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Kapitel 11Berechnung nach Theorie
2. Ordnung
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Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits geometrische Imperfektionen auf.
Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Berechnung nach Theorie 2. Ordnung
A
B
EIS
FStab mit Lastexzentrizität
Geometrische Imperfektionen stellenAbweichungen von der Sollgeometrie desTragwerks dar.
Beispiele dazu sind:
• Ungewollte Schiefstellungen.
• Lotabweichungen bei Stützen.
• Lastausmittigkeit
• Vorverkrümmungen und Vorverdrehungen
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Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits geometrische Imperfektionen auf.
Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
A
B
EIS
PStab mit LastexzentrizitätTheorie 1. Ordnung
Biegemoment : Kragstütze mit konzertiertem Moment am Ende B.
Hier wird das Gleichgewicht in der unverformten Konfiguration formuliert.
*Gemäß der Theorien höheren Ordnungen, spielt de Verformung eine Rolle bei der resultierenden Gleichungen. Das Gleichgewicht sollte in der verformten Konfiguration erstellt werden.
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑃𝑃
Welche sind die Momentkomponenten wegen P gemäss der Theorien verschiedener Ordnungen?
H
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Theorie 1. Ordnung
Formulierung des Gelichgewichts am: unverformten System
Verformung im Verhältnis zu den Systemabmessungen
vernachlässigbar (<<1)
Vernachlässigung von Δl infolge Stabverkrümmung
ja
Stabverkrümmung
Gegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen
Source: Prof. Ch. Zhang / Elias Perras, Uni. Siegen
starr𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � Η
bieg
ewei
ch
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼
Η
𝜅𝜅𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑃𝑃
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑃𝑃
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Theorie 1. Ordnung 2. Ordnung
Formulierung des Gelichgewichts am: unverformten System verformten System
Verformung im Verhältnis zu den Systemabmessungen
vernachlässigbar (<<1) endlich, aber klein (<<1)
Vernachlässigung von Δl infolge Stabverkrümmung
ja ja
Stabverkrümmung
Gegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen
Source: Prof. Ch. Zhang / Elias Perras, Uni. Siegen
starr𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � Η
bieg
ewei
ch
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼
Η
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � (∆ + 𝑃𝑃)
bieg
ewei
ch
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼
Η
𝑤𝑤
∆
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 ≈ 1
𝜅𝜅𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜅𝜅𝐼𝐼𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑀𝑀𝐴𝐴
𝐼𝐼 + 𝑃𝑃 � ∆
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Theorie 1. Ordnung 2. Ordnung 3. Ordnung
Formulierung des Gelichgewichts am: unverformten System verformten System verformten System
Verformung im Verhältnis zu den Systemabmessungen
vernachlässigbar (<<1) endlich, aber klein (<<1) unbeschränkt
Vernachlässigung von Δl infolge Stabverkrümmung
ja ja nein
Stabverkrümmung
Gegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen
Source: Prof. Ch. Zhang / Elias Perras, Uni. Siegen
starr𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � Η
bieg
ewei
ch
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼
Η
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 � (∆ + 𝑃𝑃)
bieg
ewei
ch
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼
Η
𝑤𝑤
∆
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 ≈ 1𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 �
(∆ + 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑)
bieg
ewei
ch
𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
Hcosφ
𝑤𝑤
∆
𝜑𝜑
𝜅𝜅𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜅𝜅𝐼𝐼𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′ = 𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼/𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜅𝜅𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = −𝑤𝑤′′′
1 + 𝑤𝑤′232
=𝑀𝑀′′′
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
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Bemerkungen
• Die Theorie 2. Ordnung ist nur eine Annäherungstheorie der Theorie von großen Verformungen.
• Die Theorie von großen Verformungen wird manchmal auch als Theorie 3. Ordnung bezeichnet.
• Unter Druckkraft führt die Theorie 2. Ordnung zu einer Vergrößerung des Biegemomentes, d.h., MI< MII.
