DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

KONTROLNE KARTE KUMULATIVNIH

SUMA I EKSPONENCIJALNO

PONDERISANIH POKRETNIH SREDINA

MASTER RAD

Student: Mentor:

Milica Jovanović dr Miodrag Đorđević

br. indeksa 203

Niš, 2019.

2

Sadržaj

Uvod .......................................................................................................................................... 3

1 Kontrolne karte kumulativnih suma (CUSUM kontrolne karte) ................................................. 5

1.1 Glavne karakteristike kontrolnih karata kumulativnih suma ............................................... 5

1.1.1 Osnovni principi kontrolnih karata kumulativnih suma za praćenje srednje vrednosti

procesa ............................................................................................................................... 5 1.1.2 Osnova za karte kumulativnih suma koje prate srednju vrednost normalne raspodele 8 1.1.3 Statističke osobine kumulativnih suma ......................................................................10 1.1.4 Raspodela kumulativnih suma procesa koji je van kontrole .......................................11 1.1.5 Praćenje srednje vrednosti procesa uz pomoć tabelarnog prikaza kumulativnih suma

..........................................................................................................................................13 1.1.5.1 Tabelarni prikaz kumulativnih suma u slučaju standardizovanih vrednosti .............18 1.1.6 Praćenje srednje vrednosti procesa V-maskom ........................................................18 1.1.6.1 Ocena nakon signala .............................................................................................20 1.1.7 Prednosti i nedostatak tabelarnog prikaza kumulativnih suma u odnosu na formu V-

maske ................................................................................................................................21 1.2 Dizajniranje kumulativnih suma .......................................................................................22

1.2.1 Odabir vrednosti za 𝒌 i 𝒉 ...........................................................................................22 1.2.2 Referentna vrednost 𝒌 – „podešavanje“ za određeni pomeraj ...................................22 1.2.3 Prosečna dužina niza (ARL) ......................................................................................23 1.2.4 Odabir vrednosti za interval odlučivanja 𝒉 .................................................................24 1.2.5 ARL vrednosti u stanju izvan kontrole .......................................................................26

1.3 Performanse kumulativnih suma ......................................................................................28

1.3.1 Korišćenje individualnih opservacija i smislenih podgrupa ........................................28 1.3.2 Kontrolna karta kumulativnih suma za praćenje varijabilnosti procesa ......................30 1.3.3 Kombinovanje karata kumulativnih suma i Shewhartovih kontrolnih karata ...............31 1.3.4 Odstupanje od normalnosti .......................................................................................31

2 Kontrolna karta eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina ...........................................33

2.1 Kontrolna karta eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina za praćenje srednje

vrednosti procesa ..................................................................................................................33

2.2 Dizajniranje EWMA kontrolne karte .................................................................................37

2.3 Robusnost eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina prilikom odstupanja od

normalne raspodele ...............................................................................................................40

2.4 EWMA kontrolna karta za podatke sa Poissonovom raspodelom ....................................41

2.5 EWMA kontrolna karta kao prediktor nivoa procesa.........................................................42

3 Kontrolna karta pokretnih sredina ...........................................................................................44

Lista slika ..................................................................................................................................47

Lista tabela ...............................................................................................................................48

Literatura ...................................................................................................................................49

Biografija ...................................................................................................................................50

3

Uvod

Osnovni cilj kontrole procesa je povećanje kvaliteta proizvoda. Na kvalitet proizvoda mogu

uticati mnogi faktori. Neprestana kontrola procesa nam omogućava da otkrijemo te faktore i da

utičemo na njih u najkraćem vremenskom periodu. Kontrolisanjem procesa dolazimo do

zaključka da, svaki proces, koliko god da je dobro isplaniran, može imati određene nedostatke.

Nedostaci se obično javljaju za vreme trajanja procesa usled određenih promena u procesu.

Ukoliko uspemo da uklonimo te nedostatke, ili bar smanjimo njihovo dejstvo, postižemo veći

kvalitet procesa. Upravo je ta potreba za povećanjem kvaliteta procesa, početkom dvadesetog

veka, dovela do razvitka osnovne metode statističke kontrole procesa i metode analize

sposobnosti procesa. Najprimenjenija osnovna metoda statističke kontrole procesa bila je

Shewhartova kontrolna karta koju je razvio Walter Shewhart 1931. godine i ona predstavlja opšti

model kontrolne karte.

Kontrolne karte su najefikasnije kada se primenjuju za kontrolu i upravljanje procesima. One

omogućavaju dobijanje nekih veoma korisnih informacije koje se mogu dalje upotrebiti za

poboljšanje procesa, ali je njihov osnovni cilj eliminacija varijacije u procesu. Mogu se

klasifikovati u dve grupe, a to su numeričke i atributivne kontrolne karte. Numeričke kontrolne

karte su one kod kojih se karakteristika kvaliteta može izraziti numerički, kao vrednost na nekoj

neprekidnoj skali. Nasuprot njima, atributivne kontrolne karte se koriste u slučaju kada je

karakteristika kvaliteta predstavljena opisno (da li je proizvod dobar ili loš ili da li na proizvodu

postoje greške ili ne).

Primena kontrolnih karata omogućava da se proces statistički kontroliše tj. da se otkrije kada se

proces nađe u stanju izvan kontrole. Elementi kontrolne karte su centralna linija (CL), gornja

kontrolna linija (UCL) i donja kontrolna linija (LCL). Centralna linija predstavlja srednju vrednost

obeležja kvaliteta, dok gornja i donja kontrolna linija predstavljaju granice u okviru kojih bi, ako

je proces pod kontrolom, trebalo da se nađu skoro sve vrednosti obeležja kvaliteta. Ukoliko su

sve tačke unutar kontrolnih granica, proces bi trebalo da je u stanju kontrole i tada ne bi trebalo

preduzimati nikakve korektivne mere. Međutim, tačka izvan kontrolnih granica se interpretira

kao stanje procesa izvan kontrole i zahteva preduzimanje odgovarajuće korektivne mere.

Takođe, ukoliko se desi da su sve tačke unutar kontrolnih granica, ali da su raspoređene na

neki sistematični, neslučajni način, to može biti znak da je proces van kontrole. Glavni razlog za

to je pretpostavka da bi tačke trebalo da budu raspoređene na karti na slučajan način oko

centralne linije ukoliko je proces u stanju pod kontrolom.

Sada ćemo prikazati model kontrolne karte koji je predstavio Shewhart. Polazimo od

karakateristike kvaliteta koju želimo da pratimo tokom procesa. Ovu karakteristiku kvaliteta

ćemo predstaviti statistikom čija je očekivana vrednost 𝜇, a disperzija 𝜎2. Centralnu liniju i

kontrolne granice određujemo na sledeći način:

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇 + 𝐿𝜎

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇

4

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇 − 𝐿𝜎

gde 𝐿 predstavlja rastojanje kontrolne granice od centralne linije, izraženo u standardnim

devijacijama. Određivanje ovog rastojanja je jedna od najkritičnijiih odluka prilikom generisanja

kontrolne karte. U praksi se najčešće koriste 3𝜎 kontrolne granice jer je tada verovatnoća

nastanka greške prilikom praćenja procesa jako mala.

Shewhartove kontrolne karte su najkorisnije u prvoj fazi primene statističke kontrole procesa, tj.

prilikom planiranja procesa. Planiranje procesa podrazumeva sistematsko variranje

kontrolisanih ulaznih faktora i omogućava nam da uočimo uticaj tih faktora na posmatranu

karakteristiku. Svrha planiranja je da se smanji varijabilnost karakteristike kvaliteta i da se

utvrde nivoi ulaznih kontrolisanih faktora koji će dati optimalne performanse procesa. U ovoj fazi

je proces verovatno van kontrole i pomeraji parametara, koje pratimo, su veliki. Takođe, u ovoj

fazi, Shewhartove kontrolne karte omogućavaju da se uoče šabloni koji daju smernice za

dovođenje procesa u stanje kontrole. Međutim, u drugoj fazi praćenja procesa, Shewhartove

kontrolne karte su manje osetljive. To je faza osiguranja i kontrole kvaliteta u kojoj znamo

funkcionalnu vezu između ulaznih faktora i izlaznih promenljivih. Na osnovu tih saznanja

možemo lakše da donesemo odluku koje korektivne akcije ćemo preduzeti kada se pojave

neočekivani izvori varijacije. U ovoj fazi je je proces uglavnom pod kontrolom, dostupne su

pouzdane procene parametara procesa (srednja vrednost i standardna devijacija) i dodeljivi

uzroci obično ne rezultiraju velikim pomerajima ili poremećajima procesa. Navedene

karakteristike procesa, u drugoj fazi, čine Shewhartove kontrolne karte relativno neosetljivim na

male pomeraje u procesu, npr. za 1,5 standardih devijacija ili manje. Razlog tome je što one

koriste samo informacije poslednjeg posmatranog uzorka u procesu ignorišući informacije date

celim nizom tačaka i upravo je to glavni nedostatak Shewhartovih kontrolnih karata.

Stavljanjem akcenta na smanjenje varijabilnosti, povećanje prihoda i poboljšanje procesa, a uz

uspeh osnovnih metoda, dolazi do razvoja mnogo novih tehnika za statističko praćenje i

kontrolu procesa.

Naprednije tehnike, koje ćemo objasniti u ovom radu, su kontrolne karte kumulativnih suma

(CUSUM-the cumulative sum control chart) i kontrolne karte eksponencijalno ponderisanih

pokretnih sredina (EWMA-the exponentially weighted moving average control chart), kao i

kontrolne karte pokretnih sredina (MA-moving average control chart). One datiraju iz druge

polovine dvadesetog veka i smatraju se naprednijim od Shewhartovih kontrolnih karata jer nude

značajno povećanje performansi. Korisne su u drugoj fazi praćenja procesa jer s lakoćom

detektuju male pomeraje u procesu. Mogu se nazvati i vremenski kontrolisane kontrolne karte.

5

1 Kontrolne karte kumulativnih suma (CUSUM kontrolne karte)

1.1 Glavne karakteristike kontrolnih karata kumulativnih suma

U ovom poglavlju ćemo prikazati deskriptivne osobine CUSUM kontrolnih karata. Zatim

ćemo razmatrati njihovu sposobnost da signaliziraju trajne pomeraje, čak iako su oni prilično

mali. I na kraju poglavlja, ćemo razmotriti na koji način tumačimo CUSUM kontrolne karte

koristeći ili tabelarni prikaz ili ekvivalentni oblik V-maske.

1.1.1 Osnovni principi kontrolnih karata kumulativnih suma za

praćenje srednje vrednosti procesa

Konstrukciju i način primene kontrolnih karata kumulativnih suma je najbolje objasniti na

konkretnom primeru. Podaci na kojima se zasniva primer su prikazani u tabeli 1. Najpre ćemo

razmotriti kako se podaci ponašaju na klasičnoj Shewhartovoj kontrolnoj karti i objasniti zašto

ona nije najbolji predstavnik ovog procesa, a zatim ćemo pokazati kako se primenjuje kontrolna

karta kumulativnih suma i uočićemo očiglednu razliku.

Opservacija 𝒊 (a) 𝒙𝒊 (b) 𝒙𝒊 − 𝟏𝟎 (c) 𝑪𝒊 = (𝒙𝒊 − 𝟏𝟎) + 𝑪𝒊−𝟏

1 9,45 -0,55 -0,55

2 7,99 -2,01 -2,56

3 9,29 -0,71 -3,27

4 11,66 1,66 -1,61

5 12,16 2,16 0,55

6 10,18 0,18 0,73

7 8,04 -1,96 -1,23

8 11,46 1,46 0,23

9 9,20 -0,80 -0,57

10 10,34 0,34 -0,23

11 9,03 -0,97 -1,20

12 11,47 1,47 0,27

13 10,51 0,51 0,78

14 9,40 -0,60 0,18

15 10,08 0,08 0,26

16 9,37 -0,63 -0,37

17 10,62 0,62 0,25

18 10,31 0,31 0,56

19 8,52 -1,48 -0,92

20 10,84 0,84 -0,08

6

21 10,90 0,90 0,82

22 9,33 -0,67 0,15

23 12,29 2,29 2,44

24 11,50 1,50 3,94

25 10,60 0,60 4,54

26 11,08 1,08 5,62

27 10,38 0,38 6,00

28 11,62 1,62 7,62

29 11,31 1,31 8,93

30 10,52 0,52 9,45

Tabela 1: Podaci za primer kumulativnih suma

Podaci navedeni u koloni (a) potiču iz normalne raspodele sa srednjom vrednošću 𝜇 = 10 i

standardnom devijacijom 𝜎 = 1. Međutim, nakon 20. opservacije dolazi do promene u procesu i

ta promena utiče na izvesno pomeranje srednje vrednosti. Ove podatke ucrtavamo na klasičnu

Shewhartovu kontrolnu kartu sa 3𝜎 kontrolnim granicama (slika 1).

Slika 1: Shewhartova kontrolna karta za podatke iz tabele 1

Uočimo da se na klasičnoj Shewhartovoj kontrolnoj karti ne primećuje prisustvo nikakvih dodeljivih uzroka varijacije, ali se primećuje da je 9 od poslednjih 10 tačaka iznad srednje vrednosti. Pošto ovi podaci potiču iz normalne raspodele sa srednjom vrednošću μ = 10, klasična Shewhartova kontrolna karta nije uspela da detektuje ovaj pomeraj kao prisustvo specijalnog uzroka varijacije. Razlog tome je relativno mala veličina pomeraja. Naime, Shewhartova kontrolna karta za prosečne vrednosti je veoma efikasna za pomeraje veće od 1,5σ, dok za male pomeraje ona nije tako efikasna.

Kontrolne karte kumulativnih suma su efikasnije od Shewhartovih kontrolnih karata za procese

kod kojih se javljaju mali pomeraji jer one kombinuju informacije iz svih prethodnih uzoraka u

procesu. CUSUM kontrolna karta koristi kumulativne vrednosti, odnosno sume odstupanja od

srednje vrednosti i to joj omogućava da detektuje male pomeraje. Kontrolne karte kumulativnih

suma prvi je predložio Page 1954. godine, a kasnije su proučavane od strane mnogih autora.

0

5

10

15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

x

Broj uzorka

UCL=13

CL=10

LCL=7

7

Definišemo najpre uopštenu kumulativnu sumu. Označimo sa 𝐶𝑖 kumulativnu sumu odstupanja

od srednje vrednosti, zaključno sa 𝑖-tim uzorkom. Posmatrajmo uzorke obima 𝑛 ≥ 1 i neka je �̅�𝑗

srednja vrednost 𝑗-og uzorka. Ako je 𝜇0 ciljna srednja vrednost ovog procesa onda kumulativna

suma iznosi

𝐶𝑖 = ∑ (�̅�𝑗 −𝑖𝑗=1 𝜇0), (1)

za svaki broj 𝑖. Ove vrednosti se ucrtavaju na CUSUM kontrolnu kartu. Napomenimo da, osim

CUSUM kontrolnih karti za srednje vrednosti, postoje i CUSUM kontrolne karte za sve slučajne

promenljive (kao na primer za Poissonovu i binomnu raspodelu). Kasnije, u ovom radu,

prikazaćemo upotrebu kontrolnih karata kumulativnih suma za praćenje varijabilnosti procesa.

Posmatrajmo kumulativnu sumu 𝐶𝑖 definisanu u (1). Ukoliko proces ostane pod kontrolom za

ciljnu vrednost 𝜇0, kumulativna suma definisana u (1) će biti slučajna promenljiva sa srednjom

vrednošću nula. Međutim, ako se srednja vrednost pomera naviše do neke vrednosti 𝜇1 > 𝜇0,

onda kažemo da se u kumulativnoj sumi 𝐶𝑖 pojavio uzlazni ili pozitivni trend. Nasuprot tome, ako

se srednja vrednost pomera naniže do vrednosti 𝜇1 < 𝜇0 tada će se, u kumulativnoj sumi 𝐶𝑖,

razviti silazni ili negativni trend. Prema tome, ako se na kontrolnoj karti razvije značajan trend

naniže ili naviše, to će biti dokaz da se srednja vrednost procesa pomerila i da treba potražiti

uzrok pomeraja.

