Komplexe Rotation
Korbinian Munster
30.05.07
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Ubersicht
MotivationResonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Theorie der komplexen Rotationmathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion
Anwendungen und ErgebnisseSpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Atomare Resonanzen/Autoionisation
Was sind atomare Resonanzen/Autoionisation?
Ein resonanter Zustand (Autoionisationszustand) ist einmetastabiler Zustand, bei dessen Zerfall ein oder mehrereElektronen ionisiert werden.⇒ Autoionisation
Grund fur die Metastabilitat und Ionisation des ElektronsDie Kontinuumszustande koppeln mit den ’gebundenenZustanden’.
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Veranschaulichung: Resonanzen
Abbildung: Resonanzen zuPotential Vk
Abbildung: Tunneleffekt
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Beispiele fur atomare Resonanzen
Heliumatom
H =p2
1 + p22
2− 2
r1− 2
r2+
1
r12= H1 + H2 +
1
r12(1)
⇒qualitatives Spektrum: doppel-te Rydbergserie ⇒doppelt ange-regte Zustande sind resonant (we-gen ee-Wechselwirkungsterm)
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Beispiele fur atomare ResonanzenWasserstoffatom im konstanten Magnetfeld
H =p2
2− 1
r+
γ
2lz︸︷︷︸
lin. Zeemanterm
+γ2
8ρ2︸ ︷︷ ︸
quad . Zeemanterm
(2)
= HH−Atom + VHarm.Osz. +γ
2lz︸︷︷︸
const.
(3)
(B zeigt in z-Richtung und γ = B/Bc mit Bc = 2.35 · 105T )⇒ qualitatives (asymptotisch fur große r) Spektrum:γ(N + 1/2) + Rydbergserie⇒Fur N ≥ 1 uberlappt die zugehorige Rydbergserie mit demKontinuum von N − 1,N − 2, ... und alle Zustande zu diesem Nwerden durch die Coulombwechselwirkung zu resonantenZustanden.
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Beispiele fur atomare Resonanzen
Wasserstoffatom im konstanten Magnetfeld
6E
N=0
Y0. Landauschwelle
N=1
Y1. L.S.
N=2
Y2. L.S.
Abbildung: Qualitatives SpektrumAbbildung: Potentiale zuunterschiedlichem k(=N)
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Beispiele fur atomare Resonanzen
Wasserstoffatom im konstanten elektrischen Feld
H =p2
2− 1
r+ eEz (4)
Spektrum des elektrischenPotentials ist kontinuierlichuber die ganze reelle Achse⇒alle Zustande werden
resonant
Abbildung: Potential Wasserstoffim konst. E-Feld
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Energie von ResonanzenResonanzen haben eine endliche Lebensdauer, d.h. dieWellenfunktion fallt exponentiell mit der Zeit ab.⇒ E = ER − ıΓ/2 ∈ C und Fano Profile im Wirkungsquerschnitt:
Fq(E ) =(qΓ/2 + E − ER)2
(Γ/2)2 + (E − ER)2
Abbildung: Fano-Profile
Abbildung: Spektrum
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
Resonanzen: Definition und BeispieleResonanzen: Eigenschaften und Problematik
Problem bei der Berechnung von Resonanzen
H hermitesch ⇒ EW sind immer reell⇒ Fortsetzung des EW-Problems des Hamilton-Operators in diekomplexe (unter) Zahlenebene⇒ komplexe Rotation!
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
mathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion
Mathematische Formulierung der komplexen Rotation
Definitionen
x → eıθx
p → e−ıθp
Darstellung uber Operator (nicht unitar):
R(θ) ≡ e−θ/2(px+xp)
eıθx = R(θ) · x · R(−θ)
e−ıθp = R(θ) · p · R(−θ)
Hθ = R(θ) · H · R(−θ)
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
mathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion
Eigenschaften des Spektrums des rotiertenHamiltonoperators
Eigenwertgleichung: Hθ|Ψjθ〉 = Ejθ|Ψjθ〉I Das diskrete Spektrum von H ist im diskreten Spektrum von
Hθ enthalten. Begrundung: H|Ψ〉 = E |Ψ〉 ⇒R(θ)HR(−θ)R(θ)|Ψ〉 = Hθ|Ψθ〉 = R(θ)E |Ψ〉
I Das kontinuierliche Spektrum von Hθ ist um den Winkel 2θ indie komplexe unter Halbebene rotiert. Begrundung:Kontinuum (freies Teilchen, d.h. ebene Welle):
eıkx → eıkeıθx = eık
′x mit k ′ = keıθ und somit:E = k2/2 = e−2ıθk ′2/2⇒ Rotation des Kontinuums um 2θ
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
mathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion
Eigenschaften des Spektrums des rotiertenHamiltonoperators
I Die zusatzlichen Eigenwerte im diskreten Spektrum von Hθsind die komplexen Energiewerte der Resonanzen. Sie liegenzwischen dem rotierten Kontinuum und der reellen Achse undsind unabhangig von θ (fur θ ∈ [0, π/4]) unter der Annahmedass sie aufgedeckt wurden.
