LA STRATEGIA DI GIGI
Gigi, studente “modello” del MARTINI, decide di tentare di racimolare qualche soldo per poter fare una vacanza memorabile dopo l'esame di maturita'.
Gli si presenta l'opportunità di partecipare a due iniziative commerciali scegliendo un certo numero di Quote-Lavoro (QL), o parti di esse, per ciascuna delle iniziative.Ogni quota dell'iniziativa 1(I1) richiede un investimento di 1 euro mentre, l'iniziativa 2 (I2) non richiede alcun investimento ma corrisponde al valore di 1 euro.Gigi ha a disposizione 1 euro e una media di 7 ore al giorno di lavoro (pensa di utilizzare il reddito proveniente dall'iniziativa 2 per investire nell'iniziativa 1).La QL della I1 richiede un impegno orario medio di 3 ore al giornoLa QL della I2 richiede un impegno orario medio di 1 ora al giornoGigi pensa di poter ottenere un guadagno di 20 euro a quota da I1 e 10 euro a quota da I2.Il suo obiettivo e', ovviamente, quello di massimizzare il guadagno giornaliero e vuole saper quante QL prendere, di ciascuna iniziativa, per raggiungere il suo obiettivo.
Impegno risorse
risorse iniziativa 1 iniziativa2 disponibilita’ risorse
euro 1 -1 1
ore 3 1 7
guadagno 20 10
Variabili decisionali
x1: numero di quote della I1
x2 : numero di quote della I2
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 vincoli finanziari
3 x1 + x2 < 7 vincoli temporali
x1 > 0 , x2 > 0
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
Individuare l’insieme di soluzioni (scelte) ammissibili per i vincoli
non-negativita’
x1 > 0 , x2 > 0
Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli
finanziari
x1 - x2 < 1
Posizione limite retta: x1 - x2 = 1
intersezione asse x1 (x2=0) (1 , 0)
intersezione asse x2 (x1=0) (0 , -1)
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
quale parte del piano corrisponde a
x1 - x2 < 1 ????
Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli
finanziari
x1 - x2 < 1
Facile !
Basta individuare da che
parte sta l’origine O (0,0)
rispetto alla retta: x1 - x2 = 1
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
x1=0 e x2=0 soddisfano la
disequazione x1 - x2 < 1 ?
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
SI
la parte ammissibile per questo vincolo e quella dalla parte di O.
Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli
temporali
3 x1 + x2 < 7
Posizione limite: retta 3 x1 + x2 = 7
intersezione asse x1 (7/3 , 0)
intersezione asse x2 (0 , 7)
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
quale parte del piano corrisponde a 3 x1 + x2 < 7 ????
Facile ! Basta individuare da che parte sta l’origine O (0,0) rispetto alla retta: 3 x1 + x2 = 7
Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli
temporali
3 x1 + x2 < 7
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
x1=0 e x2=0 soddisfano la
disequazione 3 x1 + x2 < 7 ?
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
SI
la parte ammissibile per questo vincolo e quella dalla parte di O.
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
Determinata la regione (poligono)
di ammissibilita’
(tutte le soluzioni che soddisfano i vincoli),
occorre determinare la soluzione ottima
ovvero quella per cui il valore di
z = 20 x1 + 10 x2
sia il piu grande possibile
Cominciamo con assegnare a z il valore 40
ovvero
z = 20 x1 + 10 x2 = 40
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
Tracciamo la retta col solito sistema
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
Assegnamo ora a z il valore 60
ovvero
z = 20 x1 + 10 x2 = 60
Tracciamo la retta col solito sistema
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
Il valore di z e’ aumentato
Ma puo’ crescere ancora!