• Unter Zugkraft wird das Biegemoment nach Theorie 2. Ordnung reduziert, d.h., MII< MI.
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Die häufigste Annahme ist der Fall, in dem der Balken im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 aufweist.
Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Berechnung nach Theorie 2. Ordnung
A
B
EIS
F
w0,max
wtot,max
wmax
Stab mit Vorkrümmung w0
Geometrische Imperfektionen stellenAbweichungen von der Sollgeometrie desTragwerks dar.
Beispiele dazu sind:
• Ungewollte Schiefstellungen.
• Lotabweichungen bei Stützen.
• Lastausmittigkeit
• Vorverkrümmungen und Vorverdrehungen
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Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 auf.
( )0'''' 0 yEI w N w w ′′+ + =
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
w0: unbelasteter Zustand (kein Biegemoment wegen w0)
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Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. OrdnungBerechnung nach Theorie 2. Ordnung
Was der Hauptunterschied zum idealisierten Knickproblem? Wie wirkt sich der Einfluss derVorverformung auf die Analyse aus?
Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Last Fjetzt auch in der unverformten Konfiguration einMoment Nw0 erzeugt.
Unter Berücksichtigung der Theorie 2. Ordnung, undder entsprechenden Differentialgleichung, ändert sichdie Analyse grundlegend, da das Problem nun einepartikuläre Lösung aufweist:
( )0 0'''' 0 ''''y yEI w N w w EI w Nw Nw′′ ′′′′+ + = ⇒ + = −
Rechte Seite ≠ 0 ⇒ partikuläre Lösung
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Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 auf.
0''''yEI w Nw Nw′′ ′′+ = −
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
w0: unbelasteter Zustand (kein Biegemoment wegen w0)
Welche ist der analytische Ausdruck dieser Vorverformung?
Die effektiv vorhandene Vorverformungsfigur ist zum Zeitpunkt der Bemessung gar nicht bestimmbar.
Es ist deshalb von einer zur Knickfigur affinen Vorverformung auszugehen (ungünstige Annahme)
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Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 auf.
0'''' ( )yEI w Nw Nw I′′ ′′+ = −
Die Verformung wird als affin zur Knickfigur angenommen:
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
( ) max sink k xw x wlπ =
2
2 2cr crl
y yN l N
EI EIπλ
λ π=
= → =
Die Biegesteifigkeit ist mit der Euler’schen Knicklast Ncr verbunden
Pendelstab Knickfigur →
( )0 0,max sin xw x wlπ =
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Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 auf.
( )0'''' 0 ( )yEI w N w w I′′+ + =
wobei
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
( )2
0 0,max 2sin , cry
l Nxw x w EIlπ
π = =
Die partikuläre Lösung nimmt die gleiche Form wie die rechte Seite der Differentialgleichung an:
( ) max sin xw x wlπ =
gleich zur Knickfigur
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2
2lπ 2
2crN Nlπ
−2
max 2w Nlπ
=
0,max0,max max max 0,max
1cr
Na N
cr
Nw aw w w wN N a
=⇒ = → =
− −
Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Die Theorie 2. Ordnung basiert auf einem imperfekten Stab; er weist im unbelasteten Zustand bereits, infolge geometrischer Imperfektionen, eine Vorverformung w0 auf.
( )0'''' 0 ( )yEI w N w w I′′+ + =wobei
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
( ) ( )2
0 0,max max 2sin , sin , cry
l Nx xw x w w x w EIl lπ π
π = = =
24
max4 2( ) sincrl N xI wll
π ππ
⇒
( )2
max 0,max2 sin xN w wll
π π − +
0= ⇒
durch Substitution in der Gl. (I):
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Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
,max 0,max 0,max1
1totw w wa
µ= = ⋅−
Vergrösserungsfak1
tor: 1
cr
NN
µ =−
Vergrösserungsfaktor
,max 0,max max 0,max1 , wobei
1totcr
Nw w w w a Na= + = =
−
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Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Welche ist daher die Beziehung zwischen Last und Verformung?
