CHAPITRE 2:LES PREUVESDE TRIANGLES ET LES RELATIONS
MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
“ Les droïtes
• La hauteurd’un triangle est un segmentpartantd’un sommetet
allant rejoindreperpendiculairementle côté opposé.
z2 .“‘
. La medianeestun segmentpartantd un sommetet allant rejoindre
sur le milieu du côtéopposé.
• La médiatriceest une droite passantperpendiculairementpar le
milieu d’un côté.
Q . La bissectriceestun segmentqui partageun angleendeuxparties
isométriques.
V Les anglesC\Io. -Q:u\\)• Les anglessupplémentairesont unesommede 180°. (ex: ) 2
• Les anglescomplémentairesont unesommede 90°.
• Les anglesopposéspar le sommetsonttoujoursisométriques.(ex: 4 ) t2ef
• Les anglesadjacentssontdeuxanglesayantle mêmesommetet unedroitefrontière. Chaqueangleestd’un côtéet de l’autre de la frontière. (ex: le-Z ) 3e1-
2e12• Les anglesalternes-internes,alternes-externeset correspondantsforméspar2 parallèles
et 1 sécantesonttoujoursisométriques.
Anglesalternes-internes:L, O, JL
Anglesalternes-externes:
_________
,
_________
Anglescorrespondants :
________
,
________
oNom: \L SQoflJ\c’
f- RETOURS
%.\6
7
1
.
.V Triangles
. La sommedesanglesintérieursd’un triangleesttoujourségaleà 1800.
2.
. Dansun triangle isocèle,les côtésisométriquessontopposésaux anglesisométriques.
• L’axe de symétried’un triangle isocèleou équilatéralestaussiune médiane,une médiatrice,
unehauteuret unebissectricede ce triangle.
• Dansun triangle rectangle,le côtéopposéà un anglede 30° vaut la moitié de
l’hypoténuse.Inversement,dansun triangle rectangle,l’hypoténusemesure
le doubledu côtéopposéà un anglede 300. 1 0
• Dans un triangle rectangle,le carréde la mesurede l’hypoténuseestégal à
la sommedescarrésdesmesuresdescathètes.(Théorèmede Pythagore.)cx
c2+ccZv1pta
• Les anglesaigusd’un triangle rectanglesontcomplémentaires.cfsj qoC)
• Dansun triangle, le plus grand angleestposéau plus grandcôté et le plus petit angleest
opposéau côté le plus petit.4-
V Le cercle
6
• Tous les diamètreset tous les rayonssontisométriquesdansun mêmecercle.
• La mesuredesrayonsvaut la moitié de la mesuredesdiamètres.
Types Caractéristiques(côtésetangles)
Équilatéral (ÔS1nzï&jJ., -
Équiangle- 3
Isocèle çyçv 2Isoangle i3ng s i\ckLYES-
Scalène Jp\cRectangle E. ‘c’
2
v Les propriétésdesquadrilatères
Parallélogramme Rectangle
• La sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un quadrilatèreest360°.
V Les polygones
• Un polygonerégulierpossèdedesangleset descôtésisométriques.
• Un polygonerégulierestcomposéde trianglesisocèles.
• La sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un polygoneà n côtésest:S (n - 2) x 180°
V Proportionnalité
Si
Alors, a d = b c, car le produit desextrêmeségalele produit desmoyens.
.
.
bcAlors, a = —,
clpermetd’isoler la variableque l’on cherche.C’est le produit croisé.
.
Losange Carré
Deux pairesde côtésopposésparallèles X
Les côtés Deux paires decôtésopposésisométriques ‘S
Quatrecôtésisométriques
Desanglesopposésisométriques XDesangles
Les anglesconsécutifs
supplémentaires
Quatreanglesdroits
Secoupentenleurmilieu Â
Les .
diagonales Isometriques
Perpendiculaires y’Lesaxesdesymétrie y
3
V
r7)
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SODIOJOX3
2- LES TRIANGLES ISOMÉTRIQUES
v’ Définition
Deuxtrianglesisométriquesont leurséléments
______________angles
et côtés)isométriques.
Exemple:
Les triangles ABC et DEF sont isométriques,carhomologuessont ;,
Le symboled’égalité (=) concernedesnombresalorsquesymboled’isométrie() concernedesobjetsgéométriques. I
On a donc: = m ,mais IL I
Remarques:
4 Le symbole« » se lit « est isométriqueà >.
4 Habituellement,on nommedestrianglesisométriquesselonleurssommetshomologues.Donc,si MBC ADEF, on peut affirmer que l’angle A est homologueà l’angle D, que l’angle B esthomologueà l’angle E et que l’angle C esthomologueà l’angle F.
