Problema: (Demuéstrelo!!)Electromagnetismo de Maxwell no es invariante bajo las TGProblema: (Problema: (Demuéstrelo!!Demuéstrelo!!))Electromagnetismo de Maxwell no es invariante bajo las TGElectromagnetismo de Maxwell no es invariante bajo las TG
H. A. Lorentz(1853-1928)
Las transformaciones de LoretnzLas transformaciones de Las transformaciones de LoretnzLoretnz
2
2
2
2
2
1',
1'
cvvtxx
cv
xcvt
t−
−=
−
−=
'tt ≠ Es muy raro!!
2222
2
/1',
/1/'
cvvjj
cvcvj x
xx
−
−=
−
−=
ρρρ
.1
/',
1
/','
.1
/',
1
/','
2222
2222
cv
cvEBB
cv
cvEBBBB
cv
cvBEE
cv
cvBEEEE
yzz
zyyxx
yzz
zyyxx
−
−=
−
−==
−
−=
−
−==
Bajos estasTransformaciones
El electromagnetismode Maxwell es dejado Invariante
Ejemplo, tarea: Dos alambres cargados de largo L , de igual carga Q y Separados una distancia R
Observador (S) en reposo,ve la fuerza de repulsión electroestática j
RLFF ESˆ
2 0
2
)( πελ
==rr
R
Q
QEFr
EFr
Observador (S’) en movimiento relativo,adicionalmente a la fuerza de repulsióneléctrica observa una fuerza de atracción magnética
R
Q
QEFr
EFr
MFr
MFr
vr
vr
Calculamos la fuerza en S’:
jvRLF
BvEqdFFF
T
MET
ˆ)1(2
'
)('
200
0
2
εµπελ
−=
×+=+= ∫r
rrrrrr
jcv
RLFT ˆ)1(
2'
2
20
2
−=πελr
Claramente las fuerzas vistas por los observadores S y S’ son distintas (ya abordamos este punto)
Aplicando las transformaciones de Lorentz a este caso, muestre la consistencia de los resultados
Podemos decir que tenemos dos grupos de simetría distintos en la naturaleza:
El grupo de Galileo para la Mecánica Clásica
El Grupo de Lorentz para el electromagnetismo
Tenemos tres posibles caminos
Abandonar el principio de la relatividad (Existencia del eter)
Modificar las ecuaciones de Maxwell tal que sean consistente con TG
Modificar la mecánica de Newton
Postura de Einstein en 1905, una apuesta bastante arriesgada. La mecánica Newtoniana llevaba mas de dos siglos funcionando con grande exitos, en
cambio la teoría de Maxwell apenas tenias 40 años
TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD
TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD
Postulado 1“Ni los fenómenos de la electrodinámica ni los de la mecánica poseen propiedades que se correspondan con la idea de reposo absoluto ”
Postulado 1Postulado 1“Ni los fenómenos de la electrodinámica ni los de la mecánica poseen propiedades que se correspondan con la idea de reposo absoluto ”
En 1905 Einstein publicó en Annalen der Physik, el Artículo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”En 1905 Einstein publicó en Annalen der Physik, el Artículo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”El introdujo dos supuestos fundamentales o postulados:El introdujo dos supuestos fundamentales o postulados:
Es decir, las leyes de la física son las mismas en todos los
sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante
unos con respecto a otros (Principio de relatividad Galileo)
Es decir, las leyes de la física son las mismas en todos los
sistemas de referencia que se mueven con velocidad constante
unos con respecto a otros (Principio de relatividad Galileo)
Postulado 2“La Luz se propaga el vacío con una velocidad c independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor”
PostuladoPostulado 22“La Luz se propaga el vacío con una velocidad c independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor”
Es decir, la velocidad de la luz es la misma para todos los
observadores, sin importar su movimiento relativo
Es decir, la velocidad de la luz es la misma para todos los
observadores, sin importar su movimiento relativo
Einstein había buscado una teoría en la cual la velocidad de la luz permanecería constante para los observadores estacionarios y en movimiento
Einstein había buscado una teoría en la cual la velocidad de la luz permanecería constante para los observadores estacionarios y en movimiento
Eliminar el concepto de sistema de referencia absoluto (como el éter) con respecto al cual todo movimiento podía medirse
Eliminar el concepto de sistema de referencia absoluto (como el éter) con respecto al cual todo movimiento podía medirse
Para conseguir esto él tuvo quePara conseguir esto él tuvo que
