J. BAQUIE – Ing. E.S.G.T. – La réduction des longueurs – 2010/2011 1/20
La réduction des mesures de distances
1. Le rayon de la sphère locale
En géodésie, la terre est considérée comme un ellipsoïde ; surface mathématique la plus proche
du géoïde pour une zone définie.
En France, c'est l'ellipsoïde de IAG-GRS 80 qui est transformé par la représentation LAMBERT
pour donner la projection Lambert 93 et les projections Lambert Coniques Conformes. Les
caractéristiques de cet ellipsoïde sont :
- demi-grand axe : a = 6 378 137,00 m
- demi-petit axe : b = 6 356 752,314 14 m
- aplatissement = 1/298,257 222 101
Figure 1 : Détermination des normales
En un point T de l'ellipsoïde, toute section contenant la normale (perpendiculaire au plan
osculateur en ce point) à l'ellipsoïde est appelée : section normale.
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Il y a deux normales principales :
- la section méridienne de rayon de courbure : 2
3
. 1a eJT
- la section perpendiculaire à la section méridienne dont le rayon de courbure est :
aN KT
avec
= (1- e2. sin2 ( est la latitude du point)
Et ² ²
²²
a be
a
, e étant l'excentricité.
Soit pour une latitude de 46° 30, = 6 369 061 m et N = 6 389 400 m.
En topométrie courante, nous utiliserons la sphère de courbure moyenne dont le rayon vaut
.NR N
RN= 6 379 222 m toujours avec = 46° 30.
Cette valeur sera toujours arrondie à 6380 km.
2. Assimilation des distances
Nous allons démontrer dans ce paragraphe qu'en topométrie certaines distances proches les
unes des autres peuvent être assimilées.
C'est le cas pour les problèmes de sphéricité ou de réfraction où il s'agira de confondre l'arc à la
tangente ou à la corde.
2.1. Assimilation de l'arc et de la tangente
Sur la Figure 2 ci-dessous, l'arc AB' est la distance D et est égal à RN.Ô
La tangente AB est égale à RN. tan Ô
En développant la tangente, nous obtenons :
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Soit un écart entre l'arc et la tangente de
Or ˆ N
DO
R
; d'ou il vient
3
3
3. .
3 3.
N
N N
N
D
R De R R
R
RN
I A B'
B
O
Ô
Figure 2 : assimilation des distances
J. BAQUIE – Ing. E.S.G.T. – La réduction des longueurs – 2010/2011 4/20
Soit un écart de :
3
23. N
De
R
Calcul fait en prenant comme valeur numérique D = 10 km ; e ≈ 8 mm Donc assimilation parfaitement logique en topométrie où les distances dépassent rarement 500 m.
2.2. Assimilation de l'arc à la corde
En reprenant la Figure 2 la corde est égale à :
ˆ' 2 .sin
2N
OAB R
Toujours en développant le sinus
3 5
3 5
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ2 2ˆ' 2 . ... . . . ...
2 3! 5! 24 1920N N N N
O O
O O OAB R R O R R
De la même manière en calculant l'écart avec l'arc, il vient :
3 5 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ. . . . .
24 1920 24N N N N N
O O Oe R O R R R O R
En remplaçant Ô par N
D
R
3
224 N
De
R
Calcul fait en prenant comme valeur numérique D = 10 km , on obtient e ≈ 1 mm Donc également négligeable en topométrie.
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3. Que dit la législation ?
La réduction d'une distance inclinée Di à l'horizontale est incontournable. Cette réduction se
fait, en général, au niveau de chacune des stations. Elle est imposée par le fait que l'on doit
rendre un plan sous forme papier ou dématérialisé représentant une projection orthogonale du
terrain. Ce rendu s'appelle souvent improprement "plan dans un système local" ou "plan local".
Par contre le rattachement au système géodésique en vigueur n'est obligatoire que pour les
levés de plans entrepris par les services publics. Les systèmes légaux à utiliser et les conditions
minimales d'exécution sont donnés dans le décret n°2000-1276 du 26 décembre 2000.
Ce rattachement peut également être imposé par contrat. L'ordre des géomètres demande
également à ses membres d'entreprendre ce rattachement lors des bornages.
Le rattachement impose de réduire la distance au plan, à l'ellipsoïde puis au plan de projection.
4. Réduction à l'ellipsoïde
4.1. Préambule
Cette réduction va se faire en deux parties. Nous allons tout d'abord partir d'une distance
inclinée Di et la réduire à l'horizontale Dh par une formule de trigonométrie simple. Ensuite nous
allons passer de la distance horizontale à la distance sur l'ellipsoïde D0 par un rapport de rayons.
La distance de départ Di est supposée corrigée des conditions atmosphériques (Ca exprimée en
ppm) et d'étalonnage (constante additive CA) (Voir §6 et §7 du cours sur le distancemètre).
