Le correnti permanenti Le correnti permanenti a superficie liberaa superficie liberaa portata variabilea portata variabile
Parte del materiale di questa presentazione è tratto da: -Presentazione PPT di M. Pilotti e A. Maranzoni -Università di Brescia-G. Noseda. “Correnti permanenti con portata variabile lungo il percorso”.
• Riveste un certo interesse pratico lo studio delle caratteristiche delle correnti stazionarie caratterizzate da afflussi o deflussi laterali che determinano l’aumento o la diminuzione della portata lungo il percorso.
• Infatti diversi sono i problemi idraulici che si pongono in talecontesto, sia in termini di verifica che di dimensionamento di opere in grado di raccogliere o erogare determinati quantitativi di acqua.
• I processi di erogazione e immissione differiscono sostanzialmente dal punto di vista fenomenologico: i processi di efflusso avvengono senza apprezzabili dissipazioni energetiche aggiuntive rispetto a quelle connesse alla corrente principale; i processi di immissione, invece, producono agitazione nella corrente e causano la dissipazione di quasi tutta l’energia cinetica immessa: in tal caso, l’acqua che affluisce acquista quantità di moto a spese della corrente principale.
• Una vasta campagna sperimentale ha fornito dati che confermano largamente i risultati degli studi teorici.
INTRODUZIONEINTRODUZIONE
22
33
•• Derivazione delle equazioni differenziali del moto e Derivazione delle equazioni differenziali del moto e dell’equazione differenziale del profilo della dell’equazione differenziale del profilo della superficie libera per una corrente permanente con superficie libera per una corrente permanente con portata variabile lungo il percorso.portata variabile lungo il percorso.
•• Discussione dei possibili andamenti dei profili del Discussione dei possibili andamenti dei profili del pelo libero per canali a forte pendenza o a debole pelo libero per canali a forte pendenza o a debole pendenza, sia in caso di portata crescente che in pendenza, sia in caso di portata crescente che in caso di portata decrescente nella direzione del caso di portata decrescente nella direzione del moto.moto.
•• Presentazione di alcuni approcci numerici utili al Presentazione di alcuni approcci numerici utili al calcolo dei profili longitudinali del pelo libero.calcolo dei profili longitudinali del pelo libero.
Piano di lavoro:
SOMMARIOSOMMARIO
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
44
•• G.G. NosedaNoseda.. “Correnti permanenti con portata variabile lungo il percorso”. Istituto di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Politecnico di Milano, Milano. (Riferimento utilissimo ed esauriente)
•• G. De Marchi.G. De Marchi. “Canali con portata progressivamente crescente (grondaie e collettori di sfioratori)”. L’Energia Elettrica, Vol. 18 (1941). (Contributo molto interessante e ricco di spunti)
•• E. Marchi & A.E. Marchi & A. RubattaRubatta.. “Meccanica dei Fluidi. Principi e applicazioni idrauliche”. UTET, Torino (1981). Cap. 18. (Un cenno sintetico al problema)
•• G. De Marchi, G.G. De Marchi, G. NosedaNoseda & D. Citrini.& D. Citrini. “Nozioni di Idraulica con particolare riguardo ai problemi delle bonifiche e delle irrigazioni”.Edagricole, Milano (1977). Cap. 3B. (Riferimento con approccio didattico e sviluppo sintetico)
IPOTESI DI BASEIPOTESI DI BASE
55
Assunzionidi base:
• Corrente monodimensionale; pertanto le velocità si mantengono sensibilmente parallele alla direzione del moto e uniformemente distribuite sulla sezione trasversale; inoltre l’intersezione tra una sezione trasversale e la superficie libera risulta un segmento orizzontale.
• Canale di forma prismatica.• La portata varia gradualmente lungo il canale: non sono presi in
considerazione apporti o prelievi concentrati di portata.
IPOTESI DI BASEIPOTESI DI BASE
66
Assunzioni di base:• Variazioni graduali di sezione e di velocità nello spazio (se non in
prossimità di eventuali risalti idraulici); pertanto le curvature delle linee di corrente risultano piccole e la corrente sostanzialmente cilindrica; le accelerazioni verticali sono conseguentemente trascurabili e la distribuzione della pressione sulla sezione trasversale è idrostatica.
• Liquido omogeneo incomprimibile; pertanto la densità è uniforme e costante.