Considerar que si la velocidad de la luz era constante en todos los sistemas de referencias, entonces nuestros conceptos de distancia y tiempo debían cambiar
Considerar que si la velocidad de la luz era constante en todos los sistemas de referencias, entonces nuestros conceptos de distancia y tiempo debían cambiar
….y esto casi le lleva a una depresión nerviosa ….y esto casi le lleva a una depresión nerviosa
Dolor de cabeza para los conservadoresDolor de cabeza para los conservadores
Consecuencias de las Transformaciones de Lorentz
zzyy
cvvtxx
cv
xcvt
t==
−
−=
−
−=
''
1',
1'
2
2
2
2
2
211β
γ
β
−=
=cv
Definamos la velocidad relativa (β) y el factor relativista (γ)
TL->TG1<<β
05.799.015.15.0
=⇒==⇒=γβγβ
No hay interacciones instantáneas
No hay interacciones instantáneas
El trabajo teórico de Maxwell y los experimentos de Hertzindicaban que las interacciones electromagnéticas se toman un tiempo finito para pasar de un lugar a otro; así Einstein sostuvo:
El trabajo teórico de Maxwell y los experimentos de Hertzindicaban que las interacciones electromagnéticas se toman un tiempo finito para pasar de un lugar a otro; así Einstein sostuvo:
1. En la Naturaleza no hay interacciones instantáneas1. En la Naturaleza no hay interacciones instantáneas
2. Debería haber una velocidad máxima de interacción2. Debería haber una velocidad máxima de interacción
3. La mayor velocidad posible de interacción es la velocidad deinteracción electromagnética
3. La mayor velocidad posible de interacción es la velocidad deinteracción electromagnética
4. La velocidad de interacción electromagnética es la velocidad de la luz4. La velocidad de interacción electromagnética es la velocidad de la luz
5. La velocidad de la luz es la velocidad máxima posible5. La velocidad de la luz es la velocidad máxima posible
Tiempo y distancia no son absolutos
Tiempo y distancia no son absolutos
Si la velocidad de la luz c permanece constante en ambos sistemas de referencia
Si la velocidad de la luz c permanece constante en ambos sistemas de referencia
Son la distancia y el tiempo los que son diferentes para los dos observadores !!Son la distancia y el tiempo los que son diferentes para los dos observadores !!
Luciana viajando mide c = D/TLuciana viajando mide c = D/T
Profesor Lagunas en la Tierra mide c = D’/T’Profesor Lagunas en la Tierra mide c = D’/T’
velocidad = distancia/tiempovelocidad = distancia/tiempo
Tiempo y Simultaneidad¿Qué significa que dos cosas ocurran al mismo tiempo?
Yo no defino el tiempo, espacio y movimiento,como es bien conocido por todos. -Newton
Si usted no me pregunta cual es el tiempo, yo lo seCuando usted me lo pregunta, Yo no puedo decírselo- San. Agustín
¿Cuándo dos eventos son simultáneos?
Fácil si ambos eventos ocurren en la misma posición espacial
Diferente ubicación espacial requiere una SINCRONIZACIÓN, que requiere transmisión de señales entre ambas posiciones
Sucesos SimultáneosSucesos Simultáneos
Consideremos un tren en reposo donde un rayo de luz se lanza desde la mitad del trenConsideremos un tren en reposo donde un rayo de luz se lanza desde la mitad del tren
Un observador en el tren y un observador en el andén verán que la luz alcanza los extremos opuestos del vagón simultáneamente
Un observador en el tren y un observador en el andén verán que la luz alcanza los extremos opuestos del vagón simultáneamente
Sucesos simultáneos en referencias diferentesSucesos simultáneos en referencias diferentes
Si ahora el tren se mueve con velocidad uniforme, el observador en el tren todavía ve cómo la luz llega a los extremos del vagón simultáneamente (recuerda que la luz se mueve a velocidad c)
Si ahora el tren se mueve con velocidad uniforme, el observador en el tren todavía ve cómo la luz llega a los extremos del vagón simultáneamente (recuerda que la luz se mueve a velocidad c)
Pero ahora un observador en el andén ve que la luz alcanza primero el final del vagón (que se mueve hacia la luz), y después el principio del vagón (que se está alejando de la luz) - los acontecimientos no son simultáneos.
