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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
Conjuntos NumricosNmeros Naturais
N = {0; 1; 2; 3; ...} (Nmeros naturais)N* = {1; 2; 3; ...} (Nmeros naturais excluindo o zero)Nmeros Inteiros
Z = {... ; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3 ... } (Nmeros inteiros)Z* = {... ; - 3; - 2; - 1; 1; 2; 3 ... } (Nmeros inteiros excluindo o zero)Nmeros Racionais
Exemplo:
Representado na forma decimal um n racional tem um n finito de casas decimais, ou dzima peridica.
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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Nmeros Irracionais
So nmeros que representados na forma decimal apresentam uma quantidade infinita de decimais noperidicos.
Exemplo:
Observao:
Subconjuntos importantes dos reais:IR +: Reais no negativos (inclui o zero).IR
-
: Reais no positivos (inclui o zero).IR *: Reais no nulos (exclui o zero).
Nmeros Reais
R = {x | x racional ou x irracional}S no so reais as razes de ndice par de radicando estritamente negativo.
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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
Intervalos
Intervalo fechado
Quando inclumos os extremos.
Exemplo:
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Intervalo aberto
Quando no inclumos os extremos.
Exemplo:
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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
Intervalo fechado s de um lado
Exemplo:
Intervalos Infinitos
Exemplos:
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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Teoria dos Conjuntos
Teoria dos ConjuntosConjunto e elementoSo conceitos primitivos (no se definem). Para indicar que um elemento a de um conjunto Aescrevemos a A. O conjunto que no tem elementos chamado conjunto vazio,e indicado por ou {}. Se todos os elementos de um conjunto B so elementos de um conjunto A, dizemos que B umsubconjunto de A e indicamos B A. Demonstra-se que A A e A, qualquer que seja A.Ex:
A = { a, e, i, o, u }. B = { x } = { 0, 1, 2, 3 } (l-se: x tal que x pertence ao conjunto dos naturais e x menor que 4).Unio/Interseco
Entre dois conjuntos A e B podem ser definidas as seguintes operaes:(1) UNIO: A B = { X | X A ou X B}(2) INTERSECO: A B = { X | X A e X B}Ex:
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Matrias > Matemtica > Teoria dos Conjuntos
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Se A B = dizemos que A e B so disjuntos.
Diferena de 2 conjuntos
(3) DIFERENA: A - B = { X | X A e X B }Ex:
A = { 0, 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 3 } A B = { 0, 1, 4 }Conjunto ComplementarQuando B A, o conjunto A B tambm conhecido como conjunto complementar de B em relao a Ae para tal usamos a notao:
Exemplo:
A = { 1, 2, 3, 4 }B = { 2, 3, 4 }
= A - B = {1}
pagina 3 matemtica > teoria dos conjuntos
Representao pelo diagrama de Venn Euler
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Observao:
Se x um elemento de um conjunto A, temos:
Igualdade de conjuntosDizemos que o conjunto A igual ao conjunto B quando
Exemplo:
A = { 1; 2; 5} ; B = { 2; 5; 1 }Vemos que A e B tm os mesmos elementos:
A B e B A A = B
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Matrias > Matemtica > Aritmtica
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Aritmtica
1) Nmeros primosDefinio
Dizemos que um nmero primo quando ele s divisvel por 1 e por ele prprio: assim sendo P umnmero primo, ele deve satisfazer duas condies:
1) P 1 e P -1.2) Conjunto dos divisores de P: { 1 ; P }Ex. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 e etc...
Obs. note que os nicos nmeros primos pares so 2, pois qualquer outro nmero par seria divisvel por2 e assim violaria a definio.
Mltiplo e Divisor
Sejam dois nmeros inteiros m e x, dizemos que m mltiplo de x se, e somente se:m = k . x
onde k Z ou seja:k { ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ... }Ex:
Dado o nmero 7 seus mltiplos so:
{ 0, 7; 14; 21; 28 ... }
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Matrias > Matemtica > Aritmtica
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Analogamente podemos afirmar que x um divisor de m pois x = .
Ex:
Dar os divisores de 75.
D (75) = { 1, 3, 5, 15, 25, 75 }Nmero composto
So nmeros inteiros no nulos que tm mais de quatro divisores distintos.
Nmeros primos entre si
Dois nmeros inteiros so ditos primos entre si quando seu MDC for 1.
Ex:
Os nmeros 1935 e 1024 so primos entre si.
Teorema
Sejam a e b dois inteiros no nulos:
temos que:
MDC (a, b) . MMC (a, b) = | a . b |
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Matrias > Matemtica > Aritmtica
Mximo Divisor Comum e Mnimo Mltiplo Comum
Para encontrar o MDC e o MMC devemos decompor os nmeros dados em fatores primos e proceder daseguinte forma:
MDC = Produto dos fatores comuns cada um deles com o menor expoente.
MMC = Produto dos fatores comuns e no comuns, cada um deles com o maior expoente.
Ex.
Calcular o MMC e o MDC entre 36 e 240.
Fatorandos ambos
36 2
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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18 2 9 3 3 3 1
Temos que 36 = 22 . 32.
240 2120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1
240 = 24 . 31 . 51
Assim:
MMC ( 240;36) = 24 . 3 . 51 = 720MDC ( 240;36) = 2 . 31 = 12
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Matrias > Matemtica > Aritmtica
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Nmeros Par e mparNmero Par
Definio
Um nmero inteiro dito par se e somente se ele for mltiplo de 2 ou seja, ele pode ser escrito na forma2n onde n Z.
Nmero Impar
Definio
Um nmero inteiro dito mpar quando ele no pode ser escrito como mltiplo de dois. Neste caso ele representado na forma 2n + 1 n Z.
Ex:
13 impar pois 13 = 2 . 6 + 1
- 8 = 2 . (-4), portanto par.
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Matrias > Matemtica > Grandezas Proporcionais
Grandezas Proporcionais
Razo
Razo de 2 nmeros a e b com b10 a diviso do primeiro pelo segundo ou seja: Ex:
5 e 3 (dizemos que 5 "est para" 3)
Proporo
Proporo a igualdade de razes:
Dizemos que a est para b assim como c est para d:
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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a e d os extremos, b e c so os meios
Teorema
Se a, b, c, d definem uma proporo ento:
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Matrias > Matemtica > Grandezas Proporcionais
Porcentagem
uma razo em que o denominador 100.Ex:
37% =
Importante: quando dizemos p por cento de uma grandeza devemos fazer 100 vezes esta grandeza.
Ex:
20% de 18 = X 18 = 3,6
Juros:
uma compensao que se recebe ao dispor uma quantia para outra pessoa (fsica ou jurdica) . O jurorecebido depende do tempo , da quantia emprestada (chamada capital ou principal) e da taxa estabelecidano ato do emprstimo que pode ser diria, mensal ou anual .
Montante:
o capital inicial acrescido do juro. Chama-se tambm capital acumulado. O montante pode serdeterminado de duas formas ou regimes:
a) Regime de Capitalizao Simples:No regime de capitalizao simples , os juros gerados em cada perodo so constantes.M = C + J
b) Regime de Capitalizao Composta:
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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No regime de capitalizao composta , os juros gerados em cada perodo se agregam ao capital e essasoma passa a gerar juros para o prximo perodo , e assim por diante para todos os perodos . Para calcularo montante ( M ) formado por um capital ( C ) a uma taxa de juros ( i ) , aps t perodos de capitalizaocomposta , usa-se a frmula
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Matrias > Matemtica > Grandezas Proporcionais
Grandezas diretamente e inversamente Proporcionais
Dizemos que duas grandezas a e b so diretamente proporcionais quando
K chamada constante de proporcionalidade.
Dizemos que duas grandezas x e y so inversamente proporcionais quando:
x . y = k a y =
Neste caso k chamada constante de proporcionalidade inversa.