Spostando la retta parallelamente
nella direzione della freccia
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
L’obiettivo del problema equivale a
spingere la retta della funzione obiettivo
il piu’ possibile nella direzione della
freccia purche’ intersechi la regione
ammissibile
La posizione obiettivo corrisponde alla retta
z = 20 x1 + 10 x2 = 70
ovvero al punto X: ( x1=0 , x2=7)
X( 0 , 7)
LA STRATEGIA DI GIGI
conclusioni
soluzione ottima
x1 = 0
x2 = 7
F. O. ottima
z = 70
numero di Q.L. della I1
numero di Q.L. della I2
Guadagno di GIGI
LA STRATEGIA DI GIGI
non effettuera’ alcuna QL dell’Iniziativa di tipo 1
effettuera’ 7 QL dell’Iniziativa di tipo 2
realizzando un guadagno di 70 euro
MODELLO MATEMATICO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli x1 - x2 < 1 finanziari
3 x1 + x2 < 7 temporali
x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’
MODELLO MATEMATICO TRASFORMATO
max z = 20 x1 + 10 x2
vincoli
x1 - x2 + x3 = 1
3 x1 + x2 + x4 = 7
x1 > 0 , x2 > 0 , x3 > 0 , x4 > 0
Risoluzione geometrica
Strategia Risolutiva
ALGORITMO
CODICE DI CALCOLO
slack
SITEMA DI 2 EQUAZIONI IN 4 INCOGNITE:
2 si assegnano ad arbitrio (variabili fuori base)
e si ricavano le altre due (variabili in base)
MODELLO MATEMATICO TRASFORMATO
max z = 20 x1 + 10 x2+0x3+0x4
vincoli
x1 - x2 + x3 = 1
3 x1 + x2 + x4 = 7
x1 > 0 , x2 > 0 , x3 > 0 , x4 > 0
Scelta ammissibile:
variabili fuori base ad arbitrio x1 = 0 , x2 = 0
variabili in base calcolate x3 = 1 , x4 = 7
valore corrispondente F.O. z = 0
e’ la soluzione ottima?
Sicuramente NO
Si dimostra che:
Metodo del Simplesso
George Dantzig 1947
Soluzioni di base ammissibili
vertici del poliedro
Identificazione del problema
Formulazione del modello matematico
Tecnica risolutiva-algoritmo
Codice di calcolo-software piattaforma-hardware
Rappresentazione e analisi dei risultati
20
PRODUZIONE OTTIMA IN UN AZIENDA AVICOLA
Indice degli argomenti
Presentazione 2
Introduzione 4
Obbiettivi 5
Fasi di produzione 8
Input/output 13
Definizione dei costi 15
Definizione delle variabili 16
Definizione della funzione obbiettivo 19
Definizione dei vincoli 20
Soluzione ottima 21
Parte I
Indice degli argomenti
Analisi di sensitività in forma descrittiva 27
Analisi di sensitività in forma tabellare 32
Analisi statistica 37
Rappresentazioni grafiche dei risultati 38
Analisi dei risultati 44
Tabella riassuntiva dell’analisi dei risultati 47
Descrizione del software impiegato 48
Parte II
IL LAVORO ALL’INTERNO DELL’AZIENDA SI COMPONE DELLE SEGUENTI FASI:
Introduzione
1. acquisto delle uova e del pollame direttamente dagli allevatori
2. pulizia ed imballaggio delle uova3. lavorazione dei polli4. distribuzione dei prodotti (destinati a
macellerie e supermercati)
L’azienda agricola della signora Mara basa la propria attività sulla vendita all’ingrosso di uova e di pollame
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Obiettivi:
Determinare la campagna ottima di produzione
settimanale
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Campagna ottima di produzione settimanale
• Quante uova• Quali tipi di polli
• Quanti per ogni tipo
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Tenendo presente :
• Le richieste del mercato• La disponibilità degli allevatori• Le ore di lavoro• Profitti ottenibili dalla vendita di ogni
prodotto
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Fasi di produzione:
1. Acquisto di uova e polli
2. Trattamento uova
3. lavorazione polli
4. Distribuzione del prodotto
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Fase 1: ACQUISTO DI UOVA E POLLI
Pollo d’allevamento “Superpesante” Pollo “Golden” Pollo “Livornese”
La sig.ra Mara compra all’inizio della settimana uova e polli di 3 diverse qualità da un certo numero
di allevatori
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Fase 2: TRATTAMENTO UOVA
Test per stabilirne la “freschezza” Pulizia Imballaggio in confezioni plastica in grado
di contenerne 6
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
• Macellazione non più di 2 giorni prima della distribuzione
• Costi di mantenimento (mangime + veterinario)
• Conservazione in frigoriferi
Fase 3: lavorazione polli
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Fase 4: DISTRIBUZIONE DEL PRODOTTO
La distribuzione della merce comporta un costo che dipende dalla quantità di uova e
pollame prodotta.
