Logaritmos
Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais.
Sendo: , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.
Dependendo dos valores de a e b:
- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade Exemplo:
- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade
Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)
- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade Exemplo:
Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor
real c que satisfaça .
A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.
se, e somente se,
Onde b>0, e a>0
Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exercícios.
Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.
a)
Resolução:
Notem que 3>0, e 9>0
b) 2³ = 8
Resolução:
c)
Resolução:
Notem que 10>0, e 100>0
Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te "pegar" neste ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.
Muitos devem estar pensando... Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos?O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes detalhes.
Uma curiosidade da Química:
Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra?
A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] =
Assim, concluímos que . Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH<7.
Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes ligadas. Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química, na biologia e em demais matérias.
Propriedades fundamentais de logaritmos:
1)
2)
3)
4)
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
Propriedades de logaritmos II
Para x>0, y>0, b>0 e , temos:
1)
2)
3)
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Propriedade - Mudança de base
Sendo x>0, b>0, , c >0 e
Exemplos:
1)
2) Dado que , determine
Resolução:
Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.
Para finalizarmos, vamos ver alguns exercícios resolvidos e uma questão da Universidade Estadual de Londrina - UEL, presente no nosso simulado.
Exercícios resolvidos:
Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:
a) log6
Resolução:
b) log9
Resolução:
c) log5
Resolução:
d)
Resolução:
(UEL) O valor de um automóvel (em unidades monetárias) sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de 40.000 unidades monetárias, depois de quantos anos o valor desse carro será de 16.000 unidade monetárias? Use o valor de 0,3 para log2 e o valor de 0,48 para log3.(a) 3(b) 6(c) 10(d) 15(e) 20
Resolução:Sendo x, o tempo em anos:
Dividindo ambos os membros por 8000:
x.(5.0,3 + 0,48 - 2) = 2.0,3 - 1
x.(-0,02) = -0,4
x = 20
Portanto, após 20 anos. Alternativa E.
A seção logaritmo, embora esteja no campo do ensino fundamental (por alguns colégios abordarem o assunto) foi desenvolvida abrangendo conteúdos do ensino médio.
Top Related