Pour que le calcul de la réduction de la distance horizontale à la distance sur l'ellipsoïde se fasse
correctement, il faut que les extrémités de la distance horizontale soient sur les mêmes
normales (même angle au centre terrestre) que les extrémités de la distance ellipsoïdale.
Dans toutes les démonstrations nous parlerons de hauteurs ellipsoïdales h et non d'altitudes H
sachant que :
h=H+N
N étant l'ondulation du géoïde c'est-à-dire la différence entre l'ellipsoïde et le géoïde.
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4.2. En fonction de l'angle zénithal
4.2.1. Réduction à l'horizontale
Comme dit précédemment, nous partons d'une distance inclinée corrigée. Nous voyons que
pour réduire la distance Di à l'horizontale, il suffit de résoudre le triangle rectangle ABB'.
Il vient :
ˆ.sinh iD D z
ẑ étant l'angle zénithal corrigé de la collimation verticale.
Application numérique :
Di=602,293m et =94,500 gon
602,293 sin94,500 600,047hD m
4.2.2. Réduction à l'ellipsoïde
Nous venons de calculer la distance horizontale hD = AB'. Sur la figure 4, cette distance est par
construction égale à la distance A'B. Cette même distance est égale, à un écart près négligeable
en topométrie (voir § 2), à l'arc A1B = Dh.
A
B
B'
z
hD
Figure 3 : Réduction à l'horizontale en fonction de l'angle zénithal
formule 3.1
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Figure 4 : Réduction à l'ellipsoïde d'une distance horizontale
En regardant la figure 4, nous pouvons établir la relation de proportionnalité :
O h
N N B
D D
R R h
0 . Nh
N B
RD D
R h
Attention les unités employées pour RN et pour hB doivent être les mêmes.
Nous pouvons également calculer le correctif permettant de passer de Dh à D0
B1
B0
B"
B A1
RN
A
B' A'
O
A0
hA
hB
z
O
hD
hD
hD
0D
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0 . .N Bh h h h
N b N b
R hc D D D D D
R h R h
Soit
. Bh
N
hc D
R
Application numérique :
Soit Dh=600,047m; hB= 500m
0
6380600,047 600,000
6380 0,500D m
Ou en calculant la correction
0,500600,047 0,047
6380c m soit
0 600,047 0,047 600,000hD D C m
4.2.3. Réduction à l'horizontale au niveau de la station
Les appareils de topométrie ont un calculateur qui leurs permet de calculer la distance
horizontale au niveau de la station et ramenée entre les normales.
Sur la figure 5 ci-après, la distance horizontale est :
AB'=AB"=Dh
Par ailleurs sur la figure 5, dans le triangle ABB', nous pouvons écrire :
ˆ ˆsin sin
h iD D
B B
Pour les angles nous avons :
ˆ ˆA z2 2
ˆˆ ˆB z - O2
ˆB O2
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En remplaçant, il vient :
ˆ ˆˆ ˆsin sin2 2
ˆcosˆsin2
i i
h
D z O D z O
DO
O
Prenons une application numérique défavorable.
Di = 1,04 km ; ẑ = 82,286 gon ; h = 1 km (hauteur ellipsoïdale)
Rr
RN
A0
Ô
B0
B"
B
B'
A0 A
z
hD
0D
ε
2
Figure 5 : Réduction à l'horizontale au niveau de la station
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Le module de réfraction atmosphérique m.r.a est le rapport entre le rayon de courbure RN de la section normale en un lieu A, dans la direction de la visée AB, et le rayon de courbure Rr du rayon lumineux AB.
N
r
Rm.r.a 0,16
R , cela donne pour RN ; Rr ≈ 39875 km
De ces valeurs on en déduit Dh = 0,999998846 km et D0 = 0,999842131 km
0ˆcos cos 0,9999999877 1N
DO
R
d’où une réduction de la fraction
ˆˆsin2
h iD D z O
En développant le sinus
ˆ ˆˆ ˆsin cos cos sin2 2
h i iD D z O D z O
ˆ ˆsin2 2
O O
et ˆcos 0,9999999897 1
2O
ˆˆ ˆsin cos2
h i iD D z D z O
Dans les arcs de centre et Ô, nous avons : 0ˆ2 2
i
r N
D Det O
R R
ˆ ˆsin cos2
i Oh i i
r N
D DD D z D z
R R
Mais :
7i
r
7h
r
D130,4 10
2 R
D125,4 10
2 R
Nous voyons que ces valeurs sont écartées de 5. 10-7 radians et vont être
supposées assimilables sachant que cela détériorera la précision de la distance réduite. De même
80
N
8h
N
D15671,5 10
R
D15674,0 10
R
L'écart est de 2,5.10-8, nous pouvons considérer ces deux valeurs comme
égales. Il vient :
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ˆ ˆsin cos2
h hh i i
r N
D DD D z D z
R R
. .ˆ ˆsin cos
2
h hh i i
N N
D m r a DD D z D z
R R
. .ˆ ˆsin cos 1
2
hh i i
N
D m r aD D z D z
R
2 ˆ ˆsin cos. .
