Kompleksianalyysi
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
Sisältö
1. Kompleksiluvut
2. Funktiot
3. Differentiaalilaskentaa
4. Integrointi
5. Sarjat
6. Residylaskentaa
7. Diskreetti systeemi
2 / 43
Kompleksiluvut C
Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (x , y) ∈ R2
joukkona, jolle on määritelty
◮ Yhtäsuuruus: (x , y) = (u, v) ⇔ x = u ja y = v .
◮ Yhteenlasku: (x , y) + (u, v) = (x + u, y + v).
◮ Kertolasku:(x , y) · (u, v) = (x , y)(u, v) = (xu − yv , xv + yu).
Kompleksilukua (0, 1) merkitään symbolilla i, jota käytetäännimitystä imaginaariyksikkö.
Jokainen kompleksiluku zmerk.= (x , y) voidaan kirjoittaa muodossa
z = x + iy .
3 / 43
Kompleksilujen laskutoimitukset
Huomautus 1
Kun laskutoimitukset on määritelty kuten edellä, voidaan osoittaa,että reaalilukujen tutut laskusäännöt pätevät myöskompleksiluvuille. Esimerkiksi
◮ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) ja (z1z2)z3 = z1(z2z3) kaikillekompleksiluvuille z1, z2 ja z3 (summan ja tulon liitännäisyys)
◮ z + w = w + z ja zw = wz kaikille kompleksiluvuille z ja w(vaihdannaisuus).
Huomautus 2
Nyrkkisääntönä voidaan todeta, että kompleksiluvuilla lasketaankuten reaaliluvuilla, kunhan huomioidaan, että i2 = −1.
4 / 43
Terminologiaa
Kompleksiluvun z = x + iy
◮ konjugaatti (liittoluku): z = x − iy
◮ reaaliosa: Re z = x
◮ imaginaariosa: Im z = y
◮ itseisarvo (pituus): |z | = +√
x2 + y2, missä +-merkkiilmoittaa, että kyseessä on positiivinen neliöjuuri(kompleksiluvun juuri määritellään myöhemmin).
◮ käänteisluku: Kompleksiluvun z 6= 0 käänteisluku z−1 = 1
z
on yhtälön zw = 1 ratkaisu w .
5 / 43
Kompleksikonjugaatti geometrisesti
0 1 2
−2
−1
1
2
z = 2 + i
z = 2 − i
Kompleksiluvun konjugaattisaadaan peilaamalla luku reaa-liakselin suhteen, jolloin reaa-liosa säilyy samana ja imagi-naariosa muuttuu vastaluvuk-seen.
6 / 43
Kompleksikonjugaatti geometrisesti
Kuten edellä olevasta kuvasta näkyy, vastaa kompleksikonjugaatinottaminen kompleksiluvun z = x + iy (tai yhtälailla sitä vastaavanpaikkavektorin (x , y)) peilaamista reaaliakselin (x-akselin)suhteen.
7 / 43
Konjugaatin ominaisuuksia
Lause 1
Kompleksikonjugaatilla on seuraavat ominaisuudet
◮ z = z;
◮ z = z ⇔ z ∈ R;
◮ z + z = 2Re(z);
◮ z − z = 2iIm(z);
◮ zz = Re(z)2 + Im(z)2;
◮ z + w = z + w;
◮ zw = z · w.
8 / 43
Itseisarvon ominaisuuksia
Lause 2
Kompleksiluvun z itseisarvolle pätee
◮ |z | ≥ 0 (joten pituus-sana on järkevä),
◮ |z | = |z | (pituus säilyy konjugoinnissa),
◮ |zw | = |z ||w | (tulon pituus on pituuksien tulo),
◮ |Re z | ≤ |z |, |Im z | ≤ |z |,◮ zz = |z |2,◮ ||z | − |w || ≤ |z + w | ≤ |z |+ |w | (kolmioepäyhtälö).
9 / 43
Kompleksilukujen erotus ja osamäärä
Esim. 1
Osoita, että kompleksiluvun z = x + iy 6= 0 käänteisluku on
z−1 =x
x2 + y2+ i
−y
x2 + y2.
