TCNICAS DE ALTA TENSIN
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INTRODUCCION
LA LEY DE COULOMB LEY DE GAUSS
LEY DE COULOMB
- La magnitud de cada una de las fuerzas elctricas con que interactan dos
cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la
magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa y tiene la direccin de la lnea que las une. La
fuerza es de repulsin si las cargas son de igual signo, y de atraccin si
son de signo contrario.
- La constante de proporcionalidad depende de la constante dielctrica del
medio en el que se encuentran las cargas.
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LEY DE GAUSS
- En fsica la ley de Gauss, tambin conocida como teorema de Gauss,
establece que el flujo de ciertos campos a travs de una superficie cerrada
es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el
interior de dicha superficie. Dichos campos son aquellos cuya intensidad
decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de
proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.
- Se aplica al campo electrosttico y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga
elctrica y la masa, respectivamente. Tambin puede aplicarse al campo
magnetosttico.
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_un_campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_electrost%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/MasaTCNICAS DE ALTA TENSIN
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LA LEY DE COULOMB LEY DE GAUSS
1.1 DEFINICION LEY DE COULOMB
Charles-Augustin de Coulomb desarroll la balanza de torsin con la que
determin las propiedades de la fuerza electrosttica. Este instrumento consiste
en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra
tiende a hacerla regresar a su posicin original, con lo que conociendo la fuerza
de torsin que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza
ejercida en un punto de la barra.
La ley de Coulomb tambin conocida como ley de cargas tiene que ver con las
cargas elctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas
o positivas.
En la barra de la balanza, Coulomb coloc una pequea esfera cargada y a
continuacin, a diferentes distancias, posicion otra esfera tambin cargada.
Luego midi la fuerza entre ellas observando el ngulo que giraba la barra.
Dichas mediciones permitieron determinar que:
La fuerza de interaccin entre dos cargas y duplica su magnitud si
alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas
aumenta su valor en un factor de tres, y as sucesivamente. Concluy entonces
que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas.
En consecuencia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Charles-Augustin_de_Coulombhttp://es.wikipedia.org/wiki/Balanza_de_torsi%C3%B3nTCNICAS DE ALTA TENSIN
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Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interaccin
disminuye en un factor de 4 (2); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3) y
al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4). En
consecuencia, la fuerza de interaccin entre dos cargas puntuales, es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
- Asociando ambas relaciones:
Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la
relacin anterior en una igualdad:
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1.2 ENUNCIADO DE LA LEY
La ley de Coulomb es vlida slo en condiciones estacionarias, es decir, cuando
no hay movimiento de las cargas o, como aproximacin cuando el movimiento se
realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilneas uniformes. Es por ello que
es llamada fuerza electrosttica.
En trminos matemticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos
cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se
expresa como:
Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vaco, se
atraen o repelen entre s con una fuerza cuya magnitud est dada por:
La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:
Donde es un vector unitario, siendo su direccin desde la cargas que produce
la fuerza hacia la carga que la experimenta.Al aplicar esta frmula en un ejercicio,
se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, segn sean stas positivas o
negativas.
El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy
en da, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la
forma
http://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricaTCNICAS DE ALTA TENSIN
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Entonces:
.
- Representacin grfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo
signo.
Obsrvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica
que fuerzas de igual magnitud actan sobre y .
La ley de Coulomb es una ecuacin vectorial e incluye el hecho de que la fuerza
acta a lo largo de la lnea de unin entre las cargas.
1.3 CONSTANTE DE COULOMB
La constante es la Constante de Coulomb y su valor para
unidades SI es Nm/C.
