Laiko eilučių fraktališkumas: Hursto laipsnio rodiklisir jo įvertinimo metodai
Aleksejus Kononovičius
2012-10-11
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 1 / 28
Įprasta dimensija ir “dėžučių” skaičiavimo metodas
Ką gi turime?
N =1
sD,
lnN = D ln s−1,
D =lnN
ln s−1.
Bendriau:
D = lims→0
lnN
ln s−1.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 2 / 28
Sudėtingesnis atvejis: Kocho snaigė
Ką gi turime?Mastelyje 1/3 - 18 langelių, kuriuoskerta kreivė, 1/6 - 41, 1/12 - 105.Nusipiešę matome, kad D ≈ 1.27.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 3 / 28
Brauno proceso laiko eilutės dimensija
Šiek tiek pasistengus rezultatą galima gauti artimą teoriniam:D = 1.517± 0.061.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 4 / 28
Brauno proceso laiko eilutės Hursto laipsnio rodiklis
Šiek tiek pasistengus rezultatą gauname: H = 0.514± 0.006. Čia Hturi geometrinę
D = 2−H = 1.486,
ir statistinę prasmes,X(at)
d= aHX(t).
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 5 / 28
Geometrinis Hursto laipsnio rodiklio interpretavimas
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 6 / 28
R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodasPagrindinė metodo idėja
Palyginęs įvairių upių ir ežerų vandens lygio duomenis Hurstas gavo,kad 〈R(t)/S(t)〉 ∼ tH , kur H = 0.726± 0.082.A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 7 / 28
R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas1 etapas. Dalinimas į segmentus
Padalinkime X(t) signalą į n dydžio segmentus. Tokiu atveju segmentųyra N ′ = floor(N/n).
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 8 / 28
R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas2 etapas. Vidurkių skaičiavimas
Kiekvienam signalo X(t) segmentui apskaičiuojame vidurkius, 〈x〉i.Atimame 〈x〉i iš visų to segmento duomenų (tą darome su visaissegmentais):
X ′i(τ) = X[(i− 1)n+ τ ]− 〈x〉i, ∀i ∈ [1;N ′],
čia X ′i(τ) yra i-tojo segmento laiko eilutė, o τ yra “vidinis” segmentolaikas.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 9 / 28
R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas3 etapas. Profilio skaičiavimas ir pločio įvertinimas
Kiekvienam segmentui X ′i(τ)apskaičiuojame profilį:
xi(τ) =
τ∑s=0
X ′i(s), ∀i.
Nustatome kiekvienosegmento profilio aukštį:
Ri = max(wi)−min(wi), ∀i.
Nustatome kiekvieno segmentostandartinį nuokrypį:
Si =
√√√√ 1
n
n−1∑s=0
[X ′i(s)]2, ∀i.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 10 / 28
R/S, masteliuoto aukščio (rescaled range), metodas4 etapas. Vidurkinimas per segmentus; 5 etapas. Keičiame n.
Santykį R/S vidurkiname per visus segmentus:⟨R(n)
S(n)
⟩=
1
N ′
N ′∑i=1
RiSi∼ nH .
Čia R ir S yra pažymėtos kaip funkcijos nuo n, nes toliau kartojametuos pačius žingsnius su skirtingais n. Pavaizdavę
⟨R(n)S(n)
⟩kaip
priklausomybę nuo n log-log skalėje gausime H.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 11 / 28
Šiuolaikiniai metodai
Metodai kuriuos nagrinėsiu:Sukauptos variacijos (aggregated variance),Sukauptos eilutės modulio (modulus of aggregated series),Dispersinės analizės,Higuchi,Betendencių fliuktuacijų analizės (detrended fluctuation analysis).
Kurių neliesiu:Periodogramų metodai,Whittle metodas,Bangelių analize (wavelet analysis) paremti metodai.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 12 / 28
Sukauptų laiko eilučių metodai1 etapas. Mažinome laiko eilutės skyrą
Mažiname laiko eilutės ilgį iki N ′ = floor (N/n) taškų vidurkindami:
X(n)(k) =1
n
kn−1∑i=(k−1)n
X(i), ∀k ∈ [1;N ′].
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 13 / 28
Sukauptų laiko eilučių metodai2 etapas. Taikome statistinio įvertinimo priemonę
Kuri jau priklauso nuo metodo:
VarX(n) =1
N ′
N ′∑k=1
[X(n)(k)− 〈X(n)(k)〉
]2∼ nSvar ,
∣∣∣X(n)∣∣∣ =
1
N ′
N ′∑k=1
∣∣∣X(n)(k)∣∣∣ ∼ nSmod ,
StdDevX(n) =
√VarX(n)
√VarX(n0)
∼ nSdisp .
