LE EQUAZIONI (in rosso i risultati)
1. Completa.
a. L’identità è una .....uguaglianza......... fra due ........espressioni letterali.................... che è sempre ......vera............., qualunque sia ... il valore delle lettere che vi figurano b. L’equazione è una ........ uguaglianza....... fra due .......... espressioni letterali.......................... che è ............. vera............ solo per ........particolari valori delle lettere che vi figurano......... c. Due equazioni si dicono equivalenti se ...hanno le stesse soluzioni..................
2. Tra le seguenti uguaglianze individua le identità e segnale con una crocetta. � 5x + 3x = 12x – 4x � 8x + 2x = 7x + 3
� 15x – 20x = - 2 � xxxx =++3
1
3
1
3
1
3. Completa. Nell’equazione 2x + 6 – 8x = -3x +12 a. il primo membro è ......... 2x + 6 – 8x b. l’incognita è ............... x c. i termini noti sono ......... + 6 e +12 d. i coefficienti dell’incognita sono ...........2 -8 -3 4. Completa. a. Il grado di un’equazione è il grado più elevato dei monomi che vi figurano b. Un’equazione si dice intera se ...... l’incognita non compare al denominatore c. I valori dell’incognita che rendono vera un’equazione si dicono soluzioni o radici dell’equazione d. Risolvere un’equazione vuol dire ....calcolare tutte le sue soluzioni ... 5. Completa le seguenti definizioni relative ai principi di equivalenza.
a. Se si moltiplicano o si …dividono…per uno stesso numero (diverso da 0) il primo e il secondo..membro..di un’ equazione , si ottiene una equazione .. equivalente.. a quella data
b. Se si…addiziona o si sottrae al primo e al secondo...membro..di una equazione …uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita , si ottiene una equazione equivalente a quella data
6. Stabilisci in base a quale principio di equivalenza le seguenti coppie di equazioni sono
equivalenti.
2x +1 = x - 3
2 e 6x + 3 = 3x – 2 ............secondo..............................
4x - 14 = 3x e 8x - 28 = 6x ........... secondo............................ 2x -6 +4x = 2x +10 e 4x = 10 + 6 ............ primo.................................. -7x + 14 = -9x e +7x -14 = +9x ............ secondo............................
7. Completa. a. L’equazione 5x = - 2 è ridotta a ..... forma normale ... b. Il termine noto è ..... - 2 il coefficiente dell’incognita è ...... 5 ....
c. La soluzione dell’equazione è x = ...... -2/5
8. Metti in ordine i passaggi necessari per la risoluzione di un’equazione. 4 � Si riduce l’equazione a forma normale ax = b 3 � Si trasportano i termini incogniti al primo membro e i termini noti al secondo membro con la legge del trasporto 1 � Si eliminano le parentesi eseguendo le operazioni indicate 6 � Si determina la soluzione x= b/a 2 � Se l’equazione è a termini frazionari si eliminano i denominatori moltiplicando tutti i termini per il m.c.m. dei denominatori 5 � Se il coefficiente dell’incognita è negativo si moltiplicano tutti i termini per -1 9. Segna il completamento esatto.