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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Expresses Numricas
Nmeros naturais/ nmeros inteiros
Lembre-se que existe uma ordem para resolvermos qual quer expresso numrica. Resumidamente:
1) Parnteses2) Colchetes3) Chaves4) Potncia ou Radiciao5) Multiplicao6) Soma ou SubtraoObserve o modelo:
[6 + 3 . (4 + 23) - 130 . (40 : 8 -3)] 2 - 3[6 + 3 . (4 + 8) - 1 . (5 -3)] 2 - 3[6 + 3 . (12) - 1 . 2] 2 - 3[6 + 36 - 2] 2 - 340 2 - 3
20 - 3
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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
file:///C|/html_10emtudo/Matematica/Matematica_html_total.htm (13 of 157) [05/10/2001 23:14:03]
Nmeros Fracionrios
Observe os modelos:
1)
2)
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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas
Fraes e nmeros decimais
Observe os modelos:
2,48 + 36 + 0,07 + 0,003 = 38,553.
82,94 - 0,53 = 82,41
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas
Sistema mtrico decimal
Comprimento
Unidade Fundamental: Metro (smbolo: m).Submltiplos:
1 mm = 1 milmetro = 10-3 m
1 cm = 1 centmetro = 10-2 m
1 dm = 1 decmetro = 10-1 m
Mltiplos:
1 dam = 1 decmetro = 10 m
1 hm = 1 hectmetro = 102 m
1 km = 1 kilmetro = 103 m
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Matrias > Matemtica > Expresses Numricas
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Volume:
UNIDADE FUNDAMENTAL: METRO CBICO (m3)1 m3 = 1000 L = 1000 litros
1 dm3 = 1L
1 cm3 = 1mL
Observe o modelo:
0,78 m3 = ______________ cm3
Lembre - se: 1m = 102 cm
1 m3 = (102 cm)3 = 106 cm3
Logo 0,78 m3 = 0,78 x 106 cm3 = 78 x 104 cm3 = 780.000 cm3.
Fraes Algbricas
Observe o modelo:
MMC (3,6,2) =
2x - 2 + 7 = 3x + 3 2x - 3x = 3 - 7 + 2 -x = -2 x = 2.
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Equaes e Inequaes
Equao do 1 Grau
Toda equao na varivel x do tipo (ou redutvel a) ax + b = 0 com a 0 e a , b R denominada equaopolinomial do 1 grau em x.
Ex:
3x - 6 = 0
3x = 6
x = 2
( raiz, soluo ou zero da equao; note que x = 2 o nico valor de x que torna verdadeira a igualdade.)
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
Inequao do 1 Grau
Conceito de desigualdade
Os smbolos que representam desigualdades so: , >, < e toda sentena aberta (que possui pelo menosuma varivel) onde aparea uma desigualdade uma inequao.Uma propriedade importante das desigualdades :
a > b - a < - b
Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade por um nmero negativo "inverte-se osentido" da desigualdade.
Ex:
3x - 5 < x + 7
3x - x < 7 + 5
2x < 12
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
file:///C|/html_10emtudo/Matematica/Matematica_html_total.htm (17 of 157) [05/10/2001 23:14:03]
x < 6
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
Equao do 2 Grau
Toda equao na varivel x do tipo (ou redutvel a) ax2 + bx + c = 0 onde ; b , , denominadaequao polinomial do 2 grau.
Discriminante:
= b - 4ac
Se > 0 temos se = 0 temos se < 0 no existem razes reais.
Se x1 e x2 so as razes da equao ax2 + bx + c = 0 , ento
Ex:
= b - 4 . a . c = 49 - 4 . 1 . 12
= 49 - 48 = 1
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
Inequao do 2 Grau
Estudo da variao dos sinais das imagens da funo do 2 grau.
Seja a funo f: | f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a0).Seu grfico uma parbola que se comporta conforme a tabela abaixo:
ou:
Ex:
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
1 Clculo das razes
2 Esboo da Parbola
3 Anlise do sinal
x - 5x + 6 > 0 p/ x < 2 ou x > 3
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Sistemas de equaes
1 Grau:
Vamos somar as duas equaes; membro a membro:
3x = 18
x = 6
Substituindo numa das equaes: 6 + y = 8
y = 2 Este o mtodo da Adio.
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
Veja agora o mtodo da substituio:
1) Vamos isolar y na 2 Equao: y = 6 - x2) E substituir na 1: x2 - (6 - x)2 = 243) Agora resolvendo...x2 - (36 - 12x + x2) = 24x2 - 36 + 12x - x2 = 24
12x = 60
x = 5
5 = x y = 1
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
Inequaes - Produto e QuocienteObserve o modelo:
1) Estudando o sinal de cada fator. 1- x = 0 x = 1
x - 9 = 0 x = 3 ou x = -3
2x - 8 = 0
x = 4
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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Equaes e Inequaes
2) Agora vamos colocar estes dados no quadro de sinais.
3) Como foi pedido negativo:Temos
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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis
Fatorao e Produtos Notveis
Produtos Notveis
Quadrado da soma ou diferena:( a + b )2 = a2+ 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
( a + b + c )2 = a2+ b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc( a + b - c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc( a - b + c )2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc( a - b - c )2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Ex:
(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y2) + (3y2)2 == 4x2 + 12xy2 + 9y4
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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis
Produto da Soma pela Diferena:
( a + b ) . ( a - b ) = a2 - b2Ex:
x2 - 16 = (x + 4) . (x - 4)a4 - b4 = (a2)2 - (b2)2 = (a2 - b2) . (a2 + b2) = (a + b) . (a - b) . (a2 + b2) Cubo da soma e da diferena:
( a + b )3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3
( a - b ) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3Ex:
(x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3(x) (2)2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Fatorao
Fatorar significa encontrar fatores que conduzam a um produto dado.
Principais casos de fatorao:
Fator comum (evidncia)ax + bx = x(a + b)Agrupamento
ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)Diferena de Quadradosa2 - b2 = (a + b) (a - b)Quadrados Perfeitosa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
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Matrias > Matemtica > Fatorao e Produtos Notveis
Soma de Cubos
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)Diferena de cubos
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)Ex:
8y3 - 125 = (2y)3 - 53 = (2y - 5) . (4y2 + 10y + 25)Cubos Perfeitos
a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3Ex:
x3 + 3x2 + 3x + 1 = ( x + 1 )3
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
file:///C|/html_10emtudo/Matematica/Matematica_html_total.htm (25 of 157) [05/10/2001 23:14:04]
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Matrias > Matemtica > Mdias
Mdias
Mdia Aritmtica Simples
Chamamos mdia aritmtica simples de um conjunto de valores xi ( x1, x2, x3 ... xn ) um nmero :
onde n = nmero total de elementos do conjunto,
ou ainda
Mdia Aritmtica Ponderada
Chamamos mdia aritmtica ponderada de um conjunto de valores xi (x1 , x2 ... xn) com pesos ( ditosfatores ponderais ) Pi (P1 , P2 ... Pn) um nmero :
ou ainda
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Matrias > Matemtica > Mdias
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Mdia Geomtrica
Chamamos mdia geomtrica de um conjunto de valores xi ( x1, x2, ... xn ) a raiz ensima do produto dos nvalores: Observao positivas ou nulas:
MG = onde xi 0
Ex:
A mdia geomtrica entre 4 e 9 :
MG = = = 6
Mdia Harmnica
Chamamos mdia harmnica de um conjunto de valores xi ( x1, x2, ... xn ) o inverso da mdia aritmticados inversos dos valores.
( )
Ex:
Calcular a mdia harmnica entre os nmeros ( 2, 3, 6 ).
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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Potenciao e Radiciao
Dado um nmero a IR e um nmero n > 1 define-se potncia ensima de a como:
Ex: 5 = 5 . 5 . 5 = 125
Obs. a = 1 para qualquer a.
Dado a 0 e um nmero n IN temos que a raiz ensima de a definida como:
Ex:
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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao
Equaes e Inequaes exponenciais
Seja a > 0 e a 1 temos ax = ab x = bEx:
2x = 26 x = 6
32x - 3 = 3 2x - 3 = 7 2x = 10 x = 5
Inequaes Exponenciais
a > 1 e 0 < x1 < x2 ax1 < a x2
Ex:
34 < 37
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
file:///C|/html_10emtudo/Matematica/Matematica_html_total.htm (28 of 157) [05/10/2001 23:14:04]
0 < a < 1 e x1 < x2 ax1 > ax2
5x > 5y x > y
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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao
Racionalizao
Significa eliminar todos os radicais que existem no denominador da frao, sem alterar o seu valor.
Obs.
Ex:
Reduo de Radicais ao mesmo ndice
Trata-se de uma situao, onde necessitamos transformar os radicais de ndices diferentes em radicaisequivalentes com ndices iguais.