A su vez la constante
- Donde
Permitividad relativa,
, y F/m
http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_de_constantes_f%C3%ADsicashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Newton_(unidad)http://es.wikipedia.org/wiki/Newton_(unidad)http://es.wikipedia.org/wiki/Culombiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Faradiohttp://es.wikipedia.org/wiki/MetroTCNICAS DE ALTA TENSIN
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Es la permitividad del medio en el vaco. Cuando el medio que rodea a las cargas
no es el vaco hay que tener en cuenta la constante dielctrica y
la permitividad del material. La ecuacin de la ley de Coulomb queda finalmente
expresada de la siguiente manera:
La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la
siguiente y su resultado ser en sistema MKS ( ). En
cambio, si la unidad de las cargas estn en UES (q), la constante se expresa de
la siguiente forma y su resultado estar en las unidades
CGS ( ).
1.4 POTENCIAL DE COULOMB
La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce
en todo el espacio la aparicin de un campo de fuerzas que decae segn la ley de
la inversa del cuadrado.
Para modelizar el campo debido a varias cargas elctricas puntuales estticas
puede usarse el principio de superposicin dada la aditividad de las fuerzas sobre
una partcula.
Sin embargo, matemticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo
puede llegar a ser complicado, por lo que frecuentemente resulta ms sencillo
definir un potencial elctrico.
Para ello a una carga puntual se le asigna una funcin escalar o potencial de
Coulomb tal que la fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:
http://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Constante_diel%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_fuerzas_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_la_inversa_del_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_la_inversa_del_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctricoTCNICAS DE ALTA TENSIN
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- De la ley de Coulomb se deduce que la funcin escalar que satisface la
anterior ecuacin es:
Dnde:
, es el vector posicin genrico de un punto donde se pretende definir el
potencial de Coulomb
, es el vector de posicin de la carga elctrica cuyo campo pretende
caracterizarse por medio del potencial.
Montaje experimental para verificar la ley de Coulomb.
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1.5 LIMITACIONES DE LA LEY DE COULOMB
La expresin matemtica solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y
para casos estticos ms complicados de carga necesita ser generalizada
mediante el potencial elctrico. El campo elctrico creado por una distribucin de
carga dada por .
Cuando las cargas elctricas estn en movimiento es necesario reemplazar
incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector de Linard-Wiechert,
especialmente si las velocidades de las partculas son cercanas a la velocidad de
la luz.
Para cargas distancias pequeas (del orden del tamao de los tomos), la fuerza
electrosttica efectiva debe ser corregida por factores cunticos. Para campos
muy intensos puede ocurrir el fenmeno de la creacin espontnea de pares de
partcula-antipartcula que requieren corregir el campo para distancias muy
cortas.
1.6 VERIFICACION EXPERIMENTAL DE LA LEY DE COULOMB
Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo.
Considrense dos pequeas esferas de masa "m" cargadas con cargas iguales, del
mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la
figura adjunta. Sobre cada esfera actan tres fuerzas: el peso mg, la tensin de la
cuerda T y la fuerza de repulsin elctrica entre las bolitas . En el equilibrio:
Tambin:
http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Potenciales_de_Li%C3%A9nard-Wiecherthttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomosTCNICAS DE ALTA TENSIN
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Dividiendo miembro a miembro, se obtiene:
- Siendo la separacin de equilibrio entre las esferas cargadas, la
fuerza de repulsin entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb
- Por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:
Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuacin, en contacto con la
esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su
separacin ser y la fuerza de repulsn entre las mismas estar dada
por:
- Por estar en equilibrio, tal como se dedujo ms arriba:
.
- Y de modo similar se obtiene:
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- Dividiendo, miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:
Midiendo los ngulos y y las separaciones entre las cargas y es
posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental. En la
prctica, los ngulos pueden resultar difciles de medir, as que si la longitud de
los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ngulos
resultarn lo bastante pequeos como para hacer la siguiente aproximacin:
- Con esta aproximacin, la relacin (5) se transforma en otra mucho ms
simple:
- De esta forma, la verificacin se reduce a medir la separacin entre cargas
y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulomb#Equation_5TCNICAS DE ALTA TENSIN
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1.7 COMPARACION DE LA LEY DE COULOMB CON LA LEY DE GRAVIATCION
UNIVERSAL
Esta comparacin es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de
dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones
matemticas cuya similitud es notoria.