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Input-Output
Polli Polli & &
PolliPollimangime
Polli e uova
Materiale da imballaggio
Manodopera
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Uova
Pollo Golden
Pollo Livornese
Pollo Superpesante
Riassumendo…
8.1003331/2Manodopera
15.0001501501500Mangime
3.5000001/6Imballaggio
40*000Pollo3
650*00Pollo2
8000*0Pollo1
20.000000*Uova
DisponibilitàPollo3Pollo2Pollo1Uova
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Tab. 1 – Dati del problemaTab. 1 – Dati del problema
Relative Relative ad una ad una
settimanasettimana
Relative Relative ad una ad una
settimanasettimana
N° massimo di uova acquistate N° massimo di uova acquistate complessivamente dagli allevatoricomplessivamente dagli allevatori
N° massimo di polli N° massimo di polli
N° contenitori da 6 uovaN° contenitori da 6 uova
g di mangime a disposizioneg di mangime a disposizione
Ore lavorative espresse in minuti Ore lavorative espresse in minuti pari a 135 ore/settimanapari a 135 ore/settimana
Definizione dei costiPolli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Prodotto Prezzo di vendita unitario
Costo produzione unitario
Uova € 0.50 € 0.20
Pollo Superpesante € 4.00 € 2.50
Pollo
Golden€ 5.50 € 3.50
Pollo
Livornese€ 4.50 € 3.00
Tab. 2 – Prezzi vendita e costi produzioneTab. 2 – Prezzi vendita e costi produzione
Qual’e' la produzione settimanale
dell’azienda avicola che rende massimo il
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
profitto netto totaleprofitto netto totale
Variabili decisionali
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
XX11 -> n° uova prodotte -> n° uova prodotte
XX2 2 -> n° polli Superpesante prodotti-> n° polli Superpesante prodotti
XX33 -> n° polli Golden prodotti -> n° polli Golden prodotti
XX4 4 -> n° polli Livornese prodotti-> n° polli Livornese prodotti
Funzione obiettivoPolli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Prezzo Prezzo unitariunitari
o di o di venditavendita
Costo Costo unitario unitario
di di produzionproduzion
ee
Margine Margine di di
ContribuzioneContribuzione Unitario Unitario (MCU)(MCU)
Coefficienti della Coefficienti della Funzione Funzione ObiettivoObiettivo
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Max z = Max z = 0.30x0.30x11 + 1.50x + 1.50x22 + 2.00x + 2.00x33 + 1.50x + 1.50x44
Funzione ObiettivoFunzione Obiettivo Profitto netto totaleProfitto netto totale
Definizione dei vincoli
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
Vincoli di mercato
Vincoli di produzione
Vincoli di trasporto
I Vincoli di produzione
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
1) 1) x1x1 <= 20000 <= 20000
2) 2) x2x2 <= 80 <= 80
3) 3) x3 x3 <= 65<= 65
4) 4) x4 x4 <= 40<= 40
5) (1/6) 5) (1/6) x1x1 <= 3500 <= 3500
6) 150 6) 150 x2x2 + 150 + 150 x3x3 + 150 + 150 x4x4 <= 15000 <= 15000
7) 0.5 7) 0.5 x1x1 + 3 + 3 x2x2 + 3 + 3 x3x3 + 3 + 3 x4 x4 <= 8100 <= 8100
I Vincoli di mercato
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
8) 8) x1x1 >= 13000 >= 13000 9) 9) x2x2 >= 20 >= 20
10) 10) x3x3 >= 18 >= 18 11) 11) x4x4 >= 12 >= 12
Vincolo sul trasporto
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
12) 12) x2x2 + + x3x3 + + x4x4 <= 100 <= 100
Soluzione ottima:
Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.
€ 650.50650.50
VARIABILE VALOREVARIABILE VALORE X1 15600.000000X1 15600.000000 X2 20.000000X2 20.000000 X3 65.000000X3 65.000000 X4 15.000000X4 15.000000
Con Valore:Con Valore:
• Demo Lindo/PC
• Release 6.1(17set01)
• Lindo System, Inc.
