentro dos parênteses são feitas �de cabeça�.

EXEMPLO 2

Fatore 2a2b - 4ab2.Os fatores comuns são 2, a e b.Colocando 2.a.b �em evidência�, temos:

2a2b - 4ab2 = 2ab . (a - 2b) divisão feita �de cabeça�

Para ter certeza de que a divisão foi feita corretamente, você pode fazer averificação assim:

2ab (a - 2b) = 2a2b - 4ab2

Ou seja, foi usada a propriedade distributiva da multiplicação para verificarse a fatoração está correta.

// // /

2

Somando as duas áreas: ax + bx

/= 3x . æ3xy è 3x

öø

6x3x/

+

æ3xy 6xè 3x 3xø

ö3xy + 6x = 3x . +

73A U L A Podemos também fatorar as expressões algébricas que são resultados de

produtos conhecidos, como os produtos notáveis estudados na aula anterior.

A expressão a2 - b2 é resultado do produto (a + b) · (a - b); então podemosfatorar toda expressão da seguinte maneira:

l 4x2 - 9 = (2x + 3) (2x + 3) ® forma fatorada ß ß

(2x)2 32

l 36a2 - 1 = (6a + 1) (6a - 1)ß ß(6a)2 12

l

ß ß

42

Os outros dois produtos notáveis resultam em trinômios quadradosperfeitos. Como os dois casos diferem apenas num sinal, podemos escrever osdois juntos usando os dois sinais ao mesmo tempo, assim:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Que se lê:�O quadrado da soma ou da diferença de dois termos é igual ao

quadrado do 1º termo, mais ou menos duas vezes o 1º pelo 2º termo, mais oquadrado do 2º termo.�

Então, sempre que tivermos um trinômio quadrado perfeito podemosfatorá-lo escrevendo-o na forma de um quadrado da soma ou da diferença dedois termos. Por exemplo:

l x2 + 8x + 16ß ß

quadrado quadradode x de 4

2 . x . 4

Então, podemos escrever:

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 ® forma fatorada

/\

öæè

4

ø

øö

ö

16 - x²25

= 4 + x5

.ø

- x5

æè

x5

æè

²

73A U L A

/\

l a2 + 8a + 9 ß ß quadrado quadrado de a de 3

2 . a . 3

6a ¹ 8a

Nesse caso, o trinômio não é quadrado perfeito e, portanto, não pode serfatorado.

l x4 - 2x2 + 1ß ß

(x2)2 12

2 . x2 .1

2x2

O trinômio é quadrado perfeito e vamos escrevê-lo na forma fatorada:

x4 - 2x2 + 1 = (x2 - 1)2

Exercício 1Calcule o valor de 5 · 36 + 5 . 24 + 5 . 15, fatorando antes a expressão.

Exercício 2Fatore as expressões algébricas, colocando o fator comum em evidência:a) x2 + 11xb) a2b + 4ab + ab2

Exercício 3Verifique se o trinômio x2 - 12x + 64 é um trinômio quadrado perfeito,justificando a resposta.

Exercício 4Fatore o trinômio a2x2 + 2ax + 1.

Exercício 5Fatore a expressão x4 - 16 e, se ainda for possível, fatore o resultado obtido.Isso quer dizer fatorar completamente a expressão.

Exercício 6Simplifique a fração a2 - 10a + 25

a - 5, fatorando antes o numerador da fração.

Exercício 7Complete o trinômio quadrado perfeito com o termo que está faltando:x2 - ..... + 9y2

/\

Exercícios

74A U L A

74A U L A

Equação do 2º grau

Introdução Sabemos, de aulas anteriores, que podemosresolver problemas usando equações. A resolução de problemas pelo métodoalgébrico consiste em algumas etapas que vamos recordar:

l Representar o valor desconhecido do problema, a incógnita, por umaletra que, em geral, é a letra x.

l Escrever a senteça matemática que �traduz� o problema. É o quechamamos de equacionar o problema.

l Resolver a equação do problema.

l Verificar a solução encontrada escolhendo a solução correta, de acordocom o que foi solicitado no problema.

Nas aulas em que já foram estudados problemas e sua resolução gráfica,as equações encontradas eram do 1º grau.

Vamos estudar agora as equações do 2º grau, usadas na resolução deproblemas de diferentes assuntos que apresentam necessidade desse tipode equação.

Vejamos o seguinte problema: na figura a seguir, temos um retângulo decomprimento 6 cm e cuja largura é desconhecida, ou seja, não sabemos suamedida. Ao lado desse retângulo temos um quadrado cujo lado é igual àlargura do retângulo. Vamos determinar o lado do quadrado, sabendo que aárea total da figura é de 16 cm2.

Nossa aula

74A U L AChamamos o lado do quadrado, que é a incógnita do problema, de x.

Calculando as áreas do retângulo e do quadrado, temos:

Área do retângulo: 6 . x = 6xÁrea do quadrado: x . x = x2

A área total da figura é:

6x + x2 = 16 ® equação do problema

Vamos, agora, �arrumar� a equação do problema, colocando todos ostermos no primeiro membro e ordenando-os de acordo com as potências de x,da maior para a menor, ou seja, de modo decrescente.

x2 + 6x - 16 = 0ß ß ßtermo termo termoem x2 em x sem x

Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do2º grau.

Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹¹¹¹¹ 0. Veja os exemplos:

l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são:

a = 2, b = - 4 e c = 5

l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são:

a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x)

l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são:

a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)

l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são:

a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos)

A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa,pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um oudois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos comoresolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. Asequações completas serão estudadas na próxima aula.

74A U L A Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos

que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero?

Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0.

A equação ficará assim:

0 . x + bx + c = 0

bx + c = 0 ® equação do 1º grau.

Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulandoesse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.

Resolução de uma equação

Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver umaequação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeiraquando substituímos x por esse valor.

No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluçõesdiferentes para uma equação.

EXEMPLO 1

a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução daequação.

A equação é: x2 + 6x - 16 = 0Substituindo x por 2, temos:

22 + 6 . 2- 16 = 0 4 + 12 - 16 = 0 16- 16 = 0 ® sentença verdadeira

Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.Substituindo x por 1, temos:

12 + 6 . 1- 16 = 0 1 + 6 - 16 = 0 7- 16 = 0 ® sentença falsa

Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

74A U L AResolução das equações incompletas

Equações do 2º grau em que b = 0 (equações do tipo ax2 + c = 0)

Nesse caso, a equação só tem um termo em x, então a resolvemos como seela fosse uma equação do 1º grau.

ax2 + c = 0

ax2 = - c ® isolando o termo em x no 1º membro

x2 = - ca

® calculando o termo em x

x = ±- ca

® extraindo a raiz quadrada

As soluções da equação são x1 = +- ca

e x2 = -- ca

Esse tipo de equação pode ter duas soluções reais, caso o radicando - caseja um número positivo.

Se o radicando for negativo a equação não terá solução, pois a raizde índice par de um número negativo não é um número real.

No caso do radicando ser nulo, a equação terá uma única solução,também nula.

EXEMPLO 2

Resolver a equação 3x2 - 27 = 0

3x2 = 27

x2 =273

x2 = 9

x = x = ± 9 ® x = + 3

As soluções da equação são +3 e -3.

æ-c Ð 0öè a ø

74A U L A Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax2 + bx = 0)

Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemosfatorar ax2 + bx, colocando x em evidência:

x (ax + b) = 0

Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo umdos fatores deve ser nulo:

x = 0ì

Se x (ax + b) = 0, então ou

î ax + b = 0 ® ax = -b

x =- ba

As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = - ba

Nesse tipo de equação, encontraremos sempre duas soluções diferentes,sendo uma delas igual a zero.

EXEMPLO 3

Resolver a equação 3x2 - 15x = 0.

x (3x - 15) = 0

x = 0

ou

3x - 15 = 0

3x = 15 ® x = 153

® x = 5

As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.


Na equação x2 - 7x + 10 = 0, verifique se o número 5 é solução.

Exercício 2Qual é o número que elevado ao quadrado é igual ao seu dobro?

Exercício 3Quais são os coeficientes da equação x2

2-

x4

+ 5 = 0?

Exercício 4Resolva as equações incompletas:a) 6x2 + 6x = 0b) 25x2 = 0c) 2x2 = - 8d) 2x2 - 72 = 0

Exercício 5Dados os números 0, - 1, 1, indique quais são soluções da equação:x2 + 3x - 4 = 0.

Exercícios

75A U L A

75A U L A

Deduzindo umafórmula

Introdução N a aula anterior, vimos que uma equa-ção do 2º grau é toda equação de forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c sãonúmeros reais sendo a ¹¹¹¹¹ 0.

Algumas equações foram resolvidas sem a necessidade de métodos pró-prios: são as equações incompletas.