• Pendenza locale del fondo contenuta; pertanto le sezioni trasversali si dispongono con buona approssimazione verticalmente.
• Effetti dissipativi della resistenza computati mediante leggi diresistenza valide in regime di moto uniforme assolutamente turbolento; i coefficienti di ragguaglio α e β sono assunti unitari.
• Condizioni di stazionarietà: le grandezze idrauliche non dipendono dal tempo.
• In caso di afflussi laterali, si prescinde dal forte emulsionamentoe dalle rilevanti oscillazioni del pelo libero della corrente.
77
APPLICAZIONIAPPLICAZIONI
77
Esempi di opere idrauliche interessate da correnti permanenti a portata variabile
Canali collettori delle acque sfiorate
Canali di derivazione delle centrali idroelettriche ad acqua fluente dotati di sfioratore laterale
LP
HLP
HLP
H
Grondaie per la raccolta delle acque piovane
88
PROFONDITPROFONDITÀÀTOTALETOTALE
88
Concetti di profondità totale e linea delle profondità totali per una corrente lineare
Essi stanno al teorema del bilancio della quantità di moto come i concetti di carico totale e di linea dei carichi totali stanno all’equazione di bilancio dell’energia meccanica.
Come noto, per sezione di forma generica la spinta totale si calcola:
)()()(/)()(
)()()()(
2
2
yQ
gyyySy
yQyyyS
G
G
Ω+Ω==Σ
Ω+Ω=
βζγ
βρζγdove ςG indica l’affondamento del baricentro dell’area bagnata rispetto al pelo libero
Per sezione di forma rettangolare di larghezza b:
ybQ
gybySy
ybQybyS
22
22
2/)()(
2)(
β+=γ=Σ
βρ+γ=
La spinta totale ammette valore minimo, per assegnata portata, in corrispondenza dello stato critico. Ugualmente, la massima portata compatibile con una nota spinta totale è quella critica.
99
PROFONDITÀPROFONDITÀTOTALETOTALE
Si definisce profondità totale H la profondità della corrente lineare tale che la propria spinta idrostatica uguagli quella totale.
99
Per sezione di forma rettangolare di larghezza b:
22
222 HbybQyb γ=βρ+γ
La linea delle profondità totali è il luogo dei punti che in ogni sezione sovrastano il fondo di una quota pari alla profondità totale.
)()()(
)()()(2
HHy
QyyyS GG Ω=Ω
+Ω= ζγβρζγ
EQUAZIONIEQUAZIONIDEL MOTODEL MOTO
1010
Conservazione della massa
Per un tronco infinitesimo di corrente lineare di liquido Per un tronco infinitesimo di corrente lineare di liquido incomprimibileincomprimibile, in presenza di afflussi o deflussi laterali (indicandoqe e qu le portate volumetriche per unità di lunghezza rispettivamente entranti ed uscenti lateralmente), si ottiene:
( ) 0=⋅+∂∂
∫∫ ScVcdSnudV
tρρ Formulazione euleriana della
equazione cardinale di continuità
( )dsqqdsxQQQds
t ue ρρρρρρ−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−=∂Ω∂ )()(
da cui:da cui: ue qqsQ
t−=
∂∂
+∂Ω∂
Condizioni Condizioni stazionariestazionarie
ue qqdsdQ
−=Equazione differenziale di continuità
EQUAZIONIEQUAZIONIDEL MOTODEL MOTO
1111
Bilancio della quantità di moto
Componente nella direzione del moto della risultante delle forze di massa (forza di gravità) agenti sul volume di controllo
dsidsgG fs Ω=Ω= γθρ sen
Componente nella direzione del moto della risultante delle forze tangenziali resistenti di superficie che si sviluppano sul contorno laterale del volume di controllo
dsjdsBsL
Ω−=−=Π γτ 0B è la lunghezza del contorno bagnato,t0 la tensione tangenziale media alla parete.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Ω∂
+Ω−Ω=+ dss
ΠΠ GGGss
)(21
ζγζγζγComponente nella direzione del moto della risultante delle forze statiche di superficie agenti sulle sezioni trasversali di chiusura del volume di controllo