.
I
1 ,7
I fleurs “ et leurs
___________
D3Ï (lii17 cm
A3(2. cm
.
.
C
31 cm
.32 Ciii
Ona LBAC LEDF,LABC LDEFetLBCA zEFD
et AB DE,BC EFetCA FD.
On écrit alors LABC IWEF.
5
V Conditionsminimales
Pourpouvoir affirmer quedeuxtrianglessontisométriques,il n’est pasnécessairede vérifier que
tous leurs côtés homologueset tous leurs angles homologuessont isométriques.Il suffit de
s’assurerque les trianglesrespectentunedestrois conditionsminimalessuivantes.
1) La conditionminimaled’is1bT4P€CC
Deux trianglesaattleurs. ‘ homologues isométriquessont nécessairement
AABC ADEF, car AB DE, EC EF et CA E FD.
A D
2) La conditionminimaled’isométrieCAC
Deuxtrianglesayantun O[) if’ isométriquecomprisentœdeuxcôtés
__________________
isométriquessontnécessaireftent
_____________________.
J
Exemple:
AGHJ AKLM, car Z H Z L, GH k[ et JH &Ï[.
3c:
__
_
Le triangleABC n’est pasisométriqueaii triangleGHJ, carl’angle de490 n’est pascomprisentreles côtésde 3 cm et de 3,5 cm.
.
Exemple:
4 cm
6 cm
L
H
3cm
6
..
0U)D)
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Q)U)‘-G)4-’
U)I.
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Eto4-.
toC.)
(u-J
C’)
o-
Fç)
z
EQ)
c
o
V Mesuresmanquantes. Pourtrouverune mesuremanquante,il faut:
1. Faire la preuvedetriangles isométriquesen énuméranttous lesélémentsisométriquesfaisantpartie de la preuve;
2. Expliquerla condition minimaled’isométrie(CCC, CAC, ACA);
3. Donner la mesuremanquanteen justifiant toutes les étapesà effectuerpourquestion.
répondreà la
Exemple.
Dansle cerclede centreO, AB et CD sont2 cordes.
Prouveque À et CD sont isométriques.
c)V\(NfCI’ CQTçO
CCr’ UScx- 4W
-,ccçcL’S B
A
o
Affirmation Justification
1. 5j 1. Définition d’un rayonde cercle
2. 2. Définition d’un rayonde cercle
3. LAOB LDOC Des anglesopposéspar le sommet sonttoujoursisometnques.
4. Deux trianglesayantun angle isométriquecomprisentredeux
4. LOBA OCD côtés homologues isométriques sont nécessairementisométriques.
5 — 5. Dansdeux trianglesisométriques,les côtéshomologuessont. AR = CD toujours isométriques.
8
jçla mesuredu segmentBC si AE//CD
CC’c’c\OSiCX:
‘-e CQ. qL Qçc”\
Exercices: tC Çti.tL
1. Voici 2 triangles.Trouve
et que AE.’
2u\Jer \e 2 t dci.cS ICL sck,crC \ c2 t CCY CCçf( \Ck
NAffirmation Justification
1. L 1• circs reçtE Lc *S
2. 2. oççcU ÇYttçe (4
3. L 3. uy QQQeSe* çeS bYySts Lc
4. ÔLUX -aSWCkÏ”t LO (VIf CCJ’flP,
eçr{ deux øt’&PZ ipi5 Si1tYYL!S SCt VW5. — 5. cOScu tce’5 TC(LS. (es\ t7 Y5cy C2SC CxuS Cr1 1ovMS îscrrtnqeS(OçU9(
2. Dansle triangle suivant,le segmentPSestla bissectricede l’angle P. Elle estaussiperpendiculaireau côtéQR. Prouveque le triangle PQRestisocèle.
_________
C’:: .::; i
Q
R
.
es
Tu
.
.
Affirmation { Justification
1. I__b1 1. Ue SSCCflCf EQ’( E Ufl
‘
2. 2.
j C crrL LV( c{Lux +nCk%1
Lc L3P cbj pddjçne(vsj
4. CAÔfS L 3crr-qULPS coçsr-€ d’ ‘T 3S C)J€S
‘I— iVSSQ!(JÏ\it t3CtTCJ1, 5. - 5. c\’euaSSCçt’hC\Ut
cÀES cwo\c)ue3Scwî Cf1queS
6. 6. tsccXaa dLux (2s-) o e tsoùqs (
9
3- LES TRIANGLES SEMBLABLES.v Défïnition
Deux trianglessontsemblablessi leurs homologuessont O Lfl?S et siles mesuresde leurscôtéshomologuessont h o(’:ç\?S..
