MAC-499 - ProjetoMAC-499 - Projeto
Algoritmos Aproximados para o Problema do Corte Circular Restrito
Rubens Altimari
CCCC: Constrained Circular Problem: Constrained Circular Problem
Cortar uma chapa retangular R de dimensões WxL no maior número possível de círculos
Problema Circular Restrito(Constrained Circular Problem): há n círculos de tamanhos diferentes, com raios ri, i = 1, …, n, e “lucro” (ou peso) ci
MotivaçãoMotivação
Empacotamento: seção transversal de um container onde se colocam tubos de um mesmo comprimento (maximizar uso do espaço)
Corte: chapa onde se realizam cortes circulares (minimizar desperdício de material)
Convenções MatemáticasConvenções Matemáticas
Convenções genéricas
conjunto um de elementos :conjuntos :
(binárias) inteiras decisão de variáveis:contínuas decisão de variáveis:
escoeficient :
iI
aA
Convenções Matemáticas, cont.Convenções Matemáticas, cont.
Convenções específicas
},,:),{(:círculo do centro do scoordenada :),(
contrário caso , 0retângulo do cortado círculo ésimo-i , 1
:
etc. ,prioridade dinheiro, em valor c área da entoaproveitam , c
:ex. retângulo, do cortar por obtido lucro""
:
o)compriment x (largura retângulo do dimensões :círculo ésimo-i do raio :
círculosn de conjunto:
2
ijIjIijiHyx
r
i
c
WxLrI
ii
i
i
iii
i
Formulação MatemáticaFormulação Matemática
Formulação do Problema• n variáveis de decisão, 2n + ½ n(n-1) restrições
Ii
Hjirryyxx
IirLyrIirWxr
c
i
jijijiji
iiiii
iiiii
Iiii
}1,0{
),()()()(
)()(
a sujeito
maximizar
22
CaracterísticasCaracterísticas
Espaço de solução é descontínuoVários ótimos locais, raros ótimos
globaisNP-difícil (Lenstra e Rinnooy Kan,
1979)
Proposta do TrabalhoProposta do Trabalho
Estudar e implementar duas heurísticas para o problema, tal como propostas por M. Hifi et al em [1]:
1. Construtiva (CH: Constructive heuristics)2. Baseada em algoritmo genético (GA-BH: Genetic
Algorithm-based heuristics) Ambas utilizam uma abordagem
construtiva (CA: Constructive Approach) como parte do processo
CACA: Constructive Approach: Constructive ApproachABLP para peças circularesABLP para peças circulares
BLP: Best Local Position, desenvolvido por Hifi et al em [2] ABLP: Adapted BLP, para peças circulares Dada uma ordenação de peças, cada peça é colocada na
posição mais alta à esquerda possível dentre um conjunto finito de opções, obtido em relação às peças já colocadas, tirando-se as posições repetidas e impossíveis (overlaps)
Verificação de eficiência é empírica, comparando-se com resultados da literatura
Tem ótimo desempenho Utilizada em ambas as heurísticas, seja como algoritmo de
aproximação (CH), ou como operador de verificação de viabilidade (GA-BH)
CACA: Constructive Approach: Constructive ApproachPosições relativasPosições relativas
Pi
Pj
Pj
Pj Pj
xi
yi
Pj
Pi1
Pi2
Pj
Pj
Posição trivial(0,0)
Posições relativas a cada peça já colocada (determinado eperimentalmente que outras posições, inclusive as simétricas, não contribuem – BLP)
Posições relativas a cada par de peças já colocadas
CACA: Constructive Approach: Constructive ApproachExemplo de construçãoExemplo de construção
P1
P2
P1
P2
P3
P1
P2P4
P3
P1
P2P4
P3
P1
P2 P4
P3
P5
P2P2P2
P2
P3
P3
P4
P4
P5
P5
P5P5
P3
P3
CHCH: Constructive Heuristics: Constructive Heuristics
Utiliza CA como algoritmo de aproximação Boa ordenação das peças (demonstrada
experimentalmente): peças em ordem não-crescente da razão ci / ri; em caso de igualdade, peças com ci maior vêm primeiro
Favorece peças menores com retorno maior
GA-BHGA-BH: Genetic Algorithm-Based : Genetic Algorithm-Based HeuristicsHeuristics Simula evolução natural das espécies, gerando
uma população inicial de indivíduos e aplicando operadores genéticos em cada reprodução
Cada indivíduo é uma possível solução (cromossomo), com aptidão dada por uma função objetivo
Indivíduos altamente aptos se reproduzem, com incidência de crossover e mutação
Descendentes substituem toda a população (método geracional) ou os indivíduos menos aptos (método incremental)
GA-BHGA-BH: Genetic Heuristic: Genetic HeuristicCromossomoCromossomo
Cromossomo P: sequência ordenada, resultado da concatenação de uma solução factível S para o problema CC e de um conjunto U = P \ S de peças que não puderam ser posicionadas em R.