Para resolver uma equação completa do 2º grau, é necessário conhecer afórmula desenvolvida pelo matemático hindu Bhaskhara, que viveu em tornode 1115 a.C., e que até hoje leva seu nome: fórmula de Bhaskhara. Ela foidesenvolvida e generalizada com base no método de completar o quadrado,que mostraremos nesta aula, e que foi muito usado pelo matemático árabe Al-Khowarizmi, em fins do século VIII e início do século IX.

Vamos resolver equações do tipo (ax + b)2 = c, onde o 1º membro é oquadrado de uma expressão e o 2º membro é um número.

EXEMPLO 1

Resolva a equação (x + 2)2 = 25.

x + 22δ ι= ± 25 extraindo a raiz quadrada dosdois membros da equação

x + 2 = 5x + 2 = + 5 ou x + 2 = - 5x = 5 - 2 x = - 5 - 2x = 3 x = -7

A equação tem duas soluções: 3 e -7.

Esse exemplo nos leva a pensar que, se todas as equações do 2º graupudessem ser escritas nessa forma, então sua resolução seria muito simples.

Nossa aula

(x )

75A U L APara isso, precisaríamos ter sempre no 1º membro da equação um trinômio

quadrado perfeito e escrevê-lo na forma fatorada, como queremos.

Vejamos, agora, como transformar um trinômio qualquer num trinômioquadrado perfeito, usando o método de completar o quadrado.

EXEMPLO 2

Resolva a equação x2 + 8x - 9 = 0.

A equação também pode ser escrita assim: x2 + 8x = 9

Qual o termo que devemos somar ao 1º membro, (x2 + 8x) para obter umquadrado perfeito?

Como 8x = 2 . 4 . x, devemos acrescentar 42, ou seja, 16 ao 1º membro. Mas,como a equação é uma igualdade devemos somar 16 também ao 2º membro:

x2 + 8x + 16 = 9 + 16

Fatorando o 1º membro:

(x + 4)2 = 25

x + 4 = ± 25x + 4 = + 5 è x = 5 - 4 è x = 1

x + 4 = + 5x + 4 = - 5 è x = - 5 - 4 è x = - 9

A fórmula obtida por Bhaskhara, que resolve qualquer equação do 2º grau,é baseada no método de completar o quadrado. Aqui não faremos esse cálculoe usaremos a fórmula diretamente.

x =- b ± b2 - 4ac

2aFórmula de Bhaskhara

A expressão b2 - 4ac é muito importante na resolução da equação do 2º grau.Por ser ela que �discrimina� o número de soluções da equação, é chamadadiscriminante da equação. Podemos representar o discriminante pela letragrega D (delta).

O discriminante indica o número de soluções da equação do seguinte modo:

l Se b2 - 4ac < 0, a equação não tem soluções reais.

l Se b2 - 4ac = 0, a equação tem uma solução real.

l Se b2 - 4ac > 0, a equação tem duas soluções reais.

ìî

75A U L A Vamos, então, aplicar a fórmula de Bhaskhara na resolução de uma equação

do 2º grau.

EXEMPLO 3

Resolva a equação 2x2 + 5x - 3 = 0.

Em primeiro lugar identificaremos os coeficientes da equação:

a = 2 b= 5 e c = - 3

Em seguida, vamos calcular o valor de D = b2 - 4ac:

D = 52 - 4 . 2 . (- 3)D = 25 + 24 ® D = 49

Como D > 0, sabemos que a equação tem duas soluções reais.

Vamos aplicar a fórmula:

x =- b ± b2 - 4ac

2a x1 =- 5 - 7

4=

- 124

® x1 = - 3ì

x =- 5 ± 49

2· 2=

- 5 ± 74 î x2 =

- 5 + 74

=24

® x2 =12

As soluções da equação 2x2 + 5x - 3 = 0 são -3 e 12

.

EXEMPLO 4

Resolva a equação 2x2 + 5x + 4 = 0.

a = 2 b = 5 e c = 4

D = b2 - 4acD= 52 - 4 . 2 . 4 = 25 - 32 ® D = - 7

Como D < 0, a equação não tem solução real.

_

_

75A U L AEXEMPLO 5

Resolva a equação x2 - 6x + 9 = 0.

a = 1 b = - 6 e c = 9

D = b2 - 4acD = (- 6)2 - 4 · 1 · 9D - 36 - 36 ® D = 0

Como D = 0, a equação tem uma solução real. Vamos calculá-la:

x =- b ± D

2a

x =- - 6α φ± 0

2· 1=

6 ± 02

=62

® x = 3

A solução da equação x2 - 6x + 9 = 0 é 3.

Exercício 1Resolva a equação (3x - 2)2 = 4.

Exercício 2Resolva as equações usando a fórmula de Bhaskhara:a) 8x2 - 2x - 1 = 0b) 3x2 - 8x + 10 = 0c) -x2 - 2x + 3 = 0

* Exercício 3Considere as expressões x2 - 5x - 6 e 2x - 16. Encontre os valores reais de xpara os quais:a) a primeira expressão dá 0;b) a segunda expressão dá 0;c) a primeira expressão dá 8;d) a segunda expressão dá 8;e) as duas expressões têm valores iguais.

* O Exercício 3 foi extraído do livro Matemática na medida certa (8ª série), deJakubo e Lellis, Editora Scipione.

Exercícios

(-6)_

76A U L A

76A U L A

Equacionandoproblemas ----- II

Introdução Nas duas últimas aulas, resolvemos diver-sas equações do 2º grau pelo processo de completar o quadrado perfeito ou pelautilização da fórmula de Bhaskara.

Na aula de hoje, resolveremos alguns problemas com o auxílio dessafórmula.

Com a utilização da fórmula de Bhaskara x =- b ± b2 - 4ac

2a

ΦΗΓ

ΙΚϑ,

podemos solucionar muitos problemas práticos.Observe o exemplo: a prefeitura de uma cidade deseja cimentar o contorno

de uma praça retangular de 40 m por 20 m. Para que a faixa a ser cimentada sejauniforme e a área interna da praça tenha 476 m2, que largura deverá ter essafaixa?

A área interna da praça é:

(40 - 2x) (20 - 2x) = 476 m2

Desenvolvendo essa expressão, temos:

4x2 - 120x + 324 = 0¸ 4

x2 - 30x + 81 = 0

x =30 ± 900 - 324

2=

30 ± 242

Nossa aulaæè

öø

76A U L AComo a faixa não pode ser maior que a própria praça, descartamos a raiz

x = 27. Assim, a solução do problema deverá ser a raiz x = 3.

Isto significa que a faixa ao redor da praça deverá ter 3 m de largura.

O número de diagonais de um polígono

Um polígono tem n lados, sendo n > 3. Veja os exemplos:

De cada um dos vértices de um polígono saem n - 3 diagonais.

Do vértice A desse octógono(polígono de 8 lados) saem 5diagonais (8 - 3 = 5).

Como são n lados, temos n (n - 3) diagonais. Entretanto, essa expressão deveser dividida por 2, caso contrário uma mesma diagonal será contada duasvezes (a diagonal AC é a mesma diagonal CA).

Então, temos que o número de diagonais de um polígono é:

Nessa expressão, D representa o número de diagonais e n o número delados do polígono.

Assim, vemos que há uma relação entre o número de lados e o número dediagonais de um polígono.

D = n(n - 3) 2

76A U L A Para descobrir todas as diagonais de um octógono, acompanhe o cálculo

abaixo:

n = 8 ®

Se quiser conferir o resultado, desenhe esse polígono e trace suas diagonais.

EXEMPLO 1

Qual é o polígono que tem 90 diagonais?

D = ® 90 = ® 180 = n(n - 3) ®

® 180 = n2 - 3n ® n2 - 3n - 180 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação n2 - 3n - 180 = 0,temos:

(a = 1 b = -3 c = -180)

n =3 ± 9 + 720

2=

3 ± 7292

=3 ± 27

2; n1

= 15, n2= -12

Como as diagonais de um polígono são representadas por um númerointeiro e positivo, abandonaremos a raiz n = -12.

Portanto, o polígono que tem 90 diagonais é o polígono de 15 lados.

Verificando a solução, pela substituição da raiz, temos:

solução verdadeira

Existe polígono com 100 diagonais?

100 = ® 200 = n(n - 3) ® 200 = n2 - 3n ® n2 - 3n - 200 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

n =3 ± 9 + 800

2=

3 ± 8092

Como a 809 não é exata, as raízes da equação n2 - 3n - 200 = 0 não podemser valores inteiros. Nesse caso, concluímos que não existe polígono com 100diagonais.