a. La soluzione dell’equazione ridotta a forma normale 8x = - 4. è: � - 2 � - 1/4 � -1/2
b. La soluzione dell’equazione ridotta a forma normale -12x = - 3. è: � - 4 � + 1/4 � +4
c. La soluzione dell’equazione ridotta a forma normale 6x = - 18. è: � - 2 � - 1/3 � - 3 10. La risoluzione della seguente equazione è errata. Trova l’errore e correggilo. 12x + 9 -3x = 6x – 4 12x + 9 -3x = 6x – 4 12x - 3x + 6x = + 9– 4 12x - 3x - 6x = – 9 – 4
5x = +5 3x = –13 x = +15/5 x = +3 x = –13/3
11. Completa. Se un’equazione ridotta a forma normale è nella forma: a. 0x = - 3 l’equazione è ........impossibile b. 5x = 0 l’equazione è .........determinata (x = 0) c. 0x = 0 l’equazione è ........ indeterminata
Abilità
1. Completa le seguenti uguaglianze in modo da ottenere delle identità. 10x – 6x = ................4x 3x = ................ x+x+x x2 – 4 = ..............(x – 2)(x+2) (x + 2)2 = ........ x2+ 4x+4 2. Scrivi: a. un’ equazione intera ................................ b. un’equazione frazionaria .................................. c. un’equazione di 1°grado a due incognite ................................... d. un’equazione di 2° grado ad una incognita ................................ 3. Verifica, in ciascun caso, se il valore dell’incognita assegnato è la soluzione dell’equazione data a. 5x – 3 + 2x = 3x + 13 x = +4 .......... 25 = 25 ........ sì b. 7x – 2x + 7 = 12 x = -2 ..........- 3 ≠ 12 ....... no c. 2x + 2(x+3) = x – 3(x + 4) x = -3 .......... -6 = -6 ......... sì 4. Scrivi, usando il primo principio di equivalenza, un’equazione equivalente a quella data.
2x + 3 = 6 – 4x ...................................................... 5. Scrivi, usando il secondo principio di equivalenza, un’equazione equivalente a quella data.
4
3x +2 = - 5 +
4
1x .......................................................
6. Completa. a. Come conseguenza del .... primo principio ... di equivalenza:
� si possono trasportare, ..cambiandoli di segno..., i termini incogniti al .... primo membro............ e i termini noti al ... secondo membro .... e ottenere una equazione .... equivalente ........a quella data
� se in .. entrambi i membri di un’equazione ... compaiono termini uguali, questi si possono .. eliminare .. e ottenere una equazione .... equivalente ........a quella data
b. Come conseguenza del .... secondo principio ... di equivalenza:
� si possono .. moltiplicare .. per – 1 entrambi .. i membri..... e ottenere un’equazione , ... equivalente ... a quella data, in cui tutti i termini hanno ... cambiato il segno...
� si può ridurre un’ equazione a termini ... frazionari ... in un’altra, ad essa ... equivalente,.. a termini.. interi, ... moltiplicando .....tutti i termini dell’equazione data ...per .... il m.c.m. dei denominatori...
7. Riduci a forma normale ciascuna delle seguenti equazioni e scrivi accanto se è determinata,
indeterminata o impossibile. a. 3x - 8 = 3 x .........0x = +8................... .........impossibile b. 7x + 3 = 5x +3 ...... 2x = 0 ................ .........determinata c. 5x +4 = 5x +1 +3 ........ 0x = 0 ............ ......... indeterminata
8. Risolvi le seguenti equazioni. a. 14 x – 2 + 5x = 10 + 7x (x = +1)
b. 3
1
2
11
6
1 −=+ xx (x = +4)
c. ( ) ( ) xxxxx 5343134 +++−=+− (x = – 3) 9. Risolvi le seguenti equazioni.
a. ( )
6
4
5
13
10
29
3
122 −−+=−−+ xxxx (indeterminata)
b. ( ) ( ) ( )
5
23
2
1
2
1
10
12
5
24 +−=+−−− xx
xx (x = – 3/7)
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 5 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 6 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 7
Esercizio 8
Esercizio 9
Esercizio 10 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 11
Esercizio 12 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 13
Esercizio 14 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 15
Esercizio 16
Esercizio 17
Esercizio 18 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 19
Esercizio 20
Esercizio 21
Esercizio 22 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 23
Esercizio 24
Esercizio 25 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 26
Esercizio 27
Esercizio 28
Esercizio 29
Esercizio 30
Esercizio 31 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 32
Esercizio 33
Esercizio 34
Esercizio 35
Esercizio 36
Esercizio 37
Esercizio 38
Esercizio 39 .
Esercizio 40 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 41
Esercizio 42
Esercizio 43
Esercizio 44
Esercizio 45 Risolvi la seguente equazione.
Esercizio 46
Esercizio 47
Esercizio 48
Esercizio 49 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 50
Esercizio 51
Esercizio 52 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
Esercizio 53
Esercizio 54
Esercizio 55 Risolvi la seguente equazione di 2° grado riconducibile a un’equazione di 1° grado.