La ley de la gravitacin universal establece que la fuerza de atraccin entre dos
masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresndolo
matemticamente:
- Siendo:
La constante de gravitacin universal,
Las masas de los cuerpos en cuestin
La distancia entre los centros de las masas.
A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran
dos diferencias importantes.
La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de
diferente signo como sucede en el caso de las cargas elctricas, y la fuerza entre
masas siempre es atractiva.
La segunda tiene que ver con los rdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y
de la fuerza elctrica. Para aclararlo analizaremos como actan ambas entre un
protn y un electrn en el tomo de hidrgeno.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_la_gravitaci%C3%B3n_universalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_gravitaci%C3%B3n_universalTCNICAS DE ALTA TENSIN
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La separacin promedio entre el electrn y el protn es de 5,310-11 m. La carga
del electrn y la del protn valen:
- Respectivamente y sus masas son
- Sustituyendo los datos:
Al comparar resultados se observa que la fuerza elctrica es de unos 39 rdenes
de magnitud superior a la fuerza gravitacional. Lo que esto representa puede ser
ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo. 1 C equivale a la carga que pasa en
1 s por cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de
intensidad 1 A constante. En viviendas con tensiones de 220 Vrms, esto equivale a
un segundo de una bombilla de 220 W (120 W para las instalaciones domsticas
de 120 Vrms).
Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una
separacin de 1 metro, la fuerza de interaccin sera:
http://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coulombhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundohttp://es.wikipedia.org/wiki/Amperiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Voltiohttp://es.wikipedia.org/wiki/VatioTCNICAS DE ALTA TENSIN
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O sea, 916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un milln
de toneladas (un teragramo)!.
Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada ms arriba, se
alejaran bajo la influencia de esta enorme fuerza. Si de esta hipottica
disposicin de cargas resultan fuerzas tan enormes, por qu no se observan
despliegues dramticos debidos a las fuerzas elctricas? La respuesta general es
que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento
de la neutralidad elctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en
un punto.
http://es.wikipedia.org/wiki/Kilopondiohttp://es.wikipedia.org/wiki/ToneladaTCNICAS DE ALTA TENSIN
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2. LEY DE GAUSS
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo elctrico a travs de una superficie
cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite
calcular fcilmente los campos elctricos que resultan de distribuciones
simtricas de carga, tales como una corteza esfrica o una lnea infinita.
La figura muestra una superficie de forma arbitraria que incluye un dipolo.
El nmero de lneas que salen de la carga es exactamente igual al nmero de
lneas que entran en el mismo recinto y terminan en la carga negativa. Si
contamos el nmero que sale como positivo y el nmero que entra como negativo,
el nmero neto que sale o entra es cero. En otras distribuciones de carga, como
ocurre en la figura derecha, el nmero neto de lneas que sale por cualquier
superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de
dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.
La magnitud matemtica relacionada con el nmero de lneas de fuerza que
atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo elctrico, cuya definicin
general es:
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Frecuentemente estamos interesados en conocer el flujo del campo elctrico a
travs de una superficie cerrada, que viene dado por:
La figura muestra una superficie esfrica de radio R con su centro en la carga
puntual Q. El campo elctrico en un punto cualquiera de la superficie es
perpendicular a la superficie y tiene la magnitud
- El flujo neto a travs de esta superficie esfrica es:
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En donde E ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La
integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el rea total,
igual a:
- Sustituyendo:
Se obtiene:
Idntico resultado hubiramos obtenido si la superficie fuese irregular. Si se trata
de sistemas de ms de una carga puntual como en la figura, el flujo neto a travs
de la superficie cerrada sealada es igual a:
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- Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en funcin de la
permitividad del vaco:
- De modo que la ley de Gauss se escribe:
2.1. CLCULO DEL CAMPO ELCTRICO MEDIANTE LA LEY DE GAUSS
En algunas distribuciones de carga altamente simtricas, tales como una esfera
uniformemente cargada o una lnea infinita de carga, es posible determinar una
superficie matemtica que por simetra posee un campo elctrico constante
perpendicular a la superficie.