Kontrolne karte kumulativnih suma su posebno efikasne za uzorke obima 𝑛 = 1. Upravo zbog

toga se, ove kontrolne karte, smatraju pogodnim u hemijskoj i procesnoj industriji, kao i u nekim

procesima kod kojih postoji automatsko merenje svakog proizvedenog dela direktno nakon

proizvodnje. U ostatku rada ćemo uvek podrazumevati da se radi o uzorcima obima 𝑛 = 1 i tada

će jednačina data u (1) važiti za �̅�𝑗 = 𝑥𝑗.

Za konstrukciju ove kumulativne sume se koriste dodatno transformisani originalni podaci

predstavljeni u tabeli 1. U koloni (b) su izračunata odstupanja od srednje vrednosti, a u koloni

(c) se nalaze kumulativne sume svih odstupanja od početka praćenja procesa. Kumulativne

sume dobijene u koloni (c), za ciljnu vrednost 𝜇0 = 10, izračunate su na sledeći način:

𝐶𝑖 = ∑(𝑥𝑗 − 10)

𝑖

𝑗=1

= (𝑥𝑖 − 10) + ∑(𝑥𝑗 − 10)

𝑖−1

𝑗=1

= (𝑥𝑖 − 10) + 𝐶𝑖−1.

Početna vrednost kumulativne sume je 𝐶0 = 0. Vrednosti kumulativnih suma iz tabele smo

predstavili na karti kumulativnih suma (slika 2).

8

Posmatrajmo kartu kumulativnih suma. Primetimo da, za prvih 20 opservacija, gde je 𝜇 = 10,

kumulativne sume veoma malo variraju oko nule, dok se za poslednjih 10 opservacija razvija

snažan uzlazni trend.

Napomenimo da grafik kumulativnih suma na slici 2 nije kontrolna karta jer ne sadrži kontrolne

granice.

1.1.2 Osnova za karte kumulativnih suma koje prate srednju vrednost

normalne raspodele

Od velike je važnosti, pre izračunavanja kumulativnih suma, proveriti da li podaci dobijeni u

procesu zadovoljavaju određene pretpostavke dok je proces u stanju kontrole. Naime, polazimo

od pretpostavki da su, dok je proces pod kontrolom, opservacije 𝑥𝑛 statistički nezavisne i da

prate normalnu raspodelu sa poznatom srednjom vrednošću 𝜇 i poznatom standardnom

devijacijom 𝜎. Svaka od ovih pretpostavki se mora proveriti.

Pretpostavka o nezavisnosti opservacija će važiti ukoliko se dokaže odsutvo korelacije. Znajući

da opservacije dobijene u kratkom vremenskom razmaku mogu imati određeni stepen

korelacije, veoma je važno proveriti postojanje korelacije u nizu podataka. Postojanje korelacije

je veoma karakteristicno za hemijske procese.

Pretpostavka o normalnosti je, takođe, veoma bitna zato što je poznavanje raspodele podataka

od suštinske važnosti za utvrđivanje stope lažnih uzbuna na karti i za utvrđivanje nivoa

osetljivosti na pomeraje. Za razliku od Shewhartovih kontrolnih karata, prilikom korišćenja

CUSUM kontrolnih karti, posebna pažnja se mora posvetiti ispitivanju raspodele podataka.

Pretpostavke o raspodeli se mogu proveriti različitim statističkim testovima kao sto su

-4

-2

0

2

4

6

8

10

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Ci

Broj uzorka

Slika 2: Karta kumulativnih suma iz kolone (c) tabele 1

9

Kolmogorov-Smirnovljev test, 𝜒2 test i drugi, ali i razlicitim grafickim statistickim alatima kao sto

su histogrami, QQ dijagrami i slicno. Iako se najviše pažnje posvećuje CUSUM kontrolnim

kartama za praćenje srednje vrednosti normalno raspodeljenih podataka, ove karte se mogu

primeniti i u slucaju kada se raspodela podataka razlikuje od normalne

Pretpostavka da su poznate tačne vrednosti parametara μ i σ nikada neće biti tačna, ali moguće

je dobiti veoma precizne ocene ovih parametara. U praksi, parametri se ocenjuju na osnovu

skupa podataka koji je dobijen nakon dovoljno dugog praćenja procesa koji je u stanju

statističke kontrole. Ocene dobijene na ovaj način se koriste kao prave vrednosti parametara.

Ovde je jako bitno naglasiti da obim uzoraka potreban za ocenjivanje parametara CUSUM

kontrolne karte može biti znatno veći nego što je to slučaj kod Shewhartovih kontrolnih karata.

Kod Shewhartove karte eventualne greške u oceni parametara, koje mogu nastati usled uzorka

manjeg obima, neće mnogo uticati na zakljucivanje jer su Shewhartove karte neosetljive na

male pomeraje parametara. S druge strane, zbog kumulativnog karaktera vrednosti na CUSUM

karti, čak i male greške u ocenjivanju mogu dovesti do pojave lažnih alarma i zbog toga je, u

cilju što tačnije ocene, potrebno izabrati uzorak većeg obima. Za razliku od Shewartovih karata,

uzorci u slučaju CUSUM karata mogu biti veličine reda nekoliko desetina, pa i stotinu.

Vrednosti na CUSUM kartama se mogu definisati na dva funkcionalno ekvivalentna načina.

Originalnu formulu smo već pomenuli:

𝐶𝑛 = ∑(𝑥𝑗 − 𝜇)

𝑛

𝑗=1

.

Drugi način podrazumeva da se opservacije prvo standardizuju, a zatim sumiraju. Definišemo:

𝑢𝑗 = (𝑥𝑗 − 𝜇) 𝜎⁄

𝑆𝑛 = ∑ 𝑢𝑗

𝑛

𝑗=1

.

Očigledno je da su vrednosti na CUSUM karti 𝐶𝑛 u stvari vrednosti na CUSUM karti 𝑆𝑛

pomnožene faktorom 𝜎, tj. standardnom devijacijom procesa. Na osnovu toga zaključujemo da

su ove kumulativne sume jednake, izuzev jedinica vertikalne ose. Vrednosti na vertikalnoj osi

CUSUM 𝑆𝑛 karti će biti izražene u standardnim devijacijama, dok će se vertikalna osa na

CUSUM 𝐶𝑛 karti izražavati u istim jedinicama kao i originalne opservacije procesa. Statistički,

ove dve kumulativne sume sadrže iste informacije.

Različita su mišljenja da li treba koristiti kumulativne sume sa standardizovanim ili

nestandardizovanim vrednostima. Prednost standardizacije je u tome što su vertikalne ose

apsolutne. To znači da će CUSUM karte sa standardizovanim vrednostima biti iste bez obzira

na to da li se originalne opservacije procesa izražavaju u metrima, milimetrima ili inčima.

Takođe, standardizacija omogućava upoređivanje CUSUM karti potpuno različitih veličina. Na

primer, možemo ucrtati CUSUM kartu sobne temperature i vlažnosti na istom brojnom sistemu i

uporediti grafike detaljnije. Prednost CUSUM karti sa nestandardizovanim vrednostima je u

10

tome što su jedinice vertikalne ose jedinice originalnog merenja, pa se mogu lakše protumačiti.

Ne postoji strogo pravilo koje određuje kada treba koristiti CUSUM karte sa standardizovanim

vrednostima, a kada CUSUM karte sa nestandardizovanim vrednostima, već to zavisi od

konkretnog problema.

1.1.3 Statističke osobine kumulativnih suma

Na osnovu prethodno uvedenih pretpostavki da su, dok je proces pod kontrolom, opservacije 𝑥𝑛

statistički nezavisne sa normalnom raspodelom 𝒩(𝜇, 𝜎2), možemo odrediti rapodelu statistike

kumulativnih suma sa nestandardizovanim vrednostima 𝐶𝑛. Pošto statistika 𝐶𝑛 predstavlja sumu

nezavisnih slučajnih promenljivih sa 𝒩(0, 𝜎2) raspodelom, sledi da je njena raspodela

𝐶𝑛~𝒩(0, 𝑛𝜎2).

Posmatrajući raspodelu za 𝐶𝑛 zaključujemo da njena standardna devijacija raste sa porastom 𝑛,

proporcionalno kvadratnom korenu 𝑛. To znači da se sa porastom 𝑛, 𝐶𝑛 sve više udaljava od

nule tj. zahteva sve veću širinu pri crtanju grafika. Ovaj zaključak daje smernice za tehniku

crtanja CUSUM kontrolne karte 𝐶𝑛.

Rekurzivni oblik kumulativne sume se definiše na sledeći način:

𝐶0 = 0

𝐶𝑛 = 𝐶𝑛−1 + (𝑥𝑛 − 𝜇).

Primetimo da se svaka vrednost kumulativne sume dobija kao prethodna tačka plus pomeraj

poslednje tačke od vrednosti 𝜇. Rekurzivan oblik predstavlja najlakši način za izračunavanje

kumulativnih suma, a koristan je i u teoriji jer pokazuje da je proces 𝐶𝑛 slučajna promenljiva.

Odgovarajuća rekurzija kumulativnih suma sa standardizovanim vrednostima je:

𝑆0 = 0

𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑢𝑛.

Uopšteno, rekurzivan oblik implicira da će, dok je proces pod kontrolom, kumulativna suma biti

slučajna promenljiva bez trenda jer je svaka tačka suma prethodne tačke i pomeraja sa

srednjom vrednošću nula. Na CUSUM karti će se vrednosti centrirati na horizontalnoj osi i biće

podložne sve većim izletanjima sa ose.

11

1.1.4 Raspodela kumulativnih suma procesa koji je van kontrole

CUSUM karta je jako dobar alat za otkrivanje pomeraja srednje vrednosti. U najvećem broju

slučajeva, srednja vrednost će se pomeriti stepenasto. Međutim, srednja vrednost se može

promeniti i na složenije načine, na primer može da razvije spor linearni trend. CUSUM karta će

uvek otkriti pomeraj, ali neće uvek moći da otkrije koji je pomeraj u pitanju.

Dok je proces u stanju kontrole i opservacije 𝑥𝑛 prate raspodelu 𝒩(𝜇, 𝜎2), kumulativna suma

prati raspodelu centriranu na horizontalnoj osi. Ukoliko dođe do pomeraja srednje vrednosti za

𝛿, kumulativna suma će razviti linearni trend, a njena raspodela će biti usmerena na liniju čiji je

nagib jednak pomeraju srednje vrednosti 𝛿. Praćenje kumulativnih suma se, dakle, sastoji u

razlikovanju ponašanja bez trenda, dok je proces pod kontrolom, od ponašanja linearnog trenda

nakon pomeraja srednje vrednosti. Ovo je osnova za korišćenje kumulativnih suma za

otkrivanje pomeraja srednje vrednosti.

Posmatrajmo proces koji je u stanju kontrole i pretpostavimo da, nakon nekog trenutka 𝑚,

srednja vrednost za 𝑥𝑛 prolazi kroz trajnu (stepenastu) promenu veličine 𝛿. To će značiti da se u

tom trenutku raspodela za 𝑥𝑛 menja od 𝒩(𝜇, 𝜎2) na 𝒩(𝜇 + 𝛿, 𝜎2). U svakom trenutku nakon

trenutka 𝑚, recimo u trenutku 𝑛, kumulativnu sumu možemo napisati na sledeći način

𝐶𝑛 = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=1

= ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑚

𝑖=1

+ ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=𝑚+1

.

Na osnovu osobine normalne raspodele zaključujemo da, sabirci nakon trenutka 𝑚 imaju

raspodelu 𝒩(𝛿, 𝜎2). Tada za njihovu sumu važi

∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=𝑚+1

~ 𝒩[(𝑛 − 𝑚)𝛿, (𝑛 − 𝑚)𝜎2].

Uočimo da prosečna vrednost kumulativne sume u trenutku 𝑛 > 𝑚 iznosi (𝑛 − 𝑚)𝛿. To znači da

će, počevši od tačke (𝑚, 𝐶𝑚), kumulativna suma u proseku pratiti put koji je centriran na liniji

nagiba 𝛿.

Na slici 3 je prikazana karta kumulativnih suma za proces koji je van kontrole od 𝑚 = 50.

Raspodela za proces u stanju kontrole je 𝒩(0, 1), dok je raspodela za proces van kontrole

𝒩(0,5; 1). To znači da je došlo do pomeraja srednje vrednosti za 𝛿 = 0,5. Na slici se lako može

uočiti promena od nepostojanja trenda do linearnog trenda.

12

Pretpostavimo, sada, da umesto stepenastog pomeraja, srednja vrednost razvija spor linearni

trend. Tada je srednja vrednost za 𝑥𝑛, u slučaju 𝑛 > 𝑚, upravo 𝜇 + (𝑛 − 𝑚)𝛿. Ponašanje

kumulativnih suma, nakon tačke u kojoj se desio pomeraj, prikazujemo na sledeći način:

𝐶𝑛 = 𝐶𝑚 + ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=𝑚+1

∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=𝑚+1

~ 𝒩 ((𝑛 − 𝑚)(𝑛 − 𝑚 + 1)𝛿

2, (𝑛 − 𝑚)𝜎2).

Uporedimo ove raspodele kumulativnih suma nakon pomeraja. Razlika u raspodeli između

kvadratnog trenda (lokalno približno linearnog) srednje vrednosti koja se polako menja i

linearnog trenda koji je nastao usled stepenastog pomeraja je očigledna. Međutim, u praksi, je

jako teško uočiti razliku jer će se ona ispoljiti prilično dugo nakon promene.

Da bismo dočarali promenu nakon pomeraja, vraćamo se na CUSUM kartu predstavljenu

slikom 3 i dozvoljavamo linearni trend. Drugim rečima, sada

𝑋𝑖 ~ 𝒩((𝑖 − 50)0,05; 1), 𝑖 > 50.

Dobijenu kumulativnu sumu smo predstavili na slici 4. Iako je grafik zaista paraboličan, za prvih

𝑛 = 90 nije lako razlikovati ovu zakrivljenost od linearnog ponašanja na slici 3.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Ci

Opservacije

Slika 3: CUSUM karta procesa koji je izašao van kontrole za 𝐦 = 𝟓𝟎

13

Slika 4: CUSUM karta procesa sa sporim linearnim trendom srednje vrednosti nakon 50. opservacije

Predstavićemo, sada, rad sa kumulativnim sumama malo detaljnije. Postoje dva načina

prikazivanja kumulativne sume: tabelarno i oblikom V-maske. Više se primenjuje tabelarni

prikaz i sada ćemo predstaviti konstrukciju i upotrebu tabelarnog prikaza kumulativnih suma.

Nakon toga ćemo predstaviti postupak V-maske i ukazati na prednosti i nedostatke ovih

postupaka.

1.1.5 Praćenje srednje vrednosti procesa uz pomoć tabelarnog

prikaza kumulativnih suma

Tabelarni prikaz kumulativnih suma za praćenje srednje vrednosti procesa se konstruiše uz

pomoć dve statistike. Reč je o jednostranoj gornjoj kumulativnoj sumi 𝐶+ i jednostranoj donjoj

kumulativnoj sumi 𝐶−. Da bismo formirali ove dve statistike, polazimo od osnovnih pretpostavki.

