Languages
Pages
Legal
Лекц 15
Тодорхой интегралын хэрэглээ
• Дүрсийн талбайг олох
• Нумын уртыг олох
• Биеийн эзэлхүүнийг олох
• Эргэлтийн биеийн гадаргууг олох
1
Дүрсийн талбайг олох
a).
S =b∫
a|f (x)|dx
Жишээ y = sin x муруй болон Ox тэнхлэгээр зааглагдсан дүрсийн талбайг0 ≤ x ≤ 2π завсарт ол.
//x
OO y1
−1
π 2π
y = sin x
y = sin x ≥ 0 , x ∈ [0; π]y = sin x ≤ 0 , x ∈ [π; 2π].
S =2π∫
0| sin x|dx =
π∫
0sin xdx +
∣∣∣∣∣∣∣∣
2π∫
πsin xdx
∣∣∣∣∣∣∣∣= 4.
2
б). Хэрвээ S муж нь x = a , x = b шулуунууд, y = f (x) , y = g(x)(f (x) ≥ g(x)) муруйнуудаар зааглагдсан бол
S =b∫
af (x)dx−
b∫
ag(x)dx =
b∫
a[f (x)− g(x)]dx
гэж олдоно.
3
Жишээ: y = x + 2 , y = x2 муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
//x
OO y
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
ÂÂÂÂÂÂÂÂ
−1 O 2
y=x2 y=x+2
S =2∫
−1(x + 2)dx−
2∫
−1x2dx =
9
2.
в). Хэрэв
x = ϕ(t)y = ψ(t)
параметрт хэлбэртэй өгөгдсөн бол
Ox тэнхлэг, x = a, x = b шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг
S =b∫
af (x)dx =
β∫
αψ(t) · ϕ′(t)dt
томъёогоор олно
4
x = ϕ(t)y = ψ(t)
α ≤ t ≤ β. ϕ(α) = a, ϕ(β) = b
S =b∫
af (x)dx =
b∫
aydx =
β∫
αψ(t)
y· ϕ′(t)dt
dx
Жишээ x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π муруйгаар хүрээлэгдсэн дүрсийнталбайг ол.
OO yb
−b
//x−a aO
x = a =⇒ cos t = 1 =⇒ t = 0x = −a =⇒ cos t = −1 ⇒ t = π
5
S = 2 ·a∫
−af (x)dx = 2 ·
0∫
πb sin t · (−a sin t)dt = πab.
г). Туйлын координатын системд дүрсийн талбайг олох.
//r
ººººººººººººººººººººººº
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeddα
oo
¹¹θ
r1(θ)
r2(θ)
Q
S =1
2·
β∫
αr22(θ)dθ − 1
2·
β∫
αr21(θ)dθ =
1
2·
β∫
α
[r22(θ)− r2
1(θ)]dθ.
томъёогоор олдоно. θ = β − α
Жишээ Лемнискатын талбайг ол.
6
O
OO y
//x−a a
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
y = x
(x2 + y2)2 =a2(x2 − y2) - ТӨКС-дr = a
√cos 2ϕ – ТКС-д.
S
4=
π4∫
0
r2
2dϕ =
1
2·
π4∫
0a2 · cos 2ϕdϕ =
a2
4. =⇒ [S = a2].
7
Нумын уртыг олох
Oxy хавтгай дээр y = f (x) муруй авч, энэ муруйн x = a, x = b шулуунуудаарзааглагдсан нумын уртыг олъё.
//x
OO y
O a xi−1 xi b
A
C
D
E
Bmmmmmmmmmmmmm
а). a = x0, x1, . . . , xn = b гэж тэмдэглэвэл [a; b] хэрчим n хэсэгтхуваагдах бөгөөд тэдгээрийн дотроос ∆xi = xi − xi−1–д харгалзах хөвч болохCD-ийн уртыг олъё.
