KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

Oleh: RUZIKA RIMADHANY

1209 100 042

Dosen Pembimbing:DIAN WINDA SETYAWATI, S.Si, M.Si

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA

2013

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

PEMBAHASAN

METODE PENELITIAN

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan masalah

Tujuan

Manfaat

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

LATAR BELAKANG

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan masalah

Tujuan

Manfaat

DAFTAR PUSTAKA

Ring merupakan suatu himpunan tak kosong Rdisertai dengan dua operasi biner, penjumlahan danperkalian , yang memenuhi :

a) <R, +> adalah grup abelian; b) <R, . > bersifat asosiatif sertac) <R, +, . > bersifat distributif [1].

RING

Inverse

SEMIRING

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

LATAR BELAKANGPENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan masalah

Tujuan

Manfaat

Contoh dari semiring adalah

• Bentuk-bentuk ideal pada semiring yang akan dikaji antaralain ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal , ideal prima, idealmaksimal, ideal semiprima dan ideal primary.• Operasi biner, penjumlahan dan perkalian, yang digunakanbukan operasi penjumlahan dan perkalian pada umumnyatetapi didefinisikan sebagai FPB dan KPK [3].

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

RUMUSAN MASALAHPENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan masalah

Tujuan

Manfaat

1. Bagaimana bentuk ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal danideal semiprima pada semiring

2. Bagaimana hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utamapada semiring

3. Bagaimana hubungan antara ideal primary dengan ideal prima pada semiring

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

BATASAN MASALAHPENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan masalah

Tujuan

Manfaat

Bentuk-bentuk ideal yang dibahas adalahideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, idealprima, ideal maksimal, ideal semiprima danideal primary.

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

TUJUANPENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan masalah

Tujuan

Manfaat

1. Mengetahui ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal danideal semiprima pada semiring

2. Mengetahui hubungan antara ideal maksimal denganideal utama pada semiring

3. Mengetahui hubungan antara ideal primary denganideal prima pada semiring

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

MANFAATPENDAHULUAN

Latar Belakang

Rumusan Masalah

Batasan masalah

Tujuan

Manfaat

1. Sebagai penerapan ilmu dari mata kuliah yang telahdiperoleh, yaitu aljabar 2 dan teori bilangan.

2. Sebagai tambahan wawasan dan referensi mengenaibentuk-bentuk ideal pada semiring .

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

TINJAUAN PUSTAKA

PENDAHULUAN

Grup

Semiring

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

Berikut diberikan contoh-contoh dari grup .

GRUP

Grup

Semiring

METODE PENELITIAN

TINJAUAN PUSTAKA

PENDAHULUAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

Pada grup terdapat struktur bagian yang disebut dengan subgrup.Definisi dari subgrup diberikan sebagai berikut.

GRUP

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Selanjutnya, diberikan definisi dari ideal pada semiring R sebagaiberikut.

Bentuk-bentuk ideal yang dibahas pada tugas akhir ini adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, ideal maksimal, ideal prima, ideal semiprima, dan ideal primary.

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Untuk memperjelas definisi ideal utama diberikan sebuah contohsebagai berikut.

Selanjutnya, dibahas mengenai pengertian dari ideal subtraktifmelalui definisi berikut.

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Untuk memperjelas definisi dan lemma dari Q-ideal diberikancontoh sebagai berikut.

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

SEMIRING

Grup

Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

METODE PENELITIANDiagram Alur

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

DIAGRAM ALUR METODE PENELITIAN

Diagram Alur

Menunjukkan bentuk ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal dan idealsemiprima pada semiring

Menunjukkan hubungan antara ideal maksimal dengan ideal utama padasemiring

Menunjukkan hubungan antara ideal primary dengan ideal prima padasemiring

Penarikan kesimpulan dan saran

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

PEMBAHASANBentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

BENTUK-BENTUK IDEALPADA SEMIRING Pada subbab ini dijelaskan mengenai bentuk-bentuk ideal padasemiring melalui teorema, lemma, akibat, dan contoh.Adapun bentuk-bentuk ideal yang akan dibahas antara lain ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, dan ideal semiprima.