Neka je 𝑥𝑖 𝑖-ta opservacija procesa. Kada je proces u stanju kontrole, 𝑥𝑖 ima normalnu

raspodelu sa srednjom vrednošću 𝜇0 i standardnom devijacijom 𝜎. U industriji se 𝜇0 najčešće

posmatra kao ciljna vrednost za karakteristiku kvaliteta 𝑥. Tada, ukoliko proces odstupa od

ciljne vrednosti ili razvije trend, CUSUM karta će dati signal i vršiće se prilagođavanje neke

kontrolišuće promenljive da bi se proces vratio na ciljnu vrednost. U nekim slučajevima, signal

CUSUM karte može ukazivati i na prisustvo dodeljivog uzroka koji se mora istražiti. Ovde ćemo,

takođe, 𝜇0 posmatrati kao ciljnu vrednost.

Izračunavanje tabelarnih vrednosti kumulativnih suma za praćenje srednje vrednosti procesa se

vrši uz pomoć sledećih formula:

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Ci

Opservacije

14

𝐶𝑖+ = max

[0, 𝑥𝑖 − (𝜇0 + 𝐾) + 𝐶𝑖−1

+ ] (2)

𝐶𝑖− = max

[0, (𝜇0 − 𝐾) − 𝑥𝑖 + 𝐶𝑖−1

− ]. (3)

Početne vrednosti ovih kumulativnih suma su 𝐶0+ = 𝐶0

− = 0.

Statistike 𝐶𝑖+ i 𝐶𝑖

− akumuliraju odstupanja od ciljne vrednosti 𝜇0 koja su veća od 𝐾, a kada

postanu negativne resetuju se na nulu. Tačnije, statistika 𝐶+ akumulira odstupanja od 𝜇0 iznad

ciljne vrednosti, a 𝐶− akumulira odstupanja od 𝜇0 ispod ciljne vrednosti. Proces će biti van

kontrole ako bilo koja od vredosti 𝐶𝑖+ ili 𝐶𝑖

− pređe graničnu vrednost 𝐻.

Performanse kumulativnih suma najviše zavise od izbora parametara 𝐻 i 𝐾. Vrednost 𝐻 se

naziva vrednost odlučivanja i ona je uglavnom pet puta veća od standardne devijacije procesa.

Vrednost 𝐾 se naziva referentna vrednost i ona uglavnom predstavlja sredinu između ciljne

vrednosti 𝜇0 i srednje vrednosti izvan kontrole 𝜇1 koju želimo brzo da otkrijemo. Ukoliko je

pomeraj izražen u jedinicama standardne devijacije kao 𝜇1 = 𝜇0 + 𝛿𝜎 (tj. 𝛿 = |𝜇1 − 𝜇0| 𝜎⁄ ) onda

dobijamo da je

𝐾 =𝛿

2𝜎 =

|𝜇1 − 𝜇0|

2.

Primer 1: Tabelarni prikaz kumulativnih suma

U ovom primeru ćemo konstruisati tabelarne kumulativne sume na osnovu podataka iz tabele 1.

Polazimo od osnovnih pretpostavki. Podsetimo se da je ciljna vrednost 𝜇0 = 10 i standardna

devijacija procesa 𝜎 = 1. Želimo da otkrijemo pomeraj veličine 1𝜎 tj. veličine 1.

Primenjujemo formule iz lekcije i dobijamo da je srednja vrednost procesa u stanju izvan

kontrole 𝜇1 = 10 + 1 = 11, referentna vrednost 𝐾 = 1 2⁄ i preporučena vrednost intervala

odlučivanja 𝐻 = 5.

Zamenimo vrednosti parametara 𝜇0 i 𝐾 u jednačinama 𝐶𝑖+ i 𝐶𝑖

− u prvom trenutku nakon

pokretanja procesa. Dobijamo:

𝐶1+ = max

[0, 𝑥1 − 10,5 + 𝐶0

+]

i

𝐶1− = max

[0, 9,5 − 𝑥1 + 𝐶0

−].

Sada, pošto je 𝐶0+ = 𝐶0

− = 0, za 𝑥1 = 9,45 dobijamo

15

𝐶1+ = max

[0, 9,45 − 10,5 + 0] = 0

i

𝐶1− = max

[0, 9,5 − 9,45 + 0] = 0,05.

Za drugi trenutak dobijamo

𝐶2+ = max

[0, 𝑥2 − 10,5 + 𝐶1

+] = max

[0, 𝑥2 − 10,5 + 0]

i

𝐶2− = max

[0, 9,5 − 𝑥2 + 𝐶1

−] = max

[0, 9,5 − 𝑥2 + 0,05].

Pošto je 𝑥2 = 7,99 imamo

𝐶2+ = max

[0, 7,99 − 10,5 + 0] = 0

i

𝐶2− = max

[0, 9,5 − 7,99 + 0,05] = 1,56.

Nastavljamo postupak za sve opservacije iz tabele 1 i podatke upisujemo u tabeli 2 koja

predstavlja šemu tabelarnih kumulativnih suma.

(a)

(b)

Opservacija 𝒊 (a)

xi-10,5 𝐶𝑖+ 𝑁+

9,5-xi 𝐶𝑖

− 𝑁−

1 9,45

-1,05 0,00 0

0,05 0,05 1

2 7,99

-2,51 0,00 0

1,51 1,56 2

3 9,29

-1,21 0,00 0

0,21 1,77 3

4 11,66

1,16 1,16 1

-2,16 0,00 0

5 12,16

1,66 2,82 2

-2,66 0,00 0

6 10,18

-0,32 2,50 3

-0,68 0,00 0

7 8,04

-2,46 0,04 4

1,46 1,46 1

8 11,46

0,96 1,00 5

-1,96 0,00 0

9 9,20

-1,30 0,00 0

0,30 0,30 1

10 10,34

-0,16 0,00 0

-0,84 0,00 0

11 9,03

-1,47 0,00 0

0,47 0,47 1

12 11,47

0,97 0,97 1

-1,97 0,00 0

13 10,51

0,01 0,98 2

-1,01 0,00 0

14 9,40

-1,10 0,00 0

0,10 0,10 1

15 10,08

-0,42 0,00 0

-0,58 0,00 0

16 9,37

-1,13 0,00 0

0,13 0,13 1

17 10,62

0,12 0,12 1

-1,12 0,00 0

16

18 10,31

-0,19 0,00 0

-0,81 0,00 0

19 8,52

-1,98 0,00 0

0,98 0,98 1

20 10,84

0,34 0,34 1

-1,34 0,00 0

21 10,90

0,40 0,74 2

-1,40 0,00 0

22 9,33

-1,17 0,00 0

0,17 0,17 1

23 12,29

1,79 1,79 1

-2,79 0,00 0

24 11,50

1,00 2,79 2

-2,00 0,00 0

25 10,60

0,10 2,89 3

-1,10 0,00 0

26 11,08

0,58 3,47 4

-1,58 0,00 0

27 10,38

-0,12 3,35 5

-0,88 0,00 0

28 11,62

1,12 4,47 6

-2,12 0,00 0

29 11,31

0,81 5,28 7

-1,81 0,00 0

30 10,52

0,02 5,30 8

-1,02 0,00 0

Tabela 2: Tabela kumulativnih suma za primer 1

Osim vrednosti kumulativnih suma, tabela 2 sadrži i kolone 𝑁+ i 𝑁−. U ovim kolonama se broje

uzastopni trenuci gde su vrednosti kumulativnih suma 𝐶𝑖+ i 𝐶𝑖

− različite od nule.

Sada ispitujemo da li, u tabeli 2, neka od vrednosti kumulativnih suma prelazi granicu intervala

odlučivanja 𝐻 = 5. Uočimo da gornja kumulativna suma u trenutku 29 iznosi 𝐶29+ = 5,28. Pošto

je ovo prvi trenutak gde je 𝐶𝑖+ > 𝐻 = 5, zaključujemo da je u tom trenutku proces van kontrole.

Da bismo otkrili trenutak kada se pomeraj verovatno dogodio, posmatramo kolonu 𝑁+. Brojač

𝑁+ beleži broj uzastopnih trenutaka počevši od trenutka kada je gornja kumulativna suma 𝐶𝑖+

porasla iznad nule. Pošto je 𝑁+ = 7 u trenutku 29, zaključujemo je proces poslednji put bio pod

kontrolom u trenutku 29 − 7 = 22, tako da je do pomeraja verovatno došlo između 22. i 23.

trenutka.

Pokazaćemo kako se konstruiše karta kumulativnih suma za tablične vrednosti. Pošto su

vrednosti kumulativnih suma definisane u (2) i (3) uvek pozitivne, ne bi bilo praktično ucrtati ih

direktno na kartu. Koristićemo program minitab i donju kumulativnu sumu, koja je uvek manja od

nule ili jednaka nuli, i definiše se kao

𝐶𝑖− = min

(0, 𝑥𝑖 − 𝜇0 + 𝐾 + 𝐶𝑖−1

− ).

Uočimo da je 𝐶𝑖−, u stvari, negativna vrednost donje kumulativne sume iz jednačine (3).

Na slici 5 je prikazana verzija CUSUM karte, dobijena u programu minitab, na osnovu vrednosti

iz primera 1. Primetimo da su na ovoj karti vrednosti donje kumulativne sume u rasponu od 0 do

−5.

17

Slika 5: Karta kumulativnih suma, dobijena u program minitab, za primer 1

Kada CUSUM kontrolna karta signalizira da je proces u stanju izvan kontrole, treba tražiti

dodeljive uzroke, preduzeti sve potrebne korektivne radnje i ponovo inicijalizovati kumulativnu

sumu na nulu. Kumulativne sume su veoma korisne za određivanje trenutka kada se javio

dodeljivi uzrok tj. pomeraj. Kao što smo primetili u prethodnom primeru, ako se nalazimo u

trenutku kada je proces dao signal da je u stanju van kontrole, uz pomoć brojača 𝑁+ i 𝑁−,

možemo pronaći trenutak kada je došlo do pomeraja procesa.

Osim što možemo oceniti trenutak pomeraja, možemo oceniti i srednju vrednost procesa nakon

pomeraja. Ta ocena je bitna u situacijama kada se zahteva podešavanje neke korektivne

promenljive da bi se proces vratio na ciljnu vrednost 𝜇0, i izračunava se na sledeći način:

�̂� = {𝜇0 + 𝐾 +

𝐶𝑖+

𝑁+, 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝐶𝑖

+ > 𝐻

𝜇0 + 𝐾 +𝐶𝑖

−

𝑁−, 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝐶𝑖

− > 𝐻.

(4)

Pokažimo primenu jednačine (4) na podatke iz poslednjeg primera. Znamo da je proces

signalizirao da je u stanju izvan kontrole u 29. trenutku, gde je gornja kumulativna suma 𝐶29+ =

5,28 i brojač 𝑁+ = 7. Koristeći jednačinu (4), možemo oceniti srednju vrednost procesa nakon

pomeraja kao

�̂� = 𝜇0 + 𝐾 +𝐶29

+

𝑁+

= 10 + 0,5 +5,28

7= 11,25.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

1 6 11 16 21 26

Vre

dn

ost

i CU

SUM

Broj podgrupe

Ci+

Ci-

Gornji IO

Donji IO

18

Na osnovu dobijene ocene �̂�, možemo zaključiti da je srednja vrednost neke karakteristike

procesa pomerena sa 10 na 11,25. Tada je potrebno korektivnu promenljivu koja utiče na tu

karakteristiku kvaliteta podesiti tako da se ciljna vrednost smanji za 1,25 jedinica.

Napomena: Pokretanje testova i druga osetljiva pravila, kao što su pravila oblasti upozorenja,

treba oprezno primenjivati na CUSUM kartu jer su uzastopne vrednosti za 𝐶𝑖+ i 𝐶𝑖

− zavisne.

1.1.5.1 Tabelarni prikaz kumulativnih suma u slučaju standardizovanih

vrednosti

U nekim situacijama, korišćenje kumulativnih suma sa standardizovanim vrednostima daje bolje

rezultate nego korišćenje originalnih podataka. Standardizovana vrednost promenljive 𝑥𝑖 sa

𝒩(𝜇, 𝜎2) raspodelom je

𝑢𝑖 =𝑥𝑖 − 𝜇0

𝜎.

Tabelarni prikaz kumulativnih suma u slučaju standardizovanih vrednosti se definiše na sledeći

način:

𝐶𝑖+ = max

[0, 𝑢𝑖 − 𝑘 + 𝐶𝑖−1

+ ]

𝐶𝑖− = max

[0, −𝑘 − 𝑢𝑖 + 𝐶𝑖−1

− ].

Primetimo da prilikom izračunavanja kumulativnih suma za standardizovane vrednosti

uporebljavamo vrednosti 𝑘 i ℎ, a kod nestandardizovanih se ove vrednosti uvećavaju za 𝜎 tj.

𝐻 = ℎ𝜎 i 𝐾 = 𝑘𝜎.

Kumulativne sume koje koriste standardizovane vrednosti imaju dve prednosti. Prva prednost je

što mnogo CUSUM karti mogu imati iste vrednosti 𝑘 i ℎ, a izbor ovih parametara ne zavisi od 𝜎.

Druga prednost je što kumulativna suma sa standardizovanim vrednostima prirodno vodi ka

kumulativnoj sumi za praćenje varijabilnosti procesa i to ćemo pokazati u poglavlju 1.3.2.

1.1.6 Praćenje srednje vrednosti procesa V-maskom

Karta kumulativnih suma sa V-maskom se upotrebljava od 1959. godine i predstavlja alternativu

karti kumulativnih suma koja koristi tabelarni prikaz. Motivacija za uvođenje ove karte je bila

intuitivna, ali se kasnije ispostavilo da ipak ima teorijsku vrednost. Ova maska izgleda kao slovo

V sa odsečenim vrhom, leži na boku i na osnovu izgleda je i dobila svoje ime „V-maska“.

19

Postupak konstrukcije V-maske na CUSUM kartu sa nestandardizovanim vrednostima je

ekvivalentan postupku konstrukcije na CUSUM kartu sa standardizovanim vrednostima. Ovde

će, zbog jednostavnosti, biti konstruisana CUSUM karta sa standardizovanim vrednostima 𝑆𝑛 i

parametrima 𝑘 i ℎ. Parametar ℎ se unapred određuje u skladu sa performansama koje želimo

da postignemo.

Pretpostavimo da se nalazimo u tački {𝑖, 𝑆𝑖} na CUSUM karti i da želimo da otkrijemo da li je u

nekom ranijem trenutku došlo do pomeraja srednje vrednosti veličine ∆. Prvo, nacrtajmo dve

vertikalne prave dužine ℎ ispod i iznad tačke {𝑖, 𝑆𝑖}, sa početkom u toj tački. Zatim, treba da

nacrtamo dve referentne linije koje će predstavljati gornji i donji krak V-maske. Za to nam je

potreban parametar 𝑘 koji iznosi 𝑘 =1

2∆. Donja referentna linija je pod nagibom 𝑘 i prolazi kroz

tačku {𝑖, 𝑆𝑖 − ℎ}, dok je gornja referentna linija pod nagibom – 𝑘 i prolazi kroz {𝑖, 𝑆𝑖 + ℎ}. I na

kraju, konstruišemo vertikalnu pravu dužine 2ℎ koja će predstavljati odgovarajući prednji kraj V-

maske. Na slici 6 je prikazana V-maska primenjena na CUSUM kartu sa slike 3.

Slika 6:CUSUM karta gde je V-maska primenjena na 80. opservaciju

Da bismo došli do zaključka da li je proces u stanju pod kontrolom ili ne, posmatramo da li su

sve tačke pre opservacije 𝑖 sadržane u V-maski. Ako jesu, onda zaključujemo da je proces još

uvek pod kontrolom tj. da njegova srednja vrednost nema pomeraj. Ako se bilo koja prethodna

tačka nalazi izvan maske, onda zakljujemo da se srednja vrednost pomerila. Na primer, na slici

6 vidimo da V-maska signalizira da je proces van kontrole od 70. opservacije. Primena V-maske

i na prethodne tačke bi signalizirala da je proces van kontrole.