Observe que a equação n2 - 3n - 200 = 0 possui duas raízes reais. No entanto,nenhuma delas satisfaz a solução do problema. Muitas vezes não basta resolvera equação, pois é preciso analisar a solução encontrada.

n(n - 3) 2

90 = 15(15 - 3) 2

_ 180 = 15 . 12 _ 180 = 180

D =8(8 - 3) 8 . 5 2 2 = 20=

n(n - 3) 2

n(n - 3) 2

n = -(-3) ± û(-3)² - 4 . 1 . (-180) 2 . 1

76A U L AÁreas e perímetros

Conhecendo a área e o perímetro de um retângulo, é possível calcularsuas dimensões.

Quais as dimensões de um retângulo que têm 18 cm de perímetro e 20 cm2

de área?

Área: x . y = 20Perímetro: 2x + 2y = 18

De acordo com as dimensões x e y da figura, devemos encontrar os valoresx e y que satisfaçam as duas equações.

Simplificando a 2ª equação, temos:

2x + 2y = 18 ® x + y = 9 ® x = 9 - y

Substituindo x = 9 - y na 1ª equação:

x . y = 20 ® (9 - y) . y = 20 ® 9y - y2 = 20

Assim, temos a equação do 2º grau: y2 - 9y + 20 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:y = 5

y =9 ± 81- 80

2=

9 ± 12 y = -4

Desconsiderando o valor y = - 4, temos que:

y = 5 ® ® x = 9 - 5 ® x = 4

Portanto, as dimensões desse retângulo são 5 cm e 4 cm.

Verificando a solução, pela substituição das raízes, temos:

5 . 4 = 20 ® 20 = 20 (solução verdadeira)

2 · 5 + 2 . 4 = 18 ® 10 + 8 = 18 ® 18 = 18 (solução verdadeira)

ì

î

76A U L A Na vida real

Seu Pedro deseja cercar o terreno onde vai construir sua casa. Para tanto,ele pretende aproveitar um barranco e cercar os outros 3 lados, de forma a obterum retângulo. Como a área do terreno é de 96 m2 e ele dispõe de um rolo de28 m de tela, a que distância do barranco deverão ser colocadas as estacas 1 e 2?

Área = 96 ® x (28 - 2x) = 9628x - 2x2 = 96 ® 2x2 - 28x + 96 = 0Resolvendo essa equação, temos: x = 8Portanto, seu Pedro deverá colocar as estacas a 8m do barranco.

Curiosidade

Um bambu de 32 côvados, erguendo-se verticalmente sobre um terrenohorizontal, é quebrado num certo ponto pela força do vento.

Sabendo que sua extremidade tocou a terra a 16 côvados do seu pé,responda: a quantos côvados do seu pé estava o ponto em que o bambu foiatingido pela força do vento?

Observação: côvado é uma unidade de medida de comprimento usada naAntigüidade.

Observando a figura, vimos que o bambu forma com o chão um triânguloretângulo.

76A U L AAplicando o Teorema de Pitágoras e desenvolvendo o produto notável,

temos:

(32 - x)2 = x2 + 162

1024 - 64x + x2 = x2 + 256

- 64x = - 768

x = 12

Portanto, o ponto em que o bambu foi atingido pela força do vento estavaa 12 côvados do pé. O problema apresentando acima foi enunciado peloschineses em 2600 a.C.. No entanto, foi reescrito por Bhaskara no século XII.

Exercício 1De acordo com a expressão , diga qual o polígono que possui:

a) 35 diagonaisb) 54 diagonaisc) 170 diagonais

Exercício 2Quais as dimensões de um retângulo que tem 30 cm de perímetro e 50 cm2

de área?

Exercício 3Ao cercar um terreno retangular, dando três voltas completas, uma pessoagastou 180 m de arame. Quais as dimensões desse retângulo, sabendo queo comprimento é o dobro da altura.

Exercício 4Sabendo que a soma de dois números é 37 e seu produto é 300, descubraquais são esses números.

Exercício 5Equacione o texto abaixo e resolva:

�Estavam os pássarosdivididos em dois grupos:enquanto o quadrado da oitava partese divertia cantando sobre as árvores,outros doze sobrevoavamo campo também cantando alegremente.�

Quantos pássaros havia no total?

ExercíciosD = n(n - 3)

2

77A U L A

77A U L A

Aumentos edescontos sucessivos

Introdução Na Aula 39, estudamos o que é lucro eprejuízo. Na aula de hoje, estudaremos os juros, as taxas, os aumentos e osdescontos que fazem parte de nosso cotidiano.


EXEMPLO 1

Ao comprar uma mercadoria de R$ 40,00, o dono da loja me concedeu umdesconto de R$ 5,00. Qual foi o percentual relativo a esse desconto?

A proporção entre o desconto e o preço inicial é de 5

40 ou 1

8.

Para sabermos o percentual, calculamos uma fração equivalente a essa pro-porção, cujo denominador seja 100.

Sendo x o percentual, temos:x

100=

18

® x =100

8= 12,5

Assim, concluímos que o desconto foi de 12,5%.

EXEMPLO 2

O salário de uma pessoa passou de R$ 70,00 para R$ 100,00. Qual o foi opercentual do aumento?

Como o aumento foi de R$ 30,00, a proporção entre o aumento e o salárioera de 30

70=

3

7.

Sendo x o percentual, temos:x

100=

37

® 7x = 300 ® x = 42,85

Portanto, o aumento foi de aproximadamente 42,85%.Observação: A proporção ou o percentual que representa o aumento são

chamados de taxa de aumento. Assim, no exemplo acima, a taxa de aumento foide 3

7 ou 42,85%.

Nossa aula

_

_ _

77A U L AEXEMPLO 3

Oferecendo um desconto de 20% para pagamento à vista, a quanto sairia umartigo cujo preço é R$ 48,00?

Desconto de 20% sobre o preço = 20% de 48,00 = 0,20 x 48 = 9,6

Logo, o preço à vista seria de:

R$ 48,00 - R$ 9,60 = R$ 38,40

Juros

De modo geral, os juros são expressos como uma porcentagem, que échamada taxa de juros. Assim, há os juros que correspondem à compra de umamercadoria a prazo, ao atraso de uma conta, ao empréstimo de dinheiro etc.

Observe:

EXEMPLO 4

Pedro comprou um eletrodoméstico por R$ 100,00 e pretende pagá-lo emquatro prestações iguais. Consultando uma tabela, o vendedor diz que cadauma das prestações sairá por R$ 37,00.

Qual o valor da taxa de juros embutida na compra?

Sabendo que R$ 37,00 x 4 = R$ 148,00, temos um aumento de R$ 48,00 sobreo preço à vista, ou seja, um aumento de 48%.

Dividindo esse percentual por meses, temos 48 : 4 = 12

Portanto, a taxa de juros foi de 12% ao mês.

Nesse exemplo os juros são todos iguais porque foram calculados sobre omesmo valor (R$ 100,00).

EXEMPLO 5

Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 500,00 reais para pagar ao fimde quatro meses. O banco cobra uma taxa de juros de 18% ao mês. Qual seráo total da quantia a ser paga por essa pessoa ao final desse período?

Juros por mês: R$ 500,00 x 0,18 = R$ 90,00

Total de juros: R$ 500,00 x 0,18 x 4 = R$ 360,00

Total devolvido ao banco: R$ 500,00 + R$ 360,00 = R$ 860,00

Assim, o total da quantia a ser paga por essa pessoa será de R$ 860,00.

77A U L A Dando nome aos bois

Capital é uma determinada quantia de dinheiro, tomada por empréstimo.Montante é o total a ser pago por essa quantia.

No exemplo anterior, o capital foi de R$ 500,00 e o montante foi de R$ 860,00.

Há uma fórmula matemática para o cálculo dos juros, que pode serexpressa por:

J = C . i . t onde:

J = jurosC = capitali = taxa de jurost = tempo

O montante é a soma do capital com os juros calculado:

M = C + J

Os juros compostos

Os juros usados no Mercado Financeiro são os chamados juroscompostos. Observe o exemplo:

EXEMPLO 6

Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 200,00 reais, a juros de 10% aomês. Ao final de um mês, essa pessoa deverá o montante de:

J = R$ 200,00 x 0,10 x 1 = R$ 20,00M = R$ 200,00 : 20 = R$ 220,00

Se essa dívida for adiada por mais um mês, haverá um novo acréscimo.Veja:

J = R$ 220,00 x 0,10 x 1 = R$ 22,00M = R$ 220,00 + 22 = R$ 244,00

Esse tipo de juro, calculado ao fim de cada período sobre o montante

77A U L Aanterior, é chamado de juro composto.

Aumentos e descontos sucessivos

Imagine que um produto sofra dois aumentos sucessivos de 20% e 30%.Qual será a taxa de aumento?

Muita gente pensa que esse aumento pode ser calculado pela soma dospercentuais (30% + 20% = 50%); no entanto, esse raciocínio é incorreto.

