Le succes paradoxal duModus Ponens Generalise de Mamdani

Rapport de stage de M1

Benjamin Moubeche<benjamin.moubeche@ens-cachan.fr>

Sous la direction de Marcin Detyniecki<marcin.detyniecki@lip6.fr>

Stage realise du 01 Fevrier au 31 Juillet 2011Au Laboratoire d’Informatique de Paris 6

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Table des matieres

0 Resume 6

1 Introduction 7

2 La Logique Floue 82.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Ensembles flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Operateurs flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Le Modus Ponens Generalise (MPG) et controleur de Mamdani 113.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Controleur de Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Gestion des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Succes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 MPG avec applicabilite de la regle 154.1 Comparaison avec le MPG de Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Nouveaux operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Conclusion 19

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3

Merci a Bernadette Bouchon-Meunier, directrice du Departement DAPA, et a l’equipe LOFTIpour son acceuil et son suivi apportes a ce stage. Merci a Marcin Detyniecki pour son attentionet pour m’avoir propose ce stage.

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Chapitre 0

Resume

Durant 6 mois (de Fevrier a Juillet), j’ai ete accueilli au sein de l’equipe LOFTI (LogiqueFloue et Traitement de l’Information) au LIP6 (Laboratoire d’Informatique de Paris 6). J’ai ainsipu assister aux groupes de travail mensuels, permettant de connaitre l’avancement de chacunsur son projet personnel, ce qui m’a permis de decouvrir de nombreuses applications et sujetsde recherche actuels sur le domaine etudie. J’ai aussi pu participer a l’organisation par le labora-toire de la conference internationale IEEE-SSCI2011 a Paris regroupant nombre de chercheursen matiere d’intelligence artificielle et donc decouvrir la gestion d’un evenement d’une telleampleur tout en rencontrant ces chercheurs.

Mon travail personnel s’est porte sur l’etude du Modus Ponens Generalise de Mamdani.La logique floue permet de traiter les imprecisions et incertitudes liees a l’aspect humain desdonnees, en attribuant des valeures de verites non pas booleennes mais continues entre 0 et 1.On traite alors avec des ensembles flous. On peut etendre le concept logique du Modus Ponens( A ∧ (A ⇒ B) → B ) au Modus Ponens Generalise en utilisant l’implication pour un en-semble de depart A′ proche de A pour en deduire quand meme une information B′. C’est laformulation de Mamdani de ce concept que j’ai etudiee durant mon stage. Cette formulation estla plus utilisee dans le domaine de la logique floue appliquee, et utilise pourtant des operateursqui ne verifient pas certaines proprietes demandees (l’implication mathematique utilisee n’enest pas une). Pourtant, cette methode est communement admise. L’etude poussee de cette for-mulation nous a permis de comprendre son fonctionnement et de proposer une autre methode,utilisant cette fois une vraie implication et presentant exactement les memes resultats que cellede Mamdani. Par ailleurs, nous pouvons aussi proposer de nouvelles fomulations ouvrants surdes resultats differents et interessants a etudier a l’avenir.

Durant ce stage, j’ai donc etudie en profondeur une methode de logique floue communementutilisee pour en comprendre le fonctionnement et essayer de l’approcher par d’autres methodes.Finalement, la methode proposee dans ce rapport, le Modus Ponens Generalisee avec appli-cabilite de la regle par conjonction entre la premisse et l’observation, presente pour certainsoperateurs exactement les memes resultats que la methode de Mamdani, ce qui nous permetd’expliquer le succes de cette methode. Le Modus Ponens Generalise de Mamdani coincide enfait exactement avec un Modus Ponens Generalise prenant en compte l’applicabilite de la regleet utilisant, lui, une vraie implication.Par ailleurs, pour d’autres operateurs, la formulation proposee dans ce rapport ouvre sur de nou-velles formulations et de nouveaux resultats, qui feront sans doute l’objet d’une etude ulterieure.