V-maska bi se mogla primeniti na svaku novu tačku CUSUM karte odmah nakon ucrtavanja

tačke tako što poravnate centar prednje ivice V-maske sa tačkom koja je upravo ucrtana i vidite

da li su sve prethodne tačke sadržane u maski.

Na slici 6 se vide samo tačke koje su izvan V-maske i te tačke signaliziraju nedostatak kontrole.

Tačke ispod maske su u stanju pod kontrolom i one se ne vide.

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

1 6

11

16

21

26

31

36

41

46

51

56

61

66

71

76

81

86

91

96

10

1

Ci

Opservacije

20

1.1.6.1 Ocena nakon signala

U trenutku kada proces signalizira da je van kontrole, mogu se uraditi neke ocene veličina

pomeraja.

Neka je u trenutku 𝑛 otkriven signal da u procesu postoji pomeraj. Potrebno je oceniti trenutak

𝑚 u kome je došlo do pomeraja. Ukoliko je samo jedna tačka van konture V-maske, onda se

njen redni broj 𝑚 uzima za trenutak pojave pomeraja. Ako više tačaka ispada van V-maske,

biramo broj najdalje opservacije koja se nalazi u opsegu maske, a ispada iz konture V-maske.

Broj te opservacije predstavlja trenutak 𝑚 nakon koga se dogodio pomeraj srednje vrednosti.

Nakon ocene trenutka pojave pomeraja srednje vrednosti, potrebno je oceniti veličinu pomeraja.

Pomeraj 𝛿 se ocenjuje kao veličina nagiba od ocenjenog trenutka pojave nagiba 𝑚 do trenutka

𝑛 kada je pomeraj detektovan, sledećom statistikom

𝛿 =𝐶𝑛 − 𝐶𝑚

𝑛 − 𝑚.

Slika 7: CUSUM karta sa V-maskom za praćenje srednje vrednosti sa pomerajem

Slika 7 prikazuje primer CUSUM karte na kojoj postoji signal da je došlo do pomeraja srednje

vrednosti. V-maska ima nagib 0,025 i poluširinu 0,8. Maska se nalazi na prvoj tački gde je

kumulativna suma dala signal, a to je u trenutku 93. U tom trenutku, vrednost 𝐶𝑛 je bila 2,13.

Najdalja tačka koja se nalazi u opsegu V-maske, a van njene konture, je tačka 58, gde je

vrednost 𝐶𝑛 0,42.

Na osnovu ovih vrednosti ocenjujemo veličinu pomeraja kao

𝛿 =2,13 − 0,42

93 − 58= 0,049.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

Ci

Opservacija

Ci

Gornji krak V-maske

Donji krak V-maske

21

Ovako dobijena ocena je pristrasna, ali, u nekim slučajevima, je bolje imati i pristrasnu ocenu

nego nikakvu.

1.1.7 Prednosti i nedostatak tabelarnog prikaza kumulativnih suma u

odnosu na formu V-maske

Tabelarni prikaz kumulativnih suma ima dosta praktičnih prednosti u odnosu na formu V-maske.

Jedna od prednosti je da je veoma jednostavno uočiti signal da je došlo do pomeraja srednje

vrednosti kada jedna kumulativna suma, 𝐶𝑛+ ili 𝐶𝑛

−, pređe konstantnu vrednost. Osim toga, ovo

pravilo olakšava da se uoči da li se kumulativna suma približava granici da da signal, ali i da se

vidi gde će biti ocena poslednjeg uzorka koji je u stanju pod kontrolom pre signala. Ovo pravilo

se lako primenjuje i liči na poznato Shewhartovo pravilo za tačku izvan konstantnih kontrolnih

granica.

Još jedna prednost tabelarnog prikaza, u odnosu na V-masku, je da ne zahteva sve širu kartu

za prikazivanje kumulativnih suma. Naime, ukoliko kumulativna suma pređe interval odlučivanja,

generiše se signal i uzrok pomeraja će verovatno biti otkriven, a zatim će se kumulativna suma

ponovo pokrenuti.

Nedostatak tabelarnog prikaza kumulativnih suma je u tome što on odgovara V-maski sa

specifičnim nagibom 𝑘. V-maska primenjena na CUSUM karti omogućava preklapanje

kumulativnih suma sa različitim V-maskama. Međutim, promena za 𝑘 se može izvršiti samo u

slučaju tabelarnog prikaza kumulativnih suma, tako što će se konstruisati nove kumulativne

sume.

Na osnovu svega rečenog, možemo zaključiti da upotreba V-maske nije najbolja opcija.

Međutim, ona predstavlja podrazumevani način rada u nekim softverskim paketima za

statističku kontrolu procesa i korisno je znati kako se primenjuje.

22

1.2 Dizajniranje kumulativnih suma

Dizajn kumulativnih suma značajno utiče na performanse procesa. Naime, od unetih

parametara, 𝑘 i ℎ za standardizovane podatke ili 𝐾 i 𝐻 za nestandardizovane podatke, će

zavisiti dužina trajanja procesa pre signala. Zbog toga je bitno odrediti optimalne parametre koje

će obezbediti najbolje performanse procesa.

1.2.1 Odabir vrednosti za 𝒌 i 𝒉

Prilikom konstuisanja šeme intervala odlučivanja ili ekvivalentne V-maske, može se uočiti da

celokupan postupak praćenja procesa zavisi od izbora parametara 𝑘 i ℎ, odnosno 𝐻 i 𝐾.

Opšti principi pri odabiru ovih parametara se koriste za praćenje podataka sa bilo kojom

raspodelom, diskretnom ili neprekidnom. U skladu sa time, upotreba podataka sa normalnom

raspodelom neče ograničiti diskusiju. Zbog toga ćemo objasniti kako se biraju parametri kojima

se kotroliše srednja vrednost sa normalnom raspodelom 𝒩(𝜇, 𝜎2).

Već je pomenuto da je kumulativna suma podataka sa originalnom jedinicom mere, u stvari,

kumulativna suma podataka sa standardizovanom jedinicom mere pomožena faktorom

skaliranja 𝜎. Za standardnu devijaciju slučajne promenljive 𝜎, parametri koji se koriste kod

kumulativnih suma nestandardizovanih vrednosti su 𝐻 = ℎ𝜎 i 𝐾 = 𝑘𝜎. U slučaju kada su

CUSUM vrednosti standardizovane, konstante grafika 𝑘 i ℎ su bezimene, a izražavaju se u

jedinicama standardne devijacije koja se dobija na osnovu originalnih merenja procesa. Bez

umanjenja opštosti, konstruisacemo kumulativne sume za standardizovane vrednosti.

1.2.2 Referentna vrednost 𝒌 – „podešavanje“ za određeni pomeraj

Intuitivni izbor za referentnu vrednost 𝑘 iznosi pola od očekivanog pomeraja srednje vrednosti ∆.

Ovaj izbor je ispravan za pomeraj srednje vrednosti kod normalne raspodele. Primena različitih

konstantni je novina u odnosu na Shewhartovu metodologiju, ali je to važna karakteristika kod

dizajna CUSUM karti.

Izbor određene vrednosti 𝑘 podrazumeva da su kumulativne sume dizajnirane da otkriju

pomeraj od ∆= 2𝑘 standardnih devijacija. Postoje dva načina za određivanje optimalne

vrednosti za ∆.

Prvi način se koristi u okolnostima kada se pretpostavlja da postoji određeni nivo vrednosti

karakteristike procesa koja se prati. Na primer, razmatramo praćenje emisija iz benzinskog

motora da bismo proverili da li cilindri dobro rade. Ako u jednom od cilindara ne postoji paljenje

goriva, onda bi njegovo gorivo bilo emitovano bez sagorevanja. To znači da proces prelazi iz

23

stanja pod kontrolom, gde svi cilindri ispravno rade, u stanje van kontrole, gde se u jednom od

cilindara ne vrši sagorevanje goriva. Ukoliko bi se, na osnovu teoretskih proračuna ili prethodnih

eksperimentalnih dokaza, mogla odrediti srednja vrednost procesa u situaciji kada se u jednom

cilindru ne vrši sagorevanje goriva, kumulativna suma bi se mogla razumno podesiti na

odgovarajuću vrednost za ∆.

Druga, i češća mogućnost, je da odaberemo veličinu pomeraja za koju želimo najbržu detekciju.

To bi bio dovoljno veliki pomeraj da ima značajan uticaj na proces, ali dovoljno mali da nije

očigledan. Karta koja je optimalna za otkrivanje pomeraja od tri standardne devijacije nije toliko

dobra pri detektovanju pomeraja od jedne standardne devijacije. Ako je pomeraj od jedne

standardne devijacije previše mali da bi nam smetao, onda je takva karta odgovarajuća.

Međutim, ako je pomeraj od jedne standardne devijacije dovoljno veliki da utiče na proces, onda

nemogućnost da se pouzdano detektuje može biti problem i tada podešavanje na ∆= 3 može

biti loš izbor. Takođe, usmeravanje na previše mali pomeraj može biti štetno. Naime, moguće je

dizajnirati kumulativne sume za detekciju malih pomeraja srednje vrednosti, ali ove kumulativne

sume ne reaguju brzo na pomeraje bilo koje veličine, čak ni na velike pomeraje.

1.2.3 Prosečna dužina niza (ARL)

Karta kumulativnih suma počinje startnom vrednošću 𝑆0+. Odatle može ostati na osi ili se može

kretati među pozitivnim vrednostima. Svako emitovanje pozitivnih vrednosti završiće se na

jedan od dva načina: ili se kumulativna suma vraća na nulu ili prelazi interval odlučivanja. Kada

kumulativna suma prekorači interval odlučivanja, znači da je došlo do pomeraja. Tada proces

daje signal da je u stanju izvan kontrole i preduzimaju se korektivne mere u procesu, a

kumulativne sume se vraćaju na početak, odnosno restartuju se na nulu. Od interesa je dužina

neprekidnog niza tačaka od početka praćenja do pojave signala o pomeraju.

Dužina ovakvog niza će biti jedna slučajna promenljiva i kao jedan od parametara kontrole

procesa uzima se njena očekivana vrednost, odnosno ocena njene očekivane vrednosti,

prosečna dužina niza – ARL (average run length).

ARL vrednost se bira u skladu sa performansama procesa koje želimo da postignemo. Ona

može biti u stanju pod kontrolom ili u stanju izvan kontrole i traje do pojave signala. Pri

dizajniranju ARL vrednosti je bitno da proces traje što duže pre pojave lažnih alarma, a da

period pre nego što karta signalizira da se stvarno desio pomeraj bude što kraći. Ova dva cilja,

kojima se teži prilikom optimizacije ARL vrednosti, su protivrečna i potrebno je naći pravi

kompromis (koristeći istu logiku kao sa greškama I i II vrste kod testiranja hipoteza).

Napomenimo da se dizajnirana ARL vrednost koristi i kada je kumulativna suma prvi put

pokrenuta i u svakom narednom trenutku u kome se vratila na početnu vrednost.

24

1.2.4 Odabir vrednosti za interval odlučivanja 𝒉

ARL vrednost procesa koji je u stanju statističke kontrole zavisiće od vrednosti 𝑘 i ℎ.

Povećavanje bilo koje od vrednosti 𝑘 ili ℎ dovešće do povećanja vrednosti ARL.

𝒉/𝒌 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50

1,000 3,43 4,75 7,0 11,2 19,2 35,3 68,9 142,2 1,125 3,75 5,27 8,0 13,2 23,4 44,8 91,4 196,8 1,250 4,08 5,84 9,1 15,4 28,6 57,2 122,1 274,9 1,375 4,42 6,44 10,3 18,0 34,9 73,1 164,0 387,2 1,500 4,78 7,09 11,6 21,1 42,6 93,8 221,5 549,7 1,625 5,15 7,76 13,0 24,6 52,0 120,7 300,5 786,0 1,750 5,53 8,48 14,6 28,6 63,5 155,5 409,4 1130,8 1,875 5,92 9,22 16,3 33,3 77,4 200,5 559,4 1635,8 2,000 6,32 10,00 18,2 38,5 94,3 258,7 766,2 2376,8 2,125 6,72 10,81 20,2 44,6 114,9 333,8 1051,0 3465,4 2,250 7,13 11,66 22,4 51,5 139,7 430,7 1443,0 5056,1 2,375 7,54 12,53 24,7 59,3 169,7 555,5 1981,9 7414,5 2,500 7,96 13,43 27,3 68,2 206,0 716,0 2721,5 10861,4 2,625 8,39 14,37 30,0 78,3 249,7 922,2 3735,3 15910,5 2,750 8,81 15,33 32,9 89,8 302,5 1187,0 5123,1 23294,0 2,875 9,24 16,32 36,1 102,8 366,1 1526,8 7020,6 34071,6 3,000 9,68 17,35 39,5 117,6 442,8 1962,8 9613,2 49777,5 3,125 10,12 18,41 43,1 134,4 535,3 2522,1 13153,3 72633,4 3,250 10,56 19,50 47,0 153,4 646,9 3239,6 17985,8 3,375 11,01 20,61 51,2 175,0 781,4 4160,1 24582,0 3,500 11,46 21,76 55,7 199,6 943,7 5341,4 33586,2 3,625 11,91 22,95 60,5 227,4 1139,4 6857,6 45879,9 3,750 12,37 24,16 65,7 259,0 1375,6 8803,9 62669,1 3,875 12,83 25,40 71,2 294,8 1660,5 11302,8 85603,0 4,000 13,29 26,68 77,1 335,4 2004,2 14511,5 4,125 13,75 27,99 83,4 381,4 2418,9 18631,7 4,250 14,22 29,32 90,2 433,6 2919,2 23922,8 4,375 14,68 30,69 97,4 492,8 3522,7 30717,7 4,500 15,15 32,09 105,1 559,9 4250,8 39443,6 4,625 15,62 33,53 113,4 636,0 5129,1 50649,1 4,750 16,10 34,99 122,2 722,3 6188,6 65038,7 4,875 16,57 36,48 131,6 820,1 7466,6 83516,4 5,000 17,05 38,01 141,7 930,9 9008,2 5,125 17,53 39,57 152,4 1056,5 10867,8 5,250 18,01 41,15 163,9 1198,9 13111,0 5,375 18,49 42,77 176,1 1360,2 15816,7 5,500 18,97 44,42 189,2 1543,1 19080,5 5,625 19,45 46,11 203,2 1750,4 23017,3 5,750 19,93 47,82 218,0 1985,3 27766,1 5,875 20,42 49,56 233,9 2251,4 33494,1 6,000 20,90 51,34 250,8 2553,1 40403,5 6,125 21,39 53,15 268,8 2895,0 48737,8 6,250 21,88 54,99 288,1 3282,4 58791,0 6,375 22,37 56,85 308,6 3721,5 70917,3 6,500 22,85 58,76 330,5 4219,0 85545,1

Tabela 3: Vrednosti za ARL, kao funkcije od k i h, koje odgovaraju kumulativnoj sumi za pomeraje srednje vrednosti standardizovanih normalnih promenljivih

25

𝑨𝑹𝑳/𝒌 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

125 4,788 3,057 2,179 1,642 1,260 0,950 0,673 0,412 250 5,994 3,716 2,626 1,983 1,550 1,215 0,926 0,660 375 6,732 4,109 2,891 2,182 1,715 1,363 1,067 0,797 500 7,267 4,389 3,080 2,323 1,830 1,466 1,164 0,892 625 7,688 4,608 3,227 2,433 1,919 1,545 1,238 0,963 750 8,034 4,787 3,348 2,523 1,992 1,609 1,298 1,021 875 8,329 4,939 3,450 2,599 2,053 1,662 1,347 1,069 1000 8,585 5,071 3,538 2,665 2,105 1,708 1,390 1,110 1125 8,812 5,187 3,617 2,723 2,152 1,748 1,427 1,146 1250 9,016 5,291 3,686 2,776 2,193 1,784 1,461 1,178 1375 9,201 5,386 3,750 2,823 2,231 1,816 1,490 1,206 1500 9,370 5,472 3,807 2,866 2,265 1,846 1,517 1,232 1625 9,526 5,551 3,861 2,906 2,297 1,873 1,542 1,256 1750 9,670 5,625 3,910 2,943 2,326 1,898 1,565 1,278 1875 9,805 5,693 3,956 2,977 2,353 1,921 1,586 1,298 2000 9,931 5,757 3,999 3,009 2,379 1,942 1,606 1,317

Tabela 4: Vrednosti h, kao funkcije od k i ARL, koje odgovaraju kumulativnoj sumi za pomeraje srednje

vrednosti standardizovanih normalnih promenljivih

Prilikom dizajniranja karte kumulativnih suma, moguće je za dato 𝑘 i ℎ odrediti vrednost ARL za

proces koji je u stanju statisticke kontrole. Takođe, za dato 𝑘 i ciljnu vrednost ARL moguće je

odrediti ℎ. Ove vrednosti se mogu odrediti pomoću tabela 3 i 4.