Veja o cálculo correto para essa questão:

Vamos imaginar um produto que custa R$ 100,00 (podemos compararcom o preço igual a 100, pois é o mesmo que comparar com a unidade); comoo primeiro aumento é de 20% sobre R$ 100,00 (0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00),temos um montante de R$ 120,00. Sabendo que o segundo aumento é de 30%sobre R$ 120,00 (0,30 x R$ 120,00 = R$ 36,00), o preço do produto é elevadoa R$ 120,00 + R$ 36,00 = R$ 156,00.

Portanto, o aumento é de R$ 56,00 sobre um preço de R$ 100,00. E a taxatotal é de 56

100 = 0,56 = 56%.

Vejamos outros exemplos:

EXEMPLO 7

O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos de 15% e 12%. Qualfoi a taxa total de descontos?

Já vimos que podemos comparar o preço do artigo com o valor de R$100,00. Com o desconto de 15% sobre R$ 100,00 (0,15 x R$ 100,00 = R$ 15,00), oartigo passa a custar R$ 85,00. Com o segundo desconto é de 12% sobre R$ 85,00(0,12 x R$ 85,00 = 10,20), o preço do artigo vai para R$ 74,80. Sabendo que odesconto foi de 25· 20

100= 0,252%.

Veja que o preço do artigo passou de 100 reais a 74,80, sofrendo um descontototal de 100 - 74,80 = 25,20.

EXEMPLO 2

Sabendo que um produto em promoção é vendido com 20% de desconto,qual será a porcentagem de aumento com relação ao preço normal?

Desconto: 20% sobre 100 = 0,20 x R$ 100,00 = R$ 20,00

Portanto, o produto é vendido a um preço promocional de:R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00

Para retornar ao preço inicial ele deve ter um aumento de R$ 20,00 sobre ovalor de R$ 80,00. Ou seja: 20

80 = 1

4 = 0,25.

77A U L A Assim, a taxa de aumento deverá ser de 25%.

À vista ou a prazo

Muitas lojas costumam atrair os consumidores com promoções do tipo:

20% DE DESCONTO À VISTA

OU

EM DUAS VEZES SEM ACRÉSCIMO

No caso de um artigo que custa R$ 100,00, vejamos as opções oferecidas:

À vista com 20% de desconto:R$ 100,00 x 0,20 = R$ 20,00R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00

O artigo sairá por R$ 80,00.

Em duas vezes sem acréscimo:

100 : 2 = R$ 50,00

O artigo sairá por duas prestações de R$ 50,00, cada.

Qual a porcentagem da taxa de juros embutida no preço do artigo?

Como a diferença entre o pagamento à vista e a prazo è de R$ 20,00, temos:R$20,00R$80,00

=14

= 0, 25

Portanto, a taxa de juros embutida no preço é de 25%.

78A U L A

78A U L A

Revisão IRepresentação gráfica

Introdução Você já deve ter observado a freqüência comque os gráficos aparecem em jornais, revistas e livros. Usados em diversas áreasde conhecimento, eles facilitam a visualização dos dados e nos permitem umamelhor interpretação dos resultados.

Durante nosso curso, apresentamos vários tipos de gráficos. Na aula dehoje, faremos uma revisão desses gráficos, por meio de suas construções einterpretações.

Gráfico de segmentos

O gráfico abaixo, mostra a variação do consumo de energia elétrica de umaresidência, em kWh (quilowatt-hora) entre os meses de janeiro e agosto de 1994.

Esse tipo de gráfico é feito, geralmente, em papel quadriculado, com duasretas perpendiculares - uma horizontal e outra vertical.

Na reta horizontal marcamos os meses em que foram anotados o consumoe na reta vertical marcamos o consumo de cada mês.

Os segmentos de reta que ligam o consumo de um mês ao outro têminclinações diferentes.

Nossa aula

78A U L ANo período de março a abril, por exemplo, a queda do consumo foi bastante

acentuada (de acordo com a inclinação correspondente a esse período, ou seja,para baixo).

Sabemos que o consumo de energia elétrica varia em função de váriosfatores, por exemplo: o uso de aparelhos elétricos - ventiladores, ferro de passarroupa, chuveiros elétricos, etc. - e o número de pessoas da casa. Baseando-se nasinformações da conta de energia, podemos construir um gráfico que nos permiteobservar a variação do consumo de energia.

Gráfico de barras (ou de colunas)

Esse tipo de gráfico também é utilizado para representar comparações entreelementos semelhantes, da mesma forma que o de segmentos. No entanto, hásituações cuja representação fica mais adequada em gráfico de barras: a variaçãodo número de empregados de uma fábrica, por exemplo, num período de cincoanos. Assim, representamos o período numa reta horizontal e o número deempregados numa reta vertical. Tanto o espaço entre as barras quanto a larguradelas devem ser iguais.

O gráfico de barras também é usado com as barras na horizontal. Dependen-do dos dados, isso facilita a sua leitura.

Veja o exemplo abaixo:

(Fonte: Jornal Folha de São Paulo - 25/06/95)

78A U L A Gráfico de setores (ou gráfico circular)

Esse tipo de gráfico é usado para representar as relações das partes de umtodo entre si e entre as partes e o todo. Desse modo, quando os resultados de umapesquisa são marcados em um círculo, que representa o todo (o universopesquisado), as partes são representadas por setores desse círculo.

Para analisar esse tipo de gráfico, precisamos calcular o arco, em graus,relativo a cada uma das partes.

Numa pesquisa de opiniões foi feita a seguinte pergunta: “Você acha queo brasileiro respeita as leis de trânsito?”

O resultado obtido foi o seguinte:

SIM : 55%

NÃO : 34,5%

NÃO RESPONDERAM: 10,5%

Para representar esse resultado num círculo, precisamos calcular que partedo círculo representa cada resposta fornecida pela pesquisa. Então, teremos:

55% de 360º = 198º198º198º198º198º34,5% de 360º = 124,2º124,2º124,2º124,2º124,2º10,5% de 360º = 37,8º37,8º37,8º37,8º37,8º

Assim, desenhamos um círculo e marcamos com um transferidor, a partirum ponto inicial PPPPP, os arcos calculados:

No gráfico da página 101, temos três curvas que mostram a variação dabalança comercial (em milhões de dólares), relativa à exportação e à importa-ção (curva de cima e curva do meio) e ao saldo da balança comercial (curva debaixo). Os valores assinalados na vertical são referentes ao período de julho/1994 a janeiro/1995, marcados na horizontal.

78A U L A

Fonte: Jornal do Brasil

Observe que até outubro os valores das exportações estavam acima dasimportações e nos três últimos meses a situação se inverteu. Ou seja, o paíspassou a importar mais do que exportar, provocando um déficit na balançacomercial brasileira (veja os valores negativos na curva relativa ao saldo).

Em janeiro, o déficit diminuiu de - 884 para - 290, o que confirma o fatodas importações terem sofrido uma queda para 3.271, aproximando-se do valordas exportações (2.981).

Mostraremos, a seguir, um exemplo de gráfico de um sistema de equaçõesdo 1º grau. Esse sistema é utilizado para resolver problemas que resultam emduas equações, com duas incógnitas.

No gráfico cartesiano representaremos as duas retas que correspondem àsequações do sistema e determinaremos sua solução, caso exista.

x + 3y = 34Seja o sistema

- x + 5y = 30

78A U L A Assim, faremos as tabelas contendo os pares ordenados (x , y) de cada uma

das equações, para representá-las no gráfico:

x y7 910 8

x y5 710 8

Esse gráfico facilita a determinação da solução do sistema, que é represen-tada pela intersecção das duas retas, no ponto (10,8).

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Uma família gasta 30% de sua renda familiar em alimentos, 20% em roupas,20% em aluguel, 20% em despesas diversas e guarda 10%. Represente essasituação num gráfico de setores.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2O gráfico abaixo representa o rendimento de um carro, em função davelocidade desenvolvida.

Responda:

a)a)a)a)a) Quando a velocidade constante é de 80 km/h, quantos quilômetros porlitro faz o automóvel?

b)b)b)b)b) E se a velocidade constante for de 120 km/h?

c)c)c)c)c) Qual é a velocidade mais econômica?

Exercícios


O gráfico abaixo representa a folha de pagamento do Estado de São Paulo,de janeiro a maio de 1995.

Fonte: Folha de São Paulo - 25/06/95

Responda:

a)a)a)a)a) Em que mês a folha de pagamento tem o menor valor?

b)b)b)b)b) Em que mês a folha de pagamento tem o maior valor?

c)c)c)c)c) Em que meses houve aumento na folha de pagamento?

d)d)d)d)d) De quanto foi a diferença dos valores entre os meses de março e abril?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Resolva graficamente o sistema:

3x + 2y = 6

x - y = 7

79A U L A

79A U L A

Revisão IIGeometria

Introdução Agora vamos rever alguns conceitos bási-cos da Geometria, estudados ao longo do Telecurso 2000.