• 1415 North Dayton St.
• Chicago, IL 60622
• http://www.lindo.com
• Caratteristiche tecniche
• Dimensioni massime del modello:
• Costanti 150
• Variabili 300
• Variabili intere 50
Descrizione del software
Scopo del lavoro è la pianificazione dell’acquisizione delle materie prime e della produzione per una fabbrica che lavora bentonite e produce lettiere per gatti.
Si presume che nelle successive 4 settimane il costo della lavorazione della bentonite aumenti. Si deve, dunque, lavorare la maggior quantità di materie prime al più presto.
Il problema principale dell’azienda è che ha a disposizione un unico magazzino di 60˙000 m3, nel quale devono essere stoccati sia le materie prime che il prodotto finito.
L’azienda ricava la bentonite e le materie prime necessarie da 4 miniere, ognuna con
caratteristiche differenti:
A Villaspeciosa (bentonite tipologia 1)
B Uras (bentonite tipologia 2)
C Basso Sulcis 1 (urasite)
D Basso Sulcis 2 (silicato di calcio)
L’azienda commercializza sei diversi tipi di lettiera:
1) LindoCat (agglomerante) 2) LindoCat (compatta) 3) SignorGatto (agglomerante) 4) SignorGatto (compatta) 5) GattoRicco (profumata - colorata) 6) Gattuso
Ciascun prodotto (A, B..) necessita di una diversa proporzione di ciascuna materia prima (1, 2,…), secondo percentuali date dalla seguente tabella:
A B C D
1 15 25 40 20
2 25 40 15 20
3 40 20 20 20
4 25 25 25 25
5 5 50 40 5
6 50 5 5 40
Ogni tipo di materia prima e ogni tipo di prodotto hanno un diverso ingombro:
Materia prima
Volume
A 120
B 130
C 200
D 180
Prodotto volume
1 80
2 90
3 105
4 120
5 125
6 100
Volume occupato per unità di materia prima
Volume occupato per unità di prodotto
Tabella costi di lavorazione per unità di materia prima:
Materie prime
I Sett. II Sett. III Sett. IV Sett.
A 18 24 30 41
B 40 50 65 80
C 23 27 34 44
D 12 19 28 39
Materie prime
I Sett. II Sett. III Sett. IV Sett.
A 18 24 30 41
B 40 50 65 80
C 23 27 34 44
D 12 19 28 39
Minima quantità di prodotto vendibile al giorno (tonn.)
Prodotto Quantità
1 11
2 4
3 18
5 7
6 3
7 12
Variabili decisionali
Le variabili decisionali del problema sono:
le quantità di materia prima a_js acquisita ogni settimana (s) (4X4 = 16 variabili);
Le quantità x_is di prodotto i fabbricato nelle 4 settimane (6X4 = 24 variabili);
Funzioni obiettivo
Lo scopo è quello di minimizzare la seguente funzione obiettivo:
min
+ 18 a_1_1 + 40 a_2_1 + 23 a_3_1 + 12 a_4_1
+ 24 a_1_2 + 50 a_2_2 + 27 a_3_2 + 19 a_4_2
+ 30 a_1_3 + 65 a_2_3 + 34 a_3_3 + 28 a_4_3
+ 41 a_1_4 + 80 a_2_4 + 44 a_3_4 + 39 a_4_4
Vincoli di capacità
Il primo vincolo è la capacità del magazzino:Q ≤ 60˙000 m3;
Il secondo insieme di vincoli (4) implica che le quantità restanti in magazzino al termine di ogni settimana non eccedano la capacità del magazzino stesso; Tali quantità sono date dalla differenza tra il materiale entrante e quello uscente;
I materiali entranti ed uscenti si accumulano di settimana in settimana;
I vincoli vanno riferiti all’inizio di ogni settimana e includono la lavorazione del materiale e le rimanenze di magazzino delle settimane precedenti
Materiale entrante: Materie prime acquistate (a_js x Volume
occupato dall’unità di materia prima j)Prodotti fabbricati (x_is x Volume occupato dal
prodotto i.
Materiale uscente:Materia prima trasformata in prodotto
(variabile x per i coefficienti di composizione di ogni prodotto)
+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1
- Q <= 0 I Sett.- 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1
+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1
+ 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2
- Q <= 38815
II Sett.