Referentna vrednost 𝑘 se bira na osnovu veličine promeraja, koji je ili očekivan ili koji bi bio

dovoljno veliki da izazove ozbiljnu zabrinutost. ARL vrednost u stanju pod kontrolom se bira na

osnovu tolerantne stope lažnog alarma.

Obe tabele se koriste za jednostrane kumulativne sume. Drugim rečima, one se odnose na ARL

vrednosti pre nego što gornja kumulativna suma da signal, ili ekvivalentno, pre nego što donja

kumulativna suma da signal. Većina praktičnih problema uključuje dvostrane kumulativne sume

u kojima figurišu gornja kumulativna suma 𝐶𝑛+ i donja kumulativna suma 𝐶𝑛

−. Da bismo dobili

ARL vrednost za dvostrani slučaj, kada imamo ARL vrednosti za jednostrane statistike, recimo

𝐴𝑅𝐿+ i 𝐴𝑅𝐿−, koristimo

1

𝐴𝑅𝐿=

1

𝐴𝑅𝐿++

1

𝐴𝑅𝐿−.

Ako se za ove dve kumulativne sume koriste isti parametri 𝑘 i ℎ, onda (na osnovu simetrije) važi

𝐴𝑅𝐿− = 𝐴𝑅𝐿+. To znači da ARL vrednost pre prvog od ova dva signala iznosi polovinu ARL

vrednosti bilo kog signala. Ukoliko, na primer, izaberemo 𝑘 = 0,5 i ℎ = 4,375 dobićemo da su

vrednosti 𝐴𝑅𝐿+ i 𝐴𝑅𝐿− približno 500 (492,8), što će dati ukupnu ARL vrednost oko 250.

Obrnuto, ako želimo da dvostrana kumulativna suma ima ARL vrednost od, recimo, 500, onda

bi trebalo da dizajniramo tako da svaka od dve komponente kumulativne sume ima dvostruku

ARL vrednost tj. 1.000. Ovo se može dobiti, na primer, izborom 𝑘 = 0,5 i ℎ = 5,071.

26

1.2.5 ARL vrednosti u stanju izvan kontrole

Dizajniranje karte kumulativnih suma najčešće obuhvata određivanje vrednosti 𝑘 i ARL vrednosti

pod kontrolom, na osnovu kojih sledi vrednost ℎ. Ključna mera performansi karte kumulativnih

suma je njena sposobnost da otkrije pomeraje srednje vrednosti, kada se oni pojave.

Pretpostavimo da su opservacije 𝑥𝑛, kada je proces u stanju pod kontrolom, normalno

raspodeljenje sa srednjom vrednošću 𝜇 i standardnom devijacijom 𝜎:

𝑥𝑛~𝒩(𝜇, 𝜎2).

Standardizovane vrednosti ovih opservacija su:

𝑢𝑛 =𝑢𝑛−𝜇

𝜎.

Na osnovu njih ćemo definisati donju i gornju kumulativnu sumu. Oznake će biti sledeće:

𝑆0+ = 0

𝑆0− = 0

𝑆𝑛+ = max

(0, 𝑆𝑛−1

+ + 𝑢𝑛 − 𝑘+)

𝑆𝑛− = max

(0, 𝑆𝑛−1

− + 𝑢𝑛 − 𝑘−).

Parametri 𝑘+ i 𝑘− predstavljaju referentne vrednosti gornje i donje kumulativne sume,

respektivno. Sistem od dve kumulativne vrednosti će dati signal da je došlo do povećanja

srednje vrednosti ako je 𝑆𝑛+ > ℎ i smanjenja ako je 𝑆𝑛

− < −ℎ−.

Ova formulacija dozvoljava da se referentne vrednosti 𝑘+ i 𝑘− razlikuju, kao i intervali

odlučivanja ℎ+ i ℎ−. Kod kumulativnih suma za normalne podatke, gornja i donja referentna

vrednost 𝑘+ i 𝑘− često su iste, kao i gornji i donji intervali odlučivanja tj. ℎ+ i ℎ−. Ovo ilustruje

situaciju u kojoj su povećanja i smanjenja srednjih vrednosti jednako kritične i treba ih rešavati

identično. Međutim, neki procesi zahtevaju različite vrednosti parametara za gornje i donje

kumulativne sume.

U slučaju kada je 𝑥 karakteristika kvaliteta „veće je bolje“, kao što je životni vek komponente ili

profit na rasprodaji, smanjenje srednje vrednosti može da dovede do kritičnih stanja koja

zahtevaju hitno delovanje. Povećanje srednje vrednosti bi ukazalo na potencijal za poboljšanje i

dovelo bi do većih izmerenih vrednosti. Pod ovim okolnostima, bilo bi razumno postaviti da 𝑘+

bude manje, dok bi 𝑘− trebalo biti znatno veće.

Ukoliko gornje i donje kumulativne sume imaju iste ARL vrednosti za proces koji je u stanju

statističke kontrole, onda različite referentne vrednosti zahtevaju različite intervale odlučivanja.

S druge strane, možemo izabrati veću ARL vrednost za proces koji je u stanju statističke

27

kontrole za povećanje srednje vrednosti nego za smanjenje srednje vrednosti. Takođe, može se

desiti i slučaj da su vrednosti 𝑘+ i 𝑘− jednake, a ℎ+ i ℎ− različite.

28

1.3 Performanse kumulativnih suma

Razmotrićemo detaljnije neke osobine kumulativnih suma i dodatne pogodnosti pri radu, a zatim

ćemo pokazati i kako odstupanje od normalnosti utiče na model.

1.3.1 Korišćenje individualnih opservacija i smislenih podgrupa

Opservacije koje se koriste na Shewhartovoj kontrolnoj karti ili na karti kumulativnih suma mogu

biti individualne ili srednje vrednosti smislenih podgrupa. Smislene podgrupe se biraju na takav

način da specijalni uzroci utiču ili na sve opservacije ili ni na jednu opservaciju u svakoj

smislenoj podgrupi posebno.

Shewhartove kontrolne karte se uglavnom koriste za praćenje srednje vrednosti smislenih

podgrupa datih opservacija. Pošto su opservacije u svakoj smislenoj podgrupi srodne, razumno

je, umesto pojedinačnih opservacija, koristiti prosečne vrednosti i standardne devijacije

smislenih podgrupa. Prilikom praćenja smislenih podgrupa smatraće se da je eventualni

specijalni uzrok uticao na srednju vrednost čitave podgrupe ili, u slučaju praćenja varijabilnosati,

na standardnu devijaciju ili raspon podgrupe.

Karte kumulativnih suma su namenjene trajnim promenama koje će uticati na sve opservacije u

procesu, tako da formiranje smislenih podgrupa nije korisno pri dizajniranju i upotrebi karata

kumulativnih suma. Ipak, postoje situacije u kojima se one koriste.

Ako su pojedinačne opservacije 𝑥𝑖 normalno raspodeljene sa srednjom vrednošću 𝜇 i

varijansom 𝜎2, tada će srednje vrednosti slučajnih uzoraka obima 𝑛, recimo �̅�𝑛, pratiti normalnu

raspodelu sa srednjom vrednošću 𝜇 i varijansom 𝜎2 𝑛⁄ . Tada se smislene podgrupe srednjih

vrednosti ucrtavaju na kontrolnu kartu kumulativnih suma na potpuno isti način kao u slučaju

pojedinačnih opservacija.

Ukoliko radimo sa srednjim vrednostima smislenih podgrupa, kumulativna suma srednjih

vrednosti bi se izračunavala na sledeči način:

𝐶𝑛 = ∑(�̅�𝑗 − 𝜇)

𝑛

𝑗=1

.

Vezu između kumulativnih suma definisanih za podgrupe i kumulativnih suma za pojedinačna

merenja najbolje ilustruje naredni primer. Pretpostavimo da posmatramo poduzorke obima tri po

smeni u procesu sa srednjom vrednošću 𝜇 = 20. Tabela 5 pokazuje neke hipotetičke vrednosti

koje se mogu dobiti. U prvoj koloni se nalaze pojedinačne opservacije u vremenskom poretku. U

drugoj koloni se nalaze srednje vrednosti smislenih podgrupa i one se mogu izračunati nakon

svake treće originalne opservacije. Treća i četvrta kolona predstavljaju kumulativne sume

pojedinačnih opservacija i srednjih vrednosti uzoraka, respektivno. Na osnovu dobijenih

29

vrednosti se moze zaključiti da je svaka kumulativna suma dobijena na osnovu uzoraka obima

tri, tri puta manja od odgovarajuće kumulativne sume dobijene za pojedinačna merenja.

Uopšteno, ako se karta kumulativnih suma formira na osnovu uzoraka obima 𝑀, onda će se

vrednosti kumulativnih suma, dobijenih na osnovu pojedinačnih merenja, dobiti množenjem

odgovarajućih “grupnih” kumulativnih suma upravo obimom uzorka. To znači da kumulativna

suma za vrednosti �̅�𝑖 sadrži svaku 𝑀-tu tačku kumulativne sume individualnih opservacija

podeljenu faktorom 𝑀.

Karte kumulativnih suma, dobijene na osnovu podgrupa, sadrže manje informacija od karata

kumulativnih suma, dobijenih na osnovu pojedinačnih merenja.

Za razliku od Shewhartovih karata, pri radu sa kartama kumulativnih suma, dobijenih na osnovu

smislenih podgrupa, postiže se kontra efekat, tj. gubitak informacija. Jedan od razloga za to je

što se srednja vrednost smislene podgrupe ne može ucrtati na kartu sve dok se ne očitaju sve

opservacije u smislenoj podgrupi, dok se karta kumulativnih suma pojedinačnih opservacija

ažurira svaki put kada nova opservacija postane dostupna. Na osnovu toga, kumulativna suma

individualnih opservacija može proizvesti signal jedne od ranijih opservacija unutar smislene

podgrupe i tako brže otkriti pomeraj. Međutim, to nije opšte pravilo. Postoje situacije u kojima,

zbog ekonomičnog i brzog uzorkovanja i istovremenog očitavanja vrednosti, smislene podgrupe

ne predstavljaju manu.

Na osnovu svega navedenog, možemo zaključiti da obične Shewhartove kontrolne karte koriste

smislene podgrupe za praćenje procesa, a pojedinačne opservacije smatraju izuzetkom. Kod

karti kumulativnih suma se mahom koriste pojedinačne opservacije za praćenje procesa, a

smislene podgrupe predstavljaju izuzetak.

Individualne opservacije

Srednja vrednost smislenih podgrupa

CUSUM za 𝒙𝒊 CUSUM za �̅�𝒊

23

3

19

2

24 22 6 2

16

2

18

0

23 19 3 1

15

-2

14

-8

19 16 -9 -3

21

-8

24

-4

18 21 -6 -2

Tabela 5: Podaci koji omogućavaju poređenje kumulativne sume individualnih opažanja i kumulativne sume

racionalnih podgrupa

30

1.3.2 Kontrolna karta kumulativnih suma za praćenje varijabilnosti

procesa

Kontrolne karte kumulativnih suma se mogu koristiti i za praćenje varijabilnosti procesa.

Kumulativne sume za praćenje varijabilnosti se najviše primenjuju nad pojedinačnim

opservacijama. Koristićemo iste pretpostavke kao i do sada i pokazaćemo kako se, u svrhu

praćenja varijabilnosti procesa, definišu kumulativne sume sa standardizovanim vrednostima.

Neka opservacije 𝑥𝑖 prate normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 𝜇0 i standardnom

devijacijom 𝜎. Standardizovana vrednost za 𝑥𝑖 je 𝑦𝑖 =𝑥𝑖−𝜇0

𝜎.

Hawkins je 1981. godine predstavio proceduru koja je jako korisna za praćenje varijabilnosti. On

je otkrio da je raspodela slučajne promenljive √|𝑦𝑖| veoma blizu normalnoj raspodeli sa

srednjom vrednošću 0,822 i varijansom 0,122. Zato je predložio stvaranje nove standardizovane

vrednosti

𝑣𝑖 =√|𝑦𝑖| − 0,822

0,349.

Ovako definisane vrednosti slučajne promenljive 𝑣𝑖 su osetljive na promenu varijanse preko

kumulativnih suma, u smislu da promene varijanse slučajne promenljive 𝑋 izazivaju pomeraje

srednje vrednosti slučajne promenljive 𝑣. Sve dok je proces pod kontrolom, raspodela za 𝑣𝑖 je

približno 𝒩(0,1).

Sada ćemo definisati dve jednostrane kumulativne sume sa standardizovanim vrednostima za

praćenje varijabilnosti procesa na sledeći način:

𝑆𝑖+ = max

[0, 𝑣𝑖 − 𝑘 + 𝑆𝑖−1

+ ]

𝑆𝑖− = max

[0, −𝑘 − 𝑣𝑖 + 𝑆𝑖−1

− ]

gde je 𝑆0+ = 𝑆0

− = 0 (ukoliko se ne zahteva drugačije). Vrednosti za 𝑘 i ℎ su odabrane na isti

način kao i kod kumulativnih suma za praćenje srednje vrednosti procesa.

Tumačenje ovih kumulativnih suma je slično tumačenju kumulatvnih suma za srednje vrednosti.

Ako se standardna devijacija procesa poveća, povećaće se i vrednost 𝑆𝑖+ i postoji mogućnost da

pređe ℎ. Ako se standardna devijacija smanji, vrednost za 𝑆𝑖− će se povećati i može preći ℎ.

Hawkins je 1993. predložio da se kumulativne sume procesa 𝑋 i procesa 𝑣, tj. kumulativne

sume za praćenje srednje vrednosti i kumulativne sume za praćenje varijabilnosti ucrtaju na

istoj karti.

31

1.3.3 Kombinovanje karata kumulativnih suma i Shewhartovih

kontrolnih karata

Pokazali smo da je kontrolna karta kumulativnih suma veoma efikasna u otkrivanju malih

pomeraja. Međutim, ona nije toliko efikasna za otkrivanje velikih pomeraja kao Shewhartova

kontrolna karta. Poboljšanje sposobnosti kontrolne karte kumulativnih suma da detektuje velike

pomeraje u procesu ostvaruje se uz pomoć kombinovane CUSUM-Shewhartove procedure za

praćenje procesa. Modifikacija karte kumulativnih suma se vrši dodavanjem Shewhartovih

kontrolnih granica na otprilike 3,5 stanardnih devijacija od centralne linije ili ciljne vrednosti 𝜇0.

Signal da je proces van kontrole na jednoj karti ili na obema kartama predstavlja signal za

akciju.