Observe a figura abaixo e resolva a seguinte questão:

Uma formiga sai do ponto A dirigindo-se ao ponto B. Sabendo que cadauma das faces do cubo mede 20 cm ´ 20 cm, responda: qual será o caminhotraçado pela formiga, de modo que ela percorra a menor distância?

Sugestão:Sugestão:Sugestão:Sugestão:Sugestão: como a formiga tanto pode começar a andar pela face superior docubo quanto pela frontal - aquela que está de frente para você -, pense no cuboplanificado e na menor distância entre esses pontos. Utilize o Teorema dePitágoras.

O triângulo retângulo

seu João vai construir um quarto nos fundos de sua casa. O quarto deverámedir 3 m ´ 4 m e servirá para guardar material de construção.

Depois de “levantar” a primeira parede, ele ficou pensando sobre comoconstruir as outras, de modo que o quarto ficasse retangular, ou seja, comângulos de 90º em cada canto.

Nossa aula

79A U L APara resolver esse problema, ele teve a seguinte idéia: uniu três cordas de

mesmo comprimento (0A, 0B e 0C), por uma de suas extremidades:

Em seguida, com as cordas sobre o chão, fixou as extremidades A e B naparede construída e esticou as três cordas, de modo que OB e OC ficassemcolineares, como mostra a figura abaixo:

Construíndo a parede sobre a direção AC, seu João garantiu que ela ficariaperpendicular à parede construída. Por que ele está certo?

Repare que os dois triângulos construídos (OAB) e (OAC) são isósceles, poisOA = OB e OA = OC.

Logo, tais triângulos possuem dois ângulos internos de mesma medida,como indicado na figura pelas variáveis xxxxx e yyyyy.

Observando o triângulo ABC, verificamos que seus ângulos internos são:

A = x + y B = x C = y

79A U L A De acordo com a lei angular de Tales, sabemos que, em qualquer triângulo,

a soma dos seus ângulos interno vale 180º. Logo:

A + B + C = 180ºx + y + x + y = 180º2x + 2y = 180º ® x + y = 90º

Como x + y é a expressão que representa o ângulo A do triângulo ABC,podemos afirmar que o triângulo ABC é retângulo.

Portanto, seu João conseguiu que o quarto ficasse retangular.

Quantas lajotas comprar?

Para revestir o chão de seu quarto com lajotas de 30 cm ´ 20 cm, quantaslajotas seu João precisará comprar?

O quarto mede 3 m ´ 4 m, convertendo essa medida para centímetros,temos: 300 cm ´ 400 cm. Portanto, a área do quarto é de 300 cm ´ 400 cm =120.000 cm2

Como a área da lajota é de 30 cm ´ 20 cm = 600 cm2, o número de lajotasnecessário será de 120.000 : 600 = 200 lajotas.

Portanto, seu João deverá comprar pelo menos 200 lajotas200 lajotas200 lajotas200 lajotas200 lajotas.

Qual o comprimento do tubo?

De que modo seu João conseguirá colocar um tubo de PVC, medindo 6 m decomprimento, no chão de seu quarto?

79A U L AComo a maior distância disponível no chão desse quarto fica na diagonal,

resolvemos pelo Teorema de Pitágoras:

d2 = 32 + 42

d2 = 9 + 16d2 = 25d = 5

Assim, temos que a maior distância disponível no chão do quarto é de 5 m.Portanto, seu João nãonãonãonãonão poderá colocar em seu quarto um tubo de 6 m decomprimento.

Quanto de tinta encomendar?

seu João deseja pintar as paredes de seu quartinho. Para saber a quantidadede tinta necessária para a pintura, ele deverá calcular a área total das paredes.

Sabendo que o quarto tem o formato de um paralelepípedo, devemoscalcular as áreas de suas faces e, em seguida, somá-las:

O pé direito (altura) do quarto é de 2,5 m e suas paredes são de 3 m ́ 4 m.

Calculando a área do paralelepípedo (área de suas faces), temos:

2 faces de 4 m ´ 3 m = 2 . (4 . 3) = 24 m2

2 faces de 3 m ´ 2,5 m = 2 . (3 . 2,5) = 15 m2

2 faces de 4 m ´ 2,5 m = 2 . (4 . 2,5) = 20 m2

No caso do quartinho de seu João, em que serão pintadas as paredes lateraise o teto, a área total é de:

24 + 15 + 20 = 59 m2

Portanto, seu João deverá comprar uma quantidade de tinta suficiente parapintar um total de 59 m59 m59 m59 m59 m2.

Agora, imagine que seu João queira encher seu quartinho de objetos. Comosaber o volume que poderá ser ocupado por suas coisas?

79A U L A Neste caso, basta calcular o volume do paralelepípedo:

V = base ´ largura ´ alturaV = 4 m ´ 3 m ´ 2,5 m =

= 4 ´ 3 ´ 2,5 = 30 m30 m30 m30 m30 m33333 (metros cúbicos).

CuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidadeCuriosidade

Movendo-se sobre um paralelepípedo:

Qual será o menor percurso para ir de A até B, movendo-se sobre asuperfície de um paralelepípedo?

Para resolver esse problema, é preciso lembrar que a menor distância entredois pontos de um plano deve ser calculada sobre a reta que liga esses pontos.

De acordo com a figura acima, imaginamos três possíveis caminhos.

Para facilitar o entendimento, vamos planificar suas faces. Se quiseracompanhar melhor o raciocínio, pode pegar uma caixa e desmontá-la, comomostra a figura:

79A U L APara calcular a distância de A até B, devemos aplicar o Teorema de

Pitágoras:

Caminho 1:Caminho 1:Caminho 1:Caminho 1:Caminho 1:

triângulo ABC:(AB)2 = 82 + 102 = 64 + 100 = 164

AB = 164 = 12,8 cm12,8 cm12,8 cm12,8 cm12,8 cm aproximadamente


triângulo ARP:d2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100d = 100 ® d = 10

de A até B: 10 + 4 = 14 cm14 cm14 cm14 cm14 cm


triângulo ADB:(AB)2 = 122 + 62 = 144 + 36 = 180

AB = 180 = 13,4 cm13,4 cm13,4 cm13,4 cm13,4 cm aproximadamente

Logo, o menor percurso será aquele traçado pelo caminho 1.

Observação: A partir do exemplo acima, você poderá resolver o problemaproposto na introdução desta aula.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 50º. Quais são asmedidas dos outros dois ângulos internos?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2No triângulo retângulo ABC, o lado AC tem a mesma medida que a medianaOA. Calcule as medidas dos ângulos B e C.

Exercícios

79A U L A

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Em um semicírculo de centro 0 e diâmetro BC, escolhemos um ponto Aqualquer e o ligamos aos pontos B e C, como mostra a figura.Qual o valor do ângulo A?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Um reservatório, com a forma de um paralelepípedo mede 4m ́ 2m ́ 2,5m.Qual a capacidade desse reservatório?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Qual a área total das paredes de uma sala que tem 3 m de pé direito e mede3,5 m ´ 4 m?

80A U L A

80A U L A

IntroduçãoNesta aula vamos recordar alguns conceitosbásicos das operações matemáticas. Começaremos com um exercício:

Os preços das mercadorias foram reduzidos 20% numa liquidação. Termi-nada a promoção, qual deverá ser o reajuste dos preços atuais, de modo queretornem a seus antigos valores?

Veja:

l No amistoso do campeonato carioca, dois terços dosdosdosdosdos lugares doMaracanã estavam ocupados.

l Nas últimas eleições, o candidato A recebeu o dobro dododododo número de votosobtidos pelo candidato B.

l Setenta por cento dadadadada renda de uma família são gastos com despesas dealimentação.

Observando as frases acima, vemos que as palavras grifadas dosdosdosdosdos, dododododo e dadadadadasão indicadores de multiplicação.

No caso da primeira frase, se houvesse 120.000 lugares no Maracanã, onúmero de lugares ocupados seria:

23

de 120.000 = 23

´ 120.000 = 2 ´ 120.0003

= 80.000 lugares80.000 lugares80.000 lugares80.000 lugares80.000 lugares

De acordo com a segunda frase, caso o candidato B tivesse obtido 65.000votos, o candidato A teria obtido o dobro de 65.000 = 130.000 votos130.000 votos130.000 votos130.000 votos130.000 votos.

Na terceira frase, supondo que a renda de uma família é de R$ 240,00 e que70% desse valor é gasto com despesas de alimentação, temos um gasto de:

70% de R$ 240,00 = 0,70 ´ 240 = R$ 168,00R$ 168,00R$ 168,00R$ 168,00R$ 168,00

Nossa aula

Revisão IIIOperações

e suas aplicações

80A U L A Revendo as operações

O primeiro passo na resolução de um problema consiste em decidir qual éa operação que devemos utilizar. Veja o problema a seguir:

Após ter caminhado 2

7 de um percurso de 3.500 m, quantos metros ainda

terei de caminhar para chegar ao final?