A continuacin puede evaluarse fcilmente el flujo elctrico a travs de esta
superficie y utilizar la ley de Gauss para relacionar el campo elctrico con la
carga interior a la superficie. Una superficie utilizada para calcular el campo
elctrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie gaussiana.
En esta seccin utilizaremos dicho mtodo para calcular el campo elctrico
producido por diferentes distribuciones simtricas de carga.
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a. Campo elctrico E prximo a una carga puntual
I. Superficie gaussiana, elegimos una superficie esfrica de radio r centrada
en la carga.
II. E es radial y su magnitud depende slo de la distancia a la carga.
III. E tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esfrica.
- El flujo neto a travs de esta superficie es:
- Pero la ley de Gauss nos da:
- Igualando obtenemos
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b. Campo elctrico E prximo a un plano infinito de carga
Densidad de carga uniforme. Por simetra el campo elctrico debe:
I. Ser perpendicular al plano.
II. Depender slo de la distancia z del plano al punto del campo.
III. Tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la
misma distancia por arriba y por debajo del plano
Escogemos como superficie gaussiana un cilindro en forma de pastillero y su
base tiene un rea A. Como E es paralelo a la superficie cilndrica, no existe flujo
que la atraviese.
Puesto que el flujo que sale por cada cara superior o inferior es EA, el flujo total
es:
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- La carga neta en el interior de la superficie es:
- A partir de la ley de Gauss.
- De donde:
2.2. CAMPO ELCTRICO E PRXIMO A UNA CARGA LINEAL INFINITA
Densidad de carga uniforme Por simetra el campo debe:
a. Ser perpendicular al hilo.
b. Depender slo de la distancia r del hilo al punto.
Tomamos como superficie gaussiana un cilindro de longitud L y radio r coaxial
con la lnea de carga. El campo elctrico es, por tanto, perpendicular a la
superficie cilndrica y posee el mismo valor E, en cualquier punto de la superficie.
No hay flujo a travs de las superficies planas de los extremos del cilindro.
- El flujo elctrico es, por tanto:
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Igual al producto del campo elctrico por el rea de la superficie cilndrica.
- La carga neta dentro de esta superficie es:
- Segn la Ley de Gauss:
- De donde:
- NOTA:
Para usar la ley de Gauss es necesaria la existencia de un alto grado de simetra.
El clculo anterior fue necesario suponer E sera constante en todos los puntos de
la superficie gaussiana cilndrica . Esto es admisible cuando la distribucin lineal
es de longitud:
a. INFINITA
b. FINITA
En puntos muy prximos a la carga lineal lo que equivale a suponer que a esa
distancia parece ser infinitamente larga.
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2.3. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UNA
CORTEZA CILNDRICA DE CARGA
Densidad de carga superficial uniforme, .
a) Puntos interiores a la corteza
Tomamos una superficie gaussiana cilndrica de longitud L y radio r < R
concntrico con la corteza.
Por simetra, el campo elctrico es:
a) perpendicular a esta superficie gaussiana y
b) su magnitud Er es constante en todos los puntos de la superficie.
El flujo de E a travs de la superficie es, por tanto,
La carga total dentro de esta superficie es cero y la ley de Gauss nos da:
b) Puntos interiores a la corteza
Tomamos una superficie gaussiana cilndrica de longitud L y radio r > R
concntrico con la corteza.
El flujo vuelve a ser:
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- Pero la carga interior no sera nula, sino y segn la ley de Gauss:
- Observar que:
Justamente sobre la corteza en r = R, el campo elctrico es:
Como el campo justamente dentro de la corteza es cero resulta un salto.
