Kunskapskrisen i matematik - undersökning av lärande på Youschool, ett webbaserat
matematikstöd
John Rödin
UMK900, Examensarbete (30 hp)
Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapernas
didaktik vid Stockholms Universitet
Civilingenjör och Lärare (300 hp)
Inriktning: Kemi och matematik
Vårterminen 2015
Examinator: Carl-Johan Rundgren
Huvudhandledare: Tanja Pelz-Wall
Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapernas
didaktik vid Stockholms Universitet
Biträdande handledare: Hans Thunberg
Institutionen för Matematik vid Kungliga Tekniska Högskola
English title: Alarmingly low proficiency in mathematics in Swedish
education – A study of learning by Youschool, a private tutor on the
web ! !
Stockholm, 2015
!!
2!
Kunskapskrisen i Matematik
- undersökning av lärande på Youschool, ett webbaserat matematikstöd
John Rödin
Abstract
There!are!a!growing!number!of!companies!in!Sweden!that!provide!private!tutoring!to!students!in!upper!secondary!school,!one!of!these!companies!is!Youschool.!They!distinguished!themselves!from!the!others!by!having!a!tutor!communicating!with!a!student!via!Internet!–!using!pencil!and!sound!in!real!time.!Youschool!provide!virtual!classes!with!two!to!four!students!at!each!time!lead!by!one!teacher!using!a!“document!camera”!as!the!main!communication!equipment.!The!students!put!their!notebooks!under!their!document!cameras!and!are!thereafter!able!to!demonstrate!their!solutions!and!follow!each!other’s.!They!can!literally!follow!each!stroke!of!each!other’s!pencils.!!!!!!!Matematik!2b!is!a!mathematics!unit!in!the!Swedish!upper!secondary!school!mainly!taken!by!students!in!the!Business!Management!and!Economics!Programme!and!the!Humanities!Programme,!both!theoretical!programmes!preparing!students!for!university!studies.!Statistics!based!upon!the!Swedish!national!examinations!each!year!shows!that!a!great!number!of!students!fail!the!tests!in!this!unit.!!!This!is!a!qualitative!study!based!on!semi!structured!telephone!interviews!of!students!taking!the!Matematik!2b!unit,!and!who!are!using!Youschool!as!private!tutoring,!as!well!as!observations!of!a!screen!filmed!class!where!students!practiced!solving!mathematic!problems.!The!purpose!of!the!study!is!to!research!whether!Youschool!is!supportive!in!studying!mathematics!or!not.!In!the!discussion!section!of!this!study,!both!the!curriculum!of!the!unit!and!the!van!HieleJlevels!are!referred!to!when!analysing!the!findings.!!!The!results!points!out!the!importance!of!a!supportive!and!challenging!tutor!to!help!students!to!keep!their!motivation!up!during!classes!in!Youschool.!Furthermore,!some!mathematics!skills!might!be!better!practiced!using!Youschool!than!others,!therefore!students!wish!to!exercise!further!mathematic!problems!to!stimulate!thinking!on!the!higher!van!HieleJlevels.!However,!the!technology!that!is!supposed!to!enable!learning!by!Youschool!might!sometimes!be!the!one!thing!to!hinder!a!student!from!learning.!Problems!with!the!technology!therefore!impose!Youschool!to!update!their!systems!to!affirm!effective!learning.!
Keywords
Youschool, mathematics education, private tutoring, virtual teaching, document camera, van Hiele, crisis of thinking
!
!!
3!
Sammanfattning
En!rad!företag!som!erbjuder!läxhjälp!har!uppstått!sedan!Rutavdraget!för!läxhjälp!utökades!till!att!gälla!för!gymnasieelever.!Youschool!är!ett!av!dessa!företag.!Det!som!utmärker!Youschool!är!att!de!erbjuder!läxhjälp!där!elever!och!lärare!kan!kommunicera!med!varandra!både!med!penna!och!ljud!i!realtid!via!nätet.!De!tillhandahåller!virtuella!lektioner!med!en!lärare!på!2!till!4!elever!åt!gången,!där!en!dokumentkamera!är!det!verktyg!som!utgör!grunden!i!kommunikationstekniken.!Eleverna!lägger!exempelvis!sitt!skrivblock!under!sina!dokumentkameror!och!så!kan!de!som!är!med!på!lektionen!följa!varandras!resonemang,!eftersom!de!hela!tiden!kan!se!vad!alla!gör!med!sina!pennor.!!Matematik!2b!är!en!kurs!främst!för!elever!som!läser!på!Samhällsvetenskapsprogrammet!eller!på!Ekonomiprogrammet,!två!högskoleförberedande!gymnasieprogram.!Statistik!för!resultaten!på!de!nationella!proven!i!kursen,!från!totalundersökningar!i!Sverige,!visar!att!en!hög!andel!elever!får!underkänt!betyg!på!provet.!!Denna!studie!är!kvalitativ!och!utgörs!av!semistrukturerade!telefonintervjuer!med!elever!som!läser!Matematik!2b!och!som!använder!Youschool!som!läxhjälp!samt!av!observationer!från!en!skärminspelad!lektion!på!Youschool!där!eleverna!jobbar!med!ett!för!studien!tillrättalagt!material!som!testar!deras!kunskaper!om!funktionsbegreppet.!Syftet!är!att!undersöka!om!och!i!så!fall!hur!läroverktyget!Youschool!kan!utgöra!ett!stöd!i!elevers!kunskapsutveckling!i!Matematik!2b.!Kursens!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor!hos!eleverna!och!van!Hieles!tankenivåer!är!de!analysverktyg!som!används!i!diskussionen!av!resultaten.!!Lärarens!roll!som!stöttande!och!utmanande!framträder!som!viktig!för!att!upprätthålla!elevernas!motivation!till!att!arbeta!under!lektionerna!på!Youschool.!Vidare!kan!eventuellt!antydas!att!eleverna!tränas!i!vissa!matematiska!förmågor!mer!än!andra,!och!att!elever!önskar!fler!uppgifter!som!stimulerar!deras!tänkande!på!de!högre!av!van!HieleJnivåerna.!Tekniken!som!å!ena!sidan!möjliggör!undervisningen!på!Youschool!kan!behöva!utvecklas!eftersom!den!å!andra!sidan!ofta!strular.!
!Nyckelord Youschool,!läxhjälp!på!nätet,!dokumentkamera,!Matematik!2b,!Ma2b,!nationella!prov,!van!Hiele,!förmågor,!centralt!innehåll,!kunskapskrav!
!Tack Tack!Tanja!PelzJWall!för!att!du!har!velat!vara!ett!bollplank!genom!hela!den!långa!process!som!det!har!inneburit!för!mig!att!skriva!ett!examensarbete.!Tack!Hans!Thunberg!för!matematisk!granskning.!Tack!till!er!båda!för!er!handledning!och!för!att!ni!har!pushat!på!och!hjälpt!mig!genom!arbetet.!Tack!Fredrik!Jansson!som!har!öppnat!upp!mina!ögon!för!Youschool.!Tack!Björn!Olsson!för!användbara!kommentarer!som!opponent.!Tack!Jessika!Rödin!för!engelsk!översättning.!Sist!men!inte!minst!ett!stor!tack!till!familj!och!vänner!som!har!stått!ut!med!mig!och!har!bidragit!med!värdefullt!stöd!och!kommentarer!under!skrivprocessen. !
!!
4!
!
Innehållsförteckning0!1! Inledning!och!bakgrund!...........................................................................................................................!5!1.1! Nationella!prov!i!gymnasieskolan!efter!reformen!2011!...................................................!6!1.2! Läxläsning!..............................................................................................................................................!7!1.3! Youschool,!en!virtuell!skola!på!nätet!.........................................................................................!8!1.4! Pilotstudie!på!komvux!......................................................................................................................!9!1.5! Denna!studie!i!korthet!...................................................................................................................!10!
2! Teori!..............................................................................................................................................................!11!2.1! Centralt!innehåll!och!bedömning!av!elevers!kunskaper!i!Ma2b!.................................!11!2.2! Funktionsbegreppet!.......................................................................................................................!15!2.3! Van!Hieles!tankenivåer!.................................................................................................................!18!2.4! Kommunikativ!teori!om!lärande!..............................................................................................!20!
3! Syfte!och!frågeställningar!.....................................................................................................................!22!4! Metod!............................................................................................................................................................!23!4.1! Telefonintervjuer!............................................................................................................................!23!4.2! Skärminspelad!lektion!..................................................................................................................!24!
5! Resultat!........................................................................................................................................................!26!5.1! Telefonintervjuer,!resultat!..........................................................................................................!26!5.1.1! Vad!inspirerar!de!intervjuade!att!börja!använda!Youschool?!.............................!26!5.1.2! Vad!i!Youschool!utgör!ett!stöd!för!de!intervjuade!att!närma!sig!sina!betygsmål?!................................................................................................................................................!26!5.1.3! Ser!de!intervjuade!något!som!kan!utvecklas!på!Youschool?!................................!30!
5.2! Skärminspelad!lektion,!observationer!...................................................................................!31!6! Diskussion!...................................................................................................................................................!36!6.1! Hur!använder!elever!Youschool?!..............................................................................................!36!6.2! På!vilket!sätt!kan!Youschool!utgöra!ett!stöd!för!elever!i!deras!lärande!i!Ma2b?!.!36!6.3! Vilka!förmågor!går!att!träna!via!Youschool?!.......................................................................!37!6.4! En!vidare!reflektion!........................................................................................................................!39!6.5! Reliabilitet,!validitet!och!generaliserbarhet!........................................................................!39!
Källförteckning!.................................................................................................................................................!41!
!
00 0
!!
5!
1 Inledning0och0bakgrund0!Idén!till!studien!grundar!sig!i!att!jag!under!höstterminen!2012!får!i!uppdrag!att!starta!upp!och!genomföra!en!kvällskurs!i!matematik!för!komvuxstuderande.!Kursen!är!Matematik!2b,!Ma2b.!Tiden!för!detta!är!i!startgroparna!strax!efter!en!sjösättning!av!nya!läroplaner!med!nya!gymnasiekurser,!GY11!och!VUX12.!Politikers!retorik!är!att!det!ska!bli!en!mer!kunskapsorienterad!skola!än!tidigare,!vilket!är!en!av!tankarna!som!ligger!bakom!de!nya!läroplanerna.!!!Ma2b!är!den!lägsta!gymnasiekursen!i!matematik!som!av!flera!högskoleutbildningar!kräver!som!särskild!behörighet.!Kursen!ingår!även!som!obligatorium!i!det!högskoleförberedande!samhällsvetenskapligaJ!och!ekonomiprogrammet.!Initialt!ligger!i!dessa!faktorer!enda!motivationen!till!att!läsa!kursen,!för!många!elever!på!såväl!gymnasiet!som!på!komvux.!De!behöver!minst!det!lägsta!godkända!betyget!i!kursen!för!att!kunna!få!en!plats!på!önskad!högskoleutbildning.!!Kursen!Ma2b!är!även!den!första!påbyggnadskursen!i!matematik!på!gymnasiet!och!kursinnehållet!upplevs!i!stor!utsträckning!som!helt!nytt!för!elever!jämfört!med!till!exempel!övergången!från!grundskolematematik!till!kurs!1!på!gymnasiet.!Kvällskursen!som!nämndes!tidigare!bör!snarare!ses!som!att!den!tas!över,!mer!än!att!den!startas!upp,!då!likheterna!med!den!tidigare!första!påbyggnadskursen!Matematik!B,!MaB,!är!stora.!Jämfört!med!innehållet!i!MaB!är!innehållet!i!Ma2b,!i!linje!med!gymnasiereformen,!dock!något!utökat.!Redan!innan!denna!utökning!upplevdes!påbyggnadskursen!som!en!problemkurs!på!skolor.!!!Det!nationella!provet!i!Ma2b!är!obligatoriskt!för!alla!elever!som!har!kursen!som!den!högsta!och!avslutande!matematikkursen!i!sin!utbildning,!det!vill!säga!de!elever!som!läser!samhällsvetenskapligt!eller!ekonomiskt!program.!Ett!undantag!är!de!elever!som!läser!ekonomiprogrammet!med!inriktning!ekonomi,!eftersom!även!den!efterföljande!matematikkursen!utgör!en!obligatorisk!kurs!för!dem.!Många!elever!misslyckas!på!det!nationella!provet!i!Ma2b,!vilket!genererar!en!stor!andel!underkända!betyg!i!kursen.!För!att!läsa!mer!om!nationella!provresultat!för!Ma2b,!se!1.1.!!Problemet!med!underkända!betyg!ärvs!alltså!av!den!nya!kursen!Ma2b!från!den!gamla!MaB,!men!det!blir!nu,!mer!än!tidigare,!synligt!i!statistiken!eftersom!problemet!är!större!på!komvux!och!på!de!gymnasieprogram!som!inte!är!naturvetenskapligt!eller!tekniskt!inriktade.!På!de!naturvetenskapliga!och!tekniska!programmen!kan!antas!att!elever!är!mycket!medvetna!om!hur!viktiga!matematikkunskaper!är!för!deras!egen!framtid.!Nu!när!de!eleverna!har!fått!egna!kurser,!Matematik!1c,!2c!och!3c,!som!statistikförs!för!sig,!kommer!den!stora!andelen!underkända!betyg!på!de!andra!programmen!som!läser!Ma2b!i!ljuset.!!!TIMSS%och!PISA!är!två!omtalade!internationella!jämförelseundersökningar!som!båda!sägs!visa!att!svenska!elevers!matematikkunskaper!blir!allt!sämre!och!sämre.!Dock!bör!nämnas!att!båda!studierna!enbart!är!inriktade!på!grundskoleelever,!med!undantag!för!den!minde!utbredda!undersökningen!TIMSS%Advanced!som!för!svenska!elever!är!
!!
6!
inriktad!på!sistaårselever!på!naturvetenskapligtJ!eller!tekniskt!program.1!Dessa!elever!läser!inte!Ma2b.!!!De!fallande!resultaten!i!grundskolan!kan!antas!utgöra!en!ytterligare!faktor!till!att!många!elever!har!svårigheter!att!ta!till!sig!av!den!matematik!som!de!möter!i!det!efterföljande!gymnasiet.!Dock!klarar!flertalet!av!eleverna!ändå!den!första!kursen!på!gymnasiet.!!
1.1 Nationella0prov0i0gymnasieskolan0efter0reformen020110!Från!och!med!hösten!2011!genomförs!totalinsamlingar!av!provresultaten!på!de!nationella!proven!av!statistiska!centralbyrån.2!Skolorna!väljer!själva!om!proven!i!Ma2b!genomförs!på!höstJ!eller!vårterminen!men!majoriteten!av!skolorna!väljer!att!genomföra!dem!under!vårterminen.!Statistik!som!redovisas!i!tabeller!nedan!är!endast!för!de!prov!där!minst!18!000!elever!deltar!och!vars!provbetyg!rapporteras.!Betygsskalan!ska!läsas!så!att!F!är!lägst,!det!vill!säga!underkänt!betyg,!E!näst!lägst!och!lägsta!godkända!betyg!och!A!är!det!högsta!möjliga!betyget.!!!Statistiken!visar!att!42,!8!%!av!eleverna!som!skriver!nationellt!prov!i!kursen!Ma2b!vt!2014!får!provbetyget!F.!Motsvarande!siffra!för!vt!2013!är!29,2!%.!En!detalj!som!kan!vara!av!vikt!att!tillägga!är!att!i!provet!vt!2013!ingick!en!muntlig!del!i!provet,!det!ingick!inte!i!provet!vt!2014.!!
Provbetyg*NP*Ma2b*(%)* F! E! D! C! B! A!vt*13* 29,2! 37,7! 18,7! 10,5! 3,1! 0,8!vt*14* 42,8! 30,4! 14,9! 9,5! 1,9! 0,4!
Tabell01.1.1.00Statistik!för!NP!Ma2b.!
I!sammanhanget!är!det!även!intressant!att!studera!motsvarande!siffror!från!den!första!matematikkursen!dessa!elever!möter!på!gymnasiet.!!!
Provbetyg*NP*Ma1b*(%)* F! E! D! C! B! A!vt*12* 30,2! 33,3! 20,9! 8,7! 5,2! 1,8!vt*13* 7,3! 40,1! 27,5! 16,1! 6,8! 2,2!vt*14* 16,7! 35,0! 23,9! 14,7! 6,4! 3,3!
Tabell01.1.2.00Statistik!för!NP!Ma1b.!
Av!resultaten!att!döma,!bara!utifrån!att!till!exempel!studera!andelen!F!i!de!två!olika!kurserna,!så!har!fler!elever!lättare!att!ta!till!sig!kursinnehållet!i!kurs!1!jämfört!med!kurs!2.!Ett!undantag!är!den!höga!andelen!F!på!det!nationella!provet!vt!12,!det!första!provet!i!kursen!som!gavs!efter!att!ett!läsår!gått!sedan!införandet!av!GY11.!Elever!som!skrev!detta!prov!hade!gått!i!grundskolan!enligt!den!gamla!skolformen,!och!var!kanske!bättre!förberedda!för!den!gamla!introduktionskursen!Matematik!A!då!de!kom!till!gymnasiet!än!för!Ma!1b!som!hade!ett!annat!innehåll.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!Skolverket,!Internationella!studier,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/statistikJochJutvardering/internationellaJstudier!(hämtad!2014J10J22)!2!Skolverket,!SIRIS!J!Nationella!prov,!2014,!tillgänglig:!http://siris.skolverket.se/siris/f?p=SIRIS:114:0::NO!(hämtad!2014J11J20)!
!!
7!
!En!hypotes!är!att!elever!kan!uppleva!nationella!provet!i!kurs!1!som!lättare!än!vad!innehållet!i!kursen!är!och!utifrån!detta!överskatta!sin!”förmåga!att!skriva!nationella!prov”.!I!slutet!av!kurs!2!kanske!dessa!elever!istället!upplever!det!nationella!kursprovet!i!denna!kurs!som!svårare!än!vad!de!hade!förväntat!sig.!Statistiken!visar!att!ett!glapp!skapats!mellan!de!två!kurserna!då!det!till!exempel!under!de!senare!av!de!redovisade!åren!är!en!större!andel!elever!som!får!F!i!kurs!2!än!i!kurs!1.!!Statistiken!bör!dock!inte!läsas!så!att!för!stor!vikt!läggs!vid!att!vt!2012!skrev!en!större!andel!elever!F!i!kurs!1!jämfört!med!motsvarande!andel!F!i!kurs!2!vt!2013.!Många!av!dessa!elever!kan!antas!vara!samma!elever,!men!det!var!bara!ca!18!000!elever!som!redovisades!ha!skrivit!NP!Ma2b!vt!2013!jämfört!med!ca!30!000!elever!för!NP!Ma1b!vt!2012.!!För!att!sätta!resultaten!i!relation!till!resultaten!på!kurserna!1c!och!2c,!för!naturvetare!och!tekniker,!bör!även!motsvarande!siffror!för!dessa!kurser!presenteras.!Dessa!prov!skrivs!varje!gång!av!färre!elever!än!proven!ovan,!men!de!har!istället!skrivits!fler!gånger!än!för!kurserna!1b!och!2b.!För!1c!ligger!andelen!F!på!de!hittills!skrivna!proven!mellan!2,7!%!och!5,4!%,!motsvarande!siffror!för!2c!är!att!andelen!F!ligger!mellan!10,9!%!och!15,4!%.!Det!går!att!dra!slutsatsen!att!även!för!naturvetarJ!och!teknikelever!är!kursinnehållet!lättare!att!ta!till!sig!i!kurs!1!jämfört!med!kurs!2,!men!att!en!mindre!andel!över!lag!får!underkända!betyg!i!matematik!jämfört!med!samhällsvetarJ!och!ekonomielever.!!En!mycket!viktig!fråga!som!dyker!upp!och!behöver!undersökas!är:!Vad%är%det%som%gör%att%eleverna%har%så%svårt%med%just%denna%kurs?%%!
