La fonction quadratique
Les zéros de fonction
ou
Les abscisses à l’origine
Les zéros de fonction sont les valeurs de x quand f(x) = 0.
Graphiquement
1
1
2 3-1-2-3
9876
5432
-1-2-3-4-5-6-7-8-9
Algébriquement
f(x) = a ( x – h )2 + k
0 = a ( x – h )2 + k
f(x) = ax2 + bx + c
0 = ax2 + bx + c
Ce sont les abscisses à l’origine.
On les appelle également: - les valeurs de x qui annulent le polynôme.
- les racines ou les solutions de la fonction.
si
alors
si
alors
Pour déterminer algébriquement les zéros de fonction, il existe plusieurs procédés.
En forme canonique:
+-h- k
a
En forme générale:
Procédé 1: Isoler x.
Procédé 2: Utiliser les formules des zéros.
Procédé 1: Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul.
Procédé 2: Utiliser les formules des zéros.
2a
b2 – 4ac+-- b
Avec la forme canonique:
Procédé 1:
f(x) = 1 ( x - 1 )2 - 4
0 = 1 ( x - 1 )2 - 4
4 = ( x - 1 )2
4 = ( x - 1 )2
+- 2 = ( x - 1 )
+ 2 = x - 1 si
alors
+ 1 + 1
3 = x
- 2 = x - 1 si
alors
+ 1 + 1
- 1 = x
x1 = - 1 x2 = 3
0 = ( x - 1 )2 - 4
0 = ( - 1 - 1 )2 - 4
0 = ( 3 - 1 )2 - 4
Vérifions:
Un nombre possède 2 racines.
x1 = - 1
x2 = 3
Isoler x
vrai
vrai
donc -1 et 3 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme.
f(x) = a ( x - h )2 + k
0 = a ( x - h )2 + k
- k = a ( x - h )2
Procédé 2: +-h- k
aDémonstration
Utilisons la forme théorique.
- k = a ( x - h )2
a a
- k
a= ( x – h )2 x1 =
- k
ah - x2 =
- k
ah +
Utiliser les formules des zéros:
- k = ( x - h )2
a
- k
a= ( x – h )+-
- k
a= x – h +-
- k
a= x h +-
Avec la forme canonique:
Ainsi, dans la fonction : f(x) = 1 ( x - 1 )2 - 4
a = 1 h = 1 k = - 4 - k
a= x h +-
- - 4
1= x 1 +-
4 = x 1 +-
= x 1 +- 2
x1 = 1 – 2 = - 1 x2 = 1 + 2 = 3
x1 = - 1 x2 = 3
Remarque: dans la formule - k
a= x h +-
- ka
est appelé le DISCRIMINANT. Il nous renseigne sur l’existence des zéros.
Si - ka
> 0
Si - ka
= 0
Si - ka
< 0
, les zéros sont réels et distincts:
x1 = - k
ah - x2 =
- k
ah +
x1 = h – 0 x2 = h + 0
Zéro double
Les zéros ne sont pas des nombres réels.
Exemple 1: f(x) = 2 ( x + 3 )2 - 8
x1 = - 5
a = 2 h = - 3 k = - 8 - k
a= - - 8
2= 4 donc deux zéros
réels distincts
x1 = - 3 - 4 x2 = - 3 + 4
x1 = - 3 – 2 = - 5 x2 = - 3 + 2 = - 1
x2 = - 1Deux solutions:
Exemple 2: f(x) = 3 ( x - 6 )2
x = 6
a = 3 h = 6 k = 0 - ka
= 03
= 0 donc un zéro double
x1 = 6 - 0 x2 = 6 + 0
La parabole touche l’axe des x par son sommet.
Exemple 3: f(x) = 2 ( x + 6 )2 + 2
a = 2 h = - 6 k = 2 - k
a= - 2
2= - 1 aucun zéro réel
car - 1 On ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif.
Aucune solution
Une solution:
Avec la forme générale:
Procédé 1 : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul.
Exemple: f(x) = 2x2 + 3x + 1
0 = 2x2 + 3x + 1
0 = ( 2x + 1 ) ( x + 1 )Étape 1 : Factoriser le polynôme:
Étape 2 : Utiliser la loi du produit nul.
Que signifie la loi du produit nul ?
La loi du produit nul
0 = ( 2x + 1 ) ( x + 1 )
Pour obtenir :
on a 2 possibilités:
0
0 = 0 ( x + 1 )soit X
0 = 0soit ( 2x + 1 ) X
X
Dans les deux cas, la multiplication par 0 de l’un des deux binômes, nous donnera f(x) = 0.
C’est la loi du produit nul.
2x + 1 = 0
- 1 - 1
2x = - 1
22
x + 1 = 0
- 1 - 1
x1 = -1
On pose alors les conditions suivantes:
si ( x + 1 ) = 0 si ( 2x + 1) = 0
f(x) = 2x2 + 3x + 1Vérifions:
0 = 2 X (-1)2 + 3 X -1 + 1
0 = 2 X (- 0,5 )2 + 3 X - 0,5 + 1
x1 = - 1
x2 = - 0,5
vrai
vrai
donc - 0,5 et -1 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme.
x2 = - 12
ou - 0,5
Avec la forme générale:
Procédé 2 : Utiliser les formules des zéros: - b -+ b2 – 4ac
2aDémonstration
En utilisant les formules des zéros de la forme canonique :
- k
ah +-
en association avec les coordonnées du sommet de la parabole, en forme générale:
- b
2a 4a
4ac – b2
S ,
on obtient les formules des zéros en forme générale.
- k
ah +-
On sait que : - b
2ah = et que
4a
4ac – b2k = alors remplaçons :
4a
4ac – b2- b
2a+- -
a
4a
4ac – b2+- -
a÷- b
2a
4a
4ac – b2+- - a
X1- b
2a
4a2
4ac – b2+- -
- b
2a
4a2
4ac + b2+- -
- b
2a
4a2
b2 – 4ac+-- b
2a
4a2
b2 – 4ac+-- b
2a
2a
b2 – 4ac+-- b
2a
2a
b2 – 4ac+-- b
x1 =
2a
b2 – 4ac- b -
x2 =
2a
b2 – 4ac- b +
Exemple : f(x) = 2x2 + 3x + 1
a = 2 b = 3 c = 1
2a
b2 – 4ac+-- b
2 X 2
32 – 4 X 2 X 1+-- 3
4
9 – 8+-- 3
4
1+-- 3
4
1+-- 3
x1 =
4
- 3 - 1 = - 1
- 4
4=
x2 =
4
- 3 + 1 =- 2
4=
- 1
2
x1 = - 1 x2 = - 1
2
Remarque: dans la formule
est le DISCRIMINANT. Il nous renseigne sur l’existence des zéros.
Si < 0
, les zéros sont réels et distincts:
x1 = - b - 0 x2 = - b + 0
Zéro double
Les zéros ne sont pas des nombres réels.
b2 – 4ac
Si > 0b2 – 4ac
2a
b2 – 4ac+-- b
x1 = x2 =
2a
b2 – 4ac- b -
2a
b2 – 4ac- b +
Si = 0b2 – 4ac
b2 – 4ac
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