Facultad de estudios de la Empresa Semestre 2013-1
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SEMANA-12
CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA ADM.
Tema :
LA PARÁBOLA
Definición: Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P en el plano cuya
distancia a un punto fijo F (foco), es igual a su distancia a una recta fija l (directriz).
Elementos de una parábola:
1. Vértice: (V) Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.
2. Foco: Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del vértice.
3. Eje de simetría ( 1l ) recta perpendicular a la directriz l y que pasa por el vértice y foco.
4. Cuerda (CE) Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
5. Directriz ( l ) Recta fija, perpendicular al eje de simetría.
6. Cuerda focal (AB) Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el
foco.
7. Lado Recto (LR) (Latus rectum). Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría.
8. Radio Vector (PF): Segmento de recta que une el foco con un punto de la parábola.
LA PARÁBOLA Y SUS APLICACIONES
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FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA
Eje de simetría paralelo al eje x )(4)( 2 hxpky
(Horizontal)
- Vértice: ( , )V h k
- Foco: ( , )F h p k
- Directriz :l x h p
- Eje de simetría 1 :l y k
- Lado recto: 4LR p
Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola 2( 2) 8( 1)y x
Solución:
Sean 1, 2h k
Luego: 4 8p
2p
0p Se abre hacia la izquierda.
- Vértice
- Foco
( 1,2)
- Directriz phxl :
1 ( 2)x
3x
Eje de simetría paralelo al eje y )(4)( 2 kyphx
(Vertical)
- Vértice
- Foco
- Lado recto 4 p
- Directriz :l y k p
- Eje de simetría 1 :l x h
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Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola 2( 1) 4( 4)x y
Solución: 1, 4h k
4 4p
1p
0p Se abre hacia arriba
- Vértice
- Foco
- Directriz :l y k p
: 4 1
3
l y
y
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
02 FEyDxy Eje horizontal
02 FEyDxx Eje vertical
Ejemplo1: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola 05462 yxx
Solución:
Completando cuadrados tenemos: 05462 yxx
0542
6
2
622
yx
05433 22 yx
054932
yx
04432
yx
4432
yx
)1(432
yx
(Es vertical)
Tenemos:
3h 1k
44 p , entonces 1p - Vértice : - Foco
- Directriz: :l y k p
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4
1 1y
2y
Ejemplo2: Hallar la ecuación de la parábola con y foco
Solución:
Como y el vértice es (0,0) a ecuación de la
parábola es de la forma
2 4y px
Foco donde
Entonces 2p
Por lo tanto la ecuación es:
2 4( 2)
8
y x
x
Ejemplo3: Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta y su foco es
Solución:
Del gráfico )(4)( 2 hxpky
Como : 6l x h p
6h p ……..(1)
Foco
0h p ……..(2)
y 0k
De (1) y (2) tenemos
3h , 3p
Entonces: 2 12( 3)y x
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA PARÁBOLA
Se ha visto anteriormente que la ecuación
…… (1)
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Puede escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y
representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p <
0).
Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la
parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto
máximo o mínimo de la curva.
(a)
(b)
Si como en la fig. (a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto más alto de la
curva) es llamado el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente
es el valor máximo de la función que ella representa.
Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. (b)), el vértice V es llamado el punto
mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función.
Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos.
Ejemplo 1. (Decisiones sobre fijación de precios) La demanda mensual x de cierto artículo al
precio de p dólares por unidad está dada por la relación
El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad
y los costos fijos son de $ 2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor
con la finalidad de obtener una utilidad máxima mensual?
Solución: EL costo total C (en dólares) de producir x unidades al mes es
C=Costos variables + Costos fijos = 5x + 2000
La demanda x está dada por x= 1350 – 45p
Sustituyendo en C, resulta:
C=5(1350 – 45p)+2000=8750 – 225p
x
y
x
y
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El ingreso (en dólares) obtenido por vender unidades a dólares por unidad es
(Precio por unidad)(Número de unidades vendidas) = –
–
La utilidad U (en dólares) está dada por:
–
– – –
– –
La utilidad es una ecuación cuadrática y por el signo del término cuadrático su gráfica es una
parábola que se abre hacia abajo, y la utilidad máxima se alcanza en el vértice.
