Disusun oleh : NIM :
• Faiz Alfian 145060201111039• Ahmad Fahmi Irfanda 145060200111011• Try Yuda Yasman 135060200111037• Sena Ilham 125060202111005• Fathony Aziz 125060201111001
Kelompok 6Review Buku Cengel
Bab 9
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 2
Analisis Diferensial Aliran Fluida
Tujuan :1.Memahami bagaimana diferensial persamaan massa
dan konservasi momentum.
2.Mengetahui fungsi arus dan bidang tekanan, dan plot
arus untuk diketahui medan kecepatan.
3.Mendapatkan solusi analitis dari persamaan gerak untuk
bidang aliran sederhana.
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 3
Pengantar
IngatControl volume (CV) versi hukum kekekalan massa dan energiCV versi konservasi momentum
CV, atau integral, bentuk persamaan yang berguna untuk menentukan efek keseluruhanNamun, kita tidak dapat memperoleh pengetahuan rinci tentang medan aliran di dalam motivasi CV untuk analisis diferensial
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 4
Pengantar
Contoh: Persamaan Incompressible Navier-Stokes
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 5
Konservasi Massa
Ingat kembali CV untuk Transformasi panas Reynolds (RTT)
Periksa kembali 2 metode untuk mendapatkan diferensial dari hukum kekekalan massa
Divergence teorema (Gauss’s)
Differential dari teorema CV dan hukum Taylor pada ekspansi
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 6
Konservasi MassaDivergence Theorem
Teorema divergensi memungkinkan kita untuk mengubah Integral volume yang berbeda dari vektor ke suatu persamaan yang tidak terintegralkan atas level yang mendefinisikan volume.
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 7
Konservasi MassaDivergence Theorem
Tulis kembali hukum kekekalan momentum
Menggunakan teorema divergence, ganti daerah integral dengan volume integral dan collect terms
Integral berlaku untuk CV, maka dari itu:
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 8
Conservation of MassDifferential CV and Taylor series
Pertama, menetapkan control volume (CV) dari volume yang sangat kecil dx x dy x dz
Berikutnya, kita dekati laju aliran massa masuk atau keluar dari masing-masing 6 sisi menggunakan persamaan Taylor ekspansi di sekitar titik pusat, misalnya, sisi yang tepat
Ignore terms higher than order dx
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 9
Konservasi MassaDiferensial CV dan seri Taylor
Infinitesimal control volumeof dimensions dx, dy, dz Area of right
face = dy dz
Mass flow rate throughthe right face of the control volume
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 10
Konservasi MassaDiferensial CV dan seri Taylor
Sekarang, mari kita jumlah tingkat aliran massa masuk dan keluar dari 6 sisi dari CV
Tempatkan ke konservasi integral dari persamaan massa
Net mass flow rate into CV:
Net mass flow rate out of CV:
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 11
Konservasi MassaDiferensial CV dan seri Taylor
setelah substitusi,
Membagi melalui volume dx dy dz
Atau, jika kita menerapkan definisi perbedaan dari vektor
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 12
Konservasi Massabentuk alternatif
Menggunakan aturan produk pada jangka divergence
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 13
Konservasi Massakoordinat silinder
Ada banyak cara yang lebih sederhana untuk menyelesaikan jika persamaan ditulis dalam koordinat silinder-polarCara termudah untuk mengkonversi dari Cartesian adalah dengan menggunakan bentuk vektor dan definisi operator divergensi di koordinat silinder
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 14
Konservasi Massakoordinat silinder
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 15
Konservasi MassaKasus khusus
Aliran kompresibel stabil
Cartesian
Cylindrical
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 16
Konservasi MassaKasus khusus
Aliran Incompressible
Cartesian
Cylindrical
and = constant
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 17
Konservasi Massa
Secara umum, persamaan kontinuitas tidak dapat digunakan dengan sendirinya untuk memecahkan medan aliran, namun dapat digunakan untuk
1. Menentukan apakah medan aliran kecepatan adalah mampat
2. Mencari komponen kecepatan
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 18
The Stream Function
Mempertimbangkan persamaan kontinuitas untuk aliran 2D mampat
Mengganti transformasi
memberikan This is true for any smoothfunction (x,y)
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 19
The Stream Function
Why do this?Variabel Tunggal menggantikan (u,v). Setelah diketahui, (u,v) dapat dihitung.