1.2 Läxläsning0!Lärarledd!undervisningstid!omtalas!inte!sällan!som!en!bristvara.!För!den!omnämnda!kvällskursen!på!komvux!är!den!sammanlagda!tiden!54!timmar,!inkluderande!två!provskrivningar,!det!vill!säga!en!tre!timmar!lång!lektion!en!gång!i!veckan,!under!en!termin.!Gymnasieelever!har!ofta!mer!undervisningstid.!Skollagen!slår!fast!att!elever!på!högskoleförberedande!program!har!rätt!till!minst!2!180!undervisningstimmar!om!60!minuter.3!Utslaget!i!lika!stora!andelar!för!varje!poäng!av!de!2500!poäng!som!högskoleförberedande!examen!innehåller,!motsvarar!kursen!Ma2b,!som!är!på!100!poäng,!därmed!87,2!undervisningstimmar.!Oavsett!är!troligen!i!båda!fallen!den!knappa!tiden!långt!ifrån!tillräcklig!för!elever!att!ta!till!sig!kursinnehållet!på!den!nivå!som!krävs!för!ett!godkänt!kursbetyg.!!!Elever!behöver!lägga!ner!tid!utöver!lektionstid!på!läxläsning.!John!Hattie!presenterar!2009!en!så!kallad!meta?meta?analys!av!en!stor!mängd!effektstudier!i!skolan!i!vilken!han!använder!effektstorlek!som!måttenhet!för!att!mäta!hur!mycket!olika!faktorer!påverkar!elevers!studieresultat.4!Effektstorlek!är!en!term!som!är!hämtad!från!medicinsk!forskning!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!SFS!2010:800,!Skollag,!16!kap.,!Utbildning%på%nationella%program%i%gymnasiet,!18!§.!4!Hattie,!J.,!Synligt%lärande:%en%syntes%av%mer%än%800%metaanalyser%om%vad%som%påverkar%elevers%skolresultat,!Natur!&!Kultur,!Stockholm,!2014.!
!!
8!
och!mäts!huvudsakligen,!ibland!med!små!modifieringar,!enligt!något!av!följande!två!sätt,!se!nedan:!!
d =µbehandling −µkontroll
σeller d =
µefter behandling −µ före behandling
σ!
!En!faktor!som!Hattie!studerar!är!förekomst!av!hemläxor.!Studien!av!hemläxors!påverkan!omfattar!5!metaanalyser!av!totalt!sett!161!studier!och!därmed!motsvarande!ett!elevunderlag!på!över!100!000!elever.!Resultaten!visar!att!det!finns!markanta!skillnader!i!effekt!hos!grundskoleJ!jämfört!med!gymnasieelever.!Medelvärdet!av!effekterna!på!studier!i!grundskolan!är!d=0,15,!medan!motsvarande!siffra!för!gymnasiet!är!d=0,64.!!!Effekterna!kan!bedömas!utifrån!en!skala!där! d < 0 !motsvarar!motsatt!eller!negativ!effekt,!0 < d ≤ 0,15 !motsvarar!effekt!som!skulle!kunna!uppnås!utan!påverkan!eller!låg!effekt,!0,15< d ≤ 0, 4motsvarar!effekt!som!uppnås!med!undervisning!eller!medeleffekt!och! d > 0, 4motsvarar!önskad!effekt!eller!hög!effekt.!De!givna!gränserna!ska!inte!ses!som!orubbliga,!men!de!utgör!en!tumregel!så!att!det!finns!något!att!följa.!!En!intressant!notering!som!Hattie!gör!är!att!effekterna!även!ser!ut!att!vara!större!för!högpresterande!elever!än!för!lågpresterande.!Han!varnar!även!för!att!i!de!fall!hemläxor!inte!följs!upp!av!läraren,!finns!risken!att!en!förstärkning!sker!av!elevers!känsla!av!att!han!eller!hon!inte!kan!lära!sig!på!egen!hand!och!därmed!inte!kan!klara!av!skolarbetet.5!!Värt!att!ha!i!beaktande!är!att!tyngdpunkten!av!alla!studier!som!Hattie!har!analyserat!är!från!engelskspråkiga!länder.!Definitionen!av!hemläxor!verkar!även!vara!snävt!definierad!till!uppgifter!som!lärare!gett!till!eleverna!och!som!är!avsedda!att!utföras!utanför!lektionstid.6!!
1.3 Youschool,0en0virtuell0skola0på0nätet0!Elever!kan!behöva!hjälp!med!läxläsningen,!dels!med!utformning!av,!och!innehåll!i,!läxläsningen!och!dels!med!själva!genomförandet!av!den.!Youschool7!är!ett!läxhjälpsföretag!vars!affärsidé!går!ut!på!att,!till!ett!överkomligt!pris,!erbjuda!elever!stödundervisning!via!internet!i!främst!grundskoleJ!och!gymnasiematematik.!Läxhjälpen!utformas!av!virtuella!lektioner!där!elever!i!grupper!om!cirka!två!till!fyra!elever!under!handledning!av!en!lärare!arbetar!med!matematikuppgifter.!En!begränsning!i!tekniken!är!dock!att!det!maximalt!går!att!följa!vad!fyra!personer!gör!samtidigt.!!Tekniskt!krävs,!för!att!lektionerna!på!Youschool!ska!fungera!som!tänkt,!att!både!lärare!och!elever!har!en!dokumentkamera!och!är!uppkopplade!till!internet.!I!grunden!utgör!Youschools!hemsida!en!lärplattform!där!både!lärare!och!elever!kan!kommunicera!med!varandra!muntligt!och!skriftligt.!För!att!det!ska!gå!att!se!varandras!skrifter!läggs!ett!vanligt!skrivhäfte!under!dokumentkameran!som!är!kopplad!till!internet!via!en!dator.!Det!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5!ibid.!s.!315.!6!ibid.!s.!314.!7!Youschool,!webbplats:!www.youschool.se!
d=effektstorlek µ=medelvärde σ=standardavvikelse
!!
9!
går!då!för!alla!närvarande!att!följa!varandras!resonemang!i!skrift,!live,!även!om!alla!inte!befinner!sig!på!samma!plats.!En!artikel!i!Aftonbladet!fångar!essensen!av!det!som!gör!att!Youschool!kan!vara!tilltalande!att!prova!som!ett!komplement!till!undervisningen.!!!!
”Youschool!ska!enligt!Fredrik8!kännas!som!en!blandning!mellan!Facebook,!Youtube!och!Skype,!och!är!en!virtuell!skola!där!man!som!elev!kan!välja!ett!klassrum!med!lärare!eller!där!man!kan!plugga!tillsammans!med!sina!kompisar.![…]!!!Nyckeln!till!interaktiviteten!ligger!i!webbkameran[dokumentkameran],!men!att!bara!se!varandras!ansikten!hjälper!inte!mycket!när!man!ska!visa!krångliga!matteuträkningar.!Därför!säljer!Youschool!en!egen!webbkamera![dokumentkamera]!som!istället!filmar!anteckningsblocket!vid!sidan!av!datorn.!’Jag!vet!att!det!är!väldigt!”analogt”!att!använda!papper!och!penna,!men!rent!pedagogiskt!är!det!snabbt!enkelt!och!överlägset!mest!effektivt.!Vår!kameralösning!är!ganska!unik,!och!vi!föredrar!förstås!att!våra!elever!använder!den!förr!eller!senare.’”%9%%
Ett!sidoprojekt!som!också!bedrivs!på!Youschool!är!inspelning!av!filmer!med!lösningförslag!till!flera!av!de!vanligaste!läroböckerna!i!matematik!i!svensk!gymnasieJ!och!grundskola.!Filmerna!kan!ses!gratis!för!alla!som!skapar!ett!konto!på!Youschool.!
!
1.4 Pilotstudie0på0komvux0!För!att!återgå!till!komvuxeleverna!på!kvällskursen!ht!2012,!så!informeras!de!om!den!stora!vikten!av!att!utöver!lektionstid!kontinuerligt!plugga!i!kursen.!I!viss!utsträckning!följer!flera!av!eleverna!också!instruktionerna.!Trots!ambitionerna!så!lyckas!ett!flertal!av!kursdeltagarna!inte!nå,!alternativt!kan!inte!uppvisa,!den!kunskapsnivå!som!krävs!för!ett!godkänt!betyg!i!Ma2b.!!!Inför!kursstarten!av!kvällskursen!vt!2013!kommer!jag!i!kontakt!med!Youschool.!Med!en!ny!grupp!elever!i!samma!kurs!gör!jag!under!vt!2013!ett!pilotprojekt!för!att!undersöka!och!öka!förståelsen!kring!hur!YS!skulle!kunna!utvecklas!som!ett!stöd!i!Ma!2b,!komvuxeleverna.!!!I!projektet!tillkommer!två!timmars!undervisningstid!varje!vecka.!Eleverna!har!kvällen!innan!varje!lektion!möjlighet!att!gå!in!på!Youschools!lärplattform!och!där!besöka!mitt!klassrum!under!dessa!två!timmar!för!att!få!läxhjälp.!Då!de!går!in!i!klassrummet!under!angiven!tid!finns!jag!där!för!att!hjälpa!dem!med!den!teori!och!uppgifter!som!de!har!svårt!med.!Varje!ordinarie!undervisningspass!i!kvällskursen!inleds!därefter!med!ett!kort!skriftligt!läxförhör,!vilket!följs!av!en!genomgång!av!förhörsuppgifterna!så!att!eleverna!får!snabb!feedback!på!sina!prestationer.!!Med!dessa!tillägg!gjorda!i!upplägget!för!kvällskursen!minskar!andelen!elever!som!får!F!i!kursen!från!75!%,!ht!2012,!till!45!%,!vt!2013.!Dessutom!ökar!antalet!elever!som!är!kvar!i!kursen!vid!kursslut,!från!16!till!20!elever,!räknat!utifrån!att!det!vid!de!två!olika!kursstarterna!var!ungefär!lika!många!elever!vid!kursstart.!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8!Fredrik!Jansson,!grundare!av!och!matematiklärare!på!Youschool!9!von!Essen,!C.,!Din!skola!på!nätet,!Aftonbladet,%Fokus:%Studera,!Mars!2013!
!!
10!
Att!siffrorna!rimmar!dåligt!med!totalundersökningen!av!nationella!provresultat,!se!1.1,!bör!i!sammanhanget!försvaras!något.!Dels!med!att!flertalet!av!eleverna!på!komvux!som!läser!kursen!Ma2b!inte!gör!det!för!första!gången!utan!har!ett!okänt!antal!misslyckade!försök!bakom!sig.!Dels!med!att!det!nationella!provet!inte!är!obligatoriskt!för!komvuxelever!och!att!de!därmed!inte!ingår!i!statistiken.!!Eftersom!pilotstudien!endast!omfattar!ett!litet!elevunderlag,!rör!det!sig!inte!om!någon!statistisk!studie.!Därmed!är!det!svårt!att!kunna!avgöra!ifall!det!finns!några!avgörande!faktorer!i!och!med!de!nämnda!förändringarna!av!kursen,!eller!om!det!bara!råkar!röra!sig!om!att!det!är!andra!elever!under!de!två!olika!terminerna.!Vidare!går!det!tyvärr!heller!inte!att!säga!något!om!i!vilken!utsträckning!den!extra!lärarledda!läxläsningstiden!eller!de!återkommande!förhören!separat!från!varandra!skulle!kunna!tänkas!bidra!till!en!eventuell!positiv!effekt.!Det!skulle!kunna!vara!så!att!det!positiva!utslaget!är!ett!resultat!av!de!båda!förändringarna!i!kombination.!%Även!läsår!ht!14/vt!15!testar!jag!ett!liknande!kursupplägg,!men!denna!gång!för!gymnasielever.!Gymnasieungdomarna!erbjuds!samma!kvällsläxhjälp!och!ungefär!en!gång!per!vecka!har!även!de!läxförhör!som!är!utformade!på!ungefär!samma!sätt!som!för!komvuxeleverna.!Därvid!upphör!likheterna!med!pilotstudien.!Eleverna!läser!på!en!annan!skola.!Undervisningen!sträcker!sig!över!ett!läsår!istället!för!under!en!termin.!De!har!tre!kortare!undervisningspass!i!veckan!istället!för!ett!enda!längre!pass.!De!läser!i!skolan!på!dagtid.!De!har!en!annan!lärobok.!Dessa!elevers!studieresultat,!som!grupp!betraktat,!visar!vid!en!jämförelse!med!föregående!års!elevers!resultat,!då!Youschool!inte!tillämpades,!tyvärr!inga!förändringar.!Beräkningarna!som!gjordes!var!i!andelar!elever!som!får!högre,!lägre!eller!oförändrat!betyg!i!kurs!2!jämfört!med!i!kurs!1.!!
1.5 Denna0studie0i0korthet0*Utifrån!mitt!perspektiv,!ett!lärarperspektiv,!bidrar!de!framsteg!som!pilotstudien!på!komvux!eventuellt!visar!till!att!jag!blir!intresserad!av!att!göra!en!kvalitativ!studie!som!undersöker!vilka!möjligheter!till!stöd!som!går!att!finna!i!Youschool,!för!elever!i!sitt!lärande.!En!annan!utgångspunkt!för!denna!studie!är!min!utbildning,!Civilingenjör!och!lärare!med!inriktningen!kemi!och!matematik!vid!KTH.!I!utbildningen!lärde!jag!mig!att!anta!ett!”lösningsorienterat!perspektiv”,!kanske!är!det!därför!som!jag!ofta!stimuleras!av!att!upptäcka!problem!och!att!undersöka!om!jag!kan!hitta!lösningar!på!dem.!Målet!med!denna!studie!är!att!undersöka!om!Youschool!kan!vara!ett!pedagogiskt!och!effektivt!redskap!i,!eller!ett!komplement!till,!undervisningen!i!problemkursen!Ma2b.!!I!kapitel!2!studeras!först!de!styrdokument!från!skolverket!som!ligger!till!grund!för!Ma2b.!Studien!avgränsas!sedan!till!att!behandla!de!delar!i!det!centrala!kursinnehållet!som!är!kopplat!till!funktionsbegreppet.!Vidare!redovisas!olika!tolkningar!av!kursens!styrdokument,!dels!av!de!ansvariga!för!de!nationella!proven,!dels!av!olika!läroboksförlag.!Kapitlet!avslutas!med!några!teorier!om!och!forskning!kring!lärande.!I!kapitel!3!beskrivs!studiens!syfte!och!de!frågeställningar!som!undersöks!i!studien.!I!kapitel!4!redogörs!för!de!metoder!för!kvalitativa!studier!som!används,!intervjuer!och!lektionsobservation.!I!kapitel!5!redovisas!resultatet!av!de!undersökningar!som!görs!i!studien.!Studien!avslutas!i!kapitel!6!med!en!diskussion!om!resultatet,!kopplad!till!styrdokument!och!teori!om!lärande.!
!!
11!
2 Teori0!
2.1 Centralt0innehåll0och0bedömning0av0elevers0kunskaper0i0Ma2b0
Ämnesplanerna!i!läroplanen!Gy11!är!skrivna!med!rubrikerna!centralt%innehåll!och!kunskapskrav.%10!I!denna!studie!är!tolkningen!av!styrdokumenten!gjord!så!att!undervisningen!i!kursen!ska!handla!om!det!centrala!innehållet!i!kursen,!men!inte!att!eleverna!ska!bedömas!utifrån!vilka!kunskaper!inom!det!centrala!innehållet!som!de!visar!att!de!har!tillgodogjort!sig.!Elevernas!betyg!ska!bedömas!utifrån!vilka!kunskapskrav!som!de!har!uppfyllt.!!
Någon!vill!kanske!i!sammanhanget!passa!på!att!spetsfundigt!hävda!att!eleverna!kravlöst!kan!klara!kurserna!utan!att!de!egentligen!har!tillgodogjort!sig!några!kunskaper!om!det!centrala!innehållet.!För!att!undvika!att!detta!sker!anammas!därför!här!en!bedömningskultur!som!innebär!att!elevers!kunskaper!testas!genom!att!de!utsätts!för!väl!valda!uppgifter!som!är!avsedda!att!testa!kursinnehållet.!De!kunskapskrav!eller,!som!andra!kallar!dem,!de!förmågor%som!eleverna!har!tillgodogjort!sig!i!kursen!sätts!därmed!”ändå”!på!prov.!Beroende!på!hur!varierade!uppgifterna!är!och!med!exempelvis!lämpligt!valda!följdfrågor!går!det!att!arrangera!så!att!eleverna!kan!behöva!tillämpa!de!flesta!eller!kanske!rentav!alla!matematiska!förmågor!i!en!sekvens!av!uppgifter.!Vilka!de!matematiska!förmågorna!är!och!hur!de!är!kopplade!till!kunskapskraven!utreds!närmre!efter!att!det!centrala!innehållet!har!presenterats.!
Centralt%innehåll%i%Ma2b%
Eftersom!det!i!studien!undersöks!hur!elever!på!Youshool!arbetar!med!funktioner!så!hänsyn!taget!till!detta!i!urvalet!ur!det!centrala!innehållet!i!Ma2b!nedan.!Utvalt!är!allt!i!det!centrala!innehållet!som!handlar!om!funktioner,!men!under!den!observerade!lektionen!i!studien!arbetar!eleverna!enbart!med!punkt!2!och!punkt!4.!
”Undervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehåll:**
• Begreppet!logaritm!i!samband!med!lösning!av!exponentialekvationer.!!• Räta!linjens!ekvation!samt!hur!analytisk!geometri!binder!ihop!geometriska!och!algebraiska!begrepp.!
!• Egenskaper!hos!andragradsfunktioner.!
• Konstruktion!av!grafer!till!funktioner!samt!bestämning!av!funktionsvärde!och!nollställe,!med!och!utan!digitala!verktyg.”!
% %
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04)!
!!
12!
Kunskapskrav%för%Ma2b%
Kunskapskraven!har!av!flera!styrdokumentstolkare!försökt!att!konkretiseras!genom!att!de!kategoriseras!i!7!förmågor!som!elever!ska!ges!möjlighet!att!utveckla!i!undervisningen.!Sedan!ska!elevernas!betyg!bedömas!i!utifrån!den!nivå!på!varje!av!förmågorna!som!de!uppnått!i!slutet!av!kursen.!Förmågorna!som!här!skrivs!kursivt!har!sin!grund!i!skolverkets!sammanfattning!av!gymnasieämnet!matematiks!syfte11!och!är!formulerade!i!tabell!2.1.1.!
Förmåga! Förkortning! Skolverkets!definition!”Undervisningen!i!ämnet!matematik!ska!ge!eleverna!förutsättningar!att!utveckla!förmåga!att:!
Begrepp% B använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.
Procedur% P hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.
Problemlösning% PL formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.
Modellering% M tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.
Resonemang% R följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
Kommunikation K kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.
Relevans Rlv relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.”