Sebelum membahas mengenai ideal utama, terlebih dahulu dibahastentang definisi ideal utama pada semiring yang diberikanmelalui definisi berikut.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

BENTUK-BENTUK IDEALPADA SEMIRING Selanjutnya melalui lemma 3.1.2 dibahas mengenai suatupembangun pada semiring dapat dinyatakan dengankelipatannya.

Dari lemma diatas dapat diberikan suatu akibat berikut ini.

Selanjutnya dibahas bentuk dari ideal utama melalui lemma 3.1.4.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

BENTUK-BENTUK IDEALPADA SEMIRING Setelah mengetahui bentuk dari ideal utama, berikutnya dibahasmengenai bentuk dari ideal subtraktif. Adapun pembahasannyadiberikan melalui lemma 3.1.5.

Selanjutnya dibahas tentang bentuk dari Q-ideal melalui lemma 3.1.6 dan teorema 3.1.7

Dari lemma 3.1.6 dapat diberikan bentuk dari Q-ideal melaluiteorema 3.1.7.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

BENTUK-BENTUK IDEALPADA SEMIRING Berdasarkan teorema 3.1.7 dapat diberikan suatu akibat sebagaiberikut.

Berikutnya dibahas mengenai bentuk dari ideal semiprima melaluiteorema 3.1.9.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

BENTUK-BENTUK IDEALPADA SEMIRING Setelah mengetahui bentuk dari ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, dan ideal semiprima berikutnya dibahas mengenai keterkaitanantara ideal maksimal dengan ideal utama pada semiring .

Selanjutnya dibahas tentang keterkaitan antara ideal primary denganideal prima pada semiring melalui teorema 3.1.11.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

Bentuk-Bentuk Ideal Pada Semiring

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

PENUTUP

Kesimpulan

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

Saran

KESIMPULAN

1. Pada semiring terdapat beberapa bentuk ideal diantaranya adalah ideal utama, ideal subtraktif, Q-ideal, danideal semiprima. Setiap ideal pada semiring merupakanideal utama, ideal subtraktif, ideal semiprima tetapi bukanmerupakan Q-ideal. Satu-satunya bentuk Q-ideal yaitu {0} dan

2. Terdapat suatu keterkaitan antara ideal utama dan ideal maksimalyaitu I adalah ideal maksimal di jika dan hanya jikaI = <p> untuk suatu p adalah bilangan prima.

3. Terdapat suatu keterkaitan antara ideal primary dengan ideal prima yaitu setiap ideal tak nol dari semiring adalahideal primary jika dan hanya jika ideal tersebut adalah ideal prima.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

Kesimpulan

Saran

SARAN

Q-ideal memiliki bentuk ideal yang unik. Setiap ideal pada semiringbukan merupakan Q-ideal. Satu-satunya bentuk Q-ideal

pada semiring adalah {0} dan . Oleh karena itu, saran yang diberikan adalah penelitian ini dapat dilanjutkan denganmengulas mengenai Q-ideal pada semiring yang lain.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

Kesimpulan

Saran

[1] Khanna,VJ. (1993), A Course in Abstact Algebra, Vikas Publishing House PVT LYD.

[2] Setyawati, DW., (2011), Prime Ideal On Semiring , Jurnal MatematikaVol.14,No.1, 14-18.

[3] Chaudhari, JN, Ingale, KJ, (2012), A Note On Strongly Euclidean Semirings, International Journal of Algebra, Vol.6, No.6, 271-275.

[4] Gupta,V, Chaudhari, JN, (2011), Prime Ideals in Semiring, Bulletin of the Malaysian Mathematical Science Society, http : // math. usm. my /bulletin

[5] Subiono, Diktat Ajar SM 091318: Aljabar I, Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 2011.

[6] Dummit, DS, Foote, RM. (1991), Abstract Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 07632

[7] Subiono (2012). Aljabar Maxplus dan Terapannya, Version 1.1.0. Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA-ITS.

[8] Allen, P.J. (1969), A Fundamental of Homomorphism for Semirings, Proc. Amer. Math. Soc. 21, 412-416.

DAFTAR PUSTAKA

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

PENUTUP

TERIMA KASIH

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

PEMBAHASAN

PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA