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Tema: Elipse
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INDICE:1. Defnicin y elementos de la elipse
2. Valor de la constante
3. Excentricidad de la elipse4. Ecuacin de la elipse con centro en el origen
5. Ecuacin de la elipse con centro uera del origen
. Vertical
. Horiontal
!. "ongitud del lado recto. Vertical
. Horiontal
#. Ecuacin ordinaria
. Vertical
. Horiontal$. Ecuacin general
. Vertical
. Horiontal
%. &on'ersin de la orma general a la ordinaria
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1. DEFINICIN
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Defnicin
Una elipse es el lugar geomtrico de todoslos puntos de un plano tales !ue la sumade sus distancias a dos puntos f"osllamados #ocos siempre es constante.
$ esta longitud constante se le denominae"e ma%o !ue puede ser paralelo al e"e &'(paralelo al e"e &%( o )ien o)licuo.
E"e ma%or *Distancia entre
+rtices
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E,E-ENT/ DE ,$E,I0/E
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CENTRO: Como su nombre loindica, es el punto central de la
elipse y es donde se
intersecan los ejes mayor y menor.
FOCOS (F1 y F2): Son dos
puntos localizados sobre el Eje
mayor, no son arbitrarios y entre
ms parecida sea una elipse a
una circunferencia, la distancia
entre ellos se reduce
.
Eje Mayor ( AB = 2 a ):
Segmento de recta
localizado entre los
vrtices de la Elipse.
Eje Menor ( CD = 2b) :
Segmento de recta
perpendicular al eje mayor
cuyos etremos se
localizan sobre la elipse.
RADIO VECTOR : Son lossegmentos de recta
dirigidos !ue van desde un
punto "# u "$ %asta un
punto situado en la
elipse.
VERTICE ( A y B) :&untos etremos del eje
mayor.
DISTANCIA FOCAL : Esel segmento de recta
!ue va desde un foco "#
%asta el "$.
LADO RECTO : Segmento de
recta perpendicular al eje
mayor, contiene a un foco
'cual!uiera de los dos) y sus
etremos se localizan sobre la
elipse. (a longitud del lado recto
se denomina ancho focal.
E,E-ENT/ DE ,$ E,I0/E
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. 2$,3 DE
,$CN/T$NTE
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PF1+ PF2= 2a
Como establece la defnicin inicial de la elipse como lugargeomtrico, para todos los puntos Pde la elipse la suma delas longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidadconstante igual a la longitud 2adel eje mayor:
2alor de la
constante
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3.
EXCENTR C DAD
DE LA
EL PSE
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E'centricidad de la Elipse
La ecentricidad (!psilon" de una elipse es la ra#n entre susemidistancia $ocal !segmento %ue va del centro de la elipse a unode sus $ocos", denominada por la letra c, y su semieje mayor& 'uvalor se encuentra entre cero y uno&
(ado %ue :
)ambin vale larelacin
* el sistema :La excentricidad indica la forma de unaelipse; una elipse ser ms redondeadacuanto ms se aproxime suexcentricidad al valor cero. Ladesignacin tradicional de laexcentricidad es la letra
griega
llamada psilon.
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4. ECU$CIN DE ,$E,I0/E CN CENT3
EN E, 3I5EN
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partir de la defnicin de la elipse y de la epresinpara calcular la distancia entre dos puntos, se puedededucir la ecuacin de una elipse en un sistema decoordenadas rectangulares&
Ecuacin de la elipse6ori7ontal con centro en el
origen
'i los vrtices se ubican en las coordenadas y
, los $ocos estn en y , el eje
mayor de la elipse es coincidente al eje -. y su centro
se ubica en el origen , tiene la siguiente $orma :
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'i el punto / est en cual%uierade los vrtices, la suma de
distancias d0 + d2da comoresultadoa 1 c + a + c , por lo %ue lasuma constante se establece en2a, a 3
4l punto /!, y" pertenecer a la elipse si y slo si: d0+ d2
=2a,por lo tanto:
5asta llegar a : ecuacin conocida
como ecuacinordinaria o cannicade la elipsehorizontal con centroen el origen, desemieje mayor a yde semieje menor b &
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4l procedimiento para obtener la ecuacin dela elipse vertical es muy similar al %ue se 6i#ocon la elipse 6ori#ontal&
Ecuacin de la elipse+ertical
con centro en el origen
4n este caso, los vrtices y $ocos estn sobre el eje -y 7en las coordenada
, respectivamente y aplican
epresin de distancia entre dos puntos, se tiene %ue :
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ecuacin conocida como ecuacin ordinaria o cannica de la elipsevertical con centro en el origen, de semieje mayor a y de semiejemenor b &
La elipse en este caso tendr8a la siguiente $orma:
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8. ECU$CIN DE ,$E,I0/E
CN CENT3 FUE3$
DE,3I5EN
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Ecuacin de la Elipse con centro
fuera del origen - Horizontal
) partir de la defnicin de la elipse y de la expresinpara calcular la distancia entre dos puntos* se puedededucir la ecuacin de una elipse en un sistema decoordenadas rectangulares
'ea la elipse del eje $ocal paralelo al eje 9 y cuyocentro es el punto C !6,"
'i trasladamos el sistema de coordenadas 9; alsistema 9
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plo I : 9ori7ontal; allar la ecuacin de la elipse cu%os +rtices son l=; % 29=8=; % pasa por el punto 09>;.