Posmatrajmo tabelu 6. Kolona (a) predstavlja ARL vrednosti klasične kumulativne sume, gde je

ℎ = 5. Kolona (b) sadrži ARL vrednosti kumulativnih suma za individualne opservacije sa

dodatim Shewhartovim kontrolnim granicama. Kao što je predloženo iznad, Shewhartove

granice su na 3,5𝜎. Ispitivanjem ARL vrednosti možemo primetiti da je dodavanje Shewhartovih

kontrolnih granica poboljšalo mogućnosti procedure da otkrije veće pomeraje, a da je samo

neznatno smanjila ARL vrednost u procesu pod kontrolom. Zaključujemo da kombinovana

CUSUM-Shewhartova procedura predstavlja efikasan način za poboljšanje odziva za velike

pomeraje.

(a) (b) Pomeraj srednje

vrednosti (sadrži 𝝈) Klasična

kumulativna suma

CUSUM-Shewhart (Shewhartove

granice na 3,5𝜎)

0 465 391 0,25 139 130,9 0,50 38,0 37,20 0,75 17,0 16,80 1,00 10,4 10,20 1,50 5,75 5,58 2,00 4,01 3,77 2,50 3,11 2,77 3,00 2,57 2,10 4,00 2,01 1,34

Tabela 6: ARL vrednosti za kombinovane CUSUM-Shewhart karte, dobijene na osnovu parametara k=1/2 i h=5

1.3.4 Odstupanje od normalnosti

Kartu kumulativnih suma, za proces pod kontrolom, dizajnirali smo na osnovu pretpostavki da

su opservacije 𝑥𝑛 statistički nezavisne i da prate normalnu raspodelu sa poznatom srednjom

vrednošću 𝜇 i poznatom standardnom devijacijom 𝜎. Sada ćemo ispitati kako odstupanje od

normalnosti utiče na kumulativne sume.

32

Prvi radovi, koji su se bavili kontrolom procesa uz pomoć CUSUM karti, su zastupali činjenicu

da stvarna raspodela podataka ne utiče na ponašanje procesa. Zbog toga se smatralo da

modeliranje podataka nije od velike važnosti za statističku kontrolu procesa. Ta činjenica ima

smisla kada je stvarna ARL vrednost veća od dizajnirane ARL vrednosti za proces koji je u

stanju pod kontrolom. Međutim, ako je stvarna ARL vrednost manja od dizajnirane ARL

vrednosti, onda se očekuje pojava lažnih alarma i u ovakvim situacijama se vidi koliko statistička

raspodela utiče na ponašanje procesa. Ona igra važnu ulogu jer od težine repa raspodele zavisi

kolika će biti stvarna ARL vrednost. Da bismo to ilustrovali, uporedićemo tri kumulativne sume

koje su dizajnirane tako da, dok je proces u stanju pod kontrolom, opservacije imaju normalnu

raspodelu i ARL vrednost procesa iznosi 1000. Parametri, na osnovu kojih su dizajnirane ove

kumulativne sume, su, redom, 𝑘 = 1 i ℎ = 2,67, 𝑘 = 0,5 i ℎ = 5,07, 𝑘 = 0,25 i ℎ = 8,19. U

tabeli 7 možemo videti prave ARL vrednosti za sledeće raspodele podataka:

• simetrična raspodela teškog repa: Laplasova raspodela sa funkcijom gustine 𝑓 (𝑥) = 0,5𝑒−|𝑥|;

• zakrivljena raspodela sa teškim repom: 𝜒2 sa 2 stepena slobode;

• nešto manje zakrivljena raspodela: 𝜒2 sa 9 stepeni slobode;

• simetrična raspodela sa lakim repom: uniformna na intervalu (0,1).

Prvo što se može uočiti u tabeli je da su prave ARL vrednosti udaljene od dizajnirane vrednosti

od 1000 jer težina repova ovih raspodela ima veliki uticaj na prave ARL vrednosti. Sve tri

raspodele koje imaju teške repove daju manje ARL vrednosti od planiranih ARL vrednosti, dok

uniformna raspodela koja ima lake repove daje veće ARL vrednosti od planiranih. Odstupanje

od normalne raspodele se najvise reflektuje u situacijama kada su kumulativne sume podešene

da detektuju velike pomeraje, ali čak i sa kumulativnim sumama podešenim za male pomeraje,

ARL vrednost u stanju pod kontrolom može biti daleko od ciljne vrednosti ako raspodela

podataka ima repove teže od normalne.

ARL vrednosti zavise i od parametara 𝑘 i ℎ. U tabeli 7 možemo uočiti šta se dešava kada

vrednosti za 𝑘 opadaju, a za ℎ rastu. Tada se ARL vrednosti, za svaku raspodelu, postojano

kreću prema dizajniranoj vrednosti. Zaključujemo da je uticaj odstupanja od normalnosti mnogo

manji sa malim vrednostima za 𝑘 i velikim vrednostima za ℎ. Osnovni razlog za to je velika

vrednost za ℎ jer onemogućava da jedna ili dve vrednosti koje su daleko u repu raspodele dođu

do intervala odlučivanja.

Primer 𝒌 = 𝟏 𝒌 = 𝟎, 𝟓 𝒌 = 𝟎, 𝟐𝟓

Laplasova 241 585 933

𝝌𝟐𝟐 82 195 435

𝝌𝟗𝟐 163 357 624

Uniformna 24789 1435 1069 Tabela 7: ARL vrednosti za različite raspodele koje koriste dizajn za normalno raspodeljene podatke.

Vrednost nominalne ARL vrednosti je 1000

33

2 Kontrolna karta eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina

Kontrolnu kartu eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina (EWMA kontrolnu kartu) uveo

je Roberts 1959. godine. EWMA kontrolna karta predstavlja dobru zamenu za Shewhartovu

kontrolnu kartu kada želimo da otkrijemo male pomeraje. Performanse EWMA kontrolnih karata

su približno ekvivalentne performansama koje poseduju CUSUM kontrolne karte, ali su EWMA

kontrolne karte lakše za upotrebu. Kao i CUSUM kontrolne karte, EWMA kontrolne karte se

najviše koriste sa individualnim opservacijama, a smislene podgrupe se smatraju izuzetkom.

2.1 Kontrolna karta eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina

za praćenje srednje vrednosti procesa

Eksponencijalno ponderisane pokretne sredine za praćenje srednje vrednosti procesa se mogu

posmatrati kao ponderisane srednje vrednosti svih prošlih opservacija i sadašnje opservacije.

Uz pomoć njih se mogu modelirati vremenske serije i predvideti buduće vrednosti procesa.

Odstupanje raspodele podataka od normalne raspodele ne predstavlja ograničenje za

korišćenje EWMA kontrolnih karata i zato one predstavljaju idealnu kontrolnu kartu za upotrebu

nad pojedinačnim opservacijama.

Sada ćemo pokazati kako se kontruiše EWMA kontrolna karta. Pretpostavimo da je do sada

prikupljeno 𝑖 opservacija iz procesa. Statistika za 𝑖-tu opservaciju 𝑥𝑖 je eksponencijalno

ponderisana pokretna sredina:

𝑧𝑖 = 𝜆𝑥𝑖 + (1 − 𝜆)𝑧𝑖−1 (5)

gde je 𝑧0 srednja vrednost u stanju pod kontrolom ili ocena srednje vrednosti u stanju pod

kontrolom. Parametar 0 < 𝜆 ≤ 1 je konstanta.

Da bismo pokazali da je EWMA vrednost 𝑧𝑖 ponderisana sredina prethodnih opservacija,

zapisaćemo je na sledeći način:

𝑧𝑖 = 𝜆𝑥𝑖 + (1 − 𝜆)[𝜆𝑥𝑖−1 + (1 − 𝜆)𝑧𝑖−2]

= 𝜆𝑥𝑖 + 𝜆(1 − 𝜆)𝑥𝑖−1 + (1 − 𝜆)2𝑧𝑖−2

= 𝜆𝑥𝑖 + 𝜆(1 − 𝜆)𝑥𝑖−1 + (1 − 𝜆)2[𝜆𝑥𝑖−2 + (1 − 𝜆)𝑧𝑖−3]

= 𝜆𝑥𝑖 + 𝜆(1 − 𝜆)𝑥𝑖−1 + 𝜆(1 − 𝜆)2𝑥𝑖−2 + (1 − 𝜆)3𝑧𝑖−3

= 𝜆𝑥𝑖 + 𝜆(1 − 𝜆)𝑥𝑖−1 + 𝜆(1 − 𝜆)2𝑥𝑖−2 + 𝜆(1 − 𝜆)3𝑥𝑖−3

+ ⋯ + 𝜆(1 − 𝜆)𝑖−𝑗𝑥𝑗 + ⋯ + 𝜆(1 − 𝜆)𝑖−1𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑖𝑧0.

Uočimo da ponderi 𝜆(1 − 𝜆)𝑗 geometrijski opadaju sa povećanjem vrednosti 𝑗. Zbir ovih pondera

će biti

34

𝜆 ∑(1 − 𝜆)𝑗

𝑖−1

𝑗=0

= 𝜆 [1 − (1 − 𝜆)𝑖

1 − (1 − 𝜆)] = 1 − (1 − 𝜆)𝑖.

Vrednosti pondera bližih opservacija su veći od vrednosti pondera koji odgovaraju daljim

opservacijama. Pošto ovi ponderi geometrijski opadaju, kontrolne karte eksponencijalno

ponderisanih pokretnih sredina se ponekad nazivaju i kontrolne karte geometrijskih pokretnih

sredina (GMA).

EWMA kontrolna karta se konstruiše ucrtavanjem vrednosti 𝑧𝑖 naspram broja opservacija 𝑖 (ili

vremena). Za konstrukciju kontrolnih granica potrebna nam je varijansa za 𝑧𝑖. Ako su

opservacije 𝑥𝑖 nezavisne slučajne promenljive sa varijansom 𝜎2, onda je varijansa za 𝑧𝑖

𝜎𝑧𝑖

2 = 𝜎2 (𝜆

2 − 𝜆) [1 − (1 − 𝜆)2𝑖].

Tada se centralna linija i kontrolne granice za EWMA kontrolnu kartu definišu na sledeći način:

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 + 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)[1 − (1 − 𝜆)2𝑖]

(6)

𝐶𝐿 = 𝜇0

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 − 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)[1 − (1 − 𝜆)2𝑖].

(7)

Faktor 𝐿, koji se pojavljuje u jednačinama (6) i (7), predstavlja širinu kontrolnih granica. O

izboru parametara 𝐿 i 𝜆 će biti reči kasnije.

Posmatrajmo izraz [1 − (1 − 𝜆)2𝑖] u jednačinama (6) i (7). Primetimo da se taj izraz približava

jedinici sa porastom 𝑖. Na osnovu toga zaključujemo da će se, nakon nekoliko vremenskih

trenutaka na EWMA kontrolnoj karti, kontrolne granice asimptotski približiti konstantnim

vrednostima i važiće da je

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 + 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)

(8)

i

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 − 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆).

(9)

35

Za male vrednosti 𝑖 se, ipak, preporučuje korišćenje tačnih kontrolnih granica datih u

jednačinama (6) i (7). Na taj način će se, u velikoj meri, poboljšati performanse kontrolne karte

u detektovanju procesa izvan ciljne vrednosti odmah nakon pokretanja EWMA kontrolne karte.

EWMA kontrolna karta se najćešće upotrebljava za individualna merenja. Međutim, ako se

posmatraju uzorci obima većeg od 1, onda treba u jednačini (5) jednostavno zameniti 𝑥𝑖 sa �̅�𝑖, a

u jednačinama (6) i (7), odnosno (8) i (9), treba zameniti 𝜎 sa 𝜎�̅� = 𝜎 √𝑛⁄ .

Primer 2: Konstruisanje EWMA kontrolne karte

U ovom primeru ćemo konstruisati EWMA kontrolnu kartu za 𝜆 = 0,1 i 𝐿 = 2,7 koristeći podatke

iz tabele 1.

Podsetimo se da je, za podatke iz tabele 1, ciljna srednja vrednost 𝜇0 = 10, a standardna

devijacija 𝜎 = 1.

Izračunate vrednosti statistike EWMA prikazane su u tabeli 8.

Da bismo prikazali postupak izračunavanja, posmatrajmo prvu opservaciju 𝑥1 = 9,45. Prva

vrednost EWMA je

𝑧1 = 𝜆𝑥1 + (1 − 𝜆)𝑧0 = 0,1(9,45) + 0,9(10) = 9,945.

Opservacija 𝒊

𝒙𝒊 *=van granica

𝒛𝒊 Opservacija 𝒊

𝒙𝒊 *=van granica

𝒛𝒊

1 9,45 9,945 16 9,37 9,984256

2 7,99 9,7495 17 10,62 10,04783

3 9,29 9,70355 18 10,31 10,07405

4 11,66 9,899195 19 8,52 9,918643

5 12,16 10,12528 20 10,84 10,01078

6 10,18 10,13075 21 10,90 10,0997

7 8,04 9,921673 22 9,33 10,02273

8 11,46 10,07551 23 12,29 10,24946

9 9,20 9,987955 24 11,50 10,37451

10 10,34 10,02316 25 10,60 10,39706

11 9,03 9,923844 26 11,08 10,46535

12 11,47 10,07846 27 10,38 10,45682

13 10,51 10,12161 28 11,62 10,57314

14 9,40 10,04945 29 11,31 10,64682*

15 10,08 10,05251 30 10,52 10,63414*

Tabela 8: Izračunavanja vrednosti EWMA za primer 2

36

Dakle, 𝑧1 = 9,945 je prva vrednost koju ucrtavamo na kontrolnu kartu. Druga vrednost EWMA je

𝑧2 = 𝜆𝑥2 + (1 − 𝜆)𝑧1 = 0,1(7,99) + 0,9(9,945) = 9,7495.

Nastavljajući ovaj postupak dobijamo sve vrednosti EWMA iz tabele 8, a zatim te vrednosti

ucrtavamo na EWMA kontrolnu kartu na slici 8.

Kontrolne granice na slici 8 se nalaze uz pomoć jednačina (6) i (7). Za trenutak 𝑖 = 1, dobijamo

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 + 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)[1 − (1 − 𝜆)2𝑖]

= 10 + 2,7(1)√0,1

(2 − 0,1)[1 − (1 − 0,1)2(1)] = 10,27

i

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 − 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)[1 − (1 − 𝜆)2𝑖]

= 10 − 2,7(1)√0,1

(2 − 0,1)[1 − (1 − 0,1)2(1)] = 9,73.

Za trenutak 𝑖 = 2, dobijamo granice

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 + 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)[1 − (1 − 𝜆)2𝑖]

= 10 + 2,7(1)√0,1

(2 − 0,1)[1 − (1 − 0,1)2(2)] = 10,36

i

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 − 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)[1 − (1 − 𝜆)2𝑖]

= 10 − 2,7(1)√0,1

(2 − 0,1)[1 − (1 − 0,1)2(2)] = 9,64.

37

Slika 8: EWMA kontrolna karta za primer 2

Na slici 8 možemo primetiti da se kontrolne granice šire sa porastom 𝑖, za 𝑖 = 1, 2, … . Nakon

toga se stabilizuju na konstantne vrednosti, koje su dobijene na osnovu jednačina (8) i (9), i

iznose:

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 + 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)= 10 + 2,7(1)√

0,1

(2 − 0,1)= 10,62

i

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 − 𝐿𝜎√𝜆

(2 − 𝜆)= 10 − 2,7(1)√

0,1

(2 − 0,1)= 9,38.

Kontrolna karta EWMA, na slici 8, daje signal da je došlo do pomeraja nakon 28. opservacije.

Na osnovu toga zaključujemo da je proces u stanju izvan kontrole.

2.2 Dizajniranje EWMA kontrolne karte

Dizajniranje EWMA kontrolne karte podrazumeva odabir parametra 𝐿, kojim se određuje širina

kontrolnih granica, i vrednosti 𝜆. Ovi parametri se mogu odabrati tako da se dobije ARL

vrednost za EWMA kontrolnu kartu koja približno aproksimira performanse ARL vrednosti za

CUSUM kontrolnu kartu za otkrivanje malih pomeraja. Na osnovu teorijskih istraživanja o

performansama parametra ARL EWMA kontrolne karte, napravljene su tabele za različite

vrednosti 𝐿 i 𝜆.