signifikansi fisik1. Kurva konstan adalah arus aliran
2. Selisih antara arus sama dengan laju aliran volume antara arus
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 20
The Stream FunctionPhysical Significance
Ingat dari Bab. 4 bahwa seiring dari streamline
Change in along streamline is zero
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 21
The Stream FunctionPhysical Significance
Selisih antara arus sama dengan laju aliran volume antara arus
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 22
Conservation of Linear Momentum
Ingat kembali CV dari Chap. 6
Menggunakan teorema divergensi untuk mengkonversi integral
Body Force
Surface Force
ij = stress tensor
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 23
Conservation of Linear Momentum
Mengganti integral volume,
Menyadari bahwa ini berlaku untuk setiap CV, integral dapat turun menjadi
This is Cauchy’s Equation
Can also be derived using infinitesimal CV and Newton’s 2nd Law (see text)
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 24
Conservation of Linear Momentum
Bentuk alternatif dari Cauchy Persamaan dapat diturunkan dengan memperkenalkan
Memasukkan ini ke Persamaan Cauchy
(Chain Rule)
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 25
Conservation of Linear Momentum
Sayangnya, persamaan ini tidak terlalu diperlukan
10 DiketahuiStress tensor, ij : 6 komponen independen
Massa jenis Kecepatan, V : 3 komponen independen
4 persamaan (kontinuitas + momentum)
6 persamaan diperlukan untuk menutup masalah!
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 26
Navier-Stokes Equation
Langkah pertama adalah untuk memisahkan ij ke tekanan
dan kental tekanan
Situasi belum membaik6 diketahui di ij 6 diketahui diij + 1 di P, yang berarti bahwa kami telah menambahkan 1!
ij xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
p 0 0
0 p 0
0 0 p
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
Viscous (Deviatoric) Stress Tensor
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 27
Navier-Stokes Equation
(toothpaste)
(paint)
(quicksand)
Pengurangan jumlah variabel dicapai dengan berkaitan tegangan geser untuk regangan-tingkat tensor.
Untuk fluida Newtonian dengan sifat konstan
Newtonian fluid includes most commonfluids: air, other gases, water, gasoline
Newtonian closure is analogousto Hooke’s Law for elastic solids
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 28
Navier-Stokes Equation
Ganti ij ke persamaan Cauchy dengan memasukkan persamaan Navier-Stokes
Hal ini menyebabkan persamaan fluida pada sistem tertutup
4 persamaan (kontinuitas dan momentum)
4 temuan rumus (U, V, W, p)
Incompressible NSEwritten in vector form
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 29
Navier-Stokes Equation
Selain bentuk vektor, persamaan N-S incompressible dapat ditulis dalam beberapa bentuk lain
Cartesian coordinates
Cylindrical coordinates
Notasi tensor
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 30
Navier-Stokes EquationCartesian Coordinates
Kontinuitas
X-momentum
Y-momentum
Z-momentum
See page 431 for equations in cylindrical coordinates
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 31
Navier-Stokes EquationTensor and Vector Notation
Kontinuitas
Konservasi dari MomentumNotasi Tensor Notasi Vektor
Notasi VectorNotasi Tensor
Tensor dan notasi Vector menawarkan bentuk persamaan yang lebih ringkas.
Indeks berulang akan dijumlahkan lebih dari j (x1 = x, x2 = y, x3 = z, U1 = U, U2 = V, U3 = W)
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 32
Differential Analysis of Fluid Flow Problems
Sekarang kita memiliki beberapa persamaan yang mengatur persamaan diferensial parsial, ada 2 masalah yang kita dapat pecahkan
1. Perhitungan tekanan (P) untuk medan kecepatan diketahui
2. Menghitung kecepatan (U, V, W) dan tekanan (P) untuk geometri ang diketahui, kondisi batas (BC), dan kondisi awal (IC)
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 33
Exact Solutions of the NSE
Solusi juga dapat diklasifikasikan menurut jenis atau geometri1. Couette shear flows
2. Steady duct/pipe flows
3. Unsteady duct/pipe flows
4. Arus dengan batas-batas yang bergerak
5. solusi kesamaans
6. Hisapan aliran asitotik
7. Dorongan Angin arus Ekman
Ada sekitar 80 solusi yang tepat yang dikenal dengan NSE
Solusi itu dapat diklasifikasikan sebagai:
Solusi linear dimana nilai konvektifnya adalah nol
Solusi nonlinier di mana nilai konvektifnya tidak nol
ME33
ME421ME521
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 34
Exact Solutions of the NSE
1.Mengatur masalah dan geometri, mengidentifikasi semua dimensi dan parameter yang relevan
2.Daftar semua asumsi, perkiraan, penyederhanaan, dan kondisi batas yang sesuai
3.Menyederhanakan persamaan diferensial sesederhana mungkin
4. integrasikan persamaan5.Terapkan BC untuk memecahkan konstanta integrasi6.verifikasi hasil
Prosedur untuk pemecahan masalah dalam kontinuitas dan NSE
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 35
Boundary conditions
Kondisi batas sangat penting untuk membalas, perkiraan, dan solusi komputasi.
