7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 1/24
1
MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
Materialele armate cu fibre sunt materiale ortotrope, a căror comportare se află între cea a materialelor izotrope şi a celor anizotrope. Diferenţele dintre aceste materiale pot fi explicate prin răspunsul la tracţiune şi forfecare.
Tracţiune Forfecare pur ă
Material izotrop
21
(L)
(T)
(T) 2
(L)
1
Material anizotrop sau ortotrop general
(T) 2
1 ( L )
Material ortotrop special
Figura…
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 2/24
2
O stare de tensiuni uniaxiale pe o epruvetă din material izotrop produce doar alungire în direcţia de solicitare fără să modifice unghiuriledintre două laturi adiacente.
O stare de forfecare pură produce modificări unghiulare dar numodifică lungimile.
Eforturi egale aplicate în direcţii diferite produc modificări egale alelungimilor şi unghiurilor.
Comportarea materialelor izotrope este independentă de direcţie ;tensiunile normale produc doar deformaţii specifice liniare iar tensiuniletangenţiale doar deformaţii specifice unghiulare.
În cazul unui material anizotrop tensiunea uniaxială şi forfecarea pură produc modificări atât ale lungimilor cât şi a unghiurilor.
Când se modifică direcţia efortului aplicat răspunsul materialului nuse schimbă calitativ, ci doar cantitativ; cu alte cuvinte comportarea ladeformare a materialului anizotrop este dependentă de direcţie.
Comportarea la deformare a unui material ortotrop este de asemeneadependentă de direcţia de aplicare a eforturilor.
Totuşi când eforturile se aplică după anumite direcţii, răspunsulmaterialului este similar celui de la materialele izotrope. Aceste direcţii cu ocomportare specială se numesc axe de simetrie a materialului.
Legea lui Hooke generalizată
În general starea de tensiuni în jurul unui punct este descrisă de 9componente ale tensorului tensiunilor, ij , ca în fig. 3.
Corespunzător acestui tensor al tensiunilor există şi un tensor aldeformaţiilor specifice, ij
, cu 9 componente.
Legea lui Hooke se poate scrie astfel:
ij ij jC
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 3/24
3
(1)
În sistemul de coordonate 321 ,, x x x relaţiile tensiuni-deformaţiispecifice sunt:
12
31
23
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
12
31
23
3
2
1
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
(2)
în care ijc sunt elementele matricei rigidităţilor [C] în sistemul de
coordonate 321 ,, x x x Relaţiile deformaţii specifice-tensiuni se pot scrie:
X3
X2
X1
σ3
σ2
σ1
τ13
τ12
τ31 τ32
τ23
τ21
ijijij C
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 4/24
4
12
31
23
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
12
31
23
3
2
1
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
(3)
în care ijS sunt elementele matricei complianţelor S în sistemul de
coordonate 321 ,, x x x .Matricea complianţelor este inversa matricii rigidităţilor
1 C S (4)
Pentru un material elastic matricele rigidităţilor şi ale complianţelor sunt simetrice:
jiij
jiij
C C
S S
6,......,2,1, ji (5)
Datorită acestei simetrii numai 21 din cele 36 elemente suntindependente.
Materi ale ortotrope
Atunci când există trei plane de simetrie perpendiculare unul pe altul.
Pentru un material ortotrop se poate scrie matricea complianţelor.
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
S
S
S
S S S
S S S
S S S
S (6)
Matricea de rigiditate se obţine prin inversarea matricii complianţelor,iar termenii nenuli ai matricei de rigiditate sunt:
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 5/24
5
66
55
44
332313
232212
131211
00000
0000000000
000
000
000
C
C C
C C C
C C C
C C C
C (7)
Dacă se folosesc componentele inginereşti ale matricei de rigiditate legea lui Hooke se poate scrie sub forma:
jiji Q 6,......,2,1, ji
unde: i = componentele tensiunilor ijQ = termenii matricei de rigiditate scrisă în funcţie de constantele
inginereşti
j = componentele deformaţiilor specifice.
Deformaţia specifică unghiulară inginerească este de două orideformaţia specifică unghiulară tensorială.
12
31
23
3
2
1
66
55
44
332313
232212
131211
12
31
23
3
2
1
00000
00000
00000
000
000
000
Q
Q
Q
QQQ
QQQ
QQQ
(8)
Ecuaţiile constitutive scrise în funcţie de termenii matricei
complianţelor sunt:
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 6/24
6
12
31
23
3
2
1
66
55
44
332313
232212
131211
12
31
23
3
2
1
00000
00000
00000
000
000
000
S
S
S
S S S
S S S
S S S
(9)
Ecuaţiile constitutive pentru materialele ortotro pe arată că tensiunilenormale nu produc deformaţii specifice unghiulare atunci când acestetensiuni sunt aplicate după direcţiile 321 ,, x x x de ortotropie.