! Tabell02.1.1.0Skolverkets!definition!av!matematiska!förmågor!med!gängse!förkortningar.0
Som!har!setts!avsnitt!1.1!om!resultat!från!nationella!proven,!betygssätts!elever!enligt!en!6Jgradig!skala,!där!F!är!det!lägsta!betyget!och!underkänt,!E!det!näst!lägsta!och!första!godkända!betyget!och!A!det!högsta!betyget.!Det!är!för!betygen!E,!C!och!A!som!det!finns!kunskapskrav.!Mellanbetygen!D!och!B,!ges!de!elever!som!inte!fullt!ut,!men!till!övervägande!del,!har!uppfyllt!kunskapskraven!för!ett!högre!betyg!i!betygsskalan.!I!Appendix!I!återfinns!de!fullständiga!kunskapskraven!i!skolverkets!egen!matris.!
Ett!exempel!på!konkretisering!som!kan!göras!av!kunskapskraven!i!Ma2b!är!kopplat!till!förmågorna!i!tabell!2.1.1!ovan!kan!ses!i!tabell!2.1.2!på!nästa!sida.!Urvalet!av!kunskapskrav!som!presenteras!i!denna!tabell!är!gjort!så!att!det!är!kopplat!till!vilka!uppgifter!eleverna!får!i!uppdrag!att!arbeta!med!på!den!lektion!på!Youschool!som!observeras!i!denna!studie.!Kunskapskrav!knutna!till!förmågan!relevans!är!därför!inte!redovisade!i!tabellen.!Kunskapskrav!knutna!till!förmågan!kommunikation!är!samtidigt!knutna!till!andra!förmågor!som!till!exempel!förmågan!begrepp,!därför!finns!heller!inte!kommunikation!med!i!tabellen.!Kunskapskrav!finns!som!nämnts!tidigare!endast!för!betygen!E,!C!och!A,!och!vid!en!närmre!observation!kan!ses!att!kravformuleringarna!överensstämmer!för!alla!tre!betygen!i!allt!utom!de!fetmarkerade!orden.!Dessa!avvikande!ord!är!de!”värdeord”!som!ska!användas!vid!bedömning,!i!exempelvis!kraven!som!kopplats!till!förmågan!begrepp!används!bland!andra!orden!översiktligt!kontra!utförligt!för!att!skilja!mellan!två!olika!betygsnivåer.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014
!!
13!
! E0 C0 A0Begrepp Eleven kan översiktligt
beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen.
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen.!
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. !
Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer.!
Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer.
Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. !
Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra representationer.
Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.
Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.
Procedur I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.
Problem-lösning
Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta situationer.
Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena.!
Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena.!
Modellering I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller.
I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller.
I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller.
Resonemang Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden
Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden.
Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden.
Tabell02.1.2.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor.!
!!
14!
Både!författare!till!de!nationella!proven!och!till!flertalet!av!de!mest!använda!läroböckerna!har!beslutat!sig!för!att!på!olika!sätt!och!i!olika!grad!ta!fasta!på!dessa!förmågor.!
PRIMJguppen!som!ansvarar!för!provkonstruktionen!av!de!nationella!proven!för!grundskolan!och!för!gymnasiekurserna!Ma1a,!1b,!och!1c!har!sammanställt!en!7!gånger!3Jmatris!där!varje!förmåga!tilldelats!de!tre!betygsnivåerna!E,!C!och!A,!liknande!den!i!tabell!2.1.2.12!Elevsvaren!på!uppgifter!på!de!nationella!proven!poängsätts!utifrån!hur!fullständig!och!korrekt!en!lösning!på!dem!bedöms!vara.!Vissa!uppgifter!på!proven!innehåller!en!eller!få!poäng,!alltså!bedömningspunkter,!medan!andra!innehåller!betydligt!fler.!Poängen!är!också!nivåbestämd,!och!kallas!beroende!på!nivå!för!EJ,!CJ!eller!AJpoäng.!Till!varje!poäng!kopplas!en!av!de!sju!förmågorna.!Oavsett!hur!många!av!förmågorna!som!eleven!behöver!behärska!för!att!kunna!avge!ett!poänggivande!svar!så!görs!en!avvägning!vilken!av!förmågorna!som!uppgiften!huvudsakligen!testar.!Det!är!denna!förmåga!som!också!blir!kopplade!till!poängen.!Man!använder!då!förkortningarna!i!tabell!2.1.1.!Till!exempel,!EP,!Betyder!en!poäng!på!EJnivå!där!den!huvudsakliga!förmågan!som!har!bedömts!testas!i!uppgiften!är!procedur.!Samtliga!förmågor!utom!relevans!kopplas!på!detta!sätt!till!poängen!på!de!nationella!proven.!
Institutionen!för!tillämpad!utbildningsvetenskap!vid!Umeå!universitet!som!ansvarar!för!konstruktionen!av!de!nationella!proven!i!de!högre!kurserna!på!gymnasiet!använder!samma!system!för!poängsättning!av!provuppgifter!som!görs!under!PRIMJgruppens!ansvar.!Avvägningar!av!vad!som!är!den!huvudsakliga!förmågan!som!testas!i!uppgifterna!kan!däremot!antas!skilja!från!mellan!de!två!olika!huvudmännen!för!de!nationella!proven.!Figur!2.1.3.!visar!ett!exempel!på!uppgift!med!tillhörande!bedömningsanvisning!från!provkonstruktören.!Uppgiften!är!första!uppgiften!på!det!nationella!provet!i!Ma2b!vt!2012,!ett!av!de!prov!som!släppts!för!att!kunna!användas!som!övningsprov!i!undervisning.!I!bedömningen!kan!ses!att!aJuppgiften!har!avvägts!testa!främst!förmågan!procedur!respektive!bJuppgiften!främst!förmågan!begrepp.!Uppgiften!är!även!den!inledande!uppgift!som!elever!arbetar!med!under!en!lektion!på!Youschool,!se!4.2!och!5.2.!
! !
!Figur02.1.3.00Uppgift!1!på!NP!Ma2b!vt!2012,!med!bedömningsanvisning.13!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!12!Stockholms%universitet,!PRIM?gruppen,%Dokument,!2014,!tillgänglig:!http://www.su.se/polopoly_fs/1.129061.1402923516!/menu/standard/file/A4_Kunskapskrav%201bc%20i%20matrisform_140128.pdf!(hämtad!2015J06J24)!13!Umeå%universitet,!Nationella!kursprov!i!matematik!2J4,!2015,!tillgänglig:!http://www.edusci.umu.se/np/npJ2J4/tidigareJgivnaJprov/!(hämtad!2015J06J15)!
NpMa2b vt 2012
2
1.
a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten 1� k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ��� xx så långt som möjligt.
______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( �xx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 � ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
NpMa2b vt 2012
8
Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlös-ningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i mate-rialet markeras detta med en symbol. Del I 1. Max 2/0/0 a) Korrekt svar ( 42 � xy ) +1EP b) Godtagbart ritad rät linje +1EB 2. Max 1/0/0 Korrekt svar ( 2x ) +1EP 3. Max 2/1/0 a) Korrekt svar ( 7och0 21 � xx ) +1EP b) Korrekt svar ( 310 x ) +1EP c) Korrekt svar ( 3 x ) +1CP 4. Max 1/0/0 Korrekt svar (Alternativ B: 062 �x ) +1EB 5. Max 0/1/0 Korrekt svar ( xy 35,07 � ) +1CM 6. Max 0/1/0 Korrekt svar ( 2� x ) +1CB 7. Max 0/1/1
a) Korrekt svar ( 7m
x ) +1CP
b) Korrekt svar ¸¹·
¨©§
3x +1AP
NpMa2b vt 2012
2
1.
a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten 1� k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ��� xx så långt som möjligt.
______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( �xx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 � ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
!!
15!
Även!läroboksförfattare!har!lagt!fokus!på!dessa!förmågor!på!olika!sätt.!Sanoma!har!poängsatt!uppgifterna!i!sina!exempelprov!på!samma!sätt!som!görs!på!de!nationella!proven.!Exempelproven!tillhandahåller!de!lärarna!som!använder!deras!böcker.!Gleerups!har!för!alla!olika!uppgifter!eller!för!grupper!av!uppgifter!i!boken!märkt!dem!med!vilken!förmåga!de!avser!att!testa.!Natur%och%kultur!håller!på!att!utarbeta!en!mobilapp!som!i!vilken!de!uppgifter!från!boken!som!hamnar!där!kommer!att!vara!markerade!utifrån!vilka!förmågor!den!testar,!ungefär!på!samma!sätt!som!Gleerups!gör!i!sina!läroböcker.!Ett!snabbt!experiment!gjordes!under!en!övning!då!lärare!var!inbjudna!till!en!föreläsning!om!Natur%och%Kulturs!planer!kring!elektroniska!läromedel.!Det!visade!sig!att!en!slumpvis!utvald!uppgift!från!deras!lärobok!kunde!bedömas!testa!helt!olika!förmågor!beroende!av!olika!lärare,!det!som!kanske!avgjorde!var!på!vilken!skola!läraren!undervisade,!vilka!program!som!gavs!på!skolan!eller!kortare!sagt!vilka!erfarenheter!läraren!hade.!!
2.2 Funktionsbegreppet0
Elevers!förståelse!för!begreppet!funktion!utgör!en!bas!och!är!en!avgränsning!för!denna!studie.!Förutsättningarna!att!arbeta!med!den!del!av!det!centrala!innehållet!i!Ma2b!som!handlar!om!funktioner!beror!av!de!erfarenheter!av!funktioner!elever!har!med!sig!av!från!i!tidigare!kurs,!Ma1b,!och!från!grundskolan.!För!att!inte!göra!en!för!lång!tillbakablick!kan!det!räcka!med!att!studera!det!centrala!innehållet!i!Ma1b.!
”Undervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehåll:**
• Begreppen!funktion,!definitionsJ!och!värdemängd!samt!egenskaper!hos!linjära!funktioner!och!potensJ!och!exponentialfunktioner.!!
• Representationer!av!funktioner,!till!exempel!i!form!av!ord,!gestaltning,!funktionsuttryck,!tabeller!och!grafer.!
!• Skillnader!mellan!begreppen!ekvation,!algebraiskt!uttryck!och!funktion.”14!
!Vad!är!en!funktion?!!!En!studie!av!hur!de!4!ledande!läroböckerna!för!gymnasiekurserna!i!matematik!presenterar!detta!ger!en!fingervisning.!I!tabell!2.2.1,!nästa!sida,!finns!en!sammanställning!av!hur!en!funktion!definieras!i!läroböckerna!i!kursen!Ma1b.!Elever!förväntas!som!tidigare!nämnts!ha!med!sig!dessa!kunskaper!när!de!börjar!kurs!2b.!! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!14!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04)!
!!
16!
!Lärobok,!förlag!
Definition!av!funktion!
Origo, Sanoma
”En funktion är ett samband eller ett beroende mellan två variabler. Man säger att y är en funktion av x, om det till varje värde på x endast finns ett bestämt värde på y.”15
Ma 5000, Natur och kultur
”Om sambandet mellan två variabler x och y är sådant att varje x-värde, enligt någon regel, ger ett bestämt y-värde, kan vi säga att y är en funktion av x.16
Exponent, Gleerups
”y är en funktion av x om det finns en regel eller ett samband som för varje x-värde i en given mängd ger precis ett y-värde. För att ange att y är en funktion x används beteckningen y = f(x).”17
M, Liber Saknas
0 Tabell02.2.1.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmågor.0!Alla!böckerna!utom%M!förklarar!vad!en!funktion!är!och!väljer!att!likna!den!vid!en!maskin,!som!ifall!man!stoppar!in!ett!invärde!i!maskinen!ger!tillbaka!ett!utvärde.!M!varken!försöker!sig!på!att!definiera!eller!att!förklara!vad!en!funktion!är,!men!inleder!sitt!kapitel!om!funktioner!med!att!beröra!begreppet!kortfattat.!!
”Ordet!funktion!betyder!samband.!En!funktion!kan!vara!något!helt!vardagligt!som!t!ex!att!telefonräkningen!beror!på!hur!mycket!du!ringer.!Ofta!beskrivs!funktioner!med!hjälp!av!formler,!tabeller!och!grafer.”%18%%
Resten!av!funktionskapitlet!i!M!består,!förutom!av!räkneuppgifter,!enbart!av!lösta!uppgiftsexempel.!Viktiga!tillhörande!begrepp!såsom!olika!representationsformer!för!en!funktion,!formel,!värdetabell!och!graf,!illustreras!genom!små!kommentarer!tillhörande!instruktioner!av!hur!räkneexempel!ska!lösas.!På!liknande!sätt!introducerar!de!beteckningen f (x) ,!genom!att!utgå!från!ett!exempel!på!en!funktion!där!kostnaden!beror!av!körsträckan!hos!en!hyrbil!samt!en!beräkning!av!kostnaden!efter!8!körda!mil.!!
”Lägg!märke!till!att!K(8) är!ett!skrivsätt.!Det!är!inte!en!multiplikation!!Här!har!vi!använt!bokstaven!K!som!i!Kostnad.!Vanligast!är!att!använda!bokstaven!f,!som!i!ordet!funktion.”%19%
!Origo!utmärker!sig!genom!att!de!undviker!att!använda!begreppet!formel%som!representationsform!för!en!funktion.!Deras!kapitel!inleds!med!en!kommentar!om!hur!begreppet!funktion!används!i!några!andra!sammanhang!än!inom!matematiken!innan!de!kommer!till!hur!det!bör!tolkas!i!matematiken.!Där!de!nämner!där!att!en!funktion!kan!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!178.!16!Alfredsson,!L.,!Björk,!L.!E.,!Brolin,!H.,!Bråting,!K.,!Erixon,!P.,!Heikne,!H.,!Ristamäki,!A.,!Matematik%5000,%Kurs%1b%Grön%lärobok,%Natur!och!Kultur,!Stockholm!s.!316.!17!Gennow,!S.,!Gustafsson,!I.!M.,!Silborn,!B.,!Exponent%1b,!1!uppl.,!Gleerups!Utbildning!AB,!Malmö,!2011,!s.!202.!18!Holmström,!M.,!Smedhamre,!E.!och!Sjunnesson,!J.,!M%Matematik%1b,!1!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2011,!s.!184.!19!ibid.!s.!197.!
!!
17!
skrivas!som!en!formel,!men!sedan!överges!begreppet!formel!helt.20!I!resten!av!kapitlet!om!funktioner!används!istället!synonymt!för!formel!ekvation,!eller!funktionsuttryck.!%Gemensamt!för!samtliga!av!läroböckerna!är!att!de!låter!elever!som!läser!kursen!i!lärobokens!ordning!att!komma!i!kontakt!med!begreppet!formel,!innan!de!kommer!i!kontakt!med!begreppet!funktioner.!Det!väljer!alla!att!lägga!definition!av!vad!en!formel!är!i!ett!kapitel!för!algebra,!som!är!kapitlet!före!eller!några!kapitel!före!det!om!funktioner.!!Ett!annat!gemensamt!drag!är!att!de!även!väljer!att!repetera!från!grundskolan!i!varierande!grad!kunskaper!om!koordinatsystem,!avläsning!i!grafer!och!linjära!samband!innan!de!introducerar!beteckningen! f (x) .!Minst!repetition!står!Exponent!för!som!verkar!vilja!introducera!beteckningen!snabbare!än!de!övriga,!de!väntar!med!att!låta!eleverna!arbeta!med!linjära!funktioner!tills!efter!att!de!gjort!definitionen!för!en!funktion!samt!introducerat!beteckningen f (x) .!!I!bredare!bemärkelse!behöver!en!funktion!inte!enbart!begränsas!till!en!relation21!mellan!element!i!mängder!som!innehåller!tal.!Nedanstående!figur!visar!exempel!på!hur!en!relation!mellan!element!i!definitionsmängd!X!och!värdemängd!Y!som!är!en!funktion!kan!se!ut,!där!värdemängden!innehåller!bokstäver.!!!
%Figur002.2.2.00Diagram!för!olika!observationstyper.!22!
Även!definitionsmängden!kan!bestå!av!något!annat!än!tal.!För!att!ge!det!hela!en!lite!mer!vardaglig!beskrivning!så!kan!följande!exempel!betraktas!som!en!funktion.!I!en!grupp!människor,!mängd!A,!har!varje!person!en!favoritsmak!bland!glassmaker,!vanilj,!choklad,!och!hallon,!mängd!B.!Invärdet!till!funktionen!är!i!detta!fall!en!person,!och!utvärdet!är!en!av!de!tre!glassmakerna.!Favoritsmak,!regeln,!är!en!funktion!av!person!till!glassmak.!Johan!kan!till!exempel!ha!favoritsmaken!vanilj,!medan!Kent!har!favoriten!choklad.!Det!är!fullt!möjligt!för!två!personer!att!ha!samma!favoritsmak.!Det!kan!till!exempel!vara!så!att!både!personerna!Johan!och!Anna!tycker!bäst!om!vanilj.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!161.!21!Ma2b!har!ett!avgränsat!centralt!innehåll.!Definition!av!begreppet!relation!kan!bedömas!ligga!utanför!kursen!samt!inte!tillföra!något!djup!i!studien.!Det!begrepp!som!används!fortsättningsvis!utanför!detta!stycke!istället!för!relation!är!regel,!samma!begrepp!som!också!några!av!kursens!läroböcker!använder.!22!Garten.!B.!i.,%Injection%keine%Injektion%2a,%,!2011,%tillgänglig!http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg#/media/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg%(hämtad!2015J06J09)!
!!
18!