Nyt voidaan määritellä puuttuvat kaksi peruslaskutoimitusta, jotkaovat z ,w ∈ C
◮ Vähennyslasku: z − w := z + (−w). Lukua z − w sanotaanlukujen z ja w erotukseksi.
◮ Jakolasku: zw:= zw−1, kun w 6= 0. Lukua z
wsanotaan
lukujen z ja w osamääräksi.
10 / 43
Yksikköympyrä
Havainnollistamisessa ja muutenkin kompleksiluvuilla laskemisessaon avuksi peruskurssilta tuttu yksikköympyrä. Tarkastellaankompleksilukua z = x + iy , jolle x2 + y2 = 1, eli kyseessä onyksikköympyrällä oleva R
2:n piste (vektori) (x , y).Siirtymällä napakoordinaatteihin voidaan x- ja y -koordinaatitkirjoittaa muodossa x = cosα ja y = sinα, missä α on pisteen(vektorin) (x , y) ja positiivisen x-akselin välinen vaihekulma.
11 / 43
Yksikköympyrä
x
y
−1 −1
21
−1
−1
2
1
2
1
αsinα
cosα
Esimerkissä kulma α on 30◦
(π/6 radiaania). Kulman αsini, joka on punaisen viivanpituus, on
sinα = 1/2.
Pythagoraan lauseen mukaancos2 α+ sin2 α = 1. Näin ollensinisen viivan pituus, joka onkulman α kosini, on
cosα =√
1 − 1/4 = 1
2
√3.
12 / 43
Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys jaargumentti
Siirtymällä napakoordinaatteihin x = r cos θ ja y = r sin θ saadaankompleksiluvulle z = x + iy 6= 0 napakoordinaattiesitys
z = r(cos θ + i sin θ),
missä r = |z | ja vaihekulma θ on yhtälöparin
{cos θ = x
r,
sin θ = yr,
(1)
ratkaisu.Yhtälöparista (1) saatavaa lukua θ sanotaan kompleksiluvun zargumentiksi ja merkitään θ = arg z .
13 / 43
Kompleksilukujen tulon ja osamäärännapakoordinaattiesitys
Esim. 2
Määrää kompleksilukujen z ja w tulon ja osamäärännapakoordinaattiesitykset. Käytä hyväksi sinin ja kosininyhteenlaskukaavoja
sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ,
cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ.
14 / 43
Argumentin ominaisuuksiaArgumentti arg z on määritelty vain luvuille z 6= 0.Koska sini ja kosini ovat 2π-jaksollisia funktioita, onkompleksiluvun argumentilla äärettömän monta arvoa.Välille ]− π, π] kiinnitettyä vaihekulmaa Θ sanotaan argumentinpääarvoksi ja merkitään Θ = Arg z .Argumentin arg z ja argumentin pääarvon Arg z välillä on yhteys
arg z = Arg z + 2kπ
jollekin k ∈ Z.
Esim. 3
Määrää kompleksiluvun tulon ja osamäärän argumentin pääarvo.
Huomautus 3
Argumentin pääarvon määräämisessä kannattaa hyödyntääyksikköympyrää.
15 / 43
Laskutoimitukset geometrisesti
Kompleksilukujen peruslaskutoimituksia kannattaa havainnollistaageometrisesti. Geometrisessa havainnollistamisessa on suureksihyödyksi napakoordinaattiesitys.
16 / 43
Kompleksilukujen summa geometrisesti
0 1 2 3
1
2
3
z = 2 + i
w = 1 + i
z + w = 3 + 2iKompleksilukujen summa saadaanlaskemalla reaaliosat yhteen ja imagi-naariosat yhteen. Tässä esimerkissä
z + w = (2 + i) + (1 + i)
= (2 + 1) + (1 + 1)i
= 3 + 2i.
17 / 43
Kompleksilukujen summa geometrisesti
Kuten kuvasta näkyy, vastaa kompleksilukujen z = x + iy jaw = u + iv (tai yhtälailla niitä edustavien paikkavektoreiden (x , y)ja (u, v)) summa z + w geometrisesti lukujen z ja w määräämänsuunnikkaan lävistäjän määräämistä.