Le coefficientde proportionnalitécorrespondalorsau rapportdesimilitude (k) desdeuxtriangles.
Exemple:
Les trianglesABC et DEF sontsemblables,car leurs angleshomologuessont isométriquesetles mesuresde leurs côtéshomologuessontproportionnelles.
12,2cm
61 cm
Ona LBACLEDF,LABCLDEF et LBCA.LEFD
mAB mBC mCAet — = = = 2
mDE mEF mFD
On écrit alors LABC IWEF.
Remarques:
3’ Le symbole« » se lit « estsemblableà ».
3 Habituellement,on nommedestrianglessemblablesselonleurssommetshomologues.
Donc, si AABC ADEF, on peutaffirmer que l’angle A esthomologueà l’angle D, que
l’angle B esthomologueà l’angle E et que l’angle C esthomologueà l’angle F.
10
v Conditionsminimalesdesimilitude.
Pouraffirmer quedeuxtrianglessontsemblables,il suffit de s’assurerque les trianglesrespectentune destrois conditionsminimalessuivantes.
1) La conditionminimaledesimilitude Cp-Cp-Cp(PPP)
Deux trianglesdont toutesles mesuresdescôtés sontproportionnellessontnecessairement û
Exemple:
ou
m DE m EF m FD=
mAB mBC mCA
2) La conditionminimaledesjjlitudeCp-A-Cp (PAP)
Deux trianglesayantun angle
_______________
comprisentredescôtéshomologuesdont lesmesuressont ‘ ()y +(T’’4Ç sontnécessairementsemblables.
Exemple.•
GH] zKLM, car Z H L L et m KL m ML 2.mGH mJH
J
G 3 cm
H
.
.
.
AABC zDEF, carA 3,1 cm
m m m = I cmmDEmEF mb3 C
9,3
Dcm
L’inverse multiplicatifdu rapportde
similitude (.f’ estlk)
aussiun rapportdesimilitude.
L7cm
f,5 cm
CLe triangleABC n’est passemblableau triangleGHJ,car l’angle de 400 n’estpascomprisentre lescôtésde3 cm et de 3,5 cm.
li
3) La conditionminimalede similitudeAA
Deux trianglesayantdeux homologuesisométriquessont t.semblables.
V Mesuresmanquantes
// \6cm/’D ‘N F
.4 3cm \
2cnj/
t: €s set-w
___-
- -
i Ç Qflt ., p A C
Pourtrouverunemesuremanquante,il faut:
1. Faire la preuve de triangles semblablesen énuméranttous les angles homologues
isométriqueset les proportionsdemesuredescôtéshomologuesfaisantpartiede la preuve;
2. Expliquerla condition minimalede similitude (PPP,PAP, AA);
3. Donnerla mesuremanquanteen justifiant toutesles étapesà effectuerpour répondreà la
question.
ExempleANPR-ASTU,carZN LSet LP LI.
N
T
u
Exercice:
Prouvequetoutedroite sécanteà 2 côtésd’un triangleet parallèle
au troisièmecôtéforme destrianglessemblables.La droite sécanteest la droite DE. N\.1 ÇxJ\’S&: I/
Affirmation [ Justification
1.Savçc y( X
2. 2. acos x(eSpondcir’1SoS
L2 p3CC..QUX coîeSparaHsftr e fc-)SC)Ç’Çk *Y1) S îSCNfrCi s
3.. 3. Jij ctetc&osç
WcMqes&.{nf ‘b\abts.
les
12
A B
Exercices
1. Trouve la mesuredeÀsi D! mesure9 cm.‘CN\W
t— - — —
Y_
e
3cm 2cm
AffirmationCCxc\ t
.
6cm
L
Justificationn
1. — 1. ckcu ccscppos±spt le crr’rd- SCÇ* CYq)ôlX5 5ffi-iïq U’ S
2.
C-’)
.1
3..‘ 3. te(]t\) CE cc5ççcLuY cis crI&US c+
4 —
Sc(t pr 11cnr,iIscrtsIren. 4. cs— - —
tr’Et ScLS)IS rr c\ecIscrrl fovj Uu prapff
/1
2. Trouve la mesurede l’angle F, si l’angle A mesure32°.Le triangleABC estun triangle rectangle.
\NM P”LA:: 32e.
cc\u5c ‘Cr LE
rivei les
6cmN
E
7,8 cm
D
\cm*
Affirmation Justification
1. Q 1. uc’. -bïar’91e çecIard peuohhçekct1cç c’Q, cc’- j pZ
P\/4’lagCW.