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 14 / 28
Sukauptų laiko eilučių metodai3 etapas. Keičiame mastelį, n
Gauti polinkiai: Svar = −1.002, Smod = −0.507, Sdisp = −0.501. Gautos H vertės:Hvar = 1 + Svar
2= 0.499, Hmod = 1 + Smod = 0.493, Hdisp = 1 + Sdisp = 0.499. R/S
metodu: HR/S = 0.514.A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 15 / 28
Higuchi metodas1 etapas. Sukarpome laiko eilutes
Metodo esmė taip pat yra skyros mažinimas, bet ne per vidurkinimą:
Xmn (i) : X(m), X(m+ n), X(m+ 2n), . . .
Šių eilučių ilgis yra 1 +N ′, kur N ′ = floor[N−mn
].
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 16 / 28
Higuchi metodas2 etapas. Skaičiuojame eilučių “ilgius” skirtingiems masteliams, n.
Eilutės, kurios mastelis n ir pradžia m, ilgis:
Lm(n) =N − 1
n2· 1
N ′
N ′∑i=1
|Xmn (i)−Xm
n (i− 1)| .
Tikimės, kad 〈L(n)〉 ∼ nShig , kur Shig = −D.
Shig = −1.501 ⇒ Hhig = 2 + Shig = 0.499.A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 17 / 28
Kuom šie metodai mums netinka?
Nes mums rūpi S(f) ∼ 1/fβ su β ≈ 1! O esant arti šio taško arbatektų naudoti du skirtingus metodus arba integruoti ar diferencijuoti.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 18 / 28
Betendencių fliuktuacijų analizės metodas1 etapas. Laiko eilutės profilio skaičiavimas
Skaičiuojame laiko eilutės, xi,profilį (time series profile):
yi =
i∑k=1
[xk − 〈x〉] .
Dėl tokio apibrėžimo profilis dažnaituri naudingą savybę - bent viena(paskutinė) profilio taško reikšmėyra lygi nuliui.Pradinė profilio vertė dažnai yraartima nuliui.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 19 / 28
Betendencių fliuktuacijų analizės metodas2 etapas. Profilio tendencijų pasirinktame mastelyje, n, nustatymas
Padalijame profilį į n dydžio segmentus (N ′ = floor(N/n)), kuriuosenustatome profilio tendencijas, yν(i).
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 20 / 28
Betendencių fliuktuacijų analizės metodas3 etapas. Fluktuacijų pasirinktame mastelyje įvertinimas
ν-tojo, ν ∈ [1;N ′], segmento kvadratinė fluktuacinė funkcija:
F 2ν (n) =
1
n
n∑i=1
[y(ν−1)n+i − yν(i)
]2.
O jei turime ir segmentų einančių iš profilio pabaigos, ν ∈ [N ′ + 1; 2N ′]:
F 2ν (n) =
1
n
n∑i=1
[yN−(ν−N ′)n+i − yν(i)
]2.
Fluktuacijų vidurkis:
F (n) =√〈F 2
ν (n)〉 ∼ nh.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 21 / 28
Betendencių fliuktuacijų analizės metodas4 etapas. Keičiame mastelį
Gauname polinkį: h = 1.52± 0.04. Jis yra susijęs su neigiamu spektropolinkiu: β = 2h− 1. Atitinkamai: H = h− 1 (nestacionaru, h > 1)arba H = h (stacionaru, h < 1).
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 22 / 28
Tačiau vis dar kažko trūksta...
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 23 / 28
Apibendrintas aukščio-aukščio koreliacijos metodas
Fq(τ) = 〈|y(t+ τ)− y(t)|q〉1/q ∼ τH(q), q > 0.
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 24 / 28
Multifraktalinis DFA metodas
Metodas identiškas Betendencių fliuktuacijų analizės (DFA) metodui,bet fliuktuacijų vidurkio išraiška yra sudėtingesnė:
Fq(n) ={⟨
[F 2ν (n)]
q2
⟩} 1q ∼ nh(q), q 6= 0,
F0(n) = exp{
0.5⟨ln[F 2ν (n)
]⟩}∼ nh(0).
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 25 / 28
Multifraktalinis DFA metodas
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 26 / 28
Multifraktališkumo kilmė
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 27 / 28
Ačiū už dėmesį
A. Kononovičius (VU TFAI) Laiko eilučių fraktališkumas 2012-10-11 28 / 28
Top Related