18 / 43
Kompleksilukujen tulo geometrisesti
0 1 2 3
1
2
3
z = 2 + iw = 1 + i
zw = 1 + 3i
αβγ
Kompleksilukujen z = 2+ i ja w = 1+ i tuloon
zw = (2 + i)(1 + i) = 2 · 1 + 2 · i + i · 1 + i2
= 1 + 3i.
Tulon argumentti on argumenttien summa(2π:n monikertaa vaille)
arg zw = γ = α+ β = argz + argw
ja pituus |zw | on pituuksien |z | ja |w | tulo
|zw | = |z | · |w |.
19 / 43
Kompleksilukujen tulo geometrisesti
Kuten kuvastakin nähdään, vastaa kompleksiluvun z kertominenluvulla w
◮ pituuden venyttämistä, jos |w | > 1, ja kutistamista, jos|w | < 1,
◮ kompleksiluvun z kiertämistä vastapäivään kulman argwverran.
20 / 43
Kompleksilukujen osamäärä geometrisesti
0 1 2 3
1
2
3
zw
= 2 + iw = 1 + i
z = 1 + 3i
γβα
Kompleksilukujen z = 1 + 3i ja w = 1 + i
osamäärä on
z
w=
zw
ww=
1
2(2 + i)(1 − i)
= 2 + i.
Osamäärän argumentti on argumenttien ero-tus (2π:n monikertaa vaille)
argz
w= γ = α− β = argz − argw
ja pituus | zw| on pituuksien |z | ja |w | osa-
määrä
| zw| = |z |
|w | .
21 / 43
Osamäärä geometrisesti
Kompleksiluvun z jakaminen luvulla w vastaa geometrisesti
◮ pituuden |z | venyttämistä, jos |w | < 1, ja kutistamista, jos|w | > 1,
◮ kiertoa myötäpäivään kulman argw verran.
22 / 43
Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi
Määritellään kompleksiluvun kokonaislukupotenssi induktiivisestiasettamalla
Määr. 1
◮ z0 = 1 kaikilla kompleksiluvuilla z 6= 0,
◮ z1 = z kaikilla z ∈ C,
◮ zn = zn−1 · z kaikilla n ∈ Z+ ja z ∈ C,
◮ z−n = 1/zn kaikilla z 6= 0 ja n ∈ Z+ (negatiivinen potenssion positiivisen potenssin käänteisluku).
23 / 43
Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi
Määritelmästä 1 saadaan induktiolla tutut potenssienlaskusäännöt.
Lause 3
Kaikilla m, n ∈ Z ja 0 6= z ,w ∈ C pätee
◮ zm · zn = zm+n,
◮ (zm)n = zmn,
◮ zm/zn = zm−n,
◮ (zw)n = znwn, (z/w)n = zn/wn.
Huomautus 4
Laskutoimituksissa kannattaa hyödyntää napakoordinaattiesitystä.
24 / 43
Potenssin napakoordinaattiesitys
Induktiolla Esimerkistä 2 saadaan potenssin napakoordinaattiesitys
zn = rn(cos nθ + i sin nθ), (2)
missä r = |z | ja θ = arg(z).Valitsemalla r = 1 saadaan kaavasta (2) De Moivre’n kaava
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.
Kaavasta (2) saattaa näyttää siltä, että arg zn = narg z , muttayleisesti
arg zn = n · arg z + 2kπ, k ∈ Z
kuten Esimerkissä 3 nähtiin tapauksessa n = 2.
25 / 43
Kompleksiluvun juuri
Määr. 2
Olkoot n > 1 kokonaisluku ja w ∈ C. Jos on olemassa sellainenz ∈ C, että
zn = w ,
niin lukua z sanotaan luvun w n:s juureksi ja merkitään z = w1/n
tai z = n
√w .
Jos w = 0, niin z = 0 on ainoa (kertalukua n oleva) juuri. Jostaas w 6= 0, niin siirtymällä napakoordinaatteihin nähdään, ettäluvulla w on n erisuurta juurta
zk = r1/n(cos(θ/n + k2π/n) + i sin(θ/n + k2π/n)),
missä k = 0, 1, . . . , n − 1, r = |w | ja θ = arg w .