27

de 3.500 = 27

´ 3.500 = 1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m1.000 m

Sabendo que já caminhei 1.000 m, ainda terei de caminhar 2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m.

De acordo com a figura, esse problema também pode ser resolvido assim:

57

de 3.500 =57

´ 3.500 = 2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m2.500 m


Uma certa quantia foi dividida entre Sérgio, João e Pedro. Sabendo queSérgio recebeu 1

3 da quantia e João recebeu 30%, responda: que fração da quan-

tia recebeu Pedro? Quem recebeu mais?


30% =3

100=

310

Sérgio e João: =13

+3

10=

1030

+930

=1930

Portanto, Pedro recebeu: =13

+3

10=

1030

+930

=1930

Para saber quem recebeu mais, devemos comparar as frações:

Sérgio: 13

=1030

João: 930

Pedro: 1130

Logo, Pedro recebeu mais.

Observação: Para saber quanto falta a uma fração para completar o total,basta subtraísubtraísubtraísubtraísubtraí-la da unidadela da unidadela da unidadela da unidadela da unidade. Por exemplo, para saber a parte que Pedro recebeu,fizemos 1- 19

30.


Na divisão de uma herança, Maria ficou com 3

4 do totaldo totaldo totaldo totaldo total. Como ela deu 3

6 da da da da da

sua partesua partesua partesua partesua parte para Ana, indique que fração do total foi recebida por Ana.

De acordo com as palavras destacadas, observamos que:

Maria deu 16

de 34

do total para Ana.

Portanto, Ana recebeu 16

´34

=3

24=

18

Portanto, Ana recebeu 18

do total da herança.

Resolvendo pelo diagrama, temos:

6 ´ 4 = 24

3 em 24 ® 3

24=

18


Na divisão de uma compra, Joana recebeu 1

6 dododododo total e André recebeu 1

8 dododododo

total. Que fração do total receberam os dois juntos? Essa fração corresponde amais ou a menos de 30%?


Neste exemplo, temos duas frações de um mesmo total. Assim a soluçãoconsiste em somar essas duas frações.

Para efetuar essa operação, devemos reduzir as frações a um mesmodenominador (que deve ser um múltiplo comum aos denominadores dasfrações). Neste caso, reduzimos ao denominador comum 24:

16

+18

=4

24+

324

=724

Assim, temos que André e Joana receberam juntos 724

da compra.

80A U L A Essa fração ( 7

24) corresponde a mais ou a menos de 30%?

Para responder a essa pergunta, devemos transformar a fração 7

24 em um

número decimal:

724

= 7 ¸ 24 = 0,291666...= 0,29

Logo, 0,29 = 29

100 = 29%

Portanto, a fração total recebida por André e Joana corresponde a menosmenosmenosmenosmenosde 30%de 30%de 30%de 30%de 30%.


Em 1985, a população de uma cidade era de 200 mil habitantes. No períodoentre 1985 e 1990, houve um aumento populacional de 20% e, entre 1990 e 1995,um outro aumento de 25%.

a)a)a)a)a) Qual era a população dessa cidade no ano de 1995?

b)b)b)b)b) Qual o percentual (taxa) de aumento populacional no período de 1985a 1995?


a)a)a)a)a) De 1985 a 1990: 20% de 200.0000,20 ´ 200.000 = 40.000

Em 1990 a população era de 200.000 + 40.000 = 240.000 habitantes.

De 1990 a 1995: 25% de 240.0000,20 ´ 240.000 = 60.000

Assim, em 1995 a população era de 240.000 + 60.000 = 300.000 habitantes300.000 habitantes300.000 habitantes300.000 habitantes300.000 habitantes.

b)b)b)b)b) De 1985 até 1995, a população passou de 200.000 para 300.000 habitantes.Ou seja, houve um aumento populacional de 100.000 habitantes.

100.000200.000

=12

= 0, 50

Logo, a taxa de aumento foi de 50%50%50%50%50%.

Observação:Observação:Observação:Observação:Observação: Na Aula 77, vimos que dois aumentos sucessivos nãonãonãonãonão equi-valem à soma dos percentuais.


Um comerciante remarca os preços de suas mercadorias, aumentando-osem 50%. Em seguida, anuncia uma liquidação na qual os preços são reduzidosde 1

3 do seu valor. Os preços dessa liquidação serão maiores ou menores que os

preços anteriores à remarcação?

Supondo uma mercadoria que custe R$ 100,00, ela passará a custar, após aremarcação:

50% de R$ 100,00 = 0,50 ´ 100 = R$ 50,00R$ 100,00 + R$ 50,00 = R$ 150,00

Ao reduzir desse valor a sua terça parte, temos:

13

de R$ 150,00 =150

3 = R$ 50,00

Logo, a mercadoria foi vendida por:

R$ 150,00 - R$ 50,00 = R$ 100,00 = R$ 100,00R$ 100,00R$ 100,00R$ 100,00R$ 100,00

Ou seja, pelo mesmo preço de antes da remarcação.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Após gastar 2

5 do seu salário no aluguel de sua casa, Otacílio ficou com

R$ 138,00. Responda:

a)a)a)a)a) Qual é o valor do salário de Otacílio?b)b)b)b)b) Qual é o valor do aluguel de sua casa?

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Uma caixa de balas foi dividida entre três crianças. A primeira ficou com 1

3das balas, a segunda ficou com 2

5 e a terceira recebeu 12 balas.

a)a)a)a)a) Quantas balas havia na caixa?b)b)b)b)b) Quantas balas receberam as duas primeiras crianças?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Sabendo que 60% dos lugares de um estádio de futebol estão ocupados e20.000 estão disponíveis, responda: qual é o número de pessoas nesseestádio?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Caso um televisor que custa R$ 500,00 sofra três aumentos sucessivos de20%, quanto ele passará a custar? Qual será a taxa total de aumento?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Sabendo que 5

8 da população de uma cidade torce pelo o time A e que, dentre

esses torcedores, 2

5 são mulheres. Responda: se o número de torce-

dores homens é igual a 120.000, qual a população dessa cidade?

Exercícios

Aula 41 - - - - - Triângulo

Para pensar:

Na figura, existem 46 triângulos.

Exercícios:

1.a) retângulo; isóscelesb) acutângulo; equiláteroc) obtusângulo; escalenod) obtusângulo; isóscelese) retângulo; escalenof) acutângulo; escaleno

2.a) escalenob) isóscelesc) equilátero

3.a) retângulob) obtusânguloc) acutângulo

4.a) 85ºb) 92ºc) 40º

5. 60º

6. 80º

Gabarito das aulas41 a 60

7. 35º

8.a) 140ºb) Medindo com o transferidor ou observando que:

a + 40º = 180º a = 180º - 40º = 140º

c) Sua medida é a soma dos dois ângulos internos opostos:

a = 90º + 50º a = 140º

9.a) a = 80ºb) a = 120º

10.a) Sim.b) Sim.c) Não.d) Não.

Aula 42 ----- O quadrado e outros quadriláteros

1.a) paralelogramob) trapézioc) retângulo (o quadrado é um retângulo)d) retângulo (o quadrado é um retângulo)

2.a) Lados iguais; tamanhos diferentes.b) 1 par de lados paralelos; trapézio retângulo - trapézio isósceles.c) 4 ângulos iguais; 4 lados iguais - lados opostos iguais dois a dois.d) 2 pares de ângulos opostos iguais; lados opostos iguais - 4 lados iguais.e) 4 lados iguais; 4 ângulos iguais - ângulos iguais 2 a 2.

3.a) losangob) retânguloc) trapézio retângulod) paralelogramo ou losango

4. a) 14 quadrados b) 30 quadrados

5. Resposta pessoal.

6. 45º, 135º e 135º.

Aula 43 ----- Polígonos e mosaicos

1. Várias respostas.

2. Primeiro: 60º, 150º, 90º, 90º e 150º.Segundo: 60º, 60º, 120º e 120º.

3. Não, pois apesar de ter os 4 lados iguais, seus ângulos não são iguais.

4.a) 6b) Sim.c) 6 . 180º = 1.080º

5.3 0 1 180º

4 1 2 360º

5 2 3 540º

6 3 4 720º

7 4 5 900º

8 5 6 1.080º

9 6 7 1.260º

10 7 8 1.440º

6. Sim. A diferença entre o número de lados do polígono e o número detriângulos formados é constante e igual a 2.

7.a) n - 2 (n = nº de lados)b) (n - 2) · 180º

Aula 44 ----- A linguagem matemática

1.a) 2x

b) 3x

c) y - 7

d) a2

+ 1

2.a) x . y = y . xb) a + b = b + a

3.a) 2x + 2y = 20b) se x = 4, y = 6 ;

se x = 2, y = 8; etc.