ˆsin 12
ih i
N
D z zm r aD D z
R
2 ˆsin 2. .ˆsin 1
2 2
i
h i
N
D zm r aD D z
R
Voir autre démonstration en annexe 1
En reprenant l'application numérique des paragraphes 4.2.1 et 4.2.2 :
2602,293 sin 2 94,5000,16602,293 sin 94,500 1 600,042 m
2 2 6380000hD
La réduction à l'ellipsoïde se fera de la même façon que dans le paragraphe précédent, sauf qu'il faudra prendre la hauteur ellipsoïdale de la station A et non du point visé B.
0 . Nh
N A
RD D
R h
0
6380600,042 600,000 m
6380 0,448D
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4.3. En fonction des altitudes
4.3.1. Réduction à l'horizontale
Nous allons voir dans un premier temps la réduction à l'horizontale en fonction de la dénivelée.
Sur la Figure 6, BB" représente la dénivelée entre A et B et BB" = h = hB-hA
hA et hB sont les distances verticales séparant les points du terrain de l'ellipsoïde et sont
appelées hauteurs ellipsoïdales.
Figure 6 : Réduction à l'ellipsoïde en fonction des altitudes
B'
O
B0 A0
hA
A
B
hB B"
A1 B1
hD
RN
Dh
D0
O
2
O
2
hD
O
2
hM
Retour
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Nous pouvons assimiler B"B et B'B, d’où la distance horizontale h D AB':
AB' est bien une distance horizontale car B' (assimilable à B") est au même niveau que A.
2 2 2 2 2' "h i iD D B B D B B
22 2
h i B AD D h h
Application numérique :
Soit Di=602,293m, hA=448,006m ; hB=500m
2 2602,293 (500,000 448,006) 600,045hD m
4.3.2. Réduction à l'ellipsoïde
Comme dit en introduction la distance AB', n'est pas comprise dans l'angle Ô. Pour la mettre
dans cet angle il faut la translater parallèlement à la normale OA. Cette translation nous amène
à la distance A1B1 égale à AB'. Cette distance est à l'hauteur ellipsoïdale moyenne hM entre A et
B. Le triangle BB'B1 étant isocèle, le point B1 est à mi hauteur de BB' donc par assimilation de
BB".
De plus nous pouvons assimiler l'arc A1B1=Dh à la corde , voir §2.
D’où
D h B' B Dh
Nous pouvons rentrer la relation suivante :
0 h
N N M
D D
R R h
0 . N
h
N m
RD D
R h
Application numérique :
Soit Dh=600,045m ; hm=474,003m
0
6380600,045 600,000
6380,474D m
formule 3.2
formule 3.3
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Nous pouvons envisager le problème en calculant directement la distance ellipsoïdale à partir
de la distance inclinée (voir en annexe 2).
5. Réduction au plan de projection
Voir § 5.2.5 du cours de géodésie.
Dans une projection conforme, ce qui est le cas en France, le module de réduction à la
projection est le quotient entre une distance en projection Dr et la même distance sur
l’ellipsoïde D0.
projection 0r
ellipsoïde r
distance Dmodule d'altération= m = =
distance D
Le coefficient d’altération linaire est le quotient de la différence entre une longueur sur le plan
de projection Dr et une longueur sur l’ellipsoïde D0 par la longueur sur l’ellipsoïde D0.
0r r
r
Dcoefficient d'altération = K = m -1= 1
D
projection ellipsoïde r 0r
ellipsoïde 0
distance - distance D - DK = =
distance D
Soit en isolant Dr
Dr = D0 + D0.kr
Comme kr est donné en mm/km
6
0 r1 k 10rD D
Avec Dr et D0 en m, kr en mm par km.
C’est ce coefficient qui est le plus couramment rencontré, notamment dans le programme de
l’I.G.N. "Circé ", sous la forme de millimètres par kilomètre.
Il permet de calculer une distance en projection à partir d'une distance ellipsoïdale.
Pour plus d'information consulter le site de l'IGN ou le lexique topographique.
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Application numérique:
Soit une distance sur l'ellipsoïde de 600,000 m et un coefficient d'altération linéaire de - 345
mm par km.