26 / 43
Komleksiluvun juuri
Valitsemalla edellä erityisesti k = 0, saadaan
z0 = r1/n(cos(θ/n) + i sin(θ/n)),
jota sanotaan n:s juuren pääarvoksi.
Esim. 4
Määrää ykkösen kuutiojuuret eli yhtälön z3 = 1 (kaikki) ratkaisut.Kirjoita ratkaisut muodossa z = x + iy .
27 / 43
Kompleksiluvun murtopotenssiEsitetään seuraavaksi määritelmä kompleksiluvun potenssille, kuneksponentti on murtoluku m/n.
Määr. 3
Olkoot m ∈ Z ja n > 1 kokonaisluku. Kompleksiluvun z 6= 0potenssi zm/n määritellään asettamalla
zm/n = (z1/n)m = ( n
√z)m,
missä oikea puoli tarkoittaa joukon n
√z alkioiden m:s potensseja.
Määritelmästä 2 seuraa, että yleisesti potenssi zm/n saa nerisuurta arvoa zk , jolle
|zk | = rm/n ja arg zk =m
nθ +
2km
nπ,
missä k = 0, 1, . . . , n − 1, r = |z | ja θ = arg z .28 / 43
Kompleksiluvun murtopotenssi
Koska murtopotenssi voi saada useita arvoja, kannattaamurtopotenssin kanssa olla tarkkana.Yleisesti
◮ zm/n = zm′/n′ , missä m′/n′ on m/n supistetussa muodossa.
◮ ( n
√z)m 6= n
√zm,
◮n
√z n
√w 6= n
√zw ,
◮n
√z + n
√z 6= 2 n
√z ,
missä molemmat puolet tulkitaan joukkoina.
Esim. 5
Osoita, että√−1
√−1 =
√(−1)2 ja
√−1 +
√−1 6= 2
√−1.
Päteekö yhtäsuuruus pääarvoille?
29 / 43
Kompleksinen eksponentti
Määritellään kompleksinen eksponentti, kun kantalukuna onNeperin luku e.
Määr. 4
Jokaisella kompleksiluvulla z = x + iy asetetaan
ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y).
Erityisesti, kun y = 0, antaa Määritelmä 4 reaalisen eksponentinex .Jos taas valitaan x = 0, saadaan Eulerin kaava
eiy = cos y + i sin y .
30 / 43
Kompleksisen eksponentin ominaisuuksia
Voidaan osoittaa, että Määritelmän 4 mukainen ez toteuttaakaikki reaalisen eksponentin laskusäännöt.
Lause 4
Kompleksiselle eksponentille pätee
◮ e2kπi = 1, k ∈ Z. Erityisesti e0 = 1.
◮ ez · ew = ez+w .
◮ e−z = 1/ez .
◮ ez/ew = ez−w .
◮ |ez | = ex , arg ez = y + 2kπ, k ∈ Z.
◮ ez 6= 0 kaikilla z ∈ C.
◮ ez+2kπi = ez kaikilla k ∈ Z.
◮ (ez)n = enz , n ∈ Z.
31 / 43
Eksponenttiesitys
Eulerin kaavasta ja kompleksiluvun napakoordinaattiesityksestäsaadaan kompleksiluvun eksponenttiesitys
z = reiθ
missä r = |z | ja θ = arg z .Eksponenttiesitys on erityisen kätevä laskutoimitustenhavainnollistamisessa ja ominaisuuksien perustelemisessa.Kannattaa käydä esimerkiksi aiemmin esitettyjen tulon jaosamäärän geometrinen vaikutus sekä (murto)potenssi ja juuri läpieksponenttiesityksen avulla.
32 / 43
Vaihtovirtapiirit
Tarkastellaan kompleksianalyysin sovelluksena yksinkertaistenvaihtovirtapiirien analysointia.Palautetaan mieliin rinnan ja sarjaan kytkettyjen sähkövastustenyhteisen reistanssin laskukaavat tasavirtapiirissä.
33 / 43
Resistanssin laskukaavat
Rinnankytkentä
R1
R2
1
R= 1
R1+ 1
R2
Sarjaankytkentä
R1 R2
R = R1 + R2
Kaavat saadaan Ohmin laista U = RI ja Kirchhoffin virtalaista.