Ex:
Assim:
Ex:
1) Reduzir ao mesmo ndice Resp.
2) Escrever em ordem crescente os nmeros Resp.
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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3) Escrever em ordem decrescente os nmeros Resp.
4) Calcular Resp.
5) Calcular
Resp.
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Matrias > Matemtica > Potenciao e Radiciao
Notao Cientfica
Temos todo nmero racional no nulo pode ser escrito na forma x .10y onde 1 x < 10 e y inteiro.
Ex:
3000 = 3 . 1000 = 3 x 103
Isto nos facilita muito um trabalho onde hajam operaes com nmeros de muitos dgitos.
Assim ficaria
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Matrias > Matemtica > Relaes e Funes
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Relaes e Funes
Par ordenado
um par de elementos (x ; y) onde a ordem importante, de modo que o par ordenado (x ; y) considerado diferente do par ordenado (y ; x).Plano Cartesiano
Sobre um plano, podemos adotar dois eixos perpendiculares OX e OY, de origem comum O, de modo quea cada ponto do plano podemos associar um par ordenado de nmeros reais. Por exemplo, na figuraabaixo, o ponto P pode ser representado pelo par ordenado (3 ; 15) onde 3 a abscissa e 15 a ordenadado ponto:
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Relao
Dados dois conjuntos A e B, uma relao de A em B um conjunto de pares ordenados (x ; y) onde x Ae y B.
Ex:
Considerando os conjuntos A e B abaixo podemos considerar as seguintes relaes de A em B:
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R1 = { (1 ; 7) ; (2 ; 5) ; (2 ; 7) ; (3 ; 6)}R2 = { (2 ; 7) ; (2 ; 8) ; (3 ; 5)}
Uma relao pode ser representada por um diagrama de flechas. Para as relaes de exemplo acimapodemos fazer os seguintes diagramas:
As flechas unem o primeiro ao segundo elemento de cada par ordenado.
O segundo elemento do par ordenado chamado de imagem do primeiro. Assim, em relao ap parordenado (1 ; 7), pertencente relao R1, dizemos que 7 imagem de 1.
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Funo
Uma relao f de A em B chamada de funo de A em B se, e somente se forem satisfeitas as condies:
1) Todos os elementos de A possuem imagem;2) Cada elemento de A tem uma nica imagem.Ex:
Consideremos as relaes f, g e h representadas pelos diagramas de flechas:
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A relao de f no funo pois o nmero 1 (pertencente a A) no possui imagem.A relao g no funo pois o elemento a possui duas imagens: 4 e 8.
A relao h uma funo de A em B pois cada elemento de A possui uma nica imagem. Observe que noconjunto B pode haver elementos que no so imagens (17 e 20). Observe tambm que podemos ter doiselementos com a mesma imagem (9 e 11).
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Domnio e Conjunto ImagemDada uma funo de A em B, o conjunto A chamado domnio (D(f)) da funo. O conjunto de todasimagens chamado conjunto imagem (I(f)) da funo. Por exemplo, para a funo f esquematizada aseguir temos:
A = D(f) = domnio de f = {1; 2; 3}I(f) = conjunto imagem de f = {7; 8}
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TIPOS DE FUNOFuno do 1 grau
a funo f : R R tal que y = ax + bD = R
CD = Im = R
Grfico:
Raiz: y = ax + b = 0 x =
Ex: y = 2x - 5 = 0
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Funo do 2 Grau
a funo f : R R tal quey = ax2 + bx + c (onde )
D = R ; CD = R
= b2 - 4ac > 0 2 Razes = 0 1 Raiz
< 0 Raiz real
x1 e x2 so as razes.
se a > 0, Im =
se a < 0 Im =
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Funo modular
Mdulo de um nmero real
Definio:
se x 0 : |x| = xse x 0 : |x| = -xPropriedades:
I |x| 0II |x| = |-x|III |x.y| = |x| . |y|
IV
V |x + y| |x| + |y|VI |x - y| |x| - |y|Ex:
Se A > 0, |x| > A x < -A ou x > A
Se A > 0, |x| < A -A < x < A
Ex:
|x -1| 2 -2 < x - 1 < 2 -1 x 3
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Funes definida por vrias sentenas
Veja o modelo:
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Funo composta
Dadas duas funes , f e g , podemos obter uma outra funo , que se representa por gof e se chama funocomposta de g com f.
A imagem de um elemento qualquer x de A por meio da funo composta gof determinada em duasetapas:
- a primeira transforma o elemento x de A no elemento f (x) de B- a seguinte transforma o elemento f(x) de B no elemento g[f(x)] de C
A funo composta faz sozinha o que f e g fazem juntas.Ex: F(x) = 2x+1 G(x) = 3x - 5 (F . G)(x) = 2.(3x-5) + 1 = 6x -10 + 1 = 6x - 9(G . F)(x) = 3.(2x+1) - 5 = 6x + 3 - 5 = 6x - 2
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Classificao das funes
Funo SobrejetoraDizemos que uma funo f de A em B sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contradomnioda funo.
I = CD = { 1 , 9 }
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Funo InjetoraDizemos que uma funo f de A em B injetora se quaisquer dois elementos diferentes do seu domniotm imagens diferentes.
Funo Bijetora toda funo f de A em B que simultaneamente injetora e sobrejetora.
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Funo Crescente e Decrescente
a) Funo crescente :Se A D
f crescente em A [x2 > x1 f ( x2 ) > f ( x1 ) , x1 , x2 A]Isto , a um maior valor de x corresponde um maior valor de f(x).
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b) Funo Decrescente :Se A D
f decrescente em [A x2 > x1 f ( x2 ) < f ( x1 ) , x1 , x2 A]
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Funo Par
Dizemos que uma funo f : A B par se , e somente se,
x A, f ( - x ) = f ( x )O grfico de uma funo par simtrico com relao ao eixo das ordenadas.
Funo mparDizemos que uma funo f : A B mpar se, e somente se,
x A f (- x) = - f (x)O grfico de uma funo mpar simtrico com relao origem do sistema cartesiano
Ex:
F(x) = sen x impar pois sen(-x) = - senx.F(x) = cos x par pois cos(-x) = - cosx
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Funo inversa
Denomina-se funo inversa da funo bijetora f : A B a funo f-1: B A que se obtm trocando deposio os elementos de todos os pares ordenados da funo f.
f = {(1, 4) , (2, 5) , (3, 6)} f-1 = {(4,1), (5, 2), (6, 3)}Observao.
Para se obter a inversa de uma funo, devemos proceder da seguinte forma:
- isola-se o x
- troca-se x por y e y por x
Exemplo:
Dar a inversa da funo:
Resoluo:
( 5x + 1)y = 2x - 35xy + y = 2x - 3
5xy - 2x = - y - 3
x(5y - 2) = - y - 3
x = =
Assim:
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Matrias > Matemtica > Funo Exponencial e Logartmica
Funo Exponencial e Logartmica
Definio
O logaritmo de "a" na base "b" o expoente "c" que devemos dar a "b" para que este fique igual aonmero "a". Nestas condies dizemos:
logba = c bc = a
b > 0
b 1
a > 0
Ex:
pois 26 = 64
Obs.
I - Em as condies de existncia devem ser:
9 - x > 0 x < 9
x - 3 > 0 x > 3
x - 3 1 x 4
II - Quando no se menciona a base, esta o nmero 10.Ex:
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Matrias > Matemtica > Funo Exponencial e Logartmica
Caracterstica e Mantissa
Em logx = c + m, onde c Z e, denominado caracterstica, e m mantissa vem do latim,significando excesso.
Ex:
log2 = 0,301 onde c = 0 e m = 0,301
log20 = 1,301 onde c = 1 e m = 0,301.
log 200 = 2,301 onde c = 2 e m = 0,301.
Assim, se x 1, a caracterstica a quantidade de algarismos da parte inteira de x, menos 1.
log0,2 = -1 + 0,301 = onde c = -1 e m = 0,301.
log0,02 = -2 + 0,301 = onde c = - 2 e m = 0,301.
Assim, se 0 < x < 1, a caracterstica a quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo no-nulo,aferida de sinal negativo.