4. x2

Aula 45 ----- O círculo e o número p

Exercícios:

1. Mantendo 5 cm de distância entre as pernas do compasso, centre a pontametálica e gire.

2. Se o diâmetro é de 10 cm, o raio terá 5 cm e essa circunferência será do mesmotamanho que a do Exercício 1.

3. A de 6 cm de raio tem o comprimento maior.

4. 2 . 26 . 3,14 = 163,28 cm

5. 62,8 ¸ 3,14 = 20 cm

6.1 2 6,28

2,5 5 15,7

3 6 18,84

7. 18,84 ¸ 2 = 9,42 m

8. 18,84 ¸ 4 = 4,71 m

9. Essa corda é o diâmetro e mede 2 cm.

10. Várias soluções possíveis, como a que está na figura:

Aula 46 - - - - - Novamente frações

Para pensar:

Para fazer duas paradas, é preciso dividir a distância entre as cidades (220 km)em 3 etapas: 220 ¸ 3 = 73,333...

1ª parada 2ª parada|________________|_______________|_________________|

Exercícios:

1.a) 0,13b) 0,35c) 6,222 ...d) 4,26666...

2.a) 0,111 ...b) 0,222 ...c) 0,333 ...

3.a) 0,444 ...b) 0,555 ...c) 0,666 ...

4.a) decimal finitab) decimal finitac) decimal infinita periódicad) decimal infinita não periódicae) decimal infinita periódicaf) decimal infinita não periódica

146,6 km 73,3 km0 km 220 km

5.a) racionalb) racionalc) racionald) irracionale) racionalf) racional

Aula 47 - - - - - Números proporcionais

Para pensar:

1200.000

=x

40.000.000 ® x = 200 cm

Exercícios:

1.

a) A B RAZÃO AB

b) 18 211821

67

c) 30 353035

67

d) 85,71 10085,71100

67

e) 100 116,6 ...100

116,6667

2.

a) 1230

b) 1830

c) 1218

3.a) x = 15b) x = 42c) x = 15d) x = 5,33...

4. 40 cm

5. 43,50

=12x

4x = 42x = 42 ¸ 4x = R$ 10,50

Aula 48 - - - - - O Teorema de Tales

Para pensar:

l 3,34 m.l 11,7 kg .l Sim.

Exercícios:

1.a) 2,8b) 3,2

2. x = 36 m; y = 54 m

3. 20 m

4.alturadocoqueiro

sombradocoqueiro=

alturadapessoasombradapessoa

Aula 49 - - - - - Figuras semelhantes

1. Um quarto mede 3 m por 4 m e o outro mede 3 m por 3,40 m.

2. 100 cm · 100.000 = 10.000.000 cm = 100 km

3. 204 cm ¸ 12 = 17 cm

4. 1,5 ¸ 30 = 0,05 m2

Aula 50 ----- Proporção inversa

Para pensar:

l Levará 3 horas.l São grandezas inversamente proporcionais.

Exercícios:

1.a) Sim, k = 40.b) Não.c) Sim, k = 80.

2. 20 dias.

3. 1h30min

4. 6h40min aproximadamente

Aula 51 ----- Regra de três

Para pensar: 51 dias.

1. 40 min

2. 24 operários

3. 20 m

4. 300 peças

5. 37,5 l

6. 45%

7. R$ 200,00

8. R$ 1.200,00

Aula 52 ----- Introdução à álgebra

Para pensar:

l 3 kg

l 2 kg

l Daqui a 24 anos, quando André tiver 32 anos e sua mãe 64 anos.

Exercícios:

1. 674 e 675

2.a) x = 3b) x = 5c) x = 14

3.a) 2 (x + 1) + 4x = 3,20b) R$ 1,20c) 20 centavos4. 12

Aula 53 ----- Calculando áreas

Para pensar:

l A área.l As áreas são iguais .l 10.000.

Exercícios:

1.a) 6,375 cm2

b) 2,625 cm2

c) 6,75 cm2


3. Aproximadamente 553,5 cm2.


5. Aproximadamente 2.000 azulejos.

6. Os 4 triângulos têm áreas iguais, apesar de terem formatos diferentes.Todos têm a mesma base e a mesma altura.

7. 14 cm2

8. 0,24 cm2

9. 93 + 145 = 119, aproximadamente 119 u.2

Aula 54 ----- Potências e raízes

Para pensar:

a) 5² fichas brancas

b) 5³ fichas pretas

c) 54 fichas verdes

Exercícios:

1.a) 13² = 169

b) 4³ = 64

2.

a) l l ll l ll l l

b) impossível

c) l l l ll l l ll l l ll l l l

3.a) 8b) 1c) 1d) 0e) 1.000... ( 10 zeros)

4.a) 7b) 8c) 1d) 10e) 6

5.a) 2b) 1c) 10d) 4e) 0

Aula 55 ----- O Teorema de Pitágoras

Para pensar:

l Sim, porque os três triângulos têm os ângulos com a mesma medida.

l Sim.

Exercícios:

1.a) Sim: 10² = 8² + 6².b) Não, porque 20² ¹ 9² + 7².c) Não, porque 6² ¹ 5² + 4².d) Sim: 13² = 12² + 5²

2. A área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreasdos triângulos desenhados sobre os catetos. Observe que esse exemplo éuma extensão do Teorema de Pitágoras.

3. a = 8

b = 8,50

x = 3,76

y = 19,26

Observação: Os valores decimais foram considerados até os centésimos,desprezando-se os demais.

Aula 56 ----- Aplicação do Teorema de Pitágoras

Para pensar: 4 metros

Exercícios:

1. Sim: 13² = 12² + 5²169 = 144 + 25

2.a) 84b) 50

3. x = 15 cm

4. 2.025 = 45m

5. d = 72 cm

6. 20 cm

Aula 57 ----- A área do círculo

Para pensar:

Foi pintada metade da área da roda.

Exercícios:

1.a) 113,04 cm²b) 50,24 cm²

2.a) 34,89 m²b) 40º

3. 1,31 m²

4. 10% = 1,256 cm²20% = 2,512 cm²30% = 3,768 cm²40% = 5,024 cm²

5. 21,5% da área do quadrado.

Aula 58 ----- Calculando volumes

Para pensar:

l 8l Resposta pessoal.l Volume da pirâmide = 1

3 do volume do cubo.

Exercícios:

1. 64 cubinhos

2. 20.000 cm3 = 20 litros


4. 14.137 cm3

5. 18,84 litros




Aula 59 ----- Organizando os números

Para pensar:

a) 0, 1, 2, 3, 4b) -1, 0c) Não tem.d) Não tem.e) 0,5 (há uma infininidade de outras soluções).

Exercícios:

1. 6, 9, 12, 15 ...

2. 0, -1, -2, -3 ...

3.95

ou 1,8

4. Existe uma infinidade. Exemplos: 2,1; 2,2; 3,5; 4.

5.a) Vb) Vc) Vd) F

6.a) 3

1 ou 6

2ou 12

4, .....

b) 2510

= 52

c) 59

d) 01

Observação: Todos os itens do Exercício 6 têm outras soluções.

7. 1,3; 0; 2,3; etc.

8.- 2 - 1 0 1 2

-14

13

1,5

Aula 60 ----- A reta e os números reais

Para pensar:

a) -5

b) 4,2; - 3,1; 0,555...

c) 11

d) 4,2; -5; -3,1; 0,555...; 0

Exercícios:

1.

2.a) Vb) Fc) Fd) Ve) Ff) Vg) F

3.a) 1b) -1

4.a) 0 e 1 (há uma infinidade de outras respostas)b) -0,25 e -0,5 (há uma infinidade de outras respostas)

-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4

-2,5 -0,666... 0,75 2 π

Gabaritos das aulas61 a 80

Aula 61 Aula 61 Aula 61 Aula 61 Aula 61 - Resolvendo as operações Resolvendo as operações Resolvendo as operações Resolvendo as operações Resolvendo as operações

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. 1000 - (127 + 356) = 517

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. 300 + 700 + 895 = 1000 + 895 = 1895

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 180 - 40 : 5 - 6 = 166(180 - 40) : 5 - 6 == 140 : 5 - 6 == 28 - 6 = 22

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) 72 + 60 : (12 - 8) = 87b)b)b)b)b) (10 - 2) . 3 + 1 = 25

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 123 - [30 - (5 . 4 - 2) : 6] == 123 - [30 - 18 : 6] == 123 - [30 - 3] == 123 - 27 = 96

Aula 62 Aula 62 Aula 62 Aula 62 Aula 62 - Expressões algébricas Expressões algébricas Expressões algébricas Expressões algébricas Expressões algébricas

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. 5x

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a + b = b + a

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) 2xyb)b)b)b)b) -7a2

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. 2xy - x2

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 3

Aula 63 Aula 63 Aula 63 Aula 63 Aula 63 - Equações de 1 Equações de 1 Equações de 1 Equações de 1 Equações de 1º grau grau grau grau grau

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) x = - 13b)b)b)b)b) a = 2,5c)c)c)c)c) y = 1d)d)d)d)d) x = -2

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. Não

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. Resposta aberta

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. 20 anos


Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.37


Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8. - 19

Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9. 500.000 unidades

Aula 64 Aula 64 Aula 64 Aula 64 Aula 64 - Operações com frações Operações com frações Operações com frações Operações com frações Operações com frações


m



10 do salário. .