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Chapitre 1

Introduction

La Laboratoire d’Informatique de Paris 6 (LIP6) est un des plus importants laboratoires derecherche en informatique en France. Plus de 400 chercheurs et doctorants sont regroupes dansles divers Departements qui recouvrent le domaine de l’informatique. Au sein du DepartementDAPA (Donnees et Apprentissage Artificiel), l’equipe MALIRE (Machine Learning and Infor-mation Retrieval) travaille avec certains de ses membres sur la logique floue. Plusieurs projets,aussi bien appliques (comme la detection de buzz par exemple) que theoriques (comme le su-jet de ce stage), y sont realises. Marcin Detyniecki m’a propose d’etudier les mecanismes duModus Ponens flou, et plus particulierement la methode la plus utilisee pour le transcrire pro-posee par Mamdani en 1974.

Le controle par logique floue a connu un grand succes des sa decouverte dans la deuxiememoitie du XX˚siecle. De nombreuses technologies sont maintenant asservies par logique floue,allant de gros projets comme le metro de Sendaı [9], a des outils de la vie courante, comme desmachines a laver [1].Le controle se base sur des regles d’inferences pour tirer, des informations observees, desdecisions de regulation. Le raisonnement utilise le principe du Modus Ponens pour traiter cesobservations. Plusieurs versions existent, la plus populaire dans ce domaine etant celle proposeepar Mamdani en 1975 [5, 10]. Etrangement, le Modus Ponens de Mamdani permet de conclure apartir d’hypotheses et d’implications en utilisant une pseudo-implication, dont il est bien connuqu’elle ne repond pas aux criteres des implications “classiques”.Ce rapport a pour objectif d’expliquer le succes du Modus Ponens de Mamdani malgre cetteimplication, en l’approchant d’une methode originale utilisant de vraies implications. Nouscommencerons pour cela, apres avoir presente succintement la logique floue au chapitre 2, paretudier en section 3.3 la version de Mamdani, en localisant l’origine de ses particularites. Puisau chapitre 4 nous proposerons un Modus Ponens Generalise (MPG) integrant l’applicabilite dela regle, qui expliquera le cas de Mamdani et ouvrira en section 4.3 de nouvelles formulations.

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Chapitre 2

La Logique Floue

2.1 PresentationLa logique floue a ete elaboree en 1960 par Zadeh. Tres vite, une emulation s’est creee et

nombre de chercheurs se sont penches sur le sujet. Cette forme de logique prend en compteles incertitudes qui ponderent les prises de donnees, concepts et perceptions humains etc. Parexemple, il est assez delicat de fixer une limite d’age en deca de laquelle nous serions jeunes etau dessus de laquelle nous serions vieux. Ce changement s’effectue plutot de maniere continueet lisse. C’est entre autre pour traduire ces notions graduelles que la logique floue se demarquede la logique classique.Au lieu de donner a un point precis x de l’univers du discours U une valeur de verite dansl’ensemble {0, 1}, on lui en attribue une dans le segment [0, 1]. Mais la logique floue se demarquedes probabilites. Bien que proches, elles ne signifient pas la meme chose. Une eau, potablea 0, 9, “signifierait” en proba qu’une personne sur 10 la buvant sera intoxiquee, alors qu’enlogique floue, les 10 se porteront bien puisque l’eau ne contient que 10% d’impurete.

La logique floue est par exemple prisee en intelligence artificielle pour faire comprendre ades machines des commandes telles que “un peu” , “fortement” , etc.

2.2 Ensembles flousDans la suite de ce rapport, tout comme dans le language courant dans le domaine, un

amalgamme est fait entre des donnees floues et l’ensemble qui les represente. En effet, il estpossible d’amenager la theorie des ensembles pour parler d’ensembles flous et representer ainsiles donnees.Si l’on considere l’exemple de la vieillesse ; on souhaite determiner les ages ou l’on est con-sidere vieux. Un age sera note x, pour x ∈ [0, 135] = U (dans cet exemple). A chaque valeureon va attribuer une valeure de verite. Ainsi, on peut construire une fonction f : U → [0, 1]telle que f(x) represente le degre de verite. L’ensemble “vieux” note A sera alors l’ensemble{(x, f(x))|x ∈ U}.