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
,max 0,max1 , wobei
1totcr
Nw w a Na= =
−
( ),max 0,max ,max 0,max1
1tot cr tot cr
cr
w w N N w N wN
N= ⇒ − =
−
,max ,max 0,maxtot cr tot crNw N w N w⇒ = − ⇒
( ),max 0,max,max 0
,max
, mit cr tottot
tot
N w wN w w
w−
= ≥
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Lastverformungsdiagramm für den Fall einer bereits vorhandenen Verformung, gemäß der Theorien 1. & 2. Ordnung
Beschreibung des Elastizitätsproblems nach Theorie 2. Ordnung
Berechnung nach Theorie 2. Ordnung
crN
N
totw0w totw
crF N<
A
B
EIS
F
w0,max
wtot,max
wmax
Stabilitätsproblem
Theorie 2. Ordnung
1. Ordnung
( ),max 0,max
,max
cr tot
tot
N w wN
w−
=
Euler
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Tragverhalten beim Knicken
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
Für ideal plastisches Werkstoffveralten lässt sich die Traglast gemäß der Plastizitätstheorie, aber für eine nach Theorie 2. Ordnung berechnete Auslenkung w, angeben.
Der entwickelte Mechanismus ist mit dem statisch zulässigen Spannungszustand (c) verträglich, womit:
( ),
,max ,max
pl N plu
tot tot
M N MF
w w= ≈
Traglastproblem: (a) Mechanismus; (b) SKD im ausgelenkten Zustand; (c) statisch zulässiger Spannungszustand.
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Tragverhalten beim Knicken
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
(c) Mechanismus für die Traglast Berechnung nach Theorie 2. Ordnung; (d) N-w Diagramm
,max
plu
tot
MF
w≈
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Näherungsverfahren
Jenseits des einfachen Beispiels des Pendelstabes ist es nicht immer möglich einerseits die Eulerknickkraft Ncr und anderseits die maximale Auslenkung nach Theorie 2. Ordnung exakt zu bestimmen.
Näherungsverfahren
1. Energiemethode – Rayleigh QuotientErlaubt die Ermittlung der Euler‘schen Knicklast unter Annahme eines Verformungszustands w
2. Methode nach VianelloErlaubt die Berechnung sowohl der Euler‘schen Knicklast als auch der Durchbiegung w nach Theorie 2. Ordnung
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𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑘𝑘
Näherungsverfahren
𝑢𝑢min
wobei:potentielle Energieelastisches Potential(Formänderungsarbeit/Verzerrungsenergie)Potential der äusseren Kräfte
U V
U
V W
Φ = + →
Φ ==
= = −
( )2
2
0 0
1 12 2
l lM EIwMU dx U EI w dx
EI′′=− ′′= → =∫ ∫
U ist positiv, weil das Arbeitsvermögen der zugeordneten inneren Schnittgrössen in Form von gespeicherter Formänderungsenergie zunimmt (mit zunehmender Belastung).
( )V Fu w= − V ist negativ, weil die äussere Kraft F auf ihrem Verschiebungsweg potentielle Energie verliert.
Source: BSI §6.3.2, B. Sudret/B II , Simon Zweidler
1. Energiemethode – Rayleigh Quotient
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Näherungsverfahren
𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑘𝑘
𝛥𝛥𝑙𝑙
( )V Fu w= −
( )
( )( )
22 2
2
0 0 0
1 '
1 1 ' 1l l l
ds dx dw dx w
dl ds dx
dsl dl dx w dxdx
= + = ⋅ +
= −
∆ = = − ⋅ = + − ⋅ ∫ ∫ ∫
u(w): Verkürzung der Stabachse:Sollte gemäss Theorie 2. Ordnung in der verformten Konfiguration berechnet werden.