2.3 Van0Hieles0tankenivåer0!Nivåerna!gällande!matematiskt!tänkande!kallas!fortsättningsvis!enbart!van%Hiele?nivåerna.!Detta!är!min!tolkning!av!van!HieleJnivåerna,!det!finns!avvikande!tolkningar.23!!1955!presenterar!makarna!van!Hiele!en!artikel!som!påverkar!efterföljande!matematikundervisning!och!läroplanskrivning,!främst!inom!geometri!och!kanske!främst!i!deras!hemland,!Nederländerna.!Pierre!van!Hiele!skriver!1986,!efter!hans!fru!Dina!van!Hieles!bortgång,!en!bok!som!placerar!van!HieleJnivåerna!i!ett!perspektiv!som!omfattar!en!större!del!av!matematikämnet!än!enbart!geometrin.!24!Denna!bok!ligger!till!grund!för!min!tolkning!av!van!Hielenivåerna.!!Van!Hiele!skriver!att!en!viktig!inspirationskälla!till!idéerna!om!elevers!olika!tankenivåer!i!matematiken!är!kommentarer!från!hans!egna!elever.!Han!lägger!märke!till!att!flertalet!av!eleverna!i!början!har!svårt!att!förstå!geometri,!men!när!de!har!fått!arbeta!med!ämnet!en!längre!period!och!med!väl!valda!uppgifter!övervinner!de!flera!av!svårigheterna!och!istället!ser!det!geometri!som!ganska!lätt.!Inte!sällan!händer!det!då!att!någon!elev!ger!uttryck!för!sin!undran!om!varför!van!Hiele!väljer!att!förklara!innehållet!inledningsvis!på!ett!så!komplicerat!sätt!och!med!ett!så!komplicerat!språk.!Efter!att!ha!övergivit!teorin!om!att!det!är!resultatet!av!att!han!själv!är!en!dålig!lärare!väljer!van!Hiele!istället!att!fokusera!på!att!eleven!måste!ha!lärt!sig!ett!nytt!språk!som!gör!att!innehållet!inte!upplevs!så!komplicerat!längre.!Eleven!har!gått!från!en!tankenivå!till!en!annan!inom!ämnet,!till!en!nivå!som!kräver!kunskaper!om!och!djupare!förståelse!för!olika!geometriska!begrepp.!!En!annan!viktig!inspirationskälla!för!van!Hiele!är!Piagets!teorier!om!att!utveckling!av!kunskap!och!insikt!sker!i!olika!perioder!av!ett!barns!liv.!Enligt!van!Hiele!avviker!dock!hans!teorier!från!Piagets!på!flera!olika!sätt.!Till!exempel!så!är!van!Hiele!mer!intresserad!av!hur!övergångarna!mellan!olika!stadier!går!till!och!är!övertygad!om!att!det!kan!ske!genom!olika!former!av!pedagogisk!stimulering.!Han!vill!inte!begränsa!sig!till!att!övergångarna!enbart!är!ett!resultat!av!biologisk!utveckling!eller!kopplade!till!elevers!ålder!som!han!menar!att!många!anhängare!av!Piaget!gör.!!Det!som!kan!ha!varit!det!som!inspirerade!van!Hiele!mest!i!Piagets!teorier!är!den!om!att!inlärningsprocessen!sker!med!hjälp!av!assimilation!och!ackomodation.!!Assimilation!innebär!att!nya!intryck!anpassas!till!de!av!erfarenhet!invanda!tanke!och!handlingsmönster,!gamla!scheman,!som!man!har.!Ackomodation!innebär!den!process!som!utgörs!av!att!de!gamla!schemana!måste!utvecklas!och!omformas!eftersom!de!utmanas!av!intryck!som!inte!går!att!organisera!in!i!dem.!När!det!råder!en!sådan!obalans!mellan!de!gammalt!och!nytt!är!det!en!strävan!efter!jämvikt!som!driver!på!inlärningen.25!!Efter!den!första!publikationen!1955!utökar!van!Hiele!nivåerna!från!tre!till!fyra!nivåer.!En!”0Jnivå”!diskuterades!bland!matematikundervisare!och!det!är!denna!nivå!han!anammar!och!lägger!till!de!ursprungliga!nivåerna!som!en!ny!nivå!1.!Vidare!nämner!van!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!23!tex.!Hedrén,!R.,!Van%Hiele?nivåer%och%deras%betydelse%för%geometriundervisningen,!publicerad!i:!!Emanuelsson,!G.,!Johansson,!B.,!och!Ryding,!R.!(red.),!Geometri%och%statistik,!Studentlitteratur,!Lund,!1992.!24!van!Hiele,!P.,!Structure%and%Insight,%a%Theory%of%Mathematics%Education,!UK!Edition,!Academic!Press!Inc.,!London,!1986.!25!Imsen,!G.,!Elevens%värd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl.,!Studentlitteratur,!Lund,!2000,!s.!102J108.!
!!
19!
Hiele!också!att!andra!har!försökt!att!identifiera!fler!tankenivåer!än!vad!han!själv!har!gjort,!men!att!han!inte!ser!det!som!nödvändigt!för!matematikundervisning!före!högskola!och!universitet.!Van!Hiele!ifrågasätter!istället!ifall!lärare!gör!rätt!i!att!försöka!inrikta!sin!undervisning!i!den!allmänna!skolan!för!att!eleverna!ska!uppnå!den!ämnesmässigt!mest!avancerade!nivån,!nivå!4.!Han!hävdar!att!den!främst!är!riktad!mot!dem!som!ska!läsa!vidare!inom,!och!sedan!arbeta!med,!matematik.!Enligt!hans!erfarenheter!är!det!få!elever!som!uppnår!denna!nivå!på!matematiskt!tänkande.!!Nivå%1%%Jag!beskriver!nivå!1!som!igenkänning.!Oavsett!ifall!en!person!är!undervisad!i!matematik!eller!inte!så!har!han!eller!hon!denna!förmåga.!För!att!använda!van!Hieles!eget!exempel!så!går!det!att!lära!sig!att!känna!igen!en!romb!enbart!efter!att!ha!sett!några!ritade!romber,!men!det!kan!bli!svårare!att!uppmärksamma!en!romb!som!avviker!från!det!invanda!mönstret.!!!!En!tredje!inspirationskälla!för!van!Hiele,!som!ligger!till!grund!för!nivå!1,!är!gestaltpsykologin,!som!fokuserar!på!att!människan!har!en!naturlig!förmåga!att!se!strukturer!och!mönster!i!sin!omgivning.!Bjørndal!skriver!om!gestaltpsykologi!att!det!genom!omfattande!experiment!har!kartlagts!ett!antal!ordningsprinciper!som!människor!använder!sig!av!för!att!tillgodose!ett!behov!av!att!ordna!omvärlden!i!meningsfulla!helheter.!Dessa!principer!kan!tolkas!olika!av!olika!personer!och!är,!principen%om!figur%kontra%bakgrund,!närhetsprincipen,!likhetsprincipen!samt!komplettering%av%sinnesintryck.26!En!vidare!fördjupning!av!gestaltpsykologin!ligger!långt!utanför!ramen!för!denna!studie,!men!värt!att!nämna!är!det!kanske!mest!den!sista!av!de!nämnda!principerna!som!van!Hiele!utvecklar!i!sitt!resonemang.!Bara!genom!att!se!en!del!av!ett!regelbundet!mönster!är!det!lätt!att!fylla!i!luckorna!och!bilda!sig!en!uppfattning!om!hur!hela!mönstret!är.!!Nivå%2%%För!att!uppnå!denna!nivå!krävs!ett!grundläggande!ordförråd!av!matematiska!begrepp,!samt!förståelse!för!några!samband!mellan!dem.!Elevens!utveckling!i!matematik!kan!liknas!vid!att!eleven!först!skapar!sig!och!sedan!utvecklar!ett!tankenätverk.*För!att!återgå!till!exemplet!med!romben!skulle!en!elev!som!uppnått!nivå!2!kunna!identifiera!flertalet!av!de!egenskaper!som!är!specifika!för!en!romb!och!även!ha!förmågan!att!jämföra!dem!med!egenskaper!hos!andra!geometriska!figurer!som!eleven!känner!till.!!!Nivå%3%%Min!tolkning!av!van!Hieles!beskrivning!av!nivå!3,!är!att!den!motsvarar!elevers!förmåga!att!använda!generella!resonemang.!Denna!nivå!har!en!elev!uppnått!exempelvis!när!han!eller!hon!väljer!ut!specifika!egenskaper!hos,!och!använder!kända!samband!mellan,!olika!figurer!för!att!på!egen!hand!genomföra!matematiska!bevis!och!för!att!upptäcka!nya!samband.!En!svårighet!som!van!Hiele!nämner!om!att!försöka!identifiera!ifall!en!elev!har!uppnått!denna!nivå!eller!ej!är!att!det!finns!risk!att!eleven!steg!för!steg!kortsiktigt!har!lärt!sig!ett!givet!bevis!som!en!procedur!som!går!att!lära!utantill.!Eleven!har!inte!själv!valt!de!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!26!Bjørndal,!C.!R.!P.,!%Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!29J31.!
!!
20!
olika!delstegen!i!beviset!och!i!värsta!fall!har!eleven!kanske!inte!ens!förstått!alla!av!delstegen.!Eleven!i!sammanhanget!befinner!sig!kvar!på!nivå!2,!då!den!har!en!grundläggande!begreppsförståelse.!!Nivå%4%%Denna!nivå!är!den!mest!avancerade!nivån!av!matematiskt!tänkande!före!högskola!och!universitet,!som!van!Hiele!identifierar.!För!att!skilja!denna!nivå!från!nivå!3!väljer!han!två!olika!exempel!att!uttrycka!ett!bevis!för!att!bisektriserna!från!hörnen!i!en!triangel!skär!varandra!i!en!punkt.!Förklaringen!av!beviset!på!nivå!3!är!språkmässigt!enklare!än!förklaringen!på!nivå!4.!Samtidigt!innehåller!den!enklare!förklaringen!fler!fällor!där!man!kan!tänka!fel.!Med!andra!ord!är!beviset!på!nivå!4!tydligare!eftersom!det!ligger!på!en!mer!detaljerad!nivå!där!det!matematiska!språket!och!symbolspråket!är!mer!avancerat.!!!En!intressant!iakttagelse!som!van!Hiele!gör!är!att!gemensamt!för!elever!som!når!nivå!4!är!att!de!har!en!god!förmåga!och!vilja!att!övervinna!vad!som!skulle!kunna!kallas!ämnesmässiga!tankekriser,!engelska:!”crisis%of%thinking”.!Dessa!kriser!måste!de!övervinna!för!att!därmed!kunna!lösa!de!problem!som!de!för!stunden!arbetar!med.!Ett!inte!okontroversiellt!recept!verkar!vara!livskriser!i!allmänhet.!Han!lyfter!upp!två!olika!exempel!på!elever!från!sin!erfarenhet!som!han!bedömer!har!tydligt!uppnått!nivå!4.!Det!ena!exemplet!är!en!flicka!som!har!en!brokig!skolgång!med!ett!flertal!misslyckanden!bakom!sig.!Efter!att!ha!studerat!vid!en!skola!som!undervisar!i!trädgårdsjordbruk!hittar!hon!dock!rätt!och!uppvisar!snabbt!matematiskt!tänkande!på!nivå!4.!Det!andra!exemplet!är!en!grupp!av!elever!som!efter!ett!eller!två!år!av!skolgång!motsvarande!på!gymnasienivå!har!fått!avbryta!denna!för!att!placeras!i!ett!Japanskt!koncentrationsläger.!Flera!av!dessa!elever!visar!snabbt!upp!tänkande!på!nivå!4!då!de!åter!ges!undervisning.!!
2.4 Kommunikativ0teori0om0lärande0!Den%proximala%utvecklingszonen!utgör!en!viktig!grund!i!Vygotskijs,!syn!på!inlärning,!den!är!alltså!zonen!mellan!gränsen!för!vad!en!elev!kan!klara!av!själv!och!för!vad!eleven!kan!klara!av!med!hjälp.!I!begreppet!hjälp!innefattas!resultatet!av!ett!socialt!samspel!där!kommunikation!sker!mellan!den!som!hjälper!och!den!som!får!hjälpen.!Teorin!om!den!proximala!zonen!tydliggörs!med!hjälp!av!figur!2.4.1!nedan.!
!Figur002.4.1.00Den!proximala!utvecklingszonen.27!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!27!Figur!hämtad!från:!Imsen,!G.,!Elevens%värd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl.,!Studentlitteratur,!Lund,!2000,!s.!189.!
!!
21!
Inom!nätbaserad!undervisning!har!modern!teknik!möjliggjort!att!kommunikation!är!intressant!att!diskutera!utifrån!två!motpoler.!Direkt%kommunikation,!även!kallad!synkron!kommunikation!kontra!fördröjd%kommunikation,!asynkron!kommunikation.!Exempel!på!den!tidigare!är!att!kommunicera!via!Skype,!via!chatt,!videoJ!eller!röstsamtal!och!exempel!på!den!senare!är!att!kommunicera!via!EJpost.!Nedan!ses!Hrastinskis!modell!som!överblickar!hur!olika!typ!av!kommunikation!kan!skapa!olika!sorters!samhörighet!mellan!de!som!kommunicerar!eftersom!tonvikt!läggs!vid!olika!saker!i!de!olika!typerna.!Det!behövs!en!kombination!av!kommunikationstyperna.!Direkt!kommunikation!är!effektivt!tillämpbar!i!små!grupper!men!riskerar!att!bli!ohanterlig!i!större!grupper!då!risken!är!större!att!man!börja!tala!i!mun!på!varandra.!28!!
!Figur002.4.20.!Hrastinskis!modell!för!kommunikation!och!deltagande.!29!
!! 0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!28!Hrastinski,!S.,!Nätbaserad%utbildning,%En%introduktion,%Studentlitteratur,!Malmö,!2009.!29!ibid,!s.!65.!
!!
22!
3 Syfte0och0frågeställningar0!Syftet!är!att!undersöka!om!och!i!så!fall!hur!ett!läroverktyg!på!nätet,!Youschool,!kan!utgöra!ett!stöd!i!elevers!kunskapsutveckling!i!gymnasiekursen!Matematik!2b.!!!Flera!av!de!centrala!kursinnehållen!kräver!av!eleverna!en!förståelse!för!och!en!vana!att!arbeta!med!funktioner,!därför!begränsas!undersökningen!till!denna!del!av!kursen.!!Frågeställningar!som!är!aktuella!är!då:!!
• Hur!använder!elever!Youschool?!!
• På!vilket!sätt!kan!Youschool!utgöra!ett!stöd!för!elever!i!deras!lärande!i!kursen?!!
• Vilka!förmågor,!som!krävs!av!elever!att!de!uppvisar!för!kursens!kunskapskrav,!går!att!träna!via!Youschool?!
! 0
!!
23!
4 Metod00!För!att!komma!närmre!vad!det!är!som!kan!tänkas!göra!Youschool!till!en!effektiv!resurs!för!elever!i!deras!matematikstudier!i!Ma2b!görs!en!kvalitativ!studie.!Bilden!av!pedagogiken!i!undervisningen!på!Youschool!skapas!med!hjälp!av!tre!elever!som!intervjus!via!telefon,!varpå!bilden!utökas!med!en!skärminspelad!lektion!på!Youschool.!!
4.1 Telefonintervjuer0!Tre!elever!som!läser!Ma2b!eller!kurs!med!motsvarande!innehåll!intervjuas.!Intervjuerna!görs!över!telefon!och!spelas!in,!varefter!de!transkriberas!till!text.!Det!som!framkommer!i!intervjuerna!sammanfattas!i!kapitel!5.1.!!Telefonintervjuerna!genomförs!utifrån!en!intervjuguide,!se!Appedix!II.!De!intervjuade!får!frågor!utifrån!guiden!som!är!tänkta!att!stimulera!dem!att!berätta!varför!och!på!vilket!sätt!de!använder,!får!stöd!av!och!lär!sig!med!hjälp!av!Youschool.!De!får!även!ge!förslag!på!hur!Youschool!kan!förbättras.!!Intervjuerna!är!till!formen!semistrukturerade.!Samtliga!av!frågorna!i!guiden!ska!behandlas!men!de!behöver!till!exempel!inte!nödvändigtvis!tas!upp!i!den!ordning!som!de!är!skrivna!i!guiden!och,!för!intervjuaren,!är!det!även!fritt!fram!att!ta!stickspår!med!hjälp!av!följdfrågor!för!att!uppnå!ett!mer!avslappnat!och!öppet!samtal.!I!hög!grad!används!öppna!frågor.!I!Bjørndals!modell!för!olika!typer!av!intervjuer!bedöms!den!semistrukturerade!intervjutypen!ha!en!relativt!låg!grad!av!struktur,!se!figur!4.1!nedan!som!är!en!bearbetning!av!Bjørndal30.!!
!Figur004.1.00Grad!av!struktur!för!olika!typer!av!intervjuer.!
Trost!rekommenderar!för!urval!för!kvalitativa!intervjuer!ett!bekvämlighetsurval.!Han!menar!att!vid!en!kvalitativ!intervju!inte!behöver!göras!försök!att!efterlikna!de!urvalsmetoder!som!normalt!brukar!användas!för!att!få!fram!statistiskt!representativa!urval!vid!en!kvantitativ!intervju.%31!!!Urvalet!av!de!intervjuade!görs!så!att!samtliga!elever!som!vid!tillfället!för!intervjun!läser!Ma2b!på!Youschool!rings!upp!vid!två!tillfällen,!varpå!intervjuer!görs!med!de!elever!som!svarar!på!telefonen!vid!något!av!tillfällena!samt!ställer!upp!på!att!bli!intervjuade.!Intervjuerna!genomförs!efter!att!föräldrar!till!eleverna!har!fått!ett!mejl!som!informerar!om!intervjuerna,!om!syftet!med!dem!och!som!garanterar!elevernas!konfidentialitet.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!30!Bjørndal,!C.!R.!P.,!%Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!91.!31!Trost,!J.,!Kvalitativa%intervjuer,!1993,!Studentlitteratur,!Lund,!s.!71.!
!!
24!
4.2 Skärminspelad0lektion0!Vidare!observeras!en!lektion!i!kursen!Ma2b!på!Youschool.!Lektionen!filmas!som!en!skärminspelning!via!dator,!med!ljudupptagning.!!!Lektionen!utgörs!av!ett!virtuellt!möte!mellan!tre!elever!och!en!lärare!på!Youschools!lärplattform.!Det!är!några!veckor!kvar!till!det!nationella!provet!i!kursen!och!eleverna!pluggar!därför!under!lektionen!inför!detta!prov.!Uppgifterna!som!eleverna!arbetar!med!är!varken!utvalda!av!läraren!eller!av!eleverna!själva,!de!är!utvalda!av!observatören!specifikt!för!att!utgöra!ett!underlag!för!denna!studie.!Uppgifterna!är!hämtade!från!gamla!nationella!prov!i!kursen!MaB!och!är!avsedda!att!testa!elevers!förmåga!att!tillämpa!sina!kunskaper!om!funktioner.!De!handlar!om!räta!linjens!ekvation!som!utgör!ett!av!de!centrala!kursinnehållen!i!Ma2b.!I!appendix!III!återfinns!uppgifterna!i!den!form!som!eleverna!arbetar!med!dem.!!!Lektionsobservationer!kan!delas!upp!i!två!typer!utifrån!observatörens!grad!av!delaktighet!i!undervisningen.!Observation%av%första%ordningen!innebär!när!en!utomstående!observerar!en!pedagogisk!situation,!med!observationen!som!primär!uppgift.!Observation%av%andra%ordningen!görs!av%den!undervisande!själv,!varför!denna!typ!av!observation!kan!ses!som!en!komplementär!uppgift!till!att!leda!den!pedagogiska!aktiviteten.32!Den!genomförda!lektionsinspelningen!motsvarar!en!observation!av!första!ordningen.!!!Förutom!grad!av!delaktighet!i!undervisningen!av!observatören!kan!även!grad!av!öppenhet!om!studien!för!dem!som!deltar!i!studien!ha!en!inverkan!på!resultatet.!I!figur!4.2!nedan!presenteras!Bjørndals!utveckling!av!Junkers!(1960)!modell!för!idealtypiska!forskarroller.!33!!
!Figur004.2.00Diagram!för!olika!observationstyper.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!32!Bjørndal,!C.!R.!P.,!%Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!26.!33!ibid.!s.!43.!
!!
25!