• ex.: P = (P1,P2,P2,P3,P3,P3,P4,P3,P4,P4),com S = (P1,P2,P2,P3,P3,P3,P4) e U = (P3,P4,P4)
Aptidão de P: ∑iЄS ci = ∑iЄS πri2
Utiliza CA como operador de verificação de viabilidade de P ou, mais ainda, como operador de mutabilidade de P (mutaciona P não-factível em factível, determinando S e U)
GA-BHGA-BH: Genetic Heuristic: Genetic HeuristicSeleção de paisSeleção de pais
Atribuição de oportunidades reprodutivas a cada indivíduo:
• Seleção por torneio: escolha determinada por concurso
• Seleção proporcional: parcela fixa é escolhida para se reproduzir
• Escalação por aptidão: cada um dos indivíduos mais aptos é escolhido sucessivamente para ser o primeiro pai; o segundo é escolhido aleatoriamente entre os mais aptos; implementação eficiente; cara a cada pai apto a chance de se reproduzir ao menos uma vez com certa diversidade, promovendo a escolha do melhor enquanto minimza os riscos de duplicação e estagnação em um mínimo local
GA-BHGA-BH: Genetic Heuristic: Genetic HeuristicCrossoverCrossover
Combinação de pedaços de dois pais aptos em busca de filhos promissores
Variação do crossover OX Davis two points:
1. Um trecho (j,k) de genes, 1 ≤ j ≤ k ≤ n, escolhido aleatoriamente, é transmitido de Pai1 para Filho1 e de Pai2 para Filho2
2. O restante dos genes de cada filho é preenchido com os genes do outro pai, segundo certos critérios para evitar repetição de genes
3. Este crossover chama-se de dois pontos em referência aos intervalos (1,j-1) e (k+1,n) que terão crossover
GA-BHGA-BH: Genetic Heuristic: Genetic HeuristicMutaçãoMutação
Dois tipos:1. Aplicação de CA em todo novo filho,
transformando cromossomo não-factível em factível.ex.: P = (P1, P2, P3, P3, P3, P4, P4, P4, P4) -> (P1, P2, P3, P3, P4) U (P3, P4, P4)
2. Swap de duas subsequências de genes ou inversão de ordem de subsequência de gentes em cromossomos factíveis, para aumentar o espaço de busca, evitando convergência prematura
GA-BHGA-BH: Genetic Heuristic: Genetic HeuristicSubstituição da populaçãoSubstituição da população
População inicial: 1º indivíduo obtido com CH; m-1 gerados aleatoriamente; estes m sofrem mutação-2; dos 3m indivíduos gerados, os m mais aptos constituem a população inicial
Método incremental: escolhe-se os m mais aptos de uma população de 5m: m pais, 2m filhos por crossover e 2m cromossomos obtidos por mutação-2 destes 2m filhos
Comparação: Comparação: CHCH x x GA-BHGA-BH
Comparação com dados de [3], exemplo SY1
1. CH: uso de 79.582%, desvio de 4.25% do ótimo (1s)
2. GA-BH: uso de 80.960%, desvio de 2.59% do ótimo (100s)
ConclusãoConclusão Heurística construtiva gera boas
soluções em curtíssimo tempo computacional
Heurística baseada em algoritmo genético gera soluções de alta qualidade, frequentemente ótimas, em tempo razoável
• Pode ser facilmente paralelizada, e deve convergir rapidamente
BibliografiaBibliografia1. Hifi, Mhand; Rym, M'Hallah. Approximate algorithms for constrained circular cutting
problems. Computers & Operations Research, 31, pp. 675-694, 2004.2. Hifi, Mhand; Rym, M'Hallah. A best-local position procedure-based heuristic for two-
dimensional layout problems. Studia Informatica Universalis, International Journal on Informatics, 2(1):1-32, 2002.
3. Stoyan, Yu.G.; Yas'kov, G. Mathematical model and solution method of optimization problem of placement of rectangles and circles taking into account special constraints. International Transactions in Operational Research, 5(1): 45-57, 1998.
4. Stoyan, Yu.G.; Yas'kov, G. A mathematical model and a solution method for the problem of placing various-sized circles into a strip. European Journal of Operational Research, 156, pp. 590-600, 2004.
5. George, John A.; George, Jennifer M.; Lamar, Bruce W. Packing different-sized circles into a rectangular container. European Journal of Operational Research, 84, pp. 693-712, 1995.
6. Wang, Huaiqing; Huang, Wenqi; Zhang, Quan; Xu, Dongming. An improved algorithm for the packing of unequal circles within a larger containing circle. European Journal of Operational Research, 141, pp. 440-453, 2002.
7. Goldberg, David E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. Addison Wesley, 1989.
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