- 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1
- 86.50 x_1_2 - 58.00 x_2_2 - 45.00 x_3_2 - 37.50 x_4_2 - 35.00 x_5_2 - 48.50 x_6_2
+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1
+ 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2
+ 120 a_1_3 + 130 a_2_3 + 200 a_3_3 + 180 a_4_3
- Q <= 77630
III Sett.
- 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1
- 86.50 x_1_2 - 58.00 x_2_2 - 45.00 x_3_2 - 37.50 x_4_2 - 35.00 x_5_2 - 48.50 x_6_2
- 86.50 x_1_3 - 58.00 x_2_3 - 45.00 x_3_3 - 37.50 x_4_3 - 35.00 x_5_3 - 48.50 x_6_3
+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1
+ 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2
+ 120 a_1_3 + 130 a_2_3 + 200 a_3_3 + 180 a_4_3
+ 120 a_1_4 + 130 a_2_4 + 200 a_3_4 + 180 a_4_4
- Q <= 116445
IV Sett
Altri vincoli
Un nuovo insieme di vincoli impone che la materia prima lavorata (a) sia sufficiente a realizzare i prodotti finiti (x). Tali vincoli vanno valutati per ogni settimana e per ogni materia prima (16 vincoli totali).
Quantità di bentonite del tipo 1 (A) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane
+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1
- a_1_1 <= 0
I Sett.
+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1
+ 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2
- a_1_1 - a_1_2 <= 0
II Sett.
+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1
+ 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2
+ 0.15 x_1_3 + 0.25 x_2_3 + 0.40 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.50 x_6_3
- a_1_1 - a_1_2 - a_1_3 <= 0
III Sett.
+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1
+ 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2
+ 0.15 x_1_3 + 0.25 x_2_3 + 0.40 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.50 x_6_3
+ 0.15 x_1_4 + 0.25 x_2_4 + 0.40 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.05 x_5_4 + 0.50 x_6_4
- a_1_1 - a_1_2 - a_1_3 - a_1_4 <= 0
IV Sett
Quantità di bentonite del tipo 2 (B) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane
+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1
- a_2_1 <= 0
I Sett.
+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1
+ 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2
- a_2_1 - a_2_2 <= 0
II Sett.
+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1
+ 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2
+ 0.25 x_1_3 + 0.40 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.50 x_5_3 + 0.05 x_6_3
- a_2_1 - a_2_2 - a_2_3 <= 0
III Sett.
+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1
+ 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2
+ 0.25 x_1_3 + 0.40 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.50 x_5_3 + 0.05 x_6_3
+ 0.25 x_1_4 + 0.40 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.50 x_5_4 + 0.05 x_6_4
- a_2_1 - a_2_2 - a_2_3 - a_2_4 <= 0
IV Sett
Quantità di Urasite (C) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane
+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1
- a_3_1 <= 0
I Sett.
+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1
+ 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2
- a_3_1 - a_3_2 <= 0
II Sett.
+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1
+ 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2
+ 0.40 x_1_3 + 0.15 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.40 x_5_3 + 0.05 x_6_3
- a_3_1 - a_3_2 - a_3_3 <= 0
III Sett.
+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1
+ 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2
+ 0.40 x_1_3 + 0.15 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.40 x_5_3 + 0.05 x_6_3
+ 0.40 x_1_4 + 0.15 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.40 x_5_4 + 0.05 x_6_4
- a_3_1 - a_3_2 - a_3_3 - a_3_4 <= 0
IV Sett
Quantità di Silicato di calcio (D) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane
+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1
- a_4_1 <= 0
I Sett.
+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1
+ 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2
- a_4_1 - a_4_2 <= 0
II Sett.
+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1
+ 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2
+ 0.20 x_1_3 + 0.20 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.40 x_6_3
- a_4_1 - a_4_2 - a_4_3 <= 0
III Sett.