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Matrias > Matemtica > Funo Exponencial e Logartmica
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Equaes e Inequaes Logaritmas
So casos onde ns temos que reduzir as equaes que esto envolvendo logaritmos e exponenciais aexpresses do tipo:
a = b , loga b = x , dx < dy ou loga b < y
Assim vejamos: 32x = 81 . 3x + 2
32x = 34 . 3x + 2
32x = 34+x+2
32x = 3x+6 2x = x + 6
x = 6Ex:
x = 20 = 1 ou x = 22 = 4
Funo Logaritmica
Funo logaritmica uma funo definida em com imagem, , onde a R e 0 < a 1.
Se a > 1, a funo ser estritamente crescente, e portanto, uma desigualdade entre os dois elementos dodomnio, conservar o seu sentido entre os elementos correspondentes do conjunto imagem. Casocontrrio, ou seja, se 0 < a < 1, f ser estritamente decrescente, e portanto inverter o sentido dadesigualdade.
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Matrias > Matemtica > Progresses Aritmticas e Geomtricas
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Progresses Aritmticas e Geomtricas
Sequncia
uma expresso do termo geral an em funo de n (ndice do termo da sequncia).A formula de recorrncia fornece o 1 termo e expressa um termo qualquer an+1, em funo do seuantecedente an.
Ex:
a1 = 3
an = 2 + an+1 {3, 5, 7, 9 ...}Progresso Aritmtica
Definio
uma seqncia onde somando uma constante r ( denominada razo ) a cada termo, obtem se o termoseguinte.
Assim:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r .
.
.
.
an = a1 + ( n - 1 ) . r, que conhecida como a Frmula do Termo Geral.
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Matrias > Matemtica > Progresses Aritmticas e Geomtricas
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Propriedades
( 1 ) Cada termo, a partir do segundo, mdia aritmtica entre o termo que o precede e o termo que osucede.
( 2 ) A soma de dois termos equidistante dos extremos igual a soma dos extremos.A partir desta propriedade demonstra-se que a soma dos termos de uma P.A. dada por:
Sn = . n
Interpolao Aritmtica
A e C so os extremos da PA e k o nmero de termos a ser interpolado.
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Matrias > Matemtica > Progresses Aritmticas e Geomtricas
Definio
uma sequncia onde multiplicando cada termo por uma constante q ( denominada razo ), obtm-se otermo seguinte.
Assim:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = a1 . q3 .
.
.
an = a1 . qn-1 que a Frmula do Termo Geral.
Propriedades
( 1 ) Cada termo, a partir do segundo, mdia geomtrica entre o termo que o precede e o termo que o
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sucede.
( 2 ) O produto de dois termos eqidistante dos extremos igual ao produto dos extremos.A partir desta propriedade demonstra-se que o produto dos termos de uma P.G. dado por:
1.
Se q = 1 ento sn = n . a1
( 4 ) Se 1 < q < 1
e n tende a infinito, an tende a zero, e Sn a um nmero S chamado limite da soma obtido por S = .
Interpolao geomtrica
onde B e A so os extremos da PG,
K = nmero de termos que se deseja interpolar.
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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NMEROS COMPLEXOSDefinio
Forma algbrica de um nmero complexo Z = a + bi, onde
e i uma unidade imaginria.
O nmero i tem potncias peridicas:
... i0= 1 , i4 = 1 ... i4k = 1
... i1 = i , i5 = i ... i4k+1 = i
... i2 = -1 , i6 = -1 ... i4k+2= -1
... i3 = -i ... i7 = -i ... i4k+3 = -i
onde .
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
Desta forma para obtermos uma potncia de i basta dividir o expoente por 4, e calcular i elevado ao restoda diviso.
As quatro operaes so realizadas entre nmeros complexos na forma algbrica, operando os termos ondeaparece i (ditos parte imaginria) algebricamente, e da mesma forma com as partes reais. nico destaque,para a diviso que dever ser feita multiplicando dividendo e divisor, pelo complexo conjugado do divisor.Chama-se complexo conjugado de Z = a + bi ao complexo
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Ex:
i124 = ?
Logo i124 = i0
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
Operaes com Nmeros Complexos
Adio/Subtrao:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)iMultiplicao
(a + bi) - (c - di) = (a - c) + (b - d)iDiviso
Ex:
z1 = 3 + 5i
z2 = 2 + li
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
Propriedades
De um Nmero Complexo z = a + bi
P1:
P2:
P3:
P4:
P5: onde | Z | = a2 + b2P6:
P7: |z1.z2| = |z1| . |z2|P8:
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Forma Trigonomtrica de um Nmero Complexo
Seja um n complexo z = a + biDefine-se:
(1 ) Mdulo de z: |z| = p =
(2) Argumento de z: um ngulo , onde 0
(3) Forma geomtrica de z:
z = p(cos + sen )
(4) Plano de Argand Gauss.
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
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Exemplo:
Passa z para a forma trigonomtrica:
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
Frmulas "De Moiure"
Dados:
Aplicando trigonometria demonstra-se que:
(1) z1 . z2 = p1p2[cos( 1 + 2) + i sen( 1 + 2)](2) z1 : z2 = p1/p2[cos( 1 - 2) + i sen( 1 - 2)]
(3) zn = pn [cos(n ) + i sen(n )]Conhecida como1 frmula de "De Moiure".
(4) Razes n simas:
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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onde k = 0,1,2, ... , n 1, conhecida como 2 frmula de "De Moiure".
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Matrias > Matemtica > Nmeros Complexos
Exemplo:
Resolver em C:
x2 + 9 = 0
Seja x = a+ bi um nmero complexo que seja a soluo da equao.Assim:
Substituindo na 1:
z1 = +3i z2 = -3i
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Matrias > Matemtica > Anlise Combinatria
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Anlise Combinatria
PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMSe um evento ocorre em "n" etapas sucessivas e independentes de tal maneira que:
a1 seja o n de possibilidades de ocorrncia da 1 etapa, a2 seja o n de possibilidades de ocorrncia da 2etapa, ...
an seja o n de possibilidades de ocorrncia da n etapa.Ento, o nmero total de possibilidades de ocorrncia desse evento dado por: a1.a2.a3. ... . an
PERMUTAESSo grupos que diferem entre si por alteraes de ordem em seus elementos.
Permutaes Simples (sem elementos repetidos) Pn = n!
Obs.
n! = n (n-1) (n-2) ... 1,
Permutaes com Elementos Repetidos
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Matrias > Matemtica > Anlise Combinatria
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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ARRANJOS
So grupos que diferem entre si por alteraes de ordem e natureza em seus elementos.
Arranjos Simples (sem repeties)
An, p =
Arranjos Completos (com repeties)
Obs. Problemas envolvidos com nmero de arranjos podem ser resolvidos por aplicao do principiomultiplicativo.
COMBINAES SIMPLESSo grupos que diferem entre si por alterao de natureza em seus elementos.
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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton
BINMIO DE NEWTONFatorial
Sendo um nmero natural, o fatorial de n, indicado por n! definido por:
Exemplo:
Nmero Binomial
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Exemplo:
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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton
Propriedades
I)
Exemplo:
(so ditos complementares)
II)
Exemplo:
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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Relao entre Nmeros Binomiais
Relao de stifel:
Exemplo:
Tringulo de Pascal: ( ou tartaglia ) uma tabela onde podemos dispor ordenadamente os coeficientes dos nmeros binomiais.
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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Substitudo pelos seu valores, obtemos
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Na construo do Tringulo de Pascal no necessrio calcular os coeficientes binomiais um a um, bastausarmos algumas de suas propriedades que darei a seguir:
Em cada linha o primeiro e o ltimo so iguais a 1.
A partir da 3 linha, cada elementos ( com exceo do 1 e do ltimo ) a soma dos dois elementos dalinha anterior, imediatamente acima dele.
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Matrias > Matemtica > Binmio de Newton
Desenvolvimento do Binmio de Newton
Binmio de Newton
Exemplo:
(x + 2)4 = C4,0 . x4 . 20 + C4,1 . x3 . 21 + C4,2 . x2 . 22 + C4,3 . x1 . 23 + C4,4 . x0 . 24 = x4 + 8x3 + 24x2 +32x + 16
Frmula do Termo Geral do Binmio de Newton
Seja o Binomio (X + A)n:A frmula do termo geral dada por:
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Exemplo:
Calcular o 6 termo do desenvolvimento de (x + y)15:
C15,5 . x10 . y5
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Matrias > Matemtica > Probabilidade
PROBABILIDADES
Experimento Aleatrio
Experimento aleatrio qualquer experincia ou ensaio cujo resultado improvvel dependendoexclusivamente do acaso.
