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UNIVERSIDAD SAN SEBASTIÁNFacultad de Ingeniería y Tecnología

Ciencias Básicas

CienciasBásicas

UniversidadSanSebastián

2015

Listado 2

CÁLCULO DIFERENCIALINGE1003

1. Calcular los siguientes límites

1.1) lımx→a+

√ x −√

a +√

x − a√ x2 − a2

1.2) lımx→0

x2 − 2

x2

− 1

x

1.3) lımx→1

√ 10 − x − 3√

2x − 2

1.4) lımx→0

x2 + x

3x + 1

1.5) lımx→1/2

√ 4x + 2

1.6) lımx→2

√ 1 − x

1.7) lımx→3

x3

−9x

x2 + x − 12

1.8) lımx→0

√ x + 1

x2

1.9) lımx→0

|x|

1.10) lımx→0

x2 + x

3x + 1

1.11) lımy→0

3√

1 + y − 1

1 −√ 1 + y

1.12) lımx→1

√ x3 − 9x3√

x2 + x − 2

1.13) lımx→0

x2 − 2

x2 − 1

x

1.14) lımx→1

√ 5 − x − 2√

x − 1

1.15) lımx→2

√ x + 2 − 2

√ x − 1 − 1

1.16) lımx→1

x2

3 − 2x1

3 + 1

(x − 1)2

1.17) lımx→2

|x − 2|x2 − 4

1.18) lımx→3

2x − 6

2 − |1 − x|

1.19) lımx→1

5√

3 − 2x − 1

1 − x

1.20) lımx→2

√ x + 2

−2

√ x − 1 − 1

1.21) lımx→2

x3 − 9x

x2 + x − 12

1.22) lımx→−4

x6 − 4096

x + 4

1.23) lımx→2

x +√

2x4 − 7x2

2x +√

18 + x

1.24) lımx→5

25 − x2

x

−

√ x2 + x

−5

1.25) lımx→1

x − 1√ x2 + 3 − 2

1.26) lımx→2

3√

x − 3√

2

x − 2

1.27) lımx→1

3√

x − 14√

x − 1

1.28) lımx→1

x3 − 1

1 −√ x1.29) lım

x→0

3√

1 + x − 1

x

1.30) lımx→0

√ 3 + x −√

3 − x√ 4 − x2 −√

4 − 2x

1.31) lımx→−3

x2 + 3x

x + 3

1.32) lımx→0

1

x

1

x + 2 − 1

2

1.33) lımx→0

x + 2

4

1

x−2

1.34) lımx→2

√ 1 − x

1.35) lımx→0

(1 + x)3

2 − 1

x

1.36) lımx→3

2√ x+1

− 1

x − 3

1.37) lımx→ 3

√ 2

x3

− 2x − 3

√ 2

1.38) lımx→0

|x| − 2

x − |x|

1




Ciencias Básicas

2. Calcule los siguientes límites laterales:

2.1) lımx→−1+

1 − x2

1 + x

2.2) lımx→5−

x2 − 3x − 10

|x − 5|

2.3) lımx→0−

√ 1 + x −√

1 − x

|x|2.4) lım

x→4+

x3√

x − 4

2.5) lımx→3−

x2

−9

x − 3

2.6) lımx→2−

|x − 2|x − 2

2.7) lımx→3+

x2

x − 3

2.8) lımx→1−

f (x) y lımx→1+

f (x) donde

f (x) =

1 − x3

1 −√ x

si 0 < x < 1

x3 + 11

x2 + 1

si x

≥1

3. Considere la función f : R→ R dada por f (x) =

−x2 + 2 si x ≤ −1ax + b si −1 < x ≤ 1

x2 + 2x + 3 si x > 1¿Qué valores deben tomar a y b para que exista el límite en x = −1 y x = 1?

4. Calcular los siguientes límites al infinito

4.1) lımx→+∞

2−x

4.2) lımx→+∞

(−1)x

x

4.3) lımx→+∞

3x2 + 4x

2x − 1

4.4) lımx→+∞

x − 1

2 + x

x

2

4.5) lımx→+∞

√ x + 2 −√

x

4.6) lımx→

+∞

x(x + 2)

−x

4.7) lımx→+∞

3 · 3x − 2 · 4x

2 · 3x + 4x

4.8) lımx→+∞

2x − 3

3x + 7

3

4.9) lımx→+∞

x(√

x + 2 − x)

4.10) lımx→−∞

2x2 + 3

x2 − 8x + 5

4.11) lımx→+∞

2x2 − 3x + 4√ x4 − 1

4.12) lımx→+∞

4 · 5x + 3 · 2x

5 · 2x + 3x

4.13) lımx→−∞

x3√

x3 + 10

4.14) lımx→+∞

4 + 2x

3x + 1

x+1

4.15) lımx→+∞

√ 3x + 4

x + 2

4.16) lımx→−∞

5−x + 2−x

2−x + 3−x

4.17) lımx→+∞

√ 3x2 − 5x + 4

2x − 7

4.18) lımx→+∞

√ x2 + x − x

4.19) lımx→+∞

4 − 2x − 3x2

2x2 + x

2




Ciencias Básicas

4.20) lımx→

+∞

x

3

x

4.21) lımx→+∞

2x√

41−4x2

4.22) lımx→+∞

1 + (−1)x

x

4.23) lımx→+∞

(−1)x

1 − 1

x

4.24) lımx→+∞

x + 6

x + 5

x

4.25) lımx→∞

x + 1

x + 2−4x

4.26) lımx→−∞

x3 + 2x2 + 3x + 4

4x3 + 3x2 + 2x + 1

4.27) lımx→+∞

2x2 + 7x + 5

x3 + 2x + 1

4.28) lımx→+∞

6x − 2x

2 · 3x + 3 · 6x

4.29) lımx

→+

∞

x+1√

1 + 2x + x2

4.30) lımx→+∞

52x

3x+1

−1

4.31) lımx→+∞

√ x2 + 4 −

√ x2 + 3

4.32) lımx→+∞

√ x√

x + 1 −√ x

4.33) lımx→

+∞

x +√

x − x −√

x

4.34) lımx→+∞

x − sen (x)