Constantele inginereşti Coeficienţii ijC ai matricei de rigiditate şi ijS ai matricei complianţelor
nu se măsoară direct în laborator. Constantele care pot fi măsurate înlaborator se numesc constante inginereşti .
Considerând un material ortotrop cu axele principale 321 ,, x x x supus lao stare de tensiuni tridimensională, se pot scrie următoarele ecuaţii pentrustabilirea deformaţiilor specifice în raport cu tensiunile şi constanteleinginereşti:
3
3
312
2
21
1
11
E E E
3
3
32
2
21
1
122
E E E
3
32
2
231
1
133
E E E
23
2323
G
31
31
31G
1212
12G
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 7/24
7
Unde1 E , 2 E , 3 E sunt modulii lui Young corespunzători celor trei
direcţii principale iar ij coeficientul lui Poisson.
i
j
ij
în care i se referă la direcţia efortului aplicat, iar j corespunde direcţieideformaţiei specifice laterale corespunzătoare.
1
212
( 01 şi celelalte componente ale stării de
tensiune sub zero)
1
3
13
( 01 )
2
121
( 02 ) etc.
Coeficienţii matricei complianţelor sunt:
;1
1
11 E
S ;1
2
22 E
S ;1
3
33 E
S
21 1212 21
2 1
S SE E
31 1313 31
3 1
S SE E
32
2
23
3
32
23 S E E
S
Folosind simetria termenilor din matricea complianţelor jiij S S rezultă:
1
12
2
21
E E
;
3
32
2
23
E E
;
3
31
1
13
E E
Intrucât jiij
12
1
221
E
E ş.a.m.d.
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 8/24
8
Pentru lamele compozite cu armare unidirecţională transversal - izotrope
)( 32 E E şi 21 E E , rezultă 1221 .dar 3223 ...
Ecuaţiile constitutive pentru un material ortotrop exprimate în raport cu
constantele inginereşti sunt:
12
31
23
3
2
1
12
31
23
32
23
1
13
3
32
21
12
3
31
2
21
1
12
31
23
3
2
1
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
G
G
G
E E E
E E E
E E E
Macromecanica lamelei ortotrope
În analiza structurilor compozite, de multe ori există stări plane de
tensiuni. Ecuaţiile constitutive în raport cu axele principale ale materialului
lamelei ortotrope, pentru starea plana de tensiune sunt:
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
00
Q
QQQQ
În ecuaţia de mai sus dacă se exprimă termenii Qij în funcţie de
constantele inginereşti.rezultă:
1221
111
1
E
Q
1221
212
1221
12112
11
E E Q
1221
222
1
E Q
1266 GQ
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 9/24
9
Folosind matricea complianţelor putem scrie
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
0
0
S
S S
S S
Întrucât 1 QS se pot scrie următoarele relaţii între termenii matricii
de rigiditate şi ai complianţelor :
2
122211
2211
S S S
S Q
2
122211
11
22S S S
S Q
2
122211
1212
S S S
S Q
66
66
1
S Q
Lamela ortotrop ă specială
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
0
0
S
S S
S S
(1)
1
11
1
E S
1
12
2
2112
E E S
T
L Lamela ortotropă specială
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 10/24
10
2
22
1
E S (2)
12
66
1
GS
Expresiile termenilor matricei Q de rigiditate a lamelei ortotrope
speciale sunt:
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
00
0
0
Q
(3)
1221
111
1
E Q
1221
212
1221
12112
11
E E Q (4)
1221
222
1
E Q
1266 GQ
Lamela la care axele de referinţă coincid cu axele de simetrie se numeşte
lamela ortotropă specială.
Axele de simetrie sunt direcţia longitudinală L(1) şi direcţia transversală
T(2). Structurile compozite sunt realizate prin stivuirea mai multor lamele
unidirecţionale într -o anumită succesiune (secvenţă) de orientare a lamelelor.
De aceea direcţiile principale ale mater ialului L(1) şi T(2) sunt orientate
cu un anumit unghi faţă de axele de referinţă (x şi y ). Fiecare lamelă este
ortotropă şi respectă relaţiile tensiuni – deformaţii specifice în raport cu
axele principale ale lamelei. Pentru calculul elementelor stratificate, din
lamele compozite este necesară stabilirea relaţiilor tensiuni – deformaţii
specifice în raport cu un sistem de coordonate general.
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 11/24
11
Lamela ortotropă generală este lamela pentru care relaţiile dintre
mărimi (tensiuni, deformaţii) se stabilesc în raport cu un sistem arbitrar de
axe (x,y), Fig....
Se consideră o lamelă ortotropă cu axele principale ale materialului
orientate cu unghiul faţă de sistemul global de coordonate.