0=sI
ςG è l’affondamento del baricentro G dell’area bagnata
per l’ipotesi di stazionarietà del moto
ΠGMI +=+
Proiettando nella direzione del moto,moltiplico scalarmente per is ssLssss GΠMMMI +=+++ 21
EQUAZIONIEQUAZIONIDEL MOTODEL MOTO
1212
Bilancio della quantità di moto
UdsqdsVqdssQUQUQUM ues ρρρρρ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−= *)(
Componente nella direzione del moto della risultante del flusso di quantità di moto entrante nel volume di controllo
V* indica la componente della velocità dell’afflusso laterale nella direzione del flusso principale.La componente nella direzione della corrente principale della velocità effluente si assume pari a quella media U nel canale.In definitiva:
da cui:
)()()()( * UqVqdsdssQUds
sjids ue
Gf −−
∂∂
=∂Ω∂
−−Ω ρρζγγ
UqVqQss
gjig ueG
f +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω∂
∂+
∂Ω∂
=−Ω *2)()( ζ
UqVqjiggQdsd
uefG −+−Ω=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω+
Ω*
2
)(ζEquazione differenziale del moto
EQUAZIONIEQUAZIONIDEL MOTODEL MOTO
1313
Bilancio della quantità di motoScrittura alternativa dell’equazione del moto:
UqVqjidsdS
uef ρργ −+−Ω= *)(
Trascurando la differenza if – j (di entità modesta se la pendenza dell’alveo è piccola ed esigua la resistenza offerta dal fondo):
UqVqdsdS
ue ρρ −= *
S=S(y(s),Q(s)) ed energia specifica riferita al fondo E=E(y(s),Q(s)):
dsdQ
QS
dsdy
yS
dsdS
∂∂
+∂∂
=
QE
gQQ
QS
yE
gbQ
yQ
yyS G
∂∂
Ω=Ω
Ω=Ω
=∂∂
∂∂
Ω=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
−Ω=∂Ω∂
Ω−
∂Ω∂
=∂∂
γγρ
γγρζγ
222
1)(
2
3
2
2
2
Dove:
EQUAZIONIEQUAZIONIDEL MOTODEL MOTO
1414
Sostituendo, l’equazione del moto diventa:
UqVqjidsdQ
QE
dsdy
yE
uef ρργγγ −+−Ω=∂∂
Ω+∂∂
Ω *)(2
e per l’equazione di continuità in cond. stazionarie si ottiene:
Note le caratteristiche geometriche del canale, assegnate le leggi di immissione ed erogazione laterale della portata e le opportune condizioni al contorno, il profilo profilo può essere determinato per punti mediante integrazione alle differenze finite.
UqVqjiqqQE
dsdy
yE
uefue ρργγγ −+−Ω=−∂∂
Ω+∂∂
Ω *)()(2
Pertanto:yE
qgU
yEq
gV
yEji
yEQEqq
dsdy uef
ue ∂∂Ω−
∂∂Ω+
∂∂
−+
∂∂∂∂
−−=*
)(2
yEji
yEQEqq
yEq
gV
dsdy f
uee
∂∂
−+
∂∂∂∂
−−∂∂Ω
= )2(* Equazione differenziale del profilo
del pelo libero di corrente permanente gradualmente variata con afflussi e deflussi laterali
PORTATA PORTATA CRESCENTECRESCENTE
1515
Canali con portata crescente nella direzione del moto(graduale immissione di portata ortogonalmente al canale)
0e0 * == VquEquazione di continuitàeqds
dQ=
Equazione dinamica)( jidsdS
f −Ω=γ
Se la differenza if – j è circa nulla, l’equazione del moto diviene:
Equazione del profilo del pelo libero
0=dsdS
cioè il processo di moto si sviluppa mantenendosi inalterata la spinta totale per l’intero tratto interessato da immissione laterale; pertanto la linea delle profondità totali si mantiene parallela al fondo.
2
2
Fr1
2
2−
Ω−−
=∂∂
−+
∂∂∂∂
−= dsdQ
gQji
yEji
yEQEq
dsdy f
fe
PORTATA PORTATA CRESCENTECRESCENTE
1616
Assegnata la spinta totale a cui avviene il processo di immissione laterale:
)()()()( ygyySyQ G Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω−= ζ
γ- La massima portata Qmax compatibile con l’assegnata spinta totale si ottiene in corrispondenza dello stato critico per la stessa portata.
- Ogni portata Q inferiore alla massima puòdefluire in due distinti stati di moto (uno di corrente veloce, l’altro di corrente lenta) caratterizzati da profondità idriche coniugate.