Calculando el vértice para la ecuación utilidad:
U = –45(p2 – 35p) – 8750
U = –45(p – 17,5)2 + 5031,25
Vértice:
En consecuencia, se debe fijar un precio al consumidor de p= $ 17,5 por unidad, con el
propósito de obtener una utilidad máxima que será de $ 5031,25 al mes.
Ejemplo 2: (Decisiones sobre fijación de alquileres) El señor Alonso es propietario de un
edificio de departamentos de 60 habitaciones. Él puede alquilar todas si fija un alquiler mensual
de $ 200 por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarían vacías. En
promedio, por cada incremento de alquiler de $ 5, una habitación quedaría vacía sin la
posibilidad alguna de alquilarse. ¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total? ¿Cuál es
éste ingreso máximo?
Solución: Sea x el número de unidades vacías. El número de departamentos alquilados es
entonces 60 – x, y el alquiler mensual por habitación es (200 + 5x) dólares. Si I denota el
ingreso mensual total (en dólares), se sigue que
– –
El ingreso mensual está determinado por la ecuación cuadrática donde su gráfica es una
parábola que se abre hacia abajo y por lo tanto el ingreso máximo será el vértice de ésta
parábola.
– – – – –
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El vértice es
En consecuencia, si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximos. El alquiler por
habitación es entonces de (200 + 5x) dólares o $ 250 y el ingreso total es de $ 12500 al mes.
Ejercicios
1. En las siguientes ecuaciones de parábolas, hallar su vértice, foco y ecuación de la recta
directriz.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2. Determinar el vértice, y la ecuación de la recta directriz de las siguientes ecuaciones:
a) d)
b) e)
c)
3. Encuentre una ecuación para la parábola que tiene su vértice en el origen y satisface la
condición dada:
a) Foco F(0,2)
b) Foco F(0,-1/2)
c) Foco F(-8,0)
d) Directriz x=2
e) Directriz y=-10
f) Directriz x= -1/8
4. Resuelva los siguientes problemas
a) El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por
dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada
mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso
máximo?
b) La utilidad obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por
. Determine el número de unidades que deben producirse y venderse con
el objetivo de maximizar la utilidad. ¿Cuál es ésta utilidad máxima?
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c) Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 2000 y el costo variable por unidad de su
producto es de $ 25. EL ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por
Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que
maximice el ingreso. ¿Cuál es éste ingreso máximo?, ¿cuántas unidades deben producirse y
venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima?, ¿cuál es ésta utilidad
máxima?
d) El costo por unidad (en dólares) de cierto artículo es
¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo? ¿Cuál es el correspondiente
costo mínimo?
e) Un granjero tiene 500 yardas de cerca con la cual delimitará un corral rectangular. ¿Cuál es
el área máxima que puede cercar?
f) La ecuación de la demanda para un producto es , donde p es el precio (en
dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (por semana).
Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del productor, y determine
este ingreso.
g) La ecuación de demanda para el fabricante de un producto es , donde p es el
precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el
nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
h) La ecuación de demanda para la línea de reglas de plástico de una compañía de artículos de
oficina es , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los
consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que
maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
i) La ecuación de demanda para una compañía de lap – tops de una compañía electrónica es
, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores
demandan q unidades (semanales). Encuentre el nivel de producción que maximiza el
ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
j) Una compañía de marketing estima que n meses después de la introducción del nuevo
producto de un cliente, “y” miles de familias lo usarán, donde
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Estime el número máximo de familias que usarán el producto.
k) La utilidad diaria proveniente de la venta de árboles en el departamento de jardinería de
una tienda está dada por , donde x es el número de árboles
vendidos. Determine la utilidad diaria máxima.
l) Uno de los pronósticos de los precursores de la psicología relaciona la magnitud de un
estímulo, x, con la magnitud de una respuesta, y, lo cual se expresa mediante la ecuación
, donde es una constante del experimento. En un experimento sobre
reconocimiento de patrones, Determine el vértice de la ecuación y haga la gráfica
(suponga que no hay restricción sobre x).
m) Ciertos biólogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas
con una dieta que contenía 10% de proteína, la cual consistía en levadura y harina de maíz.
Al variar el porcentaje p de levadura en la mezcla, el grupo de científicos estimó que el
peso promedio (en gramos) que una rata había aumentado durante un período fue
. Encuentre el peso máximo aumentado.
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