Esta discontinuidad aparece siempre que haya carga superficial.
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2.4. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UN CILINDRO
SLIDO DE CARGA INFINITAMENTE LARGO
Densidad de carga rho, distribuida uniformemente por todo el volumen del
cilindro.
Lo mismo que en el caso de la corteza cilndrica de carga tomamos una superficie
gaussiana cilndrica de radio r y longitud L, el flujo ser
a. Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r > R, La carga total dentro de
esta superficie es:
Y segn la ley de Gauss
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De donde:
b. Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r < R, La carga total dentro de
esta superficie es:
Representacin grfica
La figura muestra el valor E, en funcin de r para esta distribucin de carga.
Observar que el campo:
1. en el interior crece directamente proporcional a r
2. en el exterior vara de modo inversamente proporcional a r
3. es continuo en r=R.
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2.5. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UNA
CORTEZA ESFRICA DE CARGA
Densidad superficial de carga. Por simetra:
1. E debe ser radial y
2. su magnitud depender slo de la distancia r desde el centro de la
esfera.
a) Puntos exteriores a la corteza.
Tomamos una superficie gaussiana esfrica de radio r > R, el flujo ser
La carga total dentro de esta superficie es:
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- Y segn la ley de Gauss:
- De donde:
- Siendo Q la carga total de la corteza.
b) Puntos interiores a la corteza.
Si escogemos una superficie gaussiana esfrica en el interior de la corteza.
De modo que r < R, el flujo neto no vara, pero la carga total dentro de la
superficie gaussiana es CERO. Por tanto, para r < R, la ley de Gauss nos da:
- Representacin grfica:
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2.6. CAMPO ELCTRICO E EN EL INTERIOR Y EN EL EXTERIOR DE UNA ESFERA
SLIDA UNIFORMEMENTE CARGADA
Densidad de carga uniforme, distribuida por todo el volumen Como en el caso de
la corteza esfrica de carga, el flujo a travs de una superficie gaussiana de radio
r es:
1. Puntos exteriores a la esfera. r > R La carga total dentro de esta superficie
es:
Y segn la ley de Gauss
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- De donde:
- Siendo Q la carga total de la esfera
2. Puntos interiores a la esfera.
Superficie gaussiana r < R, Carga interior:
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- Representacin grfica
3. CONCLUSIONES
a. La LEY DE GAUSS permite calcular de forma simple el campo elctrico
debido a distribuciones de carga con alto grado de simetra
particularmente de distribucin de carga con simetra esfrica, cilndrica o
plana.
b. La ley de Coulomb seala que la fuerza F (newton, N) con que dos cargas elctricas Q y q (culombio, C) se atraen o repelen es proporcional al
producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r (metro, m) que las separa.
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c. Definimos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada
imaginaria que empleamos en la LEY DE GAUSS para calicular el campo
elctrico debido a cierta distribucin de cargas.
d. Para calcular el campo elctricos es necesario seleccionar la superficie
gaussiana, calcular el flujo travs de dicha superficie, calcular la carga
total dentro de dicha superficie.
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e. Ley de COULOMB La existencia de ms de una carga produce en cada punto un conjunto de fuerzas individuales cuya resultante es la suma vectorial.
Cuando esta resultante vale cero el campo elctrico en ese punto tambin
es cero.
4. BIBLIOGRAFIA
a. LEY DE GAUSS - HYPERPHYSICS b. LEY DE GAUSS - UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA c. LEWIS FORD, ROGER A. FREEDMAN LA LEY DE GAUSS d. TEOREMA DE GAUSS - CIE e. SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA PUMACAYO f. SISTEMAS ELCTRICOS DE GRAN POTENCIA J. WEEDY g. SISTEMAS DE POTENCIA GOMEZ EXPOSITO h. LEY DE COULOMB - BALDERAS MORENO OCTAVIO MICHE i. LEY DE COULOMB - ITSON j. LEY DE COULOMB - GONZALO REVELO PABON
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