- La portata si annulla per y = 0 e y pari alla profondità totale H (H è la minima profonditàtotale con la quale può defluire la portataQmax).
- Il diagramma della portata a spinta totale fissata presenta tangenti orizzontali per y = 0e y = H; il ramo ad y > yc appartiene alle correnti lente, viceversa quello con y < yc alle correnti veloci.
PORTATA PORTATA CRESCENTECRESCENTE
1717
Poiché a causa dell’immissione laterale la portata aumenta nella direzione del moto:
- se la corrente è lenta, la profonditàidrica diminuisce e la corrente èaccelerata;
- se la corrente è veloce, la profonditàidrica aumenta e la corrente èritardata.
Pertanto la condizione critica non può che verificarsi a valle del tratto di canale interessato dall’immissione laterale: la corrente è perciò interamente lenta o veloce.
)()()()( ygyySyQ G Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω−= ζ
γ
PORTATA PORTATA CRESCENTECRESCENTE
1818
Debole pendenza
Tracciamento qualitativo del profilo della superficie libera: alcuni esempi
Forte pendenza
PORTATA PORTATA CRESCENTECRESCENTE
1919
Tracciamento quantitativo del profilo della superficie libera(nell’ipotesi che la spinta totale resti inalterata lungo il tratto
- Si calcola la spinta totale caratteristica del processo di immissione in corrispondenza della sezione di controllo (quella a monte del tratto alimentato se la corrente ivi è veloce, viceversa se è lenta).
- Nota la geometria del canale prismatico, prefissata la spinta totale caratteristica del processo, si può tracciare la curva Q = Q(y) a S fissata.
- Assunta nota la legge di immissione (per esempio una portata per unità di lunghezza in ingresso uniforme), si ricava la distribuzione di portata lungo il canale:
alimentato)
0)( QsqsQ e +=- Si stima il tirante della corrente a progressiva fissata risolvendo l’equazione:
)()()( ygyySQ G Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω−= ζ
γIn generale essa è non lineare in y e richiede, ai fini dell’individuazione degli zeri, il ricorso a tecniche numeriche iterative.
PORTATA PORTATA CRESCENTECRESCENTE
2020
Tracciamento quantitativo del profilo della superficie libera(nell’ipotesi che la spinta totale resti inalterata lungo il tratto alimentato e l’alimentazione sia uniforme)
I dati sperimentali si mostrano in buon accordo con i risultati di questa interpretazione matematica (soprattutto con riferimento ai profili di corrente lenta, meno in riferimento a quelli di corrente veloce, in relazione ai quali non puòessere considerato valido a rigore l’assunto che la differenza if – j sia sostanzialmente nulla).
Nel caso in cui l’alveo prismatico presenti sezione rettangolare di larghezza b:
Equazione di continuità 0)( QsqsQ e +=
dove Q0 indica la portata alla progressiva s = 0
Equazione del moto
cost)( =sS
22)()()( 2 ygybSbygyySQ G ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ω⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω−=
γζ
γda cui l’equazione del profilo del pelo libero esplicita in s: ee q
QygybS
qbs 02
22
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
γ
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2121
Canali con portata decrescente nella direzione del moto (graduale sfioro laterale di portata)
0=eq
Equazione di continuitàuqdsdQ
−=
Equazione dinamicaUqjidsdS
uf ργ −−Ω= )(
Equazione del profilo del pelo libero 2
2
Fr1−Ω
−−=
∂∂
−+
∂∂∂∂
= dsdQ
gQji
yEji
yEQEq
dsdy f
fu
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2222
Se la differenza if – j è circa nulla, l’equazione del moto diviene:
0=dsdE
cioè il processo di sfioro laterale avviene rimanendo inalterata l’energia specifica riferita al fondo: pertanto la linea dei carichi totali si mantiene parallela al fondo.