PER IL RECUPERO 1. Completa.
a. Un’uguaglianza è una ..identità ... se è verificata per un qualunque valore attribuito alla x b. Un’uguaglianza è una ..equazione se è verificata solo per un determinato valore attribuito alla x
2. Segna con una crocetta le uguaglianze che sono delle identità. � 5x +7x = 8x + 4x � 3x - 2x = 1 � 3x = 5x -2 � 2x = x + x 3. Segna il completamento esatto.
a. L’equazione 3x – 5 = 2x + 6 è un’equazione: � a una incognita � a due incognite � a cinque incognite b. L’equazione 4x – 2y = 3x + 2 è un’equazione: � a una incognita � a due incognite � a nove incognite c. L’equazione 5x2 – 10 = 9x + 3 è un’equazione: � di secondo grado � di secondo grado � di terzo grado a una incognita a due incognite a una incognita 4. Completa la seguente tabella.
equazione primo membro
secondo membro
termini noti termini incogniti
15x + 9 = 3x -12 - 5x 15x + 9 3x -12 - 5x +9; - 12 15x; 3x; -5x
xx4
1
2
1
5
2
4
3 −=+ 5
2
4
3 +x x4
1
2
1 −
2/5; !/2
3/4 x; -1/4 x
5. Completa.
a. L’equazione 2x = 8 è ridotta a ........... forma normale b. Il termine noto è ..... 8 il coefficiente dell’incognita è .... 2 c. La soluzione dell’equazione è x = .... +4
6. Completa. a. Due equazioni si dicono equivalenti se hanno la stessa ......soluzione .... b. Per risolvere un’equazione si applicano i principi di equivalenza c. La legge del trasporto è una conseguenza del primo principio di equivalenza d. Una equazione con i termini frazionari si può trasformare in un’altra equivalente a termini interi, applicando il secondo principio di equivalenza e. Per risolvere un’equazione bisogna separare i termini incogniti dai termini noti 7. Quali delle seguenti equazioni sono scritte in forma normale?
� 3x +8 = -3 � 6x = 6 � 5x = 10 � 8x -3 = 2x -1
8. La risoluzione delle seguenti equazioni è errata. Trova l’errore in ciascuna di esse e correggilo. a. 10x + 6 = 6x – 2 10x - 6x = – 6 – 2
4x = – 8
x = – 8
4 = –
2
1 x = – 2
b. 4 x – 2 + 5x = 4 + 7x 4 x + 5x + 7x = 4 – 2 4 x + 5x - 7x = 4 + 2 16 x = 2 2x = +6
x = 8
1
16
2 = x = 6/2 = 3
9. Segna il completamento esatto. Un’equazione è indeterminata se:
� non ammette soluzioni � ammette infinite soluzioni � ammette un’unica soluzione
Un’equazione è determinata se: � ammette infinite soluzioni � non ammette soluzioni � ammette un’unica soluzione
Un’equazione è impossibile se: � ammette infinite soluzioni � ammette un’unica soluzione � non ammette
soluzioni 10. Controlla se la seguente equazione è verificata per x = 2 (Ricorda: per effettuare la verifica di un’equazione bisogna sostituire nell’equazione di partenza il valore dell’incognita....) 3x + 5 = 15 + 2x (11= 11) 11. Risolvi le seguenti equazioni. a. 4 + 10x +6 = 8x +2 (x = - 4) (Ricorda: per prima cosa devi applicare la regola del trasporto -termini incogniti al primo membro e termini noti al secondo- poi devi ridurre i termini simili, scrivere l’equazione nella sua forma normale e infine calcolare la soluzione.....) b. ( ) ( ) ( )xxx 2144232 −=−++ (x = 1/2) (Ricorda: per prima cosa devi eliminare le parentesi.....)
c. xxx8
1
4
5
2
12
8
5 −+−=− (x = -3)
(Ricorda: per eliminare i denominatori devi trovare il loro m.c.m. e poi moltiplicarlo per tutti i termini dell’equazione. Otterrai, così, una equazione a termini interi, equivalente a quella data.....)