Trecerea dintr-un sistem de coordonate local într-unul global se poate
face scriind ecuaţiile de echilibru pe un element re prezentativ, Fig. 3
2
x
y
σy
σ2 τ21
θ
τxy
σx
τyx
1
θ
τ12
θ
x
1
2
y
σy
τyx
τxy
σx
σ1
θ
θ
1
Fig...Lamela ortotropă generală
x
σx
τxy τxy
τyx
σy
σyθ
τyx
T(2)L(1)
σx
y
θ
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 12/24
12
cossin2sincos 22
1 xy y x
cossin2cossin 22
2 xy y x (5)
)sin(coscossincossin 22
12 xy y x
Dacă se notează cosc şi sin s se poate scrie următoarea matrice de
transformare:
22
22
22
1 2
2
sccscs
csc s
cs sc
T (6)
iar ecuaţiile de transformare se pot scrie:
xy
y
x
sccscs
csc s
cs sc
22
22
22
12
2
1
2
2
(7)
Transformările în starea plană de deformaţii se pot scrie sub forma:
xy
y
x
sccscs
csc s
cs sc
22
22
22
12
2
1
22
(8)
în care termenii în c şi s formează matricea
22
22
22
2
22 sccscs
csc s
cs sc
T (9)
iar relaţia se poate scrie
xy
y
x
T
2
12
2
1
(10)
Forma
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 13/24
13
condensată a ecuaţiilor constitutive în sistemul axelor principale ale
materialului este:
11 Q (11)
Combinând (11) cu (7) şi (10) se obţine
1
1 2x xT Q T
(12)
Se poate scrie:
2
1
1 T QT Q (13)
care se numeşte matricea rigidităţilor reduse transformate.
Ecuaţiile constitutive în sistemul de coordonate (x, y) se pot scrie apoi:
x x Q (14)
Sau, în forma extinsă:
xy
y
x
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
662616
262212
161211
(15)
Relaţiile dintre elementele matricei Q şi ale matricei Q sunt :
Matricea rigidităţilor reduse transformate Q este populată în
întregime şi similară cu matricea Q pentru o lamelă anizotropă.
4
22
22
6612
4
1111 sincossin)2(2cos QQQQQ
44
12
22
66221112 sincoscossin4 QQQQQ
4
22
22
6612
4
1122coscossin22sin QQQQQ (16)
cossin2sincos2 3
662212
3
66121116 QQQQQQQ
3662212
366121126 cossin2sincos2 QQQQQQQ
44
66
22
6622121166sincoscossin22 QQQQQQ
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 14/24
14
Coeficienţii16Q şi
26Q diferiţi de zero definesc relaţia de cuplare între
răspunsul în- plan la tensiuni normale şi de forfecare.
De aici s-ar părea că există 6 constante elastice care descriu
comportarea lamelei. Totuşi16
Q şi26
Q sunt combinaţii liniare între cele 4
constante elastice de bază 66221211 ,,, QQQQ .
Coeficienţii16
Q şi 26Q sunt nuli pentru materiale izotrope şi în cazul
materialelor ortotrope în direcţiile principale ale materialelor. În acele cazuri
nu există cuplare între răspunsurile la tensiuni normale şi cele tangenţiale.
Existenţa cuplării dintre tensiunile normale şi cele tangenţiale este
ilustrată în figura de mai jos, care arată forma nedeformată şi cea deformată
a unui element supus la o stare pură de tensiuni axiale:
În cazul materialelor izotrope sau ortotrope solicitate după direcţiile
principale ale materialului nu apar distorsiuni ale unghiului drept ( deci nuexistă cuplare între tensiunile normale şi cele tangenţiale). În cazul lamelei
ortotrope solicitate după o direcţie oarecare cuplarea tensiuni normale-
tensiuni tangenţiale este evidentă prin distorsiunea unghiului drept iniţial.