Pero ahora un observador en el andén ve que la luz alcanza primero el final del vagón (que se mueve hacia la luz), y después el principio del vagón (que se está alejando de la luz) - los acontecimientos no son simultáneos.
En la teoría de Einstein se rompe el concepto de simultaneidad absoluta de la mecánica Newtoniana, ahora la Simultaneidad se hace Relativa
¿Qué ocurre con la causalidad de la física?
Técnicamente desde las TL
Dos eventos en reposo en O’, dos rayos caen al mismo tiempo
O’ se mueve con velocidad v respecto de O
)','(:'),','(:' BBBAAA xtSxtS 0''' =−=∆ AB tttSimultáneos en O’
Mismo eventos vistos desde O
),(:),,(: BBBAAA xtSxtS 0≠−=∆ AB ttt¿NO Simultáneos en O?
)''(
)''(
2
2
BBB
AAA
xcvtt
xcvtt
+=
+=
γ
γ
Usando las TL
0)''(2 >−=−=∆ ABAB xxcvttt γ
0≠−=∆ AB tttEn efecto
Sucesos que son simultáneos para un observador no necesariamente lo son para otro. Incluso es posible encontrar observadores para los cuales primero llega la señal B y
después en A, es decir un observador para el cual el orden de los sucesos es invertido respecto del observador en el anden
¿causalidad?
Dilatación del TiempoUn experimento sencillo con la luz
Dilatación del TiempoUn experimento sencillo con la luz
Un pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del trenUn pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del trenEl pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del trenEl pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del trenEl tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t’, es registrado por el observador en el tren (O’)El tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t’, es registrado por el observador en el tren (O’)
Continuación experimento sencilloContinuación experimento sencillo
Visto por un observador que es estacionario con respecto al sistema en movimiento:Visto por un observador que es estacionario con respecto al sistema en movimiento:
Un pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del trenUn pulso de luz se emite por una dispositivo en el suelo del tren
El pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del trenEl pulso alcanza un espejo situado en el techo y este lo refleja a un detector situado en el suelo del tren
El tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t, es registrado por el observador estacionario con respecto al trenEl tiempo transcurrido entre la emisión y la detección, t, es registrado por el observador estacionario con respecto al tren
Un poco de geometríaUn poco de geometría
Par el observador en la referencia en movimientoPar el observador en la referencia en movimiento
cL2't = cL2't =
Para el observador en la referenciaestacionariaPara el observador en la referenciaestacionaria
ch2t = ch2t =
LL LLhh hh
d/2d/2 d/2d/2
Aplicando Pitágoras al diagrama de la derechaAplicando Pitágoras al diagrama de la derecha 22212 L)d(h += 22212 L)d(h +=
Si la velocidad de la referencia móvil es v, entonces en la referencia estacionaria es d = vtSi la velocidad de la referencia móvil es v, entonces en la referencia estacionaria es d = vt
Sustituyendo los valores de h, d y L tenemosSustituyendo los valores de h, d y L tenemos222
2tc
2vt
2ct
′
+
=
222
2tc
2vt
2ct
′
+
=
Calculando obtenemosCalculando obtenemos
22 c/v1tt
−
′= 22 c/v1
tt−
′=
Dilatación del Tiempo !Dilatación del Tiempo !