9.25

9.5

9.75

10

10.25

10.5

10.75

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Zi

Opservacija

Zi

CL

LCL

UCL

38

Lucas i Saccucci su 1990. godine predstavili tabelu 9 u kojoj se mogu videti performanse ARL

vrednosti za nekoliko EWMA kontrolnih karata. Optimalni postupak dizajniranja se sastoji u

tome da se fiksira željena vrednost ARL, u stanju pod kontrolom i izvan kontrole, i veličina

očekivanog pomeraja procesa. Nakon toga se bira kombinacija za 𝐿 i 𝜆 koja obezbeđuje željene

performanse.

Pomeraj srednje vrednosti

(sadržalac 𝝈)

𝑳 = 𝟑, 𝟎𝟓𝟒

𝝀 = 𝟎, 𝟒𝟎

𝑳 = 𝟐, 𝟗𝟗𝟖

𝝀 = 𝟎, 𝟐𝟓

𝑳 = 𝟐, 𝟗𝟔𝟐

𝝀 = 𝟎, 𝟐𝟎

𝑳 = 𝟐, 𝟖𝟏𝟒

𝝀 = 𝟎, 𝟏𝟎

𝑳 = 𝟐, 𝟔𝟏𝟓

𝝀 = 𝟎, 𝟎𝟓

0 500 500 500 500 500 0,25 224 170 150 106 84,1 0,50 71,2 48,2 41,8 31,3 28,8 0,75 28,4 20,1 18,2 15,9 16,4 1,00 14,3 11,1 10,5 10,3 11,4 1,50 5,9 5,5 5,5 6,1 7,1 2,00 3,5 3,6 3,7 4,4 5,2 2,50 2,5 2,7 2,9 3,4 4,2 3,00 2,0 2,3 2,4 2,9 3,5 4,00 1,4 1,7 1,9 2,2 2,7

Tabela 9: ARL vrednosti za nekoliko EWMA kontrolnih karata

EWMA kontrolna karta je veoma efikasna kod malih pomeraja u procesu. Da bi se otkrili ti mali

pomeraji savetuje se korišćenje manjih vrednosti za 𝜆. U praksi dobro funkcionišu vrednosti za 𝜆

u intervalu 0,05 ≤ 𝜆 ≤ 0,25, pri čemu se 𝜆 = 0,05, 𝜆 = 0,10 i 𝜆 = 0,20 najčešće koriste. Takođe

je, u praksi, otkriveno da uobičajene tri sigma granice (kod kojih je 𝐿 = 3), funkcionišu prilično

dobro, posebno za velike vrednosti 𝜆. Međutim, kada je 𝜆 malo, recimo 𝜆 ≤ 0,01, pogodnije je

smanjiti širine granica koristeći vrednost za 𝐿 između 2,6 i 2,8. Podsetimo se da smo u primeru 2

koristili 𝜆 = 0,1 i 𝐿 = 2,7. Očekujemo da će ovaj izbor parametara rezultirati ARL vrednošću

𝐴𝑅𝐿0 ≃ 500 u stanju pod kontrolom i ARL vrednošću 𝐴𝑅𝐿1 = 10,3 za detektovanje pomeraja

srednje vrednosti od jedne standardne devijacije. Prema tome, ovaj dizajn je aproksimativno

ekvivalentan kontrolnoj karti kumulativnih suma sa parametrima ℎ = 5 i 𝑘 =1

2.

Proučavanjem EWMA kontrolnih karata se bavio i Hunter 1989. godine. On je predložio da se 𝜆

izabere tako da se težina data trenutnim i prethodnim opservacijama poklapa što je moguće

više sa težinama koje su date opservacijama na Shewhartovoj kontrolnoj karti uz pravila

Western Electrica1. Na takav način se dolazi do preporučene vrednosti 𝜆 = 0,4. Ako je 𝐿 =

3,054, onda, na osnovu tabele 9, očekujemo da ARL vrednost u stanju pod kontrolom bude

𝐴𝑅𝐿0 = 500, a da ARL vrednost koja će otkriti pomeraj srednje vrednosti od jedne standardne

devijacije bude 𝐴𝑅𝐿1 = 14,3.

1 Western Electric je predložio skup pravila za detekciju neslučajnog ponašanja procesa, tj. signala za

izlazak procesa van kontrole:

1. jedna tačka izvan kontrolnih granica

2. dve od tri uzastopne tačke izvan granica upozorenja (2 sigma granica)

3. četiri od pet uzastopnih tačaka izvan 1 sigma pojasa od centralne linije

4. osam uzastopnih tačaka sa jedne strane centralne linije.

39

Prilikom praćenja EWMA kontrolne karte sa malom vrednošću 𝜆, može se desiti da je

eksponencijalno ponderisana pokretna sredina sa jedne strane centralne linije, a da se pomeraj

srednje vrednosti javio sa suprotne strane. Verovatno će, tada, EWMA kontrolna karta

odreagovati na pomeraj tek nakon nekoliko trenutaka, upravo zbog male vrednosti pondera 𝜆.

Ova pojava se naziva efekat inercije i može smanjiti efektivnost u detektovanju pomeraja na

EWMA kontrolnoj karti.

Efekat inercije kod različitih tipova kontrolnih karata su, 2005. godine, istraživali Woodall i

Mahmoud. Oni su definisali otpornost signala (signal resistance-SR) kontrolne karte kao

najveće standardizovano odstupanje srednje vrednosti uzorka od ciljne vrednosti. Kod

Shewhartove �̅� karte, otpornost signala je 𝑆𝑅(�̅�) = 𝐿 tj. množilac koji se koristi za dobijanje

kontrolnih granica. Očigledno je da je tada otpor signala konstantan. Za EWMA kontrolnu kartu,

otpornost signala se definiše kao

𝑆𝑅(𝐸𝑊𝑀𝐴) =𝐿√ 𝜆

2 − 𝜆− (1 − 𝜆)𝑤

𝜆,

gde je 𝑤 vrednost EWMA statistike. Ukoliko EWMA kontrolna karta ima asimptotske granice,

onda će maksimalna vrednost otpornosti signala biti 𝐿√(2 − 𝜆) 𝜆⁄ . Ovi rezultati se primenjuju za

svaku veličinu uzorka jer su dati u smislu pomeraja izraženih u standardnim devijacijama.

Možemo uočiti da otpornost signala EWMA kontrolne karte zavisi od vrednosti koja je izabrana

za 𝜆. S obzirom da mala vrednost za 𝜆 obezbeđuje dobre ARL performanse u detektovanju

malih pomeraja, uvek želimo da upotrebimo EWMA kontrolnu kartu sa što manjim 𝜆. Međutim,

upotreba manjih vrednosti za 𝜆 će dovesti do većih vrednosti za maksimalnu otpornost signala.

Zbog toga su, Woodall i Mahmoud preporučili da se otpornost signala neutrališe korišćenjem

Shewhartove kontrolne karte zajedno sa EWMA kontrolnom kartom (posebno ako je 𝜆 malo).

Oni su pošli od činjenice da EWMA kontrolna karta dobro funkcioniše protiv malih pomeraja, ali

ne reaguje na velike pomeraje tako brzo kao Shewhartova karta. Došli su do zaključka da

kombinacija Shewhartove kontrolne karte sa EWMA kontrolnom kartom predstavlja dobar način

da se dodatno poboljša osetljivost procedure za velike pomeraje, bez žrtvovanja sposobnosti

brzog detektovanja malih pomeraja. Zato su kombinovane Shewhart-EWMA kontrolne karte

efikasne i za male i za velike pomeraje. Prilikom upotrebe ovakvih karti, korisno je koristiti

kontrolne granice koje su šire od uobičajenih granica na Shewhartovoj karti (recimo, 3,25𝜎 ili

čak 3,5𝜎). Na istoj karti se ucrtavaju vrednosti 𝑥𝑖 (ili �̅�𝑖) i EWMA statistika 𝑧𝑖, kao i Shewhartove i

EWMA kontrolne granicame. Time se dobija jedna karta za kombinovanu proceduru kontrole.

Prilikom ucrtavanju na kartu, mogu se koristiti različite boje ili simboli za dva seta kontrolnih

granica i statistika.

40

2.3 Robusnost eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina

prilikom odstupanja od normalne raspodele

Shewhartova kontrolna karta za pojedinačne opservacije je veoma osetljiva na odstupanja od

normalne raspodele. Njena osetljivost se ogleda u tome da je stvarna ARL vrednost u stanju

pod kontrolom znatno manja od “planirane“ ili očekivane vrednosti koja je dobijena na osnovnu

pretpostavke o normalnoj raspodeli. Borror, Montgomery i Runger su 1999. godine uporedili

performanse ARL vrednosti Shewhartove kontrolne karte i EWMA kontrolne karte u slučaju

kada podaci odstupaju od normalne raspodele. Oni su koristili gama raspodelu da bi predstavili

slučaj asimetrične raspodele i 𝑡 raspodelu za predstavljanje simetrične raspodele sa težim

repovima od normalnih. U tabelama 10 i 11 su predstavljene ARL vrednosti koje se dobijaju

prilikom korišćenja ovih raspodela.

EWMA Shewhart

𝝀 0,05 0,1 0,2 1

𝑳 2,492 2,703 2,86 3,00

Normal 370,4 370,8 370,5 370,4 Gama (4, 1) 372 341 259 97 Gama (3, 1) 372 332 238 85 Gama (2, 1) 372 315 208 71 Gama (1, 1) 369 274 163 55 Gama (0.5, 1) 357 229 131 45 Tabela 10: ARL vrednosti za proces u stanju pod kontrolom za EWMA kontrolne karte i za individualne

kontrolne karte za različite gama raspodele

EWMA Shewhart

𝝀 0,05 0,1 0,2 1

𝑳 2,492 2,703 2,86 3,00

Normal 370,4 370,8 370,5 370,4 𝒕𝟓𝟎 369 365 353 283

𝒕𝟒𝟎 369 363 348 266

𝒕𝟑𝟎 368 361 341 242

𝒕𝟐𝟎 367 355 325 204

𝒕𝟏𝟓 365 349 310 176

𝒕𝟏𝟎 361 335 280 137

𝒕𝟖 358 324 259 117

𝒕𝟔 351 305 229 96

𝒕𝟒 343 274 188 76 Tabela 11: ARL vrednosti za proces u stanju pod kontrolom za EWMA kontrolne karte i za individualne

kontrolne karte za različite t raspodele

U ovim tabelama se mogu uočiti dve bitne stvari. Prvo ćemo posmatrati ARL vrednosti za

Shewhartovu kontrolnu kartu za pojedinačne opservacije. Možemo uočiti da se ARL vrednost u

stanju pod kontrolom dosta smanjila čak i kada raspodele umereno odstupaju od normalne

raspodele. To drastično povećava stopu lažnih alarma. Drugo što možemo primetiti u tabeli je

da EWMA kontrolna karta sa parametrom 𝜆 = 0,05 ili 𝜆 = 0,10 i adekvatno odabranim

kontrolnim granicama veoma dobro funkcioniše i kada je reč o normalnim raspodelama i kada

41

raspodele odstupaju od normalne raspodele. Konkretno, kada je 𝜆 = 0,05 i 𝐿 = 2,492, stvarne

ARL vrednosti za EWMA kontrolnu kartu su u granicama od približno 8% od planirane ARL

vrednosti za normalnu raspodelu u stanju pod kontrolom koja iznosi 370, osim u najekstremnijim

slučajevima.

Možemo zaključiti da su performanse pri otkrivanju pomeraja za EWMA kontrolne karte

uniformno superiornije od Shewhartove kontrolne karte za pojedinačna merenja. Takođe, male

vrednosti za 𝜆 su poželjne jer čine EWMA kontrolnu kartu prilično neosetljivom na odstupanje

od normalne raspodele u procesu. Zato je pravilno dizajnirana EWMA kontrolna karta za

pojedinačna merenja skoro savršena neparametarska procedura. Ona se preporučuje u

širokom domenu primena i posebno je povoljna za praćenje procesa u II fazi.

2.4 EWMA kontrolna karta za podatke sa Poissonovom raspodelom

Adekvatno dizajnirana kontrolna karta sa eksponencijalno ponderisanim pokretnim sredinama

se može koristiti kao osnova za kontrolnu kartu za podatke koji potiču iz Poissonove raspodele.

Borror, Champ i Rigdon su 1998. godine predstavili kako se može dizajnirati ta kontrolna karta.

Ako je 𝑥𝑖 realizacija slučajne promenljive sa Poissonovom raspodelom, onda eksponencijalno

ponderisana pokretna sredina ostaje nepromenjena:

𝑧𝑖 = 𝜆𝑥𝑖 + (1 − 𝜆)𝑧𝑖−1

gde je 𝑧0 = 𝜇0 ocena srednje vrednosti u stanju pod kontrolom. Kontrolne granice EWMA

kontrolne karte su:

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 + 𝐴𝑈√𝜆𝜇0

2 − 𝜆[1 − (1 − 𝜆)2𝑖]

𝐶𝐿 = 𝜇0

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 − 𝐴𝐿√𝜆𝜇0

2 − 𝜆[1 − (1 − 𝜆)2𝑖].

𝐴𝑈 i 𝐴𝐿 su faktori gornje i donje kontrolne granice, redom. Ovi faktori se uglavnom biraju tako da

važi 𝐴𝑈 = 𝐴𝐿 = 𝐴.

Borror, Champ i Rigdon su razmatrali performanse ARL vrednosti, za EWMA kontrolnu kartu sa

Poissonovom raspodelom, kao funkciju od 𝜆 i 𝐴, za različite ocene srednje vrednosti 𝜇0. Došli su

do zaključka da se, nakon odabira vrednosti za 𝜇0 i 𝜆, može izabrati vrednost 𝐴 koja daje

željene ARL vrednosti u stanju pod kontrolom. Ovi autori smatraju da EWMA kontrolna karta sa

Poissonovom raspodelom ima znatno bolju sposobnost da otkrije specijalne uzroke nego

Shewhartova 𝑐 karta i zato ima širu primenu u praksi.

42

2.5 EWMA kontrolna karta kao prediktor nivoa procesa

Sa stanovišta statističke kontrole procesa, EWMA kontrolna karta je ekvivalentna CUSUM

kontrolnoj karti u smislu sposobnosti praćenja procesa i otkrivanju prisustva specijalnih uzroka

zbog kojih se javlja pomeraj u procesu. Međutim, EWMA kontrolna karta ima mnogo šire

tumačenje jer može prognozirati gde će srednja vrednost procesa biti u narednom vremenskom

periodu. Tačnije, eksponencijalno ponderisana pokretna sredina se može koristiti kao osnova za

dimamički algoritam za kontrolu procesa. U tom slučaju će statistika 𝑧𝑖 predstavljati

prognoziranu vrednost za položaj procesa 𝜇 u trenutku 𝑖 + 1. Kontrolne granice na EWMA karti

se mogu koristiti za signaliziranje kada je neophodno prilagođavanje, a razlika između ciljne i

predviđene srednje vrednosti 𝜇𝑖+1 se može koristiti za određivanje koliko je neophodno

podešavanje.

Izvesna modifikacija eksponencijalno ponderisanih pokretnih sredina je potrebna da bi se

povećala sposobnost predviđanja položaja procesa. Pretpostavimo da srednja vrednost prati

neki trend ili se polako udaljava od ciljne vrednosti. U tom slučaju se mogu poboljšati neka

svojstva EWMA kontrolnih karata koja će unaprediti predviđanje položaja procesa. Prvenstveno,

primetimo da se uobičajena EWMA vrednost može zapisati na sledeći način:

𝑧𝑖 = 𝜆𝑥𝑖 + (1 − 𝜆)𝑧𝑖−1

= 𝑧𝑖−1 + 𝜆(𝑥𝑖 − 𝑧𝑖−1).