+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1
+ 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2
+ 0.20 x_1_3 + 0.20 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.40 x_6_3
+ 0.20 x_1_4 + 0.20 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.05 x_5_4 + 0.40 x_6_4
- a_4_1 - a_4_2 - a_4_3 - a_4_4 <= 0
IV Sett
L’ultimo insieme di vincoli impone che le quantità di prodotti fabbricati siano sufficienti a soddisfare la domanda del mercato; va valutato per ogni prodotto e per ogni settimana (24 vincoli totali).
+ x_1_1 >= 77 + x_1_1 + x_1_2 >= 154 + x_1_1 + x_1_2 + x_1_3 >= 231 + x_1_1 + x_1_2 + x_1_3 + x_1_4 >= 308 + x_2_1 >= 28 + x_2_1 + x_2_2 >= 56 + x_2_1 + x_2_2 + x_2_3 >= 84 + x_2_1 + x_2_2 + x_2_3 + x_2_4 >= 112 + x_3_1 >= 126 + x_3_1 + x_3_2 >= 252 + x_3_1 + x_3_2 + x_3_3 >= 378 + x_3_1 + x_3_2 + x_3_3 + x_3_4 >= 504 + x_4_1 >= 49 + x_4_1 + x_4_2 >= 98 + x_4_1 + x_4_2 + x_4_3 >= 147 + x_4_1 + x_4_2 + x_4_3 + x_4_4 >= 196 + x_5_1 >= 21 + x_5_1 + x_5_2 >= 42 + x_5_1 + x_5_2 + x_5_3 >= 63 + x_5_1 + x_5_2 + x_5_3 + x_5_4 >= 84 + x_6_1 >= 84 + x_6_1 + x_6_2 >= 168 + x_6_1 + x_6_2 + x_6_3 >= 252 + x_6_1 + x_6_2 + x_6_3 + x_6_4 >= 336
Risultati della ricerca I dati sono stati inseriti nel programma “Lindo” e sono stati
ottenuti i seguenti risultati:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 53269.12
VARIABLE VALUE REDUCED COSTA_1_1 124.776123 0.000000A_2_1 83.476875 0.000000A_3_1 86.453003 0.000000A_4_1 93.801498 0.000000A_1_2 124.523331 0.000000A_2_2 83.055557 0.000000A_3_2 85.778885 0.000000A_4_2 93.464447 0.000000A_1_3 123.450539 0.000000A_2_3 89.306190 0.000000A_3_3 82.918106 0.000000A_4_3 92.034058 0.000000A_1_4 124.250000 0.000000A_2_4 74.561371 0.000000A_3_4 85.050003 0.000000A_4_4 93.099998 0.000000
Fasi di lavorazione
•1)Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali
•2)Trattamento
•3)Macinazione
•4)Controllo di qualità in uscita
•5)Insacchettamento •6)Distribuzione
Fase 1Controllo di qualità in ingresso e
acquisto dei cereali
Lo scopo è misurare la percentuale di:
•umidità •radioattività •corpi estraneie rilevare la presenza di: •fattori di contaminazione -fattori microbiologici -fattori macrobiologici -fattori chimici
Fase 2 Trattamento
Questa fase è a sua volta suddivisa in 4 sottofasi:
•prepulitura
•pulitura
•umidificazione
•riposo
Fase 3Macinazione
Questa fase è a sua volta suddivisa in 2 sottofasi:
•spazzolatura
•macinazione
Fase 4Controllo di qualità in uscita
Si eseguono 2 controlli:
•omogeneità del colore
•omogeneità delle dimensioni
Fase 5Insacchettamento
Vengono utilizzati dei sacchi da 50 Kg con carta Kraft a triplo strato utilizzata per prodotti alimentari
Fase 6Distribuzione
I sacchi vengono stoccati in appositi container tramite l’utilizzo di elevatori
mobili e ,successivamente,trasportati nei centri di lavorazione o vendita
Obiettivi
L’obiettivo è : determinare la produzione ottima dei vari prodotti
derivanti dalla macinazione dei cereali alla quale corrisponde un
profitto massimo.