izotrop ortotropLamelă ortotropăsolicitată după oaxă oarecare
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 15/24
15
Relaţia dintre deformaţiile specifice şi tensiuni în cazul lamelei
ortotrope generale se poate scrie sub forma:
x x
S (`17)
sau11 12 16
x x
12 22 26y y
16 26 66xy xy
S S S
S S S
S S S
(18)
Complianţa transformată este inversa matricei reduse transformată
1 QS
(19)
Care poate fi scrisă sub forma:
1
11
2 T QT S (20)
Elementele matricei transformate a complianţelor pot fi obţinute, de
asemenea, în funcţie de elementele matricei complianţelor:
Constantele inginereşti ale lamelei
4
22
22
6612
4
1111 sincossin2cos S S S S S
22
662211
44
1212 cossincossin S S S S S
4
22
22
6612
4
1122 coscossin2sin S S S S S
cossin22cossin22 3
661222
3
66121116 S S S S S S S (21)
3
661222
3
66121126 cossin22cossin22 S S S S S S S
44
66
22
6612221166 sincoscossin4222 S S S S S S
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 16/24
16
Deseori este utilă cunoaşterea expresiilor explicite pentru constantele
inginereşti în sistemul arbitrar de axe în raport cu cele din sistemul axelor
principale ale materialului (1,2 ) orientate cu un unghi , faţă de sistemul de
axe (x, y) ca în figura de mai jos:
Presupunem că 0 x iar componentele celelalte ale stării de tensiune
sunt nule:
Deformaţiile specifice corespunzătoare direcţiilor principale ale
materialelor sunt:
2
2
21
1
2
2
2
21
1
11
sincos
E E E E x
2
2
1
2
12
2
21
1
122
sincos
E E E E x
(23)
1212
12
12
cossin
GG
x
Deformaţiile specifice în sistemul (x, y) se pot obţine din ecuaţia:
2
1 cos x .. 2
2 sin x . cossin12 x (22)
x
σx
θ
1
σx
y2 θ
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 17/24
17
xy
y
x
sccscs
csc s
cs sc
22
22
22
12
2
1
22
(24)
de unde: cossinsincos 12
2
2
2
1 x
cossincossin 12
2
2
2
1 y (25)
22
1221 sincoscossin)(2 xy
Modulul longitudinal E x Plecând de la ecuaţiile constitutive pentru starea plană de tensiuni într -
un sistem arbitrar de axe se poate scrie:
x x
S (26)
Dacă starea de tensiuni este uniaxială x0 , deformaţia specifică
liniară x se poate scrie sub forma:
x x S 11 (27)
şi din definiţia modulului lui Yong rezultă:
x
x
x E
x
x
x E
S
11
rezultă
4
22
22
6612
4
1111 sincossin2cos
11
S S S S S E x
(28)
x E poate fi de asemenea exprimat în raport cu constantele inginereşti îndirecţiile principale ale materialului şi orientarea a fibrelor în raport cusistemul de axe (x, y).
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 18/24
18
4
2
22
1
12
12
4
1
sin1
cossin21
cos11
E E G E E x
(29)
Modulul de elasticitate transversal (E y )Folosind acelasi raţionament cu 0 y şi toate celelalte componente
nule rezultă:
22
1
S E
y
y
y
(30)
sau în funcţie de constantele inginereşti:
4
2
22
1
12
12
4
1
cos1
cossin21
sin11
E E G E E y
(31)
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 19/24
19
Modulul de elasticitate la for fecare (G xy )
Modulul (Gxy) este determinat din starea de tensiuni în care 0 xy şi
celelalte componente nule:
66
1
S G
xy
xy
xy
(32)
sau în funcţie de constantele inginereşti în raport cu axele principale:
44
12
22
121
12
21
cossin1
cossin1422
21
GG E E E G xy
(33)
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 20/24
20
Coeficientul lui Poisson,νxy
11
12
S
S
x
y
xy
(când 0 x ) (34)
22
12
S
S
y
x
yx
(când 0 y ) (35)
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 21/24
21
Coeficienţii de influenţă reciprocă
Când un material ortotrop este solicitat în alte direcţii decât cele principale ale materialului răspunsul său structural se caracterizează princuplarea efectelor tensiuni normale - deformaţii specifice unghiulare şitensiuni tangenţiale - deformaţii specifice liniare. Cuplarea normal – tangenţial se evidenţiază prin coeficienţii de influenţă reciprocă.
1. Coefi cientul de in fl uen ţă de primul tip, iji, este definit ca
raportul dintre deformaţia specifică liniară şi cea unghiulară când 0ij
ij
iiji
, (36)
În cazul în care 0 xy şi celelalte componente ale stării de tensiuni
sunt nule se poate scrie:
66
16
,
S
S
xy
x
xy x
(37)
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 22/24
22
66
26
,S
S
xy
y
xy y
(38)
2. Coefi cientul de in fl uen ţă de tip 2 , iij , este raportul dintre
deformaţia specifică unghiulară şi cea specifică liniară, în cazul aplicăriiunei tensiuni normale 0i .
7/30/2019 MACROMECANICA LAMELEI COMPOZITE
http://slidepdf.com/reader/full/macromecanica-lamelei-compozite 23/24
23
i
ij
iij
, (39)
Primul indice corespunde deformaţiei specifice induse, iar al doilea
corespunde deformaţiei specifice aplicate. Această convenţie este opusăcelei utilizate la coeficienţii lui Poisson. Pentru cazul 0 x şi toate celelalte componente egale cu zero,
coeficientul de influenţă x xy, , este :
11
16
,S
S
x
xy
x xy
(40)
iar în cazul 0 y şi celelalte componente nule, coeficientul de influenţă
y xy, este:
22
26
, S
S
y
xy
y xy
(41)