Enligt!beskrivningarna!av!observationstyper!påminner!lektionsinspelningen!mest!om!typ!d,!men!borde!i!diagrammet!placeras!någonstans!närmre!mitten.!Dels!är!elever!och!lärare!som!deltar!i!lektionen!informerade!om!observationen!och!dess!syfte,!men!syftet!presenteras!för!dem!inte!mer!specifikt!än!att!undersökningen!görs!i!förhoppning!om!att!kunna!utveckla!Youschool.!Dels!är!observationen!är!av!första!ordningen,!men!graden!av!delaktighet!i!lektionen!av!observatören!är!långt!ifrån!noll.!Exempelvis!är!uppgifterna!som!eleverna!arbetar!med!utvalda!av!observatören.!!Undersökningens!syfte!utgör!motivet!till!valet!av!skärminspelning!som!observationsmetod.!Fokus!för!observationen!är!relativt!brett!i!den!mening!att!det!går!ut!på!att!upptäcka!och!definiera!Youschools!eventuella!stödpedagogik.!Ett!brett!fokus!gör!det!svårt!att!ha!ett!förhandsbestämt!och!strukturerat!observationsschema!för!att!notera!händelseförlopp!under!en!lektion!utan!att!viktig!information!går!till!spillo.!En!skärminspelning!bedöms!därmed!kunna!lagra!fler!nyanser!av!lektionen!än!andra!observationsmetoder.!En!inspelning!utesluter!inte!heller!att!en!strukturerad!studie!av!lektionen!görs!i!ett!senare!skede.!!Värt!att!ta!hänsyn!till!i!alla!sammanhang!av!filminspelningar!är!att!de!inte!återger!hela!verkligheten.!De!ger!en!begränsad!bild!av!verkligheten.!Jordan!och!Henderson!delar!upp!begränsningar!hos!inspelningar!i!två!kategorier,!operatörens%begränsningar!och!teknikens%begränsningar.!34%Operatören!med!tillhörande!begränsningar!får!i!detta!fall!vara!läraren.!Det!är!läraren!som!styr!fokus!på!skärmen,!det!vill!säga!prioriterar!vilken!eller!vilka!filmer!från!sin!egen!eller!elevers!dokumentkameror!som!ska!visas!på!skärmen!för!stunden.!Teknikens!begränsningar!motsvaras!exempelvis!av!att!plattformen!tillåter!att!maximalt!fyra!filmer!visas!åt!gången!på!skärmen,!eller!att!det!inte!går!att!se!vad!varken!lärare!eller!elever!gör!utöver!vad!de!själva!väljer!att!visa!med!sina!dokumentkameror.!!!En!ytterligare!faktor!att!ta!hänsyn!till!är!att!när!de!inspelade!är!medvetna!om!inspelningen!så!finns!en!risk!att!det!hela!blir!konstlat.!Gällande!videoinspelningar!finns!det!dock!studier!som!har!visat!att!de!som!observeras!ganska!fort!vänjer!sig!vid!situationen,!beroende!på!hur!störande!kameran!är!placerad.35!Kopplat!till!denna!studie!bör!detta!betyda!att!det!finns!goda!förutsättningar!att!elever!och!lärare!hinner!glömma!av!att!de!blir!filmade.!Lektionen!är!lång,!1,5!timmar,!och!det!finns!ingen!synlig!kamera!med!tillhörande!kameraman!som!drar!till!sig!uppmärksamheten.!!!!! 0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!34!ibid.!s.!74.!Bjørndahl!hänvisar!till!Jordan!och!Henderson!1994!35!ibid!s.78.!Bjørndahl!hänvisar!till!Jordan!och!Henderson!1994*
!!
26!
5 Resultat00!I!detta!kapitel!ges!inledningsvis!utdrag!från!transkriberingar!av!telefonintervjuer.!Anna,!Berit!och!Cecilia,!namnen!är!fingerade,!beskriver!bland!annat!hur!och!varför!de!använder!Youschool.!Sedan!följer!sammanfattning!av!några!observationer!från!en!lektion!på!Youschool,!som!innehåller!transkriberade!konversationer!och!skärmdumpningar.!!Disa,!Emma!och!Fatima,!också!fingerade!namn,!arbetar!tillsammans!med!sin!lärare!på!Youschool,!med!tre!uppgifter!från!gamla!nationella!prov!som!handlar!om!linjära!funktioner.!!
5.1 Telefonintervjuer,0resultat0
5.1.1 Vad0inspirerar0de0intervjuade0att0börja0använda0Youschool?0!Två!av!de!intervjuade,!Anna%och%Berit,%attraherades!av!en!presentations!av!Youschool!som!gjordes!som!marknadsföring!i!deras!klass!på!deras!skolor.!För!Cecilia!var!det!istället!föräldrarna!som!gjorde!att!hon!började!använda!Youschool.!!Anna,!som!har!haft!Youschool!i!ca!3!månader,!säger!att!det!var!på!hennes!eget!initiativ!som!hon!började!använda!sig!av!Youschool.!En!orsak!till!att!hon!ville!ge!det!en!chans!var!att!hon!upplevde!att!hon!”kom!ingenstans!med!matten”.!Hon!berättar!att!hon!under!presentationen!tyckte!att!det!verkade!”skönt!att!kunna!jobba!via!internet”,!att!hon!kunde!”plugga!hemifrån!och!slippa!träffa!en!person”.%Vidare!berättar!Anna!att!hon!tänkte!sig!kunna!spara!tid!på!att!jobba!hemifrån,!istället!för!att!behöva!sitta!i!skolan!för!att!plugga.!Tidsbesparing,!så!att!hon!har!fått!mer!fritid,!upplever!hon!också!att!hon!har!uppnått!med!hjälp!av!Youschool.!%%Berit!har!haft!Youschool!längre!än!Anna,!sedan!höstterminen!före!intervjun.!Liksom!Anna!berättar!Berit!att!hon!kände!att!hon!behövde!hjälp!med!matte!samt!att!det!är!skönt!att!kunna!få!läxhjälp!via!nätet!istället!för!att!det!är!”någon!som!behöver!komma!hem!till!en”.!Ytterligare!en!orsak!som!Berit!lyfter!fram!är!att!hon!lockades!av!att!få!testa!en!lektion!gratis.!Berit!berättar!att!genom!testlektionen!upptäckte!hon!att!hon!tyckte!bra!om!sättet!som!lektionerna!gjordes!på.!Berit!lägger!även!till!att!”sen!var!det!billigare!än!andra!hjälpsaker”,!de!ekonomiska!fördelarna!med!Youschool!jämfört!med!konkurrenter!utreder!hon!även!mer!ingående!senare!under!intervjun.!!Cecilia!har!haft!Youschool!längre!än!båda!de!andra!intervjuade,!hon!har!använt!Youschool!i!ca!ett!år.!Det!var!inför!det!nationella!provet!i!Ma!1b,!som!någon!av!hennes!föräldrar!troligen!sett!någon!reklam!på!mejl!om!Youschool.!Hon!vet!inte!riktigt!eller!minns!inte!exakt!hur!det!hela!gått!till!eftersom!det!hela!inte!startade!på!hennes!eget!initiativ.!!
5.1.2 Vad0i0Youschool0utgör0ett0stöd0för0de0intervjuade0att0närma0sig0sina0betygsmål?0*Samtliga!intervjuade!uppger!att!de!har!höga!betygsmål!i!matematikkursen!som!de!läser,!de!har!målsättningen!betyg!från!C!och!uppåt.!De!uttrycker!också!alla!att!de!är!mycket!nöjda!med!hur!Youschool!bemöter!dem!i!sina!studier.!Resurser!som!finns!för!eleverna!
!!
27!
att!nyttja!på!Youschool!skulle!kunna!beskrivas!som,!tillgång!till!lärare,!lektioner,!lösningsfilmer!och!lärplattformen!som!kommunikationsteknik.!!Läraren%!Anna!tillägger!till!sitt!betygsmål!att!innan!hon!började!använda!Youschool!så!bedömde!hon!själv!att!hon!låg!på!betygsnivån!F!till!E,!men!efter!att!ha!börjat!använda!Youschool!är!hon!väldigt!glad!över!att!hon!nu!kommer!upp!till!DJnivå!på!proven.!Hon!beskriver!sina!studieframsteg!med!orden:!”Jag![…]!fattar!mer!och!typ!att!jag!inte!ger!upp!heller!”!Nyckeln!till!framgångarna!kan!ligga!hos!läraren.!Anna!beskriver!läraren!på!Youschool:!!!
”Han!ger!sig!ju!aldrig!![…]!grejen!att!jag!fortsätter!med!Youschool!det!är!att![…]![läraren]!har!koll!på!vad!vi!måste!klumpa!in!för!kommande!lektioner,!kommande!prov![…]!för!jag!har!själv!aldrig!koll!på!det![…]!då!har!man!en!lärare!som!hela!tiden!hjälper!till!en!att!ligga!i!fas![…]!då!känner!man!att!man!inte!missar!någonting![…]!Sedan!att!han!alltid!påminner,!även!fast!man!inte!orkar!plugga!matte![…][han]!pushar!och!typ!så!här:!skickar!SMS,!och!bara!det!är!ju!en!stor!grej!”!
!Då!Anna!prioriterar!det!viktigaste!i!stödet!är!det!just!att!läraren!på!Youschool!har!kontakt!med!hennes!matematiklärare!på!den!gymnasieskola!som!hon!går!på.!Enligt!Anna!möjliggör!detta!för!läraren!på!Youschool!att!kunna!vara!så!strikt!mot!henne!som!hon!bedömer!behövs,!för!att!hon!ska!göra!de!uppgifter!som!han!ger!henne.!!I!sin!beskrivning!av!egenskaper!som!en!lärare!på!Youschool!behöver!ha,!nämner!Anna!att!de!viktigaste!egenskaperna!är!att!läraren!kan!och!vågar!”pusha!på”!och!utmana!eleverna.!Hon!förklarar!att!hon!upplever!att!det!är!”så!många!som!sätter!ribban!på!att!man!inte!kan!mer,![…]!göra!AJuppgifter,![…]!CJuppgifter!och!sådant,!fast!man!egentligen!kan!det”.!!Berit!prioriterar!egenskapen!att!vara!strukturerad!som!viktigast,!hos!en!lärare.!Hon!nämner!även!att!ha!tålamod!i!sina!förklaringar!som!en!viktig!egenskap,!och!beskriver!det!som!att!läraren!ska!överdriva!lite!i!sina!förklaringar!och!inte!ge!sig!innan!eleverna!förstår.!!!Cecilia!är!inne!på!liknande!spår!som!Berit.!Även!hon!nämner!tålamod!som!en!viktig!egenskap,!men!väljer!liksom!Berit!att!prioritera!en!annan!egenskap!som!viktigast,!nämligen!flexibilitet.!I!begreppet!lägger!hon!in!att!läraren!är!flexibel!i!sina!förklaringar,!det!vill!säga!kan!förklara!en!matematikuppgift!på!flera!olika!sätt.!!Lektionerna%!Anna!beskriver!en!vanlig!lektion:!!
”Intervjuare![I]:!Om!du!beskriver!en!lektion![…]!hur!den!brukar!gå!till,!en!vanlig!lektion!på!Youschool.!!
Anna![A]:![…]!tar!säkert!10J5!minuter!först!att!komma!igång!med!alla!kameror!och!sådant![…]!och!sedan!så![…]%en!lektion,!en!och!en!halv!timme![…]!det!ser!väldigt!likadant!ut!nästan!varje!gång,![…]!gäller!att!lösa!lite![…]!uppgifter!som!man!ska!alltså!förklara!för!kompisen.!
I:!! Som![läraren!på!YS]!har!bestämt!vilka!uppgifter!det!är!då?!
!!
28!
A:!![…]Ja,!precis.!Om!det!är!typ!en!stor!uppgift,![…]!två!delar!av!uppgiften.!Du!gör!den!ena,!och!så!kanske![kompisen]!den!andra,!och!sedan!så!förklarar!vi!hur!vi!har!tänkt,!på!dem!båda!tills!båda!förstår.!Och!sedan!så!lär!man!sig!genom!att!både!förklara!och!att!göra,!och!att!lyssna!på!den!andra![…]!Ja,!och!är!det!så!att!ingen!fattar!så!hjälper![läraren]!till!att!ritar,!för!hur!man!ska!göra!och!så.![…]”!
!Senare!under!intervjun!återberättar!Anna!samma!sak!igen!varefter!hon!får!uppgiften!att!prioritera!vad!som!är!viktigast!i!upplägget!för!henne!och!hon!återkommer!då!igen!bland!annat!till!vikten!av!lärarens!aktiva!roll!i!undervisningen.!
!”I:!!Precis,!så!att*det!skulle!du!säga!är![…]!det*viktigaste!som!gör!lektionerna!bra!då!på!Youschool?!Det!är!just!den!biten?!
A:!!Ja.!Alltså,!att!man!kan!få!förklara!liksom![…]!Ja,!rita!upp!allting.![…]!Det!bästa!med!lektionerna,!det!är!ju!att!man!kan!se!vad![läraren]!gör.![…]!Alltså!i!kameran,!för!att!det!förklarar!så!mycket!lättare![…]!alla!saker!han!skriver!ut,!alla!begrepp![…]!alla!matematiska!formler![…]!bara!att!se!det![…]!alltså!hela!tiden!!
I:!! […]!så!att![läraren]!är!också!ganska!delaktig.!Det!är!inte!bara!att!ni*får!förklara!själva,!utan!han!rycker!in!om!han!känner!att!det*behövs!liksom,!och!förtydligar.!
A:! Ja!precis.”!!
Flera!av!intervjuerna!färgas!kanske!av!att!de!ligger!nära!innan!eleverna!ska!skriva!det!nationella!provet.!Kanske!färgas!mest!beskrivningar!av!lektionsupplägg,!både!hur!de!intervjuade!minns!en!vanlig!lektion!och!vad!de!vill!ska!ingå!i!en!optimal!lektion.!!Liksom!Anna!gör,!lyfter!Berit!upp!att!det!är!bra!att!jobba!med%stora!uppgifterna!på!ett!sådant!sätt!som!görs!på!Youschool.!Förklaringen!av!stora!uppgifter!överensstämmer!med!Annas!i!att!uppgifterna!ska!innehålla!mindre!delfrågor,!men!i!Berits!beskrivning!av!vilka!uppgifter!som!är!bra!att!arbeta!med!under!en!optimal!YouschoolJlektion!framträder!det!en!lite!tydligare!definition!av!vilka!dessa!stora!uppgifter!är.!Oavsett!om!det!gäller!att!förbereda!sig!inför!nationella!provet!eller!inte,!hävdar!Berit,!att!man!ska!”gå!igenom!stora!uppgifter!där!det!liksom!är!på!alla!nivåer![men]!så!att!man!liksom!ändå!hänger!med!på!typ!hur!man!ska!göra”.!Hon!förklarar!dem!även!genom!att!använda!begreppet!”AJuppgift”!eller!som!en!uppgift!som!är!”som!en!sista!uppgift!på!nationella![prov]”.!!!Även!Berit!lägger!vikt!vid!andra!faktorer!i!sin!beskrivning!av!hur!hon!finner!stöd!med!hjälp!av!Youschools!lektioner.!Hon!berättar!att!med!det!material!som!eleverna!arbetar!med!Youschools!lektioner!lägger!de!sig!steget!före!hennes!vanliga!lektioner.!Sedan!när!hennes!lärare!i!gymnasieskolan!går!igenom!kursinnehållet!så!”vet!man!redan!vad!det!handlar!om”.!Det!viktigaste!som!lektionerna!måste!innehålla!för!Berit!är!”att!man!förstår!vad!det!är!för!regler!och!räknesätt!man!använder,!när!man!räknar!vissa!uppgifter”.!!Vem!som!bestämmer!vilka!uppgifter!som!utgör!innehållet!för!en!lektion!kan!variera.!Enligt!Berit!så!har!ibland!läraren!bestämt!vad!som!ska!gås!igenom!alternativt!så!har!eleverna!haft!möjlighet!att!säga!vad!de!skulle!vilja!göra,!i!förväg!eller!precis!i!början!av!lektionen.!Enligt!Cecilia!är!det!oftast!elever!som!kommer!med!uppgifter,!men!att!även!läraren!kan!göra!det.!Cecilia!anser!att!det!är!bäst!då!uppgifterna!kommer!från!elever,!eftersom!de!då!oftast!kommer!från!läroboken!och!att!hon!därmed!”vet!säkert!att!man!pluggar!just!det![…]!som!behövs!i!boken”.!!
!!
29!
Om!att!arbeta!i!grupp!på!lektionerna!berättar!Anna!att!hon!alltid!har!lektionerna!på!Youschool!tillsammans!med!en!nära!klasskamrat!som!”ligger!på!samma!nivå!inom!matten”.!Anna!beskriver!vidare!att!hon!upplever!det!som!en!fördel!att!ha!lektionerna!med!en!nära!vän!”eftersom!vi!funkar!att!jobba!bra!tillsammans”.!!Även!Berit!har!lektioner!med!klasskamrater,!de!är!tre!elever!istället!för!två!som!alltid!har!lektioner!tillsammans.!Hon!beskriver!det!som!om!hon!har!kluvna!känslor!mellan!en!ekonomisk!aspekt!och!en!positiv!effekt!av!att!få!stöd!i!grupp.!!
!”I:!Hur!känns!det!då?![om!att!vara!tre!klasskamrater!på!lektion!på!YS]!Berit![B]:!Alltså!det!känns!bra,!för!det!är!ju!skönt![…]!att!det!är!flera,!men!samtidigt!så!är!det!ju!liksom,!du!betalar!ju!som!om!du!skulle!egentligen!betala!för!en![…]!Förstår!du!vad!jag!menar?!I:!! […]Du!kanske!kan!utveckla!lite?!B:!![…]För!nu!är!vi!ju!tre!i!gruppen,!som!betalar!samma!pris,!för!att!dela!lärare.!I:!! Ja?!B:!!Och!med!ett!annat!studiehjälp!så!betalar!du%[…]!ju!mer%[…]!typ!250!kronor!mer!kanske![…]!för!att!vara!själv!med!en!lärare,!och!då!har!man!ju!ungefär!samma!tid.![…]!Så!det!kan!ju!kännas!ibland!lite!så!här!jobbigt!att!man!delar!så.!
I:!! Ok.!B:! Men!annars!tycker!jag!att!det!är!bra!att!dela,!eftersom![…]!man!ser!ju!det!från!ett!annat!perspektiv.!Alltså,!det!blir!ju!inte!bara!ens!eget!och!läraren,!utan!det!blir!ett!tredje!typ.!
I:!! Som!du!sa!i!början!här.!Det!finns!både!positiva!och!negativa!aspekter!av!det.!B:! Mmm,!precis.”!
!Till!skillnad!från!de!båda!andra!intervjuade!ger!Cecilia!uttryck!för!att!ha!erfarenhet!av!olika!sorters!lektioner!på!Youschool.!Hon!resonerar!mer!utifrån!hur!lektionsupplägget!påverkas!utifrån!gruppstorlek.!!
”Cecilia![C]:!Ibland!kan!man!boka!klass!själv,!så!att!man!ska!vara!själv!med!läraren,!och!ibland!med!flera!personer.!
I:!! Ok.!C:!![…]!Oftast!när!man!är!flera!då!kan!man!diskutera!uppgifterna!tillsammans,!vilket!är!ett!bra!sätt!att!lära!sig!matte!på!tycker!jag.!
I:!! Ja.!Så!du!gillar!när!man!är!flera!då!mer!än!när!man!är!själv,!eller?%C:!!Ja,!ibland!gör!jag!det.![…]!ibland!om!det!är!något!ämne!som!är!rätt!svårt!för!mig,!då!behöver!jag!verkligen!bara!göra!uppgifter,!bara!en!lärare!för!mig.!Och!ibland!när!jag!är!säker![…]!på!ett!ämne!i!matten,!men!ibland!behöver!hjälp!med!några!uppgifter,!då!är!det!skönt!att!vara!tillsammans.”!
!I!beskrivning!av!en!optimal!lektion!återkommer!Cecilia!till!hur!komplext!det!kan!vara!att!finna!en!optimal!gruppstorlek.!Det!hela!verkar!bero!på!hur!svårt!hon!upplever!att!ämnesstoffet!som!behandlas!är.!Desto!svårare!det!är,!ju!färre!elever!får!det!vara!för!att!läraren!ska!ha!tid!med!alla!frågorna!utan!att!eleverna!får!vänta!för!länge.!Hon!uttrycker!det!själv!att:!!
”Om!det!är!svårare!så!behöver!man!oftare!hjälp![…]!och!om!man!är!fyra!elever!då!behöver!man!ju!vänta!för!då!är!det!oftast!också!alla!elever!som!behöver!hjälp.![…]!När!det!är!två!elever!så!är!det!lättare,![…]!om!man!behöver!hjälp!med!en!uppgift,![…]!så!förklarar!läraren!eller!eleven!också!ibland.”!