x2 − 16

4.35) lımx→+∞

1√ x + 1 +

√ x

4.36) lımx→+∞

x

x + x

√ x

5. Calcular los siguientes límites trigonométricos

5.1) lımx→0

sen(3x)

sen(4x)

5.2) lımx→0

1 − cos(x)

x2

5.3) lımx→π

3

1 − 2cos(x)

sen

x − π3

5.4) lımx→0

(1 − cos(x))2 sen(x)

tan3 x − sen3(x)

5.5) lımx→0

(1 + cos(x))

5.6) lımx→π

4

cos(2x)

cos(x) − sen(x)

5.7) lımx→a

tan(x) − tan(a)

x − a

5.8) lımx→0

cos(a + x) − cos(a − x)

x

5.9) lımx→π

4

1 − tan(x)

sen(x) − cos(x)

5.10) lımx→0

sen(3x)

x

5.11) lımx→0

tan(3x)

2x

5.12) lımx→0

sen(3x)

sen(2x)

5.13) lımx→1

cosπx2

1 −√

x

5.14) lımx→0

sen1−cos(x)

x

x

5.15) lımx→0

sen(10x) − sen(2x)

x

5.16) lımx→0

x2 cos1x

sen(2x)

5.17) lımx→a

cos(x) − cos(a)

x − a

5.18) lımx→0

sen(√

x)√ x

5.19) lımx→0

sen(3x)

(4x)

5.20) lımx→0

x sen

1

x

5.21) lımx→π

sen(x)

x − π

5.22) lımx→0

tan(x)x

5.23) lımx→0

sen(x) − x

x

5.24) lımx→π

(x − π) tan(x)

5.25) lımx→0

tan5(2x) sen(4x)

x6

5.26) lımx→a

cos(x) − cos(a)

x − a

3




Ciencias Básicas

5.27) lımx→0

sen3(πx)

x(1 − sec(πx))

5.28) lımx→0

cos(2x) − senπ2 − x

x

5.29) lımx→0

2sen2(x)

x2

sec(x)

5.30) lımx→0

1 −

cos(5x)

x

6. Encontrar asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones:

6.1) f (x) = 2x2 − 3

x + 1

6.2) f (x) = x3 + x2 − 2

3x2 + x − 4

6.3) f (x) = x4 + 1

x2

6.4) f (x) = x

1 + x2

6.5) f (x) = e1

x

6.6) f (x) = x2 − 1

1 − x

7. Estudie continuidad en R de las siguientes funciones:

7.1) f (x) = sen(x)

x2 + 1

7.2) f (x) =3√

x − 4

x4 + x2 + 5

7.3) f (x) =

x2 − 16

|x − 4| , si x = 4

8 , si x = 4

7.4) f (x) =

9 − x2

3 + x , si x = −3

6 , si x = −3

7.5) f (x) =

−x + 15 , si x ≤ 9

x − 9√ x − 3

, si x > 9

7.6) f (x) =

1 − cos(x − 1)

(x − 1)2 , si x = 1

1

2 , si x = 1

7.7) f (x) =

2sen(x − π3

)

3x − π , x < π

3

6x

π , π

3 ≤ x < 2

2π, x ≥ 2

8. Definir, si es posible, las constantes a, b ∈ R para que la función f : R −→ R definida por:

f (x) =

x2+2x+1x+1

, x < −1ax + b,

−1

≤x

≤0

1 + x2 sen1x

, x > 0

Sea continua en todo R.

9. Sea

f (x) =

a , x < 0bx , 0 ≤ x < b

−bx2 + 4x − 2 , b ≤ x < 34 , x ≥ 3

Hallar, si es posible a, b ∈ R de tal forma que f sea continua en x = 0, x = b y x = 3.

4




Ciencias Básicas

10. Determine los valores de a y b de manera que la función sea continua en x = 0:

f (x) =

a + 2b1 − cos(x2)

x2 , x < 0

1 , x = 0a√

x sen(√

x)

x + 2b , x > 0

11. Analizar la continuidad de las funciones en el intervalo dado:

11.1) f (x) =√

49 − x2 , [−7, 7]

11.2) f (x) = 1 − x

x − 3 , [1, 3[

11.3) f (x) = 2 − |x|4 − x2

, [−1, 1]

11.4) f (x) =

1 − x

x − 3 , [1, 3[

11.5) f (x) = tanπx

4

, [−1, 1]

12. Estudiar la continuidad de

f (x) =

√ 1 + x −√

1 − x

|x| , −1 ≤ x < 0

3x2 + 1 , x ≥ 0

en todo su dominio.

13. Determine el valor de a ∈ R de manera que la siguiente función sea continua:

f (x) =

ex , si x < 0;a + x , si x ≥ 0.

Errare humanum est: este listado puede tener errores. Si encuentras alguno, por favor comunícaselo atu profesor. ¡Muchas gracias de antemano!

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