On definit l’ensemble vide par ∀x ∈ U f∅(x) = 0 et le plus grand ensemble par∀x ∈ U f1U (x) = 1.

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Pour un ensemble flou A, on definit aussi les notions suivantes

Le support supp(A) = {x ∈ U |fA(x) > 0}La hauteur h(A) = supx∈UfA(x)Le noyau kern(A) = {x ∈ U |fA(x) = 1}

Les relations ensemblistes se traduisent assez simplement.A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ U fA(x) ≤ fB(x). Ainsi, A = B ⇔ ∀x ∈ UfA(x) = fB(x).

Dans la suite du rapport, tout comme dans le langage courant dans la discipline, on confon-dra l’ensemble flou avec les donnees. Par ailleurs, les etudes sont portees par commodite surdes ensembles en forme de trapezes qui regroupent tous les cas de figure (par combinaison etdensite).

2.3 Operateurs flousLes operateurs logiques s’identifient facilement aux operations ensemblistes, ce qui permet

une fois de plus de confondre les deux notions. En effet, le “et” logique correspond a l’in-tersection des ensembles, le “ou” a l’union et le “non” a la complementation. Ainsi, definir cesoperations sur les ensembles flous permet de definir entierement la logique floue (car le systemeet-ou-non est universel).

Plusieurs possibilites se presentent alors pour le choix de ces operateurs.La completion ne pose pas de probleme majeur. On definit ∀x ∈ U fA(x) = 1− fA(x).Pour definir l’intersection de deux ensembles A et B, on utilise une t-norme ; et une t-conormepour l’union.Definition : t-norme (norme triangulaire)Une t-norme est une application T : [0, 1]x[0, 1] 7→ [0, 1] verifianti) T (x, y) = T (y, x) (commutativite)ii) T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z) (associativite)iii) T (x, y) ≤ T (z, t) si x ≤ z et y ≤ t (monotonie)iv) T (x, 1) = x (1 est element neutre)Definition : t-conorme (conorme triangulaire)Une t-conorme est une application ⊥ : [0, 1]x[0, 1] 7→ [0, 1] verifianti) ⊥(x, y) = ⊥(y, x) (commutativite)ii) ⊥(x,⊥(y, z)) = ⊥(⊥(x, y), z) (associativite)iii) ⊥(x, y) ≤ ⊥(z, t) si x ≤ z et y ≤ t (monotonie)iv) ⊥(x, 0) = x (0 est element neutre)

Les principaux operateurs utilises sont repertories dans le tableau 2.1.

Tableau 2.1: Principaux operateurs flous

t-norme t-conormeZadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)

Probabiliste T (a, b) = ab ⊥(a, b) = a+ b− abLukasiewicz T (a, b) = max(a+ b−A, 0) ⊥(a, b) = min(1, a+ b)

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Remarques :i) Les operateurs de Mamdani permettent une interpretation graphique intuitive des relationsensemblistes.ii) Quelque soit le choix des operateurs, on perd certaines propietes de la theorie des ensembles.Par exemple, ici A ∩ A 6= ∅ et A ∪ A 6= 1U .

Figure 2.1: Interpretation graphique des operateurs de Zadeh

Figure 2.2: Illustration de proprietes de la theorie classique des ensembles pour les operateursde Zadeh

2.4 ImplicationEn logique classique, l’implication est definie par le systeme et-ou-non. A ⇒ B ←→

¬A∨B. Ainsi, de meme que l’on doit choisir un operateur pour l’union des ensembles, plusieursimplications existent. Les implications etudiees durant ce stage sont repertoriees dans le tableau2.2.