Dibahas dalam Bab 9 & 15Penggunaan BC dalam solusi analitis, dibahas di sini
Kondisi batas tanpa slip
Kondisi batas antar sisi
Ini digunakan dalam CFD juga, ditambah ada beberapa BC yang timbul karena hal tertentu dalam pemodelan CFD. Ini akan disajikan dalam Bab. 15.
Kondisi batas inflow dan outflow
Simetri serta kondisi batas periodik
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 36
No-slip boundary condition
Untuk cairan dalam kontak dengan dinding yang solid, kecepatan fluida harus setara dengan kecepatan pada dinding
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 37
Interface boundary condition
Ketika dua cairan bertemu di sebuah gesekan antar sisi, kecepatan dan geser stres harus sama di kedua sisi
Jika efek tegangan permukaan dapat diabaikan dan permukaan hampir rata
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 38
Interface boundary condition
Kasus merosot dari antar sisi BC terjadi pada permukaan bebas dari cairan.Diondisi yang sama terus
Saat air << water,
Seperti dengan antar sisi pada umumnya, jika efek tegangan permukaan dapat diabaikan dan permukaan hampir rata
Pwater = Pair
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 39
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Untuk geometri yang diberikan dan BC, menghitung bidang kecepatan dan tekanan, dan memperkirakan gaya geser per satuan luas yang bekerja pada pelat bawah
Step 1: Geometri, dimensi, dan sifat
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 40
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Step 2: Asumsi dan BC yang diterapkanAsumsi1. Lempeng tak terbatas dalam x dan z
2. Arus stabil, /t = 0
3. Aliran paralel, V=0
4. Incompressible, Newtonian, laminar, bersifat konstan
5. Tidak ada tekanan gradien
6. 2D, W=0, /z = 0
7. Tindakan gravitasi di Pelat pada arah –z,
Kondisi batas1. Bottom plate (y=0) : u=0, v=0, w=0
2. Top plate (y=h) : u=V, v=0, w=0
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 41
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Step 3: Penyederhanaan3 6
Note: these numbers referto the assumptions on the previous slide
This means the flow is “fully developed”or not changing in the direction of flow
Continuity
X-momentum
2 Cont. 3 6 5 7 Cont. 6
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 42
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Step 3: Penyederhanaan,Kontinuitas.Y-momentum
2,3 3 3 3,6 7 3 33
Z-momentum
2,6 6 6 6 7 6 66
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 43
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Step 4: Integrasi
Z-momentum
X-momentum
integrate integrate
integrate
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 44
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Step 5: Pengaplikasian pada BCy=0, u=0=C1(0) + C2 C2 = 0
y=h, u=V=C1h C1 = V/h
Yang artinya
Untuk tekanan, tidak ada BC eksplisit, karena itu C3 bisa tetap konstanta sembarang (Ingat hanya P yang muncul pada NSE).
Let p = p0 at z = 0 (C3 renamed p0)1. Hydrostatic pressure2. Pressure acts independently of flow
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 45
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Step 6: Verifikasi solusi yang telah didapat dengan mengembalikan penggantinya ke persamaan diferensial
Ingat pengkondisian rumus (u,v,w)=(Vy/h, 0, 0)
Kontinuitas (terpenuhi/terbukti)0 + 0 + 0 = 0
X-momentum (terbukti)
Chapter 9: Differential AnalysisME33 : Fluid Flow 46
Example exact solution (Ex. 9-15)Fully Developed Couette Flow
Finally, hitung shear force pada bawah pelat
Gaya geser per satuan luas yang bekerja pada dinding
Catatan w itu sama dan berlawanan padategangan geser yang bekerja pada fluida yx (Hukum ketiga Newton).
Top Related