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a)25

b)b)b)b)b)2

15

c)c)c)c)c) 12

15

d)d)d)d)d) 35

Aula 65 Aula 65 Aula 65 Aula 65 Aula 65 - Eliminando denominadores Eliminando denominadores Eliminando denominadores Eliminando denominadores Eliminando denominadores

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) x = 7

b)b)b)b)b) x = - 257

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 850 m2.b)b)b)b)b) 425 m2.

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. R$ 480,00


Aula 66 Aula 66 Aula 66 Aula 66 Aula 66 - Gráfico de uma equação Gráfico de uma equação Gráfico de uma equação Gráfico de uma equação Gráfico de uma equação

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c) d)d)d)d)d)


As retas passam pelo ponto (0; 0) e são perpendiculares.

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) A (4; 5), B (2; 3), C (0; 1), D (-3; -2)b)b)b)b)b) -1c)c)c)c)c) aumentam


As retas A, B, C, D e Esão paralelas.

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. a)a)a)a)a) Aumentam.b)b)b)b)b) Diminuem.c)c)c)c)c) Permanecem constantes e iguais a 2.

Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6. Resposta pessoal


As retas são concorrentes

Aula 67 Aula 67 Aula 67 Aula 67 Aula 67 - Inequações de 1 Inequações de 1 Inequações de 1 Inequações de 1 Inequações de 1º grau grau grau grau grau

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) x > 3 b)b)b)b)b) x £ 7c)c)c)c)c) x 3 - 5 d)d)d)d)d) x £ - 5e)e)e)e)e) x < 3/7 f)f)f)f)f) x 3 - 28

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a)

b)b)b)b)b)

c)c)c)c)c)

d)d)d)d)d)

e)e)e)e)e)

f)f)f)f)f)

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 2y < x ou x > 2y

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)

Aula 68 Aula 68 Aula 68 Aula 68 Aula 68 - Sistemas do 1 Sistemas do 1 Sistemas do 1 Sistemas do 1 Sistemas do 1º grau grau grau grau grau

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. (5 ; 1)

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) (2 ; 8) b)b)b)b)b) (1 ; 2)

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) (- 1 ; 2) b)b)b)b)b)

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. Sim.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. Chamando de aaaaa o preço do armário e bbbbb o preço da mesa, temos:

a = 3ba + b = 120

Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6. a=90, b=30

Aula 69 Aula 69 Aula 69 Aula 69 Aula 69 - Gráfico de um sistema Gráfico de um sistema Gráfico de um sistema Gráfico de um sistema Gráfico de um sistema


Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. (1; 3)

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) (5; - 4).b)b)b)b)b) Sistema impossível.c)c)c)c)c) (- 1;2).d)d)d)d)d) Sistema indeterminado.

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) A solução é única.b)b)b)b)b) A solução é indeterminada.c)c)c)c)c) A solução é impossível.

Aula 70 Aula 70 Aula 70 Aula 70 Aula 70 - Equacionando problemas Equacionando problemas Equacionando problemas Equacionando problemas Equacionando problemas −−−−− I I I I I



Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. A = 2, B = 9 e C = 1

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) Dividir por 2 e subtrair 8.b)b)b)b)b) Dividir por 15.

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. Resposta aberta.

æ1è2;1 ;1

öø

Aula 71 Aula 71 Aula 71 Aula 71 Aula 71 - Operando com potências Operando com potências Operando com potências Operando com potências Operando com potências

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) Fb)b)b)b)b) Vc)c)c)c)c) Vd)d)d)d)d) F


Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 8 e 2

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) x4 + x5 + x7

b)b)b)b)b) 7x - 8c)c)c)c)c) -2x2 - xd)d)d)d)d) x3y + xy2

Resposta da sugestão:

-18

está à esquerda de -1

32, logo -

18

< -1

32

Aula 72 Aula 72 Aula 72 Aula 72 Aula 72 - Produtos notáveis Produtos notáveis Produtos notáveis Produtos notáveis Produtos notáveis

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) 7b)b)b)b)b) 10c)c)c)c)c) 2 e 5

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 4x2 + 12xy + 9y2

b)b)b)b)b) x2 - xy +y2

4

c)c)c)c)c) x4 - 4x2y2

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 4a + 8

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) (x + a)2

b)b)b)b)b) (2x + 1)2

Aula 73 Aula 73 Aula 73 Aula 73 Aula 73 - Fatoração Fatoração Fatoração Fatoração Fatoração


Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. x (x + 11)ab (a + 4 + b)

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. Não, pois 2 · 8 · x = 16x ¹ 12x

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. (ax + 1)2

15

-æè

öø²

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. (x2 + 4) (x + 2) (x - 2)

Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6. a - 5

Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7. 6xy

Aula 74 Aula 74 Aula 74 Aula 74 Aula 74 - Equação do 2 Equação do 2 Equação do 2 Equação do 2 Equação do 2º grau grau grau grau grau

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. Sim

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. 0 e 2

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a = 12

, b = - 14

e c = 5

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. a)a)a)a)a) 0 e - 1b)b)b)b)b) 0c)c)c)c)c) não tem soluçãod)d)d)d)d) + 36 e - 36

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 1 é solução

Aula 75 Aula 75 Aula 75 Aula 75 Aula 75 - Deduzindo uma fórmula Deduzindo uma fórmula Deduzindo uma fórmula Deduzindo uma fórmula Deduzindo uma fórmula


3 e 0

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 12

e - 14

b)b)b)b)b) não tem soluçãoc)c)c)c)c) -3 e 1

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) 6 e -1b)b)b)b)b) 8c)c)c)c)c) 7 e -2d)d)d)d)d) 12e)e)e)e)e) 5 e 2

Aula 76 Aula 76 Aula 76 Aula 76 Aula 76 - Equacionando problemas Equacionando problemas Equacionando problemas Equacionando problemas Equacionando problemas −−−−− II II II II II

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) Decágono (polígono de 10 lados)b)b)b)b)b) Dodecágono (polígono de 12 lados)c)c)c)c)c) Icoságono (polígono de 20 lados)

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. 5 cm e 10 cm

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 10 m e 20 m

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. Os números são: 12 e 25

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. Havia 48 ou 16 pássaros, pois ambas as soluções satisfazem àscondições do problema.

Aula 77 Aula 77 Aula 77 Aula 77 Aula 77 - Aumentos e descontos sucessivos Aumentos e descontos sucessivos Aumentos e descontos sucessivos Aumentos e descontos sucessivos Aumentos e descontos sucessivos


Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. Item bbbbb

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 56%


Aula 78 Aula 78 Aula 78 Aula 78 Aula 78 - Revisão I Revisão I Revisão I Revisão I Revisão I −−−−− Representação gráfica Representação gráfica Representação gráfica Representação gráfica Representação gráfica


Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 8 km/lb)b)b)b)b) 4,5 km/lc)c)c)c)c) 60 km/h

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. a)a)a)a)a) Fevereirob)b)b)b)b) Maioc)c)c)c)c) Março e maiod)d)d)d)d) A diferença foi de 45 milhões de reais

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. x y x y

2 0 6 - 1

4 - 3 4 - 3

Aula 79 - Revisão II Aula 79 - Revisão II Aula 79 - Revisão II Aula 79 - Revisão II Aula 79 - Revisão II −−−−− Geometria Geometria Geometria Geometria Geometria

Introdução:Introdução:Introdução:Introdução:Introdução: AB = 20 2 cm

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. Os outros ângulos internos poderão medir 50º e 80º ou 65º e 65º.

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. B = 30º e C = 60º

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. Â = 90º

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. 20 m2 ou 20.000 litros

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 45 m2

Aula 80 - Revisão III Aula 80 - Revisão III Aula 80 - Revisão III Aula 80 - Revisão III Aula 80 - Revisão III −−−−− Operações e suas aplicações Operações e suas aplicações Operações e suas aplicações Operações e suas aplicações Operações e suas aplicações

Introdução:Introdução:Introdução:Introdução:Introdução: O reajuste deverá ser de 25%

Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1. a)a)a)a)a) R$ 230,00b)b)b)b)b) R$ 92,00

Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2. a)a)a)a)a) 45 balasb)b)b)b)b) Primeira: 15 balas

Segunda: 18 balas

Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3. 30.000 pessoas

Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4. Passará a custar R$ 864,00 e a taxa de aumento será de 72,8%

Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5. 320.000 habitantes