Tableau 2.2: Implications etudiees durant ce stage

Lukasiewicz L(x, y) = min(1− x+ y, 1)

Kleene-Dienes KD(x, y) = max(1− x, y)

Bouwer-Godel BG(x, y) = 1 si x ≤ y, y sinon

Reicher-Gaines RG(x, y) = 1 si x ≤ y, 0 sinon

Wilmott W (x, y) = max(1− x,min(x, y))

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Chapitre 3

Le Modus Ponens Generalise (MPG) etcontroleur de Mamdani

3.1 NotationsLe Modus Ponens classique est tres proche du syllogisme. Cette forme de raisonnement

permet de tirer des conclusions a partir de regles pre-etablies. Ainsi, a partir d’une implicationA ⇒ B (“Si le feu est rouge, alors je m’arrete”) et de la donnee de la premisse A (“le feu estrouge”), on peut deduire la proposition impliquee B (“je m’arrete”).

A ∧ (A⇒ B)→ B (3.1)

Dans le cadre general, les observations sont plus ou moins vraies, selon la certitude que l’onpeut accorder a une observation. Il est donc important de pouvoir utiliser l’implication pourune donnee “alteree”. Le raisonnement approximatif introduit par Zadeh [11] assouplit l’impli-cation, en l’utilisant pour une donnee qui n’est pas necessairement exactement A. Le ModusPonens Generalise permet d’exploiter l’implication proposee pour une premisse proche de A,notee A′, pour inferer une autre conclusion B′.Ainsi, Zadeh propose d’etendre le Modus Ponens a des observations quelconques.La fonction d’appartenance de l’ensemble B′ se calcule a l’aide de la formule :

fB′(y) = supx∈X

T (fA′(x), fR(x, y)) (3.2)

ou T represente une t-norme et fR une implication.En sachant que les T-normes sont utilisees comme operateurs de conjonction, cette equationpeut etre vue comme une extension a des ensembles flous de la formulation tautologique suiv-ante :

A′ ∧ (A⇒ B)→ B′ (3.3)

Le “sup” correspond a la disjonction de toutes les possibilites, puisque nous raisonnons sur desensembles.On retrouve alors la formulation (3.1) en remplacant A par A′. L’ensemble obtenu n’est plus B,mais B′ qui va aussi etre proche de B.

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3.2 Controleur de MamdaniPropose par Mamdani en 1974, pour controler la vitesse d’un moteur [6], le controleur de

Mamdani se base sur un Modus Ponens. Il est en particulier utilise dans le domaine de la com-mande. La premiere etape, appelee fuzzyfication [10], consiste a recuperer les donnees d’ob-servations et a les traduire en ensembles flous. Ces observations vont ensuite etre confronteesau jeu de regles qui regit le controleur. C’est durant cette phase dite d’inference que le MPG deMamdani est mis en oeuvre. On obtient ainsi des conclusions propres a chaque implication, quel’on agrege disjonctivement. L’ensemble final est ensuite traduit en une valeur reelle, qui seracelle du centre de gravite de cet ensemble. Cette derniere etape s’appelle la defuzzyfication.Ce type de controleur est tres apprecie et souvent employe lors de la conception de systemesregules [2].Lors de l’inference, le Modus Ponens utilise calcule l’ensemble B′ de la maniere suivante :

fB′(y) = supx∈X

.min(fA′(x),min(fA(x), fB(y))) (3.4)

On remarque que cette formule correspond au cas general (3.2) en choisissant le “min” commet-norme et implication. Pourtant il est bien connu que le “min”, appele “implication de Mam-dani” par commodite, n’est pas une implication.Plusieurs difference sont notables. En particulier, dans le cas classique (non flou), lorsque lapremisse est fausse, cette “implication” agit differemment ; le resultat sera FAUX, alors qu’uneimplication donne VRAI, comme presente sur la Figure 3.1.

(a) Lukasiewicz (b) Kleene-Dienes (c) Wilmott

(d) Bouwer-Godel (e) Mamdani

Figure 3.1: Implications usuelles

En logique floue, c’est principalement la zone ou la deuxieme variable est superieure a lapremiere (zone grisee sur la Figure 3.1) qui va differer. Au lieu de donner une valeure fortea l’implication, le resultat sera faible (ou nul). Ces differences vont avoir un fort impact dans lecomportement du MPG de Mamdani par rapport aux autres, en particulier quand l’observationA’ est tres differente (voir disjointe) de A.