Exemplo:
Lanar um dado e observar o nmero da face voltada para cima.
Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a quantidade de acar que diminuiu.Espao Amostral
Chama-se espao amostral ao conjunto formado por todos os resultados possveis na realizao de umexperimento aleatrio qualquer.
Evento
Evento qualquer subconjunto do espao amostral.Exemplo:
Ocorrer cara no lanamento de uma moeda.
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Matrias > Matemtica > Probabilidade
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Definio
Chama-se probabilidade do evento A e indica-se P(A) ao quociente :
onde n(A) o nmero de possibilidades de ocorrncia do evento A e n(W) o nmero de elementos doconjunto W (espao amostral).Exemplo:
No lanamento de um dado qual a probabilidade de sair um nmero par ?
A = (2, 4, 6) W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)
Nota 1 :
Nota 2 : onde o evento complementar de A.
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Matrias > Matemtica > Probabilidade
Teorema da Soma
P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)* Se A e B so eventos mutuamente exclusivos:
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P(A B) = logo P(A B) =P(A) + P(B).Eventos Independentes
A e B so eventos independentes se
Probabilidade Condicional
Ex. Uma urna I contm 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas e uma urna II contm 4 bolas vermelhas e 5bolas brancas. Uma urna escolhida ao acaso e dela uma bola extrada ao acaso. Qual a probabilidade deobservados urna I e bola vermelha ?
P(URNA) = 1/2 P (Vermelha/ I ) = 2/5 I
18_7
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Matrias > Matemtica > Matrizes
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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MATRIZES
CONCEITO
Matriz uma tabela constituda por nmeros ou letras dispostos em m linhas por n colunas.
Exemplo:
Obs 1. A matriz acima tem 2 linhas por 3 colunas.
Obs 2. A representao genrica da matriz M M = (aij)nxp onde aij o elemento que ocupa a linha i e acoluna j.Para a matriz acima, temos, por exemplo, a23 = p e a12 = 5.
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Tipos de Matrizes
Classificao de matrizes
Matrizes Nula: a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero.Matriz quadrada: a matriz que tem o numero m de linhas igual ao nmero n de colunas.Obs.: A matriz nxn denominada matriz quadrada de ordem n.
Diagonal principal e diagonal secundria:
Seja A=
Os elementos a11 = 1, a22 = 5 e a33 = 9 formam a diagonal principal e os elementos a13 = 3, a22 = 5 e a31 =7 formam a diagonal secundria.
Matriz diagonal: a matriz que apresenta todos os elementos que no pertencem diagonal principaliguais a zero.
Exemplo:
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Matriz Identidade ou Unidade: toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal soiguais a um e os demais elementos so iguais a zero.
Exemplo:
I2 = I3 =
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Matriz transposta: Dada uma matriz A = (aji)mxn, chama-se transposta de A a matriz At = (aji)mxn, tal queaji = aij , para todo i e todo j, ou seja, as colunas de At so ordenadamente iguais s linhas de A.Exemplo:
Matriz Simtrica
toda matriz quadrada A tal que At = A.Exemplo:
A = simtrica pois At = A
Matriz Anti-simtrica
toda matriz quadrada A tal que At = -A
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A = anti-simtrica pois At = -A
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Operaes com Matrizes
a) Adio e Subtrao A e B sendo matrizes do mesmo tipo, tem por adio matriz onde cij = aij bij
b) Multiplicao por um n realSendo h = ( aij ) e
. h = ( aij)nxpExemplo:
c ) Multiplicao entre matrizesPara ser possvel efetuar o produto entre duas matrizes, o nmero de colunas da primeira matriz deve serigual ao nmero de linhas da segunda matriz.
Somam-se os produtos dos elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos correspondentes dascolunas da 2 matriz.
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Disposio prtica para o clculo do produto: Considerando as matrizes A e B e dispondo conformeesquema abaixo, cada elemento cij obtido a partir da linha de A e coluna de B que nela se cruzam.Assim , por exemplo: c12= 1 . 7 + 3 . 9 = 34.
Obs. somente existe o produto de uma matriz A por outra B se o nmero de colunas de A igual aonmero de linhas de B.Se existe um produto de A por B, o tipo da matriz produto dado pelo nmero delinhas de A e pelo nmero de colunas de B.Pode existir o produto de A por B, mas no existir o produto deB por A.
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Matrias > Matemtica > Matrizes
Equaes Matriciais
Veja o modelo: sendo A e B matrizes de mesmas ordem, calcular x em funo de A e B. 2x - A = 3 B
Adicionando-se a matriz A pela direita nos 2 membros :
2x - A + A = 3 B + A
2x = 3 B + A
Multiplicando-se os dois membros por 1/2:
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Matrias > Matemtica > Matrizes
Matriz Inversa
Chama-se matriz inversa da matriz quadrada A e indica-se por A-1, matriz tambm quadrada, que, seexistir, satisfaz a condio :
A . A-1 = A-1 . A = In
Onde In a matriz unidade ou identidade.
Exemplo:
Dada a Matriz A = sua inversa : , pois.
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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio
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Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio
Conceito Primitivo:
Conceitos primitivos so aqueles aceitos sem definio. Ex. Conceitos de ponto, reta e plano.
Teorema:
Teoremas so proposies aceitas mas mediante demonstrao. Ex. Teorema de Pitgoras.
Postulados:
Postulados so preposies aceitas sem demonstrao.
Exemplo:
Dois pontos quaisquer formam uma reta.
Observao:
Uma proposio Matemtica sempre vai ser verdadeira ou falsa, nunca ocorrendo as duas situaes aomesmo tempo.
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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio
Simbologia:
= igual
ou
e
unio
interseco
~ no
existe
no existe
| existe e nico para todo (qualquer)
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implicao
se, somente se ....
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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio
Tabelas Verdade:
Sejam p e q proposies:Tabela do "ou" ( )
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela do "E" ( )p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Matrias > Matemtica > Noes de Lgica - Problemas de Raciocnio
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Tabela do "se..., ento ..." (implicao).p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela do "se, e somente se"
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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Matrias > Matemtica > Princpio da Induo Finita
Princpio da Induo Finita
Seja P uma proposio qualquer referente a um nmero inteiro.Normalmente a proposio P tem alguma restrio para um certo n0 dado.
Assim o princpio da induo finita diz que, se for possvel devemos provar que a proposio :
1) verdadeira para n0.2) E se ela for verdadeira para um valor k da varivel "n" ento P tambm verdadeira para k + 1.Exemplo:
prove por induo que
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Uma vez que nosso vai tomar o valor inicial igual a 1.
1) n = 1 : 1 = 12
2) Vamos ter como hiptese * / 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) = k2
Nossa tese que 1 + 3 + 5 + ... (2K + 1) = (k + 1)2
Partindo da hiptese vamos demonstrar. = k2 + 2k + 1
Assim
k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 cqd.
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Matrias > Matemtica > Determinantes
DETERMINANTES
Definio
Determinante um nmero associado matriz quadrada de ordem n.
Ex:
16 o valor do determinante associado na matriz de ordem 2 dada.
Clculos
DETERMINANTE DE 2 ORDEM
DETERMINANTE DE 3 ORDEM (Regra de Sarrus)
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+ (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31)+ (a13 . a21 . a32)- (a31 . a22 . a13) + (a32 . a23 . a11)+ (a33 . a21 . a12)
D = 1 + 0 + 8 - 6 - 0 - 8 = -5
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Matrias > Matemtica > Determinantes
TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de ordem n igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelosrespectivos cofatores.
Chama-se cofator ou complemento algbrico do elemento aij e indica-se por Cij ao produto (-1)i+j. Dijonde Dij o determinante obtido suprimindo-se a linha -i e a coluna -j.REGRA DE CHIDesde que a matriz M tenha a11 = 1, suprimimos a 1 linha e a 1 coluna de M.
De cada elemento restante na matriz, subtramos o produto dos elementos que se encontram nasextremidades das perpendiculares, traadas do elemento considerado 1 linha e 1 coluna.