!
!!
30!
Lösningsfilmerna%%%Lösningsfilmerna!används!endast!mycket!sparsamt!av!samtliga!av!de!intervjuade.!Anna!uppger!först!att!hon!testade!lösningsfilmerna!då!hon!började!på!Youschool,!men!efter!att!ha!fått!fundera!lite!kommer!hon!fram!till!att!hon!inte!alls!använder!dem!längre.!Berit!berättar!också!att!hon!inte!använt!filmerna!så!mycket,!men!sedan!säger!hon!att!hon!ska!försöka!att!göra!det!mer,!”för!att!få!igång!att!man!sitter!och!räknar!hemma!också”.!Cecilia!har!en!mattebok!som!det!på!Youschool!inte!finns!några!lösningsfilmer!till!uppgifterna.!%Lärplattformen%som%kommunikationsteknik%utanför%lektioner%på%Youschool%!Cecilia!beskriver!nedan!hur!hon!använder!sig!av!Youschool.!Det!skiljer!sig!från!de!andra!intervjuade!som!inte!alls!använder!Youschool!som!kommunikationsteknik!utanför!lektionerna,!med!undantag!för!att!Anna!som!har!provat!det!en!gång!men!då!tekniken!tyvärr!krånglade.!!
”I:!!Vad!skulle!du!behöva!hjälp!med!liksom?!C:!!Jag!vet!inte!faktiskt.!Eller!att,!typ!att![…]!bara!plugga!och!plugga!!I:!! Plugga!och!plugga![…]!C:!!Det!är!ju!matte!!Ja,!man!kan!inte!bara!tänka!utan!man!måste!verkligen!göra!uppgifter![…]!matteuppgifter!och!sådant.!!
[…]!I:!! Men!kan!du!beskriva!hur!Youschool!hjälper!dig!med!det!då?!C:!![…]!Eftersom!jag!kan!ju!boka!lektioner,!och!så!kan!man!hoppa!in!i!klassrum!ibland.!Till!exempel:!Man!pluggar!själv!hemma!och!sedan!fastnar!man!på!en!uppgift!och!kan!verkligen!inte!klara!av!den,!och!vill!inte!vänta!tills!man!kan!gå!till!skolan!och!fråga!läraren,!så!bara!hoppar!man!in!på!Youschool!och!får!hjälp!direkt.!
I:! […]!Kan!du!beskriva!hur!det!går!till!liksom?!Hoppa!in!på!Youschool?!Är!det!något!av!klassrummen!där!då!som!du!tittar!om!det!finns![avbryts]!
C:! […]!jag!har!en!lärare![…]!hela!tiden!som!jag!går!till,!så!han!har!ju!alltid!sitt!klassrum!öppet.!Varje!dag!%
I:! Jaha,!så!han!har!öppet!det!varje!dag.!Ja,!ok!!C:! Mmm.!Till!och!med!på!helgerna!![…]!C:! annars!så!är!det!bara![…]!man!kan!alltid!boka![lektioner]!liksom!helt!spontant!också![…]De!är!väldigt!flexibla.”!
%
5.1.3 Ser0de0intervjuade0något0som0kan0utvecklas0på0Youschool?0*Berit!önskar!filmer!för!teoriinnehåll,!hon!anser!att!det!skulle!vara!ett!bra!komplement!till!lösningsfilmerna.!Sedan!resonerar!hon!vidare!kring!hur!sådana!filmer!skulle!kunna!vara!uppbyggda.!!!
”I:!!Hur!skulle!en!sådan!film!då!kunna!se!ut,!tänker!du?!B:!![…]!Typ!så!här:!Man!börjar!förklara![…]!I:!! Jaha.!B:!![…]%Och!sedan!så!visar!man!hur!man!gör.%Och!så!tar![man]!upp!exempel!på![…]!uppgifter!som!man!kan!räkna!med!den![additionsmetoden],!och!då!gör!man!det!på!alla!nivåer!också.!
I:!! Även!där!i!filmen?!
!!
31!
B:!![…]!Ja,!precis!!Så!att!man!liksom!förstår!hur!det!kan!bli.!För!ibland!blir!det!så!här:!Ja,!men!du!får!se!hur!man!gör!på!en!EJnivå,!och!sedan!ska!du!kunna!göra!det!på!en!CJ!och!AJnivå.![…]!och!då!kan!det!vara!svårt!att!se!att!det!är![…]!just!den!som!man!ska!använda!sig!av.”!
%Anna!ger!som!önskemål!att!stödet!mer!än!i!nuläget!utvidgas!till!att!gälla!fler!gymnasieämnen!än!matematik.!!Slutligen!tål!att!nämnas!att!både!Anna!och!Cecilia!uttrycker!att!det!kan!finnas!några!mindre!tekniska!problem!att!övervinna.!Anna!nämner!att!det!händer!att!10!minuter!av!en!lektion!går!bort!för!att!kameror!eller!annat!krånglar.!Cecilia!nämner!att!YouschoolJkamerorna!ibland!kan!fastna!”så!att!man!behöver!ladda!om!sidan!rätt!ofta”.!!!
5.2 Skärminspelad0lektion,0observationer0!Det!tar!ca!3,5!minuter!innan!två!av!de!tre!eleverna!på!lektionen,!Disa%och!Emma!har!fått!i!ordning!på!både!tekniken!och!kommit!åt!att!kunna!se!uppgifterna!som!skickats!till!dem!via!SMS!och!Skype.!Ytterligare!1!minut!dröjer!det!innan!Fatima,!den!tredje!eleven,!får!uppgifterna.!För!den!som!vill!fördjupa!sig!i!uppgifterna!här!igen,!se!Appendix!III.!!Uppgift%1%!Räknat!från!att!Disa!och!Emma!har!fått!uppgifterna,!får!eleverna!ca!5!minuter!till!att!tänka!och!skriva!individuellt!på!uppgiften.!Både!Disa!och!Emma!verkar!kunna!hantera!proceduren36!att!bestämma!räta!linjens!ekvation!på!aJuppgiften!men!uttrycker!att!de!är!osäkra!på!om!de!har!tänkt!rätt.!Disa!får!berätta!vad!svaret!till!aJuppgiften!är.!Alla!har!givit!det!korrekta!svaret!till!uppgiften,!men!eleverna!har!kunnat!se!varandras!svar!då!samtliga!skrivblock!har!kunnat!ses!på!skärmen!för!alla!elever!under!delar!av!den!individuella!arbetstiden.!!!Emma!får!förklara!hur!hon!har!bestämt!svaret!till!aJuppgiften.!Hon!berättar!att!hon!använder!sig!av!”trappstegsmetoden”%37.!Metoden,!som!är!ett!tillvägagångssätt!för!att!bestämma!ekvationen!till!eller!att!rita!ut!en!rät!linje,!verkar!användas!av!läraren!och!eleverna!relativt!ofta.!De!använder!eller!hänvisar!till!metoden!flera!gånger!under!lektionen.!Förklaringen!till!varför!lutningen!blir!2!som!Emma!ger!är!”1!ut!och!2!ner”.!Läraren!kommenterar:!”inte!ner”.!Varpå!Emma!korrigerar!sig!själv!till!hur!hon!borde!ha!beskrivit!det:!”Då!är!det!ju!2!upp!och!1!in!ifall!man!ska!gå!uppåt”.!!Fatima!är!den!enda!eleven!som!har!löst!hela!uppgift!1,!det!vill!säga!både!aJ!och!bJuppgiften.!Hon!löser!uppgiften!snabbt.!Läraren!väljer!ut!henne!till!att!förklara!för!alla!hur!hon!har!resonerat!kring!bJuppgiften.!Hon!har!ritat!en!linje!och!använt!sig!av!trappstegsmetoden,!men!hon!placerar,!liksom!Emma!gjorde,!trappstegen!på!ett!felaktigt!sätt!för!en!linje!med!negativ!lutning.!Trappstegen!hamnar!under!istället!för!ovanför!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!36!Jämför!gärna!med!bedömningsmallen!för!uppgiften!i!figur!2.1.3!s.!14.!37!Ingen!av!de!fyra!läroböckerna!i!gymnasiematematik!använder!begreppet!”trappstegsmetod”,!men!de!redovisar!alla!hur!metoden!går!till,!antingen!i!kursboken!för!Ma1b!och/eller!för!Ma2b.!Alla!utom!Ma5000,!Natur!och!Kulturs!bok,!använder!även!liknelsen!vid!att!trappsteg!bildas!om!man!ritar!ut!avstånd!i!yJled!och!xJled!från!två!olika!punkter!på!grafen!till!en!linjär!funktion.!
!!
32!
grafen,!se!figur!5.2.1.!nedan.!Läraren!förklarar!att!felet!är!gjort!i!bemärkelsen!att!risk!kan!finnas!att!det!är!ett!inkonsekvent!arbetssätt,!inte!att!det!leder!till!ett!felaktigt!svar.!!
!Figur005.2.1.00Fatimas!skiss,!trappstegen!ritade!under!grafen.!
Eleverna!får!i!samtal!med!läraren!resonera!kring!hur!man!kan!rita!linjer!för!några!fler!exempel!på!lutningar.!Läraren!väljer!först!ut!lutningarna!J3/4!och!7/8!för!att!diskutera!tillvägagångssättet,!eller!med!andra!ord!proceduren.!Sedan!avslutar!han!uppgiften!genom!att!ta!ytterligare!ett!exempel,!troligen!för!att!kontrollera!om!eleverna!verkligen!har!lärt!sig!proceduren.!Emma!ger!uttryck!för!att!vara!med!på!hur!resonemanget!går!till,!när!hon!efter!ett!tag!får!klart!för!sig!att!det!i!uppgiften!inte!spelar!någon!roll!vilket!mJvärdet!ska!vara!för!den!linje!som!ska!ritas,!det!vill!säga!var!grafen!skär!yJaxeln.!!Tidsåtgången!för!uppgift!1!är!totalt!ca!16J17!min,!inklusive!utblicken.!Eleverna!tilldelar!också!uppgiften!svårighetsgrad!på!en!skala!från!1!till!4,!där!1!är!lätt!och!4!svår.!Fatima!ger!den!1,!Disa!ger!den!2!och!Emma!ger!den!3.!!Uppgift%2%%!Det!tar!ca!1!minut!för!läraren!att,!i!lugn!och!ro,!läsa!igenom!uppgiften.!Eleverna!får!precis!5!minuter!att!tänka!och!räkna!självständigt.!!Läraren!frågar!först!vad!Fatima!har!svarat!på!uppgift!2a.!Fatima!har!inte!skrivit!något,!men!svarar!muntligt!J1.!Läraren!skriver! 1)0( −=h .!Läraren!frågar!då!vad!de!andra!har!skrivit.!Emma!svarar!J3.!Disas!skrivblock!har!försvunnit!från!kameran!och!hon!uttrycker!att!hon!inte!vill!ge!något!svar!till!uppgiften.!Läraren!börjar!då!att!förklara!hur!man!ska!lösa!uppgiften.!!
”Läraren![L]:![…]h!av!noll![ )0(h ],!ja!det!är!ju!den!här!linjen!som!lutar!uppåt,!eller!hur?![visar!med!pennan!riktningen!för!en!linje!med!positiv!lutning]!Vad!betyder! )0(h !Emma?!
Emma![E]:!Att!någont…!h!gånger…!L:!!Du!har!faktiskt!svarat!rätt.!E:!!Jag!vet!faktiskt!inte!vad!det!betyder![…]!L:!!Du!har!i!alla!fall!svarat!rätt,!så!det!är!därför.!
!!
33!
E:!!Jaha.!Hade!jag?![alla!skrattar]!L:!!Ja.!E:!!Ja!men!typ!att![…]!ifall!h!gånger!någonting![…]!eftersom!att!den!börjar,!den!bryter!ju!på!J3!på!yJaxeln!och!eftersom!den!inte!ska!någonstans!så!är!den!kvar!där,!så!tänkte!jag!typ.”!
!Läraren!fortsätter!därefter!sin!förklaring.!Förklaringen!sinkas!först!lite!av!att!någonting!tekniskt!gör!att!det!hackar!för!Fatima!och!att!hon!därför!får!svårt!att!skriva!av!det!läraren!skriver,!i!sitt!block.!Läraren!definierar!först! )(xh !som!”linjens!yJvärde!för!ett!givet!specifikt!(x)”,!han!korrigerar!alltså!muntligt!att!han!råkade!skriva!speciellt!istället!för!specifikt.!En!intressant!kommentar!i!sammanhanget!som!läraren!säger!är!”och!funktion!brukar!vara!jobbigt!så!jag!brukar!säga!yJvärdet!för!linjen”.!Sedan!skissas!grafen!för!funktionen!h,!eller!med!andra!ord!linjen,!varpå! )0(h !pekas!ut!på!den,!se!figur!5.2.2!nedan.!!
!Figur005.2.2.00Lärarens!visar!var!eleverna!ska!läsa!av!h(0)!i!den!givna!grafen.!
Fatima!frågar:!”Om!det!hade!stått!h!och!sedan!parentes!2!eller!3,!vad!är!det!för!något!då?”!Läraren!reder!ut!hur!man!bestämmer!de!efterfrågade!värdena!för!funktionen!h.!!Innan!resten!av!uppgiften!tas!upp!delar!läraren!ut!till!eleverna,!varsitt!nytt!funktionsvärde!att!bestämma!genom!att!kolla!i!de!givna!graferna.!Detta!genererar!nya!frågor!och!problem.!Fatima!som!får!att!bestämma )2(−f undrar!vad!f%står!för,!och!får!förklarat!att!det!är!att!den!ena!linjen!i!figuren!som!”heter”!f.!Emma,!som!får )1(f ,!tänker!att!hon!först!måste!bestämma!formeln!till!funktionen!f,!innan!hon!får!hjälp!med!att!förstå!att!hon!kan!läsa!av!värdet!direkt!i!grafen.!Disa!som!får! )1(−h lyckas!läsa!av!värdet!på!rätt!ställe!i!grafen,!men!hon!missar!att!det!är!på!den!negativa!delen!av!yJaxeln!som!hon!läser!på!och!får!därför!fel!tecken!i!sitt!svar.!!Tidsåtgången!för!uppgift!2!blir!totalt!sett!närmre!1!timme.!Det!beror!delvis!på!en!väldigt!lång!utblick!i!vilken!exempelvis!båda!funktionernas!formler!bestäms!för!att!ekvationssystemet!i!cJuppgiften!ska!kunna!lösas!algebraiskt!istället!för!grafiskt.!Läraren!uttrycker!till!eleverna!att!han!ville!repetera!det!som!gåtts!igenom!tidigare!i!kursen!och!att!eleverna!genom!detta!skulle!få!en!vidare!förståelse!för!problemet.!Eleverna!är!
!!
34!
mycket!ovana!vid!denna!typ!av!uppgift,!och!det!nämner!också!läraren!”att!det!här!har!vi!inte!jobbat!med!”.!!!Eleverna!tilldelar!uppgiften!svårighetsgrad!på!en!skala!från!1!till!4,!där!1!är!lätt!och!4!svår.!Både!Fatima!och!Disa!ger!den!4.!Emma!ger!den!3,!men!hon!anser!också!att!uppgiften!gjordes!svårare!än!vad!den!behövde!vara!i!förklaringen!av!den.!Vidare!så!tillägger!hon!att!om!en!liknande!uppgift!som!cJuppgiften!skulle!komma!på!provet!så!skulle!hon!framöver!tycka!att!den!är!”jättelätt,!eftersom![…]!ifall!det!är!en!lösning!som!man!ser!grafiskt!så!är!det!ju!brytningspunkten”.!!%Uppgift%3%%!Eleverna!ges!kortare!tid!för!att!tänka!själva!än!på!de!föregående!uppgifterna,!det!tar!cirka!2J3!minuter!innan!läraren!känner!att!han!måste!rycka!in!och!stötta!eleverna!både!med!motivationen!och!med!uppgiften.!!!Till!en!början!är!det!främst!för!Emma!som!det!går!att!se!vad!hon!skriver!i!sitt!skrivblock.!Även!Disas!lösning!går!att!följa!till!en!början,!men!efter!en!stund!låser!sig!hennes!kamerabild!och!hon!behöver!ladda!om!hemsidan!för!att!kunna!visa!vad!hon!skriver!sedan.!Emma!och!Disa!förstår!vad!de!ska!göra!på!aJuppgiften,!men!Fatima!har!svårare!att!komma!igång!med!uppgiften.!!Emma!har!skrivit!en!korrekt!ekvation!på!aJuppgiften,!men!förstår!inte!riktigt!vad!hon!ska!göra!på!bJuppgiften.!Då!hon!gjort!ett!försök!att!”lösa”!ekvationen!i!uppgift!a!genom!att!flytta!några!termer!från!ett!led!till!ett!annat!i!formeln,!utbrister!hon:!!!
”E:!Alltså,!jag!kommer!inte!ihåg!hur!man!löser!en!ekvation!!L:!!Ja!men!det!handlar!inte!om!att!lösa,!annars!kan!man!skriva!upp!bara!först!och!främst!![…]!Eller!förlåt,!är!vi!på!bJuppgiften?![läraren!har!troligen!distraherats!av!Disas!kameraproblem!som!han!samtidigt!behövt!vara!delaktig!i!att!lösa]”!
!Läraren!hintar!om!att!det!åter!handlar!om!vad!de!jobbade!med!i!den!tidigare!uppgiften.!Emma!förstår!då!att!det!ska!handla!om!ekvationssystem,!och!väljer!att!diskutera!en!stund!kring!att!hon!har!svårt!att!rita!en!snygg!”måsvinge”,!{,!istället!för!att!försöka!ställa!upp!ett!ekvationssystem.!!!Efter!att!det!gått!cirka!5!minuter!drar!det!ihop!sig!för!eleverna!att!redovisa!sina!lösningar!och!läraren!avbryter!eleverna!där!de!är!i!sina!resonemang:!!
”L:!Ok.!Fatima,!vad!skriver!vi!på!aJuppgiften!här?!Fatima![F]:!Jag!förstod!inte,!jag!bara!skrev!någonting!![…]!L:!!Emma!vad!säger!du!om!aJuppgiften!här?!E:! xy 75,0100 += !L:! […]Just!det.![…]!Varför!valde!du!de!siffrorna!som!du!gjorde?![…]!E:! För!att!de!fasta!månadspriset!för!Pling%var!hundra,!eller!y!då.!!L:! Ja,!y%=!…!
!!
35!
E:!!Och!sen!plus,!eftersom!att!de!ville!ha!övriga,!alltså!de!ringde!ju!bara!under!övrig%tid.%[…]!och!då!var!det!0,5!gånger!x,!för!vi!vet!ju!inte!hur!många!gånger!
L:! […]!0,75x!plus!100!E:!Yes.![Hon!hade!skrivit!korrekt!siffra!i!sitt!block!men!sa!här!fel!siffra.]!L:!Men!det!var!det,!du!skrev!den!liksom,!med!andra!ord!då.!Men,!det!var!helt!rätt.!Fick!du!också!det,!Disa?!
Disa![D]:![kluddar!över!en!term,!4,50x,!i!sin!formel]!Ja!det!var!bara!det,!jag!tog!inte!för!övrig!tid.!
L.!!Ahhh.!D:!Jag!läste!allt!förutom!de!två!sista!orden.!L:!Jaha.!Är!du!med!på!det!Fatima,!att!vi!tittar!på!fast!månadsavgift!plus!rörliga?”!