( ) ( )
( )
( )
22
2
0
2
0
'Taylorentwicklung: 1 ' 1
2'
2
'2
l
l
ww
wl dx
FV F l w dx
+ ≈ +
→ ∆ = ⋅
→ = − ⋅∆ = − ⋅ ⋅
∫
∫
1. Energiemethode – Rayleigh Quotient
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Näherungsverfahren
Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)
Energiemethode – Rayleigh Quotient
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Näherungsverfahren
1. Energiemethode – Rayleigh Quotient𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑘𝑘
𝑢𝑢
Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)
( ) ( )2 2
0 0
1 '' ' min2 2
l lFU V EI w dx w dxΦ = + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ →∫ ∫
( ) ( )( )
( )
2
0
2
0
''min
'
l
l
EI w dxR w F w
w dx
⋅ ⋅= = →
⋅
∫
∫Rayleigh-Quotient:
Source: BSI §6.3.2, B. Sudret/B II , Simon Zweidler
Für ein kinematisch zulässigen Verformungszustand wmuss wie das Gesamtpotenzial Φ auch der sich darausergebende Rayleigh-Quotient R(w) minimal ausfallen:
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𝑁𝑁
𝑙𝑙𝑘𝑘
Näherungsverfahren
𝑢𝑢Minimum der potenziellen Energie (BSI §6.3.2)
( ) ( )2 2
0 0
1 '' ' min2 2
l lFU V EI w dx w dxΦ = + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ →∫ ∫
( )( )
( )
2
0
2
0
''min
'
l
l
EI w dxR w
w dx
⋅ ⋅= →
⋅
∫
∫bzw. Rayleigh-Quotient:
Der Rayleigh-Quotient liefert im Allgemeinen einen oberen Grenzwert für die Traglast.Der minimale Wert von R entspricht der Knicklast.
min crR N→ =
Source: BSI §6.3.2, B. Sudret/B II , Simon Zweidler
1. Energiemethode – Rayleigh Quotient
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Näherungsverfahren
Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr
Nehmen wir ein beliebig wählbare kinematisch zulässige Verformung w an:
𝐹𝐹
𝑙𝑙
wmax
( )2
maxxw x wl
=
z.B. Parabelform
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
1. Energiemethode – Rayleigh Quotient
Warum ist dieses Kandidate-Verformungsfeld kinematisch zulässig?
Die kinematischen RB sind:
( )
( )
2
max
0
max2
0
0 0 : 0
20 0 : 0
x
x
xw Check wl
ww Check x
l
=
=
√
√
= → =
′ = → =
• Die RB die mit Momenten (w’’) und Querkräften (w’’’) zu tun haben werden als natürlichen RB bezeichnet.
• Ein kinematisch zulässiges Verformungsfeld sollte nur die kinematisch RB erfüllen.
• Die vollständige Lösung sollte alle RB (kinematische & natürliche) erfüllen.