UqVqjidsdQ
QE
dsdy
yE
uef ρργγγ −+−Ω=∂∂
Ω+∂∂
Ω *)(2
dsdQ
QE
dsdE
dsdQ
QE
dsdQ
QE
dsdy
yE
dsdQ
QE
dsdy
yE
∂∂
Ω+Ω=∂∂
Ω+∂∂
+∂∂
Ω=∂∂
Ω+∂∂
Ω γγγγγγ )(2
2ΩΩ−Ω=
∂∂
Ω−Ω=∂∂
Ω+ΩgQq
dsdE
QEq
dsdE
dsdQ
QE
dsdE
uu γγγγγγ
QqjigQq
dsdE
ufu ργγγ −−Ω=Ω
Ω−Ω )(2
)( jidsdE
f −Ω= γ
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2323
Nota l’energia specifica a cui avviene il processo di sfioro laterale: ( )yEgyyQ −Ω= 2)()(
- La massima portata Qmax compatibile con l’assegnata energia specifica si ottiene in corrispondenza dello stato critico per quella portata.
- Ogni portata Q inferiore alla massima puòdefluire in due distinti stati di moto (uno di corrente veloce, l’altro di corrente lenta).
- La portata si annulla per y = 0 e y pari alla energia specifica assegnata E (E è la minima energia specifica riferita al fondo con la quale può defluire la portata Qmax).
- Il diagramma della portata ad energia specifica E fissata presenta tangente orizzontale per y = E; il ramo ad y > ycappartiene alle correnti lente, viceversa quello con y < yc alle correnti veloci.
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2424
La progressiva diminuzione della portata nella direzione del moto comporta:
- se la corrente è lenta, un aumento della profondità della corrente che, pertanto, risulta ritardata;
- se la corrente è veloce, una diminuzione della profondità della corrente che, pertanto, risulta accelerata.
Lo stato critico può allora verificarsi solo nella sezione iniziale del tratto di canale interessato ad erogazione laterale: la corrente è perciò interamente lenta o veloce, se non interviene un risalto idraulico.
( )yEgyyQ −Ω= 2)()(
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2525
Forte Forte pendenzapendenza
Tracciamento qualitativo del profilo della superficie libera
Debole Debole pendenzapendenza
Esempio di profilo mistoEsempio di profilo misto
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2626
Tracciamento qualitativo del profilo della superficie libera
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2727
Tracciamento qualitativo del profilo della superficie libera
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2828
Tracciamento quantitativo del profilo della superficie libera(nell’ipotesi che l’energia specifica resti inalterata lungo il tratto
- Si calcola l’energia specifica riferita al fondo caratteristica del processo di erogazione in corrispondenza della sezione di controllo (quella a monte del tratto alimentato se la corrente ivi è veloce, a valle se è lenta).
- Nota la geometria del canale prismatico, prefissata la energia specifica E0caratteristica del processo, si può tracciare la curva Q = Q(y) a E fissata.
- Assunta nota la legge di erogazione, si ricava la distribuzione di portata lungo il canale e si determina quantitativamente il profilo della superficie libera risolvendo il sistema:
alimentato)
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−Ω=
−=
yEgQ
qdsdQ
u
02In caso di alveo di forma rettangolare di larghezza b:
e l’equazione del profilo del pelo libero diviene:
( )yEgybyQ −= 02)(
)23()(2
0
0
EybgyEg
qdsdy
u −−
=
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
2929
Tracciamento quantitativo del profilo della superficie liberaL’integrazione del profilo del pelo libero richiede la conoscenza della legge di erogazione.Nel caso in cui lo sfioro avvenga mediante uno sfioratore laterale, la portata scaricata dipende dal carico sulla soglia.In generale:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−=
−Ω
−−=
2/3
2
2
)(2
Fr1
cygdsdQ
dxdQ
gQji
dsdy f
μ
È necessario ricorrere a metodi numerici di integrazione, avendo fissate le condizioni al contorno.Nel caso di alveo a debole pendenza, il fatto che la portata scaricata non sia nota costringe all’adozione di una procedura iterativa per tentativi.
dove μ è un coefficiente di efflusso e c l’altezza della soglia rispetto al fondo del canale.
PORTATA PORTATA DECRESCENTEDECRESCENTE
3030
Tracciamento quantitativo del profilo della superficie liberaPer canale prismatico rettangolare di larghezza b, nell’ipotesi che la differenza if – j sia trascurabile, si ottiene:
Di tale problema differenziale ordinario con valori ai limiti De Marchi ha fornito la soluzione:
0
0
23))(()(2
EyyEcycy
bdsdy
−−−−
=μ
λη
ληη
λλμ
−−
−−−
−−
=−
11arcsen31
1320
bss
dove: 00 /e/ EcEy =λ=η
Inoltre s0 indica la progressiva per la quale y = E0 e Q = 0.
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