Com as diferenas obtidas, construmos uma matriz de ordem (n - 1), cujo determinante igual ao de M.
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Exemplo:
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Matrias > Matemtica > Determinantes
Propriedades dos determinantes
Casos em que o determinante igual a zero:quando todos os elementos de uma fila so nulos.l quando possui duas filas paralelas proporcionais ou iguais.l quando uma de suas filas combinao linear de outras filas paralelas.l
Transformaes que no alteram um determinante:um determinante no se altera quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas.l um determinante no se altera quando se somam aos elementos de uma os correspondenteselementos de fila paralela multiplicados por uma constante.
l
Transformaes que alteram determinantes: um determinante muda de sinal quando se trocam as posies de duas filas paralelas.l quando se multiplica ( ou divide ) uma fila, o determinante fica multiplicado ( ou dividido ) poresse nmero.
l
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Matrias > Matemtica > Determinantes
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Propriedades complementares: Se numa matriz quadrada forem nulos todos elementos situados de um mesmo lado da diagonalprincipal, o determinante da matriz ser igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
l
det (A . B) = det A . det B (Teorema de Binet).l det A = det At.l determinante de uma matriz de Vandermonde:l
Clculo da Matriz Inversa atravs de Determinantes
A-1 =
Obs.
se det A 0 ento A-1 e a matriz A dita inversvel.
se det A = 0, ento no existe A-1, isto , a matriz A no inversvel.
Neste caso matriz A dita matriz singular.
Exemplo:
Dada a matriz A = calcular sua inversa:
Det A = 4 - 6 = -2
Matriz dos cofatores de A =
Matriz dos cofatores de A transposta =
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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares
SISTEMAS LINEARES
Definio:
Um conjunto com m (m 1) equaes lineares a n incgnitas x1, x2, x3,.... xn denomina-se sistema linear.
Se o conjunto ordenado de nmeros ( 1, 2, 3,.... n) satisfazer todas as equaes linerares do sistema,ser denominado soluo do sistema linear.
Exemplo:
tem como soluo x = 1 e y = 3, ou seja, (1 ; 3).
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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares
Classificao:
Os sistemas lineares so classificados quanto ao nmero de solues da seguinte maneira:
Exemplo:
no tem soluo
tem soluo indeterminada que pode ser representada por
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Expresso matricial de um sistema linear:
Chamamos de D o determinante da matriz dos coeficientes das incgnitas, isto ,
D =
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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares
Regra de Cramer:
Esta regra s poder ser usada para sistemas possveis e determinados.
Um sistema linear ser SPD se D 0 e neste caso as solues sero dadas por:
Onde D1, D 2, D3,.... Dn so os determinantes que se obtm da matriz dos coeficientes das incgnitas,substituindo-se a coluna dos coeficientes da incgnita procurada pelos termos independentes b 1, b2,.... bn.Exemplo:
Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer
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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares
Sistema Escalonado:
Sistema lineares so ditos equivalentes se possuem o mesmo conjunto soluo.Sistemas escalonados so aqueles que apresentam zeros (0), como coeficientes das variveis da seguinteforma:
Propriedades Operacionais para Obtermos um Sistema Escalonado:
P1 Num sistema linear quando trocarmos as posies de duas equaes o sistema equivalente aoanterior
P2 Num sistema linear, ao se multiplicar uma equao por um nmero real no nulo, o sistemacontinua equivalente.
P3 Num sistema linear, ao se multiplicar uma equao por um nmero real (no nulo) e somando-seesta a uma outra equao, o sistema obtido equivalente ao anterior.
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Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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Matrias > Matemtica > Sistemas Lineares
Discusso de um Sistema Linear:
Discutir um sistema quer dizer verificar se o sistema possvel, impossvel ou indeterminado.
SPD se D 0
SPI se D = 0 e D1 = D2 = ...Dn = 0
SI se D = 0 e pelo menos um Di 0
Exemplo:
Dado: discutir o sistema abaixo.
Seja: O determinante do sistema.
D = a2 - 6a = 0 a = 0 ou a = 6.
a = 0 x = 2 e y qualquer.
Logo o sistema indeterminado.
a = 6
Logo o sistema impossvel.
Resumindo: a = 6 SI.
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TRIGONOMETRIA
No Tringulo Retngulo
Consideremos o tringulo abaixo:
Onde so ngulos agudos
So definidos para os ngulos agudos de um tringulo retngulo:
Seno = sen sen
Cosseno = cos cos
Tangente = tg tg
Co-tangente = cotg cotg
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Ex:
Sen = 4/5 Sen = 3/5 Cotg = 3/4 tg =4/3
Cos = 3/5 Cos = 4/5 cotg = 4/3 tg = 3/4
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No Tringulo qualquer
Lei dos Senos
Em qualquer tringulo, o quociente entre cada lado e o seno do ngulo oposto constante e igual a medidado dimetro da circunferncia circunscrita.
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Lei dos Cossenos
Em qualquer tringulo, o quadrado de um lado igual soma dos quadrados dos outros dois lados, menoso duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ngulo formado por eles.
b2 = a2 + c2 -2ac cos c2 = a2 + b2 - 2ab cos ou ainda:
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cos =
cos
Atravs da lei dos cossenos, deduzimos um critrio para determinar se um ngulo interno do tringulo agudo, reto ou obtuso. Basta aplicar a tabela abaixo:
condio agudo a2 < b2 + c2
reto a2 = b2 + c2
obtuso a2 > b2 + c2
Ex:
Qual o valor do cos x?Utilizando a Lei dos Cossenos temos:
62 = 42 + 52 - 2.4.5. cos 36 = 16 + 25 40 cos 40 cos = 5 cos =
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Matrias > Matemtica > Trigonometria
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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ngulos Notveis
0
Seno 0 1
Cosseno 1 0
Tangente 0 1
Co-tangente 1 0
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Medidas de Arcos
Radianos
Define-se que
Onde c o comprimento do arco determinado pelo ngulo central sobre a circunferncia de raio r.
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Se c = r ento = 1, que recebeu o nome de radiano.
O radical radius vem do latim e quer dizer raio, o sufixo ano adjetiva o substantivo. Radiano razo entredois comprimentos, portanto, no tem dimenso, um nmero real. Se c = 2 ento , ou seja, onmero real que expressa o ngulo raso (180) Esta correspondncia ser usada para fazer conversesentre graus e os nmeros reais.
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Crculos Trigonomtricos
O CICLO E AS FUNES TRIGONOMTRICASDefinies
Consideremos num sistema cartesiano ortogonal, uma circunferncia com centro na origem, raio unitrio esentido de percurso anti-horrio a partir do ponto (1;0). Tal circunferncia denominada ciclotrigonomtrico.
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Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (a; b) , pertencente ao ciclo trigonomtrico. O ponto P extremidade do arco de que compreende ngulo central .
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Nestas condies definimos:
Se pelo ponto A conduzimos a reta t paralela ao eixo y e prolongamos o segmento OP at encontrar t numponto T, e isso possvel se P no pertence ao eixo y, a ordenada de T ser a tg .
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sen = b e cos = a
No tringulo retngulo OQP temos:PQ2 + OQ2 = 1,(sen )2 + (cos )2 = 1,que pode ser escrita:
sen2 + cos2 = 1 que constitui a chamada relao fundamental trigonomtrica.
Os tringulos OAT e OQP so semelhantes, portanto:
,
,
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Os sinais das imagens das funes trigonomtricas seguem a distribuio abaixo:
Considerando a primeira determinao dos arcos, ou seja arcos superiores a 900 devero ser"reduzidos" ao I Quadrante da seguinte forma:
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f ( ) = (sinal da funo no quadrante). f (K)sendo K = 1800 - se do II Quadrante,K = - 1800 se do III Quadrante,e K = 3600 - se do IV Quadrante.Usando a reduo ao I Quadrante e que sen = cos (900 - ) montamos a tabela abaixo para os arcosnotveis.
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Funes Trigonomtricas
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
sen 0 1 0
cos 1 0 -1
tg 0 1 -1 0
2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600
sen -1 0
cos 0 1
tg 1 -1 0
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Grficos das funes trigonomtricas
FUNO SENO
Domnio = R ; Imagem = [-1;1]FUNO COSSENO
Domnio = R ; Imagem = [-1;1]FUNO TANGENTE
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Domnio = ; imagem = R.