34 / 43
Jännitehäviöt vastukselle, käämille jakondensaattorille
◮ Ohmin lain mukaan U = RI , missä R on vastus, U jännite jaI on virta.
◮ Jos U on jännite ja I virta käämissä, jonka induktanssi on L,niin
U = LdI
dt.
◮ Kondensaattorissa, jonka kapasitanssi on C , on
U =1
C
t∫
0
I (s)ds + U(0).
35 / 43
Jännitehäviöt vaihtovirtapiirissäOletetaan nyt, että ao. piirissä on sinimuotoinen virta,
I (t) = I0 cosωt(= I0 sin(ωt +π
2)).
Kuva 1 : RLC-piiri
Jännitehäviöt vastukselle, käämille ja kondensaattorille ovat
UR = RI0 cosωt
UL = −ωLI0 sinωt
UC = 1
ωCI0 sinωt + UC (0).
(3)
36 / 43
Kompleksinen esitys
Virran I (t) = I0 cosωt sijasta kirjoitetaan I (t) = I0eiωt jolloin
fysikaalinen virranvoimakkuus on Re(I (t)). Kaavat (3) saavatmuodon
UR = RI
UL = iωLI
UC = 1
iωCI + vakio,
(4)
josta reaaliosille saadaan
Re UR = RI0 cosωt = UR ,
Re UL = −ωLI0 sinωt = UL,
Re UC = 1
ωCI0 sinωt + UC (0) = UC ,
kuten pitääkin
37 / 43
Kompleksinen impedanssi
Jos (4):ssa oletetaan vakio nollaksi, niin kaikki ovat muotoa
U = Z I , (5)
missä Z on R tai iωL tai 1
iωC= −i 1
ωC.
Lukua Z sanotaan (kompleksiseksi) impedanssiksi. Impedanssi onsuure, joka virtapiirin vaihtovirralle aiheuttamaa vastusta.Yleisesti impedanssi Z on (kulma)taajuuden funktio Z = Z (ω).Taajuutta ω, jolla impedanssin imaginaariosa häviää eli ImZ = 0,sanotaan resonanssitaajuudeksi.
38 / 43
Kompleksinen impedanssi, esimerkki
Kuvan 1 piirin jännitteeksi saadaan
U = UR + UL + UC = [R + i(ωL − 1
ωC)]I ,
joten piirin (kompleksinen) impedanssi on
Z = R + i(ωL − 1
ωC).
Piirin resonanssitaajuudeksi saadaan
ωL − 1
ωC= 0 ⇔ ω =
1√LC
.
39 / 43
Impedanssin laskusäännöt
Rinnankytkentä
Z1
Z2
1
Z= 1
Z1+ 1
Z2
Sarjaankytkentä
Z1 Z2
Z = Z1 + Z2
Impedanssille pätee täsmälleen samat laskukaavat kuintasavirtapiirin resistanssille.
40 / 43
Kokonaisimpedanssin laskeminen
Jos piirissä esiintyy sekä sarjan- että rinnankytkentää, saadaankokonaisimpedanssi osakytkentöjen impedanssien avulla.Tarkastellaan esimerkkiä.
41 / 43
Kokonaisimpedanssin laskeminen, esimerkki
Z1
Z2
1
Z= 1
Z1+ 1
Z2
Z3
Piirin punaisessa osassa on rinnankytkentä, jonka impedanssiksisaadaan Z = Z1Z2
Z1+Z2. Punainen osa muodostaa yhdessä mustan
osan kanssa sarjaankytkennän, joten piirin kokonaisimpedanssiksiZT saadaan
ZT = Z + Z3 =Z1Z2
Z1 + Z2
+ Z3.
42 / 43
Esimerkki
Esim. 6
Laske alla olevan piirin jännite ja resonanssitaajuus.
Vihje: Käytä kompleksista virtaa I (t) = eiωt , kaavaa (5) jaimpedanssin laskusääntöjä. Fysikaalinen jännite onU(t) = Re U(t).
43 / 43
Top Related