Par le calcul du correctif : pour le calcul de la réduction, il faut exprimer kr en mètre par
km soit 0,345 m/km et bien sur la distance d'application en km soit 0,600 km, le résultat
sera alors en mètre et pour être apporté en correction à la distance D0. Nous avons alors
:
Dr = 600,000 + (- 0,345) × 0,600
Dr = 600,000 – 0,207 = 599,793 m
En appliquant la formule directe :
Dr = 600,000 × (1 + (-345 × 10-6))
Dr = 599,793 m
6. Calcul d'une distance d'implantation
Il s'agit de déterminer une distance horizontale d'implantation Dh. Pour cela, après avoir calculé
une distance sur le plan de projection Dr il faut calculer d'abord une distance sur l'ellipsoïde D0
et ensuite la distance horizontale Dh. Cela revient à faire le calcul inverse.
16 6
0 61 10 1 10
1 10
rr r r r
r
DD D k D k
k
Nous pouvons également utiliser la formule d'origine 6
0 1 10r rD D k mais en prenant le
coefficient d'altération linéaire avec le signe opposé.
Ensuite, nous ramenons la distance ellipsoïdale à l'horizontale de la station avec la formule
0h
N S N
D D
R h R
0N S
h
N
R hD D
R
La hauteur ellipsoïdale hS est la hauteur de la station d'implantation au niveau des tourillons.
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Application numérique:
Soit une distance sur le plan de projection de 123,456 m et un coefficient d'altération linéaire de
- 356 mm par km. Les tourillons de la station sont à une altitude de 515 m.
Calcul de la distance ellipsoïdale en appliquant la formule directe :
D0 = 123,456 × (1 - (-356 × 10-6))
Dr = 123,5000 m
Calcul de la distance horizontale :
6380,515123,5000 123,510
6380hD m
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Annexe 1
ˆBH B H B Bcos cos cos2
i iD z D
ˆ ˆ ˆˆ ˆB H BH tan cos tan - sin tan2
ii i
r
DO D z O D z O
R
ˆ ˆB H cos - . . sin2
h i hi i
NN N
D D DD z D m r a z
R R R
32
2
2
ˆ ˆsin cosˆB H - . . sin
2
ii
N N
DD z zm r a z
R R
Le second membre de l'équation est négligeable d’où :
2 ˆ ˆsin cosB H i
N
D z z
R
De même
. .ˆ ˆHH B B sin cos cos
2 2
ii i
N
m r a DD z D z
R
B"
H H' B'
B
A
z
hD
ε
2
α
α
Ô
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2
ˆHH . . cos2
i
N
Dm r a z
R
En reprenant Di=1040 m ; et ẑ=82,286 gon et m.r.a = 0,16 cela donne HH'= 3,725 .10-3m En multipliant par sinẑ :
2
ˆ ˆHH . . cos sin2
i
N
Dm r a z z
R
Ici après calcul : HH'="3,582 .10-3m Nous avons un écart de 14 centièmes de millimètres pour un exemple défavorable. Cela va réduire la précision de la réduction de la longueur, mais par contre cela va permettre une mise en facteur.
2 2ˆ ˆsin cosˆ ˆB H =B H H H= . . cos sin
2
i i
N N
D z z Dm r a z z
R R
Après mise en facteur, nous obtenons l'élément correctif 2 ˆ ˆsin cos . .
B H = 12
i
N
D z z m r a
R
D’où 2 ˆ ˆsin cos . .
ˆ=AB =AH -B H = sin 12
ih i
N
D z z m r aD D z
R
2 ˆsin 2. .ˆsin 1
2 2
i
h i
N
D zm r aD D z
R
Retour
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Annexe 2
En reprenant la figure 6 de la page 12, dans le triangle OA0B0 : 2 2
2
2.ˆcos2.
N O
N
R DO
R
Dans le triangle OAB :
2 2 2
2 2ˆcos
2. .
N A N B i
N A N B
R h R h DO
R h R h
En égalisant il vient :
2 2 2
2 2
0
2. ..
.
N A N B N A N B i
N
N A N B
R h R h R h R h DD R
R h R h
2 2
2 2
0 ..
N A N B i
N
N A N B
R h R h DD R
R h R h
22
2 2
0 ..
i A B
N
N A N B
D h hD R
R h R h
22
0
1 . 1
i A B
A B
N N
D h hD
h h
R R
Nous remarquons dans la formule Ax.1 que le numérateur est :
22
i A BD h h
C'est-à-dire la distance horizontale de la formule 3.2 : formule réduisant une distance
inclinée à l'horizontale.
En reprenant la formule Ax.1, et en posant D D
On trouve
2 22
0 2
.
. .
N h
N N A B A B
R DD
R R h h h h
En prenant hm
comme hauteur moyenne et en assimilant hm2 à h
A.h
B, il vient :
22 2
0 2 2.
2. .
Nh
N N m m
RD D
R R h h
formule Ax.1
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