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3.3 Gestion des incertitudesEn fonction de la combinaison t-norme/implication choisie dans (3.2), les incertitudes ne

vont pas etre gerees de la meme maniere [3]. Mais toutes les combinaisons ne sont pas possi-bles. Plusieurs contraintes peuvent etre imposees pour le choix des operateurs. Classiquement,on demande seulement la compatibilite, c’est-a-dire que l’on impose de retrouver B lorsqueA = A′. Les principales combinaisons possibles sous cette contrainte sont repertoriees dans letableau 3.1.

Tableau 3.1: Operateurs courants compatibles pour le MPG

t-norme implications compatiblesLukasiewicz

Lukasiewicz Kleene-DienesT (u, v) = max(u + v − 1, 0) Wilmott

Bouwer-GodelReicher-Gaines

Zadeh Bouwer-GodelT (u, v) = min(u, v) Reicher-Gaines

La plupart des combinaisons compatibles vont placer un palier d’incertitude E en dehors del’ensemble (Figure 3.2(a)), si bien que dans le cas limite ou les deux ensembles A et A′ sontdisjoints, tout l’univers de la conclusion aura un degre d’appartenance valant 1. A l’inverse, leMPG de Mamdani, comme defini en section 3.2, prend en compte l’incertitude en diminuant lavaleur maximale de l’ensemble (Figure 3.2(c)), si bien que dans le cas limite, on aura cette foisune valeur 0 pour tout l’ensemble d’arrivee.

(a) Lukasiewicz comme t-norme etimplication

(b) Lukasiewicz comme t-norme,Kleene-Dienes comme implication

(c) MPG de Mamdani

Figure 3.2: Gestion des incertitudes.

Ces paliers d’incertitudes proviennent de l’implication dans le “sup”.En effet, nous avons vu precedemment que lorsque le degre de verite de A′ est plus grand quecelui de A, le “min” n’agit pas comme les autres implications. Les vraies implications donnentune valeur elevee qui va etre recuperee par le “sup” provoquant le palier, alors que le “min” va“ecraser” les ensembles avec des valeurs plus petites.

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3.4 SuccesLes differences fondamentales, decrites precedemment, peuvent avoir des consequences qui

vont au-dela des interpretations donnees a ces comportements. Dans le domaine du controleet du raisonnement decisionnel, le cas disjoint peut poser probleme avec un MPG non Mam-dani ; d’une part pour la defuzzyfication, d’autre part pour la combinaison des conclusions deplusieurs regles. Si les ensembles A et A′ ont des supports disjoints, le resultat ne va dependreque de l’univers de la conclusion.En ce qui concerne la defuzzyfication, la valeur obtenue peut n’avoir aucun sens. En effet, sil’ensemble de conclusion depend de l’univers sur lequel est defini, ou varie, la conclusion, alorsla defuzzyfication se verra fortement influencee, et ceci aussi bien dans des cas extremes, ou Aet A′ sont disjoints, que dans des cas plus generaux.Par exemple, si l’on souhaite recuperer la valeur d’un angle, si la mesure est en desaccord avecl’hypothese, tout l’univers (de 0 a 360˚) aura un degre 1 (toujours avec un MPG non Mamdani).On obtiendra alors 180˚ apres defuzzyfication, quelque soit la regle.Dans des cas moins extremes, un univers borne influencera aussi la defuzzyfication, sauf sil’on choisit de defuzzyfier en prenant le mode [8] (c’est-a-dire qu’on recupere l’abscisse de lavaleure maximale), qui est independant de l’univers, mais on reduit alors un ensemble flou a sesseules parties certaines.En ce qui concerne l’agregation de regles d’inference [10], il suffit qu’une seule ne soit pasverifiee pour que la conclusion obtenue par MPG non Mamdani domine toutes les autres dis-jonctivement, comme illustre en Figure 3.3. Par exemple, si l’on considere un jeu de plusieursregles, on realise l’union des conclusions jusqu’a arriver a une regle non verifiee qui va alorsmasquer toutes les autres. On perd donc les informations sur les regles precedemment ob-servees.