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( ) ( ) ( )
22
max max2 3
02 2 23
maxmax42
0
2 43
423
l
l
w wEI dx EIl EIlR w R w R ww llw x dx ll
⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =
∫
∫
Näherungsverfahren
Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr
Nehmen wir ein beliebig wählbare kinematisch zulässige Verformung w an:
𝐹𝐹
𝑙𝑙
wmax
( )2
maxxw x wl
=
z.B. Parabelform
mit dem entsprechenden Rayleigh-Quotient:
( )( )
( )
( ) ( )
2
0
2
0
max max2 2
''
'
2 2,
l
l
EI w dxR w
w dx
w ww x w x x
l l
⋅
= ′′ ′= =
∫
∫
( )
2
2 22.4672
ycr y
EIN EI
llπ
= =
genauer Wert
Annährung
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
1. Energiemethode – Rayleigh Quotient
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Näherungsverfahren
Näherungslösung für die Eulerknicklast Ncr für verschiedene (beliebig wahlbare) kinematisch zulässige Ansätze:
mit dem dritten Ansatz:
𝐹𝐹
𝑙𝑙
wmax
( ) max 1 cos2
xw x wl
π = −
ergibt sich die bereits hergeleitete exakte Eulerknicklast( )
2
2 22.4672
ycr y
EIN EI
llπ
= =
Ansatzfunktion Rayleigh-Quotient
( ) 2 3 46 4 , xwl
ξ ξ ξ ξ ξ= − + = 22.8 EIRl
=
( ) 2 3 520 10 , xwl
ξ ξ ξ ξ ξ= − + = 22.69 EIRl
=
( ) 1 cos , 2
xwl
πξ ξ ξ = − = 22.46 EIR
l=
1. Energiemethode – Rayleigh Quotient
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2. Methode nach Vianello
Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze
𝐹𝐹 = 700kN
𝑙𝑙=4𝑚𝑚
260yEI
MNm
=
𝑃𝑃 = 120kN
Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Biegelasten
0,max0
1Arbeitsgleichung: 42.673
l M Hlw M dx l l mmEI EI
= = =∫
Mit der Arbeitsgleichung ergibt sich nach Theorie 1. Ordnung die in Bild dargestellte maximale Verformung:
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
0,maxw
260yEI
MNm
=
1kN
−
Hl−
[ ]M
l−
M
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Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze
𝐹𝐹 = 700kN
260yEI
MNm
=
𝑃𝑃 = 120kN
Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Axialbelastung nach Theorie 2. Ordnung
Unter der Annahme einer parabolischen Biegelinie ( )2
0 0,maxxw x wl
=
entsteht infolge der konservativen
*Vorzeichen gemäß der klassischen Vorzeichenkonvention
Kraft F=700kN eine nach Theorie 2. Ordnung neue Momentenverteilung [M].
2. Methode nach Vianello
( )2
0 0,maxxw x wl
=
𝐹𝐹
( ) ( )2
0,max 0,max 0,max( ) xM x F w w x F w wl
= − − = − −
−
0,maxFw−
[ ]M
𝐹𝐹
𝑀𝑀(𝑥𝑥)
0,max ( )w w x−
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Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze
𝐹𝐹 = 700kN
𝑙𝑙=4𝑚𝑚
260yEI
MNm
=
𝑃𝑃 = 120kN
Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Axialbelastung nach Theorie 2. Ordnung
Unter der Annahme einer parabolischen Biegelinie
−
0,maxFw−
2
1,max 0,max0
5 3.3212
l M lw M dx Fw mmEI EI
= = =∫
( )2
0 0,maxxw x wl
=
entsteht infolge der konservativen
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
Kraft F=700kN eine nach Theorie 2. Ordnung neue Momentenverteilung [M].
w1 = Verformung infolge (F,w0)
und die daraus resultierende w2 = Verformung infolge (F,w1)
2
2,max 1,max0
5 0.2612
l M lw M dx Fw mmEI EI
= = =∫
1,max 2,max0 1 2
0,max 1,max
3.32 0.26, , , affin 0.07842.67 3.32
w ww w w a
w w⇒ = = = = =
2. Methode nach Vianello
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01 für 1
1totw w a= ⋅ <− α
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
( )
0 1 2 32 3
0 0 0 0 0
2 30
.......... ..........
.......... ..........
1 .......... ..........
tot nn
n
w w w w w w
w w w w w
w
= + + + + + +
= + α ⋅ + α ⋅ + α ⋅ + + α ⋅ +
= ⋅ + α + α + α + + α +
Totale Auslenkung:
geometrische Reihe
Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze
Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Axialbelastung nach Theorie 2. Ordnung
2. Methode nach Vianello
𝐹𝐹 = 700kN
𝑙𝑙=4𝑚𝑚
260yEI
MNm
=
𝑃𝑃 = 120kN
1 0 21 0 2 1 2 0 0, w w n
nw w w w w w w w=α= α = α → =α ⇒ = α
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0 01
1totw w w= = µ ⋅− α
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
𝐹𝐹 = 700kN
𝑙𝑙=4𝑚𝑚
260yEI
MNm
=
𝑃𝑃 = 120kN
Totale Auslenkung:
Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze
Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Axialbelastung nach Theorie 2. Ordnung
2. Methode nach Vianello
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
Die Beziehung ist exakt falls die Vorverformungs- und die Verformungsfigur nach Theorie 1. Ordnung affin zur Knickfigur sind.