Definizione dei Costi
Al massimo profitto lordo giornaliero verranno detratte le seguenti spese:•Irap £ 150000•Ici £ 21000 •Irpeg £ 395000 •Energia elettrica £ 220000•Acqua £ 15000 •Acquisto sacchi £ 220000•Trasporto £ 310000•Manutenzione £ 50000 •Costo del personale £1250000 •Ammortamenti £ 280000•Altri costi £ 50000
Tipi di farina o semola
Prezzo di acquisto (lire/Kg)
Prezzo di vendita (lire/Kg)
Profitto(lire)
Profitto(euro)
Semola grossa
290 350 60 0.03
Semola per pasta
290 550 260 0.13
Farina 00 270 510 240 0.12Farina per mangimi (orzo)
230 330 100 0.05
Farina polenta
250 550 300 0.15
Farina per mangimi (mais)
250 286 36 0.02
Definizione delle variabiliLe variabili che prenderemo in
considerazione sono i prodotti in uscita dalla macinazione dei diversi
tipi di cerealiChiamiamo: x1-semola per pane x2-semola per pasta x3-farina 00 x4-farina per mangimi(orzo) x5-farina per polenta x6-farina per mangimi (mais)
Definizione dei vincoliVincoli di Produzione
2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000
x1<=2000
x2<=6000
x3<=6000
x4<=1000
x5<=2000
x6<=1000
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 1200012000
x1>=1500 x1>=1500
x2>=4500 x2>=4500
x3>=5000 x3>=5000
x4>=500 x4>=500
x5>=1000 x5>=1000
x6>=500x6>=500
Vincoli di mercato
Definizione della Funzione Obiettivo
Max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 x4 + 300 x5 + 36 x6
Soluzione Ottima
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3492000. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000
Tramite l’analisi di sensitività possiamo analizzare come varia la soluzione ottima al variare di
alcune condizioni:
•Variazione nel vettore dei costi
•Variazione nei termini noti
•Variazione nella matrice dei vincoli
•Aggiunta di una variabile
•Aggiunta di un vincolo
Variazione nel vettore dei costi
Nel nostro caso i costi non possono essere modificati perché imposti dal
mercato perfettamente concorrenziale.
Aggiunta di una variabile (attività)
Nel seguente caso ,il mulino, oltre ai 6 tipi di cereali già visti macina anche
semi di soia.
Tipo di farina o semola
Prezzo di acquisto
(lire/Kg)
Prezzo di vendita
(lire/Kg)
Profitto
(lire/Kg)
Farina di soia
170 520 350
Conclusioni• In definitiva si può dire che se fosse sempre possibile
produrre la quantità ottima, con un l'utile giornaliero definito, l’azienda realizzerebbe un interessante risultato economico; ciò anche in considerazione del volume di lavoro e delle dimensioni del mulino che sono relativamente piccole, tenuto conto che esistono mulini che riescono a macinare fino a 100000 Kg al giorno.
• Tuttavia l’azienda deve adattarsi alle esigenze del mercato che, come abbiamo visto, variano a seconda del periodo, allontanandosi, talvolta anche di molto, dal realizzare il massimo profitto.
Le variazioni sulla quantità minima di derivati da produrre e sulla disponibilità di sacchi si sono rivelate ininfluenti sul profitto aziendale, purché i valori considerati siano sempre, rispettivamente, al di sotto e al di sopra della quantità ottimale.
La strada migliore per aumentare il profitto resta quella di aumentare le ore lavorative, portandole a nove: il profitto arriva così a ad un incremento del 9%. Lavorando dieci ore al giorno l’incremento di profitto rispetto al caso precedente non è sufficiente a far fronte alle aumentate spese per il personale, l’energia, l’acqua, l’assicurazione ecc. Lavorando undici ore il profitto resta addirittura invariato; dunque risulta economicamente vantaggioso lavorare al massimo nove ore al giorno.
Ai fini dell’ottimizzazione del profitto anche l’introduzione della produzione di un cereale “pregiato” come la soia ha portato dei buoni risultati aumentando l’utile netto di un 2.6% circa. C’è da dire, tuttavia, che la soia non ha un mercato come quello degli altri cereali: i suoi campi di utilizzo sono molto limitati e, per così dire, le “fette di mercato” sono già attribuite a pochi e grossi produttori. Pertanto la sua introduzione risulta possibile solo in momenti di forte richiesta.
Resterebbe, infine, da analizzare la variazione simultanea dei casi presenti nell’analisi di sensitività per vedere i suoi effetti sulla
produzione ottima.
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