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Funes Trigonomtricas secundrias: co-tangente, secante e cossecante.
Demonstra-se que:
Funo Perodo Sinais Domnio Imagem
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sen x 2p R [-1, 1]
cos x 2p R [-1, 1]
tg x p
cotg x p
sec x 2p
cossec x 2p
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Equaes e Inequaes Trigonomtricas
Veja o Modelo:
Ponto A:
Ponto B:
Onde k Z
Ex:
cos x >
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Relaes entre as Razes Trigonomtricas
Relaes Auxiliares
sec2 = 1 + tg2 e cossec2 = 1 + cotg2
Relaes Fundamentais e auxiliares
sen2 x + cos2 x = 1
sec2x= 1+ tg2x
cossec2x = 1+ cotg2x
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Reduo ao 1 QuadranteSejam a e b arcos do 2 Quadrante
do 2 Quadrante para o 1 quadrante.
Sejam a, b arcos do 3 quadrante.
do 3 para o 1 quadrante
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Sejam a, b arcos do 4 quadrante
do 4 quadrante para o 1 quadrante
Ex:
cos (270 x) = - cos(90 x ) = - sen x
sen (90 - x) = cos x
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Transformaes Trigonomtricas
Adio de Arcos
Demonstra-se que:
sen (a b) = sena cosb senb cosacos( a b) = cosa cosb sena senb
tg(a b) =
Ex:
sen (75) = sen (45 + 30 ) = sen 45 .cos 30 + sen 30 .cos 45 =
sen2 = 2sen cos
cos2 = cos2 - sen2 tg2 =
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Matrias > Matemtica > Trigonometria
Ex:
Calcular cos 22 30;
Ex:
Sabendo que sen a = e 0 < a < 900; calcule sen 2 e cos 2
Aplicando a Relao: sen temos
Assim sen 2a = 2 sen a . cos a =
cos 2a = cos2a - sen2a =
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Transformao em Produto
sen p + sen q = 2 sen
sen p sen q = 2 sen
cos p + cos q = 2cos
cos p cos q = -2sen
tg p tg q =
Exemplo:
Transformar em Produto a Expresso:
sen2x + 2cosx.
Resoluo: sen 2x + 2 cos x = 2 sen x cos x + 2 cos x = 2 cos x (sen x + 1) Mas: sen + 1 = sen x + sen =
2 . sen
Ento: sen 2x + 2cos x = 2. (cos x).
sen 2x + 2cos x = 4. cos x. sen
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Funes trigonomtricas Inversas
1. FUNO ARCO-SENOConsideremos y = sen x
no intervalo com contra domnio [-1;1] .
Nestas condies temos uma funo bijetora e ento podemos definir a sua funo inversa, ou seja,
y = arcsenx com domnio [-1;1] e imagem conforme o grfico abaixo.
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2. FUNO ARCO-COSSENOy = arc cos x cos y = x
D = [-1, 1]I = [0, ]
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3. FUNO ARCO-TANGENTE
Consideremos y = tgx no intervalo ; sua funo inversa y = arc tgx com domnio real e
imagem
conforme o grfico abaixo.
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Ex:
Calcular:
Logo, sen2a + cos2a = 1.
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Matrias > Matemtica > Polinmios
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POLINMIOSDefinio
Chama-se polinmio na varivel real x, toda a expresso da forma p(x) = a0xn + a2xn-1 + a2xn-2 + an-1x1onde N .
Raiz ou zero do Polinmio
Trata-se do valor de P(x) que faz: P(x) = 0A existncia das razes da equao P(x) = 0 garantida pelo teorema fundamental da lgebra, atribudo aD'Alembert: "Toda equao polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa.
Valor Numrico de um polinmio
Para x = b representado por P(b) = a0 . bn + a1 . bn-1 + a2 . bn-2 +anGrau de um Polinmio
Chama-se grau de um polinmio P(x) 0, o nmero n tal que n o maior valor de n , para o qualan 0 (onde n = 0,1,2,3 ...) Ex. P(x) = 2x3 - 3x + 1 Grau 3 P(x) = 5 Grau 0 P(x) = x2 - 3x +7 Grau 2
Polinmio Nulo
Diz se que um polinmio P(x) identicamente nulo se P(a) = 0 para qualquer a.
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Matrias > Matemtica > Polinmios
Operaes com Polinmios
Soma / Subtrao de Polinmios
Da lgebra elementar temos que ns s podemos somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja, termosque possuam expoentes iguais. Ex. P(x) = 3x4 - 7x3 + 5x2 + 12x - 8 Q(x) = x4 - 12x2 + 7x + 2 P(x) + Q(x)= 4x4 - 7x3 - 7x2 + 19x - 6 P(x) - Q(x) = 2x4 - 7x3 + 17x2 + 5x - 10Multiplicao de Polinmios
Ex:
2x2 - 7x + 4) . (x3 + 2x) = 2x5 + 4x3 - 7x4 - 14x2 + 4x3 + 8xDiviso de Polinmios
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Mtodo da chave:
Ex:
Assim o Q(x) = o quociente da diviso e R(x)= 9/4 o resto.
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Matrias > Matemtica > Polinmios
Teoremas
Teorema do Resto
O resto da diviso de um polinmio p (x) por x c o valor numrico de p(x) em c, isto , o resto p (c).Ex:
Calcular o resto da diviso de f = x3 - 2x2 + 3 por x - 1.
r = f(1) = 1 2 + 3 = 2Teorema de DAlembert
Um polinmio p(x) divisvel por x c se e somente se p (c) = 0.Dispositivo de Briot Ruffini
Dividir x3 - 7x - 6 por x - 3. Observando que x3 - 7x - 6 = x3 + 0x2 - 7x - 6, temos:
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Matrias > Matemtica > Equaes Algbricas
Equaes Algbricas
Definio
Uma equao algbrica ou polinomial a equao do tipo p( x ) = 0Teorema: se um nmero complexo raiz de uma equao polinomial, ento o seu conjugado tambm raiz desta equao e com mesma multiplicidade.
Teorema Fundamental da lgebraToda a equao polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa.
Multiplicidade de Razes
Dizemos que x0 raiz de multiplicidade 2 quando x0 raiz duas vezes. Se o x0 raiz tripla dizemos que x0 raiz de multiplicidade 3 etc
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Matrias > Matemtica > Equaes Algbricas
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Relaes de Girard
Eq. de 3 grau: sejam r1, r2, r3, as razes da equao ax3 + bx2 + cx + d = 0
r1 + r2 + r3 = -
r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 =
r1 . r2 . r3 =
Ex:
Sejam x1, x2, x3 as razes da equao 2 x3 + 4x2 - 5x + 8; escrever as relaes de Girard:
x1 + x2 + x3 =
x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 =
x1 . x2 . x3 = -
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Matrias > Matemtica > Equaes Algbricas
Pesquisa de razes racionais
Seja a equao anxn-1 + an+1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0.Dizemos que as provveis razes racionais desta equao pertencem ao conjunto dos nmeros com p, q Z* onde p divisores a0 e q divisores de an.
Ex:
Resolver a equao x3 - 7x + 6 = 0.
p/q = 1, 2, 3, 6, so as possveis razes.
Devemos verificar qual ou quais desses valores (so) razes de P(x). No caso P(1), P(-3) e P(2) so nuloslogo x1 = 1, x2 = -3, x3 = 2 so as razes do polinmio.
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
Geometria Analtica
Definio
uma parte da matemtica que trata de resolver problemas geomtricos por processos algbricos.Coordenadas de um ponto:
Consideremos uma reta M. Nela vamos marcar um ponto arbitrrio. Ele ser definido como origem.
Agora podemos marcar qualquer ponto dado. Por ex: Pontos 3 e 4.