PER IL POTENZIAMENTO 1. Completa le seguenti uguaglianze in modo da ottenere delle identità. (x - 2)2 = ........................ x2 - 4x + 4 x2 – 16 = ......................... (x + 4)(x – 4) (3x – 5) (3x + 5) = ............ 9x2 - 25 x2 +6x + 9 = ................... (x + 3)2
2. Vero o falso? a. L’uguaglianza ( ) 12322 −=+− xx è una equazione ................F b. Le equazioni 1225 +=− xx e 7786 +=+ xx sono equivalenti ...........V c. L’equazione 43542 −−=− xxx è indeterminata ................ V d. L’equazione xxx 24628 +−=+ è determinata ............. F
3. Verifica l’uguaglianza ( ) 96443 22 ++−=−+ xxxxx per x = 1 ; x = -3 ; x = 2
1
e stabilisci se si tratta di una equazione o di una identità. Giustifica la tua risposta.
E’ una identità, perché è verificata per tutti i valori assegnati 4. Completa le seguenti affermazioni.
a. Un' equazione è una uguaglianza tra due espressioni letterali che è verificata solo per particolari valori attribuiti alle lettere che compaiono in essa. b. Un'equazione è impossibile quando non esiste alcun valore che rende vera l'uguaglianza data c. Due equazioni che hanno la stessa soluzione si dicono equivalenti d. Se si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero (diverso da 0) il primo e il secondo membro di una equazione , si ottiene un’equazione equivalente a quella data e. Se si addiziona o si sottrae una stessa quantità al primo e al secondo membro di un'equazione, si ottiene un’equazione equivalente a quella data f. La forma normale di un'equazione di primo grado a una incognita è: .... ax = b
5. Segna il completamento esatto.
a. Data la seguente equazione: 4x + 7 -6x = 3x +5 -4x In quale caso è stato applicato correttamente il primo principio di equivalenza?
� 4x + 7 -6x - 7 = 3x +5 -4x +7 � 4x + 7 -6x -7 = 3x +5 -4x -7 � 4x + 7 -6x +7 = 3x +5 -4x -7
b. Data la seguente equazione: 6
5
3
2
4
12
2
34 xxxx −−+=−+−
In quale caso è stato applicato correttamente il secondo principio di equivalenza?
� 6
56
3
23
4
124
2
342
xxxx −⋅−+⋅=−⋅+−⋅
� 6
56
3
26
4
124
2
344
xxxx −⋅−+⋅=−⋅+−⋅
� 6
512
3
212
4
1212
2
3412
xxxx −⋅−+⋅=−⋅+−⋅
6. Segna il completamento esatto. a. L’equazione ax = b è determinata se: � a, b = 0 � a, b ≠ 0 oppure a ≠ 0 e b = 0 � a = 0 e b ≠ 0 b. L’equazione ax = b è indeterminata se: � a, b = 0 � a, b ≠ 0 oppure a ≠ 0 e b = 0 � a = 0 e b ≠ 0 c. L’equazione ax = b è impossibile se: � a, b = 0 � a, b ≠ 0 oppure a ≠ 0 e b = 0 � a = 0 e b ≠ 0
7. Vero o falso?
a. L’equazione 4x = 4 è indeterminata ............F b. L’equazione 0x = 0 è impossibile ..............F c. L’equazione 0x = -5 è impossibile ............V d. L’equazione 6x = 0 è determinata ...............V
8. Risolvi le seguenti equazioni.
a. ( ) ( )[ ] ( ) xxxxx 45101231262 +−=+−−+− (x = +4/3)
b. 5
23
2
1
10
12
5
32 −+−=−+− xx
xx (x = +3/5)
c. ( )( ) ( )
2
1
4
12
2
13
4
1212 2
++=−−+− xxxx (x = - 1/5)
9. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado.
a. x2 – 81 = 0 (x = ± 9) b. 16x2 -1 = 0 (x = ± 1/4) c. (x - 2) (x + 2) = -3 (x2 -4) (x = ± 2)
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