8
CD =√
DE2 + CE2 =√(∆yi)2 + (∆xi)2 = ∆xi ·
√√√√√√√
∆yi
∆xi
2
+ 1
болох ба^
AB нумын урт
λ =maxi=1,n
∆xi гэвэл
l = limλ→0
n∑
i=1
√(∆yi)2 + (∆xi)2 = lim
λ→0
n∑
i=1
√√√√√√√
∆yi
∆xi
2
+ 1 ·∆xi
интегралын тодорхойлолт ёсоор
l =b∫
ads =
b∫
a
√1 + y′2dx
байна.Энд
ds =√1 + y′2dx =
√(dx)2 + (dy)2
нумын дифференциал
9
Жишээ y = x2 муруйн O(0; 0), A(2; 4) цэгүүдийн хооронд орших нумынуртыг ол.
//x
OO y
ww
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
ÂÂÂÂÂÂ
______
O
A
Нумын уртыг олох томъёо ёсоор
l =2∫
0
√1 + (2x)2dx =
2∫
0
√1 + 4x2dx =
√17 +
1
4· ln |4 +
√17|
10
б). Хэрвээ муруйн тэгшитгэл
x = ϕ(t)y = ψ(t)
, t1 ≤ t ≤ t2
хэлбэрээр өгөгдсөн бол
l =t2∫
t1
√(ϕ′(t)dt)2 + (ψ′(t)dt)2 =
t2∫
t1
√[ϕ′(t)]2 + [ψ′(t)]2dt
11
Жишээ Астроидын уртыг ол.
//x
OO y
O a−a
a
−a
x23 + y
23 = a
23
x = a cos3 ty = a sin3 t , 0 ≤ t ≤ 2π.
l=2π∫
0
√9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 cos2 t sin4 tdt = 6a
12
в). Муруй ТКС-д r = ϕ(θ), α ≤ θ ≤ β гэж өгөгдсөн бол нумын урт
l =β∫
α
√r′2 + r2dθ
гэж олдоно.
Жишээ Кардоидын уртыг ол.
//x
OO y
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
__
ϕ
r
13
r = a(1 + cos ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
l=2π∫
0
√
a2 sin2 ϕ + a2(1 + cos ϕ)2dϕ= 8a.
14
Биеийн эзэлхүүнийг олох
a). Хөндлөн огтлолоор нь биеийн эзэлхүүнийг олох.
//x
. .
OO y
x=a xi−1
Q(xi−1)Q(xi)
xi x=b±±±±±±±±±±±±±±±±±±±
¨¨ z
O
∆Vi = Q(xi)∆xi
болно.Иймд олох биеийн эзэлхүүн нь [a; b] хэрчмийн дагуу хуваахад үүссэн n ширхэг
цилиндрийн эзэлхүүнүүдийн нийлбэртэй ойролцоогоор тэнцүү.
V ≈ n∑
i=1Q(xi)∆xi.
15
Энэ нийлбэрээс λ =maxi=1,n
∆xi → 0 үеийн хязгаар авбал
V = limλ→0
n∑
i=1Q(xi)∆xi =
b∫
aS(x)dx.
(S(x)− Sх.о, a ≤ x ≤ b.)
16
Жишээx2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1 эллипсоидын эзэлхүүнийг ол.
//y.
OO z
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄ
ÄÄ x
Энэ эллипсоидын YoZ хавтгайтай параллель, түүний x зайд орших хөндлөногтлолын талбай нь
y2
b2+
z2
c2= 1− x2
a2
буюуy2
b
√
1− x2
a2
2 +
z2
c
√
1− x2
a2
2 = 1
эллипс байна.
17
Тэнхлэгүүд нь
b1 = b ·√√√√√√1− x2
a2, c1 = c ·
√√√√√√1− x2
a2
байна.Hөндлөн огтлол нь
Q(x) = πb1c1 = πbc
1− x2
a2
Эзэлхүүн нь
V = πbca∫
−a
1− x2
a2
dx = πbc · 2 ·
x− x3
3a2
∣∣∣∣∣∣∣∣
a
0
=4
3πabc.
гэж олдоно.
18
б). Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох.
//x
OO y
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
Ä
ÄÄ zO
. . .
y = f (x)
[a; b] хэрчим дээр өгөгд-сөн y = f (x) муруйг Ox тэнхлэгийг тойрууланэргүүлэхэд үүсэх биеийн эзэлхүүнийг хөндлөн огтлолын томъёог ашиглан олъё.Ийм эргэлтийн биеийн хувьд x-цэгт харгалзах хөндлөн огтлол нь y = f (x) радиустай
дугуй байх тул эзэлхүүн нь дараах томъёогоор олдоно. S = π[f (x)]2.