Imagine agora dois eixos ortogonais que chamaremos de eixos X e Y. Vamos marcar pontos neste planoencontrando as coordenadas ( X: Abscissa e Y Ordenada ) destes pontos:
A ( 2, 3 )B ( -5, 2 )C (-1, -4 )D ( 3, -1 )
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
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Propriedade
Obs. Qualquer ponto do eixo x tem y = 0 Qualquer ponto do eixo Y tem x = 0Obs. Pontos da Bissetriz dos quadrantes impares 1o. e 3o. tem x = y
Ponto da Bissetriz dos quadrantes pares 2o. e 4o. tem x = -y
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
Distncia de 2 pontos
Distncia de dois pontos
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Ponto mdio
Ponto mdio de um segmento
Baricentro
Baricentro do tringulo
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
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Condio de alinhamento de 3 pontos
Dados 3 pontos
Temos que A, B e C esto alinhados se:
D = Se os pontos no estiverem alinhados, formam um tringulo de rea
Equao da reta por dois pontos
Equao da reta por 2 pontos (x1 , y1) e (x2 , y2)Equao geral da reta
Que desenvolvido resulta em:ax + by + c = 0
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
Equao da reta por um ponto e um ngulo
Dada a equao geral
ax + by + c = 0
isolando-se o y temos:
onde:
Dados 2 pontos , distintos, calculamos m, coeficiente angular, como segue:
o coeficiente angular a tangente do ngulo o que a reta forma com o eixo das abscissas.
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Dada a equao geral da reta
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
Tipos de equao da reta
Equao segmentria da reta
Equao reduzida da reta
y = mx + n
Posio relativa de 2 retas
Retas paralelas
m1 = m2
Retas perpendiculares
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Distncia de ponto a retas
Distncia do ponto (x0, y0) reta ax + by + c = 0:
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
ngulo de duas retasSejam M e concorrentes como na fig. abaixo.
Obs. Que elas formam dois ngulos de tal forma que = 180 ou seja
O ngulo entre elas calculado por:
Onde so os coeficientes angulares das duas retas.
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
Circunferncia
Equao da circunferncia
Equao reduzida da circunferncia
ou ainda
Equao normal da circunferncia
Coordenadas do centro
Raio
Condio de existncia
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
Posio relativa entre uma reta e uma circunferncia
Dados uma circunferncia de equao
E uma reta m de equao: d x + e y + f = 0.
Temos que pode ocorrer 3 posies da reta em relao circunferncia.
1o. Tangente
T: Ponto de tangncia. Seja d a distncia entre o centro C e a reta M. Neste caso: d = R2o. Secante
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Neste caso d < R.
O segmento denominada corda.
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3o. Exterior
Neste caso d > R. No caso de conhecermos as equaes da reta e da circunferncia, para se saber qual casotemos, vamos resolver o sistema formado por suas equaes e descobrir o nmero de solues:
Este sistema pode ter 0, 1 ou 2 solues, dependendo do discriminante da
equao do 2o. Grau associado:
Se:
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> 0 2 solues: A reta e a circunferncia so secantes
= 0 1 soluo : tangentes
< 0 soluo : exteriores
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Matrias > Matemtica > Geometria Analtica
Exemplo:
Qual a posio relativa da reta de equao x + y 1 = 0 com a circunferncia
Temos.
y = 1 x e substituindo na equao da circunferncia ficamos com:
Logo a reta secante circunferncia nos pontos (0; 1) e (2; -1).
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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial
Matrias > Matemtica > Conjuntos Numricos
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GEOMETRIA ESPACIAL
CUBO
Cubo ou Hexaedro Regular
o slido construdo com seis quadrados conforme ilustra a figura abaixo.
Diagonal : D = a
rea: S = 6 a2
Volume: V = a3
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Paraleleppedo
Paraleleppedo Reto-Retngulo
o slido construdo com seis retngulos, congruentes dois a dois, conforme ilustra a figura abaixo,
Diagonal:
rea : S = 2 (ab + bc + ac)Volume: V = abc
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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial
Prismas
Alm do cubo e do paraleleppedo reto-retngulo estudados anteriormente, tambm so prismas os slidosrepresentados abaixo. Se suas bases forem polgonos regulares, e as arestas laterais perpendiculares sbases, eles se denominam prismas regulares.
H
Volume:
onde a rea da base.
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Pirmides
So slidos como o representado na figura abaixo. Se a base for um polgono regular, e a projeoortogonal do vrtice sobre a base coincidir com o seu centro, a pirmide denominada pirmide regular.
H2 = a2 + ap2 onde H: altura da pirmide.
a: aptema da base (raio da circunfernciainscrita).ap: aptema da pirmide, ou aptema lateral.
Volume:
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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial
Cilindros
Cilindro Circular Reto
o slido como o representado na figura abaixo.
rea Lateral: rea total: Volume:
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CONE
Cone Circular Reto
o slido como o representado na figura abaixo.
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rea lateral: rea total: S = R(g + R)Volume:
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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial
ESFERAS E DERIVADOS
rea da superfcie:
Volume:
CUNHA
rea do fuso:
Volume da cunha:
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Poliedros:
So slidos do espao de 3 dimenses cuja fronteira a reunio de partes de planos.Tetraedro 4 faces
Pentaedro: 5 facesHexaedro 6 faces
Heptaedro 7 faces
Etc...
Relao de Euler
Em qualquer poliedro convexo vlida a relao: V A + F = 2
Onde: V = n de vrtices;
A = n de arestas;
F = n de faces.
Soma dos ngulos das faces : SS = (V-2).360
Poliedros de Plato
Existem cinco e somente cinco Poliedros de Plato. F A VTetraedo 4 6 4Hexaedro 6 12 8Octaedro 8 12 6Dodecaedro 12 30 20Icosaedro 20 30 12
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Matrias > Matemtica > Geometria Espacial
Slidos de Revoluo
O clculo da rea de uma superfcie de revoluo pode ser feito, usando-se a seguinte frmula:
Onde A = rea da superfcie gerada.
L= comprimento da geratriz
d = distncia do centro da gravidade da geratriz ao eixo. O clculo do volume do slido de revoluo podeser feito, usando-se a frmula
S = rea da superfcie geradora.
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rea lateral do cilindro de revoluoA = 2 . L. d
Volume do cilindro de Revoluo
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V=
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rea Lateral de um cone de RevoluoA = 2 Ld
A = .M.g
Volume de um cone de Revoluo
V = 2 . S. d
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Geometria Plana
Polgonos
Definio: sejam n pontos(n > 3), A1, A2, A3, ..., An de um mesmo plano, trs a trs no colineares, demodo que as retas determinadas por dois pontos consecutivos deixem todos os demais num mesmosemi-plano. Nestas condies a unio dos segmentos A1, A2, A2, A3, ..., An, A1 chamada de polgonoconvexo.
N Nome
3 Tringulo
4 Quadriltero5 Pentgono
6 Hexgono
7 Heptgono
8 Octgono
9 Enegono
10 Decgono
11 Undecgono
12 Dodecgono
15 Pentadecgono
20 Icosgono
Para os demais dizemos: polgono de n lados.
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Nmero de diagonais
Chama-se diagonal o segmentos que une dois vrtices no consecutivos.
Cada vrtice d origem a (n - 3) diagonais; menos 3, pois se eliminam o prprio vrtice, e os dois vrticesadjacentes.Os n vrtices do origem a n.(n - 3) diagonais.
Como cada diagonal foi contada duas vezes, temos:
Soma dos ngulos internos Si
Como ilustram as figuras a seguir, as diagonais que partem de um vrtice, dividem o polgono em (n - 2)tringulos. Como a soma dos ngulos internos de um tringulo 180o, ento a soma dos ngulos internosde um polgono : Si = (n - 2) . 1800
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Soma dos ngulos externos Se
Sejam ai e ae os ngulos interno e externo respectivamente de um vrtice de um polgono.
Nestas condies, em qualquer vrtice, temos ai e ae = 180
Considerando os n vrtices temos:
Si + Se = n . 180
(n - 2) . 180 + Se = n . 180n . 180 - 360 + Se = n . 180
Se = 360
ngulo interno ai e ngulos externo ae .Se o polgono for regular (lados iguais e ngulos iguais) temos: e
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Quadrilteros notveisTrapzio
Tem dois lados paralelos.
Se tiver dois ngulos retos: trapzio retngulo.
Se tiver os lados no paralelos iguais: trapzio issceles.
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Paralelogramo
Tem os lados paralelos dois a dois.
AB || CD e AD || BC
Propriedades:
1 - lados opostos iguais.
2 - ngulos opostos iguais.
3 - as diagonais se cortam ao meio.
Retngulo
Paralelogramo com os quatro ngulos retos.
Alm das trs propriedades do paralelogramo, apresenta mais uma: as diagonais so iguais.