!Fatima!svarar!inte!på!frågan,!men!hon!skriver!ner!allt!det!som!läraren!skriver!under!sin!kamera.!!!Läraren!inleder!sedan!bJuppgiften!med!att!ge!eleverna!en!delfråga,!eleverna!ska!skriva!upp!en!likadan!ekvation!för!det!andra!telefonabonnemanget!Ring,%som!de!gjort!för!Pling!i!uppgift!a.!Sedan,!för!att!kunna!besvara!frågan!i!uppgiften,!hjälps!de!åt!att!lösa!ekvationssystemet!som!ställts!upp!av!de!två!ekvationerna!som!de!skapat,!med!de!algebraiska!metoder!som!de!har!lärt!sig!i!kursen.!!Skärminspelningen!blir!en!för!stor!fil!som!inte!kan!hanteras!av!datorn,!så!datorn!hakar!upp!sig!och!filmfilen!bryts!efter!att!12!minuter!har!gått!av!den!tid!som!ges!uppgiften.!Uppskattningsvis!ges!totat!cirka!20!minuter!för!uppgift!3.!Eleverna!hinner!tyvärr!inte!bestämma!svårighetsgraden!på!den,!efter!att!de!är!klara.!!Uppgift%4%%%Uppgift!4!behandlas!inte!under!lektionen.!!! 0
!!
36!
6 Diskussion0!
6.1 Hur0använder0elever0Youschool?0!Det!tycks!framgå!av!telefonintervjuer!med!elever,!som!läser!mer!avancerad!matematikkurs!än!grundkursen!på!gymnasiet!och!som!är!nöjda!med!och!frekvent!använder!sig!av!Youschools!lektioner,!att!inga!andra!lärresurser!än!just!lektionerna!på!Youschool!behövs!för!dem.!!Vad!som!används!av!de!elever!som!varit!med!i!undersökningen!är!skickligt!förklarande,!förstående,!tålmodiga,!både!strukturerade!och!flexibla,!samt!lagom!utmanande!och!disciplinerande!lärare.!Eleverna!bokar!upp!sig!på!lektioner,!och!om!de!inte!bokar!upp!sig!får!de!påminnelser!via!SMS!av!läraren!som!pushar!dem!att!inte!glömma!att!boka!upp!sig.!!!En!viktig!del!förutom!engagemanget!hos!läraren!kan!vara!formen!på!lektionerna.!Dels!anser!de!intervjuade!att!de!lär!sig!bra!då!de!har!kompisar!att!bolla!idéer!med.!Dels!uttrycker!de!att!det!är!bra!att!de!får!vara!med!och!påverka!vilka!uppgifter!som!man!arbetar!med!under!lektionerna!på!Youschool.!Lärarna!på!Youschool!har!även!god!koll!på!elevernas!kursplanering!och!kan!därför!planera!så!att!de!ligger!i!fas!med,!eller!att!gå!igenom!kursinnehåll!innan!eleverna!kommer!i!kontakt!med!kursinnehållet,!på!matematiklektionerna!i!skolan.!!Lösningsfilmer!saknas!för!vissa!böcker!och!det!är!därför!inte!konstigt!att!de!elever!som!läser!kursen!med!dessa!böcker!inte!nyttjar!lösningsfilmerna!på!Yoschool.!Mer!intressant!är!dock!att!användandet!av!lösningsfilmer!kanske!blir!mindre!ju!längre!elever!kommer!in!i!kursen!och!ju!mer!de!använder!lektionerna!på!Youschool.!Någon!trend!går!förstås!inte!att!se!baserat!på!två!elever,!men!det!kan!kanske!vara!av!intresse!att!med!vidare!studier!undersöka!om!det!finns!en!sådan!trend.!
!En!rimlig!hypotes!är!att!elever!som!använder!och!trivs!med!Youschool!som!kommunikationsteknik!under!lektioner!även!stimuleras!att!använda!Youschool!i!kommunikation!med!varandra!självständigt!utanför!lektionerna.!Intervjuerna!talar!snarare!för!en!motsatt!effekt.!En!elev!har!förvisso!provat!detta,!men!då!det!inte!tekniskt!fungerade!såsom!hon!önskade!övergav!hon!denna!teknik!snabbt.!Teknikstrul!är!något!som!flera!av!de!intervjuade!påtalar!som!ett!störningsmoment,!och!som!även!syns!i!observationen.!Om!tekniken!är!orsaken!till!denna,!om!ens!existerande,!motsatta!effekt!eller!om!eleverna!till!exempel!känner!att!det!räcker!med!den!matematiska!kommunikation!som!de!får!under!lektionerna!går!inte!att!gissa!sig!till!och!kräver!kvantitativa!studier.!!
6.2 På0vilket0sätt0kan0Youschool0utgöra0ett0stöd0för0elever0i0deras0lärande0i0Ma2b?0!Två!av!de!intervjuade!efterfrågar!uppgifter!som!är!av!sådan!karaktär!att!det!tränar!deras!förmågor!på!CJ!och!AJnivå.!Det!vill!säga!uppgifter!som!kräver!att!man!kan!tänka!på!van!Hieles!nivåer!3!eller!4,!uppgifter!som!stimulerar!till!tankekriser.!En!elev!fångar!denna!frustration!”du!får!se!hur!man!gör!på!EJnivå,!och!sedan!ska!du!kunna!göra!det!på!en!CJ!och!AJnivå”.!Hennes!lösning!för!att!förbättra!sina!förmågor!och!för!att!uppnå!
!!
37!
kunskapskraven!för!de!höga!betygen!är!att!komplettera!stödet!på!Youschool!med!teorifilmer!som!har!tillhörande!uppgifter!och!lösningar!på!varje!betygsnivå.!Min!uppfattning!är!att!det!är!svårt!för!elever!att!enbart!utifrån!givna!exempel!kunna!uppnå!kunskapskraven!som!krävs!för!A.!Elever!behöver!få!träna!på!uppgifter!där!de!först!kör!fast.!Uppgifterna!behöver!kräva!av!eleverna!att!de!har!tålamodet!att!inte!ge!sig!förrän!problemet!är!fullt!utrett.!Detta!kan!leda!till!tankekriser!som!i!sin!tur!kan!leda!till,!med!Piagets!terminologi,!ackomodation,!eller!med!andra!ord!en!revision!av!elevens!tidigare!uppfattningar.!!!Läxor!som!elever!får!i!skolan,!som!de!inte!kan!klara!av!på!egen!hand,!kan!eleverna!arbeta!med!på!ett!effektivt!sätt!på!Youschool.!Intervjuer!visar!att!elever!kan!känna!sig!motiverade!tack!vare!Youschool.!Genom!att!få!kommunicera!med!dem!som!kan!mer!än!dem!själva,!lärare!på!Youschool,!befinner!sig!eleverna,!med!Vygotskijs!terminologi,!i!en!proximal!utvecklingszon!under!lektionerna!på!Youschool.!Hatties!metaJmetaJanalys!av!en!mängd!effektstudier!visar!dessutom!att!hemläxor!har!en!positiv!effekt!på!elevers!studieresultat,!så!länge!det!handlar!om!studier!på!gymnasienivå.!Läxläsning!genomförs!dock!på!Youschool!i!en!vidare!bemärkelse,!från!att!enbart!beröra!de!uppgifter!som!de!ges!som!hemläxa!av!elevernas!lärare!i!skolan!till!att!även!innefatta!uppgifter!som!kommer!genom!andras!initiativ.!!
6.3 Vilka0förmågor0går0att0träna0via0Youschool?0!Inledningsvis!kan!nämnas!att!det!inte!finns!något!i!denna!undersökning!som!visar!att!någon!av!de!matematiska!förmågorna!skulle!hindras!av!lektionerna!på!Youschool!som!kommunikationsteknik,!vare!sig!det!rör!sig!om!lektioner!med!lärare!på!Youschool!eller!om!annan!kommunikation.!Då!kvaliteten!på!lösningsfilmerna!ligger!utanför!ramen!för!denna!studie!utesluts!dock!inte!att!vissa!förmågor!eventuellt!går!att!träna!betydligt!mindre!än!andra!förmågor!hos!elever!som!enbart!skulle!nyttja!dessa!filmer!flitigt!och!kanske!som!enda!stöd!i!deras!kunskapsutveckling.!Detta!är!ytterligare!ett!exempel!på!en!intressant!vidare!studie!som!skulle!kunna!göras.!!Med!svar!på!frågan!snabbt!utrett,!kan!det!vara!på!sin!plats!att!även!diskutera!vilka!förmågor!som!går!att!se!i!undersökningen!att!de!tränas!och!vilken!av!dem!som!eventuellt!kan!tänkas!tränas!mest!på!Youschool.!!Av!både!intervjuer!och!observation!framgår!att!elever!upplever!att!de!tränas!i!matematisk!kommunikationsförmåga.!De!tränas!i!att!muntligt!uttrycka!sig!med!ett!matematiskt!språk!och!att!använda!ett!skriftligt!symbolspråk.!Genom!att!under!dokumentkameran!lägga!sina!skrivblock!med!egna!ritade!bilder!eller!lägga!mobiltelefonen,!läroboken!eller!pappersutskrifter!med,!till!uppgifter!bifogade,!bilder,!kan!de!smidigt!peka!med!både!fingrar!och!penna!för!att!tydliggöra!sina!resonemang.!!Tidigare!har!nämnts!att!teknikstrul!sätter!hinder!för!smidigheten!vid!elevernas!kommunikation!med!varandra!och!lärare!på!Youschool.!Det!finns!också!en!permanent!begränsning!i!tekniken.!Den!tillåter!bara!att!det!visas!fyra!skrivprocesser!åt!gången.!Huruvida!denna!begränsning!är!av!godo!eller!av!ondo!är!däremot!ytterligare!ett!underlag!för!vidare!studier.!Hrastinski!redovisar!studier!som!visar!att!direkt!kommunikation!i!mindre!grupper,!som!den!på!Youschool,!främjar!motivation!genom!
!!
38!
ökad!samhörighet!i!gruppen!eftersom!kommunikationen!därmed!tillåts!bli!av!mer!personlig!art.!Enligt!Hrastinskis!modell!fungerar!denna!typ!av!kommunikation!som!motpol!mot!fördröjd!kommunikation,!som!till!exempel!email.!Fördröjd!kommunikation!främjar!istället!reflektion!och!kan!därmed!utgöra!en!mer!lärande!typ!av!kommunikation,!så!inte!heller!denna!motpol!behövs!bör!lyftas!ut!från!undervisningen.!!I!observationen!syns!denna!direkta!och!personliga!kommunikation!på!olika!sätt.!Eleverna!tillåts!att!göra!misstag,!de!skrattar!både!åt!sina!egna!och!andras!misstag.!Eleverna!verkar!kunna!lita!på!att!läraren!hjälper!eller!lotsar!dem!så!att!det!reds!ut!vad!som!är!rätt!och!vad!som!är!fel.!En!av!elevernas!block!försvinner!dock!under!arbetet!med!en!av!uppgifterna!och!hon!vill!inte!heller!svara!på!frågor!från!läraren!gällande!den!uppgiften.!Det!kan!vara!ett!tecken!på!att!det!känns!jobbigt!för!henne!att!visa!att!hon!inte!kan.!Eftersom!hon!är!öppnare!på!de!andra!uppgifterna,!både!innan!och!efter!den!uppgiften,!så!framstår!det!ändå!som!att!det!är!tillåtet!att!delta!på!egna!premisser!utan!att!behöva!kännas!sig!pressad.!!!Lektionsobservationen!visar!vidare!att!det!finns!elever!som!har!svårt!med!att!hantera!funktionsbegreppet!vid!bestämning!av!ett!funktionsvärde!med!hjälp!av!graf.!I!synnerhet!är!det!beteckningen f (x) !som!är!en!representation!av!funktionsbegreppet!som!ställer!till!problem.!!!Kunskapskraven!fastslår!för!betyget!E!gällande!begreppsförmågan!att!elever!ska!”översiktligt!kunna!beskriva!innebörden!av!centrala!begrepp!med!hjälp!av!några!representationer”!samt!gällande!problemlösningsförmågan!att!de!ska!kunna!”med*viss*säkerhet!använda!begrepp!och!samband!mellan!begrepp!för!att!lösa!matematiska!problem![…]!i*bekanta*situationer”.!!Innebär!det!att!elever!inte!behöver!använda!beteckningen f (x) för!att!beskriva!en!funktion?!Funktionsbegreppet!är!för!övrigt!inte!inskrivet!i!det!centrala!innehållet!i!kursen.!Innebär!det!att!elever!inte!behöver!kunna!beskriva!detta!begrepp?!Om!det!är!ett!centralt!begrepp!för!kursen!eller!inte!framgår!med!andra!ord!inte!av!styrdokumenten.!Det!kan!tolkas!som!att!det!är!upp!till!den!undervisande!läraren!att!göra!en!avvägning!i!frågan.!I!uppgifter!på!nationella!prov!i!Ma2b!används!beteckningen f (x) .38!Med!andra!ord!ger!detta!för!lärare!som!vill!att!deras!elever!ska!lyckas!med!den!typen!av!uppgifter!på!nationella!prov!en!fingervisning!om!att!eleverna!bör!förberedas!genom!att!arbeta!med!uppgifter!där!de!bekantar!sig!med!denna!representation.!!!Funktionsbegreppet!behandlas!dock!redan!i!kursen!Ma1b,!både!i!det!centrala!innehållet!och!i!flera!kursböcker.!Liksom!i!Ma2b!framgår!det!heller!inte!av!det!centrala!innehållet!i!Ma1b!att!eleverna!behöver!kunna!hantera!representationen f (x) ,!men!läroböckerna!tar!upp!beteckningen.!Kanske!utgår!lärare!från!att!elever!kan!hantera!funktionsbegreppet!eftersom!de!har!arbetat!med!detta!som!centralt!innehåll!i!den!tidigare!kursen,!inte!minst!är!det!rimligt!att!anta!att!det!kan!vara!så!för!de!lärare!som!får!nya!elevgrupper!att!undervisa!i!Ma2b,!eftersom!inga!styrdokument,!varken!för!Ma!1b!eller!Ma!2b,!nämner!skrivsättet! f (x) .!Sammantaget!kan!det!vara!av!värde!för!läraren!att!känna!till!att!det!är!en!beteckning!som!eleverna!inte!nödvändigtvis!är!bekanta!med!när!de!börjar!läsa!Ma2b.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!38!Uppgift!2!i!denna!undersökning!är!hämtat!från!ett!gammalt!nationellt!prov!i!MaB,!men!även!i!flera!uppgifter!på!nationella!prov!i!den!nya!kursen!Ma2b!används!representationen.!
!!
39!
!En!farhåga!ser!jag!i!sammanhanget.!På!lektioner,!oavsett!om!de!är!på!Youschool!eller!i!skolan,!jobbar!man!kanske!för!mycket!med!förmågan!procedurer.!Till!exempel!kanske!elever!jobbar!med!någon!procedur!för!att!bestämma!formeln!till!en!funktion,!kanske!för!en!rät!linje,!utan!att!ha!förståelse!för!vad!man!egentligen!gör!och/eller!varför!man!gör!det.!För!vem!är!nyttan!stor!att!eleverna!kan!bestämma!ekvationen!till!en!linjär!funktion!med!hjälp!av!exempelvis!trappstegsmetoden!om!de!inte!förstår!vad!en!linjär!funktion!är!eller!nyttan!med!att!kunna!bestämma!en!linjär!funktion?!!
6.4 En0vidare0reflektion0!En!fråga!som!ställdes!i!inledningen:!Vad!är!det!som!gör!att!elever!har!så!svårt!med!Ma2b?!Det!är!en!fråga!som!varje!lärare!kanske!ställer!sig!som!inte!har!lyckats!bättre!än!vad!statistiken!i!landet!visar.!!!Går!det!ens!att!finna!någon!lösning!till!detta!problem?!Kanske!är!det!istället!så!att!denna!undersökning!väcker!fler!frågor!än!vad!den!lyckas!ger!svar!på?!!Närmast!ut!var!exemplet!om!hur!styrdokumenten!lämnar!tolkningsutrymme!till!lärarna!gällande!beteckningen! f (x) !som!visar!att!det!förekommer!otydligheter!kring!vad!lärare!ska!undervisa.!Sen!kan!tilläggas!en!tolkningstvetydighet!för!lärarna!att!avgöra!vilka!förmågor!som!testas!huvudsakligen!i!vilka!uppgifter.!De!nationella!proven!uppges!ska!vara!vägledande!men!inte!allena!avgörande!för!lärarna!vid!betygssättning.!Totalundersökningar!av!resultat!från!samtliga!nationella!prov!görs!numera!och!statistiken!från!dessa!är!lätt!att!hitta!på!nätet,!ända!ned!på!enskild!skolnivå!om!man!så!vill.!Detta!pressar!lärarna!att!prioritera!provförfattarnas!tolkningar!av!vad!kurserna!ska!innehålla!då!tveksamheter!uppstår,!alltför!att!skolans!inte!ska!hamna!i!dålig!dager!med!dåliga!provresultat.!Att!tillägga!att!det!är!två!olika!institutioner!som!ansvarar!för!proven!på!gymnasiet!underlättar!inte!arbetet!med!tolkning!av!vad!undervisningen!måste!innehålla.!Så!länge!det!råder!oklarheter!bland!lärarna!kring!vad!undervisningen!ska!innehålla,!är!det!inte!orimligt!att!anta!att!kraven!kan!upplevas!som!otydliga!för!eleverna.!Otydliga!krav!kan!vara!en!orsak!till!problemet.!!!!
6.5 Reliabilitet,0validitet0och0generaliserbarhet0!Intentionen!med!studien!var!från!början!att!ett!kunskapstest!skulle!genomföras!med!alla!elever!som!läste!Ma2b!på!Youschool,!för!att!få!mer!information!om!hur!elever!tränas!i!de!olika!förmågorna!kring!funktionsbegreppet.!Tyvärr!gick!detta!test!inte!att!praktiskt!genomföra,!då!det!bedömdes!vara!för!tidskrävande!samt!att!det!var!svårt!att!genomföra!under!övervakning!då!eleverna!var!spridda!i!landet.!Därför!valdes!istället!att!göras!en!lektionsobservation!men!med!oförändrat!syfte,!och!med!testuppgifterna!istället!som!lektionsmaterial.!Tyvärr!hann!eleverna!inte!arbeta!med!uppgift!4,!den!uppgift!som!eventuellt!skull!kunna!få!eleverna!att!behöva!övervinna!en!tankekris!och!därmed!kunna!visa!att!de!uppnått!van!HieleJnivå!4.!!
!!
40!
Intervjuerna!skulle!också!genomföras!som!en!totalundersökning,!men!då!med!fler!frågor!specifikt!kopplade!till!testet!och!de!skulle!utgöra!en!komplettering!till!testet.!Av!samma!skäl!som!för!varför!kunskapstestet!förenklades!fick!planerna!på!en!totalundersökning!åter!överges.!Intervjuerna!fick!bli!på!telefon!eftersom!eleverna!var!för!spridda!i!landet.!!Resultaten!från!intervjuer!och!observation!är!tillförlitliga!så!till!vida!att!de!gjorts!med!beprövade!metoder!för!semistrukturerade!intervjuer!och!filminspelningar.!Invändningar!mot!urvalet!av!studieobjekt!kan!finnas,!men!allt!material!som!har!varit!möjligt!i!studien!att!samla!in!har!samlats!in.!!!!Eftersom!endast!en!observation!gjorts!är!det!svårt!att!dra!några!generella!slutsatser!om!undervisningen!på!Youschool!utifrån!den,!men!eftersom!vissa!delar!i!diskussionen!ges!stöds!från!både!intervjuer!och!observationen!så!är!åtminstone!dessa!delar!mer!styrkta!än!övriga!delar.!!!!!!! 0
!!