Ukoliko posmatramo 𝑧𝑖−1 kao predviđanje srednje vrednosti procesa u trenutku 𝑖, onda možemo

posmatrati 𝑥𝑖 − 𝑧𝑖−1 kao grešku predviđanja 𝑒𝑖 za trenutak 𝑖. Tada je

𝑧𝑖 = 𝑧𝑖−1 + 𝜆𝑒𝑖 .

Dakle, vrednost EWMA za 𝑖-ti trenutak se može predstaviti kao suma vrednosti EWMA za 𝑖 − 1

trenutak i greške predviđanja srednje vrednosti u 𝑖-tom trenutku koja je ponderisana konstantom

𝜆. Sada dodajemo još jedan sabirak u poslednju jednačinu

𝑧𝑖 = 𝑧𝑖−1 + 𝜆1𝑒𝑖 + 𝜆2 ∑ 𝑒𝑗

𝑖

𝑗=1

.

Konstante 𝜆1 i 𝜆2 predstavljaju ponder greške u trenutku 𝑖 i ponder sume akumuliranih grešaka

do trenutka 𝑖, respektivno. Ako označimo sa ∇𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 − 𝑒𝑖−1 prvi diferencijal greške, dolazimo do

konačne modifikacije vrednosti EWMA:

𝑧𝑖 = 𝑧𝑖−1 + 𝜆1𝑒𝑖 + 𝜆2 ∑ 𝑒𝑗

𝑖

𝑗=1

+ 𝜆3∇𝑒𝑖.

U ovoj jednačini možemo primetiti da eksponencijalno ponderisanu pokretnu sredinu za 𝑖-ti

trenutak (koja je prognoza srednje vrednosti procesa za 𝑖 + 1 trenutak) figuriše izraz koji je

proporcionalan grešci, izraz koji se odnosi na sumu grešaka i izraz koji je proporcionalan prvom

diferencijalu greške. Ova tri izraza se mogu posmatrati kao proporcijalno, integrabilno i

43

diferencijalno prilagođavanje. Parametri 𝜆1, 𝜆2 i 𝜆3 se biraju tako da daju najbolje performanse

predviđanja.

Kada se statistika EWMA 𝑧𝑖 posmatra kao predviđanje srednje vrednosti procesa u trenutku 𝑖 +

1, onda se EWMA statistika ucrtava za jedan period unapred. Konkretno, vrednost 𝑧𝑖 se ucrtava

na kontrolnu kartu u vremenskom trenutku 𝑖 + 1. Ovo omogućava analitičaru da uoči kolika je

razlika između trenutne opservacije i ocene trenutne srednje vrednosti procesa. Ovakav pristup

ima značajnu ulogu u aplikacijama za statističku kontrolu kvaliteta gde srednja vrednost „luta“

tokom vremena.

Predviđanje srednje vrednosti procesa na osnovu pređašnjeg ponašanja je korisno u

kompjuterski integrisanoj proizvodnji, gde se koriste senzori za merenje svake proizvedene

jedinice. Ukoliko se predviđanje srednje vrednosti procesa razlikuje od ciljne vrednosti, onda

treba izvršiti neophodna prilagođavanja procesa. Ako prilagođavanja procesa vrši operater, on

mora biti oprezan jer ukoliko se često vrše podešavanja može doći do povećanja varijabilnosti

procesa.

44

3 Kontrolna karta pokretnih sredina

Za razliku od CUSUM i EWMA kontrolnih karata, koje su vremeski ponderisane, ponekad mogu

biti od koristi i kontrolne karte koje se zasnivaju na jednostavnoj, ne ponderisanoj pokretnoj

sredini.

Prikazaćemo kako se konstruiše kontrolna karta pokretnih sredina. Posmatrajmo individualne

opservacije i označimo ih sa 𝑥1, 𝑥2, … . Pokretna sredina reda 𝑤 se definiše kao

𝑀𝑖 =𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1 + ⋯ + 𝑥𝑖−𝑤+1

𝑤.

Možemo uočiti da se, prilikom izračunavanja pokretne sredine u bilo kom trenutku 𝑖, zanemaruje

najstarija opservacija iz skupa podataka, a najnovija opservacija se dodaje. Varijansa pokretne

sredine 𝑀𝑖 je

𝑉(𝑀𝑖) =1

𝑤2∑ 𝑉(𝑥𝑗)

𝑖

𝑗=𝑖−𝑤+1

=1

𝑤2∑ 𝜎2

𝑖

𝑗=𝑖−𝑤+1

=𝜎2

𝑤.

Ukoliko 𝜇0 označava ciljnu vrednost srednje vrednosti koja se koristi kao centralna linija

kontrolne karte, možemo definisati tri-sigma kontrolne granice za 𝑀𝑖 na sledeći način:

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 +3𝜎

√𝑤

(10)

i

Sada ćemo opisati postupak kontrole procesa uz pomoć pokretnih sredina. Svaki put kada

postane dostupna nova opservacija 𝑥𝑖, za 𝑖 = 1, 2, 3, …, izračunava se vrednost pokretne sredine

𝑀𝑖. Dobijena vrednost 𝑀𝑖 se ucrtava na kontrolnu kartu zajedno sa gornjim i donjim kontrolnim

granicama, koje se dobijaju na osnovu jednačina (10) i (11). Nakon toga se donosi zaključak da

je proces u stanju izvan kontrole ako 𝑀𝑖 premašuje kontrolne granice. U suprotnom, donosi se

zaključak da je proces u stanju pod kontrolom.

Bitno je napomenuti da su veličina pomeraja koji nas interesuje i 𝑤 obrnuto povezani. To znači

da će se manji pomeraji efikasnije zaštititi kada su pokretne sredine većeg reda, na uštrb brzog

odgovora za velike pomeraje.

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 −3𝜎

√𝑤.

(11)

45

Primer 3: Kontrolna karta pokretnih sredina

U ovom primeru ćemo nacrtati kontrolnu kartu pokretnih sredina za podatke iz tabele 1.

Koristićemo da je 𝑤 = 5.

U tabeli 12 su prikazane opservacije 𝑥𝑖 u trenucima 1 ≤ 𝑖 ≤ 30. Izračunavamo pokretnu srednju

vrednost reda 5 uz pomoć formule

𝑀𝑖 =𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖−2 + 𝑥𝑖−3 + 𝑥𝑖−4

5,

za trenutke 𝑖 ≥ 5. Za trenutke 𝑖 < 5, 𝑀𝑖 je srednja vrednost opservacija koje su do tog trenutka

očitane. Vrednosti ovih pokretnih sredina su date u tabeli 12.

Opservacija 𝒊 𝒙𝒊 𝑴𝒊 Opservacija 𝒊 𝒙𝒊 𝑴𝒊

1 9,45 9,45 16 9,37 10,166

2 7,99 8,72 17 10,62 9,996

3 9,29 8,91 18 10,31 9,956

4 11,66 9,5975 19 8,52 9,78

5 12,16 10,11 20 10,84 9,932

6 10,18 10,256 21 10,90 10,238

7 8,04 10,266 22 9,33 9,98

8 11,46 10,7 23 12,29 10,376

9 9,20 10,208 24 11,50 10,972

10 10,34 9,844 25 10,60 10,924

11 9,03 9,614 26 11,08 10,96

12 11,47 10,3 27 10,38 11,17

13 10,51 10,11 28 11,62 11,036

14 9,40 10,15 29 11,31 10,998

15 10,08 10,098 30 10,52 10,982

Tabela 12: Karta pokretnih sredina za primer 3

Kontrolne granice za kontrolnu kartu pokretnih sredina možemo dobiti iz jednačina (10) i (11).

Pošto znamo da je 𝜇0 = 10 i 𝜎 = 1, kontrolne granice za 𝑀𝑖, gde je 𝑖 ≥ 5, iznose

𝑈𝐶𝐿 = 𝜇0 +3𝜎

√𝑤 = 10 +

3(1)

√5 = 11,34

i

𝐿𝐶𝐿 = 𝜇0 −3𝜎

√𝑤 = 10 −

3(1)

√5 = 8,66.

Za trenutke 0 < 𝑖 < 5, kontrolne granice iznose 𝜇0 ± 3𝜎 √𝑖⁄ . Alternativni postupak, kojim se

izbegava upotreba specijalnih kontrolnih granica za trenutke 𝑖 < 𝑤, podrazumeva da se koristi

obična Shewhartova kontrolna karta sve dok se ne očita bar 𝑤 srednjih vrednosti uzoraka.

46

Kontrolna karta pokretnih sredina je prikazana na slici 9. Primetimo da nijedna tačka ne prelazi

kontrolne granice. Uočimo da su, u početnim trenucima 𝑖 < 𝑤, kontrolne granice šire od

konstantnih vrednosti koje dostignu nakon trenutka 𝑤. Pokretne sredine, koje su na rastojanju

manjem od 𝑤 trenutaka, su vrlo korelirane, što često komplikuje interpretaciju šablona na

kontrolnoj karti. To se lako uočava ispitivanjem slike 9.

Kontrolna karta pokretnih sredina je efikasnija od Shewhartove kontrolne karte prilikom

otkrivanja malih pomeraja u procesu. Međutim, ona nije toliko efikasna protiv malih pomeraja

kao što su efikasne CUSUM ili EWMA kontrolne karte, ali je ona jednostavnija za primenu.

7

8

9

10

11

12

13

1 5 9 13 17 21 25 29

MA

Opservacija

Mi

UCL

CL

LCL

Slika 9: Kontrolna karta pokretnih sredina za 𝒘 = 𝟓 iz primera 3

47

Lista slika

Slika 1: Shewhartova kontrolna karta za podatke iz tabele 1 ...................................................... 6

Slika 2: Karta kumulativnih suma iz kolone (c) tabele 1 .............................................................. 8

Slika 3: CUSUM karta procesa koji je izašao van kontrole za 𝐦 = 𝟓𝟎 .......................................12

Slika 4: CUSUM karta procesa sa sporim linearnim trendom srednje vrednosti nakon 50.

opservacije ................................................................................................................................13

Slika 5: Karta kumulativnih suma, dobijena u program minitab, za primer 1 ..............................17

Slika 6:CUSUM karta gde je V-maska primenjena na 80. opservaciju .......................................19

Slika 7: CUSUM karta sa V-maskom za praćenje srednje vrednosti sa pomerajem ..................20

Slika 8: EWMA kontrolna karta za primer 2 ...............................................................................37

Slika 9: Kontrolna karta pokretnih sredina za 𝒘 = 𝟓 iz primera 3 ..............................................46

48

Lista tabela

Tabela 1: Podaci za primer kumulativnih suma .......................................................................... 6

Tabela 2: Tabela kumulativnih suma za primer 1 ......................................................................16

Tabela 3: Vrednosti za ARL, kao funkcije od k i h, koje odgovaraju kumulativnoj sumi za

pomeraje srednje vrednosti standardizovanih normalnih promenljivih .......................................24

Tabela 4: Vrednosti h, kao funkcije od k i ARL, koje odgovaraju kumulativnoj sumi za pomeraje

srednje vrednosti standardizovanih normalnih promenljivih .......................................................25

Tabela 5: Podaci koji omogućavaju poređenje kumulativne sume individualnih opažanja i

kumulativne sume racionalnih podgrupa ...................................................................................29

Tabela 6: ARL vrednosti za kombinovane CUSUM-Shewhart karte, dobijene na osnovu

parametara k=1/2 i h=5 .............................................................................................................31

Tabela 7: ARL vrednosti za različite raspodele koje koriste dizajn za normalno raspodeljene

podatke. Vrednost nominalne ARL vrednosti je 1000 ................................................................32

Tabela 8: Izračunavanja vrednosti EWMA za primer 2 ..............................................................35

Tabela 9: ARL vrednosti za nekoliko EWMA kontrolnih karata ..................................................38

Tabela 10: ARL vrednosti za proces u stanju pod kontrolom za EWMA kontrolne karte i za

individualne kontrolne karte za različite gama raspodele ...........................................................40

Tabela 11: ARL vrednosti za proces u stanju pod kontrolom za EWMA kontrolne karte i za

individualne kontrolne karte za različite t raspodele ..................................................................40

Tabela 12: Karta pokretnih sredina za primer 3 .........................................................................45

49

Literatura

[1.] Borror, C. M., C. W. Champ, S. E. Rigdon (1998). “Poisson EWMA Control

Charts,” Journal of Quality Technology

[2.] Borror, C. M., D. C. Montgomery, G. C. Runger (1999). “Robustness of the

EWMA Control Chart to Nonnormality”, Journal of Quality Technology

[3.] Drenovac, Aleksandar, Bratislav i Dušan (2013) – ,,Kontrolne karte kao sredstvo

statističke kontrole procesa”, stručni članak, vojnotehnički glasnik

[4.] Hawkins, D. M. (1981). “A CUSUM for a Scale Parameter,” Journal of Quality

Technology

[5.] Hawkins, D. M. (1993). “Cumulative Sum Control Charting: An Underutilized SPC

Tool,” Quality Engineering

[6.] Hawkins, D. M., D. H. Olwell (1998). “Cumulative Sum Charts and Charting for

Quality Improvement“, Springer Verlag, New York, NY

[7.] Hawkins, D. M., D. H. Olwell, www.stat.umn.edu/cusum/

[8.] Hunter, J. S. (1989). “A One-Point Plot Equivalent to the Shewhart Chart with

Western Electric Rules”, Quality Engineering

[9.] Lucas, J. M. (1982). “Combined Shewhart-CUSUM Quality Control Schemes,”

Journal of Quality Technology

[10.] Lucas, J. M., M. S. Saccucci (1990). “Exponentially Weighted Moving Average

Control Schemes: Properties and Enhancements,” Technometrics

[11.] Lucas, J. M., R. B. Crosier (1982). “Fast Initial Response for CUSUM Quality

Control Schemes”, Technometrics

[12.] M. Jeya Chandra (2001). “Statistical Quality Control“, The Pennsylvania State

University, CRC Press LLC, Florida

[13.] MacGregor, J. F., T. J. Harris (1993). “The Exponentially Weighted Moving

Variance,” Journal of Quality Technology

[14.] Montgomery C. Douglas (2009). “Introduction to statistical quality control”,

Arizona State University, John Wiley & Sons, Jefferson City

[15.] Page, E. S. (1954). “Continuous Inspection Schemes,” Biometrics

[16.] Rhoads, T. R., D. C. Montgomery, C. M. Mastrangelo (1996). “Fast Initial

Response Scheme for the EWMA Control Chart,” Quality Engineering

[17.] Roberts, S. W. (1959). “Control Chart Tests Based on Geometric Moving

Averages,” Technometrics

[18.] Steiner, S. H. (1999). “EWMA Control Charts with Time-Varying Control Limits

and Fast Initial Response,” Journal of Quality Technology

[19.] Woodall, W. H., M. A. Mahmoud (2005), “The Inertial Properties of Quality

Control Charts”, Technometrics

50

Biografija

Jovanović Milica je rođena 05. decembra 1992. godine u Nišu. Osnovnu školu „Čegar“ u

Nišu je završila 2007. godine. Iste godine upisuje „Pravno poslovnu školu“ u Nišu, smer poslovni

administrator. Srednju školu je završila 2011. godine.

Osnovne akademske studije upisala je školske 2011./2012. godine na Departmanu za

matematiku Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu, koje je završila 2016. godine. Iste godine

upisala je master akademske studije, takođe na Departmanu za matematiku Prirodno-

matematičkog fakulteta u Nišu, studijski program: Verovatnoća, statistika i finansijska

matematika. Poslednji ispit polaže januara 2019. godine i time stiče pravo na odbranu master

rada.