Vergrösserungsfaktor
Erinnerung aus Folie 15:
,max 0,max1 , wobei
1totcr
Nw w a Na= =
−
1
0 1
n
cr n
wwFF w w −
⇒ = α = = =
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𝐹𝐹 = 700kN
𝑙𝑙=4𝑚𝑚
260yEI
MNm
=
𝑃𝑃 = 120kN
260yEI
MNm
=
0,maxFw−
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
0,max1 1 42.67 46.27
1 1 0.078totw w mm mm= ⋅ = =− α −
Totale Auslenkung für die gegebene F:
Einspannmoment:
( )max 120* 4 700*0.04627 512.4totI IIM M
M Hl Fw kNm kNm= + = + =
Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze
Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs wegen Axialbelastung nach Theorie 2. Ordnung
2. Methode nach Vianello
1 1 1.085 : Vergrösserungsfaktor1 1 0.078
µ = = =−α −
Hier α≈0.078
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Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete Kragstütze
Annährung der maximalen Auslenkung des Stützenkopfs.
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
crN
N
totw0w 02w
F
1. Ordnung
Stabilität
0w 1w
2w2. Ordnung2. Ordnung
2. Methode nach Vianello
0 01 1
1 1tot
cr
w w wNN
= =−α −
,max 0,max1
1totw wa
=−
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Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete KragstützeMit der Methode nach Vianello lässt sich ebenfalls eine Approximation für die Eulerknicklast Ncr angeben.
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
Im Fall von N = Ncr α = 1 sind alle Zusatzverformungen identisch
1
0 1
n
cr n
wwFF w w −
= α = = =
crN
N
totw0w 02w
F
1. Ordnung
Stabilität
2. Ordnung
2. Methode nach Vianello
0 1
1 lim1tot tota
w w w→
= ⇒ →∞−α
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Einführendes Beispiel: Am Kopf belastete KragstützeMit der Methode nach Vianello lässt sich ebenfalls eine Approximation für die Eulerknicklast Ncr angeben.
Source: Baustatik II , Simon Zweidler
Im Fall von N = Ncr α = 1 sind alle Zusatzverformungen identisch
Gemäss Folie 312
1,max
0,max 0,max 0
12 2
1 51 112
12 2.45cr
l
acrF N
w M lM dx Fw w EI EI
EI EINl l
==
α = ⇒ = = =
→ = =
∫
( )
2
2 22.4672
ycr y
EIN EI
llπ
= =
genauer Wert der Euler’schen Knicklast
Annährung gemäss Vianello
crN
N
totw0w 02w
F
1. Ordnung
Stabilität
2. Ordnung
2. Methode nach Vianello
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Bemerkungen
• (elastische) Theorie 2. Ordnung: Betrachtung des Gleichgewichts am endlich ausgelenkten Stab. Bei der klassischen Th. 2. Ordnung wird ebenfalls keine Plastizität berücksichtigt.
• Die realen Traglasten von Stäben erfordern die Berücksichtigung weiterer Effekte wie Steifigkeitsverlust durch Plastizität, Eigenspannungen→ „Traglasttheorie“.
• Mit der Methode von Vianello wird die exakte Knickkraft Ncrentweder über- oder unterschätzt.
• Ncr wird mit der Energiemethode überschätzt.
• Bei nicht genau affiner Anfangsverformung kann die Knickkraft approximativ bestimmt werden wie weiter verdeutlicht in MB-11
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