4n este sistema:9= 16
;
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Ecuacin de la Elipse con centro fuera
del origen Vertical
4l procedimiento para obtener la ecuacin de la elipse vertical es muy similar al %ue se 6i#o con la elipse 6ori#ontaConsideremos a6ora la elipse cuyo eje $ocal es paralelo al eje ; y cuyo centro es el punto C !6,"
Como en el caso anterior la ecuacin de la elipse con relacin al sistema 9
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@. ,N5ITUDDE, ,$D
3ECT DE UN$E,I0/E
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Longitud del lado recto de una elipse
horizontal
0ara cual!uier elipse los segmentosperpendiculares al e"e ma%or !ue pasan por sus#ocos de la elipsecon e'tremos so)re la cur+a se denominan lados
rectos +",-.5rAfcamentees:
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0ara encontrar lascoordenadas de lose'tremos del lado
recto !ue pasa porel #oco se
sustitu%e el+alor de ' por c en
la ecuacin
despe"ada para % :cual las coordenadas de los e'tremos 01 % p del lado recto asociado
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/imilarmente para encontrar lascoordenadas de los e'tremos del ladorecto !ue pasa por el #oco F elprocedimiento es idntico al tomar encuenta !ue los puntos p> % p4 sonsimtricos a los puntos p1% p con respecto al e"e ' con lo !ue setienen la mismas ordenadasrespecti+as por lo !ue las
coordenadas de los e'tremos p> % p4del lado recto asociado F a son:
,a longitud medida enunidades lineales 9u;de cadalado recto +iene dado por ladi#erencia de sus ordenadas.0or lo tanto:
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Longitud del lado recto de una elipse
vertical
0ara encontrar las coordenadas de los e'tremos del lado rectode una elipse +ertical !ue pasa por el #oco F1 se sustitu%e el +alor de % por c en
la ecuacin despe"ada para '
por lo cual las coordenadas de los e'tremos p0y p2del ladorecto asociado a $0son:
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/imilarmente para encontrar las coordenadasde los e'tremos del lado recto !ue pasa por el#oco F el procedimiento es idntico al tomaren cuenta !ue los puntos p> % p4 sonsimtricos a los puntos p1% pcon respecto al e"e ' con lo !ue se tienen lamismas ordenadas respecti+as por lo !ue lascoordenadas de los e'tremos p>% p4 del ladorecto asociado F a son:
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Ecuacin General de la Elipse
Como en los casos de las otras cnicas, para convertir una ecuacin de la$orma general a la $orma ordinaria, utili#aremos el mtodo de$actori#acin conocido como completar cuadrados&
i la ecuacin corresponde a una elipse, entonces los signos de y > deben ser iguales&
Conversin de f. ordinaria a f. general
Esta ecuacin es la que encontramos en el ejemplo que se resolvien la pgina?Ahora solamente vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por 25 y despus por16:
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Esta es la ecuacin de la misma elipse, pero en la forma general.
$6ora solamente +amos a trans#ormarla a la #orma general
Ba calculamos la ecuacin en #orma ordinaria deesta elipse 9pAg.;.
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6ora solamente la vamos a escribir en la $orma general&4mpe#amos multiplicando ambos lados de la igualdad por losdenominadores de las $racciones:
6ora desarrollamos los binomios %ue estn elevados alcuadrado
; 6emos terminado
Ba calculamos la ecuacin en #orma ordinaria de estaelipse 9pAg.;
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ECU$CIN 5ENE3$, DE ,$ E,I0/E 3INT$,
Que e !a ecuacin general de la elipse horizontal" $C# $ero %e!&'&o 'no"
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ECUACION GENERAL DE ELIPSE VERTICAL:
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?.CN2E3/IN
DE ,$F3-$
5ENE3$, $ ,$F3-$
3DIN$3I$
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Conversin de la forma general a la forma ordinaria
6ora si vamos a aplicar el mtodo de completar cuadrados&4mpe#amos ordenando los trminos: primero los %ue incluyen a y despus los %ue incluyen a y:
?actori#amos el coefciente del trmino principal de cada binomio:
Como en los casos de las otras cnicas para con+ertir una ecuacin
de la #orma general a la #orma ordinaria utili7aremos el mtodo de#actori7acin conocido como completar cuadrados.
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