V = π ·b∫
af 2(x)dx.
19
Жишээ y =a
2·
(e
xa + e−
xa
)гинжин шугам Ox тэнхлэгийг тойрон эргэхэд
үүсэх биеийн V -ийг 0 ≤ x ≤ b завсарт ол.
//x
OOy
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
ÄÄ z
O. . .
b
y = a2(e
xa + e−
xa)
V = π · a2
4
b∫
0
(e
xa + e−
xa
)2dx =
πa3
8·
e
2ba − e−
2ba
+
πa2b
2.
20
Эргэлтийн биеийн гадаргууг олох
//x
OO y
££££
££££
££££
££££
£
¡¡ z
O . . . .
xi−1xi
a bξi
•Pi(ξi, ηi)
yi−1yi
[a; b] хэрчим дээр өгөгдсөн y = f (x)–ийг Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэдүүсэх биеийн гадаргууг нь олъё.Үүний тулд y = f (x)– ийг [a; b] хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд тасралтгүй
уламжлалтай гэж үзье.Энэ хэрчмээ n хэсэг болгон хувааж, хэсэг тус бүрт нь y = f (x) муруйд хөвч
татвал эдгээр хөвчүүд нь Ox тэнхлэгийг тойрон эргэхдээ огтлогдсон конусуудыгүүсгэнэ.Эдгээрийн дотроос i-р буюу ∆xi = xi− xi−1 хэсэгт харгалзах конусыг сонгон
авбал түүний гадаргуугийн талбай нь ∆pi = 2π · yi + yi−1
2·∆si гэж олдоно.
21
Үүнд: Лагранжийн томъёо ёсоор∆yi
∆xi=
yi − yi−1
xi − xi−1= f ′(ξi) , xi−1 ≤ ξi ≤ xi байх ξi цэг олдох учраас ∆Si =
√(∆xi)2 + (∆yi)2 =
√√√√√√√1 +∆yi
∆xi
2
·∆xi болно. ∆pi = 2π·yi + yi−1
2·√1 + [f ′(ξ)]2·∆xi.
Олох гадаргуугийн талбай нь эдгээр огтлогдсон конусуудын гадаргуунуудыннийлбэртэй ойролцоогоор тэнцүү ба жинхэнэ утга нь үүнээс λ =max
i=1,n∆xi →
0 үеийн хязгаар авсантай тэнцүү байна.
p = limλ→0
n∑
i=1π[f (xi−1)+f (xi)]
√1 + [f ′(ξ)]2∆xi = 2π
b∫
af (x)
√1 + [f ′(x)]2dx = 2π
b∫
ayds.
22
Жишээ y2 = 2px параболын x = 0 , x = a цэгүүдийн хоорондох нумыг,Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн гадаргуугийн талбайг ол.
y2 = 2px =⇒ y =√
2px, =⇒ y′ =√
2p
2√
x
p = 2πa∫
0
√2px ·
√√√√√√1 +2p
4xdx =
2π√
p
3
(2a + p)
32 − p
32
.
23
Хэрэв муруй нь x = ϕ(t), y = ψ(t), t1 ≤ t ≤ t2 гэсэн параметр хэлбэртэйөгөгдсөн бол гадаргуу
p = 2πt2∫
t1
ψ(t)√(ψ′(t))2 + (ψ(t))2dt = 2π
t2∫
t1
ψ(t)ds
гэж олдоно.
Жишээ
x = a(t− sin t)y = a(1− cos t)
циклоидын нэг салааны нумыг Ox тэнхлэгийг
тойруулан эргүүлэхэд үүсэх гадаргуугийн талбайг ол.
y = a(1− cos t) = 2a sin2 t
2ds =
√(2a · 2 sin t
2 cos t2 · 1
2
)2+ a2 · (1− cos t)2dt = 2a sin t
2dt.
p = 2π2π∫
02a sin2 t
2· 2a sin
t
2dt =
64πa2
3.
24