I Ej ,−θ = Ej ,θ und |Ψj ,−θ〉 = |Ψj ,θ〉
Dies ist gultig fur ’dilatations-analytische’ Operatoren d.h. inAbhangigkeit vom Potential (1/r , 1/r2, r , r2, ...).
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
mathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion
Eigenschaften der Wellenfunktionen des rotiertenHamiltonoperators
Definiere modifiziertes Skalarprodukt 〈φθ|Ψθ〉, da Hθ nichthermitesch
I Orthogonalitat: 〈Ψi ,θ|Ψj ,θ〉 = δij
I Vollstandigkeit:∑
j |Ψj ,θ〉〈Ψj ,θ| = 1
I resonante Zustande werden quadratintegrabelBegrundung (uber Streuung): Partialwellenstreuung:ul = c(fl(k , r) + (−1)l+1Sl(k)fl(−k , r)), Resonanz ⇒ Sl(k)hat Pol und E = |E |e−ı2β komplex, d.h. k = |k |e−ıβ
⇒ ul ∝ fl(−k , r) ∝r→∞eıkr
→R(θ)eı|k|re
ı(θ−β), also
ulθ ∝ e−|k|rsin(θ−β) und es gilt θ > β
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
mathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion
Green’s Funktion
Definition der Green’s Funktion (Resolvente)
G (E ) = (E − H)−1
G±(E ) = (E ± ıη − H)−1
⇒ |ΨE 〉〈ΨE | =1
2πı(G−(E )− G+(E )) (lim η → 0)
G−: Fortsetzung in die obere Halbebene⇒ G−(E ) = R(θ)(E − ıη − H−θ)−1R(−θ)G+: Fortsetzung in die untere Halbebene⇒ G+(E ) = R(−θ)(E + ıη − Hθ)−1R(θ)
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
mathematische DefinitionenSpektrum, Wellenfunktionen und Green’s Funktion
Green’s Funktion
⇒ |ΨE 〉〈ΨE | =1
2πı(R(θ)G−θ(E )R(−θ)− R(−θ)Gθ(E )R(θ)) (5)
die Green’s Funktion dargestellt in der Eigenbasis von Hθ:
Gθ(E ) =∑
j
|Ψjθ〉〈Ψjθ|E − Ejθ
(6)
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Spektrum des Heliumatoms
Abbildung: Berechnetes Spektrum
Abbildung: Qualitatives Spektrum
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Spektrum des Wasserstoffatoms im konstanten Magnetfeld
Abbildung: Berechnetes Spektrum
6
Re(E)
N=0
Y0. Landauschwelle
N=1
Y1. L.S.
N=2
Y2. L.S.
Abbildung: Qualitatives Spektrum
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Berechnung des Photoionisations-Wirkungsquerschnitts
Nach Fermi’s goldener Regel gilt fur den Wirkungsquerschnitt inDipolnaherung:
σ(ω) =4π2ω
c|〈ΨE |T |g〉|2 =
4π2ω
c〈g |T |ΨE 〉〈ΨE |︸ ︷︷ ︸
Green′s Funktion
T |g〉
Mit Gleichung 5 und 6 lasst sich der Wirkungsquerschnittschreiben als:
σ(ω) =4πω
cIm
∑j
〈Ψjθ|R(θ)T |g〉2
Ejθ − Eg − ~ω
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Wirkungsquerschnitt: Wasserstoffatom im Magnetfeld
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Wirkungsquerschnitt: Heliumatom
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Berechnung der Wellenfunktion
|ΨE |2 = 〈x| ΨE 〉〈ΨE︸ ︷︷ ︸Green′s Funktion
|x〉
mit der Definition der Green’s Funktion aus Gleichung 6 ergibt sichdann fur die Wellenfunktion:
⇒ |ΨE |2 =1
πIm
∑j
(Ψjθ(xeıθ))2
Ejθ − E
Korbinian Munster Komplexe Rotation
MotivationTheorie der komplexen Rotation
Anwendungen und Ergebnisse
SpektrenWirkungsquerschnittWellenfunktionen
Wellenfunktion im Heliumatom
Abbildung: Zee KonfigurationAbbildung: eZe Konfiguration
[1] [2]
Korbinian Munster Komplexe Rotation
Bibliographie
Harald Firedrich.Theoretical Atomic Physics.Springer, 2006.
Michael Reed and Barry Simon.Methods of Modern Mathematical Physics - IV Analysis ofOperators.Academic Press, 1978.
Korbinian Munster Komplexe Rotation
Danke fur ihre Aufmerksamkeit!
Korbinian Munster Komplexe Rotation
Top Related