Figure 3.3: En fonce, la conclusion B′1 obtenue par l’union de deux regles. En clair, uneconclusion B′2 qui va dominer les autres.

Pour eviter ce probleme, un certain nombre d’auteurs suggerent une interpretation conjonctivede l’ensemble de regles [4]. Malheureusement cette methode reduit l’espace de solution tresvite ; ainsi deux conclusions correctement deduites mais disjointes conduiront a une conclusionnulle. Pour cette raison, Moser et al. [7] proposent de ne conditionner l’activation de la reglequ’au cas disjoint. Encore une fois, ceci permet de resoudre le cas complement disjoint, maispas le cas “presque disjoint”.Avec le MPG de Mamdani, ces problemes sont evites, puisqu’il devient impossible de defuzzyfierun ensemble vide (par n’importe quelle methode) et l’agregation disjonctive des regles, clas-siquement utilisee en programmation logique, va simplement ignorer les conclusions pour lesquellesle Modus Ponens n’aurait de toute facon pas du s’appliquer.Ainsi, le MPG de Mamdani presente certains avantages qui viennent de l’utilisation du “min” commeimplication, meme s’il n’en est pas une.

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Chapitre 4

MPG avec applicabilite de la regle

Dans le cas classique, lorsque l’observation ne correspond pas a la premisse, le ModusPonens ne s’applique pas. Analogiquement, lorsque les ensembles A et A′ sont disjoints, leMPG ne devrait pas s’appliquer. Dans cet esprit, nous proposons une nouvelle formulation duModus Ponens Generalise, avec applicabilite de la regle, dans le cadre suivant :

(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′ (4.1)

Cette formulation est compatible avec le Modus Ponens classique, puisque l’on retrouve (3.1)lorsque A = A′.Nous etendons cette formulation au cas des ensembles par une interpretation disjonctive de ceselements, ce qui donne une formulation mathematique, basee sur le “sup”, proche de la formule(3.2).

fB′(y) = supx∈X

T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x, y)) (4.2)

Techniquement, on mesure l’applicabilite de la regle avec une conjonction de l’observation A′

avec la premisse A : ici le minimum.

4.1 Comparaison avec le MPG de MamdaniLe MPG avec applicabilite de la regle, comme defini en section 4, offre le choix d’un cer-

tain nombre de combinaisons d’operateurs T et fR. Nous avons montre, dans un processus dedemonstration semi-automatique, que les combinaisons repertoriees dans le tableau 4.1 donnentexactement les memes resultats que le MPG de Mamdani.La methode de verification a consiste a fixer un ensemble de premisses A, puis a faire balayer

a l’ensemble d’observation A′, la totalite de l’univers d’etude, en comparant a chaque fois leresultat des formulations du tableau 4.1 avec celui du MPG de Mamdani ; ce qui revient a faireune demonstration manuelle avec disjonction des cas, pour deux trapezes A et A′

Ainsi, nous avons montre que le Modus Ponens Generalise de Mamdani, avec une implica-tion qui n’en est pas une, n’est autre qu’un certain nombre de modelisations du Modus PonensGeneralise avec controle de l’applicabilite par conjonction observation-premisse, utilisant, lui,une vraie implication.

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Tableau 4.1: Combinaisons d’operateurs usuels, pour lesquels, le MPG avec applicabilite estequivalent au MPG de Mamdani.

t-norme implications

LukasiewiczLukasiewicz Bouwer-Godel

Reicher-Gaines

Zadeh Bouwer-GodelReicher-Gaines

4.2 ProprietesPour une t-norme T et une implication fR quelconques, la formulation proposee (4.2)

presente plusieurs proprietes notables :

– Propriete 1 : A ∩ A′ = ∅Si A et A′ sont disjoints, alors B′ = ∅Preuve :Comme A et A′ sont disjoints,

∀x min(fA(x), fA′(x)) = 0

Puis,∀y fB′(y) = sup

x∈XT (0, fR(x, y)) = 0

– Propriete 2 : A′ ⊂ ASi A′ est inclus dans A, alors le MPG et le MPG avec applicabilite sont equivalents.Preuve :Par hypothese min(fA(x), fA′(x)) = fA′(x)Que l’on introduit dans (4.2)

fB′(y) = supx∈X T (fA′(x), fR(x, y))

