LÓGICA PROPOSICIONALPARIA QUISPE, YEFERSON WILY
MOLLINEDO LUPACA, EDUARDO
CHIPANA RAMIREZ, WILLY
MANUELO CHAVEZ, NAPOLEON
ROMANI CONDORI, MARTIN
Lógica es el estudio del razonamiento, que se refiere específicamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmación en particular.
Lógica
Ejemplos:
El día de hoy está bonito.Está lloviendo.17+5=20
ProposicionesUna proposición es una unidad semántica que, o solo es verdadero, o solo es falsa, pero no ambas cosas a la vez.
¿me invistas a bailar?¡qué hermoso paisaje!¿cómo estás?
Nota: Los enunciados que expresen admiración, duda, interrogación, suspenso, etc., no son proposiciones.
Existen 2 tipos de proposiciones:
Atómicas y Moleculares o compuestas
Tipos de proposiciones
Proposiciones Atómicas
Son aquellas que contienen una sola proposición.
Ejemplos:
Rosa baila. Esto es una casa. Juan canta. 5 es un número par. Quito es la capital del Ecuador.
PROPOSICIONES MOLECULARES O COMPUESTAS
Son aquellas que contienen más de una proposición.
Ejemplos: María trabaja y Rosa estudia. Juan y Luisa son hermanos de Pedro. Amparo es inteligente y es la hermana de Carlos. Esmeraldas y Guayas son provincias del Ecuador.
LÓGICA PROPOSICIONAL
La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR).
LENGUAJE FORMAL
Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario.
Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable p o q, o, r o s.
Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman conectivos u operadores lógicos.
Cuando el conectivo afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador (~) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, , «no p». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los conectivos u operadores lógicos más importantes son:
TABLAS DE VERDAD
Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podrá tomar una proposición. Estas tablas sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.
CONJUNCIÓN
La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos.
p q p ^ q
VVFF
VFVF
VFFF
DISYUNCIÓN
La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando ambas son falsas.
p q p v qVVFF
VFVF
VVVF
CONDICIONAL
El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa.
P q p qVVFF
VFVF
VFVV
BICONDICIONAL
El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuando ambos son falsos, y es falso en los demás casos.
P q p ↔ qVVFF
VFVF
VFFV
NEGACIÓN
La negación ~ que se lee ~p, cambia el valor de la variable que se niega: sólo es verdadera si es falsa y es falsa si es verdadera.
p ~pVF
FV
TAUTOLOGÍA, CONTINGENCIA, CONTRADICCIÓN
TAUTOLOGÍA
Es cuando tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.
Ejemplo:
~p v p
p ~p ~p v p
VF
FV
VV
CONTINGENCIA
Es cuando se obtienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales.
Ejemplo: (p → q) ^ (q → p)
p q p → q q → p (p → q) ^ (q → p)VVFF
VFVF
VFVV
VVFV
VFFV
CONTRADICCIÓN
Es cuando se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.
Ejemplo:
~q ^ q
q ~q ~q ^ q
VF
FV
FF
LEYES DE PROPOSICIONES
Equivalencia:
p = p
Idempotencia
p ^ p = p
p v p = p
Asociativa
p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r
p v (q v r) = (p v q) v r
Commutativap ^ q = q ^ p
p v q = q v p
Distributiva
p ^ (q v r) = (p ^q) v (p ^ r)
p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)
Identidad
p v 0 = p p v 1 = 1
p ^ 1 = p p ^ 0 = 0
Complementop v ~p = 1 ~~p = p
p ^ ~p = 0 ~0 = 1
~1 = 0
Morgan~ (p ^ q) = ~p v ~q
~ (p v q) = ~p ^ ~q
Absorciónp ^ (p v q) = p
p v (p ^ q) = p
Condicional
p →q = ~p v q
p → q = ~q → ~p
Bicondicional
p ↔ q = (p → q) ^ (q → p)
Dominancia
p ^ F = F
p v V = V
Elemento Neutro
p ^ V = P
p v F = P
IMPLICACIÓN LÓGICA (A → B)
Sean A y B dos formas proposicionales se dice que A implica lógicamente a B si y solo si A→B es una tautología, ejemplo:
Decir entre lo que sigue que es verdadero o falso.
p → (p ^ q)
No es tautología por ende es falso.
p q p ^ q p → (p ^ q)VVFF
VFVF
VFFF
VFVV
p → (p v q)
Como es tautología entonces si es una implicación lógica.
p q p v q p → (p v q)VVFF
VFVF
VVVF
VVVV
EQUIVALENCIA LÓGICASean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, si y sólo si A ↔ B es una tautología.
Demostrar (p → q) ^ (q → p) = p ↔ q
A ↔ B
[(p → q) ^ (q → p)] ↔ [p ↔ q]
Como es tautología si es equivalencia lógica.
p q p → q q → p
p ↔ q (p → q) ^ (q → p) A↔B
VVFF
VFVF
VFVV
VVFV
VFFV
VFFV
VVVV
SEGUNDO MÉTODO
(p → q) ^ (q → p)
A ^ B
(p ↔ q)
p q p → q q → p A ^ B
VVFF
VFVF
VFVV
VVFV
VFFV
p q p ↔ qVVFF
VFVF
VFFV