22 c/v1tt
−
′= 22 c/v1
tt−
′=
Las implicaciones de esta ecuación son extremadamente profundasLas implicaciones de esta ecuación son extremadamente profundas
t es el tiempo medido por el observador en la referencia en reposot es el tiempo medido por el observador en la referencia en reposo
t’ es el tiempo medido en la referencia en movimiento con velocidad vt’ es el tiempo medido en la referencia en movimiento con velocidad v
Un intervalo de tiempo en la referencia en reposo parece ser mayor que un intervalo de tiempo en la referencia en movimientoUn intervalo de tiempo en la referencia en reposo parece ser mayor que un intervalo de tiempo en la referencia en movimiento
Cuanto más nos acercamos a la velocidad de la luz en la referencia en movimiento, más grande es la diferencia entre los intervalos de tiempo.
Cuanto más nos acercamos a la velocidad de la luz en la referencia en movimiento, más grande es la diferencia entre los intervalos de tiempo.
Cuando la referencia en movimiento viaje a la velocidad de la luz (v=c) cualquier intervalo de tiempo t’ que midamos en ella, por pequeño que sea, será infinito en la referencia estacionaria !
Cuando la referencia en movimiento viaje a la velocidad de la luz (v=c) cualquier intervalo de tiempo t’ que midamos en ella, por pequeño que sea, será infinito en la referencia estacionaria !
Ejemplos de dilatación en el tiempo
Ejemplos de dilatación en el tiempo
22 c/v1tt
−
′=
22 c/v1tt
−
′=
Por ejemplo un astronauta deja la Tierra en un cohete que viajaa 0.95c para visitar la estrella más próxima que dista 4 años luzPor ejemplo un astronauta deja la Tierra en un cohete que viajaa 0.95c para visitar la estrella más próxima que dista 4 años luz
Para el observador terrestre el viaje de ida y vuelta dura 8.42 añosPara el observador terrestre el viaje de ida y vuelta dura 8.42 años
Pero en el sistema temporal del astronauta la duración es sóloPero en el sistema temporal del astronauta la duración es sólo
= × − = × − =2 2' 8 .4 2 1 (0 .9 5 ) / 8 .4 2 1 0 .9 2 .7 a ñ o st c c= × − = × − =2 2' 8 .4 2 1 (0 .9 5 ) / 8 .4 2 1 0 .9 2 .7 a ñ o st c c
Usando TLConsideremos un reloj en reposo en S’, sus tic’s estan dados por ∆T0.
Nos fijaremos en dos eventos
Primer TIC: x’=0, t’Segundo TIC: x’=0, t’+ ∆T0
En S’
S’S
Miramos en S
0
0
202
21
)''(
)''(
TTTT
xcvTtt
xcvtt
∆>∆∆=∆
+∆+=
+=
γ
γ
γ
Reloj en S’ avanza más lento
Ejemplo Muones de los Rayos Cósmicos
Muones son partículas elementales inestables que tienen una carga iguala la del electrón y 207 veces su masa µ-, estas partículas pueden producirsepor el choque de rayos cósmicos con átomos de a gran altura en la atmósfera. Estas partículas inestables tiene un tiempo de vida de 2.2*10-6 (s) cuando se midenEn un sistema de referencia en reposo relativo respecto de ellos
El problema es si suponemos un tiempo de vida media de 2.2*10-6 (s) y que viajan a Una velocidad cercana a la de la luz, se encuentra que estas partículas solo viajan aproximadamente 600 metros antes de desintegrarse, imposible de encontrar en la superficie De la tierra. Y SI SE ENCUENTRAN
Explicación DILATACIÓN DEL TIEMPO
Respecto de un observador en tierra los muones tienen un tiempo igual γτ,donde τ= 2.2*10-6 (s) así para v=0.99c, γ=7.1 y γτ= 16*10-6 (s)
POR LO TANTO LA DISTANCIA RECORRIDA PROMEDIO, MEDIDA POR UN OBSERVADOR EN TIERRA γvτ=4800 (m)
600 (m)
tp=2,2*10-6(s)
tp=16*10-6(s)
4800 (m)
Velocidad relativa de los sistemas
Velocidad de la luz
Dilatación del Tiempo
Sistema de la tierra Sistema
del cohete
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