On retrouve (3.2)

– Propriete 3 : A′ ⊃ ASi A′ contient A et T et fR sont compatibles pour le MPG, alors B′ = BPreuve :Par hypothese min(fA(x), fA′(x)) = fA(x)Que l’on introduit dans (4.2)

fB′(y) = supx∈X T (fA(x), fR(x, y))

On retrouve (3.2) pour A′ = A, donc B′ = B, car T et fR sont compatibles pour le MPG.

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– Propriete 4 : A′ = ASi A′ = A et T et fR sont compatibles pour le MPG, alors B′ = BPreuve :Par hypothese min(fA(x), fA′(x)) = fA(x) et on se retrouve dans le cas precedent.Donc B′ = B.

– Corrolaire : Si T et fR sont compatibles pour le MPG, alors ils sont compatibles pour leMPG avec applicabilite de la regle. La reciproque est immediate.Ainsi, les operateurs compatibles pour le MPG avec applicabilite de la regle sont exacte-ment ceux compatibles pour le MPG (tableau 3.1).

4.3 Nouveaux operateursIl est communement admis [3] que la seule propriete necessaire et indispensable pour de-

clarer une formulation du MPG comme viable est la comptabilite avec le Modus Ponens clas-sique. Nous introduisons ainsi plusieurs nouvelles formulations qui meritent d’etre etudiees,puisqu’elles proposent des variantes de la methode d’inference la plus populaire dans le mondedes applications (le MPG de Mamdani), tout en gardant les avantages specifiques. Par exemple,si l’on choisit Lukasiewicz comme t-norme et Kleene-Dienes comme implication, on obtient laformule suivante :

fB′(y) = supx∈X

max(min(fA(x), fA′(x)) +max(1− fA(x), fB(y))− 1, 0) (4.3)

Cette forme du MPG verifie les proprietes de la section 4.2, et comme l’illustre la Figure 4.1,elle permet de trouver un ensemble B′ plus precis que B.

Figure 4.1: Resultat du MPG avec applicabilite de la regle pour la t-norme de Lukasiewicz etl’implication de Kleene-Dienes.

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Si l’on choisit l’implication de Wilmott, avec la t-norme de Lukasiewicz, on obtient la for-mulation suivante :

fB′(y) = supx∈X

max(min(fA(x), fA′(x)) +max(1− fA(x),min(fA(x), fB(y)))− 1, 0) (4.4)

Cette forme du MPG verifie aussi les proprietes de la section 4.2, et comme l’illustre la Fi-gure 4.2, elle permet de trouver un ensemble B′ plus precis que B, mais avec, cette fois, uneincertitude plus grande.

Figure 4.2: Resultat du MPG avec applicabilite de la regle pour la t-norme de Lukasiewicz etl’implication de Wimott.

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Chapitre 5

Conclusion

Le Modus Ponens Generalise de Mamdani connaıt un succes ineluctable, notamment danscertains domaines tels que le raisonnement decisionnel et le controle. Pourtant, il est bien connuque celui-ci utilise une implication qui n’en est pas une. Notre etude a mis en evidence que ladifference fondamentale entre les MPG classiques et le cas Mamdani vient du cas des elementspour lesquels l’observation et la premisse sont disjointes.Nous proposons donc un MPG avec controle de l’applicabilite grace a une conjonction en-tre l’observation et la premisse. Ainsi, nous avons montre que le Modus Ponens Generalisede Mamdani, avec une implication qui n’en est pas une, n’est autre qu’un certain nombre demodelisations du Modus Ponens Generalise avec controle de l’applicabilite par conjonctionobservation-premisse, utilisant, lui, une vraie implication.Par ailleurs, cette nouvelle formulation ouvre la voie a de nouvelles methodes d’inference quiont les memes avantages que celle de Mamdani. A l’avenir, nous etudierons plus en detail cesvariantes.

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Bibliographie

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