3. 3. CQU tyi a e5 dcr- bL Svresu.tac escÂs C3LS prc4cN-’r
OSSitterMv-1 rbCteS4. 4. L soçc’S CSU€S de& orjles
ro,r4OE!5. c’o’ç u1ïC49hSS Ok?fr’S,
L—r- r( B—guessct -nqtes
L13(c
IO
s5
‘s
nL1\CPtgO-L&- L€,c1v— zqo58° 13
Remarques:
‘+ Dessécantescoupéespardesdroitesparallèlessontpartagéesen
segmentsde longueursproportionnelles.C’est ce qu’on appellele
THÉORÈME DE THALÈS. Dansl’exempleci-contre, les segmentsDR,
ES et FT sontparallèles,alors;
mEF_mSTetmEF.mST
mDE mRS mDF mRT
Une droite parallèle à celle qui supporte le côté d’un triangle
déterminedestrianglessemblabJes. f,
/7
SiGH//BC,aIorsAAGH — AABC. /‘/1
/
1
Affirmation / [ Justification
1. 1’.1f
/
:
.
/7/
A
g
H C
Exercice:
Voici le plan d’un quartier. Les rues sont toutesparallèlesentreelles. Déterminela longueurdes3
sectionsdu boulevardÀ77. /
// 2
///1
400m
A —
G)z
G)0) 2 0
2 oc)e
80m 100m 140mE F G H
t14
4- LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
Dansun triangle er\Cki , la hauteurrelative à l’hypoténusedéterminedeuxautrestrianglesrectangles, :‘ç.— \‘riù( au premier.
DhA
Parla condition minimalede similitude AA:
• zABC tCBD puisquecesdeuxtrianglesont un angledroit et qu’ilsont l’angle B en commun;• t.ABC AACD puisquecesdeuxtrianglesont un angledroit et qu’ilsont l’angle A en commun.
Parla transitivité de la relationde similitude, ZCBD AACD.
v Théorèmede la hauteurrelativeà l’hypoténuse
Dans un triangle rectangle, la mesurede la hauteur relative à l’hypoténuse est moyenneproportionnelleentreles mesuresdesdeuxsegmentsqu’elle déterminesur l’hypoténuse.
CC
.
.
HauteurrelativeL’hypoténuse C
b
La relation desimHitudeesttransitive,c’est-à-direquesi tSABC —DEFet DEF — 1GHJ,alorstÂBC - iGHJ.
Exemple.
\Q CL
dia ‘f:
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o-ø c’i
JUSTIFICATIONSLES PLUS UTILISÉES POUR JUSTIFIER LES ÉTAPES b’UNE PREUVE bE TRIANGLES
O ISOMETRIQUES
POURLES CÔTÉS
Mêmesegment
Propriétésdu carré
________________________
Propriétésdu rectangle L Pourtestriangtes:Propriétésdu parallélogramme
Côtéshomologuesdansdeuxtrianglesisométriques
Donnéesdu problème
Pythagore(dansun triangle rectangle)c-c-c
POUR LES ANGLES
Propriétésdu carré
Propriétésdu rectangle
Anglesopposéspar le sommet(forméspar un ou dessegmentsdansle prolongementd’un autre)
Anglesalternes-internesforméspardesdroitesparallèles
Anglesalternes-externesforméspardesdroitesparallèles
Anglescorrespondantsforméspardesdroitesparallèles
Angleshomologuesdansdeuxtrianglesisométriques
Donnéesdu problème
Sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un triangleégale1800
JUSTIFICATIONS LES PLUS UTILISÉES POUR JUSTIFIER LES ÉTAPES baUNE PREUVE bE TRIANGLES
SEMBLABLES
POURLES CÔTÉS
Segmentsproportionnels £ Four[estriang(es:
Côtéshomologuesdansdeuxtrianglessemblables
Pythagore(dansun triangle rectangle)
POURLES ANGLES
Propriétésdu carré
Propriétésdu rectangle
Anglesopposéspar le sommet(forméspar un ou dessegmentsdansle prolongementd’un autre)
Anglesalternes-internesforméspar desdroitesparallèles
Anglesalternes-externesforméspardesdroitesparallèles
Anglescorrespondantsforméspardesdroitesparallèles
Angleshomologuesdansdeuxtrianglessemblables
Donnéesdu problème
Sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un triangleégale180°
.
.
.
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