41!
Källförteckning0!Alfredsson,!L.,!Björk,!L.!E.,!Brolin,!H.,!Bråting,!K.,!Erixon,!P.,!Heikne,!H.,!Ristamäki,!A.,!Matematik%5000,%Kurs%1b%Grön%lärobok,%Natur!och!Kultur,!Stockholm,!2011.!!Bjørndal,!C.!R.!P.,!Det%värderande%ögat:%observation,%utvärdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!Liber,!Stockholm,!2005.!!Emanuelsson,!G.,!Johansson,!B.,!och!Ryding,!R.!(red.),!Geometri%och%statistik,!Studentlitteratur,!Lund,!1992.!!von!Essen,!C.!Din!skola!på!nätet.!Aftonbladet,%Fokus:%Studera.!Mars!2013.!!!Garten,!B.,!Injection%keine%Injektion%2a.%2011,%tillgänglig:!http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg#/media/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg!(hämtad!2015J06J09).!!Gennow,!S.,!Gustafsson,!I.!M.,!Silborn,!B.,!Exponent%1b,!Gleerups!Utbildning!AB,!Malmö,!2011.!!!Hattie,!J.,!Synligt%lärande:%en%syntes%av%mer%än%800%metaanalyser%om%vad%som%påverkar%elevers%skolresultat,!Natur!och!Kultur,!Stockholm,!2014.!!!van!Hiele,!P.,!Structure%and%Insight,%a%Theory%of%Mathematics%Education,!UK!Edition,!Academic!Press!Inc.,!London,!1986.!!Holmström,!M.,!Smedhamre,!E.,!och!Sjunnesson,!J.,!M%Matematik%1b,!Stockholm,!Liber,!2011.!!Hrastinski,!S.,!Nätbaserad%utbildning,%En%introduktion,%Studentlitteratur,!Malmö,!2009.!!Imsen,!G.,!Elevens%värd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl,!Studentlitteratur,!Lund,!2000.!!SFS!2010:800,!Skollag.!!!Skolverket,!Internationella!studier,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/statistikJochJutvardering/internationellaJstudier!(hämtad!2014J10J22).!!!Skolverket,!SIRIS!J!Nationella!prov,!2014,!tillgänglig:!http://siris.skolverket.se/siris/f?p=SIRIS:114:0::NO!(hämtad!2014J11J20).!%!Skolverket,!Ämne!–!Matematik,!2014,!tillgänglig:!http://www.skolverket.se/laroplanerJamnenJochJkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hämtad!2015J06J04).!!!
!!
42!
Stockholms%universitet,!PRIM?gruppen,%Dokument,!2014,!tillgänglig:!http://www.su.se/polopoly_fs/1.129061.1402923516!/menu/standard/file/A4_Kunskapskrav%201bc%20i%20matrisform_140128.pdf!(hämtad!2015J06J24).!!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!Dufåker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011.!!!Trost,!J.,!Kvalitativa%intervjuer,!Lund,!Studentlitteratur,!1993.!!!Youschool,!webbplats:!www.youschool.se!(hämtad!2015J04J30).!**
Kuns
kaps
krav
, Mat
emat
ik 2
b, 1
00 p
oäng
, Kur
skod
MAT
MAT
02b
Bety
get E
Bety
get D
Bety
get C
Bety
get B
Bety
get A
Elev
en k
an ö
vers
iktli
gtbe
skriv
a in
nebö
rden
av
cent
rala
beg
repp
med
hjä
lpav
någ
ra re
pres
enta
tione
rsa
mt ö
vers
iktli
gt b
eskr
iva
sam
band
en m
ella
n be
grep
pen.
Des
suto
m v
äxla
r ele
ven
med
viss
säke
rhet
mel
lan
olik
are
pres
enta
tione
r. El
even
kan
med
viss
säke
rhet
anvä
nda
begr
epp
och
sam
band
mel
lan
begr
epp
för a
ttlö
sa m
atem
atis
ka p
robl
emoc
h pr
oble
msi
tuat
ione
r ika
rakt
ärsä
mne
na i
beka
nta
situa
tione
r. I
arbe
tet h
ante
rar
elev
en n
ågra
enk
la p
roce
dure
roc
h lö
ser u
ppgi
fter a
vst
anda
rdka
rakt
är m
ed v
isssä
kerh
et, b
åde
utan
och
med
digi
tala
ver
ktyg
.
Elev
en k
an fo
rmul
era,
anal
yser
a oc
h lö
sa m
atem
atis
kapr
oble
m a
v en
kel k
arak
tär.
Des
sa p
robl
em in
klud
erar
ett f
åtal
beg
repp
och
krä
ver
enkl
a to
lkni
ngar
. I a
rbet
etgö
r ele
ven
om re
alis
tiska
prob
lem
situ
atio
ner t
illm
atem
atis
ka fo
rmul
erin
gar
geno
m a
tt til
läm
pa g
ivna
mat
emat
iska
mod
elle
r. El
even
kan
med
enk
la o
mdö
men
utvä
rder
a re
sulta
tets
rim
lighe
tsa
mt v
alda
mod
elle
r, st
rate
gier
och
met
oder
.
Bet
yget
D in
nebä
r att
kuns
kaps
krav
en fö
r Eoc
h til
l öve
rväg
ande
del
för C
är u
ppfy
llda.
Elev
en k
an u
tförl
igt b
eskr
iva
inne
börd
en a
v ce
ntra
labe
grep
p m
ed h
jälp
av
någr
are
pres
enta
tione
r sam
t utfö
rlig
tbe
skriv
a sa
mba
nden
mel
lan
begr
eppe
n. D
essu
tom
väx
lar
elev
en m
ed v
iss sä
kerh
etm
ella
n ol
ika
repr
esen
tatio
ner.
Elev
en k
an m
ed v
iss sä
kerh
etan
vänd
a be
grep
p oc
h sa
mba
ndm
ella
n be
grep
p fö
r att
lösa
mat
emat
iska
pro
blem
och
prob
lem
situ
atio
ner i
kara
ktär
säm
nena
. I a
rbet
etha
nter
ar e
leve
n fle
rapr
oced
urer
och
löse
r upp
gifte
rav
stan
dard
kara
ktär
med
säke
rhet
, båd
e ut
an o
ch m
eddi
gita
la v
erkt
yg.
Elev
en k
an fo
rmul
era,
anal
yser
a oc
h lö
sa m
atem
atis
kapr
oble
m. D
essa
pro
blem
inkl
uder
ar fl
era
begr
epp
och
kräv
er a
vanc
erad
e to
lkni
ngar
.I a
rbet
et g
ör e
leve
n om
real
istis
ka p
robl
emsi
tuat
ione
rtil
l mat
emat
iska
form
uler
inga
rge
nom
att
välja
och
tillä
mpa
mat
emat
iska
mod
elle
r. El
even
kan
med
enk
la o
mdö
men
utvä
rder
a re
sulta
tets
rim
lighe
tsa
mt v
alda
mod
elle
r, st
rate
gier
,m
etod
er o
ch a
ltern
ativ
till
dem
.
Bet
yget
B in
nebä
r att
kuns
kaps
krav
en fö
r Coc
h til
l öve
rväg
ande
del
för A
är u
ppfy
llda.
Elev
en k
an u
tförl
igt b
eskr
iva
inne
börd
en a
v ce
ntra
labe
grep
p m
ed h
jälp
av
flera
repr
esen
tatio
ner s
amt u
tförl
igt
besk
riva
sam
band
en m
ella
nbe
grep
pen.
Des
suto
m v
äxla
rel
even
med
säke
rhet
mel
lan
olik
a re
pres
enta
tione
r. El
even
kan
med
säke
rhet
anv
ända
begr
epp
och
sam
band
mel
lan
begr
epp
för a
tt lö
sa k
ompl
exa
mat
emat
iska
pro
blem
och
prob
lem
situ
atio
ner i
kara
ktär
säm
nena
. I a
rbet
etha
nter
ar e
leve
n fle
rapr
oced
urer
och
löse
r upp
gifte
rav
stan
dard
kara
ktär
med
säke
rhet
och
på
ett e
ffekt
ivt
sätt,
båd
e ut
an o
ch m
eddi
gita
la v
erkt
yg.
Elev
en k
an fo
rmul
era,
anal
yser
a oc
h lö
sa m
atem
atis
kapr
oble
m a
v ko
mpl
exka
rakt
är. D
essa
pro
blem
inkl
uder
ar fl
era
begr
epp
och
kräv
er a
vanc
erad
eto
lkni
ngar
. I p
robl
emlö
snin
gup
ptäc
ker
elev
en g
ener
ella
sam
band
som
pre
sent
eras
med
sym
bolis
k al
gebr
a.I a
rbet
et g
ör e
leve
n om
real
istis
ka p
robl
emsi
tuat
ione
rtil
l mat
emat
iska
form
uler
inga
rge
nom
att
välja
, till
ämpa
och
anpa
ssa
mat
emat
iska
mod
elle
r.El
even
kan
med
nya
nser
ade
Kuns
kaps
krav
, Mat
emat
ik 2
b, 1
00 p
oäng
, Kur
skod
MAT
MAT
02b
Bety
get E
Bety
get D
Bety
get C
Bety
get B
Bety
get A
Elev
en k
an fö
ra e
nkla
mat
emat
iska
reso
nem
ang
och
värd
era
med
enk
la o
mdö
men
egna
och
and
ras r
eson
eman
gsa
mt s
kilja
mel
lan
giss
ning
aroc
h vä
lgru
ndad
e på
ståe
nden
.D
essu
tom
uttr
ycke
r sig
ele
ven
med
viss
säke
rhet
i ta
l, sk
rift
och
hand
ling
med
insla
g av
mat
emat
iska
sym
bole
r och
andr
a re
pres
enta
tione
r.
Gen
om a
tt ge
exe
mpe
l rel
ater
arel
even
någ
ot i
kurs
ens
inne
håll
till d
ess b
etyd
else
inom
and
ra ä
mne
n, y
rkes
liv,
sam
hälls
liv o
ch m
atem
atik
ens
kultu
rhis
toria
. Des
suto
m k
anel
even
föra
enk
la re
sone
man
gom
exe
mpl
ens r
elev
ans.
Elev
en k
an fö
ra v
älgr
unda
dem
atem
atis
ka re
sone
man
goc
h vä
rder
a m
ed n
yans
erad
eom
döm
en e
gna
och
andr
asre
sone
man
g sa
mt s
kilja
mel
lan
giss
ning
ar o
ch v
älgr
unda
depå
ståe
nden
. Des
suto
mut
tryck
er si
g el
even
med
viss
säke
rhet
i ta
l, sk
rift o
chha
ndlin
g sa
mt a
nvän
der
mat
emat
iska
sym
bole
r och
andr
a re
pres
enta
tione
r med
viss
anp
assn
ing
till s
yfte
och
situa
tion.
Gen
om a
tt ge
exe
mpe
l rel
ater
arel
even
någ
ot i
någr
a av
kurs
ens d
elom
råde
n til
l des
sbe
tyde
lse
inom
and
ra ä
mne
n,yr
kesl
iv, s
amhä
llsliv
och
mat
emat
iken
s kul
turh
isto
ria.
Des
suto
m k
an e
leve
n fö
ravä
lgru
ndad
e re
sone
man
g om
exem
plen
s rel
evan
s.
omdö
men
utv
ärde
ra re
sulta
tets
rimlig
het s
amt v
alda
mod
elle
r,st
rate
gier
, met
oder
och
alte
rnat
iv ti
ll de
m.
Elev
en k
an fö
ra v
älgr
unda
deoc
h ny
anse
rade
mat
emat
iska
reso
nem
ang,
vär
dera
med
nyan
sera
de o
mdö
men
och
vida
reut
veck
la e
gna
och
andr
as re
sone
man
g sa
mt
skilj
a m
ella
n gi
ssni
ngar
och
välg
rund
ade
påst
åend
en.
Des
suto
m u
ttryc
ker s
ig e
leve
nm
ed sä
kerh
et i
tal,
skrif
t och
i han
dlin
g sa
mt a
nvän
der
mat
emat
iska
sym
bole
r och
andr
a re
pres
enta
tione
r med
god
anpa
ssni
ng ti
ll sy
fte o
chsit
uatio
n.
Gen
om a
tt ge
exe
mpe
l rel
ater
arel
even
någ
ot i
någr
a av
kurs
ens d
elom
råde
n til
l des
sbe
tyde
lse
inom
and
ra ä
mne
n,yr
kesl
iv, s
amhä
llsliv
och
mat
emat
iken
s kul
turh
isto
ria.
Des
suto
m k
an e
leve
n fö
ravä
lgru
ndad
e oc
h ny
anse
rade
reso
nem
ang
om e
xem
plen
sre
leva
ns.
Appendix II !Intervjufrågor:!!
1. Bakgrundskoll:!!
0 Vilket!program!läser!du!på!gymnasiet?!
0 Hur!länge!har!du!haft!Youschool?!
!
2. Vad!var!det!som!gjorde!att!du!att!började!att!använda!YS?!!
0 På!vems!initiativ!var!det!att!du!började!använda!YS?!(eget,!föräldrars,!lärare!i!skolan!…)!
0 Vem!är!det!som!betalar?!(eleven!själv,!föräldrar!…?!)!
!
3. Har!du!något!betygsmål!i!kursen?"(E,!högre!betyg?)!!
4. Beskriv!vad!som!är!ett!verkligt!stöd,!vad!som!hjälper!dig!att!nå!ditt!mål?!!
0 Prioritera.!Vad!tycker!du!är!viktigast?!
!
5. Beskriv!hur!YS!hjälper!dig!att!nå!ditt!mål?!!
6. Om!du!inte!hade!YS!till!studiehjälp,!vad!ser!du!skulle!kunna!vara!ett!alternativ!att!få!hjälp!med!att!lära!dig!matematik.!
!
7. Vilka!resurser!använder!du!på!YS?!!
0 Vilka!resurser!använder!du!på!YS?!(Kanske!måste!intervjuaren!förklara!vad!han/hon!menar!
med!resurser:!YS0lärare,!kamrater!på!YS,!filmer!…)!!
0 Vilka!resurser!(lärare!eller!annat)!tycker!du!är!viktigast?!!
0 Använder!du!bara!YS!när!du!har!kontakt!med!lärare!(Om!det!inte!redan!har!framkommit)?!
0 Vad!är!viktigast!med!läraren!som!resurs?!
0 Vad!gör!du!på!YS!när!du!inte!har!kontakt!med!lärare!(om!du!inte!redan!fått!svar!på!det)?!
!8. Kan!du!berätta!om!hur!det!brukar!gå!till!under!en!vanlig!lektion!på!YS?!
!
0 Ge!exempel!på!något!lektionstillfälle!på!YS!som!varit!lärorikt!för!dig.!
0 Hur!jobbade!ni!då?!
0 Hur!tänker!du!dig!att!du!lär!dig!med!hjälp!av!YS?!!
0 Vad!skulle!man!kunna!göra!under!en!YS0lektion!om!tex!funktioner!(något!konkret),!för!att!det!
ska!bli!en!optimal!lektion?!
0 Prioritera.!Vad!tycker!du!är!viktigast?!!
!
9. Nu!får!du!fria!händer!!Om!du!skulle!få!förbättra!YS,!vad!skulle!du!göra?!Saknar!du!något!kring!YS!som!skulle!göra!YS!ännu!bättre!än!idag?!
!
10. Har!du!något!som!du!skulle!vilja!tillägga?!Kanske!något!som!du!kom!att!tänka!på!under!intervjun!och!som!jag!inte!frågade!något!om.!
! !
!!
Appendix III !Räta!linjens!ekvation!!
1.!E9nivå!(Np!Ma2b!vt!2012)!
!!
Området"nedan"kan"du"använda"som"kladdpapper.""
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!
delvis!!
Instämmer!inte!
så!mycket!
Instämmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!Kommentarer:____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
NpMa2b vt 2012
2
1.
a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten 1� k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ��� xx så långt som möjligt.
______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( �xx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 � ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
!!
2.!Odefinerad9nivå!(Np!MaB!vt!2000)!
!Svara"och"motivera"nedan:""
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!
delvis!!
Instämmer!inte!
så!mycket!
Instämmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!Kommentarer:____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________!
Np MaB vt 2000
11.
47
37
36
36
46
26
a) Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskri-
vas av diagrammet. (2p) b) Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten: (1p)
71
62
73
� P
12.
1
1
y = h (x)
y = f (x) y
x
I figuren till vänster visas graferna till de två ekvationerna )(),( xhyxfy a) Bestäm )0(h
Endast svar fordras b) Bestäm det x-värde för vilket
0)( xh Endast svar fordras
c) Använd figuren för att bestämma
lösningen till ekvationssystemet
¯®
)()(
xhyxfy
Endast svar fordras
(1p)
(1p)
(1p)
!!
3.!G9nivå!(Np!MaB!vt!2001)!!
!Svara"och"gör"beräkningar"nedan:"
!
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!
delvis!!
Instämmer!inte!
så!mycket!
Instämmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!
Kommentarer:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________!
Np MaB vt 2001
Del II
11. En camping har 23 stugor, fördelade på trebäddsstugor och fembäddsstugor.
Totalt har campingen 83 bäddar. Efter att ha läst texten ovanför ställde en elev upp följande ekvationssystem:
¯®
� �
835323
yxyx
a) Vad står x respektive y för? (1/0) b) Lös ekvationssystemet. (2/0) 12. En rektangel har arean 221 cm2. Längden är 4 cm större än bredden. a) Teckna en ekvation som kan användas för att beräkna rektangelns bredd
med hjälp av den givna informationen. Endast svar fordras (1/0) b) Beräkna rektangelns bredd. (1/0) 13. Du ska köpa en mobiltelefon och välja vilket abonnemang du ska ha. Prislista:
a) Skriv månadskostnaden y kr som en funktion av samtalstiden x minuter för
abonnemanget Pling om man endast ringer under ”övrig tid”. (1/0) b) Hur många minuter per månad måste man ringa för att abonnemanget Pling
ska vara lika dyrt som abonnemanget Ring om man endast ringer under ”öv-rig tid”? (2/0)
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Abonnemang Pling Ring Fast månadsavgift 100 kr 150 kr Minutpriser för nationella samtal
Vardagar kl 7-19 4,50 kr 4 kr Övrig tid 0,75 kr 0,50 kr
!!
4.!VG/MVG9nivå!(Np!MaB!ht!2001)!
!Svara"och"gör"beräkningar"nedan:""
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lätt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! ☐!Instämmer!helt! Instämmer!
delvis!!
Instämmer!inte!
så!mycket!
Instämmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!
Kommentarer:____________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________!!
Np MaB ht 2001 17.
A
B
y
x
(2, 3)
En rät linje genom punkten (2, 3) skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B har en x-koordinat som är tre gånger så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för punkten A exakt.
�����͞� 18. ABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida. Arket viks så att
vikningslinjen går genom hörnet A och så att hörnet B hamnar på sidan CD (se högra figuren).
A B
C D
12 cm
15 cm
Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket.
Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej. �����͞�
!!
!!
Stockholms universitet/Stockholm University
SE-106 91 Stockholm
Telefon/Phone: 08 – 16 20 00
www.su.se
! !Stockholm, 2015
Top Related